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Hochschule München

Fakultät 06

Laserzentrum

Prof. H. P. Huber

Erstellt von: Dipl. Ing. (FH) Andre Heßke, Dipl. Ing. (FH) Thomas Hülsenbusch, 28.05.2009

Überarbeitet von: Dipl. Ing. (FH) Maximilian Freudling, 29.07.2010

Überarbeitet von: Dr. Gerhard Heise, Februar 2012

Räumliche Charakterisierung von

Laserstrahlung

Praktikumsanleitung für den Lehrversuch

Laserstrahlqualität M²

Prof. Dr. H. Huber Seite 2 von 28

Inhaltsverzeichnis

Räumliche Charakterisierung von Laserstrahlung ..................................................................... 1

1. Zielsetzung des Praktikums ................................................................................................ 3

2. Vorbereitung des Praktikums ............................................................................................. 3

3. Antestat und Vorbesprechung ............................................................................................ 4

4. Durchführung des Praktikums ............................................................................................ 5

4.1. Messprinzip, Aufbau und Komponenten ..................................................................... 5

4.2. Aufgaben und Messungen ........................................................................................... 7

4.2.1. Messung der Intensitätsverteilungen am Rohstrahl ............................................. 7

4.2.1.1 Helium-Neon-Laser .......................................................................................... 7

4.2.1.2 Dioden-Laser .................................................................................................... 7

4.2.2. M²-Bestimmung ................................................................................................... 8

4.2.2.1 Helium-Neon-Laser .......................................................................................... 8

4.2.2.2 Dioden-Laser .................................................................................................... 8

5. Ausarbeitung der Versuchsergebnisse ............................................................................... 9

5.1. Helium-Neon-Laser ..................................................................................................... 9

5.1.1. Bestimmung der Intensitätsverteilung des Rohstrahls ......................................... 9

5.1.2. Bestimmung des M2s .......................................................................................... 10

5.2. Dioden-Laser ............................................................................................................. 10

5.2.1. Bestimmung der Intensitätsverteilung am Rohstrahl ......................................... 10

5.2.2. Besimmung des M2s ........................................................................................... 10

5.3. Der Helium-Neon-Laser ............................................................................................ 11

5.4. Der Dioden-Laser ...................................................................................................... 13

5.5. Gauß’sches Strahlenbündel ....................................................................................... 15

5.5.1. Grundlagen zum Gauß’schen Strahlbündel ........................................................ 15

5.5.2. Intensitätsprofil eines Gauß’schen Strahls ......................................................... 17

5.5.3. Abweichungen vom idealen Gauß’schen Strahl ................................................ 21

5.5.4. Höhere Moden .................................................................................................... 22

5.5.5. Abbildungseigenschaften von Gauß’schen Strahlen .......................................... 23

5.5.6. Fokussierung von Gauß´schen Strahlen ............................................................. 24

5.6. Messung mit Chopper-Rad ........................................................................................ 25

6. Literaturverzeichnis .......................................................................................................... 27



1. Zielsetzung des Praktikums

Vertieftes Verständnis des Begriffs der Strahlqualität und deren Bedeutung in der

Anwendung.

Praxiserfahrung: Charakterisierung von Laserstrahlen.

Praxiserfahrung: Justage von optischen Systemen.

2. Vorbereitung des Praktikums

Folgende Themengebiete sind für das Verständnis und die Durchführung des Praktikums

relevant. Deshalb sollten sie vor dem Praktikum vorbereitet werden.

Themengebiet Details

1. Gauß’sche Strahlen Eigenschaften, Fokussierung, Strahlaufweitung und

rahlführung

2. Strahlparameterprodukt Herleitung, Bedeutung, Erhaltung

3. Strahlqualitätszahl 2M bzw. 1/K Herleitung, Bedeutung

4. Laserprinzip

Voraussetzungen, spontane und induzierte Emission

Besetzungswahrscheinlichkeit

5. He-Ne-Laser Aufbau, Termschema, Anregung,

6. Dioden-Laser Aufbau, Strahlcharakteristik,

7. Laser-Moden

longitudinale und transversale Moden (Hermite-,

Laguerre-Polynome), TEM00, Gaußstrahl,

Als Quellen für die Vorbereitung kann der Anhang und das Quellenverzeichnis dienen. Neben

einem Überblick über die oben genannten Themengebiete sollten auch die Testatfragen (die

sich auf der nächsten Seite befinden) gezielt vorbereitet werden.

WICHTIGER HINWEISE ZUM UMGANG MIT DEN LASERN IM PRAKTIKUM

Die verwendeten Laser haben eine Leistung < 1,5 mW mit einer Wellenlänge um 630 -

650 nm und werden der Laserschutzklasse 2 zugeschrieben. Es ist die Verwendung von

Schutzbrillen somit nicht dringend erforderlich. Dennoch sollte nie direkt oder mit

optischen Instrumenten in den Strahl geblickt werden. Durch die Fokussierung im Auge

sollte allerdings bei der Kantenblendenmessung durch entstehende Reflektionen eine

Justierbrille getragen werden. Die Feinjustage der verwendeten Umlenkspiegel /

Strahlaufweitung sind nur auf Anweisung zu verändern.

Am Praktikum darf nur teilnehmen, wer die jährliche Sicherheitunterweisung zum Thema

Laserstrahlung erhalten hat. Teilnehmer des Praktikums werden aufgefordet, selbst darauf

zu achten, dass sie geeignete Schutzausrüstung (insbesondere Schutzbrillen) verwenden.



3. Antestat und Vorbesprechung

Bitte bereiten Sie die Beantwortung zu folgenden Fragen in Kurzreferaten vor:

1- Beschreiben Sie kurz die beiden verwendeten Lasertypen mit den

charakteristischsten Eigenschaften. Verwenden Sie dabei die Begriffe „slow axis“

und „fast axis“.

2- Damit der Diodenlaser als „Pointer“ verwendet werden kann, wird sein Strahl

kollimiert. Wie kann man auch nach der Kollimation noch fast und slow axis

erkennen?

3- Erklären Sie die Begriffe Strahlparameterprodukt und Beugungsmaßzahl M2. Wie

kommt ein von eins verschiedener Wert für M2 zustande? Welchen Wert für M

2

erwarten Sie für den He-Ne-Laser, welchen für den Dioden-Laser?

4- Wie beeinflusst die Strahlqualität die Rayleigh-Länge? Wie bestimmt man die

Rayleigh-Länge zr ?

