Inhaltsverzeichnis1 AnalogerRegelkreisDigitalerRegelkreis 11.1 Grunds atzliches uber den Aufbau. . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Idealisierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 AbtastsystemeundDierenzengleichungen 132.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Grunds atzliches uber Dierenzengleichungen . . . . . . . . . 192.3 Numerische Losung von Dierenzengleichungen . . . . . . . . 243 Diez-Transformation 293.1 Wozu z-Transformation?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Eine Herleitung der z-Transformation . . . . . . . . . . . . . 303.3 Beispiel zur z-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.4 Eigenschaften der z-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . 383.5 Berechnung der z-Ubertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . 444 StabilitatlinearerzeitinvarianterAbtastsysteme 494.1 Denition der Stabilit at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2 Stabilit atskriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.3 Das Abbauverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.4 Stabilit at eines Abtastregelkreises . . . . . . . . . . . . . . . . 605 DerFrequenzgangeinesAbtastsystems 655.1 Der Frequenzgang kontinuierlicher Systeme . . . . . . . . . . 665.2Ubertragung des Begries Frequenzgang auf Abtastsysteme 675.3 Frequenzkennlinien f ur Abtastsysteme . . . . . . . . . . . . . 735.4 Der Frequenzgang abgetasteter kontinuierlicher Systeme . . . 775.5 Einige Eigenschaften der q-Ubertragungsfunktion. . . . . . . 806 DasFrequenzkennlinienverfahren 836.1 Das Syntheseproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.2 Kenngr oen des geschlossenen Kreises . . . . . . . . . . . . . 856.3 Kenngr oen des oenen Kreises . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.4 Der ZusammenhangzwischendenKenngroendes oenenund des geschlossenen Kreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.5 Entwurfsbeispiele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927 EntwurfvonAbtastregelkreisenmitBeschrankungen 1077.1 Berechnung der Betragsmaxima von Systemgroen . . . . . . 1087.2 Festlegung der Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.3 Grasche L osung mit Hilfe von BODE-Diagrammen . . . . . 1167.4 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.5 Erweiterung der Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . 1267.6 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1288 NumerischeBerechnungderz- bzw. q-Ubertragungsfunk-tion 1358.1 Ermittlung der z-Ubertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . 1358.2 Bilineare Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1419 RealisierungdigitalerRegler 1459.1 Vorbemerkungen und Einschr ankungen . . . . . . . . . . . . . 1459.2 Realer und idealer Regelkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1469.3 Spezielle Realisierungsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1499.4 Die Programme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154ADasProgrammLINSY 161A.1 Einleitung und Installationshinweise . . . . . . . . . . . . . . 161A.2 Ein erster Streifzug durch das ProgrammLINSY . . . . . . 163A.3 Objekttypen des ProgrammsLINSY . . . . . . . . . . . . . 173A.4 Prinzipielle Arbeitsweise vonLINSY . . . . . . . . . . . . . 181A.5 Liste der Befehle und Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . 188A.6 LINSY Eingaben f ur die Entwurfsbeispiele. . . . . . . . . . 193Literatur 201Sachverzeichnis 203Kapitel1AnalogerRegelkreisDigitalerRegelkreis1.1 Grundsatzliches uberdenAufbauEinentypischeneinschleigenanalogenRegelkreis zeigt Bild1.1. Grobformuliert ist dieAufgabeeines solchenRegelkreises, dieRegelstrecke ingeeigneter Weisesozubeeinuen, daihreRegelgr oe y(t)dergegebe-nen F uhrungsgr oer(t) moglichst gut folgt, und zudem die unerw unschtenAuswirkungen von Storgr oen auf die Regelgr oe y(t) moglichst gering sind.Zu solchenunerw unschten Auswirkungen sind auchjene zuz ahlen,die alsFolge von Parametervariationen d.h.Anderungen imUbertragungsverhal-ten der Regelstrecke entstehen.AnalogerRegler-6Stellglied-Regelstrecke-? ?St orgr oen...-Meger at

r(t) u(t) y(t) y(t)Bild 1.1: Wirkschaltbild eines typischen analogen Regelkreises.Zur Bewaltigung einer solchen regelungstechnischen Aufgabenstellung muzun achst die Regelgroe y(t) mit einem Meger at im R uckf uhrzweig gemessen1werden; die Megr oe y(t) der Regelgr oey(t) wird dann im analogen Reg-lermitderF uhrungsgr oer(t)verglichen, umdarausingeeigneterWeiseeine Stellgr oeu(t) zu erzeugen.Analoger PI-Regler:Wir wollen an dieser Stelle einmal annehmen, da diese Aufgabe bei gegebe-nemUbertragungsverhalten der Regelstrecke, des Stellgliedes und des Me-gerates mit einem analogen PI-Regler zufriedenstellend gel ost werden kann.DasUbertragungsverhalten des PI-Reglers werde durch die Gleichung (1.1)beschrieben.u(t) = P e(t) + V t

0e() d. (1.1)In Gl.(1.1) ist u(t) die Ausgangsgr oe des Reglers, P der Proportionalit atsfak-torundV derVerstarkungsfaktor(dieNachstellzeit TNdiesesPI-Reglersberechnet man mitTN= P/V ); f ure(t) gelte die Beziehung:e(t) = r(t) y(t) (1.2)Digitaler PI-Regler:Wir fragenuns nun, was wir in diesem einfachenFalltun k onnen, um miteinem Mikrorechner als digitalem Regler ein vergleichbaresUbertragungsver-halten des Regelkreises zu erzielen. Als erstes m ussen wir selbstverstandlichin die ger atetechnische Konguration Analog- Digital-Wandler (A/D-Wand-ler)bzw. Digital/Analog-Wandler(D/A-Wandler)angeeigneterStellealsKoppelger atezumMikrorechnereinbauen, wiediesBild1.2zeigt. DieserMikrorechner ubernimmt nun die Aufgabe eines digitalen Reglers, indem ereinen programmiertenRegelalgorithmus ausf uhrt. F ur die Herleitung diesesRegelalgorithmus machen wir uns zunachst einmal klar, da der Mikrorech-ner nur zu diskreten Zeitpunkten das Reglerprogramm ausf uhren kann. Eben-so konnen die A/D-Wandlerihre Eingangssignalenur zubestimmten Zeit-punktenabtastenundwandeln. DerAbstandzwischenzwei solchenZeit-punkten sei die konstante AbtastperiodeT. Damit k onnen wir die GleichungDieEnergie- undLeistungsbereiche, indeneneinerseitsderReglerundandererseitsdieRegelstreckearbeiten, sindimallgemeinenunterschiedlich. DieserUnterschiedwirdimVorwartszweigdurchdas StellgliedausgeglichenundimR uckwartszweigdurchdasMeger at.2(1.2) nur mehr f ur diese Zeitpunkte auswerten, und wir schreiben daher:e(kT) = r(kT) y(kT) mit k = 0, 1, 2, ... (1.3)A/DWandler-DigitalerRegler-6D/AWandler-Stellglied-Regelstrecke-? ?St orgr oen...-Meger at

A/DWandler

r(t) (rk) (uk) u(t) y(t) y(t) ( yk)DigitalerTeilMikrorechnerBild1.2: WirkschaltbildeinestypischendigitalenRegelkreises(strichliertgezeichnet ist die Trennungslinie zwischen dem digitalen und dem analogenTeil der Konguration).Da wir nunmehr die Gr oe e(t) nur f ur die Zeitpunkte t = kTzur Verf ugunghaben, werden wir sinnvollerweise die Stellgr oe u(t) auch nur f ur diese Zeit-punkte berechnen; setzen wir also in Gl.(1.1) f urt = kT, so folgt daraus:u(kT) = P e(kT) +kTV

e()0d. (1.4)Sehen wir einmal davon ab, da f ur die numerische Berechnung des IntegralsinGl.(1.4)nocheinegeeigneteApproximationanzusetzenw are, sobesagtdiese Gleichung folgendes:ZurBerechnungder Stellgr oe uf ureinenbeliebigenZeitpunkt t =kTm ussen zunachst uber die A/D-Wandler die Eingangsgr oen r und y f ur ebendiesen Zeitpunkt eingelesen werden; sodann ist die Dierenz (nach Gl.(1.3))dieserbeidenMewertezubildenunddasErgebnis istmitdemFaktorPzumultiplizieren. Dazuist aber nocheinTermzuaddieren, f ur dessenBerechnungallebishereingelesenenWerteherangezogenwerdenm uten.InGl.(1.1)istanderunterenIntegrationsgrenzezuerkennen,dawirunsereBetra-chtungen zum Zeitpunkt t = 0 beginnen;daher folgtaus t = kTdie Zahlung k= 0, 1, 2, ...3Dies bedeutet einen erheblichen rechentechnischen Aufwand, der vermeidbarist, wennmannurdasErgebnisnachGl.(1.4)ausdemvorangegangenenZeitpunktt = (k 1)Tu((k 1)T) = P e((k 1)T) +(k1)TV

e()0d (1.5)zur Berechnung vonu(kT) heranzieht.Wir subtrahieren nun Gl.(1.5) von Gl.(1.4), wobei der Integralterm in Gl.(1.4)der Deutlichkeit halber in zwei Anteile aufgespaltet wird:u(kT) =Pe(kT) +(k1)TV

e()0d +kTV

e()(k1)Tdu((k 1)T) =Pe((k 1)T) +(k1)TV

e()0dDiejeweils zweitenTermeindenrechtenSeitender beidenGleichungenfallen bei der Subtraktion heraus:u(kT) u((k 1)T) = P e(kT) P e((k 1)T) +kTV

e()(k1)Td (1.6)Wirwerdennunf urdienumerischeBerechnungdesIntegralsinGl.(1.6)eine Approximationansetzen: Wenn die AbtastperiodeThinreichend kleingegen uberdenZeitkonstantendeskontinuierlichenTeilesdesRegelkreisesist, d urfen wir annehmen, da e(t) wahrend einer Abtastperiode T n aherungs-weisekonstantbleibt;wir setzenalso im Integrationsintervall (k 1)T < kTf ur e() = e((k 1)T) und erhalten damit aus Gl.(1.6) zun achst dieBeziehungu(kT) = u((k 1)T) + P e(kT) Pe((k 1)T) + V T e((k 1)T) ,Selbstverstandlich setzt diese Betrachtungsweise voraus, da auch dieAnderungsgeschwindigkeit der F uhrungsgroe r(t) den Tragheiten des zu regelndenSystemsangepatist.4und daraus, wenn wir f ur Ausdr ucke der Formv(iT) vereinfachtvi := v(iT) (1.7)schreiben, den Regelalgorithmus:uk=uk1 + Pek + (V T P) ek1(1.8)mit ek=rk yk(1.9)DieGleichung(1.9)folgtunmittelbarausGl.(1.3)unterVerwendungderSchreibweise (1.7).SomithabenwirmitdenBeziehungen(1.8)und(1.9)eineVorschriftge-funden, wonachausdenzudenZeitpunktent=kTeingelesenenWertender F uhrungsgr oe r(t) und der Megr oe y(t) die Stellgr oeu f ur den Zeit-punktt = kTzu berechnen ist. Der so berechnete Stellgroenwertist demD/A-Wandlerzu ubertragen, derimallgemeinennachderWandlungdasanalogeSignal solangekonstanth alt, biseinneuerWertempfangenwird;das heit, die Stellgr oeu(t) ist eine Treppenfunktion mit der StufenbreiteT.ImBild1.2sinddieimdigitalenTeil desRegelkreisesauftretendenzeit-diskretenWerteder F uhrungsgr oe, der Megroe undder Stellgr oeingeklammertenSymbolengeschrieben. IndiesemZusammenhangverein-barenwirnunnachtr aglich, dawirdieGesamtheitderWerteeinerzeit-diskreten Folge abk urzend mit(fk) := (f0, f1, f2, f3, ...) (1.10)bezeichnen werden.Digitale Realisierung des PI-Reglers:Die Gleichung (1.8) ist der Algorithmus eines diskreten PI-Reglers, den wirnunineinvomRechnerausf uhrbaresProgrammumsetzenm ussen. Dieskann auf verschiedenen Stufen der Programmierung erfolgen. Zum Beispielistin[3] dieProgrammierungeinesRegelalgorithmusineinerAssembler-Sprache ausf uhrlich dargestellt. Wir werden hier eine h ohere Programmier-sprache n amlich FORTRAN verwenden, weil an dieser Stelle auf maschi-nenabh angigeDetailsnichteingegangenwerdensoll. VielmehrwollenwirmitdemProgrammnachBild1.3hervorheben, dadieProgrammierung5RK YK

