Physik für Lehramtweb.physik.uni-rostock.de/cluster/lehre/P4LA1/WS20xx/WS2009-ppt2… · 4...
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3c 1D-Kinematik
2
Zusammenfassung
0v==
aconst
positivaconsta
==
negativaconsta
==
at+= 0vv 200 2
1v attxx ++=
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
20 2
1-v attxx +=)(2vv 020
2 xxa −+= ( ) txx v-v21
00 +=
3
BeschleunigungenMagnetschwebebahn
Höchstgeschwindigkeit 550 km/h~150 m/s
Anfahrtsbeschleunigung: 0,85 m/s²
Abbremsverzögerung: 1,2 m/s²
Erreicht der Transrapid auf der Strecke von Shanghai-Flughafen nach Shanghai-
Innenstadt seine Höchstgeschwindigkeit?Distanz 30 km
maxvv
t
ta(t) 1v = ta(t) 2v =
avgv
at+= 0vv 200 2
1v attxx ++=
4
BeschleunigungenMagnetschwebebahn
Höchstgeschwindigkeit 550 km/h~150 m/s
Anfahrtsbeschleunigung: 0,85 m/s²
Abbremsverzögerung: 1,2 m/s²
hkm575
sm150m101.5
s²m0.8522v
)(2vv
4
020
2
==⋅⋅⋅==
−+=
ax
xxa
Geschwindigkeit nach der Hälfte der Strecke, d.h. 30 km 00v
0
0
==
x
Tatsächliche Höchstgeschwindigkeit auf dieser Strecke 300 km/h
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Warum hat dieses Experiment beim letzten Mal nicht geklappt?
Problem Reaktionszeit
scm
045.0
scm981
22
21
0 v,021v
2
2
00
200
reaktionreaktion
reaktionreaktion
xt
xaxt
atx
x
attxx
≈
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
==
=
==
++=
6
Freier Fall
7
Messung der Fallbeschleunigung
sm 0.0v
Ruhein Versuchs desBeginn zu Kugelm .00
man wähltingungAnfangsbed
0
0
=
=h
y
m 0.00 =h
²21 aty =
200 2
1v atthh ++=
Ausgangsgleichung
Damit reduziert sich die Gleichung auf TEST
8
Messung der Fallbeschleunigung
sm 0.0v
m 0.0ingungenAnfangsbed
0
0
=
=h
tconsth
ta
ath
⋅=
⇓
=
=
2
h
²21
c²2
2
0 ,)(
0 2
)(
AaaA
Bhxf
tah
BAxxf
=⇒=
==
+=
+=
c
Beschleunigung aus Steigung ermitteln
Wie auftragen in Grafik?
Geradengleichung
allgemeine Geradengleichung
Auswertung des Anstiegs liefert Wert der Gravitationskonstante
Was ist zu tun?Man trägt Wurzel aus der Höhe gegen
die Zeit auf und berechnet die Steigung mit Hilfe linearer Regression
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Freier Fall0 v,0
²21v
00
00
==
++=
y
gttyy
22 1
sm81.9
21
⋅⋅=y
22 2
sm81.9
21
⋅⋅=y
22 3
sm81.9
21
⋅⋅=yMan könnte vielleicht auch den Ball mit 29.4 m/s nach oben werfen!
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Wurf nach ObenZeitumkehr
sm4.29 v,0
²21v
00
00
==
−+=
y
gttyy
22 1
sm81.9
211
sm4.29 ⋅⋅−⋅=y
22 2
sm81.9
212
sm4.29 ⋅⋅−⋅=y
22 3
sm81.9
213
sm4.29 ⋅⋅−⋅=y
m 39.124sm81.9
214
sm4.29 2
2 =⋅⋅−⋅=y
... und nach 4 Sekunden ?
Ball fällt wieder
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Senkrechter Wurf
Haben die beiden Steine an der Stelle des roten Pfeils eine andere Geschwindigkeit?
