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Quantenchromodynamik: Grundlagen

• SU(3) Symmetrie und Quarkmodell

• Quark-Antiquark Zustände MESONEN

• 3-Quark Zustände BARYONEN

• Farbe: theoretische Notwendigkeit und experimentelle Evidenz

• Gluonfeld

• Lagrangian der QCD

• Renormierung

• Asymtotische Freiheit und Confinement

• Fragmentation und Hadronisierung

• Faktorisierung

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QuantenChromoDynamik: kurze GeschichteEichtheorie, beschreibt die WW farbiger Quarks und Gluonen

Erster theoretischer Ansatz zur Beschreibung der starken WW:

1935 Yukawa (Nobelpreis 1949):

NN-Wechselwirkung, e.g. n+p→n+p

Austausch eines Klein-Gordon Teilchens (Spin=0, K-G. Gleichung (∂µ∂µ+m2)Φ=0 )

Für ein statisches Feld führt dies auf ein Yukawa Potential:

m - Masse des Austauschteilchens

R - Reichweite der WW R=1/m

Grenzfall m→0 : Coulombpotential mit unendlicher Reichweite

Gemessene Reichweite der starken WW (Protonradius ~ 1 fm):

Vorhersage: Existenz der Austauschteilchens „Meson“, m≈200 MeV

Entdeckung: 1947 π

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QuantenChromoDynamik: kurze Geschichte

1963: Gell-Mann, Zweig: Quarks u, d, s (Spin ½ , Ladung ±⅓)

Bausteine der (damals bekannten) Hadronen

Vorhersage und Entdeckung neuer Teilchen : z.B. Ω-Baryon (sss - Zustand)

1964: Greenberg: neue Quantenzahl „Farbe“

1969: Erste e-N Kollisionsexperimente, Auflösung der Nukleonstruktur

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QuantenChromoDynamik: Grundlagen





• Gluonfeld


• Renormierung



• Faktorisierung

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QuantenChromoDynamik: Grundlagen





• Gluonfeld


• Renormierung



• Faktorisierung

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SU(3) Symmetrie und QuarkmodellBetrachte Flavour-SU(3) (Drei-Quark Modell)

Ladung: u (+2/3) d(-1/3) s(-1/3)

Isospin-Invarianz der starken WW in Kern- und Teilchenphysik:

Starke WW unterscheidet nicht zwischen u und d: Isospindublett!

“up” I3 (u)=+1/2 “down” I3 (d)=-1/2

s-Quark: I3=0, Stranegeness S=-1,

Baryonzahl B=1/3 (Quarks), B=-1/3 (Antiquarks)

Hyperladung Y=B+S

Quark –Zustandsvektoren:

ohne Zeit-,Orts-, Spin- Komponente

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SU(3) Symmetrie und Quarkmodell

Isospin-Invarianz der starken WW:

u- d- Quarks vertauschbar bzw. ihre Wellenfunktion vermischbar: SU(2)

Annahme: starke WW invariant gegenüber u↔s, d↔s

Unitäre Transformationen bilden SU(3) Gruppe: speziell, unitär, in 3-D:

unitär: UU+ =U+U=1 ; speziell: det U=1

Größe Masse des s-Quark: SU(3) exakt erfüllt für E>>ms

SU(2) Transformationen: τ - Pauli Matrizen

SU(3) Transformationen: λj-Gell-Mann Matrizen

Koeffizienten αj –reel

Unitär: λj-hermitesch, speziell: Tr(λj)=0

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SU(3) Symmetrie und QuarkmodellUnitär: λj-hermitesch, speziell: Tr(λj)=0!

8 linear unabhängige hermitesche 3x3 Matrizen mit Spur=0

Konstruiere die den Isospin-Operatoren entsprechende Matrizen

I3=1/2 λ3, I3u=1/2 u, I3d=-1/2 d, I3s=0

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SU(3) Symmetrie und QuarkmodellUnitär: λj-hermitesch, speziell: Tr(λj)=0!

8 linear unabhängige hermitesche 3x3 Matrizen mit Spur=0

λ1 - λ7 ermöglichen die Shiebeoperatoren für u→s, s→d zu konstruieren

λ8 hängt mit Strangeness-Operator zusammen: S = λ8/√3 - I/3

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Vertauschungsregeln:

Strukturkonstanten: total antisymmetrisch

f123 = 1; f147 = f246 = f257 = f345 = f516 = f637 = ½ ; f458 =f678=√3/2

Baryonzahl-Operator: B=1/3 I (I-Einheitsmatrix)

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Anti-Quark –Zustandsvektoren:

additiven Quantenzahlen: Q, S, B = -Q, -S, -B ;

Q=I3+(B+S)/2 → I3 = -I3 ;

Strangeness-Operator: S=-S,

λ−Matrizen: λj=-λ∗j j=1,..8

Baryonenzahl-Operator B= -B

Beispiel: I+u=-d

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SU(3) Symmetrie und QuarkmodellTriplets der 3 Quarks und Antiquarks

⅓

-⅔

-½ ½I3

Y

d u

s

-⅓

⅔

-½ ½I3

Y

u d

s

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SU(3) Symmetrie und QuarkmodellQuark–Antiquark Zustände: Mesonen

Produkt 3-dim. Vektorräume {3}⊗{3}

Mögliche Basis: 9 Kombinationen ud, us…

I3 - Operator im Produktraum (Y,B,S,Q –Operatoren analog):

wirkt auf Quarks wirkt auf anti-Quarks

qq -Quantenzahlen : Summe der Quantenzahlen der q und q

B=0; Y=B+S; Q=I3+Y/2 ;

qq -Zustand gegeben durch Y und I3

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Mesonen

I3

Y

Parallelen Quark-Antiquark Spins: Vektormesonen JP=1-

Antiparallelen Quark-Antiquark Spins: pseudoskalare Mesonen JP=0- :

Zustände uu,dd,ss bilden Linearkombinationen

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Produkt-Vektorraum : 2 Teilraume, die durch SU(3) Transformationen nur in sich abgebildet werden: {3}⊗{3} ={8}⊕{1}

Innerhalb des Oktetts kan man aus einem Zustand ausgehend einen anderen Zustand erhalten durch Anwendung der Schiebeoperatoren:

Beispiel:

Kombination

bei beliebigen SU(3) –Transformation geht in sich selbst über: Singulett

Mesonen

Vektormeson-Oktett: ρ±, ρ0, K*+,K*0,K*-,

Oktett-Singulett Mischungen: ω und φ (fast rein ss),

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Baryonen

9 2-Quarkzustände qiqj: 6 symmetrische und 3 antisymmetrische Kombinationen:

3-Quarks: Dekuplett+ 2 Oktetts+1 Singulett

Dekuplett: total symmetrisch in Quarkwellenfunktion, Quark-Spins sind parallel

Beispiel: Δ++ = uuu, Δ+=1/√3 (uud+udu+duu)

Oktetts: symmetrisch bzg. Vertauschung 2 Quarks inkl. Spins.

Keine definierte Symmetrie wenn Flavour oder Spins getrennt betrachtet werden:

p = 1/√18 (2 u↑d↓u↑+2u↑u↑d↓+2d↓u↑u↑-

u↑u↓d↑ -u↓d↑u↑ -u↑d↑u↓-d↑u↓u↑ -d↑u↑u↓-u↓u↑d↑)

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BaryonenDekuplett: total symmetrisch in Quarkwellenfunktion, Quark-Spins sind parallel

Beispiel: Δ++ = uuu, Δ−=ddd, Ω−=sss

Ω− (s=3/2), kein leichteres Hadron mit gleichen Quark- und Spin- Struktur:

Ω−= s↑s↑s↑

Problem: Teilchen in Grundzustand, besteht aus identischen Fermionen

Relative Bahndrehimpuls = 0

Ortswellenfunktion – symmetrisch

Gesammtwellenfunktion Ψ = Ψort· Ψspin· ΨFlavour symmetrisch!

3 identische Quarks befinden sich in im gleichen Quantenzustand

Pauli-Prinzip: Fermi-Dirak Statistik fordert totale Antisymmetrie der Wellenfunktion

Widerspruch zum Pauli-Prinzip!

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Farbe: theoretische Notwendigkeit

Lösung: zusätzlicher Freiheitsgrad für jeden Quark

Neue Quantenzahl „Farbe (color)“, Nc=3, Farbindizes a=1,2,3 (rot, grun, blau)

Farbwellenfunktion:

total antisymmetrisches Tensor

Drei Quarks im Ω-Baryon sind nicht mehr identisch!

Die Wellenfunktion

antisymmetrisch

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Quarks: verschiedene Flavours und verschiedene Farben

Die Gruppe der Farb-Transformationen : SU(3)C

Beobachtbare Zustände: Farb-Singuletts

Quarks qa werden transformiert in 3x3 Unitärmatrix-Darstellung

Antiquarks qa in einer komplex-konjugierten Darstellung

Farb- Grundzustände (Farb-Singuletts) sind

Mesonen qaqa

Baryonen εabc qa qb qc, a,b,…- Farbindex

Color

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Beispiel: Δ++ (uuu):

summiere ueber i,j,k

Mesonen, Baryonen sind Farbneutral, d.h. Farbe ist NICHT beobachtbar

Mesonen: Quark-Antiquark Zustände

Farbe der Antiquarks: z.B. rot - antirot

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Farben – Ladungen der starken Wechselwirkung.

Anders als in QED, gibt es 3 verschiedene Farbladungen, bzw. Antiladungen

u Quark

e-Ladung +(2/3)eFarbe: r, g, b

u Antiquark

e-Ladung -(2/3)eFarbe: r, g, b

Starke Kraft wirkt auf Farbladung

Unterscheidet nicht zwischen Quark-Sorten: Flavour-blind

Elektromagnetische, schwache Wechselwirkung sind Farb-blind

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Farbe: experimentelle Evidenz

Die Daten erfordern einen Faktor Nc=3 vor der Summe:

Jede Quarksorte muss dreifach gezählt werden

Messung:

Rechnung:

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Farbe: experimentelle Evidenz

Zerfall des π0

Hierfür ist eine Quark-Antiquark Schleife zu berechnen.

Resultat:

Vorhersage:

Zerfallskonstante (aus π± Lebensdauer)

Messung: 7.86±0.54 eV

NB: die ursprungliche Rechnung der Rate erfolgte mit der Annahme, Proton und Neutron seien fundamentale Teilchen, es ergab:

π0

q

q

γ

γ

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Gluon Felder

Lagrangian der QCD

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Eichtheorie der QCD

Bei Vernachlässigung der Massenunterschiede zwischen den Quarks:Starke WW invariant gegenüber einer globalen Flavour-SU(3) Transformation(Vertauschung von Quarks)

Experimentelle Beobachtung: Erhaltung von Strangenes, Charm und Beauty

Lokale (Ortsabhängige) Flavour-SU(3) Transformationen nicht zulässig!(es wäre die Existenz der Felder erfordert, die Quarksorten ändern)

Quantenchromodynamik: Eichtheorie der starken WW,

basiert auf lokalen Eichtransformationen bezüglich Farbladungen

Annahme der QCD: SU(3)C Transformationen können durchgeführt werden

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Gluon Felder

Quantenchromodynamik: Eichtheorie der starken WW,

basiert auf lokalen Eichtransformationen bezüglich Farbladungen

Existenz von Feldern, die an die Farbladungen koppeln und Farbe ändern

Feldquanten (Eichbosonen) ⇒ Gluonen

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Gluon Felder

Betrachte eine Quarksorte q.

