Polygone, Parkette und Polyeder .pdf · 2018. 9. 15. · Polygone, Parkette und Polyeder Ein Skript...

Polygone, Parkette und PolyederEin Skript für AMa

Olaf Schimmel

1 Wissenswertes über Polygone

1.1 Was sind Polygone?

Def 1.1

Ein Polygon ist ein ebenes Vieleck, das durch einen endlichen geschlossenen Streckenzugaus mindestens drei Strecken gebildet werden kann.

Beispiel 1 Dieses Polygon (Viereck) ist kon-vex. Alle Innenwinkel sind kleinerals 180˝. Die beiden Diagonalenwürden im Inneren des Vierecks ver-laufen.

Beispiel 2 Bei einem nichtkonvexen Vieleckgibt es mindestens einen überstump-fen Innenwinkel. Dennoch handelt essich hier um ein Viereck ABCD.

Bei einem nichtkonvexen Polygongibt es Diagonalen, die nicht inner-halb des Vielecks liegen.

Def 1.2

Ein Polygon heißt konvex, wenn alle Innenwinkel kleiner als 180˝ sind.

Def 1.3

Ein Polygon heißt überschlagen, wenn es mindestens zwei nicht benachbarte Seiten gibt,die sich schneiden.

1

O. Schimmel UMG Greiz Polygone, Parkette und Polyeder

Beispiel 3: Überschlagenes Viereck. Bei über-schlagenen Vielecken entstehen im-mer mehrere Flächenstücke.

Beispiel 4 Ein Rhombus hat vier gleichlangeSeiten. Dennoch ist er kein regelmä-ßiges Polygon.Nicht alle vier Winkel sind gleichgroß.

Def 1.4

Ein konvexes, nicht überschlagenes Vieleck heißt regelmäßig, wenn alle Seiten die gleicheLänge haben und alle Innenwinkel dieselbe Winkelweite besitzen.

Wir sehen nur nicht überschlagene Polygone als regelmäßig an.

Beispiel 5 Fünfecke

Dieses Fünfeck hat lauter gleich lan-ge Seiten. Trotzdem ist es nicht re-gelmäßig. Zwei der Innenwinkel sindrechte Winkel, zwei sind stumpf undein Winkel ist spitz.

Dieses Fünfeck hat fünf gleich langeSeiten. Es ist überschlagen. Deshalbzählen wir es nicht zu den regelmä-ßigen Vielecken.

2


Ein regelmäßiges Fünfeck.Es hat zahlreiche interessante Eigen-schaften.

Jedes regelmäßige Vieleck hat einenUmkreis, auf dem alle Eckpunktedes Vielecks liegen. Der Umkreismit-telpunkt ist der Schnittpunkt derMittelsenkrechten aller Seiten desVielecks.

Aufgaben:

1. Untersuchen Sie, ob es folgende Arten von Polygonen gibt:

a) Vierecke, die vier gleiche Winkel besitzen, aber nicht regelmäßig sind.

b) Fünfecke, die einen Umkreis haben, aber nicht regelmäßig sind.

c) Überschlagene Vierecke, die lauter gleichlange Seiten und lauter gleichgroßeWinkel haben.

2. Zeichnen Sie ein Fünfeck mit fünf gleich großen Winkeln, das jedoch weder über-schlagen, noch regelmäßig ist. Beschreiben Sie, wie sie vorgehen. Die Seite a sei 5cm lang.

3. Zeichnen Sie einen Kreis mit dem Radius r = 4 cm. Er soll der Umkreis einesregelmäßigen Achtecks sein.

a) Konstruieren Sie das Achteck.

b) beschreiben Sie die Konstruktion in Form einer Schrittfolge. Verwenden Siedabei die mathematische Fachsprache.

c) Berechnen Sie die Größe eines Innenwinkels des Achtecks. Notieren Sie denRechenweg.

