Physik Formelsammlung - et-juergen.de · Inhaltsverzeichnis 1 Kinematik.....6 1.1 Translation ...

PhysikFormelsammlung

et-juergen

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Inhaltsverzeichnis

1 Kinematik..................................................................................................61.1 Translation..............................................................................................................6

1.1.1 Formelzeichen..............................................................................................................................61.1.2 Gleichförmige Bewegung............................................................................................................61.1.3 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung.....................................................................................61.1.4 Ungleichmäßig beschleunigte Bewegung.................................................................................61.1.5 Translation allgemein..................................................................................................................71.1.6 2D-Translation..............................................................................................................................71.1.7 3D-Translation..............................................................................................................................8

1.2 Rotation...................................................................................................................81.2.1 Formelzeichen..............................................................................................................................81.2.2 Gleichförmige Rotation...............................................................................................................81.2.3 Gleichmäßig beschleunigte Rotation........................................................................................91.2.4 Rotation allgemein.......................................................................................................................9

1.3 Zusammenhang Translation-Rotation..................................................................91.3.1 Formelzeichen..............................................................................................................................91.3.2 Übersicht.....................................................................................................................................101.3.3 Zentripetalbeschleunigung, Radialbeschleunigung..............................................................101.3.4 Zentrifugalbeschleunigung.......................................................................................................101.3.5 Tangentialbeschleunigung.......................................................................................................101.3.6 Coriolisbeschleunigung............................................................................................................11

2 Dynamik..................................................................................................122.1 Newtonsche Axiome............................................................................................12

2.1.1 Formelzeichen............................................................................................................................122.1.2 Trägheitsprinzip.........................................................................................................................122.1.3 Aktionsprinzip............................................................................................................................122.1.4 Reaktionsprinzip........................................................................................................................12

2.2 Dynamik der Translation.....................................................................................132.2.1 Formelzeichen............................................................................................................................132.2.2 Kraft.............................................................................................................................................132.2.3 Impuls..........................................................................................................................................132.2.4 Kraftstoß.....................................................................................................................................132.2.5 Impulserhaltungssatz................................................................................................................14

2.3 Kraft.......................................................................................................................142.3.1 Formelzeichen............................................................................................................................142.3.2 Zusammengesetzte Kräfte........................................................................................................152.3.3 Geneigte Ebene..........................................................................................................................152.3.4 Festkörperreibung.....................................................................................................................152.3.5 Kraftarten....................................................................................................................................16

2.4 Dynamik der Rotation..........................................................................................172.4.1 Formelzeichen............................................................................................................................172.4.2 Drehung um Schwerpunktachse..............................................................................................18

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2.4.3 Drehung um Achse parallel zur Schwerpunktachse..............................................................182.4.4 Drehmoment...............................................................................................................................182.4.5 Drehimpuls.................................................................................................................................192.4.6 Drehkraftstoß..............................................................................................................................192.4.7 Drehimpulserhaltungssatz........................................................................................................19

2.5 Spezielle Massenträgheitsmomente..................................................................202.5.1 Formelzeichen............................................................................................................................202.5.2 Kreisring, dünn...........................................................................................................................202.5.3 Kreisscheibe, dünn....................................................................................................................202.5.4 Kugel...........................................................................................................................................212.5.5 Zylinder.......................................................................................................................................212.5.6 Hohlzylinder................................................................................................................................212.5.7 Stab, lang und dünn..................................................................................................................222.5.8 Quader.........................................................................................................................................222.5.9 Kegel............................................................................................................................................22

2.6 Schwerpunktberechnung....................................................................................232.6.1 Formelzeichen............................................................................................................................232.6.2 Schwerpunkt eines kontinuierlichen Körpers........................................................................232.6.3 Schwerpunkt für n Punktmassen.............................................................................................23

3 Arbeit und Energie.................................................................................243.1 Arbeit.....................................................................................................................24

3.1.1 Formelzeichen............................................................................................................................243.1.2 Allgemein....................................................................................................................................243.1.3 Hubarbeit....................................................................................................................................253.1.4 Beschleunigungsarbeit.............................................................................................................253.1.5 Reibungsarbeit...........................................................................................................................253.1.6 Federspannarbeit.......................................................................................................................263.1.7 Rotationsarbeit...........................................................................................................................263.1.8 Gravitationsarbeit......................................................................................................................26

3.2 Energie..................................................................................................................273.2.1 Formelzeichen............................................................................................................................273.2.2 Potentielle Energie.....................................................................................................................273.2.3 Kinetische Energie.....................................................................................................................273.2.4 Spannungsenergie.....................................................................................................................273.2.5 Rotationsenergie........................................................................................................................283.2.6 Energieerhaltungssatz..............................................................................................................283.2.7 Mechanische Stöße...................................................................................................................28

3.3 Leistung................................................................................................................293.3.1 Formelzeichen............................................................................................................................293.3.2 Leistung......................................................................................................................................293.3.3 Wirkungsgrad.............................................................................................................................29

3.4 Gravitation............................................................................................................303.4.1 Formelzeichen............................................................................................................................303.4.2 Keplersche Gesetze...................................................................................................................303.4.3 Newtonsches Gravitationsgesetz............................................................................................313.4.4 Hubarbeit und potentielle Energie...........................................................................................31

Seite 3

4 Mechanik und Schwingung...................................................................324.1 Mechanik deformierbarer Körper.......................................................................32

4.1.1 Formelzeichen............................................................................................................................324.1.2 Dehnung......................................................................................................................................334.1.3 Querdehnung..............................................................................................................................334.1.4 Allseitige Kompression.............................................................................................................344.1.5 Scherung.....................................................................................................................................344.1.6 Torsion........................................................................................................................................34

4.2 Mechanische Schwingung..................................................................................354.2.1 Formelzeichen............................................................................................................................354.2.2 Federschwinger..........................................................................................................................364.2.3 Mathematisches Pendel............................................................................................................374.2.4 Physisches Pendel.....................................................................................................................384.2.5 Torsionspendel..........................................................................................................................39

