1

24a Magnetismus

2

Magnetismus im Alltag

Materialien lassen sich magnetisieren

Ein Magnet erzeugt keine Ladung auf einem Elektroskop

3

Magnetismus im Alltag

ElektrostatikElektrischen Ladungen lassen sich trennen (Elektron und Proton)

MagnetostatikMagnetische Ladungen treten dagegen nie isoliert auf

oder wissenschaftlich ausgedrückt

Es gibt keine magnetischen Monopolees wird aber danach gesucht!

egal wie oft man einen Magneten teilt, man findet immer einen Nord und Südpol

Form des Magneten spielt eine Rolle

Direkter Vergleich zwischen elektrostatischer und magnetischer Kraft

4

Magnetische Felder

Analog zu Kapitel ElektrostatikKräfte zwischen magnetischen Polen werden durch Feldlinien beschrieben

Man kann das magnetische Feld B an einem Punkt im Raum durch die magnetische Kraft FB auf ein Testteilchen definieren das sich mit

einer Geschwindigkeit v bewegt

Kräfte zwischen Stabmagneten

Magnetische Feldlinien kreuzen sich nichtAbstand der Feldlinien gibt Stärke des magnetischen Feldes an

Magnetische Feldlinen sind geschlossen

5

Statik versus Bewegung

2. Ein elektrisches Feld übt eine Kraft Fe=qE auf eine andere Ladung aus, die

sich in seinem Feld befindet

1. Eine bewegte Ladung oder ein Strom erzeugt zusätzlich zum elektrischen ein

magnetisches Feld B in seiner Umgebung

2. Ein magnetisches Feld übt eine Kraft FMauf eine andere bewegte Ladung oder

einen Strom aus, wenn er sich in seinem Feld befindet

1. Eine ruhende Ladungsverteilung erzeugt ein elektrisches Feld E in seiner Umgebung

damit geht’s los

Wie das elektrische Feld ist auch das magnetisches Feld ein Vektorfeldjeder Punkt im Raum ist definiert durch einem B-Vektor mit Betrag und Richtung

6

Experimentelle Beobachtungen

1. Stärke der magnetischen Kraft, die auf das Teilchen einwirkt, ist proportional zur Ladung q und der Geschwindigkeit v des Testteilchen.

2. Größenordnung und Richtung der Kraft FB hängt von der Geschwindigkeit des Teilchens und der Stärke und Richtung des magnetischen Feldes ab.

3. Wenn sich ein Teilchen parallel zur Richtung des magnetischen Feldvektors bewegt, erfährt es keine Kraftwirkung.

4. Wenn der Geschwindigkeitsvektor des Teilchens einen Winkel ungleich NULL mit der Richtung des magnetischen Feldes, dann wirkt die magnetischen Kraft senkrecht zur Richtungen von sowohl v als auch B. F steht senkrecht auf der Ebene aufgezogen aus v und B.

5. Die Richtung der magnetischen Kraftwirkung hängt vom Vorzeichen der Ladung ab.

6. Die Größenordnung der magnetischen Kraft auf ein geladenes Teilchen ist proportional zum Sinus des Winkel zwischen Geschwindigkeitsvektor und magnetischem Feld..

( )( )Θ⋅=

×=

sinvvBqFBqF

M

M

rrrLorentzkraft

Rechte-Hand Regel

Hendrik Lorentz

(1853-1928)

7

Drei UnterschiedeElektrische Kraft vs magnetische Kraft

Elektrische Kraft wirkt in Richtung des elektrischen Feldes

Magnetische Kraft wirkt senkrecht zur Richtung des magnetischen Feldes

Elektrische Kraft wirkt auf ruhende und bewegte geladene Teilchen

Magnetische Kraft wirkt nur auf bewegte und geladene Teilchen

Elektrische Kraft verrichtet Arbeit, wenn eine Ladung verschoben wird

Magnetische Kraft verrichtet keine Arbeit, da die Kraft senkrecht zur Verschiebung. Konsequenz: Die

Energie des Teilchens ändert sich nicht.

