Dr. Hempel – Mathematische Grundlagen, Linienintegral

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Das Linienintegral

Länge eines Kurvenzuges

Die Länge einer Geraden ist allgemein bei Kenntnis von Anfangs-

und Endkoordinaten leicht zu bestimmen. Komplizierter ist die Be-

stimmung der Länge eines Kurvenzuges wie z.B. einer Wurfparabel

oder einer

Spiralfeder.

Die übliche Vorgehensweise zur Bestimmung der Länge l einer

solchen Kurve ist es, diese in Teilstücke l zu zerlegen und

aufzusummieren.

n

i

ill1

Der Grenzübergang mit 0 il führt zum Linienintegral und zur gesuchten Länge des Bogen-

stücks.

B

A

dll

Die Berechnung des Integrals sei hier am Beispiel einer

Funktion in Parameterdarstellung gezeigt.

Es liegen also vor: )t(zz);t(yy);t(xx

wie z.B. die Koordinaten eines geworfenen Körpers als

Funktion der Zeit.

Damit gilt:

222 )z()y()x(sl

tt

z

t

y

t

xl

222

Vollzieht man den Grenzübergang dtt , ergibt sich:

dttztytxdl 222 )()()(

Die gesuchte Länge der Kurve von Punkt A bis Punkt B ergibt sich durch Integration über dl in

den vorgegebenen Grenzen für den Parameter t .

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B

A

222

B

A

dt)t(z)t(y)t(xdlL

Nun muss das Integral „nur noch“ ausgerechnet werden.

Leider ist die betrachtete Funktion nicht immer in Parameterform gegeben.

Ausweg 1: Parameterform finden kann recht kompliziert werden

Ausweg 2: Man verwendet x selbst als Parameter;

Das erweist sich im zweidimensionalen Fall als recht praktikabel;

xt )()( xyty

aus

B

A

B

A

dttytxdlL 22 )()(

wird

B

A

B

A

dxydlL 21

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Linienintegral - Beispiel 1: Zykloide

Rollt ein Kreis mit Radius r auf einer Geraden ab, so beschreibt sein Randpunkt eine Zykloide.

Berechnen Sie ausgehend von einer zu findenden Parameterdarstellung die Länge dieser

Kurve für einen Kreisumlauf.

Lösung:

Zuerst muss die Parameterdarstellung der Zykloide gefunden werden:

)sin(

)2

cos(

)(

rr

rr

abx

cos

)2

sin(

)(

rr

rr

cry

Aus der Parameterdarstellung ergeben sich

)cos1()(' rx sowie sin)(' ry

und damit

cos22)(')(' 22 ryx .

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Unter Verwendung der Formel für die Bogenlänge einer Kurve in Parameterdarstellung:

dyxdl 22 )(')('

ergibt sich für die Länge der Zykloide für 20

rdrdrdrl 82

sin22

sin4cos22

2

0

2

0

2

2

0

Woher kommt

2

sin4cos22 2 bzw. 2

sin2cos1 2 ?

Additionstheoreme (sollten bekannt sein)

sinsincoscos)cos(

sinsincoscos)cos(

Subtrahiert man beide voneinander:

sinsin2)cos()cos(

mit

folgt: 2sin22cos0cos

2sin22cos1

2

sin2cos1 2

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Linienintegral - Beispiel: Parabel

Gesucht ist die Bogenlänge einer Parabel.

Lösung:

Hat man eine Kurve in der Parameterdarstellung ( )(),( tytx ), so lautet die Formel für die

Bogenlänge:

b

a

dttytxl 22 )(')('

Liegt der Startpunkt bei 0t (das ist z.B. Startzeit 0t )

b

dttytxl0

22 )(')('

Im Falle des Parabelbogens sei tx und 2/2ty .

damit ergibt sich für die Bogenlänge

b

dttl0

21

Dieses Integral gilt es zu lösen.

Wir ersparen und die Bemerkung „Wie leicht zu sehen …“ und rechnen wirklich.

Für das Integral dtt 21 liegt eine Lösung mittels geeigneter Substitution nahe.

