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Platonische KorperTetraederHexaederOktaeder

DodekaederIkosaeder

Platonische Korper

Annamaria Jahn

Proseminar fur Lehramt

11.12.2006

Annamaria Jahn Platonische Korper

DodekaederIkosaeder

I Platonische Korper

I TetraederI HexaederI OktaederI DodekaederI Ikosaeder

I Eigenschaften

I Geschichtliches

I Vorkommen

DodekaederIkosaeder

Platonische Korper

Polyeder

I Seitenflachen sind zueinander kongruente regelmaßige Vielecke

I Ecken werden von gleich vielen Kanten gebildet (und schließen untersich gleiche Flachenwinkel ein)

DodekaederIkosaeder

Platonische Korper

Polyeder

DodekaederIkosaeder

Platonische Korper

Polyeder

DodekaederIkosaeder

FormelnSymmetrieBeziehungen zu anderen Polyedern

Tetraeder

Tetraeder (griech.): tetraedron = Vierflachner

I 4 kongruente gleichseitige Dreiecke als Flachen

I 6 gleichlange Kanten

I 4 Ecken

I 3 zusammentreffende Flachen

DodekaederIkosaeder

Tetraeder

I 4 Ecken

DodekaederIkosaeder

Tetraeder

I 4 Ecken

DodekaederIkosaeder

Formeln

Seitenflache A = 14

√3 · a2

Oberflache O =√

3 · a2

Hohe h =√

23 · a

Volumen V = 13 · h · A = 1

√2 · a3

Umkugelradius RU = 14

√6 · a

Inkugelradius RI = 112

√6 · a

Der Tetraederwinkel:Die Verbindungsstrecken zwischen dem Tetraedermittelpunkt und zweiEcken schließen jeweils einen Winkel ein, der als Tetraederwinkelbezeichnet wird:τ = arccos− 1

DodekaederIkosaeder

Formeln

Seitenflache A = 14

√3 · a2

Oberflache O =√

3 · a2

Hohe h =√

23 · a

Volumen V = 13 · h · A = 1

√2 · a3

√6 · a

Der Tetraederwinkel:Die Verbindungsstrecken zwischen dem Tetraedermittelpunkt und zweiEcken schließen jeweils einen Winkel ein, der als Tetraederwinkelbezeichnet wird:τ = arccos− 1

DodekaederIkosaeder

SymmetrieDas Tetraeder hat

I 4 dreizahlige Drehachsen (durch die Ecken und die Mitten dergegenuberliegenden Seitenflachen)

I 3 zweizahlige Drehachsen (durch die Mittelpunktegegenuberliegender Kanten)

I 6 Symmetrieebenen (jeweils durch eine Kante und senkrecht zurgegenuberliegenden Kante)

Die Tetraedergruppe hat 24 Elemente. Sie ist Untergruppe derOktaedergruppe.

DodekaederIkosaeder

SymmetrieDas Tetraeder hat

I 4 dreizahlige Drehachsen (durch die Ecken und die Mitten dergegenuberliegenden Seitenflachen)

I 6 Symmetrieebenen (jeweils durch eine Kante und senkrecht zurgegenuberliegenden Kante)

Die Tetraedergruppe hat 24 Elemente. Sie ist Untergruppe derOktaedergruppe.

DodekaederIkosaeder

Die 24 Permutationsmoglichkeiten setzen sich zusammen aus 12Drehungen:

I die identische Abbildung

I 8 Drehungen um 120◦ (4 dreizahlige Drehachsen, 2 Moglichkeitenfur den Drehsinn)

I 3 Drehungen um 180◦ (drei zweizahlige Drehachsen),

sowie 12 Spiegelungen:

I 6 Ebenenspiegelungen (an 6 Symmetrieebenen)

I 6 Drehspiegelungen (Ebenenspiegelungen, jeweils kombiniert miteiner nachfolgenden 90◦-Drehung)

DodekaederIkosaeder

Die 24 Permutationsmoglichkeiten setzen sich zusammen aus 12Drehungen:

I die identische Abbildung

I 8 Drehungen um 120◦ (4 dreizahlige Drehachsen, 2 Moglichkeitenfur den Drehsinn)

I 3 Drehungen um 180◦ (drei zweizahlige Drehachsen),

sowie 12 Spiegelungen:

I 6 Ebenenspiegelungen (an 6 Symmetrieebenen)

I 6 Drehspiegelungen (Ebenenspiegelungen, jeweils kombiniert miteiner nachfolgenden 90◦-Drehung)

DodekaederIkosaeder

Beziehungen zu anderen Polyedern

I Dualtitat

I Das Tetraeder ist zu sich selbst dual.

