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Lösungen zu ausgewählten Aufgaben

Aufgaben 1.1, Seite 7

3 3v + w = (7,5), v - 3w = (-1, -5) und cv + dw = (2c + d, c + 2d).

5 (a) Die Komponenten cv bilden die Summe Null (b) Die Komponenten aller Vektoren cv + dw bilden die Summe Null (c) Man wählt c = 4 und d = 10.

7 (a) Rückwärts entlang w, vorwärts entlang v (b) Die Kombinationen erzeugen die Ebene, die v und w enthält.

9 Die vierte Ecke kann (4,4), (4,0) oder (-2,2) sein.

10 Es gilt (Länge von V)2 + (Länge von W)2 = 42 + 22 + (-I? + 22 = 25 und auch (Länge von v + W)2 = 32 + 42 = 25.

12 Man wähle v = (2,1) und w = (1,2). Dann gilt (Länge von V)2 = (Länge von W)2 = 5, aber (Länge von v + W)2 = 32 + 32 .

15 Fünf weitere Ecken (0,0,1), (1, 1,0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1). Der Mit

telpunkt ist (~,~, ~). Die Mittelpunkte der Seitenflächen sind (~, ~,o),

(~,~, 1) und (o,~, ~), (1,~,~) und (~, 0, ~), (~, 1, ~).

16 Ein vierdimensionaler Würfel hat 24 = 16 Ecken und 2·4 = 8 dreidimensionale Seiten sowie 4(2)3 = 32 zweidimensionale Kanten.

17 (a) Die Summe ergibt den Nullvektor (b) Die Summe ergibt den

Vektor bei -4:00 Uhr (c) Die Summe ergibt den Vektor bei -~(l:00

Uhr).

19 Es gilt v - u = v - (~v + ~w) = ~(v - w). Der Punkt ~v + :tw liegt

bei drei Vierteln der Strecke von w nach v. Der Punkt :tv + :tw ist ~u.

20 Alle Kombinationen mit c + d = 1 liegen auf der Geraden durch v und w. Der Punkt V = -v + 2w liegt auf dieser Geraden hinter w.

528 Lösungen zu ausgewählten Aufgaben

21 Die Vektoren cv + ewerzeugen die Gerade zwischen (0,0) und u = ~v +

~w. Sie geht über den Punkt v + w hinaus. Durch c 2': 0 wird die Hälfte

der Geraden entfernt, der resultierende Strahl beginnt bei (0,0).

22 (a) Die Kombinationen mit 0 ::; c ::; 1 und 0 ::; d::; 1 füllen das Parallelo-gramm mit den Seiten v und w und einer Ecke in (0,0) aus. (b) Mit o ::; c und 0 ::; d wird aus dem Parallelogramm ein" unendlicher Keil".

23 (a) Der Punkt ~u + ~v + ~w bildet den Mittelpunkt des Dreiecks zwi

schen u, v und w; der Punkt ~u + ~w bildet den Mittelpunkt der Kante

zwischen u und w (b) Um das Dreieck auszufüllen, setzt man c 2': 0, d 2': 0, e 2': 0 und c + d + e = 1.

25 Der Vektor ~(u + v + w) liegt außerhalb der Pyramide, da c + d + e =

~ + ~ + ~ > 1 ist.

26 Alle Vektoren sind Kombinationen von u, v und w.

27 Die Vektoren cv liegen in beiden Ebenen.

29 Die Lösung ist s = 2 und d = 4. Dann gilt 2(1,2) + 4(3, 1) = (14,8).


2 Es gilt Ilull = 1 und Ilvll = 5 = Ilwll und 1,4< (1)(5) und 24 < (5)(5).

4 Es gilt Ul = viiivii = Jio(3,1) und U2 = w/llwil = ~(2,1,2). VI

Jio(1,-3) oder Jio(-1,3) ist möglich. V 2 könnte )g(1,-2,0) sein.

5 (a)WinkelNull (b)1800(odef7r) (c)(v+w)o(v-w)=vov+ wo v - v 0 w - w 0 w = 1 + ( ) - ( ) - 1 = 0, so dass () = 90° (oder i im Bogenmaß).

6 (a) Es gilt cos(} = (2)(1)' deshalb ist e = 60° oder ~ im Bogenmaß (b)

Es gilt cos () = 0, deshalb ist () = 90° oder i im Bogenmaß (c) Es gilt

cos(} = (;jtj = ~, deshalb gilt () = 60° oder ~ (d) Es gilt cos() =

-1/,;2, deshalb gilt () = 135° oder 3;. 8 (a) Falsch (b) Wahr: uo(cv+dw) = cuov+duow = 0 (c) Wahr:

für cu 0 v + du 0 w = 0 wählt man c = u 0 wund d = -u 0 v.

12 Der Vektor (1,1) ist senkrecht zu (1,5) - c(l, 1) wenn 6 - 2c = 0 oder c = 3 gilt; es gilt v 0 (w - cv) = 0 wenn c = v 0 w Iv 0 v.

Lösungen zu ausgewählten Aufgaben 529

16 Es gilt JJVJJ2 = 9 und daher JJvJJ = 3; weiter u = !v und w = (1, -1,0, ... ,0).

18 Es gilt (v+w)·(v+w) = (v+w).v+(v+w).w = v.(v+w)+w.(v+w) = v . v + v . w + w . v + w . w = v . v + 2v . w + w . w.

19 Aus 2v . w ::::: 2JJvJJJJwJJ folgt JJv + WJJ2 = V . V + 2v . w + w . w :::::

JJvW + 2JJvJJJJwJJ + JJWJJ2 = (JJvJJ + JJWJJ)2.

21 Es gilt cosß = wdJJwJJ und sinß = W2/JJWJJ. Daraus folgt cos(ß - a) = cosßcosa+sinßsina = vlwdJJvJJJJWJJ+V2W2/JJVJJJJwJJ = v.w/JJvJJJJwJJ.

22 Wir wissen, dass (v - w) . (v - w) = v . v - 2v . w + w . w gilt. Vergleichen Sie dies mit dem Kosinussatz, und dividieren Sie durch -2, um JJvJJJJwJJ cosf} = v . w zu erhalten.

24 Beispiel 1.2.6 liefert JUIJJU1J ::::: ~(ui+Uf) und JU2JJU2J ::::: ~(u~+Ui). Aus

der Zeile wird 0,96 ::::: (0,6)(0,8) + (0,8)(0,6) ::::: ~(0,62 + 0,82) + ~(0,82 +

0,62 ) = 1.

26 Für den Winkel zwischen v = (1,2, -3) und w = (-3,1,2) gilt cos f} = 1: und f} = 120°. Schreiben Sie v . w = xz + yz + xy als ~(x + y + z)2 -

~(x2 + y2 + Z2), also _~(X2 + y2 + Z2).

27 Die Länge JJv - wJJliegt zwischen 2 und 8. Das Skalarprodukt v . w liegt zwischen -15 und 15.


4 Die Lösung ändert sich nicht, die zweite Ebene und die zweite Zeile der Matrix, sowie alle Zeilen werden geändert.

5 Setzt man x = 0, so erhält man y = -3/2 und z = 5/2. Aus y = ° folgt x = 3 und z = 1.

6 Wenn x, y, z die ersten beiden Gleichungen erfüllen, so auch die dritte. Die Lösungsgerade enthält die Vektoren v = (1,1,0), w = (~, 1,~) und

u = ~v + ~w, sowie alle Linearkombinationen cv + dw mit c + d = 1.

7 Gleichung 1 + Gleichung 2 - Gleichung 3 ergibt ° = -4. Eine Lösung ist daher unmöglich.

9 Es gilt Ax = (18,5,0), Ax = (3,4,5,5).

10 Es sind neun Multiplikationen für Ax = (18,5,0) nötig.


12 (z,y,x) und (0,0,0) und (3,3,6).

13 (a) Der Vektor x hat n Komponenten, Ax hat rn Komponenten (b) Die Ebenen liegen im n-dimensionalen Raum, die Spalten im rn-dimensionalen Raum.

14 (a) Lineare Gleichungen in den Unbekannten x, y, z haben die Form ax + by + ez = d (b) evo + dVl ist ebenfalls eine Lösung, falls e + d = 1 gilt. (c) Ist die rechte Seite der Gleichung konstant null, so sind beliebige e und d erlaubt.

16 R = [_~ ~], 180°-Drehung aus R 2 = [-~_~] = -I.

[010] [001] 17 P = 001 und p-l = 100 . 100 010

[100] [ 100] 19 E = ° 1 ° , E- 1 = ° 1 ° , Ev = (3,4,8), E- 1 Ev = (3,4,5). 101 -101

23 Das erste Programm berechnet die Skalarprodukte für I = 1,2; das zweite Programm kombiniert die Spalten J = 1,2. Für eine 4 x 3-Matrix A muss man die entsprechenden Zeilen zu I = 1,4 und J = 1,3 ändern.

24 B(I) = B(I)+A(I, 2)*V(2), B(2) = A(2, 1)*V(I), B(2) = B(2)+A(2, 2)* V(2). Im zweiten Programm sind die ersten beiden Schritte vertauscht.

29 U2 = [~:~], U3 = [~:~~]. Die Summe der Komponenten ist immer eins.

30 Ur, Vr, Wr liegen alle nahe bei (0,6,0,4). Die Komponenten bilden immer noch die Summe eins.

31 [~:~ ~:;] [~:~] = [~:~] = stationärer Zustand s.

32 Die Vektoren gehen von allen Startpunkten aus gegen (0,45,0,35,0,20).

[8 34] [5 + U 5 - u + v 5 - v ]

33 M = 1 5 9 = 5 - u - v 5 5 + u + v ; die 16 Zahlen in M 4

672 5+v 5+u-v 5-u bilden die Summe 136, eine Zeilensumme ist daher = 136/4 = 34.



1 Multiplizieren Sie mit l = 12° = 5 und subtrahieren Sie, um 2x + 3y = 14 und -6y = 6 zu erhalten.

3 Man subtrahiert - ~ mal Gleichung 1 (oder addiert ~ mal Gleichung 1), so dass die neue zweite Gleichung 3y = 3 ist. Daraus folgt y = 1 und x = 5. Ändert man das Vorzeichen der rechten Seite, so auch der Lösung: (x,y) = (-5,-1).

4 Man subtrahiert l = ~ mal Gleichung 1. Als neu es zweites Pivotelement

vor y ergibt sich d - (cbja) oder (ad - bc)ja.

6 Für b = 4 ist das System singulär, weil 4x + 8y gleich 2 mal 2x + 4y ist. In dem Fall wird das System für 9 = 2 . 13 = 26 lösbar. Die beiden Geraden fallen zusammen - es gibt unendlich viele Lösungen.

7 Für a = 2 versagt das Eliminationsverfahren, da die Gleichungen keine Lösung besitzen. Für a = ° wird eine Zeilenvertauschung nötig. Aus 3y = -3 erhält man dann y = -1 und aus 4x + 6y = 6 schließlich x = 3.

8 Für k = 3 versagt das Eliminationsverfahren: es gibt keine Lösung. Für k = -3 erhält man ° = ° in Gleichung 2: unendlich viele Lösungen. Für k = ° wird eine Zeilenvertauschung nötig, die dann eine Lösung liefert.

11 2x + 3y + z = 1 y + 3z = 5 ergibt

8z = 16

x = 1 Steht eine Null am Anfang y = -1 von Zeile 2 oder 3, vermeidet z = 2 man eine Zeilenoperation.

12 2x - 3y = 3 2x - 3y = 3 x = 3 2 x Z. 1 von Z. 2 y + z = 1 :::} Y + z = 1 :::} Y = 1 1 x Z. 1 von Z. 3

2y - 3z = 2 - 5z = ° z = ° 2 x Z. 2 von Z. 3

13 Man subtrahiert 2 mal Zeile 1 von Zeile 2 und erhält (d - 10)y - z = 2. Gleichung (2.10) ist y - z = 3. Falls d = 10 gilt, vertauscht man Zeilen 2 und 3. Für d = 11 ist das System singulär; es fehlt ein drittes Pivotelement.

14 Auf der zweiten Pivotposition steht -2 - b. Für b = -2 muss man mit Zeile 3 tauschen. Für b = -1 wird die zweite Gleichung zu -y - z = 0, eine Lösung ist x = 1, y = 1, z = -1.

16 Ist Zeile 1 = Zeile 2, so wird Zeile 2 nach dem ersten Schritt zu einer Nullzeile. Dann vertauscht man mit Zeile 3, so dass das dritte Pivotelement fehlt. Ist Spalte 1 = Spalte 2, so fehlt das zweite Pivotelement.

17 x + 2y + 3z = 0, 4x + 8y + 12z = 0, 5x + lOy + 15z = O.


18 Aus Zeile 2 wird 3y - 4z = 5, dann wird Zeile 3 zu (q + 4)z = t - 5. Für q = -4 ist das System singulär - es fehlt das dritte Pivotelement. Für t = 5 erhält man als dritte Gleichung ° = 0. Wählt man dann z = 1, so liefert die Gleichung 3y - 4z = 5 y = 3, und aus Gleichung 1 erhält man x = -9.

20 "Von hinten gesehen" bilden die drei Ebenen ein Dreieck. Dies geschieht, wenn die Summe von Zeile 1 und Zeile 2 auf der linken Seite gleich Zeile 3 ist, auf der rechten Seite aber nicht; zum Beispiel für x + y + z = 0, x - y - z = 0, 2x + Oy + Oz = 1. Die Ebenen sind nicht parallel, es gibt aber trotzdem keine Lösung.

22 Die Lösung ist (1,2,3,4) anstelle von (-1,2, -3,4).

23 Das fünfte Pivotelement ist ~. Das n-te Pivotelement ist (n!l).

[1 1 1]

24 A = a a + 1 a + 1 . bb+cb+c+3

25 a = 2 (gleiche Spalten), a = 4 (gleiche Zeilen), a = ° (Nullspalte).

26 Lösbar für s = 10 (Gleichungen addieren); U ~] und [~:].


1 E 21 = [-~ ~~] , 001

[100]

E 32 = ° 1 ° , 071

[0 1 0] P12 = 100 .

001

4 EHmination von Sp,ute 4 b ~ m -+ H] -+ H] -+ h~ l Rücksubstitution in Ux = (1, -4, 10) liefert z = -5, y = ~, x

Dies ist eine Lösung von Ax = (1,0,0).

1 "2.


5 Ändert man a33 von 7 zu 11, so ändert sich das dritte Pivotelement von

2 zu 6. Ändert man a33 von 7 zu 5, so ändert sich das Pivotelement von 2 zu "kein Pivotelement".

7 Um E 31 rückgängig zu machen, addiert man 7 mal Zeile 1 zu Zeile 3. Die

[100]

Matrix ist R31 = 0 1 0 . 701

9 M = [ ~ ~ ~]. Nach dem Austausch muss E auf die neue Zeile 3 wirken. -110

12 (a) E mal dritte Spalte von B ergibt die dritte Spalte von EB (b) E kann Zeile 2 zu Zeile 3 addieren, um von Null verschiedene Einträge zu erzeugen.

[-1-4-7]

14 A = 1-2-5 3 0-3

17 EF = a 1 0 , FE = a 1 0 , [ 100] [1 00] E 2 = 2a 1 0 , [ 1 00]

bel b + ac cl

[1 0 0] F 2 = 010.

o 2c 1

19 (a) Jede Spalte ist E mal eine Spalte von B

(b) D ~] [~~] = [!!] . (b) a21 -all

23 A' _ [2 3 1] ---+ [2 3 1]. 2XI + 3X2 = 1 - 4 1 17 0 -5 15' -5X2 = 15

2b 01

Xl = 5 X2 = -3.

24 Aus der letzten Gleichung wird 0 = 3. Man muss die ursprüngliche 6 zu 3 ändern. Dann ist Zeile 1 + Zeile 2 = Zeile 3.


25 (a) A" hat zwei zusätzliche Spalten: [1 4 1 0] -+ [1 4 1 0] -+ 2701 0-1-21

-7 4 2-1·

26 (a) Es gibt keine Lösung, wenn d = 0 und C -::f- 0 ist (b) Es gibt unendlich viele Lösungen für d = 0 und C = O. Keinen Effekt haben a

und b.


2 (a) A (Spalte 3 von B) (b) (Zeile 1 von A) B (c) (Zeile 3 von A)(Spalte 4 von B) (d) (Zeile 1 von C)D(Spalte 1 von E).

5 An = [~ b~] und An = [20n 2; ] .

7 (a) Wahr (b) Falsch (c) Wahr (d) Falsch.

8 Die Zeilen von DA sind 3·(Zeile 1 von A) und 5·(Zeile 2 von A). Die Zeilen von EA sind Zeile 2 von A und die Nullzeile. Die Spalten von AD sind 3·(Spalte 1 von A) und 5·(Spalte 2 von A). Die Spalten von AE sind eine Nullspalte und Spalte 1 von A.

9 AF = [~~: ~] . E(AF) ist gleich (EA)F, weil die Matrixmultiplikation

assoziativ ist.

[a+Cb+d] [a+c b+d] . 10 FA = c d und daher E(F A) = a + 2c b + 2d . E(F A) 1st

ungleich F(EA), weil die Multiplikation nicht kommutativ ist.

11 (a) B = 41 (b) B = 0 [001]

(c) B = 010 100

(d) B muss gleiche

Zeilen haben.

[ao] [ab]. 12 AB = c 0 = BA = 0 0 hefert b = c = O. Dann folgt a = d aus

AC = CA, also A = aI.

13 (A - B)2 = (B - A)2 = A(A - B) - B(A - B) = A 2 - AB - BA + B 2.

15 (a) mn (Jeder Eintrag) te).

(b) mnp (c) n 3 (also n 2 Skalarproduk-


16 Wegen der Linearität stimmt (AB)c mit A(Bc) überein. Dies gilt auch für alle anderen Spalten von C.

17 (a) Man verwendet nur Spalte 2 von B (b) Man verwendet nur Zeile 2 von A (c)-( d) Man verwendet Zeile 2 der ersten Matrix A.

19 Diagonalmatrix, untere Dreiecksmatrix, symmetrische Matrix, alle Zeilen gleich. Nullmatrix.

20 (a) an

27 (a) (Zeile 3 von A)·(Spalte 1 von B) = (Zeile 3 v. A)·(Spalte 2 v. B) = 0

(b) m [0 xx I ~ [~~ ~ 1 und [~l [0 0 x I ~ [H n 28 A [ I I I ], [-JB, [-J [ I I I ], [ I I ] [==]

31 In Aufgabe 30 gilt c = [ -~], D = [~~], D - cbja = [~~].

33 (a) n - 1 Additionen für ein Skalarprodukt; n 2 (n - 1) für n2 Skalarprodukte (b) 4n2 (n - 1) + 2n2 Additionen für Rund S (c) 2n2 (n - 1) + n2 für R und weitere 4n2 + n 2 (n - 1) für S, wenn man AC und BD kennt. Insgesamt: 3n2 (n - 1) + 5n2 Additionen mit der 3M-Methode.

34 A mal X ist die Einheitsmatrix I.

35 Die Lösung von b = (3,5,8) ist 3Xl + 5X2 + 8X3 = (3,8,16).



2 p-1 = Pi p-1 = [~~ ~l. Die Matrix p-1 ist immer die Transponierte 010

vonP.

4 a + 2c = 1, 3a + 6c = 0: unmöglich.

[-1 0] [-10] 5 A = 0-1 und 01 und jede Matrix

7 (a) Für Ax = (1,0,0) ergibt Gleichung 1 + Gleichung 2 - Gleichung 3 die Gleichung 0 = 1 (b) Die rechten Seiten müssen die Gleichung b1 + b2 = b3 erfüllen (c) Zeile 3 wird zu einer Nullzeile - es gibt kein drittes Pivotelement.

8 Vertauscht man Zeilen 1 und 2 von A, so vertauscht man Spalten 1 und 2 von A-1 .

11 C = AB liefert C- 1 = B-1 A -1, deshalb gilt A -1 = BC- 1 .

12 M-1 = C-1 B-1 A-1 und deshalb B-1 = CM-1 A.

[ 10]-1 [ 10] . 13 B-l = A-l 11 = A-1 -11 : man subtrahIert Spalte 2 von A-l

von Spalte 1.

16 [1 1 1 [ 1 1 1 [- ~ 1 1 [- ~ 1 1 = Ei [~1 1 = L = -1 1 -1 1 1 0-1 1 111

E-1 nachdem die Reihenfolge umgedreht und -1 mit +1 vertauscht wurde.

18 A2 B = I kann man A(AB) = I schreiben. Deshalb gilt A-1 = AB.

19 Der Eintrag (1, 1) verlangt 4a-3b = 1. Der Eintrag (1, 2) verlangt 2b-a = O. Daher gilt b = kund a = ~.

20 6 von den 16 Matrizen sind invertierbar, einschließlich der vier mit drei Einsen.

21 [1310] 2701

[ 1310] 3801

[01 3 1 0] [1 0 7-3] -1 --+ 1-21 --+ 0 1-2 1 =[IA )i

--+ [~ ~-~-n = [I A-1 ).


23 0 1 c 0 1 0 ----+ 0 1 0 0 1-c [lab100] [la010-b] ----+ 0100 1 -c. [

1 0 0 1-a ac - b]

001001 00100 1 0010 0 1

[ 3-1-1] [1] [0] 24 A -1 = i -1 3 -1 ; A 1 = 0 deshalb existiert A -1 nicht. -1-1 3 1 0

[ 1 0 0] [ 2-1 0] 26 A-1 = -2 1-3 (man achte auf das Muster); A-1 = -1 2-1 . o 0 1 0-1 1

28 (a) Falsch mit 4 Nullen; Wahr mit 13 Nullen (b) Falsch (alle Matri-xeinträge gleich 1) (c) Wahr (d) Wahr.

29 Nicht invertierbar für c = 7 (gleiche Spalten), c = 2 (gleiche Zeilen), c = 0 (Nullspalte) .

30 Das Eliminationsverfahren erzeugt die Pivot elemente a, a - bund a - b.

[1100]

31 A-1 = 0110 0011 . 0001

32 x = (2,2,2,1) und x = (2,2,2,2,1).

33 hilb(6) ist nicht die exakte Hilbertmatrix, weil Brüche gerundet werden.

[ 10] [A-1 0] [ D I] 34 -C I ' -D-1CA- 1 D- 1 und 10'


1 EA = [ ~ 1 ] [~!~] = [~!~] = U; A = LU = [~1 ] U. -3 0 1 6 3 5 0 0 5 3 0 1

2 [~1 ] [-~ 1 ] A = [~ ~ ~] = U. Damit ist A = [~~~] U = 0-2 1 001 0 0-6 021

K;/ K;}U = LU.


4 E = E32E31E21 = [1 1 ] [ 1 1 ] [_~ 1 ] -c 1 -b 1 1

[ _la 1]. Dies ac-b-cl

ist A-1 , und es ist L = A.

5 [i i~] = [i 1 ] [d f ~] 121 mnl z

d = 1, e = 1 in Zeile 1 damit I = I, und f = 0 : kein Pivotelement in Zeile 2

6 c = 2 führt zu einer Null in der zweiten Pivotposition. Vertauscht man die Zeilen 2 und 3, so ist die Matrix in Ordnung. c = 1 führt zu einer Null in der dritten Pivotposition =} die Matrix ist singulär.

8 A -- [2101] [024

3] -- [2101] [203

0] [0121] = LDU; beachten Sie, dass U

die Transponierte ist.

[ 1 ] [1 4 0] [1 ] [1 4 1 0-4 4 4 1 -4 0-1 1 0 0 4 0-1 1

la r r r 1 b-rs-rs-r

t . Man braucht c-s -s d-t

a=l=O b=l=r c =1= s'

d=l=t

12 [; Hl c ~ [i] liefe" c ~ [!] Drunit e'gibt [H n x ~ [!] den

Vektocx~ m 13 (a) L wird zu I (b) I wird zu L-1 (c) LU wird zu U.

14 (a) Multiplizieren Sie die Gleichung LDU = L1D1U1 mit den Inversen

und erhalten Sie L I 1 LD = D 1 U1 U- 1. Die linke Seite ist eine untere Dreiecksmatrix, die rechte Seite eine obere Dreiecksmatrix =} es stehen auf beiden Seiten Diagonalmatrizen (b) Da die Diagonalen der Matrizen L, U, LI, U1 aus Einsen bestehen, erhält man D = D 1 . Dann müssen L I 1 L und U1 U- 1 gleich I sein.

15 [i: ,] [110] [a a 0] 11 = LU; a a + b b lOb b+c

~ (gleiche, L) [a b c] (glci-

ches U).


16 Ist Teine Tridiagonalmatrix, so hat jede Pivotzeile nur 2 von Null verschiedene Einträge. Jeder Eliminationsschritt wirkt nur auf die nächste Zeile, nicht aber auf spätere Zeilen. Die Matrizen U und L haben also abseits der Haupt- und der ersten Nebendiagonalen nur Nulleinträge.

17 Die Matrix L besitzt die 3 unteren Nullen von A, U kann die obere Null aber verloren haben. L besitzt die untere linke Null aus B, und U die obere rechte Null. Eine Null in A und zwei Nullen in B werden also "ausgefüllt" .

18 [~~ ~ 1 ~ [~~ ~l [r xl (Die x'eeind nad«h ßffitllrunung d"

ersten Pivotelements bekannt.)

21 Die obere 2 x 2-Untermatrix B besitzt die Pivotlemente 2,7. Der Grund: das Eliminationverfahren für A beginnt mit der Elimination auf B.

23 i ~ ~ 1~ = i ~ 1 1 ~ ~ . Pascal'sches Dreieck in L und U. III 1 1] II ]lllll] 1 4 10 20 1 3 3 1 1

24 Die Werte c = 6 und c = 7 lassen eine Faktorisierung LU nicht zu. (Für c = 6 wird eine Permutation benötigt).


4 Für A = [~~] gilt A2 = O. Die Diagonaleinträge von AT A sind die

Skalarprodukte der Spalten von A mit sich selbst. Gilt AT A = 0, sind also die Skalarprodukte Null :::} Nullspalten.

6 aij wird mit Xj und Yi multipliziert: (Ax)T y = xT(ATy).

8 (a) Falsch (b) Falsch (c) Wahr (d) Falsch.


13 (a) Es gibt n! n X n-Permutationsmatrizen. Es müssen also schließlich zwei Potenzen von P identisch sein: pr = ps. Multipliziert man dies mit (p-I y, so erhält man pr-s = I. Dabei gilt sicher r - s ::; n! (b)

[010] 001 . 100

[P2 ]. [0 1] p = P3 mIt P2 = 1 ° und P3 =

[EO] . [01] 14 (a) P = ° E = pT mIt E = 1 ° (b) pT (Zeile 4) = Zeile 1.

15 (a) A = [i i] (b) A = [~ i] (c)A= [i~].

19 [~~] = [~n [~-~] [~n; [!~] = [!~] [~C~b2] [~n·

[-5 -7] [d-b2 e-bC] 20 Die 2 x 2-Matrix unten rechts ist -7-32' e _ bc f _ c2 .

23 [ 1 1] [~~~] [~1 ] [2 ~ !]. Wartet man mit dem Aus-1 2 1 1 ° 1/3 1 -2/3

tau,chA~L,P,U,~ [~I,] [, [I] [~Hl 24 Es gilt abs(A(I, 1)) = 0, man muss also abs(A(2, 1)) > tol finden; A --+

[~ ~] und P --+ [~~]; kein Austausch in L; keine weitere Elimination

nötig, deshalb ist L = I und U = neues A. Bei der zweiten Matrix gilt

wieder abs(A(I, 1)) = 0, aber abs(A(2, 1)) > tol; also A --+ [~~ i] und 056

p --+ [~~~]; weiter ist abs(A(2, 2)) = ° aber abs(A(3, 2)) > tol; daher 001

A --+ [~~:] und L = I, P --+ [~~ ~]. 001 100

27 Die Matrix LI = [i 1 ] beschreibt die Eliminationsschritte, wie sie 2 01

tatsächlich geschehen - L wird durch P beeinflusst.


30 Es gilt. E" [-~ 1 J die Mateix E"AET, ~ [~Hl ist. symme-

trisch; mit E 32 = [1 1 1 gilt E32E2lAE~ EI; = D. Durch Elimi-4 1

nation von beiden Seiten erhält man die symmetrische Zerlegung LDLT

direkt.

31 Die Gesamtströme sind ATy = [-~ ~ ~l [~~~l = [-~~~: ~~~l· 0-1-1 YBS -Ycs - YBS

Für beide Ausdrücke erhält man (Ax)T y = xT(ATy) = XBYBC + XBYBS - XCYBC + XcYcs - XsYcs - XSYBS·

32 Rohstoffe rio l~~ol [Xl] 2 50 X2

[ 6820 ] 1 LKW 188000 1 Flugzeug·

[ 1 40 2] [700 1 = Ax; ATy = 50100050 30300 =

34 Es gilt p3 = I, also drei Drehungen für 360°; P dreht um 120° um die Achse durch (1,1,1).


1 x + Y -=1= y + x und x + (y + z) -=1= (x + y) + z und (Cl + C2)X -=1= ClX + C2X.

2 Als einzige Regel wird Ix = x verletzt.

3 (a) Es kommt vor, dass cx nicht in der Menge liegt: sie ist unter Skalarmultiplikation nicht "abgeschlossen". Weiterhin gibt es keine 0 und kein -x. (b) c(x + y) ist das übliche (xy)C, und cx + cy ist das übliche (XC)(yC). Beide sind gleich. Mit C = 3, X = 2 und Y = 1 ist der Wert 8. Der Nullvektor ist die Zahl 1. Der Vektor -2 ist die Zahl +~.

7 Regel 8 wird verletzt: Definiert man cf(x) als das übliche f(cx), so ist (Cl + c2)f = f((Cl + C2)X) von clf + C2f = f(ClX) + f(C2X) (übliche Notation) verschieden.

8 Ist (f + g)(x) gleich dem üblichen f(g(x)), so ist dies von (g + f)x = g(f(x)) verschieden. Beide Seiten von Regel 2 sind f(g(h(x))). Regel 4 wird verletzt, weil es keine inverse Funktion mit f(f-l(X)) = X geben muss. Wenn f- l existiert, so ist es der Vektor -f.


9 (a) Die Vektoren mit ganzzahligen Komponenten lassen eine Addition

zu, aber nicht die Multiplikation mit ~ (b) Entfernt man die x-Achse

(bis auf den Ursprung) aus der xy-Ebene, so ist die Multiplikation mit jedem c möglich, aber nicht alle Vektoradditionen.

11 (a) Alle Matrizen [ao Ob] (b) Alle Matrizen [~~] ( c) Alle Dia-

gonalmatrizen.

12 Die Summe von (4,0,0) und (0,4,0) liegt nicht in der Ebene.

14 (a) Die Unterräume von ]R2 sind ]R2 selbst, die Geraden durch (0,0), und (0,0) selbst. (b) Die Unterräume von ]R4 sind ]R4 selbst, dreidimensionale Ebenen der Form II . V = 0, zweidimensionale Unterräume der Form III . V = 0 und ll2 • V = 0, Geraden durch den Ursprung (0,0,0,0), und (0,0,0,0) selbst.

15 (a) Zwei Ebenen durch (0,0,0) schneiden sich wahrscheinlich in einer Geraden durch (0,0,0) (b) Die Ebene und die Gerade schneiden sich wahrscheinlich im Punkt (0,0,0) (c) Der Vektor x sei in Sn T und y in SnT. Beide Vektoren liegen in beiden Unterräumen, und deshalb liegen auch x + y und cx in beiden Unterräumen.

19 Der Spaltenraum von A ist die x-Achse, also alle Vektoren der Form (x, 0, 0). Der Spaltenraum von B ist die xy-Ebene, also alle Vektoren der Form (x, y, 0). Der Spaltenraum von C ist die Gerade (x, 2x, 0).

20 (a) Eine Lösung existiert nur, wenn b2 = 2bI und b3 = -bI gilt ne Lösung existiert nur für b3 = -bI.

(b) Ei-

22 (a) Jedes b (b) Lösbar nur für b3 = 0 (c) Lösbar nur für b3 = b2 .

23 Die zusätzliche Spalte b macht den Spaltenraum größer, es sei denn, b

liegt bereits im Spaltenraum von A: [A b 1 = [~~ i] (größerer Spalten-

raum), [~~ i] (gleicher Spaltenraum).

24 Der Spaltenraum von AB ist im Spaltenraum von A enthalten, möglicherweise gleich. Ist B = 0 und A f. 0 so hat AB = 0 einen kleineren Spaltenraum als A.

26 Der Spaltenraum einer beliebigen invertierbaren 5 x 5-Matrix ist ]R5. Die Gleichung Ax = b ist immer lösbar (durch x = A-Ib), also liegt jedes b im Spaltenraum.

27 (a) Falsch (b) Wahr (c) Wahr (d) Falsch.


[ 110] [112] 28 A = 100 oder 101 . 010 011


2 (a) Freie Variablen X2, X4, X5 und Lösungen (-2,1,0,0,0), (0,0, -2, 1,0), (0,0, -3,0,1) (b) Freie Variable X3: Lösung (1, -1, 1).

3 Die vollständige Lösung ist (-2X2, X2, - 2X4 - 3X5, X4, X5). Der Kern enthält nur die 0, wenn es keine freien Variablen gibt.

[12000] [10-1]

4 R = 0 0 1 2 3 , R = 0 1 1 , gleicher Kern wie U und A. 00000 0 0 0

5 [-13 5] = [10] [-135]. [-135] = [10] [-1 3 5] -2610 21 000' -267 21 0 0-3 .

6 (a) Spezielle Lösungen (3,1,0) und (5,0,1) me von Pivot- und freien Variablen n.

(b) (3,1,0). Gesamtsum-

7 (a) Der Kern ist die Ebene -x + 3y + 5z = 0; sie enthält alle Vektoren (3y + 5z,y,z) (b) -x + 3y + 5z = 0 und -2x + 6y + 7z = 0; die Gerade enthält alle Punkte (3y, y, 0).

9 (a) Falsch (b) Wahr (c) Wahr (d) Wahr.

10 (a) Unmöglich (b) A = [~;~] ist invertierbar 112

[ ~ ~~] (d) A=2I,U=2I,R=I. 111

12 [m~~ml' [mm~~l' 00000001 00000000

(c) A

14 Ist Spalte 1 = Spalte 5, so ist X5 eine freie Variable. Die zugehörige spezielle Lösung ist (-1,0,0,0,1).

15 Es gibt n-r spezielle Lösungen. Der Kern enthält nur x = 0, wenn r = n gilt. Der Spaltenraum ist IRm wenn r = m gilt.


17 A = [1 -3 -1); Y und z sind freie Variablen mit speziellen Lösungen

(3,1,0) und (1,0,1).