5- Beschreiben Sie die hier verwendete Methode zur Bestimmung der

Beugungsmaßzahl M2. Welche Methoden werden noch eingesetzt?

6- Die Norm DIN ISO 11146-1-31 gibt vor:

An mindestens 10 Punkten der Kaustik jeweils den Strahlradius bestimmen.

5 dieser Punkte müssen innerhalb der Rayleighlänge liegen. Die anderen Messorte

sollten weiter als 2 Rayleighlängen vom Fokusort entfernt liegen. Welches ist der

physikalische Grund für diese Festlegungen?

7- Erklären Sie die Begriffe longitudinale Moden und transversale Moden? Wie

unterscheiden sich longitudinale Wellen und longitudinale Moden?

8- Lesen Sie die beiden Stellungen der Mikrometerschraube an der schwarzen

Skalierung richtig ab!

Abbildung 1: Verschiedene Einstellungen an der Mikrometerschraube

1 DIN EN ISO 11146 - Teil 1 (April 2005): Laser und Laseranlagen – Prüfverfahren für

Laserstrahlabmessungen, Divergenzwinkel und Beugungsmaßzahlen



4. Durchführung des Praktikums

4.1. Messprinzip, Aufbau und Komponenten

Im Rahmen dieses Versuches sollen die räumlichen Strahleigenschaften von Lasern

quantifiziert werden. Dazu wird über die sogenannte Kantenmethode die Strahlkaustik

vermessen. Laserstrahlung einer TEM00 entspricht einer gaußförmiger Intensitätsverteilung in

der Transversalebene. Das Verhältnis von realem und idealen Strahlparameterprodukt eines

Gaußstrahls wird durch die Beugungsmaßzahl M2 ausgedrückt. Aus den im Praktikum

ermittelten Messdaten soll die Beugungsmaßzahl M2 der beiden verwendeten Laser bestimmt

werden. Zum Vergleich zweier verschiedener Laser-Typen wird ein He-Ne-Laser und ein

handelsüblicher Dioden-Laser verwendet.

Eine der am einfachsten zu realisierenden Methoden einen Gauß-Strahl zu vermessen und

seine Beugungsmaßzahl M2 zu bestimmen ist die Formung einer Strahltaille und deren

Vermessung mit der Kantenmethode, wie es unter [ISO11146, Teil 3] beschrieben ist. Dabei

wird mit einer Kantenblende der Strahl in der x-y-Ebene an verschiedenen z-Positionen

abgetastet. Ein hinter der Blende sitzendes Leistungsmessgerät ermittelt dabei die Leistung in

Abhängigkeit der Position zyx ,, der Schneide (siehe Abbildung 2).

Der verwendete Versuchsaufbau verwirklicht genau dieses Prinzip. So kann man das 2M

eines Lasers bestimmen. Im Versuch werden zwei verschiedene Lasertypen damit untersucht,

ein He-Ne- und ein Dioden-Laser.

Abbildung 2: Schematischer Verfahren der Kantenblendenmethode

I(x) Laser

Kantenblende

Leistungs-

messgerät x

z

y



Die verwendeten Komponenten im Messaufbau sind: Laser, Umlenkspiegel S1-S4,

Aufweitung A, Arbeitslinse AL, Blenden B1-B4, Kantenblende KB und Leistungsmessgerät L.

Die Laserstrahlung wird über vier Spiegel über eine Strahlaufweitung und einer Arbeitslinse

an die Kantenblende bis zu einem Leistungsmessgerät geführt. Der gesamte Aufbau befindet

sich auf einer optischen Platte, wie er im oberen Bild 3 dargestellt ist. Der fest installierte He-

Ne-Laser strahlt dabei über die beiden Spiegel S1 und S2 in die herausklappbare

Strahlaufweitung A. Die Strahlaufweitung ist über ein Galilei-Fernrohr realisiert. Die

Eintrittslinse hat dabei eine Brennweite mm 401 f . Bei der Austrittslinse kann man

zwischen zwei Brennweiten mm 1602 f und mm 2503 f variieren. Es entsteht so ein etwa

vier- bzw. sechsfach größerer Strahlradius. Durch die beiden Blenden B1 und B2 kann der

Laserstrahl exakt durch die Strahlaufweitung zentriert werden. Ist der Strahl nicht in der Mitte

der Linsen justiert können sphärische Aberration und Verzerrungen auftreten. Die Spiegel S1

und S2 müssen nicht verändert werden. Durch die Spiegel S3 und S4 kann der Strahl durch die

beiden Blenden B3 und B4 justiert werden. Die Arbeitslinse AL kann zur Vermessung des

Strahlprofils herausgenommen werden. Die Kantenblende KB kann über eine Schiene in

Richtung der z-Achse verfahren werden. Eine Mikrometerschraube führt die bewegliche

Schneide senkrecht durch den Strahl (Die Schneide ist mit einer Kunststoffschutzkappe

versehen, bitte vorsichtig abnehmen!). Dabei wird mit einem Leistungsmessgerät L die

transmittierte Leistung bestimmt. Als weitere Laserquelle kann eine Laserdiode verwendet

werden. Sie wird zwischen dem He-Ne-Laser und dem Spiegel S1 eingeklappt und ist drehend

gelagert. So kann man ihre Strahlkaustik beliebig in der yx, -Ebene vermessen.

Abbildung 3: Messaufbau

AL

B1 B2

B3

KB

B4

x

z

Laser

L

A

S1

S2 S3

S4



4.2. Aufgaben und Messungen

4.2.1. Messung der Intensitätsverteilungen am Rohstrahl

Dieser Versuchsteil wird mit einer Rasierklinge durchgeführt.

4.2.1.1 Helium-Neon-Laser

Der erste Versuchsteil befasst sich mit der Messung der Intensitätsverteilung des He-Ne-

Lasers mit Vierfach-Strahlaufweitung. Dazu wird zunächst die vierfache Strahlaufweitung in

den Strahl geklappt. Der verbreiterte Strahl kann nun besser zentriert werden. Kontrollieren

Sie ob der Strahl gut zentriert durch Blende B3 und B4 verläuft. Ist dies nicht der Fall, muss

mit den Spiegeln S3 und S4 nachjustiert werden. Beim Justieren wird, in einem iterativen

Verfahren, zunächst mit Spiegel S3 auf Blende B3 und dann mit Spiegel S4 auf Blende B4

zentriert. Bei Bedarf wird diese Prozedur wiederholt. Verläuft der Strahl mittig durch beide

Blenden kann die Arbeitslinse AL zusammen mit der Blende B3 aus dem Strahlengang

genommen werden.

