JLU Gießen WS 2010/2011Fortgeschrittenenpraktikum Teil I

Protokoll zum Zeemann-E�ekt

Daniel SchuryDaniel.Schury@physik.uni-giessen.de

16. Dezember 2010

Inhaltsverzeichnis

1 Aufgabenstellung 3

2 Durchführung 4

3 Grundlagen 5

3.1 Normaler Zeeman-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.1.1 Auftreten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.1.2 Halbklassische Herleitung durch Kreisströme . . . . . . . . . . . . . 53.1.3 Klassische Herleitung durch Ersatzelektronen . . . . . . . . . . . . . 63.1.4 Quantenmechanische Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2 Anormaler Zeeman-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 Paschen-Back-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.4 Lummer-Gehrcke-Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Messdaten 15

5 Auswertung 16

5.1 Bestimmung der Lage des 0. Maximums und des Einfallswinkels . . . . . . . 165.2 Brechungsindex Lummer-Gehrcke-Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.3 Interferenzordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.4 Landé-Faktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.5 Spezifische Ladung e

m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.6 Fehlerrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2

1 Aufgabenstellung

Ziel dieses Versuches war die Ermittlung der spezifischen Masse em . Diese sollte über die

Aufspaltung der Spektrallinien von Cadmium, welche durch den Zeeman-Effekt hervorgeru-fen wird, bestimmt werden. Gemessen wurde die Aufspaltung der Spektrallinien einer sich ineinem Magnetfeld befindlichen Cadmium-Dampflampe. Da die Aufspaltung sehr gering ist,benötigt man ein Spektrometer mit sehr hoher Auflösung, um diese sichtbar zu machen. Alssolches wurde in diesem Versuch eine Lummer-Gehrcke-Platte benutzt. Da zur Ermittlungder spezifischen Ladung der Brechungsindex der Lummer-Gehrcke-Platte bekannt sein muss,sollte dieser zunächst ermittelt werden.

Abbildung 1.1: Versuchsaufbau

3

2 Durchführung

Zunächst wurde der Magnet wie gefordert verkabelt, anschließend die Betriebsstromstärke auf2,5 A eingestellt und die Magnetfeldstärke mit Hilfe einer Hallsonde bestimmt.

E

E

A

A

E

E

A

A

0 ≤ I ≤ 2,5 A

Abbildung 2.1: Schaltung des Magnets

Danach wurde das Magnetfeld zunächstwieder ausgeschaltet, die Cadmium-Dampflampezwischen die Spulen gebracht und die Küh-lung angeschaltet. Außerdem wurde die Ap-paratur mit der Lummer-Gehrcke-Platte, denLinsen und dem Nonius in Position gebrachtund so justiert, dass die Spektrallinien so gutwie möglich sichtbar waren. Bei der erstenMessung, die ohne Magnetfeld erfolgte, wur-de die relative Lage des ersten Maximumsauf der linken Seite sowie der drei erstenMaxima auf der rechten Seite gemessen, je-weils für das rote, grüne, blaue und violetteSpektrum. Anschließend wurde für die zwei-te Messung das Magnetfeld angeschaltet undder Polarisationsfilter hinzu genommen, um die mittlere, linear polarisierte Linie auszublen-den. Dies gelang jedoch nie vollständig, meist wurde nur eine leichte Abschwächung der linearpolarisierten Linie erreicht. Dann wurde die Aufspaltung der drei rechten Maxima gemessen,wieder für jede der vier Farben.

S

N

SpL

B

M L P L LG BM: Magnet LG: Lummer-Gehre-L: Linse PlaeP: Polarisator B: Beobater

Abbildung 2.2: VersuchsaufbauAbschließend waren noch die Dicke der Lummer-Gehrcke-Platte sowie die Übergänge mit

den dazugehörigen Wellenlängen zu notieren.

4

3 Grundlagen

3.1 Normaler Zeeman-E�ekt

3.1.1 Auftreten

Der 1896 erstmals von P. Zeeman beobachtete Zeeman-Effekt beschreibt das Phänomen, dassdie Energieniveaus von Atomen im Magnetfeld aufspalten. Bringt man ein angeregtes Atomin ein Magnetfeld, so beobachtet man, dass jede Spektrallinie in drei Spektrallinien je gleichenFrequenzabstands aufspaltet. Dieses Phänomen lässt sich sowohl klassisch als auch quanten-mechanisch beschreiben.

