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Physikalische Darstellungen der Poincaré - Gruppe 1 / 22 Ein Vortrag zum Seminar Höhere Theoretische Physik „Teilchen, Symmetrien und Quantentheorie“ Physikalische Darstellungen der Poincaré - Gruppe von Nadia Amor, Johanna Fleckner und Andrea Neusiedl

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Physikalische Darstellungen der Poincaré - Gruppe

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Ein Vortrag zum Seminar

Höhere Theoretische Physik „Teilchen, Symmetrien und

Quantentheorie“

Physikalische Darstellungen der Poincaré - Gruppe

von Nadia Amor, Johanna Fleckner und Andrea Neusiedl

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Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis ....................................................................................................... 2 Ziel:............................................................................................................................. 3 Kapitel I: Überblick über die wichtigsten Operatoren und deren Eigenschaften ......... 4

Erzeugende............................................................................................................. 4 Casimir-Operatoren ................................................................................................ 5

Kapitel II: Massive Teilchen: m≠0 ............................................................................... 7 Kapitel III: Massive Einteilchen - Zustände und Poincaré – Gruppe ........................... 8

Erinnerung an aktive und passive Drehung ............................................................ 8 Anwendung auf einen physikalischen Zustand ...................................................... 9 Homogene Transformationen (a=0) ...................................................................... 10 Wigner‘sche Drehung............................................................................................ 11 Reine Translationen.............................................................................................. 12 Allgemeine Transformationen ............................................................................... 12

Kapitel VI: Masselose Teilchen................................................................................. 13 Operatoren Wλ ...................................................................................................... 15 Helizität ................................................................................................................. 16 Spin....................................................................................................................... 18 Aktuelles Beispiel: Neutrinos................................................................................. 19

Zusammenfassung ................................................................................................... 20 Klassifikation der Darstellungen:........................................................................... 20 Betrachtung von Symmetrien:............................................................................... 21

Literaturverzeichnis: ................................................................................................. 22 Bücher:.................................................................................................................. 22 Internet:................................................................................................................. 22

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Ziel: Ziel dieses Vortrages ist die Beschreibung elementarer, mikrophysikalischer Objekte wie Atome, Kerne oder Elementarteilchen, welche im Folgenden zur Vereinfachung nur noch allgemein als „Teilchen“ bezeichnet werden sollen. Grundlage der hier gemachten Überlegungen ist ein Postulat von Wigner, welches im Wesentlichen aussagt, dass kräftefreie dynamische Zustände von Teilchen nach den Eigenwerten ihrer Masse und ihres Spins klassifiziert werden können. Dabei erhält man 4 Eigenwerte der µP (der Energie und des Impulses) und eine Komponente des Spins. Diese Spin- Eigenwerte bilden den Schwerpunkt unserer Betrachtungen.

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Kapitel I: Überblick über die wichtigsten Operatore n und deren Eigenschaften Erzeugende

Es sollen nun zunächst noch einmal die bereits im Vortrag über die Lorentz- und Poincaré-Gruppe eingeführten Erzeugenden wiederholt werden: Dabei sind zunächst die Erzeugenden von Translationen in Raum und Zeit, νP , zu

nennen. Dabei sind die νiP (5x5)-Matrizen mit einer „1“ an (5, )-ter Stelle, also

−=

00000

00000

00000

00000

10000

iP :z.B. 0 (1)

Die Entsprechung zu den sechs Parametern der Lorentz- Gruppe nimmt in Matrixform folgende Gestalt an:

−−−−

−−=µν

0JJK

J0JK

JJ0K

KKK0

M

123

132

231

321

(2)

Aus den bisherigen Studien der Lorentz-Gruppe ist bekannt, dass man eine infinitesimale, spezielle Lorentz-Transformation entwickeln kann:

)M(1 21

µνµνδω−=Λ (3)

Vergleicht man nun die sich hieraus ergebende Form der eigentlichen endlichen Lorentz-Transformation mit der bereits bekannten,

),Kˆiexp()Jˆiexp(

)Mexp( 21

rrψ−⋅φ−=

ω−=Λ µνµν

(4)

so folgt eine formell aus der Elektrodynamik bekannte Matrixform (vgl. µνF ):

φφ−ψφ−φψ

φφ−ψψ−ψ−ψ−

−=ω⇒ µν

0

0

0

0

i

123

132

231

321

. (5) Man kann nun entweder über Vergleich der beiden Exponentialfunktionen in Gleichung (4) oder mit Hilfe einer Lagrangefunktion (s. Greiner, W.: Relativistische Quantenmechanik) eine sehr anschauliche Darstellung für µνM finden:

µννµµν −= PxPxM . (6)

(Auch an dieser Stelle sei noch einmal an die Elektrodynamik erinnert.)

