Physik IV: Quantenmechanik
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Physik IV: Quantenmechanik
Historische Höhepunkte:
1900 Planck Einführung der „Hilfsgröße“ h ( Wirkungsquantum )Erklärung des Spektrums der Wärmestrahlung
1905 Einstein Einführung des Lichtquants ( Photon ), E h Erklärung des Photoeffekts
1907 Einstein Einführung des Gitterschwingungsquants ( Phonon ), Evib h Erklärung der spezifischen Wärme der Festkörper
1913 Bohr Einführung des Drehimpulsquants, ħ h Erklärung des Wasserstoffspektrums
1924 de Broglie Postulat der Welle-Teilchen-Dualität, p ħ kVorhersage von Materiewellen
1925 Schrödinger Wellen-QuantenmechanikHeisenberg Matrizen-Quantenmechanik
Geburt der modernen Quanten(feld)theorie
Vorlesung Phänomenologie (mit Experimenten) Anwendungen & Computer-Simulationen zur abstrakten Theorie
1. Die Plancksche Quantenhypothese
1.1. Wärmestrahlung
Wärmestrahlung Temperatur-abhängige e.m. Strahlung von Körpern ( z.B. Sonne )
Folgerung: Auch durch Vakuum getrennte Körper können sich mittels Austausch von Wärmestrahlung im thermischen Gleichgewicht befinden
1.1.1. Erzeugung und Absorption von Strahlung
Beobachtung: Es gibt zwei Strahlungsklassen
Typ 1: Diskrete Frequenzspektren ( Linienspektren ) bei atomaren molekularen Gasen nicht zu großen Drucks unabhängige Partikel T-unabhängig; Eigenschaft der Atomhüllen-Struktur ( Bohrsches Atommodell )
Typ 2: Kontinuierliche Frequenzspektren bei festen flüssigen Strahlern, Gasen großen Drucks und dichten Plasmen in charakteristischer Weise T-abhängig
Beispiele: Glühlampe, Bogenlampe, Metallschmelze, Sonnenplasma
Emissionsvermögen:
Oberflächenelement des Strahlers ( Projektion
Strahlungsrichtung )
dF
d
td
WddPE
von dF in d emittierte Strahlungsleistung
d,Fd
Beobachtung: E hängt von der Oberflächenbeschaffenheit abschwarze Oberfläche E großspiegelnde weiße Oberfläche E klein
Definition: Emissionsvermögen Strahlungsleistung pro Fläche und Raumwinkel
TEE dFd
PdE E
Emissionsvermögen:
PE Geometriefaktor E
Integrales Absorptionsvermögen:
TAA d
dA
absorbierte Strahlungsleistung
auftreffende Strahlungsleistung
T T
① ②
idealer Spiegel
Vakuum
P1 P2
thermisches Gleichgewicht
Gedankenexperiment:
unterschiedliche Oberflächen ①, ② 2
.a.i
1 PP
2. Hauptsatz der Thermodynamik td
Qd
td
Qd 21
①: 21geom211 EAkPA
td
Qd
②: 12geom122 EAkPA
td
Qd kgeom Geometriefaktor
Folgerung:
TKTA
TE
TA
TE
TA
TP
TA
TP
2
2
1
1
2
2
1
1
unabhängig von Oberfläche
Kirchhoffsches Strahlungsgesetz: TATKTE TATKTE
Defintion: Ein Körper heißt ideal schwarz, wenn seine Oberfläche alle elektro-magnetische Strahlung vollkommen absorbiert, d.h. A 1.
Folgerung: Ein ideal schwarzer Körper besitzt das größtmögliche Emissions-vermögen für thermische Strahlung.
Technische Realisierungen:
a) schwarze Oberfläche großer Rauhigkeit Vielfachstreuung, allmähliche Absorption, keine nennenswerte
Reflexion
b) Hohlraum mit geschwärzten Innenwänden
Schwarzkörperstrahlung Hohlraumstrahlung universelles Emissionsspektrum für gegebene Temperatur
Wand-Temperatur T
V
kleines Loch
E*
Prinzip Realisierung
Heizung
Thermoelement
1.1.2. Charakteristische Größen thermischer Strahlung
Strahlungsfeld Überlagerung ebener Wellen Ωdωdeθ,ω,EE rktωi0
Ωdωdeθ,ω,EE rktωi0
θcos
cosθsin
sinθsin
c
ωk
θcos
cosθsin
sinθsin
c
ωk
θcosddd θcosddd
a) Energiedichte eines Strahlungsfeldes
3mJ2
00 wΩdωdEεw
Spezialfall: Isotropes Feld ωEE 00
ωdEεπ4w 200 ωdEεπ4w 2
00 π4
w
Ωd
wd
π4
w
Ωd
wd
Ωdωdeθ,ω,EE rktωi0
Ωdωdeθ,ω,EE rktωi0
Spektrale Energiedichten eines Strahlungsfeldes
Hzm
J
ν
200π2
ω200ν 3wΩdEεπ2ΩdωdνEεw
42 mJ
λ
200λ
cπ2ω
cπ2200λ wΩdEεΩdωdλEεw
www νcν
νλc
νcλλ
2
2
www νcν
νλc
νcλλ
2
2 λdwνdw w λν λdwνdw w λν
Spezialfall: Isotropes Feld ωEE 00
π4
w
Ωd
wd νν
π4
w
Ωd
wd νν
π4
w
Ωd
wd λλ
π4
w
Ωd
wd λλ
b) Intensität bzw. Energieflussdichte eines Strahlungsfeldes
ωdEcε
IωdHEωdSI
200
mW
00 2
n
dFnk
Ωdωdeθ,ω,EE rktωi0
Ωdωdeθ,ω,EE rktωi0
Spezialfall: Isotropes Feld ωEE 00
ωdEεπ4w 200 ωdEεπ4w 2
00 wcIπ4 wcIπ4
c) Messgröße: Strahlungs- bzw. Leuchtdichte einer Quellfläche
Spezialfall: S* ist richtungsunabhängig. Dann heißt die Quellfläche Lambertstrahler.
