Randomisierte Algorithmen - Kapitel 2lohrey/RAND/Kapitel2.pdf · Eine randomisierte Strategie für...

Randomisierte Algorithmen

Kapitel 2

Markus Lohrey

Universität Leipzig

http://www.informatik.uni-leipzig.de/~lohrey/RAND

WS 2005/2006

Markus Lohrey (Universität Leipzig) Randomisierte Algorithmen WS 2005/2006 1 / 34

http://www.informatik.uni-leipzig.de/~lohrey/RAND

Spieltheoretische Methoden

Ein Spielbaum ist ein gewurzelter Baum mit folgenden Eigenschaften:

Jedes Blatt ist mit einer reellen Zahl markiert.

Knoten mit gerader (bzw. ungerader) Distanz von der Wurzel sind mitMIN (bzw. MAX) markiert.

Beispiel:MIN

MAX

2 5

MAX

MIN

1 2

MIN

8 3 MAX

4 7

4 Auswertungdes obigenSpielbaums

3

5

2 5

3

1

1 2

3

8 3 7

4 7

4



Hier: 2 Einschränkungen

Blätter sind mit 0 oder 1 beschriftet, d.h. MIN=̂AND und MAX=̂OR.=⇒ AND-OR-BäumeSei Td ,k der Baum mit:

Jedes Nicht-Blatt hat genau d Kinder.Jedes Blatt hat Distanz 2k zur Wurzel.

Zum Beispiel: T3,1 = , =⇒ Td ,k hat d2k Blätter

INPUT: Baum Td ,k und d2k 0/1-Werte für die Blätter ( =⇒ eindeutigerAND-OR-Baum)

Ziel: Werte Wurzel von Td ,k aus. Wir wollen dabei möglichst wenige der0/1-Werte an den Blättern lesen.



Beispiel:AND

OR

0 0

OR

1 1

Nach Lesen dieser beiden Blätter müssen

diese nicht mehr gelesen werden.

Man kann folgendes zeigen: Sei A ein beliebiger deterministischerAuswertungsalgorithmus. Dann gibt es eine 0/1-Beschriftung der Blättervon Td ,k , bei der A alle d2k Blätter lesen muss.

Im Folgenden: d = 2 =⇒ T2,k hat 4k Blätter



Algorithmus randEval

eval(v) % v ist ein Knoten von T2,k

if �v ist ein Blatt� then

return Wert von v

else

Seien v0 und v1 die Kinder von v .Wähle zufällig ein i ∈ {0, 1}.b := eval(vi )if �v ist ein AND-Knoten� then

if b = 0 then return (0)else return eval(v1−i )endif

elseif % v ist also ein OR-Knotenif b = 1 then return (1)else return eval(v1−i )endif

endif

endif



Satz

Für jede 0/1-Beschriftung der Blätter von Td ,k ist der Erwartungswert fürdie Anzahl der gelesenen Blätter in einem Ablauf von randEval höchstens3k .

k = 0 T2,0 = v (ein Blatt)=⇒ Anzahl der auszuwertenden Blätter bei Aufruf eval(v) = 1 = 30

k > 0

AND

OR

T2,k−1 T2,k−1

OR

T2,k−1 T2,k−1

T2,k :



Betrachte zuerst den folgenden Baum:

OR

T2,k−1 T2,k−1

x

y z



1. Fall: eval(x) = 1=⇒ eval(y) = 1 oder eval(z) = 1. Sei z.B. eval(y) = 1. Bei Aufrufeval(x) wird mit Wahrscheinlichkeit 1/2 eval(y) als erstes aufgerufen.

Induktionshypothese: Für v ∈ {y , z}

E [Anzahl der ausgewerteten Blätter bei Aufruf eval(v)] ≤ 3k−1

=⇒ E [Anzahl der ausgewerteten Blätter bei Aufruf eval(x)]

≤ 1/2 · 3k−1 + 1/2 · 2 · 3k−1︸︷︷︸Kosten für den Fall eval(y) = 1,eval(z) = 0 und eval(z) wird als ers-tes aufgerufen.

= 3/2 · 3k−1 (1)

Bemerkung: Wir gehen hier von einem �Worst-Case-Input� aus: eval(y) = 1und eval(z) = 0. Der Fall eval(y) = eval(z) = 1 würde einenErwartungswert für die Anzahl der ausgewerteten Blätter bei Aufruf eval(x)von 3k−1 < 3/2 · 3k−1 liefern.



