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*HPLVFKIHKOHU

Vom Fachbereich Elektrotechnik und Informatik

der Universität-Gesamthochschule Siegen

zur Erlangung des akademischen Grades

'RNWRU�GHU�,QJHQLHXUZLVVHQVFKDIWHQ

(Dr.-Ing.)

genehmigte Dissertation

von

'LSORP�,QJHQLHXU�0DWWKLDV�6FKHUHU

1. Gutachter: Prof. Dr.-Ing. habil. O. Loffeld

2. Gutachter: Prof. Dr.-Ing. L. Guzzella

Tag der mündlichen Prüfung: 11. Dezember 1998

Inhaltsverzeichnis

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2.1 Gemischbildung 3

2.2 Ursachen dynamischer Gemischfehler 42.2.1 Nichtlineare Saugrohrdynamik 42.2.2 Pulsationen 62.2.3 Totzeiten 72.2.4 Wandfilmeffekte 8

��5HJHOXQJVWHFKQLVFKH�*UXQGODJHQ ��

3.1 Zustandsbeobachter 113.1.1 Lineare deterministische Beobachter 153.1.2 Lineare stochastische Beobachter 18

3.1.2.1 Kalman-Filter 183.1.2.2 Wiener-Filter 23

3.1.3 Nichtlineare stochastische Beobachter 23

3.2 Zustandsregelungen 27

��0RGHOOELOGXQJ ��

4.1 Der Luftpfad 294.1.1 Die Saugrohrdynamik 294.1.2 Modellierung des geometrischen Öffnungsquerschnitts der Drosselklappe 34 4.1.3 Das Saugverhalten des Motors 39 4.1.4 Einflüsse der Saugrohrtemperatur 42 4.1.5 Einflüsse von Druckpulsationen 43 4.1.6 Sensoren zur Luftmassenbestimmung 46

Inhaltsverzeichnis

LL

4.2 Der Kraftstoffpfad 49 4.2.1 Einspritztechnik 49 4.2.2 Mathematische Modellbildung 51 4.2.3 Verbrennung und Restgaseffekte 58 4.2.4 Lambdasonden 63

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5.1 Luftmassenschätzung im Zeitbereich 65 5.1.1 Modellgleichungen des Saugrohrmodells 2. Ordnung 65 5.1.2 Überführung in die Filterstruktur 67 5.1.3 Parametrierung und Simulation 71 5.1.4 Robustheit 75

5.1.4.1 Ursachen für Parameterabweichungen 75 5.1.4.2 Simulation von Störungen 77

5.2 Adaptive Luftmassenschätzung im Zeitbereich 80 5.2.1 Modellgleichungen des adaptiven Filters 81 5.2.2 Die Filterstruktur des adaptiven Kalman-Filters 82 5.2.3 Parametrierung und Simulation 86 5.2.4 Bewertung des Verfahrens aus praktischer Sicht 91

5.3 Adaptive Luftmassenschätzung im Kurbelwinkelbereich 92 5.3.1 Modellbildung im Kurbelwinkelbereich 92 5.3.1.1 Modellierung der Pulsationen in den Systemgleichungen 92 5.3.1.2 Das Gesamtmodell 95

5.3.2 Die Filterstruktur 98 5.3.3 Parametrierung des Störmodells 103 5.3.4 Ergebnisse mit Realdaten 106

��7RW]HLWNRPSHQVDWLRQ�LP�/XIWSIDG ��

6.1 Lösungsansatz - zylinderindividuelle, korrigierte Lastprädiktion 113

6.2 Prädiktion des Öffnungsquerschnittes 114 6.2.1 Ein Modell der Drosselklappendynamik 114 6.2.2 Entwurf des Filters 116 6.2.3 Ermittlung der Filterparameter 120

6.2.3.1 Das Meßrauschen 120 6.2.3.2 Das Prozeßrauschen 121 6.2.3.3 Der Korrelationsparameter der Drosselklappengeschwindigkeit 124

6.2.4 Stabilitätsuntersuchung des Prädiktionsverfahrens 125 6.3 Integration der Drosselklappenprädiktion in das Lastschätz-

verfahren 128

6.4 Ergebnisse der Lastprädiktion 129 6.4.1 Ergebnis der Drosselklappenprädiktion 129 6.4.2 Ergebnis der Luftmassenprädiktion 133

Inhaltsverzeichnis

LLL

��6HQVRUGDWHQIXVLRQ ��

7.1 Sensorintegration und Sensorfusion zur Lastbestimmung 137

7.2 Modellbildung zur Sensordatenfusion 139 7.2.1 Die Massenbilanzgleichung als Basis zur Luftmassenbestimmung 139 7.2.2 Das Systemmodell 140 7.2.3 Das Beobachtungsmodell 142

7.3 Ein Extended Kalman-Filter zur Sensordatenfusion 144 7.3.1 Die Filtergleichungen 144 7.3.2 Parametrierung 148

7.4 Ergebnisse mit Realdaten 149

��.RPSHQVDWLRQ�GHU�:DQGILOPG\QDPLN ��

8.1 Identifikation der Wandfilmdynamik 153 8.1.1 Meßumgebung und Randbedingungen 153 8.1.2 Ergebnisse der Identifikation 157 8.1.3 Die identifizierten Parameter 159

8.2 Kompensation der Wandfilmdynamik 161 8.2.1 Kompensation durch ein invertiertes Modell (Model-Matching) 161

8.3 Zeitvarianter Zustandsregler mit Beobachter 164 8.3.1 Entwurf von Beobachter und Regler 164 8.3.2 Simulationsergebnisse der Kompensationsregelung 166

��$QKDQJ ��9.1 Berechnung des geometrischen Öffnungsquerschnittes einer Drosselklappe 169

��)RUPHO]HLFKHQ�XQG�$EN�U]XQJHQ ��

��/LWHUDWXU ��

Danksagung

v

Danksagung

Die vorliegende Arbeit entstand während meiner Tätigkeit als Doktorand in der Forschung derDaimler-Benz AG. Ganz besonders möchte ich meinem Doktorvater und Erstgutachter, HerrnProf. Dr.-Ing. habil. O. Loffeld für die hochschulseitige Betreuung danken. Er hat mich in b e-merkenswerter Weise mit fachlicher Unterstützung und vielen motivierenden Diskussionen indieser Zeit begleitet.

Ebenso gilt mein besonderer Dank dem Zweitgutachter, Herrn Prof. Dr.-Ing. L. Guzzella. SeineErfahrung im Bereich der Motorensystemtechnik und Thermodynamik, sowie die freun d-schaftliche Art seiner Betreuung war mir eine große Hilfe.

Die studentische Unterstützung hat einen wesentlichen Beitrag zu der Arbeit geleistet. Ich da n-ke Herrn Dipl.-Ing. Rudolf Wilczek, Herrn Dipl.-Ing. Martin Hart, Herrn Dipl.-Ing. ThomasGanser und Herrn Dipl.-Ing. Martin Geppert, die im Rahmen ihrer Diplomarbeiten großes E n-gagement gezeigt haben.

Den Kollegen und Freunden des Forschungslabors FT2/E sei ebenfalls für die vielen fachlichenDiskussionen und die gute Atmosphäre gedankt. Ich danke insbesondere Herrn Dipl.-Ing. Ma r-tin Hart, Herrn Dipl.-Inf. Rainer Müller und Herrn Dipl.-Ing. Hans-Hubert Hemberger, sowieHerrn Dipl.-Ing. Klaus Allmendinger, Herrn Dipl.-Ing. Michael Ziegler und Herrn Dipl.-Ing.Frank Kirschbaum.

Mein besonderer Dank gilt ebenfalls den Vorgesetzten, Herrn Dr.-Ing. T. Raith, Herrn Dipl.-Ing. K.H. Baier und Herrn Dipl.-Ing. V. Wilhelmi, die meine Promotion ermöglicht und auchden wissenschaftlichen Teil bereitwillig unterstützt haben.Dem Projektleiter, Herrn Dipl.-Ing. B.H. Schmitfranz sei für seine unermüdliche Unterstützungseitens der Projektleitung und vieler motivierender Diskussionen herzlich gedankt.

Den Mitarbeitern des Projektbereiches II des Zentrums für Sensorsysteme in Siegen, sowie denMitarbeitern des Laboratoriums für Verbrennungsmotoren und Verbrennungstechnik der ETH-Zürich gilt mein besonderer Dank. Ein herzliches Dankeschön an Herrn Dr.-Ing. ChristophArndt und Herrn Dipl.-Ing. Felix Weber.

Zusammenfassung

YLL

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Die Optimierung moderner Verbrennungsmotoren bezüglich der Abgasemissionen stellt dieEntwickler der Steuergerätefunktionen in immer größerem Maß vor neue Anforderungen. ZurErreichung einer hohen Konvertierungsrate des Katalysators muß die Gemischbildung in jedemBetriebspunkt zunehmend genauer gesteuert bzw. geregelt werden. Im Stationärbetrieb (kon-stante Drehzahl, konstantes Motormoment) wird dies weitgehend durch die Lambdaregelungrealisiert. Im Instationärbetrieb sind jedoch zusätzliche Funktionen zur Berücksichtigung ther-modynamischer und strömungsdynamischer Phänomene des Luft- und Kraftstoffpfades erfor-derlich. Den Schwerpunkt der vorliegenden Arbeit bildet die Anwendung linearer und nichtli-nearer Kalman-Filter, sowie Zustandsregelungen zur Verbesserung der instationären Gemisch-bildung bei konventionellen Ottomotoren. Aus steuerungstechnischer Sicht stellen das nichtli-neare Befüll- und Entleerverhalten des Saugrohres, die instationären Temperatureffekte imSaugrohr, die Totzeit zwischen der Berechnung der Einspritzzeit und dem Schließzeitpunkt desentsprechenden Einlaßventiles, sowie die Dynamik des Wandfilmes die wesentlichen Ursachenfür dynamische Gemischfehler dar.

Die regelungstechnische Beschreibung dieser Effekte erfolgt in der Literatur in fast allen Ar-beiten in Form von Mittelwertmodellen [Boam, Aqui, Wu, Benn, ...]. Darüber hinaus zeigenjedoch auch die den Mittelwerten überlagerten, deterministischen Störungen (Pulsationen) auf-grund der nichtlinearen Drosselwirkung an der Drosselklappe Einfluß auf die Befüllung desSaugrohres [Sche-1]. Sie können mit Hilfe eines signaltheoretischen Ansatzes berücksichtigtwerden. Durch Lastsprünge verursachte, schnelle Druckänderungen bewirken starke, kurzzeiti-ge Temperaturänderungen, welche unkompensiert nicht zu vernachlässigende Gemischfehlerverursachen können. Zur Modellierung der Wandfilmeffekte existieren eine ganze Fülle vonArbeiten [Aqui, Fek, Tur,...] mit sehr unterschiedlichen physikalischen Einzelphänomenen alsGrundlage. Die Annahme einer getrennten Wand- und Ventilfilmdynamik führt zu einem Mo-dell zweiter Ordnung mit Durchgriff, welches über einen weiten Temperaturbereich mit hoherGenauigkeit parametriert werden kann. Es kann gezeigt werden, daß eine externe Abgasrück-führung das vorgesteuerte Gemischverhältnis (angesaugte Luft und eingespritzter Kraftstoff) inAbhängigkeit der Abgasrückführrate beeinflußt. Dieser Nachweis stellt im Umkehrschluß eineinfaches Verfahren zur Bestimmung der AGR-Rate auf Basis der Bilanzierung von einge-stelltem und an der Lambdasonde gemessenem Gemischverhältnis dar.

Für ein saugrohrdruckbasiertes Einspritzsystem können zur Bestimmung der Zylinderluftmas-sen mit Hilfe eines Extended Kalman-Filters sowohl die deterministischen als auch die sto-chastischen Eigenschaften der Saugrohrdynamik berücksichtigt werden. Das Verfahren zeigt inseiner einfachsten Form (nichtlineares Systemmodell 2.Ordnung mit den beiden ZuständenSaugrohrdruck und Saugrohrtemperatur) ein nachteiliges Verhalten bei Parameter-schwankungen. Die Einführung eines adaptiven Parameters steigert die Robustheit des Ver-fahrens erheblich. Darüber hinaus kann mit Hilfe dieses adaptiven Kalman-Filters zusätzlichLeckluft im Saugrohr identifiziert werden [Sche-4]. Die Transformation des Verfahrens in den

Zusammenfassung

YLLL

Kurbelwinkelbereich ermöglicht die Modellierung der Saugrohrdruckpulsationen in denSystemgleichungen als deterministische, harmonische Überlagerung mit konstanter Frequenz.Die zusätzliche Berücksichtigung der Pulsationen liefert einen störungsfreien, hochdynami-schen Druckmittelwert bei gleichzeitiger Bestimmung der instationären Saugrohrtemperatur.

Die Prädiktion der Zylinderluftmasse (Last) zur Kompensation der Totzeit zwischen Einspritz-zeitberechnung und Schließzeitpunkt des Einlaßventils (letzter möglicher Zeitpunkt für eineLaständerung) erfolgt bei konventioneller Technik entweder über einen additiven Luftmassen-anteil in Abhängigkeit der Drosselklappenwinkeländerung, oder mit Hilfe einer (linearen) Ex-trapolation des Lastverlaufes. Als Alternative erfolgt die Prädiktion im Rahmen der vorliegen-den Arbeit modellbasiert. Die Drosselklappenbewegung als wesentliche Störgröße und Ursachefür eine schnelle Laständerung wird stochastisch analysiert und als farbiger Rauschprozeß mo-delliert. Ein mit Hilfe dieser Modellgleichungen entworfenes, lineares Kalman-Filter stellt mitseinen Schätzwerten die prädizierten Eingangsgrößen für ein Lasterfassungsverfahren zur Ver-fügung. Durch eine Anpassung des Prädiktionshorizontes an die Ventilsteuerzeiten unter Be-rücksichtigung der Vorlagerungswinkel kann eine zylinderindividuelle, korrigierte Lastprädik-tion realisiert werden.

Bei allen derzeit bekannten Lasterfassungsverfahren basiert die Luftmassenberechnung auf denSignalen eines ”Hauptlastsensors”, z.B. des Luftmassensensors oder des Saugrohrdrucksensors.Oft sind jedoch aufgrund von zusätzlichen Anforderungen (z.B. Diagnose) auch noch andereSensoren mit wichtigen, redundanten Lastinformationen verfügbar, deren Signale bisher nichtzur primären Lastberechnung genutzt werden. Im Gegensatz zu dieser Sensordatenintegrationbietet die Sensordatenfusion (multisensorielle Meßdatenverarbeitung) die Möglichkeit, redun-dante Informationen zu nutzen und das Schätzergebnis zu verbessern [Arndt-1, Arndt-2].Diese Methode bietet auch bezüglich der Lasterfassungsproblematik Vorteile. Stehen mehrereLastsensoren gleichzeitig zur Verfügung, so kann die Gewichtung der Sensorsignale durch dieModellierung der stochastischen Parameter an den Arbeitspunkt des Motors angepaßt werden.Im Falle eines Sensorausfalls erfolgt nach erkanntem Defekt und Anpassung der Parameter eineRekonstruktion des fehlenden Signals ohne Strukturumschaltung des Modells [Sche-3].

Die Wandfilmdynamik zeigt ihre größten Auswirkungen auf die Gemischbildung bei tiefenKühlwasser- und Ansauglufttemperaturen. Eine wesentliche Abhängigkeit der Dynamik vonDrehzahl und Last kann nicht festgestellt werden. Als Kompensationsverfahren ist die Model-Matching Methode in der Praxis stark verbreitet. Dabei handelt es sich um eine reine Steue-rung, bei der ein invertiertes Wandfilmodell als Vorsteuerglied eingesetzt wird [Benn]. Mit Hil-fe einer Wandfilmkompensationsregelung können durch die zusätzlichen Informationen desLambdasondensignales die Auswirkungen von Parameterschwankungen und Störungen ge-dämpft werden. Die Kompensationsregelung zeigt gegenüber der Model-Matching Methode einrobusteres Verhalten.

ABSTRACT

ix

ABSTRACT

The improvement of the exhaust emissions of internal combustion engines is one of the mostimportant challenges for the development of software for electronic control units. To operatethe catalyst with high efficiency the air/fuel ratio (AFR) has to be exactly controlled in every op-eration point of the engine. At steady state (constant speed and torque) this can be realized inmost cases with a closed loop lambda control. But in transient operation, additionally controlfunctions are required in order to take consideration into the thermodynamic phenomenology ofthe air path and the fuel path of an IC-Engine. In response model based controllers have recentlybeen developed for the compensation of the main thermodynamic effects in the manifold. How-ever, these controllers are mostly open loop controllers with poor robustness against parametervariations. The main emphasis of this work is the design of new transient AFR-control strategiesusing linear and nonlinear Kalman-Filters. The realized strategy includes the determination ofthe in-cylinder air masses, the reduction of the effects from dead times in the fuel path and thecompensation of the wall wetting dynamics.

One elementary part is the development of control oriented physical models for the air path andthe fuel path. Instead of using only mean value models for the air path, also event based deter-ministic perturbations (pulsations) were modeled with signal theory techniques. This perturba-tions are together with the nonlinear filling behavior of the manifold mostly the reason of aspeed dependency during parametration of throttle models [Sche-1]. Load transients are able tocause temperature transients in the manifold of more than 30°C. This behavior is modeled andverified with vehicle experiments. The wall wetting dynamics are modeled with a second orderlag with feed through term. The two time constants in this model are corresponding to the wallfilm dynamics and the valve film dynamics. If the engine is not operated at the stochiometricpoint the balance of controlled and measured air/fuel ratio changes with the rate of residual gas.This effect can easily be used to determine the residual gas ratio in the engine by comparingcontrolled and measured AFR.

For a speed-density injection system an adaptive Extended Kalman-Filter was used to estimatethe air masses in the cylinders. With an additional adaptive parameter for throttle tolerances, thealgorithm is not only able to handle strong intake parameter variations but it can also identify airleakage in the manifold. The Kalman-Filter operates in crank angle domain and therefore thefrequency of the considered perturbations is kept constant. The algorithm delivers high dynamicmanifold pressure and temperature information and the air mass flow in and out of the manifoldwith small perturbations.

Furthermore the methodology of sensor data fusing is applied to the application of air massestimation also by using an Extended Kalman-Filter [Sche-3]. If several sensors are availablethat deliver information about a desired value the sensor data fusing algorithm combines thesensor signals and weights them dependent on a stochastic model. This kind of algorithm deliv-ers very reliable estimates using redundant information.

To reduce the effects of dead times in the fuel path (time between air mass calculation andclosing of the intake valve) an air mass predictor was developed.

ABSTRACT

x

In a first step this algorithm predicts the effective area of flow by assuming the throttle variationwith a colored noise process. In a second step the predicted cylinder air masses are calculatedwith the results of the throttle predictor by using a free running air path model.

Especially during engine start and at low temperatures the wall wetting dynamics have strongeffects on AFR. Open loop dynamic compensators are often realized by using the model match-ing method. However this controllers have poor robustness in case of variations of the dynamicparameters. With a state space controller and observer the robustness can essentially be in-creased by using feedback from an Universal Exhaust Oxygen Sensor .

Einleitung

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Die steigende Bedeutung der Umweltverträglichkeit von Kraftfahrzeugen stellt die Automobil-hersteller bei der Entwicklung von Verbrennungsmotoren vor hohe Anforderungen. Ein sichwandelndes Käuferverhalten und nicht zuletzt die sich immer stärker verschärfende Emissions-gesetzgebung in Europa und den USA fordern die stetige Entwicklung und Anwendung neuerTechnologien zur Senkung von Verbrauch und Schadstoffemissionen. Nach dem Vorschlag derEuropäischen Union dürfen Pkw mit Benzinmotor im Jahr 2005 max. 0.1 g/km Kohlenwasser-stoffe und 0.08 g/km Stickoxide emittieren. Dies entspricht etwa 20% der EC-93 Grenzwerte(Abb. 1).

Besonders in den letzten zehn Jahren wurden große Anstrengungen zur Entwicklung sparsamerVerbrennungsmotoren (direkteinspritzende Diesel- und Ottomotoren, Magermotoren, ...) ge-leistet. Doch genau diese verbrauchsgünstigen Brennverfahren erfordern aufgrund ihrerStickoxidproblematik aufwendige Maßnahmen zur Abgasnachbehandlung. Die exakte Steue-rung bzw. Regelung der Gemischbildung ist dabei eine wichtige Voraussetzung zur Optimie-rung des Abgasverhaltens.

Mit der steigenden Komplexität von modernen Verbrennungsmotoren hat der Umfang der me-chatronischen Teilsysteme in diesem Zusammenhang überproportional zugenommen. Die me-chanischen Meß-, Stell-, und Regelsysteme werden in wenigen Jahren vollständig durch elek-tromechanische und mikromechanische Sensor-Aktorsysteme ersetzt sein.

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Partikel

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Einleitung

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Dieser Trend erhöht natürlich die Komplexität der Informationsverarbeitung in den Motorsteu-ergeräten. Die Funktionsstrukturen wachsen dabei stetig mit dem Komplexitätsgrad der Motor-systeme. Der dadurch gleichzeitig ansteigende, erhebliche Parametrierungsaufwand ist zu ei-nem wesentlichen Kosten- und Zeitfaktor bei der Entwicklung von Aggregaten geworden. ZurBegrenzung dieses Applikationsaufwandes werden zunehmend modellbasierte Funktionen undFunktionsstrukturen entwickelt. Ihr Vorteil liegt in der besseren Interpretierbarkeit durch denEinsatz physikalischer Größen, sowie in der Wiederverwendbarkeit von Modellteilen.Aus regelungstechnischer Sicht werden neue, leistungsfähige Methoden nur zögernd im An-triebsmanagement eingesetzt. Stochastische Schätz- und Regelverfahren, die in der Luft- undRaumfahrt seit den siebziger Jahren zum Stand der Technik gehören, sind im Antriebsbereichbei Kraftfahrzeugen nicht üblich. Eine wesentliche Ursache stellen die begrenzten Rechnerres-sourcen heutiger Motorsteuergeräte dar. Mittelfristig werden jedoch auch für das Motormana-gement Mikrokontroller mit Gleitkommaarithmetik und hohen Taktraten zur Verfügung stehen.

Die vorliegende Arbeit soll einen Beitrag zur Anwendung modellbasierter, stochastischer Be-obachterverfahren (Kalman-Filter) zur Verbesserung der äußeren Gemischbildung von Otto-motoren leisten. Für die unterschiedlichen Problemstellungen der instationären Gemischbil-dung (Lasterfassung, Totzeitkompensation und Wandfilmkompensation) werden systematischSystem- und Beobachtermodelle entwickelt und anhand von Realdaten eines konventionellenMotors getestet [Gan, Sche-2]. Alle Ansätze sind prinzipiell auch bei zukünftigen Motorsyste-men anwendbar.

Dynamische Gemischfehler

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�� *HPLVFKELOGXQJ

Das Abgasverhalten eines Fahrzeuges wird aufgrund von Meßergebnissen spezieller Testpro-zeduren z.B. federal test procedure (FTP) in den USA oder Bestimmungen der EuropäischenUnion (ECE), beurteilt. Entscheidend sind die über den Zyklus vom Fahrzeug ausgestoßenenMassen der einzelnen Schadstoffkomponenten. Zur Optimierung des Emissionsverhaltensreicht es also nicht aus, nur die Rohemission des Motors zu minimieren. Vielmehr muß der ge-samte Antrieb inklusive der Abgasanlage betrachtet werden. Für ein schnelles Aufheizen desKatalysators wird z.B. durch eine Anfettung des Kraftstoff-Luftgemisches mit zusätzlicher Se-kundärlufteinblasung eine kurzzeitige starke Erhöhung der Rohemission des Motors bewußt inKauf genommen. Über den Testzyklus betrachtet, zeigt das Gesamtsystem jedoch wegen derkürzeren Aufheizzeit des Katalysators ein verbessertes Abgasverhalten. Konzentriert man dieBetrachtungen in diesem Zusammenhang auf das Teilsystem Motor, so besteht die Aufgaben-stellung in einer möglichst genauen Steuerung bzw. Regelung der Abgaszusammensetzung(Rohemission). Der Verlauf der Führungsgröße ist dabei das Ergebnis einer durch das Fahr-zeugverhalten, den Testzyklus und andere wichtige Kriterien (Fahrkomfort, Dynamik, Ver-brauch, ...) definierten, experimentellen Optimierungsprozedur. Abbildung 2.1 stellt Ansaug-und Abgasanlage, sowie einen Zylinder eines konventionellen Ottomotors dar und soll der nä-heren Betrachtung der Gemischbildungsproblematik und seinen Auswirkungen dienen.

Luftmassen-messer

Ansaugluft-temperatur

Drosselklappen-winkel

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Nockenwellen-stellung

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Kühlwasser-temperatur

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Drehzahl

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Bei konventionellen Ottomotoren entsprechen die Stellgrößen der eingespritzten Kraftstoff-menge, dem Drosselklappenwinkel und dem Zündzeitpunkt (sofern vorhanden, zusätzlich dieAbgasrückführrate).Im Stationärbetrieb bei konstanter Drehzahl und konstanter Motorlast, läßt sich das Gemisch-verhältnis mit Hilfe einer Lambdaregelung exakt regeln. Im Instationärbetrieb (z.B. bei Be-schleunigungen oder Schaltvorgängen) ist eine ausschließliche Lambdaregelung zur Gemisch-steuerung nicht ausreichend. Luft- und Kraftstoffpfad im Saugrohr verfügen über Totzeiten undnichtlineare, dynamische Eigenschaften, die unkompensiert erhebliche Gemischfehler und da-mit einen Anstieg der Emissionen verursachen. Eine der wesentlichen Aufgaben dieser Arbeitbesteht somit in der Kompensation der für die dynamischen Gemischfehler verantwortlichenSystemdynamik im Luft- und Kraftstoffpfad.

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Der folgende Abschnitt beschreibt die für die dynamischen Gemischfehler verantwortlichenEffekte im Saugrohr und ihre Auswirkungen auf die Gemischbildung und das Abgasverhalten.Dabei wird hauptsächlich die Phänomenologie dieser Effekte betrachtet. Eine physikalisch-mathematische Beschreibung erfolgt in Kapitel 4.

�� 1LFKWOLQHDUH�6DXJURKUG\QDPLN

Die Eigenschaften eines Ottomotors können bezüglich der Schadstoffemission nur dann opti-miert werden, wenn in jedem Betriebspunkt für die pro Ansaugzyklus in den Zylinder einströ-mende Luft (Last) die richtige Menge Kraftstoff für die Verbrennung zur Verfügung steht.Die Last kann nicht direkt gemessen werden, sondern muß anhand des vor der Drosselklappeermittelten Luftmassenstromes, dem Saugrohrdruck, oder des Drosselklappenwinkels unter Be-rücksichtigung der Drehzahl berechnet werden. Im Stationärfall entspricht der Luftmassen-strom über der Drosselklappe

O'.P& der pro Zeiteinheit in den Zylinder strömenden Luftmenge

O]P& (Abb. 2.1). Im Instationärbetrieb sind diese Massenströme jedoch stark unterschiedlich, da

sich die Befüll- und Entleervorgänge im Saugrohr stark auswirken.Zur Bestimmung der Last müssen, bei sich ändernden Betriebspunkten, diese strömungsdyna-mischen Zusammenhänge des Saugrohres mitberücksichtigt werden. Abbildung 2.2 zeigt denVerlauf von Drosselklappenquerschnitt, Luftmassenstrom an der Drosselklappe, Saugrohrdruckund Saugrohrtemperatur bei einem positivem Drosselklappensprung. Der Drosselklappen-sprung dauert etwa 100 ms; ein typischer Wert für einen sportlichen Schaltvorgang. Die Meß-daten wurden während einer Versuchsfahrt aufgenommen. Druck- und Temperatursignale wer-den bei dem eingesetzten Motor (2.3 l, 16 Ventile, 4 Zylinder) der Motorsteuerung nicht zurVerfügung gestellt, sondern mußten mit Hilfe zusätzlicher Sensorik ermittelt werden. Bedingtdurch die anfänglich starke Druckdifferenz an der Drosselklappe strebt der Luftmassenstromerst nach einem starken Überschwingen gegen den neuen Stationärzustand. Das Saugrohr-drucksignal hingegen zeigt einen aperiodischen Verlauf. Die eigentlich interessierende Größe,die Luftmasse im Zylinder, kann nicht gemessen werden. Sie ist in erster Näherung von derDrehzahl, dem Saugrohrdruck und von der Saugrohrtemperatur abhängig.


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Das von einem Luftmassenmesser gelieferte Signal darf somit im Instationärbetrieb nicht direktals Lastsignal interpretiert werden.Aufgrund des instationären Überschwingens des Luftmassensignales würde das Gemisch starkangefettet und die HC-Emissionen überhöht. Abbildung 2.3. zeigt die Auswirkungen eines dy-namisch nicht korrigierten Lastsignales in der Simulation. Die Saugrohrtemperatur steigt bis zuBeginn des Sprungs mit konstanter Steigung. Dieses Verhalten ist durch den Wärmeübergangder Saugrohrwand auf die Luftmasse im Saugrohr begründet.

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Das instationäre, starke Überschwingen des Temperatursignales ist die Folge der starkenDruckänderung im Saugrohr. Dieser Effekt wird in Kap. 4 näher erläutert. Der eingesetzteTemperatursensor hat eine Zeitkonstante von etwa 5 s, so daß die tatsächliche instationäreTemperaturänderung wesentlich größer angenommen werden muß und bezüglich der Gemisch-bildungsproblematik nicht vernachlässigt werden darf. Wird also der Saugrohrdruck als Basiszur Berechnung der Last eingesetzt, so müssen die instationären Temperaturänderungen eben-falls kompensiert werden.

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Das periodische Öffnen und Schließen der Einlaßventile und die damit verbundene Massen-stromänderung bewirken die Ausbreitung von Druckwellen im Saugrohr. Durch eine ent-sprechende konstruktive Auslegung der Saugrohrgeometrie wird durch eine Anpassung derakustischen Resonanzpunkte eine Verbesserung des volumetrischen Wirkungsgrades (Liefer-grades) in bestimmten Betriebspunkten des Motors erreicht.Diese Luftmassen- und Druckschwingungen verursachen natürlich auch periodische Überlage-rungen an den Sensorsignalen von Saugrohrdrucksensor und Luftmassensensor. Abbildung 2.4zeigt eine Vollastbeschleunigungskurve des Vierzylindermotors. Die Resonanzpunkte derLuftmassen- und Druckschwingungen sind stark ausgeprägt.

Die Amplituden der Luftmassenschwingungen können in den Resonanzpunkten über 100% desMittelwertes betragen. Die Rohsignale der Lastsignale sind aus diesem Grund zur Lastberech-nung nicht geeignet und müssen vorverarbeitet (gefiltert) werden. In der Praxis werden rekursi-ve und nichtrekursive digitale Filter eingesetzt. Dies führt immer zu einem Phasenverzug, dersich unkompensiert insbesondere im Instationärbetrieb nachteilig auf die Gemischbildung aus-wirkt.

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7

2.2.3 Totzeiten

Eine wesentliche Eigenschaft des "dynamischen Systems Motor" bezüglich der Gemischbi l-dung ist die kurbelwellenwinkelabhängige Bewegung der Einlaßventile. Ansaug- und Ko m-pressionsphase sind ausschließlich vom Kurbelwellenwinkel und nicht von der Zeit abhängig.Der Einspritzzeitpunkt muß also ebenfalls kurbelwellenwinkelabhängig (motorsynchron) erfo l-gen. Die einzuspritzende Kraftstoffmenge kann allerdings nur über die Einspritzzeit bestimmtwerden, da bei konventionellen Einspritzventilen der Durchfluß konstant ist. Abbildung 2.5zeigt die Ventilöffnungszeiten, die Berechnungszeitpunkte und das Lastsignal bei einem posit i-ven Drosselklappensprung an einem 4-Zylinder Vierventilmotor.

Die Größe der Last im jeweiligen Zylinder ist erst dann vollständig bestimmt, wenn die zug e-hörigen Einlaßventile geschlossen sind. Die Berechnung der Einspritzzeit muß jedoch zu einemwesentlich früheren Zeitpunkt erfolgen. Die Zeitdifferenz setzt sich zusammen aus:

- der max. Einspritzzeit- der Ventilöffnungszeit- der Kraftstoffflugzeit

Eine Einspritzung ins offene Ventil führt bei betriebswarmem Motor erfahrungsgemäß zu einerErhöhung der HC-Emission und sollte nach Möglichkeit durch eine entsprechende Vorlagerungvermieden werden.Eine wesentliche Anforderung an eine Instationärsteuerung ist somit die korrekte Vorausb e-rechnung der Last für das nächste Arbeitsspiel. Die Last ist in erster Näherung proportionalzum Saugrohrdruck und nur im Stationärbetrieb konstant.

0/720 180 360 540360 540

Einlass offen

ZOT

Lastberechnung LastberechnungEinspritzzeit

Arbeitsspiel k Arbeitsspiel k+1

Kurbelwinkel [Grad]

Last

BerechnungEinspritzzeit

Last für Asp. k+1

Last für Asp. k+2

Vorlagerungszeit

Einlass offen

Totzeit

Abbildung 2.5 : Totzeit zwischen dem Berechnungszeitpunkt der Kraftstoffmenge und derGemischbildung


�

Bei sich ändernden Betriebspunkten (z.B. bei Drosselklappenänderungen) kann sich der Saug-rohrdruck zwischen zwei Arbeitsspielen erheblich ändern. Da zum Berechnungszeitpunkt dasendgültige Lastsignal noch nicht zur Verfügung steht, kann ohne eine entsprechende Prädiktionein erheblicher Gemischfehler entstehen. Abbildung 2.6 verdeutlicht die Auswirkungen einervernachlässigten Totzeit. Bei diesen Kurvenverläufen handelt es sich ebenfalls um Simula-tionsergebnisse, da an einem Motorenprüfstand die Effekte nur mit großem Aufwand unab-hägig voneinander betrachtet werden können.

�� :DQGILOPHIIHNWH

Auch bei der Kraftstoffeinspritzung sind die Mengen von eingespritztem und angesaugtemKraftstoff nur im stationären Zustand identisch. Ein nicht unerheblicher Teil des eingespritztenKraftstoffes lagert sich zunächst an Saugrohrwand und Ventiltulpe an (Wandfilmbildung). DasAbtragen des Wandfilmes erfolgt durch Sekundärzerstäubung an der Kante des Einlaßventiles(während der Ansaugphase) und durch Abdampfen. Abbildung 2.7 zeigt einen Einspritzvor-gang bei geschlossenem Einlaßventil. Die Anzahl, Größe und Geschwindigkeit der einge-brachten Tropfen ist in erster Linie von der Spraycharakteristik des Einspritzventils abhängig.Ein wesentlicher Anteil der Tropfen trifft auf das Einlaßventil und die Saugrohrwand. DieOberflächen können dabei trocken oder bereits mit einem Kraftstoffilm bedeckt sein. Die ein-gespritzten Tropfen werden teilweise von der Wand reflektiert. Die reflektierten Kraftstoffan-teile sind dabei kleiner als die ursprünglich auftreffenden Tropfen.Ein ebenfalls wesentlicher Anteil des Kraftstoffes verdunstet. Dieser Effekt ist stark von derFläche des Wandfilmes, der Temperatur und vom Wärmeübergang auf den Kraftstoff abhängig.

t [s]0.5 1 1.5

a lph

a [°

]

20

40

0

Ps

[hP

a]

600

200

1000

m_d

k[ k

g/h]

100200300

0

m_z

yl [k

g/h]

100

200

0

lam

bda

1

1.4

1.8

0

$EELOGXQJ��$XVZLUNXQJHQ�XQNRPSHQVLHUWHU�7RW]HLWHQ


�

In der Ansaugphase treten Kraftstoffanteile aus dem Wandfilm durch das geöffnete Einlaß-ventil in den Zylinder ein (Abb. 2.8). Dabei kann von einem tatsächlichen Fließen des Filmesin Einlaßrichtung ausgegangen werden. Viele der in den Zylinder einströmenden Kraftstoff-teilchen können trotz einer Sekundärzerstäubung an den Einlaßventilkanten aufgrund ihrerGröße nur teilweise verbrannt werden und sind insbesondere beim Kaltstart für die Über-höhung der HC-Emissionen mitverantwortlich.Bei geöffnetem Einlaßventil herrscht eine stark instationäre Luftmassenströmung in der Sau-gleitung. Die hohen Relativgeschwindigkeiten zwischen Wandfilm- und Gasströmung verursa-chen hohe Schubspannungen, die auf der Wandfilmoberfläche temporär Rollwellen erzeugen.Dabei werden Tropfen aus dem Wandfilm herausgeschleudert und vom Motor angesaugt.

Der im Saugrohr gespeicherte und damit nicht für den aktuellen Verbrennungszyklus bereitste-hende Kraftstoffanteil entspricht bei einem betriebswarmem Motor etwa der 5 - 10 fachenVollast-Einspritzmenge. Die dynamischen Eigenschaften des Wandfilmes sind stark be-triebspunktabhängig (Temperatur, Saugrohrdruck, Einspritzmenge, Vorlagerungszeit, Ventil-strömung). Abbildung 2.9 zeigt eine Photographie des Ansaugkanales während der Einsprit-zung. Ansaugluft und Kühlwasser waren bei diesem Experiment auf -10°C temperiert. ZurDarstellung des Wandfilmes wurde der Kraftstoff eingefärbt.

abdampfender Kraftstoffgespeicherter Kraftstoff

Einspritzdüse

Primärtropfen

Tropfenreflexion

$EELOGXQJ��:DQGILOP�EHL�JHVFKORVVHQHP�(LQOD�YHQWLO

Sekundärzerstäubung

Filmverdunstung

Ansaugluft

EinspritzdüseTropfenabriß

$EELOGXQJ��:DQGILOP�EHL�JH|IIQHWHP�(LQOD�YHQWLO


��

Die Ausbildung des Wandfilmes auf beiden Seiten des Einlaßkanals sind deutlich zu erkennen.Bei diesen tiefen Temperaturen kann die Wandfilmmenge ein Vielfaches im Vergleich zumbetriebswarmen Motor betragen.Abbildung 2.10 zeigt die Auswirkung eines unkompensierten Wandfilms auf die Gemischbil-dung in der Simulation.

Wie erwartet, verursacht das Aufbauen des Wandfilms bei einer positiven Laständerung einAbmagern des Gemisches. Während einer negativen Laständerung wird das Gemisch stark an-gefettet.

Einspritzventil

Einlaßventile

Wandfilm Wandfilm

$EELOGXQJ�� 3KRWRJUDSKLH� GHV� (LQOD�NDQDOHV� XQGGHU:DQGILOPELOGXQJ

alph

a [°

]

20

40

0

Ps

[hP

a]

600

200

1000

m_d

k[k

g/h]

100200300

0

m_m

ot [k

g/h]

100

200

0

t [s]1 2 3 4 50 6

lam

b da

0.6

1

1.4

$EELOGXQJ�� $XVZLUNXQJHQ� HLQHV� XQNRPSHQVLHUWHQ� :DQGILO�PHV�DXI�GLH�*HPLVFKELOGXQJ

Regelungstechnische Grundlagen

��

� 5HJHOXQJVWHFKQLVFKH�*UXQGODJHQ

Das folgende Kapitel gibt eine Einführung in die regelungstechnischen Methoden der in Kap. 5bis Kap. 8 angewendeten Verfahren. Auf aufwendige Herleitungen wird dabei bewußt ver-zichtet. Im Bereich der Zustandsregelung und Zustandsbeobachtung kann auf eine detaillierteund umfangreiche Grundlagenliteratur verwiesen werden.

�� =XVWDQGVEHREDFKWHU

In vielen praktischen Anwendungen ist man bemüht, einen Regelkreis oder auch ein anderesdynamisches System aufgrund seiner physikalischen Gesetzmäßigkeit möglichst exakt zu be-schreiben. Man erhält dann eine Gesamtheit von Funktionalbeziehungen zwischen den zeitver-änderlichen Größen des Systems; in den meisten Fällen ein Gemisch aus gewöhnlichen Glei-chungen und Differentialgleichungen. Im Gegensatz zu Methoden im Frequenzbereich oderauch alternativen Methoden, wie künstliche Neuronale Netze oder Fuzzy Logic, die durch dieBetrachtung des Ein- und Ausgangsverhaltens eines Systems eine ”black box” beschreiben,ermöglicht die Zustandsbeschreibung durch die Definition der interessierenden physikalischenGrößen als ”Zustände” eine Einsicht in das Systemverhalten.Oft sind jedoch nicht alle interessierenden physikalischen Größen eines Systems direkt meßbar,sondern müssen anhand der zur Verfügung stehenden Eingangs- und Meßgrößen bestimmtwerden. Dies erfolgt in vielen Fällen durch die Berechnung eines Modells. Dabei werden demModell die gleichen Eingangsgrößen wie dem realen System zugeführt (Abb. 3.1.).

Diese Vorgehensweise ist in modernen Motorsteuerungen stark verbreitet. Ihr wesentlicherNachteil besteht in einer hohen Sensitivität gegenüber Modellfehlern und Parameter-schwankungen, sowie dem hohen Parametrierungsaufwand aufgrund der erforderlichen Mo-dellierungstiefe.

Modell

realer ProzeßEingangsgrößen Meßgrößen

berechnete Prozeßgrößen(Zustände)

[0 Y

X \

$[

Anfangs-zustand Störungen

$EELOGXQJ�� %HUHFKQXQJ�QLFKW�GLUHNW�PH�EDUHU�3UR]H�JU|�HQ�PLW�+LOIHHLQHV�3DUDOOHOPRGHOOV


��

Außerdem kann der i.a. unbekannte Anfangszustand des Systems im Modell nicht berück-sichtigt werden. Dies führt oft zu erheblichen Abweichungen zwischen dem Zustand des Mo-dells und dem Zustand des realen Systems (s. Kap. 5).Abbildung 3.2 beschreibt die prinzipielle Struktur eines Zustandsbeobachters. Kernstück bildetein im Zustandsraum beschriebenes Systemmodell.

Es werden jedoch nicht nur die interessierenden Zustände $[ , sondern auch die Ausgangsgrö-ßen $\ berechnet. Diese werden mit den Ausgangsgrößen des realen Systems \ verglichen. Mit

der Differenz, dem Schätzfehler, werden über eine Rückführungsmatrix . (Gewichtung) dieZustände korrigiert. Die unterschiedlichen Typen der Zustandsbeobachter unterscheiden sich inerster Linie durch die Berechnung dieser Rückführungsmatrix. Prinzipiell wird zwischen zweiKlassen, den deterministischen und den stochastischen Zustandsbeobachtern unterschieden. Beiden deterministischen Zustandsbeobachtern wird von vernachlässigbaren Störungen des Pro-zesses ausgegangen.Stochastische Zustandsbeobachter (Filter) werden zur Rekonstruktion des Zustandes vonstochastisch gestörten Systemen eingesetzt.Abb. 3.3 gibt einen Überblick über ausgewählte deterministische Zustandsbeobachter. Identi-tätsbeobachter beinhalten ein Zustandsraummodell mit einem Zustandsvektor der gleichen Di-mension wie der Zustandsvektor des realen Prozesses. Auch reduzierte Beobachter, bei denennur die Zustände beobachtet werden, die nicht gemessen werden, gelten als Identitätsbeobach-ter. Die lineare, zeitinvariante Form des Identitätsbeobachters entspricht dem Luenbergerbeob-achter. Die Bestimmung der Rückführungsmatrix . erfolgt analog zum Design einer Zu-standsregelung, z.B. mit dem Polvorgabeverfahren oder einem Riccatientwurf (s. Kap. 3.1.1).Aufgrund dieser einfachen Entwurfsmöglichkeiten ist der Luenbergerbeobachter in der Praxisstark verbreitet.

=XVWDQGVEHREDFKWHU

realer ProzeßX

.

−

\

$\

[0 Y

Modell(Zustandsraum) $[

Gewichtung

+

$EELOGXQJ�� PULQ]LSLHOOH�6WUXNWXU�HLQHV�=XVWDQGVEHREDFKWHUV


��

In vielen Fällen hat der zu beobachtende Prozeß jedoch nichtlineare Eigenschaften. Die häu-figste Maßnahme in diesem Fall ist die Linearisierung im Arbeitspunkt. Der Vorteil der Linea-risierungsmethoden liegt in der Möglichkeit der Anwendung von Entwurfsverfahren mit Hilfeder linearen Systemtheorie. Die Rückführungsmatrix wird somit für den jeweiligen Ar-beitspunkt bestimmt. In der Praxis erfolgt die Linearisierung meist für eine ganze Reihe vonArbeitspunkten. Die vom Arbeitspunkt abhängigen Werte der Rückführungsmatrix werden üb-licherweise in Kennfeldern abgelegt (Gain Scheduling).

Die Eigenwerte der Matrix der Fehlerdifferentialgleichung sind bei vielen nichtlinearen Syste-men jedoch nicht nur vom Zustand des Systems $[ , sondern auch von seinen EingangsgrößenX abhängig. Dies bedeutet eine Abhängigkeit der Dynamik und somit auch der Stabilitäts-eigenschaften von der Eingangsgröße. Die Methode der Erweiterten Linearisierung hat dieZielsetzung, die Eigenwerte der Fehlerdifferentialgleichung im Arbeitspunkt unabhängig vomSteuereingang X zu machen. Dies kann bei skalarem Steuereingang durch die Einführung einernichtlinearen Ausgangsrückführung erreicht werden.Bei der Methode der Exakten Linearisierung wird ein nichtlineares System, welches bestimmteRandbedingungen erfüllen muß, mit Hilfe einer nichtlinearen Koordinatentransformation trans-formiert. Eine anschließende Ausgangsrückführung läßt das transformierte System in ein linea-res System übergehen. Zu diesem linearen System wird ein linearer Zustandsbeobachter ent-worfen, dessen Zustandsvektor in die Ausgangskoordinaten zurücktransformiert werden muß.Die Anwendung der nichtlinearen Koordinatentransformation erfordert die Methoden der Dif-ferentialgeometrie.Sliding Mode- und VSS Methoden (Variable System Structure) wurden für nichtlineare Syste-me entwickelt, deren Systemfunktion nur sehr ungenau bekannt ist.

DeterministischeZustandsbeobachter

Einbettungs-beobachter

Identitäts-beobachter

Linearisierungs-methoden

ExakteLinearisierung

ErweiterteLinearisierung

Strukturvariable-methoden

Sliding-Mode-Beobachter

VSS-Methoden

Minimierungs-methoden

kontinuierlicheRückführung

diskreteRückführung

$EELOGXQJ�� $XVJHZlKOWH� 7\SHQ� GHWHUPLQLVWLVFKHU� =XVWDQGVEHRE�DFKWHU�>=LP@


��

Es wird dabei angenommen, daß sich die Zustandsdifferentialgleichung des Originalsystemsaus einem linearen homogenen Anteil und einem additiven, nichtlinearen Anteil zusammen-setzt. Der nichtlineare Anteil beschreibt die Systemunsicherheiten. Für dieses System wird einBeobachter entworfen, der in Abhängigkeit des Schätzfehlers seine Struktur verändert. Je nachGröße des Schätzfehlers wird in der Zustandsdifferentialgleichung des Beobachters ein Kor-rekturterm zur Kompensation des nichtlinearen Anteils des Originalsystems zu- bzw. abge-schaltet. Der Beobachter zeigt ein unstetiges Verhalten. Eine leichte Modifikation führt zu ei-ner stetigen Variante, bei der unter bestimmten Voraussetzungen Konvergenz nachgewiesenwerden kann.Minimierungsmethoden unterscheiden sich prinzipiell von den bisher vorgestellten Methoden.Für einen gemessenen Systemausgang wird das Beobachtungsproblem in der Form eines Mi-nimierungsproblems mit einem entsprechenden Gütefunktional formuliert. Mit Hilfe einesGradientenverfahrens wird dann der gewünschte Zustand ermittelt. In [Zim] wird ein leistungs-fähiges Verfahren dargestellt, bei dem darüberhinaus Konvergenz nachgewiesen werden kann.Einbettungbeobachter betten das Originalsystem in einen Raum höherer Dimension ein. DieDimension des Beobachterzustandes kann somit deutlich größer als die des Originalzustandeswerden. Unter bestimmten Voraussetzungen läßt sich das eingebettete System in einer linearenund zeitinvarianten Form darstellen. Für dieses lineare System wird dann ein Beobachter ent-worfen. Der geschätzte Zustand muß anschließend rücktransformiert werden.Bei stochastischen Zustandsbeobachtern wird von Originalsystemen ausgegangen, deren Ein-und Ausgänge mit additiven, stochastischen Prozessen überlagert sind. Diese Rauschprozessewerden unabhängig von den Zuständen und normalverteilt angenommen. Abb. 3.4 zeigt einigeTypen stochastischer Beobachter.

Kalman entwickelte ein lineares, zeitvariantes Verfahren, das unter Berücksichtigung des de-terministischen Anteils des Systems und der Rauschprozesse den Schätzfehler der Zustands-schätzung minimiert. Dieses Verfahren wird auch als Kalman-Filter oder Optimalfilter be-zeichnet. Die Rückführungsmatrix wird dabei aufgrund der Zeitvarianz in jedem Abtastschritterneut berechnet. Bei einem zeitinvarianten System- und Beobachtungsmodell, sowie zeitinva-rianten Rauschprozessen verändert sich die Rückführungsmatrix nach dem Einschwingvorgangdes Beobachters nicht mehr.

StochastischeZustandsbeobachter

VSS-Filter

Wiener-Filter Kalman-Filter

ErweitertesKalman-Filter

LinearisiertesKalman-Filter

Filterhöherer Ordnung

(Filterbänke)

$EELOGXQJ�� $XVJHZlKOWH� 7\SHQ� VWRFKDVWLVFKHU� =XVWDQGVEHRE�DFKWHU


��

Ein für diesen stationären Zustand entworfener Beobachter wird auch stationäres Kalman-Filteroder Wiener-Filter genannt.Für nichtlineare Systeme existieren auch bei den stochastischen Beobachtern eine ganze Reihenichtlinearer Varianten. Eine ausführliche Darstellung dieser Methoden finden sich in [Krebs,Gelb, May]Beim linearisierten Kalman-Filter wird eine Normaltrajektorie für den Zustandsvektor als be-kannt vorausgesetzt. Die Linearisierung erfolgt dann entlang dieser Trajektorie. Da die Nor-maltrajektorie nur selten konstant ist, ist das linearisierte Kalman-Filter auch bei konstantenSystemparametern zeitvariant. Die Rückführungsmatrix kann jedoch ”off line ” berechnet, undfür die Arbeitspunkte entlang der Trajektorie abgespeichert werden. Für viele Anwendungsfälleist das linearisierte Kalman-Filter jedoch nicht relevant, da keine Normaltrajektorie angegebenwerden kann.Das erweiterte Kalman-Filter bietet einen Ausweg für den Fall einer fehlenden a priori Infor-mation über eine Normaltrajektorie. Hier erfolgt die Linearisierung um den Schätzwert $[ . Beidieser Variante muß die Rückführungsmatrix in jedem Abtastschritt erneut berechnet werden.Die beiden genannten Kalman-Filter stellen durch ihre Linearisierung Filter erster Ordnung dar(Approximation der Nichtlinearität durch eine Reihenentwicklung). Bei einigen Nichtlineari-täten kann diese verhältnismäßig grobe Näherung zu systematischen Schätzfehlern (Bias) füh-ren. Eine bessere Approximation kann durch die Berücksichtigung der zweiten Ordnung derReihenentwicklung erreicht werden (Minimum Varianz Filter 2. Ordnung, Gauß Filter). Aller-dings benötigen diese Filtertypen eine wesentlich größere Rechenleistung als die Filter ersterOrdnung und besitzen eine zusätzliche Verkopplung zwischen Schätzwert und Kovarianzzy-klus.Analog zu den deterministischen Zustandsbeobachtern sind auch bei den stochastischen Me-thoden Filter mit variabler Struktur bekannt. Im Extremfall handelt es sich dann um ganze Fil-terbänke, die je nach Systemzustand umgeschaltet werden.Nach diesem allgemeinen Überblick über die Methoden der Zustandsbeobachter werden in denfolgenden Abschnitten die in dieser Arbeit eingesetzten Typen näher beschrieben. Dabei wur-den die linearen deterministischen Beobachterverfahren für den geschlossenen Regelkreis ent-worfen (Zustandsregelung zur Wandfilmkompensation). Die mit den stochastischen Verfahrengeschätzten Zustände dienen zur reinen Steuerung der Kraftstoffeinspritzung (Lastschätzungund Lastprädiktion).

�� /LQHDUH�GHWHUPLQLVWLVFKH�%HREDFKWHU

In vielen Anwendungen können Prozesse als störungsfrei angenommen werden, d.h. die Bezie-hung zwischen Ein- und Ausgangsverhalten kann rein deterministisch beschrieben werden.Läßt sich ein solcher Prozeß darüber hinaus durch ein lineares, zeitinvariantes Differentialglei-chungssystem beschreiben, so kann zur Bestimmung beobachtbarer Zustände dieses Systemsein linearer, deterministischer Zustandsbeobachter entworfen werden. Ein solcher Zustandsbe-obachter wurde erstmals von D.G. Luenberger veröffentlicht.Ausgangspunkt ist der lineare, zeitinvariante Prozeß, der durch Gl. (3.1) und Gl. (3.2) be-schrieben werden kann. Da die technische Realisierung aller Beobachter- und Regelverfahrender vorliegenden Arbeit mit Hilfe von Digitalrechner erfolgt, werden die linearen Verfahren inihrer zeitdiskreten Form dargestellt.


��

[ N $ [ N % X N( ) ( ) ( )+ = ⋅ + ⋅1

\ N & [ N( ) ( )= ⋅

Dabei ist [ N( ) ein [Q × 1] Vektor von Zuständen. $ eine [Q Q× ] Matrix entspricht der dis-kreten Systemmatrix (lokale Zustandübergangsfunktion). Die Eingangsgrößen werden durchden Vektor X N( ) der Dimension [U × 1 ] beschrieben. % eine [Q U× ] Matrix entspricht derSteuermatrix. Die Matrix C mit der Dimension [P Q× ] entspricht der Beobachtungsmatrix.\ N( ) ein Vektor der Dimension [P × 1] entspricht dem Meßvektor.

