Physik IV: Quantenmechanik

Physik IV: Quantenmechanik

Historische Höhepunkte:

1900 Planck Einführung der „Hilfsgröße“ h ( Wirkungsquantum )Erklärung des Spektrums der Wärmestrahlung

1905 Einstein Einführung des Lichtquants ( Photon ), E h Erklärung des Photoeffekts

1907 Einstein Einführung des Gitterschwingungsquants ( Phonon ), Evib h Erklärung der spezifischen Wärme der Festkörper

1913 Bohr Einführung des Drehimpulsquants, ħ h Erklärung des Wasserstoffspektrums

1924 de Broglie Postulat der Welle-Teilchen-Dualität, p ħ kVorhersage von Materiewellen

1925 Schrödinger Wellen-QuantenmechanikHeisenberg Matrizen-Quantenmechanik

Geburt der modernen Quanten(feld)theorie

Vorlesung Phänomenologie (mit Experimenten) Anwendungen & Computer-Simulationen zur abstrakten Theorie

1. Die Plancksche Quantenhypothese

1.1. Wärmestrahlung

Wärmestrahlung Temperatur-abhängige e.m. Strahlung von Körpern ( z.B. Sonne )

Folgerung: Auch durch Vakuum getrennte Körper können sich mittels Austausch von Wärmestrahlung im thermischen Gleichgewicht befinden

1.1.1. Erzeugung und Absorption von Strahlung

Beobachtung: Es gibt zwei Strahlungsklassen

Typ 1: Diskrete Frequenzspektren ( Linienspektren ) bei atomaren molekularen Gasen nicht zu großen Drucks unabhängige Partikel T-unabhängig; Eigenschaft der Atomhüllen-Struktur ( Bohrsches Atommodell )

Typ 2: Kontinuierliche Frequenzspektren bei festen flüssigen Strahlern, Gasen großen Drucks und dichten Plasmen in charakteristischer Weise T-abhängig

Beispiele: Glühlampe, Bogenlampe, Metallschmelze, Sonnenplasma

Emissionsvermögen:

Oberflächenelement des Strahlers ( Projektion

Strahlungsrichtung )

dF

d

td

WddPE

von dF in d emittierte Strahlungsleistung

d,Fd

Beobachtung: E hängt von der Oberflächenbeschaffenheit abschwarze Oberfläche E großspiegelnde weiße Oberfläche E klein

Definition: Emissionsvermögen Strahlungsleistung pro Fläche und Raumwinkel

TEE dFd

PdE E

Emissionsvermögen:

PE Geometriefaktor E

Integrales Absorptionsvermögen:

TAA d

dA

absorbierte Strahlungsleistung

auftreffende Strahlungsleistung

T T

① ②

idealer Spiegel

Vakuum

P1 P2

thermisches Gleichgewicht

Gedankenexperiment:

unterschiedliche Oberflächen ①, ② 2

.a.i

1 PP

2. Hauptsatz der Thermodynamik td

Qd

td

Qd 21

①: 21geom211 EAkPA

td

Qd

②: 12geom122 EAkPA

td

Qd kgeom Geometriefaktor

Folgerung:

TKTA

TE

TA

TE

TA

TP

TA

TP

2

2

1

1

2

2

1

1

unabhängig von Oberfläche

Kirchhoffsches Strahlungsgesetz: TATKTE TATKTE

Defintion: Ein Körper heißt ideal schwarz, wenn seine Oberfläche alle elektro-magnetische Strahlung vollkommen absorbiert, d.h. A 1.

Folgerung: Ein ideal schwarzer Körper besitzt das größtmögliche Emissions-vermögen für thermische Strahlung.

Technische Realisierungen:

a) schwarze Oberfläche großer Rauhigkeit Vielfachstreuung, allmähliche Absorption, keine nennenswerte

Reflexion

b) Hohlraum mit geschwärzten Innenwänden

Schwarzkörperstrahlung Hohlraumstrahlung universelles Emissionsspektrum für gegebene Temperatur

Wand-Temperatur T

V

kleines Loch

E*

Prinzip Realisierung

Heizung

Thermoelement

1.1.2. Charakteristische Größen thermischer Strahlung

Strahlungsfeld Überlagerung ebener Wellen Ωdωdeθ,ω,EE rktωi0

Ωdωdeθ,ω,EE rktωi0

θcos

cosθsin

sinθsin

c

ωk

θcos

cosθsin

sinθsin

c

ωk

θcosddd θcosddd

a) Energiedichte eines Strahlungsfeldes

3mJ2

00 wΩdωdEεw

Spezialfall: Isotropes Feld ωEE 00

ωdEεπ4w 200 ωdEεπ4w 2

00 π4

w

Ωd

wd

π4

w

Ωd

wd



Spektrale Energiedichten eines Strahlungsfeldes

Hzm

J

ν

200π2

ω200ν 3wΩdEεπ2ΩdωdνEεw

42 mJ

λ

200λ

cπ2ω

cπ2200λ wΩdEεΩdωdλEεw

www νcν

νλc

νcλλ

2

2

www νcν

νλc

νcλλ

2

2 λdwνdw w λν λdwνdw w λν


π4

w

Ωd

wd νν

π4

w

Ωd

wd νν

π4

w

Ωd

wd λλ

π4

w

Ωd

wd λλ

b) Intensität bzw. Energieflussdichte eines Strahlungsfeldes

ωdEcε

IωdHEωdSI

200

mW

00 2

n

dFnk




ωdEεπ4w 200 ωdEεπ4w 2

00 wcIπ4 wcIπ4

c) Messgröße: Strahlungs- bzw. Leuchtdichte einer Quellfläche

Spezialfall: S* ist richtungsunabhängig. Dann heißt die Quellfläche Lambertstrahler.