3.1.2 Halbklassische Herleitung durch Kreisströme

A

l

pm

(m ,-e)e

Abbildung 3.1: Bahn eines Elektrons um denAtomkern

Bei diesem Modell erfolgt die Herleitungüber ein Elektron, dass den Atomkern aufeiner Kreisbahn umläuft. Einzige halbklassi-sche Bedingung ist, dass für dessen Drehim-puls die quantenmechanische Annahme |~l|=√

l(l +1)h gelten soll. Ein mit der Kreisfre-quenz ω =

v2πr

umlaufendes Elektron stellteinen elektrischen Strom

I =−e ·ω =−e f2πr

dar. Eine Leiterschleife mit der Strom-dichte

~j(~r)d3r = Id~r

erzeugt nach der Formel

~m =12

∫C

(~r×d~r)

ein magnetisches Moment

~pm = I~A =−evr2~n mit~A = πr2~n (3.1)

5

3 Grundlagen

Der Bahndrehimpuls~l des umlaufenden Elektrons der Masse me ergibt sich als

~l =~r×~p = merv~n (3.2)

Vergleich von Formel 3.1 und 3.2 sowie auflösen nach ~pm ergibt

~pm =− e2me

~l = ~µl (3.3)

Die potentielle Energie eines magnetischen Dipols in einem Magnetfeld ist Epot = −~pm~B.Der Einfachheit halber sei ~B = (0,0,B) und lz = mh. m ist hierbei die magnetische Quan-tenzahl, welche Werte von −l ≤ m ≤ l annimmt. Einsetzen des magnetischen Moments ausGleichung 3.3 ergibt

Epot =eh

2memB

mit µB = eh2me

dem Bohrschen Magneton. Damit ergibt sich eine Energieaufspaltung von∆E = En,l,m+1−En,l,m = µBB zwischen zwei benachbarten Energiezuständen, welche einzigdurch die Stärke des Magnetfeldes bestimmt ist. Um die Aufspaltung in drei Linien zu verste-hen, betrachten wir, was passiert, wenn eine Lichtwelle auf ein Atom im Magnetfeld trifft.

y

x

zB

lz

lα

pm

(a) Klassische Präzession von~lund ~pm um das Magnetfeld

0

ħ

2ħ

-ħ

-2ħ

lz

(b) MöglicheProjektio-nen vonLz = mh von~l für l = 2

Abbildung 3.2: Vektormodell des Zeeman-Effektes

Fällt eine zirkular polarisierte Lichtwellein z-Richtung auf ein Atom im Magnetfeld~B = (0,0,B), so haben bei σ+-Polarisationdie Photonen einen Spin von h und verursa-chen bei Absorption eine Änderung der Dre-himpulskomponente ∆lz = h. Es treten alsonur Übergänge der Form ∆m = m2−m1 = 1auf. Bei der σ−-Polarisation ergibt sich ana-log ∆m=−1. Das Gleiche gilt natürlich auchfür die Emission, bei der eine σ+- und ei-ne σ−-polarisierte Komponente beobachtbarsind. Betrachtet man die Emission senkrechtzum Magnetfeld, so erhält man drei linearpolarisierte Komponenten: Eine unverscho-bene, deren ~E-Vektor parallel zu ~B steht undzwei verschobene, bei denen gilt ~E ⊥ ~B.

3.1.3 Klassische

Herleitung durch Ersatzelektronen

Bei dieser Herleitung betrachtet man einElektron, welches sich in einem homogenemMagnetfeld befindet und in diesem schwingt. Diese Schwingung lässt sich als Schwingung

6

3 Grundlagen

dreier Ersatzelektronen beschreiben, welche sich überlagern. Ein Ersatzelektron schwingt inRichtung der Projektion der Ursprungsbewegung, die beiden anderen schwingen entgegenge-setzt zirkular, orthogonal zur Magnetfeldschwingung. Die Überlagerung der beiden zirkularschwingenden Ersatzelektronen entspricht dem eines linear, orthogonal zur Magnetfeldrich-tung schwingendenden Elektrons.