4.3 Elektromagnetische Schwingung.......................................................................404.3.1 Formelzeichen............................................................................................................................404.3.2 Ungedämpfte elektromagnetische Schwingung....................................................................404.3.3 Gedämpfte elektromagnetische Schwingung.........................................................................414.3.4 Zusammenhang mechanische – elektromagnetische Schwingung.....................................41

4.4 Schwingungsarten...............................................................................................434.4.1 Formelzeichen............................................................................................................................434.4.2 Freie gedämpfte Schwingung...................................................................................................444.4.3 Schwingfall.................................................................................................................................444.4.4 Aperiodischer Grenzfall.............................................................................................................454.4.5 Kriechfall.....................................................................................................................................454.4.6 Erzwungene Schwingung.........................................................................................................464.4.7 Resonanz....................................................................................................................................464.4.8 Überlagerung..............................................................................................................................47

5 Fluiddynamik..........................................................................................485.1 Ruhendes Fluid....................................................................................................48

5.1.1 Formelzeichen............................................................................................................................485.1.2 Kolbendruck...............................................................................................................................485.1.3 Druckarbeit.................................................................................................................................495.1.4 Schweredruck.............................................................................................................................495.1.5 Volumen-Druck-Gesetz.............................................................................................................495.1.6 Auftrieb........................................................................................................................................49

5.2 Molekularkräfte.....................................................................................................505.2.1 Formelzeichen............................................................................................................................505.2.2 Oberflächenspannung...............................................................................................................505.2.3 Kapillarität...................................................................................................................................51

5.3 Bewegtes Fluid.....................................................................................................525.3.1 Formelzeichen............................................................................................................................525.3.2 Massenstrom und Massenstromdichte...................................................................................535.3.3 Laminare Strömung, innere Reibung.......................................................................................545.3.4 Laminare Strömung zwischen 2 Platten..................................................................................545.3.5 Laminare Strömung im Rohr....................................................................................................55

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5.3.6 Laminare Umströmung einer Kugel.........................................................................................555.3.7 Drehung in der Strömung.........................................................................................................555.3.8 Druck im bewegten Fluid..........................................................................................................565.3.9 Torricellisches Ausflussgesetz................................................................................................56

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1 Kinematik

1.1 Translation

1.1.1 Formelzeichen

s m Weg, zurückgelegter

v m/s Geschwindigkeit

a m/s2Beschleunigung

t s Zeit

s0 m Anfangsweg

v0 m/s Anfangsgeschwindigkeit

a0 m/s2Anfangsbeschleunigung

e Einheitsvektor

1.1.2 Gleichförmige Bewegung

Bedingung: a=0 ; v≠0= const.

v=∫ a dt= v 0= const. v= dsdt

s=∫ v dt= v 0⋅ t s0

1.1.3 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Bedingung: a= a00= const.

v=∫ a0 dt=a0⋅ t v 0

s=∫ v dt=∫ a0⋅ t v0 dt=a0

2⋅t2 v0⋅t s0

1.1.4 Ungleichmäßig beschleunigte Bewegung

Bedingung: a= a t≠ const.

v=∫ a tdt=a t⋅ t v 0

Seite 6

s=∫ v dt=∫a⋅ t v 0 dt=a t

2⋅ t2 v 0⋅ t s0

1.1.5 Translation allgemein

s=∫t1

t 2

v tdt

v=∫t1

t 2

a tdt v= dsdt

= s' t

a= dvdt

= v ' t a= d 2 sdt2

= s' ' t

Beschleunigung v 0=0

s= a2⋅t2 s=

v⋅ t2

v=a⋅ t v= 2⋅a⋅s

Beschleunigung v 0≠0

s= a2⋅t2 v0⋅ t s=

v v0

2⋅ t v=a⋅ t v 0 v= 2⋅a⋅s v0

2

Durchschnittsgeschwindigkeit: v=

s t

Durchschnittsbeschleunigung:a=

v t

1.1.6 2D-Translation

getrennt berechnen:

s t= x ty t

= xy

x t= vx t⋅ t x 0

y t= v y t⋅ t y0

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X

Y

Vy

Vx

1.1.7 3D-Translation

s t= x t⋅

ex y t⋅

ey z t⋅

ez

v t=vx t⋅

ex v y t⋅

ey v z t⋅

ez

a t=ax t⋅

exay t⋅

eyaz t⋅

ez

1.2 Rotation

1.2.1 Formelzeichen

r m Radius

φ rad Winkel in Bogenmaß

ω s-1Winkelgeschwindigkeit

α s-2Winkelbeschleunigung

T s Dauer eines Umlaufes

f s-1, Hz Umlauffrequenz, Drehfrequenz

v m/s Bahngeschwindigkeit

n s-1Drehzahl

1.2.2 Gleichförmige Rotation

Bedingung: = const.

=⋅ t0

=2⋅

T=2⋅⋅ f n= 1

T

Seite 8

r

V

Sn

o α

1.2.3 Gleichmäßig beschleunigte Rotation

Bedingung: = const.

=2⋅ t20⋅ t0

1.2.4 Rotation allgemein

=∫t 1

t 2

t dt

=∫t 1

t 2

t dt =ddt

= t'

=d dt

= t' =d2

dt2= t' '

1.3 Zusammenhang Translation-Rotation

1.3.1 Formelzeichen

r m Radius

φ rad Winkel in Bogenmaß



s m Länge des vom Winkel eingeschlossenen Kreisbogens

v m/s Bahngeschwindigkeit

vE m/s Eigengeschwindigkeit auf dem Rotationskörper


aZP m/s2Zentripetalbeschleunigung

aZF m/s2Zentrifugalbeschleunigung

aR m/s2Radialbeschleunigung

aT m/s2Tangentialbeschleunigung

aC m/s2Coriolisbeschleunigung

Seite 9

1.3.2 Übersicht

s=⋅r s=⋅

e×

r

v=⋅r v=×

r

a=⋅r a=×

r

1.3.3 Zentripetalbeschleunigung, Radialbeschleunigung

Nach innen gerichtete Beschleunigung: aZP=aR=−2⋅r

aZP=

×

v

aZP=

− v2

r

gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung aZP= r⋅[00⋅ t− t0]2

1.3.4 Zentrifugalbeschleunigung

aZF =−aZP

1.3.5 Tangentialbeschleunigung

Gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung: aT =0⋅r

Gleichförmige Kreisbewegung aT =0

Seite 10

aZP

aR

aZF

aC

v aT

vE r Coriolis-

beschleunigung

Zentripetal- und Tangential- beschleunigung

1.3.6 Coriolisbeschleunigung

aC=−2⋅×

vE

aC=−2⋅⋅v E

Seite 11

2 Dynamik

2.1 Newtonsche Axiome

2.1.1 Formelzeichen

F N Kraft


m kg Masse


t s Zeit

2.1.2 Trägheitsprinzip

Bedingung: solange keine Kraft wirkt ∑i=1

n

F i=0

v=0 v= const.