Hohlraumöffnungen sind Lambertstrahler!

Die Strahlungsdichte S* ist die pro Raumwinkel und projizierter Emissionsfläche in einem weit entfernten Detektor registrierte Leistung

td

Wdd

dF

Steradm

WS

θcosFdΩdtd

WdS

2

dF

dF cos

Analog: Spektrale Strahlungsdichten S νdSd

ν

S νdSd

ν

S λd

Sdλ

S λdSd

λ

Zusammenhang mit der Energiedichte des Quellfeldes:

td

Wdd

dF

Ωd

wdc

ΩdVd

Wdc

θcosFdΩdtd

WdS

dF

c dtθcosFdtdcVd

Analog: Ωd

wdcS ν

ν Ωd

wdcS ν

ν

Ωd

wdcS λ

λ Ωd

wdcS λ

λ

Spezialfall: Isotropes Quellfeld:

π4

w

Ωd

wd λν,λν,

cwSπ4 λν,λν, cwSπ4 λν,λν,

Strahlungsleistung auf infinitesimaler Empfängerfläche:

Ωd 222

r

θcosFd

td

Wd 1

dF1

1

.

dF2

2

r

QuelleDetektor

r

θcosFdFdθcosSΩdFdθcosS

td

Wd

22

21111111

Bestrahlungsstärke ( Intensität ) am Detektor:

FdθcosStdFd

Wd

1

22

F

1r

θcos11

2

1 FdθcosStdFd

Wd

1

22

F

1r

θcos11

2

1

Strahlungsleistung auf ausgedehnter Empfängerfläche:

φdθcosdθcosSFd

FdθcosSFdtd

Wd

2

2

22

F

11

F

2r

θcos11

1

Lambertstrahler

.constS1

dF1

r r ( , )

2

dF2θcosdφdrθcosFd 2

22

φdθcosdSFdtd

Wd

2F

2112

11 φdθcosdSFdtd

Wd

2F

2112

11 Fdθcos1Sπtd

Wd 1m

21

1 Fdθcos1Sπtd

Wd 1m

21

1 π0,2φ

mθ0,θ

Emission in gesamten Halbraum ( m ): FdSπtd

Wd 11

Halbraum

1 FdSπtd

Wd 11

Halbraum

1

1.1.3. Hohlraumstrahlung

Definition: Der ideale Hohlraum hat das Volumen V und die Wände befinden sich ( durch Wärmestrahlung ) im thermischen Gleichgewicht ( Temeratur T ).

Folgerung 1: Leistungsbilanz der Wände an jeder Stelle:

td

νWd

td

νWd EA

td

νWd

td

νWd EA

absorbiert emittiert

Folgerung 2: Das Strahlungsfeld ( Hohraumstrahlung ) ist isotrop.

Beweis: Betrachte dünne Testscheibe. Thermisches Gleichgewicht Temperatur T.Angenommen, am Ort der Testscheibe wäre die Strahlung anisotrop:

TdF

Intensität groß

Intensität klein

T T dF

Intensität groß

Intensität klein

Drehung

Widerspruch zum 2. Hauptsatz der Thermodynamik.

Folgerung 3: Das Strahlungsfeld ( Hohraumstrahlung ) ist auch homogen.

Beweis: Betrachte dünne Testscheibe. Thermisches Gleichgewicht Temperatur T.Angenommen, es gäbe 2 Orte mit unterschiedlicher Strahlungsintensität:

TdF

Intensität groß

Intensität klein

Verschiebung

Widerspruch zum 2. Hauptsatz der Thermodynamik.

T TdF

Intensität groß Intensität

klein

Folgerung 4: Leistungsbilanz der Testscheibe an jedem Ort in jeder Orientierung

T dF

dtd

Wd A

td

Wd E

νdΩdFdSA ννtdWd A νdΩdFdE νtd

Wd E

Thermische Emission und Absorption eines Körpers der Temperatur T sind über die Strahlungsdichte der zugehörigen Hohlraumstrahlung verknüpft: STK νν

STK νν

ASE ννν

Kirchhoffsches Strahlungsgesetz

tdWd

tdWd EA

Folgerung 5: Spektrale Modendichte der Hohlraumstrahlung

Wandgeometrie und Beschaffenheit beliebig ( V )

verwende o.B.d.A. ideal leitenden Würfel, Kantenlänge a a

aa

ν

0

2

0j,m,n3a

νν3a

ννj,m,n

3a

ca2

nmjnmj

rdrΩda

1lim2jdmdnd

a

1lim21

a

1lim2νN

# Polarisationen j,m,nr Kugelkoordinaten

8

π43

νc

a2

3

1

νN 3

cν

3π8 νN 3

cν

3π8 ννn 2

c

π8νdNd

3Spektrale Modendichte

Modendichte N() Zahl der Moden in [ 0 , ] pro Volumen

Physik III Eigenfrequenzen der stehenden Wellen ( Moden )

0,0,0\l,m,njmnν 30

222a2

cnmj je 2 Polarisationen

pro Modeℕ

1.1.4. Das Plancksche Strahlungsgesetz

ννn 2

c

π83Spektrale Modendichte der Hohlraumstrahlung:

Mittlere Energie der Moden: TWν

TkTw 3

2

c

νπ8ν TkTw 3

2

c

νπ8ν TkS 2

2ν

c

ν2π4cw

ν TkS 2

2ν

c

ν2π4cw

ν

Rayleigh-Jeansches Strahlungsgesetz

Klassisches Modell: Jede Mode ist an harmonische Schwingungen der Atome in den Wänden gekoppelt. Im thermische Gleichgewicht folgt (Äquipartitionstheorem):

