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Seminar des Physikalischen Vereins Frankfurt am Main 2018 Rainer Göhring Quantentheorie Das Atom-Modell

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Seminar des Physikalischen Vereins

Frankfurt am Main

2018

Rainer Göhring

Quantentheorie

Das Atom-Modell

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Atom-Modell von Thomson (1904)

© Dr. R. Göhring [email protected] I 2

Plumpudding- oder Rosinenkuchen-Modell des Atoms

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Entdeckung der Radioaktivität

© Dr. R. Göhring [email protected] III 3

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ANTOINE HENRI BECQUEREL (1852-1908) entdeckte 1876 bei

seinen Experimenten mit Phosphoreszenz von Uran-

salzen, daß sie eine Strahlung aussenden, die überhaupt

nichts mit Licht – elektromagnetischen Wellen – zu tun

hat. Er nannte diese unbekannte Strahlung

„Uranstrahlung“.

MARIE CURIE (1867-1934) erforschte zusammen mit ihrem Ehemann PIERRE CURIE (1859-1906) die

„Becquerelstrahlung“ an unterschiedlichen Stoffen.

Sie nannten die Stoffe, die Strahlung aussenden

„radioaktiv“. Dabei entdeckten sie die Elemente

Radium und Polonium.

1903 erhielten sie zusammen mit Becquerel den

Nobel-Preis für Physik.

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ERNEST RUTHERFORD (1871-1937)

© Dr. R. Göhring [email protected] III 4

Quelle: Wikipedia

ERNEST RUTHERFORD – ein Student von Thomson –

untersuchte das Durchdringungsvermögen der

Uran-Strahlung an hauchdünnen Metallfolien aus

Rauchgold, eine Legierung aus Kupfer und Zink.

1903 teilte er die Radioaktivität in 3 verschiedene

Arten von Strahlung auf:

• Alpha-Strahlen,• Beta-Strahlen und• Gamma-Strahlen

Je nach positiver, negativer oder neutraler

Ablenkung im Magnetfeld.

An dem Element Thorium entdeckte er den

Zerfall in ein anderes Element – Transmutation –

und definierte die „Halbwertszeit“.

1908 erhielt er den Nobel-Preis für Chemie.

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Streuversuche mit Alpha-Strahlen

1908 fanden RUTHERFORD und sein Assistent HANS GEIGER (1882-1945) die

Erklärung für die Alpha-Strahlung: sie bestand aus Helium-Atomen, die ihre

Elektronen verloren hatten.

GEIGER erhielt den Forschungsauftrag, die Streuung von Alpha-Teilchen beim

Durchgang durch Goldfolie zu untersuchen.

© Dr. R. Göhring [email protected] I 5

Quelle: www.uniterra.de

Quelle: Wikipedia

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Atom-Modell von Rutherford

© Dr. R. Göhring [email protected] III 6

RUTHERFORDs Streuformel enthielt eine Zahl

Z, deren Wert sich bei unterschiedlichen

Materialen als ungefähr halbe Massenzahl A

der Atome herausstellte.

Da Atome (normalerweise) neutral sind,

konnte man schließen, daß die Anzahl der

positiven Ladungen des Kern gleich der

Anzahl der Elektronen im Atom des

Elementes sein muß.Quelle: Wikipedia

Die Stellung eines Elementes im Periodensystem ist demnach nicht durch die

Massenzahl A, sondern durch Kernladungszahl (= Ordnungszahl) Z bestimmt

A 12

Z 6C C und A Z N

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© Dr. R. Göhring [email protected] III 7

Spektrallinien

Sonne

Stickstoff

Silizium

Wasserstoff

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Einfluß des Magnetfeldes auf Strahlung

© Dr. R. Göhring [email protected] III 8

Quelle: https://de.slideshare.netQuelle: Wikipedia

1896 entdeckte PIETER ZEEMAN den Einfluß von Magnetfelder auf die Lichtemission, indem

gewisse Spektrallinien aufspalten.

Die dazu von H.A. LORENTZ entwickelte Theorie zeigte, daß die „Elementarzentren der

Strahlung“ Elektronen sein mußten. Man stellte sie sich als „Vibratoren“ vor, die elektro-

magnetische Wellen aussenden.