ν

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Casimir-Operatoren Diese nach dem 1909 in Den Haag geborenen Hendrik Casimir benannten Operatoren zeichnen sich dadurch aus, dass sie mit allen Generatoren µνµ M ,P

kommutieren. Dabei sind sie keineswegs eindeutig, da Linearkombinationen oder Potenzen von Casimir-Operatoren trivialerweise wieder Casimir-Operatoren bilden. Diese Mehrdeutigkeit ermöglicht eine Auswahl möglichst einfacher und vor allem physikalisch bedeutungsvoller Operatoren. So erfüllt der Eins-Operator zwar offensichtlich die Forderung mit den Generatoren zu kommutieren hat aber keinerlei physikalische Bedeutung. Anders verhält es sich für µ

µ= PPP2 . Wir wollen zunächst zeigen, dass dies in der Tat

ein Casimir-Operator ist. Dazu müssen wir einige Kommutatoren studieren:

k0k0ikji

0ikijkji

iP]P,K[,Pi]P,K[

0]P,J[,Pi]P,J[

,0]P,P[

=δ=

=ε=

=νµ

(7)

Damit wird aus 220

2 P)P(PPP −== µµ :

.0]K,P[,0]J,P[

0]P,P[

i2

i2

2

===µ

(8)

Ebenso:

0

)PPPP(2i

}P,PgPg{i

}P],M,P{[

]M,P[PP]M,P[

PMPMPPPPMPMP

PPMMPPPMPPMP

]M,PP[]M²,P[

=

−=

−=

=

+=

−+−=

−+−=

=

µνµν

αµµανµα

αµνα

µνα

ααµνα

αµνα

µναα

αα

µναµνα

αα

µνµναα

αµνα

αµνα

µναα

µν

(9)

Das nun nahe liegende Analogon zu 2P , also 2M , ist leider kein Casimir-Operator, daher wird zunächst der sogenannte kovariante Spinvektor von Paul und Lubanski definiert:

λµνµνσλσ ε= PM:W 2

1 (10)

Dabei ist µνσλε das vollständig antisymmetrische Levi-Cività-Symbol in vier

Dimensionen, welches hier mit der Konvention verwendet wird, dass 10123 +=ε gilt. Man erhält wie in drei Dimensionen für gerade Permutationen einen Faktor +1, für ungerade entsprechend -1. Dabei gilt es hier zu beachten, dass in vier Dimensionen eine zyklische Vertauschung nunmehr eine ungerade Permutation ist! (Bemerkung: Für diejenigen, die die Schreibweise als Skalarprodukt der in Komponentenschreibweise vorziehen, sei hier erwähnt, dass der Spinvektor sich auch schreiben lässt als: )PKPJ,PJ(W 0

rrrrr×+⋅=σ .)

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Untersuchen wir nun den Spinvektor auf seine Eigenschaften, so stellen wir als erstes fest, dass seine einzelnen Komponenten nicht miteinander kommutieren:

[ ] γβµνβγνµ ε= PWiW,W (11)

--------------------------------------------------------------------------------- Beweis: Zunächst müssen zwei Hilfskommutatoren berechnet werden.

a)

αβ

αβαβ

αβ

ταβµ

γµ

γµταβγ

γµταβγτµ

ε=

+ε=

ε=

M

)P]M,x[]P,x[M(

]PM,x[]W,x[

2i

21

21

(12)

b)

)WgWg(i

)PMPM(

P]W,x[P]W,x[

]W,PxPx[]W,M[

2i

νµτµντ

µταβννταβµ

µτνντµ

τµννµταβ

−=

ε−ε−=

−=

−=

αβαβ (13)

Daraus folgt nun schließlich:

[ ]

γβµνβγ

γβαν

αβνµαβγ

γν

αβµαβγνµ

ε=

−ε=

ε=

PWi

P)WgWg(

P]W,M[W,W

2i

21

(14)

� --------------------------------------------------------------------------------- Also bilden wir das Quadrat: ν

µ= WWW 2 (15)

Bemerkung: Anstelle der vier Komponenten der µP kann man auch nur drei von

ihnen und P² verwenden; es kann aber nur eine Komponente des Spinoperators im Satz aufgenommen werden (analog zum normalen Drehimpuls).