Dirac-Gleichung des Quarks im Vakuum:

Gesamtwellenfunktion Ψ schreibe als Produkt

Dirac-Wellenfunktion Farb-Spinor

Lösungen der Dirac-Gleichung mit positiver/negativer Energie;

1,2 - Helizitaetszustaende

Farb-Spinor:

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Gluon Felder

Betrachte eine Quarksorte q.

Dirac-Gleichung des Quarks im Vakuum:

Gesamtwellenfunktion Ψ schreibe als Produkt

Dirac-Wellenfunktion Farb-Spinor

Forderung: Dirac-Gleichung invariant gegenüber SU(3)C Transformation

Das Quark muss in den drei Farbzuständen exakt die gleiche Masse haben:

mr=mg=mb=m

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Gluon Felder

Lokale SU(3) Transformation wird dargestellt in der Form:

Kopplungskonstante der starken WW

Summierungskonvention:

SU(3) Gruppe hat 8=3·3-1 Generatoren

Lokale Transformation wirkt nur auf den Farbanteil der Wellenfunktion und ist durch 8 unabhängige Transformations-”Winkel” gekennzeichnet:

β1(x), β2(x),… β8(x)

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Gluon FelderInvarianz der Dirac Gleichung ist gegeben durch Einführung der 8 Vektorfelder und der kovarianten Ableitung:

Parallel zu SU(3) Transformation der Dirac Spinoren muss eine Eichtransformation der Felder durchgeführt werden.

z.B. für eine Infinitesimale Transformation (βj - klein):

Ohne Beweis: Dirac Gleichung invariant unter SU(3)C + Eichtransformation

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Lagrangedichte der QCD

8 Felder Gjµ hängen eng mit den Feldern der 8 Gluonen zusammen.

Feldtensor:

Lagrangedichte der QCD :

Für eine Quarksorte!

Für 6 Quarks wird der erste Term über 6 summiert

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Eichgruppen der QED, EW und QCD

In der Eichtransformation SU(3)c tritt ein Term auf, was in der QED nicht gibt

U(1) kommutativ

Zusatzterme:

- Konsequenz der nicht-Vertauschbarkeit der SU(2) oder SU(3) Transformationen

- Sind proportional zur Kopplung g bzw. gS

Teilchen, die an W-Bosonen oder Gluonen koppeln,koppeln mit exakt der gleichen Kopplungsstärke g bzw. gS

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Eichgruppen der QED, EW und QCDTransformationen:

SU(2)L: gleiches g für

SU(3)C: gleiches gS für alle Quarksorten: u,d,s,c,b,t

und alle Farben R,G,B

Elektromagnetismus: verschiedene Kopplungen: z. B:

q=-e (Elektron), q=2/3 e (Quark), q=+79 (Au-Kern)

Symmetriegruppe der Phasentransformationen ist eine Abelsche U(1) Gruppe:

Die Kopplung der Teilchen an die Eichbosonen ist nicht festgelegt

Nicht-abelsche Eichtheorien:

Eichfelder koppeln an alle Teilchen mit gleichen Kopplungskonstanten

(falls sie koppeln)

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Eichgruppen der QED, EW und QCD

Lagrangedichte der QCD :

QED: Strukturkonstanten fjkl = 0 (da U(1))

Terme ~ G3, G4 im kinetischen Term der Lagrangians: 3-, 4-Gluonkopplung:

Gluonen können an sich selbst koppeln, Photonen nicht!

8 Gluonen (Farb-Oktett) treten in folgenden Farbkombinationen auf:

Einige Kombinationen lassen die Farbe unverändert, bilden aber kein Singulett!

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Es kann noch eins geben:

Farb-Singulett, wie Photon

Welche Auswirkungen hätte so ein Gluon auf die Kräfte und Materie?