20 Ist A invertierbar, so kann man ABx = 0 mit A-1 multiplizieren, und erhält so Bx = O. Der Grund, warum U und LU denselben Kern haben, liegt darin, dass L invertierbar ist.

[1 0-1/2]

23 A = 1 3 -2 . 5 1 -3

[0100]

24 A = 0101 . 0001

[1-1 0 0]

25 A = 1 0-1 0 . 1 0 0-1

26 A = [~~]. 27 Ist der Kern gleich dem Spaltenraum, so gilt n - r = r. Für n = 3 ist

3 = 2r unmöglich.

29 R ist höchstwahrscheinlich gleich I; R wahrscheinlich gleich I mit einer Nullzeile als vierte Zeile.

30 (a) A = [~~] (b) A = [~~] [010] (c) A = 011 100

(Schwierig!)

32 Drei Pivotelemente.

33 Die von Null verschiedenen Zeilen sind R = [1 - 2 -3), R = [~~ ~] , R=I.

(b) Ja!



1 (a) und (c) sind wahr; (d) ist falsch, weil R Einsen an Nicht-Pivotpositionen haben kann.

[1111]

3 (a) R = 0000 0000

[1 0-1-2]

(b) R = 0 1 2 3 o 0 0 0

[1-1 1-1]

(c) R = 0 0 0 0 . 000 0

5 Wenn die Pivotvariablen als letzte kommen, muss R aus den vier Blöcken

R = [~~] bestehen. Die Kernmatrix ist dann N = [~].

7 Die Matrizen A und AT haben denselben Rang r. Aber pivsp (die Spal

tenzahl) ist 2 für A und 1 für AT:

A = [~~ ~]. 000

9 S = [~~] und S = [1] und S = [~ ~] .

11 Der Rang von RT ist ebenfalls r, und im Beispiel ist der Rang 2:

p~ lH] pT = [122] 367

13 Aus Rang(BT AT) :::; Rang(AT ), erhält man Rang(AB) :::; Rang(A), weil der Rang bei der Transposition erhalten bleibt.

15 A und B haben höchstens den Rang 2, also hat auch das Produkt höchstens den Rang 2. Da BA eine 3 x 3-Matrix ist, kann die Matrix nicht I sein, selbst wenn AB = I gilt:

A= [100] 010 n ~ [~~] AB = I und BA i- I.

17 A~ [::] [~~n ~ [m] + [ml [10] [110110] [110110] [000000]

B= 14 001001 = 110110 + 004004 . 18 110110 008008


19 Y ist gleich Z, weil die Form vollständig vom Rang bestimmt wird, der für A und AT übereinstimmt.


[5bl - 2b2 ]

3 Das System ist lösbar, wenn 2bl +b2 = b3 gilt. Dann ist x = b2 - 2bl + o

x, [~] die allgemeine Löeung.

4 (a) Lösbar für b2 = 2bl und 3bl - 3b3 + b4 = O. Eine Lösung ist x =

[ b3 ~12bl] (keine freien Variablen). (b) Lösbar für b2 = 2bl und 3bl -

3b, HF O. Eine Löeung iet x ~ [~' ~ ;~:,] +x, [:: II [

1 3 1 bl ] [ 1 3 1 b2 ] Zeile 3 - 2 Zeile 2 + 4 Zeile 1 5 3 8 2 b2 ---+ 0 -1-1 b2 - 3bl ---+ ergibt die Nullzeile

2 4 0 b3 0 - 2 - 2 b3 - 2bl 0 0 0 b3 - 2b2 + 4bl

6 Jedes b liegt im Spaltenraum: linear unabhängige Zeilen. braucht b3 = 2b2 . Zeile 3 - 2 Zeile 2 = O.

(b) Man

9 (a) Xl -x2 und 0 lösen das System Ax = 0 2Xl - X2 löst Ax = b.

(b) 2Xl - 2X2 löst Ax = 0;

10 (a) Die partikuläre Lösung x p hat immer den Vorfaktor 1.

(b) Jede Lösung kann als partikuläre Lösung verwendet werden.

(c) [~~] [~] = [~]. Dann ist [~] kürzer als [~] (d) Die homogene Lösung ist X n = O.

12 Hat Zeile 3 von U kein Pivotelement, so ist es eine Nullzeile. Ux = c ist lösbar, wenn e3 = 0 gilt. Ax = b kann unlösbar sein, weil U andere Nullzeilen haben kann.


19 Gilt AXI = bund AX2 = b, so kann man Xl - X2 zu jeder Lösung Ax = B addieren. Es gibt keine Lösung von Ax = B, wenn B nicht im Spaltenraum liegt.

23 u=(3,1,4), y=(1,2,2); u=(2,-1), y=(1,1,3,2).

24 Eine Matrix mit Rang Eins hat ein Pivotelement. Die zweite Zeile von U ist Null.

26 (UyT)(wzT ) = (uzT) mal yT w. Der Rang ist Eins, außer wenn yTW = o. 28 (a) r < m, es gilt immer r :S n (b) r = m, r < n (c) r < m,

r=n (d) r=m=n.

[ 1230] [1200] [-2] [1235] [1 2 0-1] 31 0 0 4 0 -+ 0 0 1 0 ; X n = ~; 0 0 4 8 -+ 0 0 1 2 und

x, ~ [-~]. Die Pivot.'palten enthalt.en ,he Einheit,matdx I, d"halb

tauchen -1 und 2 im Vektor x p auf.

[ 1000] [0] [1 32 R = 0 0 1 0 und X n = 1; 0 0000 0 0

o 0-1] o 1 2 : wegen Zeile 3 keine 005

Lösung.

34 A ~ [~i]; B kann nicht. ""'t.ieeen, da 2 Gleichungen in 3 Unbekannt.en

keine eindeutige Lösung haben können.

[1 000]

35 LU = 1100 2210 1201

[~-~ ~] und x ~ H] +x{n undkeme

Lösung.

36 A = [~~].



[ 1 1 1] [Cl] 1 ° 1 1 C2 = ° liefert Cg = C2 = Cl 001 Cg

= 0. Es ist aber - 2VI - 3V2 -

4vg + V4 = 0 (linear abhängig).

2 VI, V2, Vg sind linear unabhängig. Alle sechs Vektoren liegen in der Ebene (1,1,1,1) . V = 0, so dass keine vier dieser Vektoren linear unabhängig sein können.

3 Für a = ° ist Spalte 1 = 0; für d = ° ist b(Spalte 1) - a(Spalte 2) = 0; für f = ° haben alle drei Vektoren Null als letzte Komponente, sind also senkrecht zu (0,0,1). Die Vektoren liegen in der xy~Ebene und sind daher linear abhängig.

6 Die Spalten 1, 2, 4 von U sind linear unabhängig. Dasselbe gilt für die Spalten 1, 3, 4 und die Spalten 2, 3, 4 und weitere (aber nicht 1, 2, 3). Dieselbe Antwort auch für A (obwohl die Spalten nicht identisch sind).

8 Aus CI(W2 + Wg) + C2(WI + Wg) + Cg(WI + W2) = 0 folgt (C2 + Cg)WI + (Cl + Cg)W2 + (Cl + C2)W3 = O. Da die Wi linear unabhängig sind, folgt daraus C2 + Cg = 0, Cl + Cg = 0, Cl + C2 = 0. Die einzige Lösung ist Cl = C2 = Cg = 0.

9 (a) Die vier Vektoren bilden die Spalten einer 3 x 4~Matrix A. Es gibt eine nichttriviale Lösung zu Ac = 0, weil es mindestens eine freie Variable gibt. (c) OVI + 3(0,0,0) = O.

11 (a) Gerade Raum ]E.g.

(b) Ebene (c) Ebene im ]E.g (d) Der gesamte

12 Ein Vektor b liegt im Spaltenraum, wenn es eine Lösung der Gleichung Ax = b gibt; c liegt im Zeilenraum, wenn es eine Lösung zu AT y = c gibt. Die Behauptung ist falsch. Der Nullvektor gehört immer zum Zeilenraum.

14 Die Dimension von S ist (a) null für x = 0 (b) eins für x = (1,1,1,1) (c) drei, wenn x = (1,1, -1, -1) gilt, weil alle Umordnungen dieses Vektors senkrecht auf (1,1,1,1) stehen (d) vier, wenn die x'e nicht gleich sind und ihre Summe nicht null ist. Kein x ergibt dimS = 2.

16 Die n linear unabhängigen Vektoren spannen einen Raum der Dimension n auf. Sie bilden eine Basis für diesen Raum. Handelt es sich um die Spalten von A, so ist m nicht kleiner als n (m ~ n).


19 (a) Die 6 Vektoren erzeugen den ]R4 möglicherweise nicht. (b) Die Vektoren sind nicht linear unabhängig. (c) Vier beliebige Vektoren bilden möglicherweise eine Basis.

22 (a) Die einzige Lösung ist x = 0, weil die Spalten linear unabhängig sind. (b) Ax = b ist lösbar, weil die Spalten den]R5 aufspannen.

25 (a) Falsch für [1 1] (b) Falsch (c) Wahr: Beide Dimensionen sind 2, wenn A invertierbar ist, die Dimensionen sind 0, wenn A = 0 ist, andernfalls sind die Dimensionen gleich 1 (d) Falsch, die Spalten können linear abhängig sein.

27 (a) [~ ~ ~l' [~~ ~l' [~~ ~l 000 000 001

(b) Addiere [~~ ~l' [~~ ~l' [~~ ~l' 000 100 010

31 (a) Alle 3 x 3~Matrizen fachen cI.

(b) Obere Dreiecksmatrizen (c) Alle Viel-

35 (a) y(x) = e2x (b) y = x (in jedem Fall ein Basisvektor).

37 Basis l,x,x2 ,x3 ; Basis x -1,x2 -1,x3 -1.

38 Basis für S: (1,0, -1,0), (0,1,0,0), (1,0,0, -1); Basis für T: (1, -1,0,0) und (0,0,2,1); Sn T hat die Dimension 1.


2 A: Zeilenraum (1,2,4); Kern (-2,1,0) und (-4,0,1); Spaltenraum (1,2); Kern der Transponierten (-2,1). B: Zeilenraum (1,2,4) und (2,5,8); Spaltenraum (1,2) und (2,5); Kern (-4,0,1); Die Basis für den Kern der Transponierten ist die leere Menge;

4 (a) [Hl (b) Unmöglich: r + (n - r) muss 3 sem (c) [00]

(d) [-~-n (e) Unmöglich: Zeilenraum = Spaltenraum setzt m = n

voraus. Dann muss auch m - r = n - r gelten.


6 A: Zeilenraum (0,3,3,3) und (0, 1, 0, 1); Spaltenraum (3,0,1) und (3,0,0); Kern (1,0,0,0) und (0,-1,0,1); Kern der Transponierten (0,1,0). B: Zeilenraum (1), Spaltenraum (1,4,5), Kern: leere Basis, Kern der Transponierten (-4,1,0) und (-5,0,1).

7 A ist invertierbar: Basis des Zeilenraums = Basis des Spaltenraums = (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1); die Basen von Kern und Kern der Transponierten sind leer. Matrix B: Basis des Zeilenraums (1,0,0,1,0,0), (0,1,0,0,1,0) und (0,0,1,0,0,1); Basis des Spaltenraums (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1); Basis des Kerns (-1,0,0,1,0,0), (0, -1,0,0,1,0), (0,0, -1,0,0,1) Der Kern der Transponierten ist der Nullraum.

8 Zeilenraumdimensionen 3,3,0; Spaltenraumdimensionen 3,3,0; Dimensionen des Kerns 2,3,2; Dimensionen des Kerns der Transponierten 0,2,3.

11 (a) Dass es keine Lösungen gibt, bedeutet r < m. Es gilt immer r :::; n. Die Werte für mund n lassen sich nicht vergleichen (b) Ist m-r > 0, so enthält der Kern der Transponierten einen nichttrivialen Vektor.

[ 11] [101] [221] 12 ~ ~ 1 2 ° = ~ ~ ~ ; r + (n - r) = n = 3 aber 2 + 2 ist 4.

13 (a) Falsch (b) Wahr (c) Falsch (man wähle A und B von gleicher Größe und invertierbar).

14 Basis des Zeilenraums (1,2,3,4), (0,1,2,3), (0,0,1,2); Basis des Kerns (0,1, -2, 1); Basis des Spaltenraums (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1); der Kern der Transponierten ist der Nullraum.

16 Gilt einerseits Av = 0 und ist v andererseits eine Zeile von A, so gilt v·v = 0.

18 Es gilt Zeile 3 - 2 Zeile 2 + Zeile 1 = 0, so dass die Vektoren c(l, -2, 1) im Kern der Transponierten liegen. Dieselben Vektoren liegen auch im Kern.

19 Das Eliminationsverfahren führt auf ° = b3 - b2 - b1 , so dass (-1, -1, 1) im Kern der Transponierten liegt. Das Eliminationsverfahren führt auf b3 - 2b1 = ° und b4 + b2 - 4b1 = 0, so dass (-2,0,1,0) und (-4,1,0,1) im Kern der Transponierten liegen.

20 (a) Alle Linearkombinationen von (-1,2,0,0) und (-t, 0, -3, 1) (b) 1 (c) (1,2,3),(0,1,4).


21 (a) u und w (b) y und z (c) Der Rang ist kleiner als 2, wenn u und

w oder y und z linear abhängig sind. (d) Der Rang von UyT + wzT

ist 2.

22 [H 1 [~~ ~ 1 ~ U m 25 (a) Wahr (gleicher Rang) (b) Falsch A = [1 0] (c) Falsch (A kann

invertierbar und unsymmetrisch sein) (d) Wahr.

27 Man wählt d = bc/a. Dann hat der Zeilenraum die Basis (a, b) und der Kern die Basis (-b, a).

28 Beide Ränge sind 2; Zeilen 1 und 2 bilden eine Basis; N(BT ) besteht aus sechs Vektoren mit 1 und -1 durch eine Null voneinander getrennt; N(CT ) besteht aus (-1,0,0,0,0,0,0,1), (0,-1,0,0,0,0,1,0) und den Spalten 3,4,5,6 von I; N(C) bleibt eine Herausforderung.


3 (a) [ ~-~-~l -3 5-2

(h) H 1 ,teht nicht ,enkcecht auf m (c) A = [~n (d) Zeile 1+ Zeile 2+ Zeile 3 = (6, ) ist von

Null verschieden; es gibt keine solche Matrix (e) (1,1,1) liegt in Kern und Zeilenraum - es gibt keine solche Matrix.

5 (a) Hat die Gleichung Ax = b eine Lösung und gilt AT Y = 0, so steht y

senkrecht auf b. (Ax)T y = b T Y = 0 (b) Hat die Gleichung Ax = b keine Lösung, so liegt b nicht im Spaltenraum und steht nicht senkrecht auf y.

6 Es gilt x = X r + x n , wobei X r im Zeilenraum und X n im Kern liegt. Daher gilt AXn = 0 und Ax = Axr+Axn = AXT' Alle Vektoren Ax sind Linearkombinationen der Spalten von A.

7 Liegt Ax im Kern von AT, so muss Ax gleich Null sein, da der Vektor außerdem im Spaltenraum liegt und daher senkrecht auf sich selbst steht.

8 (a) Spaltenraum und Zeilenraum einer symmetrischen Matrix stimmen überein (b) x liegt im Kern, und z liegt im Spaltenraum = Zeilen-raum, da A = AT.


10 x = X r + X n = (1, -1) + (1, 1) = (2, 0) .

13 Ist S der Unterraum des ]R3, der nur den Nullvektor enthält, so ist SJ.. gleich]R3. Wird S durch den Vektor (1,1,1) erzeugt, so wird SJ.. durch die Vektoren (1, -1,0) und (1,0, -1) aufgespannt. Wird S durch die Vektoren

(2,0,0) und (0,0,3) erzeugt, so wird SJ.. durch (0,1,0) aufgespannt.

14 SJ.. ist der Kern der Matrix A = [~~ ~ ] . Deshalb ist SJ.. ein Unterraum,

obwohl S keiner ist.

17 Die Vektoren (-5,0,1,1) und (0,1,-1,0) spannen SJ.. auf.

19 Ein Vektor x in VJ.. steht senkrecht auf jedem Vektor in V. Da V alle Vektoren in S enthält, steht x auch senkrecht auf jedem Vektor in S. Deshalb ist jeder Vektor x in VJ.. ebenfalls in SJ.. enthalten.

20 Spalte 1 von A -1 ist orthogonal zu dem Raum, der von den Zeilen 2, ... , n von A aufgespannt wird.

24 (a) Der Vektor (1, -1,0) liegt in beiden Ebenen. Die Normalenvektoren stehen senkrecht aufeinander, aber die Ebenen schneiden sich. (b) Der Vektor (2, -1,0) steht senkrecht auf der ersten, aber nicht auf der zweiten Geraden. (c) Geraden können sich schneiden, ohne orthogonal zu sein.


(2) P = (1,3,1); e = (0,0,0).

6 Es gilt P1 = (~, -~, -~), P2 = (t, t, -~) und P3 = (t, -~, t)· Daher

P1 + P2 + P3 = (1,0,0) = b.

8 Es gilt P1 = (1,0) und P2 = (0,6, 1,2). Daher P1 + P2 # b.


10 Es gilt P = I. Ist A invertierbar, so ist P = A(AT A)-1 AT = AA-1(AT)-1 AT = I.

11 (1) p = A(AT A)-1 ATb = (2,3,0) und e = (0,0,4) und e = o.

(2) p = (4,4,6)

14 Die Projektion von b auf den Spaltenraum von A ist b selbst, aber P

muss nicht unbedingt I sein. P = A 8 17 2 und p = (0,2,4). [ 5 8-4] -4 220

16 Es gilt ~(1, 2, -1) + ~(1, 0, 1) = (2,1,1). Deshalb liegt b in der Ebene.

17 EsgiltP2 = Punddeshalb (I_p)2 = (I-P)(I-P) = I-PI-IP+p2 = 1- P. Ist P die Projektion auf den Spaltenraum von A, so ist 1- P die Projektion auf den Kern der Transponierten von A.

[ 1/6-1/6-1/3] [5/6 1/6 1/3]

20 e = (1, -1, -2), Q = -1/6 1/6 1/3 , P = 1/6 5/6-1/3 . -1/3 1/3 2/3 1/3-1/3 1/3

21 (A(AT A)-1 AT )2 = A(AT A)-1(AT A)(AT A)-1 AT = A(AT A)-1 AT. Es

gilt also p 2 = P. Pb liegt immer im Spaltenraum (auf den P projiziert). Deshalb ist P(Pb) gleich Pb.

24 Der Kern von AT ist orthogonal zum Zeilenraum Z(A). Gilt also ATb = 0, so sollte die Projektion von b auf Z(A) der Vektor p = 0 sein. Rechnen Sie Pb = A(AT A)-1 ATb = A(AT A)-10 = 0 nach.

26 A -1 existiert wegen r = m. Multipliziert man A2 = A mit A -1, so erhält man A = I.

27 Ax liegt im Kern von A. Aber Ax liegt immer im Spaltenraum von A. Damit der Vektor in beiden orthogonalen Unterräumen liegen kann, muss Ax der Nullvektor sein. Daher haben A und AT A denselben Kern.


1 [m [gj ~ Ul Mit p ~ U 1 i,t x ~ (1,1) die ~~te L&ung.


2 AT A = [: 2~]' ATb = [13162]' Es gilt x = (1,4). Die vier Höhen sind 1,

5, 13, 17. Die Fehler sind -1,3, -5,3. Der minimale Fehler ist E = 44.

4 Es gilt E = (C+OD)2+(C+D-8)2+(C+3D-8)2+(C+4D-20)2 und damit oE/oC = 2C+2(C+D-8)+2(C+3D-8)+2(C+4D-20) = 0 und oE/oD = 1·2(C+D-8)+3·2(C+3D-8)+4·2(C+4D-20) = O.

Die Gleichungen sind [: 2~] [g] = [1~~]'

5 E = (C-0)2+(C-8)2+(C-8)2+(C-20)2. AT = [llll],ATA = [4],

ATb = [36) und C = 9. e = (-9, -1, -1, 11).

7 A = [0 1 34)T, AT A = [26], ATb = [112) und D = 112/26 = 56/13.

9li~ ~l [g] = l ~l [:2~ ~~] [g] = [1~~] i ! 1~ E 2~' 26 92 338 E 400'

10 [:! ~ 2~1 [~l [~l' Also [~l = ~ [-~~l ' p = bund e = O. 1 4 16 64 F 20 F 5

11 (a) Die best angepasste Gerade ist x = 1 + 4t durch den Punkt (2,9) (b) Aus der ersten Gleichung: C . m + D . 2:::1 ti = 2:::1 bio Division

durch m liefert C + Dt = b.

12 (a) Es gilt aTa = mund aTb = b1 + .. ·+bm . Deshalb ist x der Mittelwert

der b's (b) e = b - xa. IIel12 = 2:::1 (bi - X)2 (c) P = (3,3,3),

e = (-2,-1,3), pTe = O. P = ~ [i i i]. 111

13 (AT A)-l AT(Ax - b) = x-x. Die Fehlervektoren (±1, ±1, ±1) bilden die Summe 0, so dass x - x ebenfalls 0 ergibt.

14 Es gilt (x - x)(x - x)T = (AT A)-l AT (b - Ax)(b - Ax)T A(AT A)-l. Aus den Mittelwerten erhält man die "Kovarianz-Matrix" (AT A)-l AT 0- 2 A(AT A)-l, oder einfacher 0- 2 (AT A)-l.

16 16oblOO+ 19~OX99 = 16o(b1+···+blOO )'


18 p = Ax = (5,13,17) gibt die Höhen der best angepassten Geraden an. Die Fehler sind b - p = (2, -6,4).

20 x = (9,4). p = Ax = (5,13,17) = b. Der Fehler ist e = 0, da b im Zeilenraum von A liegt.

21 e liegt in N(AT ); p liegt in Z(A); x liegt in Z(AT ); N(A) = {O}.

23 Das Quadrat des Abstandes zwischen Punkten auf zwei Geraden ist E = (y - X)2 + (3y - X)2 + (1 + x? Es gilt ~8E/8x = -(y - x) - (3y -x) + (x + 1) = 0 und ~8E/8y = (y - x) + 3(3y - x) = O. Die Lösung ist

x = -t,y = -~;E = ~,und der geringste Abstand ist J?r. 24 e ist orthogonal zu p; IleW = eT(b - p) = eTb = bTb - bTp.

25 Die Ableitungen von IIAx - bl1 2 sind Null, wenn x = (AT A)-l ATb.


3 (a) AT A = 161 1,4,9.

(b) AT A ist eine Diagonalmatrix mit den Einträgen

4 (al Q ~ [Hl [100] QQT = 010 000

(b) (1,0) und (0,0) sind ortho-

gonal, aber nicht linear unabhängig

(~, -~,~, -~), (-~,~,~, -~).

6 Sind Ql und Q2 orthogonale Matrizen, so gilt (Ql Q2)T Ql Q2 = Q'f Qf Ql Q2 = Q'f Q2 = I. Dies impliziert, dass Ql Q2 ebenfalls orthogonal ist.

7 Die Kleinste-Quadrate-Lösung ist x = QTb. Die Lösung ist 0 für Q =

[ ~] und b = [~]. 9 (a) Sind ql, q2 und q3 orthonormal, so erhält man durch das Skalarpro

dukt von ql mit der Gleichung Cl ql + C2q2 + C3q3 = 0 die Gleichung Cl = O. Analog erhält man C2 = C3 = O. (b) Qx = 0 :::} QTQx = QTO = 0 :::} x = O.

10 (a) Zwei orthonormale Vektoren sind 110 (1, 3, 4,5,7) und /0 (7, -3, -4,5, -1)

(b) Der nächste Vektor in der Ebene ist die Projektion QQT (1,0,0,0,0) = (0,5, -0,18, -0,24, 0,4, 0).


11 Sind q1 und q2 orthonormale Vektoren im lR5 , so ist (qfb )q1 + (qfb )q2 am nächsten zu b.

12 (a) Es gilt afb = af(x1a1 +X2a2 +X3a3) = x1(afad = Xl. (b) Es gilt

afb = af(x1a1 + X2a2 +X3a3) = Xl (af a1) und deshalb Xl = afb/af a1· (c) Xl ist die erste Komponente von A -1 mal b .

. _(11) _(1 1) [14]_[ l[llallqfb] 14 Es g11t q1 - v'2' v'2 ' q2 - v'2' - v'2 und 10 - q1 q2 ° IIBII .

15 (a) q1 = ~(1, 2, -2), q2 = ~(2, 1, 2), q3 = ~(2, -2, -1) (b) Der

Kern von AT enthält q3 (c) X = (AT A)-l AT(l, 2, 7) = (1,2).

16 Das Vielfache p = :~~ a = !~ a = ~a ist am nächsten. Es gilt q1

a/llall = ~a und q2 = B/IIBII = ~ (6, -3, 10, 10).

18 Für A = QR ist AT A = R T R = untere multipliziert mit einer oberen Dreiecksmatrix. Die Pivotelemente von AT A sind 3 und 8.

19 (a) Wahr 0.

20 Die orthonormalen Vektoren sind (!,!,!,!) und (-5/V52,-1/V52,

1/V52, 5/V52). Damit wird b auf den Vektor p = (-3,5, -1,5, -0,5, 1,5) projiziert. Rechnen Sie nach, dass b - p orthogonal zu beiden Vektoren ist.

21 A = (1,1,2), B = (1, -1,0), C = (-1, -1, 1). Noch nicht orthonormal.

23 (a) Eine Basis für den Unterraum ist V1 = (1, -1,0,0), V2 = (1,0, -1,0), V3 = (1,0,0,1) (b) (1,1,1,-1) (c) b 2 = (!,!,!,-!) und b 1 = ( 1 1 1 3) 2' 2' 2' 2 .

( T ) BTC· 25 q2 C* q2 ist dasselbe wie BTB B, weIl q2

Spalte q1 in C* orthogonal zu q2 ist.

II~II und die zusätzliche

28 In Gleichung (4.36) fallen mn Multiplikationen an, und !m2n Multiplikationen in jedem Teil von Gleichung (4.37).

32 (a) Es gilt Qu = (1 -2uuT)u = u-2uuTu. Dies ist -u wenn uTu gleich

1 ist. (b) Qv = (I - 2uuT)v = U - 2uuT V = u, u T V = ° vorausgesetzt.

33 Die Spalten der Wavelet-Matrix W sind orthonormal. Daher gilt W- 1 = W T . In Abschnitt 7.3 erfahren Sie mehr über Wavelets.



2 Es gilt det(~A) = (~)3detA

det(A2 ) = 9 und det(A-1) = -~.

-~, det( -A)


3,

4 Vertauschen Sie Zeilen 1 und 3. Vertauschen Sie Zeilen 1 und 4, dann 2 und 3.

5 IJ5 1 = I, IJ6 1 == -I, Ihl = -1. Die Determinanten sind I, I, -I, -I, I, I, ... es gilt also IJ101 I = 1.

6 Man multipliziert die Nullzeile mit t. Dann wird auch die Determinante mit t multipliziert - die Matrix bleibt aber unverändert::::} det = O.

10 Bilden die Einträge jeder Zeile die Summe null, so liegt (I, 1, ... ,1) im Kern: die singuläre Matrix A hat det = O. Bilden die Einträge jeder Zeile die Summe eins, so bilden die Einträge der Zeilen der Matrix A - I die Summe null (nicht notwendigerweise det A = 1).

11 Es gilt GD = -DG ::::} IGDI = (-l)nIDGI und nicht -IDCj. Ist n gerade, so ist IGDI =I- 0 möglich.

[ d -b] 12 det(A-1) = det ad-be ad-be = ad-be = _1_. ~ _a_ (ad-be)2 ad-be ad-be ad-be

13 det(A) = 24 und det(A) = 5.

15 detA = 0 und detK = o.

16 Für eine beliebige schiefsymmetrische 3 x 3-Matrix K gilt det(KT )

det( -K) = (-1)3det(K), also -det(K). Es gilt aber auch det(KT )

det(K), daher muss det(K) = 0 gelten.

[a - Lc b - Ld] 19 det c-la d-lb = (ad-bc)(l-Ll).

20 Regel 2 folgt aus den Regeln 5 und 1.

21 Esgiltdet(A) =3, det(A-1)=i, det(A-AI)=A2 -4A+3.AusA=1 und A = 3 folgt dann det(A - AI) = O.

24 Zeile 2 = 2 mal Zeile I, daher det A = o. 25 Zeile 3 - Zeile 2 = Zeile 2 - Zeile 1, daher ist A singulär.


28 [8f!8a 81 /8c] = [ad~bc ad-}:bc] = _1_ [ d-b] = A-1. 81/8b 81/ 8d ai~bc ad~bc ad-bc -c a


1 Es gilt det A = 4, die Spalten sind linear unabhängig; weiter ist det B = 0, die Spalten sind linear abhängig.

3 Jeder der sechs Terme in det A ist null, der Rang ist höchstens 2; Spalte 2 besitzt kein Pivotelement.

5 ana23a32a44 ergibt -1, a14a23a32a41 ergibt +1, daher ist det A = 0; det B = 2·4·4·2 - 1 ·4·4·1 = 48.

7 (a) Mit an = a22 = a33 = 0 haben vier Summanden garantiert den Wert null. (b) 15 Summanden sind null.

8 Für 5!/2 = 60 Permutationsmatrizen gilt det(P) = +1. Man setze Zeile 5 von I als erste Zeile.

9 Es sei a1o:a2ß ... a nw =I- o. Man setze dann die Zeilen 1, 2, ... , n an die Stellen 0:, ß, ... ,w. Dann erscheinen die von Null verschiedenen Einträge auf der Hauptdiagonalen.

11 C = [_~-~]. C = [ ~-~i-~~l. IBI = 1(0) + 2(42) + 3(-35) = -21. -3 6-3

12 Es gilt C = [~~ ~l und ACT = [~~ ~l· Daher ist A-1 = tCT. 123 004

[ 1-1 1 + det -1 2 -1-1

[ 1-1] 21 B31 - det -1 2

15 Man setzt zuerst Spalte 2, dann Spalte 1, dann Spalte 4, dann Spalte 3, und so weiter. Deshalb muss n gerade sein, damit det An =I- 0 gilt. Die Anzahl der Zeilenvertauschungen ist ~, es gilt also Cn = (_1)n/2.

16 Der Kofaktor in Position (1,1) ist En - 1 . Der Kofaktor in Position (1,2) hat eine einzelne Eins in der ersten Spalte mit zugehörigem Kofaktor E n - 2 . Aus den Vorzeichen ergibt sich En = E n - 1 - E n - 2 . Daher wiederholt sich ein Muster 1, 0, -1, -1, 0, 1; es gilt E lOO = -1.


17 Der Kofaktor in Position (1,1) ist Fn - 1 . Der Kofaktor in Position (1,2) hat eine Eins in der ersten Spalte mit zugehörigem Kofaktor Fn - 2 • Nach Multiplikation mit den Vorzeichen (_1)1+2 und der (-1) vom Eintrag (1,2) erhält man Fn = Fn- 1 + Fn- 2.

20 Es gilt G2 = -1, G3 = 2, G4 = -3, und Gn = (_I)n-1(n - 1).

21 (a) Für jeden Eintrag aus B muss man auch einen Eintrag aus dem Nullblock wählen, diese Summanden sind also null. Es bleiben die Einträge

aus A und D, die zu IAIIDI führen. (b) und (c) Man nehme A = [~~],

B= [~~], C= [~~], D= [~~]. 22 (a) Für alle L's gilt det = 1; weiter det Uk = det Ak = 2, dann 6, dann

-6 (b) die Pivotelemente sind 2, ~, -~.

23 Aus Aufgabe 21 hat man det [-CA-i ~] = 1 und det [~~] = lAI malID-CA-1BI. Für AC = CA ist dies IAD-CAA-1 BI = IAD-CBI.

24 Ist A eine Zeile und B eine Spalte, so gilt det M = det AB = Skalarprodukt von A und B. Ist A eine Spalte und B eine Zeile, so hat AB den Rang 1, und det M = det AB = 0 (außer für m = n = 1).

25 (a) Es gilt det A = allAll + a12A12 + ... + a1nA1n. Die Ableitung nach all ist der Kofaktor All (b) 8ln (det A) / Ball = All / det A ist der Eintrag (1,1) der inversen Matrix A-1 .

27 Die fünf von Null verschiedenen Produkte sind alle ±1:

+ (1,1)(2,2)(3,3)(4,4) + (1,2)(2,1)(3,4)(4,3) - (1,2)(2,1)(3,3)(4,4)

- (1,1)(2,2)(3,4)(4,3) - (1,1)(2,3)(3,2)(4,4).

Insgesamt 1 + 1 - 1 - 1 - 1 = -1.

29 Es gilt IS11 = 3, IS21 = 8, IS31 = 21. Die Reihe scheint jede zweite der Fibonacci-Zahlen ... 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... zu enthalten, man rät daher IS41 = 55. Wie in der Lösung zu Aufgabe 28 (mit 3 an Stelle von 2) erhält man IS41 = 81 + 1 - 9 - 9 - 9 = 55.

31 Die Änderung von 3 zu 2 in der Ecke ändert die Determinante um 1 mal den Kofaktor des Eckeintrags. Dieser Kofaktor ist die Determinante von Sn-1, also F2n . Ändert man also 3 in 2, so ändert man die Determinante von F2n+2 zu F2n+2 - F2n , also F2n+1.



1 (a) Es gilt det A = 5, det BI = 10, det B 2 = -5, die Lösung ist daher Xl = 2 und X2 = -1 (b) Es gilt lAI = 4, IBll = 3, IB21 = -2, IB31 = 1 und damit Xl = ~, X2 = -~ und X3 = i.

3 (a) Xl = 3/0 und X2 = -2/0: keine Lösung X2 = 0/0: unbestimmt.

0/0 und

4 (a) Es gilt det([b a2 a3])/detA, falls detA f. 0 (b) Die De-terminante ist eine lineare Funktion in der ersten Spalte, daher gilt xllal a2 a31 + x21a2 a2 a31 + x31a3 a2 a31. Die letzten beiden Determinanten sind null.

5 Ist die erste Spalte von A gleich der rechten Seite b, so gilt det A = det BI. Sowohl B 2 als auch B 3 sind singulär, da eine Spalte doppelt vorkommt. Daher gilt Xl = IBll/IAI = 1 und X2 = X3 = O.

4" 2" 4" [ 1-~ 0] 6 (a) 0 i 0

O-~ 1

[3 1 1] (b) ! I! . Die Inverse einer symmetrischen Ma

l 1 3 4" 2" 4"

trix ist symmetrisch.