2.1.3 Aktionsprinzip

Die Kraft F auf eine Masse bewirkt deren Beschleunigung a.

Bedingung: m= const.

F=m⋅a

Bedingung: m=m t≠ const.

F= ddt

m⋅v F= ddt

m⋅v ddt

m⋅v

F=úúúúm⋅vm⋅a

2.1.4 Reaktionsprinzip

actio = reactio ∣F1∣=∣−

F2∣

Seite 12

2.2 Dynamik der Translation

2.2.1 Formelzeichen

F N Kraft


m kg Masse


p Ns Impuls

I Ns Kraftstoß

2.2.2 Kraft

F=m⋅a a= Fm= dv

dtdv= F

mdt

∫t 1

t 2 F dt=∫

t1

t 2

m⋅a dt ∫

t1

t 2 F dt=∫

t 1

t 2

m⋅ dv

dtdt

∫t1

t 2 F dt=m⋅∫

v1

v2

dv=m⋅

v 2−

v1

2.2.3 Impuls

p=m⋅v

p=∫ d

p=m⋅v dp=m⋅dv

2.2.4 Kraftstoß

Kraftstoß bewirkt Impuls: I=F⋅ t=m⋅v= p

Kraft ist die zeitliche Impulsänderung: F=m⋅dv

dt= dp

dt

Seite 13

2.2.5 Impulserhaltungssatz

p1

p2

p3=

pges=∑

i=1

n pi= const.

m1⋅v1∫

t1

t 2 F dt=m2⋅

v 2 m1⋅

v1=m2⋅

v2

2.3 Kraft

2.3.1 Formelzeichen

F N, kg m/s2Kraft

FG N Gewichtskraft

FH N Hangabtriebskraft

FN N Normalkraft, senkrecht zur Ebene

FR N Reibungskraft

µGR Gleitreibungszahl

µHR Haftreibungszahl

µRR Rollreibungszahl


m kg Masse

g m/s2Erdbeschleunigung


r m Radius

M Nm Drehmoment

Seite 14

2.3.2 Zusammengesetzte Kräfte

=∢F1 ,

F 2

F= F12F 2

22⋅F1⋅F 2⋅cos

Bedingung: F1=F 2

F1=F 2=F

2⋅1cos

2.3.3 Geneigte Ebene

sin =FH

FG

cos=F N

FG

tan =FH

F N

2.3.4 Festkörperreibung

Gleitreibung (Bewegung) Bedingung: F H F R

FR=GR⋅F N F R=GR⋅FG⋅cos

Seite 15

γ

F

F1

F2

γ

FN

FH

FG

γ

γ

FN

FH

FG

FR

Haftreibung (Ruhelage) Bedingung: F H ≤F R

FR=HR⋅F N

Rollreibung (Drehbewegung)

F R=RR⋅F N

2⋅r

2.3.5 Kraftarten

Gewichtskraft FG=m⋅g

Normalkraft F N =FG⋅cos

Reibungskraft F R=GR⋅F N

Hangabtriebskraft F H =FG⋅sin

Zentripetalkraft

FZP=−m⋅2⋅r

Corioliskraft

FC=−2⋅m⋅×

v

Tangentialkraft

FT =M ×

r

Seite 16

2.4 Dynamik der Rotation

2.4.1 Formelzeichen

M Nm Drehmoment

J kg m2Massenträgheitsmoment

JS kg m2Massenträgheitsmoment bzg. Drehachse durch Scheibenmittelpunkt

JA kg m2Massenträgheitsmoment bzgl. Drehachse um A

m kg Masse

ρ kg/m3Dichte

V m3Volumen

r m Radius

F N Kraft

L kg m2 /s Drehimpuls

p kg m/s Impßuls

ID kg m2 /s Drehkraftstoß




t s Zeit

Seite 17

2.4.2 Drehung um Schwerpunktachse

J =∫0

V ges

r2 dV

J =∫0

mges

r2 dm J =∑i=1

n

ri2⋅mi J = r2⋅m

speziell: J S = r2⋅m

2.4.3 Drehung um Achse parallel zur Schwerpunktachse

Satz von Steiner:

J A= J S m⋅s2

J =∫∫v

∫ r2 x , y , z dx dy dz

2.4.4 Drehmoment

M = J⋅

M =∫ r2 dm⋅

M =r×

F

M =∣F∣⋅∣

r ∣⋅sin∢

r ,F =∣

F tan∣⋅∣

r ∣

Seite 18

s r

m

s

A

S

r

F

Angriffspunktder Kraft

Drehpunkt

2.4.5 Drehimpuls

L= J⋅

L=r×

p L=m⋅

r×

v

L=m⋅r×

×

r L=m⋅

r2⋅

−

r⋅

⋅

r

M = dLdt M =

d r×

p

dtM =

dr

dt×m⋅

v

r× d

p

dt

2.4.6 Drehkraftstoß

Drehkraftstoß bewirkt Drehimpulsänderung: I D=L

I D=∫M dt I D=∫t 1

t 2

M dt=∫t 1

t 2

J⋅ dt

I D=∫t 1

t 2

J⋅d dt

dt I D= J⋅2−1= J⋅

2.4.7 Drehimpulserhaltungssatz

L1∫

t 1

t 2 M dt=

L2

L=L1L2Ln = const.

