Portfolio-Optimierung

Seminararbeit in Finanz- und Versicherungsmathematik

Wolfgang Ganglberger

19. Marz 2013

Inhaltsverzeichnis

1 Einfuhrung in die Portfoliotheorie 31.1 Erwartete Portfolio-Rendite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Holding Period Return . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Varianz und Standardabweichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Risikominimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Aktien-Kennzahlen 9

3 Modell zur Schatzung zukunftiger Aktienentwicklung 11

4 Data Mining Korrektur 17

5 130/30 - Portfolio 19

6 Literaturverzeichnis 21

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1 Einfuhrung in die Portfoliotheorie

’A good portfolio is more than a long list of good stocks and bonds. It is a balancedwhole, providing the investor with protections and opportunities with respect to a widerange of contingencies.’ (Harry Markowitz)

Diese Arbeit beschaftigt sich mit verschiedenen Aspekten der Portfolio-Optimierung,im speziellen werden auf die Theorien des US-amerikanischen Okonomen Harry Marko-witz eingegangen. Dieser beschaftigte sich ab Mitte des 20. Jahrhunderts mit mathema-tischen Methoden in der Portfolio-Theorie und gewann dafur gemeinsam mit Merton H.Miller und William Sharpe 1990 den Nobelpreis fur Wirtschaftswissenschaften. Wie indem vorangegangenen Zitat bereits angedeutet, steht nicht nur die Maximierung des Er-trags einzelner Wertpapiere im Vordergrund, das Portfolio soll auch moglichst risikoarmfur einen bestimmten Gewinn sein.

1.1 Erwartete Portfolio-Rendite

Den Erwartungswert des Ertrags eines Portfolios konnen wir wie folgt bestimmen:

IE(Rp) := µp =n∑i=1

xiµi

mit µp als erwarteten Porfolioertrag,

xi Anteil des i-ten Wertpapieres am Portfolio,

µi als Erwartungswert des Wertpapiers i.

Die Gesamtrendite des Portfolios setzt sich also aus den einzelnen Renditen der darinenthaltenen Wertpapiere zusammen.

1.2 Holding Period Return

Der Holding Period Return ist ein relativ einfaches Konzept um den Ertrag eines Assetin einer Periode festzustellen. Wir wahlen nun als Periode ein Jahr, der HPR berechnetsich wie folgt:

HPRt =Dt + Pt − Pt−1

Pt−1

mit:

Dt ... Dividende des Wertpapiers im aktuellen Jahr

Pt ... aktueller Preis des Wertpapiers

Pt−1 ... Preis des Wertpapiers am Ende des letzten Jahres

3

Der Kurs einer Aktie der an der Wiener Borse notierten Erste Group Bank AG hattebeispielsweise 2011 einen Jahreschlusswert von 13,59e und am Ende des Jahres 2012einen Wert von 24,03e. Es wurde im Jahr 2012 keine Dividende ausgeschuttet.Der HPR fur das Jahr 2012 ist also:

Erste Group HPR2012 =0 + 24.03− 13.59

13.59= 0.7682

Einen einfachen und primitiven Schatzer fur den Ertrag eines Wertpapiers fur die nachs-te Periode bzw. fur das nachste Jahr zu bestimmen, besteht nun in der Methode, dieHolding Period Returns der letzten Jahren zu berechnen und daraus das arithmetischeMittel zu nehmen. Wir wollen dies zur Veranschaulichung bei den Unternehmen ’ErsteGroup Bank AG’, ’Raiffeisen Bank International AG’ und ’McDonald’s Corporation’tun. Die ersten zwei Aktiengesellschaften notieren an der Wiener Borse, von ’McDo-nald’s Corporation’, das eigentlich an der New Yorker Borse notiert ist, nehmen wir dieWerte der Frankfurter Borse um Wechselkursschwierigkeiten zu vermeiden.

Erste Group Bank AG:Schlusskurse Dividende HPR

2007 48.5 0.652008 16.2 0.75 -0.65052009 26.02 0.65 0.64872010 35.14 0.65 0.37342011 13.59 0.7 -0.59332012 24.03 0 0.768211

arith. Mittel 0.1093Varianz 0.4665

Standardabweichung 0.6830

Raiffeisen Bank Interna-tional AG:

Schlusskurse Dividende HPR2007 103.6 0.712008 19.3 0.93 -0.80472009 39.5 0.93 1.09482010 41 0.4 0.0482011 20.07 1.05 -0.48492012 31.3 1.05 0.6119

arith. Mittel 0.093Varianz 0.6037

Standardabweichung 0.7770

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McDonald’s Corporation:Schlusskurse Dividende HPR