I aneu = 13a

DodekaederIkosaeder

I Dualtitat

I aneu = 13a

DodekaederIkosaeder

I Dualtitat

I aneu = 13a

DodekaederIkosaeder

I Durchschnitt zweier Tetraeder: das abgestumpfte Tetraeder mit 4Sechsecken und 4 Dreiecken (Tetraedergruppe)

DodekaederIkosaeder

I umschreibender Wurfel

Tetraeder in einen Wurfel einbeschrieben:

I 4 Ecken: 4 WurfeleckenI 6 Kanten: Diagonalen der 6 WurfelflachenI VW = 3VT = 1

√2 · a3

(a = dW ; aW = 12

√2 · a)

I zwei mogliche Lagen des Tetraeders (8 Wurfelecken)I Durchschnitt beider Tetraeder: Oktaeder mit 4+4 = 8

Dreiecken und 6 EckenI Vereinigung beider Tetraeder: SternkorperI Wurfel: konvexe Hulle dieses Sternkorpers

DodekaederIkosaeder

I umschreibender Wurfel

Tetraeder in einen Wurfel einbeschrieben:

I 4 Ecken: 4 WurfeleckenI 6 Kanten: Diagonalen der 6 WurfelflachenI VW = 3VT = 1

√2 · a3

(a = dW ; aW = 12

√2 · a)

I zwei mogliche Lagen des Tetraeders (8 Wurfelecken)I Durchschnitt beider Tetraeder: Oktaeder mit 4+4 = 8

Dreiecken und 6 EckenI Vereinigung beider Tetraeder: SternkorperI Wurfel: konvexe Hulle dieses Sternkorpers

DodekaederIkosaeder

I einbeschriebenes Oktaeder

I 4 Oktaederflachen: 4 TetraederflachenI 6 Oktaederecken: Mittelpunkte der 6 TetraederkantenI zwei moglich Lagen des Oktaeders (8 Oktaederflachen)

I quadratische Schnittflache

Schnitt des Tetraeders in zwei kongruente Teile: Schnittflache ist einQuadrat

DodekaederIkosaeder

I einbeschriebenes Oktaeder

I 4 Oktaederflachen: 4 TetraederflachenI 6 Oktaederecken: Mittelpunkte der 6 TetraederkantenI zwei moglich Lagen des Oktaeders (8 Oktaederflachen)

I quadratische Schnittflache

Schnitt des Tetraeders in zwei kongruente Teile: Schnittflache ist einQuadrat

DodekaederIkosaeder

Hexaeder

Hexaeder (griech.): hexaedron = Sechsflachner = Wurfel

I 6 kongruente Quadrate als Flachen

I 8 Ecken

spezieller (namlich gleichseitiger) Quaderspezielles gerades quadratisches Prisma

DodekaederIkosaeder

Hexaeder

I 8 Ecken

DodekaederIkosaeder

Hexaeder

I 8 Ecken

DodekaederIkosaeder

Hexaeder

I 8 Ecken

DodekaederIkosaeder

Hexaeder

I 8 Ecken

DodekaederIkosaeder

Formeln

Seitenflache A = a2

Oberflache O = 6a2

Volumen V = a3

Lange der Raumdiagonalen d =√

3 · a

Umkugelradius RU = 12d = 1

√3 · a

Innenkugelradius RI = 12a

DodekaederIkosaeder

SymmetrieDas Hexaeder hat

I 3 vierzahlige Drehachsen (durch die Mittelpunktegegenuberliegender Seiten)

I 4 dreizahlige Drehachsen (durch gegenuberliegende Ecken)

I 9 Spiegelebenen (sechs Ebenen durch jeweils vier Ecken, dreiEbenen durch je vier Kantenmittelpunkte)

I 3 vierzahlige Drehspiegelachsen (durch die Mittelpunktegegenuberliegender Seiten)

I 4 dreizahlige Drehspiegelachsen (durch gegenuberliegende Ecken)

I eine Punktsymmetrie zum Zentrum

Die Hexaedergruppe hat 48 Elemente.

DodekaederIkosaeder

SymmetrieDas Hexaeder hat

I 3 vierzahlige Drehachsen (durch die Mittelpunktegegenuberliegender Seiten)

I 4 dreizahlige Drehachsen (durch gegenuberliegende Ecken)

I 9 Spiegelebenen (sechs Ebenen durch jeweils vier Ecken, dreiEbenen durch je vier Kantenmittelpunkte)

I 3 vierzahlige Drehspiegelachsen (durch die Mittelpunktegegenuberliegender Seiten)

I 4 dreizahlige Drehspiegelachsen (durch gegenuberliegende Ecken)

Die Hexaedergruppe hat 48 Elemente.