EK = RK - YKUK = B0*EK+ B1*EALT+ UALTEALT = EKUALT = UK

UKBild1.3: EineM oglichkeit, dendiskretenPI-ReglernachdenGln. (1.8)und (1.9) in eine h ohere Programmiersprache umzusetzen.einesdiskretenPI-ReglersnachdenGleichungen(1.8)und(1.9)ineinerh oheren Programmiersprache m uhelos durchzuf uhren ist.Im Programm nach Bild 1.3 haben die verwendeten Variablen die folgendeBedeutung gema den Gln. (1.8) und (1.9):RK. . . rk,YK. . . yk,EK. . . ek,UK. . . uk,B0. . . P,B1. . . V T P,EALT. . . ek1,UALT. . . uk1.Das 4-Zeilen-Programmist sehr leicht zuinterpretieren: Die erste Pro-grammzeileist eineAnweisung, dieder Auswertungder Gleichung(1.9)entspricht, w ahrendmitderzweitenZeiledieGleichung(1.8)ausgewertetwird. Mit dieser AnweisungwirdalsodieStellgr oe f ur denk-tenAb-tastschritt berechnet. Dazu brauchen wir nach Gl.(1.8) aber auch noch dieWerte vone undu vom vorhergehenden den (k 1)-ten Abtastschritt;diese beiden Werte haben wir uns aber mit den VariablenEALT bzw. UALT6genauso aufgehoben, wie wir dies mit den Anweisungen in der dritten undvierten Programmzeile f ur den n achsten Abtastschritt vorbereiten.Selbstverst andlichistmitdemProgrammnachBild1.3derdigitaleReg-lernochnichteinsatzf ahig. Dazum utenwirzumindestnochAnweisun-genhinzuf ugen, dieeinerseits das Einlesender Mewerte vondenA/D-WandlernunddasAusschreibenderberechnetenStellgr oenwerteandenD/A-Wandler ausf uhren und andererseits daf ur Sorge tragen, da sich dieserAblauf vom Einlesen uber die Berechnung bis zum Ausschreiben periodischmit der AbtastperiodeTwiederholt.DieprogrammtechnischeUmsetzungsolcherAnweisungenkannmanabernicht f ur einen allgemeinen Fall niederschreiben, da sie in einem hohen Maemaschinenabh angig, d.h. abh angig von der gerade vorliegenden geratetech-nischen Realisierung einschlielich des Rechner-Betriebssystems, sind.Wennjedoch ein Programm f ur eine Rechnerkonguration einmal geschrieben ist,kann ein und derselbe Mikrorechner durch bloe Anderung eines Programm-teiles jenes Teiles, in dem die Stellgr oe berechnet wird und dem Bild 1.3eintspricht zueinemvolliganderenRegler umfunktioniertwerden. Sogesehen schat man mit dem Einsatz eines Mikrorechners als digitaler Reg-ler nicht nureine alternativeRealisierungherk ommlicher z.B.PID-Regler,sonderndiesesindausderSichtdesUbertragungsverhaltensdesdigitalenReglersnurmehreinevonvielenM oglichkeiten. DerVielfaltderRegler,die man so mit ein und demselben Mikrorechner realisierenkann, sind ausderSicht derProgrammierungkeineGrenzengesetzt: SiereichtvondenlinearenRegelalgorithmen uberdienichtlinearenbishinzuAlgorithmen,dieinanalytischgeschlossenerFormgarnichtmehrangebbarsind. Daszentrale Problem bei der Realisierung analoger Regler, da n amlich f ur einemehroderwenigerbedeutsameAnderungdesUbertragungsverhaltensdietechnischeKonstuktiondes Reglers geandert werdenmu, ist beimEin-satzeinesMikrorechnersalsdigitalerReglerirrelevant; denndiesemwirddasUbertragungsverhaltendurchsoftwareaufgepr agt, jenenjedochdurchhardware.In diesem Zusammenhang stellt man sich wohl die Frage, welches Programmman f ur einen konkreten Anwendungsfall nun schreiben soll, bzw. wie ndetman zuerst den Regelalgorithmus, der dann so leicht realisierbar ist?Nun istder Weg,der oben bei der Herleitung des diskreten PI-Algorithmus gegan-genwurde, imallgemeinenkeinesfalls zielf uhrend. L at er docheinzigundalleinnurerwarten, dadasUbertragungverhaltendes digital reali-siertenRegelkreises gen ugendgenaumitdemUbertragungsverhaltendes7analog entworfenen Regelkreises ubereinstimmt; da dies nur bei hinreichendkleiner Abtastperiode erreichbar ist, wurde dort schon angedeutet.Waswirdaherben otigen, sindVerfahren, mitdenenmandirekt diskreteRegelalgorithmen nden kann, die dem digitalen Regelkreis ein gew unschtesUbertragungsverhaltenverleihen. Unumg anglichf ur dieDarstellungvonEntwurfsmethoden f ur digitale Regelungssysteme ist die mathematische Be-schreibung solcher Systeme.1.2 IdealisierungenUm eine m oglichst einfache, geschlossene Beschreibungsform f ur zeitdiskreteUbertragungssystemeoderkurzAbtastsystemeabzuleiten, wollenwirzun achst vereinfachendeVoraussetzungenformulieren, dieauf einer idealgedachten Arbeitsweise der digitalen Datenerfassung und -verarbeitung fuen.ImvorigenAbschnitthabenwirdieseVoraussetzungenstillschweigendalsgegeben angenommen.Idealer A/D-Wandler:F ur einen idealen A/D-Wandler wollen wir eine verschwindend kleine Wand-lungszeitundeineunendlichfeineQuantisierungbei derWandlungjedesanalogenSignales voraussetzen. Ein solchesUbertragungsgliednennen wirAbtaster und verwenden daf ur das Symbol nach Bild 1.4.A-T-y(t) (yk)Bild1.4: Symbol f ur einenAbtaster(idealerA/D-Wandler), TkonstanteAbtastperiode.Ein Abtaster erzeugt also aus einer zeitkontinuierlichen Funktion y(t) durchaquidistante Abtastung mit der Abtastperiode Teine zeitdiskrete Folge (yk)nach Bild 1.5, soda gilt:yk = y(kT) k = 0, 1, 2, . . . (1.11)8-6ty(t)0-6t(yk)cc c c c c c c c c0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9TBild1.5: Erzeugung einerzeitdiskretenFolgevonWerten(yk)durch Ab-tastung einer zeitkontinuierlichenFunktiony(t).Idealer D/A-Wandler:Auch in diesem Fall wollen wir voraussetzen, da die Wandlung verzugszeit-frei ist, unddadasanalogeSignal zudenWandlungszeitpunktenjedenbeliebigenWertannehmenkann. Legenwirzudemfest, dadasanalogeSignal zwischen den Abtastzeitpunkten konstant bleibt, soda alsou(t) = u(t) = ukf ur kT t < (k + 1)T (1.12)gilt, so nennen wir ein solches Ubertragungsglied Halteglied und verwendendazu das Symbol nach Bild 1.6.H-T-(uk) u(t)Bild 1.6: Symbol f ur ein Halteglied nullter Ordnung (idealer D/A-Wandler).EinHaltegliederzeugtalsoauseinerzeitdiskretenFolge(uk)einezeitkon-tinuierliche Treppenfunktion u(t) mit der StufenbreiteT(Bild 1.7).DasSymbol inGl.(1.12)sollkennzeichnen,daessichbeieinerzeitkontinuierlichenFunktionumeineTreppenfunktionhandelt.WennderzeitlicheVerlauf desanalogenSignaleszwischendenWandlungszeitpunk-tendurcheinPolynomk-ter Ordnungbeschriebenwird, sonennenwir das erzeugendeUbertragungsgliedeinHaltegliedk-terOrdnung(siehez.B. [22]). WennwirimKontextschlichtvonHaltegliedernsprechen,someinenwirsolchenullterOrdnung.9cc c c c c c c c c-6t(uk)0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T-6t u(t)cc c c c c c c c c0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9TBild1.7: ErzeugungeinerzeitkontinuierlichenTreppenfunktion u(t)auseiner zeitdiskreten Folge (uk).Idealer Rechner:F ureinenidealenRechner wollenwireineverschwindendkleineRechen-zeit f ur die Ausf uhrung des programmierten Regelalgorithmus und eine un-endlich feine Au osung bei der Berechnung der Stellgr oenwerte vorausset-zen.Die zweite Voraussetzung erlost uns von der Beschreibung der schwer faba-renRundungsfehler, diebei der digitalenArithmetikmehr oder wenigerinErscheinungtreten. DieersteVoraussetzungzusammenmitVorausset-zungen f ur ideale Wandler erlaubt es uns, das Ausschreiben der berechnetenStellgr oenwerte zeitgleich zum Abtasten der Eingangsgr oen zu betrachten.Auf dieindiesemAbschnittangef uhrtenVoraussetzungenbauenwir nun-mehr die mathematische Beschreibung von Abtastsystemen, wobei wir vomAbtastregelkreis nach Bild 1.8 ausgehen.Regelalgorithmus-6H-TStreckeundStellglied-? ?St orgr oen...-A

T(rk) (uk) u(t)(yk)y(t)Bild1.8: EinetypischeKongurationeinesAbtastregelkreises(abgeleitetaus dem digitalen Regelkreis nach Bild 1.2).10Hierinhabenwirgegen uberBild1.2zus atzlichdieRegelstreckeunddasStellglied zu einemUbertragungssystem zusammengefat und die Dynamikdes Megeratesvernachlassigt. Letzteres d urfen wir in den meisten F allen,weil im allgemeinen die Regelstrecke in einem hoheren Leistungsbereich ar-beitet als die Regeleinrichtung und die Dynamik des Meger ates im VergleichzurDynamikderRegelstreckeinsolchenF alleneineuntergeordneteRollespielt.1112Kapitel2AbtastsystemeundDierenzengleichungenEine wesentlicheVoraussetzung f ur den Einsatz leistungsf ahiger Methodenzum Entwurf vonRegelkreisenbesteht inder geeignetenBeschreibung desUbertragungsverhaltens der einzelnen Systemkomponenten bzw. des Gesamt-systems. Dabei wird man stets bem uht sein, solche mathematische Modellezunden, diemitm oglichstgeringemAufwanddiewesentlichenUbertra-gungseigenschaftendergeradevorliegendenphysikalischenSystemehinrei-chend genau wiedergeben. Ausgehend von den Idealisierungen, die im voran-gegangenen Kapitel f ur den Abtastregelkreis vom Bild 1.8 getroen wurden,wollen wir uns nun der Frage zuwenden, wie man am zweckm aigstenSys-teme beschreibt, in denen die uns interessierenden Gr oen teils Funktionender Zeit teils zeitdiskrete Folgen sind.2.1 BeispielF ur dieHintereinanderschaltung einesHaltegliedes(idealerD/A-Wandler)und eineskontinuierlichenSystems,dasdurcheinelineareDierentialglei-chung 1. Ordnung mit konstanten Koezienten bzw. durch die entsprechendeUbertragungsfunktionG(s)charakterisiertwerde, soll derZusammenhangzwischen einer Eingangsfolge (uk) und der zugeh origen Ausgangsgr oey(t)untersucht werden. DieAbtastperiode diesesSystems,dessenStruktur imBild 2.1 dargestellt ist, wahlen wir zuT= 0, 5s ;13H-T-11 + sG(s)-(uk) u(t) y(t)Bild2.1: Hintereinanderschaltungeines Haltegliedes undeines Verz oge-rungsgliedes 1. Ordnung.ferner nehmen wir an, da die spezielle Eingangsfolge(uk) = (1, 2, 0, 0, 0, . . . ) (2.1)auf das Halteglied einwirkt, wodurch das nachgeschaltete Verzogerungsglied1. Ordnung mit einer entsprechenden Treppenfunktion u(t) angeregt wird.Allgemein kann die Antwort des kontinuierlichenTeilsystems auf die Trep-penfunktion u(t) mit Hilfe des Faltungsintegrals [14] dargestellt werdeny(t) =t

0g(t ) u()d, (2.2)wobei wir voraussetzen, da sich zum Zeitpunkt t = 0 das System in seinemRuhezustandbefundenhat(d.h. insbesonderey(0)=0). InGl.(2.2)be-deutetg(t)dieGewichtsfunktionoderImpulsantwortdeskontinuierlichenUbertragungssystems; sie kann mittels der inversen Laplace-Transformationaus derUbertragungsfunktionG(s) gebildet werdeng(t) = L1{G(s)} , (2.3)was in unserem einfachen Beispiel aufg(t) = et(2.4)f uhrt.F urdieBerechnungvony(t)werdenwirunsnunzwei wesentlicheEigen-schaften des mathematischen Modells f ur den kontinuierlichen Teil zunutzemachen n amlich die Linearit at einerseits und die Zeitinvarianz anderer-seits. Die Treppenfunktion u(t), die durch das Halteglied gebildet wird, kannEin mathematisches Modell wird linear genannt, wenn es dem sogenanntenUberlagerungsprinzipgen ugt, d.h., damandie Antwort des Modells auf eine SummevonEingangsgroendurchdieSummederAntwortenauf dieeinzelnenEingangsgroenbestimmenkann.EinmathematischesModellwirdzeitinvariantgenannt,wennesfolgendeEigenschaft14-6t u120 0.5 1 1.5-6ty120 0.5 1 1.5-6tuIII210.5 1 1.5-6tyIII210.5 1 1.5-6tuII10 0.5 1 1.5-6tyII10 0.5 1 1.5-6tuI10 0.5 1 1.5-6tyI10 0.5 1 1.5Bild 2.2: Ermittlung der Antworty(t) durchUberlagerung.man sich als eineUberlagerung zeitlich versetzter Sprungfunktionen, wie sieauf derlinkenSeitedesBildes2.2dargestelltsind, vorstellen. Aufgrundder Linearit atkanndie Antworty(t)durch dieSumme der Antwortenaufdie einzelnen Sprungfunktionen gewonnen werden. Aus den Gln. (2.2) und(2.4) erh alt man als Losungy(t) f ur den Fall, da eine Sprungfunktion derbesitzt: SeineAntwortaufdieumeinZeitintervalltverschobeneEingangsgroeistdieum das gleiche Zeitintervall t verschobene Antwort auf die urspr ungliche Eingangsgroe.MathematischeModelleinderFormlinearerDierentialgleichungenmitkonstantenKo-ezientensindjedenfallszeitinvariant.15Hoheusauf das System einwirkty(t) =t

0e(t)usd= usett

0ed= us(1 et) . (2.5)Dawir es jaauerdemmit einemzeitinvariantenSystemzutunhaben,k onnenwirf urdiezeitlichversetztenSprungfunktionenimBild(2.2)dieentsprechend zeitlich verschobenen Antworten aus (2.5) angeben, soda manschlielichnachUberlagerung vonyI(t),yII(t) undyIII(t) die Antworty(t)auf die spezielle Eingangsfolge (2.1) erh alt (siehe Bild 2.2 unten).DaesimvorliegendenBeispiel relativeinfachwar, y(t)wennauchnurauf graphischem Wege zu bestimmen, lag daran, da die Eingangsfolge (uk)nur zweivonNullverschiedeneElementeenthielt. Mankannsichaber le-icht ausmalen, welchen Aufwand man zu treiben h atte, wollte man den hierskizzierten Weg auf eine Eingangsfolge mit sehr vielen von Null verschiede-nen Elementen ubertragen.Abgesehen von einigen Sonderf allen ist die Berechnung der kon-tinuierlichen Zeitfunktion am Ausgang eines Ubertragungssystemsmit vorgeschaltetem Halteglied als Antwort auf eine zeitdiskreteEingangsfolgeeineAufgabe, dienurmiterheblichemAufwandzu l osen ist.WirwollendahernacheinemAuswegsuchenunddazudieFragekl aren,ob sich nicht dadurch Vereinfachungen in der mathematischen Beschreibungerreichenlassen, damannicht dengesamtenZeitverlauf der Ausgangs-funktion bestimmt, sondern nur noch deren Werte zu diskreten Zeitpunktenermittelt. De facto bedeutet dies, da man sich zur Konguration vom Bild2.1nocheinenAbtaster(idealerA/D-Wandler)amAusganghinzugef ugtdenkt, sofernernichtohnehinbereitsger atetechnischvorhandenist, wieetwaimRegelkreis vomBild1.8. Dabei nehmenwirvonvornewegan,da das Halteglied und der Abtaster synchron mit derselben AbtastperiodeTarbeiten. F urdieweitereAbhandlung soll nunnichtmehrdiespezielleEingangsfolge (2.1) sondern eine allgemeine Folge(uk) = (u0, u1, u2, . . . ) (2.6)betrachtetwerden. DerWertderAusgangsgr oezumZeitpunkt t =kT16kann formal wiederum durch das Faltungsintegral dargestellt werdenyk = y(kT) =kT

0e(kT) u()d= ekTkT

0e u()d. (2.7)Wennmanber ucksichtigt, da u(t)eineTreppenfunktionist, sokanndieBeziehung (2.7) umgeformt werden.yk=ekT{u0T

0ed + u12T

Ted ++. . . + uk2(k1)T

(k2)Ted + uk1kT

(k1)Ted} (2.8)F urdenWertderAusgangsgr oezumvorangegangenenAbtastzeitpunktgilt entsprechendyk1=e(k1)T{u0T