2. Fall: eval(x) = 0 =⇒ eval(y) = eval(z) = 0 =⇒

E [Anzahl der ausgewerteten Blätter bei Aufruf eval(x)] ≤ 2 · 3k−1 (2)

Nun betrachten wir T2,k :

AND

OR OR

u

v w

1. Fall: eval(u) = 1 =⇒ eval(v) = eval(w) = 1 =⇒

E [Anzahl der ausgewerteten Blätter bei Aufruf eval(u)]

≤ 3/2 · 3k−1︸︷︷︸Kosten für Auswertung von vund w nach (1)

+ 3/2 · 3k−1︸︷︷︸ = 3k−1



2. Fall: eval(u) = 0 =⇒ eval(v) oder eval(w) = 0Sei z.B. eval(v) = 0. Mit Wahrscheinlichkeit 1/2 wird eval(v) als erstesaufgerufen.

E [Anzahl der ausgewerteten Blätter bei Aufruf eval(u)]

≤ 1/2 · 2 · 3k−1︸︷︷︸Kosten fürAuswertungvon v nach

(2)

+1/2(2 · 3k−1︸︷︷︸Kosten fürAuswertungvon v nach

(2)

+ 3/2 · 3k−1︸︷︷︸Kosten fürAuswertungvon w , fallseval(w) = 1,nach (1)

)

= 3k−1 + 3k−1 + 3/4 · 3k−1 < 3k

randEval ist ein Las Vegas AlgorithmusIm Folgenden wollen wir eine untere Schranke für den Erwartungswertder Laufzeit eines beliebigen Las Vegas Algorithmus für ein Problemableiten.


MinMax-Prinzip, Spieltheorie

Beispiel: Stein-Schere-Papier mit 2 Spielern: Roberta, CharlesDarstellung als Gewinn-Matrix:

Strategien von CharlesSchere Papier Stein

Strategien Schere 0 1 -1von Papier -1 0 1

Roberta Stein 1 -1 0

Auszahlungsbetrag von Charles an Roberta (Gewinn für Roberta)

Stein-Schere-Papier ist ein Null-Summen-Spiel:

Gewinn für Roberta = Verlust für Charles



Jedes Null-Summen Spiel kann durch eine (n ×m) Gewinn-Matrix Mdargestellt werden.

n = Anzahl der Zeilen von M = Anzahl der Strategien für Roberta

m = Anzahl der Spalten von M = Anzahl der Strategien für Charles

Mij = Gewinn für Roberta, falls sie Strategie i und Charles Strategie j wählt

Angenommen Roberta wählt Strategie i . =⇒ Sie wird mindestens Gewinnminj Mij machen. =⇒ i ist optimale Strategie für Roberta, falls minj Mij

maximal. Sei VR = maxi minj Mij = Mindestgewinn für Roberta, falls sieoptimal spielt.

j ist optimale Strategie für Charles, falls maxi Mij minimal. SeiVC = minj maxi Mij = Maximalbetrag den Charles zahlen muss, falls eroptimal spielt.

Übung: maxi minj Mij ≤ minj maxi Mij



Bemerkung: Es kann maxi minj Mij < minj maxi Mij gelten. FürStein-Schere-Papier gilt z.B. VR = maxi minj Mij = −1 undVC = minj maxi Mij = 1.

Falls VR = VC , dann existiert ein Paar (ρ, γ) mitminj Mρ,j = VR = VC = maxi Mi ,γ = Mρ,γ . (ρ, γ) ist eine reine Lösung desSpiels oder ein Sattelpunkt.

Beispiel:

1 2 3

1 0 1 22 −1 0 13 −2 −1 0

VR = 0, VC = 0

(1, 1) ist ein Sattelpunkt für dieses Spiel.

Vorsicht: M1,1 = M2,2 = M3,3, aber (2, 2)oder (3, 3) sind keine Sattelpunkte.