Messen Sie nun die Leistung am Detektor in Abhängigkeit der Kantenposition, an der 0mm-

Markierung in x=0,1mm Schritten. [Hinweis: Der unaufgeweitete Strahl erreicht an der 0

mm – Markierung2 der Laufschiene durch seine Fernfeld-Divergenz 0 einen Radius von ca.

0,74 mm. Der Strahltaillenradius 0w beträgt 0,45 mm]

4.2.1.2 Dioden-Laser

Um den Dioden-Laser zu charakterisieren, positionieren Sie ihn mit dem Drehhalter (in 0°-

Stellung) in den Strahlengang. Der Messaufbau und Ablauf ist derselbe wie beim He-Ne-

Lasers, jedoch wird die Strahlaufweitung nicht verwendet. Ist der Strahl mit den Spiegel S3

und S4 justiert, kann die Blende B3 mit der Arbeitslinse AL entfernt werden.

Bestimmen Sie nun auch für den Dioden-Laser die Leistungsverteilung an der 0 mm –

Markierung der Laufschiene in 0,1 mmx Schritten.

Drehen Sie den Dioden-Laser auf 90° und wiederholen Sie die Messung.

2 Der Beginn der Laufschienenskalierung ist 150 mm von der Arbeitslinse entfernt. Um richtige Werte z.B. für

die Bestimmung der Brennweite der Linse zu erhalten müssen also 150 mm zu der an der Skala gezeigten

Position hinzu addiert werden.



4.2.2. M²-Bestimmung

Dieser Versuchsteil wird mit einem Chopperrad und einer Photodiode durchgeführt.

4.2.2.1 Helium-Neon-Laser

Um die Beugungsmaßzahl 2M des He-Ne-Lasers zu bestimmen wird seine Strahlkaustik

vermessen. Hierfür wird mit Hilfe der Arbeitslinse AL eine Strahltaille des unaufgeweiteten

Strahls produziert. Der Strahl muss auf die Blenden justiert werden.

Die Vermessung der Strahlkaustik wird nun zunächst in 5 Schritten zu je 30 mm entlang der

optischen Achse durchgeführt Im Bereich um den Fokus werden anschließend 5 Messungen

mit je 5 mm Abstand entlang der Achse aufgenommen. Dazu werden jeweils die 10-90-Werte

und die statistische Unsicherheit der Messung aufgenommen. In Anhang 6.4 wird die

Auswertung der ermittelten Daten beschrieben.

4.2.2.2 Dioden-Laser

Bei der M2-Messung des Dioden-Lasers wird wie unter 4.2.2.1 durch Einsetzen der

Arbeitslinse AL eine Strahltaille erzeugt. Bestimmen Sie zunächst die Winkellage des

Dioden-Lasers und die Fast und Slow-Achse zu vermessen. Die Strahlkaustik wird im Bereich

z = 30 … 70 mm in 2 mm Schritten vermessen. Für die Fast-Achse sind zusätzlich 2

Messwerte um das Minimum mit aufzunehmen.



5. Ausarbeitung der Versuchsergebnisse

Besonderer Wert wird auf die physikalisch sinnvolle Aufbereitung der Ergebnisse, anpassen

geeigneter Modellfunktionen und hinreichende Genauigkeiten der Auswertung gelegt.

Weniger wichtig sind lange Beschreibungen. Zu der Ausarbeitung gehört auch die schriftliche

Beantwortung der Antestat-Fragen.

5.1. Helium-Neon-Laser

5.1.1. Bestimmung der Intensitätsverteilung des Rohstrahls

I. Die ermittelten Messdaten ergeben eine Error-Funktion. Passen Sie eine geeignete

Modell-Kurve an und bestimmen Sie daraus die radiale Leistungsverteilung des He-

Ne-Lasers. Beschreiben Sie exakt wie Sie dabei vorgehen. Abbildung 4 zeigt eine

typische Ableitung der Messergebnisse, welche das Intensitätsprofil des Strahls

wiedergibt.

II. Ermitteln Sie den resultierenden Strahlradius w und die tatsächliche Strahlaufweitung.

Und bestimmen Sie aus den Fitparametern.

Abbildung 4: Leistungen der Kantenpositionen, genäherte Transmissionsfunktion und Ableitung der

Messwerte



5.1.2. Bestimmung des M2s

I. Tragen Sie die Strahlradien in Abhängigkeit von z auf.

II. Mit Hilfe einer Modellfunktion w z kann der Radius im Fokus und die Fernfeld-

Divergenz des Lasers ermittelt werden. Bestimmen Sie und aus der

Anpassung.

III. Bestimmen Sie das Strahlparameterprodukt SPP und den zugewiesenen Wert für die

Beugungsmaßzahl M2.

IV. Berechnen Sie aus den gewonnenen Werten die Rayleigh-Länge Rz .

V. Ermitteln Sie die Spitzenintensität .

VI. In welchen Abstand zur Linse entsteht der Fokus des Laserstrahls ( ) und warum fällt

dieser nicht mit der Position der Brennweite zusammen.

5.2. Dioden-Laser

5.2.1. Bestimmung der Intensitätsverteilung am Rohstrahl

I. Erstellen Sie eine Graphik für die radiale Leistungsverteilung für beide Strahlachsen

analog zum He-Ne-Laser.

II. Bestimmen Sie die resultierenden Strahlradien , der beiden Strahlachsen, an der 0

mm – Markierung der Laufschiene. Verwenden Sie dazu jeweils die geeignetste

Methode.

5.2.2. Besimmung des M2s

I. Tragen Sie die Strahlradien in Abhängigkeit von z für beide Strahlachsen auf.

II. Bestimmen Sie analog zum He-Ne-Laser den Radius im Fokus und die Fernfeld-

Divergenz für beide Achsen. Wie groß ist der Abstand der beiden „Brennpunkte“?

III. Bestimmen Sie in beiden Fällen die Beugungsmaßzahlen 2

xM und2

yM . Ermitteln Sie

daraus das effektive2

effM.

IV. Bestimmen Sie für beide Achsen die Rayleigh-Längen Rxz und Ryz

.

