Präskriptive Entscheidungstheorie

5 Entscheidungen bei Ungewissheit und Risiko

Gliederung

5 Entscheidungen bei Unsicherheit

5.1 Entscheidungen bei Ungewissheit5.1.1 Maximin-Regel5.1.2 Maximax-Regel5.1.3 Hurwicz-Regel5.1.4 Savage-Niehans-Regel5.1.5 Laplace-Kriterium

5.2 Entscheidungen bei Risiko5.2.1 Bayes-Regel5.2.2 (μσ)-Prinzip5.2.3 Bernoulli-Prinzip

Das Grundmodell

Im Folgenden gehen wir von einem Ziel aus, betrachten aber mehrere mögliche Umfeldzustände.

Für den Eintritt der Umfeldzustände sind keine Wahrscheinlichkeiten bekannt → Ungewissheit.

Umfeld-

zustände u1 u2 u 3

Alternativen

a 1 e11 e12 e13

a 2 e21 e22 e23

Ziele Z

Beispiel

Für eine Entscheidung bei Ungewissheit sei obige Ergebnismatrix gegeben.

Wie würden sie entscheiden?

u1 u2 u3 u4

a1 60 30 50 60

a2 10 10 10 140

a3 -30 100 120 130

5.1.1 Maximin-Regel (Minimax-Regel) Man wählt die Alternative, die im ungünstigsten Fall noch das beste

Ergebnis bringt, hier also Alternative 1 mit dem Minimum von 30. Maximin!

Wenn die Zahlen in der Matrix für einen Schaden stehen, dann minimiert man den maximalen Schaden. Auch dabei wäre Alternative 1 am besten, da der maximale Schaden dann nur 60 beträgt. Minimax!

u1 u2 u3 u4 Minimum

a1 60 30 50 60 30

a2 10 10 10 140 10

a3 -30 100 120 130 -30

Kritik an der Maximin-Regel

Der Entscheidungsträger ist extrem risikoscheu bzw. pessimistisch, da er immer vom schlechtesten möglichen Zustand ausgeht.

Es geht nur ein Ergebnis in die Bewertung ein. Das wird um so unsinniger, je weiter die Ergebnisse streuen. Im Beispiel unten wäre Alternative 2 nach der Maximin-Regel vorzuziehen.

u1 u2 u3 u4 Minimum

a1 1.000.000 1.000.000 0,99 1.000.000 0,99

a2 1 1 1 1 1

5.1.2 Maximax-Regel

Man wählt die Alternative, die im günstigsten Fall das höchste Ergebnis bringt. Hier also Alternative 2. Maximax!

u1 u2 u3 u4 Maximum

a1 60 30 50 60 60

a2 10 10 10 140 140

a3 -30 100 120 130 130

Kritik an der Maximax-Regel

Der Entscheider ist extrem risikofreudig bzw. optimistisch, da er nur vom bestmöglichen Zustand ausgeht. Die meisten Menschen sind eher risikoscheu.

Sich nur an einem Ergebnis zu orientieren, kann besonders dann zu falschen Entscheidungen führen, wenn die Ergebnisse stark streuen. Nach der Maximax-Regel wäre im Beispiel unten Alternative 1 vorzuziehen.

u1 u2 u3 u4 Maximum

a1 1 1 150 1 150

a2 100 120 130 130 130

5.1.3 Hurwicz-Regel

Die Maximin und die Maximax-Regel werden kombiniert.

Ein Optimismusparameter λ, der zwischen 0 und 1 liegt, gewichtet das minimale und das maximale Ergebnis.

Für jede Alternative ai errechnet sich der Präferenzwert durch Ф(ai) = λ x maxj (eij) + (1- λ) x minj (eij)

Beispiel für die Hurwicz-Regel

Der Parameter λ spiegelt den Optimismus wider. Ist λ =1, dann ist der Entscheider sehr optimistisch und lässt nur das beste Ergebnis einfließen (=Maximax). Ist λ = 0, dann ist er pessimistisch und richtet sich nur am Minimum aus (=Maximin).

Mit Werten für λ zwischen 0 und 1 kann man beide Werte einfließen lassen. Je näher λ bei 1 liegt, desto optimistischer ist der Entscheider. Hier: λ = 0,4.

u1 u2 u3 u4 Max Min Ф (ai) für λ = 0,4

a1 60 30 50 60 60 30 0,4 x 60 + 0,6 x 30 = 42

a2 10 10 10 140 140 10 0,4 x 140 + 0,6 x 10 = 62

a3 -30 100 120 130 130 -30 0,4 x 130 + 0,6 x (-30) = 34

Kritik an der Hurwicz-Regel

Es werden immerhin zwei Ergebniswerte berücksichtigt. Da es sich aber um die Extremwerte handelt, kann auch diese Regel zu falschen Entscheidungen führen.