Eine randomisierte Strategie für Spieler A ∈ {Roberta,Charles} ist eineWahrscheinlichkeitsverteilung auf den möglichen Strategien von A.

randomisierte Strategie für Roberta: p = (p1, . . . , pn) ∈ [0, 1]n mit∑ni=1 pi = 1

pi = Prob[Roberta wählt Strategie i aus]

randomisierte Strategie für Charles: q = (q1, . . . , qm) ∈ [0, 1]m mit∑mj=1 qj = 1

qj = Prob[Charles wählt Strategie j aus]

Gewinn für Roberta (= Verlust für Charles) ist nun eine Zufallsvariable G

E [G ] =n∑

i=1

m∑j=1

pi ·Mij · qj = p ·M · qT

Wieder seien VR = maxp minq p ·M · qT und VC = minq maxp p ·M · qT .



Satz (von Neumann's MinMax Theorem)

Für jedes 2-Spieler Null-Summen Spiel mit Gewinnmatrix M gilt:

maxp

minq

p ·M · qT = minq

maxp

p ·M · qT

Ein Paar von randomisierten Strategien (p̂, q̂) mitminq p̂ ·M · qT = VR = VC = maxp p ·M · q̂T heiÿt ein Sattelpunkt. p̂ undq̂ sind optimale gemischte Strategien (sind nicht unbedingt eindeutig).

Beobachtung: Für eine feste Verteilung p (etwa p̂) ist p ·M · qT einelineare Funktion α1 · q1 + α2 · q2 + . . .+ αm · qm mit αi ∈ R, qi ∈ [0, 1],q1 + q2 + . . .+ qm = 1. Diese wird minimiert durch die Verteilungq = (q1, . . . , qm) mit

qi =

{1 falls αi = min{α1, . . . , αm}0 sonst



Sei ek = (0, . . . , 0, 1 , 0, . . . , 0). k-te Komponente

Also: maxp minq p ·M · qT = maxp minj p ·M · eTj .Analog: minq maxp p ·M · qT = minq maxi ei ·M · qT .

Konsequenz:

Satz (Loomis Theorem)

Für jedes 2-Spieler Null-Summen Spiel mit Gewinnmatrix M gilt:

maxp

minj

p ·M · eTj = minq

maxi

ei ·M · qT

Yaos PrinzipSei P ein Berechnungsproblem (z.B. Auswerten von AND-OR-Bäumen).Fixiere eine endliche Menge A von deterministischen Algorithmen zurLösung von P . Sei I die Menge aller Inputs der Länge n für P .



Charles = Algorithmendesigner

Eine (reine) Strategie für Charles ist ein deterministischer AlgorithmusA ∈ A.Eine randomisierte Strategie für Charles ist eineWahrscheinlichkeitsverteilung q über der Menge A vondeterministischen Algorithmen. Diese kann als ein Las VegasAlgorithmus Aq betrachtet werden.

Roberta = Gegner (Adversary)

Eine (reine) Strategie für Roberta ist ein Input I ∈ I.Eine randomisierte Strategie für Roberta ist eineWahrscheinlichkeitsverteilung p auf der Inputmenge I. Sei Ip einZufallsinput, der gemäÿ der Verteilung p aus I ausgewählt wird.



E [C (Ip,Aq)] = Erwartungswert für die Laufzeit des Las Vegas

Algorithmus Aq für einen Zufallsinput Ip

=∑I∈I

∑A∈A

pI · C (I ,A) · qA

pi = Prob[Roberta wählt Input I ], C (I ,A) = Laufzeit des determinisitschenAlgorithmus A bei Input I , qA = Prob[Charles wählt Algorithmus A]

=⇒ maxp

minq

E [C [Ip,Aq)] = minq

maxp

E [C (Ip,Aq)] (von Neumann)

maxp

minA∈A

E [C (Ip,A)] = minq

maxI∈I

E [C (I ,Aq)] (Loomi)



Konsequenz:

Satz (Yaos MinMax Prinzip)

Für jede feste Inputverteilung p über I und jede feste Verteilung q über A(=̂ Las Vegas Algorithmus) gilt:

minA∈A

E [C (Ip,A)]︸︷︷︸erwartete laufzeit ei-

nes optimalen det. Al-

gorithmus für Input-

verteilung p

≤ maxI∈I

E [C (I ,Aq)]︸︷︷︸worst case Laufzeit

des Las Vegas Algo-

rithmus Aq



Allgemeines Vorgehen

Sei P ein Berechnungsproblem. Sei R ein beliebiger Las Vegas Algorithmuszur Lösung von P . R kann als eine Wahrscheinlichkeitsverteilung q übereiner endlichen Menge A von deterministischen Algorithmen angesehenwerden (alle Münzen zu Beginn werfen).