Noch etwas zu Gluon-Feldern…

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1: 9-te Gluon = „Photon“

Vereinheitlichung der Starken und EM Kraft!

Problem: Starke der EM Kopplung (Photon) ~Ladung

g koppelt an alle Baryonen mit gleicher Stärke.

Masse ~ Baryonenzahl in der Nuklearen Materie

Solche Kraft würde einen Beitrag zu Gravitation machen

2: 9-te Gluon – Austauschteilchen Farb-Singulett,

Problem: soll beobachtbar sein

Grösseres Problem: es kann zwischen 2 Farb-Singuletts

ausgetauscht werden

Was wuerde das bewirken?


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2: 9-te Gluon – Austauschteilchen Farb-Singulett, kann zwischen 2 Farb-Singuletts ausgetauscht werden

mg=0, Gluonen tragen eine Kraft unendlicher Reichweite (wie γ in QED)

Ein Farb-Singulett (p) kann nur ein Singulett abstrahlen / absorbieren

Kein einzel-Gluon- Austausch zwischen p und n!

Singulett-Gluon: kann zwischen Singuletts ausgetauscht werden:

Unendliche Reichweite der Starken WW !


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Asymtotische Freiheit: Kopplungsstärke

Feldstärketensor Fjµν : Term gsfjklGk

µGlν

Kinematischer Term in Lagrangedichte ~G3 , G4 : 3, 4-Gluonkopplung!

QED [U(1)]: fjkl=0 , Stärke der EM WW: αs=e2/4π, α<< 1:

Störungsrechnung möglich

QCD [SU(3)]: Starke Kopplung αs=gs2/4π, αs<< 1 nicht gewährleistet,

Störungsrechnung nicht immer möglich

Beobachtung: starke Kopplung abhängig von Impulsübetrag :

αs=αs(Q2), αs→0 (Q2→ ∞)

„Asymptotische Freiheit“ : Eigenschaft der nicht-abelschen Theorien

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QED: schwache Abhängigkeit α=α(Q2), wachsend α(Q2→∞)

Beispiel aus klassischen Physik: Ladung q+ in dielektrischen Öl:

Moleküle des Mediums besitzen elektrisches Dipolmoment,

- Ausrichtung der “Minus”-Polen zur q+

- Polarisation des Mediums:

- Elektrisches Feld abgeschwächt (Abschirmung):

Vakuumpolarisation in QED und QCD

Zweite Ladung q‘ :

Coulomb-Kraft zwischen q und q‘

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Öl “unsichtbar” :

q, q’ – effektive Ladungen

qeff<q , ε >1

Gedankenexperiment: q,q‘ – Atomkerne, möglich zusammenzubringen

(r << Dipolgröße) : keine Abschiemung, qeff(r) →q, q’eff(r)→q’, r→0

Dielektrisches Medium: Ladung wächst, wenn Abstände <<Moleküldimension

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Öl “unsichtbar” :

q, q’ – effektive Ladungen

qeff<q , ε >1

QED: Vakuumfluktuationen :

e+e− Paare schirmen die Testladung ab

(wie Dipole des Mediums) γ∗ γ∗e+

e−

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QCD: Abhängigkeit gs=gs(Q2) durch 2 gegenläufige Effekte

• Erzuegung virtueller qq Paare: Abschiermung

• Gluonemission: „Ausshmierung“ der Ladung


R

RR

RRR

R

R

RR

R

R R

RR

R-Sonde Effektive Ladung wächst an, wenn sich die rotempfindliche Sonde einem roten Quark nähert

R

Sonde

R Eine „rot“-empfindliche Sonde nähert sich einem R-Quark

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• Erzuegung virtueller qq Paare: Abschiermung der Ladung



R

RR

RRR

R

R

RR

R

R R

RR

R-Sonde Effektive Ladung wächst an, wenn sich die rotempfindliche Sonde einem roten Quark nähert

R

Sonde

G

RG

Emission eines GR – Gluon:

Farbübergang R → G

R-Sonde registriert keine R – Ladung

bei r < Reichweite der starken WW (~1fm) effektive Farbladung kleiner!

