Protokoll zum astronomischen Praktikum vom

14.2.2005 bis 25.2.2005 (Gruppe 5)

Michael Ganz∗, Michael Gernoth†, Andreas Osswald‡

24. Februar 2005

1 Zeitmaße

1.1 Definitionen

Wahre Sonnenzeit (WS) Die wahre Sonnenzeit wird durch zwei aufein-anderfolgende obere Kulminationen der Sonne definiert. Diese Zeit lauft nichtgleichformig. Der wahre Sonnentag wird durch den Stundenwinkel der Sonne(τ) + 12h definiert.

Mittlere Sonnenzeit (MS) Man nimmt an, dass die Sonne gleichformiguber den Aquator lauft. Dadurch eliminiert man den Einfluß der Ekliptik. Dermittlere Sonnentag ist die Mittelung der wahren Sonnentage ueber den Zeitraumeines Jahres. Dadurch wird erreicht, dass die mittlere Sonnenzeit gleichfoermigfortschreitet, da der Einfluss der Ekliptik und Exzentrizitat ausgeglichen wird.

Zeitgleichung (WS-MS) Die Zeitgleichung ist die Differenz der wahren Son-nenzeit und der mittleren Sonnenzeit.

Weltzeit, Universal Time (UT, UTC) Die Weltzeit UT ist die mittlereSonnenzeit auf dem Nullmeridian durch Greenwich, UK.

Zonenzeiten (z.B. MEZ) Um nicht an jedem Ort eine eigene mittlere Son-nenzeit festlegen zu mussen, wird die Weltkugel von Greenwich ausgehend in 24Zeitzonen zu jeweils 15

�eingeteilt. In der Praxis sind diese Grenzen den naturli-

chen und politischen Grenzen angepasst.

Julianisches Datum (JD) Um nicht mit Jahren und Tagen rechnen zu mus-sen, wurde das Julianische Datum eingefuhrt. Dieses hat seinen Nullpunkt am1. Januar 4713 vor Christus um 12:00 Uhr UT, von dort an wird fortlaufend inTagen gezahlt. Nach diesem Datum beginnt der Tag am Meridiandurchgang derSonne (12:00 Uhr) und nicht um Mitternacht, um Zeitangaben bei astronomi-schen Beobachtungen eindeutig zu machen.

∗ganz.michael@t-online.de†michael@zerfleddert.de‡andreas@osswald.de.com

1

Ephemeridenzeit (ET, TT) Uber grossere Zeitraume hinweg zeigen Plane-ten (z.B.: Erde) Abweichungen ggU. der Newtonschen Mechanik und Gravita-tionstheorie berechneten Ephemeriden. Dies zeigt sich in einer kontinuierlichenZunahme der Tageslange. Die Ephemeridenzeit ist an die Lange des tropischenJahres 1900 gebunden, wobei eine Ephemeridensekunde dem 31556925,9747tenTeil dieses Jahres entspricht. 1966 wurde die Einheit der Ephemeridenzeit derAtomsekunde angepasst. Seitdem wird diese Terrestrial Time (TT) genannt. ImJahr 2005 besteht der Unterschied zwischen Ephemeridenzeit und Weltzeit 66Sekunden.

Sternzeit, Siderial Time (ST) Sternzeit ist die Zeit bezogen auf den Stun-denwinkel des Fruhlingspunktes. Die Basiseinheit ist der Sterntag. Dies ist dasZeitintervall zweier aufeinanderfolgender oberer Kulminationen des Fruhlings-punktes. Das heisst, dass nach einem Sterntag die Himmelskugel wieder diegleiche Stellung zum Beobachter erreicht. Zu beachten ist, dass der Sterntag 3Minuten, 56,56 Sekunden kurzer als der Sonnentag ist.

Atomzeit Atomzeit ist eine auf einer Atomuhr (Casium 133-Zerfall) basie-rende gleichmassige Zeiteinheit. Sie ist streng gleichformig, wird aber periodischdurch Schaltsekunden an die Weltzeit angepasst.

1.2 Gleichformigkeit

gleichformig verlaufend Streng gleichformig verlaufen die Atomzeit und dieEphemeridenzeit.

ungleichformig verlaufend

Wahre Sonnenzeit Die Bahngeschwindigkeit der Erde ist nicht konstant,da sie eine Ellipse (Exzentritat) um die Sonne beschreibt. Außerdem beeinflusstdie Ekliptik das Wachstum der Rektaszension.

Mittlere Sonnenzeit Die mittlere Sonnenzeit ist zwar von den Einflussender Ekliptik losgelost, wird aber noch durch die Bahngeschwindigkeit der Erdebeeinflusst.

Weltzeit, Zonenzeit, Julianisches Datum Diese Zeiten sind an diemittlere Sonnenzeit gekoppelt.

Sternzeit Die Sternzeit ist an den Fruhlingspunkt gekoppelt, welcher durchdie Ekliptik nicht konstant ist.

1.3 Zeitgleichung

Die Zeitgleichung ist die Differenz zwischen mittlerer Sonnenzeit und wahrerSonnenzeit (wird von Sonnenuhren angezeigt). Da die Erde keinen exakten Kreisum die Sonne beschreibt, sondern eine Ellipse (Erdbahnexzentrizitat), bewegtsie sich auf ihrer Bahn schneller, je naher sie der Sonne steht (2. KeplerschesGesetz). Die Erde steht hierbei Anfang Januar der Sonne am nachsten und

2

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 2 4 6 8 10 12

"exzentrizitaet""neigung"

"zeitgleichung"

Abbildung 1: Zeitgleichung

Anfang Juli am entferntesten. Dieser Effekt fuhrt dazu, dass eine Differenz vonbis zu 8 Minuten zur mittleren Sonnenzeit entsteht. Der zweite Effekt ist dieNeigung der Erdachse. Hierbei ist der Aquator zur Ekliptik um einen Winkel vonca. 23,5

�geneigt. Selbst wenn die Erde sich gleichmaßig auf Ihrer Bahn bewegen

wurde, wurde deshalb am Aquator kein gleichmaßiges Fortschreiten der Sonnebeobachtet werden konnen. Ihr Verlauf ist in Abbildung 1 dargestellt.

2 Koordinatensysteme

Eine Ubersicht Tabellarische Ubersicht uber die Koordinatensysteme findet sichin Tabelle 1.

2.1 Charakterisierung

Horizontsystem Beim Horizontsystem wird der Horizont als Grundkreis ver-wendet. Als Pol wahlt man den Zenit, der sich senkrecht uber dem Beobachterbefindet. Um die Position eines Gestirns ansugeben, verwendet man Hohe undAzimut. Beim Azimut legt man in der Astronomie 0

�als Suden fest, 90

�als Wes-

ten, 180�als Norden und 270

�als Westen. Anstelle der Hohe kann man auch die

Zenitdistanz angeben (90�-Hohe). Das Horizontsystem wird dazu genutzt, um

sich Positionsangaben von Gestirnen zu veranschaulichen.

Aquatorsystem Im Aquatorsystem benutzt man den Himmelsnord- und Him-melssudpol als Pole und den Himmelsaquator als Ursprung. Die Breite wird

3

Ursprung Grundkreis Langen-koordinate

Breiten-koordi-nate

Pole

Horizont-system

Beobachtungsort Horizont Azimut Hohe Zenit und Nadir

festesAquator-system

Erdmittelpunkt Aquatorebene Stunden-winkel (τ)

Deklina-tion (δ)

Nord-/Sudpol

beweglichesAquator-system

Erdmittelpunkt Aquatorebene Rektas-zension (α)

Deklina-tion (δ)

Nord-/Sudpol

ekliptikalesSystem

Sonnenzentrum(oder auch Erd-zentrum oderBeobachtungs-ort)

Ekliptik EkliptikaleLange (λ)

Eklipti-kaleBreite(β)

Nord-/Sudpol

galaktischesSystem

galaktischesZentrum

galaktischerAquator

galaktischeLange (l)

galak-tischeBreite(b)

Nord-/Sudpol

Tabelle 1: Ubersicht uber die Koordinatensysteme

durch den Winkel zwischen Himmelsaquator und Objekt bestimmt, welcher De-klination (δ) genannt wird.

festes Aquatorsystem Im festen Aquatorsystem wird die Lange durchden Stundenwinkel (τ) festgelegt. Dieser ist der Winkel zwischen Himmelsme-ridian und Stundenkreis des Objekts, gemessen auf dem Himmelsaquator (diesentspricht der Zeit, seit der ein Gestirn den Meridian des Beobachters uberschrit-ten hat, oder der Zeit die bis dahin noch verstreicht). Das feste Aquatorsystemwird bei Teleskopen mit parallaktischer Montierung verwendet.

bewegliches Aquatorsystem Das bewegliche Aquatorsystem ist ortsun-abhangig, da hier der Fruhlingspunkt (Schnittpunkt von Himmelsaquator undEkliptik) bestimmung der Lange (Rektaszension α) benutzt wird. Es wird zumKatalogisieren von Fixsternen verwendet.

ekliptikales System Es wird verwendet, um die Koordinaten von Objektenin unserem Sonnensystem zu beschreiben.

galaktisches System Es wird verwendet, um die Koordinaten von Objektenun unserer Milchstraße zu beschreiben.

