Polar-, Kugel-, Zylinderkoordinaten/ Mehrfachintegrale

Wozu verschiedene Koordinatensysteme?

Ausnutzen der Geometrie zur Vereinfachung der Rechnung

Flächen-/Volumenberechnung durch Integration

x

y

𝐴 = 1 d𝐴 = 1 d𝑥d𝑦

d𝐴 = d𝑥 ⋅ d𝑦

𝑎

𝑏

𝑉 = 1 d𝑉 = 1 d𝑥d𝑦d𝑧

A = 1 d𝑦d𝑥 = 𝑦 0

𝑏𝑎𝑥

d𝑥 = 𝑏

𝑎𝑥 d𝑥

𝑎

0

𝑎

0

𝑏𝑎𝑥

0

𝑎

0

=𝑏

2𝑎𝑥2

0

𝑎

=1

2𝑎 ⋅ 𝑏

Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks:

d𝐴-Flächenelement (wie Pixel einer Rastergrafik)

Aufgabe 1 Berechnen Sie durch Integration die Fläche eines Kreises mit Radius R, dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt! Nutzen Sie dafür

• a) kartesische Koordinaten

𝑥

𝑦

𝑅

𝐴 = 1 dyd𝑥

?

?

?

?

𝑅2 − 𝑥2 d𝑥 = 𝑥

2𝑅2 − 𝑥2 +

𝑅2

2arcsin

𝑥

𝑅+ 𝑐, R = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Hilfestellung:

Aufgabe 1 Berechnen Sie durch Integration die Fläche eines Kreises mit Radius R, dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt! Nutzen Sie dafür

• a) kartesische Koordinaten

𝑥

𝑦

𝑅

𝑅2 − 𝑥2 d𝑥 = 𝑥

2𝑅2 − 𝑥2 +

𝑅2

2arcsin

𝑥

𝑅+ 𝑐, R = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Hilfestellung:

𝐴 = 1 dyd𝑥

𝑅2−𝑥2

− 𝑅2−𝑥2

𝑅

−𝑅

= 2 𝑅2 − 𝑥2 𝑑𝑥 = 𝜋𝑅2

𝑅

−𝑅

Lösung:

Polar-/Zylinderkoordinaten

x

y

r

φ

x

y

z z

r φ

𝑥 = 𝑟 cos 𝜑 𝑦 = 𝑟 sin 𝜑 (𝑧 = 𝑧)

Beziehung zum kartesischen Koordinatensystem:

𝑒 𝑟 𝑒 𝜑

Darstellung des Raumes durch die Koordinaten 𝑟, 𝜑 (und 𝑧)

Flächenelement in Polarkoordinaten

φ r

d𝐴 = 𝑟d𝜑 ⋅ d𝑟

𝑟 – Funktional- determinante der Jakobi-Matrix Mathe-Vorlesung

Für das Volumenelement in Zylinderkoordinaten gilt demnach:

d𝑉 = 𝑟d𝜑 ⋅ d𝑟 ⋅ d𝑧

.

𝑟 𝑏 = d𝑟

𝑑𝜑

𝑎

𝑑𝐴 ≅ 𝑎 ⋅ 𝑏

sin d𝜑 =𝑎

𝑟 → 𝑎 = 𝑟d𝜑

(sin𝜑 = 𝜑, wenn 𝜑 sehr klein)

Aufgabe 2 Berechnen Sie durch Integration die Fläche eines Kreises mit Radius R, dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt! Nutzen Sie dafür

• a) Polarkoordinaten

𝑅

𝐴 = 1 ⋅ 𝑟 d𝑟d𝜑

?

?

?

?

r

φ

Zusatz: Berechnen Sie das Volumen eines Zylinders mit der Grundfläche des Kreises und der Höhe h durch Integration

Aufgabe 2 Berechnen Sie durch Integration die Fläche eines Kreises mit Radius R, dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt! Nutzen Sie dafür

• a) Polarkoordinaten

𝑅

𝐴 = 1 ⋅ 𝑟 d𝑟d𝜑

𝑅

0

2𝜋

0

= 1

2𝑅2 d𝜑 = 𝜋𝑅2

2𝜋

0

r

φ

𝑉 = 1 ⋅ 𝑟 d𝑟d𝜑d𝑧

𝑅

0

2𝜋

0

ℎ

0

= 𝜋𝑅2 d𝑧 = 𝜋𝑅2ℎ

ℎ

0

Lösung:

Zusatz:

Kugelkoordinaten Darstellung des Raumes durch die Koordinaten 𝑟, 𝜑 und 𝜃

𝑥 = 𝑟 cos 𝜑 sin 𝜃

𝑦 = 𝑟 sin 𝜑 sin 𝜃

𝑧 = 𝑟 cos 𝜃

Beziehung zu den kartesischen Koordinaten:

Volumenelement in Kugelkoordinaten

𝐴 = 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑟2 sin 𝜃 d𝜃d𝜑

.