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Kapitel II: Massive Teilchen: m ≠0 Bevor die massiven Teilchen nun näher auf ihre Spineigenwerte untersucht werden, hier eine kurze Erinnerung an die bereits bekannten, das Teilchen charakterisierenden Eigenwerte:

achseneter Zeitausgezeichmit emen Bezugssyst von Klasseeiner bzgl. E,p pP

P

Ruhemasse invariante :m cmP

cE0

222

rrr

r

Jedes massive Teilchen besitzt ein eigenes Ruhesystem. Bei vorgegebenem Impuls p kann man immer eine spezielle Lorentz-Transformation angeben, die in dieses Ruhesystem transformiert. Im Ruhesystem gilt T)0,mc(p

r= .

Außerdem stellen wir nach Erinnerung an den Spinvektor, λµνµνσλσ ε= PM:W 2

1 ,

folgendes fest: Für :0=σ Ψ=Ψ 0W0 , (16) da zwei Indizes gleich sind. Für :3,2,1=σ i

i JmcW = (17)

( ) ( )[ ] mcW

ijkmcW

mcW kji

i, ε= (18)

Ψ+=Ψ⇒ )1j(j (18)(17), 2

2

(mc)W

D.h. um den Spin eines massiven Teilchens quantitativ festzustellen, muß man in sein momentanes Ruhesystem gehen und es dort allen möglichen Drehungen des Koordinatensystems im IR³ unterwerfen. In der Sprache der D-Matrizen heißt dies, dass wenn sein Zustand mit D(j) antwortet, das Teilchen den Spin j hat. Betrachten wir nun noch einen raumartigen Einheitsvektor n, der senkrecht zu p stehen soll, d.h. n²= -1 (19) (n⋅p)=0 (20) Im Ruhesystem gilt nun:

)n,0(n0

= (21)

1nn 22 −=−= (22) µ=⋅=⋅ EW mit J:nJ)nW( n

mc1 (23)

Da das Lorentz-Skalarprodukt (W⋅n) Invariante nter allen speziellen Lorentz-Transformationen ist, ist µ Eigenwert in jedem Bezugssystem!

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Kapitel III: Massive Einteilchen - Zustände und Poi ncaré – Gruppe Wir wollen uns in diesem Kapitel nun der Frage widmen, wie eine beliebige Poincaré-Transformation (Λ, a) auf einen Zustand eines Einteilchen Systems wirkt. Wir betrachten nun ein Teilchen mit Masse, das den Spin s besitzt. Alle weiteren Quantenzahlen seien mit α charakterisiert; sie sind hier aber nicht von Bedeutung.

Erinnerung an aktive und passive Drehung Ich erinnere kurz an den Unterschied zwischen der aktiven und passiven Interpretation einer Drehung im R3: Passive Interpretation: Bei der passiven Interpretation wird das Bezugssystem gedreht; das physikalische Objekt jedoch nicht. Aktive Interpretation: Hier wird das physikalische Objekt gedreht, das Bezugssystem aber nicht. Eine aktive Drehung wird in Euler’schen Winkeln beschrieben durch:

ΦiJΘiJΨiJ eeeR 323= Die Drehung im Raum impliziert eine unitäre Transformation im Hilbertraum, die durch die D-Matrizen gegeben ist:

⟩⟨= µΦΘΨµ jRjmD jm ||),,()(

Jetzt schauen wir uns noch an, wie sich die Basiszustände transformieren:

∑ ⟩=∑ ⟩=⟩=⟩ −m' m'm

(j)†m'

(j)*mm' |jm')(D|jm'D)|jmU(R'|jm 1

Bisher wurden die Drehungen als passive Transformation aufgefasst. Die Wirkung einer Poincaré-Transformation muss man sich aber als aktive vorstellen. Ersetze daher die passive durch eine aktive Drehung (R-1 durch R, (D(j) )-1= D(j) † durch D(j)):

⟩∑=⟩→ |jm'DU(R)|jmm'

(j)m'm

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Anwendung auf einen physikalischen Zustand Wir befinden uns nun im Ruhesystem des Teilchens. Dort besitzt das Teilchen die folgenden Quantenzahlen, wobei mit sm die Spinquantenzahlen gemeint sind. In α werden alle weiteren, hier nicht interessanten Quantenzahlen zusammengefasst.

)0,0,0,( ;;|00

mcpmitpsm =⟩α . Eine aktive Drehung auf diesen Zustand bewirkt:

∑ ⟩=⟩'

0)('

0;';|)(;;|)0,(

m

smm psmRDpsmRU αα

Lässt man nun eine Spezielle Lorentz-Transformation wirken, schiebt das Teilchen also auf den Impuls p an, so ergibt sich

⟩=⟩ psmpsmpLU ;;|;;|)0),((0

αα Es entsteht nun ein Zustand mit Spinquantenzahlen (sm), der sich mit Vierimpuls p bewegt; die Quantenzahlen α bleiben unberührt. Wir haben jetzt die Hilfsmittel zur Verfügung, mit denen wir die folgende Frage beantworten können: Wie wirkt eine beliebige Poincaré-Transformation U(Λ,a) auf den Zustand |α;sm;p>?

