Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 1

Komplizierte technologische Abläufe können übersichtlich mit Matrizen dargestellt werden.

Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 2

Die lineare Algebra erlaubt eine vereinfachte Darstellung komplizierter ökonomischer Probleme, die dann mit der vorhandenen Computertechnik effektiv bearbeitet werden können.

2. Matrizen2.1 Matrizenoperationen2.1.1 Addition und Subtraktion2.1.2 Multiplikation einer Matrix mit einem

Skalar2.1.3 Multiplikation einer Matrix mit einer

Matrix2.2 Eigenschaften von Matrizen2.3 Lineare Abhängigkeit und Rang2.4 Anwendungen

Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 3

Ein rechteckiges Schema von m•n geordneten Elementen aik wird Matrix A genannt.

Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 4

mnm

n

aa

aa

aaa

1

2221

11211

Das Format oder der Typ einer Matrix A wird durch das geordnete Paar (m, n) angegeben.

Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 5

Vektoren sind Matrizen mit nur einer Zeile oder einer Spalte.

Zwei Matrizen A und B sind dann und nur dann gleich, wenn sie vom gleichen Typ sind und alle entsprechenden Elemente überein stimmen.

Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 6

Wenn in einer Matrix A alle Zeilen und alle Spalten miteinander vertauscht werden, erhält man die transponierte oder gestürzte Matrix AT .

Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 7

T

43

01

52

405

312

Eine quadratische Matrix A ist vom Format oder vom Typ (n, n) bzw. von der Ordnung n.

Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 8

Eine quadratische Matrix A ist symmetrisch, wenn AT = A gilt.

Eine Blockmatrix oder Hypermatrix ist eine Matrix, deren Elemente wiederum Matrizen sind.

Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 9

Für die Addition von zwei Matrizen A und B gelten das Kommutativgesetz

A + B = B + A

sowie das AssoziativgesetzA +B +C = (A +B) +C = A +(B +C).

Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 10

Man multipliziert eine Matrix A mit einem Skalar k, indem man jedes Element aik mit dem Skalar k multipliziert.

Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 11

kA = Ak = (k aik )

Das Skalarprodukt aT b zweier Spaltenvektoren a und b entsteht durch paarweise Multiplikation der Elemente dieser beiden Vektoren und anschließender Addition.

Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 12

c = aTb = a1b1 + a2b2 + ... + anbn = a bi ii

n

1

Zwei Matrizen A und B heißen verkettet, wenn die Spaltenzahl von A gleich der Zeilenzahl von B ist.

Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 13

Das Produkt C zweier verketteter Matrizen A und B besitzt die Elemente cik , die aus dem Skalarprodukt

der i-ten Zeile von A mit der k-ten Spalte von B

berechnet werden.

Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 14

Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 15

b11 b12 b1k b1p

b21 b22 .C = A B .

.

bn1 ... bnk bnp

a11 a12 a1n c11

a21 a22

ai1 ... ain cik

am1 amn cmp

Für die Matrizenmultiplikation gelten das Distributivgesetz (A + B)C = AC + BC

A(B + C) = AB + AC und das Assoziativgesetz ABC = (AB)C = A(BC) , falls die Zwischensummen und

Produkte existieren.

Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 16

In einer Nullmatrix 0 sind alle Elemente null.

Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 17

Eine Einheitsmatrix E ist eine Diagonalmatrix mit aii=1 für alle i.

In einer Diagonalmatrix D sind alle Elemente aik = 0 für i ≠ k .

Eine orthogonale Matrix A ergibt bei Multiplikation mit der Transponierten AT die Einheitsmatrix E .

Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 18

AT A = A AT = E

Eine Matrix ist regulär, wenn die Determinante det(A) ≠ 0 ist.

Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 19

Für eine singuläre Matrix A erhält man die Determinante det(A) = 0 .

Die Matrix A-1 ist inverse Matrix von A , wenn A A-1 = A-1 A = E gilt.

Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 20

Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 21

Jede reguläre Matrix A besitzt eine eindeutig bestimmte inverse Matrix A-1 .

Der Vektor an ist Linearkombination der Vektoren

a1 , a2 , ... , an-1 , wenn

an = l1 a1 + l2 a2 + ... + ln-1 an-1

für gebildet werden kann.

Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 22

l Ri

Der Vektor an ist eine konvexe Linearkombination der Vektoren

a1 , a2 , ... , an-1 ,

wenn an = l1 a1 + l2 a2 + ... + ln-1 an-1

für li R mit li ≥ 0 und

gebildet werden kann.

Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 23

1

1

1n

iil

Die Vektoren ai mit i = 1, 2, ... , n heißen linear abhängig, wenn sich einer der Vektoren als Linearkom- bination der übrigen Vektoren darstellen lässt.

Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 24

Es sind höchstens m Vektoren ai der Ordnung m voneinander linear unabhängig.

Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 25

Sind n Vektoren gegeben, so beschreibt der Rang r die Anzahl linear unabhängiger Vektoren.

Die Matrix A hat den Rang r , wenn es eine Unterdeterminante der Ordnung r gibt, die ungleich null ist, und alle Unterdeterminanten höherer Ordnung verschwinden.

Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 26

• Der Rang r einer Matrix A vom Typ (m, n) ist höchstens gleich der kleineren der beiden Zahlen m oder n.

Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 27

Der Rang einer Matrix A ändert sich nicht, wenn

Prof. Dr. E. Larek 17.06.2009 28

das k-fache einer Reihe zu einer anderen Reihe addiert wird.

eine Reihe mit einem Faktor k multipliziert wird oder

die Matrix transponiert wird,

zwei Reihen miteinander vertauscht werden,