2007 40.29 12008 43.39 1.5 0.11422009 43.7 1.63 0.04472010 58.1 2.05 0.37642011 78.24 2.26 0.38552012 67.08 2.53 -0.1103

arith. Mittel 0.1621Varianz 0.0465

Standardabweichung 0.2157

1.3 Varianz und Standardabweichung

Die Varianz eines Portfolios lasst uns einschatzen, wie risikoreich die gewahlte Wertpa-pierzusammenstellung ist. Sie berechnet sich folgendermaßen:

σ2p =

1

T

T∑t=1

(Rpt − µp)2

σ2p ist die Varianz des Portfolios p

T entspricht der Anzahl der betrachteten Perioden, das heißt Anzahl der betrachtetenRenditen

Rpt kennzeichnet die Rendite des Wertpapiers p in der Periode t.

µp ist der Erwartungswert des p-ten Wertpapiers.

Die Standardabweichung σ ist wie ublich als die Wurzel der Varianz definiert.

Die Varianz des Portfolios lasst sich jedoch auch mithilfe der Varianzen ihrer einzelnenWertpapieren und deren Kovarianzen (bzw. Korrelationskoeffizienten) berechnen. ImFalle eines Portfolios, das aus 2 Wertpapieren besteht, wird die Varianz mit

σ2p = x2

1 σ21 + 2x1 x2 σ1 σ2 ρ1,2 + x2

2 σ22

berechnet.

σ2p ... Varianz des Portfolios

x1,2 ... Anteil der Wertpapiere 1,2

σ1,2 ... Standardabweichungen der Wertpapiere 1,2

ρ1,2 ... Korrelationskoeffizient der 2 Wertpapiere

Im Falle eines Portfolios bestehend aus N verschiedenen Wertpapieren kommen wir zurFormel

σ2p =

N∑n=1

x2n σ

2n +

N∑n=1

N∑k=1

xn xk σn σk ρn,k ∀n 6= k

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Wir berechnen nun auch die jeweiligen Korrelationskoeffizienten der Holding Period Re-turns unserer 3 vorhin gewahlten Unternehmen und geben gleich die Korrelationsmatrixan:

Erste Raiffeisen Mc DonaldsErste 1 0.9227 -0,5206

Raiffeisen 0.9227 1 -0,5290Mc Donalds -0,5206 -0,5290 1

Der Korrelationskoeffizient ρ gibt im Allgemeinen die lineare Abhangigkeit zweier Merk-male an und es gilt −1 ≤ ρ ≤ 1. Je hoher der Absolutbetrag, desto hoher ist der Zu-sammenhang. In unserem Fall verandert sich der Kurs des Wertpapiers x1 bei hohemAbsolutbetrag von ρ1,2 genaudann wenn sich der Kurs des Wertpapiers x2 verandert. Istρ1,2 positiv, verandern sich die Kurse in die gleiche Richtung, bei einem negativen Korre-lationskoeffizienten verhalten sich die Kurseveranderungen kontrar. Je naher ρ1,2 bei Nullliegt, desto linear unabhangiger sind die beiden Wertpapiere voneinander. In unseremBeispiel sind die ’Erste Bank’ und ’Raiffeisen Bank’ stark korreliert was aufgrund ahnli-cher Tatigkeitsbereiche, Wirtschaftspartner und Standorte klar ist. Der Fastfood-Riese’Mc Donalds’ ist weniger stark und sogar negativ mit den beiden Bankgesellschaftenkorreliert.

1.4 Risikominimierung

Wir stellen uns nun die Frage, wie wir ein Portfolio aus bereits 2 ausgewahlten Wertpa-pieren moglichst risikoarm zusammenstellen (Man kann ahnliches naturlich auch fur einPortfolio machen, das aus mehr als 2 Wertpapieren besteht). Wir wissen also bereits,dass wir die Wertpapiere A1 und A2 in unser Portfolio aufnehmen, die Frage ist nurnochwieviel Anteil x1 bzw. x2 diese im Portfolio ausmachen sollen.Klarerweise muss gelten: x1+x2 = 1. Um Risiko zu minimieren, suchen wir die Anteilszu-sammenstellung, so dass eine Anderung des Risikos mit der Anderung des Prozentsatzesin einem Wertpapier gegen 0 geht. Das heißt, dass die erste Ableitung 0 zu setzen istbezuglich der Anderung des Portfolioanteils des Wertpapiers. Wir leiten nun die Formelher:Sei x2 = 1− x1