Berechnet man den Präferenzwert nach der Hurwicz-Regel, dann sind Alternative 1 und 2 gleichwertig, obwohl Alternative a2 eindeutig besser ist.

u1 u2 u3 u4 Max Min Ф (ai) für λ = 0,4

a1 1 0 0 0 1 0 0,4 x 1 + 0,6 x 0 = 0,4

a2 0 1 1 1 1 0 0,4 x 1 + 0,6 x 0 = 0,4

5.1.4 Savage-Niehans-Regel

u1 u2 u3 u4

a1 60 30 50 60

a2 10 10 10 140

a3 -30 100 120 130

u1 u2 u3 u4

a1 60 -60 = 0 70 70 80

a2 60-10 = 50 90 110 0

a3 60-(-30) = 90 0 0 10

Zunächst wird eine Matrix des Bedauerns aufgestellt. Dazu bestimmt man für jeden möglichen Umfeldzustand die Alternative, die das maximale Ergebnis bringen würde (rot geschrieben).

Daraus ergibt sich die Bedauernsmatrix (rechts), indem von dem Spaltenmaximum das jeweilige Ergebnis abgezogen wird.

Savage-Niehans-Regel

Die Bedauernsmatix wird auch als Opportunitätskostenmatrix oder Nutzenentgangsmatrix bezeichnet. Sie gibt an, was ich dadurch „verliere“, dass ich beim Eintritt eines Umfeldzustandes uj nicht die Alternative gewählt habe, die dann am besten gewesen wäre.

Man wählt die Alternative, bei der das maximale Bedauern minimal ist, also hier Alternative 1.

u1 u2 u3 u4 Maximum

a1 0 70 70 80 80

a2 50 90 110 0 110

a3 90 0 0 10 90

Kritik an der Savage-Niehans-Regel Es gehen wieder nicht alle Werte in die

Entscheidung ein, sondern nur Extremwerte. Der Entscheider ist sehr pessimistisch, weil er

vom schlechtesten möglichen Fall ausgeht. Die Rangfolge zwischen zwei Alternativen a1

und a2 kann sich dadurch verändern, dass eine dritte Alternative hinzukommt.

5.1.5 Laplace-Kriterium

Es wird einfach der Durchschnitt der Ergebnisse für alle Umfeldzustände gebildet.

Es wird unterstellt, dass alle Umfeldzustände gleich wahrscheinlich sind.

Das entspricht der Berechnung des Erwartungswertes in Risikosituationen.

u1 u2 u3 u4 Фai

a1 60 30 50 60 (60 + 30 + 50 + 60):4 = 50

a2 10 10 10 140 (10 + 10+ 10 + 140):4 = 42,5

a3 -30 100 120 130 (-30 + 100 + 120 + 130):4 = 80

Kritik am Laplace-Kriterium

Positiv ist, dass alle Werte in die Entscheidung einfließen.

Passt nur für einen risikoneutralen Entscheider. Man kann sich fragen, ob tatsächliche alle

Umfeldzustände gleich wahrscheinlich sind. Wenn nicht, sollte man den Umfeldzuständen Wahrscheinlichkeiten zuordnen, also zu einer Entscheidung bei Risiko übergehen.

Rationalität der Entscheidung

Die Entscheidung fällt je nach Regel unterschiedlich aus. Sind die Regeln deshalb Unsinn?

Entscheidungsregel Optimale Alternative

Maximin a1

Maximax a2

Hurwicz (mit λ = 0,4) a2

Savage-Niehans a1

Laplace a3

Rationalität der Entscheidung

Die unterschiedlichen Ergebnisse drücken die unterschiedliche Einstellung des Entscheiders zum Risiko aus. Für einen Pessimisten ist es subjektiv rational, vom schlechtesten Ergebnis auszugehen.

Die Entscheidungsregeln genügen aber tatsächlich nicht allen Rationalitätsanforderungen:

- Bei der Maximin, der Maximax und der Hurwicz-Regel kann eine Alternative als optimal gelten, die von einer anderen dominiert wird.

- Bei der Savage-Niehans-Regel kann sich die Präferenz zwischen zwei Alternativen dadurch ändern, dass eine dritte Alternative dazukommt.