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Homogene Transformationen (a=0)Berechne nun die Wirkung, die eine homogene Lorentz-Transformation auf unseren Quantenzustand hat. Dazu ist

);;|)0,()(0,(;;|)0,(0

)( ⟩=⟩ psmLUUpsmU p αΛαΛ

Mit )(1

)()()()( )L()0,)(0,( ppppp LLLL ΛΛΛ ΛΛ−==

folgt dann

) )U(L()())U(( )(1

)()()()( ppppp LLULULU ΛΛΛ ΛΛ−==

Wenden wir diese Zwischenergebnisse auf unseren Zustand |α;sm;p> an, so ergibt sich:

⟩=⟩ −0

)(1

)()( ;;|) )U(L(;;|)0,( psmLLUpsmU ppp αΛαΛ ΛΛ

Nun wollen wir erst einmal herausfinden, wie sich das Produkt )(1

)( p-Λp ΛLL auf unser

System auswirkt. Dazu betrachten wir die Wirkung der einzelnen Transformationen auf unseren Zustand, der sich anfangs im Ruhesystem des Teilchens befindet (p=(mc,0,0,0)):

(m,0)

p(p2=m2)

Lp

L(p)L-1(L p)

L

Das Teilchen hat nun eine reine Drehung ausgeführt!

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Wigner‘sche Drehung

Wpp RLL =− :)(1

)( ΛΛ

Diese Drehung wird Wigner’sche Drehung genannt. Warum ergibt sich eine reine Drehung nach der Anwendung von )(

1)( pLL p Λ−

Λ ?

Eine Erklärung liefert uns die Kommutatorrelationen [K1, K2] = -J3: Führt man zwei Lorentzboosts in verschiedene Richtungen aus, lässt dann deren Inverses in umgekehrter Reihenfolge wirken, so resultiert eine echte Drehung. Beweis: Nehme spezielle Lorentz-Transformationen in 1- und 2- Richtung und entwickle diese in zweiter Ordnung: L1= 1 + λ1 K1 + ½ (λ1)

2 (K1)2

L2= 1 + λ2 K2 + ½ (λ2)2 (K2)

2 Berechne nun das Produkt (L2)

-1 (L1)-1 L2 L1 unter Berücksichtigung der zweiten

Ordnung in den λi: (L2)

-1 (L1)-1 L2 L1 = 1 - λ1 λ2 [K1,K2] = 1 + λ1 λ2 J3Daraus ergibt sich die Behauptung.

Die Wirkung einer Wigner’schen Drehung auf einen Zustand im Ruhesystem lautet:

⟩∑=⟩=⟩−0

'

)('

00

)(1

)( ;';|)(;;|)(;;|)( psmRDpsmRUpsmLLU Wm

smmWpp αααΛΛ

Nun kann man die verbleibende Transformation )( 1)(

−pLU Λ an den Matrixelementen

der Drehmatrix )(sD vorbeiziehen:

⟩∑=⟩ )(;';|)(;;|)0,('

)(' psmRDpsmU W

m

smm ΛααΛ

Dieses „Vorbeiziehen“ bedarf einer kleinen Überlegung: Die Wirkung der Wigner’schen Drehung ist eine Linearkombination der Zustände |sm> mit Elementen der entsprechenden D-Matrix als Koeffizienten. Die verbleibende Spezielle Lorentz-Transformation zum Impuls Λp ändert nichts an diesen Koeffizienten, wohl aber am Impulsanteil, den sie vom Ruhesystem aus auf den Impuls Λp anschiebt

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Reine Translationen

)(

Pai

e⋅

h der unitäre Operator, der die Wirkung einer reinen Translatinen (1,a)

beschreibt. Er besitzt den Eigenwert p)(a

i

e⋅

h . Damit ergibt sich

⟩=⟩⋅

psmepsmaUpa

i

;;|;;|),1()(

αα h

Allgemeine Transformationen Auf Grund der Gruppeneigenschaften gilt:

)0,(),1(),( ΛΛ UaUaU = Nun muss man nun das Ergebnis der homogenen Transformationen (Λ,0) und der reinen Translationen noch zusammenfassen und erhält als Endergebnis:

∑ ⟩=⟩ −⋅

')(

1)(

)('

)(;';|(;;|),(

mpp

smm

pai

psmLLDepsmaU ΛαΛαΛ ΛΛ

h

Diese Darstellung ist irreduzibel und unitär. Ein Beweis zur Unitarität der Transformation U(Λ,a) ist in Scheck, Florian: „Theoretische Physik 4: Quantisierte Felder“, 2001, Springer Verlag, S. 68, zu finden.