3


1.2 Innenwinkel in Polygonen

In diesem Abschnitt wollen wir Innenwinkelgrößen und die Summe der Innenwinkelgrö-ßen für Polygone betrachten. Zunächst betrachten wir ein konvexes Polygon.Wir zeichnen alle Diagonalen vom PunktA aus in das n-Eck ein. Da es konvex ist,liegen diese alle innerhalb des n-Ecks undzerlegen es in genau (n-2) Dreiecke.Jedes Dreieck hat eine Innenwinkelsummevon 180˝. Diese Winkel ergänzen sich kom-plett zu den Innenwinkeln des n-Ecks.Wir können also schlussfolgern:Die Summe beträgt Sn “ pn´ 2q ¨ 180˝

Im nichtkonvexen n-Eck gibt es Diagona-len, die außerhalb liegen. Deshalb müs-sen wir hier etwas anders vorgehen. Wirsuchen nach einer Zerlegung in Dreieckedurch solche Diagonalen, die die folgendenBedingungen erfüllen:

1. Jede Diagonale verläuft innerhalbdes n-Ecks.

2. Es gibt keine zwei Diagonalen, diesich im Inneren des n-Ecks schnei-den.

Eine solche Zerlegung lässt sich immer finden. Dabei entstehen ebenfalls (n-2) Dreiecke,deren Innenwinkel sich zu den Innenwinkeln des n-Ecks vollständig ergänzen.Wir fassen zusammen:

Satz 1.1

Für die Summe aller Innenwinkel in einem beliebigen n-Eck gilt: Sn “ pn´ 2q ¨ 180˝

Bemerkungen:

1. Die obigen Ausführungen sind natürlich kein mathematisch exakter Beweis. Dazumüsste man nämlich auch zeigen, dass es immer eine solche Zerlegung gibt undzwar für jedes beliebige n-Eck.

2. Um herauszufinden, ob es ein n-Eck zu einer vorgegebenen Innenwinkelsumme gibt,muss man die Gleichung nach n umstellen und das Ergebnis eine natürliche Zahlsein.

4


Wir können nun die Innenwinkelsumme ausnutzen, um uns eine Formel für die Größeeines einzelnen Innenwinkels in einem regelmäßigen Polygon zu überlegen.Ein regelmäßiges n-Eck hat n gleiche Innenwinkel. Also ergibt sich:

Satz 1.2

Für einen Innenwinkel in einem regelmäßigen n-Eck gilt:

αn “n´ 2

n¨ 180˝ “ 180˝ ´

360˝

n

Beispiel: Für ein regelmäßiges Neuneck sollen dieInnenwinkel bestimmt werden. Wir er-halten:

α9 “ 180˝ ´360˝

9“ 140˝

Zur Konstruktion eines Neunecks istder Zentriwinkel im Umkreismittel-punkt hilfreich.

αz “360˝

n“ 40˝

Mit diesem Wissen können wir nun regelmäßige n-Ecke recht einfach konstruieren, wennwir ihren Umkreisradius r gegeben haben.

Aufgaben

1. Bestimmen Sie alle regelmäßigen n-Ecke, deren Innenwinkel eine Weite haben, fürdie gilt: 160˝ ă αn ă 175˝.

2. In einen Kreis mit dem Radius r = 5,0 cm soll ein regelmäßiges Sechseck einbe-schrieben werden.

a) Legen Sie eine Planfigur an und planen Sie eine Konstruktion.

b) Führen Sie die Konstruktion aus.

c) Beschreiben Sie die Konstruktionsschritte unter Verwendung der mathemati-schen Fachsprache.

d) Messen Sie alle Seiten und Diagonalenlängen in diesem n-Eck.

3. Konstruieren Sie ein regelmäßiges Neuneck mit einem Umkreis von 6 cm Radius.Ermitteln Sie die Seitenlängen und die Längen der Diagonalen. Finden Sie eineBesonderheit die diese Längen aufweisen?

4. Sie sollen nun ein regelmäßiges Neuneck mit der Seitenlänge a = 3,0 cm konstru-ieren. Überlegen Sie, wie Sie die vorherige Konstruktion nutzen können, um dasgewünschte Neuneck zu erhalten.

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2 Parkettierungen der Ebene

2.1 Was sind Parkettierungen?

Def 2.1

Jede lückenlose und überlappungsfreie Auslegung der Ebene mit Polygonen, die zu einerabzählbaren Menge gehören, nennen wir Parkettierung.

Def 2.2

Eine Parkettierung bei der jede Kante eines Polygons exakt an einer Kante eines anderenPolygons anliegt, heißt Kante-an-Kante-Parkettierung.

Def 2.3

Eine Parkettierung heißt ...

1. ... einsteinig, wenn jede Kachel dieselbe Form und Größe hat.

