Quadratische Funktionen - Fakultäthussmann/funktionen4 teil1.pdf · Kapitel 4: Quadratische...

Stephan HußmannVorlesung Wintersemester

2010/2011

Quadratische Funktionen

Montag, 29. November 2010

Kapitel 4: Quadratische Funktionen

Quadratische Funktionen - der Weg über lineare Funktionen

1 Produkte linearer Funktionena) Wenn man zwei lineare Funktionen addiert, erhält man wieder eine lineare Funktion?Erklären Sie, woran das liegt.

b)Wenn man zwei lineare Funktionen multipliziert, erhält man eine so genannte quadratische Funktion. Welche Eigenschaften der linearen Funktion besitzt auch diese quadratische Funktion?

c)Erhält man auf diese Weise alle quadratischen Funktionen? Falls ja, beweisen Sie es (Zum Beispiel: Jede Funktion der Art ax2+bx+c lässt sich als Produkt von zwei linearen Funktionen schreiben).Falls nicht, finden Sie mindestens ein Gegenbeispiel (Überprüfen Sie zum Beispiel eine konkrete Funktion).





Beispiel: f(x)=2x+1 und g(x)=3x+2 Auftrag: Erklären Sie das

Phänomen für das Beispiel.



4

f(x)=2x+1 und g(x)=3x+2





Beispiel: f(x)=2x+1 und g(x)=3x+2 also h(x)=f(x)+g(x)=5x+3

Lässt sich das auch algebraisch begründen?

Auftrag: Begründen Sie den Zusammenhang algebraisch.




1 Produkte linearer Funktionen


Beispiel: f(x)=2x+1 und g(x)=3x+2 Auftrag: Erklären Sie das

Phänomen für das Beispiel.






f(x)=2x+1 und g(x)=3x+2






Beispiel: f(x)=2x+1 und g(x)=3x+2

f(x) g(x)= (2x+1) (3x+2)= 6x2+7x+2

Ist jede quadratische Funktion so darstellbar?

Einen Blick auf einen einfachen Fall:(x+1) (x+2) = x2+3x+2

Die Nullstellen der linearen Funktionen sind die Nullstellen der zugehörigen quadratischen Funktion (durch Multiplikation entstanden), d.h. jede quadratische Funktion ohne Nullstellen lässt sich nicht als Produkt von zwei linearen Funktionen darstellen.

Auftrag: Welche Eigenschaften übernimmt

diese quadratische Funktion von den linearen

Funktionen?





c)Erhält man auf diese Weise alle quadratischen Funktionen? Falls ja, beweisen Sie es (Zum Beispiel: Jede Funktion der Art ax2+bx+c lässt sich als Produkt von zwei linearen Funktionen schreiben).Falls nicht, finden Sie mindestens ein Gegenbeispiel (Überprüfen Sie zum Beispiel eine konkrete Funktion).

Auftrag: Untersuchen Sie die quadratischen Funktionen, ob sie das Produkt von zwei linearen Funktionen sind.

f(x)=x2+6x+9 und g(x)=x2+4 und h(x)=x2+3x+10



2 Quadratische Funktionen untersuchen

a) Eine quadratische Funktion lässt sich als ax2+bx+c, a,b,c ∈ schreiben. Untersuchen Sie mit Hilfe eines Computerprogramms den Einfluss der Parameter auf den Graphen der quadratischen Funktion, die so genannte Parabel, z.B. ‚Wenn man a vergrößert, dann verändert sich der Graph ....’etc.Finden Sie so viele Zusammenhänge wie möglich. b) Eine quadratische Funktion lässt sich auch in der Scheitelpunktform schreiben als d (x-e)2 +f , d,e,f ∈ schreiben. Untersuchen Sie mit Hilfe eines Computerprogramms den Einfluss der Parameter auf die Darstellung der Parabel.

c) Was haben die Parameter in a) und b) mit einander zu tun?

Quadratische Funktionen - der Weg über Verallgemeinerung der symbolischen Form




a) Eine quadratische Funktion lässt sich als ax2+bx+c, a,b,c ∈ schreiben. Untersuchen Sie mit Hilfe eines Computerprogramms den Einfluss der Parameter auf den Graphen der quadratischen Funktion, die so genannte Parabel, z.B. ‚Wenn man a vergrößert, dann verändert sich der Graph ....’etc.Finden Sie so viele Zusammenhänge wie möglich.