Empfohlen (z.B. Bronstein) werden 2 verschiedene mögliche Substitutionen:

pt sinh oder pt tan

Ich will hier den Weg mit der Substitution pt sinh versuchen.

mit pt sinh dppdt cosh

Für das Integral ergibt sich:

dppdppp

dppppp

dpppdtt

22

222

22

coshcoshcosh

coshsinhsinhcosh

coshsinh11

Berücksichtigen wir

2

12cosh

2

1)2(

4

1

2cosh 22

2

2

peeee

p pppp

folgt:

Cppdpdppdpp 2

12sinh

4

1

2

12cosh

2

1cosh2

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Wir substituieren zurück: tarp sinh

Ctartardpp sinh2

1)sinh(2sinh

4

1cosh2

Nebenbetrachtung 1:

was ist )sinh(2sinh tar ?

ppp coshsinh22sinh

)sinhcosh()sinhsinh(2)sinh(2sinh tartartar

wegen pp 2sinh1cosh

22 12)sinh(sinh1)sinhsinh(2)sinh(2sinh tttartartar

Nebenbetrachtung 2:

)1ln(sinh 2 tttar

damit ergibt sich:

)1ln(12

11 222 ttttdtt

für die Bogenlänge folgt:

)1ln(12

11 22

0

2 bbbbdtt

b

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Linienintegral - Beispiel: Wurfparabel

Welche Bahnlänge wird von einem Körper in den ersten 2 Sekunden durchflogen, der waage-

recht mit einer Geschwindigkeit von sm /20 geworfen wird?

Lösung:

Hat man eine Kurve in der Parameterdarstellung ( )(),( tytx ), so lautet die Formel für die

Bogenlänge:

b

a

dttytxl 22 )()(

Liegt der Startpunkt bei 0)0(;0)0(;0 yxt

b

dttytxl0

22 )()(

Im Falle der Wurfparabel sei hier tvx 0 und 2/2gty .

- Orientiert man der Einfachheit halber die y-Achse nach unten, ergibt sich 2/2gty

- Damit erhalten wir für die Bogenlänge

s

dttgvl

2

0

222

0

Dieses Integral gilt es zu lösen.

Wir ersparen uns die Bemerkung „Wie leicht zu sehen …“ und rechnen wirklich.

Für das Integral dttgvl 222

0 liegt eine Lösung mittels geeigneter Substitution nahe.

Empfohlen (z.B. Bronstein) werden für Integrale vom Typ dtttR ),( 22

( R bezeichnet dabei eine rationale Funktion im Ausdruck, vor dem es steht)

2 verschiedene mögliche Substitutionen:

pt sinh oder pt tan

Ich will hier den Weg mit der Substitution pt sinh versuchen.

Es sei also gv /0 ; g

pvpt

sinhsinh 0 dppdt cosh

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Für das Integral ergibt sich:

dppgdpppg

dpppppg

dpppg

dttgl

2222

2222

222

22

coshcoshcosh

coshsinhsinhcosh

coshsinh

Berücksichtigen wir

2

12cosh

2

1)2(

4

1

2cosh 22

2

2

peeee

p pppp

Folgt:

CppCdpdppdpp 2

12sinh

2

1

2

1

2

12cosh

2

1cosh2

wir substituieren zurück:

tarp sinh

Ct

art

ardpp sinh

2

1)sinh(2sinh

4

1cosh2

Nebenbetrachtung 1:

was ist )sinh(2sinh

tar ?

ppp coshsinh22sinh

)sinhcosh()sinhsinh(2)sinh(2sinh

tar

tar

tar

wegen 1sinhcosh 22 pp pp 2sinh1cosh

2

2 12)sinh(sinh1)sinhsinh(2)sinh(2sinh

tttar

tar

tar

Nebenbetrachtung 2:

1lnsinh

2

tttar

damit ergibt sich:

Ctttt

dpp

1ln

2

112

4

1cosh

22

2

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Seite 9

mit dppgl 22 cosh (siehe oben)