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Kapitel VI: Masselose Teilchen Betrachten wir masselose Teilchen mit endlichem Spin, so fliegen diese mit der universellen Geschwindigkeit c, die in allen Bezugssystemen gleich ist. Das Teilchen bewegt sich entlang des Lichtkegels, wie wir wissen ist es unmöglich über eine spezielle Lorentztransformation (LT) in ein im Teilchen gedachtes Ruhesystem zu kommen und denn es besitzt keines, indem sein Vierer-Impuls die Form (mc, 0)T annimmt. Für lichtartige Vektoren ist eine mögliche Grundform z.b. z=(1, 0, 1, 0)T mit der allgemeinen Beziehung z2=0.

Für massive Teilchen mit der Energie 2222 )( pcmcEr

+=

bleibt ihr Vektor p=(mc, 0)T im Ruhesystem invariant unter der vollen Drehgruppe SO(3). Für masselose Teilchen mit der Energie-Impuls-Beziehung pcE ⋅= wählt man den Vierer-Impuls p=(E/c, p)T mit p2=0. Statt der vollen Drehgruppe sind hier nur Drehungen um die Richtung von p möglich ohne den Impuls p mit p2=0 zu ändern. Wir erhalten hier nur eine einparametrige Gruppe, die z.b. für den gewählten Impuls p=(p,0,0,p)T, eine Bewegung in der z-Richtung in lR3, alle Drehungen um die z-Achse um θ beinhaltet. Illustration: Drehung um die z-Achse des Impulses p=(p,0,0,p)T:

p

p

p

p =

−=ℜ⇒

−=ℜ

0

0

1

0

0

0

0

cos

sin

0

0

sin

cos

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

cos

sin

0

0

sin

cos

0

0

0

0

1

θθ

θθ

θθ

θθ

So gilt jedoch für denselben Impuls bei Drehung um die x-Achse:

⋅⋅

=

=ℜ⇒

=ℜ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

cos

sin

0

0

0

cos

sin

0

0

sin

cos

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

cos

sin

0

0

sin

cos

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

p

p

p

p

p

p

Der Impuls in einem Ruhesystem bleibt unter diesen exemplarischen Drehmatrizen invariant. Die Zustände eines massiven Teilchens haben wir im Ruhesystem über die Analyse der Operatoren P2 und Wi=mcJ i und deren Eigenwerte vollständig beschrieben, dies ist offensichtlich hier nicht möglich, denn es gilt: 0 und 0 2 1lP ⋅==m

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Zur Beschreibung der Zustände wählen wir im Minkowski-Raum ein Basissystem: { })3()2()1()0( ˆ,ˆ,ˆ,ˆ nnnn Diese Basis beschreibt ein System von ausgezeichneten Bezugssystemen, da

t3)( lRlR ˆ ×∈in eine festgelegte Zeitachse benutzt.

Unsere Basis soll orthonormiert sein i. S. v:

1ˆ und 1ˆ

Vektorenalle für 0ˆˆ2)(2)0(

)()(

−==

≠=⋅inn

nn βαβα

Für den Impuls des masselosen Teilchens p=(E/c, p)T soll gelten:

)2((1) ˆ0n npp ⋅==⋅ Aus dem Schmidt’schen Orthonormierungsverfahren ist es jetzt möglich den dritten Basisvektor rekursiv zu konstruieren:

⋅−

⋅−=

kkNkN

kkNkN

N

exex

exexe

rrrr

rrrr

r

/

/ :gilt Allgemein

Somit erhalten wir für )0()0(

)3( ˆˆ

ˆ nnpp

n −⋅

=

Der erste Basisvektor ist zeitartig und die letzten drei raumartig.

zr

0z

zeitartig

raumartig02 <Rz

02 >Zz

Wählen wir das Bezugssystem so, dass der Vierer-Impuls die Grundform: (1,0,0,1)T aufweist, so gelangen wir zu den Basisvektoren, wie man leicht nachrechnet:

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=

=

=

=

1

0

0

0

ˆ

0

1

0

0

ˆ

0

0

1

0

n

0

0

0

1

ˆ )3()2((1))0( nnn

Es liegt somit ein vollständiges orthonormiertes System vor, das den verallgemeinerten Beziehungen folgt:

στβ

αβααββα gnggnn ==⋅ )()()()( ˆnundˆˆ

Operatoren Wλ Die Operatoren Wλ wollen wir nun mit Hilfe des Basissystems durch die Generatoren J(σ) ausdrücken:

)ˆ(ˆ

oder

ˆ

)()()(

)()(

σλσλ

σ

τλστ

σλ

nn

ng

⋅=⋅=

=

WWJ

JW

Gl. 1 Beachte immer

Summenkonvention! Für diese obigen Operatoren gelten:

1,2,3i mit analog undˆ (i))0()0( =⋅= JWJ n

021 ===⋅ ∑ µ

µµτνσ

νστµε pppp WMW und

[ ] [ ] [ ] [ ]( )σ

µνσµν

σαβµ

σµ

αβαβσν

σαβµαβσννµ

ε

εε

JM

MMMW

−=

=+==

mit

0,,21

,21

, ppppppp

Dieser Kommutator zeigt, dass pµ und Wµ äquivalent zur Beschreibung eines Teilchenzustandes genutzt werden können.

Man beachte: ( )2)0(2)3(

2)0()0()3(2)3(2)0()3(

)0()3(

)0()3()3(

02

0

ˆ

JJ

JJJJJJ

JJ

JWJ

=⇒

=++=+⇒

=+⇒

−=⋅= n

Berechnet man nun das Quadrat des Vektoroperators J, so ergibt sich bei Beachtung

der Metrik und obiger Berechnung: ( )2)2(2)1(2 JJJ +−=

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Unsere vier Operatoren J(σ) erfüllen folgende Kommutatorregeln: [ ] [ ] [ ] )2()0()1()3()1()0()3()2()2()1( )ˆ(,,)ˆ(,,0, JJJJJJJJ npinpi ⋅−=⋅−== Berechnung der Kommutatoren: [ ] [ ]

( ) 0

,,)()3()0()3()2()1()()()()2()1(

)2()1()2()1()2()1(

=+⋅⋅=⋅⋅−

=⋅−=⋅=βαασλ

λσαββµ

µνανσλ

λσαβ

βασλλσαβσλ

σλ

εε

ε

pnnnnipgnnni

pnninn

JJ

WWWJJ)))))))

))))

Hierbei gehen ein der Kommutator von W mit sich selbst, nachzulesen Gleichung 1.131 Scheck; Theoretische Physik Band 4, die Antisymmetrie des Levi-Civita-Symbols und die Eigenschaften der Orthonormalbasis. Alle folgenden Kommutatoren lassen sich auf gleicher Weise berechnen. Diese Kommutatoren sollten uns schon jetzt bekannt vor kommen. Substituieren wir noch

)()0(

)(

ˆ1 ii

npJS

⋅−=

so ergeben sich: [ ] [ ] [ ] )2()1()3()1()3()2()2()1( ,,,,0, SSSSSSSS ii === Wir bemerken hier, dass diese Algebra isomorph zur Euklidischen Gruppe ISO(2) in zwei Dimensionen ist, sie ist ein semi-direktes Produkt aus den reinen Translationen des Koordinatensystems hier entsprechend dargestellt durch S(1) und S(2) in der 1- bzw. 2-Richtung und der reinen Rotation um den Ursprung durch S(3). Analog zum massiven Teilchen interessieren uns die Casimir-Operatoren: Für den Operator W2 errechnet sich mit Gl.1:

( ) 22)2(2)1(

2

,

)()( ˆ JJJJW 2 =+−=

=∑ ∑

λ τσ

τλστ

σ ng

Ohne physikalischen Hintergrund, kann der Eigenwert von W2 jeden beliebigen Wert annehmen, denn er hängt nur von den Opertoren J(1) und J(2) ab, welche die Translationen in der 1- bzw. 2-Ebene beschreiben. Er ist offenbar nicht quantisiert und besäße einen inneren Freiheitsgrad, jedoch gibt es in der Natur ein derartigen kontinuierlichen Spin nicht und man „eicht“ den physikalischen Zustand derart, dass er den Eigenwert w2=0 besitzt. Im Vergleich zu vorher war der Eigenwert von W2 (2j+1)-fach entartet mit den Eigenwerten j(j+1).

Helizität Welche Konsequenzen zeigt dies?

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Physikalische Darstellungen der Poincaré - Gruppe

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00 22 == pw Diese beiden Vektoren sind im Minkowsik - Raum somit lichtartig

0=⋅=⇒ phw Aus dieser Betrachtung ziehen wir den Schluss, dass der Vierer-Eigenvektor w kollinear mit dem Vierer-Impuls p ist und sie somit in einer Ebene liegen. Man beschreibt ihre Beziehung über die sog. Helizität, ein Proportionalitätsfaktor.