2.2 Nautisches Dreieck

Das nautische Dreieck wird zur Koordinatentransformation zwischen Horizont-system und beweglichem Aquatorsystem eingesetzt. Die Ecken des Kugeldrei-ecks sind der Zenit, der Himmelsnordpol und das zu beobachtende Objekt.

4

Abbildung 2: Horizontsystem

Abbildung 3: festes Aquatorsystem

5

Abbildung 4: bewegliches Aquatorsystem

Abbildung 5: ekliptikales System

6

Abbildung 6: galaktisches System

δ, τ → z,A

sin(z) ∗ sin(A) = cos(δ) ∗ sin(τ)

cos(z) = sin(ϕ) ∗ sin(δ) + cos(ϕ) ∗ cos(δ) ∗ cos(τ) − sin(z) ∗ cos(A)

= cos(ϕ) ∗ sin(δ) − sin(ϕ) ∗ cos(δ) ∗ cos(τ)

2.3 Variabilitat der Koordinaten

Prazession Da sich durch die Prazession (Periode ca. 26000 Jahre) der Fruh-lingspunkt um 50 Bogensekunden pro Jahr entlang der Ekliptik verschiebt, wer-den die Deklination und Rektaszension beeinflusst.

Nutation Die Nutation (Prazession der Mondbahnebene) (Periode 18,6 Jah-re) andert die Prazession der Erdbahn.

3 Azimutmessung

Wegen schlechter Wetterbedingungen, haben wir die Azimutmessung des Fern-sehturms mit dem Theodoliten nicht selbst ausfuhren konnen. Um die theoreti-schen Berechnungen ausfuhren zu konnen wurden uns Werte des Fernsehturmsauf dem Geisberg einer fruheren Gruppe vom 24.3.2003 vorgegeben. Aus diesenhaben wir mit einem in C++ entwickelten Programm den Azimut der Sonnezu diesem Zeitpunkt, und daraus dann den Turmwinkel berechnet. Unser Pro-gramm befindet sich im Anhang.

7

Die Angaben und unsere Ergebnisse befinden sich in der Tabelle 2.Hieraus Werten ermitteln wir den Mittelwert des Turmwinkels: 53

�37’ 7,2”.

Funkuhr - Endzeit + 12 Zwischenzeit

360�- (Sonnenwinkel - Turmwinkel) + Azimut der Sonne

⇒ Mittelwert fur Azimut des Turmes: 267�39’ 8,0”

8

Winkel Turm Winkel Sonne Zwischenzeit Endzeit MEZ Funnkuhr Azimut Sonne Azimut Sender53

�

37’ 02” 102

�

33’ 31” 2m 22,97s 2m 45,41s 10h 03m 30s 316

�

35’ 30” 267

�

39’ 06”53

�

37’ 04” 103

�

33’ 20” 2m 22,35s 3m 02,05s 10h 07m 30s 317

�

35’ 19” 267

�

39’ 06”53

�

37’ 11” 104

�

36’ 26” 2m 21,93s 2m 38,33s 10h 11m 00s 318

�

38’ 30” 267

�

39’ 12”53

�

37’ 12” 105

�

31’ 58” 2m 21,29s 2m 44,70s 10h 14m 30s 319

�

34’ 02” 267

�

39’ 11”53

�

37’ 09” 106

�

27’ 51” 2m 20,70s 2m 51,08s 10h 18m 00s 320�

30’ 00” 267

�

39’ 16”53

�

37’ 05” 107

�

24’ 20” 2m 20,22s 2m 57,99s 10h 21m 30s 321�

26’ 19” 267

�

39’ 06”- 108

�

27’ 26” 2m 19,90s 2m 42,73s 10h 25m 00s 322

�

29’ 20” 267

�

39’ 01”- 109

�

25’ 51” 2m 19,43s 2m 45,23s 10h 28m 30s 323

�

27’ 52” 267

�

39’ 08”

Tabelle 2: Werte zur Azimutmessung

9

4 Umgebungskarte eines Veranderlichen

4.1 Sterndaten

Aitken 5945 (ADS 5945)Katalog Epoche δ α mv mv1

mv2

BD 1855 24�46,8’ 7h 7’ 58,3” 7,01 7,5 10,2

ADS 1900.0 24�42’ 46,2” 7h 10’ 43,04” 7,01

SAO 1950.0 24�37’ 34,7” 7h 13’ 45,88” 7,0T

SIMBAD 2000.0 24�32’ 10,7” 7h 16’ 48,52”

Interpol. 2005.2 24�31’ 36,3” 7h 17’ 7,50”

Helligkeit: 7,5 – 10,2

Relativbewegung1831.57 309,7

�13,73”

1892.15 310,4�

14,03”

S OriKatalog Epoche δ α mvmax

mvmin

BD 1855.0 -4�58,8’ 5h 21’ 51,1” var.

HD 1900.0 -4�46,4’ 5h 24’ 4” 7,5 13,5

SAO 1950.0 -4�43’ 52,7” 5h 26’ 32,56”

SIMBAD 2000.0 -4�41’ 32,7” 5h 29’ 00,89”

Interpol. 2005.2 -4�41’ 18,8” 5h 29’ 16,33”

4.2 Vergleichssterne

Als Vergleichsstern zu S Ori haben wir den Stern HD 294176 herausgesucht, furAitken 5945 den Stern BD 1588. Diese sind in der beiliegenden Umgebungskartemarkiert und ihre aktuellen Koordinaten eingetragen.

Name δ α mv

HD 294176 -4�41’ 47,9” 5h 29’ 13,78” 10.23mag

BD 1588 24�28’ 11,5” 7h 16’ 28,81” 9.5mag

4.3 Relative Position

Die relativen Position basieren auf den Werten aus dem Aitken DoppelsternKatalog. Der hellere Stern des Doppelsternsystems wurde dabei als fixer Punktim Koordinatensystem gewahlt. Relative Positionen konnen uber einen odermehrere fixe Bezugssterne ermittelt werden. Die relativen Positionen unseresDoppelsternsystems sind in Abbildung 7 dargestellt.

4.4 Eigenbewegung

Die Eigenbewegung der Sterne haben wir in die im Anhang angefugten Umge-bungskarten eingezeichnet.

10

Abbildung 7: Relative Positionen

4.5 Gesamthelligkeit

m = −2.5 ∗ logII = 10−

m2,5

m1 = 7, 5

m2 = 10, 2

I1 = 10−m1

2,5

I2 = 10−m2

2,5

Iges = I1 + I2

m = −2, 5 ∗ log10(Iges) = 7, 4

4.6 Sichtbarkeit

Ein Stern ist an einem Ort sichtbar, wenn seine Deklination(δ) großer als −90◦−ϕ ist. Hierbei ist ϕ die Breite des Ortes. Objekte, deren Deklination großer als90◦ − ϕ ist, sind circumpolar, d.h. immer sichtbar.

cos(z) = cos(ϕ) ∗ sin(δ) − sin(ϕ) ∗ cos(δ) ∗ cos(τ)z = Zenitdistanz

τ = Sternzeit− α

4.7 Welche Einflusse verandern die Position eines Sterns?

Das Licht, das von einem Stern ausgeht, wird beim Eintritt in die Erdatmospha-re gebrochen (Atmospharische Refraktion). Die Brechung wird umso starker, jetiefer der Lichtstrahl eintrifft und ist somit vorallem bei horizontnahe Gestirnen

11

feststellbar. Dadurch hat es fur den Beobachter den Anschein, dass das Him-melsobjekt hoher zu sehen ist als es tatsachlich steht. Die Refraktionshohe fureinen Stern lasst sich uber folgende Formel berechnen:

hRe = coth

Bei der Prazession handelt es sich um die Verschiebung des Fruhlingspunktes,der in zirka 26.000 Jahren einen vollstandigen Kreis durchlauft. Den Effekt derPrazession fuhrt man auf die Kreiselbewegung (Neigung) der Erdachse zuruck.Zudem bewirkt die Neigung der Mondbahnebene um 5 Grad zur Ekliptikebe-ne eine zusatzliche Verschiebung des Erdachsenpoles in einer Periode von 18.6Jahren (Nutation).