Auftrag: Untersuchen Sie die quadratischenFunktionen fa(x)=ax2 hinsichtlich der Rolle von a.





Welche Rolle spielen die Parameter in der quadratischen Funktion ax2+bx+c, a,b,c ∈ ?

Die Rolle von a:Falls a>0, dann ist die Parabel nach oben geöffnet.Falls a<0, dann ist die Parabel nach unten geöffnet.

| a | < 1: der Graph ist relativ zur Normalparabel gestaucht, d.!h. in der Länge zusammengedrückt, wodurch er breiter erscheint und flacher ist.| a | > 1: der Graph ist relativ zur Normalparabel gestreckt, d.!h. in die Länge gezogen, wodurch er schmaler erscheint und steiler ist.

Der Achsenabschnitt bleibt fest.

Auftrag: Erklären Sie, warum der Achsenabschnitt bei Veränderung von a fest

bleibt.





Welche Rolle spielen die Parameter in der quadratischen Funktion ax2+bx+c, a,b,c ∈ ?

Die Rolle von b:

Auftrag: Welche Auswirkung hat die Veränderung von b um 1 auf

den Graphen von ax2+bx+c.


Der Scheitelpunkt bewegt sich auf einer Kurve.

-> to be continued



2 Quadratische Funktionen untersuchen b) Eine quadratische Funktion lässt sich auch in der Scheitelpunktform schreiben als d (x-e)2 +f , d,e,f ∈ schreiben. Untersuchen Sie mit Hilfe eines Computerprogramms den Einfluss der Parameter auf die Darstellung der Parabel.


Auftrag: Welche Rollen spielen die Parameter hier?




Welche Rolle spielen die Parameter in der quadratischen Funktion d (x-e)2 +f , d,e,f ∈ ?

Die Rolle von d:Falls d>0, dann ist die Parabel nach oben geöffnet.Falls d<0, dann ist die Parabel nach unten geöffnet.

| d | < 1: der Graph ist relativ zur Normalparabel gestaucht, d.!h. in der Länge zusammengedrückt, wodurch er breiter erscheint und flacher ist.| d | > 1: der Graph ist relativ zur Normalparabel gestreckt, d.!h. in die Länge gezogen, wodurch er schmaler erscheint und steiler ist.

Der Scheitelpunkt bleibt fest.

Auftrag: Erklären Sie, warum der Scheitelpunkt

bei Veränderung von d fest bleibt.






Die Rolle von f:Falls f>0, dann ist der Scheitelpunkt der Parabel oberhalb der ersten Achse.Falls f<0, dann ist Scheitelpunkt der Parabel unterhalb der ersten Achse.

Auftrag: Erklären Sie, warum der Scheitelpunkt

bei Veränderung von d fest bleibt.






Die Rolle von e:Falls e>0, dann ist der Scheitelpunkt rechts von der zweiten AchseFalls e<0, dann ist der Scheitelpunkt links von der zweiten Achse





a) Eine quadratische Funktion lässt sich als ax2+bx+c, a,b,c ∈ schreiben. Untersuchen Sie mit Hilfe eines Computerprogramms den Einfluss der Parameter auf den Graphen der quadratischen Funktion, die so genannte Parabel, z.B. ‚Wenn man a vergrößert, dann verändert sich der Graph ....’etc.Finden Sie so viele Zusammenhänge wie möglich. b) Eine quadratische Funktion lässt sich auch in der Scheitelpunktform schreiben als d (x-e)2 +f , d,e,f ∈ schreiben. Untersuchen Sie mit Hilfe eines Computerprogramms den Einfluss der Parameter auf die Darstellung der Parabel.

c) Was haben die Parameter in a) und b) mit einander zu tun?

Auftrag: Überführen Sie die Parameterform in die Scheitelpunktform.





Was haben ax2+bx+c, a,b,c ∈ und d (x-e)2 +f , d,e,f ∈ miteinander zu tun?

Auftrag: Untersuchen Sie den Zusammenhang, indem Sie die Terme in die jeweils andere Darstellung überführen:(1) 3x2-24x+15(2) 2 (x-5)2 + 3(3) 5x2+25x+30(4) 1,5 (x+2,5)2 +2,5

Auftrag: Untersuchen Sie den Zusammenhang, indem Sie die Terme in die jeweils andere Darstellung überführen:(1) x2+bx+c(2) ax2+bx+c(3) d (x-e)2 +f



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