e-

1

2

3

2 3

B

Abbildung 3.3: Veranschaulichung Ersatzelektronen

Ohne Magnetfeld herrscht Gleichgewicht zwischen Couloumb- und Zentrifugalkraft:

mω2~r =

Ze2

4πε0r2~rr

Schaltet man ein Magnetfeld hinzu, erfahren die beiden zirkular schwingenden Ersatzelek-tronen eine Lorentzkraft, wodurch sich ihre Schwingungsfrequenz ändert. In einem Magnet-feld ~B = B~ez mit der Lorentzkraft ~FLorentz = q(~v×~B) mit q = e ergeben sich für die einzelnenKomponenten folgende Bewegungsgleichungen:

mx+mω2x− eyB = 0

my+mω2y− exB = 0

mz+mω2z = 0

Die Lösung für die z-Komponente lautet: z = A0eiwt . Man sieht, dass keinerlei Frequenz-verschiebung stattfindet. Für die anderen Gleichungen ergibt sich unter der Annahme, dass ~Bschwach ist und der Einführung der Relativkoordinaten u = x + iy, v = x - iy die Lösungen

u =Cei(ω− eB2m )t

v =Cei(ω+ eB2m )t

Die Lösungen entsprechen zwei gegenläufigen zirkularen Oszillatoren, welche folglich zir-kular polarisiertes Licht emittieren/absorbieren. Die Oszillationsfrequenz ist dabei um eB

2m ge-genüber ω verschoben. Die Verschiebung entspricht einer Energiedifferenz

7

3 Grundlagen

von ∆E = h∆ω = he2mB, genau wie bei der ersten Herleitung.

Die Polarisation ergibt sich aus der Herleitung, die Beobachtbarkeit der verschiedenen Auf-spaltungen ist wie bei der vorherigen Herleitung.

3.1.4 Quantenmechanische Herleitung

Bei der quantenmechanischen Herleitung geht man zunächst von der klassischen Hamilton-funktion für ein Elektron im Magnetfeld aus. In einem elektromagnetischen Feld wirken aufein geladenes Teilchen Lorentz- und Couloumbkräfte. Daraus folgt die Bewegungsgleichung

m~r =−e~E− e(~v×~B)

Die generalisierten Koordinaten ergeben sich als

~p =−∂H(~p,~r)∂ r

~r =∂H(~p,~r)

∂ p

mit der Hamiltonfunktion H(~p,~r), welche ohne Beachtung des Eigendrehimpulses die Form

H =1

2m(~p+ e~A)2 + eV

hat. Dabei wurden die aus der Elektrodynamik bekannten Relationen

~B = ~∇×~A

~E =−~∇V − d~Adt

ausgenutzt.Geht man nun zur Operatordarstellung über und ersetzt ~p durch −ih~∇, erhält man den Ha-

miltonoperator

H =1

2m(−ih~∇+ e~A)2 + eV

welcher ausmultipliziert die Form

H =− h2

2m∆+

he2mi

~A~∇+he

2mi~∇~A+

e2~A2

2m+ eV

hat.

8

3 Grundlagen

Bei einem schwachen Magnetfeld, also A� 1, lässt sich mit den Annahmen

~A2 ≈ 0~∇~A≈ 0

sowie der Wahl des Magnetfelds in z-Richtung, wodurch sich als mögliches Vektorpotential

~A =

(−B

2y,

B2

x,0)

ergibt, die Schrödingergleichung

HΨ = EΨ

mit dem Separationsansatz

Ψ(r,θ ,φ) = Rn,l(r)eimφ Plm(cosθ)

lösen. Aus der Lösung ergibt sich direkt die Energieverschiebung

∆E = E0n +B

eh2me

m

mit der Magnetquantenzahl m, welche Werte von −l ≤ m ≤ l annehmen kann, da die z-Komponente des Drehimpulses nicht größer als dessen Betrag sein kann.Mit Hilfe der zeitabhängigen Störungstheorie kann man jetzt betrachten, welche Übergängebeobachtbar sind. Mit dem Dipoloperator ~d als Störoperator für die Übergangswahrschein-lichkeit erhält man als Übergangswahrscheinlichkeit für den Wechsel eines Zustands |b〉 inden Zustand |a〉

wab ∼ |〈b|~d|a〉|2

Spaltet man nun den im Dipoloperator enthaltenen Ortsvektor in drei linear unabhängigeKoordinaten auf, ergibt sich

wI ∼ |〈b|x+ iy|a〉|2

wII ∼ |〈b|x− iy|a〉|2

wIII ∼ |〈b|z|a〉|2

Dies entspricht den drei Übergangswahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Strahlungen,die von den drei klassischen Ersatzelektronen emittiert werden. Damit diese ungleich nullwerden, muss für die ersten beiden ∆m =±1 und für die dritte ∆m = 0 gelten.