Auf Grund der Bewegungen, denen einen Beobachtungspunkt ausgesetzt istwie die Erdrotation, der Bewegung der Erde um die Sonne und der Bewegungdes Sonnensystems relativ zu den Umgebungssternen, und der begrenzten Licht-geschwindigkeit tritt eine Verschiebung des scheinbaren Sternortes auf. (Aber-ration)

4.8 Sichtbare Objekte

Name α δ Sichtbar um 0 Uhr Aufgangszeit UntergangszeitM1 5h 34’ 48,53” 22

�1’ 11,3” Nein 12:04 4:02

M3 13h 42’ 17,85” 28�22’ 10,5” Ja 19:26 12:55

M13 16h 41’ 53” 36�27’ 25,6” Ja 20:56 17:25

M15 21h 30’ 14,88” 12�11’ 21,6” Nein 4:55 19:02

M27 19h 59’ 49,29” 22�43’ 51,3” Nein 2:24 18:32

M31 0h 42’ 58,9” 41�17’ 41,0” Ja ganze Nacht sichtbar

M57 18h 53’ 47,44” 33�2’ 23,9” Ja 23:53 18:51

M81 9h 56’ 9,99” 69�0’ 17,6” Ja ganze Nacht sichtbar

γAnd 0h 13’ 30,04” 15�12’ 43,7” Nein 7:23 22:01

βCyg 19h 30’ 55,71” 27�58’ 14,6” Nein 1:18 18:41

γLeo 10h 20’ 15,12” 19�48’ 56,8” Ja 17:03 8:34

εLyr 18h 44’ 30,50” 39�40’ 35,8” Ja ganze Nacht sichtbar

λOri 5h 35’ 25,25” 9�56’ 14,1” Ja 13:12 2:55

12

5 Spektralklassifikation

5.1 Sonne

Fur diesen Versuch haben wir das Spektrum des Sonne mit dem Bamberger60cm Spiegelteleskop aufgenommen. Am Teleskop war der Spektrograph undeine CCD-Kamera angebracht, die das Spektrum digital aufgenommen hat. Dadie CCD-Flache nicht fur den gesamten Spektralbereich ausreichend ist, habenwir 5 Spektren im Bereich von ca. 3600A bis ca. 7000A aufgenommen. Aufder gleichen Aufnahme wurde auch jeweils das Spektrum einer Vergleichslampeaufgenommen.

5.2 Sterne

Wegen der Wetterlage konnten wir kein eigenes Sternspektrum aufnehmen, wirwaren aber im Grunde genauso vorgegangen wie beim Sonnenspektrum, nurdass wir die Vergleichslampe nicht in das Objektspektrum eingeblendet hatten,sondern ein eigenes Spektrum fur die Lampe aufgenommen hatten.

5.3 Reduktion

Aus den gewonnenen Aufnahmenm der CCD-Kamera haben wir mit dem System

”MIDAS” die Spektren extrahiert. Dabei sind wir wie folgt vorgegangen:

Bildlage Zuerst wird die Bildlage uberpruft. Falls die im Bild dargestelltenSpektren nicht absolut waagerecht sind, muss das Bild im MIDAS-System rotiertwerden.

Extraktion der Spektren Mit Hilfe des Befehls GET/CURSOR werden dieKoordinaten des oberen und unteren Randes des Spektrums ermittelt, sowie einStreifen des Himmels direkt uber und unter dem Spektrum. Dieser Vorgang wirdsowohl bei dem Objektspektrum als auch bei einem Vergleichslampenspektrumdurchgefuhrt.

Subtraktion des Himmelshintergrundes Die ermittelten Koordinaten die-nen nun dazu, den Himmelshintergrund vom Spektrum zu subtrahieren, und da-nach jede einzelne Spalte des Spektrums aufzusummieren. Dies geschieht kom-plett mit dem Befehl EXTRACT/AVERAGE. Dabei entsteht ein neues 1 Pixelhohes Spektrum, welches die jeweils aufsummierten Spaltenwerte enthalt. Dieseslasst sich mit PLOT im Graphenfenster darstellen.

Wellenlangenkalibration mit Hilfe des Vergleichsspektrums Um dasObjektspektrum auf der X-Achse mit den richtigen Wellenlangenwerten in Angst-rom(A) zu versehen, muss zuerst das Spektrum der Vergleichslampe kalibriertwerden. Dazu plottet man dieses Spektrum und sucht dann in den vorgegebe-nen Spektren der Lampe nach den im Fenster angezeigten Linien. Diese werdensodann mit dem Befehl IDENTIFY/LONG mit den ihnen zugeordneten Wel-lenlangenwerten versehen.

13

Im Anschluß daran, wird diese Kalibration mit REBIN/LONG auf das Ob-jektspektrum angewendet, und man erhalt ein Objektspektrum mit dazu pas-senden Wellenlangen.

5.4 Auswertung des Sonnenspektrums

Durch die Reduktion erhielten wir die im Anhang beigefugten Sonnenspektrenendsun01 bis endsun05. Diese wurden wiederum mit Hilfe von MIDAS ausge-wertet.

Nachgewiesene Atome und Ionen Im Sonnenspektrum wurden folgendeAtome und Ionen nachgewiesen:

CaII 3934A

CaII 3969A

FeI 4046A

Hδ 4101A

CaI 4226A

Hγ 4340A

FeI 4384A

Hβ 4861A

FeI 4891A

FeI 4921A

FeI 4957A

MgI 5173A

MgI 5184A

FeI 5270A

FeI 5328A

MgI 5528A

NaI 5889A

CaI 6122A

CaI 6163A

Hα 6562A

O2 6867A

Aquivalentbreiten von CaII , CaI und Hβ

Wellenlange Sonne η Boo Procyon

CaII 3933A 9,04A 3.70A 4.94A

CaI 4227A 0,85A 0.65A 0.40A

Hβ 4861A 2,43A 3.13A 4.97AMan sieht, dass die Sonne wesentlich mehr CalciumII als Wasserstoff im

Spektrum aufweist, ebenso ist der CalciumI-Anteil starker als bei den beidenVergleichssternen. Bei η Boo ist der Anteil von CalciumII und Wasserstoff ahn-lich groß. Vom CalciumI Wert liegt η Boo zwischen der Sonne und Procyon. DaProcyon einen relativ geringen CalciumI-Anteil aufweist, der Wasserstoffanteilmindestens gleichgroß wie der CalciumII-Anteil ist, wurden wir ihn eher den Fals den G-Sternen zuordnen (Siehe Abbildung 8).

14

Abbildung 8: Spektraltypen

5.5 Klassifikation der Sternspektren

Uns wurden drei Sterne zum klassifizieren vorgegeben. Hierbei handelte es sichum folgende Spektraltypen:

Stern Spektraltyp Bemerkungstern1 A3 H sehr stark, kein He, kein Castern2 F, evtl. G H stark, Ca stark, b1 halb so stark wie Hstern3 O8, evtl. B H, HeI, HeII

5.6 Harvard-Klassifikation

Zwischen der chemischen Zusammensetzung und der Temperatur eines Sternesgibt es einen direkten Zusammenhang, der in der Harvard-Klassifikation dar-gestellt wird. Dabei werden folgende Spektraltypen von Sternen unterschiedenund nach abnehmender Temperatur geordnet: O B A F G K M

Historisch bedingt werden dabei O, B als fruhe, A, F, G als mittlere und K,M als spate Spektraltypen bezeichnet. Eine grobe Einteilung der Sterne in ihreSpektraltypen lasst sich bereits anhand der optisch wahrnehmbaren Farbe vor-nehmen. Durch die Untersuchung eines Sternspektrums kann der Stern genauerklassifiziert werden, indem man den Absorptionslinien die chemischen Elementezuweist und deren Auftreten oder Fehlen nachweist. Eine Feinunterteilung zwi-schen zwei Spektraltypen wird durch eine nachgestellte Zahl zwischen 0 und 9gekennzeicht.

Temperatur und chemische Elemente der Spektralklassen:

15

O: 50.000K HeII herrscht vor, HeI mittelmassig, wenig HB: 25.000K HeII fehlt vollig, HeI starker, H ansteigend, SiA: 10.000K H maximal, HeI fehlt vollig, MgII und SiII stark, CaII schwachF: 7.600K CaII nimmt zu, H stark aber abnehmendG: 6.000K CaII sehr stark, Metalle (FeI) stark, H nimmt weiter ab (Sonnenspektrum)K: 5.100K H relativ schwach, dafur Metallinien, MolekulbandenM: 3.600K Neutrale Metallinien, CaI stark, TiO-Banden

Fur eine genauere Spektralklassifizierung erweist es sich als nutzlich, dieSpektren mehrerer Sterne ahnlichen Typs zu untersuchen, um die Starke vonAbsorptionslinien und Aquivalentbreiten der jeweiligen Elemente vergleichen zukonnen.

