Projekt Partielle Difierentialgleichungen Die Laplace - und ......

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  • Projekt

    Partielle Differentialgleichungen

    Die Laplace - und Poissongleichung

    Auer David

    Decker Elisabeth

    Mayer Andrea

    (Rottensteiner Martin)

    22. Marz 2004

    1

  • Inhaltsverzeichnis

    1 Einleitung 3

    2 Physikalische Motivation 4

    3 Die Laplace-Gleichung: Definitionen, Satze und Losung 5

    4 Numerische Losung 11

    5 Schlussfolgerungen 25

    6 Protokoll 27

  • 1 Einleitung

    Partielle Differentialgleichungen treten bei der Modellierung physikalischerund technischer Fragestellungen auf und haben wesentlich zur Entwicklungder Analysis und spater der Numerik beigetragen. Im 20. Jahrhundert sinddurch die Kontinuumsmechanik und die Elektrodynamik wichtige Gleichun-gen vor allem in Form von Systemen studiert worden, um explizite Losungenzu gewinnen. Dabei spielte die Klassifizierung der Gleichungen 2. Ordnungeine groe Rolle, fur die stellvertretend die Laplace-Gleichung, die Warme-leitungsgleichung und die Wellengleichung stehen. Gleichungen 2. Ordnungdienen der Beschreibung von so genannten Feldphanomenen.Es gibt 3 verschiedene Modelle von partiellen Differentialgleichungen, welcheverschiedene physikalische Sachverhalte beschreiben und verschiedene ma-thematische Kenntnisse bedurfen. Diese Modelle zeigen uns, was wir erwar-ten konnen, wenn wir andere komplizierte Aufbauten im Labor simulierenwollen.

    1. Modell: Wellengleichung

    utt u = 0 homogen,utt u = f inhomogen.

    2. Modell: Warmeleitungsgleichung (Diffusionsgleichung)

    ut u = f

    3. Modell: Poissongleichung bzw. Laplacegleichung

    u = 0 LGu = f PG

  • 4 Auer, Decker, Mayer, (Rottensteiner)

    2 Physikalische Motivation

    Mit dem 3. Modell werden wir uns etwas naher beschaftigen.Hier seien Beispiele der Laplace- bzw. Poissongleichung im Alltag angefuhrt:

    Gravitation: wird durch die Laplacegleichung beschrieben. Das Gravi-tationspotential genugt der Laplacegleichung in jedem Punkt.

    Elektrostatik: Die Kraft (Anziehung bzw. Abstoung) zwischen gela-denen Teilchen ist mathematisch dasselbe wie bei der Gravitation.Das heit, dass das elektrische Feld, das von den Ladungen erzeugtwird, mathematisch durch eine Potentialfunktion u an jedem Punkt,der nicht von einer Ladung besetzt ist, durch die Laplacegleichung be-schrieben werden kann.Wenn der Punkt von einer Ladung besetzt ist, so wird die Potential-funktion u mit Hilfe der Poissongleichung beschrieben.

    Hydrodynamik: Fur eine Flussigkeit ist die Stromungsfunktion u(x,y),dessen Stromlinien u(x,y) = const. die Reprasentanten der Teilchen inder Flussigkeit darstellen, die Losung der Laplacegleichung.

    Warmeleitung: Die Losungen stationarer (zeitunabhangiger) Zustandefuhrt zur Poissongleichung.

  • Laplace - Gleichung 5

    3 Die Laplace-Gleichung: Definitionen, Satze und

    Losung

    Der theoretische und auch der numerische Teil diese Projekts bauen auf fol-gendem Beispiel auf.

    Beispiel 1:Gegeben sei die partielle Differentialgleichungu = 4 in := {(x, y) R : x2 + y2 < 1}

    mit Dirichlet Randbedingung u(x, y) = 1 fur x2+y2 = 1. Daraus erhalt mandie Losung fur dieses Randwertproblem u(x, y) = x2 + y2.