9

3 Grundlagen

Somit ergibt sich wieder die Aufspaltung in die drei Energieniveaus

∆EI = E0n +B

eh2me

∆EII = E0n −B

eh2me

∆EIII = E0n

3.2 Anormaler Zeeman-E�ekt

L

S

J

µJ

µJ J( )

µs12

γ

γ

µL

µs12

Abbildung 3.4: Präzession beim anormalemZeeman-Effekt

Als man den Zeeman-Effekt genauer zu stu-dieren begann, stellte man fest, dass die theo-retischen Vorhersagen nicht auf alle Atomezutrafen, bei manchen Atomen entstandenLinien mit verschiedenen Abständen und un-erwarteter Anzahl. Man nannte diese Abwei-chungen den anormalen Zeeman-Effekt, ob-gleich sich später herausstellte, dass dieserder weitaus häufiger auftretende Effekt ist.Man betrachtete die Unterschiede zwischenden Atomen und stellte fest, dass der norma-le Zeeman-Effekt nur für solche Atome auf-tritt, deren Gesamtspin ~S gleich null ist, wo-hingegen der anormale Zeeman-Effekt beisolchen Atomen auftritt, bei denen die ein-zelnen Spins zu einem Gesamtspin ungleichnull koppeln. Der normale Zeeman-Effektstellt also nur einen Spezialfall des anor-malen Zeeman-Effekts dar. Es existieren diemagnetischen Momente

~µs =−µBgs

h~s

~µl =−µBgl

h~l

deren Herleitung analog dem normalem Zeeman-Effekt verläuft. µB ist hierbei das BohrscheMagneton, gl = 1 und gs ≈ 2 die gyromagnetischen Faktoren, welche beschreiben, wie starkdas Drehmoment eines Spins im Vergleich zu einem gleich großem Drehimpuls ist. Die beidenMomente koppeln zu einem Gesamtmoment

10

3 Grundlagen

~µ j =~µl +~µs =−µB

h(gl~l +gs~s)

Weiterhin koppeln alle Einzelbahndrehimpulse zum Gesamtbahndrehimpuls~L und alle Ein-zelspins zum Gesamtspin ~S, welche wiederum zum Gesamtdrehimpuls ~J koppeln. Im Folgen-den wird nur auf diese L-S-Kopplung eingegangen und die bei großen Kernzahlen ebenfallsauftretende jj-Kopplung ignoriert.Beim anormalen Zeeman-Effekt hängt die Energieaufspaltung mit dem Erwartungswert desmagnetischen Gesamtdrehimpulsmomentes zusammen:

∆E =VB =−〈~µ j〉~B

~µ j wird hierbei auf den Gesamtdrehimpuls ~J projeziert, wodurch sich die anderen Kompo-nenten herausmitteln. Unter der Annahme ~B = B~ez sowie der Relation

~µ j =−µB

h(~S+ ~J)

führt die Projektion

VB =−〈~µ j〉~B =−(~µ j~JJ)(~B

~JJ)

zu folgender Darstellung:

VB =µB

h((~S+ ~J)

~JJ)(~B

~JJ) =

µB

hJ2 + ~J~S

J2 BJz

Aus

~L2 = (~J−~S)2 = J2 +S2−2(~J~S)↔ ~J~S =J2 +S2−L2

2folgt direkt

VB =µB

h3J2 +S2−L2

2J2 BJz

Geht man nun von den Impulsen zu ihrer Operatordarstellung über, ergibt sich mit derenBetragsquadraten

J2 = J(J+1)h

L2 = L(L+1)h

S2 = S(S+1)h

Jz = m jh

11

3 Grundlagen

der Ausdruck für das Wechselwirkungspotential

VB = ∆E = µBB(1+J(J+1)+S(S+1)−L(L+1)

2J(J+1)︸ ︷︷ ︸Lande−Faktor

= µBBg j

Hierbei gelten die bekannten Auswahlregeln ∆m = ±1,0. Für S 6= 0 ist der Landé-Faktorungleich 1, es ergeben sich Aufspaltungen in je nach L mehr als drei Spektrallinien. Für S = 0ist der Landé-Faktor 1, es ergibt sich der normale Zeeman-Effekt als Grenzfall.