2. ... regulär, wenn an jedem Eckpunkt die verwendeten Vielecke in derselben Weiseangeordnet sind.

Beispiele: Die nebenstehende Parkettierung istkein Kante-an-Kante-Parkett, sie istnicht einsteinig und nicht regulär.

Hier handelt es sich fast um ein Kante-an Kante-Parkett. Es gibt nur sehr we-nige Kanten, die dies verhindern. Ob-wohl es immer wieder Punkte gibt, andenen dieselbe Anordnung der Kachelnvorliegt, ist es auch keine reguläre Par-kettierung.

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Die nebenstehende Parkettierung istein Kante-an-Kante-Parkett, sie istnicht einsteinig und nicht regulär.

Hier handelt es sich um ein Kante-anKante-Parkett. Obwohl es immer wie-der Punkte gibt, an denen dieselbe An-ordnung der Kacheln vorliegt, ist es kei-ne reguläre Parkettierung. Diese Par-kettierung ist einsteinig.

Aufgaben:

1. Entwerfen Sie jeweils eine Parkettierung mit folgenden Eigenschaften:

a) Alle Kacheln sind Quadrate. Es kommen verschiedene Größen vor.

b) Alle Kacheln sind Quadrate derselben Größe. Es ist kein Kante-an-Kante-Parkett.

c) Eine einsteinige Parkettierung aus einem unregelmäßigen Vieleck.

2. Aus mehreren Quadraten derselben Größe kann man sogenannte Polyominos her-stellen.

Die Abbildung zeigt Triminos und Tetrominos.

a) Entwerfen Sie ein Parkett, das nur aus Triminos besteht.

b) Entwerfen Sie ein Parkett, das nur aus Tetrominos besteht.

c) Kombinieren Sie beide Arten dieser Polyominos zu einem Parkett.

d) Geben Sie Eigenschaften dieser Parkette an.

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2.2 Parkette aus Dreiecken und Vierecken

Man kann nicht nur aus Quadraten oder speziellen Dreiecken einsteinige Parkette legen.Der folgende Satz ist doch erstaunlich.

Satz 2.1

Aus jedem nicht überschlagenen Viereck kann man ein einsteiniges Parkett legen.

Begründung: Ausgangspunkt ist ein Vier-eck ABCD. Wenn man es amMittelpunkt einer seiner Sei-ten spiegelt, so entsteht bil-det das gespiegelte Viereck zu-sammen mit dem Original im-mer ein Sechseck, das als „Ka-chel“ des Parketts angesehenwerden kann.

Die Abbildungen zeigen zweisolche Parkette. Eines da-von besteht aus nichtkonvexenVierecken.Es ist übrigens egal, an wel-chem Seitenmittelpunkt dieSpiegelung des Vierecks er-folgt.

Satz 2.2

Aus jedem Dreieck lässt sich eine einsteinige Parkettierung der Ebene legen.

Beweis: Aus zwei kongruenten Dreiecken lässt sich immer ein Parallelogramm(streng genommen sogar mehrere verschiedene) legen.Nach Satz 2.1 kann man aber aus Vierecken immer ein einsteiniges Par-kett erstellen. Somit ist dies auch mit Dreiecken möglich.

Aufgaben:

1. Zeichnen Sie ein beliebiges Viereck und führen Sie die oben beschriebene Punkt-spiegelung daran aus.

2. Erstellen Sie zwei verschiedene einsteinige Parkette aus unregelmäßigen Vierecken.

3. Zeigen Sie, dass man aus allen fünf Tetrominos einsteinige Parkette legen kann.

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2.3 Platonische Parkette

Wir schränken nun die schier unerschöpfliche Vielfalt etwas ein und betrachten nun alsKacheln nur noch regelmäßige Vielecke.

Def 2.4

Eine einsteinige Kante-an Kante-Parkettierung aus regelmäßigen Polygonen heißt pla-tonisches Parkett.

Welche und wie viele platonische Parkette gibt es?

Um diese Frage zu beantworten, überlegen wir uns, welche Bedingungen durch die Viel-ecke erfüllt sein müssen, damit die Ebene überlappungsfrei, aber auch lückenlos bedecktwird.Winkelbedingung:Die Innenwinkel der an einer Ecke des Parketts zusammenstoßenden Kacheln muss exakt360˝ betragen.