Seite 19

2.5 Spezielle Massenträgheitsmomente

2.5.1 Formelzeichen

J kg m2Massenträgheitsmoment

JS kg m2Massenträgheitsmoment bzg. Drehachse durch Scheibenmittelpunkt

m kg Masse

r m Radius

h m Höhe, Länge

2.5.2 Kreisring, dünn

x : J S = r2

y : J S =m2⋅r2

2.5.3 Kreisscheibe, dünn

x : J S =m2⋅r2

y : J S =m4⋅r2

Seite 20

y x

y x

2.5.4 Kugel

Vollkugel: J S =25⋅m⋅r2

Hohlkugel: J S =25⋅m⋅

ra5 − rr

5

ra3 − rr

3

Hohlkugel, dünnwandig: J S =23⋅m⋅r2

2.5.5 Zylinder

x : J S =m2⋅r2

y : J S =m12

⋅3⋅r2h2

2.5.6 Hohlzylinder

x : J S =m2⋅ri

2 ra2

y : J S =m4⋅ri

2 ra2 h2

3

dünnwandig: ri≈ ra

x : J S =m⋅r2 y : J S =m4⋅2⋅r2

h2

3

Seite 21

y

x r

y

x

ra

ri

2.5.7 Stab, lang und dünn

J S =m12

⋅l2

2.5.8 Quader

x : J S =m12

⋅b2 c2

y : J S =m12

⋅a2 c2

z : J S =m12

⋅a2b2

2.5.9 Kegel

x : J S =3

10⋅m⋅r2

x : J S =3

20⋅m⋅r2

h2

4

Seite 22

y

x

z

a

b c

y

x

h r

2.6 Schwerpunktberechnung

2.6.1 Formelzeichen

rSP m Schwerpunktvektor

m kg Masse

V m3Volumen

ρ kg/m3Dichte

d m Richtungsvektor

2.6.2 Schwerpunkt eines kontinuierlichen Körpers

rSP=

∫0

m d dm

∫0

m

dm

= xSP

ySP

zSP xSP=

∫0

m

x dm

∫0

m

dm

ySP=zSP=

Für homogene Körper gilt: dm=dV ⋅

2.6.3 Schwerpunkt für n Punktmassen

rSP=

∑i=1

n

mi⋅di

∑i=1

n

mi

= xSP

ySP

zSP xSP=

∑i=1

n

mi⋅x i

∑i=1

n

mi

ySP=zSP=

Seite 23

3 Arbeit und Energie

3.1 Arbeit

3.1.1 Formelzeichen

W J, kg m2/s2Arbeit

F N Kraft

FG N Gewichtskraft

FB N Beschleunigungskraft

FN N Normalraft

FR N Reibungskraft

FA N Äußere Kraft

s m Weg

h m Höhe

γ rad, ° Winkel

m kg Masse


g m/s2Erdbeschleunigung


k N /m Federkonstante

φ rad, ° Drehwinkel



r m Abstand zum Massenmittelpunkt

f N m2/ kg2Gravitationskonstante

3.1.2 Allgemein

W =F⋅s⋅cos

speziell: W =F⋅s

W =∫S 1

S 2

F⋅cos ds W =∫S 1

S 2 F s d

s

Seite 24

s γ

F

3.1.3 Hubarbeit

W HUB=−∫ FG ds

W HUB=FG⋅ s⋅cos

W HUB=−m⋅g⋅ s⋅cos

Bedingung: =180°

W HUB=m⋅g⋅h

3.1.4 Beschleunigungsarbeit

W B=m⋅a⋅s W B=m2⋅v2 W B=

m2⋅v2− v0

2

W B=−∫

FB ds W B=

FB⋅s

W B=∫m⋅a ds W B=∫ m⋅ dv

dtds W B=m⋅∫ d

s

dtdv

W B=m⋅∫v d

v

3.1.5 Reibungsarbeit

W R=FR⋅s

W R=⋅F N ⋅s

W R=⋅FG⋅s⋅cos

W R=∫

FR ds

Bedingung: =0° W R=⋅m⋅g⋅s

Seite 25

FG, g h, s

FR

FN γ

FG

F

3.1.6 Federspannarbeit

W F =12⋅k⋅s2

W F =∫F⋅ ds W F = ∫

S MIN

S MA X

k⋅s ds

Rotation, Torsion W F =12⋅k⋅2 W F =

12⋅k⋅2

2−12

3.1.7 Rotationsarbeit

W ROT =∫0

1

M d

W ROT =∫ J⋅ ds W ROT =∫ J⋅d dt

ds W ROT = J⋅∫ dsdt

d

W ROT = J⋅∫ d W ROT =12⋅J⋅2 W ROT =

12⋅J⋅1

2−02

3.1.8 Gravitationsarbeit

Arbeit, die verrichtet wird, um die kleinere Masse m1 von A

nach B zu heben (Hubarbeit).

W AB=∫r1

r 2

F A dr

W AB=−∫r1

r 2

FG dr

W AB=∫r1

r 2

f ⋅m1⋅m2⋅1r2

dr W AB= f ⋅m1⋅m2⋅1r1

− 1r2

Gravitationskonstante: f =6,673⋅10−11 N ⋅m2

kg2

Seite 26

FA

FG

m 1

m 2

B

A

3.2 Energie

3.2.1 Formelzeichen

E J Energie

EV J Verlustenergie

h m Höhe

s m Weg

v m /s Geschwindigkeit

m kg Masse


J Kg m2Massenträgheitsmoment


3.2.2 Potentielle Energie

E POT =m⋅∫h 1

h 2

g dh

Bedingung: g= const.

EPOT =m⋅g⋅h

3.2.3 Kinetische Energie

EKIN =m2⋅v 2 EKIN =

m2⋅v1

2− v 02

3.2.4 Spannungsenergie

Potentielle Energie EP=12⋅k⋅s2

Seite 27

g(h)

h h1 h

2

EPOT

3.2.5 Rotationsenergie

EROT =12⋅J⋅2

Rollendes Rad: E KIN =E ROT ETRANS ETRANS =m2⋅v2

3.2.6 Energieerhaltungssatz

E=∑i=1

n

Ei= const.