5.2 Entscheidung bei Risiko

Es werden nun Eintrittswahrscheinlichkeiten für die Umfeldzustände angegeben.

Diese können objektiv oder subjektiv sein.

Umfeldzustände u1 u2 u 3

Alternativen W w1 w2 w3

a 1 e11 e12 e13

a 2 e21 e22 e23

Ziele Z

Beispiel

Wie würden Sie entscheiden?

U1

W1 = 0,3

U2

W2 = 0,5

U3

W3 = 0,2

a1 90 110 150

a2 95 105 120

5.2.1 Bayes-Regel (μ-Prinzip) Man gewichtet das beim Umweltzustand j eintretende

Ergebnis eij mit der Eintrittswahrscheinlichkeit wj. Die so gewonnenen Produkte werden addiert und der

Erwartungswert μ ermittelt. μ = E(ai) = ∑ eij wj Wähle die Alternative mit dem höchsten Erwartungswert!

U1

W1 = 0,3

U2

W2 = 0,5

U3

W3 = 0,2

μ

a1 90 110 150 0,3 * 90 + 0,5 * 110 + 0,2 * 150 = 112

a2 95 105 120 0,3 * 95 + 0,5 * 105 + 0,2 * 120 = 105

Kritik an der Bayes-Regel

Die Bayes-Regel hat den Vorteil der Einfachheit. Sie liefert gute Ergebnisse bei Entscheidungen,

die häufig anfallen, da sich nach dem Gesetz der großen Zahl dann die Ergebnisse dem Erwartungswert annähern.

Sie passt allerdings nur für risikoneutrale Entscheider, da die Streuung der Ergebnisse nicht berücksichtigt wird.

5.2.2 (μσ)-Prinzip

Bei dieser Entscheidungsregel wird zusätzlich zum Erwartungswert μ die Streuung berücksichtigt.

Die Streuung erfasst man über die Standardabweichung nach der Formel σ = √ ∑wj (eij – μi)2

U1

W1 = 0,3

U2

W2 = 0,5

U3

W3 = 0,2

μ σ

a1 90 110 150 112 20,88

a2 95 105 120 105 8,66

(μσ)-Prinzip

Der Entscheider drückt seine Risikopräferenz über den Einbezug von σ in seine Präferenzfunktion aus.

Bewertet er die Streuung negativ, dann ist er risikoscheu, bewertet er sie positiv, dann ist er risikofreudig.

U1

W1=0,3

U2

W2=0,5

U3

W3=0,2

μ σ Ф = μ - 2σ(risikoscheu)

Ф = μ + 2σ(risikofreudig)

a1 90 110 150 112 20,88 70,24 153,76

a2 95 105 120 105 8,66 87,68 122,32

Kritik am μσ-Prinzip

An dieser Entscheidungsregel wird kritisiert, dass Alternativen auch bei gleichem Erwartungswert und gleicher Streuung sehr unterschiedlich aussehen können.

Es kann passieren, dass eine dominante Alternative den niedrigeren Präferenzwert bekommt.

5.2.3 Bernoulli-Prinzip

Benannt nach Daniel Bernoulli, der 1738 einen Aufsatz veröffentlichte, auf dem die Entscheidungsregel beruht.

Wird auch als Erwartungsnutzentheorie bezeichnet.

Die Ergebnismatrix wird zunächst in eine Nutzenmatrix überführt. Jedem Ergebnis eij wird ein Nutzen n(eij) zugeordnet, der sich nach der Höhen- und Risikopräferenz des Entscheiders richtet.

Bernoulli-Prinzip

Aus den Nutzwerten wird durch Gewichtung mit den Wahrscheinlichkeiten der Erwartungswert bestimmt. Daher auch Erwartungsnutzentheorie.

Entscheidungsprinzip: Wähle die Alternative mit dem höchsten Erwartungsnutzen! Ф(ai) = ∑ nij wj max!

Bedeutung von Risikopräferenzen

a1 = a2, der Entscheider ist risikoneutral.

a1 > a2, der Entscheider ist risikoscheu.

a1 < a2, der Entscheider ist risikofreudig.

U1

W1 = 0,5

U2

W2 = 0,5

a1 200 200a2 100 300

Risikonutzenfunktion

Die unterschiedliche subjektive Einstellung zum Risiko bringt der Entscheider bei der Erwartungsnutzentheorie über die Risikonutzenfunktion (RNF) zum Ausdruck, mit deren Hilfe er die Ergebnisse in Nutzwerte umrechnet.