TkTkTkTkTW BB21

B21

ν kinetische Energie

potentielle Energie

Spektrale Energiedichte der Hohlraumstrahlung: TWνnTw νν TWνnTw νν

Experiment stimmt nur für 0 ( z.B. Infrarotbereich bei T 5000 K )

Ultraviolett-Katastrophe: νdTwTwνTw ν2

ν

Plancksche Hypothese: Jede Mode ist an quantisierte harmonische Schwingungen der Wandatome gekoppelt:

νhnW ν νhnW ν n ℕ

,,Hilfsgröße” h: Plancksches Wirkungsquantum: sJ10626,6h 34

Das Energiequantum h wird von dem Feldquant des elektromagnetischen Feldes, dem Photon, getragen. Die Energie W n h entspricht der Energie von n Photonen der Frequenz im Hohlraum.

Postulat: Die ,,Besetzungszahlen” n() folgen aus der klassischen Statistik

Boltzmannsches Verteilungsgesetz Tkνh

TkW

ν nexpexpWp

Normierte Wahrscheinlichkeitsverteilung für n:

0j

βνhj

βνhn

ν

e

enp

Tk

1β

Tk

1β

0j

βνhj

βνhn

ν

e

enp

Tk

1β

Tk

1β νhnTWν

Also:

0j

βνhj

0n

βνhn

ν0n

νν

e

eνhnTWnpTW

2βνh

βνh

βνh0n

βνhn

0n

βνhn

e1

eνh

e1

1

βe

βeνhn

geometrische Reihe

βνhe1

1

1e

νh

e1

eνhTW

βνhβνh

βνh

ν

1e

νhTW

Tkνhν

1e

νhTW

Tkνhν

ννn 2

c

π8νdNd

3 ννn 2

c

π8νdNd

3 TWνnTw νν TWνnTw νν

Plancksches Strahlungsgesetz

1e

1

c

νhπ8Tw

Tkνh3

3

ν

1e

1

c

νhπ8Tw

Tkνh3

3

ν

1e

1

c

νh2w

π4

cS

Tkνh2

3

νν

1e

1

c

νh2w

π4

cS

Tkνh2

3

νν

1e

1

c

νh2S

c

νS

Tkνh3

5

ν

2

λ

1e

1

c

νh2S

c

νS

Tkνh3

5

ν

2

λ

Infrarot-Grenzfall: h ≪ k T ( klassischer Grenzfall ,,h 0” )

Tkνh1e Tk

νh

TkνTw 2

c

π8ν 3 TkνTw 2

c

π8ν 3

Rayleigh-Jeans-Gesetz

Ultraviolett-Grenzfall: h ≫ k T

Tkνh

Tkνh

e1e eνTw Tkνh

3

3

c

hπ8ν

eνTw Tk

νh

3

3

c

hπ8ν

Wiensches Strahlungsgesetz

Vorhersage von Form und Normierung des thermischen Spektrums

1

10

100

0,1

0,01

1000

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2

Tkchλ

][ 34

5

ch

Tk2λS

Rayleigh-Jeans

Planck

Wien

MaxSlnMaxS λλ

0

5

10

15

20

25

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Tkchλ

][ 34

5

ch

Tk2λS

1e

1

c

νh2S

Tkνh3

5

λ

1e

1

c

νh2S

Tkνh3

5

λ

Position des Maximums:

Tkνhx Abkürzung:

1elnxln5.constSln xλ

9651,4xe15xSln0 xλdxd

1ee

x5

λλdd

x

x

!

KTGHz1039651,4ν hTk

max KTGHz1039651,4ν hTk

max 2014,0λ KT

mm898,2Tkch

max 2014,0λ KT

mm898,2Tkch

max

.constKmm898,2λT max Wiensches Verschiebungsgesetz

x0

0.4

0.8

1.2

1.6

0 2 4 6 8 10

][ 32

3

ch

Tkπ8νw

Gesamte Energiedichte:

Tkνhx Abkürzung:

1e

1

c

νhπ8Tw

Tkνh3

3

ν

1e

1

c

νhπ8Tw

Tkνh3

3

ν

xdxνdw hTk

1e133

hTk

c

hπ8ν x3

4

ch15

π8

01e

xch

Tkπ8 Tkxdw 33

5

x

3

3

4

4

ch15

π2π4

c TkwS 23

4

4151 π

Leistungsabgabe eines Lambertstrahlers der Fläche F in Halbraum: S F

428

ch15

kπ24td

Wd KmW1067,5σTFσ 23

45 Stefan-Boltzmann-Gesetz

Stefan-Boltzmann-Konstante

Quantenmechanik

1e

1

c

νh2S

Tkνh3

5

λ

1e

1

c

νh2S

Tkνh3

5

λ

Anmerkungen:

• Experimentelle Messung des Hohraumspektrums

– Bestätigung der Planckschen Theorie– Messung von h durch Anpassung der Planck-Formel an gemessene Spektren

• Vorgriff: De Broglies Geniestreich Gilt das vielleicht auch für Korpuskeln ( Elektronen, Protonen, Viren, Katzen, ... ), die dann auch Wellennatur haben? Postulat:

ωE ωE kp

kp

• Interpretation der Photonen als Korpuskeln mit Wellennatur (?)