Bedingung: konservative Kräfte (verlustlos)

∑ E POT ∑ EKIN = const.

Bedingung: dissipative Kräfte (verlustbehaftet durch Reibung)

∑ EPOT ∣ vor∑ EKIN ∣ vor=∑ E POT ∣ nach ∑ E KIN ∣ nachEV

3.2.7 Mechanische Stöße

Elastischer Stoß

E KIN 1E KIN 2=E KIN 1 nach E KIN 2 nachm1

2⋅v1

2m2

2⋅v 2

2=m1

2⋅v ' 1

2m2

2⋅v ' 2

2

Unelastischer Stoß

E KIN 1E KIN 2=E KIN nach EV

m1

2⋅v1

2m2

2⋅v2

2=m1m2

2⋅v2EV

EV =E1−E 2 EV =m1⋅m2

2⋅m1m2⋅v1− v 2

2

Seite 28

3.3 Leistung

3.3.1 Formelzeichen

P W Leistung

η Wirkungsgrad

W J Arbeit

E J Energie

F N Kraft


s m Weg

t s Zeit

3.3.2 Leistung

P= dWdt P=

F⋅d

s

dtP=

F⋅

v

mittlere Leistung: Pm=W ges

tges

3.3.3 Wirkungsgrad

=W ab

W zu

=E ab

E zu

=P ab

P zu

=

∫0

t ZU

Pab dt

∫0

t ZU

P zu dt

=∏i=1

n

i=1⋅2⋅3⋅

Seite 29

3.4 Gravitation

3.4.1 Formelzeichen

A m2überstrichene Fläche

t s Zeit

T s Umlaufzeit

a m Halbachse des Planeten

FG N Gewichtskraft

m kg Masse

mE kg Masse der Erde

f m3 /kg s2Gravitationskonstante

r m Radius, Entfernung zwischen den Punktmassen

e Richtungsvektor

g m /s2Gravitationsbeschleunigung

Φ m2 /s2Gravitationspotential

W J Arbeit bei der Bewegung im Schwerefeld

E J Energie

3.4.2 Keplersche Gesetze

2. Keplersches Gesetz

A t

= const.

3. Keplersches Gesetz

T 12

T 22=

a13

a23

Seite 30

M

Planet

∆A ∆A ∆t∆t

Perihel Aphel

a a

3.4.3 Newtonsches Gravitationsgesetz

FG=− f ⋅

m1⋅m2

r2⋅er

f =6,673⋅10−11 m3

kg⋅s2

Bedingung: r≥ rE

g=− f ⋅mE

r2⋅er

3.4.4 Hubarbeit und potentielle Energie

W =− f ⋅mE⋅mK ⋅1r2

− 1r1

W M =− f ⋅mE

r⋅m

W =⋅m =− f ⋅mE

r

W =m⋅2−1

=−∫∞

r g r⋅d

r ∇=−

E ∇ W =−FG

Seite 31

m1m2

r

4 Mechanik und Schwingung

4.1 Mechanik deformierbarer Körper

4.1.1 Formelzeichen

σ N /m2Spannung, Normalspannung

ε Dehnung

εq Querdehnung

E N /m2Elastizitätsmodul (Materialwert)

FZUG N Zugkraft, Normalkraft

FT N Schubkraft (tangential)

A m2Fläche

V m3Volumen

l m Anfangslänge, Länge des Körpers

l' m Endlänge

d m Anfangsdicke

d' m Enddicke

µ Poissonzahl

ν Querdehnungszahl

K N /m2Kompressionsmodul

κ 1/Pa Kompressibilität

∆p N / m2Druckänderung

G N /m2Schubmodul, Torsionsmodul

τ N /m2Schubspannung

γ rad Schiebung, Scherung, Schubwinkel

φ rad Drillwinkel, Torsionswinkel

r m Radius

M Nm Drehmoment

MT Nm Drehmoment bei Torsion

D Nm /rad Richtmoment (Winkelrichtgröße), Federkonstante für Torsion

IPOL rad / m4Polares Flächenträgheitsmoment

Seite 32

4.1.2 Dehnung

l=∣l− l ' ∣

= ll

=FZUG

A

=dFZUG

dA

Hookesches Gesetz:

Bedingung: nur für elastischen Bereich =E⋅

E , t=dd

E=⋅l l E=

FZUG

A⋅ l l

4.1.3 Querdehnung

Längenänderung und Änderung der Dicke

d= d− d '

=−

dd ll

=1

q=−1

⋅ q=−⋅ q=dd

q=−⋅E

relative Volumenänderung:VV

= ⋅1−2⋅VV

= ll

2⋅dd

Seite 33

FZUG

l' l

∆l

d FZUG

d A

FZUG

l' l

∆l d' d

4.1.4 Allseitige Kompression

VV

=K

VV

=− pK

dV =− 1K⋅V ⋅dp

K = 1

K = E3⋅1−2⋅

VV

=3⋅⋅1−2⋅

= 1

=E

=− p

4.1.5 Scherung

=G⋅

=FT

A

=G⋅a

d

G , t=d d

G= E2⋅1

4.1.6 Torsion

=2⋅l⋅M⋅G⋅r4

D=⋅G⋅r4

2⋅ l

Seite 34

FY

FY

FZ

FX

FZ , p σ

FT

γ

- FT

Aa

b

Fφ

M

l r

M =D⋅ M =D⋅⋅

e

¨ D

J⋅=0 T =2⋅⋅ D

J

=M T ⋅ l

G⋅I POL

Zylinder:

