Primzahlen, III: Ordnung oder Chaos? - Mathematik Querbeet · Primzahlen, III: Ordnung oder Chaos?...

Primzahlen, III: Ordnung oder Chaos?Mathematik Querbeet

Prof. Dr. Stefan Wewers

Institut fur Reine MathematikUniversitat Ulm

11. Januar 2019

Prof. Dr. Stefan Wewers Institut fur Reine Mathematik Universitat Ulm

Primzahlen, III: Ordnung oder Chaos?

Die Primzahlen zwischen 40 und 100

40 41 42 43 44 45 46 47 48 4950 51 52 53 55 55 56 57 58 5960 61 62 63 66 65 66 67 68 6970 71 72 73 77 75 76 77 78 7980 81 82 83 88 85 86 87 88 8990 91 92 93 99 95 96 97 98 99

Wir sieben die Vielfachen von p = 2, 3, 5, 7 aus.




��40 41 ��42 43 ��44 45 ��46 47 ��48 49

��50 51 ��52 53 ��54 55 ��56 57 ��58 59

��60 61 ��62 63 ��64 65 ��66 67 ��68 69

��70 71 ��72 73 ��74 75 ��76 77 ��78 79

��80 81 ��82 83 ��84 85 ��86 87 ��88 89

��90 91 ��92 93 ��94 95 ��96 97 ��98 99

Wir sieben die Vielfachen von p = �2, 3, 5, 7 aus.




��40 41 ��42 43 ��44 ��45 ��46 47 ��48 49

��50 ��51 ��52 53 ��54 55 ��56 ��57 ��58 59

��60 61 ��62 ��63 ��64 65 ��66 67 ��68 ��69

��70 71 ��72 73 ��74 ��75 ��76 77 ��78 79

��80 ��81 ��82 83 ��84 85 ��86 ��87 ��88 89

��90 91 ��92 ��93 ��94 95 ��96 97 ��98 ��99

Wir sieben die Vielfachen von p = �2, �3, 5, 7 aus.




��40 41 ��42 43 ��44 ��45 ��46 47 ��48 ��49

��50 ��51 ��52 53 ��54 ��55 ��56 ��57 ��58 59

��60 61 ��62 ��63 ��64 ��65 ��66 67 ��68 ��69

��70 71 ��72 73 ��74 ��75 ��76 ��77 ��78 79

��80 ��81 ��82 83 ��84 ��85 ��86 ��87 ��88 89

��90 ��91 ��92 ��93 ��94 ��95 ��96 97 ��98 ��99

Wir sieben die Vielfachen von p = �2, �3, �5, �7 aus.

Die Verteilung der Primzahlen erscheint einigermaßen zufallig...



Die Euler-Ulam-Spirale




Die Zahlen auf der Diagonalen sind von der Form

f (n) = n2 − n + 41.




Erstaunlicherweise ist

p = f (n) = n2 − n + 41

ein Primzahl fur n = 0, 1, . . . , 40!

Fur n = 41 gilt aber

f (41) = 412 − 41 + 41 = 412.




Erstaunlicherweise ist

p = f (n) = n2 − n + 41

ein Primzahl fur n = 0, 1, . . . , 40!Fur n = 41 gilt aber

f (41) = 412 − 41 + 41 = 412.



Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat

Theorem (Fermat, Euler)

Fur eine Primzahl p > 2 gilt:

p = x2 + y2 ⇔ p ≡ 1 (mod 4).

Zum Beispiel:

5 = 22 + 12,

13 = 32 + 22,

17 = 42 + 12,

29 = 52 + 22,

...



Zwei-Quadrate-Satz: Beweisskizze

Fur ⇒ benutzen wir:

Lemma

1 Sei x ∈ Z gerade, also x ≡ 0 (mod 2). Dann gilt

x2 ≡ 0 (mod 4).

2 Sei x ∈ Z ungerade, also x ≡ 1 (mod 2). Dann gilt

x2 ≡ 1 (mod 4).




Sei p = x2 + y2 > 2. Da p ungerade ist, gilt (ohne Einschrankung)x ≡ 1 (mod 2) und y ≡ 0 (mod 2), oder x ≡ 1 (mod 2) undy ≡ 0 (mod 2).

Im ersten Fall folgt aus dem Lemma:

p = x2 + y2 ≡ 1 + 0 ≡ 1 (mod 4).

Im zweiten Fall gilt

p = x2 + y2 ≡ 1 + 1 ≡ 2 (mod 4).

Aber dann ware p gerade, ein Widerspruch!Also tritt der zweite Fall nicht auf, und p ≡ 1 (mod 4).q.e.d.




Sei p = x2 + y2 > 2. Da p ungerade ist, gilt (ohne Einschrankung)x ≡ 1 (mod 2) und y ≡ 0 (mod 2), oder x ≡ 1 (mod 2) undy ≡ 0 (mod 2).Im ersten Fall folgt aus dem Lemma:

p = x2 + y2 ≡ 1 + 0 ≡ 1 (mod 4).


p = x2 + y2 ≡ 1 + 1 ≡ 2 (mod 4).






p = x2 + y2 ≡ 1 + 0 ≡ 1 (mod 4).


p = x2 + y2 ≡ 1 + 1 ≡ 2 (mod 4).

Aber dann ware p gerade, ein Widerspruch!

