Radialsymmetrisches Vektorfeld, radialer Weg · Dr. Hempel – Mathematische Grundlagen,...
-
Upload
nguyentruc -
Category
Documents
-
view
228 -
download
0
Embed Size (px)
Transcript of Radialsymmetrisches Vektorfeld, radialer Weg · Dr. Hempel – Mathematische Grundlagen,...

Dr. Hempel – Mathematische Grundlagen, Linienintegral
Seite 1
Das Linienintegral
Länge eines Kurvenzuges
Die Länge einer Geraden ist allgemein bei Kenntnis von Anfangs-
und Endkoordinaten leicht zu bestimmen. Komplizierter ist die Be-
stimmung der Länge eines Kurvenzuges wie z.B. einer Wurfparabel
oder einer
Spiralfeder.
Die übliche Vorgehensweise zur Bestimmung der Länge l einer
solchen Kurve ist es, diese in Teilstücke l zu zerlegen und
aufzusummieren.
n
i
ill1
Der Grenzübergang mit 0 il führt zum Linienintegral und zur gesuchten Länge des Bogen-
stücks.
B
A
dll
Die Berechnung des Integrals sei hier am Beispiel einer
Funktion in Parameterdarstellung gezeigt.
Es liegen also vor: )t(zz);t(yy);t(xx
wie z.B. die Koordinaten eines geworfenen Körpers als
Funktion der Zeit.
Damit gilt:
222 )z()y()x(sl
tt
z
t
y
t
xl
222
Vollzieht man den Grenzübergang dtt , ergibt sich:
dttztytxdl 222 )()()(
Die gesuchte Länge der Kurve von Punkt A bis Punkt B ergibt sich durch Integration über dl in
den vorgegebenen Grenzen für den Parameter t .

Dr. Hempel – Mathematische Grundlagen, Linienintegral
Seite 2
B
A
222
B
A
dt)t(z)t(y)t(xdlL
Nun muss das Integral „nur noch“ ausgerechnet werden.
Leider ist die betrachtete Funktion nicht immer in Parameterform gegeben.
Ausweg 1: Parameterform finden kann recht kompliziert werden
Ausweg 2: Man verwendet x selbst als Parameter;
Das erweist sich im zweidimensionalen Fall als recht praktikabel;
xt )()( xyty
aus
B
A
B
A
dttytxdlL 22 )()(
wird
B
A
B
A
dxydlL 21

Dr. Hempel – Mathematische Grundlagen, Linienintegral
Seite 3
Linienintegral - Beispiel 1: Zykloide
Rollt ein Kreis mit Radius r auf einer Geraden ab, so beschreibt sein Randpunkt eine Zykloide.
Berechnen Sie ausgehend von einer zu findenden Parameterdarstellung die Länge dieser
Kurve für einen Kreisumlauf.
Lösung:
Zuerst muss die Parameterdarstellung der Zykloide gefunden werden:
)sin(
)2
cos(
)(
rr
rr
abx
cos
)2
sin(
)(
rr
rr
cry
Aus der Parameterdarstellung ergeben sich
)cos1()(' rx sowie sin)(' ry
und damit
cos22)(')(' 22 ryx .

Dr. Hempel – Mathematische Grundlagen, Linienintegral
Seite 4
Unter Verwendung der Formel für die Bogenlänge einer Kurve in Parameterdarstellung:
dyxdl 22 )(')('
ergibt sich für die Länge der Zykloide für 20
rdrdrdrl 82
sin22
sin4cos22
2
0
2
0
2
2
0
Woher kommt
2
sin4cos22 2 bzw. 2
sin2cos1 2 ?
Additionstheoreme (sollten bekannt sein)
sinsincoscos)cos(
sinsincoscos)cos(
Subtrahiert man beide voneinander:
sinsin2)cos()cos(
mit
folgt: 2sin22cos0cos
2sin22cos1
2
sin2cos1 2