σ2p = x2

1 σ21 + (1− x1)2 σ2

2 + 2x1 (1− x1) ρ1,2 σ1 σ2

= x21 σ

21 + (1− x1) (1− x1)σ2

2 + 2x1 ρ1,2 σ1 σ2 − 2x21 ρ1,2 σ1 σ2

σ2p = x2

1 σ21 + (1− 2x1 + x2

1)σ22 + 2x1 ρ1,2 σ1 σ2 − 2x2

1 ρ1,2 σ1 σ2

∂σ2p

∂x1= 2x1 σ

21 − 2σ2

2 + 2x1 σ22 + 2 ρ1,2 σ1 σ2 − 4x1 ρ1,2 σ1 σ2 = 0

2x1 σ21 + 2x1 σ

22 − 4x1 ρ1,2 σ1 σ2 = 2σ2

2 − 2ρ1,2 σ1σ2

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(σ21 + σ2

2 − 2 ρ1,2 σ1 σ2)x1 = σ22 − ρ1,2 σ1 σ2

x1 =σ2 (σ2 − ρ1,2 σ1)

σ21 + σ2

2 − 2 ρ1,2 σ1 σ2

Diese Gleichung gibt also den Anteil von Wertpapier 1 am Portfolio an mit dem dasRisiko minimiert werden, das Portfolio also optimal sein soll.Wir wollen dies nun anhand eines Beispiels testen. Betrachten wir dazu zuerst ein Port-folio, das aus 2 gleichgewichteten Wertpapieren bestehen soll, wir lassen unsere geradegewonnene Formel also zuerst außer Acht. Es gilt daher zunachst: x1 = x2 = 0.5. Neh-men wir x1 als Anteil von ’Erste Bank Group AG’ und x2 als Gewicht von ’RaiffeisenBank International AG’. Als Erwartungswerte IE(R1,2) der beiden Portfolios verwendenwir die oben berechneten Mittel der Holding Period Returns.

IE(Rp) = x1 IE(R1) + x2 IE(R2)

= 0.5(0.1093) + 0.5(0.093) = 0.10115

Um die Varianz des Portfolios zu berechnen verwenden wir die vorhin erwahnte Formel

σ2p = x2

1 σ21 + 2x1 x2 σ1 σ2 ρ1,2 + x2

2 σ22.

σ2p = 0.52 0.4665 + 2 · 0.5 · 0.5 · 0.6830 · 0.777 · 0.9227 + 0.52 0.6037

= 0.5124

σp =√

0.5124 = 0.7158

Der erwartete Gewinn des gleichgewichteten Portfolios mit den Wertpapieren der ’Erste’und ’Raiffeisen’ betragt damit 10.15% mit einer Standardabweichung von 71.58%.

Wenden wir nun die Methode des optimal gewichteten Portfolios an:

x1 = xErste =σ2 (σ2 − ρ1,2 σ1)

σ21 + σ2

2 − 2 ρ1,2 σ1 σ2

=0.7770 (0.7770− 0.9227 · 0.6830)

0.4665 + 0.6037− 2 · 0.9227 · 0.6830 · 0.7770

= xErste = 1.2551

⇒ xRaiffeisen = −0.2551.

Wir bekommen nun einen Wert von uber 100% fur den Anteil fur die ’Erste’ und einenMinus-Anteil fur ’Raiffeisen’. Wir sollten laut diesem Ergebnis (wenn wir nur long han-deln, dazu spater mehr) unser gesamtes Portfolio nur mit Aktien der Erste Bank Groupfullen. Der Grund dafur liegt im Verhaltnis der zwei Standardabweichungen zum Korre-lationskoeffizienten. Die zwei Kurswerte sind so stark korreliert, dass es von vornhereinbesser ist, nur in das Asset mit der geringeren Standardabweichung zu investieren - unserZiel war schließlich die Risikominimierung. Berechnet man xRaiffeisen mit der Formel fur

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die optimale Gewichtung wird der Teil ’(σ1− ρ1,2 σ2)’ im Nenner negativ, da σ1σ2< ρ1,2..

Wir wollen unser Portfolio nun aus Anteilen der Ersten Bank und Mc Donalds formenund beginnen wieder mit einem gleichgewichteten Portfolio, x1 := xErste = 0.5 undx2 := xMcD = 0.5.IE(Rp) = x1 IE(R1) + x2 IE(R2)

= 0.5(0.1093) + 0.5(0.1621) = 0.1357

σ2p = 0.52 0.4665 + 2 · 0.5 · 0.5 · 0.6830 · 0.2157 · (−0.5206) + 0.52 0.0465

= 0.0899

σp =√

0.0899 = 0.2998

Der erwartete Gewinn betragt also im gleichgewichteten Portfolio 13.57% und die Stan-dardabweichung 29.98%.