Hohlraumöffnungen sind Lambertstrahler!
Die Strahlungsdichte S* ist die pro Raumwinkel und projizierter Emissionsfläche in einem weit entfernten Detektor registrierte Leistung
td
Wdd
dF
Steradm
WS
θcosFdΩdtd
WdS
2
dF
dF cos
Analog: Spektrale Strahlungsdichten S νdSd
ν
S νdSd
ν
S λd
Sdλ
S λdSd
λ
Zusammenhang mit der Energiedichte des Quellfeldes:
td
Wdd
dF
Ωd
wdc
ΩdVd
Wdc
θcosFdΩdtd
WdS
dF
c dtθcosFdtdcVd
Analog: Ωd
wdcS ν
ν Ωd
wdcS ν
ν
Ωd
wdcS λ
λ Ωd
wdcS λ
λ
Spezialfall: Isotropes Quellfeld:
π4
w
Ωd
wd λν,λν,
cwSπ4 λν,λν, cwSπ4 λν,λν,
Strahlungsleistung auf infinitesimaler Empfängerfläche:
Ωd 222
r
θcosFd
td
Wd 1
dF1
1
.
dF2
2
r
QuelleDetektor
r
θcosFdFdθcosSΩdFdθcosS
td
Wd
22
21111111
Bestrahlungsstärke ( Intensität ) am Detektor:
FdθcosStdFd
Wd
1
22
F
1r
θcos11
2
1 FdθcosStdFd
Wd
1
22
F
1r
θcos11
2
1
Strahlungsleistung auf ausgedehnter Empfängerfläche:
φdθcosdθcosSFd
FdθcosSFdtd
Wd
2
2
22
F
11
F
2r
θcos11
1
Lambertstrahler
.constS1
dF1
r r ( , )
2
dF2θcosdφdrθcosFd 2
22
φdθcosdSFdtd
Wd
2F
2112
11 φdθcosdSFdtd
Wd
2F
2112
11 Fdθcos1Sπtd
Wd 1m
21
1 Fdθcos1Sπtd
Wd 1m
21
1 π0,2φ
mθ0,θ
Emission in gesamten Halbraum ( m ): FdSπtd
Wd 11
Halbraum
1 FdSπtd
Wd 11
Halbraum
1
1.1.3. Hohlraumstrahlung
Definition: Der ideale Hohlraum hat das Volumen V und die Wände befinden sich ( durch Wärmestrahlung ) im thermischen Gleichgewicht ( Temeratur T ).
Folgerung 1: Leistungsbilanz der Wände an jeder Stelle:
td
νWd
td
νWd EA
td
νWd
td
νWd EA
absorbiert emittiert
Folgerung 2: Das Strahlungsfeld ( Hohraumstrahlung ) ist isotrop.
Beweis: Betrachte dünne Testscheibe. Thermisches Gleichgewicht Temperatur T.Angenommen, am Ort der Testscheibe wäre die Strahlung anisotrop:
TdF
Intensität groß
Intensität klein
T T dF
Intensität groß
Intensität klein
Drehung
Widerspruch zum 2. Hauptsatz der Thermodynamik.
Folgerung 3: Das Strahlungsfeld ( Hohraumstrahlung ) ist auch homogen.
Beweis: Betrachte dünne Testscheibe. Thermisches Gleichgewicht Temperatur T.Angenommen, es gäbe 2 Orte mit unterschiedlicher Strahlungsintensität:
TdF
Intensität groß
Intensität klein
Verschiebung
Widerspruch zum 2. Hauptsatz der Thermodynamik.
T TdF
Intensität groß Intensität
klein
Folgerung 4: Leistungsbilanz der Testscheibe an jedem Ort in jeder Orientierung
T dF
dtd
Wd A
td
Wd E
νdΩdFdSA ννtdWd A νdΩdFdE νtd
Wd E
Thermische Emission und Absorption eines Körpers der Temperatur T sind über die Strahlungsdichte der zugehörigen Hohlraumstrahlung verknüpft: STK νν
STK νν
ASE ννν
Kirchhoffsches Strahlungsgesetz
tdWd
tdWd EA
Folgerung 5: Spektrale Modendichte der Hohlraumstrahlung
Wandgeometrie und Beschaffenheit beliebig ( V )
verwende o.B.d.A. ideal leitenden Würfel, Kantenlänge a a
aa
ν
0
2
0j,m,n3a
νν3a
ννj,m,n
3a
ca2
nmjnmj
rdrΩda
1lim2jdmdnd
a
1lim21
a
1lim2νN
# Polarisationen j,m,nr Kugelkoordinaten
8
π43
νc
a2
3
1
νN 3
cν
3π8 νN 3
cν
3π8 ννn 2
c
π8νdNd
3Spektrale Modendichte
Modendichte N() Zahl der Moden in [ 0 , ] pro Volumen
Physik III Eigenfrequenzen der stehenden Wellen ( Moden )
0,0,0\l,m,njmnν 30
222a2
cnmj je 2 Polarisationen
pro Modeℕ
1.1.4. Das Plancksche Strahlungsgesetz
ννn 2
c
π83Spektrale Modendichte der Hohlraumstrahlung:
Mittlere Energie der Moden: TWν
TkTw 3
2
c
νπ8ν TkTw 3
2
c
νπ8ν TkS 2
2ν
c
ν2π4cw
ν TkS 2
2ν
c
ν2π4cw
ν
Rayleigh-Jeansches Strahlungsgesetz
Klassisches Modell: Jede Mode ist an harmonische Schwingungen der Atome in den Wänden gekoppelt. Im thermische Gleichgewicht folgt (Äquipartitionstheorem):
TkTkTkTkTW BB21
B21
ν kinetische Energie
potentielle Energie
Spektrale Energiedichte der Hohlraumstrahlung: TWνnTw νν TWνnTw νν
Experiment stimmt nur für 0 ( z.B. Infrarotbereich bei T 5000 K )
Ultraviolett-Katastrophe: νdTwTwνTw ν2
ν
Plancksche Hypothese: Jede Mode ist an quantisierte harmonische Schwingungen der Wandatome gekoppelt:
νhnW ν νhnW ν n ℕ
,,Hilfsgröße” h: Plancksches Wirkungsquantum: sJ10626,6h 34
Das Energiequantum h wird von dem Feldquant des elektromagnetischen Feldes, dem Photon, getragen. Die Energie W n h entspricht der Energie von n Photonen der Frequenz im Hohlraum.