Dr. Hempel – Mathematische Grundlagen, Linienintegral
Seite 5
Linienintegral - Beispiel: Parabel
Gesucht ist die Bogenlänge einer Parabel.
Lösung:
Hat man eine Kurve in der Parameterdarstellung ( )(),( tytx ), so lautet die Formel für die
Bogenlänge:
b
a
dttytxl 22 )(')('
Liegt der Startpunkt bei 0t (das ist z.B. Startzeit 0t )
b
dttytxl0
22 )(')('
Im Falle des Parabelbogens sei tx und 2/2ty .
damit ergibt sich für die Bogenlänge
b
dttl0
21
Dieses Integral gilt es zu lösen.
Wir ersparen und die Bemerkung „Wie leicht zu sehen …“ und rechnen wirklich.
Für das Integral dtt 21 liegt eine Lösung mittels geeigneter Substitution nahe.
Empfohlen (z.B. Bronstein) werden 2 verschiedene mögliche Substitutionen:
pt sinh oder pt tan
Ich will hier den Weg mit der Substitution pt sinh versuchen.
mit pt sinh dppdt cosh
Für das Integral ergibt sich:
dppdppp
dppppp
dpppdtt
22
222
22
coshcoshcosh
coshsinhsinhcosh
coshsinh11
Berücksichtigen wir
2
12cosh
2
1)2(
4
1
2cosh 22
2
2
peeee
p pppp
folgt:
Cppdpdppdpp 2
12sinh
4
1
2
12cosh
2
1cosh2

Dr. Hempel – Mathematische Grundlagen, Linienintegral
Seite 6
Wir substituieren zurück: tarp sinh
Ctartardpp sinh2
1)sinh(2sinh
4
1cosh2
Nebenbetrachtung 1:
was ist )sinh(2sinh tar ?
ppp coshsinh22sinh
)sinhcosh()sinhsinh(2)sinh(2sinh tartartar
wegen pp 2sinh1cosh
22 12)sinh(sinh1)sinhsinh(2)sinh(2sinh tttartartar
Nebenbetrachtung 2:
)1ln(sinh 2 tttar
damit ergibt sich:
)1ln(12
11 222 ttttdtt
für die Bogenlänge folgt:
)1ln(12
11 22
0
2 bbbbdtt
b

Dr. Hempel – Mathematische Grundlagen, Linienintegral
Seite 7
Linienintegral - Beispiel: Wurfparabel
Welche Bahnlänge wird von einem Körper in den ersten 2 Sekunden durchflogen, der waage-
recht mit einer Geschwindigkeit von sm /20 geworfen wird?
Lösung:
Hat man eine Kurve in der Parameterdarstellung ( )(),( tytx ), so lautet die Formel für die
Bogenlänge:
b
a
dttytxl 22 )()(
Liegt der Startpunkt bei 0)0(;0)0(;0 yxt
b
dttytxl0
22 )()(
Im Falle der Wurfparabel sei hier tvx 0 und 2/2gty .
- Orientiert man der Einfachheit halber die y-Achse nach unten, ergibt sich 2/2gty
- Damit erhalten wir für die Bogenlänge
s
dttgvl
2
0
222
0
Dieses Integral gilt es zu lösen.
Wir ersparen uns die Bemerkung „Wie leicht zu sehen …“ und rechnen wirklich.
Für das Integral dttgvl 222
0 liegt eine Lösung mittels geeigneter Substitution nahe.
Empfohlen (z.B. Bronstein) werden für Integrale vom Typ dtttR ),( 22
( R bezeichnet dabei eine rationale Funktion im Ausdruck, vor dem es steht)
2 verschiedene mögliche Substitutionen:
pt sinh oder pt tan
Ich will hier den Weg mit der Substitution pt sinh versuchen.
Es sei also gv /0 ; g
pvpt
sinhsinh 0 dppdt cosh

Dr. Hempel – Mathematische Grundlagen, Linienintegral
Seite 8
Für das Integral ergibt sich:
dppgdpppg
dpppppg
dpppg
dttgl
2222
2222
222
22
coshcoshcosh
coshsinhsinhcosh
coshsinh
Berücksichtigen wir
2
12cosh
2
1)2(
4
1
2cosh 22
2
2
peeee
p pppp
Folgt:
CppCdpdppdpp 2
12sinh
2
1
2
1
2
12cosh
2
1cosh2
wir substituieren zurück:
tarp sinh
Ct
art
ardpp sinh
2
1)sinh(2sinh
4
1cosh2
Nebenbetrachtung 1:
was ist )sinh(2sinh
tar ?
ppp coshsinh22sinh
)sinhcosh()sinhsinh(2)sinh(2sinh
tar
tar
tar
wegen 1sinhcosh 22 pp pp 2sinh1cosh
2
2 12)sinh(sinh1)sinhsinh(2)sinh(2sinh
tttar
tar
tar
Nebenbetrachtung 2:
1lnsinh
2
tttar
damit ergibt sich:
Ctttt
dpp
1ln
2
112
4
1cosh
22
2