7 Sind alle Kofaktoren Null, so wäre A- l gleich der Nullmatrix, falls sie

existierte: sie kann also nicht existieren. Die Matrix A = [i i] hat keinen

Kofaktor Null, ist aber nicht invertierbar.

[ 6-3 0] [300] 8 Es gilt C = -3 4-1 und ACT = 030 0-1 1 003

und daher det A = 3.

10 Berechnen Sie auf beiden Seiten die Determinante. Auf der linken Seite erhält man detACT = (detA)(detC), auf der rechten Seite (detA)n. Dividieren Sie dann noch durch det A.

1 11 Man bestimmt zunächst detA = (detC)n-l mit n = 4 und daraus

det A -1 = 1/ det A. Dann konstruiert man A -1 mit Hilfe der Kofaktoren, und invertiert die Matrix, um A zu bestimmen.

13 Sowohl det A als auch det A -1 sind ganze Zahlen, da die Matrizen nur ganze Zahlen enthalten. Es gilt aber det A -1 = 1/ det A, also muss det A = 1 oder -1 sein.

15 (a) C2l = C3l = C32 = 0


16 Für n = 5 besteht die Matrix C aus 25 Kofaktoren, jeder 4 x 4-Kofaktor besteht aus 24 Termen, die jeweils 3 Multiplikationen erfordern: insgesamt 1800 gegenüber 125 für das Gauss-Jordan-Verfahren.

17 (a) Flächeninhalt I r ~ I = 10 (b) 5 (c) 5.

18 Volumen = 1 r H 1 = 20. Flächeninhalt der Seitenfläche 1 1 3

Kreuzprodukts 1 ~ i 71 = 6V2. 1 3 1

Länge des

19 (a) ~ 1 ~ ~ ~ 1 = 5 (b) 5 + zusätzlicher Flächeninhalt 11 Ö g t 1 = 2 -1 0 1

5 + 7 = 12.

21 (a) Es gilt V = L 1L2 L3 , wenn die Seiten rechtwinklig sind. (b) laijl :s; 1 liefert jeweils L :s; 0. Das Volumen ist daher :s; (0)3 < 6. Herausforderung: Ist das Volumen 5 möglich?

24 Der Kasten hat die Höhe 4, und das Volumen ist 4. Die Matrix ist

[ ~ ~ ~] ; es gilt ix j = kund (k . w) = 4. 234

25 Ein n-dimensionaler Würfel hat 2n Ecken, n2n - 1 Kanten und 2n(n -l)-dimensionale Seitenflächen. Der Würfel mit den Spalten von 21 als Kanten hat das Volumen 2n .

26 Die Pyramide hat das Volumen i. Die vier dimensionale Pyramide hat

das Volumen 214.

28 Es gilt J = sin 'P sin iJ p cos r,:; sin iJ p sin 'P cos iJ = p2 sin 'P, man benötigt die-1

sin 'P cos iJ p cos 'P cos iJ - p sin 'P sin iJ 1

cos 'P - P sm 'P 0

sen Ausdruck für Dreifachintegrale über Kugeln.

E ·1 lar/ax ar/ay I_I cosiJ siniJ 1_ 1 29 S gl t aiJ/ax aiJ/ay - -~siniJ ~cosiJ - r:.

30 Das Dreieck mit den Ecken (0,0), (6,0), (1,4) hat einen Flächeninhalt von 24. Eine Drehung um e = 600 lässt den Flächeninhalt unverändert.

Die Determinante der Drehmatrix ist J = I C?S iJ - sin iJ I = 1 ~ - v.: 1 = 1. sm iJ cos iJ v.: ~

[ 240] 32 Es gilt V = det -1 3 0 = 20. 122


34 Es gilt (w X u) . v = (v X w) . u = (u X v) . w: Zyklische Vertauschungen = gerade Permutationen von (u, v, w).

35 Es gilt S = (2,1, -1). Der Flächeninhalt ist IIPQxPSl1 = 11(-2, -2, -1)11 = 3. Die anderen vier Ecken könnten (0,0,0), (0,0,2), (1,2,2), (1,1,0) sein. Das Volumen des Parallelepipeds ist 1.

36 Sind (1,1,0), (1,2,1) und (x, y, z) koplanar, so ist das Volumen

det [~ i ~] = ° = x - y + z. 121

[X Y z]

37 Es gilt det 3 2 1 = ° = 7x-5y+z; die Ebene mit den beiden Vektoren. 1 23


1 A, A2 und Aoo besitzen alle dieselben Eigenvektoren. Die Eigenwerte sind 1 und 0,5 für A, 1 und 0,25 für A 2 , 1 und ° für A 00. Daher liegt A 2

halbwegs zwischen A und A 00 .

Vertauscht man die Zeilen von A, so ändern sich die Eigenwerte zu 1 und -0,5, weil es sich weiterhin um eine Markov-Matrix mit Eigenwert 1 handelt, die Spur jetzt aber 0,2 + 0, 3 ist, so dass der andere Eigenwert gleich -0,5 sein muss. Die Eigenwerte können sich also völlig ändern, wenn man Zeilen vertauscht. Singuläre Matrizen bleiben während des Elmininationsverfahrens singulär.

2 Die Eigenwerte sind Al = -1 und A2 = 5 mit den Eigenvektoren Xl = (-2,1) und X2 = (1,1). Die Matrix A + I hat dieselben Eigenvektoren mit den Eigenwerten ° und 6.

4 A hat die Eigenwerte Al = -3 und A2 = 2 mit den Eigenvektoren Xl = (3, -2) und X2 = (1,1). A 2 hat dieselben Eigenvektoren wie A mit den

Eigenwerten Ai = 9 und A~ = 4.

6 A und B haben die Eigenwerte Al = 1 und A2 = 1. AB und BA haben die

Eigenwerte A = ~(3±v'5). Die Eigenwerte von AB sind nicht Eigenwerte von A mal Eigenwerte von B. Die Eigenwerte von AB sind gleich den Eigenwerten von BA.

8 (a) Man berechnet Ax, erhält AX und damit A. (b) Man löst (A -AI)X = 0, um X zu bestimmen.


10 A hat die Eigenwerte Al = 1 und A2 = 0,4 zu den Eigenvektoren Xl = (1,2) und X2 = (1,-1). Aoo hat die Eigenwerte Al = 1 und A2 = ° zu denselben Eigenvektoren. A 100 hat die Eigenwerte Al = 1 und A2 = (0,4)100, also beinahe null. Deshalb ist AloO nahe bei Aoo.

12 (a) Es gilt Pu = (uuT)u = u(uT u) = u und daher A = 1. (b) Es gilt Pv = (uuT)v = u(uTv) = O. (c) Die Vektoren Xl = (-1,1,0,0), X2 = (-3,0,1,0) und X3 = (-5,0,0,1) sind Eigenvektoren mit A = 0.

14 Es gilt A = ~(-1 ± iV3); A = -1 und 1 (mehrfacher Eigenwert 1).

15 Man setzt A = ° und erhält detA = (Ad(A2)'" (An).

16 Hat A die Eigenwerte Al = 3 und A2 = 4, so gilt det(A - AI) = (A -3)(A - 4) = A2 - 7A + 12. Es gilt immer Al = ~(a + d + J(a - d)2 + 4bc)

und A2 = ~ (a + d - V ). Die Summe ist a + d.

22 A = 1 (für eine Markov-Matrix), ° (für eine singuläre Matrix), -~ (so

dass die Summe gleich der Spur ~ ist).

26 A = 1, 2, 5, 7.

27 Rang(A) = 1 mit A = 0, 0, 0, 4; Rang(C) = 2 mit A = 0, 0, 2, 2.

28 B hat die Eigenwerte A = -1, -1, -1,3, es gilt also detB = -3. Die 5 x 5-Matrix A hat die Eigenwerte A = 0, 0, 0, 0, 5, und B = A - I hat die Eigenwerte A = -1, -1, -1, -1,4.

30 Es gilt [~~] [~] = [~:!] = (a + b) [~]; A2 = d - b, damit sich die

Spur a + dergibt.

32 (a) u ist eine Basis für den Kern, v und w bilden eine Basis für den Spaltenraum. (b) X = (0, h t) ist eine spezielle Lösung. Man kann

jedes (c,O,O) addieren. (c) Hätte die Gleichung Ax = u eine Lösung, so läge u im Spaltenraum, der die Dimension 3 haben müsste.


. [12] [11] [10] [1-1] [11] 1 Es güt ° 3 = ° 1 ° 3 ° 1 und 2 2 [ 11] [00] [~-il -12 03 1 1

3 3


4 Gilt A = SAS-1 so ist die Eigenwertmatrix für A + 21 gleich A + 21, und die Eigenvektormatrix ist weiterhin S. Daher gilt A + 21 = S(A + 21)S-1 = SAS- 1 + S(21)S-1 = A + 21.


. 2 [2 1] A3 [3 2] A4 [5 3] 9 Es gllt A = 1 l' = 2 l' = 3 2 ; F20 = 6765.

10 (a) A = [°15 °05] hat die Eigenwerte Al = 1, A2 = -~ mit den Eigenvek-

[1 1] [ln ° ] [~ 1] toren Xl = (1,1), X2 = (1,-2) (b)An = 1-2 ° (-0,5)n i-i-t AOO = [: !]

13 Es gilt A 20(X1 + X2) = A20X1 + A20X2 = AiOx1 + A~OX2. Die zweite Komponente ist Aio + A~o. Es gilt F20 = 15127.

15 (a) Wahr

16 (a) Falsch

20 Es gilt A

(b) Falsch

(b) Wahr

(c) Falsch.

(c) Wahr.

21 E ·lt A = [0,9 0] S = [3-3]. BlO [3] = (09)10 [3] BlO [ 3] Sgl ° 03 ' 1 1 ' 1 ' l' -1 ,

(0,3)10 [-i], BIO [~] = Summe der beiden.

. [1 1] [3 O]k [1 1] [3k 3k - 2k ] 23 Es gllt Bk = 0-1 ° 2 0-1 = ° 2k .

24 Es gilt detA = (detS)(detA)(detS-1) = detA = Al·· ·An . Dies ist möglich, wenn A diagonalisierbar ist.


26 Unmöglich, weil die Spur von AB - BA gleich Spur AB - Spur BA = 0

ist. E = [i n· 29 Hat A die Spalten (Xl, ... , x n), so bedeutet A2 = A, dass (AXl,"" Axn) =

(Xl, ... ,Xn ) gilt. Alle Vektoren des Spaltenraums sind Eigenvektoren mit Eigenwert A = 1. Der Kern hat immer den Eigenwert A = O. Die Summe der Dimensionen ist n =} A ist diagonalisierbar.

30 Zwei Probleme: Kern und Spaltenraum können eine nichttriviale Schnittmenge haben, und es muss nicht r linear unabhängige Eigenvektoren im Spaltenraum geben.

31 Es gilt R = SJ!1S-l [~ ~]; die Quadratwurzel von B hätte die

Eigenwerte A = v'9 (reell) und A = A (imaginär), so dass die Spur

nicht reell ist. [-~ _ ~] hat eine reelle Quadratwurzel [_ ~ ~ ] .

35 Gilt A = SAS- l , so ist das Produkt (A - Al I) ... (A - AnI) gleich S(AAlI)'" (A - AnI)S-l. Zeile j des Faktors A - AjI ist null, es sind also alle Zeilen des Produktes Null, es ergibt sich die Nullmatrix.

36 A2 - 1 kann in (A - l)(A + 1) zerlegt werden, so dass nach Aufgabe 35 (A-I)(A+I) die Nullmatrix ist. Dann gilt A2 = I und A = A-l . Hinweis: Es ist nicht nötig, p(A) = det(A - AI) in der Form (A - Ad ... (A - An) zu faktorisieren. Der Satz von Cayley-Hamilton besagt schlicht, dass p(A) die Nullmatrix ist.

37 (a) Die Eigenvektoren zu A = 0 spannen immer den Kern auf. (b) Die Eigenvektoren zu Eigenwerten A -I- 0 spannen den Spaltenraum auf, wenn es r linear unabhängige Eigenvektoren gibt. Dann ist die algebraische gleich der geometrischen Vielfachheit eines jeden von Null verschiedenen Eigenwerts A.


1 Es gilt Ul = e3t [~] und U2 = e- t [_~]. Mit u(O) (4,0) ist u(t)

e3t [~] + e- t [- ~ ] .


2 Es gilt d2y/dt2 = 2dy/dt+3y. Für y = e>.t wird die Gleichung zu ),2 e>d = 2)'e>.t + 3e>.t oder A2 - 2A - 3 = O. Dies ist det(A - AI) = O. Es löst also

y = eAt die Gleichung, wenn A ein Eigenwert ist.

4 Es gilt z(t) = -2et , dann liefert dy/dt = 4y-6et mit y(O) = 5 die Lösung y(t) = 3e4t + 2et wie in Aufgabe 3.

6 [~-~] hat die Eigenwerte Al =5ZUXI = (2,1), A2=2zux2=(1,2);

Es gilt r(t) = 20e5t + 10e2t , w(t) = lOe5t + 20e2t . Das Verhältnis von Kaninchen zu Wölfen geht gegen 2 zu 1.

. [01] [lt] 9 Es gIlt eAt = 1+ t 00 + Nullen = 01 .

11 Ist A eine schiefsymmetrische Matrix, so ist Q = eAt eine Orthogonalmatrix, und es gilt IleAtu(O)11 = Ilu(O)II.

12 (a) Es gilt [~] ~ [~] + ~ [_!]. Damit folgt u(t)

le- it [ ~] = [c~st]. 2 -z smt

14 Es gilt u p = A-lb, u p = 4 und u(t) = ce2t + 4; weiter u p = [~] und

u(t) =cle2t [~] +C2e3t [~] + [~].

15 Einsetzen von u = ecty liefert cecty = Aecty - ectb oder (A - cI)y = b

oder y = (A - cI)-lb = partikuläre Lösung.

19 Die Lösung zur Zeit t + T ist ebenfalls eA(t+Tlu(O). Es gilt also eAt mal eAT gleich eA(t+Tl.

20 Es gilt A = [~~] [ 1 1] [1 0] [1 1 ] At _ [1 1] [et 0] [1 1 ] 0-1 0 0 0 -1 und e - 0 -1 0 1 0 -1

[ et et - 1] 01'


22 Es gilt eA = [e e -1] eB = [1-1] eAeB -I- eBeA = [e e] eA+B = o l' 0 l' r 01 '

23 (a) Die Inverse von eAt ist e-At (b) Gilt Ax = AX, so gilt eAtx = eAtx

und eAt -I- O.

24 x(t) = e4t und y(t) = _e4t ist eine wachsende Lösung. Die Matrix für

das vertauschte System ist [_~ -~] , die dieselben Eigenwerte hat wie die

ursprüngliche Matrix.


5 Es gilt Q = k 2 - 2 -1 . [ 2 1 2] -1-2 2

7 (a) U~] (b) Die Pivotelemente haben dieselben Vorzeichen wie die

Eigenwerte (c) Es gilt Spur = Al + A2 = 2, deshalb kann A keine zwei negativen Eigenwerte haben.

8 Gilt A3 = 0, so sind alle A3 = 0, und deshalb alle A = 0 wie in A = [~~]. Ist A symmetrisch, so ergibt sich aus A3 = QA3QT = 0 die Matrix A = 0 und damit A = o.

9 Ist A komplex, so ist X ebenfalls ein Eigenwert, und A + X is reell. Die Spur is reell, deshalb muss der dritte Eigenwert reell sein.

10 Ist x nicht reell, so ist A = x T Ax/xT x nicht notwendigerweise reell.

12 Die Eigenwerte sind A = ib und -ib; Für die Matrix A = [-~ ~ ~l 0-4 0

gilt det(A - AI) = -A3 - 25A = 0, die Eigenwerte sind A = 0, 5i, -5i.

13 Schiefsymmetrisch und orthogonal; A = i, i, -i, -i, damit sich die Spur Null ergibt.


15 (a) Es gilt Az =,Xy und ATy = 'xz, damit AT Az = AT(,Xy) = 'xATy =

,X2 Z . Die Eigenwerte von AT A sind 2: ° (b) Die Eigenwerte von B sind -1, -1, 1, 1 mit den Eigenvektorenxl = (1,0,-1,0), X2 = (0,1,0,-1), X3 = (1,0,1,0), X4 = (0,1,0,1).

16 Die Eigenwerte von B sind 0, V2, -V2 mit den Eigenvektoren Xl

(1, -1,0), X2 = (1,1, V2), X3 = (1,1, -V2).

17 (a) [Xl X2] ist eine Orthogonalmatrix, deshalb gilt PI + P2 = xlxi +

x2x f = [Xl X2] [:f] = f.

18 Der Vektor y liegt im Kern von A, und X liegt im Spaltenraum. Aber für A = AT stimmt der Spaltenraum mit dem Zeilenraum überein, der senkrecht auf dem Kern steht. Wenn Ax = 'xx und Ay = ßy gelten, so muss (A - ßI)x = (,x - ß)x und (A - ßI)y = 0 sein - wieder gilt X ..L y.

[12] [12] [54] [1316] 21 (a) Falsch. A = 01 (b) Falsch. 23 46 = 2226 (c) Wahr.

Es gilt A = QAQ-1, A- l = QA-lQ-l ist ebenfalls symmetrisch (d)

[111]

Falsch für A = 1 1 1 . 111

22 Gilt AT = -A, so ist AT A = AAT = _A2 . Ist A orthogonal, so gilt

AT A = AA T = f. A = [_ ~ ~] ist normal nur für a = d.

23 A und AT haben dieselben Eigenwerte, aber die Reihenfolge der Eigen

vektoren kann sich ändern. A = [_ ~ ~] hat die Eigenwerte ,x = i und -i

mit Xl = (l,i) für A aber Xl = (1, -i) für AT.

25 Symmetrische Matrix für b = 1; mehrfacher Eigenwert für b = -1.


2 -3 < b < 3, LU = [! ~] [~9 ~ b2 ] = [! ~] [~9 ~ b2 ] [~ ~ l c > 8,

LU = [~ ~] [~c ~ 8] = U ~] [~c ~ 8] [~~]. 4 x2 + 4xy + 3y2 = (x + 2y)2 - y2 ist negativ für x = 2, y = -1.


7 xTATAx = (Ax)T(Ax) = 0 nur dann, wenn Ax = 0 gilt. Da A linear unabhängige Spalten hat, ist dies nur für x = 0 der Fall.

[ 4-4 8]

9 A = -4 4-8 hat nur das Pivotelement 4, den Rang eins, die Eigen-8-8 16

werte sind 24, 0, 0, und die Determinante ist O.

11 Es gilt lAll = 2, IA2 1 = 6, IA3 1 = 30. Die Pivotelemente sind 2/1, 6/2,30/6.

12 A ist positiv definit für c > 1; B ist nie positiv definit (die Determinanten d - 4 und -4d + 12 sind niemals beide positiv).

18 Wäre all kleiner als alle Eigenwerte, so würde A - all! positive Eigenwerte haben (und daher positiv definit sein). An Position (1,1) steht aber eine Null.

19 Aus Ax = AX folgt xT Ax = AxT x. Falls A positiv definit ist, führt dies auf A = xT Ax/xT X > 0 (Verhältnis positiver Zahlen).

1 [1-1] 22 R = V2 1 1 [ v'9 ] 1 [11] _ [21]. _ [40] T VI V2 -11 - 12' R - Q 02 Q

[~ ~]. 23 Es gilt Al = l/a2 und A2 = l/b2 und daher a = 1/';>:; und b = 1/,.f);;.

Die Ellipse 9x2 + 16y2 = 1 hat die Halbachsenlängen a = ~ und b = t.

27 Es gilt ax2 + 2bxy + cy2 = a(x + ~y)2 + ac;;:b2 y2.

28 Es gilt det A = 10; A = 2 und 5; Xl = (cos e, - sine), X2 = (sin e, cose); die Eigenwerte sind positiv.

29 Al = [62: 2;] ist positiv definit, falls x i= 0 ist; h = (~X2 + y)2 = 0

auf der Kurve ~X2 + Y = 0; A2 = [~~] ist indefinit und (0,1) ist ein

Sattelpunkt.

31 Für c > 9 ist der Graph von z eine Schüssel, für c < 9 hat der Graph einen Sattelpunkt. Für c = 9 ist der Graph von z = (2x + 3y)2 eine Rinne mit dem Wert null auf der Geraden 2x + 3y = o.



1 Es gilt C = (M N)-l A(M N), ist also B ähnlich zu A und C ähnlich zu B, dann ist A ähnlich zu C.

6 Es gibt acht Familien ähnlicher Matrizen. Sechs Matrizen haben die Eigenwerte A = 0, 1; drei Matrizen haben die Eigenwerte A = 1, 1 und drei haben die Eigenwerte A = 0, 0 (je zwei Familien!); eine hat die Eigenwerte A = 1, -1; eine hat die Eigenwerte A = 2, 0; zwei haben die Eigenwerte

A= ~(1±v'5).

7 (a) (M-1 AM)(M-1x) = M-1(Ax) = M-10 = 0

A und von M-1 AM haben dieselbe Dimension.

JO = [10] J-1 = [C-1_C-2] 01 ' 0 c- 1 ·

(b) Die Kerne von

13 Man wähle als Mi eine umgekehrte Diagonalmatrix, so dass in jedem Block M i- 1 JiMi = MT gilt; Mo hat die Blöcke Mi auf der Hauptdiagonalen; damit gilt AT = (M-1)T JTMT = (M-1)TMü1JMoMT (M MoMT)-l A(M MoMT ), und AT ist ähnlich zu A.

15 Es gilt det(M-1 AM - AI) = det(M-1 AM - M-1 AlM) = det(M-1 (AU)M) = det(A - AI).

17 (a) Wahr: Die eine hat den Eigenwert A = 0, die andere nicht. (b) Falsch. Diagonalisiert man eine nicht symmetrische Matrix, so ist 11 symmetrisch.

(c) Falsch: [_~ ~] und [~-~] sind ähnlich. (d) Wahr: Alle Eigen

werte von A + I sind um 1 erhöht.

19 (b) AB hat dieselben Eigenwerte wie BA zuzüglich n - m Nullen.


T _ [ 520] 2 _ _ [1/v'17] _ [ 4/v'17] 1 A A - 2080 hat (J1 - 85, V1 - 4/v'17 ,V2 - -1/v'17 .


3 Ul = [~j~] für den Spaltenraum, VI = [!j~] für den Zeilenraum,

[ 2/v'5] f" d K [ 4/m] f" d K d T U2 = -1/v'5 ur en ern , V2 = -l/m ur en ern er rans-

ponierten.

T [21] 2 . [1/,;2] 2 . 7 AA = 12 hat 0'1 = 3 mIt Ul = 1/,;2 und 0'2 = 1 mIt U2 =

[_1/,;2]. ATA = [i ~~] hat O'r = 3 mit VI = [~j~], O'~ = 1 mit 1/,;2 011 1/V6

V2 = [ 1/[2 ] ; und V3 = [-~j~]. -1/V6 1/V3

Damit gilt [~: ~l ~ In, n,1 [v'3 1 0] Iv, v, V,[T

9 Es gilt A = 12 UVT .

11 Multiplizieren Sie U EVT nach den Spalten (von U) und den Zeilen

(von EVT ) aus.

13 Die Singulärwertzerlegung von R sei R = U EVT . Multiplizieren Sie mit Q. Dann ist die Singulärwertzerlegung dieser Matrix A gleich (QU)EVT .

15 (a) Wenn man A zu 4A ändert, wird aus E die Matrix 4. (b) Es gilt AT = V ETUT. Falls A -1 existiert, ist es die quadratische Matrix (VT)-1 E- I U-1 .


4 (a) S(T(v)) = V (b) S(T(vd + T(V2)) = S(T(vd) + S(T(V2))'

5 Man wähle V = (1,1) und w = (-1,0). Damit gilt T(v) +T(w) = v+w aber T(v + w) = (0,0).

7 (a) T(T(v)) = v (b) T(T(v)) = v + (2,2) (c) T(T(v)) = -v (d) T(T(v)) = T(v).

10 (a) T(l, 0) = 0 (b) (0,0,1) liegt nicht im Bild (c) T(O, 1) = O.

12 T(v) = (4,4); (2,2); (2,2); für v = (a, b) = b(l, 1) + a;-b (2, 0) gilt T(v) =

b(2, 2) + (0,0).


15 A ist nicht invertierbar. AM = I ist also unmöglich. A [_ ~ _ ~] = [~~].

16 Keine Matrix A liefert A [~ ~] = [~~]. Für Professoren: Der Matri

zenraum hat die Dimension 4. Lineare Abbildungen werden also durch 4 x 4-Matrizen dargestellt. Die Matrizen in den Aufgaben 13-15 sind Spezialfälle.

17 (a) Wahr (b) Wahr (c) Wahr (d) Falsch.

18 Es gilt T(I) = 0, aber M = [~~] = T(M); diese Matrizen erzeugen das

Bild. M = [~~] liegt im Kern.

20 Es gilt T(T-1(M)) = M und daher T-1(M) = A-1MB-l.

21 (a) Horizontale Geraden bleiben horizontal, vertikale Geraden bleiben vertikal. (b) Das Haus wird auf eine Gerade gequetscht. (c) Ver-tikale Geraden bleiben vertikal.

24 (a) ad - be = 0 (b) ad - be > 0 (c) lad - bel = 1.

25 Werden zwei linear unabhängige Vektoren auf sich selbst abgebildet, so gilt wegen der Linearität T = I.

28 Hier wird noch einmal betont, dass Kreise auf Ellipsen abgebildet werden. Siehe auch Abbildung 7.7.


4 Die dritte Ableitung hat eine 6 auf der Position (1,4); die vierte Ableitung eines kubischen Polynoms ist null.

[01 1] 5A= 100. 011

6 Es gilt T(VI + V2 + V3) = 2Wl + W2 + 2W3; A mal (1,1,1) ergibt (2,1,2).


7 Für v = C(V2 - V3) ergibt sich T(v) = 0; der Kern ist (0, c, -c); die Lösungen sind (1,0,0) + ein beliebiges (0, c, -c).

9 Sie kennen die Vektoren T(w) nicht, es sei denn, die w's sind dieselben Vektoren wie die v's. Nur in dem Fall ist die Matrix A2 .

12 Es gilt A-1 = -1 1 0 ,damit T- 1(wd = VI - V2, T- 1(W2) [ 1 0 0] 0-1 1

V2 - V3, T-1(W3) = V3; die einzige Lösung für T(v) = 0 ist y = O.

15 (a) U ~] 2A [~] sein.

[ 3-1] (b) -5 2 = Inverse von (a) (c) A [~] muss gleich

16 (a) M = [: :] (c) ad = bc.

[ 10] [21] -1 [3-1] 17 MN = 12 53 = -7 3 .

22 Von den w's zu den y's: [o,~ ~ -o,~]. Von den v's zu den w's: die 0,5-1 0,5

inverse Matrix [~ ~ ~]. 1-1 1

25 a2 = r12ql + r22q2 ergibt a2 als Linearkombination der q's. Die Basiswechselmatrix ist also R.

26 Zeile 2 von A ist b(Zeilel von U) +b(Zeile2 von U). Eine Basiswechselmatrix ist immer invertierbar.

30 Es gilt T(x, y) = (x, -y) und damit S(x, -y) ST = -I.

(-x, -y). Daher gilt

32 [cos 2(8 - 0:) - sin 2(8 - 0:)] rotiert um den Winkel 2(8 - 0:). sin 2 (8 - 0:) COS 2 (8 - 0:)

33 Falsch, weil die y's nicht linear unabhängig sein müssen.



rt t t t]

1 Die inverse Matrix ist W- 1 = ~ ~ -t -t . Damit folgt e = tW 1 + 2"-2" 0 0 o 0 1_1

2 2

3 Die acht Vektoren sind (1,1,1,1,1,1,1,1), das lange Wavelet, zwei "mittellange" Wavelets (1,1, -1, -1,0,0,0,0) und (0,0,0,0,1,1, -1, -1) sowie vier kurze Wavelets mit den Einträgen 1, -1 jeweils versetzt.

5 Die Hadamard-Matrix H hat orthogonale Spalten der Länge 2. Die Inverse ist also HT /4 = H / 4.

7 Die Transponierte von WW- 1 = I ist (W- 1 )TWT = I. Daher ist die

Matrix W T (mit den w's als Zeilen) die Inverse der Matrix mit den w*'s in den Spalten.


1 D· M . ATA [10 20] h d· E· \ 50 d 0 . d le atnx = 20 40 at le 1genwerte A = un mIt en

Eigenvektoren V1 = ~ [;] und V2 = ~ [_ ~]; (Tl = v'5Q.

2 AA T = [1 ~ ~~] hat die Eigenwerte .A = 50 und 0 mit den Eigenvektoren

U1 = vh [~] und U2 = vh [-no 5A QH 1 [7-1] 1 [1020] H· ·dfi· ·lA· 1·· = = v'5O 1 7 v'5o 2040· 1st seml e mt, wel smgu ar

ist.

6 A + = V [1 / ~ ~] uT [0,20,4] AA+ 0,40,8 '

[ 0,10,3] 0,30,9 .


9 [0"1 U1 0"2 U2] [ :f 1 = 0"1 U1 vi + 0"2 U2 vr Im allgemeinen Fall ist dies

0"1 U 1 V i + ... + O"rurv ;.

[0,2]

13 Es gilt A = [1] [5 ° ° lVT und A + = V ~ [1] = [0,12] 0,~6 ; AA+ =

[0,360,480]

[1]; A+ A = 0,480,64 ° ° ° °

17 (a) AT A ist singulär ziert auf N(AT).

(c) (I - AA+) proji-

18 x+ im Zeilenraum von A steht senkrecht auf x - x+ im Kern von AT A = Kern von A. Für das Dreieck gilt c2 = a2 + b2 .

20 Es gilt A+ = HO,60,8] = [0,120,16] und A+ A

[ 0,360,48] 0,480,64 .

[1] und AA+

21 L wird durch eine Zahl unterhalb der Diagonalen bestimmt. Die Eigenvektoren in S werden jeweils durch eine Zahl bestimmt. Damit ergibt sich 1 + 3 für LU, 1 + 2 + 1 für LDU, 1 + 3 für QR, 1 + 2 + 1 für UEVT ,

1 + 2 + 1 für SAS- 1 .

. [a b] [ 1 0] [a b ] 23DleZerlegung cd = (c-b)ja1 b(ad-bc+b2)ja setzta;fO

voraus. Ändern Sie A = LDU in (LU-T)(UT DU) = (Dreiecksmatrix) (symmetrische Matrix). Ich habe bislang noch keine gute Anwendung dafür gefunden.


1 p" gHt A ~ [= u n; de, Kem enthilit m; m i,t ni,ht orth~ gonal zu diesem Kern.

2 Es gilt ATy = 0 für y = (1, -1, 1); Strom = 1 an Kante 1, Kante 3, zurück über Kante 2 (geschlossener Kreis).


5 Die Kirchhoff'sche Knotenregel ATy = f ist lösbar für f = (1, -1,0) und nicht lösbar für f = (1,0,0); f muss orthogonal zum Vektor (1,1,1) im Kern sein.

6 A' Ax ~ H ~ F ~ ] x ~ H] ~ f c<Zeugt X ~ H] + [~l P~ tentiale 1, -1, ° und Ströme - Ax = 2, 1, -1; f schickt 3 Einheiten in Knoten 1 hinein und aus Knoten 2 hinaus.

7 Es gilt AT [1 2 ] A = [_~-!=;]; f = [ ~]liefert x = [5i4] +

2 -2-2 4 -1 7/8

[~] ; die Poticntialc ,ind ~, 1, ~ und die St"ömc -CAx ~ L t, l.

9 Das Eliminationsverfahren aufAx = b führt immer auf yTb = 0, also -bI + b2 - b3 = ° und b3 - b4 + b5 = ° (y's aus Aufgabe 8 im Linkskern). Dies ist die Kirchhoff'sche Maschenregel entlang einer Schleife.

[

2 -1-1 0] Diagonaleintrag = Anzahl 11 E ·lt AT A = -1 3-1-1 Kanten in den Knoten

s gl -1 -1 3 -1 andere Einträge = -1 0-1-1 2 wenn die Knoten verbunden sind.

13 ATCAx= [::tF~::!] x= [ ~] ergibt die Potentiale x = (152 ,i,i,0) 0-3-3 6 -1

(X4 = ° geerdet und 3 Gleichungen gelöst); y = -CAx = (~,~, O,~, ~).

17 (a) 8 linear unabhängige Spalten (b) f muss orthogonal zum Kern sein, daher Ir + ... + fg = ° (c) Jede Kante verbindet zwei Knoten, aus 12 Kanten folgt daher als Summe der Diagonaleinträge 24.


[ 0,6-1] [1 ] [ 1 1] 2 A = 0,4 1 0,75 -0,4 0,6 ;

k [0,6-1] [10] [ 1 A geht gegen 0,4-1 00 -0,4 [ 0,60,6] 0,40,4 .


3 A = 1 und 0,8, x = (1,0); A = 1 und -0,8, x = (~, ~); A = 1, t, und I (1 1 1) 4' x= 3'3'3'

5 Der stationäre Zustand ist (0,0,1) = alle tot.

6 Gilt Ax = AX, so ist die Summe auf beiden Seiten S = AS. Für A f. 1 muss die Summe S = ° sein.

8 (0,5)k ---+ ° ergibt A k ---+ Aoo; ein beliebiges A = [0,6 + 0,4a 0,6 - 0,6a] 0,4 - 0,4a 0,4 + 0,6a

mit -~ < a < 1. 3- -

10 M 2 ist ebenfalls nichtnegativ; es gilt [1 ... l]M = [1 ... 1], multipli-

ziert man dies mit M, so erhält man [1 ... 1]M2 = [1 ... 1] :::} Spalten

von M 2 bilden die Summe 1.

11 Es gilt A = 1 und a + d - 1 wegen der Spur; der stationäre Zustand ist ein Vielfaches von Xl = (b, 1 - a).

13 B hat die Eigenwerte A = ° und -0,5 mit den Eigenvektoren Xl = (0,3, 0,2) und X2 = (-1,1); e-o,st geht gegen Null, die Lösung geht gegen CleOtxl = CIXI.