Postulat: Die ,,Besetzungszahlen” n() folgen aus der klassischen Statistik
Boltzmannsches Verteilungsgesetz Tkνh
TkW
ν nexpexpWp
Normierte Wahrscheinlichkeitsverteilung für n:
0j
βνhj
βνhn
ν
e
enp
Tk
1β
Tk
1β
0j
βνhj
βνhn
ν
e
enp
Tk
1β
Tk
1β νhnTWν
Also:
0j
βνhj
0n
βνhn
ν0n
νν
e
eνhnTWnpTW
2βνh
βνh
βνh0n
βνhn
0n
βνhn
e1
eνh
e1
1
βe
βeνhn
geometrische Reihe
βνhe1
1
1e
νh
e1
eνhTW
βνhβνh
βνh
ν
1e
νhTW
Tkνhν
1e
νhTW
Tkνhν
ννn 2
c
π8νdNd
3 ννn 2
c
π8νdNd
3 TWνnTw νν TWνnTw νν
Plancksches Strahlungsgesetz
1e
1
c
νhπ8Tw
Tkνh3
3
ν
1e
1
c
νhπ8Tw
Tkνh3
3
ν
1e
1
c
νh2w
π4
cS
Tkνh2
3
νν
1e
1
c
νh2w
π4
cS
Tkνh2
3
νν
1e
1
c
νh2S
c
νS
Tkνh3
5
ν
2
λ
1e
1
c
νh2S
c
νS
Tkνh3
5
ν
2
λ
Infrarot-Grenzfall: h ≪ k T ( klassischer Grenzfall ,,h 0” )
Tkνh1e Tk
νh
TkνTw 2
c
π8ν 3 TkνTw 2
c
π8ν 3
Rayleigh-Jeans-Gesetz
Ultraviolett-Grenzfall: h ≫ k T
Tkνh
Tkνh
e1e eνTw Tkνh
3
3
c
hπ8ν
eνTw Tk
νh
3
3
c
hπ8ν
Wiensches Strahlungsgesetz
Vorhersage von Form und Normierung des thermischen Spektrums
1
10
100
0,1
0,01
1000
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2
Tkchλ
][ 34
5
ch
Tk2λS
Rayleigh-Jeans
Planck
Wien
MaxSlnMaxS λλ
0
5
10
15
20
25
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Tkchλ
][ 34
5
ch
Tk2λS
1e
1
c
νh2S
Tkνh3
5
λ
1e
1
c
νh2S
Tkνh3
5
λ
Position des Maximums:
Tkνhx Abkürzung:
1elnxln5.constSln xλ
9651,4xe15xSln0 xλdxd
1ee
x5
λλdd
x
x
!
KTGHz1039651,4ν hTk
max KTGHz1039651,4ν hTk
max 2014,0λ KT
mm898,2Tkch
max 2014,0λ KT
mm898,2Tkch
max
.constKmm898,2λT max Wiensches Verschiebungsgesetz
x0
0.4
0.8
1.2
1.6
0 2 4 6 8 10
][ 32
3
ch
Tkπ8νw
Gesamte Energiedichte:
Tkνhx Abkürzung:
1e
1
c
νhπ8Tw
Tkνh3
3
ν
1e
1
c
νhπ8Tw
Tkνh3
3
ν
xdxνdw hTk
1e133
hTk
c
hπ8ν x3
4
ch15
π8
01e
xch
Tkπ8 Tkxdw 33
5
x
3
3
4
4
ch15
π2π4
c TkwS 23
4
4151 π
Leistungsabgabe eines Lambertstrahlers der Fläche F in Halbraum: S F
428
ch15
kπ24td
Wd KmW1067,5σTFσ 23
45 Stefan-Boltzmann-Gesetz
Stefan-Boltzmann-Konstante
Quantenmechanik
1e
1
c
νh2S
Tkνh3
5
λ
1e
1
c
νh2S
Tkνh3
5
λ
Anmerkungen:
• Experimentelle Messung des Hohraumspektrums
– Bestätigung der Planckschen Theorie– Messung von h durch Anpassung der Planck-Formel an gemessene Spektren
• Vorgriff: De Broglies Geniestreich Gilt das vielleicht auch für Korpuskeln ( Elektronen, Protonen, Viren, Katzen, ... ), die dann auch Wellennatur haben? Postulat:
ωE ωE kp
kp
• Interpretation der Photonen als Korpuskeln mit Wellennatur (?)