– Energie:

– Impuls:

π2h π2h ωνhE γ

|k||k|νhE|p| π2h

λh

c1

c1

γ

0m,cv γγ

1.2. Spezifische Wärme von Festkörpern

1.2.1. Klassische Theorie

Erinnerung: Innere Energie eines Mols ( NA Teilchen ) einer Substanz: U

Molare spezifische Wärme C const.VT

UV

C const.VT

UV

Avogadrokonstante

Gaskonstante

kNR A kNR A

# Freiheitsgrade

Äquipartitionstheorem: Jeder Freiheitsgrad trägt den gleichen Anteil ½ RT der inneren Energie U.

RCTRU 2f

V2f

1-atomige Gase f 3 ( Translation: 3, Rotation: 0 )

2-atomige Gase f 5 ( Translation: 3, Rotation: 2 )

mehratomige Gase f 6 ( Translation: 3, Rotation: 3 )

Festkörper f 6 ( Ekin: 3, Epot: 3 )( Schwingungen der Gitteratome )

RC 23

V

RC 25

V

R3CV

R3CV

Experimenteller Befund:

0 1000 T [K]

3R

CVklassische Theorie

PbC

Klassische Theorie versagt, besonders drastisch bei

• kleinen Temperaturen

• Festkörpergitter aus leichteren Atomen

• stark gebundenen Festkörpergittern hohe Schwingungsfrequenzen Déjà-vu: Ultraviolettkatastrophe !! ??

Wärmestrahlung: Elektronen schwingen um Atomkerne Photonen

Innere Energie: Atome schwingen um Gitterplätze Phononen ???

1.2.2. Das Einstein-Modell

Postulat ( Verallgemeinerung der Planckschen Hypothese ):• Die Schwingungsenergie harmonischer Oszillatoren ( Eigenkreisfrequenz ) ist

stets quantisiert und ist ein ganzzahliges Vielfaches des Grundquants .

• Bei Festkörpern ergibt sich aus der ,,Federkonstante” der Atombindung an den Gitterplatz und das Grundquant der Energie heißt Phonon. Ein Schwingungs-Zustand eines Gitteratoms besteht aus n Phononen:

ω

ω

ωnE vib ωnE vib

Vorgriff: Quantenmechanisch korrektes Resultat für harmonische Oszillatoren

macht hier keinen Unterschied ( Glück gehabt )

ωnE 21

n ωnE 21

n

ωNA23

quantenmechanische Grundzustandsenergie

ω21

Mittlere Schwingungsenergie: Analog zu bei Hohlraumstrahlung TWν

1e

ω

1e

νhE

TEθ

Tkνhvib

k

ωE ωθ

Einstein-Temperatur

NA schwingende Atome, 3 räumliche Freiheitsgrade der Schwingung

1e

θR3

1e

θkN3

1e

ωN3EN3U Tθ

ETθ

EATθAvibA EEE

2

2

Tθ

V

V

1e

eR3

T

UC

TEθ

TEθ

E

Klassischer Grenzfall: T ≫ E

0 R3CV

Quantenmechanischer Grenzfall: T ≪ E

0eR3C Tθ2

Tθ

VEE

Experiment 0TC 3

V

1.2.3. Das Debye-Modell

Einstein: Atome an imaginäre Gitterpunkte gekoppelt 1 Kopplungsfrequenz

Debye: Atome an alle Nachbaratome gekoppelt stehende Wellen -Spektrum

2 transversale Schwingungen pro Raumrichtung:

a a

a2vT

minmaxTνa2λ T

maxν

1 longitudinale Schwingung pro Raumrichtung:

a2vL

minmaxLνa2λ L

maxν

Effektive Grenzfrequenz

freier Modellparametergν

1.1.3. Spektrale Modendichte pro Polarisationstyp: ν 2

c

π43

( c Phasengeschwindigkeit )

νπ4νπ4νn 33L

3T v

32

v1

v22 νπ4νπ4νn 33

L3T v

32

v1

v22

a

aa

V

a ≫ Atomabstand ( wie bei Hohlraumstrahlung ) 0νν Lmin

Tmin 0νν L

minTmin

Kontinuumsgrenzfall

Normierung von n() im Debye-Modell: # Schwingungsmoden A

ν

0

N3νdνnVg

3g3

1v

π12 νV 3

Folgerung: Debye-Grenzfrequenz:

Debye-Temperatur:

31

A31

A

VN2

gVN

π43

g π6vωvν

gkh

gkD νωθ

νννn 0 νννn 0 νπ4νn 3c22 νπ4νn 3c22 νπ4νn 3v

32 νπ4νn 3v32

Planck Debye Einstein

0g

1e

νhTW

Tkνhν

1e

νhTW

Tkνhν

v

νπ12νn

3

2

v

νπ12νn

3

2

νdTWνnVU gν

0

ν νdTWνnVU gν

0

ν

g

Tkνh

3

3g

A

g

Tkνh

3

3

ν

01exp

ννπ4

N3

ν

01exp

νv

hπ12 νdhπ12 νdVU

31

A

VN

π43

g vν

xdT UTθ

01e

x4

θ

R9D

x

3

3D

xdT UTθ

01e

x4

θ

R9D

x

3

3D

kNR

θ

A

k

νh

Dg

Spezifische Wärme:

D

2

Tθ

2T

θTθ3

3D

D

Tθ

3

3D

θ

01exp

expθ

θ

R9θ

01exp

θθ

R9xTθ

V

V θd θdTT

UC

)(

)(

)(

xd1e

ex

θ

TR9C

Tθ

02x

x43

DV

D

xd

1e

ex

θ

TR9C

Tθ

02x

x43

DV

D

Tkνh xSubst.