𝑟

𝑑𝜃

𝑏

𝑏 = 𝑟 d𝜃

.

𝑟 sin 𝜃

𝑑𝜑

𝑎

𝑎 = 𝑟 sin 𝜃 d𝜑

𝑑𝑉 = 𝐴 ⋅ d𝑟 = 𝑟2 sin 𝜃 d𝜃d𝜑d𝑟

Aufgabe 3

a. Berechnen Sie durch Integration die Masse 𝑀 einer Kugel mit dem Radius 𝑅 und einer Dichte, die wie folgt vom Radius abhängt:

𝜌 𝑟 = 𝜌0 ⋅ 𝑟

𝑑𝑉 = 𝑟2 sin 𝜃 d𝜃d𝜑d𝑟

Volumenelement:

𝑚 = 𝜌 d𝑉

Ansatz:

Lösung zu Aufgabe 3

𝑚 = 𝜌 d𝑉

𝐽 = 𝜌0 𝑟 ⋅ 𝑟2 sin 𝜃 d𝑟d𝜑d𝜃 = 𝜌0 𝑅4

4sin 𝜃 d𝜑d𝜃

2𝜋

0

𝜋

0

𝑅

0

2𝜋

0

𝜋

0

= 2𝜋𝜌0 𝑅4

4sin 𝜃 d𝜃 = 2𝜋𝜌0

𝑅4

4sin 𝜃 d

𝜋

0

𝜋

0

𝜃 = −𝜋𝜌𝑅4

2cos 𝜃

0

𝜋

= 2𝜋𝜌0

𝑅4

2= 𝜋𝜌0𝑅

4

Ansatz:

Weitere Aufgaben:

Berechnen Sie das Trägheitsmoment:

a. einer Punktmasse mit Masse m im Abstand r von der Drehachse,

b. eines dünnen, homogenen Kreisrings mit Radius r und Masse m, der senkrecht zur Drehachse und dessen Mittelpunkt auf der Drehachse liegt und

c. eines Vollzylinders mit Radius R und homogener Massenverteilung, der um seine Symmetrieachse rotiert mit Hilfe von Zylinderkoordinaten!

Übersicht Koordinatensysteme

Koordinaten-system

Koordi-naten

Umrechnung in kartesische Koordinaten

Determi-nante der Jakobi-Matrix

Volumenlement/ Flächenelement

kartesisch 𝑥, 𝑦, 𝑧 - - d𝐴1 = d𝑥 ⋅ d𝑦 d𝐴2 = d𝑦 ⋅ d𝑧 d𝐴3 = d𝑥 ⋅ d𝑧

d𝑉 = d𝑥 ⋅ d𝑦 ⋅ d𝑧

polar 𝑟, 𝜑 𝑥 = 𝑟 cos𝜑 𝑦 = 𝑟 sin 𝜑

𝑟 𝑑𝐴 = 𝑟 d𝜑d𝑟

zylindrisch 𝑟, 𝜑, 𝑧 𝑥 = 𝑟 cos𝜑 𝑦 = 𝑟 sin 𝜑 𝑧 = 𝑧

𝑟

d𝐴Fläche = 𝑟 d𝜑d𝑟 d𝐴Mantel = 𝑟 d𝜑d𝑧 d𝑉 = 𝑟 d𝜑d𝑟d𝑧

sphärisch 𝑟, 𝜑, 𝜃 𝑥 = 𝑟 cos𝜑 sin 𝜃 𝑦 = 𝑟 sin𝜑 sin 𝜃 𝑧 = 𝑟 cos 𝜃

𝑟2 sin 𝜃 d𝑉 = 𝑟2 sin 𝜃 d𝑟d𝜑d𝜃 d𝐴O = 𝑟2 sin 𝜃 d𝜑d𝜃