– Energie:
– Impuls:
π2h π2h ωνhE γ
|k||k|νhE|p| π2h
λh
c1
c1
γ
0m,cv γγ
1.2. Spezifische Wärme von Festkörpern
1.2.1. Klassische Theorie
Erinnerung: Innere Energie eines Mols ( NA Teilchen ) einer Substanz: U
Molare spezifische Wärme C const.VT
UV
C const.VT
UV
Avogadrokonstante
Gaskonstante
kNR A kNR A
# Freiheitsgrade
Äquipartitionstheorem: Jeder Freiheitsgrad trägt den gleichen Anteil ½ RT der inneren Energie U.
RCTRU 2f
V2f
1-atomige Gase f 3 ( Translation: 3, Rotation: 0 )
2-atomige Gase f 5 ( Translation: 3, Rotation: 2 )
mehratomige Gase f 6 ( Translation: 3, Rotation: 3 )
Festkörper f 6 ( Ekin: 3, Epot: 3 )( Schwingungen der Gitteratome )
RC 23
V
RC 25
V
R3CV
R3CV
Experimenteller Befund:
0 1000 T [K]
3R
CVklassische Theorie
PbC
Klassische Theorie versagt, besonders drastisch bei
• kleinen Temperaturen
• Festkörpergitter aus leichteren Atomen
• stark gebundenen Festkörpergittern hohe Schwingungsfrequenzen Déjà-vu: Ultraviolettkatastrophe !! ??
Wärmestrahlung: Elektronen schwingen um Atomkerne Photonen
Innere Energie: Atome schwingen um Gitterplätze Phononen ???
1.2.2. Das Einstein-Modell
Postulat ( Verallgemeinerung der Planckschen Hypothese ):• Die Schwingungsenergie harmonischer Oszillatoren ( Eigenkreisfrequenz ) ist
stets quantisiert und ist ein ganzzahliges Vielfaches des Grundquants .
• Bei Festkörpern ergibt sich aus der ,,Federkonstante” der Atombindung an den Gitterplatz und das Grundquant der Energie heißt Phonon. Ein Schwingungs-Zustand eines Gitteratoms besteht aus n Phononen:
ω
ω
ωnE vib ωnE vib
Vorgriff: Quantenmechanisch korrektes Resultat für harmonische Oszillatoren
macht hier keinen Unterschied ( Glück gehabt )
ωnE 21
n ωnE 21
n
ωNA23
quantenmechanische Grundzustandsenergie
ω21
Mittlere Schwingungsenergie: Analog zu bei Hohlraumstrahlung TWν
1e
ω
1e
νhE
TEθ
Tkνhvib
k
ωE ωθ
Einstein-Temperatur
NA schwingende Atome, 3 räumliche Freiheitsgrade der Schwingung
1e
θR3
1e
θkN3
1e
ωN3EN3U Tθ
ETθ
EATθAvibA EEE
2
2
Tθ
V
V
1e
eR3
T
UC
TEθ
TEθ
E
Klassischer Grenzfall: T ≫ E
0 R3CV
Quantenmechanischer Grenzfall: T ≪ E
0eR3C Tθ2
Tθ
VEE
Experiment 0TC 3
V
1.2.3. Das Debye-Modell
Einstein: Atome an imaginäre Gitterpunkte gekoppelt 1 Kopplungsfrequenz
Debye: Atome an alle Nachbaratome gekoppelt stehende Wellen -Spektrum
2 transversale Schwingungen pro Raumrichtung:
a a
a2vT
minmaxTνa2λ T
maxν
1 longitudinale Schwingung pro Raumrichtung:
a2vL
minmaxLνa2λ L
maxν
Effektive Grenzfrequenz
freier Modellparametergν
1.1.3. Spektrale Modendichte pro Polarisationstyp: ν 2
c
π43
( c Phasengeschwindigkeit )
νπ4νπ4νn 33L
3T v
32
v1
v22 νπ4νπ4νn 33
L3T v
32
v1
v22
a
aa
V
a ≫ Atomabstand ( wie bei Hohlraumstrahlung ) 0νν Lmin
Tmin 0νν L
minTmin
Kontinuumsgrenzfall
Normierung von n() im Debye-Modell: # Schwingungsmoden A
ν
0
N3νdνnVg
3g3
1v
π12 νV 3
Folgerung: Debye-Grenzfrequenz:
Debye-Temperatur:
31
A31
A
VN2
gVN
π43
g π6vωvν
gkh
gkD νωθ
νννn 0 νννn 0 νπ4νn 3c22 νπ4νn 3c22 νπ4νn 3v
32 νπ4νn 3v32
Planck Debye Einstein
0g
1e
νhTW
Tkνhν
1e
νhTW
Tkνhν
v
νπ12νn
3
2
v
νπ12νn
3
2
νdTWνnVU gν
0
ν νdTWνnVU gν
0
ν
g
Tkνh
3
3g
A
g
Tkνh
3
3
ν
01exp
ννπ4
N3
ν
01exp
νv
hπ12 νdhπ12 νdVU
31
A
VN
π43
g vν
xdT UTθ
01e
x4
θ
R9D
x
3
3D
xdT UTθ
01e
x4
θ
R9D
x
3
3D
kNR
θ
A
k
νh
Dg
Spezifische Wärme:
D
2
Tθ
2T
θTθ3
3D
D
Tθ
3
3D
θ
01exp
expθ
θ
R9θ
01exp
θθ
R9xTθ
V
V θd θdTT
UC
)(
)(
)(
xd1e
ex
θ
TR9C
Tθ
02x
x43
DV
D
xd
1e
ex
θ
TR9C
Tθ
02x
x43
DV
D
Tkνh xSubst.