15 Der Eigenvektor ist X = (1,1,1), es gilt Ax = (0,9,0,9,0,9).

18 Es gilt p = [~] und [1~~]; I - [~:~ ~] hat keine Inverse.

19 A = 1 (Markov), ° (singulär), 0,2 (wegen der Spur). Stationäre Zustände (0,3,0,3,0,4) und (30,30,40).

20 Nein, A hat einen Eigenwert A = 1, und (I - A)-l existiert nicht.


1 Der zulässige Bereich ist die Strecke von (6,0) bis (0,3); die Kosten sind minimal bei (6,0) und maximal bei (0,3).

2 Der zulässige Bereich ist das Viereck mit den Ecken (0,0), (6,0), (2,2), (0,6). 2x - y wird minimal bei (6,0).

3 Es gibt nur die beiden Ecken (4,0,0) und (0,2,0); man wähle Xl "sehr negativ", X2 = 0, und X3 = Xl - 4.

4 Von (0,0,2) geht man zu X = (0, 1, 1,5) mit der Bedingung Xl + X2 + 2X3 = 4. Die neuen Kosten sind 3(1) + 8(1,5) = $15, so dass sich r = -1


für die reduzierten Kosten ergibt. Der Simplex-Algorithmus überprüft auch x = (1, 0, 1,5) mit den Kosten 5(1) + 8(1,5) = $17, also r = 1 (teurer).

5 Die Kosten sind 20 beim Startvektor (4,0,0); unter Einhaltung von Xl + X2 + 2X3 = 4 bewegt man sich zu (3,1,0) mit den Kosten 18 und r = -2; oder nach (2,0,1) mit den Kosten 17 und r = -3. Man wählt X3 als hinzukommende Variable und bewegt sich zu (0,0,2) mit den Kosten 14. Nach einem weiteren Schritt wird (0,4,0) mit den minimalen Kosten 12 erreicht.

6 Für c = [3 5 7] ergeben sich als minimale Kosten 12 durch den Pro

movierten mit x = (4,0,0). Beim dualen Problem wird 4y unter den Bedingungen y ::; 3, y ::; 5, y ::; 7 maximiert. Maximum = 12.


1 Es gilt J~1I: cos(j + k)xdx = [sin;~k)x]:1I: = 0 und analog J02 11: cos(j

k)x dx = 0 (beachten Sie, dass im Nenner j - k -::f- 0 steht). Für j = k gilt

J0211: cos2 j X dx = Jr.

4 Es gilt t1 (1)(x3 - cx) dx = 0 und J~l (x2 - % )(x3 - cx) dx = 0 für alle

c (Integral einer ungeraden Funktion). Man wähle c so, dass J~l x(x3 -

cx) dx = [tx5 - ~x3E_1 = ~ - c~ = 0 ist. Dann gilt c = ~.

5 Die Integrale führen auf a1 = 0, b1 = 4/Jr, b2 = O.

6 Wegen Gleichung (8.10) sind die ak gleich Null und die bk = 4/Jrk. Für die Rechteckkurve gilt IlfW = 2Jr. Gleichung (8.8) ist dann 2Jr = Jr(16/Jr2)U2 + 312 + 512 + ... ), diese unendliche Reihe ergibt also Jr2/8.

8 Es gilt IIvl12 = 1 + ~ + t + ~ + ... = 2 und damit Ilvll = V2; weiter

IIvl12 = 1 + a2 + a4 + ... = 1/(1 - a2 ) und damit Ilvll = 1/~; J02 11: (1 + 2 sin X + sin2 x) dx = 2Jr + 0 + Jr und damit Ilfll = v'31f.

9 (a) Es gilt f(x) = ~+~ (Rechteckkurve), die a's sind also ~,O, 0, ... ,und

die b's sind 2/Jr, 0, -2/3Jr, 0, 2/5Jr, ... (b) Es ist ao = J02 11: x dx/2Jr =

Jr, die anderen ak = 0, bk = -2/k.

11 Es gilt cos2 x = ~ + ~cos2x; cos(x +~) = cosxcos~ - sinxsin~

~ cos x - V; sin x.


13 Für dy/dx = cosx gilt Y = YP + Yn = sinx + C.


1 Der Punkt (x, y, z) hat die homogenen Koordinaten (x, y, z, 1) und ebenso (cx, cy, cz, c) für jedes von Null verschiedene c.

r 1 1 1 r 1 1 1 r 1 1 1 ist eine Translation längs

14~1 02!1 16~1 (1,6,8).

4EsgiltS=rcCc 1,ST=r ccc 1,TS= 1 1431

r

c c c 1. Verwenden

c 4c 3c 1 Sie vTS.

5 S ~ [1/8,5 1/11 J fi''''n I x I-Quadcat.

9 Der Vektor n = (~,~, t) hat die Länge Ilnll = 1. Es gilt P = 1- nnT =

[ 5-4-2]

~ -4 5-2 . -2-2 8

11 (3,3,3) wird auf t( -1, -1,4) projiziert, und (3,3,3,1) auf (t, t, ~, 1).

13 Die Projektion des Würfels ist ein Sechseck.

15 (3,3,3,1) --+ (3,3,0,1) --+ (-i,-i,-~,1) --+ (-i,-i,t,1).

17 Mit 1/c umskaliert, weil (x, y, z, c) derselbe Punkt wie (x/c, y/c, z/c, 1) ist.



1 Ohne Zeilenvertauschung erhält man die Pivotelemente 0,001 und 1000; mit einem Austausch die Pivotelemente 1 und -1. Ist das Pivotelement größer als die Einträge darunter, so hat das Verhältnis lij = Ein-

trag/Pivotelement einen Betrag 11ij I ::; 1. A = [ ~ ~ - ~]. -1 1 1

[ 1] [11/16] [1'833] 3 A = 1 = 13/12 = 1,083 1 47/60 0,783

IIL1bll < 0,04 aber IIL1xll > 6.

im Vergleich zu A [ ~ ] -3,6

[1,80] 1,10 . 0,78

4 Das größte Ilxll = IIA-1bll ist I/Amin; der größte Fehler ist 1O-16 /Amin'

5 Jede Zeile von U enthält höchstens w Einträge. Daher sind w Mulitplikationen nötig, um die bereits von unterhalb bekannten Komponenten von x einzusetzen, und eine Division durch das Pivotelement. Die Gesamtkosten für n Zeilen betragen daher weniger als wn Operationen.

6 Zur Lösung einer linearen Gleichung mit L, U, oder R benötigt man ~n2

Multiplikationen. Um die rechte Seite einer Gleichung mit Q-1 = QT zu multiplizieren, werden n 2 Multiplikationen benötigt. Von QR ausgehend benötigt man also 1,5 mal so lange wie von LU ausgehend, um x zu berechnen.

7 Die Rücksubstitution für Spalte j von I benötigt ~p Multiplikationen, weil nur der obere linke j x j-Block betrachtet wird. Es fallen also Gesamtkosten von ~(12 + 22 + ... + n 2 ) ~ ~(~n3) Multiplikationen an.

10 Mit einer 16-stelligen Fließkommaarithmetik sind die Fehler Ilx-Yberechnetll für c = 10-3 , 10-6, 10-9 , 10-12 , 10-15 von der Größenordnung 10-16 , 10-11 , 10-7 , 10-4 , 10-3 .

11 Es gilt cose = l/v'fO, sine = -3/v'fO, R = Jio [_~ ~] [~-!] _1 [1014] VIO 0 8 .

14 Die Berechnung von QijA benötigt 4n Multiplikationen (2 für jeden Eintrag in den Zeilen i und j). Klammert man cos e aus, benötigen die Einträge 1 und ± tan e nur jeweils 2n Multiplikationen, also insgesamt ~n3 für QR.



1 IIAII = 2, c = 2/0,5 = 4; IIAII = 3, c = 3/1 = 3; IIAII = 2 + V2,

c = (2 + V2)/(2 - V2) = 5,83.

3 Für die erste Ungleichung ersetze man x durch Bx in IIAxl1 ~ IIAllllxll; die zweite Ungleichung ist schlicht IIBxl1 ~ IIBllllxll. Damit gilt IIABII = max(IIABxll/llxll) ~ IIAIIIIBII·

7 Die Dreiecksungleichungliefert IIAx+Bxll ~ IIAxll+IIBxll. Dividiert man durch Ilxll und berechnet das Maximum über alle von Null verschiedenen Vektoren, so erhält man IIA + BII ~ IIAII + IIBII·

8 Aus Ax = AX folgt IIAxll/llxll = lAI für diesen speziellen Vektor x. Maximiert man das Verhältnis über alle Vektoren, erhält man IIAII ;::: lAI.

13 Das Residuum b - Ay = (10-7 ,0) ist viel kleiner als b - Az = (0,0013, 0,0016). Aber z ist viel näher an der Lösung als y.

'1 d A - -6 d d h A-1 - [659,000-563,000] c 1 14 Es gl t et - 10 un a er - -913,000 780,000 . Es 10 gt

IIAII > 1, IIA-111 > 106 , c> 106 .

16 xi + ... + x;' ist nicht kleiner als max(xT) und nicht größer als xi + ... +

x;' + 21xlllx21 + ... = Ilxlli. Sicher gilt xi + ... + x;' ~ n max(xT) und daher Ilxll ~ vnllxlloo. Man wähle y = (Signxl, signx2,"" signxn ),

um x . y = Ilxlll zu erhalten. Nach der Schwarz'schen Ungleichung ist dieses höchstens Ilxllllyll = vnllxll. Mit x = (1,1, ... ,1) erhält man das maximale Verhältnis vn.


2 Aus Ax = AX folgt (I - A)x = (1 - A)X. Für reelle Eigenwerte von B = 1- A gilt 11 - AI < 1, falls A zwischen ° und 2 liegt.

6 Es ist S-lT = ~ [~~] mit IAlmax = ~.

7 Beim Gauß-Seidel-Verfahren ist S-lT = [~! 1 mit IAlmax = ~ =

(IAlmax für das Jacobi-Verfahren)2.

9 Setzt man die Spur 2 - 2w + i-W2 mit (w - 1) + (w - 1) gleich, so erhält

man Wopt = 4(2 - V3) ~ 1,07. Die Eigenwerte w - 1 liegen bei 0,07.


15 Die Komponente j von AXI ist 2 sin !:;l - sin (jn-:i 7r - sin (j::i 7r . Unter

Verwendung von sin( a + b) = sin a cos b + cos a sin b erhält man aus den

letzten beiden Termen -2 sin !:;l cos n~l. Der Eigenwert ist .Al = 2 -

2 cos n~l .

A A-l 1 [2 1] 17 us = 3" 12

}7 [~~] -+ U]· 18 Es gilt R = QTA = [1 cosBsinB] d o - sin2 B un

A = RQ = [COSB(l + sin2 B) - sin3 B ] 1 _ sin 3 B - cos B sin 2 e .

20 Aus A - cl = QR folgt Al = RQ + cI = Q-l(QR+ cI)Q = Q-l AQ. Die Eigenwerte ändern sich von A zu Al nicht.

21 Multipliziert man A<}j = bj-lqj-l +aj<}j +bj<}j+l mit qJ, so erhält man

qJ A<}j = aj (weil die q's orthonormal sind). In Matrizenschreibweise

(spaltenweise Multiplikation) ist dies AQ = QT, wobei Teine Tridiagonalmatrix ist. Die Einträge sind die a's und b's.

23 Ist A symmetrisch, so ist Al = Q-l AQ = QT AQ ebenfalls symmetrisch. In Al = RQ = R(QR)R- l = RAR- l sind Rund R-l obere Dreiecksmatrizen, deshalb kann Al keine von Null verschiedenen Einträge auf einer Diagonalen unter der von A haben. Ist A eine symmetrische Tridiagonalmatrix, so ist (wegen der Symmetrie für die obere Hälfte von Ar) die Matrix Al = RAR- l ebenfalls eine Tridiagonalmatrix.


2 In Polarkoordinatendarstellung: v'5eie , 5e2ie , ~e-ie, v'5.

4 Iz x wl = 6, Iz + wl ~ 5, Iz/wl =~, Iz - wl ~ 5.

9 2 + i; (2 + i)(l + i) = 1 + 3i; e- i7r / 2 = -i; e- i7r

(_i)103 = (_i)3 = i. -1; I-i

l+i -z;


10 z + z ist reell; z - z ist rein imaginär; zZ ist positiv; z /z hat den Absolutbetrag 1.

12 (a) Mit a = b = d = 1 wird die Quadratwurzel zu v'4C; A ist komplex für c < O. (b) Es gilt A = 0 und A = a + d für ad = bc. (c) Die A's können reell und verschieden sein.

13 Es ergeben sich komplexe A'S für (a + d)2 < 4(ad - bc); man schreibe (a + d)2 - 4(ad - bc) als (a - d)2 + 4bc, dies ist positiv für bc > O.

14 det(P - AI) = A4 - 1 = 0 hat die Nullstellen A = 1, -1, i, -i mit den Eigenvektoren (1,1,1,1), (1, -1, 1, -1), (l,i, -1, -i) und (1, -i, -1, i) = Spalten der Fouriermatrix.

16 Die Blockmatrix hat reelle Eigenwerte; daher ist iA reell und A rein imaginär.

18 Es gilt r = 1, der Winkel ist ~ - 8; nach Multiplikation mit eie erhält

man ei7r / 2 = i.

21 cos 38 = Re( cos 8 + i sin 8)3 = cos3 8 - 3 cos 8 sin2 8; sin 3B = Im( cos 8 + i sin 8)3 = 3 cos2 8 sin 8 - sin3 8.

23 (a) ei liegt beim Winkel 8 = 1 auf dem Einheitskreis; es gilt W I = 1 e = 1 (c) Es gibt unendlich viele Kandidaten von der Form i e = ei (7r/2+27rn)e.

24 (a) Einheitskreis (b) Einwärts-Spirale bis e-27r (c) mehrfacher Kreis bis 8 = 27f2 .


3 z ist ein Vielfaches von (1 + i, 1 + i, -2); Az = 0 ergibt zH AH = OH, z

(nicht z!) ist daher orthogonal zu allen Spalten von AH (unter Verwendung des komplexen Skalarprodukts zH mal Spalte).

4 Die vier fundamentalen Unterräume sind Z(A), N(A), Z(AH), N(AH).

5 (a) Es ist (AH A)H = AH AHH = AHA (b) Aus AH Az = 0 folgt

(zH AH)(Az) = O. Dies ist IIAzl12 = 0, und daher gilt Az = O. Die Kerne von A und AHA sind identisch. AHA ist invertierbar, wenn N(A) = {O} gilt.

6 (a) Falsch: A = [_~ ~] (b) Wahr: -i ist kein Eigenwert, falls A = AH

(c) Falsch.


10 Die Vektoren (1 1 1) (1 e27ri / 3 e47ri / 3 ) (1 e47ri / 3 e27ri / 3 ) sind orthogonal , , " , " , (mit dem komplexen Skalarprodukt!) weil P eine orthogonale Matrix ist - und daher unitär.

11 Die Matrix C = [~~:j = 2 + 5P + 4p2 hat die Eigenwerte A 542

2 + 5 + 4 = 11, 2 + 5e27ri / 3 + 4e47ri / 3 , 2 + 5e47ri / 3 + 4e87ri/ 3 .

13 Die Determinante ist das Produkt der Eigenwerte (alle reell).

I [ 1 -1 + i] [2 0] I [ 1 1 - i] 15 A= v'3 I+i 1 0-1 v'3 -I-i 1 .

.. _ I [I+v'3 -I+i] [1 0] I [I+v'3 I-i] . 2_ 18 FurV - L I+i I+v'3 0-1 L -I-i I+v'3 ffiltL -6+

2v'3 gilt lAI = 1. V = V H bedingt reelles A, die Spur null bedingt A = 1, -1.

19 Die v's sind die Spalten einer unitären Matrix U. Damit ist z = UUH Z = (spaltenweise Multiplikation) = VI (vf z) + ... + vn(v;; z).

20 Multiplizieren Sie nicht e-ix mit eix ; der erste Faktor muss konjugiert

werden, dann ergibt sich J;7r e2ix dx = [e2ix /2i]Ö7r = 0.

22 Es gilt R + iS = (R + iS)H = RT - iST; R ist symmetrisch, aber S ist schiefsymmetrisch.

24 [I]und[-I]; jedes [e iB ]; [b~iC b:iC]; [_~ ~i:~] mitlwI 2 +lzI 2 =

1.

27 Unitär bedeutet UHU = I oder (AT - iBT)(A + iB) = (AT A + B T B) + i(ATB - BTA) = I. Damit ist ATA +BTB = I und ATB - BTA = 0, weswegen die Blockmatrix orthogonal ist.

30 A= [I-iI-i] [10] 1 [2+2i-2] =SAS-I -1 2 04 6 1 + i 2 .



8 c -t (1,1,1,1,0,0,0,0) -t (4,0,0,0,0,0,0,0) -t (4,0,0,0,4,0,0,0) gleich Fsc. Aus dem zweiten Vektor wird (0,0,0,0,1,1,1,1) -t (0,0,0,0,4,0,0,0) -t (4,0,0,0, -4,0,0,0).

9 Ist W 64 = 1, so ist w 2 eine 32. Einheitswurzel, und Vw ist eine 128. Einheitswurzel.

13 Es gilt el = Co + Cl + C2 + C3 und e2 = Co + cli + c2i2 + C3i3; E enthält die vier Eigenwerte C.

14 Eigenwerte el = 2-1-1 = 0, e2 = 2-i-i3 = 2, e3 = 2-( -1)-( -1) = 4, e4 = 2 - i3 - i9 = 2. Rechnen Sie die Spur 0+ 2 + 4 + 2 = 8 nach.

15 Für die Diagonalmatrix Ewerden n Multiplikationen, für die Fouriermatrix Fund F- I jeweils ~n log2 n Multiplikationen für die FFT benötigt.

Insgesamt viel weniger als die üblichen n2 •

16 (co + C2) + (Cl + C3); dann (co - C2) + i(CI - C3); dann (co + C2) - (Cl + C3); dann (co - C2) - i(CI - C3). Diese Schritte sind genau die FFT!

Eine Abschlussklausur

Diese Abschlussklausur wurde am 18. Mai 1998 dem Kurs 18.06 "Lineare Algebra" am MIT gestellt.

1. Es sei A eine 5 x 4-Matrix mit linear unabhängigen Spalten. Bestimmen Sie explizit (a) den Kern von A; (b) die Dimension des Kerns der transponierten Matrix, N(AT); (c) eine spezielle Lösung x p der Gleichung Axp = Spalte 2 von A; (d) die allgemeine Lösung der Gleichung Axp = Spalte 2 von A; (e) die reduzierte Treppenform R von A.

2. (a) Bestimmen sie die allgemeine (vollständige) Lösung der Gleichung Ax=b:

(b) Bestimmen sie eine Basis des Spaltenraums für die 3 x 9-Blockmatrix

[A 2A A2 ].

3. (a) Das Kommando N = null(A) erzeugt eine Matrix, deren Spalten eine Basis für den Kern von A bilden. Welche Matrix (beschreiben Sie ihre Eigenschaften) wird dann durch das Kommando B = nUll(N' ) erzeugt? Achten Sie darauf, dass es N', nicht A' heißt.

(b) Welche Form (wieviele Zeilen und Spalten) haben diese Matrizen N und B, wenn A eine mx n-Matrix vom Rang rist?

4. Bestimmen Sie die Determinanten dieser drei Matrizen:

[0001] 0020

A= 0300 ' 1234

[0 -A] B = 1 -1 ' [A -A]

C = 1 -1 .

588 Eine Abschlussklausur

5. Falls möglich, konstruieren Sie 3 x 3-Matrizen A, B, C und D mit den folgenden Eigenschaften: (a) A sei eine symmetrische Matrix, deren Zeilenraum durch den Vek

tor (1,1,2) und deren Spaltenraum durch (2,2,4) aufgespannt werde. (b) Die folgenden drei Gleichungen besitzen keine Lösung, es ist aber

B -::/:-0:

(c) C sei eine reelle quadratische Matrix mit nichtreellen Eigenwerten. (d) Der Vektor (1,1,1) liege im Zeilenraum von D, aber der Vektor

(1,-1,0) liege nicht im Kern.

6. Die Vektoren UI, U2, U3 seien eine Orthonormalbasis für ]R3, und VI, v2

seien eine Orthonormalbasis für ]R2.

(a) Es sei B = UI(VI + V2)T. Bestimmen Sie den Rang von B, alle Vektoren im Spaltenraum und eine Basis des Kerns.

(b) Es sei A = UIV[ + U2Vr Berechnen Sie das Produkt AAT und vereinfachen Sie das Ergebnis. Zeigen Sie, dass es sich um eine Projektionsmatrix handelt, indem Sie die dafür verlangten Eigenschaften nachrechnen.

(c) Berechnen Sie AT A und vereinfachen Sie das Ergebnis. Es handelt sich um die Einheitsmatrix! Beweisen Sie dies (indem Sie zum Beispiel

AT AVI berechnen und das Argument vollenden).

7. (a) Welches Gleichungssystem Ax = b aus drei Gleichungen in zwei Unbekannten x = (C, D) wäre lösbar, wenn die folgenden drei Punkte auf einer Geraden y = C + Dt lägen?

y = 0 bei t = -1, y = 1 bei t = 0, y = B bei t = 1.

Für welchen Wert von B liegt der Vektor b = (0,1, B) im Spaltenraum von A?

(b) Bestimmen sie für jedes B die Zahlen 8 und i5, die die beste Gerade

y = 8 + i5t (im Sinne der Methode der kleinsten Quadrate) liefern. (c) Bestimmen Sie die Projektion von b auf den Spaltenraum von A. (d) Welche Matrix Q mit orthonormalen Spalten erhalten Sie, wenn Sie

das Gram-Schmidt-Verfahren auf die Matrix A anwenden?

8. (a) Bestimmen Sie einen vollständigen Satz Eigenwerte und Eigenvektoren für die Matrix

[2 11] A= 121 . 112

Eine Abschlussklausur 589

(b) Markieren Sie alle Eigenschaften, die auf A zutreffen: [ 1 A ist eine Projektionsmatrix; [ 1 Die Determinante von A ist größer als die Spur; [ 1 A ist eine positiv definite Matrix; [ 1 A hat drei orthonormale Eigenvektoren; [ 1 A ist eine Markov-Matrix; [ 1 A kann in die Form A = LU faktorisiert werden.

(c) Schreiben Sie Uo = [~] als Linearkombination der Eigenvektoren von

A, und berechnen Sie UlOO = AIOOuO.

Matrix-Faktorisierungen

1. A = LU = ( untere Dreiecksmatrix L) ( obere Dreiecksmatrix U )

Einsen auf der Diagonale Pivotelemente auf der Diagonale

Voraussetzungen: keine Zeilenvertauschungen beim Gauß'schen Eliminationsverfahren von A nach U nötig. Abschnitt 2.6

2. A = LDU =

( untere Dreiecksmatrix L) ( Pivotmatrix ) (obere Dreiecksmatrix U ) Einsen auf der Diagonale Diagonalmatrix D Einsen auf der Diagonale

Voraussetzungen: Keine Zeilenvertauschungen. Es wird durch die Pivotelemente in der Matrix D dividiert, um Einsen in U zu erzeugen. Ist A symmetrisch, so ist U = LT und A = LD LT . Abschnitte 2.6 und 2.7

3. PA = LU (Permutationsmatrix P, um Nullen in den Pivotpositionen zu vermeiden).

Voraussetzungen: A invertierbar. Dann sind P, L und U invertierbar. P führt Zeilenvertauschungen im Voraus durch. Alternative: A = L1HU1. Abschnitt 2.7

4. EA = R (E invertierbare m x m-Matrix) (beliebiges A) = rref(A).

Voraussetzungen: Keine! Die reduzierte Treppenjorm R besitzt r Pivotzeilen und Pivotspalten. Der einzige von Null verschiedene Eintrag in einer Pivotspalte ist das Pivotelement 1. Die letzten m - r Zeilen von E bilden eine Basis des Kerns von AT, und die ersten r Spalten von E-1

bilden eine Basis des Spaltenraums von A. Abschnitte 3.2 und 3.3

5. A = CCT = (Untere Dreiecksmatrix C) (Die Transponierte ist eine obere Dreiecksmatrix )

592 Matrix-Faktorisierungen

Voraussetzungen: A ist symmetrisch und positiv definit (d.h. alle n Pivotelemente in D sind positiv). Diese Cholesky-Faktorisierung hat die

Form C = Lv'I5. Abschnitt 6.5

6. A = QR = (orthonormale Spalten in Q) (obere Dreiecksmatrix R)

Voraussetzungen: A hat linear unabhängige Spalten. Diese Spalten werden durch das Gram-Schmidt-Verfahren orthogonalisiert und liefern Q. Ist A eine quadratische Matrix, so gilt Q-1 = QT. Abschnitt 4.4

7. A = SAS-1 = (Eigenvektoren in S)(Eigenwerte in A)(Linkseigenvektoren in S-l).

Voraussetzungen: A muss n linear unabhängige Eigenvektoren haben. Abschnitt 6.2

8. A = QAQT =(orthogonale Matrix Q)(reelle Eigenvektormatrix A)(QT istQ-1).

Voraussetzungen: A ist symmetrisch. Dies ist der Spektralsatz. Abschnitt 6.4

9. A = MJM- 1 = (verallgemeinerte Eigenvektoren in M)(Jordanblöcke in J)(M- 1 ).

10.

11.

Voraussetzungen: A ist eine beliebige quadratische Matrix. Die Jordanform J besteht aus einem Block für jeden linear unabhängigen Eigenvektor von A. Jedem Block ist ein Eigenwert zugeordnet. Abschnitt 6.6

A = U 17VT = ( orthogona~e ) mx m-Matnx U

( orthogonale ) n x n-Matrix V .

( mx n-Singulärwertmatrix ) 0'1, ... , O'r auf der Hauptdiagonale

Voraussetzungen: Keine. Die Singulärwertzerlegung (SVD) besteht aus

den Eigenvektoren von AAT in U und von AT A in V; O'i = VAi(AT A) =

VAi(AAT). Abschnitte 6.7 and 7.4

A + = V 17+UT = ( orthogonal~ ) n x n-Matnx

( orthogonale. ). mx m-Matnx

( n x m-Pseudoinverse von 17 ) 1/0'1,"" l/O'r auf der Diagonalen

Matrix-Faktorisierungen 593

Voraussetzungen: Keine. Mit der Pseudoinversen ist A+ A eine Projektion auf den Zeilenraum von A und AA+ = eine Projektion auf den Spaltenraum. Die kürzeste Lösung (im Sinne der Methode der kleinsten Quadrate) der Gleichung Ax = b ist x = A+b. Dieser Vektor löst AT Ax = ATb. Abschnitt 7.4

12. A = QH = (orthogonale Matrix Q)(symmetrisch positiv definite Matrix H).

Voraussetzungen: A ist invertierbar. Bei dieser Polarzerlegung gilt H 2 = AT A. Der Faktor H is semidefinit, wenn A singulär ist. Für die umgekehrte Polarzerlegung A = KQ gilt K 2 = AAT . Für beide gilt Q = UVT aus der Singulärwertzerlegung. Abschnitt 7.4

13. A = UAU-1 = (unitäre Matrix U)(Eigenwertmatrix A)(U-1 mit U- 1 =

UH = UT ).

Voraussetzungen: A ist normal: AHA = AAH. Die orthonormalen (und möglicherweise komplexen) Eigenvektoren sind die Spalten von U. Die Eigenwerte sind komplex, falls nicht A = AH gilt. Abschnitt 10.2

14. A = UTU-1 = (unitäre Matrix U)(Dreiecksmatrix T mit Eigenwerten auf der Diagonalen) (U-l = UH ).

Voraussetzungen: Schur-Zerlegung einer beliebigen quadratischen Matrix A. Es gibt eine Matrix U mit orthonormalen Spalten, so dass U- 1 AU eine Dreiecksmatrix ist. Abschnitt 10.2

15. F = [I D] [F n/2 ] [gerade-Ungerade] = ein Schritt der FFT. n 1-D F n/2 Permutation

Voraussetzungen: Fn = Fouriermatrix mit den Einträgen w jk , wobei

wn = 1 gilt. Dann gilt F nF n = n1. D hat die Einträge 1, w, w2 , ••• auf der Hauptdiagonalen. Für n = 21 benötigt die schnelle Fouriertransjormation ~nl Multiplikationen. Abschnitt 10.3

Durchgerechnete Aufgaben

1.1 A Beschreiben Sie alle Linearkombinationen der Vektoren v = (1,1,0) und w = (0,1,1). Bestimmen Sie einen Vektor, der keine Linearkombination von v und w ist.

Lösung Es handelt sich um Vektoren im dreidimensionalen Raum ]R3.

Ihre Linearkombinationen cv + dw bilden eine Ebene im ]R3. Beliebige Werte für c und d ergeben Vektoren in dieser Ebene:

Vier konkrete Vektoren in dieser Ebene sind zum Beispiel (0,0,0), (2,3,1),

(5,7,2) und (0,0, -0). Die zweite Komponente muss immer gleich der Summe der ersten und der dritten Komponente sein. Der Vektor (1,1,1) gehört nicht zu dieser Ebene. Eine andere Möglichkeit, diese Ebene zu beschreiben, ist, einen Vektor anzugeben, der senkrecht auf der Ebene steht. In unserem Fall ist n = (1, -1, 1) senkrecht, wie in Abschnitt 1.2 über die Skalarprodukte nachgewiesen wird. Es gilt v . n = 0 und w . n = O.

1.1 B Beschreiben Sie für die Vektoren v = (1,0) und w = (0,1) alle Punkte der Form cv und alle Linearkombinationen cv + dw mit beliebigem d und (1) ganzen Zahlen c, (2) nicht negativen Zahlen c 2: O.

Lösung

1. Die Vektoren cv = (c,O) mit ganzzahligen c sind Punkte im Abstand eins auf der x-Achse (der Richtung von v). Zu ihnen gehören die Punkte (-2,0), (-1,0), (0, 0), (1,0), (2,0). Addiert man alle Vektoren dw = (0, d), so fügt man an jeden dieser Punkte eine ganze Gerade in Richtung der y-Achse an. Damit ergeben sich unendlich viele parallele Geraden aus den Punkten der Form cv + dw = (ganze Zahl, beliebige Zahl). Es handelt sich um vertikale Geraden in der xy-Ebene, die durch im Abstand eins festgelegte Punkte auf der x-Achse verlaufen.

596 Durchgerechnete Aufgaben

2. Die Vektoren der Form cv mit c ~ 0 bilden eine Halbgerade. Es handelt sich um die positive x-Achse, beginnend mit (0, 0) (für c = 0): Zu ihr gehört zum Beispiel (7r, 0), nicht aber (-7r, 0). Addiert man alle Vektoren der Form dw, so fügt man eine ganze Gerade in Richtung der y-Achse an jeden Punkt der Halbgeraden an. Damit erhält man eine Halbebene, nämlich die rechte Hälfte der xy-Ebene, in der x ~ 0 gilt.

1.2 A Überprüfen Sie an den Vektoren v = (3,4) und w = (4,3) die Schwarz'sche Ungleichung für v·w und die Dreiecksungleichung für JJv + wJJ. Bestimmen Sie cos B für den Winkel zwischen v und w. Unter welchen Umständen tritt die Gleichheit Jv· wJ = JJvJJJJwJJ und JJv + wJJ = JJvJJ + JJwJJ ein?

lösung Das Skalarprodukt ist v . w = 3 . 4 + 4 . 3 = 24. Die Länge von v ist JJvJJ = "'9 + 16 = 5, es gilt ebenso JJwJJ = 5. Die Summe v + w = (7,7)

hat die Länge JJv + wJJ = 7y2 r::::J 9.9.

Schwarz'sche Ungleichung Dreiecksungleichung Kosinus des Winkels

Jv· wJ :::; JJvJJJJwJJ, hier: 24< 25. JJv + wJJ :::; JJvJJ + IIwJJ, hier: 7y2 < 10. cos B = ~: (spitzer Winkel!)

Ist ein Vektor ein Vielfaches eines anderen, wie in w = -2v, so ist der Winkel zwischen ihnen 00 oder 1800 , und es gilt J cos BJ = 1, so dass Jv . wJ gleich JJvJJJJwJJ ist. Ist der Winkel 00 , wie in w = 2v, so gilt JJv + wJJ = JJvJJ + IIwJJ: Das Dreieck wird zu einer Strecke.

1.2 B Bestimmen Sie einen Einheitsvektor u in Richtung von v = (3,4). Bestimmen Sie einen Einheitsvektor U senkrecht zu u. Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Wahl von U?

lösung Um einen Einheitsvektor u zu erhalten, dividiert man den Vektor v durch seine Länge JJvJJ = 5. Als senkrechten Vektor V kann man (-4,3) wählen, da das Skalarprodukt v . V = 3 . (-4) + 4 . 3 = 0 ist. Um einen Einheitsvektor U zu bestimmen, dividiert man den Vektor V durch seine Länge JJVJJ:

v (3,4) (3 4) u= JJvJJ = -5- = 5'5 '

Der einzige andere senkrechte Einheitsvektor ist - U = (t, - ~).

2.1 A Beschreiben Sie das Spaltenbild der folgenden drei Gleichungen. Lösen Sie sie durch "aufmerksames Betrachten" der Spalten (anstatt das Gleichungssystem umzuformen):

x + 3y + 2z =-3 2x + 2y + 2z = - 2 gleich Ax = b : 3x + 5y + 4z = -5

Durchgerechnete Aufgaben 597

Lösung Im Spaltenbild wird nach einer Linearkombination gefragt, die den Vektor b aus den drei Spalten von A erzeugt. In unserem Beispiel ist b gleich minus zweite Spalte. Die Lösung ist also x = 0, y = -1, z = o. Um zu zeigen, dass (0, -1,0) die einzige Lösung ist, müssen wir wissen, dass A "invertierbar" ist und die Spalten "linear unabhängig" sind, so dass die "Determinante ungleich null" ist. Wir kennen die Bedeutung dieser Worte noch nicht, können aber mit Hilfe des Eliminationsverfahrens das Ergebnis verifizieren: Wir brauchen (und finden!) einen vollen Satz aus drei von Null verschiedenen Pivotelementen. Ändert man die rechte Seite zu b = (4,4,8) = Summe der ersten beiden Spalten, so ist die richtige Linearkombination durch x = 1, y = 1, z = 0 gegeben, der Lösungsvektor ist x = (1,1,0).

2.1 B Das folgende System hat keine Lösung, weil die drei Ebenen im Zeilenbild sich in keinem Punkt schneiden. Durch keine Kombination der drei Spalten kann der Vektor b erzeugt werden:

x + 3y + 5z = 4 x + 2y - 3z = 5

2x + 5y + 2z = 8 [

13 5] 12-3 25 2

1. Multiplizieren Sie die Gleichungen mit 1, 1 beziehungsweise -1 und addieren Sie sie, um zu zeigen, dass sich die Ebenen in keinem Punkt schneiden. Sind zwei der drei Ebenen parallel? Welche Gleichungen beschreiben Ebenen, die parallel zu x + 3y + 5z = 4 sind?

