09.01.2002 Vorlesung 7 1

Poisson-Verteilung

Die Normal-Verteilung ist eine kontinuierliche VerteilungDie Binomial-Verteilung ist diskret.

Eine weitere diskrete Verteilung ist die Poisson-Verteilung.

Die Anwendung der Poisson-Verteilung ist breit gefächert:

Anzahl der Telefongespräche, die in einer bestimmten Zeit bei einer Firma

eintreffen.

Anzahl der Kunden an einem Bankschalter pro Zeiteinheit.

Anzahl der Bakterien pro Liter Nährlösung.

Anzahl der Verkehrsunfälle pro Zeiteinheit an einer Kreuzung.

Anzahl der in einer bestimmten Zeit zerfallenden Atomkerne.

09.01.2002 Vorlesung 7 2

Poisson-Verteilung

x ist die Anzahl von Ereignissen in einer bestimmten Zeit oder in einem bestimmten Volumen, wobei ein bestimmter Mittelwert solcher Ereignisse erwartet

werden kann.

Die Ereignisse müssen zufällig und unabhängig voneinander sein.

( ) .....,3,2,1,0, ==−

xwobeix!exPx µµ

Herleitung der Poisson-Verteilung ist auf mehrere Arten möglich:

Zunächst Erklärung des einzigen Parameters µ .

09.01.2002 Vorlesung 7 3

Poisson-VerteilungWie groß ist der Mittelwert (Erwartungswert)?

( ) µµ −∞

=

∞

=∑∑ == e

xxxPxx

x

x

x 00 !Der erste Term der Summe ist Null.

Der Faktor x/x! kann durch 1/(x-1)! ersetzt werden.

( ) µµµ

µµµµ

µ =−

=

=++++

∞

=

−− ∑

43421e....

!!

x

x

!xex

321

1

1

32

1

Das heißt der Parameter µ , der die Poisson-Verteilung charakterisiert,ist gleich der mittleren Anzahl der gezählten Ereignisse, die erwartet wird, wenn wir das

Zählexperiment viele Male wiederholen.

09.01.2002 Vorlesung 7 4

Poisson-Verteilung

Wie groß ist die Standardabweichung ?

Zunächst Berechnung der Varianz

( )

( )∑

∑∞

=

−

∞

=

−

+−=

−=

0

22

0

22

2x

x

x

x

x!exx

x!ex

µ

µ

µµµ

µµσ

44 344 21

44 344 21

2

0

2

2

0

0

22

2

2

µ

µµ

µ

µµ

µσ

µ

µ

µ

+

+

−

−

=

∑

∑

∑

∞

=

−

∞

=

−

∞

=

−

x

x

x

x

x

x

x!e

x!ex

x!ex

09.01.2002 Vorlesung 7 5

Poisson-Verteilung

( )

2

0

2

0

22

µµ

µµ

µ

µ

−=

−=

∑

∑∞

=

−

∞

=

−

x

x

x

x

x!ex

x!exσ

ersetzen von x2 mit (x ( x - 1 ) + x ), führt zu

( )( )

( ) 2

00

2

0

2

1

1

µµµ

µµσ

µµ

µ

−+−=

−+−=

∑∑

∑∞

=

−∞

=

−

∞

=

−

x

x

x

x

x

x

x!ex

x!exx

x!exxx

Ersetzen von x-2 durch νννν, summieren von νννν=0 ergibt für die Summe den Wert eins und damit wird:

( )

2

2

22

2

0

2

2

1

µµµµ

µµµσ

µ

µ

−+−

=

−+−=

∑

∑∞

=

−−

∞

=

−

x

x

x

x

)!(xe

x!exx

µµµµσ µ =−+= 222

µσ µ =

09.01.2002 Vorlesung 7 6

Poisson-Verteilung

Die Standardabweichung ist somit gleich der Wurzel aus dem Mittelwert.

Der relative Fehler der Poisson-Verteilung ist somit:

Der Fehler des Mittelwertes ist gegeben durch:

µµµ

µσ µ

nnn1==

nµ

µσ

σ =wobei n die Anzahl der Messungen ist,

µσ µ =

die wir verwendet haben um den Mittelwert zu bestimmen.

09.01.2002 Vorlesung 7 7

Die Poisson-Verteilung

Beispiel: An einer Kreuzung finden pro Woche zwei Verkehrsunfälle statt. Die Häufigkeit der Verkehrsunfälle wird durch eine Poissonverteilung

mit µ = 2 beschrieben.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Woche kein Unfall stattfindet ?