DodekaederIkosaeder

I Dualitat

Der Hexaeder ist zum Oktaeder dual.

I einbeschriebenes Tetraeder

DodekaederIkosaeder

I Dualitat

Der Hexaeder ist zum Oktaeder dual.

I einbeschriebenes Tetraeder

DodekaederIkosaeder

I weitere Korper

I abgestumpftes Hexaeder (6 Achtecke, 8 Dreiecke)

DodekaederIkosaeder

I Kuboktaeder (6 Quadrate, 8 Dreiecke)

I abgestumpftes Oktaeder (6 Quadrate, 8 Sechsecke)

DodekaederIkosaeder

I Kuboktaeder (6 Quadrate, 8 Dreiecke)

I abgestumpftes Oktaeder (6 Quadrate, 8 Sechsecke)

DodekaederIkosaeder

I Rhombendodekaeder (12 Rhomben)

konvexe Hulle einer Vereinigung: Wurfel - Oktaeder

Das Hexaeder ist Baustein der regularen Wurfelparkettierung.

DodekaederIkosaeder

I Rhombendodekaeder (12 Rhomben)

konvexe Hulle einer Vereinigung: Wurfel - Oktaeder

Das Hexaeder ist Baustein der regularen Wurfelparkettierung.

DodekaederIkosaeder

Oktaeder

Oktaeder (griech.): oktaedron = Achtflachner,

I 6 Ecken

gleichseitige vierseitige Bipyramidegleichseitiges Antiprisma

DodekaederIkosaeder

Oktaeder

I 6 Ecken

DodekaederIkosaeder

Oktaeder

I 6 Ecken

DodekaederIkosaeder

Oktaeder

I 6 Ecken

DodekaederIkosaeder

Formeln

Seitenflache A = 14

√3 · a2

Oberflache O = 8 · A = 2√

3 · a2

Hohe h2 = 1

√2 · a

Volumen V = 2 · 13 · h · a

2 = 13

√2 · a3

Umkugelradius RU = h2 = 1

√2 · a

√6 · a

DodekaederIkosaeder

Symmetrie

Das Oktaeder hat

I 3 vierzahlige Drehachsen (durch gegenuber liegende Ecken)

I 4 dreizahlige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenuberliegender Flachen)

I 6 zweizahlige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenuberliegender Kanten)

I 9 Symmetrieebenen (drei Ebenen durch je vier Ecken, sechs Ebenendurch jeweils zwei Ecken und zwei Kantenmittelpunkte)

Oktaedergruppe = Hexaedergruppe (48 Elemente)

DodekaederIkosaeder

Symmetrie

Das Oktaeder hat

I 3 vierzahlige Drehachsen (durch gegenuber liegende Ecken)

I 9 Symmetrieebenen (drei Ebenen durch je vier Ecken, sechs Ebenendurch jeweils zwei Ecken und zwei Kantenmittelpunkte)

Oktaedergruppe = Hexaedergruppe (48 Elemente)

DodekaederIkosaeder

I Dualitat

Das Oktaeder ist zum Hexaeder dual.

I regulares Sterntetraeder

I weitere Korper

DodekaederIkosaeder

I Dualitat

Das Oktaeder ist zum Hexaeder dual.

I regulares Sterntetraeder

I weitere Korper

DodekaederIkosaeder

Dodekaeder

Dodekaeder (griech.): dodekaedron = Zwolfflachner= Pentagondodekaeder

I 12 kongruente regelmaßige Funfecke als Flachen

I 30 gleich lange Kanten

I 20 Ecken

DodekaederIkosaeder

Dodekaeder

I 20 Ecken

DodekaederIkosaeder

Dodekaeder

I 20 Ecken

DodekaederIkosaeder

Dodekaeder

I 20 Ecken

DodekaederIkosaeder

Formeln

Seitenflache A = 14

√25 + 10

√5 · a2

25 + 10√

5 · a2

Funfeck-Hohe h = 12

√(5 + 2

√5) · a

Volumen V = 12 · 13 · RI · A = 1

(15 + 7

√5)· a3

√6(3 +

√5) · a

√5(50 + 22

√5) · a

DodekaederIkosaeder

Symmetrie

Das Dodekaeder hat

I 6 funfzahlige Drehachsen (durch gegenuber liegendeFlachenmittelpunkte)

I 10 dreizahlige Drehachsen (durch gegenuber liegende Ecken)

I 15 Symmetrieebenen (durch einander gegenuber liegende - undparallele - Kanten)

I eine Punktspiegelung am Zentrum

Die Dodekaedergruppe hat 120 Elemente.Dodekaeder bilden keine periodische Raumstruktur.