3.3 Paschen-Back-E�ekt

Bei der Herleitung des Zeeman-Effekts ging man bisher von schwachen Magnetfeldern aus.Im Falle eines starken Magnetfeldes tritt der Paschen-Back-Effekt auf. Hierbei ist die Kopp-lung des Spin- und Bahnmomentes an das Magnetfeld stärker als die Kopplung untereinander.Deshalb entkoppeln ~S und~L und präzessieren einzeln um das Magnetfeld. Wann ein Magnet-feld ausreichend »stark« ist, hängt von den Eigenschaften des Atoms ab, da zum Beispielmit steigender Kernladungszahl die Spin-Bahn-Kopplungsenergie zunimmt. Durch die Ent-kopplung des Gesamtdrehimpulses ergibt sich nun die Wechselwirkung VmL,mS als Summe derWechselwirkung der einzelnen Momente:

VmL,mS = (µL +µS)µBB≈ (mL +2mS)µBB

Die Energieaufspaltung ist dementsprechend

∆E = (∆mL +2∆mS)µBB

Mit den Auswahlregeln für optische Übergänge, ∆mL = ±1,0 und ∆mS = 0 ergibt sichwieder die gleiche Energieaufspaltung wie beim normalen Zeeman-Effekt.

12

3 Grundlagen

−1/2

+1/2

+1/2

−1/2

+1/2−1/2

+3/2

−3/2

0

0

−1/2

0 −1/2

+1/2

−1 −1/2

0 +1/2

+1 +1/2

−1+1

+1/2−1/2

0

0+1

-1

0+1

-1

+2

-2

1/2

3/2

1/2

5/23/21/2

1

2

3

4

5

Bohr Feinstruktur AnomalerZeeman-Effekt

Paschen-Back-Effekt

NormalerZeeman-Effekt

hps://secure.wikimedia.org/wikipedia/de/w/index.php?title=Datei:Wasserstoff_Zeeman.svg&filetimestamp=20091126174819

Abbildung 3.5: Die verschiedenen Aufspaltungen anhand des Wasserstoffatoms

3.4 Lummer-Gehrcke-Platte

Die Lummer-Gehrcke-Platte ist ein auf dem Prinzip der Vielstrahlinterferenz beruhendes In-terferometer. Es besteht aus einer planparalellen Glasplatte, in die ein Lichtstrahl unter fla-chem Winkel eintritt. Am Eintrittspunkt ist ein Prisma angebracht, dessen Aufgabe es ist, eineerste starke Reflektion beim Eintritt unter flachem Winkel in das optisch dichtere Medium zuvermeiden, indem die Eintrittsfläche rechtwinklig zum Strahl geneigt wird.

Abbildung 3.6: Lummer-Gehrcke-Platte

13

3 Grundlagen

Im Inneren der Platte tritt auf Grund des schrägen Einfallswinkel an der Ober- bzw- Unter-kante immer nahezu Totalreflektion auf, wodurch bei jedem Auftreffen auf eine Grenzflächeungefähr 95% des Strahls in die Platte zurück reflektiert wird und der Rest austritt. Die austre-tenden Strahlen werden durch Linsen gebündelt, wobei sie am Beobachtungspunkt auf Grundihres Gangunterschieds interferieren. Dadurch wirkt die Platte als Interferenzfilter nach Artdes Fabry-Pérot-Interferometers. Durch Variation des Einfallswinkels können die durchgelas-senen Frequenzen festgelegt werden.

A C

D

B

α

β

d

Abbildung 3.7: Strahlgang Lummer-Gehrcke-Platte

Bedingung für konstruktive Interferenz istein Gangunterschied ∆λ = kλ . ∆λ lässt sichaus der Skizze leicht als

∆λ = n(AB+BC)−AD (3.4)

ablesen. Für die Strecken gilt:

AB = BC =d

cosβ

AD = cos(90◦−α)AC = sin(α)2d tanβ

Einsetzen in Gleichung 3.4 ergibt:

∆λ = 2d(n

cosβ− tan(β )sinα)

Nach dem snelliusschen Brechungsgesetz gilt n =sinα

cosβund somit lässt sich die Interfe-

renzbedingung vereinfachen zu:

∆λ = kλ = 2d√

n2− sin(α)2 (3.5)

Da k im Allgemeinem unbekannt ist, muss es zur Bestimmung des Brechungsindexes eli-miniert werden. Das geschieht über die Ableitung von k:

∆k∆α≈ ∂k

∂α=

∂

∂α

1λ

2d√

n2− sin(α)2 =−2d sin(α)cos(α)

λ√

n2− sin(α)2

Umstellen nach dem Brechungsindex gibt:

n =

√(2d sin(α)cos(α)∆α

∆kλ

)2

+ sin(α)2

d entspricht hierbei der Dicke der Platte, ∆k der Differenz der Ordnung der betrachtetenMaxima und ∆α dem Winkelunterschied. Umstellen von 3.5 ergibt für die Interferenzordnung:

k =2dλ

√n2− sin(α)2

14

4 Messdaten

Im Folgenden sind die aufgenommen Messwerte unserer Messungen aufgelistet. Die Dickeder Lummer-Gehrcke-Platte konnte auf dem Spektrometer einfach abgelesen werden und be-trägt 3,38 mm. Für das Magnetfeld lieferte die Hallsonde genau den Wert von 400 mT.

Farbe Übergang Wellenlänge [Å]Rot 3D→ 2P 6438,47

Grün 2S→ 2P1 5085,88Blau 2S→ 2P2 4799,91

Violett 2S→ 2P3 4678,19

Tabelle 4.1: Zusammenhang zwischen den Spektrallinien und den Übergängen in Cadmium

-1 1 2 3 ……

Abbildung 4.1: Benennung der Maxima

- 1. Maximum 1. Maximum 2. Maximum 3. MaximumRot 21◦ 43’ 20◦ 15’ 19◦ 51’ 19◦ 35’

Grün 21◦ 31’ 20◦ 23’ 20◦ 02’ 19◦ 45’Blau 21◦ 40’ 20◦ 20’ 20◦ 00’ 19◦ 43’

Violett 21◦ 41’ 20◦ 17’ 20◦ 00’ 19◦ 42’

Tabelle 4.2: Messung ohne Magnetfeld

Maximum 1. Links 1. Rechts 2. Links 2. Rechts 3. Links 3. RechtsRot 20◦ 21’ 20◦ 13’ 19◦ 56’ 19◦ 49’ 19◦ 37’ 19◦ 32’

Grün 20◦ 21’ 20◦ 11’ 20◦ 06’ 19◦ 59’ 19◦ 51’ 19◦ 44’Blau 20◦ 33’ 20◦ 15’ 20◦ 02’ 19◦ 52’ 19◦ 48’ 19◦ 40’

Violett 20◦ 36’ 20◦ 17’ 20◦ 01’ 19◦ 54’ 19◦ 54’ 19◦ 41’

Tabelle 4.3: Messung mit Magnetfeld (400 mT)

15

5 Auswertung

5.1 Bestimmung der Lage des 0. Maximums und des

Einfallswinkels

Zur Bestimmung der Lage des 0. Maximums nimmt man den halben relativen Abstand zwi-schen dem -1. und dem 1. gemessenen Maximums: φ0 =

φ−1+φ12

φ0rot 20◦59’

grün 20◦57’blau 21◦

violett 20◦59’

Tabelle 5.1: Lage der 0. Maxima

Für die weiteren Berechnungen benötigt man zunächst die absolute Differenz η zwischendem berechneten Hauptmaximum φ0 und den gemessenen Maxima φn. Diese ergibt sich alsDifferenz η = φ0−φn.

1. Maximum 2. Maximum 3. Maximumrot 0◦44’48” 1◦08’48” 1◦23’48”

grün 0◦34’00” 0◦55’00” 1◦12’00”blau 0◦40’00” 1◦00’00” 1◦17’00”

violett 0◦41’48” 0◦58’48” 1◦16’43”

Tabelle 5.2: Absolute Winkeldifferenz der Maxima

Weiter wird der Einfallswinkel α benötigt, welcher sich über αi = 90◦−ηi ergibt.

α1 α2 3. α3rot 89◦16’ = 1,56 rad 88◦51’ = 1,55 rad 88◦36’ = 1,55 rad

grün 89◦26’ = 1,56 rad 89◦05’ = 1,55 rad 88◦48’ = 1,55 radblau 89◦20’ = 1,56 rad 89◦00’ = 1,55 rad 88◦43’ = 1,55 rad

violett 89◦18’ = 1,56 rad 89◦01’ = 1,55 rad 88◦43’ = 1,55 rad

Tabelle 5.3: Einfallswinkel

16

5 Auswertung

5.2 Brechungsindex Lummer-Gehrcke-Platte

Zur Bestimmung des Brechungsindex der Lummer-Gehrcke-Platte interessiert uns zunächstdie Winkeldifferenz zweier benachbarter Einfallswinkel

α1→ α2 α2→ α3rot 25’ = 7,27 mrad 15’ = 4,36 mrad

grün 21’ = 6,11 mrad 17’ = 4,95 mradblau 20’ = 5,82 mrad 17’ = 4,95 mrad

violett 17’ = 4,95 mrad 18’ = 5,24 mrad

Tabelle 5.4: Winkeldifferenz αi→ αi+1

Damit ergibt sich der Brechungsindex nach der bekannten Formel als

ni =

√(2d sin(αi)cos(αi)∆αi→i+1

∆kλ

)2

+ sin(αi)2

Da nur benachbarte Maxima betrachtet werden, ist ∆k = 1. Die Breite d der Platte ist 3,38mm, λ ist die Wellenlänge des Lichts der betrachteten Maxima. Damit ergeben sich folgendeBrechungsindizes:

n1 n2 nrot 1,3 1,38 1,34

grün 1,33 1,69 1,51blau 1,34 1,76 1,55

violett 1,26 1,86 1,56

Tabelle 5.5: Brechungsindizes

Man sieht hier sehr schön, wie der Brechungsindex gemäß der Dispersionsrelation zu klei-neren Wellenlängen hin immer größer wird.

5.3 Interferenzordnung

Gemäß der hergeleiteten Formel

ki =2dλ

√n2− sin(αi)2

17

5 Auswertung

ergeben sich folgende Interferenzordnungen:

krot 9.368

grün 15.044blau 16.685

violett 17.305

Tabelle 5.6: Interferenzordnung

5.4 Landé-Faktoren

Zur späteren Bestimmung von em müssen zunächst die Landé-Faktoren gemäß

gJ = 1+J(J+1)+S(S+1)−L(L+1)

2J(J+1)berechnet werden.

mJ'

10-1

210-1-2

S13

P23

σ π σ- +(a) anormaler Zeeman-

Effekt

σ π σ- +

mJ'

210-1-2

10-1 P1

1

D21

(b) normaler Zeeman-Effekt

Abbildung 5.1: Unterschiedliche Aufspaltung der Übergänge beim normalen und anormalenZeeman-Effekt an Hand der roten und der grünen Linie.

Da es sich bei der Aufspaltung der roten Linie um den normalen Zeeman-Effekt handelt,ist ∆gJ hier ±1. Bei den anderen handelt es sich um den anormalen Zeeman-Effekt, was zueiner Aufspaltung in mehrere Linien führt. Da diese im Versuch aber nicht einzeln aufgelöstwerden konnten, wird für die Auswertung über alle möglichen Faktoren gemittelt. Die grüneLinie entsteht durch den Übergang 3S1→2 P2. Dadurch ergeben sich für die σ−-Komponente

18

5 Auswertung

∆gJ,1 = 2− 32·2 =−1

∆gJ,2 = 0− 32=−3

2∆gJ,3 =−1 ·2−0 =−2

Daraus folgt ∆gJ = −32 . Analog für die σ+-Komponente ∆gJ = 3

2 . Nach analogen Rech-nungen finden wir für die blaue Linie ∆gJ =±7

4 und für die violette Linie ∆gJ =±2.

5.5 Spezi�sche Ladung em

Der hergeleitete Energieunterschied ∆E beträgt

∆E = µBB∆gJ =em

h2

B∆gJ (5.1)

Für Licht gilt

∆E =hc∆λ

∆λ lässt sich ersetzen, indem man das totale Differential von λ bildet:

dλ =∂λ

∂ndn+

∂λ

∂αdα

Wenn man davon ausgeht, dass die Brechungsindexabhängigkeit von λ für die kleine Win-keländerung vernachlässigbar ist und man von infinitesimalen Änderungen zu endlichen klei-nen Änderungen übergeht, ergibt sich ∆λ als