Auf exakt 360˝ kommt man nur mit den Innenwinkeln des gleichseitigen Dreiecks p60˝q,des Quadrates p90˝q und des regelmäßigen Sechseckes p120˝q. Es kann demnach also nurdrei platonische Parkette geben.

Beispiele: Parkett aus gleichseitigen Dreiecken(3; 3; 3; 3; 3; 3)

Parkett aus regelmäßigen Vierecken(Quadraten)(4; 4; 4; 4)

Parkett aus regelmäßigen Sechse-cken(6; 6; 6)

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2.4 Archimedische Parkette

Def 2.5

Eine Parkettierung der Ebene heißt archimedisch genau dann, wenn sie folgende Be-dingungen erfüllt:

1. Alle Kacheln sind regelmäßige Polygone mit derselben Kantenlänge.

2. Die Parkettierung ist nicht einsteinig, d.h. es kommen mindestens zwei verschiedenePolygone vor.

3. Die Parkettierung ist semiregulär, d.h. an jedem Eckpunkt stoßen dieselben Poly-gone in derselben Reihenfolge aufeinander.

Welche archimedischen Parkette kann es geben? Welche nicht?Zunächst überlegen wir, welche Kacheltypen kombiniert werden können, um die Winkel-bedingung zu erfüllen. Dazu müssen wir überlegen, wie viele Kacheln mindestens undwie viele höchstens an einer Ecke des Parkettes zusammenstoßen können.Den kleinsten Winkel hat das Dreieck mit 60˝. 6 gleichseitige Dreiecke schließen den Voll-winkel. Da man aber mindestens ein anderes Polygin verwenden muss, kommen maximal5 Polygone pro Ecke in Frage.Andererseits ist der Innenwinkel jedes regelmäßigen Vielecks kleiner als ein gestreckterWinkel. Damit benötigt man mindestens drei Polygone an jeder Ecke. Folglich gilt:

Satz 2.3

In jedem archimedischen Parkett müssen sich mindestens 3 und höchstens 5 Polygone anjeder Ecke treffen.

Nun suchen wir alle Kombinationen von Polygonen, deren Winkel die Winkelbedingungenerfüllen. Dazu gehen wir systematisch vor und betrachten zunächst alle Möglichkeitenfür 5 Polygone pro Ecke.Wir beginnen mit 4 Dreiecken. Ihre Winkel ergeben in der Summe bereits 240˝. Dieselassen sich mit einem Sechseck genau zu 360˝ ergänzen. Damit wäre eine erste Lösung:(3; 3; 3; 3; 6).Die nächsthöhere Variante beginnt mit drei Dreiecken und einem Quadrat. 3 ¨60˝`90˝ “

270˝ Diese lassen sich durch ein weiteres Quadrat zu einem Vollwinkel ergänzen. So ent-steht die Kombination: (3; 3; 3; 4; 4).Weitere Kombinationen mit 5 Polygonen gibt es nicht, denn bereits 3 Dreiecke und einFünfeck würden mit jedem weiteren anderem Polygon die Winkelbedingung sprengen.

Betrachten wir nun die Parkettierungsmöglichkeiten für 4 Polygone pro Ecke. Parket-te mit 3 Dreiecken sind nicht möglich, da diese nur 180˝ abdecken. Wir gehen analog vor.Die folgende Tabelle soll alle Varianten erfassen, die auf genau 360˝ führen.

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Variante Winkelsumme Bemerkung

5 Kacheln(3; 3; 3; 3; 6) 4 ¨ 60˝ ` 120˝ Parkett existiert(3; 3; 3; 4; 4) 3 ¨ 60˝ ` 2 ¨ 90˝ zwei Parkette existieren

4 Kacheln(3; 3; 4; 12) 2 ¨ 60˝ ` 90˝ ` 150˝ —(3; 3; 6; 6) 2 ¨ 60˝ ` 2 ¨ 120˝ Parkett existiert(3; 4; 4; 6) 60˝ ` 2 ¨ 90˝ ` 120˝ Parkett existiert

3 Kacheln(3; 7; 42) 60˝ ` 1284

7

˝` 1713

7

˝ —(3; 8; 24) 60˝ ` 135˝ ` 165˝ —(3; 9; 18) 60˝ ` 140˝ ` 160˝ —(3; 10; 15) 60˝ ` 144˝ ` 156˝ —(3; 12; 12) 60˝ ` 2 ¨ 150˝ Parkett existiert(4; 5; 20) 90˝ ` 108˝ ` 162˝ —(4; 6; 12) 90˝ ` 120˝ ` 150˝ Parkett existiert(4; 8; 8) 90˝ ` 2 ¨ 135˝ Parkett existiert(5; 5; 10) 2 ¨ 108˝ ` 144˝ —