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• Erzeugung virtueller qq Paare: Abschirmung

effektive Farbladung (r-groß) < Farbladung ( r –sehr klein)


bei r < Reichweite der starken WW (~1fm) effektive Farbladung kleiner!

effektive Farbladung (r-groß) > Farbladung ( r –sehr klein)

Für NFlavour< 16 Ausschmierungseffekt überwiegt:

Asymptotische Freiheit: αs(Q2) → 0, Q2→∞

NB: QED (Abelsche Theorie): nicht asymptotisch frei,

die Feldquanten tragen keine Ladung, Ausschmierung tritt nicht ein


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Renormierung. „Laufende“ KopplungQED: Streuung in LO: NLO:

q q qq-k

k

Vakuumpolarisation (virtuelles e+e− Paar) Integration über k

Integral divergiert, wenn k2 > k2max= λ , λ − willkürlich!

Renormierungstheorie:

Bedeutung der Cuts (Abschneiden) im Schleifenintegral:

• „nackte“ Ladung e ersetzt durch renormierte Ladung eR~ln (λ2/me2)

• Effektive Ladung : Kopplungskonstante:

Abhängigkeit sehr schwach: α (MZ) = 1.06 · α (me)

Messung: Ablenkung im Magnetfeld

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Renormierung. „Laufende“ Kopplung

QCD: q q – Streuung: Elementarladung →gs/√2

qq-Schleifen:

gg-Schleifen:

Űber alle Ordnungen Summiert:

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Renormierung. „Laufende“ Kopplung

Űber alle Ordnungen Summiert:

Definiere:

Anwendbar für Q2 >> Λ2

Bedeutung: für NF ≤ 16 Starke Kopplung wird kleiner mit wachsendem Q2

Skalenparameter Λ nicht berechenbar ! Messungen in eN, e+e−: Λ~0.3 GeV

Messungen am LEP: NFamilien=3 → NF = 6

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Confinementr ~1/√Q2 : kleine Abstände r << RProton bedeuten Grosse Q2- Werte

Folge: αs(Q2) <<1, 1-Gluonaustausch dominant

Annahme der QCD: Gluon Masse = 0, Quark-Quark Potential ~ 1/r (Coulomb)

ABER …. noch mal Vergleich mit QED

Coulombkraft 1/r2Gluon-Selbstkopplung

Feldlinien verlaufen vom q zum q :

„String“ (~1 fm)

Kraft unabhängig vom Abstand!

Potential: V(r) = - 4παs/3r + σ ·r

„String tension“σ ≈ 0.9 GeV/fm

e+e− →qq : wenn r (q q) > 1 fm:

Erzeugung eines neuen qq - energetisch günstiger, Trennung des “String”

„Confinement“ : Hadronisierung und Fragmentation

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Zusammenfassung: Grundlagen der QCDQCD: Eichtheorie mit einer Selbstkopplung der Eichbosonen

• Ladung: Farbe, Die Gruppe der Farb-Transformationen SU(3)F

• In 3 Farbzuständen hat ein Quark die gleiche Masse

• Farbe ist nicht beobachtbar, beobachtbare Zustände sind Farb-Singuletts

• Starke Kraft wirkt auf Farbladung, ist “Flavour-Blind”

• Konsequenzen der NICHT-Vertauschbarkeit

der SU(3) - Transformation (nichtabelsche Gruppe):

Farbträger koppeln mit gleicher Kopplungsstärke gs

Feldstärketensor in QCD: 3-Gluon, 4-Gluon Kopplung

“weisses Gluon“ existiert nicht (endliche Reichweite starker WW !)

Feynman-Graphen: Farbladung an jedem Vertex erhalten

Asymptotische Freiheit und Confinement

Grosser negativer Beitrag der Anti-Abschirmung

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