16

6 Teleskope und astronomische Spektrographen

6.1 Aufgabe 1 - (visuelle) teleskopische Grenzgroße

A - Augendurchmesser, DA = 8mm

mv −mG = −2, 5log10

(

F

F0

)

D2 ∼ F

−2, 5log

(

D

DA

)2

=

= −5log

(

D

DA

)

=

= −5log(D) + 5log(DA) =

= −5log(D) − 6, 5

6.2 Aufgabe 2 - Abbildungsmaßstab eines Teleskops

f = 10, 8m,α = 40′′

∆ = f ∗ α (α im Bogenmaß)

⇒ α = 1, 939 ∗ 10−4

⇒ ∆ = 0, 21cm

6.3 Aufgabe 3 - Echelle Spektrometer

s = Gitterkonstante = 1AnzahlderStriche

mm

= 179mm

ψ = EinfallswinkelΦ = Blazewinkel = 63

�26’ = 63,43

�

ϕ = Ausfallswinkelλ = 500nm

2Φ = ψ + ϕ

17

⇒ ψ = 2Φ − ϕ

s(sinψ ± sinϕ) = n ∗ λs(sin(2Φ− ϕ) ± sinϕ) = n ∗ λ

sin(2Φ − ϕ) ± sinϕ =n ∗ λs

Auflosen nach ϕ (sin-cos Beziehung):

sin(x) + sin(y) = 2sin

(

x± y

2

)

∗ cos(

x∓ y

2

)

2sin

(

2Φ − ϕ± ϕ

2

)

∗ cos(

2Φ − ϕ∓ ϕ

2

)

=nλ

s

1. Fall (einfallender und gebeugter Strahl auf gleicher Seite des Einfallslots):

2sin(Φ) ∗ cos(Φ − ϕ) =nλ

s

ϕ = Φ − arcos

(

λ

2s ∗ sin(Φ)

)

ϕ = 63, 43◦ − arcos

(

500 ∗ 109mm ∗ 44

2 179mm ∗ sin(63, 43◦

)

ϕ = 49, 75◦

2. Fall:

2sin(Φ− ϕ) ∗ cos(Φ) =nλ

s

ϕ = Φ − arcsin

(

λ

2s ∗ cos(Φ)

)

ϕ = 63, 45◦ − arcsin

(

500 ∗ 1012mm279mm ∗ cos(63, 43◦)

)

(ϕ = 229, 75◦ ⇒ 77◦)

Dispersion berechnen:

ϕ = 49, 75◦, f = 5, 8m = 5, 8 ∗ 103mm,n = 44, s =1

79

D =n ∗ f

s ∗ cos(ϕ)=

=5, 8 ∗ 103mm179cos(49, 75◦

= 0, 32A

mm

18

6.4 Aufgabe 4 - Bamberger Spektrograph

s = Gitterkonstante = 11200mm

ψ = Einfallswinkelϕ = Ausfallswinkel

λ = 6563A = 656, 3 ∗ 10−12mm

45◦ = ψ + ϕ

⇒ ψ = 45◦ − ϕ

s(sinψ ± sinϕ) = n ∗ λs(sin(45◦ − ϕ) ± sinϕ) = n ∗ λ

sin(45◦ − ϕ) ± sinϕ =n ∗ λs

Auflosen nach ϕ (sin-cos Beziehung):

sin(x) + sin(y) = 2sin

(

x± y

2

)

∗ cos(

x− y

2

)

2sin

(

45◦ − ϕ± ϕ

2

)

∗ cos(

45◦ − ϕ± ϕ

2

)

=nλ

s

1. Fall (einfallender und gebeugter Strahl auf gleicher Seite des Einfallslots):

2sin

(

45◦

2

)

∗ cos(

45◦

2− ϕ

)

=nλ

s

cos (45◦ − ϕ) =nλ

2s ∗ sin(

45◦

2

)

45◦ − ϕ = arcos

(

nλ

2s ∗ sin(22, 5◦)

)

ϕ = −arcos(

nλ

2s ∗ sin(22, 5◦)

)

+ 45◦

ϕ1 = 45◦ − arcos

(

nλ

2 11200sin(22, 5◦)

)

ϕ1 = Keine Losung, da arcos(x) − 1 < x < 1 nicht erfullt

2. Fall:

2sin

(

45◦

2− ϕ

)

∗ cos(

45◦

2

)

=nλ

s

2sin(22, 5◦ − ϕ) ∗ cos(22, 5◦) =nλ

s

sin(22, 5◦ − ϕ) =nλ

2s ∗ cos(22, 5◦)

22, 5◦ − ϕ = arcsin

(

nλ

2s ∗ cos(22, 5◦)

)

ϕ2 = 22, 5◦ − arcsin

(

nλ

2 11200 cos(22, 5◦)

)

19

ϕ2 = 2, 73◦

Dispersion berechnen:

f = 135mm

1

D=

n ∗ fs ∗ cos(ϕ)

=

=1200 ∗ 135mm

cos(2, 73◦)= 1, 6 ∗ 10−4m

A

6.5 Aufgabe 5 - Rotverschiebung

Gemessene Emissionslinien in A:3239, 4595, 4753, 5032, 5200-5415, 5632, 5632, 5792, 6005-6190, 6400-6510

Balmerlinien A: 3970, 4102, 4340, 4861, 6563 ( 1λ = R

(

122 − 1

n2

)

)

Ermittlung der verschobenen Balmerlinien uber die Differenzen zwischengemessenen Emissionslinien und theoretischen Balmerlinien:

Hε : 4595A− 3970A = 625A

Hδ : 4753A− 4102A = 651A

Hγ : 5032A− 4340A = 692A

Hβ : 5632A− 4861A = 771A

Berechnung der Rotverschiebung z:

zu Hε :∆λ

λ0= 0, 157431

zu Hδ :∆λ

λ0= 0, 158703

zu Hγ :∆λ

λ0= 0, 159447

zu Hβ :∆λ

λ0= 0, 158609

Daraus den Mittelwert: 0, 158548 Berechnung der Entfernung aus der Rotver-schiebung:

∆λ

λ0=v

c

v =∆λ

λ0∗ c

v = z ∗ cv = H0 ∗ r

20

Wir nehmen an: H0 = 75km

s

MPc

r =z ∗ cH0

r = 634, 192Mpc

Berechnung der absoluten Helligkeit des Systems:

m = 13, 5

m−M = −2, 5log

(

F (r)

F (10pc)

)

f ∼ 1

r2

m−M = −2, 5log

(

(10pc)2

r2

)

m−M = 2, 5log

(

r

10pc

)2

m−M = 5log

(

r

10pc

)

⇒M = m− 5log

(

r

10pc

)

M = −25, 5

21

7 Spektralanalyse

Formel zur Entfernungsberechnung:

r = 10( 1

5∗(mv−Mv)+1)

7.1 α Dra

mv = 3, 67, Spektraltyp: A0III, ∆Mv = 0, 0Hγ (4340A) Hβ (4861A)

Ganz 7.97008 7.25161Gernoth 7.86330 7.45794Osswald 7.43794 7.64818

Mittelwert 7.75711 7.45257Berechnete Entfernung: r = 85, 98pc = 280, 42Lj

7.2 η UMa

mv = 1, 85, Spektraltyp: B3V, ∆Mv = 0, 0

Hγ (4340A) He I (4388A) He I (4922A)Ganz 5.48024 0.400464 0.535046

Gernoth 5.33737 0.576967 0.719953Osswald 6.05503 0.698060 0.707277

Mittelwert 5.62421 0.55849 0.65409Berechnete Entfernung: r = 44, 65pc = 145, 63Lj

7.3 Schwerebeschleunigung und Effektivtemperatur

Durch Eintragung in die vorgegebene Abbildung 1 haben wir folgende Effektiv-temperaturen und Schwerebeschleunigungen ermittelt:

Stern Teff log(g)ηUMa 17000 4,3αVir 24000 3,7

7.4 OV-Stern 10 Lac

W/A log(W/mA)