2. Berechnen Sie das Skalarprodukt jeder Spalte (und auch von b) mit dem Vektor y = (1,1, -1). Wie kann man anhand dieser Skalarprodukte erkennen, dass das System keine Lösung hat?

3. Bestimmen Sie drei Vektoren b*, b** und b*** für die rechte Seite, für die es Lösungen gibt.

Lösung

1. Multipliziert man die Gleichungen mit 1,1 beziehungsweise -1 und addiert man sie, so erhält man

x + 3y + 5z = 4 x + 2y - 3z = 5

- [2x + 5y + 2z = 8] Ox + Oy + Oz = 1 keine Lösung


Die Ebenen schneiden sich in keinem Punkt, aber keine zwei Ebenen sind parallel. Um eine Ebene parallel zu x + 3y + 5z = 4 zu erzeugen, muss man nur die ,,4" ändern. Die parallele Ebene x + 3y + 5z = 0 enthält den Ursprung (0,0,0). Multipliziert man die Gleichung mit einer beliebigen (von Null verschiedenen) Konstanten, so erhält man wieder dieselbe Ebene, wie zum Beispiel durch 2x + 6y + lOz = 8.

2. Das Skalarprodukt aller Spalten auf der linken Seite mit y = (1,1, -1) ist null. Auf der rechten Seite ist y . b = (1,1, -1) . (4,5,8) = 1 aber nicht null. Daher ist eine Lösung unmöglich. (Würde eine Kombination der Spalten den Vektor b ergeben, so wäre das Skalarprodukt mit y eine Kombination von Nullen, die nicht 1 ergeben kann.)

3. Es gibt eine Lösung, wenn beine Linearkombination der Spalten ist. Die folgenden Beispiele b*, b** und b*** haben die Lösungen x* = (1,0,0), x** = (1,1,1) und x*** = (0,0,0):

b' ~ m ~ L Sprute, b" ~ m Summe d. Spruten, b'" ~ [~].

2.2 A Wenn man das Eliminationsverfahren auf die folgende Matrix A anwendet, was ergibt sich für das erste und das zweite Pivotelement? Welchen Multiplikator Z21 erhalten sie für den ersten Schritt (in dem Z21 mal Zeile 1 von Zeile 2 subtrahiert wird) ? Welcher Eintrag (an Stelle der 9) in der Position (2,2) würde eine Vertauschung der Zeilen 2 und 3 nötig machen? Warum ist der Multiplikator !sI = 0, so dass ° mal Zeile 1 von Zeile 3 subtrahiert wird?

[310]

A = 692 015

lösung Das erste Pivotelement ist 3. Der Multiplikator Z21 ist ~ = 2. Subtrahiert man 2 mal Zeile 1 von Zeile 2, so erhält man das zweite Pivotelement 7. Ändert man den Eintrag ,,9" auf ,,2", so würde diese Reduktion um 7 in der Position (2, 2) einen Zeilenwechsel nötig machen. (Die zweite Zeile würde mit den Einträgen 6,2 beginnen, also Vielfachen der Einträge 3,1 in der ersten Zeile. Daher erzeugt man eine Null auf der zweiten Pivotposition.) Der Multiplikator Z31 ist null, weil a31 = ° ist. Eine Null am Anfang einer Zeile bedarf keiner Elimination.

2.2 B Verwenden Sie das Eliminationsverfahren, um obere Dreiecksmatrizen U zu erzeugen, und lösen Sie die Gleichungen durch Rücksubstitution,


oder erklären Sie, warum dies unmöglich ist. Welche Pivotelemente (ungleich Null!) erhalten Sie? Vertauschen Sie Zeilen, falls nötig. Der einzige Unterschied zwischen beiden Gleichungssystemen liegt im Term -x in der dritten Gleichung:

x+y+z=7 x+y-z=5 x-y+z=3

x+y+z=7 x+y-z=5

-x - Y + z = 3

Lösung Man subtrahiert für das erste System Gleichung 1 von den Gleichungen 2 und 3 (die Multiplikatoren sind lz1 = 1 und l31 = 1). Der Eintrag (2,2) wird null, daher müssen zwei Gleichungen vertauscht werden:

x+y+z= 7 Oy - 2z = - 2 wird vertauscht zu

-2y + Oz =-4

x+y+z= 7 -2y + Oz =-4

-2z =-2

Rücksubstitution liefert dann z = 1, Y = 2 und x = 4. Die Pivotelemente sind 1, -2 und -2. Beim zweiten System muss wie zuvor Gleichung 1 von Gleichung 2 subtrahiert werden, aber zu Gleichung 3 addiert werden. Damit erhält man eine Null an der Stelle (2,2) und darunter:

x+y+z= 7 Oy - 2z =-2 Oy + 2z = 10

Es gibt kein Pivotelement in Spalte 2. Der nächste Eliminationsschritt liefert Oz = 8 Die drei Ebenen schneiden sich nicht!

Ebene 1 schneidet sich mit Ebene 2 in einer Geraden, und mit Ebene 3 in einer Geraden parallel dazu. Es gibt keine Lösung. Ändert man die ,,3" in der ursprünglichen dritten Gleichung auf ,,-5" ab, so erhält man 2z = 2 anstelle von 2z = 10. Diese Gleichung z = 1 wäre konsistent - wir haben die dritte Ebene verschoben. Setzt man z = 1 in die erste Gleichung ein, so erhält man x + y = 6. Es gibt unendlich viele Lösungen! Die drei Ebenen schneiden sich jetzt in einer Geraden.

2.3 A Welche 3 x 3~Matrix E21 subtrahiert 4 mal Zeile 1 von Zeile 2? Welche Matrix P32 vertauscht die Zeilen 2 und 3? Beschreiben Sie die Ergebnisse AE21 und AP32 , die man erhält, wenn man A von rechts statt von links multipliziert.

Lösung man

Wendet man die Operationen auf die Einheitsmatrix an, so erhält

[ 100] [100] E 21 = -4 1 0 und P32 = 0 0 1 . 001 010


Multipliziert man E 21 von rechts, so wird 4 mal Spalte 2 von Spalte 1 subtrahiert. Multipliziert man P32 von rechts, so werden die Spalten 2 und 3 vertauscht.

2.3 B te an:

Geben Sie die erweiterte Matrix [A b] mit einer zusätzlichen Spal-

x + 2y + 2z = 1 4x + 8y + 9z = 3

3y + 2z = 1

Wenden Sie E21 und dann P32 an, um ein Dreieckssystem zu erhalten, und lösen Sie es durch Rücksubstitution. Durch welche kombinierte Matrix P32 E 21 werden beide Schritte gleichzeitig ausgeführt?

lösung sind

Die erweiterte Matrix und das Ergebnis der Anwendung von E 21

[1221]

[A b] = 4893 0321

und [122 1]

E2dA b] = 001 -1 . 032 1

P32 vertauscht die Gleichungen 2 und 3. Durch Rücksubstitution erhält man (x,y,z):

[122 1]

P32 E2dA b] = 03 2 1 001 -1

und m u] Um die Matrix P32 E 21 zu bestimmen, die beide Schritte gleichzeitig ausführt, wendet man P32 auf E 21 an:

[ 100] P32 E 21 = Vertausche Zeilen von E 21 = 001

-410

2.3 C Multiplizieren Sie die folgenden Matrizen auf zwei Arten: zunächst die Zeilen von A mit den Spalten von B, um die Einträge von AB zu bestimmen, danach die Spalten von A mit den Zeilen von B, so dass sich Matrizen ergeben, deren Summe AB ist. Wie viele verschiedene gewöhnliche Multiplikationen werden benötigt?

Aß ~ [H] [i i] ~ (3 x 2)(2 x 2)


Lösung Die Produkte der Zeilen von A mit den Spalten von B sind Ska-larprodukte von Vektoren:

(Zeile 1) . (Spalte 1) = [34] [n = 10 ergibt den Eintrag (1,1) von AB

(Zeile 2) . (Spalte 1) = [1 5] [n = 7 ergibt den Eintrag (2,1) von AB

Die ersten Spalten von AB sind (10,7,4) und (16,9,8). Wir benötigen 6 Skalarprodukte mit jeweils 2, also insgesamt 12 Multiplikationen (3 . 2 . 2). Man erhält dieselbe Matrix AB wie über die Produkte der Spalten von A mit den Zeilen von B:

[ 3][24] [4][11] [612] [44] [1016] AB= 1 + 5 = 24 + 55 = 7 9 . 2 0 4 8 00 4 8

2.4 A Stellen Sie sich vor, Sie seien der Autor! Ich möchte Ihnen besondere Matrixmultiplikationen zeigen, aber meistens bleibe ich bei kleinen Matrizen hängen. Es gibt eine wunderbare Familie von Pascal'schen Matrizen, die es in allen Größen gibt, und die vor allem wirkliche Bedeutung haben. Ich denke, 4 x 4 ist eine gute Größe, um einige der faszinierenden Eigenschaften zu demonstrieren. Die folgende Matrix ist die Pascal'sche untere Dreiecksmatrix L. Ihre Einträge stammen aus dem Pascal'schen Dreieck. Ich multipliziere L mit dem "Einsen-Vektor" und mit dem "Potenzen-Vektor":

Pascal'sche r~ 1 1 r~l r~l Matrix 1 2 1 1 4 1331 1 8 r

1 1 r 1 1 r 1 1 11 x l+x 1 2 1 x 2 = (1 + X)2

1 3 3 1 x 3 (1 + x)3

Jede Zeile von L führt auf die nächste Zeile: Man addiert zu einem Eintrag den linken Nachbarn, um den Eintrag darunter zu erhalten. Symbolisch geschrieben also Cij + Cij - I = CHI j. Die auf 1,3,3,1 folgenden Zahlen wären 1,4,6,4,1. Pascal lebte im 17. Jahrhundert, lange bevor es Matrizen gab, aber sein Dreieck passt perfekt in die Matrix L. Mit Einsen zu multiplizieren bewirkt dasselbe, wie jede Zeile aufzuaddieren, so dass man die Potenzen von 2 erhält. Es gilt ja auch Potenzen = Einsen, wenn x = 1 ist. Bildet man das Skalarprodukt der letzten Zeile von L mit dem Potenzen-Vektor, so erhält man als Einträge von L die "Binomialkoeffizienten", die so entscheidend für die Glücksspieler sind:

1 + 3x + 3x2 + 1x3 = (1 + x)3.


Die Zahl ,,3" gibt die Anzahl an Möglichkeiten an, bei drei Münzwürfen einmal "Kopf" und zweimal "Zahl" zu erhalten: KZZ, ZKZ oder ZZK. Die andere ,,3" gibt die Anzahl an Möglichkeiten an, zweimal "Kopf" zu erhalten: ZKK, KZK oder KKZ. Dies sind Beispiele für den Ausdruck "i über j", also die Anzahl Möglichkeiten, in i Münzwürfen j "Köpfe" zu erhalten. Diese Zahl ist genau lij, wenn man die Zeilen- und die Spaltenzählung bei i = 0 und j = 0 beginnt:

., b • z.

ü er J = ., (' _ ')" J. Z J. (~) 4! = 2!2! = 6.

Es gibt sechs Möglichkeiten, zwei aus vier Assen auszuwählen. Wir werden dem Pascal'schen Dreieck und diesen Matrizen in Zukunft noch begegnen. Jetzt möchte ich Ihnen die folgenden Fragen stellen:

1. Was ist H = L 2? Dies ist die "Hyperkubus3-Matrix". 2. Berechnen Sie H mal Einsen und Potenzen. 3. Die letzte Zeile von H ist 8,12,6,1. Ein Würfel hat 8 Ecken, 12 Kanten, 6

Seitenflächen, 1 Würfel. Welche Daten eines vierdimensionalen Hyperkubus gibt die nächste Zeile von H an?

lösung Multiplizieren wir L mit L, um die Hyperkubus-Matrix H = L 2

zu berechnen:

[1 j [1 j [1 j 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 4 4 1 = H. 1 3 3 1 1 3 3 1 8 12 6 1

Als nächstes multiplizieren wir H mit dem Vektor aus Einsen und Potenzen:

[1 j [1 j [ 1 j 2 1 x 2+x 4 4 1 x 2 = (2 + x)2 8 12 6 1 x 3 (2 + x)3

Mit x = 1 erhalten wir die Potenzen von 3. Für x = 0 erhalten wir die Potenzen von 2 (wo tauchen 1,2,4,8 in H auf?). So, wie L aus x (1 + x) gemacht hat, erzeugt die erneute Anwendung von Laus (1 + x) die Matrix (2 + x). Wie können die Zeilen von H die Ecken, Kanten und Seitenflächen eines Würfels zählen? Ein Quadrat in zwei Dimensionen hat 4 Ecken, 4 Seiten, 1 Fläche. Fügen wir eine Dimension nach der anderen hinzu:

3 Anm. d. Übers.: etwa: "hochdimensionaler Würfel"


Man verbindet zwei Quadrate und erhält einen Würfel in 3 Dimensionen. Man verbindet zwei Würfel und erhält einen Hyperkubus in 4 Dimensionen.

Der Würfel hat 8 Ecken und 12 Kanten: 4 Kanten in jedem Quadrat, und 4 Kanten zwischen den Quadraten. Der Würfel hat 6 Seiten: eine in jedem Quadrat, und vier Flächen zwischen den Quadraten. Die Zeile 8,12,6,1 von H führt über 2hij+hij-l = hi+l j zur nächsten Zeile (eine Dimension höher). Können Sie dies vierdimensional sehen? Der Hyperkubus hat 16 Ecken, kein Problem. Er hat 12 Kanten vom einen Würfel, 12 Kanten vom anderen, 8 Kanten, die die Ecken zwischen den Würfeln verbinden: insgesamt 2 x 12+8 = 32 Kanten. Er hat 6 Seitenflächen aus jedem einzelnen Würfel und 12 Flächen von den verbindenden Kanten: insgesamt 2 x 6 + 12 = 24 Seitenflächen. Von jedem Würfel erhält er einen Würfel, und weitere 6 Würfel aus Paaren verbindender Seitenflächen: insgesamt 2 x 1 + 6 = 8 Würfel. Und, Tatsache, die nächste Zeile von H enthält die Einträge 16,32,24,8,1.

2.4 B Wann gilt für die folgenden Matrizen AB = BA? Wann gilt BC = CB? Wann ist A mal BC gleich AB mal C? Geben Sie Bedingungen an die Einträge p, q, rund z an:

Ändern sich die Antworten, wenn p, q, r, 1 und z 4 x 4-Blöcke anstelle von Zahlen sind?

Lösung Zunächst: A mal BC ist immer gleich AB mal C. Man braucht die Klammern in A(BC) = (AB)C = ABC nicht. Man muss aber die Matrizen in der Reihenfolge A, B, C belassen. Vergleichen wir AB mit BA:

AB = [p P ] qq+r

Es gilt nur AB = BA, falls q = 0 und p = r. Vergleichen wir BC mit CB:

Bund C kommutieren zufällig. Eine Erklärung ist, dass der Diagonalteil von B gleich der Matrix I ist, die mit allen anderen 2 x 2-Matrizen kommutiert. Der Teil abseits der Diagonalen von B ist mit dem entsprechenden Teil von C (bis auf einen skalaren Faktor z) identisch, und jede Matrix kommutiert mit sich selbst. Sind p, q, rund z 4 x 4-Blöcke, und ändert man die 1 zu einer 4 x 4-Einheitsmatrix, so bleiben alle Produkte korrekt. Die Antworten bleiben also unverändert. (Ändert man die 1's in B in Blockmatrizen t, t, t, so enthält BC


den Block tz und CB den Block zt. Diese sind normalerweise verschiedenbei der Blockmultiplikation ist die Reihenfolge wichtig.)

2.4 C Ein gerichteter Graph beginnt mit n Knoten. Zwischen ihnen gibt es n 2 mögliche Kanten - jede Kante verläuft von einem der n Knoten zu einem (möglicherweise demselben) der n Knoten. Die n x n-Adjazenzmatrix hat einen Eintrag aij = 1, wenn es eine Kante von Knoten i zu Knoten j gibt, gibt es keine solche Kante, so ist aij = 0. Die folgende Abbildung zeigt zwei gerichtete Graphen mit ihren Adjazenzmatrizen:

Kante 1 nach 2

K>nt"~~(} A~ [::] ~: [1 1 1] 100 100

Kante 2 nach 1

Der Eintrag (i,j) von A 2 ist ailalj+·· ·+ainanj. Wieso gibt A2 die Anzahl der Pfade mit zwei Kanten von einem Knoten i zu einem Knoten j an? Der Eintrag (i,j) von A k gibt die Anzahl der Pfade mit k Kanten an:

zählt die Pfade [1 -+ 2 -+ 1, 1 -+ 1 -+ 1 1 -+ 1 -+ 2] mit zwei Kanten 2 -+ 1 -+ 1 2 -+ 1 -+ 2

Geben Sie alle Pfade mit drei Kanten zwischen je zwei Knoten an, und vergleichen Sie ihre Liste mit A3.

Lösung Die Zahl aik akj ist" 1", wenn es eine Kante von i nach k und eine Kante von k nach j gibt. Diese Kanten machen den Pfad mit zwei Kanten aus. Die Zahl aikakj ist ,,0", wenn eine der beiden Kanten fehlt. Daher ist die Summe über aikakj gleich der Zahl der Pfade von i nach j mit zwei Kanten. Die Matrixmultiplikation ist für diese Zählung gerade passend! Die Pfade mit drei Kanten werden von A3 gezählt, wir sehen uns die Pfade zu Knoten 2 an:

zählt die Pfade mit drei Kanten

[ ... 1-+ 1-+ 1-+ 2,1-+ 2 -+ 1-+ 2] . .. 2 -+ 1 -+ 1 -+ 2

Diese Matrizen Ak enthalten die Fibonacci-Zahlen 0,1,1,2,3,5,8,13, ... , die uns in Abschnitt 6.2 noch begegnen werden. Fibonacci's Regel Fk+2 =

Fk+l +Fk (zum Beispiel 13 = 8+5) taucht in der Beziehung (A)(Ak) = Ak+l auf:


Es gibt 13 Pfade mit sechs Kanten von Knoten 1 nach Knoten 1, aber ich kann sie nicht alle finden. Mit Ak kann man auch Wörter zählen. Ein Pfad wie 1 nach 1 nach 2 nach 1 kann man mit der Zahl 1121 oder mit dem Wort aaba beschreiben. Die Ziffer 2 (der Buchstabe b) darf sich dabei nicht wiederholen, weil der Graph keine Kante von Knoten 2 nach Knoten 2 hat. Der Eintrag (i, j) von Ak gibt die Anzahl erlaubter Zahlen (oder Worte) der Länge k + 1 an, die mit dem i-ten Buchstaben beginnen und auf den j-ten Buchstaben enden.

2.5 A Drei der folgenden Matrizen sind invertierbar, drei sind singulär. Bestimmen Sie die Inverse, wenn sie existiert. Geben Sie Gründe für die Nichtinvertierbarkeit (Determinante null, zu wenige Pivotelemente, nichttriviale Lösung zu Ax = 0) der anderen drei Matrizen an, und zwar in dieser Reihenfolge. Die Matrizen A, B, C, D, E, F sind

[100] 110 111

[111] 110 . 111

Lösung

B- 1 = ~ [ 7 -3] 4 -8 4

C- 1 = ~ [0 6] 36 6-6 [

1 00] E-1 = -1 10 0-11

A ist nicht invertierbar, weil die Determinante 4 . 6 - 3 ·8 = 24 - 24 = 0 ist. D ist nicht invertierbar, weil es nur ein Pivotelement gibt; die zweite Zeile wird zu einer Nullzeile, wenn man die erste Zeile davon subtrahiert. Fist nicht invertierbar, weil es eine Kombination der Spalten gibt (zweite minus erste Spalte), die den Nullvektor darstellt ~ anders gesagt, Fx = 0 hat die Lösung x = (-1, 1, 0). Man kann natürlich alle drei Begründungen für die Nichtinvertierbarkeit auf jede der Matrizen A, D, Fanwenden.

2.5 B Verwenden Sie das Gauß-Jordan-Verfahren, um die Inverse der folgenden dreieckigen Pascal'schen Matrix A = abs(pascal (4,1)) zu bestimmen. Sie erkennen darin das Pascal'sche Dreieck ~ die Summe eines Eintrags mit dem Eintrag links daneben ergibt den Eintrag darunter. Die Einträge sind die "Binomialkoeffizienten":

Dreieckige Pascal'sche Matrix rIO 0 0] 1100

A= 1210 .

1331


lösung Das Gauß-Jordan-Verfahren beginnt mit [A I] und erzeugt Nul-len, indem es Zeile 1 subtrahiert:

[10001000] [1000 1000] 11000100 0100-1100

[A 1]= 12100010 -+ 0210-1010 13310001 0331-1001

Im nächsten Schritt werden Nullen unterhalb des zweiten Pivotelements erzeugt, die Multiplikatoren sind 2 und 3. Im letzten Schritt wird das dreifache der neuen Zeile 3 von der neuen Zeile 4 subtrahiert:

[1000 1 000] [1000 1 0 00] 0100-1100 0100-1100

-+ 00 1 0 1 -2 1 0 -+ 0 0 1 0 1 -2 1 0 = [I 00312-301 0001-13-31

Alle Pivotelemente sind I! Wir brauchten also keine Zeilen durch ein Pivotelement zu dividieren, um I zu bestimmen. Die inverse Matrix A -1 sieht wie A aus, außer dass die Diagonalen mit einer ungeraden Nummer mit -1 multipliziert werden. Prägen Sie sich diese 4 x 4-Matrix A -1 ein - wir werden den Pascal'schen Matrizen noch begegnen. Dasselbe Muster findet sich in den n x n-Pascal-Matrizen: die Inverse hat "alternierende Diagonalen".

2.6 A Die Pascal'sche untere Dreiecksmatrix PL wurde im durchgerechneten Beispiel 2.5 B vorgestellt. (Sie enthält das Pascal'sche Dreieck; mit dem Gauß-Jordan-Verfahren wurde die Inverse bestimmt.) Die folgende Aufgabe liefert eine Verbindung von PL mit der symmetrischen Pascal'schen Matrix Ps und der Pascal'schen oberen Dreiecksmatrix Pu. In der symmetrischen Matrix Ps steht das Pascal'sche Dreieck geneigt, so dass jeder Eintrag sich als Summe aus dem darüberstehenden und dem links danebenstehenden ergibt. In MATlAB erhält man die symmetrische n x n-Matrix Ps durch pascal (n). Aufgabe: Beweisen Sie die faszinierende Faktorisierung Ps = PLPu :

[11111[

10001[11111 1234 1100 0123

pascal(4) = 13 6 10 = 1210 0013 = PLPU.

1 4 10 20 1 3 3 1 0 0 0 1

Machen Sie dann eine Vorhersage für die letzte Zeile und Spalte der 5 x 5-Pascal-Matrix, und überprüfen Sie sie.

lösung Man könnte einfach PLPU ausrechnen und Ps erhalten. Es ist aber eleganter, mit Ps zu beginnen und die obere Dreiecksmatrix Pu über das Eliminationsverfahren zu erhalten:


III 1 1] llll 1] 1234 0123 Ps = 1 3 6 10 --+ 0 2 5 9 --+

1 4 10 20 0 3 9 19 lllll]lllll] 0123 0123 0013 --+ 0013 = Pu·

00310 0001

Die Multiplikatoren, die wir in diesen Schritten verwendeten, passen perfekt in die Matrix PL. Damit ist die Ps = PLPU ein besonders schönes Beispiel für A = LU. Beachten Sie, dass jedes Pivotelement 1 ist. Die Pivotelemente stehen auf der Diagonalen von Pu. Im nächsten Abschnitt werden wir sehen, wie durch die Symmetrie eine spezielle Beziehung zwischen den Dreiecksmatrizen L und U entsteht. Man sieht dann Pu als die" Transponierte" von PL. Sie erwarten vielleicht, dass das MATLAB-Kommando lu(paseal(4)) diese Faktorisierung in PL und Pu ausgibt. Dies ist deswegen nicht der Fall, weil die Routine in Iu jeweils das größtmögliche Pivotelement in einer Spalte auswählt (in unserem Fall werden zum Beispiel die Zeilen so vertauscht, dass als zweites Pivotelement 3 auftritt). Ein anderes Kommando, ehol, führt eine Faktorisierung ohne Zeilenvertauschung durch. Deswegen erhält man durch [L , uJ = ehol(paseal(4)) die Pascal'schen Dreiecksmatrizen in L und U. Probieren Sie es aus! Auch im 5 x 5-Fall bleibt die Faktorisierung Ps = PLPU erhalten:

Nächste Zeile: 1 5 15 35 70 von Ps, 1 4 6 4 1 von PL

Ich überprüfe nur, ob das Produkt dieser fünften Zeile von Ps mit der (identischen) fünften Spalte von Pu den Eintrag 12 + 42 + 62 + 42 + 12 = 70 in der fünften Zeile von Ps ergibt. Der volle Beweis dafür, dass immer Ps = PLPU gilt, ist sehr interessant - man kann die Faktorisierung auf mindestens vier verschiedene Arten erlangen. Ich werde diese Beweise auf den Webseiten (web.mit.edu/18.06/www) für den Kurs veröffentlichen, die man auch durch die OpenCourse Ware des MIT unter ocw.mit.edu erreichen kann. Die Pascal'schen Matrizen Ps, PL, Pu haben viele bemerkenswerte Eigenschaften - wir werden ihnen aber noch einmal begegnen. Sie können sie mit Hilfe des Stichwortverzeichnisses am Ende des Buches ausfindig machen.

2.6 B Die Aufgabe ist: Lösen Sie die Gleichung Ps x = b = (1,0,0,0).

Für diese spezielle rechte Seite ist x die erste Spalte von PSI - gen au wie

beim Gauß-Jordan-Verfahren, wo PsPS I = I spaltenweise gelöst wird. Wir kennen die Dreiecksmatrizen PL und Pu bereits von 2.6 A, deswegen lösen wir

PLc = b (Vorwärtssubstitution) Pu x = c (Rücksubstitution).

Um die volle Inverse PSI zu bestimmen, verwenden Sie am besten MATLAB.

Lösung unten:

Das untere Dreieckssystem PLC = b löst man von oben nach


Cl = 1 Cl + C2 = 0

Cl + 2C2 + C3 = 0 Cl + 3C2 + 3C3 + C4 = 0

ergibt

Cl = +1 C2 =-1

C3 = +1 C4 =-1

Die Vorwärtselimination entspricht der Multiplikation mit Pi l . Es entsteht das obere Dreieckssystem Pux = C, aus dem man die Lösung x durch Rücksubstitution von unten nach oben erhält:

Xl + X2 + X3 + X4 1 Xl = +4 X2 + 2X3 + 3X4 -1

ergibt X2 = -6 X3 + 3X4 1 X3 = +4

X4 -1 X4 = -1

In der vollständigen inversen Matrix PSI steht dieses x tatsächlich in der ersten Spalte:

-6 14 -11 3 [ 4 -6 4 -1] inv(pascal(4)) = 4 -11 10 -3 .

-1 3 -3 1

2.7 A Wendet man eine Permutation P auf die Zeilen von A an, so wird die Symmetrie zerstört:

P = 001 [010] A = 426 [

145] PA = 563 [426]

100 563 145

Welche Permutationsmatrix Q wendet man auf die Spalten von PA an, damit man eine symmetrische Matrix zurückerhält? Die Zahlen 1, 2, 3 müssen dazu wieder auf die Hauptdiagonale gebracht werden ~ wenn auch nicht in dieser Reihenfolge. Wie hängt Q mit P zusammen, wenn das Produkt P AQ die Symmetrie erhält?

Lösung Um die Symmetrie wiederzuerlangen und auf die Diagonale die Zahl ,,2" zu setzen, muss Spalte 2 von PA die neue Spalte 1 werden. Spalte 3 von PA (mit der ,,3") muss die neue Spalte 2 werden, so dass die ,,1" in die Position (3,3) gelangt. Im folgenden wird diese Permutation der Spalten durch die Matrix Q vorgenommen:

[426] PA = 563 145

[001] Q = 100 010

[264]

P AQ = 6 3 5 ist symmetrisch. 451


Die Matrix Q ist pT. Mit dieser Wahl erhält man immer die Symmetrie zurück, weil P ApT garantiert symmetrisch ist ~ die Transponierte ist wieder P ApT. Die Matrix Q ist auch gleich P-1, weil die Inverse jeder Permutationsmatrix gleich der Transponierten ist. Betrachten wir nur die Hauptdiagonale D von A, so sehen wir, dass PD pT garantiert diagonal ist. Verschiebt P Zeile 1 nach Zeile 3, so bewegt pT von rechts Spalte 1 nach Spalte 3. Der Eintrag (1,1) wird erst zu (3,1) und dann (3,3).

2.7 B Bestimmen Sie die symmetrische Faktorisierung A = LDLT der Matrix A von oben. Ist A invertierbar? Bestimmen Sie auch die Faktorisierung PQ = LU von Q, bei der Zeilenvertauschungen nötig sind.

Lösung Um A in der Form LDLT zu faktorisieren, führen wir das Elimi-nationsverfahren unterhalb der Pivotelemente durch:

[ 145] [145] [145] A = 426 ~ 0-14-14 ~ 0-14-14 = U. 563 0-14-22 0 0 -8

Die Multiplikatoren sind 1:21 = 4, 1:31 = 5 und 1:32 = 1. Die Pivotelemente 1, -14, -8 bilden die Matrix D. Teilt man die Zeilen von U durch das jeweilige Pivotelement, so erscheint L T :

[100]

A = LDLT = 410 5 11

[ 1 -14 ] [~~ ~]. -8 001

Diese Matrix A ist invertierbar, weil sie drei Pivotelemente hat. Die Inverse ist die ebenfalls symmetrische Matrix (LT )-l D-1 L -1. Die Zahlen 14 und

8 tauchen in den Nennern in A -1 auf. Die "Determinante" von A ist das Produkt der Pivotelemente (1)(-14)(-8) = 112. Die Matrix Q ist garantiert invertierbar. Das Eliminationsverfahren benötigt aber zwei Zeilenvertauschungen:

[ 0 0 1] Zeilen

Q= 100 ~ 010 1++2

[ 1 0 0] Zeilen [1 0 0] 001 ~ 010 = I. 010 2++3 001

Hier sind L = I und U = I die Faktoren LU. Wir brauchen lediglich eine Permutation P, die die Zeilen von Q in die richtige Reihenfolge (nämlich die der Zeilen von I) bringt. Nun, dazu muss P gleich Q-1 sein. Es handelt sich um dasselbe P wie zuvor! Wir konnten es als Produkt von zwei Zeilenvertauschungen bestimmen, nämlich 1 ++ 2 und 2 ++ 3:


[100] [010] P = P23 P12 = 001 100 010 001

[010] 001 100

ordnet Q in I um.

3.1 A Gegeben seien drei verschiedene Vektoren b 1 , b 2 , b 3 . Man konstruiere eine Matrix A, so dass die Gleichungen Ax = b 1 und Ax = b 2 lösbar sind, nicht aber die Gleichung Ax = b 3 . Wie können Sie entscheiden, ob dies möglich ist? Wie könnten Sie A konstruieren?

Lösung Wir möchten, dass b 1 und b 2 im Spaltenraum von A liegen. Dann sind die Gleichungen Ax = b1 und Ax = b 2 lösbar. Die schnellste Möglichkeit dazu ist, b1 und b 2 als einzige Spalten von A zu verwenden. Die Lösungen sind dann x = (1,0) und x = (0,1). Zusätzlich wollen wir noch, dass Ax = b 3 nicht lösbar ist. Deswegen darf der Spaltenraum nicht größer werden! Verwendet man nur die Spalten b1 und b 2 , so bleiben die Fragen:

Ist b 3 eine Linearkombination der Spalten b 1 und b 2?

Ist die Antwort nein, so haben wir eine Matrix wie gewünscht. Ist die Antwort ja, so ist es unmöglich, eine solche Matrix A zu konstruieren. Enthält der Spaltenraum die Vektoren b 1 und b 2 , so muss er auch alle ihre Linearkombinationen enthalten. Deshalb wäre b 3 notwendigerweise in diesem Spaltenraum, und Ax = b 3 ist ebenso notwendig lösbar.

3.1 B Beschreiben Sie einen Unterraum S eines jeden der folgenden Vek-torräume V, und dann einen Unterraum SS von S.

VI = alle Linearkombinationen von (1,1,0,0) und (1,1,1,0) und (1,1,1,1) V 2 = alle Vektoren, die senkrecht auf u = (1,2,2,1) stehen V 3 = alle symmetrischen 2 x 2-Matrizen V 4 = alle Lösungen der Gleichung d4 y I dx4 = O.

Beschreiben Sie jeden Raum V auf zwei Weisen: Alle Linearkombinationen von .... , Alle Lösungen der Gleichungen ....

Lösung Ein Unterraum S von VI besteht aus allen Linearkombinationen der ersten beiden Vektoren (1,1,0,0) und (1,1,1,0). Ein Unterraum SS von S wäre durch alle Vielfachen (c, c, 0, 0) des ersten Vektors gegeben. Einen Unterraum S von V 2 erhält man durch alle Linearkombinationen von zwei Vektoren (1,0,0, -1) und (0,1, -1,0) senkrecht zu u. Der Vektor x = (1,1, -1, -1) liegt in S, und seine Vielfachen cx liefern einen Unterraum SS.


Die Diagonalmatrizen bilden einen Unterraum S der symmetrischen Matrizen. Die Vielfachen cI wiederum bilden einen Unterraum SS der Diagonalmatrizen. V 4 enthält alle kubischen Polynome y = a + bx + cx2 + dx3 . Die quadratischen Polynome bilden einen Unterraum S, die linearen Polynome wären ein möglicher Unterraum SS. Die Konstanten könnte man als Unterraum SSS darin wählen. In allen vier Fällen hätten wir S = V selbst und SS = Z (Nullraum) wählen können. Jeden Raum V kann man als Menge der Linearkombinationen von .... und als Menge der Lösungen von .... beschreiben:

VI = alle Linearkombinationen der 3 Vektoren

= alle Lösungen von VI - V2 = 0

V 2 = alle Linearkombinationen von (1,0,0, -1), (0, 1, -1,0), (2, -1,0,0)

= alle Lösungen von u T v = 0

V 3 = alle Linearkombinationen von [6 g], [~ 6]' [g ~] = alle Lösungen [~ ~] von b = c

V 4 = alle Linearkombinationen von 1, x, x 2 , x 3

= alle Lösungen von d4 y / dx4 = o.