Die Ermittlung der RNF ist schwierig und erfolgt über die sog. Bernoulli-Befragung.

Es gibt verschiedene Methoden der Befragung, die auf gemeinsamen Grundüberlegungen basieren.

Bernoulli-Befragung

Der Entscheider muss sagen, wann er indifferent ist zwischen einem sicheren Betrag (a1) und den Chancen aus einer Lotterie (a2), bei der er mit Wahrschein-lichkeit w mehr bekommt als den sicheren Betrag und mit Wahr-scheinlichkeit 1-w weniger.

Die riskante Alternative 2 nennt man Basis-Referenz-Lotterie.

Der sichere Betrag, der den gleichen Nutzen hat wie die Lotterie, wird Sicherheitsäquivalent genannt.

1

2

Sicherer Betrag

Maximaler Betrag mit Wahrscheinlichkeit w

Minimaler Betrag mitWahrscheinlichkeit 1-w

Bernoulli-Befragung

Im Falle der Indifferenz zwischen a1 und a2 gilt:Erwartungsnutzen der Basis-Referenz-Lotterie = Nutzen des Sicherheitsäquivalents.

EN (BRL) = w * n (emax) + (1-w) * n (emin) = n (SÄ)

Setze ich den Nutzen für das minimale Ergebnis mit 0 fest und für das maximale Ergebnis mit 1 dann gilt:

EN (BRL) = w = n (SÄ)

Bernoulli-Befragung

In der Formel EN(BRL) = w = n(SÄ) stecken 4 Größen: Die Wahrscheinlichkeit w, die beiden Ergebnisse emin und emax und das Sicherheitsäquivalent.

Methoden zur Ermittlung der Nutzenfunktion unterscheiden sich danach, welche dieser Größen gegeben sind und nach welcher gefragt wird.

Bernoulli-Befragung

Die Lotterie ist gegeben und es wird nach dem Sicherheitsäquivalent gefragt:Welchen sicheren Betrag würden sie einer Lotterie gleich stellen, bei der sie mit der Wahrscheinlichkeit 0,4 1000 € bekommen und mit der Wahrscheinlichkeit 0,6 nichts?

Certainty equivalent methods: Mittelwert-Kettungs-Methode, Fraktilmethode.

Bernoulli-Befragung

Man gibt das Sicherheitsäquivalent vor und fragt nach der Wahrscheinlichkeit, bei welcher die Lotterie als gleichwertig empfunden wird:Wie hoch muss die Wahrscheinlichkeit für einen Betrag von 1000 € sein, damit die Lotterie ihnen 400 € wert ist?

Probability-equivalent-methods: Methode variabler Wahrscheinlichkeiten, Lotterie-Vergleich-Methode.

Methode variabler Wahrscheinlichkeiten Man bestimmt zwei Ergebniswerte, einen maximalen und

einen minimalen und ordnet ihnen Nutzen zu.emax = 1000 n(1000) = 1emin = 0 n(0) = 0

Der Entscheider soll wählen zwischen einem sicheren Ergebnis von 400 (SÄ) und einer Lotterie, in welcher er mit Wahrscheinlichkeit w 1000 € und mit Wahrschein-lichkeit 1-w 0 € bekommt.W sei zunächst 0,5.

Methode variabler Wahrscheinlichkeiten Der Entscheider wähle im ersten

Durchgang a1, d.h. 400 € sicher sind ihm lieber als die fifty-fifty-Chance auf 1000 €.

Die Wahrscheinlichkeit wird variiert. Als Alternative 2 wird eine Lotterie angeboten, bei der die Wahrscheinlichkeit 1000 € zu gewinnen auf 0,6 gestiegen ist.

Methode variabler Wahrscheinlichkeiten Der Entscheider wähle nun a2. Da man die Wahrscheinlichkeit sucht, bei

welcher der Entscheider indifferent wird zwischen a1 und a2, wählt man im dritten Durchgang eine Wahrscheinlichkeit zwischen 0,5 und 0,6, bspw. 0,55.

Die Wahrscheinlichkeit wird solange variiert, bis dem Entscheider die Lotterie genauso viel wert ist, wie die 400 € Sicherheitsäquivalent.

Methode variabler Wahrscheinlichkeiten Der Entscheider werde indifferent bei w = 0,58. Nach der

Gleichung EN(BRL) = w = n(SÄ)entspricht w dem Nutzen des Sicherheitsäquivalents.

Damit hat man einen ersten Wert für die Nutzenfunktion n(400) = 0,58.