( ) 13533500

20 220

.e!eP === −

−

( )x!exPx µµ −

=

09.01.2002 Vorlesung 7 8

Die Poisson-Verteilung

Beispiel: An einer Kreuzung finden pro Woche zwei Verkehrsunfälle statt. Die Häufigkeit der Verkehrsunfälle wird durch eine Poissonverteilung

mit µ = 2 beschrieben.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass weniger als vier Verkehrsunfälle in zwei Wochen stattfinden ?

P(≤≤≤≤ 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0.4335

( )

( )

( )

( ) 19536703

43

14652802

42

07326401

41

01831600

40

43

42

41

40

.!eP

.!eP

.!eP

.!eP

==

==

==

==

−

−

−

− Ähnliche Fragen sind z. B. wie viele Kinder werden

pro Tag in einem Krankenhaus geboren ?

(Jahreszeitliche Schwankungen) !!.

Liegt tatsächlich eine Poissonverteilung vor ?

Qualitativer graphischer Vergleich

Quantitativ mittels χχχχ2-Test

09.01.2002 Vorlesung 7 9

Poissonverteilung

Übungsaufgabe zur Poissonverteilung: Wir zählen die Anzahl von Ereignissen pro Zeiteinheit ∆t.

Wir führen eine Messung n = 84 mal durch

Wir erhalten als Mittelwert 2.119

Die Standardabweichung ist 1.456

Der Fehler des Mittelwertes ist 0.16

16.012.2 ±=µ

09.01.2002 Vorlesung 7 10

Poissonverteilung

Annahme wir wären zu faul gewesen

und hätten bei der gleichen Messung die Apparatur 84 ∆t laufen lassen

Wir hätten nur eine Messung durchgeführt.

Der Mittelwert wäre 178 Ereignisse.

Die Standardabweichung 13.34.

Der Standardfehler somit 13.

Das Endergebnis:

13178 ±=µ

16.012.2 ±=µ

09.01.2002 Vorlesung 7 11

Zusammenhang der Verteilungen

Bernoulli- Verteilungdiskret

Parameter: n=1, p

Binomial-Verteilung

diskretParameter: n, p

Bi (x)

Poisson-Verteilung

diskretParameter µ = σ2

P(x)

n ! ∞

p ! 0

Poisson-Verteilung

"Grenzfall seltener Ereignisse"Anwendung auf radioaktiven Zerfall

In einer radioaktiven Probe seien sehr viele (n) Teilchen vorhanden, die mit einer äußerst geringen Wahrscheinlichkeit p zerfallen,

(z.B. unter Aussendung eines - Quants). Wir registrieren die Anzahl der emittierten - Quanten

in einem bestimmten Zeitintervall t.Wir messen sehr viele Zeitintervalle i und erhalten Anzahlen von Ereignissen m.

Der Erwartungswert (Mittelwert) ist = n p.

Grenzübergang zu n ! ∞

( ) ( ) mnm ppmn

mBi −−

= 1

Zusammenhang zur Binomial-Verteilung

09.01.2002 Vorlesung 7 12

Poisson-VerteilungZusammenhang zur Binomial-Verteilung

( ) ( )

( )( )( ) ( )

∞→=

−−

−

−

−

−=

−+−−−=

−

−=

−

=

−

=

−

−

−

−

−

−

nfürem!µ

nm......

nnnµ

nµ

m!µ

nµ

m!µ

nmn.......nnn

nn!m!mnn!

nnmn

ppmn

mBi

µm

mnm

mnm

m

mnm

mnm

mnm

11211111

1121

1

1

1

µµ

µµ

09.01.2002 Vorlesung 7 13

Normal-VerteilungZusammenhang zur Binomial-Verteilung

Wir machen eine Messung

Die Messwerte xm setzen sich aus einer großen Zahl

von kleinen Elementarfehlern β zusammen,

die um den wahren Wert (Mittelwert) µ verteilt sind.

Die Elementarfehler treten n mal auf,

m mal positiv und n-m mal negativ.

fm = m β - (n-m) β = 2 m β – n β

[m = n/2 + fm/ 2 β]

Bernoulli- Verteilungdiskret

Parameter: n=1, p

Binomial-Verteilung

diskretParameter: n, p

Bi (x)

Gauss-Verteilung

Normal-Verteilungkontinuierlich

Parameter: µ, σ

G (x)

n ! ∞

p ! const.

Der Fehler fm setzt sich somit zusammen aus (p = 1/2):

09.01.2002 Vorlesung 7 14

Normal-VerteilungZusammenhang zur Binomial-Verteilung

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Fehler m mal positiv und n-m mal negativ auftritt wird durch die Binomial-Verteilung gegeben:

( ) ( ) nnmnm

m !mnm!n!

mn

ppmn

P22

11−

=

=−

= −

Die Verteilung ist treppenförmig

Lassen wir β immer kleiner werden und n immer größer, dann wird die Anzahl der Stufen immer größer, die Kurve

immer "glatter".