Ermitteln wir nun wieder das optimale Gewicht fur den Anteil der Erste Bank am Port-folio:

x1 = xErste =σ2 (σ2 − ρ1,2 σ1)

σ21 + σ2

2 − 2 ρ1,2 σ1 σ2

=0.2157 (0.2157− (−0.5206) · 0.6830)

0.4665 + 0.0465− 2 · (−0.5026) · 0.6830 · 0.2157

xErste = 0.1864

xMcDonalds = 0.8136.

Berechnen wir diesmal den erwarteten Gewinn bzw. die Standardabweichung des Port-folios mit den gefundenen Gewichten. xErste = 0.1864 und xMcDonalds = 0.8136:

IE(Rp) = x1 IE(R1) + x2 IE(R2)

= 0.1864(0.1093) + 0.8136(0.1621) = 0.1523

σ2p = 0.18642 0.4665 + 2 · 0.1864 · 0.8136 · 0.6830 · 0.2157 · (−0.5206) + 0.81362 0.0465

= 0.0237

σp =√

0.0899 = 0.1540

Die Standardabweichung betragt im optimalen Portfolio nun 15,4% und ist damit etwahalb so groß wie im gleichgewichteten Portfolio. Der erwartete Gewinn (15,23%) wurdeetwas großer, dies liegt an dem besseren HPR-Mittel von McDonalds gegenuber der Ers-ten Bank, wir haben immerhin den Anteil von McDonalds von 50% auf 81,36% erhoht.Der erwartete Gewinn muss jedoch nicht zwangslaufig großer werden, unser Ziel war dieMinimierung des Risikos.

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2 Aktien-Kennzahlen

Es folgen nun 4 wichtige Themengebiete, mit denen sich Markowitz zwischen 1990 und2007 beschaftigte. Zuallererst sind dies fundamentale Variablen, mit denen man Aktienbzw. Portfolios bewerten kann und in weiterer Folge deren Performance in der Zukunftzu schatzen versucht.

• Kurs-Gewinn-Verhaltnis (KGV, engl.: price-earnings (PE) ratio):Bereits Benjamin Graham hat in den 1930er Jahren empfohlen, Aktien mit ei-nem niedrigen Kurs-Gewinn-Verhaltnis zu kaufen. Es sollen keine Aktien gekauftwerden, deren KGV das 1,5-fache des KGVs des Marktes im Durchschnitt uber-schreiten. Das KGV spiegelt den Kurs der Aktie verglichen mit dem Gewinn ineinem gewissen Zeitraum wider, es berechnet sich also wie folgt:

KGV :=Kurs einer Aktie

Gewinn je Aktie

Der Gewinn kann sich sowohl auf einen vergangenen Zeitraum beziehen, als auchauf einen zukunftigen. Bei letzterem rechnet man mit dem erwarteten Gewinn inder Zukunftsperiode.

• Kurs-Buchwert-Verhaltnis (KBV, engl.: price-to-book (PB)-ratio):Das Kurs-Buchwert-Verhaltnis ergibt sich durch

KBV :=Kurs einer Aktie

Buchwert je Aktie

Diese Kennzahl soll angeben, wie niedrig oder hoch ein Unternehmen im Vergleichzu seinem bilanziellen Buchwert an der Borse gehandelt wird.Je niedriger das KBV, desto unterbewerteter ist die Aktie.

• Cashflow-Kurs-Verhaltnis (CKV, engl.: cash-price (CP)-ratio):Das Cashflow-Kurs Verhaltnis berechnet man wie folgt:

CKV :=Cashflow je Aktie

Kurs einer Aktie

Hier wird der aus den Unternehmenstatigkeiten erzielte Nettozufluss liquider Mit-tel (ein Indikator fur die Gesundheit eines Unternehmens) in einer Periode mitdem Kurs der Aktie vergleichen. Je großer das Cashflow-Kurs Verhaltnis, destopreiswerter werden Aktien des Unternehmens an der Borse gehandelt..

• Umsatz-Kurs-Verhaltnis (UKV, engl.: sales-price (SP)-ratio):Das Umsatz-Kurs-Verhaltnis,

UKV :=Umsatz je Aktie

Kurs einer Aktie

beschreibt die Beziehung zwischen der Marktkapitalisierung (Preis einer Aktie mul-tipliziert mit der Anzahl der gehandelten Aktien) und dem (Jahres-)Umsatz einesUnternehmens. Aktien mit einem hohen Umsatz-Kurs-Verhaltnis sollen profitabelsein.

