PlatonischeKörper

PolyederDie 5 platonischen Körper inspirieren

sowohl Wissenschaftler wie auch Mystiker seit Jahrtausenden. Aber wieso gibt es

eigentlich nur 5 regelmässige Polyeder? Nach dieser Lektion haben Sie den Beweis

in der Tasche!

Inhalt des Vortrags1. Platonische Körper in der Philosophie2. Platonische Körper in der Natur3. Platonische Körper in der Chemie4. Begriffsklärung5. Beweis, dass es nur 5 Platonische

Körper geben kann

Platonische Körper in

• Philosophie• Natur• Chemie

In Platons Timaios-DialogPlaton setzt die 5 regelmässigen Körper in

Beziehung zu den Begriffen Erde, Wasser, Luft und Feuer und zum Weltganzen.

Diese Darstellung stammt aus dem Buch „Mysterium cosmographicum“ des Astronomen Johannes Kepler.

Deutung bei Kepler Saturn

KubusJupiter

TetraederMars

DodekaederErde

IkosaederVenus

OktaederMerkur

Kristalle

Salz Fluorit

Pyrit

Coccosphäre der AlgeBraarudosphaera bigelowi

Skelett der Radiolarie circogonia icosaedra

Hepatitis C Virus

Platonische Körper in der Chemie

Ferrimagnetische Struktur von Spinellen

Tetraederlücke

Begriffsklärung

• Polyeder• Einfache Polyeder• Konvexe Polyeder• Platonische Polyeder

Polyeder-BegriffEin Polyeder (Vielflächner) ist ein Teil des

dreidimensionalen Raumes, der von Polygonen (Vielecken) begrenzt wird.

Polyeder-BegriffPolyeder können Löcher und innere Hohlräume haben, die dann ebenfalls von geraden Flächen

und Kanten begrenzt sein müssen.Sie müssen keinerlei Symmetrie aufweisen.

Ein einfaches Polyeder besitzt keine „Löcher“. Das bedeutet, dass sich sein Oberfläche

stetig in eine Kugeloberfläche deformieren lässt.

Einfache Polyeder

Ein Polyeder ist konvex, wenn zu je zwei Punkten aus dem Inneren des Polyeders die Verbindungsstrecke zwischen diesen im Innern des Polyeders verläuft.

Konvexe Polyeder

Nicht-konvexe Polyeder

Definition der Platonischen Körper

3. Alle Flächen sind kongruent.

4. An jeder Ecke stossen gleich viele Kanten zusammen.

2. Alle Flächen sind regelmässige Vielecke.

1. Platonische Körper sind konvex.

Dieser Körper ist kein Platonischer Körper,

weil er nicht konvex ist.

1. Platonische Körper sind konvex.

2. Alle Flächen sind regelmässige Vielecke.

3. Alle Flächen sind kongruent.

4. An jeder Ecke stossen gleich viele Kanten zusammen.

Dieser Körper ist kein Platonischer Körper, weil die Flächen keine regelmässigen Vielecke sind.

1. Platonische Körper sind konvex.

2. Alle Flächen sind regelmässige Vielecke.

3. Alle Flächen sind kongruent.

4. An jeder Ecke stossen gleich viele Kanten zusammen.

Dieser Körper ist kein Platonischer Körper,

weil verschiedenartige Flächen vorkommen.

1. Platonische Körper sind konvex.

2. Alle Flächen sind regelmässige Vielecke.

3. Alle Flächen sind kongruent.

4. An jeder Ecke stossen gleich viele Kanten zusammen.

Dieser Körper ist kein Platonischer Körper,

weil nicht an jeder Ecke gleich viele Kanten zusammenstossen.

1. Platonische Körper sind konvex.

2. Alle Flächen sind regelmässige Vielecke.

3. Alle Flächen sind kongruent.

4. An jeder Ecke stossen gleich viele Kanten zusammen.

Zusammenfassung der Definition der Platonischen Körper

• lauter kongruente regelmässige Vielecke• lauter kongruente Ecken

• einfach• konvex

Beweis

• Euklid• Polygone• Eck-Konfigurationen• Konstruktionen

Euklid schreibt im 13. Buch seiner Elemente:

Euklid von Alexandria(ca. 340–ca. 270)

„Weiter behaupte ich, dass sich ausser den fünf Körpern kein weiterer Körper errichten

lässt, der von einander gleichen gleichseitigen und gleichwinkligen Figuren umfasst würde.“

e=a und d=b, weilg parallel zu c.a+b+g=e+d+ge+d+g=180° a+b+g=180°

1. Schritt: PolygoneDie Innenwinkelsumme eines Dreiecks ist gleich

zwei rechten Winkeln.

n=4: I4=2 180°=360°∙n=5: I5=3 180°=540°∙n=6: I6=4 180°=720°∙n=7: I7=5 180°=900°∙usw.