Der Verlauf der Zustandstrajektorie dieses Systems soll anhand seiner Systemein- und Sys-temausgänge durch ein zweites, wiederum lineares, zeitinvariantes System approximiert wer-den. Dieser Ansatz führt zu einem Beobachtersystem der Form:

$( ) $( ) ( ) ( )[ N $ [ N % X N U N+ = ⋅ + ⋅ +1

U N . \ N \ N( ) ( ( ) $( ))= ⋅ −

$( ) $( )\ N & [ N= ⋅

Zusammengefaßt lautet die Beobachtergleichung dann:

$( ) ( ) $( ) ( ) ( )[ N $ . & [ N % X N . \ N+ = − ⋅ + ⋅ + ⋅1

Abb. 3.5 zeigt die Struktur des zeitdiskreten, linearen Luenbergerbeobachters.

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

(3.5)

(3.6)

Luenberger Beobachter

+ +

+ + +

]−1

]−1

$

%

%

&

.

[N+1

$[N+1

\N

$\N

XN

[N

$[N

[0

[0

−

Prozeß $

&

$EELOGXQJ�� 6WUXNWXU�GHV�]HLWGLVNUHWHQ�/XHQEHUJHUEHREDFKWHUV


��

Die Eigenschaft der Zustände bezüglich ihrer Beobachtbarkeit hängt von der Systemmatrix $und der Beobachtungsmatrix & ab. Ein Zustand [[ ]0 ist beobachtbar, wenn es ein N gibt, sodaß [[ ]0 aus der Kenntnis der Folgen \ \ N X X N[ ] [ ], [ ] [ ]0 1 0 1K K− − berechnet werden kann.

Ein System ist somit beobachtbar, wenn dies für alle Zustände gilt. In Matrixschreibweise istdies gewährleistet, wenn die Beobachtbarkeitsmatrix 4

% Höchstrang besitzt (Gl. 3.7)

[ ]UDQJ 4 UDQJ

$

& $

& $

Q%

Q

=⋅

⋅

=

−

M1

Mit der Bestimmung der Rückführungsmatrix . wird die Dynamik des Beobachters festge-legt. Die Matrix . muß so gewählt werden, daß der Schätzfehler des Beobachters für beliebigeAnfangszustände gegen Null strebt. Die Schätzfehlergleichung wird durch (Gl. 3.8) beschrie-ben und entspricht dem homogenen Teil der Beobachtergleichung (3.6).

~( ) ( ) $( ) ( ) ( ) ( $( ) $( ) ( ) ( ))

( ) ~( )

[ N [ N [ N $ [ N % X N $ [ N . &[ N % X N . \ N

$ . & [ N

+ = + − + = ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅

= − ⋅ ⋅

1 1 1

Die Forderung ist erfüllt, wenn die Eigenwerte des Zustandsbeobachters innerhalb des Ein-heitskreises liegen. Die Eigenwerte können mit Hilfe der charakteristischen Gleichung nach(3.9) berechnet werden.

( )[ ]det ] , $ . &⋅ − − ⋅ = 0

Prinzipiell sollten die Eigenwerte des Beobachters innerhalb der Eigenwerte des zu beobach-tenden Prozesses liegen, damit die Beobachtungsvorgänge schneller abklingen als die System-vorgänge. Ein Extremfall stellt der Deadbeat-Beobachter (Entwurf auf endliche Beobachtungs-zeit) dar, bei dem durch die Vorgabe aller Beobachterpole bei z=0 ein besonders rasches Ab-klingen des Beobachtervorgangs bei endlicher Einschwingzeit erreicht wird. Allerdings reagiertdieser Beobachtertyp durch sein differenzierendes Verhalten empfindlich auf Störungen, sowieauf Parameterschwankungen. In der Praxis wird i.a. versucht, unter Berücksichtigung dieserRandbedingungen die Pole im Bereich des Ursprungs zu plazieren.Die Berechnung der Rückführungsmatrix erfolgt üblicherweise entweder mit dem Polvorgabe-verfahren oder mit Hilfe eines Riccati-Entwurfs. Bei Eingrößensystemen wird meist das Pol-vorgabeverfahren bevorzugt, da die Pollagen in einer anschaulicheren Beziehung zum Zeitver-lauf stehen als das quadratische Kriterium des Riccati-Entwurfs. Zur Bestimmung der Rückfüh-rungsmarix K aus den vorgegebenen Eigenwerten muß das charakteristische Polynom des Zu-standsbeobachters diese Eigenwerte als Nullstellen besitzen (3.10).

( )[ ]det ( ) : ( )] , $ . & ] ] I ] I I ]Q

Q

Q

Q⋅ − − ⋅ = − = + + + ==

−−∏ βν

ν 11

10K

Mit der Formel von Ackermann (3.11) kann nun für Eingrößensysteme die Rückführungsma-trix berechnet werden. Dabei entspricht S

Q

der letzten Spalte der Beobachtbarkeitsmatrix 4 .

(3.7)

(3.8)

(3.9)

(3.10)


��

N S I $ I S I S $ S $Q Q Q Q

Q= ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅( ) 0 1 K

Ausführliche Herleitungen zu diesem Thema finden sich in [Acker, Föl c, Hip].

�� /LQHDUH�VWRFKDVWLVFKH�%HREDFKWHU

Beim Luenbergerbeobachter wird davon ausgegangen, daß der zu beobachtende Prozeß nur ge-ring gestört ist. Auch wenn vereinzelt größere Störungen auftreten, wird nach endlicher Zeit derexakte Zustand wieder erfaßt werden können. Permanenten Störungen, z.B. das Rauschen einesMeßverstärkers, bereiten diesem Beobachtertyp jedoch Schwierigkeiten, da bei den Entwurfs-verfahren die Störungen nicht berücksichtigt werden. Für diese Problemstellungen bieten sichstochastische Zustandsbeobachter an. Bei diesen Verfahren werden im System- und Be-obachtungsmodell die Störungen berücksichtigt. Die Rückführungsmatrix K ist somit von dendeterministischen und den stochastischen Eigenschaften des Prozesses abhängig und kann nichtmehr frei gewählt werden. Die dynamischen Eigenschaften des sich ergebenden Beobachtershängen ebenfalls von den stochstischen Parametern der Prozesse ab.

�� .DOPDQ�)LOWHU

Das lineare, stochastisch gestörte System- und Beobachtungsmodell (3.12) und (3.13) stellt denAusgangspunkt für stochastische Zustandsbeobachter dar.

[ N $ N [ N % N X N * N Z N( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ = ⋅ + ⋅ + ⋅1

\ N & N [ N Y N( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ +

Der deterministische Teil des Modells entspricht der Struktur des Luenberger Beobachters.Allerdings sind nun die Systemmatrix, die Steuermatrix und die Beobachtermatrix zeitvariant.Hinzu kommt der [O × 1] Vektor Z N( ) , der als additiver stochastischer Prozeß das Eingangs-rauschen (driving noise) darstellt. Die stochastische Kontrollmatrix G(k), eine [Q O× ] Matrixverteilt die Rauschkomponenten von Z N( ) auf die Komponenten des Zustandsvektors. DerRauschprozeß Z N( ) wird weiß, gaußförmig und unabhängig von allen Zuständen angenom-men. Durch diese Eigenschaft kann er vollständig mit Hilfe der ersten beiden Momente, Er-wartungswert und Kovarianz, beschrieben werden.

{ }( Z N( ) = 0

{ }( Z N Z M 4 N N M7( ) ( ) ( ) ( , )⋅ = ⋅δ

Aufgrund der Erwartungwertfreiheit von Z N( ) entspricht das zweite zentrale Moment, die Ko-varianz dem zweiten nicht zentrale Moment, der Korrelation (3.15). Das Kroneckersymbol istnach (3.16) definiert und beschreibt in (3.15) die zeitliche Unkorreliertheit von Z N( )

(3.11)

(3.12)

(3.13)

(3.14)

(3.15)


��

δ ( , )N MI�U N M

I�U N M=

=≠

1

0

Die Startwerte des Zustandsvektors [( )0 werden gaußverteilt und unabhängig von den anderenGrößen angenommen.

{ }( [ [( )0 0=

{ } { }{ }( [ ( [ [ ( [ 37( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )0 0 0 0 0− ⋅ − =

& N( ) entspricht der zeitvarianten Beobachtungsmatrix. Auch die Ausgangsgröße setzt sich auseinem deterministischen Anteil und dem additiven Rauschprozeß Y N( ) zusammen und wirdmit \ N( ) bezeichnet. Y N( ) , ein [P× 1 ] Vektor wird ebenfalls weiß, gaußförmig und von allen

Zuständen unabhängig angenommen.

{ }( Y N( ) = 0

{ }( Y N Y M 5 N N M7( ) ( ) ( ) ( , )⋅ = ⋅δ

Betrachtet man den Zustandsvektor [ N( ) als eine Zufallsvariable, so ist das stochastische Be-obachtungsproblem dann optimal (d.h. mit minimaler Kovarianzenmatrix des Schätzfehlers)gelöst, wenn die bedingte Verteilungsdichtefunktion I <

[ N = N NN( ) / ( ) ( / )ξ von [ N( ) bedingt dar-

auf, daß die bis einschließlich zum Zeitpunkt W N 7N

= ⋅ betrachteten Meßvektoren die Realisa-tionen \ \

N1K angenommen haben, bestimmt werden kann. < N( ) entspricht dem vergrößerten

Beobachtungsvektor zur Berücksichtigung aller zurückliegenden Meßwerte. Eine ausführlicheund grundlegende Herleitung der Gleichungen des Kalman-Algorithmus findet sich in [Lof-1]und [May]. Im folgenden soll die Arbeitsweise des rekursiven Algorithmus und die Berech-nungsschritte erläutert werden.Der rekursive Filteralgorithmus besteht aus zwei Schritten. Der Prädiktion (time update) undder Korrektur (measurement update). Abb. 3.6 soll diesen Zusammenhang verdeutlichen.

(3.16)

(3.17)

(3.18)

(3.19)

(3.20)

Zeit

WN −−

1 WN −+

1WN

+WN

−

W N 7N − = −1 1( ) W N7

N=

Prädiktion

Korrektur

$EELOGXQJ�� $UEHLWVZHLVH�GHV�.DOPDQ�)LOWHU�$OJRULWKPXV


��

Betrachtet man zunächst den Abtastzeitpunkt (k-1)T, so erfolgt eine Unterscheidung zwischendem Zeitpunkt W

N−+

1 der Verfügbarkeit der Messung \N −1

und dem Zeitpunkt WN −−

1 unmittelbar

vorher. Auf Basis der zum Zeitpunkt (k-1)T zur Verfügung stehenden Informationen, dem op-

timal geschätzten Zustand $[N−+

1 , seiner Schätzfehlerkovarianz 3N −+

1 und dem Eingangsvektor

XN−1 erfolgt eine Prädiktion für den Zeitpunkt N 7⋅ . Dabei werden der Zustand $[

N

− selbst, so-

wie die zu erwartende Unsicherheit dieser Prädiktion, die Prädiktionsfehlerkovarianz 3N

− , be-rechnet. Wenn schließlich zum Zeitpunkt N 7⋅ die Messung \

N zur Verfügung steht, erfolgt

eine Korrektur der Prädiktionswerte. Danach steht ein neuer, korrigierter Zustand $[N

+ , sowie

die dazugehörige, aktualisierte Schätzfehlerkovarianz 3N

+ zur Verfügung.In Abbildung 3.7 ist die Struktur des zeitdiskreten Kalman-Filters dargestellt. Sie gleicht prin-zipiell der Struktur des Luenberger Beobachters (Abb. 3.5). Allerdings wird die Rückfüh-rungsmatrix beim Kalman-Filter in jedem Abtastschritt erneut berechnet und es erfolgt eineSchätzung des Zustandes bedingt auf die Realisation aller Meßwerte inklusive des aktuellen.Der asymptotisch arbeitende Luenbergerbeobachter bestimmt den Zustandsschätzwert aufgrundder Eingangsgröße, des Modells (B, A, und C-Matrix), der konstanten Rückführungsmatrix unddes Residuums. Dabei wird jedoch erst das vorherige Residuum zur Korrektur des aktuellenZustandes eingesetzt (Abb. 3.5).

Kalman-Filter

]−1

$ N( )

% N( ) & N( )[

N +1 ]N

XN

[N

[0

Prozeß

$[N

+

% N( )−1

$ N( )−1 & N( )

. N( )

$[N −+

1

$[N

+

UN

$[N

−

−$]N

] −1

] −1

Z N( ) Y N( )

XN−1

$[ 0

$EELOGXQJ�� Struktur des .DOPDQ�)LOWHU�$OJRULWKPXV


��

$EELOGXQJ�� =XVDPPHQVWHOOXQJ�GHU�.DOPDQ�)LOWHU�*OHLFKXQJHQ

'HU�.DOPDQ�)LOWHU�$OJRULWKPXV

(UVWHU�6FKULWW�GHV�)LOWHUDOJRULWKPXV��3UlGLNWLRQ��WLPH�XSGDWH�

Prädiktion des Zustandes:

$ ( ) $ ( ) ( )[ $ N [ % N X NN N

−−

+= − ⋅ + − ⋅ −1 1 11

mit den Startwerten:

{ }$ ( )[ ( [ [0 00+ = =

Fehlerkovarianz der Prädiktion:

3 N $ N 3 N $ N * N 4 N * N7 7− += − ⋅ − ⋅ − + − ⋅ − ⋅ −( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1

mit dem Startwert:

{ }3 ( [ [ [ [ 37

[0 0 00 00

+ = − ⋅ − =( ( ) ) ( ( ) )

=ZHLWHU�6FKULWW�GHV�)LOWHUDOJRULWKPXV��.RUUHNWXU��PHDVXUHPHQW�XSGDWH�

Aktualisierung des Zustandes:

$ $ ( )[ [ . N UN N N

+ −= + ⋅

mit dem Residuum:

U \ & N [N

NN

= − ⋅ −( ) $

und der Rückführungsmatrix:

[ ]. N 3 N & N & N 3 N & N 5 N7 7( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +− − −1

Fehlerkovarianz des aktualisierten Zustandschätzwertes:

( )3 N , . N & N 3 N+ −= − ⋅ ⋅( ) ( ) ( ) ( )

(3.21)

(3.22)

(3.23)

(3.24)

(3.25)

(3.26)

(3.27)

(3.28)


��

In Abb. 3.8 sind die erforderlichen Rekursionsschritte des Algorithmus zusammengestellt. DasVerfahren startet mit der Initialisierung der Zustände (3.22). Anschließend erfolgt die Berech-nung der Prädiktionswerte anhand der Eingangsgrößen, sowie der System- und Steuermatrix(3.21). Die Prädiktion (time update) endet mit der Berechnung der Prädiktionsfehlerkovarianz(3.23). Diese ist von der Systemmatrix, der Schätzfehlerkovarianz des letzten Abtastschrittsund der Kovarianz des Eingangsrauschens (driving noise) abhängig. Im ersten Abtastschrittwird ein Startwert (3.24) für die Schätzfehlerkovarianz eingesetzt.Die Korrektur (measurement update) startet mit der Berechnung des Residuums (3.26). MitHilfe des Residuums, der Prädiktionsfehlerkovarianz und der Kovarianz des Meßrauschenswird anschließend die Rückführungsmatrix (Kalman-Gain) K(k) bestimmt (3.27). Schließlich

kann nun der korrigierte Zustand $[N

+ berechnet werden (3.25). Mit der Bestimmung der Schätz-fehlerkovarianz (3.28) endet ein Durchlauf des Kalman-Filter Algorithmus.

Stabilitätsverhalten des Kalman-Filters

Analog zu den Betrachtungen des Luenbergerbeobachters soll nun das Stabilitätsverhalten desKalman-Filters untersucht werden. Durch Einsetzen der Gleichungen (3.21), (3.25) und (3.26)ineinander kann die Schätzgleichung berechnet werden. Sie lautet in Zufallsvariablenschreib-weise:

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )

$ ( ) ( ) $

( ) ( ) ( ) ( )

[ N , . N & N $ N [ N

, . N & N % N X N . N \ N

+ += − ⋅ ⋅ − ⋅ −

+ − ⋅ ⋅ − ⋅ − + ⋅

1 1

1 1

Für die Stabilitätsuntersuchung interessiert nur der homogene Teil dieser Gleichung, der durchNullsetzen der Eingangsgrößen entsteht.

( ) ( )[ ] ( )$ ( ) ( ) $[ N , . N & N $ N [ NK K

+ += − ⋅ ⋅ ⋅ − 1

Entsprechend der Forderung nach globaler, gleichmäßiger und asymptotischer Stabilität, mußGleichung (3.30) folgende Bedingung erfüllen:

( ) ( )$ lim $[ N [ NK

NK

+

→∞

+< → =� �

�δ für beliebige δ 1

Gleichung 3.31 fordert, daß der Betrag des Schätzvektors (Länge des Vektors) unabhängig vonseiner Anfangsposition für große k gegenNull strebt. Eine geeignete Lyapunov-Funktion : zurUntersuchung dieser Konvergenz ist z.B. Gleichung (3.32).

( )( ) ( ) ( ) ( ): [ N N [ N 3 N [ NK K

7

K$ , $ $+ + + − += ⋅ ⋅�

Eine resultierende Forderung ist dabei ist die Beschränktheit der inversen Schätzfehlerkovari-

anzmatrix ( )3 N+ −1. Aus dieser Forderung ergeben sich zwei Bedingungen, die zusammenge-

nommen hinreichend sind für globale, gleichmäßige, asymptotische Stabilität:

1. stochastische Steuerbarkeit

( ) ( ) ( ) ( ) ( )α α11

21 1 1⋅ ≤ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ≤ ⋅= − +∑, L M * M 4 M * M L M ,

M L 1

L7 7Φ Φ, ,

(3.29)

(3.30)

(3.31)

(3.32)

(3.33)


��

2. stochastische Beobachtbarkeit:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )α α11

1

2⋅ ≤ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≤ ⋅= − +

−∑, M L & M 5 M & M M L ,7

M L 1

L7Φ Φ, ,

wobei gilt:

��

< < < ∞≥

α αL 1

1 beliebig, aber fest

Diese beiden Bedingungen sagen letztendlich aus, daß die Stärke des Prozeßrauschens und dieStärke des Meßrauschens endlich, aber größer als Null sein müssen. Für das Meßrauschen istdies sofort einsichtig, denn aus unendlich gestörten Meßwerten kann auch keine brauchbareInformation gewonnen werden.Der Summenterm von Gleichung (3.34) wird auch als Fisher’sche Informationsmatrix bezeich-net. Sie ist ein Maß für die Information, die durch die Messungen hinzugekommen ist.

�� :LHQHU�)LOWHU

Im Fall eines linearen, zeitinvarianten System- und Beobachtungsmodells, sowie stationärenRauschprozessen für das Eingangs- und Meßrauschen, verändert sich die Schätzfehlerko-varianz nach dem Einschwingvorgang nicht mehr (stochastische Beobachtbarkeit und Steuer-barkeit vorausgesetzt). Als Folge davon nehmen auch die Kalman Gains konstante Werte an. Invielen praktischen Anwendungen mit diesen Randbedingungen besteht der Bedarf, durch eine”Offline” Bestimmung dieser stationären Verstärkungen den Algorithmus erheblich zu ver-einfachen und somit Rechenzeit einzusparen. Die ”Online”-Bestimmung der Kovarianzma-trizen und der Kalman Gains kann dann entfallen.Ein solcher Zustandsbeobachter wird auch als stationäres Kalman-Filter oder Wiener Filter be-zeichnet. Eine direkte Bestimmung der Verstärkungen kann durch eine Grenzwertbetrachtungerfolgen. Dies führt zu einer Riccati Differenzengleichung, die numerisch gelöst werden kann[Gelb, Acker].

�� 1LFKWOLQHDUH�VWRFKDVWLVFKH�%HREDFKWHU

In vielen Problemstellungen der Zustandsschätzung liegt ein nichtlinearer Prozeß zugrunde.Das Befüllen und Entleeren des Saugrohres zeigt beispielsweise im Saugrohrdruckverlauf einstark unterschiedliches dynamisches Verhalten (Abb. 2.3), das auf eine Nichtlinearität zurück-geführt werden kann. Eine Linearisierung um einen festen Arbeitspunkt würde in diesem Fallnur unzureichende Ergebnisse liefern, da sich das dynamische Verhalten sehr stark mit demArbeitspunkt ändert. Ein möglicher Lösungsansatz ist in diesem Fall der Einsatz eines nichtli-nearen Beobachters.

(3.34)


��

Da im Bereich der Motorsteuerungsproblematik normalerweise keine Normaltrajektorie für diethermodynamischen Zustände im Motor (Saugrohr) angegeben werden kann, ist der Einsatzeines linearisierten Kalman-Filters nicht möglich. Die Approximation der Nichtlinearitätendurch Funktionen höherer Ordnung mittels eines Gauß-Filters ist aus methodischer Sicht sinn-voll, scheidet jedoch aufgrund der erforderlichen hohen Rechenleistung aus. Als Kompromißsoll im vorliegenden Fall das Extended Kalman-Filter eingesetzt werden.Der folgende Abschnitt beschreibt die Struktur und den Algorithmus des kontinuier-lich/diskreten Extended Kalman-Filters. Ausgangsbasis dieses Filtertyps ist ein nichtlinearesgestörtes System- und Beobachtungsmodell.

&( ) ( ( ), ( ), ) ( ) ( )[ W I [ W X W W * W Z W= + ⋅

Das Systemmodell (3.35) wird in kontinuierlicher Form angegeben. In den meisten Anwen-dungsfällen beruht die Modellbildung auf nichtlinearen Differentialgleichungen, für die keinexaktes, zeitdiskretes Äquivalent angegeben werden kann. Der Vektor [ W( ) entspricht dem Zu-standsvektor, X W( ) dem Eingangsvektor und I [ W X W W( ( ), ( ), ) einer vektoriellen, nichtlinearen

Funktion. Die stochastische Kontrollmatrix G verteilt die Komponenten des Eingangs-rauschvektors Z W( ) auf die Zustände. Wie beim linearen, zeitdiskreten Ansatz wird Z W( ) un-korreliert, gaußverteilt und unabhängig von allen anderen Größen angenommen (3.36 und3.36a).

{ }( Z W( ) = 0

{ }( Z W Z W 4 N7( ) ( ) ( ) ( )⋅ + = ⋅τ δ τ

Die nichtlineare Beobachtungsgleichung (3.37) ist in zeitdiskreter Form dargestellt. Der Meß-vektor ] W

L( ) setzt sich aus der vektoriellen nichtlinearen Funktion K [ W W

L L( ( ), ) und dem additi-

ven Rauschprozeß Y WL

( ) , dem Meßrauschen zusammen. Die technische Realisierung derSchätzalgorithmen erfolgt üblicherweise mit Hilfe von Abtastsystemen. Die Meßwerte werdensomit zu den diskreten Zeitpunkten W

L zur Verfügung gestellt.

] W K [ W W Y WL L L L

( ) ( ( ), ) ( )= +

Das Meßrauschen wird ebenfalls weiß, gaußverteilt und unabhängig von allen anderen Größenangenommen (3.38) und (3.39).

{ }( Y WL( ) = 0

{ }( Y W Y W 5 W W WL M

7

L L M( ) ( ) ( ) ( , )⋅ = ⋅δ

Abbildung 3.9 enthält eine Zusammenstellung der Gleichungen des Extended Kalman-Filters.Mit Hilfe von Gleichung (3.40) erfolgt die Prädiktion des Zustandes um das Zeitintervall einesAbtastschritts. Die Lösung dieser nichtlinearen Differentialgleichung muß für den Fall, daßkeine allgemeine Lösung existiert (dies ist leider bei fast allen Anwendungen der Fall), nume-risch erfolgen.

(3.35)

(3.36)

(3.36a)

(3.37)

(3.38)

(3.39)


��

Die Schreibweise $( / )[ W WL

besagt, daß für die Bestimmung des Schätzwertes für [ alle zu-rückliegenden Meßwerte einschließlich jener, die zum Zeitpunkt W

L angefallen sind, berück-

sichtigt wurden. Die Prädiktion startet mit dem Zustandsschätzwert $( / )[ W WL L

des letzten Abtast-schritts und berechnet dann rekursiv (z.B. mit dem Euler-Integrationsverfahren) den Prä-

diktionwert $ ( )[ WL

−+1 .

Zur Berechnung der Prädiktionsfehlerkovarianzmatrix wird die vektorielle, nichtlineare Funk-tion I [ W X W W( ( ), ( ), ) um den Schätzwert $( / )[ W W

L linearisiert (3.44). Mit Hilfe der resultierenden,

linearisierten Systemmatrix ( )) [ W W WL$( / ), und der zeitkontinuierlichen Form der Prädiktions-

fehlerkovarianzgleichung (3.42) erfolgt dann die Berechnung der Prädiktionsfehlerkovarianz3 W

L

−+( )1 für den Zeitpunkt W

L +1 . Man beachte dabei die Unterschiede zu der zeitdiskreten Form(3.23) der Gleichung. Eine Herleitung der kontinuierlichen Form findet sich in [Gelb, May].Analog zur Zustandsprädiktionsgleichung (3.40) kann auch die Prädiktionsfehlerkovarianzglei-chung nur numerisch gelöst werden. Dabei sollte die Linearisierungsmatrix ( )) [ W W W

L$( / ), nach

jedem Integrationsschritt zur Lösung der Zustandsgleichung erneut berechnet werden. In Aus-nahmefällen (je nach Form der Nichtlinearität) kann jedoch die Linearisierungsmatrix im Abta-stinterval konstant gehalten werden.Zur Berechnung der Kalman Verstärkungen (3.47) wird die linearisierte Beobachtungsmatrix

( )+ [ W WL L

−+ +( ),1 1 benötigt. Sie wird durch die partielle Ableitung der nichtlinearen Beobach-

tungsgleichung K [ W W( ( ), ) nach den Komponenten des Systemzustandes [ im Arbeitspunkt

$ ( )[ WL

−+1 bestimmt (3.49). Die Berechnung des Residuums (3.46) erfolgt jedoch anhand der

nichtlinearen Beobachtungsfunktion. Die Aktualisierung des prädizierten Zustandes (3.45) istidentisch mit der zeitdiskreten Variante (3.25). Mit der Berechnung der Schätzfehlerkovari-anzmatrix (3.48) wird eine Rekursion des Extended Kalman-Filter Algorithmus beendet.


��

$EELOGXQJ�� =XVDPPHQVWHOOXQJ�GHU�([WHQGHG�.DOPDQ�)LOWHU�*OHLFKXQJHQ

'HU�([WHQGHG�.DOPDQ�)LOWHUDOJRULWKPXV

(UVWHU�6FKULWW�GHV�)LOWHUDOJRULWKPXV��3UlGLNWLRQ��WLPH�XSGDWH�

Prädiktion des Zustandes:

$&( / ) ( $( / ), ( ), )[ W W I [ W W X W WL L

=

mit dem Startwert : $( / ) $ ( )[ W W [ WL L L

= +

und dem Ergebnis : $ ( )[ WL

−+1

Fehlerkovarianz der Prädiktion:

& ( / ) ( , $( / )) ( / ) ( , $( / )) ( ) ( ) ( )3 W W ) W [ W W 3 W W ) W [ W W * W 4 W * WL L L L

7 7= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

mit dem Startwert: 3 W W 3 WL L L

( / ) ( )= +

und dem Ergebnis : 3 WL

−+( )1

Linearisierung der Systemgleichungen:

( )) [ W W WI [ W X W W

[L

[ [ W WL

$( / ),( $( ), ( ), )

$ ( / )

==

∂∂

=ZHLWHU�6FKULWW�GHV�)LOWHUDOJRULWKPXV��.RUUHNWXU��PHDVXUHPHQW�XSGDWH�

Aktualisierung des Zustandes:

$ ( ) $ ( ) ( ) ( )[ W [ W . W U WL L L L

++

−+ + += + ⋅1 1 1 1

mit dem Residuum: ( )U W ] W K [ W WL L L L

( ) ( ) $ ( ),+ +−

+ += −1 1 1 1

und der Rückführungsmatrix:

( ) ( ) ( ). W 3 W + [ W + [ W 3 W + [ W 5 WL L L

7

L L L

7

L( ) ( ) $ ( ) $ ( ) ( ) $ ( ) ( )+

−+

−+

−+

−+

−+ +

−

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

1 1 1 1 1 1 1

1

Fehlerkovarianz des aktualisierten Zustandschätzwertes:

( )[ ]3 W , . W + [ W 3 WL L L L

++ +

−+

−+= − ⋅ ⋅( ) ( ) $ ( ) ( )1 1 1 1

Linearisierung der Beobachtungsgleichungen:

( )+ [ W WK [ W X W W

[L L

[ [ WL

−+ +

=

=−

+

( ),( ( ), ( ), )

$ ( )

1 1

1

∂∂

(3.40)

(3.41)

(3.42)

(3.43)

(3.44)

(3.45)

(3.46)

(3.47)

(3.48)

(3.49)


��

�� =XVWDQGVUHJHOXQJHQ

Der folgende Abschnitt beschreibt die prinzipielle Struktur einer Zustandsregelung. Liegt füreinen zu regelnden Prozeß ein Zustandsraummodell vor und können die interessierenden Zu-stände als Meßwerte oder als Schätzwerte eines Zustandsbeobachters zur Verfügung gestelltwerden, so ist es naheliegend, ein auf die Systemdynamik und diese Zustände basierendes Re-gelverfahren (Zustandsregelung) zu entwerfen. Abbildung 3.10 zeigt die Struktur eines zeitdis-kreten Zustandsreglers.

Analog zu den Betrachtungen der linearen deterministischen Beobachter lauten die System-und Beobachtungsgleichung des dem Zustandsregler zugrunde liegenden Prozesses:

( ) ( ) ( )[ N $ [ N % X N+ = ⋅ + ⋅1

( ) ( )\ N & [ N= ⋅

Die Aufgabe eines Zustandsreglers ist es, den Zustand xk in endlich vielen Schritten aus dembeliebigen Anfangspunkt x0 in den beliebigen Endpunkt xe zu überführen. Dies ist bei einemProzeß genau dann möglich, wenn die Matrix Q

s (3.52) den Höchstrang n hat. Dann ist das

Abtastsystem aus regelungstechnischer Sicht steuerbar. Eine ähnliche Problemstellung wurdebereits bei der Beobachtbarkeit von deterministischen Zustandsbeobachtern (Kap. 3.1.1) darge-stellt.

[ ]4 % $ % $ %V

Q= ⋅ ⋅−, , ,L 1

Über die charakteristische Gleichung des Abtastsystems (3.53) können die Eigenwerte des Ab-tastsystems berechnet werden. Liegen die Eigenwerte innerhalb des Einheitskreises, dann istdas Abtastsystem stabil.

[ ]det ( )] , $ % 5]

⋅ − − ⋅ = 0

Über eine konstante Reglermatrix 5] wird der Zustandsvektor zurückgeführt. Hiermit werden

Anfangsstörungen ausgeregelt und dem System ein gewünschtes dynamisches Verhalten einge-prägt. Die Zustandsdifferenzengleichung ergibt dann:

] −1

$

% &[

N +1 ]N

XN

[N

[0

6

5=

Z]N

]V

-

$EELOGXQJ�� 6WUXNWXU�HLQHV�]HLWGLVNUHWHQ�=XVWDQGVUHJOHUV

(3.50)

(3.51)

(3.52)

(3.53)


��

( )[ $ % 5 [ % ZN ] N ]N+ = − ⋅ ⋅ + ⋅1

Um das gewünschte stationäre Führungsverhalten zu gewährleisten, wird ein Vorfilter benötigt.Das Vorfilter S kann nach Gleichung (3.55) berechnet werden.

( )[ ]6 & , $ % 5 %]

= ⋅ − + ⋅ ⋅− −1 1

Das dynamische Verhalten des Systems wird durch die Lage seiner Eigenwerte charakterisiert.Analog zum Entwurf des Zustandsbeobachters können bei der Zustandsregelung die gleichenEntwurfmethoden angewendet werden. Da für den Eingrößenfall die Eigenwerte eines Systemsmit dessen Pole identisch sind (von Ausnahmen abgesehen), ist es naheliegend, das Polvorga-beverfahren zum Reglerdesign einzusetzen. Beim Entwurf auf endliche Einstellzeit werden diePole des geschlossenen Regelkreises durch eine entsprechende Wahl der Reglermatrix 5

] in

den Ursprung verschoben. Dieser Reglerentwurf wird auch Deadbeat-Regler bezeichnet. Er istdurch seine hohe Dynamik und seine Parameterempfindlichkeit jedoch nicht unproblematischund aufgrund der Stellgrößenbegrenzung vieler technischer Anwendungen in der Praxis oftnicht realisierbar. Eine Verschiebung der Pole in die Nähe des Ursprungs unter Berücksichti-gung der Stellgrößenbegrenzungen und Robustheitsanforderungen liefert in vielen Fällen guteErgebnisse. Für den Fall komplexer Mehrgrößensysteme werden meist Riccati Regler einge-setzt [Acker, Föl-3].Liegt die Zustandsraumdarstellung in der Regelungsnormalform vor, dann kann die Reglerma-trix 5

] direkt aus den Parametern der Systemmatrix $ und aus dem gewünschten charakteri-

stischen Polynom des geschlossenen Regelkreises bestimmt werden. Im allgemeinen ist dieStrecke nicht in Regelungsnormalform gegeben. Jedoch kann die Reglermatrix 5

] für Eingrö-

ßensysteme über die Formel von Ackermann [Acker] bestimmt werden.

( )U T S $ S T S T $ T $7

Q

7

Q

7

Q

7

Q

7 Q= ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅0 1 K

Die Parameter pn sind die Koeffizienten des gewünschten charakteristischen Polynoms der Re-

gelung und qn

T ist die letzte Zeile der inversen Steuerbarkeitsmatrix aus Gleichung (3.52).

(3.54)

(3.55)

(3.56)

Modellbildung

��

�� 0RGHOOELOGXQJ

Für den Einsatz modellbasierter Steuer- und Regelalgorithmen in Seriensteuergeräten werdenModelle benötigt, die einerseits ein möglichst hohes Maß an Allgemeingültigkeit besitzen unddamit den Applikationsaufwand minimieren, aber andererseits aufgrund der hohen Echtzeitan-forderungen ein Minimum an Rechnerressourcen erfordern. Dieser offensichtliche Widersprucherfordert bei der Modellbildung eine Anpassung der Modellierungstiefe an die jeweilige Auf-gabenstellung und Hardwareumgebung.Die in diesem Kapitel aufgeführten Modelle beruhen ausschließlich auf gewöhnlichen Diffe-rentialgleichungen. Allerdings wurden die Auswirkungen der ortsabhängigen Saugrohrdruck-pulsationen mit Hilfe eines signaltheoretischen Ansatzes berücksichtigt. Die Parametrierungerfolgte auf der Grundlage eines 2.3 Liter Vierventil-Vierzylindermotors mit Nockenwellenver-stellung, sowie an einem 3.2 Liter Dreiventil-Sechszylindermotor mit Schaltsaugrohr.

�� 'HU�/XIWSIDG

�� 'LH�6DXJURKUG\QDPLN

Die Berechnung der Zustandsänderung im Saugrohr erfolgt auf der Grundlage der Massebi-lanzgleichung und des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik für offene, durchströmte Syste-me. Zu diesen grundlegenden Sachverhalten kann auf eine umfangreiche Literatur verwiesenwerden [Baehr, Els] Die Massebilanzgleichung (4.1) beschreibt allgemein die Änderung derMasse in einem Kontrollraum mit konstantem Volumen in Abhängigkeit der zu- und ab-fließenden Massenströme.

GPGW

GPGW

N L

L

Q

==∑

1

Der erster Hauptsatz der Thermodynamik (4.2) stellt die bekannte Energiebilanzgleichung füreinen Kontrollraum mit einem Zufluß und einem Abfluß dar. Dabei entspricht 4

ZW∆ der zu-

bzw. abgeführten Wärme, /W

W∆ der technischen Arbeit, +1 und +2 den Enthalpien der im Be-

trachtungszeitraum ∆W zu- und abgeführten Stoffmengen P1 und P2 , sowie ω1 und ω2 denentsprechenden Geschwindigkeiten. ]1 und ]2 stellen die geometrischen Höhen des Zu- undAbflusses dar. P 8

.$ .$, bzw. P 8

.( .(, entsprechen der Masse und der inneren Energie des

Kontrollraums zu Beginn bzw. am Ende des Betrachtungszeitraums.

4 / + + P J ] P J ] P 8 P 8Z W .$ .$ .( .(

W W∆ ∆+ = − + + ⋅

− + ⋅

+ ⋅ − ⋅2 1 2

22

2 112

12 2ω ω

Für moderne Ottomotoren mit externer Abgasrückführung und Tankentlüftung kann die Glei-chung auf beliebige Zu- und Abflüsse erweitert werden (4.3).

(4.1)

(4.2)

Modellbildung

��

4 / P K J ] P K J ]

P X P X

Z W DXV DXV

DXV

DXV

L

Q

HLQ HLQ

HLQ

HLQ

M

Q

.( .( .$ .$

W W L L

L

L M M

M

M∆ ∆+ = + + ⋅ − + + ⋅ +

+ ⋅ − ⋅= =∑ ∑( ) ( )

ω ω2

1

2

12 2

/W W∆und ]

L können vernachlässigt werden, da in der Ansauganlage des Motors keine technische

Arbeit zu- oder abgeführt wird und die geometrischen Höhenunterschiede zwischen Zu- undAbflüssen nur geringe Auswirkungen zeigen.Meßtechnisch werden i.a. Luftmassenströme und keine Absolutluftmassen erfaßt. Eine Bilan-zierung der Energieänderung ist somit zur Modellbildung vorteilhaft (4.4).

( )& & ( ) & ( )4 P K P KGGW

P XZ DXV DXV

DXV

L

Q

HLQ HLQ

HLQ

M

Q

N NL L

L

M M

M= + − + + ⋅= =∑ ∑

ω ω2

1

2

12 2

Im folgenden soll nun Gleichung (4.4) in eine Differentialgleichung für den Druck im Saugrohrüberführt werden. Dazu werden das ideale Gasgesetz (4.5) und die kalorischen Zustandsglei-chungen (4.6) und (4.7) benötigt. S entspricht dem Absolutdruck des Behälters, 9 dessenVolumen, 5

L der individuellen Gaskonstante und 7 der Temperatur.

S 9 P 5 7L

⋅ = ⋅ ⋅

X 7 F 7 G7 XY

7

7

( ) ( )= ⋅ +∫ 0

0

K 7 F 7 G7 KS

7

7

( ) ( )= ⋅ +∫ 0

0

Für den Fall, daß sich die Temperatur verhältnismäßig gering ändert, können die spezifischenWärmekapazitäten F 7

Y( ) und F 7

S( ) konstant angenommen werden. Die Ableitung des idealen

Gasgesetzes nach der Zeit ergibt:

GSGW 9

GGW

P 7 FY

=−

⋅ ⋅ ⋅κ 1

( )

mit κ =F

FS

Y

und 5 F FL S Y

= −

Gleichung (4.4) in Gleichung (4.8) eingesetzt führt schließlich zur allgemeinen Differential-gleichung für den Druck (4.9).

GSGW 9

P F 7 P F 7 4.

.

HLQ S HLQ

HLQ

DXV S DXV

DXV

M M M

M

L L

L=−

+

− +

+

∑ ∑κ ω ω1

2 2

2 2

& & &

Die Gasgeschwindigkeiten ωL an den engsten Querschnitten der Zu- und Abflüsse hängen nach

Gleichung (4.10) außer von den Masseströmen auch von den Dichten der ausströmenden Gaseund von den effektiven Querschnitten der Öffnungen ab.

(4.3)

(4.4)

(4.5)

(4.6)

(4.7)

(4.8)

(4.9)

Modellbildung

��

ωδL

L

HII L

P$

L

=⋅

&mit δ

L

L

L L

S5 7

=⋅

Die Temperaturen der einströmenden Gase betragen in den engsten Querschnitten:

7 7SSDXV HLQ

V

HLQ

= ⋅

−γγ

1

γ entspricht dem Polytropenexponenten. Im engsten Querschnitt der Drosselstellen sinken so-mit die Enthalpien aufgrund der erhöhten Gasgeschwindigkeiten. Die Gleichungen (4.10) und(4.11) beziehen sich jedoch ausschließlich auf die Annahme einer idealen, laminaren Strömungin einer sich verengenden Düse (Abb 4.1).

Im Fall von realen Düsen, z.B. von Drosselklappen (Abb. 4.2), darf die Strömung nicht mehrlaminar angenommen werden, da an den Kanten der Drosselscheibe starke Verwirbelungenauftreten. Der Rohrquerschnitt stromabwärts der Drosselstelle entspricht üblicherweise demQuerschnitt vor der Drosselung. Die erhöhte kinetische Energie des Gases wird somit durch dieVerwirbelung größtenteils wieder abgebaut. Als Folge davon steigt auch die Enthalpie wiederan. Die Annahme einer isenthalpen Drosselung, also einer kompletten Vernachlässigung derveränderten kinetischen Energie ist jedoch auch nicht ganz korrekt. Dann müßte nämlich mit(4.10 ) für ω ω1 2= Gleichung (4.12) zutreffen.

7S

7S

2

2

1

1

=

Der durch die Annahme isenthalper Drosselung entstehende Fehler ist bei konventionellenSaugmotoren jedoch gering. Der an der Drosselklappe des 4-Zylinder Motors meßtechnischermittelte Temperaturabfall beträgt maximal 1° Kelvin. Bei aufgeladenen Motoren und ent-sprechend höheren Strömungsgeschwindigkeiten kann dieser Fehler jedoch inakzeptabel hoheWerte annehmen. Abbildung 4.3 zeigt eine 3D-Simulation des Nahbereichs einer Drossel-klappe. Der Drosselklappenöffnungswinkel beträgt 2 Grad (Leerlauf). Die Länge und die Aus-richtung der einzelnen Vektoren charakterisiert die ortsabhängige Geschwindigkeit und dieStrömungs-richtung des Gases. Direkt hinter der Drosselklappenscheibe sind starke Wirbel undsehr niedrige Strömungsgeschwindigkeiten zu erkennen. Die höchste Strömungsgeschwindig-keit (und damit auch die niedrigste Temperatur) herrscht direkt im Spalt der Drosselklappe.

(4.10)

(4.11)

S 71 1 1, ,ω

S S

7 72 1

2 1

2 1

<<>ω ωS 72 2 2, ,ω S 71 1 1, ,ω

S S

7 72 1

2 1

2 1

<≈≈ω ωS 72 2 2, ,ω

$EELOGXQJ�� ,GHDOH�'URVVHOVWU|PXQJ��$EELOGXQJ�� 5HDOH�'URVVHOVWU|PXQJ

(4.12)

Modellbildung

��

Zur Anwendung von Gleichung (4.9) wird zunächst die Massenbilanz des Luftpfades bei Ot-tomotoren betrachtet. Die Befüllung des Saugrohres erfolgt über die Massenströme der Dros-selklappe &P

/'., der Abgasrückführung &P

/$*5, sowie der Tankentlüftung &P

/7(. Entleert wird

das Saugrohr lediglich über die Massenströme der Einlaßventile &P/=\O .

& & & & &P P P P P/6 /'. /$*5 /7( /=\O= + + −

Die Annahme einer isenthalpen Drosselströmung führt zu der Saugrohrdruckdifferentialglei-chung:

{ }GSGW 9

P F 7 P F 7 P F 7 P F 7 46

.

/'. S /'. /$*5 S /$*5 /7( S /7( /=\O S /6' $ (

=−

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ +κ 1

& & & & &

&4 entspricht dem Wärmeübergang von der Saugrohrwand auf die Saugrohrfüllung und kann inerster Näherung mit Gleichung (4.15) beschrieben werden.

& ( )4 N $ 7 76 6: /6

= ⋅ −

Sollen die Zusammenhänge im Saugrohr als adiabate oder polytrope Zustandsänderungen mo-delliert werden, so wird zusätzlich eine Differentialgleichung für die Saugrohrtemperatur be-nötigt. Diese kann durch die Ableitung des idealen Gasgesetzes berechnet werden.

GSGW

59

7WP P

W7

6

/6 /6 /6 /6= +

∂∂

∂∂

& & &77S

S5 79

P/6

/6

6

V

/6

6

/6= −

$EELOGXQJ�� '�6LPXODWLRQ�GHV�1DKEHUHLFKV�HLQHU�'URVVHONODSSH

(4.13)

(4.14)

(4.15)

(4.16)

(4.17)

Modellbildung

��

Die Modellierung der Luftmassenströme der Zu- und Abflüsse kann mit Hilfe der Durchfluß-gleichung für kompressible Medien an idealen Düsen erfolgen. Diese Gleichung stellt in vie-lerlei Hinsicht eine starke Vereinfachung der tatsächlichen, komplexen Strömungsphänomenean den realen Stellventilen, der Drosselklappe, dem Abgasrückführventil oder dem Tankent-lüftungsventil dar. Die Gleichung setzt eine sich gleichförmig verengende Düse und rein la-minare Strömungsverhältnisse voraus. Bei allen realen Düsen tritt jedoch ein Geschwindig-keitsabfall zum Düsenrand hin auf. Kantige Düsenenden z.B. an der Drosselklappe verursachendarüber hinaus turbulente Strömungsanteile und Einschnüreffekte. Diese Phänomene könnenjedoch teilweise mit Hilfe des Dischargekoeffizienten F

'( )α berücksichtigt werden. Gleichung

(4.18) und Gleichung (4.19) beschreiben exemplarisch die Luftmassenströmung am Hauptzu-fluß des Saugrohres, der Drosselklappe.

& ( ) ( ) ( , , )P $ F 35 7

3 3/'. JHR ' D

L D

V D= ⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅α α ψ γ2

ψ γ

γγ γ

γγ

γ γ

γγ

γγ

γ

γγ

γ

( , , )S S

SS

SS

I�USS

I�USS

V DQV

V

D

V

D

V

D

V

D

=−

−

≥ ≥+

+

⋅

+<

+

+−

− −

11

2

1

2

1 1

2

1

2 1

1

1

1 1

Abbildung 4.3a stellt die Durchflußgleichung (4.19) in Abhängigkeit des Druckverhältnissesdar. Oberhalb des kritischen Druckverhältnisses (überkritische Strömung) ist der Durchflußkonstant und es herrscht im engsten Querschnitt der Düse Schallgeschwindigkeit.

(4.18)

(4.19)

ps/pa

0.2 0.4 0.6 0.80 1

Ksi (Ps/

Pa)

0.1

0.2

0.3

0.4

0

0.5

�EHUNULWLVFKHV�'UXFNYHUKlOWQLV XQWHUNULWLVFKHV�'UXFNYHUKlOWQLV

überkritische Strömung unterkritische Strömung

3NULW

$EELOGXQJ��D�� 'LH� 'XUFKIOX�JOHLFKXQJ� I�U� LGHDOH� '�VHQLQ�$EKlQJLJNHLW�GHV�'UXFNYHUKlOWQLVVHV

Modellbildung

��

Zur Bestimmung des Korrekturfaktors F'

muß der geometrische Öffnungsquerschnitt $JHR

der

Drosselklappe exakt bestimmt werden, da meßtechnisch immer nur das Produkt aus beidenGrößen, der effektive Strömungsquerschnitt, ermittelt werden kann. Grobe Näherungen bei derModellierung des geometrischen Öffnungsquerschnitts äußern sich bei der Parametrierung miteiner starken Winkelabhängigkeit des Korrekturfaktors F

' (F

'> 0 5. ). Dadurch verliert das

Modell an Allgemeingültigkeit.Die Massenströme der Abgasrückführung, sowie der Tankentlüftung können analog zur Dros-selklappenströmung berechnet werden. Bezogen auf die Drosselklappenströmung beträgt derAbgasmassenstrom in der Praxis nur max. 10% und der Luftmassenstrom der Tankentlüftungetwa 3%. Allerdings muß die Temperatur der rückgeführten Abgasmasse ausreichend genaubestimmt werden, da aufgrund der geringen Dichte des Abgases auch geringe Rückführratenden Saugrohrabsolutdruck beeinflussen und insbesondere im instationären Motorbetrieb Ge-mischfehler verursachen können.

�� 0RGHOOLHUXQJ�GHV�JHRPHWULVFKHQ�gIIQXQJVTXHUVFKQLWWV�GHU�'URVVHO�NODSSH

Die Abbildungen 4.4 und 4.5 zeigen die Schnittbilder einer Drosselklappe. α'. 0 entspricht

dem Winkel zwischen der Symmetrielinie der Drosselklappenscheibe und der Senkrechten ammechanischen Anschlag. Der Drosselklappenwinkel α

'.kann somit von α

'. 0 bis π / 2 vari-iert werden.Die Drosselgeometrie wird, sofern die Drosselscheibendicke d berücksichtigt wird, durch dieachsnahen Kanten der Drosselscheibe und durch die Geometrie des Achsbolzens begrenzt. Beivoll geöffneter Klappe begrenzt lediglich der Achsbolzen die Drosselgeometrie.

$EELOGXQJ�� 6FKQLWWELOG�HLQHU�'URVVHONODSSH��$EELOGXQJ�� 9RUGHUDQVLFKW�HLQHU��'URVVHONODSSH

R dh

r

αDK

αDK 0

Modellbildung

��

Der dann herrschende Öffnungsquerschnitt kann durch Gleichung (4.20) beschrieben werden.

$ 5U

U5

5U5JHR90

2

2

2

22

1= −

−−

πarcsin

Wird die Drosselklappe geschlossen, so begrenzen zusätzlich zwei Ellipsensegmente den Öff-nungsquerschnitt. Die Gesamtfläche dieser Ellipsensegmente ergibt:

$ 5 KUK

UUKHVHJ

=

− −

2 1

2

2arccos

( ) ( )

( ) ( )

KG 5 G

5

G 5 G

'.

'.

'. '.

'.

'.

= + −

⋅

− +

+ −

2

00

2

02

00

2

4 2

4 2

costan

cos arccos

costan

αα

α α

αα

Somit erhält man für den geometrischen Öffnungsquerschnitt:

$ $ $JHR JHR HVHJ

= −90

Die Herleitung der Gleichungen (4.20) bis (4.22) sind im Anhang aufgeführt. In Abbildung 4.6ist der geom. Öffnungsquerschnitt in Abhängigkeit des Drosselklappenwinkels mit R=28.5mm, r=6 mm, d=2.5 mm, und αDK0

08= dargestellt. Die Kurven 2 und 3 basieren auf einerModellierung mit einer vernachlässigten Drosselscheibendicke bzw. durch die in der Literaturoft zitierte Näherungsfunktion:

( )( )$ 5JHR '. '.= − −π α α201 cos

Die relativen Fehler der Näherungen zeigt Abbildung 4.7. Zur Bestimmung des Discharge-koeffizienten muß die tatsächliche Drosselwirkung des Stellventils ermittelt werden. Dies er-folgt entweder an einem stationären Strömungsprüfstand oder direkt am Motorenprüfstandbzw. im Fahrzeug. Bei Motorversuchen müssen jedoch zusätzlich die periodischen Überlage-rungen von Saugrohrdruck und Luftmassenstrom berücksichtigt werden. Dieser Zusammen-hang wird in Kapitel 4.1.4 näher erläutert.

(4.20)

(4.21)

(4.22)

(4.23)

(4.24)

Modellbildung

��

Abbildung 4.8 zeigt den gemessenen und den berechneten (ohne Dischargekoeffizient) Luft-massenstrom der oben beschriebenen Drosselklappe in Abhängigkeit des Drosselklappen-öffnungswinkels und der Druckdifferenz. Die Messungen wurden in einem Strömungslabor

alpha [Grad]20 40 60 800 100

A_g

eo [m

m^2

]

500

1000

1500

2000

0

2500

exakte ÖffnungsflaecheA_geo(d=0)1. Näherung

$EELOGXQJ�� JHRPHWULVFKHU� gIIQXQJVTXHUVFKQLWW� HLQHU� 'URVVHO�NODSSH

alpha [Grad]

20 40 60 800 100

rel.

Feh

ler

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

-1

0.4

A_geo(d=0)

1. Näherung

$EELOGXQJ�� 5HODWLYHU� )HKOHU� YHUVFKLHGHQHU� 1lKHUXQJHQ� ]XU� %H�UHFKQXQJ�GHV�JHRPHWULVFKHQ�gIIQXQJVTXHUVFKQLWWV

Modellbildung

��

durchgeführt. Massenströme über 600 Kg/h konnten aufgrund der begrenzten Saugleistung desGebläses nicht erzeugt werden. Die Kennfelddaten wurden in diesem Bereich extrapoliert.Abbildung 4.9 zeigt den absoluten Fehler der Simulation (ohne Dischargekoeffizient) gegen-über der Messung. Die Abhängigkeiten des relativen Fehlers von Druckdifferenz und Drossel-klappenwinkel werden in Abbildung 4.10 dargestellt. Für einen konstanten Dischargekoeffizi-ent von 0.93 beträgt der relative Fehler für Drosselklappenöffnungswinkel größer 8° max. 10%(Abb. 4.11). Wird für den Dischargekoeffizienten der Polynomansatz (4.25) gewählt, läßt sichder relative Fehler in den für die Praxis relevanten Betriebspunkten um weitere 50% reduzie-ren.

FD D D D D'

'. '. '. '. '. '. '. '.

=+ − + − + − + −

1

0 1 01

2 02

2 03

3 04( ) ( ) ( ) ( )α α α α α α α α

Die Koeffizienten D0 bis D3 können der Tabelle 4.1 entnommen werden.Die größten relativen Fehler treten dann bei sehr kleinen Winkeln und geringen Druckdifferen-zen auf. Diese Betriebspunkte sind jedoch bei kleinen Lasten im Schleppbetrieb erreichbar undhaben für die Fahrzeuganwendung geringe Relevanz.

(4.25)

D0 D'.1

1

°

D'.2 2

1

°

D'.3 3

1

°

0.545517 0.0763575 - 0.00346239 - 3.32194e-0077DEHOOH��.RHIIL]LHQWHQ�GHV�.RUUHNWXUSRO\QRPV

Rechnung

Messung

$EELOGXQJ�� *HPHVVHQHU� XQG� EHUHFKQHWHU� /XIWPDVVHQVWURP� DQ� GHU'URVVHONODSSH

Modellbildung

��

$EELOGXQJ��$EVROXWHU�)HKOHU�GHU�%HUHFKQXQJ

Druckdifferenz [hPa]200 400 6000 800

rel.