Tk

νh

x

3

3g

A

g

01e

x4

hTk

ν

Nh9 xd

xd1e

ex

θ

TR9C

Tθ

02x

x43

DV

D

xd

1e

ex

θ

TR9C

Tθ

02x

x43

DV

D

Klassischer Grenzfall: T ≫ D

0

3R

T

θ

3

1

θ

TR9xdx

θ

TR9xd

1x1

1x

θ

TR9C

3

D

3

D

Tθ

0

2

3

D

Tθ

02

43

DV

DD

Erweiterungen:

• Mehrere Grenzfrequenzen ( z.B. für anisotrope Kristalle )

• Beachte Phonon-Dispersion in spektraler Dichte kωω

Quantenmechanischer Grenzfall: T ≪ D

Tθ

TRπ

5

12xd

1e

ex

θ

TR9C 3

3

D

4

02x

x43

DV

4154 π

Rätsel: Das freie Elektronengas in Metallen trägt nicht spürbar zu CV bei.

Klassische Erwartung: TkC 23

ElektronenV

Quantenmechanische Erklärung: Elektronen besitzen den Spin ( Drall ) 21

Pauli-Verbot: Zwei identische Teilchen mit halbzahligem Spin ( Fermionen ) können sich nicht im gleichen Quantenzustand befinden.

Theorie des Fermigases ( VL Festkörperphysik, VL Quantenstatistik ) Die Dichte n() der Energiezustände wächst mit ½ an.

n()

F

T 0 K

voll besetzt

Fermi-Kante

Fermi-Energie

angeregtn()

F

k Tk T

nicht anregbar

T 0

F ≫ kBZimmertemperatur nur winzige Energieaufnahme durch thermische Anregung an der Fermikante

1.3. Photonen

1.3.1. Der Photoeffekt

Newton, Descartes: Korpuskeltheorie des Lichtes nicht erfolgreich

Huygens, Fresnel, Hertz, Maxwell: Wellentheorie des Lichtes erfolgreich

Moderne Beobachtung: Das UV-Licht eines Lichbogens führt zur sofortigen Zündung einer anderen Funkenstrecke; ,,Photonen” ( Licht-Korpuskel ) schlagen Elektronen aus der Elektrode

Experiment von Hallwachs ( 1887 ):

UV-LichtMetallplatte

Elektrometer

Plattenladung

negativ

positiv

neutral

Beobachtung

Entladung

keine Entladung

positive Aufladung bis zum ,,Haltepotential”

Die Photozelle ( Lenard, 1902 )

Iph

Photo-strom

U

R

Strahlungsdichte S*

Photokathode

ElektronenVakuumröhre

Iph

UU0

Sättigung

Kompensations-Spannung

Befunde:

a) S*↗ Iph↗

Wellenbild Korpuskelbild

✔ ✔

b) Sättigungsstrom unabhängig von U sobald Raumladungseffekte klein

✔ ✔

c) e U0 max. kinetische Energie ausgelöster Elektronen

abhängig von , nicht aber von S* ↯ ✔

Iph

UU0

Iph

U

S*

d) Photostrom setzt bei Grenzfrequenz g ein. g hängt vom Kathodenmaterial ab.


↯ ✔

Iph

Mat

eria

l 1

Mat

eria

l 2

g1 g2

S*

↯ ✔

Iph

UU0

Iph

U

S*

e) Die Gegenspannung hängt charakteristisch von der Frequenz ab.


↯ ✔

↯ ✔

e U0

g0

hαtan hαtan

Austrittsarbeit

Iph

UU0

Iph

U

S*

f) Zwischen Lichteinfall und Photostrom gibt es keine messbare Verzögerung


↯ ✔

Beispiel: Austrittsarbeit aus Kathode

Hohe Bestrahlunsintensität

Elektronendichte

Zeitverzögerung ( Wellenbild )

Ws103eV2 192cmmW1I

215 cm10n sm100t

Iph

UU0

Iph

U

S*

Hypothese ( Einstein, 1905; Nobelpreis 1912 ): Licht ist in Photonen der Energie h quantisiert. Diese Quantisierung ist fundamental und hängt nicht mit der Quantisierung harmonischer Oszillatoren zusammen, wie bei der Planckschen Erklärung der Hohlraumstrahlung.

νhEγ E

Vakuum-Potential0

Fermi-Kante

Leitungselektronen

EF

kinE νhE kin Einstein-Gleichung

Grenzfrequenz: Grenzwellenlänge: h

ν g

hν g

chλ g

ch

λ g

Iph

UU0

Iph

U

S*

Messung von U0 als Funktion von h, νhEUe kin0 νhEUe kin0

e U0

g0

ν hg ν hg

Austrittsarbeit

hαtan hαtan

λ ]eV[nm1240ch

g λ ]eV[nm1240ch

g

Oberfläche eV g nm

Au 5,3 234 UV

Nb 4,3 288 UV

Cs 2,14 579 Visible

Ta / Cs 1,3 954 Near IR

Anwendung: Cs-aktivierte Photokathoden Quanteneffizienz typisch 25

Anwendung: Photomultiplier

Experiment: Korpuskelnatur des Lichts

Punktquelle ( Spalt )

PM 0

PM 1

PM 1

PM 2

PM 2

Hohe Intensität kontinuierlicher Photostrom in allen PMs

Kleine Intensität statistisch verteilte, kurze Stromstöße in einzelnen PMs

Moderner Detektor für geladene und neutrale Korpuskelstrahlung ( Teilchen ):

LEP-Speicherring, CERN, Genf:

e e

GeV10050E GeV10050E

e e Ionisationsspur des positiven Myons

Ionisationsspur des positiven Myons

Ionisationsspur des negativen Myons

Ionisationsspur des negativen Myons

Absorptionssignal eines sehr harten Photons, abgestrahlt vom

Absorptionssignal eines sehr harten Photons, abgestrahlt vom

Absorptionssignal eines weniger harten Photons,

abgestrahlt vom

Absorptionssignal eines weniger harten Photons,

abgestrahlt vom

1.3.2. Der Comptoneffekt ( Experiment: 1922, Nobelpreis: 1927 )

BlendePhoton-Detektor

Bragg-Kristall ( Monochromator )

Röntgen-Quelle

Blende Blende

Target-Material ( Substanz mit schwach

gebundenen Elektronen in Atomhüllen )

0λ Ungestreute Strahlung

drehbarer Monochromator /

Detektor-Arm

αλλ SS

Messprogramm: Für jeden fest eingestellten Streuwinkel drehe Monochromator / Detektor-Arm (), bis das Detektor-Signal maximal ist.

