Quadratische Funktionen und Gleichungen

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Quadratische Funktionen und Gleichungen Eine Zusammenfassung und Wiederholung Fassung: 7. Juni 2022

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Quadratische Funktionen und Gleichungen. Eine Zusammenfassung und Wiederholung. Fassung: 27/10/14. „Wir“ erinnern uns?!. Quadratische Beziehungen und Parabeln sind keine Erfindungen von Mathematikern oder Lehrern, sondern …. … kommen im Alltagsleben vor. Über- sicht. Köln-Arena. - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: Quadratische Funktionen und Gleichungen

Quadratische Funktionenund Gleichungen

Eine Zusammenfassung

und Wiederholung

Fassung: 20. April 2023

Page 2: Quadratische Funktionen und Gleichungen

„Wir“ erinnern uns?!

Quadratische Beziehungen und Parabeln sind keine Erfindungen von Mathematikern oder Lehrern, sondern …

Köln-ArenaParabolantenne

frei hängende Kette

… kommen im Alltagsleben vor.

springender Ball, aufgenommen mit einer StroboskopkameraSidney - Harbourbridge

Über-sicht

Page 3: Quadratische Funktionen und Gleichungen

Was macht nun die Mathematik?

Mathematik beobachtet und misst.

Mathematik untersucht.

Mathematik denkt weiter.

Mathematik probiert aus.

Über-sicht

Page 4: Quadratische Funktionen und Gleichungen

Mathematik beobachtet und misst.

x y-4 4-2 10 02 14 46 9

x y-4-20246

Über-sicht

Wenn man noch folgende Werte messen würde, …

… könnte man zu der Funktionsvorschrift y = 0,25 x² kommen!*

x y-10 25-8 16-6 9-4 42 10 02 14 46 98 16

10 25

Bitte beachten Sie den Konjunktiv (… würde, könnte …)! Denn: Eine Kette hängt nur annähernd, nicht exakt in Parabelform.

Page 5: Quadratische Funktionen und Gleichungen

Mathematik untersucht.

Bremsweg eines Autos

Über-sicht

… beginnend mit 40 km/h

… beginnend mit 60 km/h

… beginnend mit 80 km/h

Oder anders dargestellt:

Page 6: Quadratische Funktionen und Gleichungen

Mathematik untersucht.

Bremsweg eines Autos(In der Realität gibt es selbstverständlich Abweichungen, je nach Beschaffenheit der Straße, der Reifengröße, des Reifenzustands u.ä.)

Über-sicht

Geschwindigkeit in km/h

Läng

e de

s B

rem

sweg

s in

m

Page 7: Quadratische Funktionen und Gleichungen

Mathematik denkt weiter.

Geht man von einer quadratischen Beziehung (Zuordnung) zweier Größen (allgemein x und y) aus, lassen sich folgende Varianten unterscheiden:

Über-sicht

y = x² Normalparabel y = a x² y = a x² + c reinquadratische Funktion y = a x² + b x + c gemischtquadratische Funktion in Normalform y = a (x + d)² + e gemischtquadratische Funktion in Scheitelform

mit S(-d|e)

Für die Variablen a, b, c, d und e gilt es nun Zahlenwerte einzusetzen; anschließend kann man jeweils eine Wertetabelle aufstellen und den entsprechenden Graphen zeichnen. Probieren Sie es aus und beobachten Sie Veränderungen!

Page 8: Quadratische Funktionen und Gleichungen

Mathematik probiert aus.

gemischt-quadratische Funktion: y = ax² + bx + c (Normalform)(Zur Ausführung dieses Links benötigen Sie Excel auf Ihrem Rechner; Makros müssen aktiviert werden.)

gemischt-quadratische Funktion: y = a (x² + d)² + e (Scheitelform)(Zur Ausführung dieses Links benötigen Sie Excel auf Ihrem Rechner; Makros müssen aktiviert werden.)

Wasserstrahl (Normalform) (Zur Ausführung dieses Links benötigen Sie Excel auf Ihrem Rechner; Makros müssen aktiviert werden.)

Wasserstrahl (Scheitelform)(Zur Ausführung dieses Links benötigen Sie Excel auf Ihrem Rechner; Makros müssen aktiviert werden.)

Über-sicht

Page 9: Quadratische Funktionen und Gleichungen

Was bringen die Untersuchungen der Mathematik?

Bestimmung minimaler bzw. maximaler Werte bei quadratischen Beziehungen

Lösung quadratischer Gleichungen

Bestimmung der Funktionsgleichung bei gegebenen Punkten einer Parabel

Über-sicht

Page 10: Quadratische Funktionen und Gleichungen

Was bringen die Untersuchungen der Mathematik?Bestimmung minimaler bzw. maximaler Werte bei quadratischen Beziehungen

zurück

Beispiel:

Bei welchen Seitenmaßen wird die rechteckige Fläche des Kaninchengeheges maximal, wenn für den Zaun 7m zur Verfügung stehen?

Fläche des Geheges: A = x (7-2x) bzw.: A = -2x² + 7x

Somit hat man es mit einer quadratischen Beziehung zu tun.