Auf diese Weise kann man für mehrere Sicherheitsäquivalente den Nutzen ermitteln und die zugehörige Nutzenfunktion zeichnen.

Erkennen der Risikopräferenz

Die Risikopräferenz des Entscheiders ergibt sich aus einem Vergleich seines Sicherheitsäquivalents mit dem Erwartungswert der Lotterie.

In der ersten Runde waren dem Entscheider sichere 400 € lieber als eine 50%ige Chance auf 1000 €. Sein Sicherheitsäquivalent liegt unter dem Erwartungswert von 500 €. Damit ist er risikoscheu.

Die Differenz zwischen dem Erwartungswert und dem SÄ (E – SÄ) nennt man Risikoprämie. Der Entscheider verzichtet quasi auf 100 €, um auf Nummer sicher zu gehen.

Nutzenfunktion und Risikopräferenz

Eine lineare Nutzenfunktion spiegelt einen risikoneutralen Entscheider wider. SÄ = E

Eine konvexe Nutzenfunktion spiegelt einen risikofreudigen Entscheider wider. SÄrf > E

Eine konkave Nutzenfunktion spiegelt einen risikoscheuen Entscheider wider. SÄrs < E

e

n

0,5

SÄ rsSÄ rf

E

N rf

N rs

Erkennen der Risikopräferenz

Risikoscheu Sicherheitsäquivalent kleiner als Erwartungswert

Risikoprämie positiv

Konkave Nutzenfunktion

Risikofreude Sicherheitsäquivalent größer als Erwartungswert

Risikoprämie negativ

Konvexe Nutzenfunktion

Risiko-neutralität

Sicherheitsäquivalent gleich Erwartungswert

Risikoprämie Null

Lineare Nutzenfunktion

Beispiel

Ein Landwirt überlegt, ob er Weizen oder Erdbeeren anbauen soll. (Alternativen ai)

Sein Ziel ist Gewinnmaximierung (Z). Entscheidender Umfeldzustand ist das Wetter. Er kann die Eintritts-

wahrscheinlichkeiten für die Uj schätzen. Er hat für jede Alternative und jeden Umfeldzustand eine Ergebnisfunktion,

kann also die eij (Gewinne) prognostizieren.

Wetter heiß/trocken

W = 0,1

mild/trocken

W = 0,3

mild/feucht

W = 0,6

Weizen 1.600 3.600 10.000

Erdbeeren 12.100 8.100 6.400

Beispiel

Der Landwirt hat die Risiko-Nutzen-Funktion RNF (eij) = √eij

Daraus ergibt sich die Nutzenmatrix und der Erwartungsnutzen. Da der Erwartungsnutzen für die Erdbeeren höher ist, wählt er die

Erdbeeren.

Wetter heiß/trocken

0,1

mild/trocken

0,3

mild/feucht

0,6

Erwartungsnutzen

Weizen 40 60 100 0,1 * 40 + 0,3 * 60 + 0,6 * 100 = 82

Erdbeeren 110 90 80 0,1 * 110 + 0,3 * 90 + 0,6 * 80 = 86

Beispiel

Sein Sicherheitsäquivalent ist der sichere Betrag, der ihm den gleichen Nutzen bringt wie die Erdbeeren, also 86. Gesucht ist der Betrag, der eingesetzt in die RNF genau 86 ergibt.

RNF(SÄ) = 86√SÄ = 86 | hoch 2SÄ = 86² = 7.396

Für mindestens 7396 € würde der Landwirt auf den Anbau verzichten und bspw. das Land verpachten.

Beispiel

Der Landwirt ist risikoscheu. Der Erwartungswert des Erdbeeranbaus ist 0,1 * 12.100 + 0,3 * 8.100 + 0,6 * 6400 = 7480.Das SÄ liegt unter dem Erwartungswert.

Die Risikoprämie ist positiv: 7480 – 7396 = 84. Die Nutzenfunktion ist konkav.

Kritik

Die meisten Menschen haben keine eindeutige Risikonutzenfunktion, sondern mischen risikoscheues und risikofreudiges Verhalten. Sie zahlen bspw. Versicherungsprämien, die über dem Schadens-erwartungswert liegen (risikoscheu) und spielen Lotto (risikofreudig).

Risikofreude oder –scheu variieren auch mit der Höhe des Einsatzes und der Vermögensposition. Verluste werden stärker bewertet als Gewinne.

Wahrscheinlichkeiten werden nicht linear bewertet. Eine Steigerung von 0,98 auf 1 wird viel stärker positiv gewertet als eine Steigerung von 0,02 auf 0,05.