Versuch, eine Funktion zu finden, die den Verlauf beschreibt.

09.01.2002 Vorlesung 7 15

Normal-VerteilungZusammenhang zur Binomial-Verteilung

1

1

+

+

−−

=∆∆

mm

mm

ffPP

fP

nmnm mn

Pundmn

P21

121

1

+

=

= +

β2112 mP

mmn

fP ⋅

+−−=

∆∆

Die Rechnung soll durchgeführt werden für Fehler, die klein sind gegen den maximalen Fehler, also

fm << n β und m >> 1.

β21 11 −=−

+−= ++ mmmm ffsowiePmmnP

[m = n/2 + fm/ 2 β]

09.01.2002 Vorlesung 7 16

Normal-VerteilungZusammenhang zur Binomial-Verteilung

β2112 mP

mmn

fP ⋅

+−−=

∆∆ [m = n/2 + fm / 2 β]

dfdP

nfP

nfP

fP mm =−=−≈

∆∆

22 ββ

n - 2 m – 1 ≈ n - 2 m = - fm/ βund der Nenner

m + 1 ≈ m = n/2 + fm/2 β ≈ n/2

2σfP

dfdP −= dff

PdP ⋅⋅−= 2

1σ

Abkürzung : n β 2 = σ2

constxP +−= 222

1lnσ

221

σπ=d2

2

2σx

edP−

⋅=

09.01.2002 Vorlesung 7 17

BiomialverteilungZusammenhang zur Normal-Verteilung

09.01.2002 Vorlesung 5 44

Zusammenhang der Verteilungen

Bernoulli- Verteilungdiskret

Parameter: n=1, p

Binomial-Verteilung

diskretParameter: n, p

Bi (x)

Poisson-Verteilung

diskretParameter µ = σ2

P(x)

Gauss-Verteilung

Normal-Verteilungkontinuierlich

Parameter: µ, σ

G (x)

n ! ∞

p ! 0

n ! ∞

p ! const.µ ! ∞

µ = n p

09.01.2002 Vorlesung 7 18

PoissonverteilungZusammenhang zur Normal-Verteilung

14.12.2001 Vorlesung 5 44

Poisson-Verteilung

diskretParameter µ = σ2

P(x)

Gauss-Verteilung

Normal-Verteilungkontinuierlich

Parameter: µ, σ

G (x)

µ ! ∞

µ = n p

09.01.2002 Vorlesung 7 19

Zusammenhang der Verteilungen

Ist die Population endlich ?

Ist n groß ?

Ist n p > 9 ?

JA

JA

JA

NEIN

NEIN

NEIN

Hypergeometrisch Gauß BinomialPoisson

09.01.2002 Vorlesung 7 20

Anwendung der Binomialverteilung bei der Qualitätssicherung

Urnenmodell mit Zurücklegen

Wir haben die Aufgabe eine Lieferung zu testen.Die Lieferung besteht aus N Teilen von denen M fehlerhaft sind.

Die Wahrscheinlichkeit bei einmaligem Ziehen ein fehlerhaftes Teil zu ziehen ist:

p = M/N

(Fehlerquote)

Wir testen insgesamt n Teile und fragen,wie wahrscheinlich ist es, dass die n Teile keinen Fehler aufweisen?

09.01.2002 Vorlesung 7 21

Binomialverteilung ( ) ( ) mnm ppmn

mW −−

= 1

m = 0 (Kein fehlerhaftes Teil)

( ) 0mwenn,1 ==−

=

m!!mn

n!mn

( ) ( )npmW −= 1

Wir testen insgesamt n Teile und fragen,wie wahrscheinlich ist es, dass die n Teile keinen Fehler aufweisen?

Anwendung der Binomialverteilung bei der Qualitätssicherung

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0 Teile.5

Wah

rsch

einl

ichk

eit f

ür N

ull f

ehle

rhaf

te T

eile

Fehlerquote

Beispiel n = 5

09.01.2002 Vorlesung 7 22

Erhöhung der Teilchenzahl n führt zu sicherer Entscheidung

Anwendung der Binomialverteilung bei der Qualitätssicherung

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0 Teile.5

Wah

rsch

einl

ichk

eit f

ür N

ull f

ehle

rhaf

te T

eile

Fehlerquote

Kostenfaktor?

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Teile.5 Teile.10 Teile.50

Wah

rsch

einl

ichk

eit f

ür N

ull f

ehle

rhaf

te T

eile

Fehlerquote