0ed + u12T

Ted ++. . . + uk2(k1)T

(k2)Ted} . (2.9)WirsubtrahierennunvonGl.(2.8)diemitdemFaktor eTmultiplizierteGl.(2.9), dabei erhalten wiryk = eTyk1 + ekTuk1kT

(k1)Ted. (2.10)BerechnetmannochdasbestimmteIntegralaufderrechtenSeitevonGl.(2.10), so ergibt sich folgende Beziehungyk = eTyk1 + (1 eT)uk1, (2.11)bzw. unter Ber ucksichtigungdes speziellenWertesder AbtastperiodeT=0, 5syk = 0, 606yk1 + 0, 394uk1. (2.12)Wir bedienenuns indennachfolgendenAusf uhrungenwiederumder abk urzendenSchreibweisef urdieBezeichnungvonFunktionswertenzudiskretenZeitpunkten,wiesieimerstenKapitelGl.(1.7)bereitseingef uhrtwurde.17k t ukyk = 0, 606yk1 + 0, 394uk1yk0 0 1 01 0, 5 2 y1 = 0, 606 0 + 0, 394 1 0, 3942 1 0 y2 = 0, 606 0, 394 + 0, 394 2 1, 0273 1, 5 0 y3 = 0, 606 1, 027 + 0, 394 0 0, 6224 2 0 y4 = 0, 606 0, 622 + 0, 394 0 0, 3775 2, 5 0 y5 = 0, 606 0, 377 + 0, 394 0 0, 228Tabelle 2.1: Ermittlung der Folge (yk) nach Gl.(2.12).Was wir mit der Gl.(2.12) gefunden haben, ist oensichtlich eine Vorschrift,wie man den Wert der Ausgangsgr oe zu jedem beliebigen AbtastzeitpunktkT ausgehend von bereits bekannten Wertender Ausgangsgr oe und derEingangsfolgeausdemvorangegangenenAbtastzeitpunkt t=(k 1)Tbestimmenkann. ErstaunlichistdieEinfachheitdiesesZusammenhanges;man beachte nur, da ausschlielichelementare Operationen, wie Additionund Multiplikation, zur Auswertung ben otigt werden.Als n achstes soll die Frage beantwortet werden, wie man die Ausgangsfolge(yk)inunseremBeispiel aufgrundderspeziellenEingangsfolge(2.1)nachderebengewonnenenVorschriftbestimmt. WirwollendazudierekursiveAuswertungder Gl.(2.12) bei k =1beginnenunderkennensofort, dawir neben dem Eingangsfolgenwertu0, der uns ja vorgegeben ist, auch nochKenntnis uber den Wert y0 besitzen m ussen, damit wir y1 ermitteln k onnen.DerAnfangswerty0istaberaufgrundderAnnahme, dadasSystemausseinem Ruhezustand heraus angeregt wird, ebenfalls vorgegeben mity0 = 0 .InderTabelle2.1istnundieBerechnungderFolge(yk)f urdieersten6Abtastschritte dargestellt.18Zusammenfassendkannmanalsofeststellen, daderVerzichtauf die Beschreibung des Zusammenhanges zwischen einer zeit-diskretenEingangsfolge undeiner kontinuierlichenAusgangs-funktion einesUbertragungssystems und derUbergang zu einerBeschreibung, inder nur nochzeitdiskrete Folgenbetrachtetwerden, einewesentliche Vereinfachungmit sichbringt. DerPreis, der daf ur bezahlt werdenmu, besteht darin, daderVerlaufderAusgangsfunktionzwischendenAbtastzeitpunktennichtmehrunmittelbarzurVerf ugungsteht. DieserUmstandkannjedochdurcheinegeeigneteWahlderAbtastperiode sehrleicht entscharft werden.2.2 Grundsatzliches uberDierenzen-gleichungenEinemathematischeBeschreibungdes ZusammenhangesvonFolgen, wiewirsieinderGl. (2.12)oderbereitsimerstenKapitel f urdendiskretenPI-Regler (Gl.(1.8)) vorliegenhaben, wirdDierenzengleichungbezeich-net. SchondiesebeidenBeispielezeigendeutlich, wozuwirDierenzen-gleichungenimZusammenhangmitderBehandlungvonAbtastsystemenverwendenwerden. EinerseitswerdenwirsiezurFormulierungvonRege-lalgorithmen, die dann in einem Mikrorechner ablaufen sollen, heranziehen,andererseits bietensieeineeinfacheM oglichkeit, das VerhaltenrealerSys-teme zu diskreten Zeitpunkten zu beschreiben.Der zweitePunktfordertgeradezueinenVergleichzwischenDierential-gleichungen und Dierenzengleichungen heraus. Dierentialgleichungen, dieja die Grundlage zur Beschreibung kontinuierlicher Systeme bilden, bereitenDieseNamensgebunghathistorischeGr unde. Urspr unglichhatmannamlichGlei-chungendieserArtinengerAnlehnunganDierentialgleichungenmitHilfedersogenan-ntenVorw artsdierenzeinerFolge(fk)fk:= fk+1fkoderderR uckwartsdierenzfk:= fkfk1dargestellt. Zum Beispiel w urde Gl.(2.12)unter Verwendung der Vorw artsdierenz lautenyk + 0.394yk= 0.394uk.19bei ihrer L osung im allgemeinen erhebliche Probleme, ja in vielen F allen istes uberhaupt nichtm oglich, einegeschlosseneLosung anzugebenund manmusichmit numerischenN aherungsl osungenzufriedengeben. Nur f ureine Untermenge der moglichen Dierentialgleichungen,n amlich die Mengeder linearen Dierentialgleichungenmit konstantenKoezienten,ist es imallgemeinenmoglich, einegeschlosseneLosunganzugeben, weshalbgeradediese mit Vorliebe zur Modellbildung herangezogen wird. Wesentlich andershingegen liegt der Sachverhalt bei den Dierenzengleichungen. Ihre L osungistimVergleichzurLosung vonDierentialgleichungeneinfach, denn Dif-ferenzengleichungenliefernihreeigeneL osungsvorschrift bereits mit. Andieser Stelle soll vermerkt werden, da es sich bei den Dierenzengleichun-gen, die wir im Rahmen dieses Buches betrachten werden, ausschlielich umlineare Dierenzengleichungen mit konstanten Koezienten handeln wird.Als n achstes soll nun festgelegt werden, was unter dem Begri der Ordnungeiner Dierenzengleichung verstanden werden soll. Dazu betrachte man ein-mal nur die Indizes einer Dierenzengleichung und bilde alle m oglichenIn-dexdierenzen; diegr otevorkommendeIndexdierenzbestimmtdanndieOrdnung der Dierenzengleichung. Diebeiden Dierenzengleichungen, diewir bisher behandelt haben, Gl.(1.8) bzw. Gl.(2.12), waren demnach von er-ster Ordnung.Wir haben bei dieser Denition stillschweigend vorausgesetzt,dawirmitDierenzengleichungennurkausaleSystemebeschreiben, dassind solche, bei denen einfach ausgedr uckt die Wirkung niemals vor der Ur-sache eintreten kann. Dies soll an einem kleinen Beispiel naher erl autert wer-den. Wir betrachten einUbertragungssystem (Bild 2.3) mit einer Eingangs-folge (uk) und einer Ausgangsfolge (yk), dessenUbertragungseigenschaftendurch folgende Dierenzengleichung charakterisiert werdeyk = a1yk1 + buk+1. (2.13)-Dierenzen-gleichung-(uk) (yk)Bild 2.3: Zeitdiskretes bertragungssystem.Oensichtlich wird dadurch ein nichtkausales System beschrieben, denn derWert der Ausgangsfolgezu einem beliebigenZeitpunktt =kTh angt nachGl. (2.13)auchvoneinemnochinderZukunftliegendenWertderEin-gangsfolgeab. WirgelangensoleichtzurEinsicht, dabei kausalenDif-ferenzengleichungendiebei derunabh angigenVariablen(=Eingangsfolge)20auftretendenIndizes niemals groer seink onnenals die Indizes bei derabh angigen Variablen (=Ausgangsfolge) und zwar f ur beliebige Werte von k.Im einleitenden Beispiel dieses Kapitels wurde f ur die Hintereinanderschal-tung eines Haltegliedes eines Verzogerungsgliedes 1. Ordnung und eines Ab-tasters eine Dierenzengleichung hergeleitet, die dasUbertragungsverhaltendieser AnordnungzudenAbtastzeitpunktenwiedergibt. Dabei hat sichherausgestellt, daanalogzur Beschreibungdes kontinuierlichenTeilsys-temsdurcheinelineareDierentialgleichung1. Ordnungmit konstantenKoezienten dieBeschreibung des zugehorigenAbtastsystems einelineareDierenzengleich1. OrdnungmitkonstantenKoezientenist. Manwirdsich nun fragen, ob diese Analogieauch dann erhaltenbleibt, wenn es sichnicht mehr nur um ein Verz ogerungsglied1. Ordnung sondern um ein kon-tinuierliches System handelt, dessen Eingangs-Ausgangsverhalten durch einelineare Dierentialgleichungn-ter Ordnungy(n)+ n1y(n1)+ . . . + 1 y + 0y == 0u + 1 u + . . . + nu(n)(2.14)angegebenwird. DadieEigenschaftderLinearit at tatsachlicherhaltenbleibt, m oge die folgende Plausibilitatsbetrachtung verdeutlichen.H-TG(s)-A-T-(uk) u(t) y(t) (yk)kontinuierl.SystemBild 2.4: Strukturbild eines einfachen Abtastsystems.Ausgehend von der Dierentialgleichungn-ter Ordnung bestimme man diezugehorigeUbertragungsfunktion G(s) (s.Bild 2.4), wobei wir vereinfachendannehmen, daderKoezient ninGl.(2.14)Null sei, sodaderGraddes Zahlerpolynoms vonG(s) kleiner als der Graddes Nennerpolynomsist. Auerdem nehmen wir an,da das Nennerpolynom nur einfacheNull-stellenbesitzt, was uns gestattet, eine einfache Partialbruchentwicklung(siehe Funote auf Seite 37) f ur dieUbertragungsfunktion anzugeben.G(s) =0 + 1s + . . . + n1sn10 + 1s + . . . + n1sn1+ sn==k1s + c1+k2s + c2+ . . . +kns + cn(2.15)21H-T--