Als einfachstes Modell solch eines „Vibrators“ stellte man sich ihn als harmonischen Oszillator

vor, mit dessen Modell man zahlreiche optische Escheinungen befriedigend erklären konnte.

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Elektromagnetische Strahlung des linearen Oszillators

© Dr. R. Göhring [email protected] III 9

Eine negative Ladung (Elektron) führe um eine sehr große

Masse mit gleicher (absoluter) Ladung Schwingungen aus. Das

System stellt einen harmonischen Oszillator dar und elektrisch

ist es ein Dipol, der elektromagnetische Strahlung der Intensität

I aussendet:2 2

2

3 2

e xI sin

4 c R

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Unharmonischer Oszillator

© Dr. R. Göhring [email protected] III 10

Harmonischer Oszillator: mx=-k x

0x(t) a sin t

Unharmonischer Oszillator: x+f(x)=0

0 0 1 0 2 0 3 0x(t) a sin t a sin2 t a sin3 t a sin4 t

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Wasserstoff-Spektrum

JOHANN JAKOB BALMER (1825-1898) entdeckte 1885 eine mathematische

Gesetzmäßigkeit in der Anordnung der Spektrallinien des Wasserstoffes, die

die Anordnung der Spektrallinien im sichtbaren Bereich sehr gut wiedergibt:

© Dr. R. Göhring [email protected] I 11

2 o

2

nB mit B 3645,6 A

n 4

Nutzt man statt der Wellenlänge λ deren Kehrwert = Wellenzahl:

2

1 4 1 1n 3,4,5

B 4 n

Mit 4/B =R, der Rydberg-Konstanten, ergibt sich schließlich:

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© Dr. R. Göhring [email protected] III 12

Quelle: Spektrum.de

Balmer-Serie: 2 2

1 1R n 3,4,5

2 n

Lymann-Serie (entdeckt 1906) 2 2

1 1R n 2,3,4

1 n

2 2

1 1R n 4,5,6

3 n

Paschen-Serie (entdeckt 1908)

2 2

1 1R n m 1,m 2,m 3

m n

allgemein:

Lange Zeit wurden die Gesetzmäßigkeiten in den Spektren des Wasserstoffatoms als reines Zahlenspiel angesehen; erst NIELS BOHR erkannte, daß sie ein Zeichen für die inneratomaren Vorgänge sein mußten und daß aus ihnen auf die Quanten-gesetze geschlossen werden kann, die den inneren Aufbau der Atome bestimmen.

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BOHRsches Atom-Modell

© Dr. R. Göhring [email protected] III 13

NIELS BOHR (1885-1962) publizierte 1913 nach seiner Rückkehr vom RUTHERFORD-Labor einen 3-teiligen Artikel mit dem Titel: „On the Constitution of Atoms and Molecules”, in dem er zwei grundsätzliche Postulate zu seinem Atom-Modell formuliert:

1. Atome und Atomsysteme können für die Dauer nur in bestimmten Zuständen, den stationären Zuständen, existieren.

• In diesen Zuständen haben die Atomsysteme Energiewerte, die eine diskrete Folge E1, E2,. . . En

bilden.• Die stationären Zustände werden durch ihre Stabilität

charakterisiert.• Energieänderungen infolge Absorption oder Emission

elektromagnetischer Strahlung oder infolge von Stößen können nur bei einem Übergang (Sprung) aus einem dieser Zustände in einen anderen erfolgen.

2. Beim Übergang aus einem stationären Zustand in einen anderen emittieren oder absorbieren die Atome nur eine Strahlung bestimmter Frequenz. Die Frequenz wird

durch die Bedingung bestimmt:

m n m nh E E E E

Quelle: Wikipedia

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Quantisierung des Bahndrehimpulses

© Dr. R. Göhring [email protected] III 14

Quelle: http://scitech.au.dk

NIELS BOHR erhielt den entscheidenden Anstoß zu

seiner Theorie durch einen Artikel des Mathematikers

J.W. NICHOLSON, in dem er nachwies, daß der Bahn-

Drehimpuls p eines Elektrons bei seiner Bewegung

um den Kern nur diskrete Werte annehmen kann:

hp n n

2

BOHR behandelt die Bewegung eines Elektrons um einen Kern mit Z positiver

Ladung genau wie die eines Planeten um die Sonne, nur daß nicht die

Gravitation für die Anziehung verantwortlich ist, sondern die Coulomb-Kraft.