    Definition:

    Sei Rn offen, u: R eine C2 - Funktion und der Laplace - Ope-rator definiert durch : u 7

    ni=1

    2uxi2

    =n

    i=1uxixi . Dann heit die Gleichung

    u = 0 in Laplace - oder Potentialgleichung.Die Losung u der Laplacegleichung heit harmonisch.

    Definition:

    Die Laplacegleichung ist eine lineare, partielle Differentialgleichung 2. Ord-nung der allgemeinen Form

    n

    i,j=1

    aij(x)uxixj (x) +n

    i=1

    ai(x)uxi(x) + a0(x)u(x) = f(x) x

    Nachdem uxixj = uxjxi gilt: aij(x) = aji(x) i, j = 1, ..., nDie Koeffizienten aij(x) bilden also eine symmetrische Matrix A(x) = aij(x)

    Definition:

    Falls die Matrix A(x) positiv oder negativ definit ist, spricht man von einerelliptischen, partiellen Differentialgleichung.

  • 6 Auer, Decker, Mayer, (Rottensteiner)

    Definition:

    Die Funktion

    (x) =

    12 ln(x) fur n = 2

    1n(n2)(n)

    1|x|n2 fur n 3

    fur x R, x 6= 0 ist die Fundamentallosung der Laplacegleichung, wobei(n) das Volumen der n - dimensionalen Einheitskugel undn(n) die Oberflache der n - dimensionalen Einheiskugel bezeichnen.

    Satz: (Maximumprinzip)

    Sei Rn offen, beschrankt und u C2() C() harmonisch auf .Dann gilt:

    1. max

    u = max

    u

    d.h. das Maximum von u in befindet sich am Rand

    2. Falls zusammenhangend und x0 mit u(x0) = max

    u u const.

    Randwertprobleme

    Klassische Theorie:

    Im folgenden sei Rn offen, beschrankt und glatt.Fur f : R, g : R betrachte man:

    Dirichlet - Randbedingung: Finde u : R mit

    u = f in

    u = g auf

  • Laplace - Gleichung 7

    Neumann - Randbedingung: Finde u : R mit

    u = f in

    u = g auf

    Bemerkungen:

    1. Aus dem Maximumprinzip folgt, dass die Losung der Dirichletrandbe-dingung eindeutig ist.

    2. Die Losung der Neumannrandbedingung ist nicht eindeutig, da mit uauch u + c, c R Losung ist.

    Satz(Gauss):

    Sei Rn kompakt mit glattem Rand und : Rn das auereEinheisnormalenfeld und U eine offene Teilmenge von Rn.Dann gilt fur jedes stetige, differenzierbare Vektorfeld F : Rn

    F (x)dnx =

    F (x), (x)dS(x)

    Satz(Green):

    Seien u, v C2() C() und u, v : RDann gilt:

    (vu uv) d =

    (vu uv) dx

    Beweis:

    Wir verwenden den Gaussschen Integralsatz auf das Vektorfeld

    F : vu uv

    an.Da (vu) = vu + v,u und einer anlogen Formel fur (uv), folgtF = vu uv.

  • 8 Auer, Decker, Mayer, (Rottensteiner)

    Auf gilt F, = vu, uv, = v u uv .Aus

    (F )dV =

    F, dS

    folgt deshalb dire Behauptung.

    Moderne Theorie:

    Definition:(Norm)

    Sei X Dann heit die Abbildung : X [0,) Norm

    (i) u + v = u+ v u, v X(ii) u = ||u u X, R(iii) u = 0 u = 0

    Definition:(Vollstandigkeit)

    X heit vollstandig jede Cauchy - Folge ist konvergent in X.

    Definition:(Banachraum)

    Ein vollstandiger, normierter Raum heit Banachraum.

    Definition:

    Sei U Rn offen, 1 p < , p ZDann ist Lp(U) ist der lineare Raum aller integrierbarer Funktionenf : U R mit fLp(U) < , wobei

    fLp(U) =

    (U

    |f |pdx)1/p fur 1 p <

    ess supU|f | fur p =

    Lp(U) sind Banachraume.