Wähle nun eine geeignete Verteilung p auf Inputs der Länge n.Yao=⇒ Es gibt einen Input I der Länge n mit

E [Laufzeit von R auf Input I ] ≥ minA∈A

E [C (Ip,A)] ≥ minA∈B

E [C (Ip,A)]

wobei B = Menge aller deterministischen Algorithmen zur Lösung von P .

Flexibilität von Yaos Methode: Inputverteilung p kann frei gewählt werden.



Anwendung von Yaos MinMax Prinzip auf das Auswerten vonAND-OR-Bäumen

Beobachtung: Folgende 2 Bäume werten sich zum gleichen Wert an derWurzel aus:

T2,k , wobei Knoten mit gerader (ungerader) Distanz zur Wurzel mitAND (OR) beschriftet sind.

T2,k , wobei alle Knoten mit NOR (NOT-OR) beschriftet sind.

NOR

NOR

u v

NOR

w x

=

NOR

NOT

OR

u v

NOT

OR

w x

=

AND

OR

u v

OR

w x



Im Folgenden betrachten wir T2,k wobei alle internen Knoten mit NOR

beschriftet sind. Sei p = 3−√5

2∈ [0, 1].

Markiere jedes Blatt von T2,k unabhängig mit Wahr-scheinlichkeit p mit 1 (und mit Wahrscheinlichkeit1− p mit 0).

(∗)

Beobachtung: Betrachte folgenden Baum:

z

x y

NOR

Setze x und y unabh. voneinander mit Wahrscheinlichkeit p jeweils auf 1.

=⇒ Prob[z = 1] = Prob[x = 0 ∧ y = 0] = Prob[x = 0] · Prob[y = 0]

= (1− p)2 = p

=⇒ Jeder Knoten in T2,k wertet sich mit Wahrscheinlichkeit p zu 1 aus.Markus Lohrey (Universität Leipzig) Randomisierte Algorithmen WS 2005/2006 22 / 34


Sei nun A ein beliebiger deterministischer Algorithmus zum Auswerten vonNOR-Bäumen. Wir �beweisen� eine untere Schranke fürE [Laufzeit von A, falls Input zufällig nach Methode (∗) gewählt wird].

Ein deterministischer Algorithmus A zum Auswerten von NOR-Bäumen istein depth-�rst pruning Algorithmus, falls für jeden Knoten v mit Kindernv0, v1 gilt: Es gibt ein i ∈ {0, 1}, so dass A erst nur Blätter unterhalb vonvi und danach nur Blätter unterhalb von v1−i besucht.

Satz (ohne Beweis)

Für jeden deterministischen Algorithmus A zum Auswerten vonNOR-Bäumen gibt es einen depth-�rst pruning Algorithmus B mit:

E

[Laufzeit von A, falls Input zu-fällig nach (∗) gewählt wird

]≥ E

[Laufzeit von B, falls Input zu-fällig nach (∗) gewählt wird

]Wir können uns also auf depth-�rst pruning Algorithmen beschränken.



Sei A ein depth-�rst pruning Algorithmus. Sei

w(h) = E[Anzahl der Blätter eines NOR-Baums der Tiefe h, die A auswertet,falls jedes Blatt mit Wahrscheinlichkeit p auf 1 gesetzt wird

]=⇒ w(h) = w(h − 1)︸︷︷︸ + (1− p)︸︷︷︸ · w(h − 1)︸︷︷︸

Aufwand zum Aus-

werten des �ersten�

Kinds der Wurzel

Wahrscheinlichkeit,

dass sich �erstes�

Kind der Wurzel zu 0

auswertet

Aufwand zum Aus-

werten des �zweiten�

Kinds der Wurzel

=⇒ w(h) = (2− p) · w(h − 1)

Da w(0) = 1, folgt w(h) = (2− p)h.

h = log2(n), wobei n = Anzahl der Blätter.

=⇒ w(h) = (2− p)log2(n) = nlog2(2−p) ≥ n0,694



Satz

Für jeden randomisierten Las Vegas Algorithmus R zum Auswerten vonAND-OR-Bäumen gibt es eine Belegung I der Blätter von T2,k mit0/1-Werten, so dass:

E

[Anzahl der Blätter von T2,k die R bei Bele-gung der Blätter gemäÿ I auswertet

]≥ n0,694

wobei n = 4k .