Die Ladung des Kerns wird als +Z·e angenommen, umkreist von einem

Elektron der Ladung –e, ein wassertoffähnliches Atom.

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Atom-Modell

© Dr. R. Göhring [email protected] III 15

Aus der klassischen Physik kommen die Gleichungen für die Bewegung des

Elektrons um den Kern:

Coulomb 2

0

Ze eK

4 a

Die Anziehungskraft des Kerns; a ist der Radius der Bahn und ε0 die

elektrische Feldkonstante:

2

zentrif e

vK m

a

Die Zentrifugalkraft der Bewegung des Elektrons der Masse me und der

Geschwindigkeit v um den Kern:

Als neue Komponente kommt hinzu, daß auf atomarer Ebene der Drehimpuls

nur diskrete Werte annehmen kann:

2

e

hp 2 m a n

2

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„Erlaubte“ Bahnen

© Dr. R. Göhring [email protected] III 16

Quelle: http://scitech.au.dk

Nutzt man die bisherigen Formeln, dann erhält

man die Bestimmungsgleichungen „erlaubter“

Bahnen für das Elektron: 2

2 0n 2

e

ha n

m Ze

Eine Beziehung, die nur universelle Konstanten erhält.

Für Z = 1 und n = 1 erhält man daraus den ersten Bohrschen Radius

a0 des Wasserstoffatoms, dessen Wert sich mit den aktuellen Werten

der Konstanten ergibt zu:2

1000 2

e

ha 0,52917721092 10 m

m e

Die n-te Bahn wasserstoffähnlicher Atome ist dann: 2 0

n

aa n

Z

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Energiewerte der Bahnen

© Dr. R. Göhring [email protected] III 17

Quelle: http://scitech.au.dk

Die Energie, die ein Elektron auf einer „erlaubten“

Bahn besitzt, wird wieder nach klassischer Manier

bestimmt:

2

kin e

1E m v

2

Mit der Bahngeschwindigkeit vn=an·ω= an·2πν

ergibt sich die kinetische Energie des Elektrons auf der n-ten Bahn zu:

2 4

en 2 2 2

0

m Z e1E

n 8 h

Mit der BOHRschen Frequenzbedingung ergibt sich die BALMER-Formel:

n kE E h hc

2 4

e

2 3 2 2

0

m Z e 1 1

8 h c k n

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Rydberg-Konstante

© Dr. R. Göhring [email protected] III 18

2 4

e

2 3 2 2

0

m Z e 1 1

8 h c k n

Der Faktor vor der Klammer ist für den Fall Z = 1, das Wasserstoffatom, die

oben schon erwähnte Rydbergkonstante, die aber nun durch universelle

Konstanten bestimmt wird. In dieser Form wird sie als R∞ bezeichnet:

41e

2 3

0

m eR 10.973.731,568539m

8 h c

Für konkrete spektroskopische Untersuchungen an Wasserstoff muß man

allerdings berücksichtigen, daß der Kern im Verhältnis zum Elektron keine

unendliche Masse hat, es ist vielmehr:

Hh

ee

H

M R1836,15 R

mm1

M

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RYDBERG-Energie

© Dr. R. Göhring [email protected] III 19

Wenn das Elektron von n-ten in den k-ten übergeht (n > k), wird die Energie ΔE = En – Ek frei, d.h.

n k 2 2

1 1E E E hcR

k n

Läßt man n gegen ∞ gehen und setzt k = 1, so erhält man den Betrag der

Energie, die frei wird, wenn ein Wasserstoffkern (= Proton) ein freies

Elektron einfängt, oder umgekehrt, die Energie die benötigt wird, um ein

Wasserstoffatom vollkommen zu ionisieren, die Ionisationsenergie, auch

RYDBERG-Energie Ry genannt:

yR hcR 13,60569253eV

Damit ergeben sich die verschiedenen Energieniveaus En, bezogen auf

den Grundzustand, zu

n y 2 2

1 1E R 1 13,6 1

n n

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Termschema des Wasserstoffes

© Dr. R. Göhring [email protected] III 20

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BOHR-SOMMERFELDsches Atom-Modell

© Dr. R. Göhring [email protected] III 21

Quelle: Wikipedia

Quelle:http://backreaction.blogspot.de/2007/12/hydrogen-spectrum-and-its-fine.html

Verbesserte Spektrographen zeigten bereits 1892, daß die

H -Linie des Wasserstoffspektrums aus 2 Komponenten

besteht (oberer Teil des Bildes).