V. Bestimmen Sie graphisch den Ort an den beiden Achsen den gleichen,

minimalen Strahlradius und berechnen Sie dort die durchschnittliche

Intensität . Welche Form hat der Strahl an der Stelle , und .



Anhang

5.3. Der Helium-Neon-Laser

Der He-Ne-Laser ist einer der gebräuchlichsten Laser im unteren Leistungsbereich. Er hat

typische Leistungen von weniger 1 mW bis mehreren 10 mW und besitzt einen Wirkungsgrad

von einigen Promillen. Als Justierlaser sind vor allem He-Ne-Laser um 1 mW in Gebrauch.

Häufig wird nur die rote Emissionslinie mit ca. 633 nm genutzt. Sein Spektrum reicht

allerdings von infraroten über roten, orangen, gelben, bis hin zu grünen Linien. In Bild 5 sind

mögliche Laserübergänge dargestellt.

Abbildung 5: Termschema nach Paschen eines He-Ne-Lasers. [Eichler, S.68]

Farbe

[nm]

Übergang

nach Paschen

Leistung

[mW]

Δf

MHz

Verstärkung

%/m

Infrarot 3391 3 s2→3p

4 > 10 280 10000

Infrarot 1523 2 s2→2 p

1 1 625

Infrarot 1153 2 s2→2 p

4 1 825

Rot 640 3 s2→2 p

2

Rot 635 3 s2→2 p

3

Rot 632,8 3 s2→2 p

4 > 10 1500 10

Rot 629 3 s2→2 p

5

Orange 612 3 s2→2 p

6 1 1500 1,7

Orange 604 3 s2→2 p

7

Gelb 594 3 s2→2 p

8 1 1600 0,5

Grün 543 3 s2→2 p

10 1 1750 0,5

Tabelle 1: Wellenlängen, Übergänge, Leistungen, Linienbreiten Δf und Verstärkung eines He-Ne-Lasers.

[Eichler, S.70]



Um die Emission eines He-Ne-Lasers zu verstehen, muss man einen Blick auf sein

Termschema werfen. Tabelle 1 zeigt alle möglichen Übergänge nach Paschen mit ihren

Strahlungsleistungen und Wellenlängen.

In Bild 5 ist nur das Termschema für Niveaus eingezeichnet, die für die Anregungs- und

Strahlungsprozesse des Laserbetriebs bei 632,8 nm von Bedeutung sind. Um die s-Zustände

des Heliums anzuregen, sind Elektronenstöße nötig. Die Zustände 21S0 und 2

3S1 des Heliums

sind metastabil. Hier sind also keine optischen Übergänge möglich. Durch Atomstöße der

angeregten Helium-Atome mit den Neon-Atomen werden die Energien an die Niveaus des

Neons übertragen und die Helium-Atome fallen in den Grundzustand zurück. [Eichler, S.69]:

ENeHeNeHe ** . (1)

Beide Stoßprozesse bilden so die Besetzungsinversion im Neon. Wobei der überschüssige

Energiebetrag E beim Stoß zweiter Art 0,05 eV beträgt und in kinetische und thermische

Energie umgesetzt wird. Da die Lebensdauern der s-Zustände mit ca.100 ns etwa 10 mal

höher als die der p-Zustände sind, spielen diese ein größere Rolle für die Lasertätigkeit. Der

intensitätsstärkste Laserübergang liegt bei 632,8 nm und geschieht durch einen 42 p2s3

Übergang. Das untere Niveau zerfällt dabei in ca. 10 ns in das 1s-Niveau. In der Gasentladung

kollidieren dann Atome in diesem Zustand mit Elektronen. Dadurch verringert sich die

Besetzungsinversion und die Laserleistung begrenzt sich. Das Entladen vom 1s-Niveau

geschieht über Stöße der Neon-Atome mit der Wand des Lasers.

Abbildung 6: Aufbau eines He-Ne-Lasers. [Eichler, S.71]

In einer Gasentladung bei etwa 2 kV und 5 – 10 mA werden die Elektronen für den

Startprozess erzeugt. Um optimale Wirkungsgrad für den Übergang bei 632,8 nm zu erzielen,

ist ein Druck p berechnet durch mmPa 500 Dp , mit D als Rohrdurchmesser, nötig.

Das Mischungsverhältnis von Helium zu Neon beträgt ca. 5:1. Der Auskoppelspiegel muss

wegen der relativ geringen Verstärkung von wenigen Prozent pro Resonatorumlauf einen

hohen Reflexionsgrad von etwa 98 % aufweisen. Über eine optionale Brewsterplatte kann

man lineare Polarisationszustände des Laserlichts erreichen.



5.4. Der Dioden-Laser

Bei dem im Versuch verwendeten Dioden-Laser handelt es sich um einen einfachen

Kantenemitter. Laserdioden sind im einfachsten Fall ein pn-Übergang mit zwei glatten

Endflächen, an den eine Spannung angelegt wird. Durch überschreiten des Schwellstromes

erzeugte man eine Besetzungsinversion, die dann zur stimulierten Emission führt. [Hering, S.

77f]

Generell strahlt die aktive Zone in alle Richtungen ab. Jedoch bilden die Endflächen des pn-

Übergangs zum Äußeren Medium einen Spiegel, die einen Resonator bilden. Die aktive Zone

besitzt einen höheren Brechungsindex (z. B. nGaAs ≈ 3,4) als das äußere Medium, oftmals Luft

(nLuft ≈ 1,0) oder Glas (nGlas ≈ 1,5). Nach den Fresnel’schen Gleichungen ergibt sich so ein

Reflexionsgrad von etwa 0,3 an den Endflächen [Hecht, S.192-207]. Diese Reflexivität ist

aber ausreicht um eine genügende Güte des Resonators zu erzeugen. Um die Leistung und die

Abstrahlrichtung zu optimieren wurden zu den beschriebenen Homostrukturen, Hetero- bzw.

Doppel-Heterostrukturen entwickelt.

Abbildung 7: Schichtensysteme für Laserdioden. Links: Einfache Homostruktur. Mitte: Gewinngeführte

Laserdiode. Rechts: Doppel-Heterostrukturen erzeugen eine indexgeführte Verstärkungszone. [Meschede,

S. 350]

Durch die Tatsache, dass die Endflächen nur eine geringe Reflektivität aufweisen, können

einige longitudinale Moden anschwingen. Durch die Temperaturabhängigkeit der Brechzahl

sind auch die Wellenlängen der Moden temperaturabhängig. Aus diesem Grund werden

Dioden-Laser meist mit Peltierelementen temperaturstabilisiert.

