Radialsymmetrisches Vektorfeld, radialer Weg · Dr. Hempel – Mathematische Grundlagen,...
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Dr. Hempel Mathematische Grundlagen, Linienintegral
Seite 1
Das Linienintegral
Lnge eines Kurvenzuges
Die Lnge einer Geraden ist allgemein bei Kenntnis von Anfangs-
und Endkoordinaten leicht zu bestimmen. Komplizierter ist die Be-
stimmung der Lnge eines Kurvenzuges wie z.B. einer Wurfparabel
oder einer
Spiralfeder.
Die bliche Vorgehensweise zur Bestimmung der Lnge l einer
solchen Kurve ist es, diese in Teilstcke l zu zerlegen und
aufzusummieren.
n
i
ill1
Der Grenzbergang mit 0 il fhrt zum Linienintegral und zur gesuchten Lnge des Bogen-
stcks.
B
A
dll
Die Berechnung des Integrals sei hier am Beispiel einer
Funktion in Parameterdarstellung gezeigt.
Es liegen also vor: )t(zz);t(yy);t(xx
wie z.B. die Koordinaten eines geworfenen Krpers als
Funktion der Zeit.
Damit gilt:
222 )z()y()x(sl
tt
z
t
y
t
xl
222
Vollzieht man den Grenzbergang dtt , ergibt sich:
dttztytxdl 222 )()()(
Die gesuchte Lnge der Kurve von Punkt A bis Punkt B ergibt sich durch Integration ber dl in
den vorgegebenen Grenzen fr den Parameter t .
Dr. Hempel Mathematische Grundlagen, Linienintegral
Seite 2
B
A
222
B
A
dt)t(z)t(y)t(xdlL
Nun muss das Integral nur noch ausgerechnet werden.
Leider ist die betrachtete Funktion nicht immer in Parameterform gegeben.
Ausweg 1: Parameterform finden kann recht kompliziert werden
Ausweg 2: Man verwendet x selbst als Parameter;
Das erweist sich im zweidimensionalen Fall als recht praktikabel;
xt )()( xyty
aus B
A
B
A
dttytxdlL 22 )()(
wird B
A
B
A
dxydlL 21
Dr. Hempel Mathematische Grundlagen, Linienintegral
Seite 3
Linienintegral - Beispiel 1: Zykloide
Rollt ein Kreis mit Radius r auf einer Geraden ab, so beschreibt sein Randpunkt eine Zykloide.
Berechnen Sie ausgehend von einer zu findenden Parameterdarstellung die Lnge dieser
Kurve fr einen Kreisumlauf.
Lsung:
Zuerst muss die Parameterdarstellung der Zykloide gefunden werden:
)sin(
)2
cos(
)(
rr
rr
abx
cos
)2
sin(
)(
rr
rr
cry
Aus der Parameterdarstellung ergeben sich
)cos1()(' rx sowie sin)(' ry
und damit
cos22)(')(' 22 ryx .
Dr. Hempel Mathematische Grundlagen, Linienintegral
Seite 4
Unter Verwendung der Formel fr die Bogenlnge einer Kurve in Parameterdarstellung:
dyxdl22 )(')('
ergibt sich fr die Lnge der Zykloide fr 20
rdrdrdrl 82
sin22
sin4cos22
2
0
2
0
2
2
0
Woher kommt
2
sin4cos22 2
bzw. 2
sin2cos1 2
?
Additionstheoreme (sollten bekannt sein)
sinsincoscos)cos(
sinsincoscos)cos(
Subtrahiert man beide voneinander:
sinsin2)cos()cos(
mit
folgt: 2sin22cos0cos
2sin22cos1
2
sin2cos1 2
Dr. Hempel Mathematische Grundlagen, Linienintegral
Seite 5
Linienintegral - Beispiel: Parabel
Gesucht ist die Bogenlnge einer Parabel.
Lsung:
Hat man eine Kurve in der Parameterdarstellung ( )(),( tytx ), so lautet die Formel fr die
Bogenlnge:
b
a
dttytxl 22 )(')('
Liegt der Startpunkt bei 0t (das ist z.B. Startzeit 0t )
b
dttytxl0
22 )(')('
Im Falle des Parabelbogens sei tx und 2/2ty .
damit ergibt sich fr die Bogenlnge b
dttl0
21
Dieses Integral gilt es zu lsen.