Fall AWurf senkrecht nach oben mit v=13 m/s
Fall BWurf senkrecht nach unten mit v=13 m/s
y
12
Senkrechter Wurf
Fall AWurf senkrecht nach oben mit v=13 m/s
( )
( )
( ) m15.53ss²m9.81
213s
sm130m)s3(
m38.62ss²m9.81
212s
sm130m)s2(
10m.81ss²m9.81
211s
sm130m)s1(
²21v
²21v
2
2
2
00
00
−=−+==
=−+==
=−+==
−+=
++=
ty
ty
ty
gttyy
attyy
sm43.16s3
s²m9.81
sm133s)v(t
sm62.6s2
s²m9.81
sm132s)v(t
sm19.3s1
s²m9.81
sm131s)v(t
vv 0
−=−==
−=−==
=−==
−= gt
Höhe über Abwurf nach x Sekunden
Geschwindigkeit nach x Sekunden
y
13
Senkrechter Wurf
Fall BWurf senkrecht nach unten mit v=13 m/s
( )( )
sm16.4
s²m²269v
5.10m)-(0s²m9.812-
sm13v²
2vv
2vv
20
20
20
20
2
±==
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
−−=
−+=
yyg
yya
Wurf nach untenGeschwindigkeit in Höhe -5.10 m
Zum VergleichWurf nach oben
y
sm43.16s3
s²m9.81
sm133s)v(t
vv 0
−=−==
−= gt
Geschwindigkeit des Körpers hängt nur von der Anfangsgeschwindigkeit und der Höhe
in Bezug auf einen Referenzpunkt ab.
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Beispiel Relativität
Ein Körper wird ein Jahr lang mit 9.81 m/s² beschleunigt. Wie hoch ist die Endgeschwindigkeit?
gtv =
Die Rechnung liefert ein unphysikalisches Ergebnis Die Endgeschwindigkeit ist höher als die Lichtgeschwindigkeit
sm /1014.2c 8⋅=
Erst die Relativitätstheorie liefert das richtige Ergebnis
sm103.09s103.15
s²m9.81
h3600s
tgh 24
a tg365
s²m9.81v 87 ⋅=⋅⋅==
2
1
v
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
=
cat
at
m/s102.99c 8⋅=
71% der Lichtgeschwindigkeit
Relativistische Effekte werden wichtig bei einigen Prozent Lichtgeschwingkeit
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Freier Fall
Wenn man Luftwiderstand und Reibung vernachlässigt fallen alle Objekte in Richtung des Erdzentrums mit der gleichen konstanten
Beschleunigung, unabhängig von ihrer Masse. Die Beschleunigung erfolgt aufgrund der Gravitation
²m/s81.9=g In Abhängigkeit vom Längen- und Breitengrad (Abplattung der Erde), der Topologie (Entfernung zum Erdmittelpunkt)
und der geologischen Formationen (Dichte) variiert g zwischen 9.78 bis 9.83 m/s²
Mittlerer Wert der Gravitationsbeschleunigung
Nordpol 9.832 m/s²Äquator 9.780 m/s²
Mond 1.600 m/s²Mars 3.700 m/s²
Galileis MethodeNaturgesetze finden durch Experiment und Beobachtung
Vater der modernen Naturwissenschaften
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Freier Fall ohne Luftwiderstand
Galileo Galilei (1564-1642)
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Ortsverschiebungin Abhängigkeit von der Geschwindigkeit
Geschwindigkeit ergibt sich aus Änderung der Ortskoordinate( )
tx
tx
dtdx
vΔΔ
ΔΔv
tv
const v
=↓
=
↓
=
if
if
ttt
xxx
−=
−=
Δ
Δ
Verschiebung ist grün markierte Fläche unter der Kurve
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Ortsverschiebungin Abhängigkeit von der Geschwindigkeit
Geschwindigkeit ändert sich grob und in gleichen Zeitabständen
allgemeiner Ausdruck
if
if
ttt
xxx
−=
−=
Δ
Δ
( ) ( )
( ) ttx
tTtx
xxx
kk ΔvΔ
v0vΔ
ΔΔΔ
1110
21
=↓
−⋅+−⋅=↓
+=
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Ortsverschiebungin Abhängigkeit von der Geschwindigkeit
∑
∑∑
=→
==
=−
==−
⋅=−
N
00Δ
N
0
N
0
Δvlim
ΔvΔ
ΔN
kktif
kk
kkif
if
txx
txxx
ttt wähle gleiche Zeitintervalle
if
if
ttt
xxx
−=
−=
Δ
Δ
consttx
txx f
i
t
tif
+=
=−
∫∫d v(t)
d v(t)
analoger Ausdruck ergibt sich für Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Beschleunigung a(t)
Übergang zur Integration
kontinuierliche Änderung der Geschwindigkeit
Ortskoordinate nach Zeit t ergibt sich aus
dem Integral der Geschwindigkeit
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Allgemeine FormGeschwindigkeit und Beschleunigung ändern sich mit der Zeit
∫∫ =t
t
x
x
(t)dtdx00
v
∫+=t
t
(t)dtxtx0
v)( 0
∫+=t
t
dtxtx0
00 v)(
∫+=t
t
t)dta(t)0
(vv 0
'vv0
00 ∫+=t
t
dta(t)
[ ] ''v)(0
000 ∫ ++=t
t
dttaxtx
( )000 v)( ttxtx −+=( ) ( )200000 2
1v)( ttattxtx −+−+=
Spezialfall 1Geschwindigkeit ist konstant
Spezialfall 2Beschleunigung ist konstant
( )000vv tta(t) −+=
analog
0v)(v →t
0aa(t)→
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Richtungsweisende Bewegungenhäufige Missverständnisse
Falsche Behauptung 1Die Richtung des Geschwindigkeitsvektors und des Beschleunigungsvektors stimmen immer überein!