=M T

0,196⋅d3=

l⋅M T

0,089⋅G⋅d4

4.2 Mechanische Schwingung

4.2.1 Formelzeichen

FI N Innere Kräfte

FRÜCK N Rücktreibende Kraft

FG N Gewichtskraft

m kg Masse

a m /s2Beschleunigung


x m Auslenkung, Elongation

sh m Horizontale Auslenkung

φ rad, ° Auslenkungswinkel

ω0 s-1Eigenkreisfrequenz

f Hz Eigenfrequenz

T s Periodendauer

l m Fadenlänge

g m /s2Fallbeschleunigung

MRÜCK Nm Rücktreibendes Drehmoment

JA kg m2Massenträgheitsmoment bezogen auf Drehpunkt

JS kg m2Massenträgheitsmoment bezogen auf Schwerpunkt

r m Abstand zwischen Drehpunkt und Schwerpunkt


D Nm /rad Richtmoment, Winkelrichtgröße, Federkonstante für Torsion

Seite 35

4.2.2 Federschwinger

1-D geradlinige, freie, ungedämpfte Schwingung

Bedingung: ∑ äußere Kräfte=∑ F A=0

∑ F I =m⋅a

F RÜCK =−k⋅x

FRÜCK =m⋅a

m⋅a k⋅x=0 m⋅¨x k⋅x=0

Differentialgleichung:¨x k

m⋅x=0

0=km

¨x0

2⋅x=0

T =2⋅⋅ mk

f = 12⋅

⋅ km

Phasenverschobene Schwingung

x t=x⋅sin 0⋅t0

Seite 36

FRÜCK

m

x(t) x

φ0

T

t

φ

ω0 t x x

4.2.3 Mathematisches Pendel

Horizontale Auslenkung

sh = l⋅sin

F RÜCK=FG⋅sin

Differentialgleichung:¨ g

l⋅sin=0

Bedingung: sin≈0 5°

Vereinfachung:¨

gl⋅=0

t=⋅cos 0⋅t t=

⋅cos 0⋅t0

0=km

T =2⋅⋅ mk

k =FRÜCK

sh

k =m⋅g

l

Schwingfrequenz und Schwingungsdauer sind massunabhängig

0=gl

T =2⋅⋅ lg

Seite 37

FG

m h

FRÜCK

s h

φ l

4.2.4 Physisches Pendel

M RÜCK =r×

FG

M RÜCK = r⋅m⋅g⋅sin

∑M = J⋅

r⋅m⋅g⋅sin J A⋅=0

Steinerscher Satz: J A= J S m⋅r2

Differentialgleichung:¨

m⋅g⋅rJ A

⋅sin=0

Bedingung: sin≈0 5°

Vereinfachung:¨

m⋅g⋅rJ A

⋅=0

t=⋅cos 0⋅t t=

⋅cos 0⋅t0

0=m⋅g⋅r

J A

0=gr

T =2⋅⋅J A

m⋅g⋅r=

r⋅m⋅gJ A

⋅

Massenträgheitsmoment J S =m⋅r⋅g⋅T 0

2

4⋅2− r

Seite 38

FGS

s h

φ r

A

4.2.5 Torsionspendel

M RÜCK =r×

FRÜCK

M RÜCK = J⋅

M RÜCK =−D⋅

∑M = J⋅ =¨

J=−D⋅

J =T 0

2

4⋅2⋅D

Differentialgleichung:¨ D

J⋅sin=0

0=DJ

T =2⋅⋅ JD

Seite 39

MRÜCK

φ

4.3 Elektromagnetische Schwingung

4.3.1 Formelzeichen

UC V Spannung am Kondensator

UL V Spannung an der Induktivität

I A Strom

L H, Vs /A Induktivität

C F, As /V Kapazität

Q As Ladung

q As Momentanladung

u V Momentanspannung

i A Momentanstrom

φ rad, ° Phasenwinkel


f Hz Eigenfrequenz

T s Periodendauer

R Ω Ohmscher Widerstand

δ s-1Abklingkoeffizient

ω s-1Eigenkreisfrequenz der gedämpften Schwingung

Q Güte

D Dämpfungsgrad

4.3.2 Ungedämpfte elektromagnetische Schwingung

U C=QC

U L=−L⋅ dIdt

−QC−L⋅ dI

dt=0

Differentialgleichung:¨q q

L⋅C=0

Seite 40

+-

CU, Q

L

q t=q⋅sin 0⋅ t0 q t=

q⋅sin

u t=u⋅sin 0⋅ t0 u t=

u⋅sin

i t=i⋅sin 0⋅t0−

2 i t=

i⋅sin −

2

T =2⋅⋅ L⋅C

I= dQdt L⋅ d

dt dQ

dt=L⋅

¨Q

4.3.3 Gedämpfte elektromagnetische Schwingung

Differentialgleichung:

¨q R

L⋅úq 1

L⋅C⋅q=0

q t=q⋅e−⋅ t⋅sin 0⋅ t0

= R2⋅L

= 02−2 =

1L⋅C

−R

2⋅L

2

Q= 1R⋅ L

CQ= 1

2⋅D

D= R2⋅ C

LD=

0

4.3.4 Zusammenhang mechanische – elektromagnetische Schwingung

Mech: Auslenkung, Elongation xEl: Ladung des Kondensators q

Seite 41

+-

CU, Q

LR

Mech: Geschwindigkeit v=úx

El: Stromstärke i=úq

Mech: Masse mEl: Induktivität L

Mech: Federkonstante kEl: 1/ Kapazität 1/C

Mech: Dämpfungskonstante bEl: Widerstand R

Potentielle Energie

Mech: EPOT =k2⋅x2

EPOT =k⋅

x2

2⋅sin2

El: EEL=q2

2⋅C

Kinetische Energie

Mech: EKIN =m2⋅v2

E KIN =m⋅

v2

2⋅cos2

El: E MAG=L⋅i2

2

Ungedämpfte Schwingung

Mech: x=x⋅sin 0⋅t0 0=

km

El: q=q⋅sin 0⋅t0 0=

1L⋅C

Gedämpfte Schwingung

Mech: x=x⋅e−⋅ t⋅sin ⋅t0 = 0

2−2 = b2⋅m

El: q=q⋅e−⋅ t⋅sin ⋅t0 = 0

2−2 = R2⋅L

Seite 42

4.4 Schwingungsarten

4.4.1 Formelzeichen

FRÜCK N Rücktreibende Kraft

FR N Reibungskraft, Dämpfungskraft

FERR N Erregerkraft

m kg Masse




x m Auslenkung, Elongation

φ rad, ° Auslenkungswinkel


ωd s-1Eigenkreisfrequenz der gedämpften Schwingung

ωE s-1Erregerkreisfrequenz, Kreisfrequenz in eingeschwungenem Zustand

Td s Schwingungsdauer der gedämpften Schwingung

µ Reibungszahl

b kg /s Dämpfungskonstante

δ s-1Abklingkoeffizient

D Dämpfungsgrad

d Verlustfaktor

Q Güte, Resonanzüberhöhung

Λ Logarithmisches Dekrement

α rad, ° Phasenverzögerung des Resonators gegenüber dem Erreger

xRES m Resonanzamplitude

xR m Resultierende Schwingung

xSTAT m Statische Auslenkung bei konstanter Kraft

fS Hz Schwebungsfrequenz

Seite 43

4.4.2 Freie gedämpfte Schwingung

FRÜCK =m⋅a F RÜCK =−k ⋅x−F R

Geschwindigkeitsunabhängige Reibung

FR=⋅F N

Differentialgleichung: m⋅¨x⋅F N k⋅x=0

x=x x0⋅cos0⋅t0− x0

Geschwindigkeitsabhängige Reibung, viskose Reibung

FR=b⋅v

Differentialgleichung: m⋅¨x b⋅

úx k⋅x=0

¨x2⋅⋅

úx0

2⋅x=0

¨x2⋅D⋅0⋅

úx0

2⋅x=0

0=km

= b2⋅m

D=0

Q= 1d

d=2⋅D d= bm⋅0

d= bm⋅k

4.4.3 Schwingfall

Schwache Dämpfung

Bedingung: 0 D1

Seite 44

TD

t

xi

x x

i+1

x t=x0⋅e−⋅ t⋅cos d⋅t0

d =km− b2

4⋅m2d = 0

2−2 d =0⋅ 1−D2

xi

xi1

=e⋅T d = lnxi

xi1

=⋅T d

4.4.4 Aperiodischer Grenzfall

Mittlere Dämpfung

Bedingung: =0 D=1

x t= x0

x1⋅ t⋅e−⋅ t x t=

x0⋅1⋅t⋅e−⋅ t

b=2⋅ m⋅k

4.4.5 Kriechfall

Starke Dämpfung

Bedingung: 0 D1

x t=x0⋅e−⋅ t⋅cosh d '⋅t

Eigenkreisfrequenz wird imaginär: d '= j 2−2

b2⋅ m⋅k

Seite 45

t

x

t

x

4.4.6 Erzwungene Schwingung

Bedingung: ∑ äußere Kräfte=0

FERRFRÜCK FR=m⋅¨x

FERR=

F ERR⋅cos E⋅ t F RÜCK =−k⋅x

FR=−b⋅úx FR=−b⋅v

Differentialgleichung: m⋅¨xb⋅

úx k⋅x=FERR t

¨x=2⋅⋅

úx0

2⋅x ¨x=

FE

m⋅cosE⋅ t

x t=x⋅cos E⋅t−

x=

FE

m2⋅02−E

2 2b2⋅E2

=arctanE⋅b

m⋅02−E

2 =arctan

2⋅E⋅

02−E

2

x t=x⋅E⋅sin E⋅t0⋅E

x=

FE

m⋅02− k 2b2⋅E

2

E =arctanb⋅E

m⋅E2 − k

4.4.7 Resonanz

RES = 02− b2

2⋅m2RES = 0

2−2⋅2

xRES =

FERR

b⋅ 02−2

xRES =

FERR

b⋅d2

xRES =

FERR

2⋅⋅m⋅d

Seite 46

úQ=

⋅02

⋅d2

Q≈

x

xSTAT

=0

2

02−E

2 22⋅⋅E 2

4.4.8 Überlagerung

Gleiche Richtung und gleiche Frequenz

xR=

x1

2x 2

22⋅x1⋅

x2⋅cos 01−02

0R=arctanx1⋅sin01

x2⋅sin02

x1⋅cos01

x2⋅cos02

Bedingung:x1=

x2

xR=2⋅

x1⋅cos

01−02

2

Bedingung: = Auslöschung, Subtraktion der Auslenkungen

Gleiche Richtung, ungleiche Frequenz

Schwebung, geringe Frequenzunterschiede

xR t=2⋅x⋅cos

1−2

2⋅ t⋅sin

12

2⋅ t

Schwebungsfrequenz f S = f 1− f 2

Seite 47

t

x xR

x1

x2

5 Fluiddynamik

5.1 Ruhendes Fluid

5.1.1 Formelzeichen

p Pa Druck

pS Pa Schweredruck

pH Pa Luftdruck in der Höhe h

p0 Pa Luftdruck an Erdoberfläche

F N Kraft, die auf die Fläche wirkt

FA N Auftriebskraft

FG N Gewichtskraft

FHUB N Hubkraft

A m2Fläche

V m3 Volumen

∆V m3 Volumenabnahme bei Drucksteigerung

WP J Druckarbeit

s m Weg

h m Höhe

ρ kg /m3Dichte

ρF kg /m3Dichte des Fluids

ρK kg /m3Dichte des Körpers im Fluid


5.1.2 Kolbendruck

p= FA

p=F1

A1

=F 2

A2

p= dFdA

Seite 48

F2 F

1

A1

A2

5.1.3 Druckarbeit

W P=−∫F s d

s W P=−∫

V 1

V 2 p dV W P=−

p dV

5.1.4 Schweredruck

pS =⋅g⋅h

pS =⋅g⋅V

A

Schweredruck von Gasen, bariometrische Höhenformel

pH = p0⋅e−

0⋅ g ⋅ fp 0

5.1.5 Volumen-Druck-Gesetz

p1⋅V 1= p2⋅V 2 p⋅V = const.