Tk
νh
x
3
3g
A
g
01e
x4
hTk
ν
Nh9 xd
xd1e
ex
θ
TR9C
Tθ
02x
x43
DV
D
xd
1e
ex
θ
TR9C
Tθ
02x
x43
DV
D
Klassischer Grenzfall: T ≫ D
0
3R
T
θ
3
1
θ
TR9xdx
θ
TR9xd
1x1
1x
θ
TR9C
3
D
3
D
Tθ
0
2
3
D
Tθ
02
43
DV
DD
Erweiterungen:
• Mehrere Grenzfrequenzen ( z.B. für anisotrope Kristalle )
• Beachte Phonon-Dispersion in spektraler Dichte kωω
Quantenmechanischer Grenzfall: T ≪ D
Tθ
TRπ
5
12xd
1e
ex
θ
TR9C 3
3
D
4
02x
x43
DV
4154 π
Rätsel: Das freie Elektronengas in Metallen trägt nicht spürbar zu CV bei.
Klassische Erwartung: TkC 23
ElektronenV
Quantenmechanische Erklärung: Elektronen besitzen den Spin ( Drall ) 21
Pauli-Verbot: Zwei identische Teilchen mit halbzahligem Spin ( Fermionen ) können sich nicht im gleichen Quantenzustand befinden.
Theorie des Fermigases ( VL Festkörperphysik, VL Quantenstatistik ) Die Dichte n() der Energiezustände wächst mit ½ an.
n()
F
T 0 K
voll besetzt
Fermi-Kante
Fermi-Energie
angeregtn()
F
k Tk T
nicht anregbar
T 0
F ≫ kBZimmertemperatur nur winzige Energieaufnahme durch thermische Anregung an der Fermikante
1.3. Photonen
1.3.1. Der Photoeffekt
Newton, Descartes: Korpuskeltheorie des Lichtes nicht erfolgreich
Huygens, Fresnel, Hertz, Maxwell: Wellentheorie des Lichtes erfolgreich
Moderne Beobachtung: Das UV-Licht eines Lichbogens führt zur sofortigen Zündung einer anderen Funkenstrecke; ,,Photonen” ( Licht-Korpuskel ) schlagen Elektronen aus der Elektrode
Experiment von Hallwachs ( 1887 ):
UV-LichtMetallplatte
Elektrometer
Plattenladung
negativ
positiv
neutral
Beobachtung
Entladung
keine Entladung
positive Aufladung bis zum ,,Haltepotential”
Die Photozelle ( Lenard, 1902 )
Iph
Photo-strom
U
R
Strahlungsdichte S*
Photokathode
ElektronenVakuumröhre
Iph
UU0
Sättigung
Kompensations-Spannung
Befunde:
a) S*↗ Iph↗
Wellenbild Korpuskelbild
✔ ✔
b) Sättigungsstrom unabhängig von U sobald Raumladungseffekte klein
✔ ✔
c) e U0 max. kinetische Energie ausgelöster Elektronen
abhängig von , nicht aber von S* ↯ ✔
Iph
UU0
Iph
U
S*
d) Photostrom setzt bei Grenzfrequenz g ein. g hängt vom Kathodenmaterial ab.
Wellenbild Korpuskelbild
↯ ✔
Iph
Mat
eria
l 1
Mat
eria
l 2
g1 g2
S*
↯ ✔
Iph
UU0
Iph
U
S*
e) Die Gegenspannung hängt charakteristisch von der Frequenz ab.
Wellenbild Korpuskelbild
↯ ✔
↯ ✔
e U0
g0
hαtan hαtan
Austrittsarbeit
Iph
UU0
Iph
U
S*
f) Zwischen Lichteinfall und Photostrom gibt es keine messbare Verzögerung
Wellenbild Korpuskelbild
↯ ✔
Beispiel: Austrittsarbeit aus Kathode
Hohe Bestrahlunsintensität
Elektronendichte
Zeitverzögerung ( Wellenbild )
Ws103eV2 192cmmW1I
215 cm10n sm100t
Iph
UU0
Iph
U
S*
Hypothese ( Einstein, 1905; Nobelpreis 1912 ): Licht ist in Photonen der Energie h quantisiert. Diese Quantisierung ist fundamental und hängt nicht mit der Quantisierung harmonischer Oszillatoren zusammen, wie bei der Planckschen Erklärung der Hohlraumstrahlung.
νhEγ E
Vakuum-Potential0
Fermi-Kante
Leitungselektronen
EF
kinE νhE kin Einstein-Gleichung
Grenzfrequenz: Grenzwellenlänge: h
ν g
hν g
chλ g
ch
λ g
Iph
UU0
Iph
U
S*
Messung von U0 als Funktion von h, νhEUe kin0 νhEUe kin0
e U0
g0
ν hg ν hg
Austrittsarbeit
hαtan hαtan
λ ]eV[nm1240ch
g λ ]eV[nm1240ch
g
Oberfläche eV g nm
Au 5,3 234 UV
Nb 4,3 288 UV
Cs 2,14 579 Visible
Ta / Cs 1,3 954 Near IR
Anwendung: Cs-aktivierte Photokathoden Quanteneffizienz typisch 25
Anwendung: Photomultiplier
Experiment: Korpuskelnatur des Lichts
Punktquelle ( Spalt )
PM 0
PM 1
PM 1
PM 2
PM 2
Hohe Intensität kontinuierlicher Photostrom in allen PMs
Kleine Intensität statistisch verteilte, kurze Stromstöße in einzelnen PMs
Moderner Detektor für geladene und neutrale Korpuskelstrahlung ( Teilchen ):
LEP-Speicherring, CERN, Genf:
e e
GeV10050E GeV10050E
e e Ionisationsspur des positiven Myons
Ionisationsspur des positiven Myons
Ionisationsspur des negativen Myons
Ionisationsspur des negativen Myons
Absorptionssignal eines sehr harten Photons, abgestrahlt vom
Absorptionssignal eines sehr harten Photons, abgestrahlt vom
Absorptionssignal eines weniger harten Photons,
abgestrahlt vom
Absorptionssignal eines weniger harten Photons,
abgestrahlt vom
1.3.2. Der Comptoneffekt ( Experiment: 1922, Nobelpreis: 1927 )
BlendePhoton-Detektor
Bragg-Kristall ( Monochromator )
Röntgen-Quelle
Blende Blende
Target-Material ( Substanz mit schwach
gebundenen Elektronen in Atomhüllen )
0λ Ungestreute Strahlung
drehbarer Monochromator /
Detektor-Arm
αλλ SS
Messprogramm: Für jeden fest eingestellten Streuwinkel drehe Monochromator / Detektor-Arm (), bis das Detektor-Signal maximal ist.