Hγ (4340A) 3.07399 3.4877

Hβ (4861A) 2.98907 3.4755

HeI (4471A) 0.90287 2.9556

HeI (4388A) 0.403559 2.6059

HeI (4922A) 0.532479 2.7263

HeII (4686A) 0.880481 2.9447

HeII (4542A) 0.812810 2.9100

HeII (4200A) 0.548422 2.7391log(Teff) = 4.54, log(g) = 4.375Schwerebeschleunigung: 104.375 = 23714 cm

s2 , Temperatur: 104.54 = 34674◦K

22

7.5 Energiefluß / Masse

mv = 4, 65

f5500A = 3, 7 ∗ 10−9 ∗ 10−0,4∗4,65 = 5, 107422 ∗ 10−11

fλ

Fλ= π

R2

d2

R2 =fλ ∗ d2

Fλ ∗ πAngabe : d2 = 325 ±82

55 pc

Fλ = 8, 27erg

cm2 s A

R = 2, 96 ∗ 106km

R−55pc = 2, 41 ∗ 106km, Fehler : 17%

R+82pc = 3, 63 ∗ 106km, Fehler : 25%

M =gR2

G= 15.0M�

7.6 Linienentstehung

Im Spektrum konnen Emissions- und Absorptionslinien auftreten. Die Absorp-tionslinien entstehen durch Ubergange von Elektronen von einem niedrigeren inein hoheres Energieniveau (Anregung). Dabei nimmt das Elektron ein Photonmit der Energie E = h * ν auf, die der Energiedifferenz zwischen dem Aus-gangsniveau und dem Niveau, in die das Elektron ubergeht, entspricht. Dadurchkommt es im Spektrum zu charakteristischen Absorptionslinien. Jedes Elementhat unterschiedliche Energiedifferenzen zwischen seinen Energieniveaus. Daherkann aus Wellenlangen der Absorptionslinien auf bestimmte Elemente geschlos-sen werden. Ionisation tritt auf, wenn das Elektron von einem Energiezustandseines Atoms in das Kontinuum ubergeht. Ionisation und Anregung sind tem-peraturabhangig. Sie werden durch die Boltzmannformel (Anregung) bzw. Sa-haformel (Ionisation) beschrieben. Grundlegend ist, dass beide Terme propor-tional zu e(−1/T ) sind. Das bedeutet, dass Ionisation und Anregung mit steigen-der Temperatur zunehmen. Mit steigender Temperatur nimmt zunachst die Be-setzung der Anregungszustande zu. Mit weiter ansteigender Temperatur steigtdie Wahrscheinlichkeit der Ionisation der Atome. Dadurch treten nun verstarktdie charakteristischen Absorptionslinien der ionisierten Atome auf. Dementspre-chend schwachen sich die Absorptionslinien der nicht-ionisierten Atome von derAnregung ab.

Effekte:

� Es gibt eine naturliche Linienbreite auf Grund der heisenbergschen Un-scharferelation. (∆E ∗ ∆t >= h)

� Verbreiterung auf Grund von Strahlungs- und Stossdampfung.

� Doppler-Verbreiterung (thermischer Effekt), starkster Effekt.

23

8 Hertzsprung-Russell-Diagramm

8.1 Entwicklung eines 1M�-Sterns

Ein Stern von ca. 0,8-1,5M� verbrennt zunachst H zu He, nach dem pp-Zyklus.Der Stern befindet sich dabei im HRD auf der Hauptreihe. Im Kern in dem dieFusionsprozesse stattfinden erfolgt der Strahlungstransport radiativ. Um denKern befindet sich die konvektive Hulle. Der Stern verbleibt etwa 1010 Jahre aufder Hauptreihe.

Wenn der Wasserstoff im Kern verbraucht ist endet das Hauptreihenstadi-um. Der Wasserstoff H brennt dann in einer Schale um den Kern weiter, dabeiexpandiert die Hulle des Kerns; der Stern bewegt sich im HRD horizontal nachrechts. Schließlich bewegt sich der Stern entlang des Riesenastes aufwarts zuhoherer Leuchtkraft und sein Radius wachst.

Die Masse des Kerns wachst weiter, dabei wird seine Dichte so hoch, dassdas Gas entartet. Die Zentraltemperatur wird schließlich so hoch (100∗106 ◦K),so dass He im ααα-Prozess zu C verbrennen kann.

Im Kern setzt das He-Brennen ein. Da das Gas im Kern entartet ist, fuhrt derTemperaturanstieg zu keiner weiteren Ausdehnung des Kernes, dies beschleu-nigt wiederum die Fusionsrate. Durch den weiteren Temperaturanstieg wird dieEntartung des Gases aufgehoben, dieses beginnt zu expandieren, was zum soge-nannten Heliumblitz (Heliumflash) fuhrt. Infolge des He-Blitzes fallt die Leucht-kraft des Sterns, da die außeren Schichten kontrahieren. Der Stern befindet sichnun auf dem Horizontalast und verbrennt im Kern He zu C. ⇒ Riesenast

Wenn das He im Kern verbraucht ist, brennt dieses in einer Schale um denKern weiter. Der Stern hat jetzt 2 Schalen in denen H und He verbrannt werden.Daher bewegt sich der Stern fast senkrecht im HRD nach oben.

Schließlich stoßt der Stern seine Hulle ab, die einen planetarischen Nebelbildet. Die Leuchtkraft bleibt dabei konstant. ⇒ Im HRD konstante Linie.

Durch das Ende aller Fusionsreaktionen sinkt die Leuchtkraft und die Tem-peratur, der Stern wird zu einem weißen Zwerg1, der von einem planetarischenNebel umgeben ist. Die Stadien sind in der Abbildung 9 dargestellt.

8.2 Turnoff Punkt

Der Turnoff Punkt im Hertzsprung Russell-Diagramm markiert den Punkt, andem sich ein Stern von der Hauptreihe von der Hauptreihe entfernt.

8.3 Messwerte

U −B = 0, 32

B − V = 0, 43

8.4 Verfarbung

E(B − V ) = 0, 43

1H an der Oberflache, dann He-Bereich und C-Kern

24

Abbildung 9: Sternentwicklung

25

E(U −B) = 0, 32

E(B − V ) =1

2

(

E(B − V ) +E(U −B)

0, 72

)

=

=1

2

(

0, 43 +0, 32

0, 72

)

= 0, 44

⇒ Av = 3, 0 ∗ 0, 44 = 1, 32

8.5 Entfernung

∆m = mv −Mv = −5 + 5log(r) +A = 12, 2

−5log(r) +A = 17, 2

5log(r) = 17, 2 −A

log(r) =17, 2 −A

5=

17, 2 − 1, 56

5log(r) = 3, 296

r = 1450pc

8.6 Alter von M11

mv(∞) = 12, 5

mv −Mv = 12, 2

⇒ −Mv = 12, 2 −mv =

= 12, 5 − 12, 2 = 0, 3

−1 ⇒ 6, 0 ∗ 107Jahre

0 ⇒ 1, 6 ∗ 108Jahre

⇒ t = 3, 07 ∗ 108Jahre

Junger als unser Sonnensystem.

26

9 Rotationsperiode und Masse des Saturn

9.1 Aufgabe 1 - Bestimmung der reziproken linearen Di-

spersion Amm

mit linearer Regression

∆λ = DB ∗ tan(β)

⇒ D =∆λ

B ∗ tan(β)

∆x = B ∗ tan(β)

D =∆λ

∆x

Oberes Spektrum:

λ1 = 6128, 45A

λ2 = 6143, 06A

∆λ1,2 = 14, 61A

∆x1,2 = 27mm

⇒ D1,2 =14, 61A

27mm= 0, 541

A

mm

λ2 = 6143, 06A

λ3 = 6163, 59A

∆λ2,3 = 20, 53A

∆x2,3 = 38mm

⇒ D2,3 =20, 53A

38mm= 0, 540263157

A

mm

λ3 = 6163, 59A

λ4 = 6217, 28A

∆λ3,4 = 53, 69A

∆x3,4 = 99mm

⇒ D3,4 =53, 69A

99mm= 0, 542323232

A

mm

λ5 = 6217, 28A

λ6 = 6266, 50A

∆λ5,6 = 49, 22A

∆x5,6 = 91mm

⇒ D5,6 =49, 22A

91mm= 0, 54087912

A

mm

D =

4∑

i=1

Di

4= 0, 541

A

mm

Fehler → Standardabweichung:

27

SD =

√

√

√

√

1

12

(

n=4∑

i=1

Di −DM

)2

= 4, 3 ∗ 10−4 A

mm

⇒ D = 0, 541A

mm± 4, 3 ∗ 10−4 A

mm

9.2 Aufgabe 2 - Bestimmung des Neigungswinkels β

1 2 3 4 5x 5cm 5cm 4,9cm 4,9 4,9y 0,4cm 0,4cm 0,4cm 0,33cm 0,35cmβi 4,6

�4,6

�4,7

�3,9

�4,1

�

|βi-β| 0,016�

0,016�

0,116�

0,68�

-0,48�

β = 4, 38◦ →Sβ = ±0, 16◦ ⇒

β = 4, 38◦ ± 0, 16◦

9.3 Aufgabe 3 - Berechnung der Aquatorgeschwindigkeitund der Rotationsperiode des Saturn

B = Breite des Planetenspektrums, β = Neigungswinkel, D = Reziproke lineareDispersion

∆x = B ∗ tan(β)

∆λ = DB ∗ tan(β)