Verbesserte Experimente wiesen in allen Wasserstoff-

Linien ebenfalls Dubletten nach. Heutige Messungen

zeigen, daß die „Feinstruktur“ der Linien noch komplexer

sind.

Mit dem bisherigen BOHRschen Modell war diese

„Feinstruktur“ nicht zu erklären.

Die Lösung fand ARNOLD SOMMERFELD (1868-1951), indem

er vorschlug, nicht nur Kreisbahnen für das Elektron,

sondern – wie bei Planeten auch – Ellipsen zu

betrachten.

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Drehimpuls-Quantenzahl

© Dr. R. Göhring [email protected] III 22

Im Gegensatz zu einer Kreisbahn hat eine

Ellipse 2 Freiheitsgrade r und ; demnach

existieren hier 2 Bedingungen für den

quantisierten Drehimpuls pr und p , d.h. es

muß 2 verschiedene Quantenzahlen nr und n

geben. Für den Drehimpuls p gilt die gleiche

Formel wie bei der Kreisbahn:

hp n n

2

Sommerfeld fand eine Lösung, die die Exzentrizität der Bahn in Abhängigkeit

der Quantenzahlen nr und n beschreibt:

2

2

r2

r

n1 und n n n

n nn ist die Hauptquantenzahl

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Azimutale Quantenzahl

© Dr. R. Göhring [email protected] III 23

Weiterhin zeigen SOMMERFELDs Berechnungen, daß die Energie und die

großen Halbachsen der Ellipsenbahnen nur von der Hauptquantenzahl n

abhängen:

22 20 0

n 2

e

h aa n n n 1,2,3,

Zm Ze

2 4

en 2 2 2

0

m Z e1E

n 8 h

Die große Halbachse an ist demnach für die unterschiedlichen Quanten-

zustände proportional zum Quadrat der Hauptquantenzahl n; die kleine

Halbachse wird demnach für die Unterschiede bestimmend sein.

2 0 0n

na ab n n nn

Z n Z

Die Größe der kleinen Halbachse bn bei der Hauptquantenzahl n läßt sich

leicht nach der Formel 2b a 1 berechnen

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Entartung

© Dr. R. Göhring [email protected] III 24

Diese azimutalen Quantenzahlen n sind ganze Zahlen und hängen von der Hauptquantenzahl n ab. Für n = n ist die Bahn ein Kreis, für n = 0 entartet die Ellipse zu einer Geraden mit der Folge, daß das Elektron mit dem Kern zusammenstoßen würde. Erlaubte Werte sind demnach:

n 1,2,3, ,n

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Aufhebung der Entartung

• Mit Hilfe der Ellipsen für die Bahnen n>1 der Elektronen ist zwar die Entartung der Energieniveaus mit der Hauptquantenzahl n beschrieben, aber da die verschiedenen Elektronenbahnen alle die gleiche Energie haben, ist eine Aufspaltung der Linien nicht möglich.

• Wie die Entartung aufgehoben werden kann, zeigte aber auch wieder SOMMERFELD 1916, indem er auf die Relativitätstheorie zurückgriff, die bekanntlich besagt, daß die Masse von der Geschwindigkeit abhängt:

• Wenn sich Elektronen auf Ellipsen-Bahnen bewegen, dann haben sie in der Nähe des Kerns – wie z.B. der Merkur in der Nähe der Sonne – eine höhere Geschwindigkeit und damit eine höhere Energie. Je exzentrischer die Ellipse desto ausgeprägter der Effekt.