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Allgemein ist zu sagen, dass jede dieser Kennzahlen bei der Bewertung einer Aktie Vor-als auch Nachteile hat, auf die hier aber nicht eingegangen wird. Ebenfalls werden in derPraxis ublicherweise auch oft die Kehrwerte der vorgestellten Kennzahlen verwendet. Abjetzt wird auch nicht mehr das Kurs-Gewinn-Verhaltnis, sondern dessen Kehrwert, dasGewinn-Kurs-Verhaltnis (engl.: earnings-price ratio, EPR) verwendet. Der Grund fur dieWahl dieses Verhaltnisses (und nicht der in der Praxis oft ublichere Kehrwert) liegt amwissenschaftlicheren Zugang, da diese in dieser Form mit einem spateren Gewinn positivkorreliert ist. Man hat in dieser Weise weniger mathematische Interpretationsschwierig-keiten, falls eine Kennzahl negativ werden sollte.Beispielsweise ware bei einem Verlust, also einem negativen Gewinn, das KGV negativ.Die Interpretation ’je niedriger das KGV, desto besser’ ist in diesem Fall falsch, sonstware jedes negative KGV besser als jedes positive. Verwendet man den Kehrwert, dasGKV, kann man, unabhangig von einem positiven oder negativen Gewinn, die Auffas-sung ’je großer, desto besser’ vertreten.

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3 Modell zur Schatzung zukunftiger Aktienentwicklung

Mithilfe der vorgestellten Variablen und Datenbanken versuchen wir nun unterbewerteWertpapiere zu erkennen. Die Datenbanken fur das nachfolgende Modell stammen von:

• Compustat:Das jahrliche Compustat Datenblatt enthalt 399 Einzelheiten eines Unternehmensuber u.a. das Einkommen, die Bilanz und den Cashflow von 1950-2007 (gibt esauch aktueller, in diesem Beispiel betrachten wir aber diesen Zeitraum).

• I/B/E/S:Die I/B/E/S Daten enthalten alle Gewinnprognosen die zwischen 1950 und 2007erstellt wurden.

• CRSP:Die CRSP Datenbank umfasst u.a. die monatlichen Aktienpreise, die Anzahl derAktien, die im Umlauf sind, das Handelsvolumen und den Gewinn aller gehandeltenWertpapieren ab 1926.

Unser monatliches Wert-Schatzungsmodell wollen wir fur den Zeitraum Janner 1985 bisDezember 2007 mithilfe der US-Datenbanken erstellen und bilden folgende Schatzungfur unseren Gewinn TR (total return):

TRt+1 = a0 + a1 ·GKt + a2 ·BKt + a3 · CKt + a4 · UKt + a5 ·RGKt + a6 ·RBKt+

+a7 ·RCKt + a8 ·RUKt + a9 · CTEFt + a10 · PMt + et

GK=Gewinn-Kurs-VerhaltnisBK=Buchwert-Kurs-VerhaltnisCK=CashFlow-Kurs-VerhaltnisUK=Umsatz-Kurs-VerhaltnisRGK=Relatives GK [aktuelles GK/Mittelwert der GKs der letzten 5 Jahre]RBK=Relatives BK [aktuelles BK/Mittelwert der BKs der letzten 5 Jahre]RCK=Relatives CK [aktuelles CK/Mittelwert der CKs der letzten 5 Jahre]RUK=Relatives UK [aktuelles UK/Mittelwert der UKs der letzten 5 Jahre]CTEF= eine allgemeine Gewinn-pro-Aktie Zukunftsschatzung anhand I/B/E/S Datenmit großem Umfang und Berichtigungen.PM= Preis Momentum;et als zufallig verteilter Error-Term.

Um unsere Parameter ai nun zu schatzen (diese geben die Gewichte der Variablenan, daher: ai ∈ [0, 1]) versuchen wir eine moglichst gute Berechnungsmethode zu er-stellen. Die allgemein gebrauchliche Methode der kleinsten Quadrate hat ca. doppelt soviele Beobachtungen außerhalb des 95% Konfidenzintervalls als man ursprunglich an-nehmen wurde. Die Ausreißer fuhren uns zur Beaton-Tukey Regressiontechnik, die jede

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Beobachtung als Inverse ihrer Residuen gewichtet und daher robust gegenuber den vie-len Ausreißern ist. Hier kann eine mogliche Korrelation der Variablen eine ineffizienteSchatzung der Variablen auslosen. Kombiniert mit einer Wurzel Regression kommen wirzur verwendeten ’Weighted Latent-Root Regression’ (WLRR) mit welcher die statistischsignifikantesten Variablen berechnet werden konnen. Dies erfolgt mit den monatlichenDaten. Der Durchschnitt der Monatswerte von 1985-2007 werden in nachstehender Ta-belle dargestellt:

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10

0.044 0.038 0.020 0.038 0.089 0.086 0.187 0.122 0.219 0.224

Man erkennt deutlich, dass die ersten 4 Koeffizienten am kleinsten ausfallen, es han-delt sich hier um das GKV, BKV, CKV und UKV. Sie haben gemeinsam einen Anteilvon ca. 14%.Signifikant hoher sind bereits die Werte zu den selben Kennzahlen, jedoch relativ uberdie letzten 5 Jahre gesehen (a5 − a8), sie kommen insgesamt auf einen Beitrag von 48,4%, den großte Teil tragt das relative Cashflow-Kurs-Verhaltnis bei.Die 2 Variablen, die einzeln am meisten Gewicht haben sind das CTEF und PM mit21,9 % bzw. 22,4 %. Es ist somit auch statistisch belegt, dass sich zukunftige Kursande-rungen nicht nur von Daten aus der Vergangenheit ableiten lassen, sondern vom jetzigenMomentum und auch wesentlich von zukunftigen Entwicklungen bzw. Entscheidungenabhangen.Es folgen nun die Graphen mit den monatlich berechneten Gewichten des vorgestelltenModells (1985-2007). Hier kann man beobachten, dass die Gewichte der Variablen nichtkonstant verlaufen und teilweise sehr starken Schwankungen unterworfen sind, was dieAussagekraft der kalkulierten Mittelwerte schwacht.

Gewinn/Kurs-Verhaltnis

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Buchwert/Kurs-Verhaltnis

Cashflow/Kurs-Verhaltnis

Umsatz/Kurs-Verhaltnis

Wie man erkennen kann, liegen die Anteile der absoluten Kennzahlen (a1−4) in manchenJahren bei uber 10%, das Gewinn/Kurs-Verhaltnis erreicht im Jahr 1999 sogar eine sta-tistische Signifikanz von 17%. In anderen Jahren waren fur die Entwicklung der Aktie

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aber andere Faktoren ausschlaggebend, die Kennzahlen sind in diesen Zeitraumen oftaußerhalb des statistischen Signifikanz-Intervalls.

Es folgen nun die Charts zu den relativen Kennzahlen.

Relatives Gewinn/Kurs-Verhaltnis

Relatives Buchwert/Kurs-Verhaltnis

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Relatives Cashflow/Kurs-Verhaltnis

Relatives Umsatz/Kurs-Verhaltnis

Auch bei den relativen Werten gibt es wieder viele Ausreißer nach oben, den hochstenEinzelwert erreicht das Umsatz/Kurs-Verhaltnis im Jahr 2003 mit 34%! Deutlich zusehen sind auch die, im Vergleich zu den einfachen Kennzahlen, viel weniger Stellen, andenen die Werte außerhalb der statistischen Signifikanz liegen.

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Zum Schluss dieses Abschnitts folgt nun noch der Graph, der alle Komponenten bein-haltet um die unterschiedliche Entwicklung der Signifikanz der verschiedenen Parameterndeutlich sehen zu konnen.

Selbiges Modell konnen wir naturlich auf weltweiter Basis kreieren. Wir verwenden dazudie WorldScope Datenbank und die internationale I/B/E/S Datenbank. Die geschatztenParameter fur die weltweite Betrachtung ergeben sich wie folgt:

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10

0.083 0.106 0.060 0.075 0.048 0.056 0.039 0.105 0.145 0.181

Bei globaler Betrachtung fallt auf, dass die ’einfachen’ GKV, BKV, CKV und UKVim Vergleich zu den US-Parametern mehr Gewicht haben. Das GKV, BKV und CKVsind hier sogar starker gewichtet als deren relative Werte uber 5 Jahre gesehen. Nurdas relative Umsatz-Kurs-Verhaltnis ist auch hier wie im US Ergebnis starker als dasnormale Verhaltnis gewichtet. Das CTEF und das Preis Momentum sind wieder die ameinflussreichsten Variablen (14.5 % bzw. 18.1 %), aber auch diese Werte liegen unter denVergleichszahlen vom US Modell.