v
a
Falsche Behauptung 2Ein Körper senkrecht nach oben geworfen
erfährt am höchsten Punkt der Kurvekeine Beschleunigung!
Dann könnte die Ballerina an diesem Punkt verharren!
(eine zu leichte Beute für die Jäger)
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Extreme Beschleunigungen
Colonel Strapp wurde auch bekannt als Urheber von Murphys Gesetz
We do all of our work in consideration of Murphy's Law
Raketenwagen
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Extreme Beschleunigungen
Extreme Beschleunigungen werden oft in Einheit der Erdbeschleunigung g=9.81 m/s² angegeben.
46.2 g=450 m/s²Achterbahn zum Vergleich: etwa 3g
Beschleunigung
Abbbremsung
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Extreme BeschleunigungenDrei Minuten bis zum Stillstand
37.36.040 m
37:23 min
38:06 min
39:39 min
39:54 min
40:15 min
ta
ΔΔ
=v
sm 0.5144kn 1 =
Zeit
25
Extreme Beschleunigungen
37.36.040 m
37.23 m
38.06 m
39.39 m
39.54 m
40.15 m
BeschleunigungΔv/ Δt=0.014 m/s²
BeschleunigungΔv/ Δt=0.037 m/s²
BeschleunigungΔv/ Δt=0.040 m/s²
BeschleunigungΔv/ Δt=0.067 m/s²
Solche Beschleunigungswerte sind nicht geeignet für Actionfilme
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Zusammenfassung
Kinematk beschreibt die Bewegung von Körpern
Die Beschreibung muss immer in Bezug auf ein Referenzsystem erfolgen.In der Regel ist dies die Erde. Andere Systeme sind möglich und erleichtern möglicherweise die Analyse.
Translation ist die Änderung der Position eines Körpers.
tx
avg ΔΔ
=v
Die instantane Geschwindigkeit ist die mittlere Geschwindigkeit in einem infinitesimalen
Zeitintervall.
xdtd
== xv &
Die mittlere Geschwindigkeit eines Körpers ist die zugelegte Strecke in einer bestimmten Zeit.
Die instantane Beschleunigung ist die mittlere Beschleunigung in einem infinitesimalen
Zeitintervall.
vvdtda == &
Bei konstanter Beschleunigung in einer Dimension sind die Beschleunigung a, die Geschwindigkeiten v,
v 0 und die Positionen x, x 0 gegeben durch
( )020
2
0
2vv
vv
xxa
at
−+=
+=
2vvv
²21vxx
0
00
+=
++= att
Beschleunigung ist die Änderung der Geschwindigkeit Δt in einem bestimmten Zeitintervall. Die mittlere
Beschleunigung in einem Zeitintervall Δt ist
taavg Δ
Δ=
v
Körper die vertikal nach oben oder vertikal nach unten in der Nähe der Erdoberfläche beschleunigt werden, erfahren eine konstante Beschleunigung
durch die Gravitation. Der Wert der Gravitationsbeschleunigung ist 9.81 m/s². Dabei
vernachlässigt man den Luftwiderstand.