A-T--dddffffffffx(uk) (yk)k1s + c1k2s + c2kns + cnBild 2.5: Parallelschaltung vonn Verzogerungsgliedern 1. Ordnung.Sindnunalle Nullstellendes Nenners reell, soentspricht dieser Partial-bruchentwicklung im Strukturbild 2.5 die Parallelschaltung vonn Verzoge-rungsgliedern1. Ordnung, sofernkeinciverschwindet. Denktmansichjetzteinerseitsdas Halteglied uber dieVerzweigungsstellenachrechtsundandererseits den Abtaster uber die Summierstelle nach links in die einzelnenZweige der Parallelschaltung verschoben, so entsteht eine Parallelschaltungvonn Abtastsystemen. Dabei ist jedes f ur sich eine Verallgemeinerung desTyps, der im einleitenden Beispiel abgehandelt wurde und wird gewi durcheine lineare Dierenzengleichung 1. Ordnung beschrieben.22F ur die Parallelschaltung zweier Dierenzengleichungen lassen sich nun fol-gende Relationen angebenyk = y1,k + y2,k(2.16)y1,k + a1y1,k1 = b1uk1(2.17)y2,k + a2y2,k1 = b2uk1. (2.18)Im (k 1)-ten Abtastschritt mu demnach geltenyk1 = y1,k1 + y2,k1(2.19)y1,k1 + a1y1,k2 = b1uk2(2.20)y2,k1 + a2y2,k2 = b2uk2(2.21)bzw. f ur den Abtastschritt davoryk2 = y1,k2 + y2,k2 . (2.22)Eliminiert man nun aus diesen sieben Gleichungen (Gl.(2.16) bisGl.(2.22)) die sechs Gr oeny1,k, y1,k1, y1,k2, y2,k, y2,k1, y2,k2so erhalt man eine lineare Beziehung zwischenyk, yk1, yk2, uk1, uk2.Wird diese Vorgangsweise auf die Parallelschaltung vonn linearen Dieren-zengleichungen ubertragen, soistleichteinzusehen, damanwiedereinelineare Dierenzengleichung zwischender Eingangsfolge(uk) und der Aus-gangsfolge (yk) erh alt.F urdieOrdnungngilteineUbereinstimmungimallgemeinenauch, dochlassen sich Sonderf alle angeben, bei denen die Ordnung der Dierenzenglei-chung niedriger ist als die Ordnung der zugrundeliegenden Dierentialglei-chung [7]. Zusammenfassend stellen wir fest: Wird der kontinuierliche TeilimBild2.4durchdieDierentialgleichung(2.14)charakterisiert, sokanndas entsprechendeAbtastsystemdurchdie folgende Dierenzengleichungbeschrieben werdenyk + a1yk1 + a2yk2 + . . . + anykn == b0uk + b1uk1 + . . . + bnukn. (2.23)232.3 NumerischeL osungvonDierenzen-gleichungenDie Auswertung von Dierenzengleichungen stellt eine Aufgabe dar, die ger-adezu den Einsatz eines Digitalrechners herausfordert. Es soll daher im fol-genden Abschnitt ein Programm pr asentiert werden, mit dessen Hilfe lineareDierenzengleichungen mit konstanten Koezienten gelost werden k onnen.Auch in diesem Beispiel bedienen wir uns wiederum der ProgrammierspracheFORTRAN. Bei derProgrammerstellungwurdenkeinerlei Anstrengungenunternommen, eine besonders rechenzeit- oder speicherplatzsparende Real-isierungzunden, vielmehrwurdeWertdarauf gelegt, dadieeinzelnenAnweisungen leicht nachvollziehbar und interpretierbar sind.FORTRAN - Programm zur L osung einer Dierenzengleichung:Korrespondenzen zur Dierenzengleichung (2.23)N= n (Ordnung)K= k (laufender Index)KEND= Index des letzten Abtastzeitpunktes der BerechnungY(0)= ykU(0)= ukY(1)= yk1U(1)= uk1......Y(N)= yknU(N)= uknB(0)= b0A(1)= a1B(1)= b1......A(N)= anB(N)= bnBei der Erstellung des folgenden Programmes (Bild2.6)wurde davonaus-gegangen, dadieOrdnungndenWert 50nicht uberschreitet unddaaus dem Ruhezustand heraus gestartet wird, andernfalls m ute der Initial-isierungsteil bzw. derVereinbarungsteil entsprechendabge andertwerden.Die Ermittlung der Eingangsfolge (uk) wird mit Hilfe derFUNCTIONUK(K) durchgef uhrt. (Es wurde andieser Stelle bereitsderProgramm-CodezurErzeugungeinerspeziellenEingangsfolgef urdasZahlenbeispiel am Ende des Kapitels angegeben.)24PROGRAMDIFFZC========================================================INTEGERI,K,KEND,NREAL A(0:50),B(0:50),U(0:50),Y(0:50),SUMME,UKC--------------------------------------------------------READ (5,*)NREAD (5,*)(A(I),I=1,N)READ (5,*)(B(I),I=0,N)READ (5,*)KENDC--------------------------------------------------------DO 5 I=0,NU(I)= 0.0Y(I)= 0.05 CONTINUEK = 0C--------------------------------------------------------10 CONTINUEU(0)= UK(K)SUMME= 0.0DO 20 I=1,NSUMME= SUMME- A(I)*Y(I)20 CONTINUEDO 30 I=0,NSUMME= SUMME+ B(I)*U(I)30 CONTINUEY(0)= SUMMEWRITE(6,*) K,U(0),Y(0)C--------------------------------------------------------DO 40 I=N,1,-1Y(I)= Y(I-1)U(I)= U(I-1)40 CONTINUEC--------------------------------------------------------K = K + 1IF (K.LE.KEND)GOTO10STOPENDCC========================================================CREAL FUNCTIONUK (K)CUK = 2.0*SIGN(1.0 , COS(0.3927*K))RETURNENDBild 2.6: FORTRAN - Programm zur L osung von Dierenzengleichungen.25Abschlieendwollenwir nochdieL osungeiner DierenzengleichungmitHilfe dieses Programmes am Beispiel der Gl.(2.12) demonstrieren. Als Ein-gangsfolge (uk) wahlen wiruk = 2sgn (cos(0, 3927k)) (2.24)und berechnen die zugeh orige Ausgangsfolge (yk) bis zum Indexk = 40.Die dazu erforderlichen Eingabedaten lauten:1 n0.606 a10, 0.394 b0, b140 KENDk ukyk0 2.00000 .0000001 2.00000 .7880002 2.00000 1.265533 2.00000 1.554914 -2.00000 1.730285 -2.00000 .2605476 -2.00000 -.6301097 -2.00000 -1.169858 -2.00000 -1.496939 -2.00000 -1.6951410 -2.00000 -1.8152511 -2.00000 -1.8880412 2.00000 -1.9321513 2.00000 -.38288614 2.00000 .55597115 2.00000 1.1249216 2.00000 1.4697017 2.00000 1.6786418 2.00000 1.8052519 2.00000 1.88198Tabelle2.2. Zahlenwerte der Eingangs- und der Ausgangsfolge.26Im Bild 2.7 sind nun die Verl aufe der Eingangsfolge (uk) und der Ausgangs-folge (yk) dargestellt. F ur Vergleichszwecke wurde noch die Tabelle 2.2 mitden entsprechenden Zahlenwerten der ersten 20 Abtastschritte hinzugef ugt.6-kuk20215 306-kyk20215 35Bild 2.7: Zeitlicher Verlauf der Eingangs- und der Ausgangsgr oe.2728Kapitel3Diez-TransformationZur Beschreibung linearer zeitinvarianter kontinuierlicher Systeme steht dasmachtige Hilfsmittel der Laplace-Transformation zur Verf ugung. Beim Uber-gang vonkontinuierlichenSystemen zuAbtastsystemengehenlinearezeit-invarianteDierentialgleichungeninlinearezeitinvarianteDierenzenglei-chungen uber. Damitkommtaber den Dierenzengleichungenbei Abtast-systemen die Bedeutung der Dierentialgleichungen bei zeitkontinuierlichenSystemen zu. In diesem Kapitel wird diez-Transformation vorgestellt, eineMethodezurErmittlungdergeschlossenenL osunglinearerzeitinvarianterDierenzengleichungen, die ahnlich der Laplace-Transformation handzuhabenist. Obwohl Dierenzengleichungen auch einfach auf iterative Weise zu losensind, gestattet die iterative Weise doch im wesentlichen nur den Schlu vonden vorhergehendenWertenauf dieunmittelbar nachfolgenden. BeimEn-twurf von Abtastsystemen ist es jedoch w unschenswert, die Losung in ihrerGesamtheit beurteilen zu k onnen.3.1 Wozuz-Transformation?Hier sei ein kleiner R uckblick auf die Laplace-Transformation gestattet. DreiEigenschaftensindesvornehmlich, diesiezurBeschreibungdynamischerSysteme so attraktiv machen. Die erste Eigenschaft ist die R uckf uhrung desFaltungsintegralsimZeitbereichauf dieMultiplikationzweierFunktionen29im Bildbereich. Dem Integralg(t) =t_0f1(t )f2()dentspricht die Operationg(s) = f1(s)f2(s) .Die zweiteEigenschaftbesteht inder engenBeziehung zwischeneiner Dif-ferentialgleichungn

i=0ididtiy(t) =n

i=0ididtiu(t)und der zugeh origenUbertragungsfunktionG(s) =n

i=0isin

i=0isi.Die dritte Eigenschaft ist die M oglichkeit, mit Hilfe von Ubertragungsfunktio-nen die Zusammenschaltung einfacher Systeme zu komplexen Systemenauf elementare, algebraische Operationen zur uckzuf uhren.Es ist nun w unschenswert, ahnliche M oglichkeiten f ur Abtastsysteme bereit-zustellen. Der Leser sei hier andenAbschnitt 2.2erinnert, wodiePa-rallelschaltungzweierSystemeangedeutetwird, diedurchDierenzenglei-chungenerster Ordnungbeschriebenwerden. Vergleicht mandendorti-genRechenaufwandmitdementsprechendenimzeitkontinuierlichenFall,wolediglichzweiUbertragungsfunktionenzuaddierensind,wirddeutlich,welche Bedeutung einer ad aquaten Beschreibung zukommt.3.2 EineHerleitungderz-TransformationBild3.1zeigt die typische Struktur eines Abtastsystems mit einer Ein-gangsgr oe (uk) und einer Ausgangsgr oe (yk).Mitg(t)undg(s)sindselbstverstandlichverschiedeneFunktionengemeint. Diesgiltauchanalogf urf1(t),f1(s)undf2(t),f2(s). (SiehehierzuAbschnitt3.4)30ET121 2 k (1, 0, 0, . . .)ET12T 2T t(t) (t T)ET12T 2T t

g(t)ET121 2 k(gk)E-(uk)HTE- u(t)G(s)E-y(t)ATE-(yk)Bild 3.1: Abtastsystem und Gewichtsfolge.Das lineare zeitinvariante und zeitkontinuierliche Teilsystem mit der Ubertra-gungsfunktionG(s) bende sich zum Zeitpunktt = 0 in Ruhe. Wir w ahlennun die spezielle Eingangsfolge(uk) = (1, 0, 0, 0, . . .) .Das Halteglied erzeugt aus dieser Folge die Zeitfunktion u(t) = (t) (t T) ,wobei(t) die Einheitssprungfunktion(t) =_0 f ur t < 01 f ur t 0bezeichnet.DieSprungantwortdeszeitkontinuierlichenSystems, alsodieAntwort auf die Eingangsfunktion (t), bezeichnen wir mit h(t). Die Antwortauf die spezielle Funktion u(t) wird hiermity(t) = h(t) h(t T) =: g(t) ,die wir im folgenden mitg(t) abk urzen.AufgrundderLinearit atistdieAntwortdeszeitkontinuierlichenSystemsauf die Eingangsfolge(uk) = (u0, 0, 0, . . .)durchy(t) = g(t) u0ImfolgendensetzenwirvonjederFunktionf(t)voraus,daf(t) = 0f urt < 0gilt.31gegeben, und wegen der Zeitinvarianz ist die Antwort auf die Eingangsfolge(uk) = (0, 1, 0, 0, . . .)einfachy(t) = g(t T) .Zur Berechnung der Antwort auf die Folge(uk) = (u0, u1, u2, . . .)kombinieren wir beide Eigenschaften und erhalten soy(t) = g(t) u0 + g(t T) u1 + g(t 2T) u2 + . . . . (3.1)Beschrankenwir uns inGl.(3.1) auf dieAbtastzeitpunkte t =kT, k =0, 1, 2, . . . , so erhalt man wegeng(t) = 0 f urt < 0y(kT) =yk=g(kT)u0 + g(kT T)u1 + . . . + g(kT kT)uk ==g(kT)u0 + g((k 1)T)u1 + . . . + g(0)uk ==gku0 + gk1u1 + . . . + g0ukoderyk =k

j=0gkjuj(3.2)mitgk = g(kT) f ur k = 0, 1, 2, . . . .Gl.(3.2)nennenwiranalogzumFaltungsintegral Faltungssumme. DieBe-deutung der Folgen (uk) und (yk) ist oensichtlich, neu ist jedoch die Folge(gk). NachunserenUberlegungenerh altmansie, indemmanandenEin-gang des kontinuierlichen Systems einen Impuls der H ohe Eins und der L angeT anlegtunddie zugeh origeAntwortg(t)abtastet. InAnlehnung andieGewichtsfunktion nennen wir diese Folge Gewichtsfolge.Berechnen wir die Werte vonykf urk = 0, 1, 2, . . . , so ergibt sich folgendesRechenschema:y0=g0u0y1=g1u0+g0u1y2=g2u0+g1u1+g0u2...............(3.3)32DieArtderIndexrechnungf allthierbesondersauf. ZurBerechnungdesk-tenElementesder Ausgangsfolge(yk) istdie Summe uber alleProduktegi ujzubilden, wobei f urdieIndizesi + j=kgilt. GenaudieseArtderIndexrechnung ndet man aber auch bei der Multiplikationzweier Potenz-reihen. Bei der Berechnung der Produktreihe(a0 + a1x + a2x2+ . . .) (b0 + b1x + b2x2+ . . .) == a0b0 + (a0b1 + a1b0)x + (a0b2 + a1b1 + a2b0)x2+ . . .trittbeijedem KoezientengenaudieseOperationauf. WirnutzendieseEigenschaften aus, um die Berechnung der Faltungssumme analog zum zeit-kontinuierlichen Fall mit Hilfe des Produktes zweier neuer Funktionen zuvereinfachen. Hierzumultiplizierenwir dieersteGleichungdes Schemas(3.3) mit 1 (oderx0), die zweite Gleichung mitx, die dritte Gleichung mitx2, und so fort, und bilden ihre Summe:y0y1y2===g0u0| 1g1u0+g0u1| xg2u0+g1u1+g0u2 | x2(y0 + y1x ++y2x2+ . . . ) ==g0u0 + (g1u0 + g0u1)x++ (g2u0 + g1u1 + g0u2)x2+ . . .(g0 + g1x + g2x2+ . . . ) (u0 + u1x + u2x2+ . . . ) .Ordnen wirjetztdenFolgen(yk), (gk)und(uk)diePotenzreihen

i=0yixi,

i=0gi xibzw.

i=0uixizu, sokonnenwirdieFaltungssummealsProduktzweierPotenzreihendarstellen. DieseEigenschaftistgenaudasAnalogonzumFaltungssatzderLaplace-Transformation. AushistorischenGr undenwerden nicht Potenzreihen mit positiven, sondern solche mit negativen Poten-zen verwendet. D.h. wir werden im folgenden die Variablex durch die neueVariablez1ersetzen. Damit treen wir folgende eineindeutige Zuordnung:

i=0yizi=y(z) (yk) ,

i=0gi zi=g(z) (gk) ,

i=0uizi=u(z) (uk) .33Mit y(z), g(z), bzw. u(z) k urzenwir dieentsprechendenPotenzreihenab(selbstverstandlichsindmity(z)undyk, etc. verschiedeneFunktionengemeint) und erhalten die gew unschte Entsprechung f ur die Faltungssumme(yk) = (k

j=0gkjuj) y(z) = g(z)u(z) . (3.4)Wir gelangen so zur Denition derz-Transformierten einer Folge (fk)f(z) = Z{(fk)} =

i=0fizi, (3.5)d.h., wir ordnen einer Folge(fk) durch die Zuordnungsvorschrift Zinein-deutiger Weise die Reihe

i=0fizizu. Diese Zuordnungnennenwir z-Transformation, dieFunktionf(z)nennenwirz-TransformiertederFolge(fk), und als Denitionsbereich f ur die Variable z wahlen wir die Menge derkomplexen Zahlen.Noch scheint durch diese Vorgangsweise nicht viel gewonnen, denn der Rechen-aufwand ist der gleiche, ob man nun mit Folgen oder Potenzreihen rechnet.Gelingtesjedoch,diePotenzreiheng(z)undu(z)inGl.(3.4)durch ein-fache Ausdr ucke zu ersetzen, so mu man nur eine Multiplikation ausf uhrenundanschlieenddasProduktalsReihedarstellen. Hiebei kannnundieRechenersparnis enorm sein.UmGl.(3.2)zul osen, ben otigenwirnundrei Schritte. ImerstenSchritttransformieren wir die Folgen (gk) und (uk) in denz-Bereich:g(z) = Z{(gk)} , u(z) = Z{(uk)} .Im zweiten Schritt f uhren wir die Multiplikation aus:y(z) = g(z)u(z) .Im dritten Schritt entwickeln wiry(z) in eine Reihe und lesen an den Koef-zienten dieser Reihe die Werte yk der Folge (yk) ab. F ur das R uck ubersetzenDurchdieseDenitionistnochnichtdieExistenzeinerFunktionf(z)gesichert, danicht f ur jede Folge die angegebene Potenzreihe konvergiert. Gen ugt jedochdie Folge (fk)derBedingung|fk| Aak, A, a > 0so ist die absolute Konvergenz der Reihe

