Produktform der Inversen 1 Produktform der Inversen Eine numerisch stabilere Form der Basisinversen.

of 26 /26
Produktform der Inversen 1 Produktform der Inversen Eine numerisch stabilere Form der Basisinversen

Embed Size (px)

Transcript of Produktform der Inversen 1 Produktform der Inversen Eine numerisch stabilere Form der Basisinversen.

  • Folie 1
  • Produktform der Inversen 1 Produktform der Inversen Eine numerisch stabilere Form der Basisinversen
  • Folie 2
  • Produktform der Inversen 2 Agenda 1. Elementarmatrizen 2. Alternative Darstellung der Iterationen 3. Produktform der Inversen 4. Implementierung 41. BTRAN 42. FTRAN 5. Vorteile der Produktform- Implementierung
  • Folie 3
  • Produktform der Inversen 3 1. Elementarmatrizen
  • Folie 4
  • Produktform der Inversen 4 1.1 Berechnung des Eta-Vektors
  • Folie 5
  • Produktform der Inversen 5 1.2 Beispiel Die Premultiplikation mit der Elementarmatrix ergibt:
  • Folie 6
  • Produktform der Inversen 6 1.3 Darstellung der Basisinversen nach k Iterationen
  • Folie 7
  • Produktform der Inversen 7 2. Alternative Darstellung der Iterationen Anstelle der Umrechung der gesamten Basisinversen und deren vollstndigen Aktualisierung beschrnkt man sich auf den Teil, der fr den Fortgang der Rechnung unbedingt auf aktuellem Stand gehalten werden muss: die Pivotspalte
  • Folie 8
  • Produktform der Inversen 8 2.1 Pivotspalten Die Zusammenfassung der Pivotspalten von 4 Iterationen mit Markierung der Position der Pivotelemente:
  • Folie 9
  • Produktform der Inversen 9 2.2 Darstellung der 1. Iteration
  • Folie 10
  • Produktform der Inversen 10 2.3 Darstellung der 2. Iteration
  • Folie 11
  • Produktform der Inversen 11 2.4 Darstellung der 3. Iteration
  • Folie 12
  • Produktform der Inversen 12 2.5 Darstellung der 4. Iteration
  • Folie 13
  • Produktform der Inversen 13 3. Darstellung der Basisinversen
  • Folie 14
  • Produktform der Inversen 14 3.1 Implementierung Anstelle der Basisinversen wird nur die Datei der Eta-Vektoren in folgender Form gespeichert:
  • Folie 15
  • Produktform der Inversen 15 3.2 Vorteile der Eta-Datei Eta-Vektoren werden nicht mehr umgerechnet. Jeder Vektor ist so hufig tranformiert, wie die laufende Iterationszahl angibt. Sie sind anfangs dnn besetzt, wenn die Problemdatei dnn besetzt ist. Solange nicht mehr als m Iterationen durchgefhrt sind, enthlt die Datei weniger Spalten als die vollstndige Basisinverse.
  • Folie 16
  • Produktform der Inversen 16 3.3 Nachteile der Eta-Datei? Sind mehr als m Iterationen durchzufhren, wird die Eta-Datei grer als die Basisinverse. Wird bei Verwendung der komplizierten Basisinversen der Rechenaufwand durch die vielen Matrixmultiplikationen nicht sehr gro? und in Folge nicht auch der Rundungsfehler immer grer?
  • Folie 17
  • Produktform der Inversen 17 4. Implementierung Erst durch die Implementierung wird die Wirksamkeit der Produktform verstndlich! Dazu muss untersucht werden, an welchen Stellen die Inverse benutzt werden muss: 1. Berechnung der Simplex-Multiplikatoren, die ja nun nicht mehr abgelesen werden knnen: 2. Bei der Aktualisierung der Pivotspalte:
  • Folie 18
  • Produktform der Inversen 18 41. BTRAN Zur Berechnung der Simplex-Multipikatoren wird der Zeilenvektor der Zielzeile von rechts mit der Basisinversen multipliziert: In der Ausgangslsung ist d B T der Einheitsvektor:
  • Folie 19
  • Produktform der Inversen 19 41.1 Reihenfolge der Auswertungsschritte: rckwrts Auswertung besteht aus Multiplikation eines Zeilenvektors mit einer Elementarmatrix von rechts:
  • Folie 20
  • Produktform der Inversen 20 42. FTRAN Zur Berechnung der aktuellen Pivotspalte wird der Spaltenvektor der entsprechenden Spalte der Problemdatei von links mit der Basisinversen multipliziert: Die s-te Spalte des Ausgangsproblems wird nun also vorwrts mit allen Elementarmatrizen multipliziert.
  • Folie 21
  • Produktform der Inversen 21 42.1 Reihenfolge der Auswertungsschritte: vorwrts Jede Multiplikation mit einer Elementarmatrix umfat folgende Rechung:
  • Folie 22
  • Produktform der Inversen 22 42.3 Aktualisierung der Basis Einerseits wird jeweils die Rechte Seite durch direkte Umrechung aktualisiert (wird fr das Quotientenkriterium bentigt!) Andererseits braucht die umgerechnete Pivotspalte nur der Eta-Datei hinzugefgt werden:
  • Folie 23
  • Produktform der Inversen 23 5. Vorteile der Produktform-Implementierung 1. Speicherplatz-Vorteile 2. Rechenzeit-Einsparungen 3. Rechengenauigkeit
  • Folie 24
  • Produktform der Inversen 24 5.1 Kompakte Speicherung Es wird praktisch nur mit der Problemdatei und der Etadatei gearbeitet. Beide werden nicht umgerechnet, sondern nur benutzt. Da die Eta-Vektoren anfangs jedenfalls nur wenig transformiert sind, sind sie auch hnlich dnn besetzt wie die Problemdatei. Folglich knnen beide Dateien kompakte gespeichert werden.
  • Folie 25
  • Produktform der Inversen 25 5.2 Rechenzeiteinsparung Die kompakte Speicherung lsst eine effiziente Auswertung der Skalarprobdukte zu. Partial-Pricing und vor allem Multiple-pricing sind beschleunigende Techniken: Nun wird nur noch das Mini-LP gelst, mit der ersten Major- und nachfolgenden Minor- Iterationen.
  • Folie 26
  • Produktform der Inversen 26 5.3 Rechengenauigkeit : Reinversion INVERT In relativ kurzen Abstnden wird die Basislsung jeweils neu berechnet, so dass die geringste Anzahl Iterationen bentigt werden: Dnne Besetzung Verkrzung der ETA-Datei Da der Pricing-Schritt praktisch entfllt, kann man die alternative, verkrzte Basisdarstellung schnell berechnen. Inversionen werden sehr hufig durchgefhrt.