Feh

ler

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

-0.4

0.2

alpha [°]20 40 60 800 100

rel.

Feh

ler

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

-0.4

0.2

Par

amet

er: a

lph a

Par

ame t

er: D

ruck

diffe

renz

$EELOGXQJ�� 'UXFNDEKlQJLJNHLW�XQG�:LQNHODEKlQJLJNHLW�GHV�UHO��)HK�OHUV�GHU�%HUHFKQXQJ�RKQH�'LVFKDUJHNRHIIL]LHQW

Modellbildung

��

�� 'DV�6DXJYHUKDOWHQ�GHV�0RWRUV

Die Abhängigkeiten der von den Zylindern angesaugte Luft &P/=\O werden von Gleichung (4.26)

vereinfacht beschrieben.

& &PS

5 79/=\O

V

/ V

/=\O=⋅

⋅

Für eine einlaßventilseitige, gleichförmige Strömung lautet der in den Motor einströmendeVolumenstrom &9=\O (Mittelwertmodell):

&91 9

Q/=\O+XE

=\O 9RO= ⋅ ⋅ ⋅60 2

η

Eine ereignisorientierte Modellierung zur Berücksichtigung der pulsierenden Massenströmeerfolgt üblicherweise auf Basis der Volumenänderung in den Zylindern (4.28). λ

N entspricht

dabei dem Verhältnis zwischen Kurbelwellenkröpfung und Pleuellänge, %= der Bohrung des

Zylinders. Eine stark vereinfachte Näherung für den Volumenstrom während des Öffnens derEinlaßventile eines Zylinders stellt eine sinusquadratförmige Strömungsfunktion dar (4.29).

Druckdifferenz [hPa]

200 400 6000 800

rel.

Feh

l er

0

0.1

0.2

0.3

0.4

-0.1

0.5

alpha [°]20 40 60 800 100

rel.

Feh

ler

0

0.1

0.2

0.3

0.4

-0.1

0.5

Par

am

eter

: a

l ph

a

Pa

ram

eter

: D

ruck

d iffe

renz

$EELOGXQJ�� 'UXFNDEKlQJLJNHLW� XQG� :LQNHODEKlQJLJNHLW� GHV� UHO�)HKOHUV�GHU�%HUHFKQXQJ�PLW�'LVFKDUJHNRHIIL]LHQW

(4.26)

(4.27)

Modellbildung

��

& sin( )cos( ) sin( )

sin ( )9

%U W

W W

W+XE PRW

=

N PRW

N PRW PRW PRW

N PRW

= ⋅ + ⋅−

ω π ω λ ω ω ω

λ ω

2

2 24 1

mit ω πPRW

1= ⋅260

( )&&$ sin

99 W I�U W

I�U W

/=\O

/=\O L PRW PRW

PRW

L

= −⋅ −

< ≤

≤ <

2

2 11 1 2

2 10

πϕ ϕ

ω ϕ ϕ ω ϕ

ϕ ω ϕ

mit ( )&$ sin9 W GW 9/=\O L PRW +XE 9RO

PRW

2

0

2 1

ω η

ϕ ϕω

−

∫ = ⋅

Der volumetrische Wirkungsgrad η9RO

beinhaltet die Auswirkungen thermodynamischer Zu-sammenhänge des Gaswechsels und der Verbrennung auf das Saugverhalten des Motors. DieWesentlichen sind:

• Rückströmung von Restgas aus den Zylindern bei Ventilüberschneidung

• Änderung des Restgasanteiles

• Resonanzbildung im Saugrohr (Druckpulsationen)

• Nockenwellenstellung und Schaltsaugrohrstellung

• Drosselverluste an den Einlaßventilen

• Temperaturerhöhung an den Einlaßventilen

• Abkühlung der angesaugten Luft durch die Verdampfungsenthalpie der einge-

spritzten Kraftstoffmasse

Die Literatur bietet an dieser Stelle eine ganze Reihe von Näherungen für das Saugverhaltenvon Verbrennungsmotoren [Heyw, Pisch]. Leider ist zur Berücksichtigung der wesentlichenEffekte mit der für eine Einspritzsteuerung erforderlichen Genauigkeit ein hoher Detaillie-rungsgrad notwendig. Da die Modellierung mit Hilfe gewöhnlicher Differentialgleichungen mitder geforderten Genauigkeit nicht möglich ist, muß η

9RO experimentell ermittelt werden.

Abb. 4.12 zeigt das Füllungsverhalten eines Vierzylinder-Vierventilmotors bei verschiedenenNockenwellenstellungen.Bei konstanter Drehzahl und Nockenwellen- bzw. Saugrohrstellung kann der Zusammenhangzwischen Luftmassenstrom und Saugrohrdruck durch Geradengleichungen genähert werden(Abb. 4.13). Die akustischen Resonanzen im Saugrohr erzeugen Welligkeiten der über derDrehzahl aufgetragenen Füllungskurven. Abb. 4.14 zeigt diesen Zusammenhang.

(4.28)

(4.29)

Modellbildung

��

NW frueh

NW spaet

$EELOGXQJ��6DXJYHUKDOWHQ�HLQHV��9HQWLO�9LHU]\OLQGHUPRWRUV

m p

kt [k

g/s]

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0

0.12Saugkennfeld 4-Zyl NW spaet

n [1/min]2000 3000 40001000 5000

Saugkennfeld 4-Zyl NW spaet

delta p [hPa]

200 400 6000 800

Saugkennfeld 4-Zyl NW frueh Saugkennfeld 4-Zyl NW frueh

m p

kt [k

g/s

]

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0

0.12

m p

kt [k

g/s

]

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0

0.12

m p

kt [k

g/s

]

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0

0.12

delta p [hPa]

200 400 6000 800

n [1/min]2000 3000 40001000 5000

Par

amet

er D

rehz

ahl

Par

ame

ter

Dre

hzah

l

Par

amet

er D

ruck

diffe

renz

Par

ame

ter

Dru

ckdi

ffere

nz

$EELOGXQJ��/LQHDUH�$EKlQJLJNHLW �$EELOGXQJ��'UHK]DKODEKlQJLJNHLW��GHV�)�OOXQJVYHUKDOWHQV��GHV�)�OOXQJVYHUKDOWHQV��YRQ�GHU�'UXFNGLIIHUHQ]

Modellbildung

��

�� (LQIO�VVH�GHU�6DXJURKUWHPSHUDWXU

Eine weitere, wichtige Zustandsgröße zur Bestimmung der Zylinderfüllung ist die Saugrohr-temperatur. Bei konventioneller Technik werden im stationären Betrieb ihre Auswirkungen aufdie Gemischbildung durch die Lambdaregelung kompensiert. Instationär können schnelle Tem-peraturänderungen jedoch Gemischfehler verursachen, da die Füllungsberechnung üblicherwei-se auf der Basis des an der Drosselklappe herrschenden Luftmassenstromes oder des Saugrohr-drucks in Verbindung mit der Ansauglufttemperatur erfolgt. Konventionelle Temperatursenso-ren verfügen über 790 -Zeiten größer 10 s, so daß eine direkte Messung der Saugrohrtemperaturzur Kompensation hochdynamischer Vorgänge nicht sinnvoll erscheint.Abb. 4.15 zeigt einen Vergleich zwischen Messung und Simulation von Prozeßgrößen desSaugrohres während eines typischen Fahrzeugversuches im Stadtbereich. Die Meßdaten vonSaugrohrdruck, Luftmassenstrom und Saugrohrtemperatur wurden zum besseren Vergleich vonPulsationen und Störungen befreit. Interessanterweise zeigt die Saugrohrtemperatur bereits beigeringen Instationärvorgängen erhebliche Schwankungen. Diese können bei stärkeren Saug-rohrdruckänderungen (> 600 hPa/s) 50 Grad Kelvin übersteigen.

Erfolgt die Berechnung der Einspritzzeit nur in Abhängigkeit des Saugrohrdrucks und der An-sauglufttemperatur, so kann der durch einen Saugrohrdruckanstieg verursachte Temperaturan-stieg nicht berücksichtigt werden und das Gemisch wird angefettet. Da jedoch der Kraftstoff-pfad durch seine Speicherwirkung in den Wandfilmen ein entgegengesetztes dynamisches Ver-

t [s]5 10 150 20

ps [h

Pa]

200400600800

0

1000 MessungSimulation

t [s]

5 10 150 20

mpk

t_dk

[kg/

h]

20406080

100120

0

140 MessungSimulation

t [s]

10 150 20

Ts

[°C

]

-200

2040

-40

60

Messung

Sim. mit Sensor

Sim. o. Sensor

$EELOGXQJ�� 6LPXODWLRQ� XQG� 0HVVXQJ� LQVWDWLRQlUHU� 7HPSHUDWXUHIIHNWHZlKUHQG�HLQHV�6WDGW]\NOXV

Modellbildung

��

halten bezüglich der Gemischbildung zeigt, erfolgt bei diesen Systemen die Kompensation derinstationären Temperatureffekte in den Funktionen zur Wandfilmkompensation.Anhand des im Abgas gemessenen Lambda sind stets nur die Auswirkungen beider Effektegemeinsam beobachtbar. Im Fall einer hohen externen Abgasrückführung muß die Erhöhungder Saugrohrtemperatur durch das rückgeführte, heiße Abgas berücksichtigt werden, da z.B.eine Erhöhung der Rückführrate bei konstantem Saugrohrdruck durch den Dichteabfall derSaugrohrfüllung eine Reduzierung der Zylinderfüllung verursacht. In Kapitel 5 bis 7 werdenAnsätze verfolgt, die auf der Basis adaptiver Filter die Temperatureffekte im Saugrohr durchdie Beobachtung des Luftmassenstromes und des Saugrohrdrucks beobachten.

�� (LQIO�VVH�YRQ�'UXFNSXOVDWLRQHQ

Die in Kap. 2.2.2 genannte Pulsationsproblematik soll im folgenden Abschnitt näher betrachtetund mit Hilfe eines einfachen Modellansatzes beschrieben werden. Abb. 4.14 zeigt das auf dieDrehzahl normierte, beidseitige Frequenzspektrum von Saugrohrdruck und Luftmassenstrombei 2000 Umdrehungen pro Minute und oberer Teillast. Im Fall von Vierzylindermotoren ent-spricht die dominierende überlagerte Frequenz von beiden Signalen exakt der doppelten Dreh-zahl.Alle wesentlichen höherfrequenten Spektralanteile sind ganzzahlige Vielfache der Drehzahl.Die Amplitude der dominierenden Harmonischen hängt stark von der Drehzahl ab und zeigtinsbesondere beim Luftmassenstrom in den Resonanzpunkten starke Überhöhungen (Abb. 2.4).Abbildung 4.17 soll die Problematik prinzipiell verdeutlichen. Der Saugrohrdruck kann als einMittelwert und einer additiven harmonischen Überlagerung modelliert werden; ebenso derLuftmassenstrom.

10

20

30

0

40

10

20

30

40

50

0

60

-60 -40 -20 0 20 40 60Frequenz [N]

-40 -20 0 20 40 60Frequenz [N]

-60

Am

plitu

de d

esLu

ftmas

sens

trom

s [k

g/h]

Dru

ckam

plitu

de [h

Pa]

$EELOGXQJ�� 1RUPLHUWHV� )UHTXHQ]VSHNWUXP� GHU� 'UXFN�XQG�/XIWPDVVHQSXOVDWLRQHQ

Modellbildung

��

Bei konventioneller Technik werden zur Berechnung der Zylinderfüllung die Signale von Saug-rohrdruck und Luftmassenstrom gemittelt (4.30) und (4.31). Die Mittelungszeit beträgt genauein Segment und hängt damit von Drehzahl und Zylinderzahl ab (4.32).

& & ( )P7

P W GW/'.

1

/+)0

W

W

= ∫1

1

2

1

S7

S W GWV

1

V

W

W

= ∫1

1

2

( )

7Q N

W W1

=⋅

⋅= −

60 22 1

Auch bei Prüfstandsversuchen werden üblicherweise die Mittelwerte von Luftmassenstrom undSaugrohrdruck ausgewertet. Liegen bei der Parametrierung von Mittelwertmodellen diese vor-verarbeiteten Meßdaten zugrunde, so muß auch der Einfluß der Nichtlinearitäten der Strecke(Saugrohr, Drosselklappe) auf die harmonischen Überlagerungen der Sensorsignale berück-sichtigt werden. Insbesondere bei der Parametrierung des Drosselklappenmodells kann dieserEffekt starke Auswirkungen zeigen. Wird der Dischargekoeffizient oder der effektive Strö-mungsquerschnitt auf der Grundlage stark pulsierender, gemittelter Luftmassen und Druck-meßwerte berechnet, so wird oft implizit eine mittelwertfreie Abbildung der periodischenÜberlagerungen des Drucks auf den Luftmassenstrom vorausgesetzt. Im unterkritischen Be-reich entstehen jedoch immer amplitudenabhänige Offsets im Luftmassenstrom. In Gl. (4.33)wird ein konstanter mittlerer Saugrohrdruck mit einer sinusförmigen Überlagerung definiertund mit Hilfe von (4.34) und (4.35) auf den Luftmassenstrom an der Drosselklappe bei kon-stantem Drosselklappenwinkel &P

'.abgebildet. Der Mittelwert des Luftmassenstromes &P

'.

kann dann nach (4.30) berechnet werden.

S W S S W6 6 6 S$

( ) $ sin ( )≈ + ⋅ +ω ϕ

& & $ sin( )P P P W/'. /'. /'. P

$

≈ + ⋅ +ω ϕ

$EELOGXQJ�� 0RGHOOLHUXQJ� GHU� 'UXFN�� XQG� /XIW�PDVVHQSXOVDWLRQHQ� PLW� +LOIH� KDUPRQL�VFKHU�)XQNWLRQHQ

(4.30)

(4.31)

(4.32)

Modellbildung

��

Der Saugrohrdruck ist von einer reinen sinusförmigen Pulsation überlagert. Die Pulsations-spitzen übersteigen dabei den Außendruck. Im zweiten Diagramm von Abb. 4.18 ist die dop-pelseitige Durchflußfunktion (4.35) dargestellt (es sei bemerkt, daß diese Funktion nicht punkt-symmetrisch in ps/pa=1 ist). In diese Funktion ist der aktuelle Arbeitspunkt für die Abbildungdes Saugrohrdrucks auf den Luftmassenstrom eingezeichnet. In den Druckpulsationsspitzen istps/pa>1, so daß ein Teil des negativen Astes der Durchflußfunktion durchlaufen wird. Diesführt zu Rückströmungen an der Drosselklappe. Aufgrund der Nichtlinearität der Durchfluß-funktion wird der Wechselanteil des Luftmassenstromes verzerrt. Die Folge davon ist eine Ver-schiebung des Mittelwertes. Bei überkritischem Druckverhältnis ist der Mittelwert des Luft-massenstromes unabhängig von der Amplitude der Druckpulsation. Im unterkritischen Bereichsinkt der Mittelwert des Luftmassenstromes in Abhängigkeit der Saugrohrdruckamplitude starkab. Dies liegt einerseits an der starken Nichtlinearität der Abbildungsfunktion, aber auch an derhöheren Dichte des rückströmenden Gases.Ein mit Mittelwerten aus dem Motorversuch parametriertes Drosselklappenmodell kann somitbei stark pulsierendem Saugrohr wesentlich kleinere Dischargekoeffizienten erhalten als mitvergleichbaren Messungen an einem stationären Strömungsprüfstand.Dieser Effekt macht sich jedoch erst dann störend bemerkbar, wenn sich bei gleichem Saug-rohrdruckniveau die Pulsatonsamplitude ändert, z.B. bei Zylinderabschaltung, starker externerAbgasrückführung oder extremen Änderungen von Außendruck oder Außentemperatur. Dereffektive Strömungsquerschnitt zeigt dann in der Regel eine nicht unerhebliche Drehzahlab-hängigkeit.Im Fall von Mittelwertmodellen kann der entstehende Fehler bei der Luftmassenberechnungdurch Hinzufügen eines Korrekturterms für den Mittelwert des Luftmassenstromes größtenteilskompensiert werden. Dieser Korrekturterm ist abhängig vom Druckverhältnis und von derAmplitude der Saugrohrdruckpulsation.

�� 6HQVRUHQ�]XU�/XIWPDVVHQEHVWLPPXQJ

Zur Berechnung der Zylinderfüllung (Last) haben sich bei modernen, konventionellen Ein-spritzsystemen drei Verfahren durchgesetzt.

• Luftmassenbasierte Systeme

• Druckbasierte Systeme

• Drosselklappenbasierte Systeme

Luftmassenbasierte SystemeDie Berechnung der Zylinderfüllung erfolgt auf Basis des vor der Drosselklappe mit einemLuftmassensensor ermittelten Luftmassenstromes. Dabei werden zunehmend die Hitzdrahtsen-soren von den Heißfilmsensoren abgelöst, da diese ein robusteres Verhalten gegenüber Ver-schmutzungen aufweisen. Darüber hinaus stehen eine Reihe mikromechanischer Realisierun-gen von heißfilmbasierten Sensorelementen zur Verfügung, mit denen zusätzlich die Richtungdes gemessenen Luftmassenstromes bestimmt werden kann.

Modellbildung

��

Insbesondere bei stark pulsierenden Vierzylindermotoren mit Sensoren ohne Richtungserken-nung können die gemittelten Absolutluftmassen in den Resonanzpunkten des Saugrohres starkfehlerbehaftet sein.Abbildung 4.19 zeigt den prinzipiellen Aufbau eines mikromechanischen Luftmassensensorsmit Richtungserkennung. Das Meßprinzip beruht auf einer in Abhängigkeit des gerichtetenLuftmassenstromes sich ändernden Temperaturverteilung. Die Mitte einer Membran wirddurch eine Heizzone auf einer konstanten Temperatur gehalten (in Abhängigkeit der zusätzlichgemessenen Ansauglufttemperatur). Ohne Luftmassenströmung ergibt sich eine symmetrischeTemperaturverteilung auf der Membran. Die stromaufwärts angeordnete Teilfläche der Mem-bran wird im Falle einer Luftmassenströmung wesentlich stärker abgekühlt als die stromab-wärts gerichtete Teilfläche. Mit zwei in einer Meßbrücke geschalteten und symmetrisch zurHeizzone angeordneten Temperatursensoren wird die Temperaturdifferenz der Membranendenbestimmt. Diese ist abhängig von Betrag und Richtung des Luftmassenstromes.

Der relative Fehler des gemessenen und gemittelten Luftmassenstromes beträgt bei stark pul-sierender Strömung max. 10% (Herstellerangaben). Die Zeitkonstante wird mit ≈ 7.5 ms ange-geben.

Druckbasierte SystemeGrundlage zur Lastbestimmung ist der im Saugrohr gemessene Absolutdruck in Verbindungmit der Außen- und/oder Saugrohrtemperatur. Die Druckerfassung erfolgt üblicherweise piezo-resistiv oder piezoelektrisch. Die Zeitkonstanten der meisten marktüblichen Sensoren liegenbei etwa einer Millisekunde. Die Fehlerkurve in Abhängigkeit der Umgebungstemperatur einesSerien-Saugrohrdrucksensors (Nippondenso) zeigt Abbildung 4.20. Über die Lebensdauer desSensors steigt der relative Fehler im gesamten Druckbereich um max. 70%.

Membran

+HL]]RQH

Flußrichtung

TemperatursensorenGehäuse

∆7

71 72

ohne Luftmassenstrom

mit Luftmassenstrom

Temperaturverteilung7+

7D [

$EELOGXQJ�� +HL�ILOPOXIWPDVVHQVHQVRU� PLW� 5LFKWXQJVHU�NHQQXQJ��%RVFK�

Modellbildung

��

Drosselklappenbasierte Systeme

Bei drosselklappenbasierten Systemen werden der Drosselklappenwinkel, die Drehzahl, dieSaugrohrtemperatur und/oder die Ansauglufttemperatur zur Lasterfassung eingesetzt. DiesesVerfahren stellt meßtechnisch die einfachste Form der Lasterfassung dar, da die Sensorinfor-mationen mit relativ geringem Aufwand bereitzustellen sind. Allerdings stehen mit diesen Sen-sorsignalen auch nur die Stellgrößen für den Luftpfad zur Verfügung. Die dynamisch wichtigenthermodynamischen Zustände, Luftmassen und Drücke, stehen nicht bereit und müssen indirektberechnet werden. Bei zusätzlicher externer Abgasrückführung enthält das Gesamtsystem dannviele unsichere Parameter. Der Drosselklappenwinkel wird in den meisten Fällen als Absolut-winkel mit Hilfe eines linearen Potentiometers erfaßt. Der nichtlineare Zusammenhang zwi-schen Drosselklappenwinkel und Luftmassenstrom begrenzt die Auflösung und damit die Ge-nauigkeit der Luftmassenbestimmung. Insbesondere bei niedrigen Drehzahlen und im unterenTeillastbereich des Motors macht sich dieser Effekt bemerkbar.

In Abbildung 4.21 ist im ersten Diagramm die Sensitivität des Luftmassenstromes auf denDrosselklappenöffnungswinkel (stationär bei 1250 U/min) dargestellt. Das zweite Diagrammzeigt die absolute Auflösung des Luftmassenstromes bei einer Quantisierung mit 10 Bit undeiner Nutzung des Quantisierungsbereiches von 80%. Der durch die Qantisierung bedingte re-lative Fehler beträgt maximal 3%.

Feh

ler

[hP

a]

Umgebungstemperatur [°C]

0 10050 150

10

20

30

40

nach der Lebensdauerprüfung

Neuzustand

$EELOGXQJ�� $EVROXWHU� )HKOHU� HLQHV� 6DXJURKUGUXFNVHQVRUV�1LSSRQGHQVR�

Modellbildung

��

�� 'HU�.UDIWVWRIISIDG

Der Kraftstoffpfad stellt im regelungstechnischen Sinn die zweite Teilstrecke des zu optimie-renden Prozesses dar. Wie auch beim Luftpfad besteht zwischen der Stellgröße, in diesem Falldie Einspritzzeit, und der von den Zylindern angesaugten Kraftstoffmasse ein nichtlinearer, dy-namischer Zusammenhang. Leider steht außer dem Signal der Lambdasonde keine zusätzlicheInformation über die eingespritzte oder angesaugte Kraftstoffmasse zur Verfügung, so daß dieAuswirkungen der Dynamik von Luft- und Kraftstoffpfad auf die Gemischbildung nicht ge-trennt voneinander bestimmt werden können.

�� (LQVSULW]WHFKQLN

Die Einhaltung zukünftiger Abgasgrenzwerte macht eine sequentielle, zylinderindividuelleKraftstoffeinspritzung (Multipointeinspritzung) erforderlich. Jedem Zylinder ist ein separatesEinspritzventil zugeordnet. Bei dem betrachteten Vierzylinderaggregat wird mit Hilfe einesDruckregelventils in der Kraftstoffversorgung die Druckdifferenz zwischen Saugrohrdruck undKraftstoffdruck am Einspritzventil konstant gehalten. Damit ist das durch das Ventil strömendeKraftstoffvolumen bei konstantem Öffnungsquerschnitt nur von der Ventilöffnungszeit abhän-gig. Die Kraftstoffzuteilung erfolgt durch die Ansteuerung der Einspritzventile mit einem kur-belwinkelsynchronen, pulsweitenmodulierten Signal.

Se n

sitiv

ität m

_pkt

/alp

ha_d

k

0.2

0.4

0.6

0.8

0

1

Alpha_DK [°]

40 6020 80

a bs.

Auf

loes

ung

[kg/

h]

0.2

0.4

0.6

0

0.8

0

$EELOGXQJ�� : 6HQVLWLYLWlW� XQG� DEV�� $XIO|VXQJ� GHV� DXI� GHU*UXQGODJH� GHV�'URVVHONODSSHQZLQNHOV� EHVWLPPWHQ/XIWPDVVHQVWURPHV�EHL��8�PLQ

Modellbildung

��

Aufgrund der endlichen Öffnungsgeschwindigkeit des Ventils ergibt sich ein nichtlinearer Zu-sammenhang zwischen der Impulsdauer des Ansteuersignales und dem eingespritzten Kraft-stoffvolumen. Abbildung 4.22 zeigt eine typische Einspritzventilkennlinie.

Bei konventioneller Technik erfolgt an jedem Zylinder pro Arbeitsspiel eine Haupteinspritzungund, für den Fall hochdynamischer Instationärvorgänge, zusätzliche Zwischenspritzer. Die ab-solute Einspritzzeit beträgt bei konventionellen Ottomotoren zwischen 1 ms und 16 ms je nachLastzustand. Abb. 4.23 zeigt die vier Phasen der äußeren Gemischbildung. Aufgrund äußererGemisch-bildungseffekte wird die Einspritzung (Phase 1) vor dem Öffnen des Einlaßventils(Phase 3) beendet. Der Kurbelwellenwinkel zwischen Schließzeitpunkt des Einspritzventilsund Öffnungszeitpunkt des Einlaßventils (Vorlagerungswinkel, Phase 2), wird zur Minimie-rung der Rohemission dem Betriebspunkt des Motors (Last, Drehzahl) angepaßt.

Die Verdunstungsphase (Phase 4) variiert somit mit der Einspritzzeit und der Größe des Vorla-gerungswinkels.

t [ms]

2 4 6 80 10

Ein

sprit

zvol

ume n

[m^3

/Hub

*10E

9]

5

10

15

20

25

30

0

35

$EELOGXQJ��.HQQOLQLH�HLQHU�6HULHQHLQVSULW]G�VH

Einspritzung EinspritzungEinlaß offenVorlage-rung

ZOT ZOT

1 2 3 4

Verdunstung

W1W2 W3 W4 W5 W

$EELOGXQJ��'LH�YLHU�3KDVHQ�GHU�lX�HUHQ�*HPLVFKELOGXQJ

Modellbildung

��

�� 0DWKHPDWLVFKH�0RGHOOELOGXQJ

Zur Beschreibung des dynamischen Verhaltens des Kraftstoffpfades und des Wandfilmes wur-den eine ganze Reihe von Modellen veröffentlicht [Aqui, Boam]. Das generelle Problem be-steht dabei immer in der Extraktion und Parametrierung der Einzeleffekte, da diese nur schweridentifizierbar sind. Mit aufwendigen Meßverfahren zur direkten Bestimmung der Wand-filmdicke und Ausbreitungsfläche können qualitative Aussagen zur Wandfilmbildung getroffenwerden, welche wertvolle Beiträge zur konstruktiven Optimierung der Ansauggemotrie liefern[Witt, Wosch] (Minimierung des Wandfilmes). Sie sind jedoch für den Entwurf von Motor-steuerungsfunktionen in den meisten Fällen nur wenig hilfreich.Zur Identifikation der Dynamik des Kraftstoffpfades stützen sich fast alle Arbeiten im Bereichder Steuerungstechnik auf eine Bilanzierung der Abgaszusammensetzung (z.B. durch eineLambdamessung) bei sich ändernden Steuergrößen (Luft, Kraftstoff). Abbildung 4.24 zeigt dieprinzipielle Struktur. Auf der Grundlage der gemessenen Lastgrößen (Saugrohrdrucksensor,Drosselklappenwinkel oder Luftmassensensor) berechnet die Motorsteuerung den Ansteuerim-puls W N

H( ) für das Einspritzventil. Der Wandfilm wird durch den eingespritzten Kraftstoff auf-

und aufgrund der äußeren Gemischbildung abgebaut. Die Definition des Gemischverhältnisseserfordert eine Quotientenbildung von Luft und Kraftstoff. Die Verbrennung selbst kann auf-grund der Ventilsteuerung als Abtaster betrachtet werden. Der Auspuffkrümmer entspricht ei-ner Totzeit von 1-3 Arbeitsspielen. Schließlich muß als letzte zu betrachtende Komponente dieLambdasonde mit ihren dynamischen Eigenschaften berücksichtigt werden.Das Identifikationsproblem zur Bestimmung der Parameter der Wandfilmdynamik wird in Ka-pitel 8 näher erläutert.

Wandfilmdynamik

N1(s,T,n,P)--------------D1(s,T,n,P)

Tt-KrümmerN2(s,mk)----------D2(s,mk)

Lambdasonde UEGO(Zeitkonstante vonSprungrichtung abhängig)

1/Fstoich

1/14.7Motor-steuerung

Verbrennung

Nichtlinearitäten

Abtaster

&P/+)0 α

'.36

WH

P.H

P.=\O

λ=\O λP

Einspritzventil

P.gO

&P/=\O

$EELOGXQJ��6WUXNWXU�GHV�.UDIWVWRIISIDGHV

Modellbildung

��

Die Abhängigkeit des eingespritzten Kraftstoffvolumens von W NH( ) ist üblicherweise als Kenn-

linie im Steuergerät abgelegt. Sie kann jedoch gut durch eine Geradengleichung (4.37) genähertwerden.

9 N N W N 9.H (9 H .H

( ) ( )= ⋅ −0

Die eingespritzte Kraftstoffmasse hängt zusätzlich von der Dichte des Kraftstoffes ab (4.38).

P N 7 9 N.H . .H

( ) ( ) ( )= ⋅ρ

Im folgenden wird ein phänomenologisches Wandfilmmodell vorgestellt. Es beruht auf derprinzipiellen Vorstellung der Einzeleffekte und dient als Ausgangsbasis für ein vereinfachtes,im Steuergerät implementierbares, zeitdiskretes Modell. Es besteht prinzipiell aus zwei Antei-len mit Speicherwirkung, dem Wandfilm und dem Ventilfilm, sowie einem Verdunstungsan-teil. Da die Einspritzung sequentiell erfolgt, wird ein Arbeitszyklus in vier Phasen aufgeteilt.Die Kraftstoffdynamik wird dann innerhalb der einzelnen Phasen durch lineare Übertragungs-funktionen beschrieben.

• Einspritzung:Während der Öffnungszeit erfolgt der Aufbau des Wandfilmes. Der eingespritzte Kraft-stoff wird in den Wandfilmanteil ; P W

: .H⋅ & ( ) , den Ventilfilmanteil; P W

9 .H⋅ & ( ) und den

Verdunstungsanteil ( )1 − − ⋅; ; P W: 9 .H

& ( ) aufgeteilt. Die Änderung der Kraftstoff-

massenanteile beschreiben (4.39) bis (4.41). Der Index D der Zeitkonstantenτ:

undτ bezeichnet dabei den durch die Verdunstung verursachten Dynamikanteil.

& ( ) & ( ) ( )P W ; P W P W.: : .H

:'

.:= ⋅ − ⋅1

τ

mit & ( ) ( ) /P W P N W≈

& ( ) & ( ) ( )P W ; P W P W.9 9 .H

9'

.9= ⋅ − ⋅1

τ

( )& ( ) & ( ) ( ) ( )P W ; ; P W P W P W.' : 9 .H

:'

.:

9'

.9= − − ⋅ + ⋅ + ⋅1

1 1τ τ

• Vorlagerung:Zwischen der Einspritzung und der Öffnungszeit des Einlaßventiles verdunsten Anteilevon Wand- und Ventilfilm. Die Anteile der Filme nehmen also ab, während der Anteildes verdunsteten Kraftstoffes ansteigt (4.42) bis (4.44).

& ( ) ( )P W P W.9

9

.9= − ⋅1

τ

(4.37)

(4.38)

(4.39)

(4.40)

(4.41)

(4.42)

Modellbildung

��

& ( ) ( )P W P W.:

:

.:= − ⋅1

τ

& ( ) ( ) ( )P W P W P W.'

:'

.:

9'

.9= ⋅ + ⋅1 1

τ τ

• Ansaugphase:Während der Öffnungszeit des Einlaßventiles werden Anteile des Wandfilmes und wesentli-che Anteile des Ventilfilmes mit der einströmenden Luft mitgerissen. Für diesen Vorgangwerden zusätzlich die Terme ( / )1 τ

:6 .:P⋅ und ( / )1 τ

6 .P⋅ angesetzt, da der Ver-

dunstungsvorgang nach wie vor stattfindet. Die verdunsteten Anteile des Kraftstoffes wer-den fast vollständig angesaugt (4.45) bis (4.48).

& ( ) ( )P W P W.: .:

:' :6

= − ⋅ +

1 1τ τ

& ( ) ( )P W P W.9 .9

9' 96

= − ⋅ +

1 1τ τ

& ( ) ( ) ( ) ( )P W P W P W P W.'

:'

.:

9'

.9

'6

.'= ⋅ + ⋅ − ⋅1 1 1

τ τ τ

& ( ) ( ) ( ) ( )P W P W P W P W.=\O

:6

.:

96

.9

'6

.'= ⋅ + ⋅ + ⋅1 1 1τ τ τ

• Verdunstung:Zwischen Ansaug- und Einspritzphase entspricht die Dynamik von Wand- und Ventilfilmden Verhältnissen der Vorlagerungsphase (4.42) bis (4.44).

Abbildung 4.25 zeigt die Simulation des beschriebenen Wandfilmmodells. Die eingestelltenParameter können Tabelle 4.2 entnommen werden. Die Simulation erfolgt stationär im oberenTeillastbereich bei 3000 U/min. Die stationäre Wandfilmmasse beträgt etwa der 10-fachen Ein-spritzmenge. Die stationäre Ventilfilmmasse ist mit der 1.2 fachen Einspritzmenge aufgrundder höheren Temperaturen und damit kleineren Zeitkonstanten wesentlich geringer, obwohlsich die Teilungsfaktoren der Einspritzmengen nur geringfügig unterscheiden. Der verdunsteteKraftstoffanteil wird während der Ansaugphase vollständig angesaugt und beträgt etwa 70%der gesamten in den Zylinder eintretenden Kraftstoffmasse.

(4.43)

(4.44)

(4.45)

(4.46)

(4.47)

(4.48)

Modellbildung

��

Für τL $VS7>> können die Gleichungen des phänomenologischen Modells im Intervall

[ )N 7 N 7$VS $VS⋅ + ⋅,( )1 durch ein lineares Mittelwertmodell 2. Ordnung mit Durchgriff genähert

werden (4.49) bis (4.51). Die Zeitkonstanten und Teilungsfaktoren sind im wesentlichen vonder Motortemperatur abhängig. Da diese sich nur langsam gegenüber der Systemdynamik ver-ändert, wird das linearisierte Modell zeitinvariant formuliert.

& ( ) & ( ) ( )

& ( )( )

P W ; P W P W PLWW W7

XQG P WP N7

.: : .H

:

.:

: :' $VS :6

.H

.H

$VS

= ⋅ ′ − ⋅ = +−

⋅

′ =

1 1 1 14 3

τ τ τ τ

Die eingespritzte Kraftstoffmasse P N.H

( ) wird dabei durch einen im entsprechenden Arbeits-spiel äquivalenten Kraftstoffmassenstrom & ( )′P W

.H substituiert.

t [ms]10 20 30 40 50 600 70

Ein

lass

offe

n 0.5

0

1

t [ms]10 20 30 40 50 600 70

m_e

in[m

g/s]

2.5

0

5

t [ms]10 20 30 40 50 600 70

m_W

andf

[m

g]

0.52

0.512

0.528

t [ms]10 20 30 40 50 600 70

m_v

entil

f

[mg]

0.118

0.1062

0.1298

t [ms]10 20 30 40 50 600 70

m_D

unst

[

mg]

0.02

0

0.04

t [ms]10 20 30 40 50 600 70

m_Z

yl [m

g] 0.025

0

0.05

Einlaß offen

E-Ventil offen

Einlaß offen

E-Ventil o.

$EELOGXQJ��6LPXODWLRQ�HLQHV�SKlQRPHQRORJLVFKHQ�:DQGILOPPRGHOOHV��Q ��8�PLQ

;:

;9

τ:'

[s] τ9'

[s] τ:6

[s] τ96

[s] τ'6

[s]

0.3 0.4 3 0.2 1 1 0.0057DEHOOH��3DUDPHWHU�GHV�SKlQRPHQRORJLVFKHQ�:DQG��ILOPRGHOOV

(4.49)

Modellbildung

��

& ( ) & ( ) ( )P W ; P W P W PLWW W7.9 9 .H

9

.9

9 9' $VS 96

= ⋅ ′ − ⋅ = + − ⋅1 1 1 14 3

τ τ τ τ

( )& ( ) & ( ) ( ) ( )P W ; ; P W P W P W.]\O : 9 .H

:

.:

9

.9= − − ⋅ ′ + ⋅ + ⋅11 1

τ τ

Die äquivalente Zustandsraumdarstellung lautet:

& ( ) ( ) & ( )P W $ P W % P W. F . F NH

= ⋅ + ⋅ ′

& ( ) ( ) & ( )P W & P W ' P W=\O F . F .H= ⋅ + ⋅ ′

mit

$ XQG %;

;F

:

9

F

Z

9

=−

−

=

10

01

τ

τ

sowie

[ ]& XQG ' ; ;F

: 9

F : 9=

= − −

1 11τ τ

Die Einlaßventilsteuerung erfolgt bei konventionellen Brennverfahren kurbelwinkelsynchronund kann prinzipiell als Abtaster betrachtet werden (Abb. 4.21). Dies bedeutet jedoch auch, daßpro Arbeitsspiel nur ein Meßwert eines Abgassensors zur Verfügung gestellt werden kann. DieAbtastzeit beträgt jeweils ein Arbeitsspiel (4.56).

71$VS = 120

Im folgenden Schritt wird ein zeitdiskretes Äquivalent für das vereinfachte Wandfilmmodell

im Intervall [ )N7 N 7$VS $VS, ( )+ ⋅1 berechnet:

& ( ) ( ) & ( )P N $ P N % P N. ' . ' NH

+ = ⋅ + ⋅ ′1

& ( ) ( ) & ( )P N & P N ' P N.=\O F . F .H= ⋅ + ⋅ ′

Die Transformationsvorschrift für eine sprunginvariante Transformation lautet:

P N 7 N7 N 7 N7 P N7

N 7 % X G

. $VS $VS $VS $VS . $VS

$VS F F

N7

N 7

$VS

$VS

(( ) , ) (( ) , ) ( )

(( ) , ) ( ) ( )( )

+ = + ⋅ ⋅ +

+ + ⋅ ⋅+

∫

1 1

11

φ

φ τ τ τ τ

(4.50)

(4.51)

(4.52)

(4.53)

(4.54)

(4.55)

(4.56)

(4.57)

(4.58)

(4.59)

Modellbildung

��

mit der Transitionsmatrix:

φ(( ) , ) (( ) )N 7 N 7 H$VS $VS

$ N 7 N 7$VS $VS+ ⋅ ⋅ = + ⋅ − ⋅1 1

Für ein zeitinvariantes System mit einer konstanten Steuergröße P WNH

( ) im Intervall

[ )N 7 N 7$VS $VS⋅ + ⋅,( )1 beträgt die äquivalente, zeitdiskrete Systemmatrix:

$ HG

$ N 7 N 7$VS $VS= + ⋅ − ⋅(( ) )1

Der zeitdiskrete Steuervektor beträgt:

% N 7 G %G $VS

N 7

N 7

F

$VS

$VS

= + ⋅ ⋅⋅

+ ⋅

∫ φ τ τ(( ) , )( )

11

( )%$

, H %G

$ 7

F= − ⋅ − ⋅⋅1

Beobachtungs- und Durchschaltevektor sind in dieser Darstellung äquivalent.

& & XQG ' 'G F G F

= =

In der Praxis ist die vom Zylinder angesaugte Absolutmasse des Kraftstoffes P=\O von größe-

rem Interesse als der Kraftstoffmassenstrom &P=\O , da die Regelgröße, das Kraftstoff/Luft Ver-

hältnis im Zylinder, während eines Arbeitsspiels konstant angenommen werden kann (4.64).Der vom Einpritzventil eingespritzte Kraftstoffmassenstrom & ′P

.Hwird ebenfalls durch die pro

Zylinder eingespritzte Kraftstoffmasse substituiert (4.65). Dabei wird die Drehzahl währendeines Arbeitsspiels konstant angesetzt.

P N P N 7 N=\O =\O( ) & ( ) ( )= ′ ⋅

P N P N 7 N( ) & ( ) ( )= ′ ⋅

Abb. 4.26 zeigt das Blockschaltbild des zeitdiskreten Wandfilmmodells. Die Teilungsfaktoren;:

und ;9

müssen die Bedingung (4.66) erfüllen.

; ; XQG ; ;: 9 : 9

, ≥ + <0 1

Das Blockschaltbild setzt durch die Normierung am Ausgang des Wandfilm- und Ventilfilm-pfades voraus, daß sich die Ausgangsgröße während eines Arbeitsspieles nicht ändert. Derdurch diese Vereinfachung entstehende Fehler ist für die konkrete Anwendung gering und wirdferner vernachlässigt.

(4.60)

(4.61)

(4.62)

(4.63)

(4.64)

(4.65)

(4.66)

Modellbildung

��

Zur Berechnung der sich stationär einstellenden Kraftstoffilmmassen kann der Grenzwertsatzder Z-Transformation genutzt werden. Der stationäre Wandfilm beträgt:

{ }lim ( ) lim ( ) ( ):]

:

:P N ] P ] ;7

H

] H

]]

$VS

:

$VS

:

→∞ → +

−

−= − ⋅ ⋅ ⋅

−

−

⋅−

1 0

11

1

τ τ

τ

P ;7

P.: ::

$VS

.HVWDW

= ⋅ ⋅τ

Der stationäre Ventilfilm ergibt äquivalent:

{ }lim ( ) lim ( ) ( )N

.9]

.H 9

9

$VS

7

7P N ] P ] ;7

H

] H

]]

$VS

9

$VS

9

→∞ → +

−

−= − ⋅ ⋅ ⋅

−

−⋅

−

1 0

11

1τ τ

τ

P ;7

P P.9 99

$VS

.: .HVWDW VWDW

= ⋅ ⋅τ

Abb. 4.27 zeigt das phänomenologische Modell im Vergleich mit dem vereinfachten, zeitdis-kreten Mittelwertmodell in der Simulation bei instationärer Anregung. Das erste Diagrammzeigt das pulsweitenmodulierte Signal des Einspritzventils. Die Einspritzdauer wurde sprun-gartig auf 20% reduziert und nach 3 Sekunden wieder erhöht. Der Durchgriff, sowie das Ver-zögerungsverhalten des Wandfilmes sind deutlich zu erkennen. Die in den Zylinder gelangendeKraftstoffmasse (letztes Diagramm) wird beim phänomenologischen Modell nach jedem Ar-beitsspiel aufgrund der Verbrennung mit 0 initialisiert.

;7

H:

:

$VS

7$VS

:⋅ −

−τ τ1

H7$VS

:

−τ

7$VS

:τ=−1

;7

H9

9

$VS

7$VS

9⋅ −

−τ τ1

H7$VS

9

−τ

7$VS

9τ=−1

1 − −; ;: 9

P N.H

( ) P N.=\O ( )

P N.:

( )

P N.9

( )

+

+

+

$EELOGXQJ��%ORFNGLDJUDPP�GHV�]HLWGLVNUHWHQ�:DQGILOPPRGHOOV

(4.67)

(4.68)

(4.69)

(4.70)

Modellbildung

��

�� 9HUEUHQQXQJ�XQG�5HVWJDVHIIHNWH

Im folgenden Abschnitt werden die Einflüsse der Verbrennung und des Restgases auf die Ge-mischbildung näher betrachtet. Für den Fall einer optimalen, vollständigen, stöchiometrischenVerbrennung entspricht das mit Hilfe der Lambdasonde ermittelte Kraftstoff-/Luftverhältnisexakt dem eingestellten Kraftstoff-/Luftverhältnis. Der reale Ladungswechsel- und Verbren-nungsprozeß kann jedoch eine Verschiebung des Kraftstoff/Luft Verhältnisses bewirken. EinTeil des angesaugten Kraftstoffes lagert sich z.B. an der Zylinderwand an und wird von denKolbenringen mit dem Öl abgestreift. In Abb. 4.24 wird dieser Kraftstoffanteil &P

.gO im Block

Verbrennung berücksichtigt. Unberücksichtigt führt der Effekt bei einem Wandfilmidentifika-tionsverfahren zu unerwünschten Gleichanteilen. Der Effekt macht sich jedoch nur bei tiefenKühlwassertemperaturen und beim Kaltstart bemerkbar. Beim betriebswarmen Motor sinddiesbezüglich keine Auswirkungen feststellbar.Eine weitere Ursache für eine Verschiebung des Kraftstoff-/Luftverhältnisses stellt die interneund externe Abgasrückführung dar. Der Effekt tritt nur außerhalb des stöchiometrischen Be-triebspunktes auf und soll im folgenden näher erläutert werden:Frischluft und eingespritzter Kraftstoff gelangen in den Zylinder. Zusätzlich befindet sich abervon der letzten Verbrennung noch Restgas im Zylinder. Dieses Restgas enthält reaktionsfähigeKohlenwasserstoffe (bei fetter vorheriger Verbrennung), reaktionsfähigen Sauerstoff (bei ma-gerer vorheriger Verbrennung) oder nicht reaktionsfähiges CO2 (bei stöchiometrischer Ver-brennung). Wurde z.B. bei der letzten Verbrennung angefettet und ist das aktuelle angesaugteGemisch ebenfalls fett, so steht für die Verbrennung ein noch fetteres Gemisch zur Verfügung.

mK

e_pk

t [m

g/s]

1234

0

5

t [s]2 4 6 80 10

mK

W [m

g]

0.10.20.30.4

0

0.5

phaen. Modell

zeitdisk. Modell

t [s]2 4 6 80 10

mK

V [m

g]

0.020.04

0.06

0

0.08

t [s]2 4 6 80 10

mK

Zyl

[mg]

0.010.020.030.04

0

0.05

phaen. Modell

zeitdisk. Modell

phaen. Modell

zeitdisk. Modell

t [s]

$EELOGXQJ��6LPXODWLRQ�GHU�:DQGILOPG\QDPLN�EHL�VSUXQJI|UPLJHU�$QUHJXQJ

Modellbildung

��

Der Motor reichert HC an. Bei magerer Verbrennung wirkt sich dieses Phänomen entsprechendumgekehrt aus. Der Motor reichert Sauerstoff an. Da die Ventilsteuerung und die Verbrennungals ideale Abtaster betrachtet werden können (die Verbrennung selbst verändert das Gemischbeim betriebswarmen Motor nicht), erfolgt die Modellbildung dieses Effektes in zeitdiskreterDarstellung.

Kraftstoffmasse im Zylinder:Der für die Verbrennung im Arbeitsspiel k zur Verfügung stehende Kraftstoff P N.=\O ( ) setzt

sich aus dem Kraftstoff des Frischgases des aktuellen Arbeitspiels P N.IU ( ) und einem Teil des

unverbrannten Kraftstoffes des letzten Arbeitsspiels zusammen.

P N P N U P N.=\O .IU 5 .$( ) ( ) ( )= + ⋅ −1

P N.$

( )−1 entspricht der Kraftstoffmasse im Abgas (vorheriges Arbeitsspiel), U5

dem relativenRestgasanteil.

P NP N

P NI�U P N

P N

I�U P NP N.$

.=\O

/=\O

.=\O

/=\O

.=\O

/=\O

( )( )

( )

.( )

( )

.

( )( )

.

− =− −

−− >

−

− ≤−

11

1

14 71

1

14 7

0 11

14 7

Die Kraftstoffmasse im Abgas ist bei stöchiometrischer oder magerer Verbrennung 0.

Reaktionsfähige Luftmasse im Zylinder:Die Differenzengleichung für die reaktionsfähige Luftmasse im Zylinder P N/=\O ( ) lau-

tet:

P N P N U P N/=\O /IU 5 /$( ) ( ) ( )= + ⋅ −1

P N/IU ( ) entspricht der Frischluftmasse im Zylinder, P N/$

( )−1 der reaktionsfähigen Luftmasse

im Abgas des vorherigen Arbeitsspiels.

P N

P N P N I�U P N P N

I�U P N P N/$

/=\O .=\O /=\O .]\O

/=\O .=\O

( )

( ) ( ) . ( ) ( ) .

( ) ( ) .

− =

− − − ⋅ − > − ⋅

− ≤ − ⋅

1

1 1 14 7 1 1 14 7

0 1 1 14 7

Die reaktionsfähige Luftmasse im Abgas ist bei stöchiometrischer oder fetter Verbrennung 0.Bei allen Motorsteuerungsfunktionen, die auf einer Bilanzierung des eingestellten und gemes-senen Lambda beruhen, muß dieser besondere Einfluß des Restgases berücksichtigt werden.Lineare Identifikationsverfahren können beispielsweise bei hohen AGR-Raten nur bedingt zurWandfilmidentifikation eingesetzt werden:

• Im stöchiometrischen Punkt verschwindet der Effekt• Wird das Gemischverhältnis um den stöchiometrischen Punkt angeregt, verhält sich das Sy-

stem nichtlinear• kleine Anregungen reichen i.a. nicht aus, da das System aufgrund der relativ starken Meß-

störungen nur schwer identifizierbar ist

(4.71)

(4.72)

(4.73)

(4.74)

Modellbildung

��

Im Fall von hohen Abgasrückführraten erscheint die Anregung des Systems zur Wandfilm-identifikation nur im fetten RGHU nur im mageren Bereich sinnvoll (die Methode eignet sichsomit gut für direkteinspritzende Otto- und Dieselmotoren). Bezüglich der Anreicherung vonreaktionsfähigen Restgaskomponenten stellt sich die Frage nach der Sättigung dieser Kompo-nenten im stationären bzw. quasistationären Motorbetrieb. Alleine aufgrund der phänomenolo-gischen Betrachtungsweise müßte das gemessene Kraftstoff-/Luftgemisch in Abhängigkeit desRestgasanteils gegen einen Grenzwert streben. Dieser Zusammenhang soll im folgenden näheruntersucht werden. Der Nachweis erfolgt zunächst im fetten und dann im mageren Betrieb.Gleichung (4.72) in (4.71) eingesetzt ergibt:

P N P N UP N

U P N P.=\O .IU 5

/=\O

5 .=\O /=\O( ) ( )( )

.( )= − ⋅

−+ ⋅ − ÷

1

14 71

Für den stationären Motorbetrieb kann das Kraftstoff-/Luftverhältnis im Zylinder φ=\O N( ) mit

einer linearen Differenzengleichung bestimmt werden.

φ φ φ=\O IU

55 =\ON N

UU N( ) ( )

.( )= − + ⋅ −

14 71

mit P N P N P N P N FRQVW/IU /IU /=\O /=\O( ) ( ) ( ) ( ) .= − = = − =1 1

Die Z-Transformation liefert:

φφ

=\O

IU5

5

]]

U

U ]( )

( ).=

−

− −14 7

1 1

φ

φ=\O

IU5 5

]

]U

]] U

( )

( ).

−=

−14 7

Der Grenzwertsatz im z-Bereich ergibt :

lim ( )]

5 5

]]

] U]

] U→ +− ⋅

−⋅

−

=

−1 01

1

1

1

Der Zusammenhang zwischen stationär eingestelltem und gemessenem Gemischverhältnis (imfetten Bereich) ist dann:

φφ

=\O

IU5

5

U

U=

−

−14 7

1.

Dies entspricht einer Geraden mit der Steigung 1 1/ ( )− U5

und dem Offset U U5 5

/ ( . ( ))14 7 1⋅ − .Gleichung (4.79) läßt sich nach dem relativen Restgasanteil umformen:

(4.75)

(4.76)

(4.77)

(4.78)

(4.79)

Modellbildung

��

U5=\O IU

=\O

=−

−

φ φ

φ 1

14 7.

Aus Geichung (4.80) folgt, daß sich der relative Restgasanteil allein aus dem gemessenen undeingestellten Gemischverhältnis bestimmen läßt. Vorausgesetzt ist natürlich der stationäreMotorbetrieb.

Äquivalente Betrachtung im mageren Bereich:

Gleichung (4.74) in (4.73) eingesetzt ergibt:

P N P N U P N U P N P/=\O /IU 5 .=\O 5 /=\O .=\O( ) ( ) ( ) . ( )= − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ÷1 14 7 1

1 114 7

1

1φ φ φ=\O IU

5 5

=\ON NU U

N( ) ( ).

( )= − ⋅ + ⋅

−

mit P N P N P N P N FRQVW.IU .IU .=\O .=\O( ) ( ) ( ) ( ) .= − = = − =1 1

Die Z-Transformation liefert:

φ

φ

=\O5

IU

5

]U ]

]U

( )

( ).

= − ⋅

− ⋅

11

14 7

φφ=\O

IU

5 5]]

U U ]( )( )

.1

14 7 1− ⋅

= − ⋅

Der Grenzwertsatz ergibt:

lim ( )]

5 5] U ]

]]

U→ +

− ⋅ − ⋅ ⋅−

= −1 0

1 11

1

Der Zusammenhang zwischen stationär eingestelltem und gemessenem Gemischverhältnis (immageren Bereich) lautet dann:

φ

φ

=\O5

IU

5

U ]

U= − ⋅

− ⋅

11

14 7.

Die Umformung nach dem relativen Restgasanteil liefert:

U5

=\O

IU

=\O

=−

− ⋅

1

1 14 7

φφ

φ .

(4.80)

(4.81)

(4.82)

(4.83)

(4.84)

(4.85)

(4.86)

(4.87)

Modellbildung

��

Abb. 4.28 und Abb. 4.29 verdeutlichen die Abhängigkeit des an der Lamdasonde gemessenenLuft/Kraftstoff Verhältnis vom relativen Restgasanteil.