Der eingeführte Spinoperator Wµ ist der verallgemeinerte, relativistische Spinoperator. Kehren wir noch mal zum Anfang zurück und erinnern uns, dass

JPJPMW

JMMW

⋅=⋅==

==

p

P

λµνµνλ

σµνσ

µνλµνµνλσσ

ε

εε

21

ist dann

mit21

0

Führt man zur Beschreibung einen Operator h ein, dessen Eigenwert h ist, so kann man mit obiger Formel schließen:

p

pp

Jph

hhW

⋅=

⋅=⋅=

folgt es und00

Gl. 2 Die Helizität beschreibt nun die Projektion des Drehimpulse und des Spins auf die Flugrichtung. Die klassische Mechanik sagt uns, dass der Drehimpuls senkrecht auf dem Impuls steht: pxl

rrr×= . In der Quantenmechanik zeigt uns die Entwicklung der

ebenen Wellen im Observablensatz des Impulses für eine kräftefreie Bewegung nach den Eigenfunktionen des Hamiltonoperators bzw. des Drehimpulses, dass die Projektion aller Partialwellen auf die Flugrichtung gleich Null ist auf Grund der Eigenschaften der Legendre-Polynome und der Kugelflächenfunktionen. (siehe Scheck B2 Seite 96) Also beschreibt h nur die Projektion des Spins auf die Flugrichtung, den die Projektion des Drehimpulses ist Null. Bei massiven Teilchen ist der Spin im Ruhesystem definiert, hier hat man im Gegensatz dazu nur die Möglichkeit ihn über die Helizität h zu benennen. Man sagt s=IhI ist der Spin des masselosen Teilchens. Man macht sich klar, dass dieser Spin fest mit der Bewegungsrichtung verknüpft ist und er immer in diese Richtung zeigt.

phw ⋅=

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Spin Aus w2=0 und w=hp, folgt dass die Operatoren J(1) und J(2) die Eigenwerte Null haben müssen. Für J(3) errechnet sich:

hWWJJ ⋅−=

−⋅

⋅⋅=⋅=−= pnp

npn )0(

)0()3()0()3( ˆ

ˆ1ˆ

Also hat J(3)

den Eigenwert: hnp ⋅⋅− )ˆ( )0( und somit der neu eingeführte Operator S(3) den Eigenwert h. Interessante Anmerkungen: Betrachtet man Gleichung 2, so verhalten sich die Operatoren auf der rechten Seite unter Raumspiegelung wie folgt: J ist eine drehinvariante Größe und p ändert offensichtlich sein Vorzeichen. Damit ist der Operator h ein Pseudoskalar, der drehinvariant ist, aber bei Raumspieglung in sein Negatives verwandelt wird. Der Spin kann so anschaulich zwei Polarisationszustände annehmen +h und –h, die über die Raumspiegelung verknüpft sind. Nach Spin-Statistik-Theorem sind die Wellenfunktionen für Bosonen (ganzzahliger Spin) einwertig, d.h. symmetrisch und für Fermionen (halbzahliger Spin) zweiwertig und antisymmetrisch. Der Wertevorrat für s=ІhІ ergibt sich somit zu: s=0,1/2,1,3/2,... Ist eine Wechselwirkung zwischen Teilchen invariant unter Raumspiegelung, so nimmt h die Werte ±α ein und diese Teilchen sind ununterscheidbar bzw. miteinander identifizierbar. Die schwache Wechselwirkung ist dies jedoch nicht und Teilchen, welche der schwachen Wechselwirkung unterliegen, mit den Spineinstellungen +h und –h sind unterscheidbar bzw. Teilchen und Antiteilchen. Die eingeführte Helizität ist unter einer Lorentz-Transformation invariant, so ist sie ja konstruiert, die zugehörigen Zustände wegen der Phase jedoch nicht. Man beachte, dass die Gleichung 2) für massive Teilchen keine Invariante unter speziellen Lorentz-Transformationen mehr ist. Das wohl meist bekannte massenlose Teilchen, das Photon hat per Definition den Spin s=1. Er kann die Zustände 1 und –1 annehmen. Ein allgemeiner Ein-Photon-Zustand:

1 mit22

1,1,, =+Ψ+Ψ=Ψ −+−−+ εεεε ppsp

Die Polarisationen sind gegeben durch:

−+ = εε : linear polarisiert mit signifikanter Phase

0 0 =∨= −+ εε :zirkular polarisiert, wobei die erste Bedingung für rechts (σ-) und die zweite für links polarisiertes (σ+) Licht steht.