3.2 A Geben Sie eine 3 x 4-Matrix an, deren spezielle Lösungen der Gleichung Ax = 0 durch SI und S2 gegeben sind:

Pivotspalten 1 und 3 freie Variablen X2 und X4

Sie könnten die Matrix A in reduzierter Treppenform R konstruieren, und dann alle möglichen Matrizen A angeben, deren Kern wie verlangt von SI

und S2 erzeugt wird.

Lösung Die reduzierte Matrix R hat die Pivotelemente 1 in den Spalten 1 und 3. Es gibt kein drittes Pivotelement, deshalb ist die dritte Zeile von Reine Nullzeile. Die freien Spalten 2 und 4 sind Linearkombinationen der Pivotspalten:

Für R = [~~ ~ ~l gilt RS1 = 0 und RS2 = o. 0000


Die Einträge 3,2,6 sind die mit -1 multiplizierten Einträge -3, - 2, -6 in den speziellen Lösungen! R ist nur eine Matrix (ein mögliches A) mit dem verlangten Kern. Wir könnten beliebige Elementaroperationen (Zeilenvertauschungen, Zeilen mit beliebigem c i- ° multiplizieren, ein Vielfaches einer Zeile von einer anderen subtrahieren) auf R anwenden, ohne den Kern zu verändern. Alle Matrizen A mit einem Kern wie oben verlangt lassen sich so erzeugen. (Sie haben alle denselben Zeilenraum. ) Jede 3 x 4-Matrix hat mindestens eine spezielle Lösung. Diese A's haben zwei.

3.2 B Bestimmen Sie die speziellen Lösungen, und beschreiben Sie die vollständige Lösung der Gleichungen Ax = 0 mit

Al = 3 x 4-Nullmatrix

Geben Sie die Pivotspalten und die freien Variablen an, und bestimmen Sie R in jedem Fall.

Lösung Die Gleichung A1 x = 0 hat vier spezielle Lösungen. Es handelt sich um die Spalten SI, S2, S3, S4 der 4 x 4-Einheitsmatrix. Der Kern ist der gesamte IR4 . Als vollständige Lösung erhält man einen beliebigen Vektor x = C1S1 + C2S2 + C3S3 + C4S4 in IR4 . Es gibt keine Pivotspalten, alle Variablen sind frei, die reduzierte Treppenform R ist die Nullmatrix Al. Die Gleichung A2 x = 0 hat nur die eine spezielle Lösung S = (-2,1). Die Vielfachen x = cs liefern die vollständige Lösung. Die erste Spalte von A2 ist die Pivotspalte, und X2 ist die freie Variable. Die reduzierten Treppenformen R2 für A2 und R3 für A3 = [A2 A2 ] haben die Pivotelemente 1:

[ 12 12]

R3 = ° ° ° ° Beachten Sie, dass R3 nur eine Pivotspalte hat (die erste Spalte). Die Variablen X2, X3, X4 sind alle frei, und es gibt drei spezielle Lösungen der Gleichung A3 x = 0 (und auch der Gleichung R3 x = 0):

SI = (-2,1,0,0), S2 = (-1,0,1,0), S3 = (-2,0,0,1),

vollständig x = C1S1 + C2S2 + C3S3.

Mit r Pivotelementen hat A n - r freie Variablen, und die Gleichung Ax = 0 hat n - r spezielle Lösungen.

3.3 A Man faktorisiere die folgenden Matrizen vom Rang eins in der Form A = uvT = Spalte mal Zeile:


[123] A = 246 369

A -_ [ac bd] 1 (bestimmen Sie d aus a- ,b, c)

Zerlegen Sie diese Matrix vom Rang 2 in der Form Ul vi + U2V:[ = (3 x 2) mal (2 x 4) unter Verwendung von E- 1 und R:

[1102] [110] [1001] A= 1203 = 120 0101 2305 231 0000

Lösung Alle Zeilen der 3 x 3-Matrix A sind Vielfache von v T = [1 2 3]. Alle Spalten sind Vielfache der Spalte U = (1,2,3). Für diese symmetrische Matrix gilt also U = v, so dass A = uuT ist. Jede symmetrische Matrix vom Rang eins hat entweder diese Form, oder die Form -uuT.

Hat eine 2 x 2-Matrix [~~J den Rang eins, so muss sie singulär sein. In Kapitel 5 werden wir sehen, dass ihre Determinante ad - bc = 0 ist. In diesem Kapitel sehen wir, dass Zeile 2 ein Vielfaches von Zeile 1 ist, nämlich das ~-fache (unter der Voraussetzung a i- 0). Ist der Rang eins, hat man immer ein Produkt einer Spalte mit einer Zeile:

[ab]_[I][ab]_[a b] c d - cja - c bcja .

bc Also d = -.

a

Die 3 x 4-Matrix vom Rang zwei ist die Summe zweier Matrizen vom Rang eins. Alle Spalten von A sind Linearkombinationen der Pivotspalten 1 und 2. Alle Zeilen sind Linearkombinationen der beiden von Null verschiedenen Zeilen in R. Die Pivotspalten sind Ul und U2, und die von Null verschiedenen Zeilen sind vi und vr Dann ist A gleich Ul vi + U2V:f, wobei die Spalten von E- 1 mit den Zeilen von R multipliziert werden:

[1102] [1] [1 001] [1] [0 1 01] 1203 = 1 + 2 2305 2 3

3.3 B Bestimmen Sie die reduzierte Treppenform R und den Rang r von A - sie hängen von c ab. Welche Spalten sind die Pivotspalten von A? Welche Variablen sind frei? Geben Sie auch die speziellen Lösungen und die Kernmatrix N (immer in Abhängigkeit von c) an.

[1 2 1] A = 363

48c und A = [~~] .


lösung Die 3 x 3-Matrix A hat den Rang r = 2 außer für c = 4. Die Pivotelemente stehen in den Spalten 1 und 3. Die zweite Variable X2 ist frei. Beachten Sie die Form von R:

c1=4 R= [~~~l 000

c = 4 R = [~~ ~l. 000

Für c = 4 steht das einzige Pivotelement in Spalte 1 (eine Pivotspalte). Die Spalten 2 und 3 sind Vielfache von Spalte 1, der Rang ist also eins. Damit sind die zweite und die dritte Variable frei und liefern zwei spezielle Lösungen.

c 1= 4 Spezielle Lösung mit X2 = 1 ergibt N = [ -2~].

[-2 -1] c = 4 Eine weitere spezielle Lösung ergibt N = ~ ~ .

Die 2 x 2-Matrix [~~] hat den Rang r = 1 außer für c = 0, in diesem Fall ist der Rang null.

c=o R= [~~] Die erste Spalte ist die Pivotspalte, falls c 1= 0 gilt, und die zweite Variable ist frei (also eine spezielle Lösung in N). Die Matrix hat keine Pivotspalten für c = 0, so dass beide Variablen frei sind:

c=o N=[~~].

3.4 A In dieser Aufgabe geht es um die Verbindung zwischen der Elimination, den Pivotspalten und der Rücksubstitution einerseits und dem Spaltenraum, dem Kern, dem Rang und der Lösbarkeit andererseits - also um das große Ganze. Die 3 x 4-Matrix A hat den Rang zwei:

Xl + 2X2 + 3X3 + 5X4 = bl

Ax = bist 2Xl + 4X2 + 8X3 + 12x4 = b2

3Xl + 6X2 + 7X3 + 13x4 = b3

1. Reduzieren Sie [A b lauf [U c], so dass Ax = b zu einem Dreieckssystem Ux = c wird.


2. Finden Sie eine Bedingung an bl , b2 , b3 , die sicherstellt, dass Ax = beine Lösung hat.

3. Beschreiben Sie den Spaltenraum von A. Um welche Ebene in IE.3 handelt es sich?

4. Beschreiben Sie den Kern von A. Welche Vektoren in IE.4 sind spezielle Lösungen?

5. Bestimmen Sie eine partikuläre Lösung der Gleichung Ax = (0,6, -6) und damit die vollständige Lösung.

6. Reduzieren Sie [U c] zu [R d]: spezielle Lösungen aus R, partikuläre Lösung aus d.

Lösung

1. Die Multiplikatoren beim Eliminationsverfahren sind 2, 3 und -1. Aus

[A b] wird [U c ].

2. In der letzten Zeile steht die Bedingung für die Lösbarkeit: b3 + b2 - 5bl = O. Dann gilt 0 = O.

3. Erste Beschreibung: Der Spaltenraum ist die Ebene, die alle Linearkombinationen der Pivotspalten (1,2,3) und (3,8,7) enthält, da die Pivotelemente in den Spalten 1 und 3 stehen. Zweite Beschreibung: Der Spaltenraum enthält alle Vektoren, für die b3 + b2 - 5bl = 0 gilt. Diese Bedingung macht Ax = b lösbar, b liegt im Spaltenraum. Alle Spalten von A genügen der Bedingung b3 + b2 - 5bl = O. Dies ist die Ebenengleichung der ersten Beschreibung.

4. Die speziellen Lösungen haben die freien Variablen X2 = 1, X4 = 0 und damit X2 = 0, X4 = 1:

Spezielle Lösungen für Ax = 0 Rücksubstitution in U x = 0

Der Kern N(A) in IE.4 enthält alle X n

2C2, Cl, -C2, C2).

(- 2CI -


5. Man erhält eine partikuläre Lösung x p , wenn man alle freien Variablen zu Null setzt. Rücksubstitution in Ux = c liefert dann:

Partikuläre Lösung für Axp = (0,6, -6) Der Vektor b erfüllt b3 + b2 - 5b1 = 0

Die vollständige Lösung der Gleichung Ax = (0,6, -6) ist also x = x p + alle x n .

6. In der reduzierten Treppenform R ändert sich die dritte Zeile von (3,2,0) in U zu (0, 1,0). Die rechte Seite c = (0,6,0) wird zu d = (-9,3,0), mit -9 und 3 aus x p :

[12350] [1202-9]

[Uc]= 00226 ---+[Rd]= 0011 3 00000 0000 0

3.4 B Was können Sie aus den folgenden Informationen über die Lösungen der Gleichung Ax = b für ein festes b über die Gestalt von A, A selbst, und womöglich über b schließen?

1. Es gibt genau eine Lösung.

2. Alle Lösungen der Gleichung Ax = b haben die Form x = [~] + c [t].

3. Es gibt keine Lösung.

4. Alle Lösungen von Ax = b haben die Form x = [~] + c [~ ] .

5. Es gibt unendlich viele Lösungen.

Lösung Im Fall 1 mit genau einer Lösung muss A vollen Spaltenrang r = n haben. Der Kern von A enthält nur den Nullvektor, und es muss notwendigerweise m 2 n gelten. Im Fall 2 muss A n = 2 Spalten (bei beliebigem m) haben. Da [t] im Kern

von A liegt, muss Spalte 2 gleich minus Spalte 1 sein. Da x = [~] eine Lösung

ist, gilt b = (Spalte 1) + 2 (Spalte 2) = Spalte 2. Die Spalten können keine Nullvektoren sein. Im Fall 3 wissen wir nur, dass b nicht im Spaltenraum von A liegt. Der Rang von A muss kleiner als m sein. Ich schätze, wir wissen, dass b f. 0 ist, denn andernfalls wäre x = 0 eine Lösung.


Im Fall 4 muss A n = 3 Spalten haben. Da (1,0,1) im Kern liegt, ist Spalte 3 gleich minus Spalte 1. Spalte 2 kann kein Vielfaches von Spalte 1 sein, denn dann gäbe es noch eine weitere spezielle Lösung im Kern. Der Rang von A ist also 3 - 1 = 2. Damit hat Am 2: 2 Zeilen. Die rechte Seite b ist Spalte 1 + Spalte 2. Im Fall 5 mit unendlich vielen Lösungen muss der Kern von Null verschiedene Vektoren enthalten. Der Rang r muss dazu kleiner als n sein (kein voller Spaltenrang), und b muss im Spaltenraum von A liegen. Wir wissen nicht, ob jedes b im Spaltenraum liegt, wir wissen also nicht, ob r = m gilt.

3.4 C Bestimmen Sie die vollständige Lösung x = xp+xn durch Vorwärt-selimination auf [A b]:

[ 1210] [Xl] [4] 2448 X2 2

4868~: 10

Bestimmen Sie Zahlen Yl, Y2, Y3 so, dass Yl (Zeile 1)+Y2 (Zeile 2)+Y3 (Zeile 3) = Nullzeile. Überprüfen Sie, dass b = (4,2,10) die Bedingung ylbl + Y2b2 + Y3b3 = 0 erfüllt. Warum ist dies die Bedingung dafür, dass das Gleichungssystem lösbar ist und b im Spaltenraum liegt?

lösung Durch Vorwärtselimination auf [A b] erzeugt man eine Nullzeile in [U cl. Die dritte Gleichung wird also 0 = 0, so dass das Gleichungssystem konsistent und damit lösbar ist:

[12104] [1210 4] [1210 4] 2 4 4 8 2 -----+ ° ° 2 8 -6 -----+ ° ° 2 8 -6 . 4 8 6 8 10 ° ° 2 8 -6 ° ° 0 ° 0

Die Spalten 1 und 3 enthalten die Pivotelemente. Die Variablen X2 und X4

sind die freien Variablen. Setzt man sie zu Null, lässt sich das System per Rücksubstitution mit einer partikulären Lösung xp = (7,0, -3,0) lösen. Man findet 7 und -3 wieder, wenn man die Elimination bis zu [R d] weiterführt:

[1210 4] [1210 4] [120-4 7] o 0 2 8 -6 -----+ 0 0 1 4 -3 -----+ ° ° 1 4 -3 . 0000 0 0000 0 000 ° 0

Um die Kernvektoren X n mit b = 0 zu bestimmen, setzt man die freien Variablen X2, X4 auf 1,0 und auch auf 0, 1:

Spezielle Lösungen SI = (-2,1,0,0) und S2 = (4,0, -4, 1)

Die vollständige Lösung der Gleichungen Ax = bund Rx = d ist damit durch Xvollst = xp + ClSl + C2S2 gegeben.


Aus den Zeilen von A erzeugt man die Nullzeile durch 2(Zeile 1) + (Zeile 2) -(Zeile 3) = (0,0,0,0). Dieselbe Kombination für b = (4,2,10) ergibt 2(4) + (2) - (10) = O. Ergibt eine Linearkombination der Zeilen auf der linken Seite die Nullzeile, so muss dieselbe Kombination auf der rechten Seite Null ergeben - natürlich! Denn sonst gäbe es keine Lösung. Später werden wir dies mit anderen Begriffen ausdrücken: Ist jede Spalte von A senkrecht zu y = (2, 1, -1), so ist auch jede Linearkombination b dieser Spalten senkrecht zu y. Gilt dies für ein b nicht, so liegt der Vektor nicht im Spaltenraum, so dass Ax = b nicht lösbar ist. Und noch einmal: Ist y im Kern von AT, so muss y senkrecht auf jedem Vektor b im Kern stehen. Nur eine kleine Vorschau ...

3.5 A Gegeben seien die Vektoren VI = (1,2,0) und V2 = (2,3,0). (a) Sind sie linear unabhängig? (b) Bilden sie die Basis irgendeines Vektorraums? (c) Welchen Raum V erzeugen sie? (cl) Welche Dimension hat dieser Raum? (e) Zu welchen Matrizen ist V der Spaltenraum? (f) Zu welchen Matrizen ist V der Kern? (g) Beschreiben Sie alle Vektoren V3, so dass VI, V2, V3 eine Basis des ]E.3 ist.

lösung

1. VI und V2 sind linear unabhängig - die einzige Linearkombination, die o erzeugt, ist OVI + OV2.

2. Ja, sie bilden eine Basis für den von ihnen aufgespannten Raum V.

3. Dieser Raum V enthält alle Vektoren der Form (x, y, 0). Es handelt sich um die xy-Ebene in ]E.3.

4. Die Dimension von V ist 2, da die Basis aus zwei Vektoren besteht.

5. Dieser Raum V ist der Spaltenraum einer jeden 3 x n-Matrix A vom Rang 2, deren Spalten Linearkombinationen von VI und V2 sind. Insbesondere könnte A einfach aus den Spalten VI und V2 bestehen.

6. Dieser Raum V ist der Kern einer jeden m x 3-Matrix B mit Rang 1, deren Zeilen Vielfache von (0,0,1) sind. Als Beispiel betrachte man B = [0 0 1). Für diese Matrix gilt BVI = 0 und BV2 = O.

7. Mit einem beliebigen Vektor V3 = (a, b, c) mit c i= 0 ergibt sich eine vollständige Basis des ]E.3 .

3.5 B Gegeben seien drei linear unabhängige Vektoren WI, W2, W3. Die Vektoren VI, V2, V3 seien Linearkombinationen dieser Vektoren. Stellen Sie diesen Sachverhalt als Matrizengleichung V = W M dar:


VI = Wl + W2 V2 = Wl + 2W2 + W3 bzw. V3 = W2 + CW3

Wie überprüft man für die Matrix V, ob ihre Spalten linear unabhängig sind? Zeigen Sie, das VI, V2, V3 für C -::f. 1 linear unabhängig und für C = 1 linear abhängig sind.

Lösung Wir können unserer ersten Definition entnehmen, wie man die lineare Unabhängigkeit der Spalten einer Matrix V überprüft: Der Kern von V darf nur den Nullvektor enthalten. Dann ist x = (0,0,0) die einzige Linearkombination der Spalten, für die Vx den Nullvektor ergibt. Für C = 1 können wir die lineare Abhängigkeit auf zwei Arten feststellen. Erstens ist VI + V3 dasselbe wie V2. (Addiert man Wl + W2 zu W2 + W3, so erhält man Wl + 2W2 + W3 gleich V2.) Anders gesagt, gilt VI - V2 + V3 = 0 - die v's sind also nicht linear unabhängig. Die andere Möglichkeit ist, den Kern von M zu betrachten. Für C = 1 liegt der Vektor x = (1, -1, 1) in diesem Kern, es gilt Mx = o. Dann gilt sicher auch W Mx = 0, also Vx = O. Daher sind die v's linear abhängig. Dieser Vektor x = (1, -1, 1) im Kern liefert uns wieder, dass VI - V2 + V3 = 0 gilt. Sei nun C -::f. 1. Dann ist die Matrix M invertierbar. Ist also x ein beliebiger von Null verschiedener Vektor, so ist auch Mx von Null verschieden. Da wir vorausgesetzt haben, dass die w's linear unabhängig sind, muss auch W Mx von Null verschieden sein. Aus V = W M folgt damit, dass x nicht im Kern von V liegt. Anders gesagt: die Vektoren VI, V2, V3 sind linear unabhängig. Die allgemeine Regel ist: "Man erhält unabhängige v's aus unabhängigen w's, wenn M invertierbar ist." Liegen diese Vektoren in ~3 , so sind sie nicht nur linear unabhängig, sondern sie bilden auch eine Basis des ~3: "Man erhält eine Basis aus v's aus einer Basis aus w's, wenn die Basiswechselmatrix M invertierbar ist."

3.5 C Es sei VI, ... , V n eine Basis des ~n, und die n x n-Matrix A sei invertierbar. Zeigen Sie, dass AVl, ... , AVn ebenfalls eine Basis des ~n bildet.

Lösung Durch Matrizen ausgedrückt: Die Basisvektoren VI, ... , V n bilden die Spalten einer invertierbaren Matrix V. Dann bilden AVl, .. . , Av n die Spalten der Matrix AV. Da A invertierbar ist, ist auch AV invertierbar, und die Spalten bilden eine Basis. Durch Vektoren ausgedrückt: Es sei CIAvl + ... + cnAvn = o. Dies lässt sich mit V = CIVI + ... + CnVn auch als Av = 0 schreiben. Multipliziert man mit A -1, so erhält man V = O. Da die v's linear unabhängig sind, müssen alle Koeffizienten Ci = 0 sein. Es sind also auch die Av's linear unabhängig. Um zu zeigen, dass die Av's den ~n erzeugen, löst man die Gleichung CIAvl + ... + cnAvn = b. Dies ist äquivalent zu CIVI + ... + CnVn = A-1b. Da die v's eine Basis bilden, muss diese Gleichung lösbar sein.


3.6 A Bestimmen Sie Basen und die Dimensionen der vier fundamentalen Unterräume von

[100] [1305] A = 2 1 0 0 0 1 6 = E- 1 R. 501 0000

Ändern Sie nur eine Zahl so, dass sich die Dimensionen aller vier Unterräume ändern.

Lösung Diese Matrix hat ihre Pivotelemente in den Spalten 1 und 3, und ihr Rang ist r = 2. Zeilenraum: Basis (1,3,0,5) und (0,0,1,6) aus R. Dimension 2. Spaltenraum: Basis (1,2,5) und (0,1,0) aus E- 1 . Dimension 2. Kern: Basis (-3,1,0,0) und (-5,0, -6, 1) aus R. Dimension 2. Kern von AT: Basis (-5,0,1) aus Zeile 3 von E. Dimension 3 - 2 = l.

Über den Kern N(AT ) müssen wir noch eine Bemerkung machen. Die Gleichung EA = R besagt, dass die letzte Zeile von E ein Basisvektor des Kerns der Transponierten ist. Hätte R zwei Nullzeilen, dann wären die letzten beiden Zeilen von E eine Basis des Kerns der Transponierten (der die Kombinationen der Zeilen von A enthält, die die Nullzeile ergeben). Um diese Dimensionen zu ändern, müssen wir den Rang r verändern. Man erreicht dies, indem man einen (beliebigen) Eintrag in der letzten Zeile von Rändert.

3.6 B Stellen Sie sich vor, sie sollen vier Einsen in einer 5 x 6-Matrix platzieren, deren restliche Einträge Nullen sind. Beschreiben Sie alle Möglichkeiten, die Dimension des Zeilenraums so klein wie möglich zu machen. Beschreiben Sie auch alle Möglichkeiten, die Dimension des Spaltenraums so klein wie möglich zu machen. Beschreiben Sie schließlich alle Möglichkeiten, die Dimension des Kerns so klein wie möglich zu machen. Geben Sie die minimalen Dimensionen an. Welche Möglichkeiten haben Sie, wenn Sie die Summe der Dimensionen aller vier Unterräume so klein wie möglich machen wollen?

Lösung Der Rang ist 1, wenn man die vier Einsen in eine Zeile oder in eine Spalte setzt, oder in zwei Zeilen und zwei Spalten (so dass aii = aij = aji = ajj = 1 gilt). Da Spaltenraum und Zeilenraum immer dieselbe Dimension haben, beantwortet dies die ersten beiden Fragen: die Dimension ist l. Der Kern hat die kleinstmögliche Dimension 6 - 4 = 2, wenn der Rang r = 4 ist. Um Rang vier zu erreichen, müssen die vier Einsen in vier unterschiedlichen Zeilen und Spalten stehen. Bei der Summe r+(n-r)+r+(m-r) = n+m kann man nichts erreichen - sie wird immer 6 + 5 = 11 sein, unabhängig davon, wie die Einsen platziert werden. Die Summe ist sogar 11, wenn es gar keine Einsen gibt ...


Wie ändern sich die Antworten, wenn alle übrigen Einträge von A ,,2" statt ,,0" sind?

4.1 A Es sei 8 ein sechs dimensionaler Unterraum des ]R9. Welche Dimen-sionen können Unterräume orthogonal zu 8 haben? Welche Möglichkeiten bestehen für die Dimension des orthogonalen Komplements 81- von 8? Bestimmen Sie die kleinstmögliche Größe einer Matrix A, deren Zeilenraum 8 ist. Welche Gestalt hat ihre Kernmatrix N? Wie könnten Sie eine Matrix B mit zusätzlichen Zeilen, aber identischem Zeilenraum erzeugen? Vergleichen Sie die Kernmatrix für B mit der Kernmatrix für A.

lösung Unterräume von ]R9, die orthogonal zu dem sechsdimensionalen Unterraum 8 sind, können die Dimensionen 0, 1, 2 und 3 haben. Das orthogonale Komplement ist der größte orthogonale Unterraum mit der Dimension 3. Die kleinste Matrix A muss aus 9 Spalten und 6 Zeilen bestehen, die eine Basis des sechs dimensionalen Zeilenraums 8 bilden. Die Kernmatrix ist eine 9 x 3-Matrix, da ihre Spalten eine Basis für 81- enthalten. Setzt man als Zeile 7 von Beine Linearkombination der sechs Zeilen von A, so hat B denselben Zeilenraum wie A. Sie hat auch dieselbe Kernmatrix N, da die speziellen Lösungen gleich bleiben - das Eliminationsverfahren macht aus Zeile 7 eine Nullzeile.

4.1 B Die Gleichung x - 4y - 5z = 0 beschreibt eine Ebene E in ]R3. Den Kern welcher 1 x 3-Matrix stellt diese Ebene dar? Bestimmen Sie eine Basis SI, S2 aus speziellen Lösungen von x - 3y - 4z = 0 - sie bilden die Spalten der Kernmatrix N. Bestimmen Sie auch eine Basis für die Gerade E1- senkrecht zu E. Zerlegen Sie den Vektor v = (6,4,5) in seine Kernkomponente V n in E und seine Zeilenraumkomponente v r in E1-.

lösung Die Gleichung x - 3y - 4z = 0 lässt sich als Ax = 0 mit der 1 x 3-Matrix A = [1 - 3 - 4] schreiben. Die Spalten 2 und 3 sind frei (keine Pivotelemente), und die speziellen Lösungen, bei denen die freien Variablen auf 1 beziehungsweise 0 gesetzt werden, sind SI = (3,1,0) und S2 = (4,0,1). Der Zeilenraum von A (die Gerade E1-) hat die Basis z = (1, -3, -4). Dieser Vektor steht senkrecht auf SI und S2, und auf der ganzen Ebene E. Um v in V n + V r = (C1S1 + C2S2) + C3Z zu zerlegen, löst man diese Gleichung nach Cl, C2, C3 auf:

führt auf Cl = 1, C2 = 1, C3 = -1 V n = SI + S2 = (7,1,1) liegt in E = N(A) V r = -83 = (-1,3,4) liegt auf E1- = 8(AT).

4.2 A Projizieren Sie den Vektor b = (3,4,4) auf die Gerade durch a = (2,2,1) und dann auf die Ebene, die auch a* = (1,0,0) enthält. Rechnen


Sie nach, dass der erste Fehlervektor b - p senkrecht auf a steht und der zweite Fehlervektor b - p* außerdem noch senkrecht auf a*. Bestimmen Sie die 3 x 3-Projektionsmatrix auf diese Ebene. Bestimmen Sie einen Vektor e*, dessen Projektion auf die Ebene von a und a* der Nullvektor ist.

Lösung ist 2a:

Die Projektion von b = (3,4,4) auf die Gerade durch a = (2,2,1)

bTa 18 p = ----r-a = -(2,2,1) = (4,4,2).

a a 9

Der Fehlervektor e = b - p = (-1, 0, 2) steht senkrecht auf a. Der Vektor p ist also richtig berechnet worden. Die Ebene, die die Vektoren a = (2,2,1) und a* = (1,0,0) enthält, ist der Spaltenraum von A:

A~ [Hl (AT A)-l = ~ [ 1-2] 5 -2 9 [ 1 ° ° 1 P = ° 0,8 0,4 ° 0,4 0,2

Damit gilt p* = Pb = (3, 4,8, 2,4), und e* = b - p* = (0, -0,8, 1,6) steht senkrecht auf a und a*. Dieser Vektor e* liegt im Kern von P, seine Projektion ist null! Beachten Sie p 2 = P.

4.2 B Stellen Sie sich vor, ihr Puls wird einmal mit x = 70 Schlägen pro Minute gemessen, dann mit x = 80 und dann mit x = 120 Schlägen. Diese drei Gleichungen Ax = b in einer Unbekannten lassen sich mit AT = [1 11] und b = (70,80,120) schreiben. Der beste Wert x ist der __ von 70,80,120. Verwenden Sie dazu einerseits die Differentialrechnung, andererseits Projektionen:

1. Minimieren Sie E = (x-70)2+(x-80)2+(x-120)2, indem Sie dEjdx = ° lösen.

2. Projizieren Sie den Vektor b = (70,80,120) auf a = (1,1,1) und bestim-men Sie x = aTbjaTa.

Verwendet man die Methode der kleinsten Quadrate rekursiv, so bestimmt man bei einer weiteren Messung 130 aus Xalt einen neuen Wert xneu . Berechnen Sie xneu und verifizieren Sie die "Aktualisierungs-Formel" xneu = Xalt + t(130 - Xalt). Vom 999. zum 1000. Messwert erhält man den aktua

lisierten Wert durch xneu = Xalt + 10100 (b1000 - xald. Man benötigt also nur Xalt und den letzten Messwert blOOO , und muss nicht den Mittelwert aller 1000 Zahlen bestimmen!

Lösung Die nächste horizontale Gerade zu den Höhen 70,80,120 ist der Mittelwert x = 90:


Diff'rechnung : dE dx = 2(x - 70) + 2(x - 80) + 2(x - 120) = 0

r ~ ~ 70 + 80 + 120 le ert x = 3

~ aTb (1,1, I)T(70, 80,120) 70 + 80 + 120 x---- ------- aTa - (1,1, I)T(I, 1, 1) - 3

Projektion:

AT Ax = ATb ist eine 1 x I~Matrix, weil A nur eine Spalte (1,1,1) hat. Die neue Messung b4 = 130 fügt eine vierte Gleichung hinzu, und x wird entweder dadurch auf den Wert 100 aktualisiert, dass man den neuen Mittelwert aus b1 , b2 , b3 , b4 berechnet, oder rekursiv unter Verwendung des alten Mittelwerts aus b1 ,b2 ,b3 :

xneu = 70 + 80 + 120 + 130 = 100 4 Xalt + ~(b4 - Xalt) = 90 + ~(40).

Die Aktualisierung von 999 auf 1000 Messungen weist die "VerstärkungsMatrix" 10100 in einem KaIman-Filter auf, die mit dem Fehlerschätzer bneu -

Xalt multipliziert wird. Beachten Sie, dass 1~00 = g~g - ggg1000 gilt:

b1 + ... + bwoo = b1 + ... + bggg _1_ (b _ b1 + ... + bggg )

Xneu = 1000 999 + 1000 1000 999 .

4.3 A Gegeben seien neun Messungen b1 bis bg , alle mit dem Wert null, zu den Zeiten t = 1, ... ,9. Die zehnte Messung bIO = 40 ist ein Ausreißer. Bestimmen Sie die am besten an die zehn Punkte (1,0), (2,0), ... ,(9,0), (10,40) angepasste horizontale Gerade y = C. Verwenden Sie dazu drei verschiedene Fehlermaße: (1) Kleinste Quadrate ei + ... + eio (2) Kleinster Maximalfehler lemaxl (3) Kleinste Fehlersumme lell + ... + lewl. Bestimmen Sie dann nach der Methode der kleinsten Quadrate die beste Gerade C + Dt durch diese zehn Punkte. Was geschieht mit C und D, wenn man die bi mit 3 multipliziert und 30 addiert, und b neu = (30,30, ... ,150) betrachtet? Welche beste Gerade erhält man, wenn man die Zeitpunkte ti = 1, ... ,10 mit 2 multipliziert und 10 addiert, so dass sich t neu = 12,14, ... ,30 ergibt?

Lösung (1) Nach der Methode der kleinsten Quadrate passt man an die

Werte 0,0, ... ,0,40 eine horizontale Gerade mit dem Mittelwert C = ig = 4 an. (2) Der kleinste Maximalfehler entsteht für C = 20, in der Mitte zwischen o und 40. (3) Die kleinste Fehlersumme erhält man für C = 0 (!!). Die Fehlersumme 91CI + 140 - CI würde wachsen, wenn man Cerhöhte. Das Fehlerrnaß der kleinsten Fehlersumme stammt von einer Medianmessung - der Median von 0, ... ,0,40 ist Null. Ändert man den besten Wert y =


C = bmedian, so erhöht man die eine Hälfte der Fehler und verringert die andere Hälfte. Viele Statistiker sind der Meinung, dass bei der Methode der kleinsten Quadrate Ausreißer wie blO = 40 das Ergebnis zu stark beeinflussen, und ziehen die Methode der kleinsten Fehlersumme vor. Bei dieser Methode werden die Gleichungen aber nichtlinear. Um die beste Gerade C + Dt nach der Methode der kleinsten Quadrate zu bestimmen, benötigt man AT A und ATb mit t = 1, ... ,10:

A T A=[10 2:: ti ] = [10 55] 2:: ti 2:: t; 55 385

Diese Matrizen erhält man aus Gleichung (9). Mit ihnen ergibt sich AT Ai = ATb, also C = -1 und D = 13/11. Wegen der Linearität dürfen wir die Messungen b = (0,0, ... ,40) umskalieren. Multipliziert man b mit 3, so werden auch C und D mit 3 multipliziert. Addiert man 30 zu allen bi , so wird auch 30 zu C addiert. Multipliziert man die Zeiten ti mit 2, so wird D durch 2 dividiert, so dass die Gerade zu den neuen Zeiten dieselben Höhen erreicht. Addiert man zu allen Zeiten 10 hinzu, so muss man t gegen t - 10 austauschen. Die neue Gerade C + De-210 ) erreicht die Höhen (mit denselben Fehlern) zu den Zeiten t = 12,14, ... ,30, die sie vorher zu den Zeiten t = 1,2, ... ,10 erreicht hatte. In der Sprechweise der linearen Algebra haben die Matrizen Aalt und A neu

denselben Spaltenraum (warum?), so dass keine Änderung der Projektion nötig ist:

[llllllllll]T 12345678910

[ llllllllll]T 12 14 16 182022 24 26 28 30

4.3 B Bestimmen Sie die Parabel C+Dt+Et2 , die (im Sinne der Methode der kleinsten Quadrate) den Werten b = (0,0,1,0,0) zu den Zeiten t = -2,-1,0,1,2 am nächsten kommt. Geben Sie zuerst die fünf Gleichungen in drei Unbekannten dafür an, dass die Parabel durch die Punkte verläuft. Es gibt dazu keine Lösung, weil keine solche Parabel existiert. Lösen Sie das Gleichungssystem Ax = b dann im Kleinste-Quadrate-Sinn, indem Sie die Gleichung AT Ai = ATb lösen. Meine Vorhersage wäre D = 0. Warum sollte die beste Parabel symmetrisch um t = ° sein? In dem System AT Ai = ATb sollte Gleichung 2 von den Gleichungen 1 und 3 entkoppelt sein.


lösung Die fünf Gleichungen in Ax = b und die 3 x 3-Matrix AT A sind

C + D(-2) C+D(-I) C + D (0) C + D (1) C + D (2)

+ E (-2)2

+ E (-1)2

+ E (0)2 +E (1)2 +E (2)2

0 0 0 0 0

A=

1 -24 1 -11 1 00 111 1 24

[ 5 0 10]

AT A = 0 10 0 10 0 34

Die Nullen in AT A besagen, dass Spalte 2 von A orthogonal zu den Spalten 1 und 3 ist. Dies sieht man auch direkt in A (weil die Zeiten -2,-1,0,1,2 symmetrisch sind). Die optimalen Werte für C, D und E in der Parabel C + Dt + Et2 erhält man aus der Gleichung AT Ax = ATb, in der Gleichung 2 für D entkoppelt ist:

C = 34 = 17 70 35

führt auf D = 0 wie vorhergesagt

E = _10 =_! 70 7

Die Symmetrie der t's ist der Grund dafür, dass Gleichung 2 entkoppelt ist. Die Symmetrie des Vektors b = (0,0,1,0,0) lässt die rechte Seite zu Null werden. Die symmetrischen Ausgangswerte erzeugten eine symmetrische Parabel ~~ - ~t2. Man kann Spalte 3 orthogonalisieren, indem man die Projektion (2,2,2,2,2) auf Spalte 1 subtrahiert:

1 -2 2 0 1 -1 -1 [C~2E] 0

Beachten Sie die A neu xneu = b ist 1 0-2 1

neue 3. Spalte 1 1 -1 0 1 2 2 0

[5 0 0] [C~2E] [ J] (A~eu Aneu ) xneu = A~eub ist 010 0 o 0 14

Jetzt sind alle Gleichungen entkoppelt, und Aneu hat orthogonale Spalten. Man erhält sofort 14E = -2, daraus E = -~, und D = o. Aus C + 2E = k erhält man dann C = k + ~ = ~~ wie zuvor. Die Matrix AT A wird leicht zugänglich, wenn die Arbeit der Orthogonalisierung (also das GramSchmidt-Verfahren) vorher getan wird.