β = 4, 38◦

B = 25mm

⇒ ∆λ = 1, 1A

Fehlerfortpflanzung fur ∆λ

SFλ=

√

(

DB

cos2(β)∗ Sβ

)2

+(

B ∗ tan(β) ∗ SD

)2=

=

√

√

√

√

√

(

0, 541 Amm

cos2(7, 6 ∗ 10−2)∗ 2, 7 ∗ 10−3

)2

+ (25mm ∗ tan(7, 6 ∗ 10−2)) ∗ 4, 3 ∗ 10−4A

mm

2

=

= 0, 19A

⇒ ∆λ = 1, 1A± 0, 19A

28

Berechnung der Aquatorgeschwindigkeit vaq

vaq =c ∗ ∆λ

4λ0= 12, 06

km

s

Fehlerfortpflanzung

λ0 = 6216, 64A

c = 3, 0 ∗ 108m

s

SFλ= 0, 19A

Svaq=

√

(

c

4λ0∗ SFλ

)2

=c

4λ0∗ SFλ

Svaq= ±2, 2

km

s

⇒ vaq = 12, 06km

s± 2, 2

km

s

Berechnung der Umlaufperiode PS

RS = 60330km (Radius Saturn)

PS =2πRS

vaq

PS = 8h43′

Fehlerfortpflanzung PS

SfPS=

2πRS

v2aq

∗ Svaq=

=2π ∗ 60330km

12, 06kms

∗ 2, 2km

s= ±1h36′

⇒ PS = 8h43′ ± 1h36′

realer Wert : 10h14′

9.4 Aufgabe 4 - lineare Verschiebungen und Rotationsge-schwindigkeiten

Messung der Linienabweichungenxi: Innenringxa: Außenring

Messung 1 2 3 4 5xi 0,28 0,3 0,22 0,27 0,24xa 0,22 0,24 0,15 0,24 0,20∆λi 1,5 1,63 1,19 1,46 1,30∆λa 1,19 1,30 0,81 1,30 1,08vi 17,96 19,59 14,28 17,51 15,7va 14,25 15,62 9,72 15,60 13,02

λG 6263A 6242A 6252A 6254A 6219A

29

vi,a =c ∗ ∆λi,a

4λ0

⇒ vi = 17, 0km

s

va = 13, 6km

s

Standardabweichung

Svi= 0, 92

km

s

Sva= 1, 2

km

s

⇒ vi = 17, 0km

s± 0, 92

km

s

va = 13, 6km

s± 1, 2

km

s

9.5 Aufgabe 5 - Ermittlung der Saturnmasse

MSa,i=v2

RRR

GvR = vi oder va

G = 6, 673 ∗ 10−11 km3

kg s2

RR : Ringradius innen, außen

Ri = 93684km

Ra = 141800km

⇒MSI=v2

iR2i

G= 4, 1 ∗ 1026kg

MSA= 3, 93 ∗ 1026kg

⇒M = 4 ∗ 1026kg ± 5, 67 ∗ 1025

Berechnung des Standardfehlers mit Fehlerfortpflanzung

SfMS= 2

vRRR

G∗ vR

⇒MSI= 4, 1 ∗ 1026 ± 4, 4 ∗ 1025kg

MSA= 3, 93 ∗ 1026kg ± 6, 94 ∗ 1025kg

⇒MS = 5, 67 ∗ 1025kg

9.6 Aufgabe 6 - O2-Linien

Die O2-Linien stammen aus Absorption in der Erdatmosphare.

30

10 Radialgeschwindigkeit eines Doppelsterns

10.1 Typen der spektroskopischen Doppelsterne

Einspektrensysteme Falls die Spektern der beiden Komponenten nicht zutrennen sind, spricht man von sogenannten Einspektrensystemem. Dies ist derFall, wenn das Spektrum der leuchtkraftigeren Komponente die Linien der Se-kundarkomponente dominiert, so dass deren Linien nicht nachweisbar sind fureine brauchbare quantitative Messung zu schwach oder von den Linien der Pri-markomponente nicht trennbar sind. Die Masse kann mithilfe der Massenfunk-tion bestimmt werden:

f(M) =K3

1P

2πG

Zweispektrensysteme Bei Zweispektrensystemem konnen die Linien der Primar-und Sekundarkomponente voneinander getrennt werden. Dadurch lasst sich dasMassenverhaltnis aus der Keplerbewegung um einen gemeisamen Schwerpunktermitteln:

K1

K2=a′1a′2

=a1

a2=M2

M1

M1 +M2 =4π2 (a1 + a2)

3

GP 2

10.2 Radialgeschwindigkeit

Durch messen der Linienposition und umformen der Gleichung ∆λλ = v

c zu

v = ∆λ∗cλ haben wir folgende Radialgeschwindigkeiten ermittelt:

Datum Uhrzeit vHauptkomponentekms vNebenkomponente

kms

13.12.1989 1:35 66,3 -30,314:19 61,48 -23,82

14.12.1989 0:51 -3,85 38,934:26 -15,16 51,36

15.12.1989 0:46 -43,97 82,524:19 -41,78 82,44

16.12.1989 0:48 -0,6 34,4717.12.1989 3:47 73,51 -42,3318.12.1989 0:50 65,88 -34,58

4:33 59,14 -25,26

10.3 Gauss-Jordan

Mithilfe des Gauss-Jordan Programms haben wir die im Anhang zu findendenBahnphasen gezeichnet und fur die Funktion A1+A3sin(ϕ)+A4cos(ϕ) folgendeWerte ermittelt:

31

Hauptkomponente NebenkomponenteA1 = 17,88 A1 = 17,44A3 = -36,10 A3 = 38,69A4 = 50,71 A4 = -51,48

Halbamplitude K

v(ϕ) = A1 +A3 ∗ sin(ϕ) +A4 ∗ cos(ϕ)

v(ϕ) = A1 −K1 ∗ sin(ϕ)

⇒ A1 +A3 ∗ sin(ϕ) +A4 ∗ cos(ϕ) = A1 −K1 ∗ sin(ϕ)

A3 ∗ sin(ϕ) +A4 ∗ cos(ϕ) = K1 ∗ sin(ϕ)

sin(ϕ) in diese Formel bei Maximalwert = 1!

K1 = −A3 ∗ sin(ϕ) −A4 ∗ cos(ϕ) =

−A3 ∗ sin(ϕ) −A4 ∗ cos(ϕ)

Ableitung

v′(ϕ) = A3 ∗ cos(ϕ) −A4 ∗ sin(ϕ)

Extremwerte finden, d.h. v = 0

Primarkomponente :

−36, 10cos(ϕ)− 50, 71sin(ϕ) = 0

−0, 712 =sin(ϕ)

cos(ϕ)

−0, 712 = tan(ϕ)

arctan(−0, 712) = ϕ

⇒ ϕ = −35, 45◦

Kprim = 36, 1 ∗ sin(−35, 45)− 50, 71cos(−35, 45) =

= −20.94− 41, 31 = −62, 25km

s

Sekundarkomponente :−38, 69

51, 48= tan(ϕ)

tan(ϕ) = −0, 752

⇒ ϕ = −36, 94◦

Ksec = −38, 69 ∗ sin(−36, 94) + 51, 49cos(−36, 94) =

= 23, 25 + 41, 15 = 64, 40km

s

32

Massenverhaltnis:

M2

M1=K1

K2=

−62, 25

64, 40= −0, 9666 → 0, 9666

Massenfunktion:

f(M)

M�

= 1, 036 ∗ 10−7K31P = 1, 036 ∗ 10−7 ∗ 62, 253 ∗ 5, 0105 = 0, 125M�

Bahnradien:

P = 5, 0105d = 432907, 2s

a1,2 ∗ sin(i) =K1,2P

2π=

⇒ a1 ∗ sin(i) =62, 25km

s ∗ 432907, 2s

2π= 4, 29 ∗ 106km

s

⇒ a2 ∗ sin(i) =64, 40km

s ∗ 432907, 2s

2π= 4, 44 ∗ 106km

s

Massen:

G = 6, 673 ∗ 10−11 m3

kg s2

M2

M1= 0, 9666

⇒M1 =M2

0, 9666

f(M) =M3

2 sin(i)3

(M1 +M2)2= 0, 125M�

(0, 9666 ∗M1)3sin3(i)

(M1 + 0, 9666M1)2= 0, 125M�

0, 9031 ∗M1sin3(i)