Cttgttg

l

1ln

21

2

222

Cv

gt

v

gt

g

v

v

gttvl

1ln

21

2

2

00

2

0

2

0

0

Integriert man bestimmt:

mmm

sm

sm

sm

ssm

sm

sm

sm

sm

s

sm

dttgvl

s

71,45694,170169,28

120

281,9

20

281,9ln

81,92

400

20

281,91

2

220

2

2

2

22

22

2

2

2

2

0

222

0

Ergebnis:

Während der Körper während der ersten 2 Sekunden in der horizontalen Projektion (entlang der

x-Achse) 40 m zurücklegt, beträgt die Länge der Bahn (blaue Linie) 45,71 m.

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Linienintegral einer skalaren Funktion

Ist nicht nur die Länge einer Kurve interessant, sondern auch eine Größe wie z.B. die Masse

einer Schraubenfeder mit variabler Dichte , so ist für die Berechnung zusätzlich eine „Bele-

gungsfunktion“ - hier die Dichte )(P in Abhängigkeit von der Position auf der Schraubenfeder,

oder besser noch )(t in Abhängigkeit vom Parameter t - notwendig.

Bei konstanter Dichte ergibt sich: lAm .

Bei variabler Dichte wird eine Integration entlang des Kurvenzuges notwendig.

Die Kurve wird in Abschnitte n1 l.....l zerlegt. Die Berechnung der Masse wird möglich, wenn

jedem Abschnitt il eine konstante Dichte i zugeordnet werden kann. Günstigerweise lässt

man dafür die Abschnitte unendlich klein werden ( dll ) und integriert entlang des Kurven-

zuges.

n

i

iin

n

i

in

lAmm11

limlim

B

A

dlAm

Die Berechnung sei hier wieder am Beispiel einer Funktion in Parameterdarstellung gezeigt.

Es liegen vor: )t();t(zz);t(yy);t(xx .

Damit ergibt sich für das Integral:

B

A

B

A

dttztytxtAdltAm 222 )(')(')(')()(

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Linienintegral und Vektoren: Arbeit im Kraftfeld

Verschieben wir einen Körper unter der Wirkung des Kraftfeldes ),,( zyxF

entlang dem Weg

)(tr

berechnet sich die dabei verrichtete Arbeit:

Kraftkomponente entlang des Weges mal zurückgelegter Weg.

Da sich Betrag und Richtung der Kraft sowie der jeweilige Winkel zum Weg von Punkt zu Punkt

ändern können, gilt das zur Berechnung notwendige Skalarprodukt näherungsweise jeweils nur

für ein Wegelement ir

. Die Berechnung der Arbeit erfolgt daher in folgender Weise:

Zerlegung des Weges in Teilabschnitte )()( 1 iii trtrr

Ermittlung der jeweils wirkenden Kraft )(),(),()( iiii tztytxFtrF

Berechnen der Arbeit je Teilabschnitt - Skalarprodukt

iiii rtztytxFW

)(),(),(

Aufsummieren der Teil-Arbeiten iiii rtztytxFW

)(),(),(

Durch Verkleinerung des Wegelements erhält man letztendlich den exakten Wert

der geleisteten Arbeit

iiiin

rtztytxFW

)(),(),(lim

2

1

P

P

rdz,y,xFW

„Linienintegral“

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Seite 12

Linienintegral - Beispiel Vektorfeld:

Gegeben seien das Vektorfeld ),,( zyxF

und eine Raumkurve C mit der Parameterdarstellung

)(tr

durch

xz

yz

xy

zyxF ),,(

bzw.

3

2)(

t

t

t

tr

Berechnen Sie das Linienintegral C

rdFI

in den Grenzen von Punkt )1,1,1( A bis

zum Punkt )1,1,1( B .