Dr. Hempel – Mathematische Grundlagen, Linienintegral
Seite 9
mit dppgl 22 cosh (siehe oben)
Cttgttg
l
1ln
21
2
222
Cv
gt
v
gt
g
v
v
gttvl
1ln
21
2
2
00
2
0
2
0
0
Integriert man bestimmt:
mmm
sm
sm
sm
ssm
sm
sm
sm
sm
s
sm
dttgvl
s
71,45694,170169,28
120
281,9
20
281,9ln
81,92
400
20
281,91
2
220
2
2
2
22
22
2
2
2
2
0
222
0
Ergebnis:
Während der Körper während der ersten 2 Sekunden in der horizontalen Projektion (entlang der
x-Achse) 40 m zurücklegt, beträgt die Länge der Bahn (blaue Linie) 45,71 m.

Dr. Hempel – Mathematische Grundlagen, Linienintegral
Seite 10
Linienintegral einer skalaren Funktion
Ist nicht nur die Länge einer Kurve interessant, sondern auch eine Größe wie z.B. die Masse
einer Schraubenfeder mit variabler Dichte , so ist für die Berechnung zusätzlich eine „Bele-
gungsfunktion“ - hier die Dichte )(P in Abhängigkeit von der Position auf der Schraubenfeder,
oder besser noch )(t in Abhängigkeit vom Parameter t - notwendig.
Bei konstanter Dichte ergibt sich: lAm .
Bei variabler Dichte wird eine Integration entlang des Kurvenzuges notwendig.
Die Kurve wird in Abschnitte n1 l.....l zerlegt. Die Berechnung der Masse wird möglich, wenn
jedem Abschnitt il eine konstante Dichte i zugeordnet werden kann. Günstigerweise lässt
man dafür die Abschnitte unendlich klein werden ( dll ) und integriert entlang des Kurven-
zuges.
n
i
iin
n
i
in
lAmm11
limlim
B
A
dlAm
Die Berechnung sei hier wieder am Beispiel einer Funktion in Parameterdarstellung gezeigt.
Es liegen vor: )t();t(zz);t(yy);t(xx .
Damit ergibt sich für das Integral:
B
A
B
A
dttztytxtAdltAm 222 )(')(')(')()(

Dr. Hempel – Mathematische Grundlagen, Linienintegral
Seite 11
Linienintegral und Vektoren: Arbeit im Kraftfeld
Verschieben wir einen Körper unter der Wirkung des Kraftfeldes ),,( zyxF
entlang dem Weg
)(tr
berechnet sich die dabei verrichtete Arbeit:
Kraftkomponente entlang des Weges mal zurückgelegter Weg.
Da sich Betrag und Richtung der Kraft sowie der jeweilige Winkel zum Weg von Punkt zu Punkt
ändern können, gilt das zur Berechnung notwendige Skalarprodukt näherungsweise jeweils nur
für ein Wegelement ir
. Die Berechnung der Arbeit erfolgt daher in folgender Weise:
Zerlegung des Weges in Teilabschnitte )()( 1 iii trtrr
Ermittlung der jeweils wirkenden Kraft )(),(),()( iiii tztytxFtrF
Berechnen der Arbeit je Teilabschnitt - Skalarprodukt
iiii rtztytxFW
)(),(),(
Aufsummieren der Teil-Arbeiten iiii rtztytxFW
)(),(),(
Durch Verkleinerung des Wegelements erhält man letztendlich den exakten Wert
der geleisteten Arbeit
iiiin
rtztytxFW
)(),(),(lim
2
1
P
P
rdz,y,xFW
„Linienintegral“

Dr. Hempel – Mathematische Grundlagen, Linienintegral
Seite 12
Linienintegral - Beispiel Vektorfeld:
Gegeben seien das Vektorfeld ),,( zyxF
und eine Raumkurve C mit der Parameterdarstellung
)(tr
durch
xz
yz
xy
zyxF ),,(
bzw.
3
2)(
t
t
t
tr
Berechnen Sie das Linienintegral C
rdFI
in den Grenzen von Punkt )1,1,1( A bis
zum Punkt )1,1,1( B .
Lösung:
aus C
rdFI
in Parameterdarstellung ergibt sich:
2
1
2
1
2
1
)()(),(),()()(),(),()()(),(),(
t
t
z
t
t
y
t
t
x tdztztytxFtdytztytxFtdxtztytxFI
mit
dt
dt
dzdt
dt
dydt
dt
dxrd ,,
, d.h. dtdt
dxdx
, dt
dt
dydy
, dt
dt
dzdz
wegen
ttx )( , 2)( tty ,
3)( ttz
ergibt sich
4
5
3
3
32
2
),,(
t
t
t
tt
tt
tt
xz
yz
xy
zyxF
damit folgt:
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
636632453 53232
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
dtttdttttdtttdtttdttI
Die angegebenen Grenzen werden mit 11 t und 12 t erreicht (einsetzten in )(tr
ahhh..).
7
10
75
4
1
1
71
1
4
ttI