i=0 fiziin einem Gebiet |z| > a der komplexenEbenegesichert,undf(z)isteineanalytischeFunktion.34einer Funktionf(z) aus dem z-Bereich in den Folgenbereich, also f ur die zuZinverse Abbildung, schreiben wir(yk) = Z1{y(z)} .MitHilfeder Beziehung (3.4)k onnenwir aber auchsofortden BegriderUbertragungsfunktionauf Abtastsysteme ubertragen. Analogzumkon-tinuierlichenFall verstehenwirunterderz-Ubertragungsfunktioneinesli-nearen zeitinvarianten Abtastsystems mit einer Eingangsgr oe (uk) und einerAusgangsgr oe(yk) die(vonder speziellenWahl der Eingangsgr oe un-abh angige) FunktionG(z) =y(z)u(z)= Z{(yk)}Z{(uk)}, (3.6)alsodenQuotientenaus der z-Transformiertender Ausgangsfolgezur z-Transformierten der Eingangsfolge, wobei das System aus der Ruhelage an-geregt wird. Mit der angegebenen Bezeichnungsweise ubernehmen wir eineKonvention, wie wir sie von der Laplace-Transformation kennen. Mit kleinenBuchstaben bezeichnenwir Funktionenvonz,die Folgenentsprechen,mitgroenBuchstabenbezeichnenwirUbertragungsfunktionen. WegendieserVereinbarung lautet die Beziehung nach Gl.(3.4) nuny(z) = G(z)u(z) und G(z) = Z{(gk)} .Wir wollen die bisherigen Ergebnisse zusammenfassen: Im kontinuierlichenFall beschreibt das Faltungsintegral (siehe Gl.2.2) das Ubertragungsverhalten,anseineStelletrittbei AbtastsystemendieFaltungssumme(3.2); andieStellederGewichtsfunktioneines kontinuierlichenSystems(2.3) trittdieGewichtsfolge, statt mit der Laplace-Transformation rechnen wir mit derz-Transformation, und mitUbertragungsfunktionen k onnen wir operieren wiebisher. Damit sind aber unsere Anforderungen an eine Beschreibungsweisef urAbtastsystemeprinzipiell erf ullt, undwir k onnendarangehen, die z-Transformation weiter auszubauen. Ehe wir dies tun, soll ein kleines Beispielden bisherigen Gedankengang verdeutlichen.353.3 Beispiel zurz-TransformationWirbetrachtennochmalsdasBeispiel 2.1ausdemvorigenKapitel. DieUbertragungsfunktion des kontinuierlichen Systems lautetG(s) =11 + s,dieAbtastperiodebezeichnenwirganzallgemeinmit T. WirwollendieUbertragungsfunktionG(z)undmitderenHilfedieAntwortdesAbtast-systems auf die spezielle Eingangsfolge(uk) = (1, 1, 1, . . .)berechnen. Dabei werdenwir ausschlielichdiebisher entwickeltenHil-fsmittel verwenden. D.h. insbesondere, dadie z-Ubertragungsfunktiondurchz-TransformationderGewichtsfolgezubestimmenist. SobaldunsdieMethodenderAbschnitte3.4und3.5zurVerf ugungstehen, kanndieBerechnung noch wesentlich vereinfacht werden.Zur Berechnung der z-Ubertragungsfunktion G(z) ben otigen wir die Gewichts-funktiong(t), die Sprungantworth(t) und die Gewichtsfolge (gk):h(t) =_t0g()d=_t0ed= (1 et)(t)g(t) =h(t) h(t T)= (1 et)(t) (1 e(tT))(t T)bzw.g(0) = 0 = 0g(T) = (1 eT) =eT(eT1),g(2T) = (1 e2T) (1 eT) =e2T(eT1),g(3T) = (1 e3T) (1 e2T) =e3T(eT1)oderg0= 0gk=ekT(eT1) , k = 1, 2, 3, . . .Bilden wir zur Folge (gk) die z-Transformierte, erhalten wir die Ubertragungs-funktion.G(z)= Z{(gk)} =

i=0gi zi36= (eT1)(eTz1+ e2Tz2+ . . .)= (eT1)(1 + (eTz)1+ (eTz)2+ . . . 1)= (eT1)_11 (eTz)1 1_= (eT1)_zz eT 1_ =1 eTz eT.Zur Berechnung der Antwort auf die spezielle Eingangsfolge (uk) = (1, 1, . . .)ist jetztnur erforderlich,diese indenz-Bereichzutransformieren, und siemit derUbertragungsfunktionG(z) zu multiplizierenu(z)= Z{(1, 1, . . .)} = 1 + z1+ z2+ . . .=

i=0_1z_i=11 1z=zz 1,y(z) =G(z)u(z) =1 eTz eTzz 1.Nunm ussenwiry(z)wiederalsReihemitnegativenPotenzendarstellen.Hiezu bedienen wir uns eines kleinen Tricks. Wir zerlegenzuerst den Aus-druck f ury(z)mitHilfeder Partialbruchentwicklung ineinfacheAus-dr ucke und versuchen, diese einfachen Ausdr ucke mit Hilfe der Formel f urdiegeometrischeReihewiederalsReihendarzustellen(sieheFunoteaufSeite 37). Es folgt:y(z) = (1 eT)1z eTzz 1DieUmformungbasiertaufderSummenformeldergeometrischenReihe1 + x + x2+ x3+ . . . =

i=0xi=11 xf ur |x| < 1 .r(x)seieinerationaleFunktion. Esgelter(x) =p(x)q(x)mitp(x),q(x) Polynomeinxgrad(p(x)) grad(q(x)) = n.Die Wurzeln xivon q(x) seien einfachund reell. Dann hat r(x) eine Darstellung der Form(Partialbruchentwicklung)r(x) = c0 +n

i=1cix ximitc0=limxp(x)q(x)ci=p(xi)q

(xi)=limxxip(x)q(x)(x xi).37= (1 eT)_eT1 eT1z eT+11 eT1z 1_=1z 1 eTz eT=1z_11 z1_eTz_11 (eTz)1_=1z (1 + z1+ z2+ . . .) eTz(1 + eTz1+ e2Tz2+ . . .)= (1 eT) z1+ (1 e2T) z2+ (1 e3T) z3+ . . .Jetzt konnen wir sofort die L osung im Folgenbereichangeben, denn wegenDenition (3.5) erh alt man:y0= 0yk= 1 ekT, k = 1, 2, . . .Dieses Beispiel zeigt, wie die z-Transformation im Prinzip zu verwenden ist.Unschwer ist auch der ungeheure Vorteil gegen uber einer iterativen L osung,wie sie im vorigen Kapitel vorgestellt wurde, zu erkennen. Man kann z.B.den Wert der L osung zu jedem Abtastpunkt angeben, ohne alle Vorg angerzu berechnen,die Art der L osung f urk abschatzen,oder den Einu von Parametern, hier der AbtastzeitT, beurteilen.Vielesdavonistsogar moglich, ohnedieL osungy(z)indenFolgenbere-ich zu ubersetzen. Dennoch ist die bisherige Vorgangsweisef ur das prakti-sche Rechnen zu schwerfallig. Um die Handhabung der z-Transformation zuvereinfachen, sind im n achsten Abschnitt die wichtigsten Eigenschaften undKorrespondenzen angegeben.3.4 Eigenschaftenderz-TransformationEhe wir uns den Eigenschaften der z-Transformation zuwenden, ist es leiderunvermeidbar, einige Bemerkungen zur Bezeichnungsweisezu machen. DieLaplace-Transformierte einer Zeitfunktionf(t) bezeichnen wir mitf(s) = L{f(t)} ,38wobei selbstverstandlich mit f(s) und f(t) verschiedene Funktionen gemeintsind. Diesgiltanalogauchbei denfolgendenTransformationen. F urdieinverse Laplace-Transformation schreiben wirf(t) = L1{f(s)} .Diez-Transformierte einer Folge (fk) bezeichnen wir mitf(z) = Z{(fk)} ,und f ur die inversez-Transformation schreiben wir(fk) = Z1{f(z)} .Bild 3.2 zeigt den Zusammenhang der einzelnen Transformationen. Selbstver-standlich k onnen wir zu einer Zeitfunktion f(t) eine Folge (fk) bilden und zudieser Folgediez-Transformiertef(z) angeben. Umgekehrt k onnen wir zueiner Funktionf(z) eindeutig eine Folge (fk) nden, aber eine Umkehrungdes Abtastprozesses, also die eindeutige Bildung einer Zeitfunktion aus einerFolge, ist nat urlichnichtm oglich. Es gibtja beliebig vieleZeitfunktionen,dienachdem AbtastenzueinundderselbenFolgef uhren. EsistalsoeinUbergangvomZeitbereichindens-Bereichundzur uckmoglich, ebensok onnenwir vomFolgenbereichindenz-Bereichundzur uckgehen, undauerdem k onnen wir vom Zeitbereich in den Folgenbereich ubergehen.Suchen wir zu einer Funktion f(s) die entsprechende z-Transformierte f(z),so bilden wir zuerst mit der inversen Laplace-Transformation die zugeh origeZeitfunktionf(t)f(t) = L1{f(s)} ,f(s)L1f(t)L _ET'c(fk)Zf(z)Z1 _ET'cZ E TATE- E E - EBild 3.2: Transformationen.39tasten die Funktionf(t) ab und erhalten die zugeh orige Folge (fk) mitfk = f(kT)und suchen zu dieser Folge (fk) diez-Transformiertef(z)f(z) = Z{(fk)} .DaderUbergang vonf(s) zuf(z)oftben otigtwird,schreibenwir hief ureinfachf(z) = Z{f(s)} (3.7)(sieheauchBild3.2). ManbeachtedieunterschiedlicheSchreibweisevonZ in Gl.(3.5) und Gl.(3.7).Tabelle 3.1 zeigt die wichtigsten Eigenschaften der z-Transformation, wobeiwir vonf(t) voraussetzen, da giltf(t) = 0 falls t < 0 .Die zugehorigenRechenregelnder Laplace-Transformationsindebenfallsangef uhrt.Eigenschaft I dr uckt die Linearit at der einzelnen Transformationen und desAbtastprozessesaus. F ur diez-Transformationfolgtdie Linearit atunmit-telbar aus der Denition (3.5).Eigenschaft II auch Verschiebungssatz genannt gibt an, wie die z-Transfor-mierte f(z) einer um n Schritte nach rechts verschobenen Folge (fk) mit Hilfederz-Transformierten der unverschobenen Folge ausgedr uckt werden kann.Bild 3.3 zeigt, wie eine Folge um einen Schritt nach rechts verschoben wird.F ur (fk) gilt(fk) = (f0, f1, f2, . . .) ,es folgt f ur (fk1)(fk1) = (0, f0, f1, . . .) .WegenZ{(fk)} =

i=0fiziDie Zuordnung (fk) = f(kT) ist nur f ur rechtsseitig stetige Funktionen g ultig. Ist eineFunktionnichtrechtsseitigstetig, giltdieZuordnungfk=f(kT+ 0), d.h., wirnehmendenrechtsseitigenGrenzwert.40ET12341 2 3 4 k(fk)ET12341 2 3 4 k (fk1)Bild 3.3: Zum Verschiebungssatz.undZ{(fk1)} =

i=0fiz(i+1)=1z

i=0fizi,gilt alsoZ{(fk1)} =1zZ{(fk)} = z1f(z) .Wiederholen wir diese Betrachtung n mal, so nden wir die rechte Seite vonEigenschaft II. Betrachten wir Bild 3.4, so sehen wir, da wir auf zwei Wegenzum selben Ergebnis gelangen. Beim ersten tasten wirf(t) zuerst abf(t) (fk)und verschieben (fk)(fk) (fk1) .Beim zweiten verschieben wir zuerstf(t) um eine Abtastperiodef(t) f(t T)und tasten dannf(t T) abf(t T) (fk1) .Wir d urfen also diese beiden Operationen vertauschen, und es giltZ{eTsf(s)} = z1Z{f(s)} = z1f(z) ,bzw.Z{f(kT T)} = z1Z {(f(kT))}.42ET12341 2 3 4 k

f(t)ET12341 2 3 4 k(fk)ET12341 2 3 4 k

f(t T)ET12341 2 3 4 k (fk1)VerschiebenEAbtasten 'Abtasten_cVerschiebencBild 3.4: Vertauschen von Abtasten und Verschieben.Entsprechend ndet manZ{enTsf(s)} = znf(z) ,also die linke Seite von Eigenschaft II.Eigenschaft III den Faltungssatz haben wir bereits ausf uhrlich behandelt.Man beachte hier, da die Faltung nicht mit dem Abtastproze vertauschbarist, es gilt also im allgemeinenZ{f1(s)f2(s)} = Z{f1(s)}Z{f2(s)} .Zu den Eigenschaften IV und V, den Grenzwerts atzen, ist anzumerken, dasie nur dann die richtigen Grenzwerte liefern, wenn diese im Zeitbereich bzw.43im Folgenbereich existieren. Man mu sich vor ihrer Anwendung daher vonder Existenz der Grenzwerte uberzeugen.f(s) f(t) (fk) f(z)I1s(t) (1)zz 1II1s2t(t) (kT)Tz(z 1)2III1s3t22 (t)_(kT)22_T2z(z + 1)2(z 1)3IV1s et(t) (ekT)zz eTV1(s )2tet(t) (kTekT)TeTz(z eT)2VI1(s )3t22 et(t)_(kT)22ekT_T2eTz(z + eT)2(z eT)3Table 3.2: Korrespondenzen zurz-TransformationDie zum praktischen Rechnen ben otigten Korrespondenzen sind in der Tabelle3.2 angef uhrt. Wir sind hiermit imstande, die im Bild 3.2 angef uhrten Trans-formationen f ur einige, h aug vorkommende Funktionen durchzuf uhren.Soll-te eine Funktion nicht in der Tabelle 3.2 angef uhrt sein, hilft meist folgenderGedankengangweiter, demdieLinearit atderTransformationenzugrundeliegt: Eine komplizierte Funktion wird mit Hilfe der Partialbruchentwick-lungineineSummeeinfacherFunktionenzerlegt, diesewerdeneinzelnmitHilfederTabelleindengew unschtenBereichtransformiertunddortwieder aufsummiert.3.5 Berechnungderz-UbertragungsfunktionWiewirbereitsimAbschnitt3.2gesehenhaben, istdieBerechnungderz-Ubertragungsfunktion besonders einfach, wenn wir die Gewichtsfolge ken-nen. DieGewichtsfolge(gk)istjadieAntwortdesAbtastsystemsaufdie44spezielle Eingangsfolge (uk) = (1, 0, 0...). Nun folgt f ur diesesu(z)u(z) = Z{(1, 0, 0, . . .)} = 1 ,und damit f ur diez-Ubertragungsfunktion G*(z)G(z) =y(z)u(z)=Z{(gk)}Z{(1, 0, 0, . . .)}= Z{(gk)} . (3.8)Diez-UbertragungsfunktionG(z)stimmtalsomitderz-Transformiertender Gewichtsfolge (gk) uberein.Wird das Abtastsystem durch eine Dierenzengleichung der Formyk + an1yk1 + . . . + a0ykn = bnuk + bn1uk1 + . . . + b0ukn(3.9)beschrieben, so l at sich unter der Voraussetzung, da sowohl die Eingangs-folgealsauchdieAusgangsfolgef ur k 0.(4.10)Erf ullungderUngl. (4.7)dieBIBO-StabilitatfolgtdasStabilit atskriteriumistsomithinreichend. Man kann auch die Notwendigkeit des Kriteriums aus der BIBO-Stabilitatfolgt dieUngl. (4.7) zeigen; jedochistdieserBeweis umfangreich, sodawirauf [7]verweisen.52Das Stabilit atskriterium(4.7) f uhrt nunmehr auf die Beantwortung derFrage, f ur welche Werte vona die folgende Summe existiert:

k=0|gk| =

k=1|ak1| =

k=0|a|k. (4.11)Der rechte Term in Gl.(4.11) ist aber die Summe einer geometrischen Reihe,die genau dann existiert, wenn gilt:|a| < 1. (4.12)Somit stellen wir zusammenfassend fest, da das Abtastsystem (4.8) genaudann stabil ist, wenn der Parametera der Pol derUbertragungsfunktionG(z) im Intervall 1 < a < 1 liegt.Die Gewichtsfolge des Abtastsystems (4.8) wird durch Gl.(4.10) beschrieben.Wie man daran leicht erkennen kann, gibt es nunmehr von Stabilit atsfragenabgesehen sechs charakteristischeVerl aufe, je nach der Lage des Polesa.Diese sechs Falle sind im Bild 4.2 beispielhaft zusammengestellt, wobei dieLage eines Poles mit gekennzeichnet ist.6Imz-Re z 1 +1