Lambda (vorgesteuert)1 1.50.5 2

Lam

bda

(gem

esse

n)

0.5

1

1.5

2

2.5

0

3

r=0r=10 %r=20 %r=30%r=40 %

$EELOGXQJ�� (LQIOX�� GHV� 5HVWJDVDQWHLOV� DXI� GDV� PLW� HLQHU�/DPEGDVRQGH� JHPHVVHQH� *HPLVFKYHUKlOWQLV� �3D�UDPHWHU��5HVWJDVDQWHLO�

rel. Restgasanteil [%]10 20 300 40

Lam

bda

(gem

ess e

n)

0.5

1

1.5

0

2

Lamb. 0.6Lamb. 0.8Lamb. 1Lamb. 1.2Lamb. 1.4Lamb. 1.6

$EELOGXQJ�� (LQIOX�� GHV� 5HVWJDVDQWHLOV� DXI� GDV� PLW� HLQHU�/DPEGDVRQGH� JHPHVVHQH� *HPLVFKYHUKlOWQLV� �3D�UDPHWHU��HLQJHVWHOOWHV�/DPEGD�

Modellbildung

��

�� /DPEGDVRQGHQ

Zur Identifikation der Wandfilmdynamik, sowie zur Kompensationsregelung wurden Breit-bandlambdasonden (Universal Exhaust Gas Oxygen Sensor) eingesetzt. Im Gegensatz zu kon-ventionellen Sauerstoffsonden, die nur im stöchiometrischen Bereich zuverlässige Meßwerteliefern, sind UEGO-Sonden auch bei starkem Sauerstoffüberschuß und bedingt bei Sauerstoff-mangel (Übeschuß von HC und CO) einsetzbar. Prinzipiell erfolgt bei allen bekannten Meß-prinzipien die Bestimmung von λ mittels einer Messung der Sauerstoffpartialdruckdifferenzzwischen dem Abgas und einer Referenz.Abbildung 4.30 zeigt den Aufbau einer UEGO-Sonde [Yam]. Das Sensorelement besteht imWesentlichen aus drei Zirkoniumoxidsubstraten mit Platinelektroden (Pumpzelle, Meßzelleund Referenzzelle) sowie einer porösen Diffusionsschicht und einem Heizelement.Aufgrund des kleinen konstanten Stromes ,

FS diffundieren geringe Mengen Sauerstoff in die

Referenzzelle. Dort stellt sich in Abhängigkeit des Konstantstromes ein Referenzsauerstoff-partialdruck ein. Die Funktionsweise der Meßzelle entspricht der einer konventionellen (schal-tenden) Zirkoniumoxid-Sauerstoffsonde. In Abhängigkeit der Sauerstoffpartialdruckdifferenzzwischen Abgas und Referenz diffundieren Sauerstoffionen durch das Zirkoniumoxid derMeßzelle und erzeugen einen Stromfluß in entgegengesetzter Richtung. Dieser Strom erzeugteine Potentialdifferenz an den Elektroden. Das Spannungssignal der Meßzelle zeigt nur im Be-reich des stöchiometrischen Arbeitspunktes eine hohe Empfindlichkeit bezüglich Änderungendes Gemischverhältnisses und kann aus diesem Grund nur bei konventionellen Sensoren direktzur Bestimmung des Luft/Kraftstoffverhältnisses genutzt werden.Bei Breitbandsonden (UEGO) erfolgt die Messung indirekt. Durch das Substrat der Pumpzellewird ein Pumpstrom geleitet, um zusätzlich Sauerstoffionen aus oder in die Diffusionszelle (jenach Richtung des Pumpstroms) transportieren zu können. Mit Hilfe eines Pumpstromregel-kreises wird der Pumpstrom so eingeregelt, daß die Meßzellenspannung einem konstanten Re-ferenzwert entspricht.Bei dem vorliegenden Sensortyp (NGK) wird z.B. die Meßzellenspannung auf 450 mVkonstant gehalten. Bei stöchiometrischem Verhältnis im Abgas ist dann der Pumpstrom Null.

Referenzzelle

Meßzelle

Diffusionsschicht

Pumpzelle

Heizschicht

Platinelektroden

,3

2 2−

2 2−

,FS

$EELOGXQJ�� 3ULQ]LSLHOOHU�$XIEDX�HLQHU�%UHLWEDQG�6DXHUVWRIIVRQGH��1*.�

Modellbildung

��

Bei Breitbandsonden stellt somit der Pumpstrom die Ausgangsgröße dar. Im Fall einer steigen-den Sauerstoffkonzentration (Abmagern des Gemischs) im Abgas diffundiert verstärktRestsauerstoff durch die Diffusionsschicht. Die Änderung Sauerstoffpartialdruckdifferenz zwi-schen Diffusionsschicht und Referenzzelle verursacht ebenfalls eine Veränderung der Span-nung an der Meßzelle. Der Pumpstrom wird durch den Regelkreis nachgeführt und verursachteinen verstärkten Abfluß von Sauerstoffionen aus der Diffusionsschicht. Bei 450 mV Meßzel-lenspannung ist das System im Gleichgewicht. Dies bedeutet, daß der Sauerstoffstrom durchdie Pumpzelle dem Sauerstoffstrom des Abgases in die Diffusionsschicht entspricht. DerPumpstrom ist somit ein Maß für die Höhe des Sauerstoffpartialdrucks im Abgas. Mit Gl. 4.88kann in erster Näherung der Pumpstrom ,

3 berechnet werden. F entspricht der Faradaykon-

stante, 'R dem Diffusionskoeffizienten für Sauerstoff, 6

'dem Querschnitt der Diffusions-

strecke, /'

der Länge der Diffusionsstrecke 3R$

dem Sauerstoffpartialdruck im Abgas und 3R'

dem Sauerstoffpartialdruck in der Diffusionszelle.

( ),) ' 6

5 7 /3 3

3

R '

$ $ '

R$ R'=

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

⋅ −4

Bei Sauerstoffmangel im Abgas treten CO, HC, und H2 Moleküle durch die Diffusionsschicht.Die Durchflußraten hängen von den Partialdrücken und den Diffusionseigenschaften der Ab-gaskomponenten ab. In diesem Fall erfolgt eine Veränderung der Meßzellenspannung in umge-kehrter Richtung. Der Pumpstrom wird ebenfalls umgekehrt und die Pumpzelle befördert Sau-erstoff in die Diffusionsschicht. Die Sauerstoffmenge entspricht dabei dem im Abgas fehlendenSauerstoffanteil für eine stöchiometrische Verbrennung. Somit bildet auch bei fetter Gemisch-zusammensetzung der Pumpstrom eine Basis zur Sauerstoffbilanzierung im Abgas. Gl 4.89 be-schreibt die Abhängigkeiten des Pumpstromes bei Sauerstoffmangel.

( ),) 6

5 7 /'+ 3+ 'FR 3FR ' 3

3

'

$ $ '

&Q+P &Q+P=

⋅ ⋅⋅ ⋅

⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅2

2 2

'NM entsprechen den Diffusionskonstanten und 3N

M den Partialdrücken von unverbrannten

Kohlenwasserstoffen und Kohlenmonoxid.Da das Luft/Kraftstoffverhältnis linear vom Sauertstoffpartialdruck (bzw. der Partialdruck derKohlenwasserstoffe) im Abgas abhängt, kann mit Hilfe dieses Meßprinzips ein Meßbereichvon λ ≈ 0 7. bis λ ≈ 2.5 bei hoher Auflösung erreicht werden. Weitere Informationen zuUEGO-Sonden finden sich in [Yam].

(4.88)

(4.89)

Modellbildung

45

p t p p ts s sA( ) $ sin( )= + ⋅ ω

& ( )

( , )

( , )

m t

A c pR T

für p p

A c pR T

für p pLDK

geo D aL a

s s a

geo D sL s

s s a

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≤

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ >

2

2

ψ ζ γ

ψ ζ γ

( ) ( )ψ ζ γ

γγ ζ ζ ζ γ

γγ

γ ζ γ

γγγ

γγ

γγ

γ

( , )s

s s s

s

für

für

=− −

≥ +

+

⋅ + < +

+ −

− −

12

1

21 1

21

2 1 1

11 1

mit ζ s

s

as a

a

ss a

pp

für p p

pp

für p p=

≤

>

Mit Abbildung 4.18 soll die nichtlineare Abbildung des pulsierenden Saugrohrdrucks auf einenverzerrten, biasbehafteten Luftmassenstrom verdeutlicht werden.

(4.33)

(4.34)

(4.35)

Abbildung 4.18 : Einfluß der Pulsationsamplitude auf den Mittelwert des Luft-massenstromes

Ein Extended Kalman-Filter zur Luftmassenbestimmung

��

� (LQ� ([WHQGHG� .DOPDQ�)LOWHU� ]XU� /XIWPDVVHQEH�VWLPPXQJ� I�U� HLQ� VDXJURKUGUXFNEDVLHUWHV� (LQ�VSULW]V\VWHP

Auf der Grundlage des in Kapitel 4.1 beschriebenen Luftpfadmodells wird im folgenden Kapi-tel ein Schätzalgorithmus für die Luftmassenbestimmung im Zylinder vorgestellt, der denSaugrohrabsolutdruck als Lastsignal verwendet. Die wesentliche Problemstellung bei reindruckbasierten Einspritzsystemen besteht in der Berechnung der Dichte des im Saugrohr herr-schenden Gases, sowie in der Bestimmung eines dynamisch korrekten Saugrohrdruckmittel-wertes. Der erste Ansatz (Kap. 5.1) entspricht einem nichtlinearen Beobachter, der als Exten-ded Kalman-Filter entworfen wurde und als Meßgröße bereits vorverarbeitete (gefilterte)Drucksignale benötigt. Das nachteilige Verhalten dieses ersten Ansatzes bezüglich Robustheitwird durch den Einsatz adaptiver Filtertechniken in Kap. 5.2 stark verbessert. Zur Reduktiondes durch das Vorfilter unvermeidbaren Phasengangs des Druckschätzwertes wird dieser An-satz in Kap. 5.3 um ein Störmodell (Pulsationsmodell) erweitert. Durch die Transformation derFiltergleichungen in den Kurbelwinkelbereich kann die Störfrequenz konstant angenommenund damit der erforderliche Rechenaufwand in Grenzen gehalten werden.

�� /XIWPDVVHQVFKlW]XQJ�LP�=HLWEHUHLFK

Im folgenden ersten Ansatz werden die thermodynamischen Zustandsgrößen direkt auf die Zu-stände des Beobachtermodells abgebildet. Zur Beschreibung der polytropen Zustandsänderungim Saugrohr werden also nur der Saugrohrdruck und die Saugrohrtemperatur als Zustände defi-niert. Diese pragmatische Vorgehensweise erscheint aufgrund der niedrigen Ordnung und dendamit verbundenen Vorteilen bei der Implementierung sinnvoll. Allerdings zeigt der Modellan-satz bezüglich Robustheit und Stabilität erhebliche Nachteile, die jedoch durch die Einführungeines zusätzlich zu schätzenden Parameters behoben werden können. Trotzdem soll aufgrundder besseren Nachvollziehbarkeit der erste Kalman-Filter Ansatz auf Basis dieses Systemmo-dells entwickelt werden.

�� 0RGHOOJOHLFKXQJHQ�GHV�6DXJURKUPRGHOOV��2UGQXQJ

Der Zustandsvektor wird aus Saugrohrdruck und Saugrohrtemperatur gebildet :

[S

7V

/6

=

Die Eingangsgrößen bilden der Drosselklappenwinkel als zentrale Stellgröße, die Motordreh-zahl, Außendruck und Außentemperatur, sowie die Kühlwassertemperatur :

[ ]X 1 S 7 7'. D D 6:

7

= α

(5.1)

(5.2)


��

Ausgangsbasis für das Systemmodell bilden die Differentialgleichungen für den Saugrohrdruck(4.14), (4.15) und die Saugrohrtemperatur (4.17). Die Einflüsse von externer Abgasrückfüh-rung und Tankentlüftung werden vernachlässigt.

mit & ( ) ( ) ( , , )P $ F S5 7

S S/'. JHR '. ' '. D

L D

V D= ⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅α α ψ γ2

ψ γ

γγ γ

γγ

γ γ

γγ

γγ

γ

γγ

γ

( , , )S S

SS

SS

I�USS

I�USS

V DQV

V

D

V

D

V

D

V

D

=−

−

≥ ≥+

+

⋅

+<

+

+−

− −

11

2

1

2

1 1

2

1

2 1

1

1

1 1

und

&PS

5 71 9

Q/=\O

V

/ /6

+XE

=\O 9RO=⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅60 2

η

η9RO

I S 1= ( , )∆

∆S S SD 6

= −

Der volumetrische Wirkunsgrad η9RO

besteht aus einem experimentell ermittelten Kennfeld inAbhängigkeit der Druckdifferenz ∆S und der Drehzahl. Durch die Einführung von ∆S könnenEinflüsse der Umgebungsparameter auf den volumetrischen Wirkungsgrad (z.B. ein reduzierterAbgasgegendruck durch einen Dichteabfall der Umgebungsluft bei Fahrten in großer Höhe)zumindest teilweise mitberücksichtigt werden. Dies ist bei einer ausschließlichen Abhängigkeitdes Wirkungsgradkennfeldes von der Drehzahl und dem Saugrohrabsolutdruck nicht möglich.Mit Z

S(t) und Z

7(t) werden die Komponenten der stochastischen Prozeßstörungen berück-

sichtigt. Diese werden als gaußverteilt, erwartungswertfrei und unabhängig von allen andernauftretenden Größen angenommen:

{ }( Z W3( ) = 0

{ }( Z W7( ) = 0

( ){ }( ){ } ( )

&

&

& &

& & & &

S

7

9P F 7 P F 7 N $ 7 7

7S 9

P F 7 P F 7 N $ 7 77 59

P P*

Z

Z6

/6

6

/'. S D /=\O S /6 6 6: /6

/6

6 6

/'. S D /=\O S /6 6 6: /6

/6

6

/'. /=\O

S

7

=

−⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ −

−⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ −

−

⋅−

+

κ

κ

1

1

(5.3)

(5.4)

(5.5)


��

{ }( Z W Z W T3 S 3( ) ( ) ( )⋅ + = ⋅τ δ τ

{ }( Z W Z W T7 7 7( ) ( ) ( )⋅ + = ⋅τ δ τ

Die stochastische Kontrollmatrix G wird für das vorliegende Modell als Einheitsmatrix defi-niert, um die beiden Rauschprozesse Z (t) und Z

7(t) eindeutig den Zustandsdifferentialglei-

chungen zuzuordnen.

* Z WZ W

Z WS

7

⋅ =

( )

( )

( )

Diese Rauschprozesse beschreiben praktisch die Unsicherheit der durch das Modell berechne-ten Zustände Saugrohrdruck und Saugrohrtemperatur.Das Beobachtungsmodell ist trivial und besteht nur aus der Abbildung des Zustandes S

6 auf

die Ausgangsgröße $S6P

(5.9). Ein zusätzlicher Saugrohrtemperatursensor würde für diesenspeziellen Modellansatz durch eine zweite Beobachtungsgröße eine wesentliche Verbesserungdarstellen, da sich die Parameterungenauigkeiten des Drosselklappen- und Saugmodells starkauf die Temperaturschätzung auswirken. Dieser Zusammenhang wird in Kapitel 5.2 näher er-läutert.

] W S W & [ W Y WL 6P L L S L( ) $ ( ) ( ) ( )= = +

mit [ ]& = 1 0

Das Meßrauschen Y3 beschreibt den stochastischen Anteil der Störungen der Saugrohrdruck-

meßwerte. Dieser Anteil wird im Kalman-Filter durch die Meßfehlerkovarianz R berücksichtigtund muß experimentell ermittelt werden. Y

3 wird ebenfalls erwartungswertfrei und von allen

anderen Größen unabhängig angenommen.

{ }( Y WS L( ) = 0

{ }( Y W Y W 5 L MS L S M( ) ( ) ( , )⋅ = ⋅δ

�� hEHUI�KUXQJ�LQ�GLH�)LOWHUVWUXNWXU

Im folgenden Abschnitt wird nun, basierend auf den beschriebenen Modellgleichungen, einExtended Kalman-Filter als nichtlinearer Beobachter entworfen. Der rekursive Algorithmusbeginnt mit dem Time update, bei dem das nichtlineare Differentialgleichungssystem (5.3) imAbtastinterval [T(k+1),Tk] gelöst wird. Aufgrund begrenzter Rechnerressourcen ist eine Min-destabtastzeit erforderlich, so daß rekursive, numerische Lösungsverfahren mit konstanterSchrittweite eingesetzt werden müssen. Gleichung (5.11) beschreibt die Lösung innerhalb einesIntervals mit Hilfe der Eulerintegration und der Schrittweite .∆ .

(5.6)

(5.7)

(5.8)

(5.9)

(5.10)

(5.11)


��

S N

7 N

S S I S 77.

7 S I 7 S7.

6

/6

6 6 S 6 /6

/6 6 7 /6 6

L

L .

L L L L

L L L L

−

−

=

= −

++

=

= + ⋅

= + ⋅

+

+

( )

( )

( , )

( , )

1

1

1

1

0

1

∆

∆

∆

mit:

( ){ }I S 79

P F 7 P F 7 N $ 7 7S 6 /6

6

/'. S D /=\O S /6 6 6: /6L L L L

( , ) & &=−

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ −κ 1

( ){ } ( )I 7 S7

S 9P F 7 P F 7 N $ 7 7

7 5

9P P7 /6 6

/6

6 6

/'. S D /=\O S /6 6 6: /6

/6

6

/'. /=\OL L

L

L

L L

L( , ) & & & &=−

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ −

−

⋅−

κ 1

& ( ) ( ) ( , , )P $ F S5 7

S S/'. JHR '. ' '. D

D

V D= ⋅ ⋅ ⋅⋅

α α ψ γ2

ψ γ

γγ γ

γγ

γ γ

γγγ

γγ

γγ

γ

( , , )S S

S

S

S

SI�U

S

S

I�US

S

6 D

6

D

6

D

6

D

6

D

L

L L L

L

=−

−

≥ ≥+

+

⋅

+<

+

+−

− −

11

2

1

2

1 1

2

1

2 1

1

1

1 1

&PS

5 71 9

Q/=\O

6

/ /6

+XE

=\O 9RO

L=⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅60 2

η

Für die Startwerte innerhalb einer Abtastung gilt für Druck und Temperatur:

S L

7 LS N

7 N6

/6

6

/6

L

L

( )

( )( )

( )

==

=

+

+

0

0

Zur Berechnung der Prädiktionsfehlerkovarianzmatrix (3.42) sind die linearisierten System-gleichungen erforderlich, die durch die Differentiation des nichtlinearen Gleichungssystemsnach allen vorkommenden Zuständen bestimmt werden. Aufgrund der starken Verkopplungvon Saugrohrdruck- und Temperaturdifferentialgleichung, ergibt sich eine voll besetzte F-Matrix (5.14) mit den vier linearisierten Gleichungen (5.15) bis (5.18).

) W [ W W) )

) )L

SS S7

7S 77

( , $( / )) =

)SS 9

PS

F 7P

SF 733

6

6 6

/'.

6

S D

/=\O

6

S /6= =−

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

∂∂

κ ∂∂

∂∂

& & &1

)S7 9

P

7F 7 P F N $37

6

6 6

/=\O

6S 6 /=\O S 6= =

−⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

∂∂

κ ∂∂

& &&

1

(5.12)

(5.13)

(5.14)

(5.15)

(5.16)


��

Die partielle Ableitung des Massenstromes an der Drosselklappe nach dem Saugrohrdrucklautet:

∂∂ α α

∂ ψ γ∂

&( ) ( )

( , , )PS

$ F S5 7

S SS

/'.

6

JHR '. ' '. D

D

V D

6

= ⋅ ⋅ ⋅⋅2

Die Differentiation des Pumpmodells bereitet Schwierigkeiten, da der volumetrische Wir-kungsgrad als Kennfeld in Abhängigkeit von N und Ps modelliert ist, das bei der in der Praxisüblichen linearen Interpolation an den Stützstellen Unstetigkeiten aufweist. Abhilfe schafft hiereine Näherung durch eine bilineare Modellgleichung:

η9RO D 6

D S S D E 1 E= − + +( ( ) )( )1 0 1 0

Der Näherungsfehler hängt stark von der Pumpcharakteristik des Motors ab. Starke Ventilüber-schneidungen (hohe Overlapfaktoren) mit den damit verbundenen hohen inneren Restgasantei-len verursachen üblicherweise unregelmäßige Liefergradkennfelder, die sich nur mit beträchtli-chen Fehlern linearisieren lassen. Die partielle Ableitung des Luftmassenstromes in die Zylin-der nach dem Saugrohrdruck lautet dann:

∂∂&

( ( ) )( )P

S

Q

5 71 9

D S S D E 1 E/=\O

6

=\O

/ /6

+XE

D 6=⋅

⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ +60 2

21 0 1 0

( )[ ] ( ))77 S 9

P F 7 P F 7 N $ 7 77 59

P P

7S 9

P

7F 7 P F N $

7 59

P

7

77

/6

6 6 6

/'. S D /=\O S /6 6 6: /6

/6

6

/'. /=\O

/6

6 6

/=\O

6

S /6 /=\O S 6

/6

6

/=\O

6

= =−

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − −⋅ ⋅

− +

+−

⋅⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

+

⋅

∂∂

κ

κ ∂∂

∂∂

&& & & &

( ) &&

&

1 2

1 2

(5.17)

( )[ ])73

7S 9

P F 7 P F 7 N $ 7 77 5S 9

PS

P

S

7S 9

PS

F 7P

SF 7

7 5S 9

P

7S

/6

6

/6

6 6

/'. S D /=\O S /6 6 6: /6

/6

6 6

/'.

6

/=\O

6

/6

6 6

/'.

6

S D

/=\O

6

S /6

/6

6 6

/'.

= =−

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ −

−⋅

⋅−

+

+ ⋅−

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

+

⋅⋅

−

∂∂

κ ∂∂

∂∂

κ ∂∂

∂∂

&& &

& &

( ) & &&

2

2

2

2

1

1 ( )&P/=\O (5.18)

(5.19)

∂∂

α α

γ γγ

γ

γ γ

γγγ

γγ

γγ

&

( ) ( )

( )PS

$ F57

SS

SS

SS

SS

I�USS

I�USS

/'.

6

JHR '. ' '.

D

V

D

V

D

V

D

V

D

V

D

V

D

=

⋅ ⋅ ⋅

−

−

−

≥+

<+

−

+

−

−

12

2 1

2

1

02

1

21

1

2 1

1

1

(5.20)

(5.21)

(5.22)


��

Gleichung (5.23) beschreibt die partielle Ableitung nach der Saugrohrtemperatur.

∂∂&

( ( ) )( )P

7S

5 71 9

Q D S S D E 1 E/=\O

6

6

/ /6

+XE

=\O D 6= −⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − + +2 1 0 1 060 2

Die Diffusionsmatrix Q enthält in ihrer Diagonale die Kovarianzen der Komponenten des Pro-zeßrauschens:

4 WW

W3

7

( )( )

( )=

σσ

2

2

0

0

Die zeitkontinuierliche Differentialgleichung zur Berechnung der Prädiktionsfehlerkovarianz-matrix ergibt dann:

& ( / ) ( / ) ( / )( )

( )S W W

) )

) )S W W S W W

) )

) )W

WL

SS S7

7S 77L L

SS 7S

S7 77

3

7

=

+

+

σσ

2

2

0

0

Die Lösung dieser Differentialgleichung erfolgt analog zur Lösung der Zustandsdifferential-gleichung mit einem Integrationsverfahren. Allerdings müssen für jeden Integrationsschritt diejeweils aktuellen integrierten Zustandswerte eingesetzt werden. Dies führt zu einer Verkopp-lung der beiden Lösungsverfahren. (5.26) zeigt dies beispielhaft mit dem Eulerverfahren.

S N7 N

3 N

S S I S 77.

7 7 I 7 S7.

3 3 I 3 )7.

6

/6

6 6 3 6 /6

/6 /6 7 /6 6

PQ PQ PQ PQP

Q

P

Q

L

L .

L L L L

L L L L

L L L L

−

−

−

==

==

=

=

++

+

=

= + ⋅

= + ⋅

= + ⋅

+

+

+

( )( )

( )

( , )

( , )

( , )

11

1

1

1

1 11

22

0

∆

∆

∆

∆ −1

Die Anfangsbedingungen für die Prädiktionsfehlerkovarianzmatrix beim Start des Integrations-verfahrens lauten:

3 L 3 NPQ PQ

L

( ) ( )= = +0

Im zweiten Schritt des Kalman-Filter Algorithmus, dem Measurement update, werden nun dasResiduum und die Kalman-Gains berechnet. Da die prädizierte Ausgangsgröße (Saugrohrab-solutdruck) gleichzeitig dem ersten Systemzustand entspricht, ergibt sich für das Residuum:

U N ] N & [ N S N S N6P 6P

( ) ( ) $ ( ) ( ) $ ( )+ = + − + = + − +−1 1 1 1 1

Durch die lineare, zeitinvariante Eigenschaft des Beobachtungsmodells kann die in einem Ex-tended Kalman-Filter übliche linearisierte Beobachtungsmatrix H durch die konstante Matrix Cersetzt werden.Die Kalman-Gains können nach (5.29) bestimmt werden:

[ ]. N 3 N & & 3 N & 57 7( ) ( ) ( )+ = + + +− − −1 1 1

1

(5.23)

(5.24)

(5.25)

(5.26)

(5.27)

(5.28)

(5.29)


��

Die Aktualisierung der Zustandsschätzwerte erfolgt nun anhand der prädizierten Schätzwerte,sowie den, mit den Kalman-Gains gewichteten Residuen:

$ ( ) $ ( ) ( ) ( )[ N [ N . N U N+ −+ = + + + +1 1 1 1

Im letzten Schritt des measurement updates wird die Schätzfehlerkovarianzmatrix aktualisiert:

3 N 3 N . N & 3 N+ − −+ = + − + +( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1

�� 3DUDPHWULHUXQJ�XQG�6LPXODWLRQ

Die Bewertung von Lastschätzalgorithmen gestaltet sich generell schwierig, da im Instationär-betrieb experimentell keine Referenzgröße mit ausreichender Genauigkeit für die Luftmassenin den Zylindern verfügbar ist. Die Qualität eines speziellen Verfahrens hängt bei druckge-führten Systemen, ein Drucksensor mit hoher Genauigkeit (rel. Fehler < 1%) vorausgesetzt, inerster Linie von zwei Eigenschaften ab.

• Genauigkeit der stationären und instationären Temperaturbestimmung• Robustheit und Fehlertoleranz Aus diesem Grund wird das beschriebene Verfahren zuerst anhand eines Referenzmodellsüberprüft, an dem sich Parameterschwankungen und Fehler leicht darstellen lassen. Das Referenzmodell beschreibt einen 2,3l 4-Zylinder 4-Ventilmotor ohne externe Abgasrück-führung. Abb. 5.1 zeigt einen typischen starken Lastsprung von 200 hPa auf 920 hPa bei1500 U/min.

(5.30)

(5.31)

alph

a [°

]

1020

0

30

mdk

[kg/

h ]

100

200

0

ps [h

Pa]

400

800

0

t [s]0.5 10 1.5

Ts

[°C

]

04080

-40

$EELOGXQJ�� $XVJDQJVGDWHQ�GHV�5HIHUHQ]PRGHOOV�ZlKUHQG�HLQHV�VWDU�NHQ�'URVVHONODSSHQVSUXQJV�EHL��8�PLQ


��

Die Drossellklappengeschwindigkeit beträgt im Sprung 1000°/s, ein Wert, der einem sportli-chen oder hektischem Fahrverhalten zuzuordnen ist, sich jedoch zur Darstellung instationärerTemperaturvorgänge im Saugrohr sehr gut eignet. Das Überschwingen des Luftmassenstromes an der Drosselklappe (Abb. 5.4), sowie die starkunterschiedlichen Zeitkonstanten des Saugrohrdrucks sind durch die starke Anregung deutlicherkennbar. Drosselklappenwinkel und Saugrohrdruck sind von weißen, mittelwertfreien, gauß-verteilten Störungen überlagert. Die Varianz der Drosselklappenstörung und Saugrohrdruckstö-

rung beträgt [ ]0 02 2, ° bzw. 3 105 2⋅ 3D . Zur Parametrierung des Filters kann die Varianz der Druckstörung direkt zur Bestimmung desParameters für das Meßrauschen R übernommen werden. Die Kovarianzmatrix des Prozeßrau-schens enthält mit ihren Matrixelementen σ

7W2 ( ) und σ

3W2( ) die ”Tuningparameter” des Filters.

Für den ersten Ansatz werden diese beiden Parameter zeitunabhängig festgelegt:

σ σ7 7W .2 2 20 1( ) ,= =

σ σS SW 3D2 2 7 210( ) = =

Die folgenden drei Abbildungen zeigen das Einschwingverhalten von Saugrohrdruck, Saug-rohrtemperatur und Luftmassenstrom des Filteralgorithmus in einem Vergleich zu den Aus-gangsgrößen eines identisch parametrierten Modells. Nach den Einschwingvorgängen zeigenReferenzmodell, Filter und Vergleichsmodell - wie zu erwarten - praktisch keine Abweichun-gen mehr. Der Einschwingvorgang selbst erfolgt im Filteralgorithmus wesentlich schneller alsbeim Vergleichsmodell, da zu Beginn das Residuum relativ große Werte annimmt, die zu einerstarken Korrektur der Zustände führen. Allerdings wurden alle Schätzfehlerkovarianzelemente beim Start mit Null initialisiert. DasFiltermodell startet also ebenfalls ohne Korrektur. Erst ein Anstieg der Prädiktionsfehlerkova-rianz (Abb. 5.6) ermöglicht das Ansteigen der Kalman-Gains (Abb. 5.5) und somit eine Mo-dellkorrektur. Eine Initialisierung der Kovarianzmatrix mit den Parametern des eingeschwun-genen, stationären Zustandes würde den Einschwingvorgang erheblich verkürzen. In der Praxissind diese Parameter oft nicht a priori bekannt (z.B. bei Umschaltungen, Störungen). Eine gro-be Abschätzung, z.B. mit Hilfe eines Kennfeldes, ist jedoch in den meisten Fällen möglich. Die Kalman-Gains in Abb. 5.5 sind nach 0.2 Sekunden eingeschwungen und konvergieren be-triebspunktabhängig in den stationären Phasen gegen sehr kleine Werte (018 1 0 052. .< <N und− ⋅ < < −− −2 5 10 2 105 5. N ). Trotz der zeitinvarianten Rauschkomponenten Q und R nehmen dieKalman-Gains betriebspunktabhängig stark unterschiedliche Werte an. Die Ursache liegt hierin den Nichtlinearitäten der beiden Systemgleichungen. Der Schätzfehler der eigentlich interessierenden Größe, der Luftmasse in den Zylindern, kannin der Praxis aufgrund einer fehlenden Referenz (die Zylinderluftmassen können auch mit Zu-satzmeßtechnik nicht direkt bestimmt werden) nicht angegeben werden. Allerdings ist er pro-portional zum Fehler des Saugrohrdrucks und der Saugrohrtemperatur. In dieser Hinsicht stellt die Modellierung des Liefergrades bei reinen druckgeführten Systemendie wesentliche Schwachstelle dar. Parameterfehler im Liefergradmodell (Pumpmodell) könnenauch bei korrekten Saugrohrdruck- und Saugrohrtemperaturschätzwerten Fehler in den Schätz-werten der Zylinderluftmassen verursachen. Als Ausweg bietet sich in diesem Fall die Nutzungzusätzlicher Informationen aus dem Kraftstoffpfad (Einpritzzeit und Lambda) zur Anpassungdes Liefergradmodells.

(5.32)

(5.33)


��

t [s]0.5 10 1.5

ps [h

Pa ]

200

400

600

800

0

1000

ps_modell

ps_refps_filt

$EELOGXQJ�� (LQVFKZLQJYHUKDOWHQ� GHV� 6DXJURKUGUXFNV�� 'HU)LOWHUDOJRULWKPXV� LP� 9HUJOHLFK� ]X� HLQHP� QLFKWU�FNJHNRSSHOWHQ�0RGHOO

t [s]0.5 10 1.5

Ts

[°C

]

-20

0

20

40

60

80

-40

100

Ts_refTs_filtTs_modell

$EELOGXQJ�� (LQVFKZLQJYHUKDOWHQ�GHU�6DXJURKUWHPSHUDWXU��'HU)LOWHUDOJRULWKPXV� LP� 9HUJOHLFK� ]X� HLQHP� QLFKWU�FNJHNRSSHOWHQ�0RGHOO


��

t [s]0.5 10 1.5

m_p

kt [ k

g/h]

50

100

150

200

0

250

mdk_refmzyl_refmzyl_filtmzyl_modell

$EELOGXQJ�� (LQVFKZLQJYHUKDOWHQ� GHU� /XIWPDVVHQVWU|PH�� 'HU)LOWHUDOJRULWKPXV� LP� 9HUJOHLFK� ]X� HLQHP� QLFKWU�FNJHNRSSHOWHQ�0RGHOO

k1

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0

0.06

t [s]0.5 10 1.5

k2

-5e-005

-4e-005

-3e-005

-2e-005

-1e-005

-6e-005

0

$EELOGXQJ�� 'LH�.DOPDQ�*DLQV�LP�(LQVFKZLQJYRUJDQJ��$XIJUXQG�GHU1LFKWOLQHDULWlWHQ�VWUHEHQ�GLH�.DOPDQ�*DLQV� WURW]� ]HLWLQ�YDULDQWHU�5DXVFKSUR]HVVH�VWDWLRQlU�JHJHQ�XQWHUVFKLHGOL�FKH�:HUWH


��

Abb. 5.6 zeigt den Verlauf der Schätzfehlerkovarianzelemente. Der Betrag der Schätzfehler-autokovarianz des Saugrohrdrucks ist etwa eine Größenordnung geringer als die Varianz derMeßstörung. Die Verläufe der beiden Kreuzkovarianzelemente P12 und P21 sind - wie erwar-tet - identisch, die Beträge klein.

�� 5REXVWKHLW

Prinzipiell repräsentiert das Filtermodell mit seiner Druck- und Temperaturdifferentialglei-chung ein ausreichend genaues Abbild des Prozesses. Die rückgekoppelte Struktur des Filtersermöglicht außerdem ein schnelles Einschwingverhalten, sowie eine genaue Schätzung der in-stationär nicht meßbaren Saugrohrtemperatur. Eine wichtige und notwendige Voraussetzung für diesen Filtertyp ist jedoch die exakte Para-metrierung des Drosselklappen- bzw. des Pumpmodells. Diese Eigenschaft soll im folgendenAbschnitt näher diskutiert werden.

�� 8UVDFKHQ�I�U�3DUDPHWHUDEZHLFKXQJHQ

An einem modernen Motorenprüfstand lassen sich, ein entsprechender Applikationsaufwand vorausgesetzt, die Modellparameter für das Befüllen und Entleeren des Saugrohres auf etwa1 % genau bestimmen. An diesem einen, perfekt vermessenen Motor zeigen dann die meistenMethoden zur Steuerung der äußeren Gemischbildung (unter diesen Voraussetzungen aberauch die Konventionellen) sehr gute Ergebnisse. Vergleicht man jedoch eine Anzahl Motoren

P1 1

50001000015000

0

20000

P12

-15-10

-5

-20

0

P21

-15-10

-5

-20

0

t [s]0.5 10 1.5

P22

0.010.020.030.04

0

0.05

$EELOGXQJ�� 'LH� 6FKlW]IHKOHUNRYDULDQ]HOHPHQWH� ZlKUHQG� GHV� (LQ�VFKZLQJYRUJDQJV��$OOH�(OHPHQWH�ZXUGHQ�EHLP�6WDUW�PLW1XOO�LQLWLDOLVLHUW��


��

aus der gleichen Baureihe über ihre Laufzeit, so lassen sich für eine Modellierung nicht ver-nachlässigbare Parameterabweichungen feststellen. Die Ursachen für Parameterabweichungenlassen sich in drei Gruppen untergliedern:

• Exemplarstreuungen• Verschleiß, Alterung• Fehler Die Höhe der Exemplarstreuung hängt von der mechanischen Fertigungstoleranz und von derAusführung ab. Ungünstige Kombinationen können bei den für das Filtermodell relevanten Pa-rametern zu Abweichungen bis 10% führen. Die typischen Verschleißerscheinungen mit Aus-wirkungen auf die Saugrohrparameter sind: - Verschleiß der Drosselklappenmechanik (vergrößerter Öffnungsquerschnitt) - Abfall des Liefergrades (Kompressionsdruckabfall, Ventilsteuerung) Der Übergang von Verschleißerscheinungen zu Fehlern ist in diesem Zusammenhang fließend.Fehler im Luftpfad müssen nicht immer zu einem Stillstand des Motors führen, da durch spezi-elle Notlauffunktionen in der Motorsteuerung meistens der Betrieb fortgesetzt werden kann (oftfür den Fahrer unbemerkt). Allerdings haben solche Fehler in fast allen Fällen negative Aus-wirkungen auf das Abgasverhalten. So kann die stationäre Abweichung der Gemischbildungdurch Falschluft im Saugrohr durch die Lambdaregelung zwar ausgeglichen werden, instationärwerden jedoch erheblich höhere Abgasemissionen auftreten. Tabelle 5.1 soll einen Überblick über die wesentlichen Fehler im Luftpfad und ihre Auswir-kungen geben. Die Auswirkungen beziehen sich auf einen eingestellten Arbeitspunkt mit vor-gewählter Drehzahl und Drosselklappenwinkel.

Fehler Auswirkungen stationär Fehlergruppe Einzelfehler &P

/'. &P=\O S

6

Drosselklappe Verschmutzung b b b

Vereisung b b b

undicht ↑ ↑ ↑ Potifehler (Offset) - - - Saugrohr Saugrohr undicht ↑ ↑ ↑ abgefallener Schlauch ↑ ↑ ↑ Sensorfehler - - - Motor Verschleiß ↓ ↓ ↑ (Liefergrad) erhöhter Abgasgegendruck ↓ ↓ ↑ Verschmutzung ↓ ↓ ↑ verstellte Ventilsteuerung ↓ ↓ ↑ 7DEHOOH�� )HKOHU�LP�/XIWSIDG�XQG�LKUH�$XVZLUNXQJHQ


��

Verschmutzungen bzw. Vereisung an der Drosselklappe können betriebspunktabhängig unter-schiedliche Auswirkungen haben. Bei kleinen Winkeln läßt sich insbesondere bei Vereisungdie Klappe nicht mehr vollständig schließen. Bei großen Öffnungswinkeln verringern Fremd-körper den Öffnungsquerschnitt. Im Leerlaufbereich und im unteren Teillastbereich zeigen die Modellparameter der Drossel-klappe die höchsten Sensitivitäten bezüglich der Lastbestimmung. In diesen Betriebspunktenherrscht vorwiegend überkritische Strömung in der Drosselklappe (S S S

6 D NULW/ << ). Der Luft-

massenstrom an der Drosselklappe ist also unabhängig vom Saugrohrdruck (Abb. 4.3a). DieAbweichungen der Saugparameter zeigen somit bei überkritischen Strömungsverhältnissenkeine Auswirkung, da sie direkt, konstante Drehzahl vorausgesetzt, nur den Saugrohrdruck be-einflussen. Bei Vollast und oberem Teillastbereich herrschen umgekehrte Verhältnisse bezüglich der Sen-sitivitäten. Die unterkritische Strömung an der Drosselklappe ist stark saugrohrdruckabhängig.Veränderungen der Saugparameter können sich direkt auf die Zylinderluftmassen auswirken.

�� 6LPXODWLRQ�YRQ�6W|UXQJHQ

Im folgenden Abschnitt wird das beschriebene Kalman-Filter anhand gestörter Simulationsda-ten getestet. Als Ausgangsbasis dient das beschriebene Referenzmodell. Die Störung soll durcheinen sich plötzlich lösenden Schlauch im Drosselklappensteller (z.B. Kurbelgehäuseentlüf-tung) dargestellt werden. Dies entspricht einem zusätzlich zur Drosselklappe auftretenden Öff-nungsquerschnitt. Beide Querschnitte werden zu einem Gesamtöffnungsquerschnitt($HII zusammengefaßt (5.34).

($ W $ $ WHII HII VW|U( , ) ( ) ( )α α= +

Die Störung soll plötzlich 250 ms nach dem Start auftreten:

$ W $ W

PLW VVW|U VW|U

( ) ( )

.

= ⋅ −=

σ ττ 0 25

Es werden drei Fälle mit unterschiedlichen Strömungsquerschnitten, (2.5 %, 5 % und 10 %)bezogen auf den max. Öffnungsquerschnitt der Drosselklappe, betrachtet. Abb. 5.7 zeigt dieAusgangsgrößen des gestörten Referenzmodells. Die Simulation startet im unteren Teillastbe-reich bei 200 hPa Saugrohrdruck. Aufgrund des geringen geometrischen Öffnungsquerschnittsder Drosselklappe in diesem Betriebspunkt verursacht selbst der erste Störungsfall (2.5 %) ei-nen Anstieg des Luftmassenstromes an der Drosselklappe um 130%. Abb. 5.8 zeigt die Filterschätzwerte des Kalman-Filters. Die relativen Fehler sind in Abb. 5.9dargestellt. Der Luftmassenstrom an der Drosselklappe wird entsprechend der Eingangsgrößenberechnet. Da der gestörte Parameter nicht im Filteralgorithmus geschätzt wird, wirken sich dieStörungen stark auf die eigentlichen zentralen Schätzgrößen Saugrohrdruck und Saugrohrtem-peratur aus. Die relativen Fehler betragen bei allen Größen mehr als 35% im Maximum. Be-sonders störend erscheint die stark fehlerhafte Schätzung der Saugrohrtemperatur. Sie erreichtnach dem Lastsprung einen Wert von -110 °C bei einer 10% Störung. Dies entspricht einemrelativen Fehler von etwa -40%. Die starke Absenkung der Temperatur führt nach 1.5 s zu ei-nem positiven Fehler beim Luftmassenstrom in die Zylinder.

(5.34)

(5.35)


��

md k

_ref

[kg

/h]

100200

0

300

t [s]0.5 10 1.5

mzy

l_re

f [

kg/h

]

40

80

0

t [s]0.5 10 1.5ps

_ ref

[hP

a]

400

800

0

t [s]0.5 10 1.5T

s_re

f [°C

]

20

60

-20

t [s]0.5 10 1.5

Störung (Öffnungsquerschnitt)2.5 %5 %10 %

$EELOGXQJ�� 6LPXODWLRQ�HLQHU�6W|UXQJ��3O|W]OLFKH�9HUJU|�HUXQJ�GHVgIIQXQJVTXHUVFKQLWWHV�

0mpk

tdk_

filt

[

kg/h

]

100

200

t [s]0.5 10 1.5

mpk

tzyl

_filt

[k

g/h ]

4080

0

120

t [s]0.5 10 1.5ps

_filt

[ hP

a]

400

800

0

t [s]0.5 10 1.5T

s_fil

t [°C

]

-1000

100

t [s]0.5 10 1.5

Störung (Öffnungsquerschnitt)

2.5 %5%10%

$EELOGXQJ��6FKlW]ZHUWH�GHV�.DOPDQ�)LOWHUV�LP�6W|UXQJVIDOO


��

Die Reaktion des Filters erscheint auf den ersten Blick nicht einleuchtend, da die Störung einpositives Residuum (gemessener Saugrohrdruck minus prädizierter Saugrohrdruck) erzeugt.Diese positive Saugrohrdruckdifferenz könnte nach dem idealen Gasgesetz doch nur durch eineErhöhung der Saugrohrtemperatur verringert werden. Diese Annahme ist jedoch tatsächlich nicht korrekt, da zur Berechnung der Saugrohrdruckän-derung (5.36) die Energiebilanzgleichung zugrundegelegt wurde. Der Zusammenhang wirddeutlich, wenn man die Terme der Energiebilanzgleichung ausmultipliziert (5.37).

( ){ }& & &S9

P F 7 P F 7 N $ 7 76

6

/'. S D /=\O S /6 6 6: /6=−

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ −κ 1

mit & ( ) ( ) ( , , )P $ F S5 7

S S/'. JHR '. ' '. D

L D

V D= ⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅α α ψ γ2

und &PS

5 71 9

Q/=\O

V

/ /6

+XE

=\O 9RO=⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅60 2

η

( )

& ( ) ( ) ( , , )S9

$ F S5 7

S S F 7

S5

1 9Q F N $ 7 7

6

6

JHR '. ' '. D

L D

V D S D

V

/

+XE

=\O 9RO S 6 6: /6

=−

⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅ ⋅

−

− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ −

κα α ψ γ

η

1 2

60 2

rel.

Feh

ler

-0.4

00.2

0.4

t [s]0.5 10 1.5

mpk

t_zy

l

-0.2

0

-0.8

-0.4

t [s]0.5 10 1.5

ps

t [s]0.5 10 1.5

Ts

-0.4-0.2

0

-0.4-0.2

0

t [s]0.5 10 1.5

rel.

Feh

ler

rel.

Fe h

ler

rel.

Fe h

ler

mpk

t_dk

Störung (Öffnungsquerschnitt)2.5 %5%10%

$EELOGXQJ��5HODWLYH�)HKOHU�GHU�)LOWHUVFKlW]ZHUWH�LP�6W|UXQJVIDOO

(5.36)

(5.37)


��

Aus (5.37) folgt, daß die Saugrohrtemperatur nur im Term des Wärmeübergangs der Saug-rohrwand auf die Saugrohrtemperatur (Saugrohrlufttemperatur) Einfluß auf die Saugrohr-druckänderung ausüben kann. Eine Verminderung der Saugrohrtemperatur führt zu einer Erhö-hung des Energiestromes an der Saugrohrwand und somit zu einer positiven Änderung desSaugrohrdrucks. Noch klarer wird dieser Zusammenhang, wenn man das entsprechende Element (5.38) der line-arisierten Systemmatrix ausmultipliziert (5.39).

)S7 9

P

7F 7 P F N $S7

6

6 6

/=\O

6

S 6 /=\O S 6= =−

⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

∂∂

κ ∂∂

& &&

1

mit ∂

∂&

( ( ) )( )P

7S

5 71 9

Q D S S D E 1 E/=\O

6

6

/ /6

+XE

=\O D 6= −⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ +2 1 0 1 060 2

)9

N $S

6

6=−

⋅1 κ

Mit diesen Fehlerbeispielen wurden die Nachteile des Verfahrens bezüglich seiner Parame-terempfindlichkeit herausgestellt.Klassische Maßnahmen zur Verbesserung des Verhaltenssind:

• Vergrößerung des Meß- und Steuervektors durch den Einsatz zusätzlicher Sensoren (Tempe-ratur, Luftmassenstrom)

• Erhöhung der Modellierungstiefe• Anwendung adaptiver Filtertechniken Der Einsatz eines zusätzlichen Temperatursensors für die Saugrohrtemperatur würde die Ro-bustheit des beschriebenen Verfahrens stark verbessern, da durch die zusätzliche Temperaturin-formation die stationären Abweichungen der Temperaturschätzwerte erheblich verringert wer-den könnten. Im Folgenden soll jedoch erst der Weg adaptiver Filtertechniken beschritten wer-den, um trotz eines Mindestaufwands an Sensoren die wichtigsten Parameterschwankungenund Fehler mitberücksichtigen zu können.

�� $GDSWLYH�/XIWPDVVHQVFKlW]XQJ�LP�=HLWEHUHLFK

Zur Verbesserung des ersten Ansatzes bezüglich Robustheit wird im folgenden Abschnitt einadaptives Kalman-Filter zur Bestimmung der Luftmasse im Zeitbereich beschrieben. Durch diezusätzliche Schätzung des Befüllparameters können die Auswirkungen der Parameterschwan-kungen und Fehler von Drosselklappe und Saugrohr (s. Tab. 5.1) berücksichtigt werden. DerAlgorithmus arbeitet ebenfalls im Zeitbereich und benötigt vorverarbeitete (gefilterte) Saug-rohrdruckmeßwerte.

(5.38)

(5.39)


��

�� 0RGHOOJOHLFKXQJHQ�GHV�DGDSWLYHQ�)LOWHUV

Für das adaptive Filter wird ein um den zu schätzenden Parameter vergrößerter Zustandsvektoreingeführt. Der Zustandsvektor setzt sich dann aus Saugrohrdruck, Saugrohrtemperatur unddem Befüllparameter ξ

6zusammen:

[

S

7V

/6

6

=

ξ

Die Eingangsgrößen bilden nach wie vor der Drosselklappenwinkel als zentrale Stellgröße, dieMotordrehzahl, Außendruck und Außentemperatur, sowie die Kühlwassertemperatur:

[ ]X 1 S 7 7'. D D 6:

7

= α

Mit der zusätzlichen Differentialgleichung für den Befüllparameter lautet dann das Systemmo-dell:

mit &~

( ) ( ) ( ) ( , , )P $ F S5 7

S S/'. JHR '. ' '. 6 D

L D

V D= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⋅

⋅α α ξ ψ γ12

ψ γ

γγ γ

γγ

γ γ

γγγ

γγ

γγ

γ

( , , )S S

SS

SS

I�USS

I�USS

V DQV

V

D

V

D

V

D

V

D

=−

−

≥ ≥+

+

⋅

+<

+

+−

− −

11

2

1

2

1 1

2

1

2 1

1

1

1 1

und

&PS

5 71 9

Q/=\O

V

/ /6

+XE

=\O 9RO=⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅60 2

η

(5.40)

(5.41)

( ){ }( ){ } ( )

&

&

&

&~

&

&~

& &~

&

S

7

9P F 7 P F 7 N $ 7 7

7S 9

P F 7 P F 7 N $ 7 77 59

P P

*

Z

Z

6

/6

6

6

/'. S D /=\O S /6 6 6: /6

/6

6 6

/'. S D /=\O S /6 6 6: /6

/6

6

/'. /=\O

6

3

7

ξ

κ

κ

α ξξ

=

−⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ −

−⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ −

−

⋅−

− ⋅

+

+

1

1

Zξ

(5.42)

(5.43)

(5.44a)


��

η9RO

I S 1= ( , )∆

∆S S SD 6

= −

In der dritten Differentialgleichung stellt ξ6W( ) eine negativ autokorrelierte Größe dar, welche

durch den weißen, gaußverteilten Rauschprozeß Z Wξ ( ) getrieben wird. Die Verkopplung des

Befüllparameters mit den anderen Zuständen erfolgt in der Berechnungsgleichung für denLuftmassenstrom an der Drosselklappe (5.43). ξ

6W( ) kann somit als relative Abweichung des

Dischargekoeffizienten interpretiert werden. Z Wξ ( ) wird analog zu ZS(t) und Z

7(t) gaußver-

teilt, erwartungswertfrei und unabhängig von allen anderen auftretenden Größen angenommen:

{ }( Z Wξ ( ) = 0

{ }( Z W Z W Tξ ξ ξτ δ τ( ) ( ) ( )⋅ + = ⋅

Die stochastische Kontrollmatrix G wird auch für das erweiterte Modell als Einheitsmatrix de-finiert.

* Z W

Z W

Z W

Z W

S

7⋅ =

( )

( )

( )

( )ξ

Das Beobachtungsmodell ist identisch zum ersten Ansatz und wird durch Gleichung (5.9) bisGleichung (5.11) beschrieben.

�� 'LH�)LOWHUVWUXNWXU�GHV�DGDSWLYHQ�.DOPDQ�)LOWHUV

Der Schätzparameter ξ6W( ) wurde in den Systemgleichungen als Zustand modelliert (5.42). Die

Filterstruktur entspricht damit einem Extended Kalman-Filter 3. Ordnung mit skalarer Beob-achtung. Gleichung (5.48) zeigt den Lösungsalgorithmus für das Differentialgleichungssystemmit Euler als Integrationsverfahren für die nichtlinearen Anteile.

S N

7 N

N

S S I S 77.

7 7 I 7 S7.

$

6

/6

6

6 6 3 6 /6

/6 /6 7 /6 6

6 ' 6

L

L .

L L L L

L L L L

L L

−

−

−

=

= −

+++

=

= + ⋅

= + ⋅

= ⋅

+

+

+

( )

( )

( )

( , )

( , )

1

1

1

1

1

1

0

1

ξ ξ ξξ

∆

∆

∆

mit:

( ){ }I S 79

P F 7 P F 7 N $ 7 73 6 /6

6

/'. S D /=\O S /6 6 6: /6L L L L

( , ) &~

&=−

⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ −κ 1

(5.44b)

(5.45)

(5.46)

(5.47)

(5.48)

(5.49)


��

Für den Befüllungsparameter kann die lokale Zustandsübergangsfunktion im Intervall[T(k+1),Tk) errechnet werden. Da jedoch zur Lösung der beiden anderen nichtlinearen Diffe-rentialgleichungen Zwischenergebnisse von &

~P/'.

im Intervall der Integrationsschrittweite

[ ]7 . L 7 . L/ ( ), /∆ ∆+ 1 benötigt werden, wird die lokale Zustandsübergangsfunktion für das

Integrationsintervall bestimmt.

ξ ξ ξξ

ξ

6 6

$ L7

.L7

.

6L

7.

L7.

L7.

L7.

L7.

H L7.

&

(( ) , ) (( ) , ) ( ) ( )(( ) , )

+ = + ⋅ = ⋅+

1 11

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

Φ ∆ ∆

für den zeitinvarianten Fall, also für $&ξ =const. gilt:

Φ∆ ∆

∆ξ ξ

α(( ) , )L

7.

L7.

$ H'

7

.+ = =− ⋅

1

Die Startwerte innerhalb einer Abtastung lauten:

S L

7 L

L

S N

7 N

N

6

6

6

6

6

6

L

L

L

( )

( )

( )

( )

( )

( )

===

=

+

+

+

0

0

0ξ ξ

Die Linearisierungsmatrix (F-Matrix), eine 3x3-Matrix, ist nicht voll besetzt, da die Differenti-algleichung für den Befüllparameter nicht von den übrigen Zuständen abhängt. Die partiellenAbleitungen werden durch (5.54) bis (5.65) beschrieben.

) W [ W W

) ) )

) ) )

) ) )L

S3 S7 S

7S 77 7

S 7

( , $( / )) =

ξ

ξ

ξ ξ ξξ

)SS 9

PS

F 7P

SF 7SS

6

6 6

/'.

6S D

/=\O

6S /6= =

−⋅ − ⋅

∂∂

κ ∂∂

∂∂

& &~ &1

)S7 9

P

7F 7 P F N $S7

6

6 6

/=\O

6S 6 /=\O S 6= =

−⋅ + ⋅ + ⋅

∂∂

κ ∂∂

& &&

1

)S

9P

F 7S6

6 6

/'.