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4 Data Mining Korrektur

Oft werden in der Praxis Renditen-Uberschussen, die aus Daten der Vergangenheit be-rechnet wurden (’Backtest’) halbiert um den Renditen-Uberschuss fur die Zukunft zuprogonstizieren. Als Renditen-Uberschusse definieren wir die Differenz des geometrischenMittels des Portfolios und des geometrischen Mittels des Leitindex. Liegt der Renditen-Uberschuss vom Backtest bei 6%, gehen Manager oft von einem moglichen zukunftigenUberschuss von 3% aus.Markowitz entwickelte gemeinsam mit einem Fachunternehmen ein Portfolio-Optimierungs-System fur den japanischen Markt und ubertrafen damit den japanischen Leitindex umca. 7%. Man stellte sich nun die Frage, ob dies Zufall war. Da man ein bereits in den USAgetestes und dort erfolgreiches System fur den japanischen Markt adaptierte, konnte manannehmen, dass dies kein Zufall sei, trotzdem fehlte die wissenschaftliche Begrundung.Daraufhin wurde der sogenannte ’Data Mining Korrekturschatzer’ entwickelt, der furverschiedene Arten von Portfolio (’Long-Only’,’130/30’, siehe Sektion 5) genau der Fra-ge nachgehen soll, wieviel Gewinn man in der Zukunft erwarten kann und mit welcherstatistischer Sicherheit.Wir definieren GMb als den besten geometrischen Mittelwert der besten historischenSimulationswerte in T Perioden eines Backtestes und sei

gb = ln(1 +GMb)

Der Data Mining Korrektur (DMK) - Test geht von sowohl unabhangigen als auch iden-tisch verteilten (’i.i.d.’) Gewinnen der vergangenen T Perioden aus. Auch die Gewinnein der Zukunft sollen genau so verteilt sein. Da wir mehrere Modelle und nicht nur dasbeste Modell testen wollen, ist das geometrische Mittel nicht langer der beste unverzerrteSchatzer der zugrundeliegenden Daten.Wir setzen nun yit als den Logarithmus von (1 + Gewinn fur das i-te Portfolio-Selektionsmodellin Periode t). yit hat die Form

yt = µi + zt + εit

mitµi ... Modell-Effekt,zt ... Perioden-Effekt,εit ... zufallige Abweichung.

In Modell 1 nehmen wir an, dass zt messbar und die Rendite des Markt-Leitindex ist.In diesem Fall definieren wir rit als Gewinnuberschuss des Modell 1 mit

rit = yit − zit = µi + εit

Die zufallige Abweichung εit soll einen Mittelwert von 0 haben und unkorreliert mit µiund anderen εjs sein, es soll also gelten:

IE(εit) = 0,

cov(µi, εjt) = 0 ∀j und t,

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cov(εit, εjs) = 0 ∀i 6= j oder s 6= t.

In Modell 2 wird angenommen, dass zt nicht messbar ist, auf diese Variante wird nichtweiter eingegangen.In Modell 3 nehmen wir folgende Beziehung an:

yit = µi + εit

Hier muss die Kovarianz der (εit, εjt) nicht Null sein, Modell 1 ist daher ein Spezialfallvon Modell 3.Der passende Schatzer von µit in Modell 1 ist nicht das Mittel der Renditen

ri =

∑Tt−1 yit

T,

sondern besser

r =T∑i=1

ri/n.

Wir setzen nunµ = r + β(ri − r)

mit 0 < β < 1 und kommen zum besten linearen Schatzer fur µi,

µi = IE(y) + β(ri − IE(µ))

und

β =cov(ri, µ)

V ar(ri)

β ist daher der Regressionkoeffizient von µi von der Funktion ri.

Markowitz und sein Partner Xu testeten das vorgestellte Konzept und konnten bei Mo-dell 3 ein β von 0.59 beobachten, was statistisch signifikant ist. Man kann mit diesemModell also ungefahr 59% des Renditen-Uberschusses eines Backtestes fur die Zukunftprognostizieren.

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5 130/30 - Portfolio

Wir kommen nun zu einer relativ neuen Vorgehensweise der Portfolio-Zusammenstellung:Der 130/30 Strategie.Traditionellerweise kauft man als Aktienhandler Wertpapiere und versucht durch einenKursanstieg dieser Wertpapiere einen Gewinn einzufahren. Solche Aktienhandler be-zeichnet man als ’Long-only’-Trader. Handler, die sich Wertpapiere von einem Brokerausleihen, diese sofort verkaufen und spater wieder zuruckkaufen nennt man Short-Verkaufer. Der Short-Verkaufer profitiert von fallenden Kursen. 130/30 bedeutet, dassman 130% seines Wertpapierkonto-Kapitals in Long-Positionen investiert, also Aktienkauft. Mit 30% des Kapitals soll man short verkaufen, damit wird der zusatzliche Long-Kauf finanziert. Das Portfolio hat eine Netto-Auslastung von 100% und wird 130/30Portfolio genannt. Diese Vorgehensweise wird mit folgender Grafik nochmals verdeut-licht, hier werden einem Manager 100 Millionen $ zur Verfugung gestellt, Anleihen imWert von 30 Mio $ borgt er sich von einem Broker, verkauft diese sofort und kauft mitden insgesamt 130 Mio $ long-seitig Wertpapiere.