In=(n-2) 180∙

1. Schritt: PolygoneDie Innenwinkelsumme eines n-Ecks ist gleich

(n-2) mal zwei rechten Winkeln.

3180°α = =60°

3

2. Schritt: Regelmässige PolygoneDas regelmässige Dreieck ist das Gleichseitige.

42 180° 360°α = = = 90°

4 4

2. Schritt: Regelmässige PolygoneDas regelmässige Viereck ist das Quadrat.

53 180° 540°α = = = 108°

5 5

Das regelmässige Fünfeck (Pentagon)

2. Schritt: Regelmässige Polygone

64 180° 720°α = = = 120°

6 6

Das regelmässige Sechseck (Hexagon)

2. Schritt: Regelmässige Polygone

Das regelmässige Siebeneck (Heptagon)

75 180° 900°α = = = 128.57°

7 7

2. Schritt: Regelmässige Polygone

n

3 60°4 90°5 108°6 120°7 128.57°8 135°9 140°

10 144°

→ 180°

n

n - 2 180°i =

n

2. Schritt: Regelmässige PolygoneÜbersicht über die Peripheriewinkel

1. An einer Ecke müssen mindestens drei gleiche Flächen zusammenstossen.

2. Die Summe der Peripheriewinkel der Flächen, die an einer Ecke zusammenstossen, muss kleiner als 360° sein, da sonst die Flächen keine Ecke bilden.

3. Schritt: Bedingung

3. Schritt: Gleichseitige DreieckeAn einer Ecke können 3, 4 oder 5 gleichseitige

Dreiecke anstossen, nicht aber 6 oder mehr.

3 Dreiecke3∙60°<360°

4 Dreiecke4∙60°<360°

5 Dreiecke5∙60°<360°

6 Dreiecke6∙60°=360°

7 Dreiecke7∙60°>360°

usw. –unmöglich!

3. Schritt: 1.EckkonfigurationDrei gleichseitige Dreiecke an einer Ecke

3. Schritt: 2. EckkonfigurationVier gleichseitige Dreiecke an einer Ecke

3. Schritt: 3. EckkonfigurationFünf gleichseitige Dreiecke an einer Ecke

4. Schritt: QuadrateAn einer Ecke können 3 Quadrate anstossen,

nicht aber 4 oder mehr.

3 Quadrate3∙90°<360°

4 Quadrate4∙90°=360°

5 Quadrate5∙90°>360°

usw. –unmöglich!

4. Schritt: 4. EckkonfigurationDrei Quadrate an einer Ecke

5. Schritt: Regelmässige PentagoneAn einer Ecke können 3 regelmässige Pentagone

anstossen, nicht aber 4 oder mehr.

3 Pentagone3∙108° < 360°

4 Pentagone4∙108° > 360°

5 Pentagone5∙108° > 360°

usw. –unmöglich!

5. Schritt: 5. EckkonfigurationDrei regelmässige Pentagone an einer Ecke

6. Schritt: Hexa-, Heptagone, etc.Drei regelmässige Hexagone bilden keine Ecke!Dasselbe gilt für alle regelmässigen Polygone

mit n > 6.

7. Schritt: Konstruktion

Es kann also nur gerade 5 reguläre, konvexe Polyeder geben, bei denen an jeder Ecke gleich

viele reguläre Polygone anstossen.

Die 5 Platonischen Körper ergeben sich durch Konstruktion aus den 5 erlaubten

Eckkonfigurationen:

Ende des Beweises hx/wzbw/qed

7. Schritt: TetraederEs ergibt sich, wenn an jeder Ecke drei

gleichseitige Dreiecke anstossen.

Das Tetraeder (Vierflach) hat 4 Flächen, 4 Ecken und 6 Kanten.

7. Schritt: OktaederEs ergibt sich, wenn an jeder Ecke vier

gleichseitige Dreiecke anstossen.

Das Oktaeder (Achtflach) hat 8 Flächen, 6 Ecken und 12 Kanten.

7. Schritt: IkosaederEs ergibt sich, wenn an jeder Ecke fünf

gleichseitige Dreiecke anstossen.

Das Ikosaeder (Zwanzigflach) hat 20 Flächen,12 Ecken und 30 Kanten.

7. Schritt: Hexaeder (Würfel, Kubus) Es ergibt sich, wenn an jeder Ecke drei

Quadrate anstossen.

Das Hexaeder (Sechsflach) hat 6 Flächen,8 Ecken und 12 Kanten.

7. Schritt: DodekaederEs ergibt sich, wenn an jeder Ecke drei

regelmässige Fünfecke anstossen.

Das Dodekaeder (Zwölfflach) hat 12 Flächen,20 Ecken und 30 Kanten.

Schlusswort

Ende des Vortrags

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