4.4 A Füllen Sie die beiden Spalten mit Einträgen 1 oder -1 aus, so dass die Spalten der entstehenden 4 x 4-"Hadamard-Matrix" orthogonal sind. Wie erzeugen Sie aus H eine orthogonale Matrix Q?


[1 lXX]

H= 1 lxx 1-1 X X 1-1 x x

und

Warum kann eine 5 x 5-Matrix mit Einträgen 1 und -1 keine orthogonalen Spalten haben? Tatsächlich ist die nächstmögliche Größe erst 8 x 8, aus vier Blöcken bestehend:

Die Blockmatrix H 8 = [~_~] ist eine Hadamard-Matrix mit orthogonalen Spalten. Was ist H'[ H8 ?

Die Projektion von b = (6,0,0,2) auf die erste Spalte von H ist PI = (2,2,2,2), und die Projektion auf die zweite Spalte ist P2 = (1,1, -1, -1). Bestimmen Sie die Projektion PI,2 von b auf den zweidimensionalen Raum, der von den ersten bei den Spalten aufgespannt wird.

lösung Die Spalten 3 und 4 dieser Matrix H könnten auch mit -1 mul-tipliziert oder vertauscht werden:

H = [~ ~-~-~] 1-1 1-1 1-1-1 1

hat orthogonale Spalten,

H Q = 2 hat orthonormale Spalten.

Dividiert man durch 2, so erhält man die Einheitsvektoren in der Matrix Q. Orthogonalität ist für eine 5 x 5-Matrix dieser Art unmöglich, weil in den Skalarprodukten jeweils fünf Summanden 1 oder -1 stehen, die nicht die Summe Null ergeben können. Die 8 x 8-Matrix H 8 hat orthogonale Spalten

der Länge VB. Damit ist Q8 gleich Hsj VB:

Weil die Spalten orthogonal sind, können wir einfach den Vektor (6,0,0,2) auf die Vektoren (1,1,1,1) und (1,1, -1, -1) projizieren, und die Projektionen addieren:

Projektion PI,2 = PI + P2 = (2,2,2,2) + (1,1, -1, -1) = (3,3,1,1).

Dies ist der Grund, warum orthogonale Spalten so wertvoll sind. Man kann schnell beweisen, dass PI,2 = PI + P2 gilt, indem man überprüft, ob die Spalten 1 und 2 (nennen wir sie al und a2) senkrecht auf dem Fehlervektor e = b - PI - P2 stehen:


T T aib T T a l e = a l b - -T-al al = 0, ebenso a 2 e = O.

a l al

Der Vektor PI + P2 liegt also in dem von al und a2 erzeugten Raum, und der Fehler e steht senkrecht auf diesen Raum. Beim Gram-Schmidt-Verfahren würde an den Richtungen von al und a2 nichts geändert, es würden nur die Vektoren durch ihre Länge dividiert werden. Sind aber al und a2 nicht orthogonal, so ist die Projektion PI,2 im Allgemeinen nicht gleich PI + P2. Ist zum Beispiel b = al, so folgt PI = b und Pl,2 = b aber P2 '" O.

5.1 A Wenden Sie die folgenden Operationen auf A an und bestimmen Sie die Determinanten von MI, M 2 , M 3 , M 4 :

In MI wird jeder Eintrag aij mit (-1)i+j multipliziert, so dass eine Matrix mit Vorzeichen wie unten entsteht. In M 2 werden die Zeilen 1,2,3 von A von den Zeilen 2,3,1 subtrahiert. In M 3 werden die Zeilen 1,2,3 von A zu den Zeilen 2,3,1 addiert. Der Eintrag (i, j) von M 4 ist das Skalarprodukt (Zeile i von A)·(Zeile j von A). Wie hängen die Determinanten von MI, M 2 , M 3 , M 4 mit der Determinante von A zusammen?

[Zeile 1 + Zeile 3]

M 3 = Zeile 2 + Zeile 1 Zeile 3 + Zeile 2

[Zeile 1 - Zeile 3]

M 2 = Zeile 2 - Zeile 1 Zeile 3 - Zeile 2

[Zeile 1 " Zeile 1 " "]

M 4 = Zeile 2 " Zeile 1 " " Zeile 3 " Zeile 1 " .

Lösung Die vier Determinanten sind det A, 0, 2 det A und (det A)2. Hier die Gründe:

['_, J => detM, ~ (-l)(detA)(-l).

Die Matrix M 2 ist singulär, weil die Summe der Zeilen die Nullzeile ergibt. Daher gilt det M 2 = O. Die Determinante der Matrix M 3 kann nach Regel 3 (Linearität in jeder Zeile) in acht Matrizen zerlegt werden:

Zeile 1 Zeile 3 Zeile 1 Zeile 3 det M 3 = Zeile 2 + Zeile 2 + Zeile 1 + ... + Zeile 1

Zeile 3 Zeile 3 Zeile 3 Zeile 2


Alle Matrizen bis auf die erste und die letzte haben mehrfach auftretende Zeilen, so dass deren Determinanten den Wert Null haben. Die erste Matrix ist A, und die letzte Matrix entsteht durch zwei Zeilenvertauschungen aus A. Daher gilt det M 3 = det A + det A. (Zur Verdeutlichung versuchen Sie es mit A = I.) Die Matrix M4 ist genau AAT . Ihre Determinante ist daher (det A) (det AT) = (detA)2.

5.1 B Bestimmen Sie die Determinante von A, indem Sie Zeile 1 von Zeile 2 subtrahieren, dann Spalte 3 von Spalte 2, und dann Zeilen oder Spalten so vertauschen, dass eine untere Dreiecksmatrix entsteht:

Für welche a und bist A = [~ ~ ~] singulär? ObI

Lösung Subtrahieren Sie Zeile 1 von Zeile 2, und dann Spalte 3 von Spalte 2. Durch zwei Vertauschungen wird die Matrix auf Dreiecksgestalt gebracht. Damit gilt det A = (a - 1)(b - 1).

[ 1 0 1] Zeilen 1 ++ 2

A--+ a-l 00 --+ o b - 1 1 Spalten 2 ++ 3

[a-l0 0]

1 1 0 . o 1 b-l

Beachten Sie, dass sich für a = 1 in A identische Zeilen ergeben, und für b = 1 identische Spalten. Es ist also nicht überraschend, dass (a - 1) und (b - 1) die Faktoren von det A sind.

5.2 A Eine Hessenberg-Matrix ist eine Dreiecksmatrix mit einer zusätzlichen Nebendiagonale. Verwenden Sie die Kofaktoren der ersten Zeile, um zu zeigen, dass die 4 x 4-Determinante der Fibonacci-RegellH41 = IH3 1 + IH2 1

genügt. Dieselbe Regel gilt für alle Größen, es gilt IHnl = IHn-li + IHn- 2 1. Welche Fibonacci-Zahl ist also IHnl?

H 3 = [~~ 1] 112

[2 1 j 121

H 4 = 1121 1112

Lösung Der Kofaktor C11 für H4 ist die Determinante IH3 1. Wir brauchen auch C12 (fett gedruckt):

110 C12 = - 121

112

210 100 121 + 121 112 112


Zeilen 2 und 3 bleiben gleich, in Zeile 1 haben wir die Linearität verwendet. Die beiden Determinanten rechts sind -IH3 1 und +IH2 1. Die 4 x 4-Determinante ist dann

Die tatsächlichen Werte sind IH2 1 = 3 und IH3 1 = 5 (und natürlich IHII = 2). Da die Werte für IHnl der Fibonacci-Regel genügend gleich IHn-li + IHn- 2 1

sind, muss IHnl = Fn+2 sein.

5.2 B Bei diesen Fragen geht es um die Vorzeichen (also gerade und ungerade Permutationen) in der großen Formel für die Determinante:

1. Es sei A die 10 x lO-Matrix, deren Einträge sämtlich 1 sind. Wie erhält man det A = 0 aus der großen Formel?

2. Ist das Ergebnis gerade oder ungerade, wenn Sie alle n! Permutationen miteinander zu einer einzigen Permutation P multiplizieren?

3. Warum bleibt det A unverändert, wenn Sie jeden Eintrag aij mit dem

Bruch i multiplizieren ? J

Lösung Zu Frage 1: Alle Produkte in Formel (5.9) haben den Wert 1, da für alle Einträge aij = 1 gilt. Die Hälfte dieser Produkte hat ein positives Vorzeichen, die andere Hälfte hat ein negatives Vorzeichen. Sie heben sich also alle auf und liefern det A = O. (Natürlich, weil diese Matrix singulär ist.)

Zu Frage 2: Das Produkt [ö ~] [ö ~] ergibt eine ungerade Permutation. Für den 3 x 3-Fall ergibt das Produkt der drei ungeraden Permutationen (in beliebiger Reihenfolge) wieder eine ungerade Permutation. Für n > 3 ist das Produkt aller Permutationen gerade, denn es gibt n!/2 ungerade Permutationen, also eine gerade Anzahl, solange in der Fakultät ein Faktor 4 enthalten ist. Zu Frage 3: Jeder Eintrag aij wird mit i/j multipliziert. Es wird also jedes der Produkte alaa2ß ... a nw in der großen Formel mit allen Zeilennummern i = 1,2, ... ,n multipliziert und durch alle Spaltennummern j = 1,2, ... ,n dividiert (wobei die Spaltennummern in einer permutierten Reihenfolge auftreten). Damit bleibt aber tatsächlich jedes Produkt unverändert, so dass auch det A gleich bleibt. Man kann dies auch anders erklären: Multipliziert man jede Zeile mit i, so ist dies dasselbe, wie A von links mit der Diagonalmatrix D = diag(l : n) zu multiplizieren. Die Division jeder Spalte durch j entspricht der Multiplikation von rechts mit der Matrix D- I . Die Determinante von DAD- I ist aber nach der Produktregel gleich det A.


5.3 A Verwenden Sie die Cramer'sche Regel mit den Quotienten det B j / det A, um die Gleichung Ax = b zu lösen. Bestimmen Sie auch die inverse Matrix A-1 = CT / detA. Warum stimmt die Lösung x für den ersten Teil mit der dritten Spalte von A -1 überein ? Welche Kofaktoren gehen in die Berechnung dieser Spalte x ein?

Ax = bist

Bestimmen Sie die Volumina der beiden Parallelepipeds, deren Kanten die Spalten von A beziehungsweise die Zeilen von A -1 sind.

Lösung sind

Die Determinanten der B j (rechte Seite b an Stelle von Spalte j)

062 IB1 1 = 042 = 4

190

202 IB2 1 = 102 =-2

510

260 IB3 1 = 140 = 2.

591

Dies sind die Kofaktoren C31 , C32 , C33 in Zeile 3. Ihr Skalarprodukt mit Zeile 3 ergibt det A:

det A = a31 C31 + a32C32 + a33C33 = (5,9,0) . (4, - 2,2) = 2.

Die drei Verhältnisse det B j / det A liefern die drei Komponenten von x (2, -1, 1). Dieser Vektor ist die dritte Spalte von A -1, weil b = (0,0,1) die dritte Spalte von I ist. Die Kofaktoren entlang der anderen Zeilen von A, dividiert durch det A = 2, ergeben die anderen Spalten von A -1:

Überprüfen Sie, ob AA -1 = I gilt.

Das Parallelepiped aus den Spalten von A hat das Volumen det A = 2 (dies ist

dasselbe Volumen, wie es sich aus den Spalten ergeben würde, da IATI = lAI gilt). Das Parallelepiped aus den Zeilen von A-1 hat das Volumen lA-li = I/lAI = ~.

5.3 BIst A singulär, so wird aus der Gleichung ACT = (det A)I die Gleichung ACT = Nullmatrix. Das bedeutet, dass jede Spalte von CT im Kern von A liegt. Diese Spalten enthalten die Kofaktoren längs der Zeilen von A. Auf diese Weise gelangt man über die Kofaktoren also schnell zum Kern einer 3 x 3-Matrix - ich bitte um Entschuldigung, dass ich dies erst so spät erwähne!


Lösen Sie die Gleichung Ax = 0 für die folgende singuläre Matrix mit Rang 2, indem Sie x aus den Kofaktoren entlang einer Zeile bestimmen:

[147]

A = 239 228

[1 1 2] A = 111

111

Jede von Null verschiedene Spalte von eT liefert die gewünschte Lösung der Gleichung Ax = 0 (da der Rang 2 ist, hat A mindestens einen von Null verschiedenen Kofaktor). Hätte A den Rang 1, so erhielte man immer x = 0, so dass die Idee nicht funktioniert.

Lösung Für die erste Matrix ergeben sich die Kofaktoren (beachten Sie die Vorzeichen!) der obersten Zeile zu

1 ~ ~I = 6

Damit ist der Vektor x = (6,2, -2) eine Lösung von Ax = O. Die Kofaktoren der zweiten Zeile sind (-18, -6,6), also -3x. Dieser Vektor liegt ebenfalls im eindimensionalen Kern von A. Die zweite Matrix hat entlang der ersten Zeile nur Kofaktoren Null. Der Nullvektor x = (0,0,0) ist nicht interessant. Die Kofaktoren von Zeile 2 liefern x = (1, -1,0), so dass dieser Vektor eine Lösung der Gleichung Ax = 0 darstellt. Jede n x n-Matrix vom Rang n-1 hat (nach Aufgabe 3.3.9) mindestens einen von null verschiedenen Kofaktor. Ab Rang n - 2 sind aber alle Kofaktoren null. In dem Fall findet man durch die Kofaktoren nur die Lösung x = o.

6.1 A Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrizen A, A2, A-I und A + 41:

Überprüfen Sie für A und für A 2, dass die Spur gleich Al + A2 ist und die Determinante gleich AIA2.

Lösung Man erhält die Eigenwerte von A als Lösungen der Gleichung det(A - AI) = 0:

12 - A -1 1 2 det(A-AI)= -1 2-A =A -4A+3=0.

Diese Gleichung lässt sich als (A - l)(A - 3) = 0 faktorisieren, so dass man als Eigenwerte von A die Zahlen Al = 1 und A2 = 3 erhält. Deren Summe


1 + 3 stimmt mit der Spur 2 + 2 überein, und die Determinante 3 mit dem Produkt A1A2 = 3. Man erhält die Eigenvektoren als Lösungen der Gleichung (A - AI)x = 0, was nichts anderes ist als Ax = AX:

A = 1: (A-I)x = [-~-n [~] [~] =? Eigenvektorx1 U]

A 2 , A -1 und A + 41 haben dieselben Eigenvektoren wie A. Ihre Eigenwerte sind A2 , A-1 und A + 4:

A2 hat die Eigenwerte 12 = 1 und 32 = 9,

A-1 hat die Eigenwerte ~ und ~, A + 4I hat die Eigenwerte 1 + 4 = 5 und 3 + 4 = 7.

Die Spur von A2 ist 5 + 5 = 1 + 9 = 10. Die Determinante ist 25 - 16 = 9. Hinweise auf spätere Abschnitte: A hat orthogonale Eigenvektoren (s. Abschnitt 6.4 über symmetrische Matrizen). A kann diagonalisiert werden (Abschnitt 6.2). A ist zu jeder 2 x 2-Matrix mit den Eigenwerten 1 und 3 ähnlich (Abschnitt 6.6). A ist eine positiv definite Matrix (Abschnitt 6.5), da A = AT gilt, und die A'S positiv sind.

6.1 B Für welche reellen Zahlen c hat die folgende Matrix A (a) zwei relle Eigenwerte und Eigenvektoren (b) einen doppelten Eigenwert mit nur einem Eigenvektor (c) zwei komplexe Eigenwerte und Eigenvektoren?

A = [ 2 -c] -1 2

A A-T [ 5 -2c - 2] - -2c - 2 4 + c2 .

Bestimmen Sie über die Produktregel die Determinante von AT A, und bestimmen Sie auch die Spur. Warum hat AT A keinen negativen Eigenwert?

Lösung ist

Die Determinante von A ist 4 - c. Die Determinante von A - AI

[ 2 - A -c] 2 det -1 2-A =A -4A+(4-c)=O.

Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen lautet

A = -b ± '>Ib2 - 4ac = 4 ± '>116 - 16 + 4c = 2 ± vc. 2 2


Rechnen Sie die Spur (4) und die Determinante (2+yIc)(2-ylc) = 4-cnach.Die Eigenwerte sind reell und für c > 0 voneinander verschieden. In diesemFall gibt es zwei linear unabhängige Eigenvektoren (yIc, 1) und (-ylc, 1). Fürc = 0 werden beide Nullstellen zu A = 2, und in dem Fall gibt es nur deneinen Eigenvektor (0, 1). Für c < 0 sind beide Eigenwerte komplex, und damitwerden auch die Eigenvektoren (yIc, 1) und (- yIc, 1) komplex.

Die Determinante von ATA ist det(AT) det(A) = (4-C)2. Die Spur von ATAist 5 + 4 + c2

. Wäre einer der Eigenwerte negativ, so muss der andere positivsein, damit sich die Spur Al + A2 = 9 + c2 ergibt. Dann hätte man aber aus"negativ mal positiv" eine negative Determinante.In der Tat hat jede Matrix ATAreelle, nichtnegative Eigenwerte (s. Abschnitt6.6).

6.2 A Die Lucaszahlen sind wie die Fibonaccizahlen, mit dem Unterschied, dass sie mit LI = 1 und L 2 = 3 beginnen. Gemäß der RegelL k+2 = Lk+l + L k sind die nächsten Lucaszahlcn 4,7,11,18. Zeigen Sie,dass die Lucaszahl L I OO = AioO+ A~OO ist.

lösung Die Gleichung Uk+l = [i ~] Uk ist mit jener für die Fibonaccizahlen identisch, weil die Lucaszahlen derselben Regel Lk+2 = L k+l + L k(mit unterschiedlichen Startwerten) genügen. Deshalb können wir Gleichung(6.11) abschreiben:

Die Eigenwerte und Eigenvektoren von A = [i ö] gehorchen weiterhin der

Regel A2 = A + 1:

Lösen wir nun CIXI + C2X2 = Ul = (3,1). Die Koeffizienten sind Cl = Al undC2 = A2! Rechnen Sie es nach:

Der Lösung UlOO = A99ul können wir die Lucaszahlen (L I Ol , L lO O) entnehmen. Die zweiten Komponenten von Xl und X2 sind 1, deshalb ist die zweiteKomponente von UlOO gleich


Jede Zahl L k = A~ + A~ ist ganzzahlig (warum?). Da A2 sehr klein ist, muss

Lk nahe bei A~ liegen. Die Lucaszahlen wachsen also schneller als die Fibo

naccizahlen, und sind später um einen Faktor nahe bei v'5 größer.

6.2 B Bestimmen Sie alle Eigenvektormatrizen S, die die Matrix A (mit Rang 1) zu S-l AS = A diagonalisieren:

[1 1 1]

Bestimmen Sie An. Welche Matrizen B kommutieren mit A (so dass AB = BA gilt)?

Lösung Da A den Rang 1 hat, ist der Kern eine zweidimensionale Ebene. Jeder Vektor mit x + y + z = 0 (Summe der Komponenten ist null) löst die Gleichung Ax = o. Daher ist A = 0 ein Eigenwert mit Vielfachheit 2. Es gibt zwei linear unabhängige Eigenvektoren (GM = 2). Der andere Eigenwert muss A = 3 sein, weil die Spur von A gleich 1 + 1 + 1 = 3 ist. Rechnen Sie es nach:

1 - A 1 1 det(A - AI) = 1 1 - A 1

1 1 1-A

Die Determinante ist also A2 (3 - A) = 0 und die Eigenwerte sind Al = 0, A2 = 0 und A3 = 3. Die Eigenvektoren zu A = 3 sind die Vielfachen von X3 = (1,1,1). Die Eigenvektoren zu Al = A2 = 0 sind zwei beliebige linear unabhängige Vektoren in der Ebene x + y + z = O. Diese Vektoren bilden die Spalten aller möglichen Eigenvektormatrizen:

S = [~ ;~] -x - y -x - y c

[000] und S-l AS = A = 0 0 0 003

wobei c # 0 und xY # yX. Man erhält die Potenzen An schnell durch Multiplikation:

[333]

Es gilt A2 = 3 3 3 = 3A 333

Um die Matrizen B zu bestimmen, die mit A kommutieren, betrachten wir AB und BA. Die Einträge 1 in A erzeugen die Spaltensummen Cl, C2 , C3

und die Zeilensummen R 1 , R 2 , R 3 von B:


AB = Spaltensummen = [g~ g~ g:] , Cl C2 C3

Gilt AB = BA, so müssen alle sechs Spalten- und Zeilensummen von B identisch sein. Ein mögliches Bist A selbst, da AA = AA gilt. B ist eine beliebige Linearkombination von Permutationsmatrizen! Es handelt sich hier um einen fünfdimensionalen (Aufgabe 3.5.39) Raum von Matrizen, die mit A kommutieren. Alle B's haben den Eigenvektor (1,1,1) gemein. Ihre anderen Eigenvektoren liegen in der Ebene x + y + z = O. Wir haben drei Freiheitsgrade in den Eigenwerten und zwei in den Eigenvektoren.

6.3 A Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von A, und schreiben Sie u(O) = (2,0,2) als Linearkombination C1X1 + C2X2 + C3X3 der Eigenvektoren. Lösen Sie dann beide Gleichungen:

du = Au = 1-2 1 u [-2 1 0] dt 0 1-2

sowie

Wegen der (1, -2, 1)-Diagonalen berechnet die Matrix A die zweiten Differenzen (ähnlich einer zweiten Ableitung) des Vektors. Daher ist die erste Gleichung u l = Au ähnlich der Wärmeleitungsgleichung 8u/8t = 8 2u/8x2 .

Ihre Lösung u(t) klingt ab, weil die Wärme abfließt. Die zweite Gleichung U ll = Au ist ähnlich der Wellengleichung 82u/8t2 = 8 2u/8x2 . Ihre Lösung oszilliert, wie eine Saite einer Geige.

lösung 0:

Man erhält die Eigenwerte und Eigenvektoren aus det(A -)..I) =

-2 -).. 1 0 det(A -)..I) = 1 -2 - ).. 1 = (-2 - )..)3 - 2( -2 - )..) = O.

o 1 -2 -)..

Ein Eigenwert ist).. = -2, so dass -2-)" null ist. Klammert man -2-)" aus, so bleibt (-2-)"?-2 = 0 oder )..2+4),,+2 = O. Die anderen (ebenfalls negativen)

Eigenwerte sind also).. = - 2 ± V2. Man bestimmt die Eigenvektoren jeweils für sich: A= -2:

[010] (A + 2I)x = 1 0 1 010

für Xl = [ ~] -V2


A = -2 - v'2:

[ 0 1 0 1 (A - AI)x = 1 0 1 o 1 0

A = -2 + v'2:

(A-AI)x ~ [-r -~ -~l m m fürxF [~l Alle diese Eigenvektoren haben die Länge 2, daher sind ~Xl' ~X2' ~X3 Einheitsvektoren. Diese Eigenvektoren sind orthogonal (dies wird in Abschnitt 6.4 für jede reelle symmetrische Matrix A bewiesen). Entwickeln wir u(O) als Linearkombination CIXI + C2X2 + C3X3 (mit Cl = 0 und C2 = C3 = 1):

ist [ ~ -~ ~l [~l = [~l· -0 1 1 1 2

Wegen u(O) = X2 + X3 klingt die Lösung auf u(t) = e-.\2t x2 + e-.\3tx3 ab. Da alle A's negativ sind, geht u(t) gegen Null (Stabilität). Der am wenigsten

negative Eigenwert A = 2 - 0 bestimmt die Abklingrate. Dies ist genauso wie in Aufgabe 6.3.5, außer dass die Leute sich in drei Räumen befinden (bei der Wärmeleitungsgleichung betrachten wir anstelle von Personen Temperaturen). Die Bewegungsrate u' von Personen zwischen den Zimmern ist die Temperaturdifferenz, oder die Differenz der Personenzahlen. Der Gesamtstrom in den ersten Raum ist U2 - 2UI, wie von Au verlangt. Schließlich gilt u(t) ---+ 0, und die Räume werden leerer.

Bewegung Bewegung Bewegung Bewegung ---+-I~I UI(t) r-I ---+-I~I U2(t) I ~I U3(t) I ~

-UI Raum 1 U2 - UI Raum 2 U3 - U2 Raum 3 U3

Betrachten wir jetzt die "Wellengleichung" d2u/ dt2 = Au (sie wurde im Haupttext nicht betrachtet). Dieselben Eigenvektoren führen auf Oszillationen eiwtx und e-iwtx mit Frequenzen aus w2 = -A:

wird zu

Es gibt zwei Quadratwurzeln zu -A, deshalb erhalten wir die Lösungen eiwtx

und e-iwtx. Zusammen mit den drei Eigenvektoren liefert dies sechs Lösungen. Durch eine geeignete Linearkombination kann man die sechs Komponenten von u(O) (Position) und u'(O) (Geschwindigkeit) anpassen. Da wir in


unserem Fall u' (0) = 0 haben wollen, kombinieren wir eiwtx mit e-iwtx zu 2 cos wt x. Unser spezielles u(O) ist wieder X2 + X3, so dass wir eine oszillierende Lösung erhalten:

Jedes A ist negativ, und deshalb ergeben sich aus w2 = -A zwei reelle Frequenzen. Eine symmetrische Matrix wie A mit negativen Eigenwerten ist eine negativ definite Matrix. (In Abschnitt 6.5 betrachten wir dies von der positiven Seite, das heißt, positiv definite Matrizen.) Matrizen wie A und -A stellen den Schlüssel für alle Anwendungen im Ingenieurwesen dar, die wir in Kapitel 8 darstellen wollen.

6.3 B Lösen Sie die vier Gleichungen da/dt = 0, db/dt = a, dc/dt = 2b, dz/dt = 3c in dieser Reihenfolge, mit dem Anfangswert u(O) = (a(O), b(O), c(O), z(O)). Bestimmen Sie die Matrix für u' = Au, und lösen Sie diese Gleichungen mit Hilfe der Exponentialfunktion für Matrizen durch u(t) eAtu(O):

[al [0000] [al d b 1000 b

dt ~ = ~ ~ ~ ~ ~ ist

du -=Au. dt

Bestimmen Sie zunächst A2, A3, A4 und dann eAt = I +At+ ~(At)2 + i(At)3. Warum bricht die Reihe hier ab? Rechnen Sie nach, dass eA für t = 1 die Pascal'sche Dreiecksmatrix ist, und verifizieren Sie die Gleichung (eA)(e A) = (e2A ). Warum gilt dies für jedes A?

Lösung Man integriert zunächst da/dt 0, dann db/dt a, dann de/ dt = 2b und schließlich dz / dt = 3e:

a(t) = a(O) b( t) = ta(O) + b(O) e(t) = t2 a(0) + 2tb(0) + e(O)

muss gleich eAtu(O) sein.

z(t) = t3a(0) + 3t2 b(0) + 3te(0) + z(O)

Die Potenzen von A nach A3 sind alle null. Daher bricht die Reihe für eAt nach vier Termen ab:

[0000]

A= 1000 0200 0030

[0000]

A2 = 0000 2000 0600

[0 0 0 0]

A3 = 0000 0000 6000


In jedem Schritt werden die Diagonalen nach unten verschoben, so dass sie für A4 ganz verschwinden. (Es müsste eigentlich auch eine Diagonale-DiagonaleRegel für die Matrizenmultiplikation geben, genauso wie die Zeile-SpalteRegel und die Spalte-Zeile-Regel.) Die Exponentialfunktion für diese Matrix ergibt dieselbe Matrix wie die, mit der (a(O), b(O), c(O), z(O)) oben multipliziert wurde:

At - I A (At)2 (At)3 - [~1 ] e - + t + 2 + 6 - t2 2t 1

t3 3t2 3t 1

Für t = 1 ist eA die Pascal'sche Dreiecksmatrix PL. Die Ableitung von eAt

bei t = 0 ist A:

[0 0 00]

1. eAt - I 1. 1 0 0 0 1m = 1m

t--+O t t--+O t 2 0 0 t2 3t 30

[0000] 1000

= 0200 = A. 0030

A ist der Matrix-Logarithmus der Pascal'schen Matrix eA ! Die Inverse der Pascal'schen Matrix ist e- A mit zwei negativen Diagonalen. Das Quadrat von e A ist immer e 2A (so wie auch eAseAt = eA(sH) ist), und dies hat viele Gründe: Löst man mit eA erst von t = 0 bis 1 und dann von 1 bis 2, so ist dies dasselbe wie mit e 2A von 0 bis 2 zu gehen.

Die quadrierte Reihe (I +A+ 12 + ... )2 stimmt mit I +2A+ (2~)2 + ... = e2A

überein. Wenn A diagonalisiert werden kann (dieses A nicht!), so gilt (Se A S- l )

(Se A S- l ) = Se2AS- 1 .

6.4 A Bestimmen Sie die Eigenwerte von A3 und B4, und überprüfen Sie, dass die ersten bei den Eigenvektoren orthogonal sind. Stellen Sie die Eigenvektoren graphisch dar, es ergeben sich diskrete Darstellungen des Sinus und des Kosinus:

[ 2 -1 0] A3 = -1 2-1

0-1 2 [

1 -1 ] _ -1 2-1 B 4 - -1 2-1

-1 1

Das (-1,2,-1)-Muster in den bei den Matrizen ist eine "zweite Differenz". In Abschnitt 8.1 werden wir erklären, inwieweit dies einer zweiten Ableitung ähnelt. Damit ähneln nämlich die Gleichungen Ax = AX und Bx = AX den


Differentialgleichungen d2 x / dt2 = AX. Diese Matrizen haben die Eigenvektoren x = sin kt und x = cos kt, die die Grundlage der Fourierreihen bilden. Die Matrizen führen auf "diskrete Sinus-" und "diskrete Kosinusfunktionen" , die die Grundlage für die Diskrete Fouriertransformation darstellen. Diese nimmt eine zentrale Stellung in allen Bereichen der Signalverarbeitung ein. Eine beliebte Wahl für das JPEG-Format in der Bildverarbeitung sind beispielsweise A7 und B 8 .

Lösung Die Eigenwerte von A3 sind A = 2 - y2, 2 und 2 + y2. Ihre Summe ist 6 (dies ist die Spur von A3 ) und ihr Produkt ist 4 (Die Determinante). Die Eigenvektormatrix S liefert die "Diskrete Sinus-Transformation", am Graphen erkennt man, wie sich die Komponenten der ersten beiden Eigenvektoren in die Sinuskurven einfügen. Zeichnen Sie bitte den dritten Eigenvektor in die dritte Sinuskurve!

[ 1 y2 1 1 S = y2 0 -y2 1 -y2 1 U rl ,~t

o \. ... 'rr sin 2t \\ ,./

\,~ .. ,/' Die Eigenwerte von B 4 sind A = 2 - y2, 2, 2 + y2 und 0 (also dieselben Eigenwerte wie die von A3 zuzüglich eines Eigenwerts 0). Die Spur ist weiterhin 6, aber die Determinante hat den Wert null. Die Eigenvektormatrix C liefert die 4-punktige "Diskrete Kosinus-Transformation", man sieht am Graphen, dass sich die Eigenvektoren diesmal in Kosinuskurven einfügen. (Zeichnen Sie bitte wieder den dritten Eigenvektor!) Diese Eigenvektoren stimmen mit den Kosinuskurven in den Zwischenpunkten ff, 3; , 5811" , 7; überein.

1 y2-1 1-y2

-1

1 -1 -1 1

1_1y2] y2-1

-1 ~~''''

"""" I "I", I I I

711" Ir '."'" 8

............. _--

Sowohl S als auch C haben orthogonale Spalten (es handelt sich um Eigenvektoren der symmetrischen Matrizen A3 und B4 ). Multipliziert man also


ein Eingangssignal mit S oder mit C, so zerlegt man dieses Signal in reine Frequenzen - ganz so, als ob man in der Musik einen Akkord in seine einzelnen Noten zerlegt. Die diskrete Fouriertransformation ist die nützlichste und aufschlussreichste Transformation in der gesamten Signalverarbeitung. Hier sehen wir die Sinus- und Kosinuskomponenten (DST und DKT), die zusammen die DFT bilden. Dieses wunderbare Muster bleibt natürlich auch für größere Matrizen erhalten. Der folgende MATLAB-Code erzeugt B s und die Eigenvektormatrix C 8, und zeichnet die ersten vier Eigenvektoren auf Kosinuskurven auf: n = 8; e = ones(n - 1,1); B = 2* eye(n)-diag(e, -1)-diag(e, 1); B(1, 1) = l' B(n n)=1' , , , [C, Al = eig(B); plot(C(:, 1:4),'-0')

6.5 A Die bedeutenden Faktorisierungen einer symmetrischen Matrix sind A = LDLT (aus den Pivotelementen und den Multiplikatoren) und

A = QAQT (aus den Eigenwerten und Eigenvektoren). Zeigen Sie, dass die Ungleichung x T Ax > 0 für alle von null verschiedenen Vektoren x genau dann gilt, wenn die Pivotelemente und die Eigenwerte positiv sind. Probieren Sie dieses Kriterium für n x n-Matrizen an pascal(6), ones (6) und hilb (6) und anderen Matrizen in MATLAB's gallery aus.