6

S Dξ∂∂ ξ

κ ∂∂ ξ

= = − ⋅

& &~

1

( ){ } ( )I 7 37

S 9P F 7 P F 7 N $ 7 7

7 5

9P P7 /6 6

/6

6 6

/'. S D /=\O S /6 6 6: /6

/6

6

/'. /=\OL L

L

L

L L

L( , ) &~

& &~

&=−

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ −

−

⋅−

κ 1

(5.50)

(5.51)

(5.52)

(5.53)

(5.54)

(5.55)

(5.56)

(5.57)


��

( )[ ] ( ))

77 S 9

P F 7 P F 7 N $ 7 77 59

P P

7S 9

P

7F 7 P F N $

7 59

P

7

77/6

6 6 6

/'. S D /=\O S /6 6 6: /6/6

6

/'. /=\O

/6

6 6

/=\O

6

S /6 /=\O S 6/6

6

/=\O

6

= = − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − − ⋅ ⋅ − +

+ − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

+ ⋅ ⋅

∂∂

κ

κ ∂∂

∂∂

&&~

& &~

&

( ) &&

&

1 2

1 2

)7 S 7

S7S

59

P7

/6

6

6O

6

/6

6

/6

6 6

/'.

6

ξ∂∂ ξ

∂∂ ξ

∂∂ ξ

= = ⋅ − ⋅ ⋅& & &

~2

)SS

6

6

ξ∂ ξ∂

= =&

0

)77

6

6

ξ∂ ξ∂

= =&

0

) 6

6

ξξ∂ ξ∂ ξ

α= = −&

Die partiellen Ableitungen des adaptierten Luftmassenstromes an der Drosselklappe lauten:

( )[ ])7S

73 9

P F 7 P F 7 N $ 7 77 5S 9

PS

P

S

7S 9

PS

F 7P

SF 7

7 5S 9

P

7S/6

6

/6

6 6

/'. S D /=\O S /6 6 6: /6/6

6 6

/'.

6

/=\O

6

/6

6 6

/'.

6

S D

/=\O

6

S /6/6

6 6

= = − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ −

− ⋅⋅

−

+

+ ⋅ − ⋅ − ⋅

+ ⋅

⋅

∂∂

κ ∂∂

∂∂

κ ∂∂

∂∂

&&~

&&~ &

( ) &~ &

&~

2

2

2

2

1

1 ( )/'. /=\OP− & (5.58)

(5.59)

(5.60)

(5.61)

(5.62)

(5.63)

∂

∂ ξ

α αγ

γ γ

α α γγ

γ γ

γγ

γγ

γ

γ

&~ ( ) ( )

( ) ( )

P$ F S

5 7SS

SS

I�USS

$ F S5 7

I�USS

/'.

6

JHR '. ' '. D

L D

V

D

V

D

V

D

JHR '. ' '. D

L D

V

D

=

⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅−

−

≥ ≥+

⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅+

⋅

+<

+

+−

−

2

11

2

1

2 21 1

21

2 1

1

1

1

−γ

γ 1

(5.64)


��

∂∂

α α ξ

γ γγ

γ

γ γ

γγ

γ

γγ

γγ

&~

( ) ( ) ( )

( )

PS

$ F S

5 7

SS

SS

SS

SS

I�USS

I�USS

/'.

6

JHR '. ' '. 6 D

D

V

D

V

D

V

D

V

D

V

D

V

D

=

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

⋅⋅

−

⋅ −

−

≥+

<+

−

+

−

−

1

12

2 1

21

02

1

21

1

2 1

1

1

Die übrigen Linearisierungen (Luftmassenstrom in die Zylinder) entsprechen dem ersten An-satz mit den Gleichungen (5.22) und (5.23). Die erweiterte Diffusionsmatrix Q enthält zusätz-lich den stochastischen Steuerparameter σξ

2 ( )W :

4 W

W

W

W

S

7( )

( )

( )

( )

=

σσ

σξ

2

2

2

0 0

0 0

0 0

Die Berechnung der prädizierten Zustände, sowie der Prädiktionsfehlerkovarianzmatrix erfolgtanalog zum ersten Ansatz im gleichen Berechnungsschritt des time updates.

S N

7 N

N

3 N

S S I S 77.

7 7 I 7 37.

$

3 3 I 3 )7.

6

/6

6

6 6 3 6 /6

/6 6 7 /6 6

6 ' 6

PQ PQ PQ PQP

Q

P

Q

L L L L

L L L L

L L

L L L L

−

−

−

−

==

==

++++

=

= + ⋅

= + ⋅

= ⋅

= + ⋅

+

+

+

+

( )

( )

( )

( )

( , )

( , )

( , )

1

1

1

1

1

1

1

1 11

22

ξ ξ ξξ

∆

∆

∆

=

= −

L

L .

0

1∆

Alle übrigen Schritte des adaptiven Schätzalgorithmus entsprechen dem schon beschriebenen,nicht adaptiven Verfahren.

(5.65)

(5.66)

(5.67)


��

�� 3DUDPHWULHUXQJ�XQG�6LPXODWLRQ

Zusätzlich zu den im Abschnitt 5.1.3 festgelegten Filterparametern müssen für den adaptivenAnsatz der Korrelationsparameter αξ , und die Varianz der Prozeßrauschkomponente für den

zu schätzenden Parameter σξ2 bestimmt werden.

Üblicherweise kann dies mit den Methoden der Zeitreihenanalyse erfolgen, sofern Musterfunk-tionen für den zu schätzenden Parameter existieren, bzw. die stochatischen Parameter dieserFunktionen bekannt sind. In Kapitel 6 wird diese Vorgehensweise an vergleichbaren Anwen-dungsfällen mit bekannten Zeitreihen behandelt. Der Verlauf des Befüllparameters ξ

6 zeigt, je nach Umgebungsbedingungen (Parameterabwei-

chungen nach Tab. 5.1), sehr unterschiedliche Eigenschaften. Eine Verschiebung des Drossel-klappenpotentiometers oder des Spannungsoffsets auf dem Drosselklappen-signal verursachenz.B. als Einzelabweichung einen über alle Betriebspunkte nahezu konstanten Erwartungswertfür den Befüllparameter, während Falschluft im Saugrohr oder in der Drosselklappe zu einemvom Drosselklappenwinkel abhängigen Erwartungswert führt. Aus diesem Grund wurde ein pragmatischer Ansatz gewählt:

• Die Dynamik des Parameters soll erfahrungsgemäß möglichst klein sein (Stabilität)• Die Parameterschätzung soll auch im Instationärbetrieb dem Lastsignal folgen können

Der Wert der Korrelationszeitkonstante τ αξ ξ= 1 / sollte also zwischen 50 ms und 0.5s ent-

sprechend der Lastsignaldynamik betragen. Die Varianz des Prozeßrauschens σξ2 ist in diesem

Zusammenhang analog zu σ3

2 und σ7

2 ein Tuningparameter, der allerdings vorsichtig einge-stellt werden muß, da er das Filter bei starken instationären Vorgängen für Werte > 0.8 instabilwerden läßt.Ausgangsbasis für die folgenden Simulationsergebnisse ist wiederum das Referenzmodell ausKap. 5.1.3 mit einem plötzlich auftretenden zusätzlichen Öffnungsquerschnitt von 2.5%, bezo-gen auf die Maximalöffnung der Drosselklappe (Abb. 5.1). Die Luftmassenströme des adapti-ven Filters im Vergleich zu den Referenzmassenströmen sind in Abb. 5.10 dargestellt. NachAuftreten der Störung vergehen etwa 60ms, bis bei einem stationären Betriebspunkt die Adap-tion des Luftmassenstromes abgeschlossen ist.Diese Anpassung kann ebenfalls nur mit endlicher Dynamik erfolgen. Die größten Abweichun-gen treten aus diesem Grund in den Phasen größter Drosselklappengeschwindigkeiten auf.Während des positiven und negativen Lastsprungs ist dieser Effekt sehr gut im Vergleich derLuftmassenströme. An dieser Stelle sei noch einmal auf die extreme Betriebssituation (hoheStellgeschwindigkeiten, starke Störung) der Simulationsdaten hingewiesen.


��

Der Saugrohrdruck zeigt nur sehr kleine Abweichungen vom Referenzsignal und ist von derstochastischen Meßstörung befreit (Abb. 5.11).

Störung (Öffnungsquerschnitt 2.5%)

m_p

kt_d

k [k

g /h]

50

100

150

200

250

0

300mdk_messmdk_filt

t [s]0.5 10 1.5

m_p

kt_z

yl [k

g/h]

20

40

60

80

0

100mzyl_messmzyl_filt

t [s]0.5 10 1.5

$EELOGXQJ�� /XIWPDVVHQVWU|PH� GHV� DGDSWLYHQ� .DOPDQ�)LOWHUVEHL�HLQHU�6W|UXQJ�GXUFK�)DOVFKOXIW�LP�6DXJURKU

t [s]0.5 10 1.5

ps [h

Pa ]

200

400

600

800

0

1000

ps_messps_filt


$EELOGXQJ�� 'HU� 6DXJURKUGUXFN� GHV� DGDSWLYHQ�.DOPDQ�)LOWHUVEHL�HLQHU�6W|UXQJ�GXUFK�)DOVFKOXIW�LP�6DXJURKU


��

Der Vergleich bezieht sich selbstverständlich wie in Kap. 5.1.3 auf konventionell vorverarbei-tete (tiefpaßgefilterte) Druckmeßwerte. Der Fehler durch den damit verbundenen Phasengangbleibt hier unberücksichtigt. Eine Verarbeitung der Rohsignale des Drucksensors im Filteralgo-rithmus wird in Kap. 5.3 beschrieben.Die relativen Abweichungen der Saugrohrtemperatur liegen in allen Betriebspunkten unterhalbvon 4%. Durch die Erweiterung des Systemmodells erfolgt die Korrektur des Saugrohrdruck-schätzwertes nur noch schwach durch eine Temperaturveränderung. Der wesentliche Einflußauf die Druckkorrektur wird nun durch die Adaption des Befüllparameters ausgeübt. Der Be-füllparameter agiert praktisch als ”Gummiband” zwischen Saugrohrdruck- und Saugrohrtempe-raturkorrektur. Dies führt zu einer Entkopplung der Saugrohrtemperatur.Die Kalman-Gains, sowie die Schätzfehlerkovarianzelemente sind in den Abb. 5.13 und Abb.5.14 dargestellt. Alle Gains- und Kovarianzelemente wurden beim Start mit Null initialisiert.Abb. 5.15 zeigt den Verlauf der Schätzwerte von Zuständen und Parametern. Die Korrelations-zeitkonstante wurde auf 300 ms festgelegt. Die Varianz des Prozeßrauschens für den Parameterist zeitinvariant und beträgt in der Simulation 0.5. Dieser relativ hohe Wert verursacht einenetwas unruhigen Verlauf des Parameters, der sich jedoch durch das Tiefpaßverhalten der Saug-rohrdynamik nicht nachteilig auf den Saugrohrdruck und die Saugrohrtemperatur auswirkt.

t [s]0.5 10 1.5

Ts

[°C

]

0

20

40

60

-20

80

Ts_messTs_filt


$EELOGXQJ�� 'LH� 6DXJURKUWHPSHUDWXU� GHV� DGDSWLYHQ� .DOPDQ�)LOWHUV� EHL� HLQHU� 6W|UXQJ� GXUFK� )DOVFKOXIW� LP6DXJURKU


��

k1

0.050.1

0.150.2

0.25

0

0.3

k2

0.0001

0.0002

0.0003

0

0.0004

t [s]0.5 10 1.5

k3

1e-0052e-0053e-0054e-0055e-005

0

6e-005


$EELOGXQJ�� 'LH� .DOPDQ�*DLQV� GHV� DGDSWLYHQ� .DOPDQ�)LOWHUVEHL�HLQHU�6W|UXQJ

P11

4000080000

0

120000

P22

0.20.4

0

0.6

P33

0.0040.0080.012

0

P12

,P

21 4080

0

120

P13

,P

31 10

0

20

t [s]0.5 10 1.5

P23

,P

32

0.020.04

0

0.06


$EELOGXQJ�� 'LH� 6FKlW]IHKOHUNRYDULDQ]HOHPHQWH� GHV� DGDSWLYHQ.DOPDQ�)LOWHUV�EHL�HLQHU�6W|UXQJ�GXUFK�)DOVFKOXIWLP�6DXJURKU


��

Nach dem Eintritt der Störung strebt der Parameter gegen die relative Abweichung des Ge-samtöffnungsquerschnittes, bezogen auf den aktuellen Öffnungsquerschnitt der Drosselklappe.Die hier simulierte, konstante Störung verursacht eine Betriebspunktabhängigkeit für den zuschätzenden Parameter. Der Parameter muß also jeder Veränderung der Steuergröße angepaßtwerden. Die starke Luftmassenströmung nach dem positiven Lastsprung läßt den Parameternahezu verschwinden, da bei hohen Lasten die relative Abweichung sehr klein wird.In der Praxis entstehen viele Parameterverschiebungen und auch Fehler jedoch gerade in denPhasen hoher Lasten und zeigen erst im unteren Teillastbereich oder im Leerlauf eine störendeWirkung. Die Ursache liegt in den bei Vollast und hohen Drehzahlen entstehenden hohenTemperaturen, starken Vibrationen und großen Materialbeanspruchungen.Adaptionsalgorithmen zur Anpassung sich langsam verändernder Parameter gehören auch inmodernen Motorsteuergeräten zum Stand der Technik. In vielen Fällen sind diesen Adaptions-funktionen noch weitere Regelungen unterlagert, so daß aus Gründen der Stabilität die Para-meterbestimmung nur mit einer gegenüber den Systemeigenschaften vernachlässigten Dynamikerfolgen kann.Die Parameterschätzung des beschriebenen Verfahrens ist insofern nicht direkt vergleichbar, dasie in den Algorithmus der Zustandsschätzung integriert ist und mit jedem Lastschätzwert aucheinen Parameterschätzwert liefert. Für den kritischen Zustand eines negativen Lastsprungeszeigt der Algorithmus nur geringe Abweichungen bei den Lastschätzgrößen. Abb. 5.16 zeigtdie relativen Fehler, bezogen auf die aktuellen Werte des Referenzmodells. Die größten Fehlerentstehen während der Parameterschwankung bei niedrigen Lasten. Dann erreicht der Saug-rohrdruck maximal eine Abweichung von 15% im größten Fehlerfall.

ps [P

a ]

40000

80000

0

Ts

[K]

280

320

240

360

t [s]0.5 10 1.5

ksi

0

0.5

1

-0.5

1.5


$EELOGXQJ�� 'LH�=XVWDQGVVFKlW]ZHUWH�� VRZLH� GHU� 6FKlW]SDUDPHWHUGHV�DGDSWLYHQ�.DOPDQ�)LOWHUV�EHL�HLQHU�6W|UXQJ�GXUFK)DOVFKOXIW�LP�6DXJURKU


��

�� %HZHUWXQJ�GHV�9HUIDKUHQV�DXV�SUDNWLVFKHU�6LFKW

Aus Sicht der Praxis ist basierend auf die in Kap. 5.1 beschriebene Form des Filtermodells dieEinführung des Schätzparameters aufgrund der hohen Anforderungen an Robustheit und Feh-lertoleranz unverzichtbar. Der adaptive Algorithmus ist auch für zukünftige Anforderungenstationär und instationär ausreichend genau bezüglich der Saugrohrdruck- und Saugrohrtempe-raturbestimmung und toleriert eine Klasse starker, saugrohr- und drosselklappenseitiger Para-meterschwankungen bzw. Fehler.Die Modellierung der Abweichung des Öffnungsquerschnittes als zu schätzender Parameterermöglicht darüber hinaus die Bestimmung des absoluten, effektiven Öffnungsquerschnitts.Dies ist eine wertvolle Information für Antriebsstrangmanagementsysteme mit elektronisch ge-steuerter Drosselklappe. Bei diesen Funktionen ist das Fahrpedal mechanisch von der Drossel-klappe entkoppelt. Die Fahrpedalinformation wird als Fahrerwunsch interpretiert und mit ande-ren, für die Längsdynamik des Fahrzeugs wichtigen Informationen (Getriebe, elektronischesStabilitätsprogramm, Antiblockiersystem, Antischlupfregelung, Tempomat, ...) verarbeitet.Üblicherweise wird dann als Führungsgröße ein Motorsollmoment errechnet, aus dem dieStellgrößen für Drosselklappe und Zündzeitpunkt bestimmt werden müssen. Die Genauigkeitdieser Berechnung und den entsprechenden Regelverfahren ist dabei entscheidend für denFahrkomfort. Die Drosselklappenparameter sind in Kennfeldern abgelegt und haben eine we-sentliche Bedeutung zur Vorsteuerung des gewünschten Solluftmassenstroms. Im Fall von Pa-rameterschwankungen oder Fehlern im Luftpfad können diese Parameter auf einfache Weisemit Hilfe des Befüllparameters ξ

6W( ) nachgeführt werden.

rel.

Feh

ler

mpk

t_dk

0

1

-1

t [s]0.5 10 1.5

-0.1-0.05

0

-0.15

0.05

t [s]0.5 10 1.5

-0.1

00.1

t [s]0.5 10 1.5

-0.020

-0.04

0.02

rel.

Feh

ler

mpk

t_zy

lre

l. F

e hle

rps

rel.

Feh

ler

Ts

t [s]0.5 10 1.5

Störung (Öffnungsquerschnitt)2.5 %5%10%

$EELOGXQJ�� 5HODWLYH� )HKOHU� GHU� $XVJDQJVJU|�HQ� GHV� DGDSWLYHQ� .DO�PDQ�)LOWHUV� EHL� 3DUDPHWHUDEZHLFKXQJHQ� ��


��

Nachteilig erscheint bei diesem Verfahren, daß motorseitige Parameterschwankungen undFehler, also Veränderungen des Saugverhaltens, nicht berücksichtigt werden können. Dies stelltein generelles Problem bei druckgeführten Systemen dar, die im Luftpfad keine Meßinforma-tion über den Luftmassenstrom bereitstellen können.Als Ausweg bietet sich der Kraftstoffpfad an. Die Werte der eingespritzten Kraftstoffmassenenthalten in Verbindung mit dem gemessenen Luft-/Kraftstoffverhältnis im Abgas ebenfallsalle notwendigen Informationen über den Luftmassenstrom. Allerdings gehen dann alle Fehlerdes Kraftstoffpfades (Kraftstoffdruckabweichungen, Kraftstofftemperaturschwankungen, Ex-emplarstreuung, Verschleiß der Einspritzventile, ...) in die Luftmassenbestimmung ein. Außer-dem muß die beträchtliche Totzeit zwischen dem im Saugrohr herrschenden und dem aus demAbgas rückgerechneten Luftmassenstrom berücksichtigt werden.

�� $GDSWLYH�/XIWPDVVHQVFKlW]XQJ�LP�.XUEHOZLQNHOEHUHLFK

Die bisher vorgestellten Ansätze zur Lastbestimmung verarbeiten als Meßgröße ausschließlichgefilterte Drucksignale. Diese Vorfilterung ist zur Unterdrückung der Pulsationen erforderlichund wird praktisch bei allen derzeitigen Motorsteuerungen angewendet. Der sich zwangsläufigdurch die Tiefpaßfilterung ergebende Phasenverzug muß dann in anderen Funktionen kompen-siert werden.Im folgenden wird ein neuer Weg beschritten, indem die Rohsignale des Drucksensors direktim Schätzalgorithmus verarbeitet werden. Die Vorverarbeitung entfällt, so daß das gesamteFrequenzspektrum des Drucksignales inklusive der Informationen der Druckpulsationen erhal-ten bleibt. Die dominanten Anteile der Druckpulsationen werden als deterministisches Störmo-dell in den Filtergleichungen berücksichtigt. Das Lastsignal kann somit ohne wesentlichen Pha-senverzug geschätzt werden. Durch eine kurbelwinkelsynchrone Abtastung kann das Verfahrensehr einfach realisiert werden, da die Pulsationsfrequenz im Störmodell unter dieser Bedingungkonstant ist.

�� 0RGHOOELOGXQJ�LP�.XUEHOZLQNHOEHUHLFK

Der folgende Abschnitt beschreibt die Modellierung eines numerisch unkritischen Sinusgene-rators zur Berücksichtigung der Pulsationen in den Systemgleichungen, sowie die Transforma-tion der nichtlinearen Modellgleichen aus Kap. 4.1 in den Kurbelwinkelbereich.

�� 0RGHOOLHUXQJ�GHU�3XOVDWLRQHQ�LQ�GHQ�6\VWHPJOHLFKXQJHQ

Eine einfache und verbreitete Form eines Sinusoszillators ist ein dynamisches System 2. Ord-nung an der Stabilitätsgrenze. Gleichung (5.68) beschreibt die Übertragungsfunktion.

) VV

( ) =+ω

ω2 2 (5.68)


��

Ein mit diesem Modell erweitertes Filtermodell nach Kap. 5.2 läßt sich jedoch in der Praxisnicht stabil halten, da die geringsten Fehler bei der numerischen Lösung durch das Integrati-onsverfahrens die Amplituden des Oszillators divergieren lassen. Diskretisiert man jedoch die-se lineare Gleichung im Abtastinterval der Integrationsschrittweite, so zeigt das System ein we-sentlich günstigeres Verhalten. Ausführliche Beiträge zu diesem Thema finden sich in [Lof]und [Arndt]. Um diese Problematik zu vereinfachen, erfolgt die Modellierung der Pulsationendirekt kurbelwinkeldiskret. Das Abtastinterval [ ]( ) ,N N+ ⋅1 ∆ϕ ∆ϕ ist somit drehzahlabhängig.

In Abb. 5.17 ist der Oszillator als rotierender Zeiger in der komplexen Ebene im Kurbelwin-kelbereich dargestellt.

Gleichung 5.69 stellt die komplexe Funktion des rotierenden Zeigers dar.

V N H

PLW

M N

S

S( )~

( ~ )== ⋅

⋅ ⋅ +α ϕ

α ω ϕ

0

∆

∆ϕ entspricht dem Abtastwinkel in Grad Kurbelwinkel. ωS definiert in diesem Zusammen-

hang die kurbelwinkelabhängige Pulsationskreisfrequenz. Sie kann sehr einfach mit Hilfe derzeitabhängigen Pulsationsfrequenz berechnet werden. Die Periodendauer einer Pulsation inGrad Kurbelwinkel beträgt:

ϕSXOV

SXOV ]I1

N= ⋅ =1 360

60

720

Die Pulsationskreisfrequenz beträgt schließlich:

ω πϕS

SXOV

= 2

Der Zeiger nimmt im nachfolgenden Abtastschritt den folgenden Wert an:

V N H H HM N M N MS S( ) ( ~( ) ) ( ~ ) ~+ = = ⋅⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅+ ⋅1 1 0 0α ϕ α ϕ α

~ϕ

M Im

Re ~ϕ

M Im

$EELOGXQJ�� 0RGHOOLHUXQJ�GHU�3XOVDWLRQHQ�DOV�URWLHUHQGHU��=HLJHU�LP�.XUEHOZLQNHOEHUHLFK

(5.69)

(5.70)

(5.71)

(5.72)


��

Der Zustandsübergang lautet dann:

V N H V NM( ) ( )~

+ = ⋅⋅1 α

Wie auf der rechten Seite von Abb. 5.17 dargestellt, soll der Cosinus, also der Realteil des Zu-standes s(k) abgebildet, bzw. die Pulsationen beschrieben werden.

{ }

[ ]Re ( ) ( ) cos( ~ )

( ) ( )*

V N V N N

V N V N

S= = ⋅ +

= +

1 0

12

α ϕ

Der Zustandsübergang für den Realteil lautet dann:

( )[ ]

( )( )

( )( )[ ]

V N H V N H V N

N M N M

N M N M

V N N

M M

S S

S S

S

1

0 0

0 0

1 0

11

2

1

2

( ) ( ) ( )

cos( ~ ) sin( ~ ) cos( ~) sin( ~)

cos( ~ ) sin( ~ ) cos( ~) sin( ~)

( ) cos( ~) sin( ~ ) sin( ~)

~ ~ *

*

+ = ⋅ + ⋅

=⋅ + + ⋅ + + +

+ ⋅ + + ⋅ + +

= ⋅ − ⋅ + ⋅

⋅ ⋅α α

α ϕ α ϕ α α

α ϕ α ϕ α α

α α ϕ α

Der rechte Teil des Ergebnisses von Gleichung (5.75) kann durch den Imaginärteil der komple-xen Funktion ersetzt werden. Die Berechnung erfolgt analog zum Realteil.

{ }

[ ]Im ( ) ( ) sin( ~ )

( ) ( )*

V N V N N

V N V N

S= = ⋅ +

= −

2 0

12

α ϕ

Der Zustandsübergang für den Imaginärteil lautet:

( )[ ]

( )( )( )( )[ ]

V N H V N H V N

N M N M

N M N M

V N N

M M

S S

S S

S

2

0 0

0 0

2 0

11

2

1

2

( ) ( ) ( )

cos( ~ ) sin( ~ ) cos( ~) sin( ~)

cos( ~ ) sin( ~ ) cos( ~) sin( ~)

( ) sin( ~) cos( ~ ) cos( ~)

~ ~ *

*

+ = ⋅ − ⋅

=⋅ + + ⋅ + + −

− ⋅ + + ⋅ + +

= ⋅ + ⋅ + ⋅

⋅ ⋅α α

α ϕ α ϕ α α

α ϕ α ϕ α α

α α ϕ α

Für die Systemdynamik ergibt sich dann die einfache Darstellung:

V NV N

V N

V N

V N( )

( )

( )

cos( ~) sin( ~)

sin( ~) cos( ~)

( )

( )+ =

++

=

−⋅

1

1

11

2

1

2

α αα α

(5.73)

(5.74)

(5.75)

(5.76)

(5.77)

(5.78)


��

Die Startwerte für die beiden Zustände betragen:

V S

S

( )cos( )

sin( )0

0

0

=

ϕϕ

Aufgrund der komplexen Modellierung des Oszillators kann ebenfalls sehr einfach der aktuellePhasenwinkel, sowie die Amplitude der Pulsationsschwingung berechnet werden.

ϕ3 NV NV N

( ) arctan( )

( )=

2

1

6 N V N V N3( ) ( ) ( )= +1

222

Diese Informationen können zur Kompensation der in Kap. 4.1.5 beschriebenen Einflüsse derPulsationen auf den Dischargekoeffizienten genutzt werden.

�� 'DV�*HVDPWPRGHOO

Ziel ist es, die stochastisch und deterministisch gestörten Signale des Saugrohrdrucksensorsdirekt im Filteralgorithmus zu verarbeiten, um einen möglichst glatten Verlauf des Saugrohr-drucks bei geringstem Phasenverzug zu erhalten. Das Modell des Kosinusoszillators aus Ab-schnitt 5.3.1.1 soll die deterministischen Störungen des Saugrohrdrucks beschreiben. Es ergibtsich somit ein mittlerer Saugrohrdruck mit einer harmonischen additiven Überlagerung. DieGleichungen des adaptiven Filters im Zeitbereich müssen zunächst in den Kurbelwinkelbereichtransformiert werden. Dies erfolgt nach den Regeln der Kurbelwinkeltransformation:

GGW

1*UDGV

ϕ = ⋅

6

GW1G=

⋅1

6ϕ

Die Motordrehzahl wird zur Vereinfachung zwischen zwei Abtastzeitpunkten konstant ange-nommen. Der Zustandsvektor wird um die beiden Zustände des Pulsationsmodells V1 und V2

erweitert. Es ergibt sich somit ein System fünfter Ordnung mit den Zuständen mittlerer Saug-rohrdruck, Saugrohrtemperatur, Befüllparameter, sowie dem Realteil und dem Imaginärteil derkomplexen Schwingungsgleichung .

[

S

7

V

V

V

/6

6=

ξ

1

2

(5.79)

(5.80)

(5.81)

(5.82)

(5.83)

(5.84)


��

Zur gleichzeitigen kurbelwinkelkontinuierlichen Darstellung von System und Störmodell mußdas diskrete Pulsationsmodell in den kontinuierlichen Bereich rücktransformiert werden. DieLogarithmusoperation in (5.85) entspricht dabei dem Logarithmus einer Matrix und nicht etwadem Logarithmus der Einzelelemente und kann z.B. mit Hilfe einer Reihenentwicklung durch-geführt werden.

′′

=

−⋅

′′

V

V

V

V1

2

1

2

1( )

( )ln

cos( ~) sin( ~)

sin( ~) cos( ~)

( )

( )

ϕϕ ϕ

α αα α

ϕϕ∆

Diese Rücktransformation macht aus Sicht der Praxis keinen Sinn, da die Vorteile der nume-risch günstigen Form wieder aufgegeben werden. Sie stellt jedoch eine Möglichkeit dar, dasGesamtsystem einheitlich zu beschreiben. Für die Systemgleichungen des zu implementieren-den Filtermodells kann die zeitdiskrete Form des Stömodells beibehalten werden, da die beidenModellteile nicht in ihren Systemgeichungen verkoppelt sind.Das kurbelwinkelkontinuierliche gesamte Gleichungssystem wird durch (5.86) beschrieben.Das Pulsationsmodell wurde bereits im Kurbelwinkelbereich entworfen, so daß die Transfor-mationsvorschrift (5.83) auf die entsprechenden Gleichungen nicht angewendet werden darf.

( ){ }

( ){ } ( )′′′′′

=

−⋅

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ −

⋅−

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ −

−

⋅−

− ⋅

S

7

V

V

1 9P F 7 P F 7 N $ 7 7

71 S 9

P F 7 P F 7 N $ 7 77 59

P P

1

6

/6

6

6

/'. S D /=\O S /6 6 6: /6

/6

6 6

/'. S D /=\O S /6 6 6: /6

/6

6

/'. /=\O

6

ξ

κ

κ

αξ

ϕ

ξ1

2

16

61

6

1

&~

&

&~

& &~

&

ln∆

cos( ~) sin( ~)

sin( ~) cos( ~)

( )

( )

*

*

*

*

*

α αα α

ϕϕ

ξ

−⋅

′′

+

V

V

*

Z

Z

Z

Z

Z

3

7

V

V

1

2

1

2

und &~

( ) ( ) ( ) ( , , )P $ F S5 7

S S/'. JHR '. ' '. 6 D

L D

V D= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⋅

⋅α α ξ ψ γ12

Der Vektor Z*( )ϕ enthält die fünf kurbelwinkelkontinuierlichen Komponenten des Prozeßrau-schens. Z

V1* ( )ϕ und Z

V2* ( )ϕ entsprechen den Anteilen für den Realteil und den Imaginärteil der

komplexen Funktion. Die Rauschprozesse werden wie alle übrigen weiß, gaußverteilt und vonallen anderen Zuständen unabhängig angenommen (Gl. (5.88) bis Gl. (5.91)). Die Ansteuerungerfolgt symmetrisch, also mit den gleichen Varianzen für Z

V1* ( )ϕ und Z

V2* ( )ϕ (5.92).

(5.85)

(5.86)

(5.87)


��

{ }( ZV1 0* ( )ϕ =

{ }( ZV2 0* ( )ϕ =

{ }( Z Z TV V V1 1 1 1 1* * *( ) ( ) ( )ϕ ϕ ϕ δ ϕ⋅ + = ⋅

{ }( Z Z TV V V2 2 1 2 1* * *( ) ( ) ( )ϕ ϕ ϕ δ ϕ⋅ + = ⋅

T T TV V V1 2* * *= =

Die stochastische Kontrollmatrix G wird auch für das erweiterte Modell als Einheitsmatrix de-finiert.

* Z W

Z

Z

Z

Z

Z

S

7

V

V

⋅ =

*

*

*

*

*

*

( ) ξ

1

2

Die Eingangsgrößen bleiben unverändert und entsprechen der Modellierung im Zeitbereich(4.41).In der Beobachtung wird das Thermodynamikmodell des Saugrohres mit dem Pulsationsmodellverkoppelt. Die Pulsationsamplitude ist vom Betriebspunkt des Motors abhängig und kann

nicht konstant angenommen werden. Die Ausgangsgröße des Beobachtungsmodells $ ( )3 W6P

setzt sich entsprechend aus dem mittleren Saugrohrdruck und einer, in der Amplitude vommittleren Saugrohrdruck abhängigen harmonischen Überlagerung zusammen:

] S S D S V YP S S( ) $ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= = + ⋅ ⋅ +1

Die Beobachtungsgleichung wird durch die Multiplikation der beiden Zustände S W6( ) und V W1( )

nichtlinear. Das Meßrauschen Y3 beschreibt den reinen stochastischen Anteil der Störungen

der Saugrohrdruckmeßwerte und wird analog zur Modellierung im Zeitbereich erwartungswert-frei und von allen anderen Größen unabhängig angenommen. Die Varianz des Meßrauschensder Rohsignale steigt mit dem mittleren Saugrohrdruck an, so daß R(t) nicht mehr zeitunabhän-gig dargestellt werden kann.

{ }( YS L( )ϕ = 0

{ }( Y Y 5 L MS L S L L( ) ( ) ( ) ( , )ϕ ϕ ϕ δ⋅ = ⋅

(5.88)

(5.89)

(5.90)

(5.91)

(5.92)

(5.93)

(5.94)

(5.95a)

(5.95b)


��

�� 'LH�)LOWHUVWUXNWXU

Die Umsetzung des Gesamtmodells in ein kontinuierlich/diskretes Extended Kalman-Filternach Kap. 3.1.3 führt zu einem nichtlinearen Filter 5. Ordnung mit skalarer, nichtlinearer Be-obachtung. Das Systemmodell setzt sich aus zwei kontinuierlichen, nichtlinearen Differential-gleichungen für den Saugrohrdruck und die Saugrohrtemperatur, sowie drei diskreten linearenDifferenzengleichungen für den Befüllparameter und den Real- bzw.. Imaginärteil der Oszilla-torfunktion zusammen. Der Lösungsalgorithmus mit dem Eulerverfahren für die Integration dernichtlinearen Anteile lautet:

S N

7 N

N

V N

V N

S S I S 7.

7 7 I 7 S.

$

V

V

6

/6

6

6 6 3 6 /6

/6 6 7 /6 6

6 ' 6

L

L

H H

L L L L

L L L L

L L

−

−

−

−

−+

+

+++++

=

= + ⋅

= + ⋅

= ⋅

=

−

+

+

+

( )

( )

( )

( )

( )

( , )

( , )

cos( ~ ) sin( ~ )

sin(

*

1

1

1

1

11

2 1 1

2 1

1

1

1

ξ

ϕ

ϕ

ξ ξ

α αξ

∆

∆∆

∆

~ ) cos( ~ )α αH H

L

LL

L .

V

V⋅

=

= −

1

20

1∆

mit:

( ){ }( )

I 7 S7

1 S

9P F 7 P F 7 N $ 7 7

7 5

9P P

7 /6 6

/6

6

6

/'. S D /=\O S /6 6 6: /6

/6

6

/'. /=\O

L L

L

L

L L

L

( , )

&~

&

&~

&

=⋅

−⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ −

−

− −

6

1κ

( ){ }I S 71 9

P F 7 P F 7 N $ 7 73 6 /6

6

/'. S D /=\O S /6 6 6: /6L L L L

( , ) &~

&=−⋅

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ −κ 1

6

Der Befüllungsparameter muß nun ,ausgehend von der kurbewinkelsynchronen, kontinuierli-chen Darstellung, in den kurbelwinkeldiskreten Bereich transformiert werden. Aufgrund derVerkopplung zwischen dem Befüllparameter und den beiden nichtlinearen Differentialglei-chungen muß die lokale Zustandsübergangsfunktion analog der Aufgabenstellung im Zeitbe-reich für das Integrationsinterval [ ]∆ ∆∆ ∆ϕ ϕ/ ( ), /. L . L+ 1 und nicht für das Abtastinterval

[ ]∆ ∆ϕ ϕ⋅ + ⋅( ), )N N1 berechnet werden.

ξ ϕ ϕ φ ϕ ϕ ξ ϕ ξ ϕξ

ϕ ϕξ

6 6

$ L.

L.

6L

.L.

L.

L.

L.

H L.

&

(( ) , ) (( ) , ) ( ) ( )* (( ) , )

+ = + ⋅ = ⋅+

1 11∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆

∆

∆ ∆

mit: $1

$& &ξ ξ* = 1

6

(5.96)

(5.98)

(5.97)

(5.99)

(5.100)


��

für den zeitinvarianten Fall, also für $&ξ* =const. gilt:

Φ ∆ϕ ∆ϕ∆ ∆

∆ϕ∆

ξ ξ

α

(( ) , ) *L.

L.

$ H'

1 .+ = =− ⋅

1 6

Die Startwerte innerhalb einer Abtastung lauten:

S L

7 L

L

V L

V L

S N

7 N

N

V N

V N

6

/6

6

6

/6

6

L

L

L

L

L

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

=

=

=

=

=

=

+

+

+

+

+

0

0

0

0

01

2

1

2

ξ ξ

Da die Systemgleichungen des Oszillators nicht mit den übrigen Gleichungen verkoppelt sind,(die Verkopplung erfolgt in der Beobachtung) würde eine Diskretisierung im Abtastinterval[ ]∆ ∆ϕ ϕ⋅ + ⋅( ), )N N1 den Algorithmus stark vereinfachen, da die lokale Zustandsübergangs-

funktion für beliebige Intervalle, welche der Shannonbedingung genügen, berechnet werdenkann. Leider werden jedoch die Zwischenergebnisse ebenfalls zur Integration der Prädiktions-fehlerkovarianzmatrix benötigt. Dort sind alle Gleichungen miteinander verkoppelt, so daß dieLösung der Systemgleichung ebenfalls im kleinsten Interval erfolgen muß.In [May] wird interessanterweise auch eine Version eines Extended Kalman-Filter vorgestellt,bei dem die Zustands- und die Prädiktionsfehlerdifferentialgleichung getrennt voneinander ge-löst werden. Die Genauigkeitseinbußen sind dabei stark von den Nichtlinearitäten des Modellsabhängig und in vielen Fällen gering. Im Falle knapp werdender Rechnerressourcen wird dieseVariante gerne einer Modellreduktion vorgezogen.Für diese Näherung kann dann die Berechnung des Oszillatormodells im Abtastinterval erfol-gen. Der Lösungsalgorithmus für das Gesamtmodell lautet:

S N

7 N

N

V N

V N

S S I S 7.

7 7 I 7 S.

$

6

/6

6

6 6 3 6 /6

/6 6 7 /6 6

6 ' 6

L

L .

L L L L

L L L L

L L

−

−

−

−

−=

= −

+

+

+

+

+

=

= + ⋅

= + ⋅

= ⋅

+

+

+

( )

( )

( )

( )

( )

( , )

( , )

cos( ~

*

1

1

1

1

11

2

0

1

1

1

1

ξ

ϕ

ϕ

ξ ξ

α

ξ

∆

∆∆

∆

∆

) sin( ~)

sin( ~) cos( ~)

( )

( )

−⋅

+

+

αα α

V N

V N1

2

Die Linearisierungsmatrix (F-Matrix), entspricht nun einer 5x5 Matrix (5.104). Sie ist nur teil-weise besetzt, da System- und Störmodell entkoppelt sind. Die Gleichungen (5.105) bis (5.112)entsprechen den Inhalten ihrer Elemente.

(5.101)

(5.102)

(5.103)


��

) W [ W W

) ) ) ) )

) ) ) ) )

) ) ) ) )

) ) ) ) )

) ) ) ) )

) ) )

) ) )

)

) )L

SS S7 S SV SV

7S 77 7 7V 7V

S 7 V V

V S V 7 V V V V V

V S V 7 V V V V V

SS S7 S

7S 77 7

V V V

( , $( / )) =

=

ξ

ξ

ξ ξ ξξ ξ ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

ξξ

1 2

1 2

1 2

1 1 1 1 1 1 2

2 2 2 2 1 2 2

1 1

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0 01 2

2 1 2 20 0 0

V

V V V V) )

)SS 1 9

PS

FS 7P

SFS 7SS

6

6 6

/'.

6D

/=\O

6/6=

′=

−⋅

−

∂∂

κ ∂∂

∂∂

1

6

&~ &

)S7 1 9

P

7FS7 P FS N $S7

6

6 6

/=\O

66 /=\O 6=

′=

−⋅

+ +

∂∂

κ ∂∂

1

6

&&

)S 3

1 9P

FS7S

6

6 6

/'.

6

Dξ

∂∂ ξ

κ ∂∂ ξ

=′

=−⋅

1

6

&~

Die partiellen Ableitungen der Luftmassenströme bleiben gegenüber dem adaptiven Ansatz imZeitbereich aus Kap. 5.2 unverändert. Die erweiterte Diffusionsmatrix Q enthält zusätzlich diestochastischen Steuerparameter σ

VW1

2 ( ) und σ22 ( )W .

(5.104)

(5.105)

(5.106)

(5.107)

( )[ ] ( ))77 1 S 9

P FS 7 P FS 7 N $ 7 77 59

P P

7S 9

P

7FS 7 P FS N $

7 59

P

7

77

/6

6 6 6

/'. D /=\O /6 6 6: /6

/6

6

/'. /=\O

/6

6 6

/=\O

6

/6 /=\O 6

/6

6

/=\O

6

=′

=−

− + − − −

+−

+ +

+

∂∂

κ

κ ∂∂

∂∂

1

6

1 2

1 2

&~

& &~

&

( ) &&

&

( )[ ]

( )

)7S 1

7

S 9P FS 7 P FS 7 N $ 7 7

7 5S 9

PS

P

S

7S 9

PS

FS 7P

SFS 7

7 5

S 9P P

7S

/6

6

/6

6 6

/'. D /=\O /6 6 6: /6

/6

6 6

/'.

6

/=\O

6

/6

6 6

/'.

6

D

/=\O

6

/6

/6

6 6

/'. /=\O

=′

=−

− + −

− −

−−

+ −

∂∂

κ ∂∂

∂∂

κ ∂∂

∂∂

1

6

1

1

2

2

2

2

&~

&&~ &

( ) &~ &

&~

&(5.108)

(5.109)

(5.110)6

/'.

66

/6

6

/6

6

6

6

/6

7

P95

S7

1S7S7

)ξ∂

∂ξ∂

∂ξ∂

∂ξ

~

61 2 &

−=′

=

(5.111)) )

) )V V V V

V V V V

1 1 1 2

2 1 2 1

1

=

−∆ϕ

α αα α

lncos( ~) sin( ~)

sin( ~) cos( ~)

)1

6

6

ξξ∂ ξ∂ ξ

α= ′ = −6

(5.112)


��

4 W

W

W

W

W

W

3

7

V

V

( )

( )

( )

( )

( )

( )

=

σσ

σσ

σ

ξ

2

2

2

12

22

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

Die kombinierte Lösung von Zustands- und Prädiktionsfehlerdifferentialgleichung im time-update mit Euler als Integrationsverfahrren lautet:

S N

7 N

N

V N

V N

3 N

S S I S 7.

7 7 I 7 3.

$

V

V

6

/6

6

6 6 3 6 /6

/6 6 7 /6 6

6 ' 6

L

L

L L L L

L L L L

L L

−

−

−

−

−

−

+

+

+

+

+

+

+

+

=

= + ⋅

= + ⋅

= ⋅

=

+

+

+

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( , )

( , )

*

1

1

1

1

1

1

1

2

1 1

2 1

1

1

1ξ

ϕ

ϕ

ξ ξξ

∆

∆∆

∆

cos( ~ ) sin( ~ )

sin( ~ ) cos( ~ )

( , )

α αα α

ϕ

H H

H H

L

L

PQ PQ PQ PQP

Q

P

Q

L

L .

V

V

3 3 I 3 ).L L L L

−⋅

= + ⋅

+ ==

==

=

= −

1

2

11

22

0

1

1

∆

∆

∆

Im Gegensatz zu den bisher dargestellten Filtervarianten enthält die Beobachtungsgleichungeine Nichtlinearität. Für das measurement update werden für diesen Fall die linearisierten Be-obachtungsgleichungen benötigt:

( ) ( )+ [ + [ N NK [ N

[L L

[ [ N

$ ( ), $ ( ),( , )

$ ( )

−+ +

−

= +

= + + =+

−

ϕ ϕ ∂∂1 1

1

1 11

Die partiellen Ableitungen nach den Zuständen lauten:

( )+ [ N N

K [ NS

K [ NV

D V N

D S N

6 S S N

V V N

7

S

S 6

7

V 6

$ ( ),

( , )

( , )

( )

( )

$ ( )

$ ( )

−

= +

= +

+ + =

+

+

=

+ ⋅ +

⋅ +

−

−

1 1

1

0

0

1

0

1 1

0

0

1

0

1

1 1

1

1 1

∂∂

∂∂

Mit diesem linearisierten Beobachtungsvektor lautet dann das Residuum:

U N ] N + N [ N S N S N6 6( ) ( ) ( ) $ ( ) ( ) $ ( )+ = + − + ⋅ + = + − +−1 1 1 1 1 1

(5.114)

(5.115)

(5.116)

(5.117)

(5.113)


��

Die Berechnung der Kalman-Gains, der aktualisierten Zustände,sowie der Schätzfehlerkovari-anzmatrix erfolgt nach den Gleichungen von Abbildung 3.9. Das Meßrauschen wird jedochnicht konstant angenommen.Abb. 5.18 zeigt eine Graphik der Struktur des Verfahrens. Die Blockstruktur zeigt im Wesent-lichen das Filtermodell. Diese Form der Darstellung ist zur Beschreibung rekursiver Filter-stukturen weniger geeignet, jedoch zur Beschreibung konventioneller Motorsteuerungsfunktio-nen stark verbreitet. Signalflüsse, Verknüpfungen und Verkopplungen können relativ über-sichtlich dargestellt werden, sofern die Modelle nicht zu komplex werden. In den ModellteilenSaugrohrdruck, Saugrohrtemperatur, Drosselklappe und Oszillator sind die 5 Differentialglei-chungen enthalten. Die Beobachtungsgleichung ist in dem Block Pulsationen integriert.Der rekursive Algorithmus des Extended Kalman-Filters erfolgt bis auf die Prädiktion und dieAktualisierung der Zustände im Block Kalman-Gains.Die Modellteile mit den Systemdifferentialgleichungen sind mit Pfeilen hinterlegt. Sie sollendie Modellkorrektur durch die entsprechend verbundenen Kalman-Gains symbolisieren.

$76

$S6

′S6

&~P/'.

&P/=\O

$V1

$76

α'.

7D

SD

SD

1 17:

.1 .4 5, .3

.2

$S6P

S6P

U3

Saugrohrdruck

Saugrohrtemperatur

Drossel-klappe

1

Oszillator Pulsationen

$[−

5

4

Motor(Zylinder)

KalmanGains

$S6

$EELOGXQJ�� 6WUXNWXU� GHV� DGDSWLYHQ�� NXUEHOZLQNHOV\QFKURQHQ� /DVWVFKlW]YHU�IDKUHQV


��

�� 3DUDPHWULHUXQJ�GHV�6W|UPRGHOOV

Intergriert man die Pulsationen und die stochastischen Störungen der Druckmeßwerte zu einemStörmodell, so ergibt sich die in Abb. 5.19 dargestellte Struktur. Das Störmodell kann wie-derum in einen deterministischen (Gleichungen des komplexen Oszillators) und einen sto-chastischen Anteil (Komponenten des Meß- und Prozeßrauschens) aufgeteilt werden.Die Amplituden der Druckpulsationen sind ebenso wie die Varianz des Meßrauschens vomBetriebspunkt des Motors abhängig. Die Parametrierung des deterministischen Anteils erfolgtdurch die Anwendung konventioneller Methoden im Freqenzbereich. In den betreffenden sta-tionären Betriebspunkten werden möglichst lange Zeitreihen (korrekterweise Kurbelwinkelrei-hen) aufgezeichnet und anschließend in den Frequenzbereich transformiert.

Die sich ergebenden Frequenzspektren wurden bereits in Kap. 4 diskutiert. Bei den 36 analy-sierten Zeitreihen entsprechen alle dominierenden Schwingungsanteile konstant der doppeltenMotordrehzahl für einen Vierzylindermotor. Damit ist die Oszillatorfrequenz festgelegt:

I1 N

SXOV]= ⋅

60 2

Die Amplitudenbeträge der übrigen Frequenzanteile sind in allen Betriebspunkten um etwaeine Größenordnung geringer als die Hauptschwingung.

3DUDPHWULHUXQJ�GHV�6W|UPRGHOOV

$QDO\VH�LP�)UHTXHQ]EHUHLFK�)UHTXHQ]��$PSOLWXGH�

VWRFKDVWLVFKH�$QDO\VH��YRP�GRPLQLHUHQGHQ�(IIHNW

EHIUHLWHU�0H�VLJQDOH

GHWHUPLQLVWLVFK VWRFKDVWLVFK

gemessene Saugrohrdruckverläufe

.RYDULDQ]HQ�

3UR]H�UDXVFKHQ�4

0H�UDXVFKHQ�5

V N

V N

V N

V N1

2

1

2

1

1

( )

( )

cos( ~) sin( ~)

sin( ~) cos( ~)

( )

( )

++

=

−⋅

α αα α

$ ( ) $ ( ) ( ( ))S N S N D V N6P 6 3

− − −+ = + ⋅ + ⋅ +1 1 1 11

$EELOGXQJ�� 3DUDPHWULHUXQJ�GHV� GHWHUPLQLVWLVFKHQ� XQGVWRFKDVWLVFKHQ�$QWHLOV�GHV�6W|UPRGHOOV

(5.118)


��

Zur Parametrierung derPulsationsamplitude muß der Koeffizient D3 in der Beobachtungsglei-

chung (5.94) bestimmt werden. Er definiert den relativen Anteil der Pulsationsamplitude, bezo-gen auf den mittleren Saugrohrdruck.Abb. 5.20 stellt die relativen Amplituden bei unterschiedlichen Drehzahlen dar. Der Koef-fizent zeigt eine zusätzliche Drehzahlabhängigkeit, die besonders bei hohen Saugrohrdrückenausgeprägt ist. Die Vollastbeschleunigungskurve in Abb. 2.4 bestätigt die Abhängigkeit. Da diemaximale Drehzahländerung jedoch wesentlich geringer als die maximale Druckänderung ist,wird die Drehzahlabhängigkeit hier vernachlässigt und ein mittlerer Wert von 0.03 für denKoeffizienten D

3 angenommen. Prinzipiell korrigiert das Filter auch Abweichungen der Pulsa-

tionsamplituden.

Die Dynamik dieser Korrektur muß jedoch aus Stabilitätsgründen schwach eingestellt werden,sodaß sie keinen hochinstationärenVorgängen (z.B. einem starken positiven Lastprung), wohlaber Drehzahländerungen folgen kann.Die Bestimmung des stochastischen Anteils der Drucksignale erfolgt ebenfalls im Frequenzbe-reich. Die transformierten Kurbelwinkelreihen werden mit Hilfe einer idealen Bandsperre vonihren dominierenden harmonischen Anteilen befreit (Ausblenden der entsprechenden Spek-tralanteile) und anschließend in den Kurbelwinkelbereich zurücktransformiert. Abb. 5.21 zeigteine gefilterte Kurbelwinkelreihe. Die resultierenden Rauschprozesse werden im folgenden alsunkorreliert und gaußförmig betrachtet, obwohl die höheren harmonischen Frequenzanteile derPulsationen noch enthalten sind.

400200 800600 1000

n=3500 U/minn=3000 U/minn=2500 U/minn=2000 U/min

n=1000 U/minn=1500 U/min

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Rel

ativ

e A

mpl

itude

ps_mittel [hPa]

$EELOGXQJ�� 5HODWLYH� $PSOLWXGHQ� GHU� +DXSWVFKZLQJXQJ� GHU3XOVDWLRQHQ


��

Die Näherung muß an dieser Stelle vertreten werden, da eine Berücksichtigung der höherenHarmonischen im Oszillatormodell die Modellordnung unzulässig in die Höhe treibt und prak-tisch nicht realisierbar erscheint.Die Bestimmung der betriebspunktabhängigen Varianzen der Meßstörung erfolgt mit Hilfe vonGleichung (5.119).

( )σ3 6 6

L

1

1S S

L

= −=∑1 2

1

( )

Bei allen 36 analysierten Kurbelwinkelreihen ist eine deutliche Abhängigkeit der Varianz desMeßrauschens vom mittleren Saugrohrdruck erkennbar. Analog zu den Eigenschaften derPulsationsamplituden steigt das Rauschen mit dem Saugrohrdruck an.In Abb. 5.22 wurden für jede Drehzahl eine Regressionsgerade (nach (5.120)) für den Varianz-verlauf berechnet.

P PU U

L

L

==∑��

�

�

Als Bestimmungsgleichung für die Varianz des Meßrauschens ergibt sich schließlich:

\ D P [ PEDU PEDU SU U U 6PLWWHO PLWWHO

= + ⋅ = − + ⋅1 69687 0 0245652, ,

(5.119)

(5.120)

(5.121)

6040200

p_S

[h

Pa]

Arbeitsspiele

1008060 120

ideal gefiltertOriginal

840

860

880

900

920

$EELOGXQJ�� 6DXJURKUGUXFN� PLW� XQG� RKQH� GRPLQLHUHQGHU� KDU�PRQLVFKHU�hEHUODJHUXQJ


��

�� (UJHEQLVVH�PLW�5HDOGDWHQ

Die folgenden Diagramme basieren auf Testdaten, welche während einer Versuchsfahrt aufge-zeichnet wurden. Abbildung 5.23 zeigt den gemessenen Saugrohrdruck, den prädizierten Saug-rohrdruck und den mittleren Saugrohrdruck während des Einschwingvorgangs. Da zur Model-lierung der Pulsationen nur die Grundschwingung berücksichtigt wurde, können sich die übri-gen Pulsationsanteile im mittleren Saugrohrdruck leicht auswirken (leicht gestörter Verlauf).Die Zustände des Lastschätzverfahrens, der Saugrohrdruck, die Saugrohrtemperatur, der Adap-tionsparameter für die Drosselklappe und die beiden Zustände der Cosinusschwingung sindgemeinsam mit dem Residuum während der Einschwingphase in Abb. 5.24 dargestellt. DerSaugrohrdruck entspricht dem mittleren Saugrohrdruck aus Abb. 5.23 . Die Saugrohrtempera-tur steigt auch nach dem Einschwingvorgang leicht an. Die Ursache liegt im Wärmeübergangan der Saugrohrwand bei niedriger Last, bzw. negativem Lastsprung. Der Adaptionsparametererreicht nach etwa 40 Abtastpunkten einen quasi-stationären Zustand. Die beiden Zustände derCosinusschwingung sind ebenfalls innerhalb eines Arbeitsspieles bezüglich Phase und Ampli-tude eingeschwungen. Der Betrag des Residuums bewegt sich nach dem Einschwingvorgangunterhalb von 10 hPa. Dies beträgt etwa 1% bezogen auf die Vollast.In Abbildung 5.25 sind die Kalman-Gains dargestellt. Im Verlauf von K1 (die Verstärkung desSaugrohrdrucks) ist eine leichte harmonische Überlagerung zu erkennen. Dies bedeutet einedirekte Kompensation der Pulsationen durch eine Saugrohrdruckkorrektur. Aufgrund einer um180 Grad verschobenen, äquivalenten Überlagerung von K3 entstehen keine negativen Auswir-kungen im Schätzergebnis (harmonische Überlagerungen im mittleren Saugrohrdruck oder derSaugrohrtemperatur).