ETb b b b b b bETb b b b b b bETb b b b b b bETb bbbbbbETb bbb b b bETb b b bbbbBild4.2: CharakteristischeVerlufederGewichtsfolgezumAbtastsystem(4.8).53ImAnschludarandr angt sichwohl dieFrageauf, wiedenndiejenigencharakteristischenVerl aufederGewichtsfolgeaussehen, diezueinemkon-jugiert komplexen Polpaar einerUbertragungsfunktion geh oren.Beispiel 2:Diese Frage soll nun anhand einerUbertragungsfunktion untersucht werden,deren Pole beiz = + jundz = jliegen mogen (Bild 4.3).6Imz-Re z3333333

rrBild 4.3: Konjugiert komplexes Polpaar in der z-Ebene.Der Einfachheit halber gehen wir dabei gleich von einer Partialbruchentwick-lung f ur dieUbertragungsfunktionG(z) aus:G(z) =1z ( + j) +1z ( j) . (4.13)FatmandasUbertragungssystem (4.13)alseineParallelschaltungzweierUbertragungssystemevomTyp(4.8)auf, soerh altmanmitGl.(4.10)f urdie Gewichtsfolge:gk =_0, k = 0,( + j)k1+ ( j)k1, k> 0.(4.14)Schreibt man inUbereinstimmung mit dem Bild 4.3 f ur + j=r ej, j=r ej,so lat sich Gl.(4.14) in einen Ausdruck der Form54gk =_0, k = 0,2rk1cos((k 1)), k> 0(4.15) uberf uhren, und man ndet damit eine leicht zu interpretierende Darstellungder Gewichtsfolge zum Abtastsystem (4.13):Sie ist gema Gl.(4.15) eine oszillierende Folge, die mit wachsendemkabklingt, wenn |r| < 1 ist,aufklingt, wenn |r| > 1 ist undunver andert schwingt, wenn |r| = 1 gilt.Im Bild 4.4 ist f ur jeden dieser drei F alle ein konjugiert komplexes Polpaarund dazu ein typischer Verlauf der Gewichtsfolge angegeben.6Imz-Re z

vv444444EinheitskreisETb b b b b b b b b b bETb b b b b b b b b b bETb b b b b b b b b b bBild4.4: CharakteristischeVerl aufeder Gewichtsfolgezum Abtastsystem(4.13).AnderGewichtsfolge(4.15)erkenntman, dadieBedeutungderBegrieD ampfung und Kreisfrequenz einer kontinuierlichen Eigenschwingung (derenLaplace-Transformierteinder s-Ebene das Polpaars = jbesitzt)imdiskreten Fall den Gr oenr bzw. zukommt.Um die Frage nach der Stabilit at des Abtastsystems (4.13)zu klaren, mu uberpr uft werden, unter welchenBedingungen f ur die Gewichtsfolge(4.15)55das Kriterium (4.7) erf ullbar ist. Ganz analog zu den Uberlegungen, die wirhierzu im Beispiel 1 angestellt haben, zeigt sich nun, da das Abtastsystem(4.13)genaudannstabil ist, wenndaskonjugiertkomplexePolpaar z = jvonG(z) im Inneren des Einheitskreisesliegt.Die Beispiele 1 und 2 haben gezeigt, da die dort betrachtetenUbertragungs-systeme genau dann stabil sind, wenn die Pole derUbertragungsfunktionenbetragsmaigkleineralsEinssind. OhneBeweissei angef uhrt, dadieseAussage f ur alle rationalenz-Ubertragungsfunktionen (Gl.(3.10)) g ultig ist.Wir erhalten demnach ein zweites Stabilit atskriterium:Das Abtastsystem nach Bild 4.1 mit derUbertragungsfunktionG(z) =Z(z)N(z), grad(Z(z)) grad(N(z)) (4.16)ist genau dann stabil, wenn alle Pole vonG(z) im Inneren desEinheitskreises liegen.Dieses Kriterium erlaubt die Beurteilung der Stabilit at eines linearen zeitin-variantenAbtastsystemsanhand seinerBeschreibung im Bildbereich, wah-rendsichdas erstgenannte Stabilitatskriterium(4.7) auf denZeitbereichbezieht.Um mit dem Stabilit atskriterium (4.16) zu uberpr ufen, ob ein Abtastsystemstabil ist, m ussen wir nur feststellen, ob alle Pole der z-Ubertragungsfunktionbetragsmaigkleiner als Eins sind. Schlieenwir denFall aus, daimZahlerpolynomZ(z)und im NennerpolynomN(z)gewisseNullstellengle-ich sind, so sind die Pole derUbertragungsfunktion G(z) identisch mit denNullstellendesNennerpolynomsN(z)unddieStabilit atsuntersuchungre-duziert sich auf die Beantwortung der Frage, ob s amtliche Nullstellen einesPolynoms im Inneren des Einheitskreises liegen ist dies der Fall, so bezei-chnen wir ein solches Polynom als Einheitskreispolynom (kurz EKP).MangeheausvonGl.(4.14)undn utzedieTatsache,dadiegeometrischeReiheundihreKonvergenzeigenschaftenimKomplexensinngemadeniertsind(siehedazuetwa[4]).DerKreismitdemRadiusEinsunddemMittelpunktimUrsprungderz-EbenewirdEinheitskreisgenannt.56Diese Frage kann mit den sogenannten Abbauverfahren beantwortet werden,ohne explizit die Nullstellen eines Polynoms berechnen zu m ussen.4.3 DasAbbauverfahrenDasAbbauverfahrengestattetesuns, uberelementareRechenoperationenmitdenKoezienteneinesgegebenenPolynomsfestzustellen, obessichdabei umeinEinheitskreispolynomhandelt. Esgiltn amlichderfolgendeSatz:Ein Polynom n-ten GradesPn(z) = a0 + a1z + . . . + an1zn1+ anzn(4.17)ist genau dann ein Einheitskreispolynom, wenna0an N.Dieses KorrekturgliedwirdauchLag-Gliedgenannt. EinentypischenVerlauf der Frequenzkennlinien eines Lag-Gliedes gibt Bild 6.13 wieder.ZurBestimmungder unbekanntenParameter ZundNstehendieGleichungenarc R#Lag(jC) = arctan CZarctan CN= = 18, 5976040200204060[dB]0.01 0.1 1 10 100 -300-260-220-180-140-100-60[]|L#1(j)|arc L#1(j)CBild 6.12: Frequenzgang des oenen Kreises zu Beispiel 2 nachder erstenKorrektur.und|R#Lag(jC)|dB= 10 log_1 +_CZ_2_10 log_1 +_CN_2_= |a|dB = 12, 4dBzur Verf ugung. Nach einigen Rechenschritten folgtN= Ca sin 1 a cos = 0, 059undZ = Csin cos a= 0, 269 .Hiermit ist aber der Regler bereits gefunden.R#(q) = 5(1 + 2 0, 722q +q2)_1 +q0, 269__1 +q4__1 +q6, 32__1 +q0, 059_9810080604020020[dB]0.01 0.1 1 10 100 -60-40-200204060[]|R#Lag(j)|arc R#Lag(j)NZBild 6.13: Frequenzgang eines Lag-GliedesZur Berechnung eines Lag-Gliedes stelltLINSYdie Funktion lag zurVerf ugung. DerReglererf ulltnichtnurdieVorgabenandenoenenKreis (Bild 6.14),6040200204060[dB]0.01 0.1 1 10 100 -300-260-220-180-140-100-60[]|L#(j)|arc L#(j)CBild 6.14: Frequenzgang des oenen Kreises zu Beispiel 2.9900.20.40.60.811.20 10T 20T 30T 40T t(yk)Bild 6.15: Simulation der Sprungantwort von Beispiel 2.sonderngewahrleistet auchdieStabilitat. L#(q) gen ugt demverein-fachtenSchnittpunktkriterium, unddie Phasenreserve ist jatrivialerWeise positiv.e) R(z) = 3, 47 + 13, 243z 17, 647z2+ 8.052z30, 0 0, 219z 0, 746z2+z3uk0, 746uk10, 219uk2 == 8, 052ek 17, 647ek1 + 13, 243ek23, 47ek3.Der Leser wird schon bemerkt haben, da die Wahl des Poles q = 0 =4 bei R#(q) einen Pol z = 0 bei R(z) zufolge hat. Bei geeigneter Rea-lisierungder Dierenzengleichungkannder Rechenaufwandhierdurchherabgesetzt werden.f) Die Erf ullung der urspr unglichen Forderungen im Rahmen der Genauigkeitdieser Methode kann man wieder an der Simulation der Sprungantwort(Bild 6.15) ablesen.100Beispiel 3a) G(s) = 0, 5_1 +s0, 3_s_1 + 2 0, 6_s0, 2_+_s0, 2_2_T= 0, 5 , e(kT)= 1 , tr = 2, 4 , u = 25%b) G#(q) = 0, 5_1 q4__1 +q0, 299__1 q805_q_1 + 2 0, 601_q0, 2_+_q0, 2_2_c) V= 1 , = 1 , C = 0, 5 , = 456040200204060[dB]0.01 0.1 1 10 100 -300-260-220-180-140-100-60[]|G#(j)| arc G#(j)cBild 6.16: Frequenzgang der Strecke zu Beispiel 3.d) DaG#(q) einfach integrierenden Charakter hat, ist die Forderung = 1bereits erf ullt. Der Verstarkungsfaktor wird wieder mittels eines Propor-tionalit atsreglersR#1= VRkorrigiert. Da giltV= 0, 5 VR = 1 , folgt VR = 2 .101AusdenlogarithmischenFrequenzkennlinienderStreckevonBild6.16entnimmt man, da die Phase an der Stelle = Cum 53angehobenwerden mu. Hierzu verwenden wir eineUbertragungsfunktion der FormR#Lead(q) =1 +qZ1 +qN, Z , Z> 0 , Z< N.8060402002040[dB]0.01 0.1 1 10 100 -20020406080100[]|R#Lead(j)|arc R#Lead(j)ZNBild 6.17: Frequenzgang eines Lead-GliedesSie wird auch Lead-Glied genannt. Man beachte hier die Umkehrung derUngleichunggegen uberdemLag-Glied. Bild6.17zeigtdentypischenVerlauf seines Frequenzganges. DasMaximumderPhasenvordrehungist ander Stelle= ZN. DiePhasenvordrehungander Stelle = Cberechnet man aus der Gleichungarc R#Lead(jC) = arctan CZarctan CN= ,und mita =CZN+ZNCfolgtNZ=__a2 tan +a24tan2 + 1__2.102Zur BerechnungeinesLead-GliedesstelltLINSYdieFunktionleadzur Verf ugung.Nachder Phasenkorrektur mu im allgemeinennoch der Betrag an derStelle = Cgesenkt werden. Dies geschieht mit einem Lag-Glied. Po-sitioniert man das Lag-Gliednur hinreichend weit links von der Durch-trittsfrequenz, so beeinut es die Phase an dieser Stelle nur unmerklich(sieheauchBild6.13). Obwohlhierdurchnichtnur dieAnforderungenanL#(j)erf ulltwerden, sondernauchdasEinschwingverhaltendesgeschlossenenKreisesden Vorgabengen ugt,hatdie Erfahrung gezeigt,daoftundauchindiesemBeispiel dieSprungantwortkeinesfallsbe-friedigt. Nach einem anf anglich tadellosen Verlauf die Vorgaben, die dieAnstiegszeitunddasUberschwingenbetreen, werdendurchaus einge-halten n ahert sie sich nur sehr schleppend dem Endwert. PositioniertmandasLag-GliedindieN ahederDurchtrittsfrequenzdieKorrek-tur erfolgt nicht mehr auf einem so breiten Frequenzband wird dieserNachteil umgangen. HierdurchwirdaberdiePhasenr uckdrehungdesLag-Gliedes bereitsmerkbar, unddiesemubei derDimensionierungdes Lead-Gliedes ber ucksichtigt werden. Die Phase mu um mehr als 53gehoben werden, um eine geeignete Lage des Lag-Gliedes zu erm oglichen.Wir w ahlen = 53 + 10, C =_ZNund erhaltena = 2 ,NZ= 17, 7 ,woraus folgtZ = 0, 119 , N= 2, 11 ,bzw.R#Lead(q) =1 +q0, 1191 +q2, 11.Die Auswertung vonL#1 (q) = VRR#Lead(q) G#(q) bei q = jC(LINSYFunktion val) ergibt, da der Betrag an dieser Stelle um 8,74 dB und dieEs ist nicht immer g unstigNZ =C zuwahlen, falls hierdurchdieSteigungderBetragskennlinieinderNahederDurchtrittsfrequenzzugeringwird. EinWertvon20dB/Dekadesollte nicht uberschrittenwerden. InvielenF allenerfordert dies eineauermittigePlazierungdesLead-Gliedes.1036040200204060[dB]0.01 0.1 1 10 100 -300-260-220-180-140-100-60[]|L#1(j)|arc L#1(j)CBild 6.18: Frequenzgang zu Beispiel 3 nach der ersten Korrektur.Phaseselbstverstandlichnochum10abgesenktwerdenm ussen(sieheBild 6.18). Aus den Gleichungen zum vorigen Beispiel folgt:R#Lag(q) =1 +q0, 141 +q0, 0496.Wieder zeigt Bild 6.19 nicht nur die Erf ullung der Forderungen, sondernauch, dadergeschlosseneKreisstabil ist. DasKorrekturgliedlautetnunR#(q) =VRR#Lead(q) R#Lag(q)R#(q) = 21 +q0, 1191 +q2, 111 +q0, 141 +q0, 0496.e) R(z) =7, 6118 16, 2421z + 8, 6642z20, 3024 1, 2855z +z2uk1, 2855uk1 + 0.3024uk2 == 8, 6642ek 16, 2421ek1 + 7, 6118ek2.1046040200204060[dB]0.01 0.1 1 10 100 -300-260-220-180-140-100-60[]|L#(j)|arc L#(j)cBild 6.19: Frequenzgang des oenen Kreises zu Beispiel 3.00.20.40.60.811.20 10T 20T 30T 40T t(yk)Bild 6.20: Simulation der Sprungantwort von Beispiel 3.f) Die Simulation der Sprungantwort (Bild 6.20) zeigt wieder die Erf ullungder Spezikation von a).105Das hier vorgestellte Frequenzkennlinienverfahren f ur Abtastsysteme gestat-tetf ureinegewisseProblemklasseeinen uberraschendeinfachenEntwurf.Gen ugteineUbertragungsfunktionnichtdemvereinfachtenSchnittpunkt-kriterium,so k onnendieFaustformelnauchnochVerwendung nden. DieBetragskennlinie des oenen Kreises soll aber auch dann nur einen Schnitt-punkt mitder0-dBLiniehaben. F ur dieStabilit atspr ufung bietetsichindiesem Fall das Nyquistkriterium in seiner allgemeinen Form an.106Kapitel7EntwurfvonAbtastregel-kreisenmitBeschrankungenIm letztenKapitelwurde gezeigt, wie das Frequenzkennlinienverfahrenf urden Entwurf von linearen und zeitinvarianten Abtastregelkreisen angewandtwerden kann, soda die Antwort des Regelkreises auf gewisse F uhrungsfolgen vornehmlich die Sprungantwort vorgegebene Spezikationen n aherungs-weise erf ullt.In diesem Kapitel wollen wir zun achst untersuchen, wie man die Maximal-werte der in einem Regelkreis auftretenden Gr oen berechnen kann. Dabeiwerdenwir nicht gewisseTestfolgenals F uhrungsfolgenbetrachten, son-derngleichKlassenvonTestfolgen. DieKenntnis der Maximalwerteistinsbesonderef ur dieStellgr oe vonBedeutung, k onnenwir dochdieimRahmendes Frequenzkennlinienverfahrens erarbeitetenEigenschaftendesRegelkreises wie z.B. die Stabilitat nur dann garantieren, wenn die Stellgr oeim realen System keinen Beschrankungen unterliegt, bzw. die vorhandenenStellgr oenbeschr ankungen nicht uberschritten werden.ImAnschludaranwerdenwirdasFrequenzkennlinienverfahrendahinge-hend erweitern, da wir in der Lage sind, vorgegebene Schranken f ur inter-essierende Systemgroen schon beim Reglerentwurf zumindest n aherungs-weise zu ber ucksichtigen. Dabei werden wir die generelle Vorgangsweise beider Anwendung des Frequenzkennlinienverfahrens beibehalten: N amlich dieFrequenzkennlinien des oenen Kreises so festzulegen, da sie vorgegebenenSpezikationengen ugen. NurwerdenindiesemFall nichtKenndatenwieVerstarkungsfaktor, DurchtrittsfrequenzundPhasenreserveherangezogen,sondern Bereiche, indenendieBetragskennliniedesoenenKreisesliegendarf. In diesem Zusammenhang wird sich zeigen, da wir einen vorhandenen107Freiheitsgrad f ur die Lage der Betragskennlinie dazu ausn utzen k onnen, einenoch zu denierende Regelg ute moglichst hoch zu halten.7.1 BerechnungderBetragsmaximavonSystem-groenWir betrachten den Abtastregelkreis nach Bild 7.1 und wollen nun die Fragebeantworten,