Also tritt der zweite Fall nicht auf, und p ≡ 1 (mod 4).q.e.d.





p = x2 + y2 ≡ 1 + 0 ≡ 1 (mod 4).


p = x2 + y2 ≡ 1 + 1 ≡ 2 (mod 4).




Der Ring der ganzen Gauß’schen Zahlen

Sei i ∈ C die imaginare Einheit, i2 = −1, und

Z[i ] := {x + i · y | x , y ∈ Z} ⊂ C

Fur Elemente a + i · b, c + i · d gilt:

(a + i · b)± (c + i · d) = (a± c) + i · (b ± d) ∈ Z[i ]

und

(a + i · b) · (c + i · d) = (ac − bd) + i · (ad + bc) ∈ Z[i ].

Daher ist Z[i ] ⊂ C ein Ring (genau wie Z ⊂ R).



Der schwierige Teil des Beweises

Wir benutzen:

Theorem (Euler)

Sei p > 2 ein ungerade Primzahl, p ≡ 1 (mod 4). Dann ist −1 einquadratischer Rest modulo p, d.h. es gibt ein a ∈ Z mit

a2 ≡ −1 (mod p).

Fur ein a wie im Satz gilt dann

p | a2 + 1 = (a− i)(a + i).

Anderseits gilt p - a± i . Also ist p kein Primelement von Z[i ].




Wir benutzen:

Theorem (Euler)


a2 ≡ −1 (mod p).


p | a2 + 1

= (a− i)(a + i).





Wir benutzen:

Theorem (Euler)


a2 ≡ −1 (mod p).


p | a2 + 1 = (a− i)(a + i).





Wir haben gezeigt: eine Primzahl p ≡ 1 (mod 4) ist keinPrimelement von Z[i ]. Daraus folgt:

?⇒ p = (a + i · b)(c + i · d), |a + i · b|, |c + i · d | > 1

⇒ p2 = (a2 + b2)(c2 + d2)

⇒ p = a2 + b2.

q.e.d.

Allerdings braucht es fur?⇒ eine besondere Begrundung!



Das Klassenzahl-1-Problem

Fur den Beweis von?⇒ benotigt man:

Theorem (Gauss)

Der Ring Z[i ] besitzt eine eindeutige Zerlegung in Primfaktoren.

Zum Beispiel hat eine Primzahl p ≡ 1 (mod 1) in Z[i ] diePrimfaktorzerlegung

p = π · π,

wobei π := a + i · b zur Darstellung

p = a2 + b2

korrespondiert.




Sei d ∈ N quadratfrei. Wir setzen

θ :=

{i ·√d , falls d ≡ 1, 2 (mod 4),

1+i ·√d

2 , falls d ≡ 1 (mod 4).

Dann istZ[θ] := {a + b · θ | a, b ∈ Z} ⊂ C

ein Ring mit ahnlichen Eigenschaften wie Z[i ] (und es giltZ[θ] = Z[i ] fur d = 1).




Theorem (Baker–Heegner–Stark, 1952-69)

Der Ring Z[θ] besitzt eine eindeutige Primfaktorzerlegung genaufur

d = 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163.

Der Fall d = 163 ist besonders interessant: fur

θ =1 + i ·

√163

2

besitzt Z[θ] eine eindeutige Primfaktorzerlegung, und es gilt

f (n) = n2 − n + 41 = (n − θ)(n − θ).



Des Ratsels Losung

Sei 0 ≤ n ≤ 40 und m := f (n) = n2 − n + 41. Es gilt

41 ≤ m < 412.

Wir mochten zeigen, dass m ein Primzahl ist.

Annahme: m ist keine Primzahl.

Dann gibt es einen Primteiler p | m, p < 40. Fur p gilt:

p | m = n2 − n + 41 = (n − θ)(n − θ),

aber p - n − θ, n − θ. Also ist p kein Primelement in Z[θ].



Des Ratsels Losung


41 ≤ m < 412.



Dann gibt es einen Primteiler p | m, p < 40.

Fur p gilt:

p | m = n2 − n + 41 = (n − θ)(n − θ),




Des Ratsels Losung


41 ≤ m < 412.



Dann gibt es einen Primteiler p | m, p < 40. Fur p gilt:

p | m = n2 − n + 41 = (n − θ)(n − θ),




Des Ratsels Losung

Annahme: m = n2 − n + 41 ist keine Primzahl, 0 ≤ n < 41.

Dann gibt es p | m, p < 40, und p ist kein Primelement n Z[θ].

Wie im Beweis des Zwei-Quadrate-Satzes folgt daraus

p = x2 − xy + 41y2 > 40.

Dies ist ein Widerspruch!

Die Annahme muss daher falsch sein, also ist m = n2 − n + 41 einePrimzahl.

q.e.d.



Des Ratsels Losung


Dann gibt es p | m, p < 40, und p ist kein Primelement n Z[θ].Wie im Beweis des Zwei-Quadrate-Satzes folgt daraus

p = x2 − xy + 41y2

> 40.



q.e.d.



Des Ratsels Losung


Dann gibt es p | m, p < 40, und p ist kein Primelement n Z[θ].Wie im Beweis des Zwei-Quadrate-Satzes folgt daraus

p = x2 − xy + 41y2 > 40.



q.e.d.



Primzahlen III: Ordnung oder Chaos?

Die Folien dieses Vortrags konnen von meiner Webseiteheruntergeladen werden:

https://www.uni-ulm.de/mawi/rmath/mitarbeiter/wewers/

Vielen Dank fur Ihre Aufmerksamkeit!



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