Klassische Theorie:

E

0quasi-freies

Elektron in Atom

Schwingung des Elektrons Hertzscher Dipol

ebene Welle

S

Streuwellenlänge: S 0

Beobachtung: Neben der klassischen Streuung gibt es eine gestreute Komponente mit S > 0. Diese nicht-klassische Komponente wird umso stärker, desto härter ( desto kleiner ) die einfallende Strahlung ist.

Sk

pcE

kp

ωE

SS

SS

SS

pcE

kp

ωE

SS

SS

SS

Sωcπ2

Sλ

e

e

E

p

Streuung im quantenmechanischen Photonen-Bild:

schwach gebunden: EB ≪ E

quasi-frei, in Ruhe

0k

0ωcπ2

0λ

e

me

pcE

kp

ωE

γγ

0γ

γ

pcE

kp

ωE

γγ

0γ

γ

Physik 3 sinλ2λλ 2φ2

C0S sinλ2λλ 2φ2

C0S

m102,426λ 12cm

hC e

m102,426λ 12cm

hC e

Compton-Wellenlänge des Elektrons

λ,sinλ2λλΔλ cmh

C2φ2

C0S e λ,sinλ2λλΔλ cm

hC2

φ2C0S e

Bemerkungen:

a) Stets 0 und S gemischt. Grund: Kollektive Streuung am Atom, MAtom ≫ me.

b) Compton-Formel experimentell bestätigt noch eine unabhängige Messung von h.

c) nur groß falls 0 ≲ OC X- und -Strahlung2φ2

λλ

λΔλ sin2

0

C

0

keV511cmωE0

C

0

C

0 λλ2

eλλ

λch

0γ

d) Ein Photon mit 0 C hat relativistische Masse me. Beim klassischen zentralen elastischen Stoß würde das Photon stehenbleiben, S . Hier:

e) Inverser Compton-Effekt: Streuung ultrarelativistischer Elektronen / Positronen ( z. B. von Pulsaren, schwarzen Löchern in aktiven galaktischen Kernen ) an weichen Photonen ( z.B. thermischen Photonen der kosmischen 2,7-Hintergrundstrahlung ).

CSC21802

C λ3λλ2sinλ2Δλ

AGN Cas A

elliptische Galaxie

Jet

Zurückführung auf Compton-Streuung durch Lorentztransformation ins Ruhesystem des e.

1.3.3. Photonen im Gravitationsfeld Turm

Detektor

Quelle

H

1

2

R.V. Pound and G.A. Rebka: Phys. Rev. Lett. 4 (1960) 337

21 ννν

Relativistische Photonmasse:22 c

νh

c

Em

E im Gravitationsfeld:

νΔhνhνh

HgmΔmEΔ

21

G

2G

22 c

Δ

c

Hg

ν

νΔ

c

Hgν

h

HgmνΔ

Bestätigt mittels Mößbauer-Spektroskopie

Bemerkungen:• Rotverschiebung bei Abstrahlung von Sonne:

2 0 unendliche Rotverschiebung Schwarzschildradius RS G M c2

Schwarze Löcher• Wellenbild ergibt gleiches Resultat mittles

Zeitdilatation im Gravitationsfeld ( Physik III )

2cR

MG

ν

νΔ

1.3.4. Der Mößbauer-Effekt ( Doktorarbeit: 1958, Nobelpreis: 1961 )Atomhülle / Atomkerne quantisierte Energieniveaus ( z. B. aus Linienspektren )

Beispiel: Fixiertes Atom

01 EEEΔνh

E

E0

E1Lebensdauer T1

E1 e

Emission

T

1ω

1

T

1ω

1

ωe

ωI EδT 11 EδT 11

EΔνh

E

E0

E1Lebensdauer T1

E1

e

Resonanzabsorption

T

1ω

1

T

1ω

1

ωa

ωI

, 2 , E1 h Natürliche Linienbreite ( Heisenbergsche Unschärfe )

Beispiel: Atomhülle Emission / Absorption im sichtbaren Bereich ( typisch )

eV1E γ Ο eV1E γ Ο 10ν

νΔ 10 10

ν

νΔ 10

Na-D-Linie:Hz105ν

nm589λ14

8

ννΔ

7

102

Hz101νΔ

Beispiel: Atomkern Emission / Absorption im Röntgen- / Gamma-Bereich

eVM1eVk10E γ ΟΟ eVM1eVk10E γ ΟΟ

57Fe-Linie:13

ννΔ 103 eVk14,4γFeFe

νFeCo5726Abregung

5726

e5726Einfang-K

5727

vM

eω

aω aω

Rückstoßeffekt bei freien Atomen: E

E0

E1

e

k,ωAbsorption:

MvM

kMkMk cv

21

cv

21

cω

cω

a

22a vMk

vMωω

a

221

a

M2

kωω

2a

a

M2

kωω

2

a

M2

kωω

2

a

E

E0

E1

e

k,ωEmission:

M

vMkk

vMωω

e

221

e

M2

kωω

2

e

M2

kωω

2

a

M2

kωω

2

a

M2

kωω

2

e

M2

kωω

2

e

2

22

ea cM

ω

M

kωωωΔ

cM

ω

ω

ωΔ

2

cM

ω

ω

ωΔ

2

Rückstoßeffekt:

Atomhülle: Na-D-Linie

ωe

ωI

a

.natωωΔ810

ωωΔ 10210

Emission und Reabsorption möglich

Co5727Atomkern:

.natωωΔ137

ωωΔ 103107,2

Reabsorption nicht möglich

ωe

ωI

a

Rückstoßfreie Emission / Absorption ( Mößbauer-Effekt ):

Atom im Kristallgitter M MKristall 0ω

ωΔ

a) keine Phonon-Anregung ( überwiegt bei T ≪ D )

b) Phonon-Anregung EG

ea ωω

Gea EΔωω

Messvorrichtung:

v ≲ O ( 1 m s )Emitter e

Absorber a

Detektor

ecv ν1ν

Dopplereffekt

Zählrate

v

e

ea

ννν

R cv

Anwendungen: • Kernniveaus in e.m.-Feldern des Gitters• Kernstruktur ( Quadrupolmoment )• Gitterdynamik ( Phonon-Anregung )• Gravitationsrotverschiebung

1.3.5. Röntgenbeugung ( Max von Laue: Experiment 1912, Nobelpreis: 1914 )

• 1912 bekannt: Harte e.m. Strahlung ( Röntgen, Gamma ) hat Teilchencharakter

• Offene Frage: Hat harte e.m. Strahlung auch Wellencharakter?

• Problem: Wellenlängen harter Strahlung im Å-Bereich. Wie stellt man Beugungsgitter her?

• Max von Laue Verwende Kristallgitter zur Röntgenbeugung!

Vakuumröhree

Röntgenstrahlen

Kristall

Fotoplatte

Beugungsbild

v. Laue, Friedrich, Knipping (1912)

Resultat: a) Welle / Teilchen Dualität der e.m. Strahlung

b) Kristalle haben periodische Raumgitterstruktur

Unendliche Folge von Einheitszellen

Translationsgitter: 321321mmm m,m,m,cmbmamT321

ℤ

a) Kristalle und Netzebenen:

• Einheitszelle:

b

a

caufgespannt durch Gittervektoren c,b,a

Gitterkonstanten cc,bb,aa

Einheitsvolumen bacVE

• Netzebenen:Durch beliebige drei nicht-kollinieare Gitterpunkte wird eine Netzebene aufgespannt, die unendlich viele Gitterpunkte enthält. Beliebige Gittertranslationen verschieben die Netzebene in parallele Netzebenen. So entsteht die zugehörige Netzebenenschar.

Beispiel: 2-D Gitter

b

a

c

• Flächennormalen:

bac,acb,cba EEE Vπ2

Vπ2

Vπ2

bac,acb,cba

EEE Vπ2

Vπ2

Vπ2

Eigenschaften:

0bcaccbabcaba

π2ccbbaa

0bcaccbabcaba

π2ccbbaa

E

3

V

π2bac

E

3

V

π2bac

Reziproke Gittervektoren:

Reziprokes Gitter: 321321nnn n,n,n,cnbnanG

321

ℤ

• Reziprokes Gitter: ( Handout ) c,b,a

Eigenschaft: Das reziproke Gitter zum reziproken Gitter ist das Ursprungsgitter

ccbbaa

Reziprokes Gitter: 321321nnn n,n,n,cnbnanG

321

ℤ

• Anschauliche Bedeutung des reziproken Gitters:

Die Vektoren stehen senkrecht auf den Flächen der Einheitszelle

Die Vektoren stehen senkrecht auf Netzebenenscharen des Gitters

c,b,a

0G321 nnn

Unschön: die Zuordnung zwischen

Netzebenenschar und Vektoren im reziproken Gitter ist uneindeutig.321321321 nnnnnnnknknk GGkG

• Millersche Indizes einer Netzebenenschar: h, k, l

321 n,n,nGGT|q|

Wähle beliebigen Vektor senkrecht auf der Netzebenenschar. 0G321 nnn

Wähle q: ( Vorzeichen von q identisch mit dem des

ersten nicht-verschwindenden Index n1, n2, n3 )

Millersche Indizes: teilerfremd kh qn

qn

qn 321 kh q

nq

nqn 321

Richtung senkrecht zur Netzebene: h, k, l eindeutig kh kh

kh

G

G

kh kh

kh

G

G

a

Ebene: n3 0

b

• Eigenschaften der Millerschen Indizes

Achsabschnitte der ersten Netzebene vom Ursprung aus gemessen:

c

,k

b,

h

a

ah1

bk1

Abstand benachbarter Netzebenen: G

π2d

kh

kh

G

π2d

kh

kh

dh k l

a

Ebene: n3 0

b

• Konstruktion der Millerschen Indizes

Suche Achsgitterpunkte auf einer Netzebene: cm,bm,am 321

a

b2

Suche kleinstes p mit pℕ m1,2,3 ℤ 321 m

pmp

mp ,k,h

Dieses Beispiel: m1 1, m2 2, m3 p 2 h 2, k 1, l

0

Schreibweise: 012

3

2

1

m2m

1m

2p

01k

2h

Netzebenenschar h k l

dhkl

Glanzwinkel

Gitterpunkte punktförmige Streuer

konstruktive Interferenz einer

Netzebene

dhkl

Konstruktive Interferenz aller Netzebenen: Bragg-Bedingungλmθsind2 hk

,2,1m

, Messung von dhkl

dhkl , fest Monochromator für

b) Monochromatische Röntgenbeugung: Bragg-Reflexion

nnTsΔ 2

k

n

0k

0n

c) Spektral kontinuierliche Röntgenbeugung: Laue-BeugungBremsstrahlung in Röntgenröhre oder Synchrotronstrahlung

Bei der Laue-Beugung überlagern sich die Bragg-Reflexe aller Netzebenen für die jeweils passenden Wellenlängen.