Lösung:

aus C

rdFI

in Parameterdarstellung ergibt sich:

2

1

2

1

2

1

)()(),(),()()(),(),()()(),(),(

t

t

z

t

t

y

t

t

x tdztztytxFtdytztytxFtdxtztytxFI

mit

dt

dt

dzdt

dt

dydt

dt

dxrd ,,

, d.h. dtdt

dxdx

, dt

dt

dydy

, dt

dt

dzdz

wegen

ttx )( , 2)( tty ,

3)( ttz

ergibt sich

4

5

3

3

32

2

),,(

t

t

t

tt

tt

tt

xz

yz

xy

zyxF

damit folgt:

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

636632453 53232

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

dtttdttttdtttdtttdttI

Die angegebenen Grenzen werden mit 11 t und 12 t erreicht (einsetzten in )(tr

ahhh..).

7

10

75

4

1

1

71

1

4

ttI

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Seite 13

Berechnung von speziellen Linienintegralen

Homogenes Vektorfeld, beliebiger Weg

homogenes Vektorfeld zyx ecebeaF

Arbeit (Verschiebung 21 PP ) 2

1

P

P

sdFW

wegen: zyx edzedyedxrd

cdzbdyadxrdF

Bei homogenen Kraftfeldern hängt die Arbeit nur von der resultierenden Ortsverschiebung ab,

nicht aber von der speziellen Form der Bahnkurve.

Radialsymmetrisches Vektorfeld, radialer Weg

Gravitationskraft 3r

rMmF

Arbeit beim Verschieben der Masse m

von P1 nach P2 in radialer Richtung:

drr

mMdrFrdFdW

2

2

1

2

1

2

112

2

11P

P

P

P

P

Prr

mMr

drmMdrFrdFW

121212

2

1

2

1

2

1

zzcyybxxadzcdybdxaW

P

P

P

P

P

P

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Seite 14

Radialsymmetrisches Vektorfeld, kreisförmiger Weg

Bei Bewegung auf der Kreisbahn stehen Kraftvektor

und Wegelement senkrecht aufeinander.

0 rdF

In einem radialsymmetrischen Feld wird auf einer

Kreisbahn um das Kraftzentrum keine Arbeit geleistet.

0rdF

Ringförmiges Feld, kreisförmiger Weg

ringförmiges Magnetfeld um einen

stromdurchflossenen Leiter

)0,cos,sin(2 0

r

IH

Integrationsweg ist ein konzentrischer

Kreis um den Leiter in der x-y-Ebene.

drr

IdrHrdH

02

wegen 02 rdr

ergibt sich Irr

IrdH 0

0

22

Das Linienintegral längs eines geschlossenen Weges im Magnetfeld ist gleich dem vom Weg

eingeschlossenen Strom (Durchflutungssatz).

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Seite 15

Berechnung des Linienintegrals im allgemeinen Fall

Kurve sei in Parameterdarstellung gegeben:

)();();( tzrtyrtxr zyx

)(),(),()( tztytxtr

)(),(),()( tdztdytdxtrd

)(),(),( tdztdytdx sind die Differentiale

der Funktionen )(),(),( tztytx

dtdt

dztdzdt

dt

dytdydt

dt

dxtdx )(;)(;)(

dt

dt

dzdt

dt

dydt

dt

dxrd ,,

während der Zeit 21 tt wird auf der Ortskurve der Weg 21 PP durchlaufen.

Der Kraftvektor an jedem Punkt des Raumes lässt sich darstellen:

zz

yy

xx

etztytxF

etztytxF

etztytxFzyxF

)(),(),(

)(),(),(

)(),(),(),,(

Eingesetzt in das Integral zur Arbeitsberechnung ergibt sich:

2

1

2

1

2

1

)()(),(),()()(),(),()()(),(),(

P

P

z

P

P

y

P

P

x tdztztytxFtdytztytxFtdxtztytxFW

setzt man für die Grenzen 1t und 2t ein

2

1

2

1

2

1

t

t

z

t

t

y

t

t

x dtdt

dzFdt

dt

dyFdt

dt

dxFW

Gegeben ist ein Vektorfeld ),,( zyxF

und ein Weg in Parameterdarstellung )(),(),()( tztytxtr

.

Das Linienintegral ist dann

2

1

2

1

2

1

2

1

),,(

t

t

z

t

t

y

t

t

x

P

P

dtdt

dzFdt

dt

dyFdt

dt

dxFrdzyxFW