−+ ≠ εε : elliptisch polarisiert

Den größten Unterschied zwischen massiven und masselosen Teilchen besteht in den Möglichkeiten der Spinquantenzahl:

m≠0: die Eigenwerte von J in (2j+1) Unterzuständen -µ,..., µ

m=0: die Eigenwerte von J +h,-h

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Aktuelles Beispiel: Neutrinos Allgemein gehören Neutrinos zu der Familie der Leptonen:

−− τ

νµνν τµ

-e

e

Ihre Existenz wurde postuliert von Wolfgang Pauli um 1930: Antisymmetrie in Kernreaktionen: das neutrale Neutrino sollte die fehlende kinetische Energie wegtragen. Die Neutrinos glaubte man masselos, zumindest konnte man experimentell die Masse mit m(νe)< 7eV/c2 eingrenzen. Diese Annahme ist bei den betrachteten Reaktionen durchaus zu vertreten, da ihre Massenenergien zu den übrigen Partnern vernachlässigbar sind. Jede Leptonen -Familie besitzt ihre eigene Quantenzahl: Le, Lµ, Lτ

Die Gesamt-Leptonenzahl wird im Standardmodell der schwachen Wechselwirkung als Erhaltungsgröße angesehen. In Reaktionen sollte diese deswegen stets konstant sein, was aber postuliert, dass durch keine Reaktion sie ineinander übergehen können. Ihre Spinprojektionen s3 sind für Neutrinos ½ und für Antineutrinos –½. Untersuchungen mit Sonnenneutrinos zeigten, dass 60% der erwarteten Elektron-Neutrinos auf der Erde ausblieben und man daher die Möglichkeit der Neutrino-Oszillationen in verschiedene Flavours erwägt, welche aber mit unterschiedlichen Massenzuständen der Neutrinos verknüpft sind. Masselos?

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Zusammenfassung

Klassifikation der Darstellungen: Darstellungstyp Standard-Impuls Physikalische Bedeutung

* p² = m² c4 > 0 p0 > 0 (mc²,0,0,0) Teilchen mit Ruhemasse m > 0

p² = m² c4 > 0 p0 < 0 (-mc²,0,0,0)

* p² = 0 p0 > 0 (p,0,0,p) Masseloses Teilchen

p² = 0 p0 < 0 (-p,0,0,p)

p² = - µ² < 0 (0,0,0,µ)

* pµ = 0 p0 > 0 (0,0,0,0) Vakuum

Die Teilchen lassen sich z.B. in die hier gezeigten drei Klassen bzgl. ihres Impulses einteilen (die mit einem * gekennzeichneten Typen sind zwar theoretisch möglich, treten aber in der Natur nicht auf).

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Betrachtung von Symmetrien:

Im nichtrelativistischen Grenzfall: Translationsinvarianz des Raumes ↔ Homogenität des Raumes Erhaltungsgrößen: Raumtranslationen: Impuls p Zeittranslationen: Hamiltonfunktion H

Rotationsinvarianz des Raumes ↔ Isotropie des Raumes Erhaltungsgröße: Gesamtdrehimpuls L

Im relativistischen Fall: Translationsinvarianz ↔ Homogenität der Raum-Zeit

Erhaltungsgröße: 4-Impuls p Invarianz unter Transformationen der Poincaré- Gruppe ↔ Invarianz des M4 (incl. Rotationen ↔ Isotropie)

Erhaltungsgrößen: Symmetrie der sich im Raum beweg. Teilchen (Masse, Spin)

Man sieht also wie die Symmetrie des Raumes, d.h. die Invarianz gegenüber den Transformationen der Poincaré-Gruppe, zu einer Symmetrie der sich im Raum bewegenden Teilchen wird. Die invariante Masse und der Spin ergeben sich als Folge der Invarianz unter Symmetrietransformationen. Andere Teilcheneigenschaften erscheinen an dieser Stelle nicht. Offensichtlich sind für ihre Erhaltung andere Symmetrien verantwortlich, welche hier der Vollständigkeit wegen kurz erwähnt werden sollen: Für die Ladung C sind die Symmetrien der lokalen Eichinvarianz verantwortlich (welche in der Vorlesung der Theoretischen Physik IV, Elektrodynamik, behandelt wurden). Die Paritäts- und Zeitumkehr (Π, T) gehören hingegen zu den diskreten Poincaré-Transformationen.

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Literaturverzeichnis:

Bücher: Scheck, F.: Theoretische Physik Band 2 & Band 4 Scheck, F.: Electroweak and Strong Interactions Greiner, W.; Rafelski J.: Spezielle Relativitätstheorie Greiner, W.: Eichtheorie der schwachen Wechselwirkung Greiner, W.: Relativistische Quantenmechanik Fließbach, T.: Allgemeine Relativitätstheorie

Internet: http://www.itp.uni-hannover.de/~flohr/ lectures/my_qm2/qm2_handout8.pdf http:// www.planetjahn.de/files/qft.pdf