• Damit konnte Sommerfeld die Aufspaltung der Wasserstoff-Linien quantitativ beschreiben. Dabei spielt die „Feinstrukturkonstante“ eine wichtige Rolle:

© Dr. R. Göhring [email protected] III 25

0

2

2

mm(v)

v1

c

2

0

Geschwindigkeit desElektronsauf der1.Bohrschen Bahn

Lichtgeschwindigkeit

e 1

2 hc 137

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Zeeman-Effekt

© Dr. R. Göhring [email protected] III 27

Quelle: WikipediaQuelle: https://de.slideshare.net

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Magnetische Quantenzahl

© Dr. R. Göhring [email protected] III 28

Die ursprüngliche BOHRsche Theorie konnte die Aufspaltung der Linien bei Anwesenheit eines Magnetfeldes nicht erklären; es war wieder SOMMERFELD, der eine Lösung fand. Bisher wurde die Bewegung des Elektrons nur in einer Ebene betrachtet:2 Freiheitsgrade; tatsächlich findet die Bewegung im Raum statt: 3 Freiheitsgrade!

Sommerfelds Definition der Quantenzahl m: n ·cos = m:

die möglichen Winkel , die z.B. bei gegebenem n = 2 zu ganzzah-ligen Werten von m führen, sind:

cos 1

cos 1 / 2

cos 0

cos 1 / 2

cos 1

m 2

m 1

m 0

m 1

m 2

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Zahl der Energiezustände

• Allgemein gilt demnach für die Werte, die die magnetischen Quantenzahl m bei gegebenem n annehmen kann:

• In der Quantenmechanik wird n durch die Drehimpulsquantenzahl l ersetzt und entsprechend m durch die magnetische Quantenzahl ml.

Die Anzahl N der möglichen Energiezustände der Elektronen innerhalb einer Hauptquantenzahl n ist dann:

© Dr. R. Göhring [email protected] III 29

m n , (n 1), ,(n 1),n

lm l, (l 1), ,(l 1),l

n 12

0

N 2l 1 n

n l ml N

1 K 0 s 0 1

2 L 01

sp

0-1, 0, +1

4

3 M 012

sPd

0-1, 0,+1

-2, -1, 0,+1, +2

9

4 N 0123

spdf

0-1, 0,+1

-2, -1, 0,+1, +2-3, -2, -1, 0,+1, +2, +3

16

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• Im Jahr 1922 führten OTTO STERN (1888-1969) und WALTHER GERLACH (1889-1979) den Versuch zum Nachweis der Richtungsquantisierung in den Räumen des Physikalischen Vereins durch.

• Es war bekannt, daß ein Silber-Atom ein Valenz-Elektron besitzt und daher ein meßbares magnetischen Moment erzeugen muß.

• Wenn die BOHRsche Theorie stimmt, müßte ein Silberstrahl in einem inhomogenen Magnetfeld aufgespalten werden, denn das magnetische Moment des Elektrons muß quantisiert sein.

• Tatsächlich wurde eine Aufspaltung des Strahl beobachtet und so, unabhängig von spektroskopischen Versuchen, die Quanteneigenschaften von Atomen nachgewiesen.

• Otto Stern erhielt für diese Versuche 1943 den Nobelpreis für Physik.

• Eine Tafel am Haus des Physikalischen Vereins erinnert an den berühmten Versuch.

Stern-Gerlach Versuch

© Dr. R. Göhring [email protected] III 30

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Schalen-Modell

© Dr. R. Göhring [email protected] III 31

NIELS BOHR entwickelte 1922 sein „Schalenmodell“ für Atome mit einer Ordnungszahl – Anzahl der Protonen – gößer 1:

• Die chemische Stabilität der Edelgase war für ihn ein Hinweis, daß sich die Elektronen in abgeschlossenen „Schalen“ resp. Energieniveaus befinden müssen.

• SOMMERFELD nannte das Schalenmodell „als den größten Fortschritt im Atombau seit 1913“.

• Die Folge Ordnungszahlen der der Edelgase 2, 10, 18, 36, 54 und 86 - die Anzahl der Protonen im Kern und damit die Anzahl der Elektronen - und nach Bohr der Hinweis auf eine abgeschlossene Schale, ließ sich aber nicht mathematisch erklären , warum sie genau so und nicht anders ist.

• Im gleichen Jahr 1922 erhielt Niels Bohr den Nobel-Preis für Physik.