Wir ersparen und die Bemerkung Wie leicht zu sehen und rechnen wirklich.
Fr das Integral dtt21 liegt eine Lsung mittels geeigneter Substitution nahe.
Empfohlen (z.B. Bronstein) werden 2 verschiedene mgliche Substitutionen:
pt sinh oder pt tan
Ich will hier den Weg mit der Substitution pt sinh versuchen.
mit pt sinh dppdt cosh
Fr das Integral ergibt sich:
dppdppp
dppppp
dpppdtt
22
222
22
coshcoshcosh
coshsinhsinhcosh
coshsinh11
Bercksichtigen wir
2
12cosh
2
1)2(
4
1
2cosh 22
2
2
peeee
p pppp
folgt:
Cppdpdppdpp 21
2sinh4
1
2
12cosh
2
1cosh2
Dr. Hempel Mathematische Grundlagen, Linienintegral
Seite 6
Wir substituieren zurck: tarp sinh
Ctartardpp sinh21
)sinh(2sinh4
1cosh2
Nebenbetrachtung 1:
was ist )sinh(2sinh tar ?
ppp coshsinh22sinh
)sinhcosh()sinhsinh(2)sinh(2sinh tartartar
wegen pp 2sinh1cosh
22 12)sinh(sinh1)sinhsinh(2)sinh(2sinh tttartartar
Nebenbetrachtung 2:
)1ln(sinh 2 tttar
damit ergibt sich:
)1ln(12
11 222 ttttdtt
fr die Bogenlnge folgt:
)1ln(12
11 22
0
2 bbbbdttb
Dr. Hempel Mathematische Grundlagen, Linienintegral
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Linienintegral - Beispiel: Wurfparabel
Welche Bahnlnge wird von einem Krper in den ersten 2 Sekunden durchflogen, der waage-
recht mit einer Geschwindigkeit von sm /20 geworfen wird?
Lsung:
Hat man eine Kurve in der Parameterdarstellung ( )(),( tytx ), so lautet die Formel fr die
Bogenlnge:
b
a
dttytxl 22 )()(
Liegt der Startpunkt bei 0)0(;0)0(;0 yxt b
dttytxl0
22 )()(
Im Falle der Wurfparabel sei hier tvx 0 und 2/2gty .
- Orientiert man der Einfachheit halber die y-Achse nach unten, ergibt sich 2/2gty
- Damit erhalten wir fr die Bogenlnge s
dttgvl
2
0
222
0
Dieses Integral gilt es zu lsen.
Wir ersparen uns die Bemerkung Wie leicht zu sehen und rechnen wirklich.
Fr das Integral dttgvl222
0 liegt eine Lsung mittels geeigneter Substitution nahe.
Empfohlen (z.B. Bronstein) werden fr Integrale vom Typ dtttR ),(22
( R bezeichnet dabei eine rationale Funktion im Ausdruck, vor dem es steht)
2 verschiedene mgliche Substitutionen:
pt sinh oder pt tan
Ich will hier den Weg mit der Substitution pt sinh versuchen.
Es sei also gv /0 ; g
pvpt
sinhsinh 0
dppdt cosh
Dr. Hempel Mathematische Grundlagen, Linienintegral
Seite 8
Fr das Integral ergibt sich:
dppgdpppg
dpppppg
dpppg
dttgl
2222
2222
222
22
coshcoshcosh
coshsinhsinhcosh
coshsinh
Bercksichtigen wir
2
12cosh
2
1)2(
4
1
2cosh 22
2
2
peeee
p pppp
Folgt:
CppCdpdppdpp 21
2sinh2
1
2
1
2
12cosh
2
1cosh2
wir substituieren zurck:
tarp sinh
Ct
art
ardpp sinh
2
1)sinh(2sinh
4
1cosh2
Nebenbetrachtung 1:
was ist )sinh(2sinh
tar ?
