Quadratische Funktionenund GleichungenEine Zusammenfassung und WiederholungFassung: *

Wir erinnern uns?!Quadratische Beziehungen und Parabeln sind keine Erfindungen von Mathematikern oder Lehrern, sondern

Kln-ArenaParabolantennefrei hngende Kette kommen im Alltagsleben vor.springender Ball, aufgenommen mit einer StroboskopkameraSidney - Harbourbridgeber- sicht

Was macht nun die Mathematik?Mathematik beobachtet und misst.Mathematik untersucht.Mathematik denkt weiter.Mathematik probiert aus.

ber- sicht

Mathematik beobachtet und misst.ber- sichtWenn man noch folgende Werte messen wrde, knnte man zu der Funktionsvorschrift y = 0,25 x kommen!*Bitte beachten Sie den Konjunktiv ( wrde, knnte )! Denn: Eine Kette hngt nur annhernd, nicht exakt in Parabelform.

Tabelle1

xy

-44

-21

00

21

44

69

Tabelle1

xy

-4

-2

0

2

4

6

Tabelle1

xy

-1025

-816

-69

-44

21

00

21

44

69

816

1025

Mathematik untersucht.Bremsweg eines Autosber- sicht beginnend mit 40 km/h beginnend mit 60 km/h beginnend mit 80 km/hOder anders dargestellt:

Mathematik untersucht.Bremsweg eines Autos(In der Realitt gibt es selbstverstndlich Abweichungen, je nach Beschaffenheit der Strae, der Reifengre, des Reifenzustands u..) ber- sicht

Mathematik denkt weiter.Geht man von einer quadratischen Beziehung (Zuordnung) zweier Gren (allgemein x und y) aus, lassen sich folgende Varianten unterscheiden:

ber- sichty = xNormalparabely = a xy = a x + creinquadratische Funktiony = a x + b x + cgemischtquadratische Funktion in Normalformy = a (x + d) + egemischtquadratische Funktion in Scheitelform mit S(-d|e)Fr die Variablen a, b, c, d und e gilt es nun Zahlenwerte einzusetzen; anschlieend kann man jeweils eine Wertetabelle aufstellen und den entsprechenden Graphen zeichnen. Probieren Sie es aus und beobachten Sie Vernderungen!

Mathematik probiert aus.gemischt-quadratische Funktion: y = ax + bx + c (Normalform) (Zur Ausfhrung dieses Links bentigen Sie Excel auf Ihrem Rechner; Makros mssen aktiviert werden.)gemischt-quadratische Funktion: y = a (x + d) + e (Scheitelform) (Zur Ausfhrung dieses Links bentigen Sie Excel auf Ihrem Rechner; Makros mssen aktiviert werden.)Wasserstrahl (Normalform) (Zur Ausfhrung dieses Links bentigen Sie Excel auf Ihrem Rechner; Makros mssen aktiviert werden.)Wasserstrahl (Scheitelform) (Zur Ausfhrung dieses Links bentigen Sie Excel auf Ihrem Rechner; Makros mssen aktiviert werden.)ber- sicht

Was bringen die Untersuchungen der Mathematik?Bestimmung minimaler bzw. maximaler Werte bei quadratischen BeziehungenLsung quadratischer GleichungenBestimmung der Funktionsgleichung bei gegebenen Punkten einer Parabelber- sicht

Was bringen die Untersuchungen der Mathematik?Bestimmung minimaler bzw. maximaler Werte bei quadratischen BeziehungenzurckBeispiel: Bei welchen Seitenmaen wird die rechteckige Flche des Kaninchengeheges maximal, wenn fr den Zaun 7m zur Verfgung stehen?Flche des Geheges: A = x (7-2x)bzw.: A = -2x + 7xSomit hat man es mit einer quadratischen Beziehung zu tun.Betrachtet man A nun als eine von x abhngige Gre, so lsst sich die Beziehung als quadratische Funktion verstehen mit einer Parabel als graphischer Darstellung und dem Scheitelpunkt als Lsung der Problemstellung; seine x-Koordinate gibt das Seitenma des Geheges an, fr das die Flche (y-Koordinate) maximal wird.zeichnerische Lsungrechnerische Lsungber- sicht

Kaninchengehegezeichnerische LsungDer Scheitelpunkt lsst sich ablesen: S(1,75|6,125)D.h.: Bei einer Seitenlnge von 1,75 m ergibt sich eine Flche von 6,125 mzurckber- sicht

Diagramm2

-600

-390

-220

-90

00

50

60

30

-40

-15

-30

-49

y1 = -2 x + 7 x

y2 =

Vgl-rq

Funktionen mit Gleichungen vom Typ: y = ax + c (reinquadratische Funktion)