• 1924 veröffentlichte E.C. STONER (1899-1968) einen Artikel, in dem er die Hypothese aufstellte, daß in einer abgeschlossenen Schale die Zahl der Elektronen doppelt so groß sei, wie die Anzahl der Energiezustände

N = 2·n2

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Das PAULI-Prinzip - Ausschließungsprinzip

© Dr. R. Göhring [email protected] III 32

Quelle: Wikipedia

WOLFGANG PAULI (1900-1958) machte dazu einen überraschenden Vorschlag: den Elektronen mußte eine vierte Quantenzahl zugewiesen werden, die aber nur zwei Werte annehmen kann:

• vorläufige Bezeichnung „Zweideutigkeit“ und

• diese neuen Zustände erklärten ihm plötzlich die bislang unerklärlichen Aufspaltungen der Spektrallinien im anomalen Zeeman-Effekt.

• Pauli formulierte aufgrund dieser vierten Quantenzahl das Ausschließungsprinzip, ein wichtiges Naturgesetz, das aussagt, daß in einem Atom keine zwei Elektronen die gleichen vier Quantenzahlen haben können.

• In seiner Veröffentlichung 1925 mit dem Titel „Über den Zusammenhang des Abschlusses der Elektronengruppen im Atom mit der Komplex-struktur der Spektren“ räumt er offen ein: ". . . eine nähere Begründung für diese Regel können wir nicht geben“.

• Er erhielt 1945 den Nobel-Preis für das Ausschließungsprinzip.

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Aufbauprinzip

© Dr. R. Göhring [email protected] III 33

Wenn auch nicht erklärbar, so erlaubte es doch, die Regeln für die Besetzung der Elektronenschalen im BOHRschen Atommodell zu beschreiben, die verhindern, daß sich alle Elektronen in der Schale mit der niedrigsten Energie befinden.

• Das Ausschließungsprinzip erklärt dadurch die Reihenfolge der Elemente im Periodensystem, indem nach ihm die Energieniveaus vom niedrigsten angefangen sukzessiv mit Elektronen besetzt werden. Die letzten, nicht vollständig abgeschlos-senen Energieniveaus bestimmen dann die chemischen Eigenschaften des Elementes.

• Das Aufbauprinzip – die Regel für die sukzessive Besetzung der Energieniveaus –unterliegt allerdings komplizierteren Regeln, die mit dem BOHR-SOMMERFELDschenAtommodell inclusive Pauli-Prinzip nicht mehr exakt darstellbar sind; dazu sind die Methoden der Quantenmechanik erforderlich.

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Spin-Quantenzahl

© Dr. R. Göhring [email protected] III 34

Quelle: http://www.sciencephoto.com

Was Pauli noch nicht begründen konnte, lieferten 1925 die beiden Doktoranden an der Universität LeidenG.E. UHLENBECK (1900-1988) und S.A. GOUDSMIT (1902-1978) in Form einer verwegenen Idee:

• Sie schlugen vor, daß die von Pauli angenommene Eigenschaft der „Zweideutigkeit“ nicht nur eine zusätzliche Quantenzahl benötigt, sondern daß sie eine inhärente Eigenschaft der Elektronen ist.

• Sie bezeichneten sie als Spin (Drall), ein zusätzlicher Eigendrehimpuls, der dem Elektron selbst zugeordnet ist mit dem Wert der Spin-Quantenzahl ms

• Die Vorstellung eines sich drehenden Elektrons stieß auf entschiedenen Widerspruch nicht zuletzt bei Pauli, denn das Elektron müßte so schnell rotieren, daß die Oberflächengeschwindigkeit ein Vielfaches der Lichtgeschwindigkeit ausmachen würde, oder aber der Elektronenradius müßte unverhältnismäßig groß angenommen werden, was alles im Widerspruch zu physikalischen Tatsachen steht.

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1m

2

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Korrespondenzprinzip

• In BOHRs Artikel von 1918 mit dem Titel „On the quantum theory of line-spectra“ postuliert

er, daß bei großen Quantenzahlen n die nach der klassischen Maxwellschen Theorie

berechnete Strahlungsfrequenz des Elektrons auf der n-ten Bahn gleich sein muß mit der

nach der Quantentheorie für den Übergang von n → n-1 berechneten.