=− 1V⋅ dV

dpV =−⋅ p⋅V

GAS =1p

5.1.6 Auftrieb

F A=F⋅V K ⋅g

F A=mF⋅g=FGF

F A=F

K

⋅FGK

Seite 49

p ~ h

p

h

p 1

h p 2

FHUB

FA

FG

p= p2− p1 p⋅A= A⋅⋅g⋅h

FHUB=F A−FG F HUB=F⋅g⋅V −K ⋅g⋅V

5.2 Molekularkräfte

5.2.1 Formelzeichen

σ N /m Oberflächenspannung der Flüssigkeit

W J Arbeit

A m2Fläche

s m Weg

l m Länge, Durchmesser

F N Kraft, senkrecht zur Oberfläche

FA N Adhäsionskraft (Kraft zwischen verschiedenen Stoffen)

FK N Kohäsionskraft (Zusammenhangskraft)

p Pa Druck

r m Radius des Röhrchens

rK m Radius der kugelförmigen Flüssigkeitsoberfläche

α rad, ° Randwinkel

ρ kg / m3Dichte


5.2.2 Oberflächenspannung

= WA

= dWdA

=F⋅ s

2⋅ l⋅ s= F

2⋅l

Seite 50

∆s

F

l

Oberflächendruck einer Flüssigkeitskugel p=2⋅

r

5.2.3 Kapillarität

Benetzende Flüssigkeit

90°

F AFK

Kapillaraszension

Nicht benetzende Flüssigkeit

90°

F AFK

Kapillardepression

GF⋅cos=GW − FW

h=2⋅⋅cos⋅g⋅r

Seite 51

α F

A

FKF

Gasförmig G

Flüssig FFest W

h

α F

A

FKF

Gasförmig G

Flüssig F

Fest W

h

Kapillarer Unterdruck

p=2⋅rK

cos= rrK

5.3 Bewegtes Fluid

5.3.1 Formelzeichen

j kg /m2 s Massenstromdichte

IM kg /s Massenstrom

ρ kg / m3Dichte

v m /s Fließgeschwindigkeit

vM m /s Mittlere Fließgeschwindigkeit

t s Zeit

A m2Querschnittsfläche

s m Weg

m kg Masse

V m3Volumen

FZ N Zugkraft

FR N Reibungskraft

FA N Auftriebskraft

FG N Gewichtskraft

FN N Normalkraft, senkrecht zur Oberfläche

η Pa s Dynamische Viskosität

υ m2 /s Kinematische Viskosität

h m Abstand, Höhe

φ Pa-1 s-1Fluidität

Re Reynoldszahl

L m Charakteristische Länge für den jeweiligen Körper

τ N /m2Schubspannung

γ rad Schergeschwindigkeitsgefälle

R m Innenradius des Rohres

r m Radius des bewegten Zylinders

Seite 52

r K

r

α

α

a m Halber Plattenabstand


b m Breite

l m Länge

x m Abstand zur Platte

VK m3Volumen der Kugel


ωZ s-1Drehung in z-Richtung

p Pa Druck

pges Pa Druck gesamt

pSTAT Pa Statischer Druck, Luftdruck

pDYN Pa Dynamischer Druck, Staudruck

pGEOD Pa Geotätischer Höhendruck, Schweredruck

5.3.2 Massenstrom und Massenstromdichte

j=⋅v

j=⋅dA⋅ds

dA⋅dtj= dQ

dA⋅dt

dQ=⋅dA⋅ds

I M = dmdt I M =

úm

I M =⋅v⋅A I M =∮0

⋅v dA I M =∫∫A

j dA

úV =

úm= A⋅v= const.

Seite 53

5.3.3 Laminare Strömung, innere Reibung

F Z =⋅A⋅ dv

dh

F R=−⋅A⋅ dv

dh

=1

R e=⋅L⋅v

R e=

L⋅v

=

=

FR

A

=−⋅ú

5.3.4 Laminare Strömung zwischen 2 Platten

v x=p1− p2

2⋅⋅l⋅a2− x2

FR=6⋅⋅ l⋅b⋅v M

a

v M =dV /dt2⋅a⋅b

VolumenstromdVdt

=2⋅b⋅ p1− p2⋅a3

3⋅⋅ l

Massenstrom I M =2⋅b⋅ p1− p2⋅a3

3⋅⋅l⋅

Seite 54

h FR

dh dv

v = 0

FZ

v

FR τ

γ

x v

MAX

b

2a

l

p1 p

2 v = 0

5.3.5 Laminare Strömung im Rohr

v r=p1− p2

4⋅⋅ l⋅R2− r2

FR=8⋅⋅⋅ l⋅v M

v M =dV /dt⋅R2

dVdt

=⋅R4⋅ p1− p2

8⋅⋅ lI M =

⋅R4⋅ p1− p2

8⋅⋅ l⋅

laminarer Druckverlust p=8⋅⋅l⋅R2

⋅v

kritische Reynoldszahl R eKRIT =2320 (darüber turbulente Viskosität im Rohr)

5.3.6 Laminare Umströmung einer Kugel

Stokesches Gesetz

FR=6⋅⋅⋅R e⋅v

F A=FLUID⋅V K ⋅g

1. v= v t m⋅a=FG−F A−F R

2. v= const. 0=FG−F A−FR

5.3.7 Drehung in der Strömung

Z =∂ vY

∂ x−∂ v X

∂ y

Seite 55

R

l

v(r)

r

v = 0

FA v(t)

v = const.

FR

FG

Plättchen dreht sich

ω

y

x

Bedingung: vY =0

Z =−∂ v X

∂ y

3-Dimensional = rot

v

=∇×

v

5.3.8 Druck im bewegten Fluid

Bernoulli-Gleichung pges= pSTAT pDYN pGEOD= const.

pSTAT =F N

A(nicht immer so einfach möglich)

pDYN =2⋅v2 pGEOD=⋅g⋅h

Bedingung: h= const.

pges= pDYN pSTAT

Verlustbehaftet: pges= pSTAT pDYN pGEOD pV

Kontinuität Bedingung: I M = const.

v1⋅A1= v 2⋅A2

5.3.9 Torricellisches Ausflussgesetz

Bedingung:

v1≈0

v2= 2⋅g⋅h

I M =⋅A⋅ 2⋅g⋅h

Seite 56

v1

h

v2

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