400200 800600 1000

mittlere Reg.geraden=3500 U/minn=3000 U/minn=2500 U/minn=2000 U/min

n=1000 U/minn=1500 U/min

0

10

20

30

40

50

Var

ianz

[hP

a^2]

Ps_mittel [hPa]

$EELOGXQJ��'LH�9DULDQ]�GHV�0H�UDXVFKHQV


��

A r b e it s s p ie le0.5 1 1.5 20 2.5

ps [h

Pa]

320

330

310

340ps_mess [hPa]ps_prae [hPa]

ps_filt [hPa]

$EELOGXQJ�� 'UXFNVFKlW]ZHUWH� GHV� .DOPDQ�)LOWHUV� ZlKUHQGGHV�(LQVFKZLQJYRUJDQJV

ps_f

ilt[h

Pa] 322

318

326

Ts_

filt

[°C

]

12

10

14

ksi

-4e-007

0

s1 0

1

-1

s2 0

-1

1

0.5 1 1.5 20 2.5

res

[hP

a]

010

-10

20

Arbeitsspiel

$EELOGXQJ�� =XVWlQGH�XQG�5HVLGXXP�GHV�.DOPDQ�)LOWHUV�ZlKUHQG�GHV(LQ�VFKZLQJYRUJDQJV


��

Die Wirkungsweise des Verfahrens bei extremer, instationärer Betriebsweise wird mit Hilfevon Abbildung 5.26 verdeutlicht. Der mittlere Saugrohrdruck folgt ohne Phasenverzug exaktden Druckmeßwerten. Die Zustände des Kalman-Filters, sowie das Residuum sind in Abbil-dung 5.27 dargestellt. Die Saugrohrdruckschwankungen verursachen in der Saugrohrtemperaturebenfalls starke Änderungen. Der Adaptionsparameter psi zur Anpassung des Dischargekoeffi-zienten zeigt im Bereich des ersten Lastsprungs einen unruhigen Verlauf. Dieses Verhalten istjedoch erforderlich, um den sich schnell ändernden Strömungsquerschnitt der Drosselklappeanpassen zu können. Die Amplituden des Residuums erreichen maximal 40 hPa. Dieser Maxi-malwert tritt insbesondere in den Resonanzpunkten des Saugrohres auf. In diesen Be-triebspunkten haben auch die höheren Harmonischen der Pulsationen relativ große Amplituden.Die Kalman-Gains sind in Abbildung 5.28 dargestellt. Die Ursache für die leichte Abstufungvon K1 im Bereich des positiven Lastsprungs ist in der Drehzahlmessung begründet. Bei derVerwendeten Datenerfassung im Fahrzeug wird die mittlere Motordrehzahl einmal pro Arbeits-spiel an den Algorithmus weitergegeben.Abbildung 5.29 zeigt den positiven und den darauffolgenden negativen Lastsprung in höhererAuflösung. In dieser Abbildung ist die Phasentreue der Pulsationsmodellierung, sowie die hoheDynamik des mittleren Saugrohrdrucks sehr gut zu erkennen. Die dazugehörigen Zustände desKalman-Filters, sowie das Residuum zeigt Abbildung 5.30.

K1

0.0036

0.00320.0034

K2

1e-009

0

2e-009

K3 -1e-011

-2e-011

0

K4

1e-004

0

2e-004

Arbeitsspiel0.5 1 1.5 20 2.5

K5

-4e-005-2e-005

-6e-005

0

$EELOGXQJ�� 'LH� *DLQV� GHV� .DOPDQ�)LOWHUV� ZlKUHQG� GHV� (LQVFKZLQJYRU�JDQJV


��

Arbeitsspiel10 20 30 400 50

ps [h

Pa]

400

500

600

700

800

300

900

ps_mess [hPa]ps_prae [hPa]ps_filt [hPa]

$EELOGXQJ�� 'UXFNVFKlW]ZHUWH�GHV�.DOPDQ�)LOWHUV

ps_f

ilt [h

Pa]

500

700

300

900

Ts_

filt

[°C

]

0204060

ksi

01e-0072e-007

-1e-007

3e-007

s1 0

-1

1

s2 0

-1

1

Arbeitsspiele10 20 30 400 50

res

[h

Pa

]

-200

2040

$EELOGXQJ�� =XVWlQGH�XQG�5HVLGXXP��GHV�.DOPDQ�)LOWHUV


��

K1

0.10.14

0.06

0.18K

2

1e-0082e-0083e-008

0

4e-008

K3 -1e-011

-2e-011

0

K4

4.5e-0055.5e-005

3.5e-005

6.5e-005

Arbeitsspiele10 20 30 400 50

K5

-5e-006

-3e-006

-1e-006

$EELOGXQJ�� 'LH�.DOPDQ�*DLQV�GHV�/DVWVFKlW]YHUIDKUHQV

Arbeitsspiel

2 4 6 8 100 12

ps [h

Pa]

400

500

600

700

800

300

900ps_mess [hPa]ps_prae [hPa]

ps_filt [hPa]

$EELOGXQJ�� 'UXFNVFKlW]ZHUWH� GHV� .DOPDQ�)LOWHUV� ZlKUHQGHLQHV�/DVWVSUXQJV


��

Arbeitsspiel

2 4 6 8 100 12

ps_f

ilt [h

Pa]

500

700

300

900

Ts_

filt

[°C

]0

204060

ksi

01e-0072e-007

-1e-007

3e-007

s1 0

-1

1

s2 0

-1

1

res

[h

Pa

]

-200

2040

$EELOGXQJ�� 'LH�=XVWlQGH�GHV�.DOPDQ�)LOWHUV�ZlKUHQG�HLQHV/DVWVSUXQJV�

Totzeitkompensation im Luftpfad

��

� 7RW]HLWNRPSHQVDWLRQ�LP�/XIWSIDG

Das folgende Kapitel beschreibt ein Verfahren zur Kompensation der in Kap. 2 beschriebenenTotzeit zwischen dem Berechnungszeitpunkt der zylinderindividuellen Einspritzung und demSchließzeitpunkt des dazugehörigen Einlaßventils (letzter möglicher Zeitpunkt für eine Lastän-derung). Diese Prädiktion erfolgt bei konventioneller Technik entweder über einen additivenLuftmassenanteil in Abhängigkeit der Drosselklappenwinkeländerung, oder mit Hilfe einer (li-nearen) Extrapolation des Lastverlaufes. Im Gegensatz zu diesen Verfahren erfolgt die Prädik-tion im folgenden konsequent modellbasiert. Die Drosselklappenbewegung als wesentlicheStörgröße und Ursache für eine schnelle Laständerung wird stochastisch analysiert und als far-biger Rauschprozeß modelliert. Mit Hilfe dieser Modellgleichungen wird ein lineares Kalman-Filter zur Prädiktion des geometrischen Strömungsquerschnittes entworfen, dessen Schätzwertedie prädizierten Eingangsgrößen des in Kap. 5 vorgestellten Lasterfassungsverfahrens darstel-len. Durch eine Anpassung des Prädiktionshorizontes an die Ventilsteuerzeiten unter Berück-sichtigung der Vorlagerungswinkel kann eine zylinderindividuelle, korrigierte Lastprädiktionrealisiert werden.

�� /|VXQJVDQVDW]� �� ]\OLQGHULQGLYLGXHOOH�� NRUULJLHUWH� /DVW�SUlGLNWLRQ

Zur Vermeidung der beschriebenen Gemischfehler muß die Totzeit durch ein geeignetesLastprädiktionsverfahren kompensiert werden. Die in den Motor gelangende Luftmasse hängtjedoch im Wesentlichen mit dem Öffnungswinkel der Drosselklappe und der Drehzahl zusam-men. Die Auswirkung einer Änderung der Drehzahl auf den Saugrohrdruck während eines Ar-beitsspiels ist vergleichsweise klein gegenüber der Auswirkung einer Änderung des Drossel-klappenwinkels. Die Drehzahl wird aus diesem Grund für den zu betrachtenden Prädiktions-zeitraum als konstant angenommen. Die Lastprädiktion teilt sich also auf in eine Prädiktion derDrosselklappenbewegung und eine anschließende Berechnung der Luftmasse bzw. des Saug-rohrdruckes und der Saugrohrtemperatur.Erfolgt die Lastberechnung jeweils kurz nach dem Schließzeitpunkt des Einlaßventils, so be-trägt der Prädiktionshorizont 720° KW. In ungünstigen Betriebspunkten, bei niedrigen Dreh-zahlen (große Totzeit) und starken Laständerungen (hohe Saugrohrdynamik) werden sich auf-grund des großen Prädiktionshorizontes trotz Lastprädiktion instationäre Gemischfehler nichtvermeiden lassen.Als Ausweg bietet sich eine asynchrone Aktualisierung der Einspritzvorgänge an:Der Einspritzvorgang erfolgt motorsynchron, d.h., er wird mit einem bestimmten Einspritzbe-ginnwinkel (Einspritzzeit + Vorlagerungszeit) gestartet. Die Einspritzdauer wird aus den vor-ausberechneten Zylinderluftmassen bestimmt und ist zeitsynchron (in ms) definiert. Im Motor-steuergerät wird diese Teilfunktion durch das Laden der für die Ansteuerung der Einspritzent-stufen zuständigen Timer realisiert. Die Timer werden dann motorsynchron am Einspritz-beginnwinkel gestartet. Wenn jedoch nach dem Laden eines Timers aufgrund aktuellerer Last-schätzwerte auch genauere Prädiktionswerte berechnet werden können, so kann die Gemisch-bildung wesentlich verbessert werden, sofern eine möglichst späte Aktualisierung der beste-henden Timerstände (idealerweise bis zum Schließzeitpunkt des Einlaßventils) möglich ist.


��

Eine laufende Einspritzung muß also abgebrochen oder auch verlängert werden können.Abb. 6.1 soll das Verfahren verdeutlichen.

Zur Vereinfachung wird bei dieser Abbildung pro Segment nur eine Lastberechnung ange-nommen. Betrachtet man Zylinder 1, so erfolgt die Berechnung der Einspritzzeit für das fol-gende Arbeitsspiel etwa 180° KW vor ZOT. Je nach Lastzustand und Drehzahl startet die Ein-spritzung zwischen -160° KW und 300° KW und endet je nach Applikation bei max. 360°. DieBerechnung der Einspritzzeit für den dritten Zylinder erfolgt exakt 180° KW später. In diesemBerechnungsschritt wird mit Hilfe der neuen Last- und Steuergrößeninformation die Prädiktionfür den ersten Zylinder erneut berechnet und der entsprechende Timer aktualisiert. Da die Prä-diktion der Zylinderluftmassen aufgrund der Nichtlinearitäten der Saugrohrdynamik in mehre-ren Schritten erfolgen muß, kann durch eine entsprechende Wahl der Schrittweite ein zusätzli-cher Rechenaufwand vermieden werden. Im Berechnungsschritt für den ersten Zylinder müssenlediglich die Zwischenergebnisse 0° KW, 180° KW und 360° KW extrahiert werden, um dieübrigen zu aktualisieren. Die dritte Korrektur ist nur in seltenen Fällen möglich und verursachtbei einer Lasterhöhung immer eine Einspritzung ins offene Einlaßventil.

�� 3UlGLNWLRQ�GHV�gIIQXQJVTXHUVFKQLWWHV

Der folgende Abschnitt beschreibt die Prädiktion des geometrischen Öffnungsquerschnittes derDrosselklappe mit Hilfe eines linearen Kalman-Filters. Die lineare Eigenschaft des Filters er-möglicht die Berechnung von Prädiktionswerten mit theoretisch beliebigen Prädiktionshori-zonten in einem Abtastschritt, sowie die Anwendung klassischer Methoden zum Nachweis derStabilität. Das Verfahren wird aufgrund einer einfacheren Integrierbarkeit mit dem Lasterfas-sungsverfahren aus Kap. 5 kurbelwinkelsynchron entworfen.

�� (LQ�0RGHOO�GHU�'URVVHONODSSHQG\QDPLN

Die Bewegung der Drosselklappe kann nach Transformation in den Kurbelwinkelbereich durchfolgendes System von Differentialgleichungen beschrieben werden:

[$

G$JHR

JHR

( )( )

( )ϕ

ϕϕ=

Zyl. 1

Zyl. 2

Zyl. 3

Zyl. 4

Lastprädiktion

1. Korrektur

2. Korrektur3. Korrektur Einlass offen

0-180-360 360180 540 720 900k k+1 k+2 k+3 k+4 k+5 k+6

Kurbelwinkel [Grad]

Segment

Einlass offen

Einlass offen

Einlass offen

Einlass offen

Einlass offen

Einlass offen

$EELOGXQJ�� =\OLQGHULQGLYLGXHOOH��NRUULJLHUWH�/DVWSUlGLNWLRQ

(6.1)


��

( ) ( )′ =⋅

⋅$1

G$JHR JHR

ϕ ϕ16

( ) ( ) ( )G$1

G$ ZJHR JHR′ = −

⋅⋅ +ϕ β ϕ ϕ

6*

Der Zustandsvektor ( )x ϕ enthält den geometrischen Strömungsquerschnitt, sowie dessen Än-

derungsgeschwindigkeit. Diese wird als eine negativ autokorrelierte Größe dargestellt, d.h. dasSystem wird durch farbiges Rauschen getrieben. Der Korrelationsparameter β ist ein freierModellierungsparameter und kann so gewählt werden, daß das charakteristische Geschwindig-keitsprofil der Drosselklappe möglichst gut beschrieben wird. Da als Ausgangsgröße nur dergeometrische Strömungsquerschnitt von Interesse ist, erhält die Meßgleichung die Form:

( ) ( )\ $ YJHR

( )ϕ ϕ ϕ= +

Die Größen ( )Z* ϕ und ( )Y ϕ stellen das kurbelwinkelkontinuierliche Prozeßrauschen und das

Meßrauschen dar. Sie beschreiben die Zufallsvariablen zweier voneinander unabhängiger,gaußverteilter, weißer Prozesse. Für dieses weiße Rauschen gilt:

( ){ }( Z* ϕ = 0

( ){ }( YL

ϕ = 0

( ) ( ){ } ( )( Z Z T* * *ϕ ϕ ϕ δ ϕ⋅ + = ⋅1 1

( ) ( ){ } ( )( Y Y U L ML M

ϕ ϕ δ⋅ = ⋅ ,

Das Zustandsraummodell erhält dann die Form:

( ) ( ) ( )[ ) [ * Z′ = ⋅ + ⋅ϕ ϕ ϕ*

mit

)1

=⋅ −1

6

0 1

0 βund * =

0

1

( ) ( )\ & [ YL L L

= ⋅ +ϕ ϕ

mit

&7

=

1

0

Die Modellierung des geometrischen Strömungsquerschnitts der Drosselklappe als stochasti-sches, aber zeitlich korreliertes Signal, soll einerseits die zufälligen Bewegungen des Gaspeda-les (Absicht des Fahrers zu beschleunigen oder zu verzögern), aber auch die deterministischenZusammenhänge beschreiben. Die Schließgeschwindigkeit der Drosselklappe hängt beispiels-

(6.2)

(6.3)

(6.4)

(6.5)

(6.6)

(6.7)

(6.8)

(6.9)

(6.10)

(6.11)

(6.12)


��

weise bei schnellen negativen Laständerungen (z.B. schnelle Schaltvorgänge) bei einer mecha-nischen Ausführung ausschließlich von der Kraft der Rückstellfeder und der Dämpfung ab. Be-stimmte, typische Fahrsituationen (Anfahren, Schalten, Überhohlen) entsprechen charakteristi-schen Drosselklappenbewegungen, die jedoch stark vom Fahrertyp (defensiv, sportlich, hek-tisch) abhängen. Eine wesentliche Aufgabe besteht in der Wahl des Korrelationsparameters, derfür möglichst viele Fahrsituationen repräsentieren soll. Die allgemeine Lösung für den Zustand[2 lautet in der Schreibweise mit weißem Rauschen als Eingangsgröße:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ H [ H Z G1 1

26

2 060 0

0

ϕ ϕ ϑ ϑβ ϕ ϕ β ϕ ϕ

ϕ

ϕ

= ⋅ + ⋅ ⋅− ⋅ − − ⋅ −

∫ *

Die Drosselklappengeschwindigkeit zu einem beliebigen Kurbelwinkel ϕ setzt sich also auseinem vergangenen Geschwindigkeitswert und einer unbekannten, stochastischen Änderungzusammen. Der Korrelationsparameter β beschreibt somit das ”Gedächtnis” des Systems undmuß anhand von Meßdaten verifiziert werden.

�� (QWZXUI�GHV�)LOWHUV

Da bei der Modellierung der Drosselklappenbewegung von einer kurbelwinkelkontinuierlichenDarstellung ausgegangen wird, wird zunächst ein kurbelwinkeldiskretes Äquivalent ermittelt.Um dies berechnen zu können, muß die globale Übergangsfunktion ( )Φ ϕ bestimmt werden.

Diese kann mit Hilfe der Laplace-Transformation nach folgender Regel berechnet werden:

( ) [ ]{ }Φ ϕ = ⋅ −− −/ V , )1 1

Durch Einsetzen von (6.10) in (6.14) ergibt sich für die zu invertierende Matrix [ ]V , )⋅ − −1:

[ ]V , )V

1

V1

V V1

V1 1

V

V1

V V1

V1

⋅ − =−

⋅+

⋅

=⋅ +

⋅

⋅ +⋅ ⋅

=

⋅

⋅ +⋅

+⋅

−

−

1

11

6

06

1

6

6

1

60

11

6

6

01

6

β β

β

β

β

Die Rücktransformation von Gleichung (6.15) unter Verwendung der Rechenregeln derLaplace-Transformation ergibt dann schließlich die Transitionsmatrix ( )Φ ϕ :

(6.13)

(6.14)

(6.15)


��

( )Φ ϕ β

β ϕ

β ϕ

=⋅ −

−⋅

⋅

−⋅

⋅

11

1

0

6

6

H

H

1

1

Die Zustandsübergangsmatrix der äquivalenten, kurbelwinkeldiskreten Zustandsraumdarstel-lung lautet:

( )Φ ∆ϕ

∆ϕ

∆ϕ

=⋅ −

−⋅

⋅

−⋅

⋅

11

1

0

6

6

β

β

β

H

H

1

1

Die kurbelwinkeldiskrete, äquivalente Zustandsraumdarstellung der Drosselklappenbewegungkann mit Gleichung (6.18) beschrieben werden.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

[ N [ N * Z G

$ [ N Z N

N

G

N

N

+ = ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ +

+

+

∫1 1

1

Φ ∆ Φϕ ϕ ϑ ϑ ϑϕ

ϕ*

Der Rauschprozeß ( )Z NG

entsteht durch eine lineare Operation aus dem kurbelwinkelkonti-

nuierlichen weißen Rauschprozeß und ist somit auch ein Gaußprozeß. Deshalb genügt es, dieersten beiden Momente zu betrachten, um ihn zu charakterisieren.

( ){ } ( ) ( ){ }( Z N * ( Z GG

N

N

= − ⋅ ⋅ ⋅ =+

+

∫ Φ ϕ ϑ ϑ ϑϕ

ϕ

1

1

0*

( ) ( ){ } ( ) ( )( Z N Z N * T N * GG G

7

N

7

N

7

N

N

⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅+ +

+

∫ Φ Φϕ ϑ ϕ ϑ ϑϕ

ϕ

1 1

1

* ( )

Die Herleitung von (6.19) und (6.20) sind in [Lof-1] ausführlich dargestellt. Da jedoch die In-tegrationsschrittweite von Gl. (6.20) von der Drehzahl abhängt, muß auch die Diffusion T N* ( )des Prozeßrauschens drehzahlabhängig und damit zeitvariant angenommen werden.Die Diffusion T eines Brown’schen Prozesses β ( , )⋅ ⋅ kann formal durch die Integration einesgaußverteilten, weißen Rauschprozesses gebildet werden. Die Parameter dieses Rauschprozes-ses lauten in kontinuierlicher Zeit (Lof-1):

{ } { }( Z W Z W ( Z W Z W T W W( , ) ( , ) ( ) ( ) ( )⋅ ⋅ ′ ⋅ = ⋅ ′ = ⋅ − ′δ

Die Transformation in den Kurbelwinkelbereich ergibt:

{ } { } ( )

( ) ( )( ) ( )

( Z Z ( Z Z T

T 1 W W1

T W W

PLW 1 W W

( , ) ( , ) ( ) ( )

( )

ϕ ϕ ϕ ϕ δ ϕ ϕ

δ δ

ϕ ϕ

⋅ ⋅ ′ ⋅ = ⋅ ′ = ⋅ − ′

= ⋅ − ′ = ⋅ ⋅ − ′

− ′ = ⋅ − ′

61

66

(6.16)

(6.17)

(6.18)

(6.19)

(6.20)

(6.20a)

(6.20b)


��

Damit lautet die Beziehung zwischen zeitsynchroner und kurbelwinkelsynchroner Diffusion:

T1

T* = ⋅16

Durch Einsetzen von (6.17) und (6.18) in (6.20) ergibt sich die Beziehung:

( ) ( ) ( ){ }( )

( )

[ ] ( ) ( )

4 N ( Z N Z NH

H

T

H H G

GG G

7

1

1

1 1

N

NN

N

N N

= ⋅ =⋅ −

⋅

⋅

⋅ ⋅ ⋅ −

⋅

−⋅

⋅ −

−⋅

⋅ −

−⋅

⋅ − −⋅

⋅ −

+

+

+

+ +

∫1

11

0

0

1

0 11 0

11

6

6

6 6

1

1

1

1 1

β

βϑ

β ϕ ϑ

β ϕ ϑϕ

ϕ

β ϕ ϑ β ϕ ϑ

*

Das Ausmultiplizieren der Matrizen und Vorziehen der konstanten Faktoren ergibt:

Die Ausführung der Integration führt zum Endergebnis:

( )4 NT T

T TG=

11 12

21 22

* *

* *

mit

TT 1

H1

H

T TT 1

H H

TT 1

H

1 1

1 1

1

11 26 3

12 21 26 3

223

121

31

32 1 1

31

**

* **

**

= ⋅ − ⋅ ⋅ −

+ ⋅ ⋅ −

= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

− −

= ⋅ ⋅ ⋅ −

−⋅

⋅ −⋅

⋅

−⋅

⋅ −⋅

⋅

−⋅

⋅

βϕ

β β

β

β

β ϕ β ϕ

β ϕ β ϕ

β ϕ

∆∆ ∆

∆ ∆

∆

Nun sind alle Voraussetzungen für die Formulierung des Filteralgorithmus geschaffen wordenund die Gleichungen des zeitdiskreten, linearen und zeitvarianten Kalman-Filters können direktangegeben werden.Da es sich im vorliegenden Fall um eine eindimensionale Meßgröße handelt, vereinfachen sichdie Gleichungen erheblich. Aus der Matrixinversion im measurement update wird eine einfacheDivision mit einem Skalar. Das Produkt * 4 *7⋅ ⋅ im time update wird ersetzt durch die dis-krete Rauschmatrix 4

G.Das System besitzt keine Eingangsgröße X , sondern wird nur von

Rauschen getrieben.

(6.20c)

(6.21)

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )4 N T N

H H H

H H H

GG

1 1 1

1 1 1

N N N

N N NN

N

= ⋅⋅ −

⋅ ⋅ −

⋅ ⋅ −

⋅

−⋅

⋅ − −⋅

⋅ − −⋅

⋅ −

−⋅

⋅ − −⋅

⋅ − −⋅

⋅ −

+ + +

+ + +

+

∫* ( )

11

11

11

26

2

6 6

6 6 3

1 1 1

1 1 1

1 β β

β

ϑ

βϕ ϑ

βϕ ϑ

βϕ ϑ

βϕ ϑ

βϕ ϑ

βϕ ϑϕ

ϕ

(6.22)

(6.23)

(6.24)


��

Da es sich hier um ein zeitvariantes System handelt, ist die Systemmatrix nicht konstant, son-dern ändert sich mit der Drehzahl. Somit ergeben sich folgende Gleichungen:

In der Prädiktion (time update),

( )$ $ ( )[ $ N [ NN +− += ⋅1

( ) ( ) ( ) ( )3 N $ N 3 N $ N 4 N7

G

− ++ = ⋅ ⋅ +1 ( )

mit

( ){ }( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ){ }$

cov

[ ( [ [

3 [ 3 ( [ [ [ [[

7

� �

� �

�

� � � ��

+

+

= =

= = = − ⋅ −

In der Korrektur (measurement update),

( )$ $[ [ . N UN N N++

+−= + + ⋅1 1 1

U \ & [N N N

= − ⋅ +−$ 1

( ) ( ) ( )[ ]. N 3 N & & 3 N & 5 N7 7+ = + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + +− − −1 1 1 1

1( )

( ) ( )( ) ( )3 N , . N & 3 N+ −+ = − + ⋅ ⋅ +1 1 1

Aus diesen Gleichungen resultiert die folgende Filterstruktur (Abbildung 6.2), wobei jedochnicht die im measurement update gewonnenen korrigierten Zustände als Ausgangsgrößen ver-wendet werden, sondern die im time update prädizierten Zustände.

(6.25)

(6.26)

(6.27)

(6.28)

(6.29)

(6.30)

(6.31)

(6.32)

] −1. N( )$[N

+

$ N( ) +++$[N−

+1

%�N�

�++

+

++

-

&(N)

YN

\N

X�N�

$[N−

$EELOGXQJ�� 6WUXNWXU�GHV�.DOPDQ�)LOWHUV�]XU�3UlGLNWLRQ


��

�� (UPLWWOXQJ�GHU�)LOWHUSDUDPHWHU

Um das im vorherigen Abschnitt beschriebene Filter einsetzen zu können, muß nun eine Para-metrierung erfolgen. Das Meßrauschen, das Prozeßrauschen und der Korrelationsparameterwerden mittels Analyse langer Zeitreihen bestimmt. Die erforderlichen Meßdaten wurdendurch Versuchsfahrten ermittelt.

�� 'DV�0H�UDXVFKHQ

Die Ermittlung des Meßrauschens erfolgt offline. Das Meßsignal wird zunächst mit Hilfe einer”zero-phase”-Filterung von den Meßstörungen befreit. Eine anschließende Subtraktion beiderZeitreihen ergibt die reine Meßstörung ( )Y W . Die Abbildungen 6.3 und 6.4 zeigen das Meß-

rauschen und seine Autokorrelationsfunktion.

t [s]

50 100 150 200 2500 300

Mes

stoe

rung

[%]

-0.1

0

0.1

-0.2

0.2

$EELOGXQJ�� 'DV�0H�UDXVFKHQ� GHV� HIIHNWLYHQ� 6WU|PXQJVTXHU�VFKQLWWV


��

�� 'DV�3UR]H�UDXVFKHQ

Zur Bestimmung des Prozeßrauschens muß der Parameter T* aus (6.21) so ermittelt werden,daß die Realität möglichst gut approximiert wird. Gleichung (6.33) stellt die allgemeine Lö-sung der Differentialgleichung für die Änderungsgeschwindigkeit des Strömungsquerschnittsdar.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ H [ H Z G1 1

26

2 060 0

0

ϕ ϕ ϑ ϑβ ϕ ϕ β ϕ ϕ

ϕ

ϕ

= ⋅ + ⋅ ⋅− ⋅ − − ⋅ −

∫ *

Der Rauschprozeß ( )Z* ϑ ist mittelwertfrei und so ergibt sich für den Erwartungswert der Än-

derungsgeschwindigkeit:

( ){ } ( ) ( ){ }( [ H ( [1

26

2 0

0ϕ ϕβ

ϕ ϕ= ⋅

− ⋅ −

Da das Öffnen und Schließen der Drosselklappe gleich häufig auftritt, existiert keine Vorzugs-richtung der Geschwindigkeit:

( ){ }( [� �

�ϕ =

t [s]

-200 -100 0 100 200-300 300

korr

(r_A

e ff)

[%^2

]

0

0.001

0.002

0.003

0.004

-0.001

0.005

$EELOGXQJ��'LH�$XWRNRUUHODWLRQVIXQNWLRQ�GHV�0H�UDXVFKHQV

(6.33)

(6.34)

(6.35)


��

Die Kovarianz lautet:

( ) ( ) ( ){ }( ){ } ( ){ }( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

3 ( [ ( [ ( [

( H [ H Z G

H [ H Z G

[ [

1 1

1 1

2 2

0 1

0

0 2

0

2 2

2

2

2

62 0

61 1

62 0

62 2

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

β ϕ ϕ β ϕ ϕϕ

β ϕ ϕ β ϕ ϕϕ

ϕ

ϕ

= − =

= ⋅ + ⋅ ⋅

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

− ⋅ − − ⋅ −

− ⋅ − − ⋅ −

∫

∫

*

*

Da ( )Z ϕ unabhängig von allen vorangegangenen Geschwindigkeitswerten von [� ist, ver-

schwinden bei (6.36) die Mischterme und man erhält:

( )( )

( ){ }( )

( ) ( ){ }3 H ( [ H ( Z Z G G[ [

1 1

2 2

0 1 2

00

2

62 0

22

61 2 1 2ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

β ϕ ϕ β ϕ ϕ ϕϕϕ

ϕϕ

= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅−

⋅ −− −

⋅ − −

∫∫ * *

Durch weiteres Umformen ergibt sich mit (6.37) und unter Berücksichtigung der Erwartungs-wertfreiheit die Beziehung:

( )( )

( )( )

( )

( )( )

( )

3 H 3 H T G G

H 3 H T G

[ [

1

[ [

1

1

[ [

1

2 2

0

2 2

1 2

00

0

2 2

1

0

2

60

2

61 2 1 2

2

60

2

61

ϕ ϕ δ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

β ϕ ϕ β ϕ ϕ ϕϕϕ

β ϕ ϕ β ϕ ϕϕ

ϕϕ

ϕ

= ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

= ⋅ + ⋅ ⋅

−⋅ −

−− −

−⋅ −

−⋅ −

∫∫

∫

*

*

wobei nur die Siebeigenschaft des Dirac-Stoßes im Integral ausgenutzt wurde.

Durch Integration erhält man das Endergebnis:

( )( )

( )( )

3 H 3T 1

H[ [

1

[ [

1

2 2

0

2 2

02

60

2

631ϕ ϕ

β

β ϕ ϕ β ϕ ϕ

= ⋅ + ⋅ ⋅ −

−⋅ −

−⋅ −*

Betrachtet man nun lange Zeitabschnitte, d.h., ϕ� strebt gegen −∞ , so erhält man aus (6.39)

durch Grenzwertbildung:

( )lim*

ϕ ϕβ0

2 2

3→−∞ = ⋅

3T 1

[ [

Durch Messungen der Drosselklappenbewegung ist bekannt, daß die Obergrenze σY

� der Ge-schwindigkeitsvarianz (Varianz von [

�) nur selten überschritten wird. Demzufolge kann die

Rauschleistungsdichte T* des Prozeßrauschens unter Kenntnis des Korrelationsparameters βabgeschätzt werden:

T1

Y* = ⋅β σ 2

3

(6.36)

(6.37)

(6.38)

(6.39)

(6.40)

(6.41)


��

Abbildung 6.5 zeigt einen typischen Verlauf des Drosselklappenöffnungsquerschnitts.

Abb. 6.6 zeigt den Zustand [�, d.h. die Änderungsgeschwindigkeit dieses Querschnitts.

t [s]

50 100 150 200 2500 300

Aef

f [%

]

20

40

60

80

0

100

$EELOGXQJ�� 7\SLVFKHU�9HUODXI�GHV�HIIHNWLYHQ�6WU|PXQJVTXHU��VFKQLWWV

t [s]

50 100 150 200 2500 300

dAef

f/dt [

%/s

]

-300

-200

-100

0

100

200

-400

300

$EELOGXQJ�� bQGHUXQJVJHVFKZLQGLJNHLW� GHV� HIIHNWLYHQ� 6WU|�PXQJVTXHUVFKQLWWV


��

�� 'HU�.RUUHODWLRQVSDUDPHWHU�GHU�'URVVHONODSSHQJHVFKZLQGLJNHLW

Die Drosselklappengeschwindigkeit wird als zeitlich gesehen negativ autokorrelierte Größemodelliert. Die Korrelation wird im Zeitbereich untersucht, da die Betätigung der Drosselklap-pe ausschließlich vom Fahrer abhängt. Der Korrelationsparameter wird im Zeitbereich konstantangenommen. Ein typisches Merkmal für farbige, mittelwertfreie Rauschprozesse sind ihre ex-ponentialförmig abfallenden Autokorrelationsfunktionen. Diese Eigenschaft soll zur Ermittlungdes Korrelationsparameters genutzt werden.

Die Korrelationsfunktion lautet:

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( )korr [ W [ W ( [ W H [ W H Z GW W W

� � � � � � � �

� � �

�

�

, = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

− − − −∫β β ξ

ϕ

ϕ

ξ ξ

( )Z ϕ und ( )[�

ϕ sind voneinander unabhängig. Für die Korrelationsfunktion ergibt sich dann:

( ) ( ){ } ( ) ( )korr [ W [ W H 3 WW W

[ [� � � � �

� �

� �

, = ⋅− −β

Der Korrelationsparameter β stellt die inverse Zeitkonstante τF der abfallenden Exponential-

funktion dar. In Abbildung 6.7 ist der Drosselklappenverlauf (geom. Öffnungsquerschnitt) ei-nes Fahrzyklusses in der Stadt, seine zeitliche Ableitung und die Autokorrelationsfunktion derÄnderungsgeschwindigkeit dargestellt.

Die Geschwindigkeit stellt das farbige Rauschen dar. Eine der Autokorrelationsfunktion derGeschwindigkeit angenäherten Exponentialfunktion, hat eine Zeitkonstante von τ

F= 012. sec .

(6.42)

(6.43)

t [s]-300 -200 -100 0 100 200 300-400 400

korr

(dA

eff)

[(%

/s)^

2]

0

200

400

600

-200

800Korrelationsfunktion der Geschwindigkeit

t [ms]100 200 300 4000 500

korr

(dA

eff)

[(%

/s)^

2]

200

400

600

0

800Ausschnitt der Korrelationsfunktion

$EELOGXQJ�� 'LH� $XWRNRUUHODWLRQVIXQNWLRQ� GHU� bQGHUXQJVJH�VFKZLQGLJNHLW� GHV� HIIHNWLYHQ� 6WU|PXQJVTXHU�VFKQLWWV


��

Dies bedeutet, daß die Korrelation der Drosslklappengeschwindigkeit für den Zeitpunkt WF

− τden Wert 1/e angenommen hat. Die Größe der Korrelationszeitkonstante charakterisiert prak-tisch das ”Gedächtnis” des Systems.

�� 6WDELOLWlWVXQWHUVXFKXQJ�GHV�3UlGLNWLRQVYHUIDKUHQV

Aufgrund der linearen Eigenschaft des Prädiktors können die Stabilitätskriterien für lineareKalman-Filter aus Kap. 3.1.2.1 angewendet werden. Zum Nachweis globaler, gleichmäßigerund asymptotischer Stabilität ist die Forderung nach stochastischer Steuerbarkeit bei gleich-zeitiger stochastischer Beobachtbarkeit hinreichend. Setzt man die zuvor gewonnenen Größenin die Gleichung für stochastische Steuerbarkeit (3.33) ein, so ergibt sich folgende Beziehung:

( ) ( )α ϕ ϕ ϕ ϕ α11

2⋅ ≤ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≤ ⋅= − +∑, * T * ,L M

M L 1

L7

L M

7

Φ Φ, ,*

Mit G =

0

1und ( )

( )

( )Φ ϕ ϕ β

β ϕ ϕ

β ϕ ϕi j

N

N

e

e

i j

i j

, =⋅ −

−⋅

⋅ −

−⋅

⋅ −

11

1

0

6

6

Das Ausmultiplizieren der Matrizen ergibt:

α α1 2⋅ ≤ ⋅ ≤ ⋅, T N = ,* ( )

mit

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )Z

z z

z z

e e e

e e e

N N N

N N Nj i k

i

i j i j i j

i j i j i j

=

=

⋅ −

⋅ −

⋅

⋅ −

⋅

−⋅

⋅ − −⋅

⋅ − −⋅

⋅ −

−⋅

⋅ − −⋅

⋅ − −⋅

⋅ −= − +∑11 12

21 22

26

2

6 6

6 6 31

11

11

11

β β

β

β ϕ ϕ β ϕ ϕ β ϕ ϕ

β ϕ ϕ β ϕ ϕ β ϕ ϕ

Eine Variablentransformation ergibt für die Elemente der Matrix auf der Hauptdiago-nalen :

( ) ( )

( )

z k e e

z e

Nk m

m

kN

k m

m

k

Nk m

m

k

11 26

1

0

13

1

0

1

223

1

0

1

12= − ⋅

+

=

−⋅

⋅ ⋅ − −

=

− −⋅

⋅ ⋅ − −

=

−

−⋅

⋅ ⋅ − −

=

−

∑ ∑

∑

β

β β

β

∆ϕ ∆ϕ

∆ϕ

In den folgenden Schritten werden die endlichen Reihen in unendliche Reihen umgewandelt.

z e e eNm

m

kN

m

m

Nm

m k22

3

0

13

0

3=

=

−

−⋅

⋅ ⋅

=

− −⋅

⋅ ⋅

=

∞ −⋅

⋅ ⋅

=

∞

∑ ∑ ∑β β β∆ϕ ∆ϕ ∆ϕ

(6.44a)

(6.44b)

(6.45)

(6.46)

(6.47)

(6.48)

(6.49)


��

z e e e e e eN Nk

N Nk

N Nk

223

03 3

13

13 3= − + − + + −

−⋅

⋅∆ϕ⋅ −⋅

⋅∆ϕ⋅ −⋅

⋅∆ϕ⋅ −⋅

⋅∆ϕ⋅ + −⋅

⋅∆ϕ⋅∞ −⋅

⋅∆ϕ⋅ +∞β β β β β β( ) ( )

L

= −

+ −

+ + −

−⋅

⋅ ⋅ −⋅

⋅ ⋅ −⋅

⋅ ⋅ −⋅

⋅ ⋅ −⋅

⋅ ⋅∞ −⋅

⋅ ⋅e e e e e eN N

kN N

kN N

kβ β β β β β

30

3 31

3 3 31 1 1∆ϕ ∆ϕ ∆ϕ ∆ϕ ∆ϕ ∆ϕ

L

z e eNk

N

m

m

223 3

0

1= −

⋅

−⋅

⋅ ⋅ −⋅

⋅

=

∞

∑β β∆ϕ ∆ϕ

Für z11 ergibt sich analog zu z22 :

z k e e e eNk

N

m

m

Nk

N

m

m

11 26 6

0

3 3

0

12 1 1= − ⋅ −

⋅

+ −

⋅

−⋅

⋅ ⋅ −⋅

⋅

=

∞ −⋅

⋅ ⋅ −⋅

⋅

=

∞

∑ ∑β

β β β β∆ϕ ∆ϕ ∆ϕ ∆ϕ

Die Elemente ]11 und ]22 sind also Funktionen aus Reihen der Form DPP=

∞

∑0

. Deshalb muß für

die Beschränktheit der Funktionen nur die Konvergenz dieser geometrischen Reihen nachge-wiesen werden.Dies kann anhand des Quotientenkriteriums erfolgen: Eine Reihe konvergiert,wenn eine natürliche Zahl M existiert, so daß für

DP

P=

∞

∑0

, DP

> � gilt:

DD

TP

P

+ ≤ ≤� � für P 0≥ und � �< <T

Dies bedeutet für die Anwendung:

( )( )H

HH J

P

P

− +

−

−= = <γ

γ

γ

�

� da γ > �

Die Konvergenz der geometrischen Reihen ist somit nachgewiesen und daraus folgt die Be-schränktheit der Matrixelemente ]

N O, , das System ist somit stochastisch steuerbar.

Mit der gleichen Vorgehensweise erhält man aus der Bedingung für stochastische Beobacht-barkeit:

( ) ( )α ϕ ϕ ϕ ϕ α11

2

1⋅ ≤ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≤ ⋅= − +∑I C

rC Ij i

T

j i k

iT

j iΦ Φ, ,

α α1 2

1⋅ ≤ ⋅ ≤ ⋅Ir

Y I

(6.50)

(6.51)

(6.52)

(6.53)

(6.54)

(6.55)

(6.56)


��

( )

( ) ( )Y

y y

y y

e

e e

N

N Nj i k

i

i j

i j i j

=

=

⋅ −

⋅ −

⋅ −

−⋅

⋅ −

−⋅

⋅ − −⋅

⋅ −= − +∑11 12

21 22

6

62

6

21

11

1

11

11

β

β β

β ϕ ϕ

β ϕ ϕ β ϕ ϕ

y k

y k e e e eNk

N

m

m

Nk

N

m

m

11

22 26 6

0

3 3

0

12 1 1

=

= − ⋅ −

⋅

+ −

⋅

−⋅

⋅ ⋅ −⋅

⋅

=

∞ −⋅

⋅ ⋅ −⋅

⋅

=

∞

∑ ∑β

β β β β∆ϕ ∆ϕ ∆ϕ ∆ϕ

Auch diese beiden Elemente der Matrix < sind aufgrund der Konvergenz der in ihnen vor-kommenden Reihen beschränkt. Das System ist stochastisch beobachtbar. Somit wäre die glo-bale, gleichmäßige, asymptotische Stabilität dieses Kalman-Filters nachgewiesen.Eine Betrachtung der Pole der homogenen Schätzgleichung des Kalman-Filters veranschaulichtdie Stabilitätsbetrachtung (Abb. 6.8).

Die Pole können zwar nicht explizit, jedoch für den eingeschwungenenen Zustand des Kalman-Filters ermittelt werden. Sie sind abhängig von der Drehzahl N, der Filterschrittweite ∆ϕ unddem Korrelationsparameter β . Da Filterschrittweite und Korrelationsparameter nach dem Ent-wurf des Filters fest sind, bleibt nur eine Abhängigkeit von der Drehzahl.

(6.57)

(6.58)

Eigenwerte der homogenen Schätzgleichung

steigendes n

$EELOGXQJ�� 'LH� 3ROH� GHU� KRPRJHQHQ� 6FKlW]�JOHLFKXQJ� LP� HLQJHVFKZXQJHQHQ=XVWDQG


��

Die beiden konjungiert komplexen Pole der homogenen Schätzgleichung bewegen sich beikonstantem β mit steigender Drehzahl in Richtung 1. Der hervorgehobene Abschnitt gehörtzur Filterschrittweite ∆ϕ = °�� KW .

�� ,QWHJUDWLRQ� GHU� 'URVVHONODSSHQSUlGLNWLRQ� LQ� GDV� /DVW�VFKlW]YHUIDKUHQ

Ziel ist es, ausgehend vom aktuellen Zeitpunkt, die zylinderindividuellen Luftmassen für dasjeweils folgende Arbeitsspiel zu berechnen. Im ungünstigsten Fall bedeutet dies eine Prädiktionder Luftmassen um 720° KW.Die Lastprädiktion kann nur in den Gleichungen des time updates erfolgen, da für den Prä-diktionszeitraum weder aktuellere Meßwerte, noch Eingangswerte zur Verfügung gestellt wer-den können. Basierend auf die im measurement update mit den Meßwerten aktualisierten Zu-stände werden im ersten Schritt des time updates die Zustände des Drosselklappenmodells undder Saugrohrdifferentialgleichungen unabhängig voneinander um einen Abtastschritt vorausbe-rechnet.Vor der Aktualisierung dieser Prädiktionswerte durch das measurement update werden die Prä-diktionsgleichungen erneut 720 / ∆ϕ mal rekursiv berechnet, d.h., es werden jeweils die prädi-zierten Zustände der letzen Prädiktion und nicht die aktualisierten Zustände des measurementupdates in die Prädiktionsgleichungen eingesetzt. Das Drosselklappen- und Saugrohrmodellwird ohne erneute Stell- und Meßgrößeninformation um 720° KW vorwärts berechnet.Mit Gleichung (6.59) erfolgt die Prädiktion um einen Arbeitsschritt ∆ϕ . Für Q = 1 entsprichtdiese Berechnung dem time update für den Zeitpunkt N . Diese Gleichung muß 720 / ∆ϕ malrekursiv berechnet werden, um den maximalen Prädiktionshorizont von 720° zu erreichen. DieErgebnisvektoren können schließlich zu einer Prädiktionsmatrix zusammengefaßt werden(6.59a). Dabei entspricht die erste Zeile der Matrix dem transponierten, prädizierten Zustand-vektor der ursprünglichen Form des time updates. In den Gleichungen des measurement up-dates wird ausschließlich diese erste Zeile eingesetzt. Die Modellgleichungen des Saugrohr-und Pulsationsmodells bleiben bis auf die Berechnung des Luftmassenstromes an der Drossel-klappe unverändert.

[ N Q

$$ N Q

G$ N Q

S S I S 7.

7 7 I 7 S.

$

V

SUl

''

JHR

JHR

6 6 3 6 /6

/6 6 7 /6 6

6 ' 6

L

L .

L L L L

L L L L

L L

( , )

( )

( )

( , )

( , )

cos( ~) sin( ~)

sin( ~) cos( ~)

(

*

=

⋅+ −+ −

= + ⋅

= + ⋅

= ⋅

−⋅

−

−

=

= −

−

+

+

+

1

1

1

1

1

0

1

1

∆

∆∆

∆

∆ϕ

ϕ

ξ ξ

α αα α

ξ

N Q

V N Q

+ −+ −

−

1

12

)

( ) (6.59)


��

/ N Q [

[ N

[ N Q

$ N V N

$ N Q V N QSUl SUl

SUl

7

SUl

7

JHR

JHR

( , , )

( , )

( , )

( ) ( )

( ) ( )

=

=+ +

+ +

− −

− −

1 1 12

2

M

L

M O M

L

mit den Startwerten für die Prädiktion:

S Q

7 Q

Q

V Q

V Q

S N

7 N

N

V N

V N

6

/6

6

6

/6

6

−

−

−

−

−

+

+

+

+

+

=

=

=

=

=

=

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1

1

1

1

11

2

1

2

ξ ξ

und den Startwerten für das Integrationsverfahren:

S L

7 L

L

S N Q

7 N Q

N Q

6

/6

6

6

/6

6

L

L

L

( )

( )

( )

( )

( )

( )

=

=

=

=

+ −

+ −

+ −

−

−

−

0

0

0

1

1

1ξ ξ

Der geometrische Öffnungsquerschnitt ist in Gl. (6.62) keine Eingangsgröße, sondern ent-spricht dem Schätzwert (beziehungsweise dem Prädiktionswert) des ersten Zustandes des Prä-diktionsfilters, um die Dynamik der Drosselklappe mitberücksichtigen zu können.

&~ $ ( ) ( ) ( ) ( , , )P $ F 3

5 73 3/'. JHR ' 6 D

L D

V D= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⋅

⋅α α ξ ψ γ12

�� (UJHEQLVVH�GHU�/DVWSUlGLNWLRQ

Ein direkter Vergleich zwischen prädizierten und tatsächlichen Zylinderluftmassen ist analogzur Problematik der Lasterfassung aus Kap. 5 nur bedingt möglich, da meßtechnisch keine Re-ferenzluftmassen ermittelt werden können. Aus diesem Grund erfolgt zunächst die Ergebnis-darstellung der reinen Drosselklappenprädiktion. Die Effektivität der Totzeitkompensation(Lastprädiktion) wird dann durch einen Vergleich zwischen den prädizierten und den nach derTotzeit tatsächlich durch die Lasterfassung geschätzten Zylinderluftmassen dargestellt.

�� (UJHEQLV�GHU�'URVVHONODSSHQSUlGLNWLRQ

Abbildung 6.9 stellt den kurbelwinkelabhängigen Verlauf des effektiven Strömungsquer-schnitts (Stadtzyklus), sowie seine Prädiktionswerte für unterschiedliche Prädiktionshorizontedar. Zur Beurteilung der Ergebnisse wurden die prädizierten Verläufe um die Beträge der Prä-diktionshorizonte nachträglich zurückverschoben.

(6.59a)

(6.60)

(6.61)

(6.62)


��

Die größten Abweichungen treten, wie erwartet, in den Bereichen hoher Beschleunigungen auf.Aufgrund des geringen absoluten Fehlers sind die Abweichungen über den relativ langen Be-reich von 350 Arbeitsspielen kaum auflösbar.Abbildung 6.10 zeigt im ersten Diagramm einen Ausschnitt (die letzten 56 Arbeitsspiele) ausAbbildung 6.9. Das zweite Diagramm stellt die relativen Fehler bei unterschiedlichen Prä-diktionshorizonten dar. Der maximale, relative Prädiktionsfehler beträgt im dargestellen Inter-vall für einen Prädiktionshoizont von 720 Grad -22%, für 540 Grad -14%, für 360 Grad -8%und für 180 Grad -3%.

Die relativen Fehler können insbesondere bei niedrigen Strömungsquerschnitten große Werteannehmen. Allerdings wirken sich in diesen Betriebspunkten (Leerlauf, untere Teillast) auf-grund der langsamen Saugrohrdynamik die Drosselklappenfehler geringer auf die Last-prädikton aus, als bei vergleichsweise großen Strömungsquerschnitten (höheren Lasten).Die Zustände des Prädiktionsfilters, der normierte, effektive Strömungsquerschnitt und seineÄnderungsgeschwindigkeit, sind in Abbildung 6.11 dargestellt.

Arbeitsspiel

50 100 150 200 250 3000 350

Aef

f [%

]

20

40

60

80

0

100

AeffPrädiktion 180°Prädiktion 360°Prädiktion 540°Prädiktion 720°

$EELOGXQJ��'HU�SUlGL]LHUWH��HIIHNWLYH�6WU|PXQJVTXHUVFKQLWW


��

Arbeitsspiel10 20 30 40 500 60

Aef

f [%

]

10

20

30

40

50

0

60AeffPrädiktion 180°Prädiktion 360°Prädiktion 540°Prädiktion 720°


rel.

Feh

ler

[%]

-20

-10

0

10

20

-30

30 Prädiktion 180°

Prädiktion 360°Prädiktion 540°

Prädiktion 720°

$EELOGXQJ�� $XVVFKQLWW� GHV� SUlGL]LHUWHQ�� HIIHNWLYHQ� 6WU|�PXQJV�TXHUVFKQLWWV�XQG�VHLQ�UHODWLYHU�)HKOHU

Aef

f [%

]

20

40

60

80

0

100

Arbeitsspiel100 2000 300

dAef

f [%

/s]

-400

-200

0

200

-600

400

$EELOGXQJ�� : 'LH�=XVWlQGH�GHV�3UlGLNWLRQVILOWHUV��GHU�HII��6WU|�PXQJVTXHUVFKQLWW� XQG� VHLQH� bQGHUXQJVJHVFKZLQ�GLJNHLW�


��

Abbildung 6.12 beschreibt den Verlauf der Kalman-Gains des Prädiktionsfilters. Aufgrund derzeitvarianten Eigenschaft des Filters können sich die Kalman-Gains auch nach der Ein-schwingphase verändern.

Abbildung 6.13 zeigt die Prädiktionsfehlerkovarianzelemente des Kalman-Filters.

k1

0.8

0.85

0.9

0.95

0.75

1


k2

600

700

800

900

1000

500

1100

$EELOGXQJ��'LH�.DOPDQ�*DLQV�GHV�3UlGLNWLRQVILOWHUV

Pm

11

2e-005

4e-005

0

6e-005

Pm

12

0.01

0.02

0.03

0

Pm

21

0.01

0.02

0.03

0


Pm

22

10

20

0

30

$EELOGXQJ� �� 3UlGLNWLRQVIHKOHUNRYDULDQ]HQ� GHV� 3UlGLNWLRQVILO�WHUV


��

�� (UJHEQLV�GHU�/XIWPDVVHQSUlGLNWLRQ

Zur Darstellung der Luftmassenprädiktion werden dem in Kap. 6.3 beschriebenen Algorithmus(Lasterfassung mit Prädiktion) die Eingangsgrößen von Abbildung 6.14 zugeführt. DieserTeilzyklus enthält alle relevanten Lastbereiche (untere Teillast bis Vollast), sowie eine Dreh-zahlvariation von 1800 bis 2450 U/min. Das Verfahren liefert parallel zum aktuellen Last-schätzwert simultan die Lastprädiktionswerte für 180°, 360°, 540° und 720°. In Abbildung 6.15sind diese fünf Verläufe in einem Ausschnitt von 30 Arbeitsspielen gegenübergestellt. An die-sen Verläufen werden die Vorteile des Verfahrens deutlich. Der Verlauf der um 720° prädi-zierten Last steigt im Bereich des positiven Sprungs bereits vor der aktuellen Last an. Dies istnur durch die vorangegangene Prädiktion der Eingangsgröße möglich. Eine, alleine auf dasaktuelle Lastsignal gestützte Prädiktion liefert immer schlechtere Ergebnisse. Darüber hinaussind die Ausgangssignale der Lastsensoren (Drucksensoren, Luftmassensensoren) im allgemei-nen wesentlich stärker gestört, als das Ausgangssignal des Drosselklappenwinkelsensors.Durch das differenzierende Verhalten des Prädiktors werden diese Störungen entsprechend ver-stärkt.Der wesentliche Nachteil des beschriebenen Prädiktionsverfahrens besteht in seiner Sensitivitätgegenüber im Modell nicht berücksichtigten Parameterschwankungen. Da das Modell währendder Prädiktion nicht mehr korrigiert werden kann (es gibt ja keine neuen Meßwerte), sind beistarken Parameterschwankungen oder Modellierungsfehlern auch stationäre Prädiktionsfehlerbis in den Prozentbereich möglich. Diese Eigenschaft kann jedoch durch ein Ausblenden derPrädiktion bei erkanntem Stationärbetrieb zumindest für stationäre Betriebszustände verbessertwerden.