Betrachtet man A nun als eine von x abhängige Größe, so lässt sich die Beziehung als quadratische Funktion verstehen mit einer Parabel als graphischer Darstellung und dem Scheitelpunkt als Lösung der Problemstellung; seine x-Koordinate gibt das Seitenmaß des Geheges an, für das die Fläche (y-Koordinate) maximal wird.

zeichnerische Lösung rechnerische Lösung

Über-sicht

Page 11: Quadratische Funktionen und Gleichungen

Kaninchengehege

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-1 0 1 2 3 4

zeichnerische Lösung

Der Scheitelpunkt lässt sich ablesen: S(1,75|6,125)

D.h.: Bei einer Seitenlänge von 1,75 m ergibt sich eine Fläche von 6,125 m²

A = -2x² + 7x

Wertetabelle

x A

0,0 0,0

0,5 3,0

1,0 5,0

1,5 6,0

2,0 6,0

2,5 5,0

3,0 3,0

3,5 0,0zurück

Über-sicht

Page 12: Quadratische Funktionen und Gleichungen

Rechnerische Bestimmung des Scheitelpunkts der quadratischen Funktion y = ax² + bx +c

zurück

Über-sicht

Es geht auch noch anders! (Vielleicht einfacher?)

Jede Parabel hat bekanntlich eine Spiegelachse; diese verläuft stets parallel zur y-Achse UND durch den Scheitelpunkt. Somit liegt der Scheitelpunkt zugleich genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen der Parabel - und diese Nullstellen lassen sich rechnerisch per pq-Formel bestimmen (vgl. nächster Abschnitt Quadratische Gleichungen).

Klingt nach einfacher Lösung, hat aber wie vieles Einfache einen „Haken“.

Schon entdeckt?

Hinweis: Hat jede Parabel eine/zwei Nullstelle(n)?!

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

Page 13: Quadratische Funktionen und Gleichungen

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

Was bringen die Untersuchungen der Mathematik?Lösung quadratischer Gleichungen

zurück

Grundidee: Die Punkte einer Parabel, die den Wert y = 0 haben, bilden die Lösung(en) einer quadratischen Gleichung der Form x² + px +q = 0.

zeichnerisch rechnerisch

Beispiel: x2 + 3x – 1,75 = 0(y)

Mit der sog. p-q-Formel lassen sich sämtliche quadratischen Gleichungen der Form x² + px +q = 0 lösen.

Lösung(en) der Gleichung: x1 = -3,5x2 = 0,5

Herleitung der p-q-Formel(mit quadratischer Ergänzung)

22

3

75,12

3

2

3

2/1

2

2/1

x

x

Anwendung der p-q-Formel

Über-sicht

02 qpxx

022

22

q

ppx

qpp

x

22

22

qpp

x

2

22

qpp

x

2

2/1 22

Page 14: Quadratische Funktionen und Gleichungen

Was bringen die Untersuchungen der Mathematik?Bestimmung der Funktionsgleichung bei gegebenen Punkten einer Parabel

zurück

Kennt man den Scheitelpunkt sowie einen weiteren Punkt der Parabel, kann man deren Funktionsgleichung bestimmen.

Beispiel: ein Kugelstoß

Abstoßhöhe (bei x = 0 m): 1,80 m

Höchster Punkt der Flugbahn: 2,3 m (bei einem Abstand von 4 m)

Lösungsweg:

• Einsetzen der Scheitelpunkt- sowie der Punktkoordinaten in die allgemeine Scheitelform: 1,8 = a (0 – 4)² + 2,3

• Auflösen der Gleichung nach a: a = -0,03125

• ggf. Bestimmung der Normalform durch Umwandlung der Scheitelform y = -0,03125 (x – 4)² + 2,3 in: y = -0,03125x² + 0,25x + 1,8

Die Weite dieses Kugelstoßversuchs lässt sich jetzt sowohl zeichnerisch als auch rechnerisch (vgl. Lösung quadratischer Gleichungen) bestimmen. (Tipp: Wie groß ist der y-Wert im Punkt des Aufpralls?)

Über-sicht

Page 15: Quadratische Funktionen und Gleichungen

So behalten Sie den Überblick!

„Wir“ erinnern uns?! Was macht nun die Mathematik

? Mathematik beobachtet und mis

st. Mathematik untersucht. Mathematik denkt weiter, Mathematik probiert aus. Was bringen die Untersuchunge

n der Mathematik?

Lösung quadratischer Gleichungen

Bestimmung der Funktionsgleichung aus gegebenen Punkten

Von der Normalform (y = ax² + bx + c) zur Scheitelform ( y = a (x+d)² +e)

Übersicht quadratische Funktionen

Übersicht quadratische Gleichungen

Ausblick

Page 16: Quadratische Funktionen und Gleichungen

Ausblick

Über-sicht

Die in diesem Lernprogramm – an dessen Ende Sie jetzt angekommen sind – vorgestellte Methode

von der Beobachtung von Zusammenhängen und Zuordnungen

über Funktionen als mathematische Beschreibung der Realität (Modellbildung)

über die (innermathematische) Weiterentwicklung bis zur (mathematischen) Lösung realer Problem-

stellungen

lässt sich auch auf andere Situationen übertragen.

Mathematische Fortsetzungen sind insbesondere die Exponential-funktionen sowie die Differential- und Integralrechnung – das Abend-gymnasium lässt grüßen!

Page 17: Quadratische Funktionen und Gleichungen

Übersicht quadratische Funktionen

Über-sicht

Page 18: Quadratische Funktionen und Gleichungen

Übersicht quadratische Gleichungen

Über-sicht