Der Querschnitt des emittierten Lichtkegels entspricht beugungsbedingt meist einer Ellipse.

Dies findet seine Ursache durch die räumliche Ausdehnung der aktiven Zone, welche an der

emittierenden Endfläche eine Abmessung von ca. 1.5µm x 100µm hat. Entlang der kurzen

Seite der emittierenden Fläche, „fast axis“ (y-Achse in Abbildung 8), ergibt sich ein

beugungsbegrenzter, schnell divergierender Laserstrahl. Dagegen ist entlang der Seite

senkrecht dazu (x-Achse in Abbildung 8) der Strahl langsam divergent und wird daher „slow

axis“ genannt. Die sogenannten Einzelemitter oder Streifenemitter („single emitter“ oder

„stripe“) könne Ausgangsleistungen bis zu ca. 10W liefern (Stand 2010). Um einen runden

Strahlquerschnitt mit Laserdioden zu erzeugen wird daher eine Kollimationsoptik in den

Strahlengang gebracht.3

3 Weiterführende Informationen zu diesem Kapitel findet man unter anderem in [Meschede, Kap. 9.2] oder

[Hering, Kap. 1.5].



Abbildung 8: Beugungsbedingter Astigmatismus eines Kantenemitters. [Hering, S. 82]

Bei dem im Versuch verwendeten Dioden-Laser beträgt die Wellenlänge λ ca. 650 nm.

Betrachtet man die emittierende Seite als Apertur für den Laserstrahl, so ergibt sich

beispielsweise für das erste Beugungsmaximum:

mrad

mrad

dn

5,6m10100

m10650arcsin

710m101

m10650arcsin

sin

6

9

||

6

9

(2)

Um die starken Unterschiede der Austrittswinkel zu minimieren, wird eine Kollimationsoptik

eingesetzt. Dies geschieht über asphärische Linsen oder Zylinderlinsen. Da die Korrektur oft

nicht optimal ist bleibt ein astigmatischer Strahl. In Folge dessen erhält man für die

Beugungsmaßzahl in x- und y-Richtung unterschiedliche Werte.

Eine weitere Bauform für Laserdioden sind so genannte Vertikalemitter (VCSEL). Diese

Dioden emittieren senkrecht zum pn-Übergang. Der Resonator wird dabei über dielektrische

Spiegel gebildet. So kann ein hoher Gewinnfaktor erzielt werden. Ein weiterer Vorteil dieser

Konstruktion ist die Möglichkeit kreisrunde Strahlaustrittsöffnungen zu erzeugen.

Hohe optische Leistungen können durch eine Kombination von Einzelemittern erzielt werden.

Befinden sie sich Diode an Diode in einer Reihe, so spricht man von einem „array“. Mehrere

„arrays“ übereinander bilden einen sogenannten „stack“. Hiermit lassen sich auch

Ausgangsleistungen von mehreren 1000 Watt erzielen.



5.5. Gauß’sches Strahlenbündel

5.5.1. Grundlagen zum Gauß’schen Strahlbündel

Das Gauß’sche-Strahlbündel ist eine besondere Form der Ausbreitung von Licht. Es

bezeichnet eine Wellenfunktion, die eine Lösung der Helmholtz-Gleichungen ist. Eine

mögliche Lösung der paraxialen Helmholtz-Gleichung ist die parabolische Welle

(3)

mit

(

),

wobei die Näherung gemacht wird, dass sich die Amplitude viel langsamer ändert als die

Phase. Bei allen weiteren Betrachtungen wurde nicht auf die zeitliche Änderung des el. Feldes

eingegangen (der -Term fällt weg). Für die oberen Gleichungen wurde das

Zylinderkoordinatensystem verwendet bei dem der Radius ist. [Saleh, Teich]

Wird in die parabolischen Welle nun z durch ersetzt, wobei zR die Rayleigh-

Länge ist, erhält man die Grundform des Gauß´schen Strahls

(

) (4)

Der komplexe Strahlparameter q(z) kann in Real- und Imaginärteil zerlegt werden. Der

Realteil beschreibt den Radius zR der Wellenfront und der Imaginärteil den Strahlradius

zw .

zwk

j

zRzz

jz

zz

z

jzzzqR

R

RR

22222

2

)(

111

(5)

Somit ergibt sich die alternative Wellengleichung für den Gauß’schen Strahl in der

Grundmode TEM00:

(

)⏟

[ ⏟

(

)

⏟

⏟

] (6)

0w bezeichnet den minimalen Strahlradius und A0=A/jz0 die neu eingeführte Amplitude. Die

Größen zw und zR sind dabei der Strahlradius und der Krümmungsradius der

Wellenfront an der Stelle z . Der 1. Teil des komplexen Terms beschreibt eine ebene Welle,

Teil 2 die parabolische Verzerrung der Phasenfronten und Teil 3 die Verschiebung der

Phasenfronten (Phasenretardierung).

Der Krümmungsradius der Wellenfront wird berechnet durch

2

2

1z

zzzR R

,

(7)



und besitzt ein Minimum bei Rzz . Dies bedeutet, dass die stärkste Krümmung der

Wellenfront eines Gauß’schen Strahls bei der Rayleigh-Länge zR ist (siehe Abbildung 9).

Abbildung 9: Gauß’scher Strahl, der sich in z-Richtung ausbreitet. Der Divergenzwinkel ist über die

Asymptoten nur im Fernfeld (>4zR) definiert. Die Wellenfront mit dem kleinsten Krümmungsradius ist

bei der Rayleigh-Länge eingezeichnet. [Pedrotti, S. 649]

Der Strahlradius zw in Ausbreitungsrichtung z ist gegeben durch:

2

2

02

222

2 11)()(RR

R

R

R

z

zw

z

zzzw

z

zzzw

. (8)

Die Rayleigh-Länge ergibt sich für den Gaussschen Strahl dabei aus

Zr=w0/theta

(9)

Der Gauß’sche Strahl ist somit immer durch zwei Parameterpaare definiert:

z, dem Abstand von der Strahltaille und

w0 (bzw. Rz ) dem Radius der Strahltaille.

oder durch:

R(z); dem Krümmungsradius des Wellenfronten an der Stelle z und

w(z), dem Strahlradius an der Stelle z.