Unterschied 2

Unterschied 1

Unterschied 3

( )( )Θ⋅=

×=

sinvvBqFBqF

M

M

rrr

Θ=

=

cosEqFEqF

e

e

rr

[ ]

[ ] [ ]T 1mA

N

CmNs

v

analyseDimensions

sCA

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⋅=

⇓

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

=

B

qFB B

SI Einheit desMagnetfeldes

Tesla

Nicola Tesla1856–1943

typische Werte für magnetische Felder

Elektrostatik Magnetismus

8

Kraft auf einen Leiter

Im magnetischen Feld erfährt ein Leiter eine Kraftwirkung wenn ein Strom fließt

Die Richtung der Auslenkung hängt von der Richtung des Stromes in Bezug auf die Richtung des magnetischen Feldes ab.

UrsacheBahn der Elektronen im Leiter wird durch

das Magnetfeld beinflußt

Lorentzkraft

9

Kraft auf einen Leiter

Volumen=Fläche x Länge = A x l

BqFBrrr

×= dv

LadungeinzelneaufKraft eMagnetisch

vd Driftgeschwindigkeit der Elektronen im Leiter

Volumen proLadungen der Anzahl:en

( )

BlIF

BqAsnF

B

AqnIdeB

de

rrr

rrr

r

×=

⇓

×==

vv

Magnetische Kraft auf alle Elektronen im Volumen

Gleichung gilt nur in einem homogenen magnetischen Feld

Vektor l zeigt in Stromrrichtung

Lorentzkraft

l

10

Kraft auf einen Leitervom Allgemeinen zum Speziellen

BsIdFd B

rrr×=differentielle Form

Magnetische Kraft entlang eines beliebige Weges innerhalb eines homogenen magnetischen Feldes ist gleich der eines

geraden Leiters, der die beiden Endpunkte verbindetEntscheidend ist nur die Komponente senkrecht zur Feldrichtung

Spezialfall 1 homogenes Magnetfeld

Spezialfall 2: geschlossener Weg in homogenem Magnetfeld

Magnetische Kraft entlang eines geschlossenen Weges innerhalb eines homogenen magnetischen Feldes ist NULL

∫ ×=b

aB BsdIFrrr

∫ ×= BsdIFBrrr

In der Realität: Summation über alle unterschiedlichen Einzelbeiträge

Kreisintegral

11

Magnetohydrodynamik

Magnetische Kraft auf stromdurchflossenen Leiter

elektrische Energie mechanische Arbeit

Vorteilmagnetische Kraft pumpt Flüssigkeiten ohne mechanische Komponenten

Magnetfeld

Strom

Kraft

AnwendungHeiße oder chemisch reaktive Substabnzen

Beispiel 1: Natrium in KernreaktorenBeispiel 2: Bluttransport

Möglicher Nachteil in einigen Anwendungenhohe magnetische Felder notwendig

(z.B. supraleitende Spulen)

12

Silent Running

Erstes U-Boot mit magnetohydrodynamischem Antriebmaximale Geschwindigkeit 15 km/h (8 Knoten)

Yamato 1Baujahr 1992

Friday, Sep. 23, 1966Run Silent, Run Electromagnetic

like a well-trained dolphin, the miniature experimental submarine maneuvered docilely around the waters of

California's Santa Barbara yacht basin. No propellers, no jets were visible along its sleek, 10-ft.-long hull, yet the sub was obviously moving under its own power, gliding

silently at about 2 m.p.h. 3 ft. under the surface. There was not a motor on board, but the odd little boat was being

propelled by the same electrical phenomenon that causes rotors in electric motors to turn: electromagnetic force.