3, 8416= 0, 125M�

⇒M1sin3(i) = 0.532M�

M2sin3i

4, 139= 0, 125M�

⇒M2sin3(i) = 0.517M�

10.4 Bahnneigung

i = 90◦

a1 =4, 29 ∗ 106 km

s

sin3(90)= 4, 29 ∗ 106km

s

33

a2 = 4, 44 ∗ 106km

s

M1 =0, 532M�

sin3(90)= 0, 532M�

M2 = 0.517M�

i = 52◦

a1 =4, 29 ∗ 106 km

s

sin3(52)= 8, 77 ∗ 106km

s

a2 = 9, 07 ∗ 106km

sM1 = 1, 087M�

M2 = 1, 057M�

Aus der Literatur plausibler Wert fur die Masse: 3, 2M�

3, 2M� sin3(i) = 0, 532M�

sin(i) = 3

√

0, 532M�

3, 2M�

sin(i) = 3

√

0, 5499 ⇒ i = 33, 36◦

10.5 Hα-Linien des Weißen Zwerges G181

Mit MIDAS haben wir die folgenden Wellenlinien fur den Weißen Zwerg undden Hauptreihenstern ermittelt:

Weißer Zwerg 6565,18A

Hauptreihenstern 6564,49A

Laborwert 6562,81A

Gravitationsrotverschiebung:

∆E

E=h∆v

hv=

∆v

v= −GM

Rc2= −∆λ

λ

∆λ = 0, 69A

GM

Rc2=

∆λ

λ

G2M4

3

2c1c2=

∆λ

λ

c1 =h2

µ5

3

e ∗m5

3

p ∗me ∗ 21

3

∗(

3

8π

)4

3

c1 = 3004751, 288 (Formelsammlung)

M4

3 =∆λ2c1c

2

λG2

34

M =4

√

(

∆λ2c1c2

λG2

)3

=

=4

√

(

2 ∗ 0, 69 ∗ 10−10 ∗ 3004751, 288 ∗ (3 ∗ 108)2

6562, 81 ∗ 10−10 ∗ 4, 4529 ∗ 10−21

)3

=

=4

√

(

3, 7319 ∗ 1013

2, 9224 ∗ 10−27

)3

=

1.2013 ∗ 1030 ⇒ 0, 607M�

R =2c1GM−

1

3 =2 ∗ 3004751, 288

6, 673 ∗ 10−11 ∗ 3√

1.2013 ∗ 1030=

= 8471628, 612m= 8471, 63km

⇒ R� = 0.01217

35

Anhang

#include <iostream>

#include <s t d l i b . h>#include <math . h>

double rad (double x) {return ( x / 360 .0 � 2 � M PI ) ;

}

double grad (double x) {return ( x � 360 .0 / 2 / M PI ) ;

}

double f r a c (double x) {x = x − ( int ) x ;i f ( x < 0)

x += 1 ;

return ( x ) ;}

double vorkomma(double x) {return ( ( int ) x ) ;

}

double nachkomma(double x) {return ( x − vorkomma(x ) ) ;

}

double lmst (double mjd , double lambda) {// Lokale m i t t l e r e S t e r n z e i t

double mjdo , t , ut , gmst , zw ;double lms t r e turn ; // Rueckgabewert

mjdo = ( int ) (mjd ) ;ut = (mjd − mjdo ) � 24 ;t = (mjdo − 51544 .5 ) / 36525 .0 ;gmst = 6.697374558 + 1.0027379093 � ut +

(8640184.812866 + (0 .093104 − 0.0000062 � t ) � t ) � t / 3 6 0 0 . 0 ;zw = ( gmst − lambda / 15 . 0 ) / 2 4 . 0 ;lms t r e turn = f r a c (zw) � 2 4 . 0 ;

return lms t r e turn ;}

double mjd ( int day , int month , int year , double hour ) {// Mod i f i z i e r t e s j u l i a n i s c h e s Datum

36

double a , mjd ;int b ;

a = 10000 .0 � (double ) year + 100 .0 � (double ) month + (double ) day ;

i f (month <= 2) {month += 12 ;year −= 1 ;

}i f ( a <= 15821004 .1 ) {

b = −2 + ( int ) ( ( year +4716)/4) − 1179 ;}else {

b = ( int ) ( year / 400) − ( int ) ( year / 100) + ( int ) ( year / 4 ) ;}a = 365 .0 � (double ) year − 679004 .0 ;

mjd = a + b + ( int ) (30 .6001 � (month + 1)) +(double ) day + (double ) hour / 2 4 . 0 ;

return mjd ;}

double z e i t in hms (double z e i t , double &hour , double &min , double &sec ) {double time ;

hour = z e i t − f r a c ( z e i t ) ;min = ( z e i t − hour ) � 60 ;s e c = f r a c (min) � 60 ;min = ( int ) min ;

}

double grad in gms (double grad in , int &vorze ichen ,double &grad , double &min , double &sec ) {

i f ( g r ad in < 0) {g rad in = −g rad in ;vo r z e i chen = −1;

}else {

vo r ze i chen = 1 ;}

grad = vorkomma( g rad in ) ;min = nachkomma( g rad in ) � 60 ;s e c = nachkomma(min) � 60 ;

min = vorkomma(min ) ;s e c = vorkomma( s e c ) ;

}

37

void grad ausgabe (double wert ) {int vz ;double a , b , c ;

while ( wert >= 360 .0 ) wert = wert − 3 6 0 . 0 ;while ( wert < 0 . 0 ) wert = wert + 360 . 0 ;

grad in gms ( wert , vz , a , b , c ) ;

i f ( vz == 1)p r i n t f ( ”+” ) ;

elsep r i n t f ( ”−” ) ;

p r i n t f ( ”%d ” , ( int ) a ) ;p r i n t f ( ”%d ’ ” , ( int ) b ) ;p r i n t f ( ”%d ’ ’\n” , ( int ) c ) ;

}

double equhor (double dec , double tau , double phi , double &h , double &az ) {// Aequa tor ia l in Horizontsystem umrechnen

// Dek l ina t ion// Tau a l s Stundenwinkel// Phi a l s Geographische Bre i t e

double x , y , z ;double r , rho ;double hoehe , azimut ;

x = cos ( rad ( dec ) ) � s i n ( rad ( phi ) ) � cos ( rad ( tau ) ) −s i n ( rad ( dec ) ) � cos ( rad ( phi ) ) ;

y = cos ( rad ( dec ) ) � s i n ( rad ( tau ) ) ;z = cos ( rad ( dec ) ) � cos ( rad ( phi ) ) � cos ( rad ( tau ) ) +

s i n ( rad ( dec ) ) � s i n ( rad ( phi ) ) ;

// Kar t e s i s che Koordinaten in Polarkoordinaten

rho = x � x + y � y ;r = sq r t ( rho + z � z ) ;azimut = grad ( atan2 ( rad (y ) , rad (x ) ) ) ; // Azimuti f ( azimut < 0) azimut += 360 . 0 ;rho = sq r t ( rho ) ;hoehe = grad ( atan2 ( rad ( z ) , rad ( rho ) ) ) ; // Hoehe

h = hoehe ;az = azimut ;

}

38

double i n t e r p o l (double hour1 , double min1 , double sec1 ,double hour2 , double min2 , double sec2 , double time ) {

double time1 ;double time2 ;double de l ta t ime ;double v e r h a e l t n i s ;

time1 = hour1 + min1 / 60 .0 + sec1 / 3 6 0 0 . 0 ;time2 = hour2 + min2 / 60 .0 + sec2 / 3 6 0 0 . 0 ;de l ta t ime = time2 − time1 ;

v e r h a e l t n i s = time / 2 4 . 0 ;

p r i n t f ( ”Verhae l tn i s : %f \n” , v e r h a e l t n i s ) ;

return ( time1 + de l ta t ime � v e r h a e l t n i s ) ;}

double i n t e r p o l 2 (double hour1 , double min1 , double sec1 ,double hour2 , double min2 , double sec2 , double time ) {

// Lineare I n t e r p o l a t i o n

// Ak t u e l l e r Tag// Fo l ge t ag// Uhrze i t

double time1 ;double time2 ;

time1 = hour1 + min1 / 60 .0 + sec1 / 3 6 0 0 . 0 ;time2 = hour2 + min2 / 60 .0 + sec2 / 3 6 0 0 . 0 ;

double v e r h a e l t n i s = time / 2 4 . 0 ;

// Wenn time = 0 Uhr , dann v e r h a e l t n i s 0// d . h . , nehme 100% vom 1. Tag und 0% vom 2. Tag

return ( time2 � v e r h a e l t n i s + time1 � (1.0− v e r h a e l t n i s ) ) ;

}

int main ( int argc , char � argv [ ] ){

// 1.1 .2000 Ju l ian Date 1543.5// S id e r a l : 6h 35min 54.8653

// doub le l aenge = −10 − (53.4 / 60 . 0 ) ; // Bamberg// doub le b r e i t e = 49 + (53 / 60 . 0 ) ;

39

double b r e i t e = 49 + (53 . 0 / 6 0 . 0 ) + ( 9 . 0 / 3 6 0 0 . 0 ) ;double l a enge = −(10 + (53 . 0 / 6 0 . 0 ) + ( 2 2 . 0 / 3 6 0 0 . 0 ) ) ;

double ju l i an i s che sda tum ;double nu l luhr ;double stundenwinkel ;