Bei der Ausbreitung von einem Gauß’schen Strahlenbündel wird zwischen Nahfeld und

Fernfeld unterschieden. Im Nahfeld, d.h. in der Umgebung der Strahltaille, ähnelt es einer

ebenen Welle. Weiter entfernt von der Strahltaille ( Rz4 ) lässt sich der Strahl in guter

Näherung mit einer sphärischen Welle beschreiben. Durch eine Betrachtung von

kann



eine Fernfelddivergenz θ0 definiert werden. Die Fernfelddivergenz 0 kann geschrieben

werden als

Rz

w

w

0

0

00tan

. (10)

Abbildung 10: Drei Intensitätsverteilungen mit dem dazugehörigen Querschnitt eines Gauß-Strahls an

den Orten z=0 , z1=zR und z2=2zR .Beim Abstand von einer Rayleigh-Länge vergrößert sich der

Strahlradius um den Faktor √ .

Bei Betrachtung eines Gauß´schen Strahls im Fernfeld, wächst der Strahlradius mit der

Entfernung von der Strahltaille (z) linear an. Somit nimmt die Intensität mit dem Quadrat der

Entfernung ab.

Aus dem Produkt von Taillenradius w0 und Fernfelddivergenz θ0 ergibt sich eine der

wichtigsten Kennzahlen eines Laserstrahls, das Strahlparameterprodukt (SSP). Diese ergibt

sich aus

.00 constwSPP

(11)

Das heißt, dass das Produkt aus dem minimalen Strahlradius 0w eines Gauß’schen Strahls

und der damit verbundenen Divergenz 0 eine Konstante ergibt. Diese ist bestimmt durch den

Quotienten aus der Wellenlänge des Lasers und der Kreiszahl . Das SPP bleibt erhalten

bei linearen Transformationen.

5.5.2. Intensitätsprofil eines Gauß’schen Strahls

Die Lösungen der Wellengleichung bilden die Hermite’schen und Laguerre-Polynome. Die

einfachste Lösung wird als Grundmode, TEM00 (transversal elektro-magnetisch), bezeichnet

und entspricht einem Gauß’schen Strahl. Wollen wir die Intensität beziehungsweise die

Leistungsverteilung eines Gauß’schen Strahls bestimmen, so muss man bei der im Strahl

beinhalteten Energie beginnen [Pedrotti, S. 248-253 und Eichler, Kap. 1.2]. Mit den

022 w



Realteilen der Maxwell’schen Gleichungen folgt für die Gesamtenergiedichte w einer

elektromagnetischen Welle:

magel www (12)

mit 2

2

2

1

2

1

Hw

Ew

mag

el

(13)

Die Gesamtintensität (eines Volumenelements) hängt nicht nur von seiner in sich befindlichen

Energiedichte ab, sonder auch von dessen Transportgeschwindigkeit, was in unserem Falle

die Lichtgeschwindigkeit c ist. Es ergibt sich hier:

cwI (14)

Verbindet man nun den Zusammenhang, dass das elektrische Feld dieselbe Energiedichte wie

das magnetische Feld beinhaltet, da:

22 HE

c

EEcH

(15)

so ergibt sich für die elektromagnetische Welle:

22 ~ EIEcI (16)

Die Intensität die sich senkrecht zum magnetischen wie elektrischen Feld, also entsprechend

dem Kreuzprodukt HE

ausbreitet wird als Poynting-Vektor S

bezeichnet.

BEcHES

2 (17)

Für optische Detektoren ist jedoch nur die über viele Perioden gemittelte mittlere Intensität I

ausschlaggebend.

2ˆ2

1ˆˆ2

1EcHESI

(18)

In der Verwendung der komplexen Schreibweise ist die Intensität gegeben durch:

**

**

ˆˆ2

1ˆˆ1

2

1

ˆˆ2

1ˆˆ2

1

EEEEI

EEcHESI

(19)

Befindet sich die elektromagnetische Welle im Vakuum, so wird 7,376/ 00 als

Wellenimpendanz des Vakuums bezeichnet.



Die Grundmode eines Laserstrahls, dessen Intensitätsverteilung zrI , senkrecht in einer

Ebene zur Strahlrichtung z liegt, weist ein radialsymmetrisches gaußförmiges Profil auf

(siehe Abbildung 11):

| |

⏟

(

)

⏟

(

). (20)

Abbildung 11: Intensitätsverteilung eines Gauß´schen Strahls

Aus dem Intensitätsprofil ist ersichtlich, dass die maximale Intensität abhängt von der

Entfernung z der Phasenfront von der Strahltaille,

, (21)

somit nimmt für z≫zR die maximale Intensität mit ab, was dem Abstandsquadratgesetz

einer Kugelwelle entspricht.

Die von einem Gauß´schen Strahlenbündel übertragene Leistung wird durch das

Flächenintegral senkrecht zur Ausbreitungsrichtung berechnet, wobei die Grenze zur

Berechnung der Gesamtintensität eines Gauß-Strahls bei r ∞ liegt.

∫

∫

⏟

(22)

Zum Berechnen der transmittierten Leistung durch eine Lochblende, wird lediglich die

Grenze des Integrals an die Größe der Lochblende angepasst und integriert.

Es gibt mehrere Möglichkeiten das Intensitätsprofil eines Laserstrahls zu bestimmen. Am

einfachsten zu realisieren ist dabei die Methode der beweglichen Schneide (Kantenblende).

Um die radiale Leistungsverteilung zu bestimmen, muss man den Strahl in einer x-y-Ebene

senkrecht zur Ausbreitungsrichtung abtasten und die ermittelte Transmissionskurve ableiten.



Die Kantenmethode lässt sich mathematisch am einfachsten in kartesischen Koordinaten

beschreiben. Hierfür wird die radiale Komponente r durch √ ersetzt. Daraus

ergibt sich dann die Formel zur Berechnung der Leistung im kartesischen Koordinatensystem

mit

∬ ∬

( )

, (23)

wobei hier der Übersicht halber der Strahlradius an der Stelle z durch ein einfaches

abgekürzt wurde.

Zur Bestimmung der transmittierten Leistung an einer Kantenblende vorbei, wird davon

ausgegangen, dass die Kantenblende vom negativen Bereich eingeschoben wird. Dabei wird

diese entlang der x-Achse verschoben, somit ergibt sich folgendes Integral mit den

entsprechenden Grenzen

∫

∫

( )

Zur Lösung des Integrals bedient man sich der Fehlerfunktion erf (engl. error function), die

folgendermaßen definiert ist

√ ∫

√ ∫

(25)

und deren Wertebereich für jede reelle Zahl von z zwischen Null und Eins liegt.

Durch folgende Substitution

√

, (26)

√

und (27)

√

(28)

und das Erweitern mit

√ √ ergibt sich nachfolgende Form. Formt man das y-Integral um

entsteht direkt eine Fehlerfunktion mit dem Argument unendlich, die eins ergibt.

⏟

√ ∫

∞ ⏟

(29)

Um nun die Fehlerfunktion anwenden zu könne, muss das Integral so umgestellt werden, dass

die Grenzen mit denen der Fehlerfunktion übereinstimmen. Deshalb wird einmal von der

unteren Grenz bis Null und zum Anderen von Null bis unendlich integriert. Beim Vertauschen

der Grenzen wird das Vorzeichen des Integrals umgedreht.

√ [∫ ∫

]

√ [∫

∫

] (30)



[ (

√

)] (31)

Ein Transmissionsfunktion erhält man wenn die transmittierte Leistung durch die maximale

Leistung P0 geteilt und über die Kantenposition aufgetragen wird. Da der Strahlmittelpunkt

meist nicht an der Kantenstellung x=0 ist wird noch ein Fitparameter X zur Korrektur

eingeführt. Die Transmissionsfunktion ist somit:

∫ ∫

[ (

√

)]

(32)

Abbildung 12: Transmissionskurve einer Kantenblende. Die Koordinatendifferenz zwischen dem 16%-

und dem 84%-Wert der gemessenen Intensität liefern den Strahlradius.

Bei der Bestimmung der Strahlkaustik entlang der Ausbreitungsrichtung z genügt es jedoch,

wenn man nur zwei bestimmte Leistungswerte an jeder z-Stellung bestimmt und deren

Differenz anträgt. Wenn jeweils auf die Werte der transmittierten Leistungen von

gestellt

wird, ist die Differenz der x-Werte der Strahlradius an dieser Stelle.

Die prozentualen Leistungen der beiden Punkte ergeben sich zu:

[ (

√ )]

(33)

[ (

√ )] (34)

5.5.3. Abweichungen vom idealen Gauß’schen Strahl

Ein Laserstrahl kann aus verschiedenen Gründen von einem idealen Gauß-Profil abweichen:

durch räumliches Überpumpen

zu geringe Aperturverlusten für höhere Moden



Verkleinerung des Radius der TEM00 Modedurch thermische Linse

mechanische Dejustage, Moden mit höherer Divergenz erfahren größere Verstärkung

Streuung an Verschmutzung und Schäden

Man kann von einem Anschwingen höheren transversalen Moden ausgehen. Nimmt man an,

dass der Laserstrahl bei einer Fokussierung immer noch den gleichen minimalen Strahlradius

besitzt, so hat er eine größere Divergenz als das ideale Gauß-Profil. Analog besitzen

höhere Moden einen größeren Taillenradius bei gleicher Divergenz. Um diese Eigenschaft zu

charakterisieren wird eine Größe 2M nach [ISO 11146] eingeführt. Die Beugungsmaßzahl 2M kann Werte 1 annehmen. Ein idealer Gauß-Strahl besitzt 12 M . Man kann so nun ein

korrigiertes Strahlparameterprodukt einführen:

(35)

Die Beugungsmaßzahl ist das Verhältnis des realen zum idealen Strahlparameterprodukt:

(36)

1

1w

;

1

2

2w

M ;

Zur Bestimmung von müssen die Strahldurchmesser entlang einer Strahltaille vermessen

werden und sowohl als auch durch Kurvenanpassung bestimmt werden.

Betrachtet man beispielsweise zwei Laserstrahlen mit gleichen Strahlradien aber

verschiedenen 2M , die mit derselben Linse fokussiert werden, so hat der Strahl mit kleinerem 2M eine kleinere Strahltaille im Fokus der Linse. Der Gauß-Strahl hat bei einer Fokussierung

den kleinsten Fokusdurchmesser (beugungsbgrenzet).

5.5.4. Höhere Moden

Oftmals liegt die Laserstrahlung nicht in einer reinen gaußförmigen Leistungsverteilung

senkrecht zur Ausbreitungsrichtung vor. Es können verschiedene höhere Moden entstehen,

die, wie sie in Abbildung 1Abbildung 14 gezeigt ist, recht stark vom Gauß’schen

Ursprungsbild abweichen können. Kartesische Moden werden durch die so genannten

Hermite’schen Polynome beschrieben, die radialsymmetrischen dagegen von den

Laguerre’schen Polynomen. Der ideale Gauß-Strahl befindet sich in der so genannten TEM00-

Mode. Die beiden Indizes geben dabei die Anzahl der Minima innerhalb des Gauß-Strahls in

x- beziehungsweise y-Richtung an.

w(z)

z

ZR1

ZR2 M²>1

M²=1

Abbildung 13: Erhöhung der Divergenz bei nicht exakt

gaußförmigen Strahlprofilen. Zur besseren Ansicht mit gleich

großen Strahltaillen dargestellt.



Abbildung 14: Verschiedene Intensitäts-Profile für transversal Moden eines Laserstrahls. Links-Hermit-

Moden, rechts: Laguerre-Moden. Die Indizes kennzeichnen die Anzahl der Nullstellen oder Knoten. Als

Grundmode wird TEM00 bezeichnet und entspricht dem idealen Gauß’schen Strahl. [Pedrotti, S. 667]

Die Beugungsmaßzahl 2M ist bei der Beschreibung realen Straheln sehr hilfreich.

Nachfolgende Formulierungen zu 2M werden nach [ISO11146, Teil 3, S. 8] aufgeführt. Es

können bei Messung der Kaustik in x- und y-Richtung der auf der Ausbreitungsrichtung z

senkrecht stehenden Achsen verschiedene 2M -Werte auftreten. Man kann deshalb ein

effektives 2

effM einführen:

222

yxeff MMM . (37)

Für eine TEM00 –Mode gilt 11 2222 MMMM effyx .

Für Hermite-Strahlen können die 2M -Werte nach dem ISO-Verfahren der Momente

berechnet werden. Für TEMm0-Strahlen mit m = 0, 1, 2, … ergeben sich folgende

Zusammenhänge:

12 mM x und 12 yM (38)

Hier steht m für die Anzahl der Moden. Man kann ebenso einen einfachen intrinsischen

Astigmatismus a bestimmen. Dieser gibt an, in wie stark sich 2

xM und 2

yM unterscheiden.