Zeige:11

a =1241110.5-1222

c =0-835-1

xx2x -84xx + 3x + 5x -10,5x-1x2x2x2x

-10100192000000000

-981154000000000

-864120000000000

-74990000000000

-63664000000000

-52542000000000

-41624000000000

-3910000000000

-240000000000

-11-6000000000

00-8000000000

11-6000000000

240000000000

3910000000000

41624000000000

52542000000000

63664000000000

74990000000000

864120000000000

981154000000000

10100192000000000

1

0x00

2x-8

0000

0000

0000

0000

0000

0000

0000

0000

0000

Steigerungswert:x2-x1=???

variabelSteigerungswert x1-x2 siehe unten (A31)

Vgl-rq-Dia

100192000000000

81154000000000

64120000000000

4990000000000

3664000000000

2542000000000

1624000000000

910000000000

40000000000

1-6000000000

0-8000000000

1-6000000000

40000000000

910000000000

1624000000000

2542000000000

3664000000000

4990000000000

64120000000000

81154000000000

y1 = x

y2 = 2 x - 8

y3 =

y4 =

y5 =

y6 =

y7 =

y8 =

y9 =

y10 =

y11 =

y = ax + c

Vgl-gq

Funktionen mit Gleichungen vom Typ: y = ax + bx + c (gemischtquadratische Funktion)

Zeige:11

a =1111111-1022

b =3111111

c =-85015-50

xxx+3x-8x+x+5x+xx+x+1x+x+5x+x-5-1x+x02x2x

-1010062000000000

-98146000000000

-86432000000000

-74920000000000

-63610000000000

-5252000000000

-416-4000000000

-39-8000000000

-24-10000000000

-11-10000000000

00-8000000000

11-4000000000

242000000000

3910000000000

41620000000000

52532000000000

63646000000000

74962000000000

86480000000000

981100000000000

10100122000000000

1

0x00000

0x+3x-8

0000000

0000000

0000000

0000000

0000000

0000000

0000000

0000000

0000000

variabelSteigerungswert x1-x2 siehe unten (A31)

Steigerungswert:x2-x1=???

Vgl-gq-Dia

10062000000000

8146000000000

6432000000000

4920000000000

3610000000000

252000000000

16-4000000000

9-8000000000

4-10000000000

1-10000000000

0-8000000000

1-4000000000

42000000000

910000000000

1620000000000

2532000000000

3646000000000

4962000000000

6480000000000

81100000000000

y1 = x

y2 = x + 3 x - 8

y3 =

y4 =

y5 =

y6 =

y7 =

y8 =

y9 =

y10 =

y11 =

y = ax + bx + c

Schar(N)

Funktionen mit Gleichungen vom Typ: y = ax + bx + c (gemischtquadratische Funktion - Normalform))

Zeige:1

a =11111111111

b =33333333333

c =-5-4-3-2-1012345

-10650000000000

-9490000000000

-8350000000000

-7230000000000

-6130000000000

-550000000000

-4-10000000000

-3-50000000000

-2-70000000000

-1-70000000000

0-50000000000

1-10000000000

250000000000

3130000000000

4230000000000

5350000000000

6490000000000

7650000000000

8830000000000

91030000000000

101250000000000

y1 =0x+3x-5

y2 =0000000

y3 =0000000

y4 =0000000

y5 =0000000

y6 =0000000

y7 =0000000

y8 =0000000

y9 =0000000

y10 =0000000

y11 =0000000

Schar(N)

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

y1 = x + 3 x - 5

y2 =

y3 =

y4 =

y5 =

y6 =

y7 =

y8 =

y9 =

y10 =

y11 =

y = ax + bx + c

Schar(S)

Funktionen mit Gleichungen vom Typ: y = a (x + d) + e (gemischtquadratische Funktion - Scheitelform))

Zeige:11111111111

a =11111111111

d =33333333333

e =543210-1-2-3-4-5

-105453525150494847464544

-94140393837363534333231

-83029282726252423222120

-72120191817161514131211

-61413121110987654

-59876543210-1

-46543210-1-2-3-4

-3543210-1-2-3-4-5

-26543210-1-2-3-4

-19876543210-1

01413121110987654

12120191817161514131211

23029282726252423222120

34140393837363534333231

45453525150494847464544

56968676665646362616059

68685848382818079787776

71051041031021011009998979695

8126125124123122121120119118117116

9149148147146145144143142141140139

10174173172171170169168167166165164

y1 =0(x+3)+5

y2 =0(x+3)+4

y3 =0(x+3)+3

y4 =0(x+3)+2

y5 =0(x+3)+1

y6 =0(x+3)00

y7 =0(x+3)-1

y8 =0(x+3)-2

y9 =0(x+3)-3

y10 =0(x+3)-4

y11 =0(x+3)-5

Schar(S)

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

00000000000

y1 = ( x + 3 ) + 5

y2 = ( x + 3 ) + 4

y3 = ( x + 3 ) + 3

y4 = ( x + 3 ) + 2

y5 = ( x + 3 ) + 1

y6 = ( x + 3 )

y7 = ( x + 3 ) - 1

y8 = ( x + 3 ) - 2

y9 = ( x + 3 ) - 3

y10 =