  • Laplace - Gleichung 9

    Definition:(Schwache Ableitung)

    Seien u, v L1(U), ein Multiindex ( = (1, ..., n)) wird die -te schwache, partielle Ableitung von u gennant, falls

    U

    uDdx = (u)|| U

    dx C(U).

    Definition:(Sobolev - Raum W k,p(U))W k,p(U) ist der Raum aller Funktionen u : U R, sodass fur jeden Mul-tiindex mit || k existiert D in der schwachen Formulierung undDu Lp(U).

    Definition:(Norm von W k,p(U))Sei u W k,p(U). Die Norm von W k,p(U)) wird definiert durch

    uW k,p(U) =

    (||k

    U

    |Du|pdx)1/p fur 1 p < ||k

    ess supU|Du| fur p =

    Definiton:

    Sei U Rn.Der Operator L heit (gleichmaig) elliptisch, falls es Konstante > 0 gibt,sodass

    T A =n

    i,j=1aij(x)ij ||2 x U, Rn

    Nun geht es darum das Randwertproblem (RWP)

    Lu = f in

    u = 0 auf zu losen, wobei Rn offen und L ein elliptischer Differentialoperator (z.B.L = ) von der Form Lu =

    ni,j=1

    (aij(x)uxi)xj +n

    i=1bi(x)uxi + c(x)u ist.

    Diese Form wird auch Divergenzform genannt.

  • 10 Auer, Decker, Mayer, (Rottensteiner)

    Satz:(Existenz der schwachen Losung)

    Sei U Rn. Es existiert ein 0, sodass und f L2(U) eine

    eindeutige Losung u H10 (U) fur

    Lu + u = f in U

    u = 0 auf Uexistiert.

    (vgl. Poisson - Gleichung = 0)

    Satz:(Fredholm - Alternative)

    Genau einer der folgenden zwei Falle kann eintreten,

    oder

    (i) f L2(U) schwache Losung von

    Lu = f in U

    u = 0 auf U

    (ii) eine schwache Losung u 6= 0 von

    Lu = 0 in U

    u = 0 auf U

  • Laplace - Gleichung 11

    4 Numerische Losung

    Diskretisierung:

    Die Grundidee fast aller numerischer Verfahren zur Losung von partiellenDifferentialgleichungen ist die Approximation der DG durch ein System al-gebraischer Gleichungen. Der einfachste Weg der Erstellung eines solchenSystems besteht daraus, die Ableitungen durch finite (endliche) Differenzenzu ersetzen. Finite Differenzen - Verfahren liefern numerische Losungen, dieder exakten Losung recht nahe kommen. Fast alle wesentliche Eigenschaf-ten der exakten oder kontinuierlichen Losung finden sich mehr oder wenigerauch in der numerische Losung wieder.

    Die numerische Losung der Poisson - Gleichungu + cu = f in u = 0 auf

    (1)

    in einem beliebigen Gebiet kann nicht durch einen analytischen Ausdruckangegeben werden, daher betrachtet man in solchen Fallen oft diskrete Nahe-rungen des Problems.Betrachtet man ein einheitsquadratisches Gebiet = {(x, y)|0 < x, y < 1}in R2 und definiert man die Schrittweite h = 1n+1 und die Gitterpunkte(xi, yj) = (ih, jh) fur 0 i, j n+1, so bezeichnet h = {(xi, yj)|0 i, j n + 1}die Menge aller Gitterpunkte. Man approximiert jetzt die Gleichung (1)durch das finite Differenzenschema.

    (D+x Dx uij + D+y Dy uij) + c(xi, yj)uij = fij in h

    uij = 0 auf h

    wobei gilt:

  • 12 Auer, Decker, Mayer, (Rottensteiner)

    Dx uij =uijui1j

    h

    Dy uij =uijuij1

    h

    D+x uij =ui+1juij

    h

    D+y uij =uij+1uij

    h

    Das diskrete Problem ist aquivalent zu einem linearen Gleichungssystem,wobei jedem Gitterpunkt aus h eine Gleichung zugeordnet ist. Die Unbe-kannten sind die gesuchten Naherungswerte fur die Losung u in den Gitter-punkten.

    Satz: