Prozesskontrolle und Prozessfähigkeit

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Prozesskontrolle und Prozessfähigkeit Literatur Ledolter, Burrill, Statistical Quality Control: Kap.12: Statistical Process Control: Control Charts; Kap.13: Process Capability and Pre-Control Bergman, Klefsjö, Quality: Kap.12: 12: Control Charts; Kap.13: Capability

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Prozesskontrolle und Prozessfähigkeit. Literatur Ledolter, Burrill , Statistical Quality Control : Kap.12: Statistical Process Control: Control Charts; Kap.13: Process Capability and Pre-Control Bergman, Klefsjö , Quality : Kap.12: 12: Control Charts; Kap.13: Capability. - PowerPoint PPT Presentation

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Prozesskontrolle und Prozessfähigkeit

LiteraturLedolter, Burrill, Statistical Quality Control: Kap.12: Statistical Process Control: Control Charts; Kap.13: Process Capability and Pre-Control Bergman, Klefsjö, Quality: Kap.12: 12: Control Charts; Kap.13: Capability

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Prozesskontrolle

Anwendung der Statistik zur Kontrolle (Beobachtung und Regelung) des Prozesses Änderungen des Mittelwertes (Niveau, Level) Änderungen der Prozessvariabilität

Ist der Prozess „in Kontrolle“ (stabil)?

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Zielsetzung der Prozesskontrolle

Rasch entdecken, wenn der Prozess „außer Kontrolle“

Qualitätsverbesserung

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Funnel-Experiment Lasse einen stabilen Prozess unverän-dert! Trichter- (funnel-) Experiment: Kugel rollt

durch Trichter; Ziel ist Nullpunkt, Kugel trifft im k-ten Versuch zk

Strategien: Trichter unverändert Verschiebe Trichter um –zk Verschiebe Trichter nach –zk

(Verschiebe Trichter nach zk)

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Prozess- vs. Annahmekontrolle Prozesskontrolle (PK) reduziert Kosten,

Annahmekontrolle (AK) kommt zu spät PK gibt Hinweise auf Ursachen für

Mängel PK erlaubt Anpassen an Anforderungen PK erlaubt Verbesserungen PK erlaubt Robustifizierung

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Shewhart-Karte

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Kontrollkarten

Zeitreihen-Darstellung von Prozess- oder Produktcharakteristika

Graphische Hilfe um festzustellen, ob Prozess „in Kontrolle“

Variabilität durch common (usual) causes vs. Variabilität durch special (assignable) causes

Alarm => Suche nach Ursachen Mittel, den Prozess (1) besser zu

verstehen und (2) zu verbessern

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Bedeutung der Kontrollkarten

Anwendung heißt: Analyse des Prozesses oder Produktes

Produktentstehung ist wichtiger als Produkt (Deming: „nur 6% der Fehler durch special causes“)

Einfache Technik

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Anwendung der Kontrollkarte

Was (welche Charakteristika) soll kontrolliert werden?

Welche Standards sind zu erfüllen? Welche Messungen? Welcher Messvorgang? Welche Verarbeitung der Messungen?

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Kontrollkarten bei Dienstleistungen

Anwendungen bei IBM Kingston Vorschlagswesen (Dauer der Realisie-

rung) Medizinische Einstellungsuntersuchung

(Dauer) Auftragsabwicklung (Anzahl der Fehler) Etc.

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Typen von Kontrollkarten Mittelwerts-Karte ( Karte) s-Karte (Standardabweichung) R-Karte (range) c-Karte (counts) p-Karte (proportion)

Für metrische Merkmale: Mittelwerts-, s- und R-Karte: Mittelwert und Variabilität müssen kontrolliert werden!

x

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Aufbau einer Kontrollkarte

Mittellinie (center line) untere Kontrollgrenze (lower control

limit, LCL) obere Kontrollgrenze (upper control

limit, UCL) Als Kontrollgrenzen sind 3-Grenzen

üblich (siehe unten)

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Verwendung einer Kontrollkarte

1. In regelmäßigen Intervallen: Ziehen einer Stichprobe (n=4 oder 5)

2. Für k-te Stichprobe: MWk, sk, Rk

3. Eintragen in Kontrollkarten

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Beispiel: Mittelwerts-Karte

nach zGWS gilt (näherungsweise): bei stabilem Prozess liegen 99.73% der Mittelwerte im Intervall

Ersetzen von durch , durch gibt

nn

3,

3

x

n

sxUCL

n

sxLCL

3,

3

s

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Beispiel: Mittelwerts-Karte, Forts.

Alternativ schreiben wir mit A3 (aus der Tabelle)

Die Größen und werden in der Initialisierungsphase ermittelt

sAxUCLsAxLCL 33 ,

x s

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s-Karte

Bei stabilem Prozess liegen 99.73% der Standardabweichungen sk zwischen

B3 und B4 aus der Tabelle

sBUCLsBLCL 43 ,

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R-Karte

Bei stabilem Prozess liegen 99.73% der Spannweiten Rk zwischen

D3 und D4 aus der Tabelle ist der Mittelwert der Rk aus der

Initialisierungsphase R-Karte ist einfacher, s-Karte zeigt eher

Änderung an

RDUCLRDLCL 43 ,

R

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Bewertung von Kontrollkarten

Lauflänge (run length) RL: Zahl der Stichprobenwerte, bis eine Kontrollgrenze überschritten wird (die Kontrollkarte einen Alarm gibt)

Wahrscheinlichkeitsverteilung von RL:P(RL=k) = (1-w)k-1w, k = 1, 2, ...

mitw = P(Stichprobenwert liegt außerhalb Kontrollgrenzen)

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ARL, mittlere Lauflänge

ARL (average run length)ARL = E(RL) = 1/w

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Beispiel: Mittelwerts-Karte

Prozess in Kontrolle mit 0 und w = 1 P(LCL UCL)

= 0.0027und ARL = 1/0.0027 = 370

Prozess außer Kontrolle: = 0 + w = 1 P( 3 n Z 3 n)

x

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Praxis der Kontrollkarten

Konstruktion: Auswahl des Stichproben-Intervalls Auswahl des Stichproben-Umfanges Art der Stichprobe

Verwendung: Kleiner Stichproben-Umfang (4 oder 5): toleriert

kleine d Kosten für (1) einzelne Messung, (2) Unterbre-

chung des Prozesses, (3) nicht entdecktes out-of-control Produkt

"rationale" Wahl der Stichproben

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Kontrollkarten für Attribute

p- und np-Karte: zur Kontrolle des Anteils von defekten Stücken

c-Karte: bei komplexen Produkte (zB ganzer PKW): zur Kontrolle der Anzahl der Defekte (nonconformities) an einem geprüften Stück

u-Karte: wie c-Karte, aber auf Einheit bezogen; i-te Stichprobe umfasst ni Einheiten

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Variablen- vs. Attributkontrolle

Variablenkontrolle: berücksichtigt mehr Information reagiert „rechtzeitig“ kleinere Stichproben

Attributkontrolle auch auf metrisch-skalierte Variable anwendbar

(brauchbar ja/nein) einfacher mehrere Merkmale gemeinsam robuster

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Mittelwerts-Karte mit Warngrenzen

Bedingungen für „außer Kontrolle“ eine Beobachtung außerhalb 3-Grenze mindestens zwei von drei

Beobachtungen in Reihe ober- oder unterhalb CL und außerhalb 2-Grenze

mindestens vier von fünf Beobachtungen in Reihe ober- oder unterhalb CL und außerhalb 1-Grenze

mindestens acht Beobachtungen in Reihe ober- oder unterhalb CL

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Warngrenzen: weitere Bedingungen

mindestens 15 Beobachtungen in Reihe innerhalb 1-Grenze ("hugging")

mindestens 15 Beobachtungen in Reihe außerhalb C ("Misch"-Prozess)

lange Folge von hoch-tief Beobachtungen ("Sägezahn")

Zyklen, Trend

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Effekte der Warngrenzen

Prozess außer Kontrolle wird rascher entdeckt (ARL kleiner)

Achtung! Auch ARL bei Prozess in Kontrolle wird kleiner!

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Beispiel: Mittelwertskarte

Entscheidung nach 1.: ARL(0) = 370ARL() = 33.9

Entscheidung nach 1. bis 4.: ARL(0) = 100

ARL() = 9

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Prozessüberwachung

Ermittlung von x-barbar und s-bar nur mit Beobachtungen aus Prozess in Kontrolle

Kontrollgrenzen nachjustieren! Beispiel: Gewicht von Brotlaiben

Aus Beobachtungen 1 bis 25: x-barbar = 100.92 kg, s-bar = 1.74 kg, LCL = 98.44, UCL = 103.41

Aus Beobachtungen 1 bis 20: x-barbar = 100.17 kg, s-bar = 1.70 kg, LCL = 97.74, UCL = 102.60

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Spezielle Kontrollkarten

Kontrollkarten für Einzelwerte Gleitende Spannweiten (moving range, MR)

Karte: MRi = |xi-xi-1|, i = 1, 2, ..., LCL = 0, UCL = 3.267 MR-bar

Karte für individuelle Beobachtungen, LCL = x-bar 3 (MR-bar/1.128), UCL = …

CUSUM-Karte EWMA-Karte (: Glättungsparameter)

EWMAi = xi + (-l) EWMAi-1

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EWMA- und CUSUM-Karten

Vorteil: kleines ARL bei kleinen Störungen

Nachteil: komplizierter

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Neuere Entwicklungen

Kontrollkarten für seriell korrelierte Qualitäts-Charakteristika

Kontrollkarten für multivariate Qualitäts-Charakteristika

Kosten-optimale Kontrollkarten

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Prozessfähigkeit

Fähigkeit des (Produktions-) Prozesses, die Anforderungen des Kunden zu erfüllen

Anforderungen des Kunden Zielwert (Tg, target value) Untere Spezifikationsgrenze (LSL, lower

specification limit) Obere Spezifikationsgrenze (USL, upper

specification limit)

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Prüfen der Prozessfähigkeit

Graphische Darstellung des Prozesses zB Histogramm: optischer Eindruck der Prozessfähigkeit des Anteils, der die Anforderungen nicht

erfüllt Fähigkeitsindizes Pre-control Karte

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Fähigkeitsindizes

sind Indexzahlen, die das Ausmaß messen, in dem ein Prozess die Anforderungen des Kunden erfüllt.

Cp-Fähigkeitsindex Cpk- Fähigkeitsindex Cpm- Fähigkeitsindex CR- Fähigkeitsindex

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Cp-Fähigkeitsindex

Cp = (USL − LSL)/(6)

misst die zulässige Streuung des Prozesses als Anteil an der tatsächlichen Streuung

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Cp-Fähigkeitsindex: Beispiel

Normalverteilte Qualitätsvariable wenn = Tg, enthält der ±3-Bereich

99.73% der Produkte Cp = 1 bedeutet: 0.27% sind defekt

wenn = Tg

Achtung! Cp sagt nichts darüber aus, wie groß der Anteil der defekten ist!

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Cp und Anteil der Defekten

Cp Bereich Def.ppm

1.00 ±3 2699.93

1.33 ±4 63.37

1.67 ±5 0.57

2.00 ±6 0.002

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Cp-Fähigkeitsindex: Forts.

Viele Unternehmen verlangen ein Cp von 1.33!

Schätzung von Cp: wird durch s ersetzt

Cp-hat = (USL − LSL)/(6s) Beispiel:

Cp-hat(Breite) = (4.03-3.97)/6(0.008) = 1.25; Cp-hat(Stärke) = (0.265-0.235)/6(0.00421) =

1.19.

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Cpk-Fähigkeitsindex

Cpk = Min {USL − , − LSL}/(3)

geschätzter Cpk: und werden durch x-bar und s ersetzt

Cpk-hat = Min {USL − x-bar, x-bar − LSL}/(3s)

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Cpk-Fähigkeitsindex: Beispiel

Cpk-hat(Breite) = Min{4.03-3.9947, 3.9947-3.97}/3(0.008) =Min {0.0353, 0.0247}/0.024 = 1.03

Cpk-hat(Stärke) = Min {0.265-0.24894, 0.24894-0.235}/3(0.00421) = 1.10.

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Cpm-Fähigkeitsindex

Cpm = (USL − LSL)/(6)

mit (*)2 = 2 + ( − Tg)2 Es gilt

Cpm = Cp /√[1 + ( − Tg)2/ 2] je größer | − Tg|, umso kleiner wird Cpm

gegenüber Cp

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Cpm-Fähigkeitsindex: Schätzung

Cpm-hat = (USL − LSL)/(6s)

mit (s*)2 = i (xi − Tg)2/(n − 1), oder

Cpm-hat = (USL − LSL)/{6√[s2 +

(x-bar − Tg)2]}

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Cpm-Fähigkeitsindex: Beispiel

Cpm-hat(Breite) = (4.03−3.97)/ {6√[(0.008)2 + (3.9947−4.00)2]} = 1.04

Cpk-hat(Stärke) = (0.265−0.235)/ {6√[(0.00421)2 +(0.24894−0.25)2]} = 1.15.

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CR-Fähigkeitsindex, Target-Z

Fähigkeitsverhältnis (capability ratio)

CR = 1/Cp

Anteil der zulässigen Streuung des Prozesses, den die tatsächliche Streuung ausnützt

Target-Z: Maß für Abweichung zwischen und Tg

Target-Z = (Tg − )/

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CR-Fähigkeitsindex, Target-Z

CR und Target-Z gemeinsam erlauben die Beurteilung der Prozessfähigkeit

je kleiner CR und je kleiner |Target-Z|, umso besser

Beispiel: Procter & Gamble: CR < 0.75 (entspricht Cp > 1.33);

|Target-Z| < 0.5 ( muss innerhalb von /2 von Tg liegen)

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CR und Target-Z: Beispiel

CR-hat(Breite) = 0.8 Target-Z-hat(Breite) =

(4.00−3.9947)/(0.008) = 0.66

CR-hat(Stärke) = 0.84 Target-Z-hat(Stärke) =

(0.25−0.24894)/(0.00421) = 0.25

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Six Sigma

Teil des TQM-Konzepts von Motorola Anforderungen:

so, dass LSL und USL mindestens 6 von Tg (USL−Tg, Tg−LSL ≥ 6)

x-bar höchstens 1.5 von Tg (|x-bar – Tg| < 1.5)

Prozess mit normalverteilter Qualitäts-variabler produziert maximal 3.4 defekte Stücke per Million!

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Six Sigma: Forts.

Bei X ~ N(Tg + 1.5, 2)

P(defektes Stück)= 1 – P(Tg−6 X Tg+6)

= 1 – P(-7.5 X 4.5) 1 – (4.5) = 0.0000034

Beachte! Cpk = 1.5

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Fähigkeitsindizes in der Praxis

Gutes Instrument zur Dokumentation Wahl von LSL und USL entscheidend Normalverteilungsannahme Stabiler Prozess vs. fähiger Prozess Schätzung der Fähigkeitsindizes

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Normalverteilungsannahme

Bei Nichtzutreffen irreführend! Beispiel

X ~ U(-1, 1), so dass = 0, = 0.577 seien LSL = -1.5, USL = 1.5 die Wahrscheinlichkeit für defekte Produktion ist

Null! Aber Cp = 3/(6*0.577) = 0.87!

Achtung! Bei light-tail Verteilungen ist der Prozess fähiger, als es Fähigkeitsindizes anzeigen; und umgekehrt.

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Schätzung der Fähigkeitsindizes

einfache Stichprobe nicht ausreichend aus Prozesskontrolle:

(n) (A3) (s-bar)/3 oder (n) (A2) (R-bar)/3 als Schätzer für (besser als s-bar!)

x-barbar als Schätzer für Voraussetzung: stabiler Prozess!

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Konfidenzintervall für Cpk

Cpk {1 ± 2√[1/(9nCpk2)+1/(2(n-1))]}

n: Zahl der Beobachtungen zum Schätzen von Cpk

Voraussetzung: Normalverteilter Prozess

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Pre-Control Karte Kontrolle der Fähigkeit; analog zur

Mittelwertskarte CL: Tg PC-lines: Tg ± |USL- Tg|/2 schließen grüne

Zone ein Gelbe Zonen: PC-line bis LSL bzw. USL Rote Zonen: außerhalb LSL bis USL

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Pre-Control Karte: Verfahren Probelauf (PLauf):

5x in GrZ: Beginne Standardprüfung Wiederhole, wenn 1x in GeZ Justiere, wenn 2x in GeZ oder 1x in RZ

Standardprüfung: Ziehen von Paaren 2 in GrZ oder je 1x in GrZ und GeZ: OK 2 in gleicher GeZ: justiere Niveau, PLauf 2 in versch. GeZ: justiere Prozess, PLauf ≥1 in RZ: justiere Prozess, PLauf