Klassische Theorie:
E
0quasi-freies
Elektron in Atom
Schwingung des Elektrons Hertzscher Dipol
ebene Welle
S
Streuwellenlänge: S 0
Beobachtung: Neben der klassischen Streuung gibt es eine gestreute Komponente mit S > 0. Diese nicht-klassische Komponente wird umso stärker, desto härter ( desto kleiner ) die einfallende Strahlung ist.
Sk
pcE
kp
ωE
SS
SS
SS
pcE
kp
ωE
SS
SS
SS
Sωcπ2
Sλ
e
e
E
p
Streuung im quantenmechanischen Photonen-Bild:
schwach gebunden: EB ≪ E
quasi-frei, in Ruhe
0k
0ωcπ2
0λ
e
me
pcE
kp
ωE
γγ
0γ
γ
pcE
kp
ωE
γγ
0γ
γ
Physik 3 sinλ2λλ 2φ2
C0S sinλ2λλ 2φ2
C0S
m102,426λ 12cm
hC e
m102,426λ 12cm
hC e
Compton-Wellenlänge des Elektrons
λ,sinλ2λλΔλ cmh
C2φ2
C0S e λ,sinλ2λλΔλ cm
hC2
φ2C0S e
Bemerkungen:
a) Stets 0 und S gemischt. Grund: Kollektive Streuung am Atom, MAtom ≫ me.
b) Compton-Formel experimentell bestätigt noch eine unabhängige Messung von h.
c) nur groß falls 0 ≲ OC X- und -Strahlung2φ2
λλ
λΔλ sin2
0
C
0
keV511cmωE0
C
0
C
0 λλ2
eλλ
λch
0γ
d) Ein Photon mit 0 C hat relativistische Masse me. Beim klassischen zentralen elastischen Stoß würde das Photon stehenbleiben, S . Hier:
e) Inverser Compton-Effekt: Streuung ultrarelativistischer Elektronen / Positronen ( z. B. von Pulsaren, schwarzen Löchern in aktiven galaktischen Kernen ) an weichen Photonen ( z.B. thermischen Photonen der kosmischen 2,7-Hintergrundstrahlung ).
CSC21802
C λ3λλ2sinλ2Δλ
AGN Cas A
elliptische Galaxie
Jet
Zurückführung auf Compton-Streuung durch Lorentztransformation ins Ruhesystem des e.
1.3.3. Photonen im Gravitationsfeld Turm
Detektor
Quelle
H
1
2
R.V. Pound and G.A. Rebka: Phys. Rev. Lett. 4 (1960) 337
21 ννν
Relativistische Photonmasse:22 c
νh
c
Em
E im Gravitationsfeld:
νΔhνhνh
HgmΔmEΔ
21
G
2G
22 c
Δ
c
Hg
ν
νΔ
c
Hgν
h
HgmνΔ
Bestätigt mittels Mößbauer-Spektroskopie
Bemerkungen:• Rotverschiebung bei Abstrahlung von Sonne:
2 0 unendliche Rotverschiebung Schwarzschildradius RS G M c2
Schwarze Löcher• Wellenbild ergibt gleiches Resultat mittles
Zeitdilatation im Gravitationsfeld ( Physik III )
2cR
MG
ν
νΔ
1.3.4. Der Mößbauer-Effekt ( Doktorarbeit: 1958, Nobelpreis: 1961 )Atomhülle / Atomkerne quantisierte Energieniveaus ( z. B. aus Linienspektren )
Beispiel: Fixiertes Atom
01 EEEΔνh
E
E0
E1Lebensdauer T1
E1 e
Emission
T
1ω
1
T
1ω
1
ωe
ωI EδT 11 EδT 11
EΔνh
E
E0
E1Lebensdauer T1
E1
e
Resonanzabsorption
T
1ω
1
T
1ω
1
ωa
ωI
, 2 , E1 h Natürliche Linienbreite ( Heisenbergsche Unschärfe )
Beispiel: Atomhülle Emission / Absorption im sichtbaren Bereich ( typisch )
eV1E γ Ο eV1E γ Ο 10ν
νΔ 10 10
ν
νΔ 10
Na-D-Linie:Hz105ν
nm589λ14
8
ννΔ
7
102
Hz101νΔ
Beispiel: Atomkern Emission / Absorption im Röntgen- / Gamma-Bereich
eVM1eVk10E γ ΟΟ eVM1eVk10E γ ΟΟ
57Fe-Linie:13
ννΔ 103 eVk14,4γFeFe
νFeCo5726Abregung
5726
e5726Einfang-K
5727
vM
eω
aω aω
Rückstoßeffekt bei freien Atomen: E
E0
E1
e
k,ωAbsorption:
MvM
kMkMk cv
21
cv
21
cω
cω
a
22a vMk
vMωω
a
221
a
M2
kωω
2a
a
M2
kωω
2
a
M2
kωω
2
a
E
E0
E1
e
k,ωEmission:
M
vMkk
vMωω
e
221
e
M2
kωω
2
e
M2
kωω
2
a
M2
kωω
2
a
M2
kωω
2
e
M2
kωω
2
e
2
22
ea cM
ω
M
kωωωΔ
cM
ω
ω
ωΔ
2
cM
ω
ω
ωΔ
2
Rückstoßeffekt:
Atomhülle: Na-D-Linie
ωe
ωI
a
.natωωΔ810
ωωΔ 10210
Emission und Reabsorption möglich
Co5727Atomkern:
.natωωΔ137
ωωΔ 103107,2
Reabsorption nicht möglich
ωe
ωI
a
Rückstoßfreie Emission / Absorption ( Mößbauer-Effekt ):
Atom im Kristallgitter M MKristall 0ω
ωΔ
a) keine Phonon-Anregung ( überwiegt bei T ≪ D )
b) Phonon-Anregung EG
ea ωω
Gea EΔωω
Messvorrichtung:
v ≲ O ( 1 m s )Emitter e
Absorber a
Detektor
ecv ν1ν
Dopplereffekt
Zählrate
v
e
ea
ννν
R cv
Anwendungen: • Kernniveaus in e.m.-Feldern des Gitters• Kernstruktur ( Quadrupolmoment )• Gitterdynamik ( Phonon-Anregung )• Gravitationsrotverschiebung
1.3.5. Röntgenbeugung ( Max von Laue: Experiment 1912, Nobelpreis: 1914 )
• 1912 bekannt: Harte e.m. Strahlung ( Röntgen, Gamma ) hat Teilchencharakter
• Offene Frage: Hat harte e.m. Strahlung auch Wellencharakter?
• Problem: Wellenlängen harter Strahlung im Å-Bereich. Wie stellt man Beugungsgitter her?
• Max von Laue Verwende Kristallgitter zur Röntgenbeugung!
Vakuumröhree
Röntgenstrahlen
Kristall
Fotoplatte
Beugungsbild
v. Laue, Friedrich, Knipping (1912)
Resultat: a) Welle / Teilchen Dualität der e.m. Strahlung
b) Kristalle haben periodische Raumgitterstruktur
Unendliche Folge von Einheitszellen
Translationsgitter: 321321mmm m,m,m,cmbmamT321
ℤ
a) Kristalle und Netzebenen:
• Einheitszelle:
b
a
caufgespannt durch Gittervektoren c,b,a
Gitterkonstanten cc,bb,aa
Einheitsvolumen bacVE
• Netzebenen:Durch beliebige drei nicht-kollinieare Gitterpunkte wird eine Netzebene aufgespannt, die unendlich viele Gitterpunkte enthält. Beliebige Gittertranslationen verschieben die Netzebene in parallele Netzebenen. So entsteht die zugehörige Netzebenenschar.
Beispiel: 2-D Gitter
b
a
c
• Flächennormalen:
bac,acb,cba EEE Vπ2
Vπ2
Vπ2
bac,acb,cba
EEE Vπ2
Vπ2
Vπ2
Eigenschaften:
0bcaccbabcaba
π2ccbbaa
0bcaccbabcaba
π2ccbbaa
E
3
V
π2bac
E
3
V
π2bac
Reziproke Gittervektoren:
Reziprokes Gitter: 321321nnn n,n,n,cnbnanG
321
ℤ
• Reziprokes Gitter: ( Handout ) c,b,a
Eigenschaft: Das reziproke Gitter zum reziproken Gitter ist das Ursprungsgitter
ccbbaa
Reziprokes Gitter: 321321nnn n,n,n,cnbnanG
321
ℤ
• Anschauliche Bedeutung des reziproken Gitters:
Die Vektoren stehen senkrecht auf den Flächen der Einheitszelle
Die Vektoren stehen senkrecht auf Netzebenenscharen des Gitters
c,b,a
0G321 nnn
Unschön: die Zuordnung zwischen
Netzebenenschar und Vektoren im reziproken Gitter ist uneindeutig.321321321 nnnnnnnknknk GGkG
• Millersche Indizes einer Netzebenenschar: h, k, l
321 n,n,nGGT|q|
Wähle beliebigen Vektor senkrecht auf der Netzebenenschar. 0G321 nnn
Wähle q: ( Vorzeichen von q identisch mit dem des
ersten nicht-verschwindenden Index n1, n2, n3 )
Millersche Indizes: teilerfremd kh qn
qn
qn 321 kh q
nq
nqn 321
Richtung senkrecht zur Netzebene: h, k, l eindeutig kh kh
kh
G
G
kh kh
kh
G
G
a
Ebene: n3 0
b
• Eigenschaften der Millerschen Indizes
Achsabschnitte der ersten Netzebene vom Ursprung aus gemessen:
c
,k
b,
h
a
ah1
bk1
Abstand benachbarter Netzebenen: G
π2d
kh
kh
G
π2d
kh
kh
dh k l
a
Ebene: n3 0
b
• Konstruktion der Millerschen Indizes
Suche Achsgitterpunkte auf einer Netzebene: cm,bm,am 321
a
b2
Suche kleinstes p mit pℕ m1,2,3 ℤ 321 m
pmp
mp ,k,h
Dieses Beispiel: m1 1, m2 2, m3 p 2 h 2, k 1, l
0
Schreibweise: 012
3
2
1
m2m
1m
2p
01k
2h
Netzebenenschar h k l
dhkl
Glanzwinkel
Gitterpunkte punktförmige Streuer
konstruktive Interferenz einer
Netzebene
dhkl
Konstruktive Interferenz aller Netzebenen: Bragg-Bedingungλmθsind2 hk
,2,1m
, Messung von dhkl
dhkl , fest Monochromator für
b) Monochromatische Röntgenbeugung: Bragg-Reflexion
nnTsΔ 2
k
n
0k
0n
c) Spektral kontinuierliche Röntgenbeugung: Laue-BeugungBremsstrahlung in Röntgenröhre oder Synchrotronstrahlung
Bei der Laue-Beugung überlagern sich die Bragg-Reflexe aller Netzebenen für die jeweils passenden Wellenlängen.