222

2

1yx MMa . (39)

5.5.5. Abbildungseigenschaften von Gauß’schen Strahlen

Laserstrahlen sind in der Regel paraxiale Strahlen und es gelten die Regeln der Gauß’schen

Optik. Es zeigen sich nach [Hodgson, S. 87f] hier einige Unterschiede zur Strahlenoptik.

Die Brennweite einer Linse ist für Gauß’sche Strahlen nicht exakt durch die Gleichung aus

der linearen Optik zu beschreiben; es fügt sich noch ein Korrekturterm an:

fzzzz

z

fffzzR

R

22

211

'

11 (40)



Abbildung 15: Abbildungen von Strahltaillen Gauß’scher Strahlen nach Gleichung oben aufgelöst nach

.

Es treten im Gegensatz zur Strahlenoptik drei Fälle ein, bei denen die Bildweite gleich der Brennweite

wird, nämlich wenn die Gegenstandsweite , -∞ oder +∞ ist. [Hodgson, S87f]

5.5.6. Fokussierung von Gauß´schen Strahlen

Bei vielen Anwendungen des Lasers ist es notwendig, den Laserstrahl auf einen möglichst

kleinen Fleck zu fokussieren. So wird die Leistungsdichte AP / erhöht. Sehr kleine

Taillenradien '

0w können mit kleinen Brennweiten f und/oder großen Gegenstands-

Taillenradien 0w erreicht werden. Will man also sehr kleine Foki erzielen, muss der

Strahldurchmesser D=2w0 am Ort der Linse möglichst groß werden (evtl. durch

Strahlaufweitung). Es gilt für den Fokusradius nach [Eichler, S. 236f]:

D

f

w

f

zfz

fww

R

2

02

0

2

0'

0 . (41)

Die Lage des fokussierten Laserstrahls sitzt jedoch nicht exakt im Brennpunkt der Linse,

sondern seine Lage ist etwas weiter von der Linse entfernt. Hier werden erst Strahltaillen, die

sich im Unendlichen befinden auf Strahltaillen im Brennpunkt der Linse abgebildet. Die

Abweichung der Fokuslage kann umgeformt aus Gleichung 40 beschrieben werden mit:

22

2

Rzz

fzf

.

(42)

Zur Erzielung kleiner Fleckdurchmesser muss der Strahldurchmesser am Ort der Linse

möglichst groß sein. Der kleinste erreichbare Fleckdurchmesser entspricht etwa der



Wellenlänge . Ein realer Laserstrahl mit lässt sich auch einen Taillenradius von

fokussieren.

Um möglichst große Strahldurchmesser und damit die Divergenz zu erniedrigen, werden

Teleskope eingesetzt. Die Vergrößerung V eines Zwei-Linsen-Teleskops (Kepler, Galilei)

ergibt sich durch das Verhältnis der Brennweiten 1f und

2f . Aus dem Strahlensatz und dem

Strahlparameterprodukt folgt:

Vf

f

VVww

ww

2

1

1212

2211

. (43)

5.6. Messung mit Chopper-Rad

Die Kantenblende wird hierfür durch ein Chopper-Rad mit 10 Langlöchern und das

Leistungsmessgerät durch eine Photodiode ausgetauscht. Diese wird an ein PC-Oszilloskop

angeschlossen. Dadurch kann die Anstiegszeit am Oszilloskop abgelesen werden.

Um den Strahldurchmesser zu erhalten muss die Anstiegszeit über die

Rotationsgeschwindigkeit umgerechnet werden.

(44)

Da jedoch das PC-Oszilloskop die Anstiegszeit bei 90/10% der maximalen Leistung misst,

muss noch ein Korrekturfaktor berücksichtigt werden. Dafür wird die Formel 31 nach der

Fehlerfunktion aufgelöst.

(√

) (45)

Werden nun die Transmissionswerte und eingesetzt ergeben sich folgende

Argumente der Fehlerfunktion:

√

(46)

√

(47)

Durch subtrahieren dieser Argumente ergibt sich folgende Korrektur:

(48)

Wird dies berücksichtigt, muss die Formel 44 wie folgt korrigiert werden.

(49)

Bei der Frequenz des Chopper-Rad muss beachtet werden, dass die Anzeige schon die 10

Langlöcher des Chopper-Rads mit berücksichtigt. Da jedoch die Kante der Langlöcher mit der

Frequenz des gesamten Chopper-Rads durch den Strahl fährt, muss die angezeigte Frequenz

noch durch 10 dividiert werden.



6. Literaturverzeichnis

Eichler Eichler Jürgen, Eichler Hans Joachim

Laser - Bauformen, Strahlführung, Anwendungen

Springer-Verlag, 2006, ISBN 3-540-30149-6

Hecht Eugene Hecht

Optik

Oldenbourg-Verlag, 2005, ISBN 3-486-27359-0

Hering Ekbert Hering, Rolf Martin

Photonik


Hodgson Norman Hodgson, Horst Weber

Laser Resonators and Beam Propagation


ISO11146 ISO 11146, Teil 1 bis 3

Lasers and laser-related equipment - Test methods for laser beam widths,

divergence angles and beam propagation ratios

DIN EN ISO 11146 - Teil 1 (April 2005): Laser und Laseranlagen –

Prüfverfahren für Laserstrahlabmessungen, Divergenzwinkel und

Beugungsmaßzahlen

2004

Meschede Meschede Dieter

Optik, Licht und Laser

Vieweg + Teubner, 2008, ISBN 978-3-8351-0143-2

Pedrotti Frank Pedrotti, Leno Pedrotti, Werner Bausch, Hartmund Schmidt

Optik für Ingenieure

Springer-Verlag, 2005, ISBN-10 3-540-22813-6

Röder Ulrich Röder

Skriptum Lasertechnik

Hochschule München, FK06, SS2007

Roths Johannes Roths

Skriptum Grundlagen der Photonik

Hochschule München, FK06, WS2008/09

Eppich Bernd Eppich, Jürgen Eichler, Lothar Dünkel

Die Strahlqualität von Lasern

www.laser-journal.de, Oktober 2004

Saleh Bahaa Saleh, Malvin Teich



Fundamentals of Photonics

Wiley-InterScience, ISBN 0-471-358320

Huber Heinz Huber

Vorlesung Lasertechnik

Hochschule München, FK06, SS2009

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