Dr. Hempel – Mathematische Grundlagen, Linienintegral
Seite 13
Berechnung von speziellen Linienintegralen
Homogenes Vektorfeld, beliebiger Weg
homogenes Vektorfeld zyx ecebeaF
Arbeit (Verschiebung 21 PP ) 2
1
P
P
sdFW
wegen: zyx edzedyedxrd
cdzbdyadxrdF
Bei homogenen Kraftfeldern hängt die Arbeit nur von der resultierenden Ortsverschiebung ab,
nicht aber von der speziellen Form der Bahnkurve.
Radialsymmetrisches Vektorfeld, radialer Weg
Gravitationskraft 3r
rMmF
Arbeit beim Verschieben der Masse m
von P1 nach P2 in radialer Richtung:
drr
mMdrFrdFdW
2
2
1
2
1
2
112
2
11P
P
P
P
P
Prr
mMr
drmMdrFrdFW
121212
2
1
2
1
2
1
zzcyybxxadzcdybdxaW
P
P
P
P
P
P

Dr. Hempel – Mathematische Grundlagen, Linienintegral
Seite 14
Radialsymmetrisches Vektorfeld, kreisförmiger Weg
Bei Bewegung auf der Kreisbahn stehen Kraftvektor
und Wegelement senkrecht aufeinander.
0 rdF
In einem radialsymmetrischen Feld wird auf einer
Kreisbahn um das Kraftzentrum keine Arbeit geleistet.
0rdF
Ringförmiges Feld, kreisförmiger Weg
ringförmiges Magnetfeld um einen
stromdurchflossenen Leiter
)0,cos,sin(2 0
r
IH
Integrationsweg ist ein konzentrischer
Kreis um den Leiter in der x-y-Ebene.
drr
IdrHrdH
02
wegen 02 rdr
ergibt sich Irr
IrdH 0
0
22
Das Linienintegral längs eines geschlossenen Weges im Magnetfeld ist gleich dem vom Weg
eingeschlossenen Strom (Durchflutungssatz).

Dr. Hempel – Mathematische Grundlagen, Linienintegral
Seite 15
Berechnung des Linienintegrals im allgemeinen Fall
Kurve sei in Parameterdarstellung gegeben:
)();();( tzrtyrtxr zyx
)(),(),()( tztytxtr
)(),(),()( tdztdytdxtrd
)(),(),( tdztdytdx sind die Differentiale
der Funktionen )(),(),( tztytx
dtdt
dztdzdt
dt
dytdydt
dt
dxtdx )(;)(;)(
dt
dt
dzdt
dt
dydt
dt
dxrd ,,
während der Zeit 21 tt wird auf der Ortskurve der Weg 21 PP durchlaufen.
Der Kraftvektor an jedem Punkt des Raumes lässt sich darstellen:
zz
yy
xx
etztytxF
etztytxF
etztytxFzyxF
)(),(),(
)(),(),(
)(),(),(),,(
Eingesetzt in das Integral zur Arbeitsberechnung ergibt sich:
2
1
2
1
2
1
)()(),(),()()(),(),()()(),(),(
P
P
z
P
P
y
P
P
x tdztztytxFtdytztytxFtdxtztytxFW
setzt man für die Grenzen 1t und 2t ein
2
1
2
1
2
1
t
t
z
t
t
y
t
t
x dtdt
dzFdt
dt
dyFdt
dt
dxFW
Gegeben ist ein Vektorfeld ),,( zyxF
und ein Weg in Parameterdarstellung )(),(),()( tztytxtr
.
Das Linienintegral ist dann
2
1
2
1
2
1
2
1
),,(
t
t
z
t
t
y
t
t
x
P
P
dtdt
dzFdt
dt
dyFdt
dt
dxFrdzyxFW