13

Drehmoment

In 2 fließt der Strom nach untenIn 4 fließt der Strom nach oben

Unterschiedliche Richtung des Stromes in Bezug auf das

Magnetfeld liefert ein Drehmoment

0|| =×⇒ BLBLrrrr

BLrr

⊥

0FF0FF

42

31

≠===

IABIabBτ

bIaBbIaBτ

bFbFτ

==

+=

+=

max

max

42max

22

22

Maximales Drehmoment

Bµ

BAI

IABIABIabBτ

bIaBbIaBτ

bFbFτ

AIµ

rrr

rrr

rr

×=

⇓

=

Θ=Θ=Θ=

Θ+Θ=

Θ+Θ=

=

τ

τ

τ

tDipolmomenesMagnetisch

max

max

42max

sinsinsin

sin2

sin2

sin2

sin2

Winkel zwischen Leiter und Feld

D

Ep

Bµτ

rrr

rr

×=

×=

τ

t Dipolmomen esElektrisch

tDipolmomen esMagnetisch

Definition

14

d‘Arsonval Galvanometer

Problem in einem homogenen MagnetfeldAuslenkung hängt von Strom und Winkel ab

Jacques-Arsèned'Arsonval

(1851-1940)κφ

κφ

−=+

⇓

−=

=

µBττ

τ

µBτ

torsionmag

torsion

mag

momentGesamtdreh

magnetisch

Torsion

nIAµ =

κ

φκ

φ

κφ

ABn

I

IABn

nIAB

≈

=

−=0

Designparameter des Instruments

Zeigerausschlag proportional dem Strom

n; Anzahl WindungenI: StromA: Fläche

Gleichgewicht der Kräfte

und unabhängig vom Auslenkungswinkel

Θ= sinµBτ

15

Geladenes Teilchen im magnetischen Feld

qBmrT

mqB

r

qBmr

rmBqFB

ππ

ω

2v

2

v

²v

²vv

==

==

=

⇓

== Kräftegleichgewicht

in diesem Fall auch Zyklotronfrequenz genannt

Winkelgeschwindigkeit

Bewegung eines Teilchens mit einem beliebigem Geschwindigkeitsvektor

2z

2y vvv

0v,vv0

+=

≠=⇒=

⊥

zy

xx consta

Annahme B-Feld zeigt in x-Richtung

Bewegung des Teilchens im Magnetfeld ist eine Spiralbahn

Magnetisches Feld wirkt nur auf die Geschwindigkeitskomponenten senkrecht zu vx

Komponenten von vy und vz ändern sich mit der Zeit

inhomogenes FeldMagnetische Flasche

Bewegung eines Teilchens mit einem Geschwindigkeitsvektor senkrecht zum Magnetfeld

16

Erdmagnetfeld

William Gilbert (englischer Physiker) behaupted im Jahr 1600, die Erde selbst sei ein Magnet und magnetische Pole besitzt

“On the Magnet, Magnetic Bodies, and the Great Magnet of the Earth”

William Gilbert (1544 1603)

17

Erdmagnetfeld

Magnetische Deklination

Wanderung des magnetischen Nordpols

18

Van Allen Gürtel

Magnetfeld der Erde

Geladene Teilchen aus dem Sonnenwind oder der kosmischen

Strahlung werden im inhomogenen Magnetfeld der Erde

gespeichert

Bewegung geladener Teilchen im Magnetfeld

typisch Zeiten für den Weg von Pol

zu Pol nur wenige Sekunden

An den Polen können die Teilchen in die Atmosphäre

eindringen und mit Gasatomen kollidieren

19

WienfilterMagnetfeld senkrecht auf elektrischem Feld

( )( )

