Quadratische Funktionen und Gleichungen

Click here to load reader

download Quadratische Funktionen und Gleichungen

of 18

  • date post

    04-Jan-2016
  • Category

    Documents

  • view

    272
  • download

    12

Embed Size (px)

description

Quadratische Funktionen und Gleichungen. Eine Zusammenfassung und Wiederholung. Fassung: 27/10/14. „Wir“ erinnern uns?!. Quadratische Beziehungen und Parabeln sind keine Erfindungen von Mathematikern oder Lehrern, sondern …. … kommen im Alltagsleben vor. Über- sicht. Köln-Arena. - PowerPoint PPT Presentation

Transcript of Quadratische Funktionen und Gleichungen

  • Quadratische Funktionenund GleichungenEine Zusammenfassung und WiederholungFassung: *

  • Wir erinnern uns?!Quadratische Beziehungen und Parabeln sind keine Erfindungen von Mathematikern oder Lehrern, sondern

    Kln-ArenaParabolantennefrei hngende Kette kommen im Alltagsleben vor.springender Ball, aufgenommen mit einer StroboskopkameraSidney - Harbourbridgeber- sicht

  • Was macht nun die Mathematik?Mathematik beobachtet und misst.Mathematik untersucht.Mathematik denkt weiter.Mathematik probiert aus.

    ber- sicht

  • Mathematik beobachtet und misst.ber- sichtWenn man noch folgende Werte messen wrde, knnte man zu der Funktionsvorschrift y = 0,25 x kommen!*Bitte beachten Sie den Konjunktiv ( wrde, knnte )! Denn: Eine Kette hngt nur annhernd, nicht exakt in Parabelform.

    Tabelle1

    xy

    -44

    -21

    00

    21

    44

    69

    Tabelle1

    xy

    -4

    -2

    0

    2

    4

    6

    Tabelle1

    xy

    -1025

    -816

    -69

    -44

    21

    00

    21

    44

    69

    816

    1025

  • Mathematik untersucht.Bremsweg eines Autosber- sicht beginnend mit 40 km/h beginnend mit 60 km/h beginnend mit 80 km/hOder anders dargestellt:

  • Mathematik untersucht.Bremsweg eines Autos(In der Realitt gibt es selbstverstndlich Abweichungen, je nach Beschaffenheit der Strae, der Reifengre, des Reifenzustands u..) ber- sicht

  • Mathematik denkt weiter.Geht man von einer quadratischen Beziehung (Zuordnung) zweier Gren (allgemein x und y) aus, lassen sich folgende Varianten unterscheiden:

    ber- sichty = xNormalparabely = a xy = a x + creinquadratische Funktiony = a x + b x + cgemischtquadratische Funktion in Normalformy = a (x + d) + egemischtquadratische Funktion in Scheitelform mit S(-d|e)Fr die Variablen a, b, c, d und e gilt es nun Zahlenwerte einzusetzen; anschlieend kann man jeweils eine Wertetabelle aufstellen und den entsprechenden Graphen zeichnen. Probieren Sie es aus und beobachten Sie Vernderungen!

  • Mathematik probiert aus.gemischt-quadratische Funktion: y = ax + bx + c (Normalform) (Zur Ausfhrung dieses Links bentigen Sie Excel auf Ihrem Rechner; Makros mssen aktiviert werden.)gemischt-quadratische Funktion: y = a (x + d) + e (Scheitelform) (Zur Ausfhrung dieses Links bentigen Sie Excel auf Ihrem Rechner; Makros mssen aktiviert werden.)Wasserstrahl (Normalform) (Zur Ausfhrung dieses Links bentigen Sie Excel auf Ihrem Rechner; Makros mssen aktiviert werden.)Wasserstrahl (Scheitelform) (Zur Ausfhrung dieses Links bentigen Sie Excel auf Ihrem Rechner; Makros mssen aktiviert werden.)ber- sicht

  • Was bringen die Untersuchungen der Mathematik?Bestimmung minimaler bzw. maximaler Werte bei quadratischen BeziehungenLsung quadratischer GleichungenBestimmung der Funktionsgleichung bei gegebenen Punkten einer Parabelber- sicht

  • Was bringen die Untersuchungen der Mathematik?Bestimmung minimaler bzw. maximaler Werte bei quadratischen BeziehungenzurckBeispiel: Bei welchen Seitenmaen wird die rechteckige Flche des Kaninchengeheges maximal, wenn fr den Zaun 7m zur Verfgung stehen?Flche des Geheges: A = x (7-2x)bzw.: A = -2x + 7xSomit hat man es mit einer quadratischen Beziehung zu tun.Betrachtet man A nun als eine von x abhngige Gre, so lsst sich die Beziehung als quadratische Funktion verstehen mit einer Parabel als graphischer Darstellung und dem Scheitelpunkt als Lsung der Problemstellung; seine x-Koordinate gibt das Seitenma des Geheges an, fr das die Flche (y-Koordinate) maximal wird.zeichnerische Lsungrechnerische Lsungber- sicht

  • Kaninchengehegezeichnerische LsungDer Scheitelpunkt lsst sich ablesen: S(1,75|6,125)D.h.: Bei einer Seitenlnge von 1,75 m ergibt sich eine Flche von 6,125 mzurckber- sicht

    Diagramm2

    -600

    -390

    -220

    -90

    00

    50

    60

    30

    -40

    -15

    -30

    -49

    y1 = -2 x + 7 x

    y2 =

    Vgl-rq

    Funktionen mit Gleichungen vom Typ: y = ax + c (reinquadratische Funktion)

    Zeige:11

    a =1241110.5-1222

    c =0-835-1

    xx2x -84xx + 3x + 5x -10,5x-1x2x2x2x

    -10100192000000000

    -981154000000000

    -864120000000000

    -74990000000000

    -63664000000000

    -52542000000000

    -41624000000000

    -3910000000000

    -240000000000

    -11-6000000000

    00-8000000000

    11-6000000000

    240000000000

    3910000000000

    41624000000000

    52542000000000

    63664000000000

    74990000000000

    864120000000000

    981154000000000

    10100192000000000

    1

    0x00

    2x-8

    0000

    0000

    0000

    0000

    0000

    0000

    0000

    0000

    0000

    Steigerungswert:x2-x1=???

    variabelSteigerungswert x1-x2 siehe unten (A31)

    Vgl-rq-Dia

    100192000000000

    81154000000000

    64120000000000

    4990000000000

    3664000000000

    2542000000000

    1624000000000

    910000000000

    40000000000

    1-6000000000

    0-8000000000

    1-6000000000

    40000000000

    910000000000

    1624000000000

    2542000000000

    3664000000000

    4990000000000

    64120000000000

    81154000000000

    y1 = x

    y2 = 2 x - 8

    y3 =

    y4 =

    y5 =

    y6 =

    y7 =

    y8 =

    y9 =

    y10 =

    y11 =

    y = ax + c

    Vgl-gq

    Funktionen mit Gleichungen vom Typ: y = ax + bx + c (gemischtquadratische Funktion)

    Zeige:11

    a =1111111-1022

    b =3111111

    c =-85015-50

    xxx+3x-8x+x+5x+xx+x+1x+x+5x+x-5-1x+x02x2x

    -1010062000000000

    -98146000000000

    -86432000000000

    -74920000000000

    -63610000000000

    -5252000000000

    -416-4000000000

    -39-8000000000

    -24-10000000000

    -11-10000000000

    00-8000000000

    11-4000000000

    242000000000

    3910000000000

    41620000000000

    52532000000000

    63646000000000

    74962000000000

    86480000000000

    981100000000000

    10100122000000000

    1

    0x00000

    0x+3x-8

    0000000

    0000000

    0000000

    0000000

    0000000

    0000000

    0000000

    0000000

    0000000

    variabelSteigerungswert x1-x2 siehe unten (A31)

    Steigerungswert:x2-x1=???

    Vgl-gq-Dia

    10062000000000

    8146000000000

    6432000000000

    4920000000000

    3610000000000

    252000000000

    16-4000000000

    9-8000000000

    4-10000000000

    1-10000000000

    0-8000000000

    1-4000000000

    42000000000

    910000000000

    1620000000000

    2532000000000

    3646000000000

    4962000000000

    6480000000000

    81100000000000

    y1 = x

    y2 = x + 3 x - 8

    y3 =

    y4 =

    y5 =

    y6 =

    y7 =

    y8 =

    y9 =

    y10 =

    y11 =

    y = ax + bx + c

    Schar(N)

    Funktionen mit Gleichungen vom Typ: y = ax + bx + c (gemischtquadratische Funktion - Normalform))

    Zeige:1

    a =11111111111

    b =33333333333

    c =-5-4-3-2-1012345

    -10650000000000

    -9490000000000

    -8350000000000

    -7230000000000

    -6130000000000

    -550000000000

    -4-10000000000

    -3-50000000000

    -2-70000000000

    -1-70000000000

    0-50000000000

    1-10000000000

    250000000000

    3130000000000

    4230000000000

    5350000000000

    6490000000000

    7650000000000

    8830000000000

    91030000000000

    101250000000000

    y1 =0x+3x-5

    y2 =0000000

    y3 =0000000

    y4 =0000000

    y5 =0000000

    y6 =0000000

    y7 =0000000

    y8 =0000000

    y9 =0000000

    y10 =0000000

    y11 =0000000

    Schar(N)

    00000000000

    00000000000

    00000000000

    00000000000

    00000000000

    00000000000

    00000000000

    00000000000

    00000000000

    00000000000

    00000000000

    00000000000

    00000000000

    00000000000

    00000000000

    00000000000

    00000000000

    00000000000

    00000000000

    00000000000

    y1 = x + 3 x - 5

    y2 =

    y3 =

    y4 =

    y5 =

    y6 =

    y7 =

    y8 =

    y9 =

    y10 =

    y11 =

    y = ax + bx + c

    Schar(S)

    Funktionen mit Gleichungen vom Typ: y = a (x + d) + e (gemischtquadratische Funktion - Scheitelform))

    Zeige:11111111111

    a =11111111111

    d =33333333333

    e =543210-1-2-3-4-5

    -105453525150494847464544

    -94140393837363534333231

    -83029282726252423222120

    -72120191817161514131211

    -61413121110987654

    -59876543210-1

    -46543210-1-2-3-4

    -3543210-1-2-3-4-5

    -26543210-1-2-3-4

    -19876543210-1

    01413121110987654

    12120191817161514131211

    23029282726252423222120

    34140393837363534333231

    45453525150494847464544

    56968676665646362616059

    68685848382818079787776

    71051041031021011009998979695

    8126125124123122121120119118117116

    9149148147146145144143142141140139

    10174173172171170169168167166165164

    y1 =0(x+3)+5

    y2 =0(x+3)+4

    y3 =0(x+3)+3

    y4 =0(x+3)+2

    y5 =0(x+3)+1

    y6 =0(x+3)00

    y7 =0(x+3)-1

    y8 =0(x+3)-2

    y9 =0(x+3)-3

    y10 =0(x+3)-4

    y11 =0(x+3)-5

    Schar(S)

    00000000000

    00000000000

    00000000000

    00000000000

    00000000000

    00000000000

    00000000000

    00000000000

    00000000000

    00000000000

    00000000000

    00000000000

    00000000000

    00000000000

    00000000000

    00000000000

    00000000000

    00000000000

    00000000000

    00000000000

    y1 = ( x + 3 ) + 5

    y2 = ( x + 3 ) + 4

    y3 = ( x + 3 ) + 3

    y4 = ( x + 3 ) + 2

    y5 = ( x + 3 ) + 1

    y6 = ( x + 3 )

    y7 = ( x + 3 ) - 1

    y8 = ( x + 3 ) - 2

    y9 = ( x + 3 ) - 3

    y10 =