ppp coshsinh22sinh
)sinhcosh()sinhsinh(2)sinh(2sinh
tar
tar
tar
wegen 1sinhcosh 22 pp pp 2sinh1cosh
2
2 12)sinh(sinh1)sinhsinh(2)sinh(2sinh
tttar
tar
tar
Nebenbetrachtung 2:
1lnsinh
2
tttar
damit ergibt sich:
Ctttt
dpp
1ln2
112
4
1cosh
22
2
Dr. Hempel Mathematische Grundlagen, Linienintegral
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mit dppgl22 cosh (siehe oben)
Cttgttg
l
1ln
21
2
222
Cv
gt
v
gt
g
v
v
gttvl
1ln
21
2
2
00
2
0
2
0
0
Integriert man bestimmt:
mmm
sm
sm
sm
ssm
sm
sm
sm
sm
s
sm
dttgvl
s
71,45694,170169,28
120
281,9
20
281,9ln
81,92
400
20
281,91
2
220
2
2
2
22
22
2
2
2
2
0
222
0
Ergebnis:
Whrend der Krper whrend der ersten 2 Sekunden in der horizontalen Projektion (entlang der
x-Achse) 40 m zurcklegt, betrgt die Lnge der Bahn (blaue Linie) 45,71 m.
Dr. Hempel Mathematische Grundlagen, Linienintegral
Seite 10
Linienintegral einer skalaren Funktion
Ist nicht nur die Lnge einer Kurve interessant, sondern auch eine Gre wie z.B. die Masse
einer Schraubenfeder mit variabler Dichte , so ist fr die Berechnung zustzlich eine Bele-
gungsfunktion - hier die Dichte )(P in Abhngigkeit von der Position auf der Schraubenfeder,
oder besser noch )(t in Abhngigkeit vom Parameter t - notwendig.
Bei konstanter Dichte ergibt sich: lAm .
Bei variabler Dichte wird eine Integration entlang des Kurvenzuges notwendig.
Die Kurve wird in Abschnitte n1 l.....l zerlegt. Die Berechnung der Masse wird mglich, wenn
jedem Abschnitt il eine konstante Dichte i zugeordnet werden kann. Gnstigerweise lsst
man dafr die Abschnitte unendlich klein werden ( dll ) und integriert entlang des Kurven-
zuges.
n
i
iin
n
i
in
lAmm11
limlim
B
A
dlAm
Die Berechnung sei hier wieder am Beispiel einer Funktion in Parameterdarstellung gezeigt.
Es liegen vor: )t();t(zz);t(yy);t(xx .
Damit ergibt sich fr das Integral:
B
A
B
A
dttztytxtAdltAm 222 )(')(')(')()(
Dr. Hempel Mathematische Grundlagen, Linienintegral
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Linienintegral und Vektoren: Arbeit im Kraftfeld
Verschieben wir einen Krper unter der Wirkung des Kraftfeldes ),,( zyxF
entlang dem Weg
)(tr
berechnet sich die dabei verrichtete Arbeit:
Kraftkomponente entlang des Weges mal zurckgelegter Weg.
Da sich Betrag und Richtung der Kraft sowie der jeweilige Winkel zum Weg von Punkt zu Punkt
ndern knnen, gilt das zur Berechnung notwendige Skalarprodukt nherungsweise jeweils nur
fr ein Wegelement ir
. Die Berechnung der Arbeit erfolgt daher in folgender Weise:
Zerlegung des Weges in Teilabschnitte )()( 1 iii trtrr
Ermittlung der jeweils wirkenden Kraft )(),(),()( iiii tztytxFtrF
Berechnen der Arbeit je Teilabschnitt - Skalarprodukt
iiii rtztytxFW
)(),(),(
Aufsummieren der Teil-Arbeiten iiii rtztytxFW
)(),(),(
Durch Verkleinerung des Wegelements erhlt man letztendlich den exakten Wert
der geleisteten Arbeit
iiiin
rtztytxFW
)(),(),(lim
2
1
P
P
rdz,y,xFW
Linienintegral
Dr. Hempel Mathematische Grundlagen, Linienintegral
Seite 12
Linienintegral - Beispiel Vektorfeld:
Gegeben seien das Vektorfeld ),,( zyxF
und eine Raumkurve C mit der Parameterdarstellung
)(tr
durch
xz
yz
xy
zyxF ),,(
bzw.
3
2)(
t
t
t
tr
Berechnen Sie das Linienintegral C
rdFI
in den Grenzen von Punkt )1,1,1( A bis
zum Punkt )1,1,1( B .