-6 R(z)-G(z)- -(rk) (ek) (uk) (yk)Regler StreckeBild 7.1: Abtastregelkreis.wiegrodasBetragsmaximumumaxderStellfolge(uk)ist, wennwirzu-n achst als F uhrungsfolgen(rk) alle jene Folgenzulassen, die selbst be-tragsmaig beschr ankt sind:|rk| 1, k = 0, 1, 2, . . . (7.1)Die Beschrankung auf den Zahlenwert Eins stellt dabei wegen der Linearit atdesUbertragungssystemskeineEinschrankungdar. ZurBerechnungdesBetragsmaximums umax fassen wir den Regelkreis nach Bild 7.1 als ein Uber-tragungssystem mit der Ausgangsfolge (uk) und der Eingangsfolge (rk) aufund bezeichnen die zugeh origeUbertragungsfunktion mitS(z):S(z) =u(z)r(z)=R(z)1 + R(z)G(z). (7.2)Hierin bedeuten u(z) und r(z) die z-Transformierten der Ausgangsfolge bzw.der Eingangsfolge. Ferner verstehen wir unter (sk) die zur Ubertragungsfunk-tionS(z) geh orende Gewichtsfolge, soda gilt:S(z) = Z {(sk)} . (7.3)In[20]wirddieseThematikf urkontinuierlicheSystemeausf uhrlichbehandelt.108Der Zusammenhang zwischen der Stellfolge (uk) und der F uhrungsfolge (rk)ist uber die Faltungssummeuk =k

j=0skjrj, k = 0, 1, 2, . . . (7.4)gegeben. Fassen wir nun einen festen Zeitpunkt k = m ins Auge, dann wirdoenbarderStellfolgenwertumgenaudannmaximal, wennbei gegebenerGewichtsfolgedieF uhrungsfolgesogewahltwird,dajedereinzelneSum-mand seinen gr otmoglichen Wert zur Summe (7.4) beitr agt. Unter Beach-tung der Beschr ankung (7.1) ist dies die F uhrungsfolge(rk) = sgn(smj), j = 0, 1, 2, . . . , m, (7.5)und man erh alt f ur das Maximum des Stellfolgenwertesumum =m

j=0|sj|. (7.6)Da die Summe auf der rechten Seite von Gl.(7.6) mit wachsendem m mono-ton zunimmt, liefert die unendliche Summeumax =

j=0|sj| (7.7)diekleinsteobereSchrankeumax, welchedieBetragederStellfolgenwertenicht uberschreiten, undzwarf urallezulassigenF uhrungsfolgen; dassindalle jene, die der Beschrankung (7.1) gen ugen.Ein Vergleich mit dem Stabilitatskriterium (4.7) zeigt, da die Existenz derunendlichen Summe (7.7)genau dann gesichertist, wenn mit derUbertra-gungsfunktion (7.2) ein BIBO-stabiles Ubertragungssystem beschrieben wird.EineanschaulicheDeutungderBerechnungsvorschrift(7.7)f urdasStell-gr oenmaximum zeigt das Blockschaltbild 7.2:Wenn man den Regelkreis mit der speziellen F uhrungsfolge(rk) = 1, 0, 0, 0, . . . das ist die Impulsfolge erregt, erh alt man als Stellfolge die zumUbertra-gungssystem (7.2) gehorende Gewichtsfolge (sk). Dem Stellfolgenmaximumumaxkommt man nun beliebig nahe, wenn diese Gewichtsfolge hinreichendlange absolut summiert wird.109F ur die Berechnung einer solchen Absolutsumme ist im Programm LINSYdieFunktionsabs(.) vorgesehen; siebildetnachGl. (7.7)dieAbsolut-summe der Gewichtsfolge zu jenemUbertragungssystem, dessenz-Ubertra-gungsfunktion als Argument ubergeben wird. W urde z.B. die Ubertragungs-funktion (7.2) als Operand im ProgrammLINSY den Namen Sz tragen,so kann man die Beziehung (7.7) mit der einfachen Anweisungumax = sabs(Sz)auswerten.

-6 R(z)-G(z)-- -m umax ABSm

0ETb b b b(rk)k0 1 2 3Bild 7.2: Blockschaltbildzur Berechnung des BetragsmaximumsumaxderStellfolge.Wir haben nun gezeigt, wie das Stellfolgenmaximumumaxberechnet wird,wenndie F uhrungsfolgender Betragsbeschrankung(7.1)gen ugen. GewisseF alleandererBeschrankungenderzul assigenF uhrungsfolgen(rk)k onnenaber durchEinf uhrungeines gedachten(ktiven) Filters wieder auf eineBetragsbeschrankungjetztallerdingsvonktivenF uhrungsfolgen( rk)zur uckgef uhrt werden (Bild 7.3).F(z)- -( rk)| rk| 1,k 0(rk)Bild 7.3: Zur Erzeugung zul assiger F uhrungsfolgen.So etwa wird durch die Filter ubertragungsfunktionF(z) = T rmaxzz 1(7.8)110unter Ber ucksichtigung der Beschr ankung| rk| 1 f ur alle k 0 (7.9)eine Klasse von F uhrungsfolgen beschrieben, f ur die die Dierenzenzweierbenachbarter Folgenwerte beschr ankt sind:|rk+1rk|T rmaxf ur k 0. (7.10)InGl. (7.10)bezeichnet rmaxeinegeeignetepositiveKonstante, diemanf ur den Fall T 0 als maximaleAnderungsgeschwindigkeit des F uhrungs-signals deuten kann.Zur Beschrankung (7.10)gelangt man auf folgende Weise: Bezeichnetmanmit r(z) und r(z) die z-Transformierten der Folgen (rk) bzw. ( rk), so erh altman gema Bild 7.3 und Gl.(7.8) zun achst die Beziehung(z 1)r(z) = T rmaxz r(z),die in den Folgenbereich zur ucktransformiert lautet:rk+1rk = T rmax rk+1.Daraus folgt schlielichunter Beachtungder Beschrankung(7.9) f ur dieFolge ( rk) unmittelbar die Beschr ankung (7.10) f ur die Folge (rk).Betrachten wir an dieser Stelle den im Abschnitt 6.5 (Beispiel 2) entworfenenAbtastregelkreis und lassen nur F uhrungsfolgen (rk) zu, die der Beschrankung(7.10) mit rmax = 1 gen ugen, so ergibt sich f ur das Betragsmaximumumaxder Stellfolge (uk):umax = 7. (7.11)Im Zuge der Berechnung ist zu beachten, da wegen der Beschrankung (7.10)in der Ubertragungsfunktion (7.2) noch die Filter ubertragungsfunktion (7.8)zu ber ucksichtigen ist:S(z) =u(z) r(z)= F(z)R(z)1 + R(z)G(z). (7.12)DiejenigeF uhrungsfolge (rk),f ur die dieStellfolge(uk) nachBild7.4demBetragsmaximum(7.11)sehrnahekommt, istimBild7.5dargestellt; siewurde aufgrund des speziellen Verlaufs der Gewichtsfolge (sk) zumUbertra-gungssystem (7.12) f urm = 30 (vgl. Gln.(7.5) und (7.6)) ermittelt.1116-10 20 40k707(uk)Bild 7.4: Stellfolge, die das Betragsmaximum (7.11) erreicht.6-0 10 20 30 40k 0510(rk)Bild7.5: Zul assigeF uhrungsfolge(rk)f urdiedieStellfolgedasBetrags-maximum (7.11) erreicht.Wir betrachten in diesem Beispiel jetzt anstelle beliebiger ktiver F uhrungs-folgen( rk), die derBetragsbeschrankung (7.9)gen ugen,folgendezul assigeharmonische Folgen:( rk) =_ejkT_. (7.13)Bei einemstabilenGesamtsystem(7.12) ist dannder Verlauf der Stell-folge (uk) nach Abklingen der Einschwingvorg ange gegeben durch (vergleicheGl.(5.17)):uk = S(ejT)ejkT. (7.14)112UnterBeachtungder Einschr ankung (5.14)f ur dieKreisfrequenzistdieAmplitude u der Tr agerschwingung zur Folge (7.14) bestimmt durch u = |S(ejT)| = |S#(j)|,wobei sich die q-Ubertragungsfunktion S#(q) uber die Transformation (5.25)aus derz-UbertragungsfunktionS(z)berechnet und die realeFrequenz uber die Beziehung (5.21) mit der transformierten Frequenz verkn upft ist.Somit gilt im eingeschwungenen Zustand f ur das Betragsmaximum umax derStellfolge f ur alle zul assigen harmonischen Folgen (7.13): umax = max|S#(j)|. (7.15)F ur das gegenstandliche Beispiel ndet man so anhand der Frequenzkennlin-ienS#(j) nach Bild 7.6 den Zahlenwert: umax = 16, 3 dB = 6, 5. (7.16)0.01 0.1 1 10 100 |S#(j)|100102030(dB)16.3Bild7.6: Bestimmungdes Stellfolgenmaximums umaxbei betragsmaigbeschrankten harmonischen Erregungen.Mathematischstrenggesehen, m uteinGl.(7.15) dasSupremum(sup)anstelledesMaximums(max)genommenwerden.113Dem Bild 7.6 entnimmt man weiters, da die Stellfolge diesen Maximalwertf ur Frequenzen , d.h. /Terreicht.Abgesehen von der Tatsache, da bei der Bestimmung von umax nach Gl.(7.15)Einschwingvorg ange auer acht gelassen werden, dr uckt der Unterschied inden Zahlenwerten (7.16) und (7.11), umax= 6, 5 ,umax= 7noch m ogliche h artere Beanspruchungen des betrachteten Regelkreises durchdie Folgen (7.9) im Vergleich zu den Folgen (7.13) aus.Dennochwerdenwir das EntwurfsverfahrenindenfolgendenAbschnit-tenauf zul assige harmonische Eingangsfolgen(7.13) aufbauen, dennaufdiese Weise konnenwir denEntwurf mit Hilfe vonBODE-Diagrammendurchf uhren.Diese Vorgangsweise kann zu Regelkreisen f uhren, in denen f urzul assige nichtharmonische Eingangsfolgen (7.9) das dem Entwurf zugrundegelegte Stellgr oenmaximum uberschrittenwird. Es ist jedochm oglich,diesen Uberschreitungen von vornherein zu begegnen, indem wir lediglich f urdieDurchf uhrungdesEntwurfsgr oereAnderungsgeschwindigkeiten rmaxder F uhrungssignaleber ucksichtigen, als siedanntatsachlichimBetriebauftreten. Das heit, wir werden f ur den Entwurf den gegebenen Wert rmaxumeinenFaktorvergr oern; dieGr oediesesFaktorslatsichnichtineiner Formel ausdr ucken, eine Gr oenordnung von1, 5. (7.17)hatsichaberf urdiemeistenF alleals zweckmaigerwiesen. NachdemEntwurf k onnen wir mit dem ermittelten Regler uber die Beziehungen (7.7)und (7.12) jetzt allerdings mit gegebenem Wert von rmax das Betrags-maximum umax f ur alle zul assigen F uhrungsfolgen berechnen. F ur den Fall,da das so ermittelte umax gr oer ist als das dem Entwurf zugrunde gelegte,bestehtdieM oglichkeit, denEntwurfmiteinemvergr oertenFaktorzuwiederholen.Abschlieendseibemerkt,dawirindenAusf uhrungen diesesAbschnittsunser AugenmerkzwaraufdieStellfolgegerichtethaben,dochlassensichbei ihrersinngemaenAnwendungauchdieBetragsmaximaandererSys-temgroen etwa der Folge des Regelfehlers angeben.1147.2 FestlegungderAufgabenstellungWirbetrachtendieFolgeregelungnachBild7.7undnehmenan, daalleSystemgroen f urt < 0 verschwinden.F#(q)-