Arbeitsspiel20 40 60 80 100 1200 140

Aef

f [%

]

20

40

0

60

Arbeitsspiel20 40 60 80 100 1200 140

ps [h

Pa ]

200400600800

0

1000

Arbeitsspiel20 40 60 80 100 1200 140

N [U

/min

]

2000

2200

2400

1800

$EELOGXQJ�� 'LH�]HQWUDOHQ�(LQJDQJVJU|�HQ� I�U�GDV�/DVWSUlGLNWLRQV�YHUIDKUHQ


��

Die folgenden beiden Abbildungen stellen die relativen Fehler der Lastprädiktion im Vergleichzu einem Verfahren ohne Lastprädiktion bei unterschiedlichen Prädiktionshorizonten dar. ZurErmittlung des relativen Fehlers werden die prädizierten Verläufe um den Wert des jeweiligenPrädiktionshorizontes zurückverschoben.


mpk

t_pr

a e [k

g/h]

20

40

60

80

0

100

m_pkt_0m_pkt_180m_pkt_360m_pkt_540m_pkt_720

$EELOGXQJ��'LH�DNWXHOOHQ�XQG�SUlGL]LHUWHQ�/DVWVFKlW]ZHUWH

Arbeitsspiel20 40 60 80 100 1200 140

rel.

Feh

ler

[%]

-5

0

5

10

-10

15Prädiktion 180°

keine Prädiktion

Arbeitsspiel20 40 60 80 100 1200 140

rel.

Feh

ler

[%]

-10

0

10

20

-20

30Prädiktion 360°

keine Prädiktion

$EELOGXQJ��'LH�UHODWLYHQ�3UlGLNWLRQVIHKOHU�I�U��XQG��


��

Von einigen Ausreißern abgesehen bleibt der relative Fehler bis zu einem Prädiktionhorizontvon 360° unterhalb 2.5%. Bei 540° steigt der Betrag des relativen Fehlers in einem unterenLastbereich auf 7% an. Der maximale Fehler entspricht 19% bei niedriger Last und 720° Prä-diktionshorizont.

Arbeitsspiel20 40 60 80 100 1200 140

rel.

Feh

ler

[%]

-20

-10

0

10

20

30

-30

40Prädiktion 540°

keine Prädiktion

Arbeitsspiel20 40 60 80 100 1200 140

rel.

Feh

ler

[%]

-20-100

10203040

-30

50Prädiktion 720°

keine Prädiktion

$EELOGXQJ��'LH�UHODWLYHQ�3UlGLNWLRQVIHKOHU�I�U��XQG��

Sensordatenfusion

��

� 6HQVRUGDWHQIXVLRQDas folgende Kapitel stellt ein Verfahren zur Lastberechnung vor, bei dem alle verfügbarenSignale mit einer Lastinformation gleichzeitig verarbeitet werden. Die Gewichtung der einzel-nen Sensorinformationen kann dabei durch eine entsprechende stochastische Modellierung demBetriebspunkt des Motors (Teillast, Vollast, stationär, instationär, ...) angepaßt werden. DasVerfahren ist stark fehlertolerant aufgrund einer hohen Redundanz der Lastinformation.

�� 6HQVRULQWHJUDWLRQ�XQG�6HQVRUIXVLRQ�]XU�/DVWEHVWLPPXQJ

Bei allen konventionellen Lasterfassungsverfahren, sowie auch in dem in Kapitel 5 vorge-stellten Kalman-Filter werden die Zylinderluftmassen auf der Basis der Informationen einesHauptlastsignales ermittelt (Saugrohrdrucksensor, Luftmassensensor oder Drosselklappe inVerbindung mit der Drehzahl). Aufgrund der sich immer stärker verschärfenden Abgasgesetz-gebung sind jedoch zusätzliche Lastsensoren für Diagnosefunktionen (OBD II) üblich. Die zu-sätzlichen Informationen dieser Sensoren werden im allgemeinen nicht zur Unterstützung derLastberechnung genutzt. Die Sensorsignale sind eindeutig den Prozeßgrößen in den Funktionenzugeordnet (Sensorintegration). Abb. 7.1 stellt Sensorintegration und Sensorfusion bezüglichder Lasterfassungsproblematik gegenüber.Wird ausschließlich ein Luftmassensensor zur Lasterfassung eingesetzt, so muß das Sensorsig-nal von Störungen befreit und im Instationärfall zur Kompensation der Saugrohrdynamik ge-filtert werden. Pulsationseinflüsse werden normalerweise stationär über Kennfelder kompen-siert. Bedingt durch das Meßprinzip liefert der Luftmassensensor bei niedrigen Pulsationsam-plituden eine hohe stationäre Genauigkeit. Das Meßverfahren ist stationär robust gegenSchwankungen von Außendruck und Außentemperatur, jedoch empfindlich im Fall vonFalschluft im Saugrohr. Instationäre Temperaturänderungen können aus dem Luftmassensignalalleine nicht ermittelt werden.Saugrohrdruckbasierte Einspritzsysteme benötigen instationär keine Dynamikkompensation(wenn die Temperatureffekte vernachlässigt werden) und zeigen ein robusteres Verhalten beiFalschluft im Saugrohr. Auch stationär ist eine Bestimmung der Frischgastemperatur im Saug-rohr erforderlich. Dies ist insbesondere bei veränderlichen Abgasrückführraten nicht unproble-matisch und kann zu erheblichen Fehlern bei der Lastberechnung führen. Starke Saugrohr-druckpulsationen führen unkompensiert bei hohen Lastpunkten ebenfalls zu Berechnungs-fehlern. Veränderungen der Umgebungsbedingungen (Außendruck und Außentemperatur)müssen berücksichtigt werden. Ein Umgebungsdrucksensor ist in den meisten Fällen nicht ver-fügbar, so daß auch diese Größe aus Hilfsgrößen (z.B. Drehzahländerung und Drosselklappen-winkel bei negativem Lastsprung) bestimmt werden muß.Drosselklappenbasierte Systeme benötigen den geringsten Meßaufwand. Für zukünftige Ab-gasgrenzwerte haben sie jedoch kaum noch Relevanz, da sie über alle Nachteile der genanntenVerfahren verfügen. Das System erfordert eine Dynamik- und Pulsationskompensation. Es rea-giert empfindlich gegenüber Falschluft im Saugrohr und führt bei einem Sensorausfall (Verlustder Drosselklappenwinkelinformation) immer zu einem Systemausfall. Der wesentliche Vorteildes Drosselklappensignales ist seine hohe instationäre Dynamik.

Sensordatenfusion

��

Die relative Änderung des Strömungsquerschnitts der Drosselklappe liegt etwa eine Größen-ordnung über der relativen Änderung der Drehzahl und ist die Hauptursache für schnelle Zu-standsänderungen im Saugrohr. Sie kann für die Berechnung der Einspritzzeit als Störgrößebetrachtet werden und liefert wesentliche Informationen für eine Totzeitkompensation (Kap. 6).

SensorsignalgewünschterZustand

τ

K

Verarbeitung

τ

K

U HFM

α DK

UPS

N

m LZ

m LZ

m LZ

Pulsationen, Kompensationerforderlich, stationär genau

Höhen- und Temperatureinflüsse, stationäreUngenauigkeiten, schnelle Dynamik

Höhen- und Temperatureinflüsse, stationäreUngenauigkeiten, Kompensation erforderlich

SensorsignalgewünschterZustandVerarbeitung

U HFM

UPS

αDK

N

m LZ

$ ( ) $ ( )[ $ N [ X NN N

−−

+= − ⋅ + −1 11

$ $ ( ) ( )[ [ . N U NN N

+ −= + ⋅

Sensorintegration Sensorfusion

Individuelle, betriebspunktabhängige Gewichtungaller für den gewünschten Systemzustand relevantenSensorinformationen

$EELOGXQJ��6HQVRULQWHJUDWLRQ�XQG�6HQVRUIXVLRQ�]XU�/DVWHUIDVVXQJ

Die rechte Seite von Abb. 7.1 stellt das Prinzip der Sensordatenfusion zur Lasterfassung durchden Einsatz eines Kalman-Filters dar. Alle Sensorsignale mit relevanten Lastinformationenwerden gleichzeitig in den System- und Beobachtungsgleichungen verarbeitet. Je nach Be-triebspunkt und Genauigkeiten von Sensorinformationen und Modell tragen die einzelnen Sen-sordaten in unterschiedlichem Maß zum Ergebnis der zu bestimmenden Zustandsgröße bei. Sowäre es z.B. sinnvoll, in stationären Betriebspunkten mit geringen Pulsationen, die Daten desLuftmassenmessers zur Lastberechnung stark zu gewichten, während bei instationären Vorgän-gen die Saugrohrdruckinformation zu genaueren Lastergebnissen führt.Vorausetzung für die erfolgreiche Anwendung des Verfahrens ist eine angepaßte Modellbil-dung, um eine möglichst einfache Integration von Expertenwissen zu ermöglichen.

Sensordatenfusion

��

�� 0RGHOOELOGXQJ�]XU�6HQVRUGDWHQIXVLRQ

�� 'LH�0DVVHQELODQ]JOHLFKXQJ�DOV�%DVLV�]XU�/XIWPDVVHQEHVWLPPXQJ

Die folgende Modellbildung setzt einen Luftmassensensor und einen Saugrohrdrucksensor vor-aus. Ausgangspunkt für die Berechnung der Zylinderluftmassen ist die Massenbilanzgleichung(7.1). Wird der Einfluß der Tankentlüftung vernachlässigt, so lautet die Massenbilanzbezie-hung für Motoren ohne externe Abgasrückführung.

& & &P P P/6 /'. /=\O= −

Die gesuchte Größe ist bekanntlich die vom jeweiligen Zylinder angesaugte Luftmasse P/=\O .

Die Einzelzylinderluftmasse kann durch Integration des Gesamtluftmassenstromes über einSegment bestimmt werden.

( )P N P W GW P W P W GW/=\O /=\O

N 7

N 7

/'. /6

N 7

N 7

6HJ

6HJ

6HJ

6HJ

( ) & ( ) & ( ) & ( )( ) ( )

+ = = −⋅

+ ⋅

⋅

+ ⋅

∫ ∫11 1

Wird während der Ansaugphase eine mittlere konstante Saugrohrtemperatur7 N6( ) angenommen, so kann die Änderung der Luftmasse im Saugrohr sehr einfach aus dem

Saugrohrdruck ermittelt werden.

[ ]

P N P W GW9

5 7 NS W GW

P W GW9

5 7 NS N 7 S N 7

/=\O /'.

N 7

N 7

6

/ 66

N 7

N 7

/'.

N 7

N 7

6

/ 66 6HJ 6 6HJ

6HJ

6HJ

6HJ

6HJ

6HJ

6HJ

( ) & ( )( )

& ( )

& ( )( )

(( ) ) ( )

( ) ( )

( )

+ = −⋅ +

⋅

= −⋅ +

⋅ + ⋅ − ⋅

⋅

+ ⋅

⋅

+ ⋅

⋅

+ ⋅

∫ ∫

∫

11

11

1 1

1

Zur Bestimmung der Zylinderluftmassen sind also der Luftmassenstrom an der Drosselklappe,der Saugrohrdruck und die Saugrohrtemperatur erforderlich.Der Luftmassenstrom an der Drosselklappe kann durch einen Heißfilmluftmassensensor, derSaugrohrdruck mit Hilfe eines Saugrohrdrucksensors gemessen werden. Die Saugrohrtempe-ratur wird anhand eines Modells berechnet. Vorteilhaft erscheint bei diesem Ansatz die Verar-beitung der Saugrohrdruckmessungen als Differenzen im zweiten Term von (7.3) Dieser ver-schwindet im Stationärfall, da sich der Saugrohrdruck nicht ändert. Stationär werden also aus-schließlich die Informationen des Luftmassensensors zur Bestimmung der Zylinderluftmassengenutzt. Instationär gehen die Informationen von beiden Sensoren in das Berechnungsergebnisein.Bei idealer Betrachtungsweise (ungestörte Sensorsignale, vernachlässigbare Sensordynamik,geringe Temperaturschwankungen) liefert der Ansatz hervorragende Ergebnisse. In der Praxiswird die Effektivität und Genauigkeit des Verfahrens jedoch durch die Randbedingungen realerMotorsysteme stark eingeschränkt:

(7.1)

(7.2)

(7.3)

Sensordatenfusion

��

• Die Dynamik des Luftmassensensors muß berücksichtigt werden.• Starke Pulsationen im Druck- und Luftmassensignal führen zu erheblichen Meßfehlern.• Konventionelle Filtertechniken verursachen unerwünschte, zusätzliche Verzögerungen.• Ein Ausfall des Luftmassensensors verursacht einen Systemausfall. In den folgenden Abschnitten wird, basierend auf dem beschriebenen Ansatz ein Algorithmuszur Luftmassenschätzung vorgestellt, der die in der Praxis auftretenden Randbedingungen be-rücksichtigt und zusätzlich den Drosselklappenwinkel als Lastsignal nutzt.

�� 'DV�6\VWHPPRGHOO

Der Zustandsvektor enthält 5 Zustände, den Saugrohrdruck, die Saugrohrtemperatur, der geo-metrische Strömungsquerschnitt, sowie dessen zeitliche Ableitung und den Luftmassenstromdes Heißfilmluftmassensensors.

[

S

7

$

G$

P

V

/6

JHR

JHR

+)0

=

&

Die Eingangsgrößen bilden die Drehzahl, Außendruck, Außentemperatur und die Saugrohr-wand- bzw. Kühlwassertemperatur.

X

1

S

7

7

D

D

6:

=

Die Modellierung erfolgt analog zu Kap. 5 im Kurbelwinkelbereich, um bei der Berücksichti-gung der Druck- und Luftmassenpulsationen eine konstante Frequenz zu erhalten. Die erstenbeiden Differentialgleichungen beschreiben die bekannten thermodynamischen Zustandsände-rungen von Druck und Temperatur im Saugrohr. Die Modellierung der Drosselklappenbewe-gung mit Hilfe der beiden Zustände $

JHR und G$

JHR bietet mehrere Vorteile.

• Der Strömungsquerschnitt stellt in der modellierten Form die Verkopplung zwischen demgemessenen Luftmassenstrom und den übrigen Lastsensoren dar.

• Der Luftmassenstrom an der Drosselklappe &P/'.

benötigt im Gegensatz zum Ansatz inKap. 5 keinen adaptiven Parameter.

• Die Modellierung der Querschnittsänderung als farbiger Rauschprozeß ermöglicht analog zuKap. 6 eine Totzeitkompensation.

(7.4)

(7.5)

Sensordatenfusion

��

Der farbige Rauschprozeß zur Modellierung des Strömungsquerschnitts an der Drosselklappespielt darüber hinaus bezüglich Modell- und Parametrierungsfehler eine wesentliche Rolle. Erkann als ”elastisches Band” zwischen der Saugrohrdruckdifferentialgleichung und der Diffe-rentialgleichung für den Luftmassenstrom am Luftmassensensor interpretiert werden.Eine starre Kopplung, die z.B. durch die Modellierung des Strömungsquerschnitts als Ein-gangsgröße realisiert werden kann, führt im Fall von Modell- und Parametrierungsfehlern im-mer auch zu Fehlern im Saugrohrdruck oder in den Luftmassenströmen.Die letzte Differentialgleichung des Systemmodells beschreibt das dynamische Verhalten desHeißfilmluftmassensensors (Verzögerungsglied 1. Ordnung).

( )[ ]′ =−

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ −

+S1 9

P F 7 P F 7 N $ 7 7 Z6

6

/'. S D /=\O S /6 6 6: /6 3

1

6

1κ& & *

( )′ = ′ ⋅ − −

+71

7S

S 17 59

P P Z/6

/6

66

/6

6/'. /=\O 7

1

66 & & *

′ = ⋅$1

G$JHR JHR

16

G$1

G$ ZJHR

$

JHR $′ = − ⋅

+1

6

1

τ*

& & & *′ = − ⋅ +

+P1

P P Z+)0

+

+)0

+

'. +

1

6

1 1

τ τ

mit & ( ) ( ) ( , , )P $ F 35 7

3 3/'. JHR '. ' '. D

L D

V D= ⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅α α ψ γ2

und &PS

5 71 9

Q/=\O

V

/ /6

+XE

=\O 9RO=⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅60 2

η

Insgesamt sind vier kurbelwinkelsynchrone driving noise Komponenten erforderlich. Sie sinderwartungswertfrei und gaußverteilt. Zur Beschreibung ihrer stochastischen Eigenschaften rei-chen die ersten beiden Momente:

(

Z W

Z W

Z W

Z W

S

7

$

+

*

*

*

*

( )

( )

( )

( )

= 0

(7.6)

(7.7)

(7.8)

(7.9)

(7.10)

(7.11)

Sensordatenfusion

��

(

Z W

Z W

Z W

Z W

Z W

Z W

Z W

Z W

T

T

T

T

4

S

7

$

+

S

7

$

+

7

S

7

$

+

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

⋅

++++

=

⋅ = ⋅

ττττ

δ τ δ τ

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

Die stochastische Kontrollmatrix G entspricht in diesem Fall keiner Einheitsmatrix, da die An-zahl der driving noise Komponenten nicht identisch der Anzahl der Zustände ist.

* =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Das Gesamtsystemmodell lautet in vektorieller Darstellung:

( )[ ]( )

′′′

′′

= ⋅

−⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −

′ ⋅ − −

− ⋅

− ⋅ +

S

7

$

G$

P

1

9P F 7 P F 7 N $ 7 7

7S

S 17 59

P P

G$

G$

P P

V

/6

JHR

JHR

+)0

6

/'. S D /=\O S /6 6 6: /6

/6

6

6

/6

6

/'. /=\O

JHR

$

JHR

+

+)0

+

'.

&

& &

& &

& &

1

6

1

6

1

1 1

κ

τ

τ τ

+

⋅

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Z W

Z W

Z W

Z W

3

7

$

+

*

*

*

*

( )

( )

( )

( )

�� 'DV�%HREDFKWXQJVPRGHOO

In den Meßgleichungen werden die Zustände der Systemgleichungen auf die Ausgangsgrößenabgebildet. Als Lastsignale stehen die Ausgangssignale von Drucksensor, Luftmassensensorund Drosselklappenpotentiometer zur Verfügung. Die Ausgangsgrößen des Modells lauten:

$

$

$

&$]

S

$

P

6P

JHRP

+)0P

=

(7.12)

(7.13)

(7.14)

(7.15)

Sensordatenfusion

��

Im Gegensatz zu den bisherigen Ansätzen stellt der Drosselklappenquerschnitt keine Eingangs-größe, sondern eine Meßgröße dar. Die Modellierung der Druck- und Luftmassenpulsationenkann als Alternative zum Ansatz in Kap. 5 ebenfalls in den Gleichungen des Beobachtungsmo-dells (7.16) - (7.18) erfolgen.

( )[ ]$ ( ) cos ( )S S $ Y6P 6 3 S 3 3ϕ ω ϕ ϕ ϕ= ⋅ + ⋅ ⋅ + +1 0

$ ( ) $ ( )$ $ YJHRP JHR $ϕ ϕ= +

( )[ ]&$ ( ) &$ cos ( )P P $ Y+)0P +)0 P P P P

ϕ ω ϕ ϕ ϕ= ⋅ + ⋅ ⋅ + +1 0

Eine Berücksichtigung der deterministischen Störungen in den Systemgleichungen würde min-destens vier zusätzliche Zustände erfordern. Der dafür erforderliche Rechenaufwand erscheintin der Praxis nicht vertretbar. Die Berücksichtigung in den Beobachtungsgleichungen erfordertjedoch eine zusätzliche Bestimmung der Phasen- und Amplitudenbeziehungen der harmoni-schen Überlagerung. Die Parameter $

3, $

P, ϕ0 S und ϕ0P können offline ermittelt und in

Kennfeldern abgelegt werden.Alternativ können diese Parameter auch mit Hilfe einer online-FFT bestimmt werden. Die Be-rechnung von Fouriertransformationen in Echtzeit ist üblicherweise aufgrund begrenzter Rech-nerressourcen nur selten möglich. Allerdings ist bei der beschriebenen Anwendung die Be-trachtung von nur vier bis acht Meßpunkten ausreichend. In Kombination mit einem nichtlinea-ren Kalman-Filter erfolgte eine Implementierung dieser Alternative auf einem digitalen Signal-prozessor [Gan].Die Pulsationsfrequenzen ω und ω

P sind bei kurbelwinkelsynchroner Abtastung identisch

und konstant. Zur Modellierung der Meßstörungen wird für je einen Sensor eine Rauschkom-ponente benötigt. Diese Rauschprozesse sind analog zu allen übrigen Ansätzen erwartungs-wertfrei, gaußverteilt und von allen anderen Größen unabhängig. Die Gleichungen (7.19) und(7.20) beschreiben ihre stochastischen Eigenschaften.

(

Y

Y

Y

S L

$ L

+ L

( )

( )

( )

ϕϕϕ

= 0

(

Y

Y

Y

Y

Y

Y

U

U

U

L M 5 L M3 L

$ L

+ L

S M

$ M

+ M

7

S

$

+

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( , ) ( , )

ϕϕϕ

ϕϕϕ

δ δ

⋅

=

⋅ = ⋅0 0

0 0

0 0

(7.16)

(7.17)

(7.18)

(7.19)

(7.20)

Sensordatenfusion

��

�� (LQ�([WHQGHG�.DOPDQ�)LOWHU�]XU�6HQVRUGDWHQIXVLRQ

�� 'LH�)LOWHUJOHLFKXQJHQ

Die Überführung der in Kap. 7.2 beschriebenen System- und Beobachtungsgleichungen in denrekursiven Algorithmus eines kontinuierlich/diskreten Kalman-Filters erfolgt in gewohnterWeise. Es entsteht ein Extended Kalman-Filter 5. Ordnung mit 3 Beobachtungen. Im time up-date müssen zur Prädiktion der Zustände drei nichtlineare (für den Saugrohrdruck, die Saug-rohrtemperatur und den Luftmassenstrom am Luftmassensensor) und zwei lineare Differential-gleichungen (für den effektiven Strömungsquerschnitt) gelöst werden. Mit Euler als Integrati-onsverfahren lautet die Zustandsprädiktion im time update:

S N

7 N

$ N

G$ N

P N

S S I S 7 $.

7 7 I 7 S $.

$ $ I G$.

G$ G$

6

/6

JHR

JHR

+)0

6 6 3 6 /6 JHR

/6 6 7 /6 6 JHR

JHR JHR $ JHR

JHR JHR

L L L L L

L L L L L

L L L

L L

−

−

−

−

−

+

+

+

+

+

=

= + ⋅

= + ⋅

= + ⋅

=

+

+

+

+

( )

( )

( )

( )

& ( )

( , , )

( , , )

( )

1

1

1

1

1

1

1

1

1

∆

∆

∆

∆

∆

∆

ϕ

ϕ

ϕ

+ ⋅

= + ⋅

+

=

= −

I G$.

P P I P 3 $.

G$ JHR

+)0 +)0 P +)0 6 JHR

L

L .

L

L L L L L

( )

& & ( & , , )

∆

∆∆

∆

∆

ϕ

ϕ1

0

1

( )[ ]I S 7 $1 9

P FS 7 P FS 7 N $ 7 73 6 /6 JHR

6

/'. D /=\O /6 6 6: /6L L L L L

( , , ) & &= ⋅−

− + −1

6

1κ

( )I S 7 $1

7S

I S 7 $ 17 5

9P P7 6 /6 JHR

/6

6

3 6 /6 JHR

/6

6

/'. /=\OL L L

L

L L L

L( , , ) ( , , ) & &= ⋅ ⋅ − −

1

66

I $1

G$$ JHR JHRL L

( ) = ⋅16

I G$1

G$G$ JHR

$

JHRL L

( ) = − ⋅ ⋅16

1τ

I P S $1

P PP +)0 6 HR

+

+)0

+

'.L L L L

( & , , ) & &= − ⋅ +

1

6

1 1

τ τ

(7.21)

(7.22)

(7.23)

(7.24)

(7.25)

(7.26)

Sensordatenfusion

��

Für die Startwerte innerhalb einer Abtastung gilt:

S L

7 L

$ L

G$ L

P L

S N

7 N

$ N

G$ N

P N

6

/6

JHR

JHR

+)0

6

/6

JHR

JHR

+)0

L

L

L

L

L

( )

( )

( )

( )

& ( )

( )

( )

( )

( )

& ( )

=

=

=

=

=

=

+

+

+

+

+

0

0

0

0

0

Die Berechnung der Prädiktionsfehlerkovarianzmatrix erfordert die partiellen Ableitungen derSystemgleichungen. Aufgrund der schwachen Verkopplung zwischen dem dynamischen Dros-selklappenmodell und den Thermodynamikgleichungen sind nur ein Teil der 25 Elemente derLinearisierungsmatrix besetzt.

) W [ W W

) ) ) ) )

) ) ) ) )

) ) ) ) )

) ) ) ) )

) ) ) ) )

) ) )

) ) )

)

)

) ) )

L

SS S7 S$ SG$ SP

7S 77 7$ 7G$ 7P

$S $7 $$ $G$ $P

G$S G$7 G$$ G$G$ G$P

PS P7 P$ PG$ PP

SS S7 S$

7S 77 7$

$G$

G$G$

PS P$ PP

( , $( / ))

&

&

&

&

& & & & & & & & & &

=

=

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0

mit:

)SS 1 9

PS

F 7P

SF 7SS

6

6 6

/'.

6

S D

/=\O

6

S /6=′

= ⋅−

⋅ − ⋅

∂∂

κ ∂∂

∂∂

1

6

1 & &

)S7 1 9

P

7F 7 P F N $S7

6

6 6

/=\O

6

S 6 /=\O S 6=′

= ⋅−

⋅ + ⋅ + ⋅

∂∂

κ ∂∂

1

6

1 &&

)S$ 1 9

P$

F 7S$

6

JHR 6

/'.

JHR

S D=′

= ⋅−

⋅

∂∂

κ ∂∂

1

6

1 &

(7.27)

(7.28)

(7.29)

(7.30)

( )[ ])7S 1

7S 9

P F 7 P F 7 N $ 7 7

7 5S 9

PS

P

S7S 9

PS

F 7P

SF 7

7 5S 9

7S

/6

6

/6

6 6

/'. S D /=\O S /6 6 6: /6

/6

6 6

/'.

6

/=\O

6

/6

6 6

/'.

6

S D

/=\O

6

S /6

/6

6 6

=′

=−

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ −

−

−⋅⋅

−

+

−⋅ − ⋅

+

+⋅⋅

∂∂

κ

∂∂

∂∂

κ ∂∂

∂∂

1

6

1

1

2

2

2

2

& &

& & ( ) & &

( )& &P P/'. /=\O−

(7.32)

(7.31)

Sensordatenfusion

��

)7$

S$

7S 1

7S

59

P$7$

/6

JHR

6

JHR

/6

6

/6

6 6

/

JHR

=′

=′

⋅ − ⋅ ⋅ ⋅∂∂

∂∂

∂∂

1

6

2 &

)$

G$ 1$G$

JHR

JHR

=′

=∂∂

1

6

)G$

G$ 1G$G$

JHR

JHR $

=′

= ⋅ −

∂∂ τ

16

1

)P3 1

P3P3

+)0

6 +

/'.

6

&

& &= ′ = ⋅ ⋅∂

∂ τ∂

∂1

61

)P$ 1

P$P$

+)0

JHR +

/'.

JHR

&

& &= ′ = ⋅ ⋅∂∂ τ

∂∂

16

1

)PP 1PP

+)0

+)0 +

& &

&

&= ′ = ⋅ −

∂∂ τ

16

1

Die kombinierte Lösung von Zustands- und Prädiktionsfehlerdifferentialgleichung im time up-date mit Euler als Integrationsvefahren lautet:

S N

7 N

$ N

G$ N

P N

3 N

S S I S 7 $.

7 S I 7 S $.

$ $ I G$.

6

/6

JHR

JHR

+)0

6 6 3 6 /6 JHR

/6 6 7 /6 6 JHR

JHR JHR $ JHR

L L L L L

L L L L L

L L L

−

−

−

−

−

−

+

+

+

+

+

+

=

= + ⋅

= + ⋅

= + ⋅

+

+

+

( )

( )

( )

( )

& ( )

( )

( , , )

( , , )

( )

1

1

1

1

1

1

1

1

1

∆

∆

∆

∆

∆

ϕ

ϕ

ϕ∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

G$ G$ I G$.

P P I P S $.

3 3 I 3 ).

JHR JHR G$ JHR

+)0 +)0 P +)0 6 JHR

PQ PQ PQ PQPQ

PQ

L

L .

L L L

L L L L L

L L L L

+

+

+

= + ⋅

= + ⋅

= + ⋅

=

=

==

=

= −

1

1

1 11

55

0

1

( )

& & ( & , , )

( , )

ϕ

ϕ

ϕ

( )[ ] ( ))77 1 S 9

P F 7 P F 7 N $ 7 77 59

P P

7S 9

P

7F 7 P F N $

7 59

P

7

77

/6

6 6 6

/'. S D /=\O S /6 6 6: /6

/6

6

/'. /=\O

/6

6 6

/=\O

6

S /6 /=\O S 6

/6

6

/=\O

6

=′

=−⋅

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − −⋅ ⋅

− +

+−

⋅⋅ + ⋅ + ⋅

+

⋅⋅

∂∂

κ

κ ∂∂

∂∂

1

6

1 2

1 2

& & & &

( ) &&

&

(7.34)

(7.33)

(7.35)

(7.36)

(7.37)

(7.38)

(7.39)

(7.40)

Sensordatenfusion

��

mit I 3 ) ) 3 3 ) * 4 *PQ PQ L L L L

7

L

7

L L

( , ) = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅

Im measurement update werden zur Berechnung der Kalman Gains, sowie der Schätzfehlerko-varianzmatrix die linearisierten Beobachtungsgleichungen benötigt. Die partiellen Ableitungender Beobachtungsgleichungen nach allen vorkommenden Zuständen lauten:

( )+ [ N NK [ N

[

+

+

+[ [ N

SS

$$

PP

$ ( ),( , )

$ ( )& &

−

= +

+ + =+

=

−

1 11

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 01

∂∂

mit:

( )+SS

$33

6P

6

3 S S= = + ⋅ ⋅ +∂∂

ω ϕ ϕ$

cos )1 0

+$

$$$

JHRP

JHR

= =∂∂

ϕ$

( ) 1

( )+PP

$PP

+)0P

+)0

P P P& &

&$

&cos= = + ⋅ ⋅ +∂

∂ω ϕ ϕ1 0

Im Gegensatz zu den Filtervarianten aus Kap. 5 und Kap. 6 wird aufgrund der vektoriellen Be-obachtung eine Matrizeninversion zur Bestimmung der Kalman Gains erforderlich (3.47). Alleübrigen Schritte des Algorithmus erfolgen mit den gleichen Randbedingungen wie in Kap. 5.Abb. 7.2 zeigt die Gesamtstruktur des Algorithmus im Blockschaltbild.Das Verfahren verfügt wie alle anderen beschriebenen Ansätze über die beiden Thermodyna-mikgleichungen für den Saugrohrdruck und die Saugrohrtemperatur. Hinzu kommt jetzt einModell für die Dynamik von Drosselklappe und Luftmassensensor. Das Pulsationsmodell ist indie Beobachtungsgleichungen integriert und liefert die geschätzten Ausgangsgrößen für denpulsierenden Saugrohrdruck und den pulsierenden Luftmassenstrom am Luftmassensensor. Dieerforderlichen Phasen- und Amplitudenbeziehungen werden im Block ”FFT” ermittelt. Auf-grund der vektoriellen Beobachtungsgleichung ergeben sich die drei Residuen für den Saug-rohrdruck, den Luftmassenstrom am Luftmassensensor und den effektiven Strömungsquer-schnitt an der Drosselklappe.

(7.41)

(7.42)

(7.43)

(7.44)

(7.45)

Sensordatenfusion

��

�� 3DUDPHWULHUXQJ

Im Gegensatz zu Kap. 5 werden wesentlich höhere Anforderungen an die Parametrierung desdeterministischen Teils des Störmodells gestellt. Amplituden und Phasen der Saugrohrdruck-bzw. Luftmassenschwingungen sind nicht als Zustände modelliert sondern stellen zeitvarianteParameter dar. Fehler bei der Parametrierung führen zu einem störenden Restwechselanteil vonSaugrohrdruck und Luftmassenstrom an der Drosselklappe.Die Phasenwinkel hängen primär von den Einlaßventilsteuerzeiten ab und können bei dem be-trachteten Aggregat entsprechend der Nockenwellenstellung jeweils zwei unterschiedlicheWerte annehmen. Die Amplituden sind sowohl drehzahl- als auch lastabhängig. Im vorligendenBeispiel erfolgt die Bestimmung dieser Parameter mit Hilfe einer Online-FFT (8 Punkte).Die stochastischen Parameter können größtenteils aus den Ansätzen von Kap. 5 und Kap. 6übernommen werden. Die Varianzen bzw. die Autokorrelationsfunktion des Meßrauschens vonSaugrohrdruck und effektivem Strömungsquerschnitt entsprechen Abb. 5.21 und Abb. 6.4. DieVarianz der Störungen des Luftmassenstromes wird analog zu den Saugrohrdruckstörungenermittelt.Die driving noise Komponente des Strömungsquerschnitts T

$, sowie die Kor-

relationszeitkonstante τ$

der Drosselklappenbewegung sind bereits aus Kap. 6 bekannt. AlsTuning Parameter bleiben die Varianzen der driving noise Komponenten für den Saugrohr-druck, die Saugrohrtemperatur und den Luftmassenstrom am Luftmassensensor.

$76

$S6

′S6

&P/'.

&P/=\O

$76

$S6

SD

1 17.:

.1 .4 5, .3.2

U3

Saugrohrdruck

Saugrohrtemperatur

Drossel-klappe

1

$[−

5

4

Motor(Zylinder)

7DHFM

&P/'.

Pulsationen

FFT

KalmanGains

$S6

&

$

P+)0

UP

Uα

&

$

P+)0

P

$$JHR

P

$S6P

&P+ )0

P

S6P $

JHRP

$P

$3

ϕ 0P ϕ 0 3

$EELOGXQJ�� 6WUXNWXU�GHU�/DVWHUIDVVXQJ�PLWWHOV�6HQVRUGDWHQIXVLRQ

Sensordatenfusion

��

�� (UJHEQLVVH�PLW�5HDOGDWHQ

Abbildung 7.3 zeigt die Meß- und die Schätzwerte von effektivem Strömungsquerschnitt,Saugrohrdruck und Luftmassenstrom an der Drosselklappe bzw. am Luftmassensensor währendeines positiven Lastsprungs. Die Daten wurden während einer sportlichen Versuchsfahrt aufge-zeichnet. Die Drehzahl beträgt im Mittel ca. 2000 U/min.Zwischen gemessenem und geschätztem Strömungsquerschnitt besteht bis auf den Bereichgroßer Querschnitte eine gute Übereinstimmung. Die Abweichungen werden durch ein leichtesÜberschwingen des Drosselklappenmodells, sowie durch Modell- bzw. Parametrierungsfehlerverursacht. Der geschätzte Saugrohrdruck zeigt im Gegensatz zur Saugrohrdruckmessung einenglatten, von Pulsationen befreiten Verlauf. Die dritte Spalte von Abbildung 7.3 zeigt den vomLuftmassensensor gemessenen Luftmassenstrom, den Schätzwert des mittleren Luftmassen-stromes des Sensors, sowie den mittleren Luftmassenstrom an der Drosselklappe. BeideSchätzwertverläufe sind glatt und von Pulsationen befreit. Der mittlere Luftmassenstrom an derDrosselklappe eilt den beiden übrigen Kurvenverläufen geringfügig vor. Die Ursache dieserVoreilung ist in der Berücksichtigung der Sensordynamik begründet.

Mit den folgenden Abbildungen soll die Robustheit des Verfahrens dargestellt werden. In allenMeßgrößen sind in Verbindung mit der Motordrehzahl Informationen über die gewünschtenZustandsgrößen (Luftmassenstrom, Saugrohrdruck, Saugrohrtemperatur) enthalten(s. Abb. 7.1). Im Fall eines Sensorausfalls ist der Algorithmus in der Lage, mit Hilfe der restli-chen, zur Verfügung stehenden Informationen die gewünschten Zustandsgrößen zu bestimmenbzw. zu rekonstruieren. In diesem Fall erhöhen sich selbstverständlich die Schätzfehler.


Aef

f [m

^2]

4e-005

8e-005

0.00012

0

Messung

Schätzung


ps [h

Pa]

300

500

700

100

900

Messung

Schätzung


mpk

t_hf

m [k

g/h]

20406080

0

100

Messung

HFM_Mittel

mdk_pkt

$EELOGXQJ�� 6WU|PXQJVXHUVFKQLWW�� PLWWOHUHU� 6DXJURKUGUXFN� XQGPLWWOHUH� /XIWPDVVHQVWU|PH� ZlKUHQG� HLQHV� SRVLWLYHQ/DVWVSUXQJV�EHL��8�PLQ

Sensordatenfusion

��

Voraussetzung für die maximale Ausnutzung der restlichen Sensorinformationen ist eine An-passung der measurement noise Komponenten des betreffenden ausgefallenen Sensorsignals.Die Identifikation des Sensorausfalls erfolgt üblicherweise eine Auswertung der Residuen.Der wesentliche Aufwand bei dieser Vorgehensweise liegt erfahrungsgemäß in Festlegung derfür eine Plausibilitätsprüfung erforderlichen Schwellwerte der Residuen. Zu diesem Sachver-halt existieren eine Reihe wissenschaftlicher Arbeiten. In [Nyb] wird ein leistungsfähiges Ver-fahren für den Bereich der Motordiagnose beschrieben.Abbildung 7.4 zeigt das Schätzergebnis der Sensordatenfusion bei Ausfall des Luftmassensen-sors. Der Algorithmus erhält ein konstantes mit geringem Rauschen überlagertes Luftmassen-signal. Dieser simulierte Fehler entspricht einem mechanisch beschädigten Sensorelement odereinem Leitungsbruch. Der Fehlerfall wird als bekannt vorausgesetzt und die Varianz des Meß-rauschens für das Luftmassensignal um Faktor 10^3 erhöht. Die Komponenten des Meß-rauschens dürfen prinzipiell nicht beliebig erhöht werden, da sich die Matrizeninversion inGleichung 3.47 bei endlicher numerischer Rechengenauigkeit nicht mehr durchführen läßt.Trotz fehlendem Luftmassensignal können beide Luftmassenschätzwerte gebildet werden. DieGenauigkeit des Schätzergebnisses hängt in diesem Fall direkt von der Genauigkeit des Saug-rohrdrucks und des Drosselklappenmodells ab. Beide Signale sind von Pulsationen befreit undzeigen keinen störenden Phasenverzug. Die Verläufe der Schätzwerte von effektivem Strö-mungquerschnitt und Saugrohrdruck entsprechen dem ungestörten Fall von Abbildung 7.4.

Abbildung 7.5 zeigt das Schätzergebnis bei Ausfall des Saugrohrdrucksensors. Der rekonstru-ierte, mittlere Saugrohrdruck zeigt zwischen dem vierten und sechsten Arbeitsspiel eine Ab-weichung von etwa 5 %. Diese ist auf ein nicht exakt parametriertes Saugrohrmodell, sowie aufdas jetzt deutlich erkennbare Einschwingverhalten des effektiven Strömungsquerschnitts zu-rückzuführen.


Messung

Schätzung


Messung

Schätzung


Referenz

Messung

HFM_Mittel

mdk_pkt

Aef

f [m

^2]

4e-005

8e-005

0.00012

0

ps [h

Pa]

300

500

700

100

900

mpk

t_hf

m [k

g/h]

20406080

0

100

$EELOGXQJ�� 6FKlW]HUJHEQLVVH� EHL� SRVLWLYHP� /DVWVSUXQJ� XQGGHIHNWHP�/XIWPDVVHQVHQVRU�EHL��8�PLQ

Sensordatenfusion

��

Der Ausfall des Drosselklappenpotentiometers ist in Abbildung 7.6 dargestellt. Die Verläufedes Saugrohrdrucks und der Luftmassenströme werden nur gering beeinflußt.

Arbeitsspiel2 4 60 8

Aef

f [m

^2]

4e-005

8e-005

0.00012

0

Messung

Schätzung


ps [h

Pa]

300500

700

100

900

ReferenzMessung

Schätzung


mpk

t_hf

m [k

g/h]

20406080

0

100

Messung

Schätzung

$EELOGXQJ�� 6FKlW]HUJHEQLVVH� EHL� SRVLWLYHP� /DVWVSUXQJ� XQGGHIHNWHP�6DXJURKUGUXFNVHQVRU�EHL��8�PLQ


Aef

f [m

^2]

4e-005

8e-005

0.00012

0

0.00016

ReferenzMessung

Schätzung


ps [h

Pa]

300

500

700

100

900

Messung

Schätzung


mpk

t_hf

m [k

g/h]

20406080

0

100

Messung

Schätzung

$EELOGXQJ�� 6FKlW]HUJHEQLVVH� EHL� SRVLWLYHP� /DVWVSUXQJ� XQGGHIHNWHP� 'URVVHONODSSHQSRWHQWLRPHWHU� EHL� ��8�PLQ

Sensordatenfusion

��

Der rekonstruierte, effektive Strömungsquerschnitt wird aus diesen Verläufen mit Hilfe desDrosselklappenmodells berechnet. Aufgrund von Modellungenauigkeiten des Drosselklappen-modells erreicht der stationäre Fehler des Strömungsquerschnitts ca. 5%.Abbildung 7.7 stellt als letztes Beispiel einen Doppelfehler mit defektem Luftmassensensorund defektem Drosselklappenpotentiometer dar. Dem Schätzalgorithmus stehen also nur derSaugrohrdruck als Meßgröße und die Drehzahl, der Außendruck, die Außentemperatur und dieKühlwassertemperatur als Eingangsgrößen zur Verfügung. Analog zum effektiven Strömungs-querschnitt zeigt nun auch der Verlauf des Luftmassenstromes ein Einschwingverhalten. DerVerlauf des geschätzten mittleren Saugrohrdrucks bleibt unbeeinflußt.

Prinzipiell gehören Notlauffunktionen mit beschränktem Sensorumfang im Bereich der Motor-steuerung zum Stand der Technik (z.B. Drosselklappennotlauf bei HFM-Ausfall). Allerdingshandelt es sich in diesen Fällen immer um eigenständige Funktionen, welche im Bedarfsfallaktiviert werden müssen. Im Gegensatz dazu ist im vorliegenden Fall keine explizite Struk-turumschaltung erforderlich. Die unterschiedliche Gewichtung der Sensorinformationen wirdim wesentlichen durch die Komponenten des Meßrauschens und die Beobachtungsmatrix fest-gelegt. Einen ausführlichen und theoretisch fundierten Beitrag zu dieser Thematik liefert[Arndt-1].

Arbeitsspiele2 4 60 8

Aef

f [m

^2]

4e-005

8e-005

0.00012

0

0.00016

ReferenzMessung

Schätzung


ps [h

Pa]

300

500

700

100

900

Messung

Schätzung


mpk

t_hf

m [k

g/h]

20406080

0

100

Referenz

Messung

Schätzung

$EELOGXQJ�� 6FKlW]HUJHEQLVVH� EHL� SRVLWLYHP� /DVWVSUXQJ� XQGGHIHNWHU�/XIWPDVVHQ��XQG�'URVVHONODSSHQVHQVRULNEHL��8�PLQ

Kompensation der Wandfilmdynamik

��

� .RPSHQVDWLRQ�GHU�:DQGILOPG\QDPLN

Neben der korrekten Erfassung und Prädiktion der Luftmassen in den Zylindern ist die Kom-pensation der Wandfilmdynamik die zweite Voraussetzung für eine Optimierung der instatio-nären Gemischbildung. Das folgende Kapitel beschreibt die Identifikation des in Kap. 4 be-schriebenen Wandfilmodells, sowie eine robuste Kompensationsregelung im Zustandsraum.Aufgrund der Problematik der erhöhten HC-Emissionen beim Kaltstart werden die Wand-filmeigenschaften auch bei tiefen Temperaturen (-10° C) berücksichtigt.

�� ,GHQWLILNDWLRQ�GHU�:DQGILOPG\QDPLN

�� 0H�XPJHEXQJ�XQG�5DQGEHGLQJXQJHQ

Das Identifikationsproblem entspricht der Bestimmung der Zeitkonstanten τ:

und τ9

, sowieder Teilungsfaktoren ;

: und ;

9 des Wandfilmmodells 2. Ordnung mit Durchgriff. Als Ver-

suchsmotor dient ein über einen weiten Temperaturbereich konditionierbares Einzylinder-aggregat. Zylinderkopf und Ansauganlage entsprechen dabei dem zitierten 2.3l 4-Ventil- Vier-zylindermotor. Mit Hilfe zusätzlicher Resonatoren im Saugrohr wurde das Pulsationsverhaltendem Vollmotor angepaßt. Zur exakten Bilanzierung der Kraftstoffmassen zwischen Ein-spritzung und Verbrennung muß die Luftmasse im Zylinder bekannt sein, da als einziges Meß-signal das Luft-/Kraftstoffverhältnis der Lambdasonde zur Verfügung steht.Um den zu identifizierenden Prozeß genügend anzuregen, werden künstliche Testsignale alsEingangssignale verwendet. Die Art der einzusetzenden Eingangssignale muß den Möglich-keiten der zu identifizierenden Strecke angepaßt werden (Stellgrößenbereich, Grenzfrequenz,sicherheitskritische Betriebspunkte). Ausführliche Arbeiten zu dieser Thematik finden sich in[Iser, Ljung]. Im vorliegenden Fall werden vorwiegend Pseudo-Rausch-Binärsignale (PRBS)eingesetzt (sie werden häufig auch als pseudo-binäre Rauschsignale bezeichnet). Zur besserenVerifikation und Darstellung des Identifikationsergebnisses eignen sich zusätzlich Sprung-funktionen als nichtperiodische Funktionen. In Abbildung 8.1 ist ein Pseudo-Rausch-Binärsignal dargestellt. Die dazugehörige Autokorrelationsfunktion enthält im Bereich T → 0einen Impuls bei τ=0 und entspricht damit näherungsweise der Autokorrelationsfunktion vonweißem Rauschen. Zur Anregung der Wandfilmdynamik bestehen bei konventionellen, gedros-selten Saugmotoren prinzipiell zwei Möglichkeiten:

• Modulation der Drosselklappe Die Bewegung der Drosselklappe bewirkt direkt eine Veränderung des Luftmassenstromes undsomit eine Laständerung. Bei angestrebtem stöchiometrischem Gemischverhältnis wird dieEinspritzmenge der Last angepaßt und der Wandfilm angeregt. Auf Basis der eingespritztenKraftstoffmasse, der berechneten Zylinderluftmassen und dem gemessenen Luft-/Kraft-stoffverhältnisses (mit Hilfe der Lambdasonde) kann dann die Dynamik des Wandfilmes identi-fiziert werden.


��

Diese Vorgehensweise setzt keine Modifikation einer serienmäßigen Motorsteuerung vorausund wird aufgrund des geringen Aufwandes bevorzugt angewendet [Tur-2, Ond]. Voraus-setzung für ein genaues Identifikationsergebnis ist jedoch die exakte Kenntnis der instationärenZylinderluftmassen.

• Modulation der Einspritzzeit bei konstanter Last Eine weitere Methode zur Wandfilmanregung ist die Veränderung der Einspritzzeit bei kon-stanter Last. Da sich der Luftmassenstrom nicht ändert, muß zur Identifikation nach einem Sta-tionärabgleich (Luftmassenstrom, Einspritzung, Lambda) nur die eingespritzte Kraftstoffmengeund das Luft-/Kraftstoffverhältnis experimentell ermittelt werden. Eine aufwendige, instationä-re Lasterfassung ist nicht notwendig. Allerdings muß in diesem Fall die Motorsteuerungs-elektronik modifiziert werden. Für die nachfolgende Identifikation wurden Drosselklappenwinkel und Drehzahl und damit dieLuftmasse im Zylinder konstant gehalten. Das Einspritzventil wird über ein einfach konfigu-rierbares Prototypensteuergerät (A-Muster Steuerung) angesteuert. In Abbildung 8.2 ist dieGrundstruktur der Identifikation der Wandfilmdynamik abgebildet. Um eine Identifikation an der offenen Strecke zu gewährleisten, dürfen keine übergeordnetenRegelstrecken (Lambdaregelung, Leerlaufregelung) aktiv sein. Der Faktor k<1 in Abbildung8.2 stellt einen Korrekturterm für die stationäre Kraftstoffbilanzierung dar. Er berücksichtigt,daß auch im Stationärbetrieb nicht die gesamte Kraftstoffmenge im Zylinder zur Verbrennungzur Verfügung steht. Ein Teil des Kraftstoffes tritt, je nach Motortemperatur, ins Öl über, oderwird als CO oder HC mit dem Abgas emittiert. Bei Dauerbetrieb des Motors beiT=-10°C kann dieser Anteil bis zu 20% des eingespritzten Kraftstoffs betragen. Dieser Wertwurde exemplarisch mit Hilfe einer chemischen Analyse des Motoröls festgestellt. Die als HCund CO im Abgas enthaltenen Anteile werden mit einer Abgassensorik gemessen. Bei derIdentifikation muß dieser Effekt insbesondere bei tiefen Kühlwassertemperaturen berücksich-tigt werden.

100500

0.8

0.6

0.4

0.2

0

1

Taktzeit250200150 300

-100-200-300

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

1

2001000 300Taktzeit

$EELOGXQJ� �� 3VHXGR�5DXVFK�%LQlUVLJQDO� PLW� $XWRNRUUHODWLRQV�IXQNWLRQ


��

Grundsätzlich zeigt der Kraftstoffpfad eine nichtlineare Struktur (Abbildung 4.24). Das Ein-spritzventil, die Gemischbildung, die Verbrennung und die Dynamik der Lambdasonde zeigennichtlineare Eigenschaften. Die als lineare Teilstrecke modellierte Wandfilmdynamik kann nuranhand ihres Ein- und Ausgangsverhaltens identifiziert werden. Die Bestimmung der Ein-gangsgröße P N

.H( ) erfordert die Berechnung der Kraftstoffmasse anhand der Einspritzzeit und

der Einspritzkennlinie. Zur Berechnung der Ausgangsgröße P N.=\O ( ) muß zunächst die Dyna-

mik der Lambdasonde kompensiert werden. Sie kann mit guter Näherung als Verzögerungs-glied erster Ordnung mit einer von der Sprungrichtung abhängigen Zeitkonstante modelliertwerden. Laut Herstellerangaben (NGK) beträgt die Zeitkonstante für einen mager-fett Sprungca. 120 ms, für einen fett-mager Sprung ca. 200 ms. Das Verhalten des durchströmten Aus-puffkrümmers entspricht einer von der Last abhängigen Totzeit. Die Verbrennung kann alsidealer Abtaster betrachtet werden. Instationäre Änderungen der ins Öl eintretenden Kraft-stoffmasse werden vernachlässigt. Die stationären Kraftstoffdefizite werden während der Mes-sung als offset identifiziert. In Abbildung 8.3 sind die Meßdaten eines Prüfstandsversuches dargestellt. Der Lasteingang desSteuergrätes (P_saug) wird mit einem Pseudo-Rausch-Binärsignal angesteuert. Dieses Last-signal beeinflußt lediglich die Einspritzzeit (drittes Diagramm). Das Prototypensteuergerät rea-giert auf eine Änderung des Lastsignals erst nach einer Totzeit von bis zu einem Arbeitsspiel.Dieser Zeitverzug ist jedoch für die Identifikation bedeutungslos, da nicht das Lastsignal, son-dern die tatsächlich eingespritzte Kraftstoffmasse herangezogen wird. Die Last bleibt währenddes Versuches konstant. Der Saugrohrdruck wird manuell auf 500 hPa eingestellt. Die Dreh-zahl beträgt 1500 U/min. Zur Überwachung der Verbrennung wird zusätzlich der Brennraum-druck und das Ausgangssignals eines hochdynamischen HC-Sensors (Flammenionisations-detektor FID) aufgezeichnet. Der Spitzendruck folgt ebenso wie das Lambdasignal mit erkenn-barer Dynamik den Änderungen der Einspritzzeit.

Asp.

Psaug

Arbeitsspiel

Einspritz-ventil

dynam. Verhalten

über Kennlinie

korrigiert

(T-8, 80C166)

A-MusterSteuerung

ti

G1(s,T,n,P)

Wandfilm

VerbrennungG2(s,mk,ein)

UEGO

Tt-Krümmermk,ein λ mess

mLuft= (const.)

Lastsignalkünstlicherzeugt

Identifikation von G1 über Ein-/Ausgangssignale

Asp.

λ=1k<1

mk,zyl

mk,zyl=mk,zyl* - Kraftstoff ins Öl

mk,zyl*

λ =⋅

mm F

Luft

k stoich

λλ

$EELOGXQJ�� 6WUXNWXUELOG�GHU�,GHQWLILNDWLRQ


��

Bei allen Versuchen sollte zur Gewährleistung einer nahezu vollständigen Verbrennung derGrenzwert von 2000 ppm für die HC-Emission nicht überschritten werden. Der wesentlicheEinflußparameter der Wandfilmdynamik ist offensichtlich die Temperatur (Kühlwassertempe-ratur), da durch sie maßgeblich das Abdampfverhalten bestimmt wird. Aus diesem Grund wer-den die Experimente auf Temperaturvariationen (-10°C bis 80°C) konzentriert. Vergleichsmes-sungen mit Variationen von Last und Drehzahl zeigen einen geringen Einfluß auf die dynami-schen Eigenschaften des Wandfilmes. Die Wandfilmabsolutmengen zeigen jedoch eine starkeAbhängigkeit, da bei stöchiometrischem Betrieb die eingespritzte Kraftstoffmenge proportionalmit der Last ansteigt. Als Identifikationsverfahren wird die Methode der kleinsten Quadrate (Least-Square Verfah-ren) angewendet. Der Vorteil dieser Methode besteht in der einfachen Struktur und der gerin-gen erforderlichen Rechenleistung. Ihr Nachteil besteht jedoch in der Empfindlichkeit gegen-über Meßstörungen. Im Fall starker Meßstörungen enthalten die identifizierten Parameter oftunvertretbar hohe Offsets. Da die Identifikation im vorliegenden Fall jedoch offline durchge-führt wird, können die Meßsignale durch wirkungsvolle Zero-Phase Filter oder im Frequenzbe-reich von ihren Störungen weitgehend befreit werden. Ausführliche Arbeiten zu den Methodender Systemidentifikation finden sich in [Iser, Ljung, Ault].