Erinnerung: Für randEval war der Erwartungswert für die Anzahl derausgewerteten Blätter von T2,k bei jeder Belegung der Blätter mit0/1-Werten ≤ 3k .

n = 4k =⇒ 3k ≤ n0,793

Kann Yaos Methode so angewendet werden, dass wir eine untere Schrankevon 3k erhalten? Ja: Wahrscheinlichkeitsverteilung auf Inputmenge muss�cleverer� gewählt werden.


Derandomisierung und Nicht-Uniformität


Ein Boolescher Schaltkreis mit n Inputs ist ein gerichteter azyklischerGraph mit den folgenden Eigenschaften:

1 Es gibt genau n Knoten mit Eingangsgrad 0 (Inputgatter), diese sindmit x1, . . . , xn markiert.

2 Es gibt genau einen Knoten mit Ausgangsgrad 0 (Ausgabegatter).3 Jeder Knoten, der kein Eingabegatter ist, ist mit AND, OR oder NOT

markiert. Ist v mit NOT markiert, so hat v Eingangsgrad 1.

Ein Boolescher Schaltkreis mit n Inputs berechnet auf natürliche Weise einen-stellige Boolesche Funktion f : {0, 1}n → {0, 1}.

Ein randomisierter Boolescher Schaltkreis mit n Inputs hat zusätzlich zuden n Inputgattern noch m weitere Zufallsgatter r1, . . . , rm (m ist hierbeliebig) mit Eingangsgrad 0.



Ein randomisierter Boolescher Schaltkreis B mit n Inputs berechnet eineFunktion f : {0, 1}n → {0, 1}, falls für jede Belegung von x1, . . . , xn mit0/1-Werten gilt:

f (x1, . . . , xn) = 0 =⇒ B wertet sich zu 0 aus für jede Belegung derZufallsgatter.

f (x1, . . . , xn) = 1 =⇒ B wertet sich zu 1 aus für mindestens dieHälfte aller Belegungen der Zufallsgatter, d.h.

Prob

[B wertet sich bei zufälliger Belegungder Zufallsgatter zu 1 aus

]≥ 1

2

Sei nun f : {0, 1}∗ → {0, 1}. Für n ≥ 0 sei fn die Einschränkung von f auf{0, 1}n, d.h. fn : {0, 1}n → {0, 1} und für alle x ∈ {0, 1}n : fn(x) = f (x).



Sei (Bn)n≥0 eine Folge von (randomisierten) Booleschen Schaltkreisen,wobei Bn n Inputgatter hat.

(Bn)n≥0 berechnet f : {0, 1}∗ → {0, 1}, falls für alle n ≥ 0 gilt: Bn

berechnet fn.

Die Folge (Bn)n≥0 ist polynomiell, falls ein Polynom p(n) existiert mit:Anzahl der Gatter von Bn ≤ p(n).

Satz (Adlemans Theorem)

Sei f : {0, 1}∗ → {0, 1} eine Funktion, die von einer polynomiellen Folgevon randomisierten Booleschen Schaltkreisen berechnet wird. Dann wird fvon einer polynomiellen Folge von Booleschen Schaltkreisen berechnet.



Beweis: Sei (Bn)n≥0 eine polynomielle Folge von randomisierten BooleschenSchaltkreisen, die f : {0, 1}∗ → {0, 1} berechnet.Betrachte Bn: n Inputgatter x1, . . . , xn, m Zufallsgatter r1, . . . , rm.

Eine 0/1-Belegung der Inputgatter x1, . . . , xn (bzw. Zufallsgatterr1, . . . , rm) wird mit einer Zahl x ∈ {0, . . . , 2n − 1} (bzw.r ∈ {0, . . . , 2m − 1}) identi�ziert. Wir schreiben Bn(x , r) = 1, falls sich derSchaltkreis Bn unter diesen Belegungen zu 1 auswertet.

De�niere Boolesche Matrix M wie folgt:

M = Mx ,r

r

x2n Zeilen

0, . . . , 2n − 1

2m Spalten 0, . . . , 2m − 1

Mx ,r =

{1 falls Bn(x , r) = 1

0 sonst



Lösche in M jede Zeile x mit f (x) = 0. =⇒ Danach sind in M in jederZeile mindestens die Hälfte aller Einträge 1. =⇒ Es existiert Spalter(1) ∈ {0, . . . , 2m − 1} in der mindestens die Hälfte aller Einträge 1 ist.