Zusammenfassung:

1. Es gibt genau 8 archimedische Parkette. Sie haben die Bezeichnungen:(3; 3; 3; 3; 6), (3; 3; 3; 4; 4), (3; 3; 4; 3; 4),(3; 6; 3; 6), (3; 4; 4; 6),(3; 12; 12), (4; 6; 12) und (4; 8; 8).

2. Die anderen Varianten führen nicht auf Parkette. Bei ihnen ist zwar die Winkel-bedingung erfüllt, die Kacheln lassen sich jedoch nicht so legen, dass es an jedemEckpunkt immer dieselbe Reihenfolge der Kacheln ergibt.

3. Zur Begründung ziehen wir die ungerade Eckenzahl der Kacheln heran.Betrachten wir das Parkett (3; 8; 24). Um das Dreieck herum müsste abwechselndein 8-Eck und ein 24-Eck angelegt werden. Das ist jedoch nicht möglich, da entwederzwei 8-Ecke oder zwei 24-Ecke nebeneinander liegen. Somit würde dort entwedereine Lücke oder eine Überlappung entstehen.

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Übersicht über die archimedischen Parkette

Bilder von R. A. Nonenmacher

(3; 3; 3; 3; 6) (3; 3; 3; 4; 4)

(3; 3; 4; 3; 4) (3; 6; 3; 6)

(3; 4; 6; 4) (3; 12; 12)

(4; 8; 8) (4; 6; 12)

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3 Platonische und archimedische Körper

3.1 Platonische Körper

Def 3.1

Ein Körper heißt platonisch, wenn er von einander paarweise kongruenten regelmäßigenPolygonen vollständig begrenzt wird.

Auch hier gehen wir systematisch vor, um herauszufinden, welche platonischen Körperes gibt. Dabei beachten wir folgende Bedingungen.

Bedingung 1: An jeder Ecke müssen mindestens drei Polygone zusammenstoßen.

Bedingung 2: Die Innenwinkelsumme der Polygone pro Ecke ist kleiner als 360˝.

Nur dann lassen sich nämlich die Flächen aus der Ebene heraus in den Raum hoch-klappen. Damit ist klar, dass ein platonischer Körper maximal aus Fünfecken bestehenkann, denn bereits drei Sechsecke erfüllen die Winkelbedingung nicht mehr.

Wenn man Dreiecke verwendet, so kann man 3, 4 oder sogar 5 Dreiecke an jeder Ecke desKörpers zusammenfügen. Selbst bei fünf Dreiecken ist die Winkelsumme mit 300˝ nochunter einem Vollwinkel.Auf diese Weise entstehen das Tetraeder (3; 3; 3), das Oktaeder (3; 3; 3; 3) und dasIkosaeder (3; 3; 3; 3; 3).

Verwendet man regelmäßige Vierecke, erhält man für 3 Stück pro Ecke das Hexaeder(Würfel) (4; 4; 4).Vier Quadrate ergeben jedoch bereits einen Vollwinkel, so dass es nur einen platonischenKörper gibt, der Vierecke als Begrenzungsflächen hat.

Drei Fünfecke ergeben eine Winkelsumme von 324˝. Wir erhalten das Dodekaeder (5;5; 5) als letzten platonischen Körper.

Insgesamt gibt es also genau fünf platonische Körper.

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Übersicht über die platonischen Körper

Name Code Eigenschaften Skizze

Tetraeder (3; 3; 3) 4 Dreiecke6 Kanten4 Ecken

Hexaeder (4; 4; 4) 6 Quadrate12 Kanten8 Ecken

Dodekaeder (5; 5; 5) 12 Fünfecke30 Kanten20 Ecken

Oktaeder (3; 3; 3; 3) 8 Dreiecke12 Kanten6 Ecken

Ikosaeder (3; 3; 3; 3; 3) 20 Dreiecke30 Kanten12 Ecken

Durch geeignete Schnitte kann man auch einen Platonischen Körper aus einem anderenerzeugen:So bilden beispielsweise die Mittelpunkte der 8 Kanten des Oktaeders die Eckpunkteeines Würfels.