321 mmmTT
001 nnTsΔ
1n
nk
0
0λπ2
0
1n
nk
0
0λπ2
0
1n
nk λπ2
1n
nk λπ2
c,nγb,nβa,n
c,nγb,nβa,nα 000000
Laue-Bedingung: Für alle m1, m2, m3 ist der Gangunterschied der Streuwellen ein Vielfaches der Wellenlänge des betrachteten Laue-Reflexes.
m,λmnTnTΔs 0
m,λmnTnTΔs 0
ℤ
nnTsΔ 2
k
n
0k
0n
321 mmmTT
001 nnTsΔ
1n
nk
0
0λπ2
0
1n
nk
0
0λπ2
0
1n
nk λπ2
1n
nk λπ2
c,nγb,nβa,n
c,nγb,nβa,nα 000000
m,λmnTnTΔs 0
m,λmnTnTΔs 0
ℤ
mπ2kΔcmkΔbmkΔammπ2kTkTkΔT 3210
m1, m2, m3 beliebig es gibt h, k, l ℤ mit
π2kΔc
kπ2kΔb
h π2kΔa
π2kΔc
kπ2kΔb
h π2kΔa
c,nγb,nβa,n
c,nγb,nβa,nα 000000
π2kΔc
kπ2kΔb
h π2kΔa
π2kΔc
kπ2kΔb
h π2kΔa
Formulierung 1:
γcosγcoscncnckckckΔcπ2
βcosβcosbnbnbkbkbkΔbkπ2
αcosαcosananakakakΔahπ2
0λπ2
0λπ2
0
0λπ2
0λπ2
0
0λπ2
0λπ2
0
Laue-Gleichungen:
cλ
0
bλ
0
aλ
0
γcosγcos
k βcosβcos
h αcosαcos
Für feste Einfallsrichtung ( 0, 0, 0 ) und jede feste Wahl von h, k, l:• 4 Unbekannte: , , , • 3 Laue-Gleichungen• 1 Normierungsgleichung: 1γcos,βcos,αcosnn
Für jede Wahl von h, k, l existiert genau ein Laue-Reflex bei einer ganz spezifischen Wellenlänge
π2kΔc
kπ2kΔb
h π2kΔa
π2kΔc
kπ2kΔb
h π2kΔa
Laue-Reflexe treten genau dann auf, wenn ein Gittervektor des reziproken Gitters ist.
kΔ
Formulierung 2:
Darstellung von in BasiskΔ c,b,a
cawbavaaukΔahπ2
cwbvaukΔ
uπ22 0 0
hu
cbwbbvabukΔbkπ2
vπ20 2 0
kv
ccwbcvacukΔcπ2
wπ20 0 2
w
GkΔ kh
GkΔ kh
Beziehung zur Bragg-Bedingung:
( Millersche Indizes )~,k
~,h
~
0k
k
k
kΔθsin2kΔ λ
π2
khGkΔ
~,k
~,h
~m,k,h,,khGGTm
~
k~
h~d
π2~
k~
h~khλ
π2 mGmGθsin2
λmθsind2 ~k~
h~
Bragg-Bedingung
Folgerung: Für existieren keine Bragg-Reflexe mehr.
Das Medium wird optisch homogen.
~k~
h~
~,k
~,h
~dsup2λ
Typischer Wert: dmax 51010 m Vergleich: vis 5107 m
d) Analyseverfahren:
Laueverfahren ( Punktreflexe )
kontinuierliche Röntgenstrahlung
Kristall ( fest orientiert )
Drehkristall-Verfahren ( Punktreflexe )
monochromatische Röntgenstrahlung
Kristall
feste Drehachse
Debye-Scherrer-Verfahren ( Linienreflexe )
monochrmatische
Röntgenstrahlung
Kristallpulver ( orientierungslos )
Film
ωE γ ωE γ kp γ
kp γ
e) Fazit: Röntgenstrahlung hat sowohl Wellencharakter ( Kristallbeugung... ) als auch Teilchencharakter ( Comptoneffekt,... ). Das gilt auch generell für elektromagnetische Strahlung ( Interferenz vs. Photoeffekt ).
|p| λh
λπ2
γ |p| λ
hλπ2
γ
Kernreaktor
Neutronen-Absorber
Moderator Neutronen-Abbremsung
( Thermalisierung )
Kollimator
thermische Neutronen
Kristall
Detektor
T 300 K En 25 meV ckeV7Em2p nnn
m108,1 10phn
Knüller: Laue-Reflexe wie bei Röntgenstrahlung mit 1,81010
m
Neutronen sind auch Teilchen mit Wellencharakter!
... und Elektronen ? Dito !
Hypothese: Alle ,,Teilchen” ( Neutrinos, Kerne, Moleküle, Kristalle, Katzen, Planeten, ... ) haben Wellencharakter und alle ,,Kraftfeldwellen” ( elektromagnetisch, Gravitation, … ) haben Teilchencharakter.
Quantentheorie Teilchen sind WellenQuantenfeldtheorie Kraftfeldwellen sind Teilchen