BEv

qvBqE

v

v v

=

=⇓

⊥=

⊥×=

EEqF

BBqF

E

Brrrr

rrrrr

Magnetisches FeldAblenkung nach oben

Elektrisches FeldAblenkung nach unten

Magnetische Kraft

Elektrische Kraft

Geschwindigkeitsfilter

2

2

2

2

21v²

21

EBKEm

BEmmKE

=

⇓

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

Massenspektrometer

Kräftegleichgewicht

Wiegen von Atomen und Molekülen

Experimentelle Ausführung

20

Massenspektrometer

Magnetisches FeldAblenkung horizontal

Impulsrichtung

Elektrisches FeldAblenkung vertikal

Energierichtung

Thomson-Massenspektrometer

Magnetisches FeldRadius der Kreisbahn entspricht dem Impuls des Teilchens

Resultierende Bahnen sind Parabeln

Joseph John Thomson (1856-1940)

Auflösung

20000 typisch mmΔ

Magnetisches SektorfeldMassenspektrometer

21

Hall-Effekt

Bewegung der Ladungsträger in einem Leiter unter Einfluss eines magnetischen Feldes

Ladungsträger bewegen sich mit ihrer Driftgeschwindigkeit

Das magnetische Feld lenkt Elektronen nach links ab

Überschuss negativerLadungsträger auf

dieser Seite

Überschuss positiverLadungsträger aufrdieser Seite

PotentialdifferenzHallspannung

Edwin Herbert Hall

(1855-1938)

hIBRV

nqhIB

nqAIBdV

BddEV

BEBqqE

HH

H

dHH

dH

dH

=Δ

==Δ

==Δ⇓

==

v

vv

nqAI

d =v

hdA ⋅=

Hallkoeffizient

nqRH

1=

22

Missing link

Hans Christian Oersted(1777-1851)

Bei der Erhitzung eines Leiters für einen Demonstrationsversuch

entdeckt Oersted, dass eine Kompassnadel abgelenkt wird

Vorherige Annahme: Elektrizität und Magnetismus haben nichts miteinander zu tun!Missing link ist der elektrische Strom

23

Magnetisches Feld eine bewegte Ladung

Erinnerung

elektrisches Feld

2

1,~r

EqE =

E-Feld Vektor vom Quellpunkt der Ladung zum Punkt wo das Feld gemessen wird

Fragestellung

Wie sieht das magnetische Feld einer Ladung aus?

v

1,~ 2

rr⊥

=

Br

BqB

B-Feld Vektor steht nicht auf der Verbindungslinie zwischen Quellpunkt und Feldpunkt

qPQuellpunkt

Feldpunkt

( )r²

qµB

r²qµB

B

rv4

vsin4

sinv~

0

0

vrc

×=

=

⇓

π

φπ

φMagnetisches Feld einer Punktladung, das sich

mit konstanter Geschwindigkeit v durch ein magnetische Feld bewegt

Magnetische Feldlinien umgeben die bewegte Ladung

[ ] [ ]

[ ]

ATm104

ATm

AmWb

AN

Cs² N

mA N

m Cs NT

70

220

−⋅=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡==

πµ

µ

B

Dimensionsanalyse μ0

00

1²µ

cε

=

24

Magnetfeld zwischen Protonen

( )( )

r²qµF

BqFr²qµB

M

M22

0

0

v4

v

v4

1sin

π

π

φ

=

×−=

=

⇓

=

r

rrr

proton

proton

vr

vrr cv <<r

r²qFC

2

041πε

=

Coulomb-Wechselwirkungrepulsiv

Magnetische Wechselwirkung

)nBedingunge ivistischenichtrelat( für v ,

v

v

4v4

2

2

200

2

2

0

220

cFF

cFF

µFF

qr

r²qµ

FF

CM

C

M

C

M

C

M

<<<<

=

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

rr

r

r

r

r

r

r

ε

πεπ

Das Verhältnis

Magnetische Kraft in der Regel deutlich geringer als das elektrische Feld

Vorgriff auf Thema elektromagnetische Wellen : Es gibt einen Zusammenhang zwischen dem elektrischen Feld, dem magnetischem Feld

und der Lichtgeschwindigkeit!!!