-6 R#(q)-G#(q)- -( rk) (rk) (ek) (uk) (yk)Bild 7.7: Folgeregelung.Ferner setzen wir folgende Daten als gegeben voraus:1. Dieq-UbertragungsfunktionG#(q) der Regelstrecke,2. eine Klasse von zulassigen F uhrungsfolgen (rk) (das sind alle jene Fol-gen, die sich uber das ktive Filter F#(q) mit ktiven F uhrungsfolgen( rk)erzeugenlassen, wobei diesederBeschrankung | rk| 1f urallek 0 gen ugen),3. das zul assige Betragsmaximumumaxder Stellfolgenwerteuk.Wirsucheneinen(realisierbaren) Regler mitder q-UbertragungsfunktionR#(q), so da f ur alle zul assigen F uhrungsfolgen (rk) und unter Einhaltungder Stellgr oenbeschrankung|uk| umaxf ur alle k 0 (7.18)der Betrag des Regelfehlers (ek) immer kleiner als bleibt:|ek| f ur alle k 0 (7.19)NunbetrachtenwiralseinMaf ur diemitdementworfenenRegelkreiserreichbare Regelg ute und verlangen daher, da im Hinblick auf die ange-setzteReglerstrukturmoglichstkleinwird; d.h., wirsuchendasMinimumvon bez uglichR#(q).Selbstverst andlichsetzenwir voraus, da uberhaupt eine solche L osungexistiert, was insbesondereverlangt, dader Entwurf zueinemstabilenGesamtsystem f uhrt und die Regelstrecke unter Beachtung der Stellgr oen-beschrankung allen zul assigen F uhrungsgr oen wenigstens prinzipiell folgenkann.1157.3 GrascheL osungmitHilfevonBODE-DiagrammenWir wollen nun die beiden Ungleichungen (7.18) und (7.19) f ur die Betrags-maxima der Stellfolge bzw. der Folge des Regelfehlers in andere Bedingun-gen,die jetztaber im (transformierten)Frequenzbereichgelten,umsetzen.Gema den Ausf uhrungen am Ende des Abschnitts 7.1 betrachtenwir nurzul assige harmonische Folgen (7.13). Bei einem stabilen Gesamtsystem undnach Abklingen der Einschwingvorg ange mu dann bei entsprechender An-wendung der Beziehung (7.15) gelten:F#(j)R#(j)1 + R#(j)G#(j) umaxf ur alle (7.20)F#(j)1 + R#(j)G#(j) f ur alle (7.21)Auf der linkenSeiteder Ungleichung(7.20)stehtder Betragdes Frequen-zganges zumUbertragungssystem mit der Eingangsfolge ( rk) und der Aus-gangsfolge(uk); inderUngleichung(7.21)stehtlinksderBetragdesFre-quenzganges zumUbertragungssystem mit derselben Eingangsfolge, jedochmit (ek) als Ausgangsfolge. Die Forderung nach der Stabilit at des Gesamt-systemsbedingtdieStabilitatderdenlinkenSeitenderUngln.(7.20)und(7.21)zugeordnetenUbertragungsfunktionen. Dasbedeutetinsbesondere,daalleinstabilenPoleder Filter ubertragungsfunktionF#(q) auchPol-stellen der Strecken ubertragungsfunktionG#(q) sein m ussen.Mit derUbertragungsfunktionL#(q) des oenen KreisesL#(q) = R#(q)G#(q) (7.22)erhalten wir nach einer Umformung der Ungln.(7.20) und (7.21):L#(j)1 + L#(j) G#(j)F#(j)umaxf ur alle , (7.23)|1 + L#(j)| |F#(j)|f ur alle . (7.24)Auf diese Weise m ussen wir freie Parameter in einem Ansatz f ur die Ubertra-gungsfunktionL#(q)so bestimmen,da diezweiteUngleichung(7.24)f urein moglichst kleines erf ullt ist.116Wird damit auch die Einhaltung der ersten Ungleichung (7.23)erreicht, soistdieEntwurfsaufgabegel ost, undwirk onnen uberdieBeziehung(7.22)dieRegler ubertragungsfunktionangeben. AusdiesemGrundewerdendieUngleichungen (7.23) und (7.24) Syntheseungleichungen genannt.AllerdingsistwegenderBeschaenheitderlinkenSeitenderSyntheseun-gleichungen die Bestimmung freier Parameter in derUbertragungsfunktionL#(q)imallgemeinennurrechnergest utztmoglich. Dawiraberbestrebtsind, den Entwurf mit Hilfe der Bode-Diagramme durchzuf uhren, gehen wirwiefolgtvor[19]: WirsetzendieUbertragungsfunktionL#(q)soan, daihre logarithmische Betragskennlinie |L#(j)|dBdie 0-dB-Linie nur einmalbei derDurchtrittsfrequenzCschneidetunddazudemgilt(vergleichehierzu etwa Bild 6.6):|L#(j)|1 f ur C,|L#(j)|1 f ur C.Diese Forderungen entsprechen durchaus dem Vorhaben, in einem gewissenFrequenzbereich ein gutes F uhrungs ubertragungsverhalten zu erreichen.Unter diesen Voraussetzungen k onnen die Syntheseungleichungen n aherungs-weise wie in der Tabelle 7.1 angegeben geschrieben werden.|L#| 1 |L#| 11 G#F#umax(7.23a)|L#| |F#|(7.24a)|L#| G#F#umax(7.23b)1 |F#|(7.24b)Tabelle7.1. Approximierte Syntheseungleichungen.117Im Zuge des Entwurfs sind nun die beiden gerahmten Ungleichungen (7.23b)und (7.24a) f ur die Wahl vonL#(q) in den beiden Bereichen |L#(j)| 1bzw. |L#(j)| 1entscheidend. Hingegenl atdieUngleichung(7.23a)eine Aussage uber den mindestens erforderlichen Stellbereichumaxzu, unddie Ungleichung (7.24b) gibt eine untere Schranke f ur den Wert von an. Esist also zu erwarten, da eine angemessene Aufgabenstellung von vornhereindiesen beiden nicht gerahmten Ungleichungen gen ugt.Es ergibt sich somit folgendes Entwurfsschema, das wir anhand eines imBild 7.8 gezeigten demonstrativen Falles erl autern:TElog(dB)CCT|L#| > 1 |L#| < 1G#F#umax|L#||F#| = 1_1_dBBild 7.8: Demonstrationsbeispiel f ur den Entwurf; asymptotischeDarstel-lung der Betragskennlinien.A. Zeichnen der sogenannten Begrenzungskennlinie|G#(j)/F#(j)|umaxund der sogenannten Filterkennlinie|F#(j)|. Im Bild 7.8 sind jene Teile dieser beiden Kennlinien schraf-ert hervorgehoben, die die Bereichsgrenzen f ur die Lage der Betrags-kennlinie |L#(j)| bilden (vergleiche Ungleichungen (7.23b), (7.24a)).B. Wahl einerUbertragungsfunktion L#(q), so da ihre Betragskennlinie|L#(j)| in Erf ullung der Ungleichung (7.23b) rechts der Durchtritts-frequenz C nicht oberhalb der Begrenzungskennlinie zu liegen kommt.118Daaber dieUngleichung(7.24a) imBereichlinks der Durchtritts-frequenzf ur einm oglichst kleines erf ullt werdensoll, ist dieBe-tragskennlinie |L#(j)| soweitwiemoglichnachobenzuschieben(siehePfeil imBild7.8). Bei derWahl vonL#(q)sindnochzweiPunkte zu beachten:B1. UmauchbeiParameterschwankungenbzw. St orungendieSta-bilit atdesRegelkreiseszuerhalten, werdenalleinderrechtenq-Halbebene liegenden Pol- und Nullstellen der Strecken ubertra-gungsfunktion G#(q) in den Ansatz f ur L#(q) mit aufgenommen.B2. Anhandder approximiertenSyntheseungleichungeninTabelle7.1kannkeineAussage ubereingefordertesVerhaltenderBe-tragskennlinie |L#(j)| im Bereich |L#(j)|1 also im Fre-quenzbereich um C abgelesen werden. Damit die eigentlichenSyntheseungleichungen (7.23) und (7.24) auch in diesem Frequenz-bereichgelten, hatmanf ureineausreichendePhasenreservezusorgen; etwa indem manarcL#(jC) = 120(7.25)fordert, was gem a Bild 7.9 plausibel erscheint, denn dann stimmen6Im{L#(j)}-Re{L#(j)}

e e -1L#(jC) 1 + L#(jC) undL#(jC)1 + L#(jC)60Bild 7.9. Zur Erf ullung der Syntheseungleichungen f ur = C.dieapproximiertenSyntheseungleichungenf ur = CmitdeneigentlichenSyntheseungleichungen uberein. JedochmuvonFall zu Fall gepr uft werden, ob dadurch die Syntheseungleichun-genauchinderUmgebungvonCeingehaltenwerden. Diese119Uberpr ufungist mit demProgrammLINSYleicht durchzu-f uhren. DennletztlichmuzurEinhaltungderStellgr oenbe-schrankunggem ader eigentlichenSyntheseungleichung(7.23)die Betragskennlinie des F uhrungsfrequenzganges |T#(j)| (linkeSeite der Ungl.(7.23)) im gesamten Frequenzbereich unterhalb derBegrenzungskennlinie (rechte Seite der Ungl.(7.23))liegen: Manzeichne mit dem LINSY-Befehl bode die beiden Betragskennli-nienB# = G#/F#*u_maxbodeB#T# = loop(L#)bodeT#und pr ufe die Einhaltung der Ungl.(7.23) anhand ihrer graschenDarstellung.Die Frage nach der Stabilit at des geschlossenen Kreises lat sichleicht beantworten, wenn die q-Ubertragungsfunktion L#(q) vomeinfachen Typ ist (siehe Abschnitt 6.3); denn mit dieser Voraus-setzungist der Regelkreis genaudannBIBO-stabil, wenndiePhasenreserve = arcL#(jC)+180 positiv ist. Ist L#(q) nichtvomeinfachenTyp, sof uhrtdasNyquist-KriteriumangewandtaufL#(j) zum Ziel.C. Ausgehendvonder imPunktBentworfenenUbertragungsfunktionL#(q) wird uber die Beziehung (7.22) zun achst die q-Ubertragungsfunk-tionR#(q) des ReglersR#(q) =L#(q)G#(q)berechnetundinweitererFolgemitGl.(5.23) diez-Ubertragungs-funktion des ReglersR(z) = R#(q)q=2Tz 1z + 1,womit man wegen Gln. (3.9) und (3.10) sofort die zugeh orige Dieren-zengleichung angeben kann.Bez uglichderRealisierbarkeitvonq-UbertragungsfunktionseiaufdenAbschnitt5.5verwiesen.120D. NunermittelnwirdasBetragsmaximum, dasdieStellfolgenwerteukim entworfenen Regelkreis f ur alle zul assigen F uhrungsfolgen (rk) undf ur alle k 0 nicht uberschreiten. Man erh alt dieses Maximum, indemdieWertederGewichtsfolgezumUbertragungssystemmitderEin-gangsfolge ( rk) und der Ausgangsfolge (uk) gema den Gln. (7.7),(7.3)und (7.12)absolut summiert werden. Geringf ugigeUberschreitungenimVergleichmitdemgegebenenStellgroenmaximumumaxwerdenwir tolerieren; denn wir k onnen an dieser Stelle des Entwurfes mit dengegebenen Zahlenwerten der Streckenparameter zwar die Maxima vonSystemgroen exakt berechnen, d urfen aber nicht vergessen, da dieseParameter selbst im allgemeinen nicht exakt bekannt sind.Das Betragsmaximum der Folgenwertedes Regelfehlers erhaltmanauf ganz analoge Weise lediglich f ur dieUbertragungsfunktion (7.12)mu jetztS(z) =e(z) r(z)= F(z)11 + R(z)G(z)geschrieben werden. Die hier verwendetenz-UbertragungsfunktionenF(z) des Filters undG(z) der Regelstreckeberechnen sich uber dieTransformation(5.23)ausdengegebenenq-UbertragungsfunktionenF#(q) bzw. G#(q).W ahrendwir denEntwurf indenPunktenAundBimtransformiertenFrequenzbereichdurchf uhren und daher mitq-Ubertragungsfunktionen ar-beiten, gebenwir indenPunktenCundDdie z-Ubertragungsfunktionan, weil an ihnen unmittelbar die Dierenzengleichungenabgelesen werdenk onnen.7.4 Beispiel 1Gegeben seien f ur die Folgeregelung nach Bild 7.7:A. DieUbertragungsfunktionG(s) der RegelstreckeG(s) =1, 2s_1 +s0, 5 +_s0, 5_2_;121bei einer Abtastperiode T= 0, 2 ergibt sich daraus die q-Ubertragungs-funktionG#(q) der RegelstreckeG#(q) = 1, 2_1 q10__1 q17, 6__1 +q17, 1_q_1 +q0, 5 +_q0, 5_2_ .B. EineKlassevonzul assigenF uhrungsfolgen(7.10)mit rmax=0, 04.F ur die z-UbertragungsfunktionF(z) des ktivenFilters ergibt sichnach Gl.(7.8)F(z) = 0.008zz 1und f ur die zugeh orige q-UbertragungsfunktionF#(q) = 0, 041 +q10q.C. Das zulassige Betragsmaximum der Stellfolgenwerte:umax = 2.Im Einklang mit den Ausf uhrungen am Ende des Abschnitts 7.1 werden wirf urdiegrascheL osungderEntwurfsausgabeindenfolgendenSchrittenA,BundC(jedochnichtimSchrittD)dasgem aGl.(7.17)manipulierteFilter verwenden.A. Filterkennlinie:|F#| =0, 061 +j10j.Begrenzungskennlinie:G#F#umax =40_1 j10__1 j17, 6__1 +j17, 1__1 +j10__1 +j0, 5 +_ j0, 5_2_.Die imfolgenden angegebenen Ergebnisse sind Zwischenergebnisse eines Berech-nungsvorganges gema demLINSY-Dialog imAbschnitt A.6. Insbesondere sinddieKnickfrequenzenander 1. Stelle nachdemKommagerundet angegebenunddie Be-tragskennlinienzurHervorhebungderKnickfrequenzenasymptotischdargestellt.122Die Begrenzungskennlinie schneidet die 0-dB-Linie (sh. Bild 7.10) beiC = 3, 2. (7.26)0.01 0.1 1 10 100 603003060(dB)0.5CCN17.1 17.66j jabG#F#umax|L#||F#| = 1_1_dBBild 7.10. Asymptotische Betragskennlinien f ur das Entwurfsbeispiel 1.B. Ansatz f urL#:L#(q) =_1 q10__1 q17, 6__1 +q17, 1_qC_1 +q10__1 +qN_ .Die beiden Nullstellen von G#(q) bei q = 10 und q = 17, 6 liegen in derrechten q-Halbebene und werden daher gem a Punkt B1 des Entwurfs-schemasindenAnsatzf urL#(q)aufgenommen. MitdenrestlichenPol- und Nullstellen im Ansatz f ur L#(q) wollen wir erreichen, da dieBetragskennlinie |L#(j)| imBereich Cmoglichstw