// Gruppe 5 ( Testwert )// Datum 24.2.2005// Ze i t 12h 07min 44.4 sec

double tag = 24 ;double monat = 3 ;double j ah r = 2003 ;

// tag = 16; monat = 2; jahr = 2005;

// Epoche 2003: 65.0// Epoche 2005: 66.0double epoche kor rektur = 6 5 . 0 ;

double stunde = 10 .00 − 1 . 0 ; // MEZ in UTdouble min = 18 . 0 0 ;double s e c = 00 . 0 0 ;

double endze i t s tunde = 0 ;double endze i t min = 2 ;double e nd z e i t s e c = 51 . 0 8 ;

double zw i s chenze i t s tunde = 0 ;double zwischenze i t min = 2 ;double zw i s ch enz e i t s e c = 20 . 7 0 ;

double winkel turm = 53 .0 + 37 .0 / 60 .0 + 7 .166 / 3 6 0 0 . 0 ;double winke l sonne = 106 .0 + 27 .0 / 60 .0 + 51 .0 / 3 6 0 0 . 0 ;double w ink e l d i f f e r e n z = winke l sonne − winkel turm ;

double s t hour = 0 ;double st min = 0 ;double s t s e c = 0 ;

double dek l = 0 ;double r ek t = 0 ;

stunde = stunde − endze i t s tunde + 0 .5 � zw i s chenze i t s tunde ;min = min − endze i t min + 0 .5 � zwischenze i t min ;s e c = sec − e nd z e i t s e c + 0 .5 � zw i s ch enz e i t s e c ;

z e i t in hms ( stunde+min/60.0+ sec /3600 .0 , st hour , st min , s t s e c ) ;

40

p r i n t f ( ”UT: %dh %dmin %dsec \n” ,( int ) st hour , ( int ) st min , ( int ) s t s e c ) ;

// tag = 15; stunde = 14; min = 16; sec = 0;

stunde = stunde + min / 60 .0 + sec / 3 6 0 0 . 0 ;

// Sonne am 24.2.2005// Dek l ina t ion −9 Grad 30min 16.7 sec// Rektaszens ion 22h 29min 08.41 sec

// Sonne am 25.2.2005// Dek l ina t ion −9 Grad 08min 03.9 sec// Rektaszens ion 22h 32min 55.80 sec

p r i n t f ( ”Geographische Bre i t e : ” ) ;grad ausgabe ( b r e i t e ) ;p r i n t f ( ”Geographische Laenge : ” ) ;grad ausgabe ( laenge ) ;

ju l i an i s che sda tum = mjd ( ( int ) tag , ( int ) monat , ( int ) jahr , stunde ) ;

p r i n t f ( ”MJD: %f \n” , ju l i an i s che sda tum ) ;

p r i n t f ( ”LMST Greenwich : %f \n” , lmst ( ju l ian i schesdatum , 0 ) ) ;

z e i t in hms ( lmst ( ju l ian i schesdatum , 0 ) , st hour , st min , s t s e c ) ;p r i n t f ( ”LMST Greenwich : %dh %dmin %dsec \n” ,

( int ) st hour , ( int ) st min , ( int ) s t s e c ) ;

p r i n t f ( ”LMST Bamberg : %f \n” , lmst ( ju l ian i schesdatum , laenge ) ) ;

z e i t in hms ( lmst ( ju l ian i schesdatum , laenge ) , st hour , st min , s t s e c ) ;p r i n t f ( ”LMST Bamberg : %dh %dmin %dsec \n” ,

( int ) st hour , ( int ) st min , ( int ) s t s e c ) ;

nu l luhr = mjd ( ( int ) tag , ( int ) monat , ( int ) jahr , 0 ) ;p r i n t f ( ”S t e r n z e i t 0 Uhr Greenwich : ” ) ;p r i n t f ( ”%f ” , lmst ( nul luhr , 0 ) ) ;grad ausgabe ( lmst ( nul luhr , 0 ) ) ;

p r i n t f ( ”Stunde : %f \n” , stunde ) ;

// de k l = i n t e r p o l (−9 ,−30 ,−16.7 ,−9 ,−8 ,−03.9 ,( doub le ) stunde ) ;// r e k t = i n t e r p o l (22 ,29 ,08 .41 ,22 ,32 ,55 .8 , ( doub le ) stunde ) ;

// 16.2 .2005// de k l = i n t e r p o l (−12 ,−22 ,−18.1 ,−12 ,−1 ,−24.8 ,( doub le ) stunde ) ;// r e k t = i n t e r p o l (21 ,58 ,26 .26 ,22 ,2 ,18 .93 , ( doub le ) stunde ) ;

41

// 24.3 .2003dek l = i n t e r p o l ( 1 , 1 0 , 0 2 . 1 , 1 , 3 3 , 3 9 . 7 ,

(double ) stunde + epoche kor rektur / 3 6 0 0 . 0 ) ;r ek t = i n t e r p o l ( 0 , 1 0 , 4 6 . 4 5 , 0 , 1 4 , 2 4 . 9 0 ,

(double ) stunde + epoche kor rektur / 3 6 0 0 . 0 ) ;

r ek t = rek t � 15 ; // Stunden in Grad

p r i n t f ( ”Dek l ina t i on Sonne : %f \n” , dek l ) ;p r i n t f ( ”Dek l ina t i on Sonne : ” ) ;grad ausgabe ( dek l ) ;

p r i n t f ( ”Rektaszens ion Sonne : %f \n” , r ek t ) ;

p r i n t f ( ”Rektaszens ion Sonne : ” ) ;grad ausgabe ( r ek t / 1 5 . 0 ) ;

// Stundenwinkel = LMST − Rektaszens ion

// s tundenwinke l = lmst ( ju l i an i s chesda tum , laenge ) �360.0/24.0 − r e k t ;// in Grad

stundenwinkel = lmst ( nul luhr , 0 ) ;stundenwinkel = stundenwinkel + stunde � 1 .0027379094 ;stundenwinkel = stundenwinkel � 360 .0 / 2 4 . 0 ;stundenwinkel = stundenwinkel − l a enge − r ek t ;

grad ausgabe ( stundenwinkel / 1 5 . 0 ) ;

p r i n t f ( ”Stundenwinkel : %f \n” , stundenwinkel ) ;

z e i t in hms ( stundenwinkel /15 .0 , st hour , st min , s t s e c ) ;i f ( s t hour < 0) {

z e i t in hms ( stundenwinkel /15 .0+24.0 , st hour , st min , s t s e c ) ;}

p r i n t f ( ”Stundenwinkel : %dh %dmin %dsec \n” ,( int ) st hour , ( int ) st min , ( int ) s t s e c ) ;

double hoehe ;double azimut ;

// Umwandlung von aequa t o r i a l en Koordinaten in s Horizontsystemequhor ( dekl , stundenwinkel , b r e i t e , hoehe , azimut ) ;

p r i n t f ( ”Hoehe der Sonne : %f \n” , hoehe ) ;p r i n t f ( ”Azimut der Sonne : %f (0 Grad = Sueden )\n” , azimut ) ;p r i n t f ( ”Azimut der Sonne : ” ) ;grad ausgabe ( azimut ) ;

42

double endergebnis ;endergebnis = 360 .0 − w ink e l d i f f e r e n z + azimut ;

p r i n t f ( ”Azimut des Turms : ” ) ;grad ausgabe ( endergebnis ) ;

// Mi t t e lwer t s be rechnungdouble mitte lwe r t = 0 ;

mi t t e lwe r t += 39 .0/60 .0 + 06 .0 / 3 6 0 0 . 0 ;mi t t e lwe r t += 39 .0/60 .0 + 06 .0 / 3 6 0 0 . 0 ;mi t t e lwe r t += 39 .0/60 .0 + 12 .0 / 3 6 0 0 . 0 ;mi t t e lwe r t += 39 .0/60 .0 + 11 .0 / 3 6 0 0 . 0 ;mi t t e lwe r t += 39 .0/60 .0 + 16 .0 / 3 6 0 0 . 0 ;mi t t e lwe r t += 39 .0/60 .0 + 06 .0 / 3 6 0 0 . 0 ;mi t t e lwe r t += 39 .0/60 .0 + 01 .0 / 3 6 0 0 . 0 ;mi t t e lwe r t += 39 .0/60 .0 + 08 .0 / 3 6 0 0 . 0 ;

mi t t e lwe r t = mit t e lwe r t / 8 . 0 ;

mi t t e lwe r t += 267 . 0 ;

p r i n t f ( ”Mitte lwer t f u e r Azimut des Turms : ” ) ;grad ausgabe ( mi t t e lwe r t ) ;

return 0 ;}

43