DodekaederIkosaeder

Symmetrie

Das Dodekaeder hat

DodekaederIkosaeder

Symmetrie

Das Dodekaeder hat

DodekaederIkosaeder

I Dualitat

Das Dodekaeder ist zum Ikosaeder dual.

DodekaederIkosaeder

I weitere Korper

I abgestumpftes Dodekaeder (12 Zehnecke, 20 Dreiecke)

DodekaederIkosaeder

I Ikosidodekaeder (12 Funfecke, 20 Dreiecke)

I abgestumpfte Ikosaeder (12 Funfecke, 20 Sechsecke)

DodekaederIkosaeder

I Ikosidodekaeder (12 Funfecke, 20 Dreiecke)

I abgestumpfte Ikosaeder (12 Funfecke, 20 Sechsecke)

DodekaederIkosaeder

I Rhombentriakontaeder (30 Rhomben)

konvexe Hulle einer Vereinigung: Dodekaeder - Ikosaeder

I einbeschriebener Wurfel

I 3 Paare gegenuber liegender KantenI 3 kongruente, zueinander paarweise orthogonale RechteckeI 8 Ecken: Ecken eines WurfelsI 5 Positionen (jede Kante des Dodekaeders gehort zu genau

einer solchen Position, jede Ecke ist Eckpunkt von zweieinbeschriebenen Wurfeln)

I 120 Permutationen dieser 5 Positionen (Dodekaedergruppe)I Verhaltnis der Langen der Kanten des Dodekaeders und jener

eines einbeschriebenen Wurfels stehen im Goldenen Schnitt

DodekaederIkosaeder

Ikosaeder

Ikosaeder (griech.): eikosaedron = Zwanzigflachner

I 12 Ecken

DodekaederIkosaeder

Ikosaeder

I 12 Ecken

DodekaederIkosaeder

Ikosaeder

I 12 Ecken

DodekaederIkosaeder

Formeln

Seitenflache A = 14

√3 · a2

3 · a2

Volumen V = 20 · 13 · RI · A = 5

√5)· a3

√10 + 2

√5 · a

√3(3 +

√5) · a

DodekaederIkosaeder

Symmetrie

Das Ikosaeder hat

I 6 funfzahlige Drehachsen (durch gegenuber liegende Ecken)

I eine Punktspiegelung zum Zentrum

Ikosaedergruppe = Dodekaedergruppe (120 Elemente)Ikosaeder bilden keine periodische Raumstruktur.

DodekaederIkosaeder

Symmetrie

Das Ikosaeder hat

DodekaederIkosaeder

Symmetrie

Das Ikosaeder hat

DodekaederIkosaeder

I Dualitat

Das Ikosaeder ist zum Dodekaeder dual.

I weitere Korper

DodekaederIkosaeder

I Dualitat

I weitere Korper

DodekaederIkosaeder

I Dualitat

I weitere Korper

DodekaederIkosaeder

I umbeschriebener Wurfel

I 3 Paare gegenuber liegender KantenI 3 kongruente zueinander paarweise orthogonale RechteckeI 6 Kanten: in den 6 Wurfelflachen als Parallelen zu den

Wurfelkanten

DodekaederIkosaeder

I umschreibendes Oktaeder

I 24 restliche Kanten: 8 DreieckeI Ecken des Ikosaeder: auf den Kanten des OktaederI 5 Positionen (jede Kante des Ikosaeders gehort zu einer

Gruppe von orthogonalen Kantenpaaren, jede Flache liegtzweimal in der Flache des Oktaeders)

I 120 Permutationen dieser funf Positionen (Ikosaedergruppe)

DodekaederIkosaeder

I umschreibendes Oktaeder

I 24 restliche Kanten: 8 DreieckeI Ecken des Ikosaeder: auf den Kanten des OktaederI 5 Positionen (jede Kante des Ikosaeders gehort zu einer

Gruppe von orthogonalen Kantenpaaren, jede Flache liegtzweimal in der Flache des Oktaeders)

I 120 Permutationen dieser funf Positionen (Ikosaedergruppe)

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