Lsung:
aus C
rdFI
in Parameterdarstellung ergibt sich:
2
1
2
1
2
1
)()(),(),()()(),(),()()(),(),(
t
t
z
t
t
y
t
t
x tdztztytxFtdytztytxFtdxtztytxFI
mit
dt
dt
dzdt
dt
dydt
dt
dxrd ,,
, d.h. dtdt
dxdx
, dt
dt
dydy
, dt
dt
dzdz
wegen
ttx )( , 2)( tty , 3)( ttz
ergibt sich
4
5
3
3
32
2
),,(
t
t
t
tt
tt
tt
xz
yz
xy
zyxF
damit folgt:
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
636632453 53232
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
dtttdttttdtttdtttdttI
Die angegebenen Grenzen werden mit 11 t und 12 t erreicht (einsetzten in )(tr
ahhh..).
7
10
75
4
1
1
71
1
4
ttI
Dr. Hempel Mathematische Grundlagen, Linienintegral
Seite 13
Berechnung von speziellen Linienintegralen
Homogenes Vektorfeld, beliebiger Weg
homogenes Vektorfeld zyx ecebeaF
Arbeit (Verschiebung 21 PP ) 2
1
P
P
sdFW
wegen: zyx edzedyedxrd
cdzbdyadxrdF
Bei homogenen Kraftfeldern hngt die Arbeit nur von der resultierenden Ortsverschiebung ab,
nicht aber von der speziellen Form der Bahnkurve.
Radialsymmetrisches Vektorfeld, radialer Weg
Gravitationskraft 3r
rMmF
Arbeit beim Verschieben der Masse m
von P1 nach P2 in radialer Richtung:
drr
mMdrFrdFdW
2
2
1
2
1
2
112
2
11P
P
P
P
P
Prr
mMr
drmMdrFrdFW
1212122
1
2
1
2
1
zzcyybxxadzcdybdxaW
P
P
P
P
P
P
Dr. Hempel Mathematische Grundlagen, Linienintegral
Seite 14
Radialsymmetrisches Vektorfeld, kreisfrmiger Weg
Bei Bewegung auf der Kreisbahn stehen Kraftvektor
und Wegelement senkrecht aufeinander.
0 rdF
In einem radialsymmetrischen Feld wird auf einer
Kreisbahn um das Kraftzentrum keine Arbeit geleistet.
0rdF
Ringfrmiges Feld, kreisfrmiger Weg
ringfrmiges Magnetfeld um einen
stromdurchflossenen Leiter
)0,cos,sin(2 0
r
IH
Integrationsweg ist ein konzentrischer
Kreis um den Leiter in der x-y-Ebene.
drrI
drHrdH02
wegen 02 rdr
ergibt sich Irr
IrdH 0
0
22
Das Linienintegral lngs eines geschlossenen Weges im Magnetfeld ist gleich dem vom Weg
eingeschlossenen Strom (Durchflutungssatz).
Dr. Hempel Mathematische Grundlagen, Linienintegral
Seite 15
Berechnung des Linienintegrals im allgemeinen Fall
Kurve sei in Parameterdarstellung gegeben:
)();();( tzrtyrtxr zyx
)(),(),()( tztytxtr
)(),(),()( tdztdytdxtrd
)(),(),( tdztdytdx sind die Differentiale
der Funktionen )(),(),( tztytx
dtdt
dztdzdt
dt
dytdydt
dt
dxtdx )(;)(;)(
dt
dt
dzdt
dt
dydt
dt
dxrd ,,
whrend der Zeit 21 tt wird auf der Ortskurve der Weg 21 PP durchlaufen.
Der Kraftvektor an jedem Punkt des Raumes lsst sich darstellen:
zz
yy
xx
etztytxF
etztytxF
etztytxFzyxF
)(),(),(
)(),(),(
)(),(),(),,(
Eingesetzt in das Integral zur Arbeitsberechnung ergibt sich:
2
1
2
1
2
1
)()(),(),()()(),(),()()(),(),(
P
P
z
P
P
y
P
P
x tdztztytxFtdytztytxFtdxtztytxFW
setzt man fr die Grenzen 1t und 2t ein
2
1
2
1
2
1
t
t
z
t
t
y
t
t
x dtdt
dzFdt
dt
dyFdt
dt
dxFW
Gegeben ist ein Vektorfeld ),,( zyxF
und ein Weg in Parameterdarstellung )(),(),()( tztytxtr
.
Das Linienintegral ist dann
2
1
2
1
2
1
2
1
),,(
t
t
z
t
t
y
t
t
x
P
P
dtdt
dzFdt
dt
dyFdt
dt
dxFrdzyxFW