∆λ =∂λ∆α

∂α

Mit ∂λ = 2d√

n2− sin(α)2 und durch Gleichsetzen mit Formel 5.1 und Auflösen nach em

ergibt sich

em

=2πcd ·B· ∂α

∆gJ∆α√

n2− sin(α)2

∂α ist hierbei die durch das Magnetfeld erzeugte Winkeldifferenz der Aufspaltung, ∆α dieWinkeldifferenz zwischen 2 Maxima. Damit ergeben sich folgende Werte für e

m :

19

5 Auswertung

1. Aufspaltung 2. Aufspaltung Mittelwertrot 2,187 3,647 2,917

grün 1,565 1,929 1,747blau 2,017 2,369 2,193

violett 2,221 2,099 2,16

Tabelle 5.7: em in Einheiten von 1011 C

kg

Als absoluter Mittelwert ergibt sich

em

= 2,254 ·1011 Ckg

Ein erster Vergleich mit dem Literaturwert von em = 1,759 C

kg ergibt, dass der gemittelte Wertum ungefähr 28% von diesem abweicht. Der Mittelwert der grünen Linie ist jedoch fast gleichdem Literaturwert, was sich auch durch den Versuchsablauf erahnen ließ, da die grünen Linienmit Abstand am Besten zu sehen und somit zu bestimmen waren.

5.6 Fehlerrechnung

Der absolute Fehler ergibt sich nach der Methode der Fehlerfortpflanzung als

∆em

=

√∣∣∣∣∂ em

∂B∆B∣∣∣∣2 + ∣∣∣∣ ∂

em

∂ (∂α)∆(∂α)

∣∣∣∣2 + ∣∣∣∣∂ em

∂n∆n∣∣∣∣2 + ∣∣∣∣ ∂

em

∂ (∆α)∆(∆α)

∣∣∣∣2 + ∣∣∣∣∂ em

∂α∆α

∣∣∣∣2Die Dicke der Platte wird als fehlerlos betrachtet, die anderen Fehler ergeben sich als

∆B = 1mt; ∆(∂α) = 9,7µrad; ∆(∆α) = 9,7µrad; ∆α = 19,4µrad; ∆n = 0,1

Die Fehlerrechnung wurde exemplarisch für den zweiten Übergang im roten Spektrumdurchgeführt, da dieser am Meisten vom Mittelwert abweicht. Damit ergibt sich der absoluteFehler zu

∆em

=√

(9,11 ·10−4)2 +(0,035)2 +(0,614)2 +(8,18 ·10−3)2 +(8,15 ·10−7)2 ·1011 Ckg

= 0,615 ·1011 Ckg

Insgesamt erhalten wir

em

= (2,254±0,615)1011 Ckg

20

5 Auswertung

was einem relativem Fehler von 27,28% entspricht. Im Rahmen des Fehlers konnten wir denLiteraturwert also knapp bestätigen, die Messung der grünen Linie alleine sogar sehr gut. InAnbetracht der möglichen Ungenauigkeiten, die in diese Messung reinspielten, wie das gerin-ge Auflösungsvermögen, welches eine Näherung des anormalen Zeeman-Effektes erforderlichmachte, die geringe Lichtstärke des violetten und besonders des roten Spektrums sowie gene-rell die stark fehlerbehaftete Messmethode nach Augenmaß, ist das erzielte Ergebnis durchauszufriedenstellend.

21

Tabellenverzeichnis

4.1 Zusammenhang zwischen den Spektrallinien und den Übergängen in Cadmium 154.2 Messung ohne Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.3 Messung mit Magnetfeld (400 mT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.1 Lage der 0. Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.2 Absolute Winkeldifferenz der Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.3 Einfallswinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.4 Winkeldifferenz αi→ αi+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.5 Brechungsindizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.6 Interferenzordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.7 e

m in Einheiten von 1011 Ckg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

22

Abbildungsverzeichnis

1.1 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1 Schaltung des Magnets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.1 Bahn eines Elektrons um den Atomkern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Vektormodell des Zeeman-Effektes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.3 Veranschaulichung Ersatzelektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.4 Präzession beim anormalem Zeeman-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.5 Die verschiedenen Aufspaltungen anhand des Wasserstoffatoms . . . . . . . 133.6 Lummer-Gehrcke-Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.7 Strahlgang Lummer-Gehrcke-Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.1 Benennung der Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.1 Verschiedene Aufspaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

23