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3.2 Archimedische Körper

Ähnlich wie bei den Parketten lassen wir auch hier nun verschiedene Arten an Polygonenzu.

Def 3.2

Ein archimedischer Körper liegt vor, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. Der Körper besteht aus mindestens zwei verschiedenen Arten regelmäßiger Polygo-ne.

2. An jeder Ecke grenzen dieselben Polygone in genau derselben Reihenfolge aneinan-der.

Auch hier gelten die obigen beiden Bedingungen.Diese liefern zunächst sehr viele verschiedene mögliche Kombinationen, die zwar die Win-kelbedingung erfüllen, jedoch keine Körper ergeben. Insbesondere die Gleichheit der Rei-henfolge der an jeder Ecke angrenzenden Polygone ist bei vielen dieser Kombinationennicht erfüllbar.Man benötigt entweder zwei gleiche Vielecke mit gerader Eckenzahl oder drei Vieleckemit gerader Eckenzahl, damit diese erfüllbar wird.

So verbleiben nur die folgenden Möglichkeiten:

(n; 4; 4) sind Körper aus zwei regelmäßigen n-Ecken (Grund und Deckfläche und Qua-draten rundherum. Diese sind uns als Prismen bekannt und so zählen wir diese nicht zuden archimedischen Körpern. Sie existieren für jede natürliche Zahl n ab n = 3.

Mit einem Dreieck an jeder Ecke und 3 Flächen verbleiben nur (3; 6; 6); (3; 8; 8) und (3;10; 10).(3; 4; 4) ergibt ein dreiseitiges gerades Prisma aus gleichseitigen Dreiecken und Quadra-ten bestehend.

Mit einem Fünfeck an jeder Ecke und 3 Flächen verbleibt nur (5; 6; 6).(5; 4; 4) ergibt wieder ein Prisma.

Möglichkeiten mit Vielecken gerader Eckenzahl und drei Flächen sind: (4; 6; 6); (4; 6; 8)und (4; 6; 10).

Es bleiben nun nur noch die Körper mit mehr als drei Flächen pro Eckpunkt. Das sinddie Kombinationen: (3; 4; 4; 4); (3; 4; 3; 4); (3; 4; 5; 4); (3; 5; 3; 5); (3; 3; 3; 3; 4) und (3;3; 3; 3; 5).Insgesamt gibt es damit 13 mögliche archimedische Körper.

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Übersicht über die archimedischen Körper


Tetraederstumpf (3; 6; 6) 4 Dreiecke, 4 Sechsecke18 Kanten12 Ecken

Hexaederstumpf (3; 8; 8) 6 Achtecke, 8 Dreiecke36 Kanten24 Ecken

Ikosaederstumpf (5; 6; 6) 12 Fünfecke, 20 Sechsecke90 Kanten60 Ecken

Oktaederstumpf (4; 6; 6) 6 Quadrate,8 Sechsecke36 Kanten24 Ecken

Kuboktaederstumpf (4; 6; 8) 12 Quadrate, 8 Sechsecke,6 Achtecke72 Kanten48 Ecken

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Dodekaederstumpf (3; 10; 10) 20 Dreiecke, 12 Zehnecke90 Kanten60 Ecken

Ikosidodekaeder-stumpf

(4; 6; 10) 30 Quadrate, 20 Sechsecke,12 Zehnecke180 Kanten120 Ecken

Kuboktaeder (3; 4; 3; 4) 8 Dreiecke, 6 Quadrate24 Kanten12 Ecken

Rhomben-kuboktaeder

(3; 4; 4; 4) 8 Dreiecke, 18 Quadrate48 Kanten24 Ecken

Ikosidodekaeder (3; 5; 3; 5) 20 Dreiecke, 12 Fünfecke60 Kanten30 Ecken

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Rhombenikosi-dodekaeder

(3; 4; 5; 4) 20 Dreiecke, 30 Quadrate,12 Fünfecke120 Kanten60 Ecken

abgeschrägtesHexaeder

(3; 3; 3; 3; 4) 32 Dreiecke, 6 Quadrate60 Kanten24 Ecken

abgeschrägtesDodekaeder

(3; 3; 3; 3; 5) 80 Dreiecke, 12 Fünfecke150 Kanten60 Ecken

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