P_z

yl

0.80.60.40.2

0-0.2

1

P_s

aug 3.5

32.5

21.5

4

FID

[10e

4 pp

m]

0.20.150.1

0.050

0.25

ti

3210

4

10005000

Lam

bda 1.1

10.90.80.70.6

1.2

8 Grad KW20001500 2500

$EELOGXQJ�� 3U�IVWDQGVPH�GDWHQ�]XU�,GHQWLILNDWLRQ


��

�� (UJHEQLVVH�GHU�,GHQWLILNDWLRQ

Abbildung (8.4) zeigt das Ergebnis der Identifikation für die Temperatur T=80°C für einPseudo-Rausch-Binärsignal und eine Sprungfunktion als Eingangsgröße (Einspritzzeit ti) bei

einer Temperatur von T=80°C. Das identifizierte Modell wird dabei mit den gleichen Ein-gangssignalen wie der Prozeß angeregt (ti). Modell und realer Prozeß zeigen bei der Tempera-tur von T=80°C eine gute Übereinstimmung.

In Abbildung 8.5 sind die absoluten Fehler zwischen gemessenem und identifiziertem Signalfür beide Anregungsfunktionen dargestellt. Für beide Eingangsfunktionen liegt der Betrag dermaximalen Lambdaabweichung nach der Einschwingphase bei ca. 0.05. Die niedrigste im Experiment realisierbare Temperatur für Kühlwasser und Ansaugluft beträgt-10°C. Unter diesen Bedingungen kann sehr gut der Einfluß des Wandfilmes auf das Kaltstart-verhalten dargestellt werden. Die Ergebnisse dieser Identifikation zeigen die Abbildungen 8.6und 8.7 Insbesondere bei der Anregung mit einem Pseudo-Rausch-Binärsignal herrscht zwi-schen simuliertem und gemessenem Verlauf erst ab dem fünfzigsten Arbeitsspiel eine guteÜbereinstimmung. Die Hauptursache liegt in der sich rasch erwärmenden Zylinderwand beikonstant konditioniertem Kühlwasser. Der Wärmeübergang im Zylinderkopf ermöglicht einAnsteigen der Temperatur im Bereich des Wandfilmes auf etwa 40°C innerhalb der ersten 100Arbeitsspiele obwohl Kühlwasser, Kraftstoff und Ansaugluft auf T=-10°C temperiert sind. Soentsteht ein Temperaturgradient von ∆T=50 - 60°C, der über das Saugrohr die Wandfilmdy-namik beeinflußt. Dieser nichtlinearen Einfluß auf die Wandfilmdynamik kann durch lineareIdentifikationsverfahren nicht berücksichtigt werden. Allerdings sind die Auswirkungen diesesTemperaturgradienten bei höheren Kühlwassertemperaturen viel geringer.

100500

Lam

bda

1

0.9

0.8

0.7

0.6

1.1

Arbeitsspiel200150 250

identifiziertgemessen

Arbeitsspiel100500

Lam

bda 1

0.8

0.6

1.2

200150 250


$EELOGXQJ�� 9HUJOHLFK�YRQ�0HVVXQJ�XQG�6LPXODWLRQ�GHV�:DQG�ILOPHIIHNWHV� EHL� 7 �� &�� 1 �� 8�PLQ�� XQG3V �� K3D


��

100500

delta

_lam

bda 0.05

0

-0.05

-0.1

0.1


Arbeitsspiel100500

delta

_lam

bda 0.05

0

-0.05

-0.1

0.1

200150 250

$EELOGXQJ�� $EVROXWH�)HKOHU�GHV� ,GHQWLILNDWLRQVHUJHEQLVVHV� I�UGLH� 3VHXGR�5DXVFK�%LQlU� )XQNWLRQ� XQG� GLH6SUXQJIXQNWLRQ�EHL�7 ��&��1 ��8�PLQ��XQG3V ��K3D

100500

Lam

bda

1

0.9

0.8

0.7

1.1



Arbeitsspiel100500

Lam

bda 1

0.8

0.6

1.2

200150 250


$EELOGXQJ�� 9HUJOHLFK� YRQ�0HVVXQJ�XQG�6LPXODWLRQ� GHV�:DQG�ILOPHIIHNWHV� EHL� 7 �� &�� 1 �� 8�PLQ�� XQG3V �� K3D


��

Der absolute Fehler in Abbildung 8.7 zwischen gemessenem und identifiziertem Signal istebenfalls zu Beginn der Messung größer. Für die Identifikation mit dem Pseudo-Rausch-Binärsignal als Eingangsgröße liegt der Betrag der maximalen Lambdaabweichung nach derEinschwingphase zu Beginn bei ca. 0.07. Nach der lokalen Aufwärmphase im Bereich desWandfilms verbleibt der Betrag unterhalb von 0.05. Die Sprungfunktion zeigt ein unkritische-res Verhalten. Der Betrag der Abweichung bleibt nach der Einschwingphase unterhalb von0.05.

�� 'LH�LGHQWLIL]LHUWHQ�3DUDPHWHU

Die in Kap. 8.1.2 beschriebenen Ergebnisse basieren ausschließlich auf der in Abbildung 4.26dargestellte Modellstruktur. Das Identifikationsverfahren arbeitet zeitdiskret und liefert diePole der äquivalenten, zeitdiskreten Übertragungsfunktion, sowie die Teilungsfaktoren für denDurchgriff, den Ventilfilm und den Wandfilm. Die Pole der zeitdiskreten Übertragungsfunktionentsprechen dabei den Termen der Rückführungen des in der Jordan-Normalform dargestelltenModells in Abb. 4.26. ] entspricht dem Pol des Wandfilmzweiges, ] dem Pol des Ventil-filmzweiges.

] H:

7$VS

:=− τ

] H9

7$VS

Y=− τ

100500

delta

_lam

bda 0.05

0

-0.05

-0.1

0.1


Arbeitsspiel100500

delta

_lam

bda

0.05

0

-0.05

-0.1

0.1


$EELOGXQJ�� $EVROXWH�)HKOHU�GHV� ,GHQWLILNDWLRQVHUJHEQLVVHV� I�UGLH� 3VHXGR�5DXVFK�%LQlU� )XQNWLRQ� XQG� GLH6SUXQJIXQNWLRQ�EHL�7 ��&��1 ��8�PLQ��XQG3V ��K3D

(8.1)

(8.2)


��

Die entsprechenden Zeitkonstanten lauten:

τ:$VS

:

7

]= −

ln

τ9$VS

9

7

]= −

ln

In Tabelle 8.2 ist die Pollage des Wandfilmzweiges in Abhängigkeit von der Kühlwassertempe-ratur aufgeführt. Dieser Pol zeigt eine starke wesentliche Abhängigkeit von der Temperatur.

Abbildung 8.8 stellt die Zeitkonstante τ in Abhängigkeit der Temperatur dar. Sie variiert ineinem großen Bereich von 3.2 s bei -10°C bis 1.2 s bei 80°C.

(8.3)

(8.4)

Temperatur Pol (] )

7.

=-10°C 0.975 7.

=0°C 0.97 7.

=20°C 0.965 7.

=40°C 0.96 7.

=60°C 0.94 7.

=80°C 0.938

7DEHOOH�� 'LH�3ROODJH�GHV�:DQGILOP�

]ZHLJHV

��

��

��

��

��

��

��

��

��

7HPSHUDWXU�LQ��&�

WDXBZ��>V@

$EELOGXQJ�� 'LH�=HLWNRQVWDQWH�GHV�:DQGILOPV�LQ�$EKlQJLJNHLWYRQ�GHU�.�KOZDVVHUWHPSHUDWXU


��

Der Pol des Ventilfilmzweiges zeigt eine nur schwache Temperaturabhängigkeit. Seine Lagebewegt sich im Bereich von 0.35 bis 0.45. Dies entspricht einer Zeitkonstante von 0.072 s bei80°C bis 0.1 s bei -10°C. Einen Einfluß auf die Dynamik des Wandfilms kann bei Messungen mit höherer, bzw. niedri-gerer Drehzahl als 1500 U/min auch experimentell nicht festgestellt werden. Auch bei einer Änderung des Saugrohrdruckes kann keine nennenswerte Veränderung in derWandfilmdynamik beobachtet werden. Das Abdampfverhalten des Wandfilmes wird zwar of-fensichtlich durch den Saugrohrdruck beeinflußt, jedoch scheinen sich in diesem Fall unter-schiedliche Effekte zu kompensieren (Wärmeübergänge, Siedepunkte, Schubspannugen, Film-flächen und Filmdicken, Restgasrückströmungen usw.). Tabelle 8.2 stellt die Teilungsfaktoren für den Durchgriff, den Wandfilmzweig und den Ventil-filmzweig in Abhängigkeit von der Temperatur gegenüber. In allen Betriebspunkten lagern sichüber 60% des eingespritzten Kraftstoffs zunächst an der Wand an. An der Oberfläche des Ven-tils wird geringfügig mehr Kraftstoff angelagert als an der Saugrohrwand. Dieser wird jedochauch wesentlich schneller wieder abgetragen. Die Bilanz ist von den stationären Kraftstoffdefi-ziten bereinigt.

�� .RPSHQVDWLRQ�GHU�:DQGILOPG\QDPLN

Der folgende Abschnitt beschreibt zwei Methoden zur Kompensation der Wandfilmdynamik.Im ersten Fall wird die Übertragungsfunktion des Wandfilmmodells invertiert und der Einsprit-zung als Kompensationsglied vorgeschaltet. Die Methode ist in der Praxis stark verbreitet undstellt in diesem Zusammenhang die Vergleichsmethode dar. Das zweite Kompensationsverfah-ren entspricht einem Zustandsregler mit Zustandsbeobachter. Beide Methoden werden bezüg-lich ihrer Robustheit gegenübergestellt.

�� .RPSHQVDWLRQ�GXUFK�HLQ�LQYHUWLHUWHV�0RGHOO��0RGHO�0DWFKLQJ�

Der Einsatz der Model-Matching Methode zur Kompensation der Wandfilmdynamik wird in[Mats] und [Benn] für ein Wandfilmmodell erster Ordnung nach Aquino beschrieben. Im fol-genden wird die Methode auf das identifizierte Wandfilmmodel 2. Ordnung angewendet. Die Model-Matching Methode basiert auf einem einfachen Grundgedanken. Soll die Dynamikeiner Teilstrecke kompensiert werden, so wird vor die Teilstrecke dessen inverses Modell ge-schaltet, und die Übertragungsfunktion zwischen Eingang und Ausgang resultiert theoretischzu 1.

1− −; ;: 9

;:

;

7:

=-10°C 0.31 0.32 0.37 7

:= 40°C 0.35 0.27 0.38

7:

= 80°C 0.37 0.24 0.39

7DEHOOH�� 'LH�7HLOXQJVIDNWRUHQ�GHV�:DQGILOPPRGHOOV


��

Allerdings müssen hierzu zwei Voraussetzungen erfüllt sein: a.) Die Streckendynamik muß exakt bekannt sein. Dies ist jedoch bei realen technischen

Systemen selten der Fall. Andererseits ist eine Kompensation nur für bestimmteSystemordnungen und Systemparameter möglich. Bei ungünstigen Parametern wird dasinverse Modell instabil, und das Gesamtsystem divergiert.

b) Die Ordnung des Nenners und die Ordnung des Zählers müssen übereinstimmen, dasonst das inverse Modell nicht kausal ist. Ein Durchgriff im Streckenmodell ist somitdie notwendige Bedingung für die inverse Modellierung. Diese Bedingung ist jedochbei der hier betrachteten Problematik erfüllt.

Die Nullstellen des Zählers bilden die Polstellen des inversen Modells und müssen deshalb ge-nauer untersucht werden. Da sich die Nullstellen n1,2 des Systems bzw. die Pole des inversen

Modells auf der reellen Achse bewegen, können folgende 3 Fälle unterschieden werden: • 0 11 2≤ ≤n , inverses Modell asymptotisch stabil

• − ≤ <1 01 2n , inverses Modell stabil, aber schwingungsfähig

• n1 2 1, > inverses Modell instabil

Zur Bildung überschaubarer Übertragungsfunktionen werden die Exponentialfunktionen ausAbbildung 4.46 substituiert.

1−

=

−H

7$VS

:τ β , 1−

=

−H

7$VS

9τ α , ; ; ;' : 9

= − −1

Die Übertragungsfunktion der Wandfilmdynamik lautet somit:

( )( ) ( ) ( )

P ]P ]

* ];

];

];.H

.=\O

9 :

'= =⋅

− −+

⋅− −

+( )αα

ββ1 1

Mit einem gemeinsamen Nenner lautet die Übertragungsfunktion dann:

In Tabelle (8.3) sind die Pole der inversen Übertragungsfunktion für T=-10°C und T=80°C an-gegeben.

(8.5)

(8.6)

( )( ) ( )( ) ( )( )[( ) ( ) ( ) ( )( )]

* ]] ]

; ] ; ; ; ]

; ; ;

' 9 : '

9 : '

( ) =− − ⋅ − −

⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + − ⋅ −

− ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ − ⋅ −

1

1 12

1 1 1 1

2

α βα β α β

α β β α β α

(8.7)

Temperatur 1. Pol 2. Pol

T=80°C 0.92 -0.39

T=-10°C 0.96 -0.47

7DEHOOH�� 3ROH�GHU�LQYHUVHQ�hEHUWUDJXQJVIXQNWLRQ


��

Die Model-Matching Methode ist für die gegebene Anwendung also möglich, da das inverseModell der Wandfilmdynamik stabil ist. Allerdings handelt es sich bei der Model-Matching Methode um eine reine Vorsteuerung.Herrscht eine exakte Übereinstimmung zwischen Modell und Realität, ergibt sich im Instatio-närbetrieb keine Abweichung vom Sollwert λ=1. Erfahrungsgemäß kann jedoch nie von dieserVoraussetzung ausgegangen werden. In der Praxis muß von erheblichen Parameterschwankungen (bis zu 20%) ausgegangen werden,welche bei dieser Methode in jedem Fall Gemischfehler verursachen. Die wichtigsten Ursachenfür Parameterschwankungen sind:

• Verrußung der Einlaßventile• Verschmutzung des Einlaßkanals• unterschiedliche Kraftstoffe

In Abbildung 8.9 ist die Auswirkung der Wandfilmdynamik auf das λ-Signal bei einer Luftän-derung im Zylinder, die einem idealen Drosselklappensprung von Leerlauf auf Vollast ent-spricht, dargestellt. Zwischen Modell und Strecke besteht ein Parameterfehler von 20%. DieWandfilmdynamik wird mit der Model-Matching Methode kompensiert.

Bei einem Drosselklappensprung von Vollast auf Leerlauf erreicht die Abweichung ihr Maxi-mum von -9%.

100500Luftm

asse

im Z

ylin

der

in [m

g]

600

500

400

300

200

100

0

700


Arbeitsspiel100500

Lam

bda 1

0.95

0.9

1.05


$EELOGXQJ�� $XVZLUNXQJHQ� HLQHV�3DUDPHWHUIHKOHUV� DXI� GLH�*H�PLVFKELOGXQJ� PLW� HLQHP� 0RGHO�� 0DWFKLQJ� .RP�SHQVDWLRQVYHUIDKUHQ


��

�� =HLWYDULDQWHU�=XVWDQGVUHJOHU�PLW�%HREDFKWHU

Der folgende Abschnitt beschreibt eine robuste Kompensationsregelung mit Beobachter im Zu-standsraum, die bei exakt bekannter, störungsfreier Strecke im Instationärbetrieb ein mit derModel-Matching Methode vergleichbares Ergebnis zeigt. Gegenüber Parameterschwankungenzeigt sie jedoch ein robustes Verhalten. Aufgrund ihrer einfachen Struktur ist sie leicht in Mo-torsteuergeräte implementierbar.

�� (QWZXUI�YRQ�%HREDFKWHU�XQG�5HJOHU

Im folgenden werden die in Kapitel 3 beschriebenen Verfahren zur deterministischen Zu-standsbeobachtung (Luenbergerbeobachter) und zur Zustandsregelung auf die Problemstellungder Wandfilmkompensation angewendet. Da der Kraftstoffpfad zeitvariante Parameter besitzt,muß eine Anpassung des Reglers und des Beobachters an den aktuellen Arbeitspunkt (Last,Drehzahl) erfolgen.Abbildung (8.10) zeigt die regelungstechnische Struktur des Kraftstoffpfades mit 5 Zuständen.Auch in diesem Fall sind die stationären stationären Kraftstoffdefizite bereits in der einge-spritzten Kraftstoffmasse P

.H berücksichtigt.

Die Totzeit des Auspuffkrümmers wird mit Hilfe einer konstanten Verzögerung um zwei Ar-beitsspiele realisiert.

Die System- und Beobachtungsgleichungen der abgebildeten Struktur lauten:

( ) ( ) ( ) ( )[ N [ N ;7

P N:

:

$VS

.H1 11 1+ = − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅β βτ

( ) ( ) ( ) ( )[ N [ N ;7

P N9

9

$VS

.H2 21 1+ = − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅α ατ

;7

:

:

$VS

⋅τ 7$VS

:τ

;7

9

9

$VS

⋅τ

7$VS

9τ

P N.=\O ( )+

;'

ββ] − −( )1

αα] − −( )1

P N.H

( )]

−11

P /=\O

]−1

1 −−N

] N

λ

λ

[ N1 ( )

[ N2 ( )

[ N3 ( ) [ N4 ( ) [ N5 ( )φ=

N( )

$EELOGXQJ�� =XVWDQGVJU|�HQ�GHV�.UDIWVWRIISIDGHV

(8.8)

(8.9)


��

( ) ( ) ( ) ( )[ NP

7[ N

7[ N ; P N

/=\O

$VS

:

$VS

9

' .H3 1 211

+ = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

τ τ

( ) ( )[ N [ N4 31+ =

( ) ( ) ( ) ( )[ N N [ N N [ N5 5 41 1+ = ⋅ + − ⋅λ λ

( ) ( )\ N [ N= 5

In Gleichung (8.9) geht die Luft im Zylinder P/=\O in die Zustandsgleichung mit ein. Somit

sind die Matrizen $ und % zeitvariant. Physikalisch stellt der Zustand x5(k) das Kraftstoff-

/Luftverhältnis dar. Die Beziehung zum gemessenen Lambda beschreibt Gleichung (8.14).

λφ

( )( )

( ) ( ).N

P NP N ) N )

PLW )/

. VW|FK = VW|FK

VW|FK=

⋅=

⋅=1

14 7

Die Zustände x1(k) und x2(k) sind proportional zu den Wandfilmmassen. In Matrizenschreib-

weise lautet dann das System-und Beobachtungsmodell:

( )

( )( )

( )

( )[ NP

7

P

7

N N

[ N

7;

7;

P;

P/=\O

$VS

: /=\O

$VS

9

:

$VS

:

9

$VS

9

/=\O

'

.H+ =

−−

⋅

⋅

−

⋅ +

⋅ ⋅

⋅ ⋅

⋅

⋅1

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

1 10 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1

1

0

0

βα

τ τ

βτ

ατ

λ λ

( ) [ ] ( )\ N [ N+ = ⋅1 0 0 0 0 1

Das System ist offensichtlich für alle realen Luftmassen steuer- und beobachtbar. Zur Kompen-sation der Wandfilmdynamik ist keine vollständige Zustandsrückführung erforderlich. Es ge-nügen in diesem Fall Rückführungen der beiden Zustände [1 und [2 . Die Grundlage zur Be-stimmung des Regelgesetzes für eine vollständige Wandfilmkompensation stellt die Gleichung(8.17) dar.

( ) ( ) ( )P N7

[ N7

[ N ; P N.=\O

$VS

:

$VS

9

' .H( ) = ⋅ + ⋅ + ⋅τ τ1 2

Wird P N.=\O ( ) als Führungsgröße eingesetzt, so ergibt die Auflösung von Gleichung (8.17)

nach der eingespritzten Kraftstoffmenge ( )P N.H

die Lösung.

(8.10)

(8.11)

(8.12)

(8.13)

(8.14)

(8.15)

(8.16)

(8.17)


��

Das Regelgesetz lautet dann:

( ) ( ) ( )P N;

P N7

[ N7

[ N.H

'

.=\O

$VS

:

$VS

9

= − ⋅ − ⋅

11 2( )

τ τ

Im Fall einer exakten Übereinstimmung von Modell und Realität verhält sich der Regler analogzur Model-Matching Methode und zeigt instationär keine Abweichungen. Zum Entwurf desBeobachters bietet sich bei der gegebenen Anwendung das Polvorgabeverfahren an. Der Ent-wurf erfolgt nach Kap. 3.1. Beim Entwurf der Beobachtungsmatrix / ergibt sich eine lineareAbhängigkeit von der Luftmasse im Zylinder, die durch Geradengleichungen berücksichtigtwerden kann. Aufgrund der einfachen Beschreibung des Regelgesetzes und der Beobachtungs-matrix / kann dieser zeitvariante Zustandsregler mit Beobachter problemlos auch auf Rech-nern mit begrenzten Ressourcen implementiert werden.

�� 6LPXODWLRQVHUJHEQLVVH�GHU�.RPSHQVDWLRQVUHJHOXQJ

In Abbildung 8.11 ist in der oberen Kurve ein maximaler, idealer Drosselklappensprung inner-halb eines Arbeitsspiels von Leerlauf auf Vollast dargestellt. Bei dem gegebenen Ein-zilynderaggregat entspricht dies einer Änderung der Luftmasse im Zylinder von 100mg - 600mg. Zur Darstellung des Einschwingverhaltens verfügen die Strecke und das Modell überstark unterschiedliche Anfangsbedingungen (beim Start sind alle Zustände mit Null initiali-siert). Beim idealen Drosselklappensprung ergibt sich anschließend eine maximale Abwei-chung von 1 - 2%.

(8.18)

100500Luftm

asse

im Z

ylin

der

in [m

g]

600

500

400

300

200

100

0

700


Arbeitsspiel100500

Lam

bda 1.02

1

0.98

0.96

1.04


$EELOGXQJ�� ,QVWDWLRQlUYHUKDOWHQ� GHU� :DQGILOPNRPSHQVD�WLRQ� EHL� HLQHP�3DUDPHWHUIHKOHU� YRQ� ��XQGSRLWLYHP� /DVWVSUXQJ� �/HHUODXI�9ROODVW��1 ��8�PLQ��7 ��&


��

Dieses extreme Beispiel hat derzeit noch keine Praxisrelevanz, da bei Vollmotoren aufgrunddes Saugrohrvolumens die Dynamik der Laständerung begrenzt wird. Im Fall von hochdynami-schen, variablen Ventilsteuersystemen ist jedoch ein Lastwechsel von Leerlauf auf Vollast in-nerhalb eines Arbeitsspieles durchaus möglich. Diese Systeme verschärfen somit die Anforde-rungen an Wandfilmkompensationsverfahren.Ein entsprechender Drosselklappensprung in umgekehrter Richtung wird in Abbildung 8.12dargestellt. Die Abweichungen betragen maximal 5%. Diese hohe Abweichung wird durch dieStellgrößenbeschränkung (in negativer Richtung) der Einspritzung verursacht. Bei einem Dros-selklappensprung in negativer Richtung baut sich der Wandfilm durch die Mindereinspritzungab und es fließt Kraftstoff aus dem Wandfilm in den Zylinder. Selbst wenn in diesem Arbeits-spiel überhaupt nicht eingespritzt wird, kann je nach Lastzustand zuviel Kraftstoff im Zylinderzur Verfügung stehen und das Gemisch wird angefettet.Im Fall von positiven Lastsprüngen wird die Stellgröße bei maximaler Einspritzung (Dauerein-spritzung) nur durch die Drehzahl begrenzt. D.h. im Bereich hoher Drehzahlen be-stehen diekleinsten Reserven für eine Mehreinspritzung. In diesen Arbeitspunkten sind jedoch bei”normaler Fahrweise” geringere Lastwechselamplituden zu erwarten. In den meisten Fällenkann der Wandfilmaufbau durch Mehreinspritzung nahezu vollständig kompensiert werden.

In Abbildung 8.13 werden die Model-Matching Methode und die Zustandsregelung gegenüber-gestellt. Die Testsequenz bilden zwei ideale Lastsprünge von Leerlauf nach Vollast, sowie vonVollast nach Leerlauf. Die Modelle beider Kompensationsverfahren verfügen über fehlerhafteWandfilmparameter (Abweichung der Teilungsfaktoren um 20%).

100500Luftm

asse

im Z

ylin

der

in [m

g]

600

500

400

300

200

100

0

700


100500

Lam

bda

1.05

1

0.95

0.9

1.1


$EELOGXQJ�� ,QVWDWLRQlUYHUKDOWHQ� GHU� :DQGILOPNRPSHQVDWLRQEHL�HLQHP�3DUDPHWHUIHKOHU�YRQ��XQG�QHJDWL�YHP� /DVWVSUXQJ� �9ROODVW�/HHUODXI��1 ��8�PLQ��7 ��&


��

Gegenüber der Model-Matching Methode zeigt der Zustandsregler ein wesentlich stärkeresEinschwingverhalten. Der Grund liegt in der ”scharfen” Einstellung von Regler und Beobach-ter. Die Pole des Beobachter liegen in der Nähe des Ursprungs.Im eingeschwungenen Zustand zeigt der Zustandsregler wesentliche Vorteile. Durch die Beob-achtung des Lambdasignales stehen dem Zustandsregler zusätzliche Informationen zur Verfü-gung, die dann zu einer Korrektur des Modells genutzt wird. Beim positiven und beim negati-ven Lastsprung zeigt der Zustandsregler wesentlich geringere Lambdaabweichungen als dieModel-Matching Methode. Auch die Ausregelzeiten nach den Lastsprüngen sind bei der Vari-ante mit Zustandsregelung wesentlich kürzer als bei der inversen Modellierung (Model-Matching Methode).Die Kompensation von stationären Abweichungen kann durch eine Bias-Schätzung, mit einerentsprechenden Zustandsrückführung durchgeführt werden [Chang]. Wird diese Regelung alskonventionelle PI-Regelung entworfen entspricht die Gesamtstruktur dann einer PI-Zustandsregelung [Föl-3]. Alternativ kann auch eine überlagerte Lambdaregelung zur Unter-drückung von Gleichanteilen eingesetzt werden.

100500Luftm

asse

im Z

ylin

der

in [m

g]600

500

400

300

200

100

0

700


Arbeitsspiel

100500

Lam

bda 1

0.95

0.9

1.05

Arbeitsspiel

200150 250

ZustandsreglerModel_Matching

$EELOGXQJ�� *HJHQ�EHUVWHOOXQJ� YRQ� 0RGHO�0DWFKLQJ� 0HWKR�GH� XQG� =XVWDQGVUHJOHU� EHL� IHKOHUKDIWHQ� :DQG�ILOPSDUDPHWHUQ��1 ��8�PLQ��7 ��&

Anhang

��

� $QKDQJ

�� %HUHFKQXQJ� GHV� JHRPHWULVFKHQ� gIIQXQJVTXHUVFKQLWWHVHLQHU�'URVVHONODSSH

Abbildung 9.1 zeigt die stark vereinfachte Seitenansicht einer geschlossenen Drosselklappe mitüberdimensionaler Scheibendicke d und Achsbolzenradius r. Im folgenden soll nun der geo-metrische Öffnungsquerschnitt mit Berücksichtigung der Drosselscheibendicke berechnet wer-den. Die Projektionsfläche der Drosselgeometrie setzt sich lediglich aus der Achsbolzengeo-metrie und zwei Ellipsensegmenten, deren Halbachsen durch R bzw. die Kanten A und C derDrosselklappenscheibe beschrieben werden können, zusammen. Dies ergibt somit für dengeometrischen Öffnungsquerschnitt:

$ 5 $ $JHR % HVHJ= ⋅ − − ⋅π 2 2

Aufgrund des symmetrischen Aufbaus der Drosselklappe kann die reale Drosselscheibe durcheine ideale Drosselscheibe mit d=0 und dem Korrekturwinkel ′α substituiert werden.Die Berechnung von ′α erfolgt durch die Gleichungen (9.2) bis (9.4).

(9.1)

d / 2

α DK 0

α DK 0

R

r

′′D

′D

l

A

B C

D

′α

$EELOGXQJ�� 6HLWHQDQVLFKW� HLQHU�'URVVHONODSSH�PLW� �EHUGLPHQVLRQDOHU'URVVHONODSSHQVFKHLEHQGLFNH

Anhang

��

′ =α arccos5O

OG

'=

+ ′′

2

22

′′ = −'' G

'.2 2 0tanα mit '5

'.

=2

0cosα

mit '

' '2

= ′ + ′′

( ) ( )′ =

+ −

α

αα

arccos

costan

R

d R d

DKDK

2

00

2

4 2

α'. 0 entspricht dem Drosselklappenwinkel am mechanischen Anschlag und beträgt konstrukti-

onsbedingt minimal dem Klemmwinkel αN

G 5= arcsin( / ) .Für den effektiven geometrischen Öffnungswinkel ergibt sich somit:

α α α αHII '. '.= − + ′0

Die Projektionsfläche des Achsbolzens setzt sich aus zwei Kreissegmenten und einem Quadratzusammen (Abbildung 9.2). Die Fläche selbst hängt nur von r und R ab und kann mit den Glei-chungen 9.6 bis 9.8 berechnet werden.

$ 5 G G5 5 UU5%

5

= + ⋅ ⋅

∫∫4 2

00

ϕγ

cos arcsin

(9.2)

(9.3)

(9.4)

(9.5)

γ

R

r

$EELOGXQJ��*HRPHWULH�GHV�$FKVERO]HQV

(9.6)

Anhang

��

γ = arcsinU5

$ 5U5

5 UU5%

= ⋅

+ ⋅ ⋅ −2 2 12 arcsin

Die Projektionsfläche der Drosselklappenscheibe ergibt zwei Ellipsensegmente. Ausgehendvon der allgemeinen Gleichung zur Berechnung eines Ellipsenabschnitts (9.9) entspricht R dergroßen, sowie h der kleinen Halbachse. Das Ellipsensegment wird durch den Bolzenradius y=rbegrenzt. Die Gesamtfläche eine Segmentes Aeseg wird somit durch (9.10) und (9.11) be-

stimmt.

6 D E\E

[ \= ⋅ ⋅

− ⋅arccos

x Rr

h= −1

2

2

$ 5 KUK

5UKHVHJ

= ⋅ ⋅

− −arccos 1

2

2

Die Höhe h entspricht dem Abstand der achsnahen Kanten A und C der Drosselscheibe zurSymmetrielinie des Ansaugrohres. Die Berechnung von h kann durch (9.12) und (9.13) erfol-gen.

h l eff= ⋅ cos( )α

h lRlDK DK= ⋅ − +

cos arccosα α 0

mit

( ) ( )ld R d

DKDK= + −

2

00

2

4 2costan

αα

(9.7)

(9.8)

(9.9)

(9.10)

(9.11)

(9.12)

(9.13a)

(9.13b)

Formelzeichen und Abkürzungen

��

��)RUPHO]HLFKHQ�XQG�$EN�U]XQJHQ

Modellbildung

&P/'.

Luftmassenstrom an der Drosselklappe&P/=\O Luftmassenstrom in die Zylinder

&P/$*5

Luftmassenstrom der Abgasrückführung&P/7(

Luftmassenstrom der Tankentlüftung+ +1 2, EnthalpienP Massen/

WW∆

technische Arbeit

8 innere EnergieJ Erdbeschleunigung] ]1 2, geometrische Höhen4Z

zu- und abgeführte Wärmeω StrömungsgeschwindigkeitS Druck9 Volumen7 Temperatur5

Lindividuelle Gaskonstante

F FY S, spez. Wärmemenge bei konst. Volumen bzw. bei konstantem Druck

κ Adiabatenexponentδ

LDichte

γ IsentropenexponentF Dischargekoeffizientα'.

Drosselklappenwinkelα'. 0 Anschlagswinkel (Drosselklappe)

α.

Klemmwinkel (Drosselklappe)′α Korrekturwinkel

' Durchmesser der DrosselkappeG Durchmesser der Drosselkappenscheibe$HVHJ

Fläche eines Ellipsensegmentes

$JHR

geometrischer Strömungsquerschnitt der Drosselklappe

$HII effektiver Strömungsquerschnitt der Drosselklappe

K Höhe der äußeren Kanten der Drosselklappenscheibe über der SymmetrielinieU Radius des Achsbolzens (Drosselklappe)5 Radius der DrosselklappeSV

SaugrohrdruckSD

Außendruck


��

7D

Außentemperaturη9RO volumetrischer Wirkungsgrad (Liefergrad)&9=\O Volumenstrom in den Zylinder

%=

Zylinderbohrungλ . Verhältnis zwischen der Kröpfung der Kurbelwelle und der Pleuellänge

9+XE

Hubvolumen

ζ6

Druckverhältnis im Saugrohrλ=\ normiertes Kraftstoff/Luftverhältnis im Zylinder

9H

eingespritztes KraftstoffvolumenP

.Heingespritzte Kraftstoffmasse

ρ( )7.

Dichte des Kraftstoffs&P.

KraftstoffmassenstromP.:

Kraftstoffmasse im WandfilmP.9

Kraftstoffmasse im VentilfilmP.

verdunsteter Kraftstoffτ:

Zeitkonstante des Wandfilmsτ9

Zeitkonstante des Ventilfilms;:

Teilungsfaktor für den Wandfilm;9

Teilungsfaktor für den VentilfilmD Durchgriff7$63

Zeitdauer für ein ArbeitsspielP.$

Restkraftstoffmasse im AbgasP

$Restluft im Abgas

φ Kraftstoff/LuftverhältnisU relative RestgasmengeP.IU Kraftstoff im Frischgas

P/IU Luft im Frischgas

'0 Diffusionskoeffizient,3

Pumpstrom) Faradaykonstante/'

Länge der Diffusionsstrecke3

$0 Sauerstoffpartialdruck im Abgas3

'0 Sauerstoffpartialdruck in der Diffusionszelle1 Drehzahl76:

Temperatur an der Saugrohrwand (entspricht annähernd derKühlwassertemperatur)

96

SaugrohrvolumenQ=\O Anzahl der Zylinder

$VW|U

Öffnungsquerschnitt einer Störung($HII Gesamtöffnungsquerschnitt

ξ6

adaptiver Parameter


��

&~P'N adaptiver Luftmassenstrom

σ2 () Varianzenω

3Pulsationskreisfrequenz

∆ϕ AbtastwinkelV Pulsationszustandϕ SXO Periodendauer einer Pulsation in Grad Kurbelwinkel~α PulsationswinkelI SXOV Pulsationsfrequenz

PU

Steigung der RegressionsgeradenDU

Offset der Regressionsgeradenβ Korrelationsparameter76(*

Zeitdauer zwischen zwei Zündungen eines Vollmotors

Schätzverfahren

X Eingangsvektor[0 AnfangszustandY vektorielle, stochastische Meßstörung\ vektorielle Ausgangsgröße

. Verstärkungsmatrix$( ), $( )[ N [ W zeitdiskreter bzw. zeitkontinierlicher Zustandsschätzvektor

$ ( ), $ ( )[ W [N L N L

− − − −ϕ zeitbezogenes und kurbelwinkelbezogenes time update

$ ( ), $ ( )[ W [N L N L

+ + + +ϕ zeitbezogenes und kurbelwinkelbezogenes measurement update) linearisierte SystemmatrixA lokale Zustandsübergangsmatrix% SteuermatrixH linearisierte BeobachtungsmatrixC Beobachtungsmatrix (diskret)~[ SchätzfehlerZ vektorielle, stochastische Eingangsstörung] stochastisch gestörte AusgangsgrößeG stochstische Kontrollmatrix

{ }( Erwartungswert

δ ( , )N M diskretes Kroneker Symbol4 Diffusionsmatrix30 Anfangswert der Kovarianz= N( ) vergrößerter Meßvektor

WN−+

1 Zeitpunkt der Verfügbarkeit der Messung im Abtastschrit k-1.

WN −−

1 Zeitpunkt unmittelbar vor der Verfügbarkeit der Messung imAbtastschrit k-1.


��

3N

− Schätzfehlerkovarianz des prädizierten Zustandes

3N

+ Schätzfehlerkovarianz des korrigierten Zustandes

UN

Residuum

$[K

+ homogener SchätzvektorI [ W X W W( ( ), ( ), ) nichtlineare Zustandsübergangsfunktion

K [ W WL L

( ( ), ) nichtlineare Beobachtungsfunktion4

6Steuerbarkeitsmatrix

4%

BeobachtbarkeitsmatrixW() Lyapunov-FunktionS VorfilterQ Kovarianzmatrix des ProzeßrauschensR Kovarianzmatrix des Meßrauschens5=

Reglermatrix des Zustandsreglersk diskreter Abtastschritt

Abkürzungen

ZOT oberer Totpunkt in der ZündphaseUEGO Universal Exhaust Gas Oxygen SensorEC 93 Schadstoffgrenzwerte der Europäischen Union für 1993FTP Federal Test ProcedureLast die in den Zylinder einströmende LuftAGR AbgasrückführungASP Arbeitsspiel

Literatur

��

�� /LWHUDWXU

[Acker] Ackermann, J., ´$EWDVWUHJHOXQJ´� Springer Verlag, Heidelberg, (1988)

[Aqui-1] Aquino, C.S., Fozo, R., ”Transient A/F Characteristics for Cold Operation of a1.6 Liter Engine with Sequential Fuel Injection”, SAE 880691, (1988)

[Aqui-2] Aquino, C.S.,́ 7UDQVLHQW� $�)�&RQWURO� &KDUDFWHULVWLFV� RI� WKH� �� /LWHU� &HQWUDO� ,Q�MHFWLRQ�(QJLQH´� SAE 81094, (1981)

[Arndt-1] Arndt, Ch., ´,QIRUPDWLRQVJHZLQQXQJ� XQG� �YHUDUEHLWXQJ� LQ� QLFKWOLQHDUHQG\QDPLVFKHQ�6\VWHPHQ´, Dissertation, Universität GH-Siegen, (1997)

[Arndt-2] Arndt, Ch., Loffeld, O., ́,QIRUPDWLRQ�JDLQHG�E\�'DWD�)XVLQJ´, European Sympo-sium of Lasers, Optics, and Vision for Productivity in Manufacturing, Besancon,(1996)

[Athans] Athans, M., ”The Role of Modern Control Theory for Automotive Engine Con-trol”, SAE 780852 (1978)

[Ault] Ault, B. A., ´6\VWHP�,GHQWLILFDWLRQ�DQG�$LU�)XHO�5DWLR�&RQWURO�RI�D�6SDUN�,JQLWLRQ(QJLQH´, PhD thesis, Standford Univerity, (1994)

[Baehr] Baehr, H. D., ́7KHUPRG\QDPLN´, Springer Verlag (1996�

[Baru] Baruah, P. C., ́$� 6LPXODWLRQ�0RGHO� IRU� 7UDQVLHQW� 2SHUDWLRQ� RI� 6SDUN� ,JQLWLRQ(QJLQHV´, SAE 900682 (1995�

[Beau] Beaumont, A.J., Beauchamp, S.W., ´$LU�)XHO�5DWLR�&RQWURO�7HFKQRORJ\�IRU�8OWUD/RZ�(PLVVLRQ´, 26. ISATA, (1993)

[Benn] Benninger, N., ́0RGHOOJHVW�W]WH� ,QVWDWLRQlUVWHXHUXQJ� I�U� 2WWRPRWRUHQ´� VDI-Tagung ”Elektronik im Kraftfahrzeug”, (1992)

[Birk] Birkenfeld, W., ´$QDO\VH� NXU]HU� =HLWUHLKHQ´� Birkenhäuser Verlag, Stuttgart,(1977)

[Boam] Boam, D. J., Finlay, I. C., ´$�0RGHO� IRU� 3UHGLFWLQJ�(QJLQH� 7RUTXH�5HVSRQVH´�SAE 890565, (1989),

[Box] Box, G. E., Jenkins, G. M., ́7LPH�6HULHV�$QDO\VLV´� Prentice Hall, New Jersey,(1994)

[Bron] Bronstein, Semendjajew, ´7DVFKHQEXFK�GHU�0DWKHPDWLN´� Harri Deutsch Verlag,Frankfurt, (1989)

Literatur

��

[Carne] Carnevale, C., Coin, D., ´$�)�5DWLR�&RQWURO�ZLWK�6OLGLQJ�0RGH�7HFKQLTXH´, SAE950838 (1995�

[Chang] Chang, C-F., ´$LU�)XHO�5DWLR�&RQWURO�LQ�DQ�,&�(QJLQH�XVLQJ�DQ�(YHQW�%DVHG�2E�VHUYHU´� SAE 930766,(1993�

[Chin] Chin, Y.K., C, F.E., ´(QJLQH�'\QDPLFV��7LPH�%DVHG�9HUVXV�&UDQN�$QJOH´, SAE860412, (1986�

[Coes] Coesfeld, R., ´0RGHOEDVLHUWH�0RWRUVWHXHUXQJ´� Automobil Industrie 4/93, (1993)

[Corde] Corde, G., Bianco, Y., ´$LU�0DVV�)ORZ�5DWH�2EVHUYHU�$SSOLHG�WR�6,�$)5´, SAE952460 (1995�

[Dob] Dobner, D.J., ´'\QDPLF� (QJLQH�0RGHOV� IRU� &RQWURO� 'HYHORSHPHQW�� 3DUW� ,� DQG3DUW�,,´, Int. Vehicle Design (1983)

[Els] Elsner, N., ´7HFKQLVFKH�7KHUPRG\QDPLN´� Akademie Verlag., (1993)

[Fek-1] Fekete, N. P., ´0RGHO�%DVHG�$LU�)XHO� 5DWLR�&RQWURO� RI� D�0XOWL�&\OLQGHU� /HDQ�EXUQ�(QJLQH´, PhD thesis, Standford Univerity, (1995)

[Fek-2] Fekete, N. P., Gruden, I., ´0RGHO�%DVHG�$LU�)XHO�5DWLR�&RQWURO�RI�D�/HDQ�0XOWL�&\OLQGHU�(QJLQH´� SAE 950846, (1995�

[Föl-1] Föllinger, O., ́ /LQHDUH�$EWDVWV\VWHPH´� Oldenbourg Verlag, München, (1990)

[Föl-2] Föllinger, O., ́ 1LFKWOLQHDUH�5HJHOXQJHQ�%DQG� ,�XQG�%DQG� ,,´� Oldenbourg Ver-lag, München, (1993)

[Föl-3] Föllinger, O., ́ 5HJHOXQJVWHFKQLN´� Hüthig Verlag, Heidelberg, (1994)

[Gan] Ganser, Scherer, M., T., Loffeld, O��´,PSOHPHQWDWLRQ�RI�'DWD�IXVLQJ�DOJRULWKPVRQ�GLJLWDO�VLJQDO�SURFHVVRUV´� European Symposium of Lasers, Optics, and Visionfor Productivity in Manufacturing, (1996)

[Gelb] Gelb, A., ́ $SSOLHG�RSWLPDO�(VWLPDWLRQ´, The M.I.T Press, Massachusetts (1990�

[Gep] Geppert, M., ́(QWZXUI� XQG� ,PSOHPHQWLHUXQJ� HLQHV� (VWLPDWLRQVDOJRULWKPXV� ]XU%HUHFKQXQJ� GQDPLVFK� NRUULJLHUWHU� /DVWVFKlW]ZHUWH´, Diplomarbeit, UniversitätKarlsruhe, (1995)

[Guz] Guzzella, L., ́ 0RWRUV\VWHPH´, Vorlesescript SS 1996, ETH-Zürich, Labor fürVerbrennungskraftmaschinen, (1995)

[Hart] Hart, M., ´,GHQWLILNDWLRQ� XQG� .RPSHQVDWLRQ� GHU� :DQGILOPG\QDPLN� ]XU� 5HGX�]LHUXQJ�GHV�$EJDVYHUKDOWHQV�EHL�2WWRPRWRUHQ� LP� ,QVWDWLRQlUEHWULHE´, Diplomar-beit, Universität Karlsruhe, (1995)

Literatur

��

[Hendr-1] Hendricks, E., Sorenson S.C, ´0HDQ�9DOXH�0RGHOLQJ�RI�6SDUN�,JQLWLRQ�(QJLQHV´�SAE 900616, .(1990)

[Hendr-2] Hendricks, E., Sorenson S.C, ´1RQOLQHDU��&ORVHG� /RRS�� 6,� (QJLQH�&RQWURO�2E�VHUYHUV´�SAE 920237, .(1992),

[Hendr-3] Hendricks, E., Vesterholm T, ´&RQYHQWLRQDO� (YHQW� %DVHG� (QJLQH� &RQWURO´�SAE 940377, .(1994)

[Hendr-4] Hendricks, E., Vesterholm T. ´+LJK� 2UGHU� FRQWLQXRXV� 6,� (QJLQH� 2EVHUYHUV´�ACC - Nr. WM1, (1992)

[Heyw] Heywood, J. B., ´,QWHUQDO� &RPEXVWLRQ� (QJLQH� )XQGDPHQWDOV´� Mc.Graw HillInternational Editions, (1988)

[Hip] Hippe, P., Wurmthaler Ch., ´=XVWDQGVUHJHOXQJHQ´� Oldenbourg Verlag München(1985)

[Ioan] Ioannou, Petros A.´5REXVW�DGDSWLYH�&RQWURO´ Prentice Hall, London, (1996)

[Iser] Isermannn, R., ́,GHQWLILNDWLRQ�G\QDPLVFKHU�6\VWHPH�%DQG�,�XQG�%DQG�,,´� Olden-bourg Verlag München (1991)

[Iwano] Iwano, H., Jaitoh, M., ́$Q� $QDO\VLV� RI� ,QGXFWLRQ� 3RUW� )XHO´, SAE 9912348(1991�

[Kaoru] Kaoru H., Hitoshi T., ́(PLVVLRQV�5HGXFWLRQ�'XULQJ�:DUP�8S�3HULRG�E\�,QFRUSR�UDWLQJ� :DOO�:HWWLQJ� )XHO� 0RGHO� RQ� WKH� )XHO� ,QMHFWLRQ� 6WUDWHJ\� 'XULQJ� (QJLQH6WDUWLQJ´, SAE 952478 (1995�

[Konz] Konzelmann, U., Hecht, H., ´0LNURPHFKDQLVFKHU� /XIWPDVVHQPHVVHU�PLW� (UNHQ�QXQJ�GHU�6WU|PXQJVULFKWXQJ´� VDI-Bericht Nr. 1152, (1994�

[Krebs] Krebs, V., ́1LFKWOLQHDUH�)LOWHUXQJ´� Oldenbourg Verlag München, (1980)

[Ljung] Ljung, L., ,́ 6\VWHP�,GHQWLILFDWLRQ��7KHRU\�IRU�WKH�8VHU´� Prentice Hall, 1987

[Lof-1] Loffeld, O, ´(VWLPDWLRQVWKHRULH� %DQG� ,� XQG� %DQG� ,,´� Oldenbourg� Verlag,München, (1990)

[Lof-2] Loffeld, O, Vorlesescript ”Estimationstheorie (1991)

[Mats] Matsumura, T., Nanyoshi, Y., ´1HZ�)XHO�0HWHULQJ�7HFKQLTXH�IRU�&RPSHQVDWLRQ:DOO� )ORZ� LQ� D� 7UDQVLHQW� &RQGLWLRQ� XVLQJ� WKH� 0RGHO�0DWFKLQJ� 0HWKRG´,Int. Veh. Design, vol.12 , (1991�

[Matth] Matthews, R.D., ́ ,QWDNH� DQG� (&0� 6XEPRGHO� ,PSURYHPHQWV� IRU� '\QDPLF6,�(QJLQH´� SAE 910074, (1991�

Literatur

��

[May] Maybeck, P.S,�´6WRFKDVWLF�0RGHOV��(VWLPDWLRQ�DQG�&RQWURO�,�,,�,,,´� AcadamicPress, New York,.(1982)

[Mosk-1] Moskwa, J.J.,� ´$XWRPRWLYH� (QJLQH� 0RGHOLQJ� IRU� 5HDO� 7LPH� $SSOLFDWLRQV´,American Conference of Mineapolis 1987, (1987)

[Mosk-2] Moskwa, J.J., Weeks, R., ´7UDQVLHQW�$LU�)ORZ�5DWH�(VWLPDWLRQ�LQ�D�1DWXUDO�*DV(QJLQH�8VLQJ�D�1RQOLQHDU�2EVHUYHU´, SAE 940759, (1994�

[Nishi] Nishiyama, R., Satoru O�� ´$Q� $QDO\VLV� RI� &RQWUROOHG� )DFWRUV� ,PSURYLQJ7UDQVLHQW�$�)�&RQWURO�&KDUDFWHULVWLFV´� SAE 890761

[Nob] Noble, A.D., ´$GDSWLYH�7UDQVLHQW�$LU�)XHO�5DWLR�&RQWURO� WR�0LQLPL]H�*DVROLQH(QJLQH�(PLVVLRQV´, Fisita 1992, (1992)

[Nyb] Nyberg, M., ´6,�(QJLQH�$LU�,QWDNH�6\VWHP�'LDJQRVLV�E\�$XWRPDWLF�)',�'HVLJQ´,International Federation of Automatic Control, (1998)

[Ond] Onder, Ch., Geering, H.P., ´0RGHO� %DVHG�0XOWLYDULDEOH� 6SHHG� DQG� $LU�WR�)XHO5DWLR�&RQWURO�RI�DQ�6,�(QJLQH´, SAE 930859 (1993�

[Pisch] Pischinger, A., Lenz, H. P., ´'LH� 9HUEUHQQXQJVNUDIWPHVFKLQH� %DQG� ,� ELV%DQG�9,´, Springer Verlag Wien, (1990�

[Sche-1] Scherer, Arndt, Ch., Loffeld, O., ´,QIOXHQFH� RI�0DQLIROG�3UHVVXUH�3XOVDWLRQV� WR0HDQ�9DOXH�0RGHOV�LQ�$LU�)XHO�5DWLR�&RQWURO´� 5th IEEE Mediterranean Confer-ence on Control and Systems, (1997)

[Sche-2] Scherer, M., Eisenmann, J., Schmitfranz B., ´$Q� LQWHJUDWHG� (QYLURQPHQW� IRU0RGHO� %DVHG� (QJLQH� &RQWURO� 'HVLJQ´�� International Federation of AutomaticControl, (1995)

[Sche-3] Scherer, M., Ganser, T., Loffeld, O., ´'DWD�)XVLQJ� IRU�2SWLPL]DWLRQ�RI�D�6SDUN,JQLWLRQ�(QJLQH�&RQWURO´� European Symposium of Lasers, Optics, and Vision forProductivity in Manufacturing, Besancon, (1996)

[Sche-4] Scherer, M., Hart, M��´.DOPDQ�)LOWHULQJ��DQ�HIIHFWLYH�0HWKRG�IRU�GLIIHUHQW�$SSOL�FDWLRQV� LQ� $�)� 5DWLR� &RQWURO´� International Federation of Automatic Control,(1998)

[Schri] Schrick, K. W., ´$QZHQGXQJHQ� GHU� .DOPDQ�)LOWHU� 7HFKQLN�� $QZHQGXQJHQ� XQG%HLVSLHOH´, Oldenbourg Verlag, München (1977�

[Tur-1] Turin, R.C., Casertelli, E., ́$�1HZ�0RGHO� IRU� )XHO� 6XSSO\�'\QDPLFV� LQ� DQ� 6,�(QJLQH´��SAE 940208, (1994)

[Tur-2] Turin, R.C., Geering, H.P., ́2QOLQH� ,GHQWLILFDWLRQ� RI� $�)� 5DWLR� '\QDPLFV� LQ� D6HTXHQWLDOO\�,QMHFWHG�6,�(QJLQH´��SAE 930857, (1993)

[Widr] Widrow, B., Walach, E., ́,QYHUVH�DGDSWLYH�&RQWURO´� Prentice Hall, (1995)

Literatur

��

[Wilc] Wilczek, R. P., ´2SWLPDOH� 6FKlW]XQJ� VFKZHU� PH�EDUHU� =XVWDQGVJU|�HQ� YRQ2WWRPRWRUHQ´, Diplomarbeit, Universität GH-Siegen, (1994)

[Witt-1] Wittig, S., Himmelsbach, J., ́*HPLVFKDXIEHUHLWXQJ� XQG� :DQGILOPYHUKDOWHQ� LQ6DXJURKUHQ�YRQ�2WWRPRWRUHQ´� Motorentechnische Zeitschrift 55, (1994)

[Witt-2] Wittig, S., Müller, H., ´([SHULPHQWHOOH� XQG� WKHRUWLVFKH� 8QWHUVXFKXQJHQ� GHU6WU|PXQJ� XQG� GHV� )LOPYHUKDOWHQV� LQ� 6DXJURKUHQ� YRQ� 2WWRPRWRUHQ´� FVV-Informationstagung Motoren, (1994)

[Wosch] Woschni, G., ́ 6LPXODWLRQ� GHV� ,QVWDWLRQlUYHUKDOWHQV� YRQ� 2WWRPRWRUHQ´� FVV-Informationstagung Motoren , (1994)

[Wu] Wu, H., Aquino, ́ $� �� /LWHU� (QJLQH� DQG� ,QWDNH� 0DQLIROG´� ASME 83-WA /DSC-39, (1983)

[Yam] Yamada, T., Hayakawa, N., ´8QLYHUVDO�$LU�)XHO�5DWLR�+HDWHG�([KDXVW�*DV�2[\�JHQ�6HQVRU�DQG�)XUWKHU�$SSOLFDWLRQV´, SAE 920234 (1992�

[Zim] Zimmer, G., ́ =XVWDQGVEHREDFKWXQJ�QLFKWOLQHDUHU�6\VWHPH´, Habilitationsschrift,TU-Berlin (1997)

Meinem Vater in Dankbarkeit gewidmet

QDPLVFKHU *HPLVFKIHKOHU · 5.2.2 Die Filterstruktur des adaptiven Kalman-Filters 82 5.2.3...

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