Sei Bn(1) der Schaltkreis, der aus Bn entsteht, indem die Zufallsgatterr1, . . . , rm entsprechend der Belegung r(1) ∈ {0, . . . , 2m − 1} gesetztwerden. Lösche nun in M

Spalte r(1)

jede Zeile x ∈ {0, . . . , 2n − 1} mit Mx ,r(1) = 1 (d.h. Bn(x , r(1)) = 1)

Danach ist immer noch die Hälfte aller Einträge in jeder Zeile x von Mgleich 1: Ist x eine Zeile, die nicht gelöscht wurde, so war Mx ,r(1) = 0, abervor dem Löschen war Mx ,r für mindestens die Hälfte aller r gleich 1.

Iteriere obigen Vorgang =⇒ Belegungen r(1), . . . , r(k) ∈ {0, . . . , 2m − 1}

(unrandomisierte) Schaltkreise Bn(1),Bn(2), . . . ,Bn(k): Bn(i) entsteht ausBn, indem Zufallsgatter r1, . . . , rm entsprechend der Belegung r(i) gesetztwerden.



In jeder Phase wird die Anzahl der Zeilen von M mindestens halbiert.=⇒ k ≤ n

Sei nun B ′n =∧k

i=1 Bn(i) (polynomiell groÿer Schaltkreis). (B ′n)n≥0 ist einepolynomielle Folge von (unrandomisierten) Schaltkreisen, die f berechnet.

Bemerkung: Der Beweis von Adlemans Theorem ist ein Beispiel fürDerandomisierung: Wandle einen randomisierten Algorithmus in einendeterministischen Algorithmus um, wobei eine polynomielle Zeitschrankebeibehalten wird.

Ist Derandomisierung immer möglich?Antwort: Wahrscheinlich nicht.



Sei C eine Komplexitätsklasse (z.B. P, RP, NP). De�niere dienicht-uniforme Version C/poly von C wie folgt:

Eine Sprache L ⊆ {0, 1}∗ gehört zur Klasse C/poly, falls eine Funktionα : N→ {0, 1}∗ existiert mit:

Es existiert ein Polynom p(n) mit ∀n ≥ 0 : |α(n)| ≤ p(n)

{(x , α(|x |)) | x ∈ L} ∈ Cα(|x |) = Advice-String für Inputs der Länge n = |x |

Satz

L ∈ P/poly ⇐⇒Es existiert eine polynomielle Folge von BooleschenSchaltkreisen, welche χl (charakteristische Funktionvon L) berechnet.

L ∈ RP/poly ⇐⇒Es existiert eine polynomielle Folge von randomisier-ten Booleschen Schaltkreisen, welche χl (charakteris-tische Funktion von L) berechnet.



Beweisidee:1 Sei (Bn)n≥0 eine polynomielle Folge von Booleschen Schaltkreisen,

welche χL berechnet. De�niere Advice-String α(n) wie folgt:α(n) = binäre Kodierung des Schaltkreises Bn

=⇒ {(x , α(|x |)) | x ∈ L} ∈ P =⇒ L ∈ P/poly

2 Sei L ∈ P/poly. =⇒ {(x , α(|x |)) | x ∈ L} ∈ P wobei α(n) ≤ p(n) fürein Polynom p(n). Für jedes n ≥ 0 kann ein polynomiell groÿerSchaltkreis B ′n mit n + p(n) Inputgattern konstruiert werden, der alleEingaben der Form x α(n) mit |x | = n, x ∈ L akzeptiert (und sonstnichts akzeptiert).Idee: Berechnungen von Turing-Maschinen können durch BoolescheSchaltkreise beschrieben werden (siehe Beweis für �SAT istNP-vollständig�). Belege nun die letzten α(n) vielen Inputgatter vonB ′n mit dem Advice-String α(n). =⇒ Schaltkreis Bn

(Bn)n≥0 ist eine polynomielle Folge von Booleschen Schaltkreisen,welche χL berechnet.



Reformulierung von Adlemans Theorem

P/poly = RP/poly

insbesondere: RP ⊆ P/poly

In einer �nichtuniformen Welt� kann also stets derandomisiert werden.Andererseits wird vermutet, dass P ( RP gilt.


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