• Nach der klassischen Theorie ist die Strahlungsfrequenz des Elektrons auf der n-ten Bahn

• Es läßt sich zeigen, daß für große Werte von n diese Bedingung tatsächlich erreicht wird:

• Für BOHR ist diese Tatsache – der Übergang von der Quantentheorie zu der klassischen

Theorie – kein Zufall, sondern eine notwendige Verbindung beider Theorien, von ihm

Principle of Correspondence – Korrespondenzprinzip – genannt.

© Dr. R. Göhring [email protected] III 35

2

kl 3

2Z R c

n

22

2 2 n 1 2

qu 2 2 2 32

n n 11 1 2Z R c Z R c Z R c

n nn 1 n 1 n

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Korrespondenzprinzip

© Dr. R. Göhring [email protected] III 36

Um am Beispiel des Wasserstoffes zu bestimmen, bei welchem n der Übergang im Sinne des Korrespondenzprinzips stattfindet, berechnet man nach der Maxwellschen Theorie die Frequenzen kl(n) der n-ten und kl(n-1) der (n-1)-ten Bahn. Diese setzen wir jeweils ins Verhältnis zu der quantentheoretisch berechneten qu(n→n-1):

kl kla e

qu qu

(n) (n 1)Q (n) und Q (n 1)

(n n 1) (n n 1)

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Korrespondenzprinzip

• Für das Wasserstoffatom bedeutet das z.B., daß erst jenseits des 10.000-fachen ersten Bohrschen Radius a0 beide Betrachtungsweisen gleich werden.

• Das Beispiel zeigt einen allgemeinen Sachverhalt in dem Sinne, daß im Fall sehr kleiner Massen und Abmessungen das Plancksche Wirkungsquantum eine Rolle spielt und der Quantencharakter der Erscheinungen zum Tragen kommt.

• Das bedeutet, daß die physikalische Größe der Wirkung I des Systems in diesem Fall in der gleichen Größenordnung wie die kleinste Wirkung h ist.

• Ist in einem System die Wirkung aber so groß, daß man h ≈ 0 annehmen kann, dann gelten die Gesetze der klassischen Mechanik.

• Das Korrespondenzprinzip fordert, daß jede nichtklassische Theorie im Grenzfall in die entsprechende klassische Theorie übergeht.

© Dr. R. Göhring [email protected] III 37

I Energie Zeit oder Impuls Weglänge

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Grenzen des BOHRschen Atom-Modells

© Dr. R. Göhring [email protected] III 38

Der Versuch scheiterte, eine adäquate Theorie für das

Helium-Atom aufzubauen, ein vergleichsweise einfaches

Atom mit einem Kern und zwei Elektronen.

In der klassischen Himmelsmechanik existiert mit

der Störungsrechnung eine erprobte Näherungs-

methode, um ein Dreikörperproblem zu lösen.

An dem Versuch aber mit der BOHRschen Theorie das

Heliumproblem zu knacken, scheiterte schon

WOLFGANG PAULI in seiner Dissertation.

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Intensität der Wasserstofflinien

© Dr. R. Göhring [email protected] III 39

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

eV13,53

972,5

4

1025,8

3

1215,6

8

Lym

an-S

erie [

Å]

65

62,7

9

4861,3

3

4340.4

7

4101,7

4

3970,0

7

Balm

er-

Serie [Å

]

Ha Hb Hg Hd H

Paschen

-Serie [Å

]

1

2

3

4

Mittlere Lebensdauer t des

angeregten

Zustandes ≈ 10-7 bis 10-9 sec

Intensität I der Linien I 1/t

Eigenbreite der Linien ≈ 10-4 Å

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© Dr. R. Göhring [email protected] III 40

21 cm-Linie des Wasserstoffes

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

eV13,53

972,5

4

1025,8

3

1215,6

8

Lym

an-S

erie [

Å]

65

62,7

9

4861,3

3

4340.4

7

4101,7

4

3970,0

7

Balm

er-

Serie [Å

]

Ha Hb Hg Hd H

Paschen

-Serie [Å

]

1

2

3

4

21 cm

0,00005869 eV

Mittlere Lebensdauer des

angeregten

Zustandes ≈ 107 Jahre