25

Bdr

sdr

Magnetfeld eines Leiters

Anwendung des Superpositionsprinzip für magnetische Felder

Das totale magnetische Feld hervorgerufen durch mehrere Ladungenist die Vektorsumme der Felder aller Einzelladungen

betrachte kurzes Segment

Volumen dieses LeiterstücksFläche x Länge des Segmentsn Ladungen q pro Volumeneinheit

nqAdsdQ = AdsDriftgeschwindigkeit

dvr

sdr

20

v

20

20

sin4

sinv4

sinv4

rIdsµdB

rAdsqnµdB

rAdsdQµdB

IAqn

d

d

d

Θ=

⇓

Θ=

Θ=

=

π

π

π

r̂

26

Biot-Savart Gesetz

Jean-Baptiste Biot(1774-1862)

Félix Savart(1791-1841)

EigenschaftenDer Vektor dB steht sowohl senkrecht auf der Richtung des Stroms als auch senkrecht zum Einheitsvektor der auf den Punkt P zeigt

Der Betrag von dB ist proportional zu 1/r², wobei r der Abstand zwischen ds und P ist

Der Betrag von dB ist proportional zum Strom und zum Betrag von ds

Der Betrag von dB ist proportional zum sin des Winkels zwischen ds und r

Bdr

sdr

Biot-Savart Gesetz

Magnetfeld, das durch ein kleines stromdurchflossenes Leiterstück erzeugt wird

∫×

=

⋅⋅=

×=

−

20

70

20

ˆ4

AmT104

ˆ4

rrsdIB

rrsIdBd

r

rr

πμ

πμ

πμ

Gemeinsamkeiten und Unterschiede elektrischen Feld einer Punktladung

1/r² Abhängigkeitaber

radiales Feldisolierte Ladung

Bemerkung: Biot-Savat Gesetz gilt auch für Ladungsträger, die sich im freien Raum

bewegen (z.B. Fernsehröhre)

Feldpunkt P

Integration

r̂

hier soll das Feld berechnet werden

27

Magnetisches Feldendlos langer Leiter

Flächeˆ ⊥× rsdr ( )

( )

20

20

Gleichung diein einsetzen

sin4

ˆsin4

ˆ

ˆsinˆˆˆ

rdxIµdB

kr

dxIµkdBBd

kdxkrsdrsd

Θ=

Θ==

⇓

Θ=×=×

π

π

r

rr

( )

aIµB

aIµd

aIµB

daIµdB

x

nIntegratio

π

ππ

π

π

π

2

coscos4

sin4

sin4

0

2cos0cos

,0

210

0

bis

0

21

2

1

21

=

⇓

⇓

Θ−Θ=ΘΘ=

⇓

ΘΘ=

=−

=Θ=Θ∞→

Θ

Θ

ΘΘ

∫

unendlich langer Leiter

Rechte-Hand-Regel

kleine Umformung um diesen Term auszuwerten

Vektor k zeigt in Richtung senkrecht zu dieser Fläche

Magnetfeld fällt mit 1/Abstand ab

28

Überlandleitung

schneller Abfall des magnetischen Feldes durch günstiges Schalten

der drei Phasen

Vergleich

29

Amperesches Gesetz

AllgemeinSummation oder Integration über einen geschlossenen Weg!

IldB

IlB

0

0||

oder

μ

μ

=

=Δ

∫

∑

vrAmperesches Gesetz

Andre-Marie Ampere(1775-1836)

ErinnerungZusammenhang zwischen dem Strom durch einen

geraden Leiter und dem damit erzeugten Magnetfeld

Wie sieht das Magnetfeld für einen beliebig geformten Leiter aus?

Komponenten von B die parallel zu dl ist

30

Magnetfeld einer Leiterschleife

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( )RxxIRµB

xRIµB

RBlllBlBlBlB

m

m

>>=

==

=Δ++Δ+ΔΔ++Δ+Δ

für 2

0 bei Achseder auf 2

2......

2

20

0

21

21

π

π

π

Feld eines Stabmagneten Feld eines Leiterschleife

große Abstände

Summation über den Kreis