321 mmmTT

001 nnTsΔ

1n

nk

0

0λπ2

0

1n

nk

0

0λπ2

0

1n

nk λπ2

1n

nk λπ2

c,nγb,nβa,n

c,nγb,nβa,nα 000000

Laue-Bedingung: Für alle m1, m2, m3 ist der Gangunterschied der Streuwellen ein Vielfaches der Wellenlänge des betrachteten Laue-Reflexes.

m,λmnTnTΔs 0

m,λmnTnTΔs 0

ℤ

nnTsΔ 2

k

n

0k

0n

321 mmmTT

001 nnTsΔ

1n

nk

0

0λπ2

0

1n

nk

0

0λπ2

0

1n

nk λπ2

1n

nk λπ2

c,nγb,nβa,n


m,λmnTnTΔs 0

m,λmnTnTΔs 0

ℤ

mπ2kΔcmkΔbmkΔammπ2kTkTkΔT 3210

m1, m2, m3 beliebig es gibt h, k, l ℤ mit

π2kΔc

kπ2kΔb

h π2kΔa

π2kΔc

kπ2kΔb

h π2kΔa

c,nγb,nβa,n


π2kΔc

kπ2kΔb

h π2kΔa

π2kΔc

kπ2kΔb

h π2kΔa

Formulierung 1:

γcosγcoscncnckckckΔcπ2

βcosβcosbnbnbkbkbkΔbkπ2

αcosαcosananakakakΔahπ2

0λπ2

0λπ2

0

0λπ2

0λπ2

0

0λπ2

0λπ2

0

Laue-Gleichungen:

cλ

0

bλ

0

aλ

0

γcosγcos

k βcosβcos

h αcosαcos

Für feste Einfallsrichtung ( 0, 0, 0 ) und jede feste Wahl von h, k, l:• 4 Unbekannte: , , , • 3 Laue-Gleichungen• 1 Normierungsgleichung: 1γcos,βcos,αcosnn

Für jede Wahl von h, k, l existiert genau ein Laue-Reflex bei einer ganz spezifischen Wellenlänge

π2kΔc

kπ2kΔb

h π2kΔa

π2kΔc

kπ2kΔb

h π2kΔa

Laue-Reflexe treten genau dann auf, wenn ein Gittervektor des reziproken Gitters ist.

kΔ

Formulierung 2:

Darstellung von in BasiskΔ c,b,a

cawbavaaukΔahπ2

cwbvaukΔ

uπ22 0 0

hu

cbwbbvabukΔbkπ2

vπ20 2 0

kv

ccwbcvacukΔcπ2

wπ20 0 2

w

GkΔ kh

GkΔ kh

Beziehung zur Bragg-Bedingung:

( Millersche Indizes )~,k

~,h

~

0k

k

k

kΔθsin2kΔ λ

π2

khGkΔ

~,k

~,h

~m,k,h,,khGGTm

~

k~

h~d

π2~

k~

h~khλ

π2 mGmGθsin2

λmθsind2 ~k~

h~

Bragg-Bedingung

Folgerung: Für existieren keine Bragg-Reflexe mehr.

Das Medium wird optisch homogen.

~k~

h~

~,k

~,h

~dsup2λ

Typischer Wert: dmax 51010 m Vergleich: vis 5107 m

d) Analyseverfahren:

Laueverfahren ( Punktreflexe )

kontinuierliche Röntgenstrahlung

Kristall ( fest orientiert )

Drehkristall-Verfahren ( Punktreflexe )

monochromatische Röntgenstrahlung

Kristall

feste Drehachse

Debye-Scherrer-Verfahren ( Linienreflexe )

monochrmatische

Röntgenstrahlung

Kristallpulver ( orientierungslos )

Film

ωE γ ωE γ kp γ

kp γ

e) Fazit: Röntgenstrahlung hat sowohl Wellencharakter ( Kristallbeugung... ) als auch Teilchencharakter ( Comptoneffekt,... ). Das gilt auch generell für elektromagnetische Strahlung ( Interferenz vs. Photoeffekt ).

|p| λh

λπ2

γ |p| λ

hλπ2

γ

Kernreaktor

Neutronen-Absorber

Moderator Neutronen-Abbremsung

( Thermalisierung )

Kollimator

thermische Neutronen

Kristall

Detektor

T 300 K En 25 meV ckeV7Em2p nnn

m108,1 10phn

Knüller: Laue-Reflexe wie bei Röntgenstrahlung mit 1,81010

m

Neutronen sind auch Teilchen mit Wellencharakter!

... und Elektronen ? Dito !

Hypothese: Alle ,,Teilchen” ( Neutrinos, Kerne, Moleküle, Kristalle, Katzen, Planeten, ... ) haben Wellencharakter und alle ,,Kraftfeldwellen” ( elektromagnetisch, Gravitation, … ) haben Teilchencharakter.

Quantentheorie Teilchen sind WellenQuantenfeldtheorie Kraftfeldwellen sind Teilchen

Physik IV: Quantenmechanik

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