Prinzipiell ist jede Art Portfolio der Form 1x0/x0 moglich, der short-Verkauf muss nurfur den zusatzlichen Long-Kauf aufkommen, die 130/30-Variante ist jedoch die gebrauch-lichste.Die 130/30 Strategie kann einem fachkundigen und guten Manager helfen, seinen er-warteten Gewinn des Portfolios zu erhohen. Nehmen wir beispielsweise an, ein Managerkann eine Portfoliorendite von 4% erwarten, er handelt dabei nur long. Da wir mit der130/30 Methode 130% mehr Kapazitat auf der Long-Seite haben, also 1.3x so viele Wert-papiere kaufen konnen, nehmen wir an, dass sich der Gewinn um das 1.3 – fache erhoht,also 4 · 1.3 = 5, 2(%). Setzen wir eine ebenso gute Qualifikation des Managers auf derShort-Seite voraus, konnen wir einen zusatzlichen Gewinn von 1, 2%(4 · 0.3) annehmen.Der erwartete Gewinn des Portfolios steigt also auf insgesamt 6,4%. In diesem Beispielgehen wir jedoch davon aus, dass der Gewinn linear wachst, je nachdem wie viel Kapitaleingesetzt wird und damit Stocks gekauft worden sind. Dies muss in der Praxis jedochnicht immer stimmen, es kann sein, dass man aufgrund verschiedener Umstande nicht

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mehr von einem gewissen Asset kaufen kann, man also bereits das Maximum an Kontin-gent erworben hat, das am freien Markt moglich ist. Man kann daher seine Stockgroßenicht auf das 1,3-fache ausweiten, der Gewinn kann somit auch nicht auf das 1,3-fachesteigen. Die Alternative ist, dass man mit dem zusatzlichen Kapital ein anderes Wert-papiere kauft. Mit diesen hat man moglicherweise weniger erwarteten Gewinn (sonstware es vermutlich Wahl Nr. 1 beim Kaufe eines Assets gewesen), man hat dafur dieMoglichkeit das Risiko bzw. die Standardabweichung des Portfolios durch Diversifikationzu vermindern, ahnlich wie in unserem Beispiel in Sektion 1.4. Dieser Effekt wird großer,je extremer man ein Portfolio der Form 1x0/x0 wahlt, das heißt je großer der Managerdas x wahlt.Betrachten wir nun das 130/30 Portfolio speziell auf der Short-Seite. Angenommen einManager hat eine negative Meinung uber ein gewisses Wertpapier, er erwartet also inZukunft einen Kursverlust dieser Aktie. Handelt er nur long-seitig, kann er seinen Ge-winn nur in dem Sinn vergroßern, dass er keine dieser Aktien kauft. Er kann im Vergleichzu einem Leitindex also nur um so viel besser sein, wie der Anteil dieses Wertpapiersam Leitindex ist. Mit den 30% Short-Verkaufen, kann er hier hingegen seinen erwartetenErtrag vermehren indem er die Aktie wie vorhin erklart ausborgt, verkauft und spater zueinem niedrigeren Preis wieder zuruckkauft. Im Vergleich mit einem Leitindex macht erhier nicht nur den nicht erworbenen Anteil des Wertpapiers gut, sondern macht zusatz-liches Plus auf die Spekulation eines Kursfalles.

Es sollte hier ersichtlich sein, dass die Voraussetzung eines wirklich guten und qualifizier-ten Managers unausweichlich ist. Die vorgestellten Vorteile konnen auch in das Gegenteilschwanken, es ist genauso moglich mit den zusatzlichen Moglichkeiten an der Long bzw.Short-Position mehr Verluste zu machen.

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6 Literaturverzeichnis

John B. Guerard - Handbook of Portfolio Construction, 2009

Detlef Mertens: Portfolio-Optimierung nach Markowitz, 2. Auflage, 2006

Prof. Viertl -Angewandte Statistik Vorlesungsskriptum SS 2012

Daten von Kurswerten und Dividenden stammen von den Geschaftsberichten der Un-ternehmen bzw. von finanzen.net und finance.yahoo.com

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