Lösung Um die Ungleichung xT Ax > 0 zu beweisen, setzt man geeignet Klammern in die Formeln x T LD LT x und x T Q AQT x ein:

und

Ist x von Null verschieden, so sind auch y = LT x und z = QT X von Null verschieden (die Matrizen sind invertierbar). Aus x T Ax = yT Dy = zT Az wird daher eine Summe von Quadraten - A ist positiv definit:

x T Ax = yT Dy = d1yr + ... + dny;, > 0 x T Ax = zT Az = A1Zr + ... + AnZ;' > 0

Aber ich will ehrlich bleiben, und deshalb muss ich diesem schnellen und eleganten Beweis noch einen kleinen Kommentar nachschieben. Eine Null in einer Pivotposition würde eine Zeilenvertauschung erzwingen, und damit eine Permutationmatrix P. Die Faktorisierung wäre dann PApT = LDLT

(um die Symmetrie zu erhalten, vertauschen wir auch Spalten mit pT). Man kann unseren schnellen Beweis aber auch ohne Probleme auf A = (p-l L)D(P-l L)T anwenden. MATLAB enthält eine "Galerie" ungewöhnlicher Matrizen (mehr unter help gallery), hier sind vier davon:

pascal(6) ist positiv definit, weil alle Pivot elemente 1 sind (siehe das durchgerechnete Beispiel 2.6A).


ones (6) ist positiv semidefinit, weil die Eigenwerte 0,0,0,0,0,6 sind. hilb(6) ist positiv definit, obwohl eig(hilb(6)) zwei Eigenwerte sehr nahe

bei Null hat. Es gilt aber tatsächlich x T hilb (6) x = J; (Xl + X2S + ... + X6s5)2 ds > O.

rand(6)+rand(6) , kann positiv definit sein, oder auch nicht (experimentell aber nur 1 mal in 10000 Versuchen):n = 20000; p = 0; for k = 1: n, A = rand(6); p = p + all(eig(A + A') > 0); end, pln

6.5 B Geben Sie Bedingungen an die Blöcke A = AT, C = CT und B der folgenden Matrix Man:

Unter welchen Bedingungen ist die symmetrische Blockmatrix

M = [iT ~] positiv definit?

Lösung Überprüfen Sie M auf positive Pivotelemente, beginnend in der oberen linken Ecke. Die ersten Pivotelemente von M sind die Pivotelemente von A! Erste Bedingung Der Block A muss positiv definit sein. Multiplizieren Sie die erste Zeile von M mit B T A -1, und subtrahieren Sie dies von der zweiten Zeile. Sie erhalten einen Nullblock. In der Ecke erscheint das Schur-Komplement S = C - B T A-1 B:

Die letzten Pivotelemente von M sind jene von S! Zweite Bedingung S muss positiv definit sein. Diese beiden Bedingungen stimmen genau mit den Bedingungen a > 0 und c > b2 / a überein, außer dass sie auf Blockmatrizen angewandt werden.

6.6 A Die Pascal'sche 4 x 4-Dreiecksmatrix PL und ihre Inverse (alter-nierende Diagonalen) sind

[1000] 1100

PL = 1210

1331

[ 1 0 00]

-1 -1 1 00 und PL = 1 -2 10 .

-1 3 -31

Rechnen Sie nach, dass PL und p;;l dieselben Eigenwerte haben. Bestimmen

Sie eine Diagonalmatrix D mit alternierenden Vorzeichen, für die p;;l = D-1 PLD gilt, so dass PL ähnlich zu p;;l ist. Berechnen Sie die Matrix PLD


mit alternierenden Spalten, und zeigen Sie, dass diese Matrix ihre eigene Inverse ist. Da PL und PLI ähnlich sind, haben sie dieselbe Jordanform J. Bestimmen Sie J, indem Sie die Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren von PL mit A = 1 ausrechnen.

Lösung Die Eigenwerte der beiden Dreiecksmatrizen PL und PLI sind die Einträge 1 auf den Hauptdiagonalen. Wählen Sie D mit alternierenden Einträgen 1 und -1 auf der Diagonalen. Diese Matrix ist gleich D-1!

[ -1 1 [10001 [-1 1 D-1 P D = 1 1 1 0 0 1 = p-1 L -1 1210 -1 L .

1 1331 1

Probe: Wir multiplizieren die Zeilen 1 und 3 sowie die Spalten 1 und 3 mit -1. Dadurch werden vier negative Einträge in PLI erzeugt. Allgemein mul

tiplizieren wir Zeile i mit (-l)i und Spalte j mit (-l)j. Jeder Eintrag wird also mit (-l)i+j = (_l)i- j multipliziert, was die alternierenden Diagonalen erzeugt. Die Matrix PLD hat Spalten mit alternierenden Vorzeichen und ist ihre eigene Inverse!

Die Matrix PL hat nur den einen Eigenvektor x = (0,0,0,1) mit A = 1. Der Rang von PL - I ist 3. Die Jordanform J besteht also nur aus einem Block (mit A = 1):

[

1100

1 PL and also PL 1 sind ähnlich zu J = ~ ~ ~ ~

0001

6.6 B Erklären Sie, warum die Eigenwerte einer Matrix A in reziproken Paaren A = a und A = l/a auftreten, wenn A ähnlich zu A-1 ist. Die sym

metrische 3 x 3 Pascal'sche Matrix Ps hat die Eigenwerte 4 + V15, 4 - V15, 1. Verwenden Sie PLI = D-1 PLD (mit D = D-1 = D T ) und die symmetrische

Faktorisierung Ps = PLPI in 2.6 A, um zu zeigen, dass Ps ähnlich zu PSI ist.

Lösung Hat A von Null verschiedenen Eigenwerte Al, ... ,An, so hat die Inverse die Eigenwerte XII, ... ,A;;:l. Der Grund: Multipliziert man die Gleichung Ax = AX mit A-1 und A-1, so erhält man A-1 x = A-1X.


Sind A und A -1 ähnlich, so müssen sie dieselben Eigenwerte haben. Eine gerade Anzahl von Eigenwerten muss also Paare der Form a und l/a bilden.

Das Produkt (4 + JIS)(4 - JIS) = 16 - 15 = 1 zeigt, dass die Eigenwerte

4 + JIS, 4 - JIS, 1 solche Paare bilden. Die symmetrischen Pascal'schen Matrizen haben paarweise Eigenwerte, weil Ps ähnlich zu PSI ist. Um die Ähnlichkeit zu beweisen, beginnen wir mit

Ps = PLPI und verwenden D = D-l = DT .

PSI = (P[)-l(p;;l) = (D-lPLD)T(D-lPLD) = D-lplpLD

= (PLD)-l(PLP[)(PLD).

Dies ist die Beziehung PSI = M-lpsM (ähnliche Matrizen!) mit M = PLD. Für die Eigenwerte größerer Pascal'scher Matrizen Ps gibt es keine schönen Formeln. Sie können aber mit Hilfe von eig(Ps) überprüfen, dass auch deren Eigenwerte in reziproken Paaren a und l/a auftreten. Die Jordan'sche Normalform von Ps ist die Diagonalmatrix A, weil symmetrische Matrizen immer einen vollständigen Satz Eigenvektoren besitzen.

6.7 A Geben Sie die Namen der folgenden Zerlegungen A = clrl + ... + cnrn einer n x n-Matrix in n Matrizen vom Rang eins (Spalte C mal Zeile r) an:

1. Orthogonale Spalten Cl, ... ,Cn und orthogonale Zeilen rl, ... , rn

2. Orthogonale Spalten Cl, ... ,Cn und Zeilen rl, ... ,rn in Dreiecksform

3. Spalten Cl, ... ,Cn und Zeilen rl, ... ,rn in Dreiecksform

"Dreiecksform" bedeutet hier, dass Ci und ri vor der Komponente i nur Nullen enthalten, so dass die Matrix C mit den Spalten Ci eine untere Dreiecksmatrix und die Matrix R mit den Zeilen ri eine obere Dreiecksmatrix ist. Wie kommen der Rang, die Pivotelemente und die Singulärwerte ins Spiel? Warum gehört die Diagonalisierung A = 5A5-l hier nicht dazu?

lösung Die folgenden drei Zerlegungen A = eR sind grundlegend für die gesamte lineare Algebra, sei sie rein oder angewandt:

1. Singulärwertzerlegung A = U EVT (orthogonales U, orthogonales EVT )

2. Gram-Schmidt-Orthogonalisierung A = QR (orthogonales Q, Dreiecksmatrix R)

3. Gauß'sche Elimination A = LU (Dreiecksmatrix L, Dreiecksmatrix U)


Hat die (möglicherweise rechteckige) Matrix A den Rang r, so braucht man nur r (nicht n) Matrizen vom Rang eins. Die a's in E kommen über die orthonormalen Zeilen in V T ins Spiel: A = a1c1r1 + ... + ancnrn. Wegen der Einträge 1 auf den Diagonalen von L und U sind die Pivot elemente di die Koeffizienten in der Gleichung: A = LDU = d1c1r1 + .. ·+dncnrn. Setzt man die Diagonaleinträge R in eine Matrix H, so erhält man die Zerlegung QR mit QHR = h1c1r1 + ... + hncnrn. Für diese Zahlen hi gibt es keinen Standardnamen, ich schlage "Höhen" vor. Jedes hi

gibt die Höhe der Spalte i über der Grundfläche aus den ersten i-I Spalten an. Das Volumem eines vollen n-dimensionalen Parallelepipeds ist:

I det AI = IProdukt der a'sl = IProdukt der d's I = IProdukt der h's I· Man erhält diese Produkte aus den Determinanten von A = U EVT = QHR=LDU. Auch die Diagonalisierung A = SAS-1 ist eine Summe von n Matrizen vom Rang eins (Spalten mal Zeilen). Die Spalten von S sind die Eigenvektoren von A. Die Zeilen erhält man aus AS-1 (dies sind die Eigenvektoren von AT, wie man sieht, wenn man A = SAS-1 transponiert). Diese Zeilen sind nicht orthogonal zu sich selbst, und die Spalten sind nicht orthogonal zu den anderen Spalten. Es ist aber Zeile i orthogonal zu Spalte j (falls i ::j:. j), weil AS-1 mal S gleich der Diagonalmatrix A ist. Ist A symmetrisch, so ist man durch die orthogonalen Eigenvektoren im Wesentlichen wieder im Fall 1: es gilt S = U und S-l = V T .

7.1 A Die Eliminationsmatrix [§~] liefert eine Scher-Abbildung T(x, y) = (x, 3x+y). Zeichnen Sie die xy-Ebene, und zeigen Sie, was mit den Vektoren (1,0) und (2,0) auf der x-Achse unter Anwendung dieser Abbildung geschieht. Was passiert mit den Punkten auf den vertikalen Geraden x = 0 und x = a? Zeichnen Sie auch das Bild des Einheitsquadrats 0 ::; x ::; 1, 0 ::; y ::; 1.

lösung Die Punkte (1,0) und (2,0) auf der x-Achse werden durch T zu (1,3) und (2,6) transformiert. Die horizontale x-Achse wird zu einer Geraden mit Steigung 3 (die natürlich durch (0,0) geht). Die Punkte auf der y-Achse bleiben unverändert, weil T(O, y) = (0, y) gilt. Die y-Achse ist die Eigenvektorgerade von T zum Eigenwert >. = 1. Die vertikale Gerade x = a wird um 3a nach oben bewegt, da zur yKomponente die Zahl 3a addiert wird. Dies ist die "Scherung" - vertikale Geraden werden von links nach rechts höher und höher nach oben geschoben. Eine Seite des Einheitsquadrats ist die y-Achse, die unverändert bleibt, die gegenüberliegende Seite von (1,0) nach (1,1) wird nach oben verschoben und geht von (1,3) nach (1,4). Die untere Seite des transformierten Quadrats geht von (0,0) nach (1,3), und die parallele obere Seite von (0,1) nach (1,4).


Es handelt sich also um ein Parallelogramm. Die Multiplikation mit einem beliebigen A macht aus Quadraten Parallelogramme!

7.1 BEine nichtlineare Abbildung T ist invertierbar, wenn jeder Vektor b im Ausgaberaum das Bild genau eines Vektors x im Eingaberaum ist: wenn also die Gleichung T(x) = b immer genau eine Lösung hat. Welche der folgenden Abbildung (auf den reellen Zahlen x) ist invertierbar? Was ist im Fall T- l ? Keine der Abbildungen ist linear, nicht einmal T3 . Löst man die Gleichung T(x) = b, so invertiert man T:

1 T5 (x) = - für x i- O.

x

Lösung Tl ist nicht invertierbar, weil x 2 = 1 zwei Lösungen hat (und x 2 = -1 keine). T4 ist nicht invertierbar,weil eX = -1 keine Lösung hat. (Betrachtet man als Ausgaberaum die Menge der positiven Zahlen, so ist die inverse Abbildung zu eX = b durch x = lnb gegeben.) Beachten Sie, dass Tl die Identität ist, aber Ti(x) = x + 18. Geben Sie auch Ti(x) und Tl an. T2 , T3 , T5 sind invertierbar. Die Lösungen zu x 3 = b, zu x + 9 = b und zu 1 = b sind eindeutig: x

-1 1 x = T5 (b) = b

7.2 A Bestimmen Sie bezüglich der Standardbasis eine 4 x 4-Permutationsmatrix P, die eine zyklische Permutation von x = (Xl, X2, X3, X4) zu T(x) = (X4, Xl, X2, X3) repräsentiert. Bestimmen Sie auch die Matrix für T 2 .

Was erhält man für die dreifache Anwendung T 3 (x), und warum ist T3 = T- l ? Bestimmen Sie zwei linear unabhängige reelle Eigenvektoren von P, und bestimmen Sie alle Eigenwerte.

Lösung Der erste Vektor (1,0,0,0) der Standardbasis wird in den zweiten Basisvektor (0,1,0,0) abgebildet. Die erste Spalte von P ist also (0,1,0,0). Die anderen drei Spalten erhält man aus den Bildern der restlichen Basisvektoren:

P= 1000 [0001]

0100 0010

Da wir die Standardbasis verwenden, entspricht die Anwendung von T der gewöhnlichen Multiplikation mit P. Die Matrix für T 2 ist die "zweifache zyklische Verschiebung" p 2 , die den Vektor (X3,X4,Xl,X2) erzeugt.


Die dreifache Verschiebung T3 bildet den Vektor x = (X1,X2,X3,X4) auf den Vektor T 3(x) = (X2,X3,X4,Xt) ab. Wendet man T dann noch einmal an, so erhält man das ursprüngliche x zurück -----' deshalb ist T4 die Identitätsabbildung, oder, durch Matrizen ausgedrückt, es ist p 4 = I. Dies bedeutet, dass T 3T die Identität ist, also T 3 = T- 1. Zwei reelle Eigenvektoren von P sind (1,1,1,1) mit dem Eigenwert A = 1 und (1, -1, 1, -1) mit dem Eigenwert A = -1. Die Verschiebung lässt den Vektor (1,1,1,1) unverändert, und sie kehrt die Vorzeichen im Vektor (1, -1, 1, -1) um. Die anderen bei den Eigenwerte sind A3 = i und A4 = -i. Die Determinante von P ist A1A2A3A4 = -1 wie in Aufgabe 5.2, wo die Kofaktoren der ersten Zeile verwendet wurden. Bitte beachten Sie, dass die Summe der Eigenwerte 1, -1, i, -i gleich Null ist (wie die Spur von P). Es handelt sich um die vierten Einheitswurzeln, da det(P - AI) = A4 - 1 ist. Sie sind in gleichmäßigen Abständen auf dem Einheitskreis in der komplexen Ebene angeordnet. Ich glaube, P ist eine 90°Drehung zusammen mit einer Spiegelung im ]E.4.

7.2 B Der Raum der 2 x 2-Matrizen wird von den folgenden vier Basis-"Vektoren" erzeugt:

T sei die lineare Abbildung, die jede 2 x 2-Matrix transponiert. Durch welche Matrix A wird T bezüglich dieser Basis (Ausgabebasis = Eingabebasis) dargestellt? Was ist die inverse Matrix A-1? Welche Abbildung T- 1 invertiert die Transpositions-Abbildung? Weiterhin sei T2 die Abbildung, die jede Matrix mit M = [~ ~] multipliziert. Durch welche 4 x 4-Matrix A2 wird T2 dargestellt?

Lösung Die Transposition permutiert die Basismatrizen in die Reihenfol-ge U1, U3, U2, U4!

T(ur) = U1

T(U2) = U3

T(U3) = U2

T(U4) = U4

ergibt die vier Spalten von rIO 0 0] 0010

A= 0100 . 0001

Die inverse Matrix A -1 ist mit A identisch. Die inverse Abbildung T- 1 ist also mit Tidentisch - transponiert man einmal und dann noch einmal, so erhält man die Matrix, mit der man begonnen hat. Um die Matrix A 2 zu bestimmen, wenden wir T2 auf die Basismatrizen Ul, U2, U3, U4 an. Multiplizieren wir also mit M:


liefert die Spalten von A = ~ ~ ~ ~ . [a 0 b 0]

OcOd

Diese Matrix A ist das "Kronecker-Produkt" oder "Tensorprodukt" von M mit I, geschrieben M ® I.

7.3 A Vergleichen Sie aO+aIx+a2x2 mit bo +bl (x+1)+b2(x+1)2, um eine 3 x 3-Matrix MI zu bestimmen, die die Koeffizienten durch a = MI b miteinander verbindet. MI wird der Pascal'schen Matrix ähnlich sein! Die Matrix, die diesen Wechsel umkehrt, ist MI!' und es gilt b = MIIa. Sie verlegt den Entwicklungspunkt der Reihe zurück, so dass ao + al (x -1) + a2(x - 1)2 gleich bo + bIx + b2x2 ist. Vergleichen Sie die quadratischen Polynome, um M_ I , die Inverse der Pascal'schen Matrix, zu bestimmmen. Bestimmen Sie dann Mt aus ao + aIx + a2x2 = bo + bl(x + t) + b2(x + t)2, und verifizieren Sie, dass MsMt = M s+t gilt.

Lösung Man findet MI, indem man ao + aIx + a2x mit bo + bl(x + 1) + b2 (x + 1)2 vergleicht:

Konstanter Term ao = bo + bl + b2 Koeffizient von x al = bl + 2b2

Koeffizient von x2 a2 = b2

Schreibt man (x + 1)2 = 1 + 2x + x2, so erkennt man die Zahlen 1,2,1 aus dieser Basiswechselmatrix. Die Matrix MI ist die obere Pascal'sche Dreiecksmatrix Pu. Man erhält die Inverse M I I durch Vergleich von aO+al (x-1)+a2(x-1)2 mit bo+bl x+b2x2. Die konstanten Terme sind gleich, wenn ao - al + a2 = bo gilt. Dadurch erhält man die alternierenden Vorzeichen in M I- I = M_ I .

lover .. von M, ~ M_, ~ [1 -; -~ 1 '

Verschiebung und M, ~ [1 ; ~l. Es gilt MsMt = M s+t und MIM_ I = Mo = I. Fans der Pascal'schen Matrizen fragen sich vielleicht, ob auch die symmetrische Matrix Ps als Basiswechselmatrix auftritt. Das ist der Fall, und zwar, wenn die neue Basis auch negative Potenzen (x + l)-k enthält. Mehr darüber auf der Kurs-Webseite web.mit.edu/18.06/www.


7.4 A Sei A eine m x n-Matrix. Hat sie den vollen Spaltenrang r = n, so hat A eine Linksinverse C = (AT A)-l AT. Für diese Matrix C gilt CA = I. Erklären Sie, warum in diesem Fall die Pseudoinverse A+ = C ist. Hat A den vollen Zeilenrang r = m, so hat die Matrix eine Rechtsinverse B = AT(AAT)-l mit der Eigenschaft AB = I. Erklären Sie, warum in diesem Fall A+ = B gilt. Bestimmen Sie, falls möglich, die Matrizen Bund C, und bestimmen Sie A + für alle drei Matrizen:

lösung Hat A den Rang n (unabhängige Spalten), so ist AT A invertierbar - dies ist einer der wesentlichen Punkte in Abschnitt 4.2. Damit ist das Produkt von C = (AT A)-l AT mit A sicherlich CA = I. In der umgekehrten Reihenfolge ist AC = A(AT A)-l AT die Projektionsmatrix (siehe Abschnitt 4.2) auf den Spaltenraum. Die Matrix C genügt also den Bedingungen 7H an die Pseudoinverse A + .

Hat A den vollen Zeilenrang, so ist AAT invertierbar, und das Produkt von A mit B = AT(AAT)-l ist AB = I. Umgekehrt, wiederum, ist BA = AT(AAT)-l A die Projektionsmatrix auf den Zeilenraum, und deshalb ist B die Pseudoinverse A+. Das Beispiel Al hat vollen Spaltenrang (für C), und A2 hat vollen Zeilenrang (für B):

Beachten Sie, dass At Al = [1] und A2 At = [1] gilt. Die Matrix A3 hat aber

keine Rechts- oder Linksinverse. Ihre Pseudoinverse ist At = (JIIVI ur = D i]/4.

Index

-1,2, -1 Matrix, 80, 90, 112, 254, 352

A = LDLT , 105, 351 A = LDU, 92, 98, 99 A = LU, 90, 98 A = QAQT, 354 A = QR, 236, 240 A = SAS- 1 , 304, 317

A = UEVT , 369 AAT , 370 AT A, 211, 356 Abbildung

affine, 459 Abbruchbedingung, 484 Absolut betrag

einer komplexen Zahl, 500 Abstand, 211 Achsen, 354 äußeres Produkt, 64 affine Abbildung, 459 Anzahl Operationen

bei der Bestimmung der inversen Matrix, 79 bei der Multiplikation von Matrizen, 64 bei der Rücksubstitution, 95 beim Eliminationsverfahren, 94

Assoziativgesetz, 55, 65, 72 Aufwandsbetrachtungen, 467

Basiswechsel, 406 Baum, 422 Betrag

einer komplexen Zahl, 500 Bild, 379, 382

einer Matrix, 122 Blockmatrix, 66

blockweise Multiplikation, 67

Cayley-Hamilton, 318 charakteristische Gleichung, 293 Cholesky, 358 Cramer'sche Regel, 272, 273

Deltafunktion, 452 Determinante, 76, 245, 293, 296

der Inversen, 251 der Transponierten, 251

- eines Produktes, 251 diagonalisierbar, 306 Diagonalisierung, 304 Diagonalmatrix, 407 Distributivgesetz, 65 Drehmatrix, 230, 296, 472 Drehung, 457

einer Ebene, 472 Dreiecksmatrix, 249 Dreiecksungleichung, 22 duales Programm, 445 Dualitätssatz, 445

Eigenvektor, 289, 294 Eigenwert, 289, 293 - komplexer, 338

mehrfacher, 305 - positiver, 346 - reeller, 333, 335 Eigenwerte

Berechnung, 473 Produkt der, 296, 301 Summe der, 296, 301 Eigenwerte

-- von A 2 , 290 eindeutige Lösung, 161 Eingabefehler, 481 Einheitskreis, 14, 501

650 Index

Einheitsmatrix, 54 Einheitsvektor, 14, 15 Einheitswurzel, 503 Einnahmen, 12 Einstein, 53 EISPACK, 490 Elementarmatrix, 54 Elimination, 94 Eliminationsmatrix, 53, 58 Eliminationsverfahren, 40 Ellipse, 353, 354 erweiterte Matrix, 61, 80 Erzeugnis, 178 Euler'sche Formel, 426, 503 Euler'sche Winkel, 476

Fast Fourier Transform, 518 Fehler - relativer, 480 Fehlergleichung, 479, 484 FFT, 518, 522 Fibonacci, 309, 315 Fließkommaoperation, 472 floating point operation, 472 Flop, 471 Flussdiagramm - für die FFT, 522 Formel für A -1, 275 FORTRAN, 7, 19 Fourierkoeffizient, 453 Fouriermatrix, 513, 519 Fourierreihe, 233, 449, 452 Fouriertransformation, 517

schnelle, 517 Fredholm, 201 freie Variable, 42 Frobenius-Norm, 476 Fundamentalsatz, 186, 197, 201

der Algebra, 518 Funktionenraum, 118, 180, 452

Gauß'sches Eliminationsverfahren, 44, 465

Gauß-Seidel-Verfahren, 485, 488 Gauß-Jordan, 79, 80, 86, 163 geometrische Reihe, 438 geometrisches Mittel, 19, 21 gerade Permutation, 111, 246 Gerschgorin-Kreise, 496

Givens-Rotation, 472 Gram-Schmidt, 234, 235 Graph

gerichteter, 419 vollständiger, 422 zusammenhängender, 422

Graphen, 419

Hadamard-Matrix, 405 Hauptachse, 334, 354 Haus, 384 Heisenberg, 308, 318 hermitesche Matrix, 507 Hessenberg-Matrix, 474, 493 Hilbert-Matrix, 474 Hilbertraum, 450 homogene Koordinaten, 457 Hooke'sches Gesetz, 428 Householder-Matrix, 472

imaginäre Zahl, 497 Imaginärteil

einer komplexen Zahl, 498 inneres Produkt, 11, 451 inverse Matrix, 75 inverse Vektoriteration, 491 Inverse von AB, 77, 86 invertierbar, 76, 82 Inzidenzmatrix - eines Graphen, 419 Iterationsmatrix, 485 iterative Methode, 484 iteratives Verfahren, 484

für Eigenwerte, 490

Jacobi-Verfahren, 474, 485, 487 Jordansche Normalform, 486

Kante eines Graphen, 421

kartesische Darstellung einer komplexen Zahl, 501

Kern, 129, 379, 383 Kern von AT A, 211 Kirchhoff'sche Knotenregel, 425 Kirchhoff'sche Regeln, 425 kleinstes Fehlerquadrat, 216 Knoten

eines Graphen, 421

Knotenregel, 425 Kofaktormatrix, 275 Kommutativgesetz, 55, 65, 72 komplex konjugiert, 338 komplex konjugierte Zahl, 498 komplex Konjugiertes, 336 komplexe Ebene, 498 komplexe Eigenwerte, 338 komplexe Matrix, 74 komplexe Zahl, 497 Komponenten, 1 Konditionszahl - einer Matrix, 466, 476, 479 konjugiert Transponierte, 508 Konvergenz, 484

kubische, 495 Konvergenzgeschwindigkeit, 484, 485

der Vektoriteration, 491 Konvergenzkriterium, 485 Kosinus, 18, 22 Kosinussatz, 22 Kostenfunktion

eines linearen Programms, 443 kubische Konvergenz, 495

Länge, 232 eines Vektors, 13

lösbar, 122 Lösungsfehler, 481 Lanczos-Verfahren, 495 LAPACK,490 Legendre-Polynom, 456 Leitfähigkeitsmatrix, 427 linear unabhängige Spalten, 199 lineare Abbildung, 377, 379 Lineare Programmierung, 441 lineare Transformation, 377 Linearkombination, 4, 10, 122

von Spalten, 52, 65 Linksinverse, 76 Linkskern, 186, 190 LINPACK, 92, 490 LU-Faktorisierung, 91

unvollständige, 489 LU-Verfahren, 485

Magisches Quadrat, 39 Markov-Differentialgleichung, 440 Markov-Kette, 434, 436

Index 651

Markov-Matrix, 38, 291, 302, 307, 432, 433,491

Maschenregel, 425 MATLAB , 7, 19, 95 Matrix, 30, 62

-1,2, -1,80, 112, 254, 352 ähnliche, 407 Block, 66 dünnbesetzte, 489 diagonaldominante, 496 Dreh-, 230, 296 Dreiecks-, 249 Einheits-, 54 Elementar-, 54 Eliminations-, 53, 58 erweiterte, 57, 61, 80 Hadamard-, 405 hermitesche, 507, 510 inverse, 75, 81 Kofaktor-, 275 komplexe, 74 Markov-, 38, 291, 302, 307, 432, 433, 491 normale, 517 orthogonale, 230, 297, 334, 369, 514 Permutations-, 57, 106, 111

- positiv definit, 348, 349, 352, 358 Projektions-, 207, 208, 214, 291, 338 Schachbrett, 192

- schiefhermitesche, 514 - schiefsymmetrische, 112, 127, 254,

297, 514 semidefinit, 349, 350 singulär, 250 Spiegelungs-, 231, 242, 292, 461 symmetrische, 104, 297, 333 Tridiagonal-, 81, 96, 100 umgekehrte Einheits-, 253 unitäre, 507, 512, 514 Vandermonde'sche, 254

- Wurzel aus, 358 Matrix mal Vektor, 36 Matrixmultiplikation, 62 Matrixnorm, 476 Matrixraum, 383 Matrizenraum, 119, 126, 180 mehrfache Eigenwerte, 305

652 Index

Messfehler, 479 Methode der kleinsten Quadrate, 217 - rekursives Verfahren, 228 Minimum, 349 Mittelwert, 227 Multiplikation

blockweise, 67 Multiplikator, 41

nächst gelegene Gerade, 216, 219, 220 Nebenbedingungen

eines linearen Programms, 442 Netzwerk, 419, 427 nicht diagonalisierbar, 312 Nichtdiagonalisierbarkeit, 306 nichtsingulär , 44 Norm

einer Diagonlmatrix, 477 einer Matrix, 476, 478 einer positiv definiten symmetrischen Matrix, 477 eines Vektors, 13 Frobenius-, 476

Normalengleichung, 209, 218 Nullmatrix, 62

oberes Dreieckssystem, 40 Ohm'sches Gesetz, 427 orthogonale Matrix, 230, 297, 334, 369,

514 orthogonaler Unterraum, 193, 195, 196 orthogonales Komplement, 196, 203 orthonormal, 229 Orthonormalbasis, 368 orthonormale Spalten, 230, 232, 238

PA = LU, 108-110 Parabel, 223, 224 Parallelogramm, 3, 6 Parallelprojektion, 461 Parallelrechner, 465 partielle Pivotierung, 465 Pascal, 101 Permutation

gerade, 246 ungerade, 246

Permutationsmatrix, 57, 106, 111 perspektivische Projektion, 461 Pfeil, 2, 5

Pivotelement, 42 Pivotierung

partielle, 465 - vollständige, 467 Polarkoordinatendarstellung

einer komplexen Zahl, 500 Polarzerlegung, 411 positiv definite Matrix, 348, 349, 352,

358 positive Eigenwerte, 346, 352 Potentialdifferenz, 423 Potenz

einer komplexen Zahl, 501 Potenzen einer Matrix, 289, 307, 311,

316 Präkonditionierer, 484, 490 Produkt von Determinanten, 251 Projektion, 203, 204, 208, 457

Parallel-, 461 perspektivische, 461

Projektion auf einen Unterraum, 207 Projektionsmatrix, 207, 208, 214, 291,

338 projektiver Raum, 459 Pseudoinverse, 406, 412 Pythagoras, 8

QR-Verfahren, 490, 491 Quadratwurzel (einer Matrix), 358

Rücksubstitution, 93, 96 Rang, 186, 207 Rayleigh-Quotient, 479 Realteil

einer komplexen Zahl, 498 Rechenaufwand - für die QR-Zerlegung, 471 - für die Bestimmung der Inversen,

471 - für die FFT, 523 - für die Vorwärtselimination, 468 - - bei Bandmatrizen, 470 Rechteckkurve, 453 rechter Winkel, 15 Rechtsinverse, 76 rechwinklig, 15 reduzierte Treppenform, 80, 81 Rekursion - bei der FFT, 523

relativer Fehler, 480 Residuum, 483 Roboterhand, 476 Rotation - einer Ebene, 472 Rotationsmatrizen, 472 Rundungsfehler , 466

8- 1 A8 = A, 304 Schachbrett-Matrix, 192 Schaltkreistheorie, 425 schiefhermitesche Matrix, 514 schiefsymmetrisch, 127 schiefsymmetrische Matrix, 112, 254,

297, 514 Schur-Komplement, 270 Schwarz'sche Ungleichung, 18, 20, 23,

450 semidefinite Matrix, 350 senkrecht, 20 senkrechte Eigenvektoren, 293, 335 senkrechte Vektoren, 334 Sensitivität - einer Matrix, 466 Sigma-Notation, 53 Simplex-Algorithmus, 442, 446 singulär, 44 singuläre Matrix, 250 Singulärwert, 409, 479 Singulärwertzerlegung, 409 Skalar, 2, 118 Skalarprodukt, 11, 16, 17, 450 - komplexes, 508 Skalierung, 457 SOR-Verfahren, 485, 488 Spalte-mal-Zeile, 67, 74 Spaltenbild, 43 Spaltenraum, 122 Spaltenvektor, 5 Spektralradius, 482, 485 Spektralsatz, 334 Spiegelung, 461 Spiegelungsmatrix, 231, 242, 292, 461,

472 Spur, 296, 301, 317 Standardabweichung, 227 stationärer Zustand, 432 successive overrelaxation, 485 SVD,369

Index 653

symmetrische Matrix, 104, 297, 333 symmetrisches Produkt, 105

Tabellenkalkulation, 12 Transformation, 399 Translation, 457 transponierte Matrix, 102 Tridiagonalmatrix, 81, 96, 100

Uhr, 9 umgekehrte Einheitsmatrix, 253 umgekehrte Reihenfolge, 77, 102 unabhängige Spalten, 185 unabhängige Zeilen, 185 unendliche Reihe

geometrische, 438 ungerade Permutation, 246 unitäre Matrix, 507, 512, 514 Unschärferelation, 308, 318 Unterraum, 119, 126 unvollständige LU-Faktorisierung, 489

Vandermonde-Matrix, 254 Varianz, 227 Vektor

Länge, 13 Norm, 13

Vektor addition , 2, 3, 118 Vektoriteration, 490

inverse, 491 Vektorraum, 117, 125 Verbrauchsmatrix, 437 Verfahren der konjugierten Gradienten,

490 Versagen des Eliminationsverfahrens,

48 Vielfachheit, 312 vier fundamentale Unterräume, 185 voller Rang, 161 vollständige Lösung, 159 vollständige Pivotierung, 467 Volumen, 248 Vorwärtselimination, 93, 96 Vorzeichenwechsel, 247

Würfel, 9 Wavelets, 243 Winkel, 15

einer komplexen Zahl, 500

654 Index

Euler'sche, 476

Zeilenbild, 43 Zeilentausch, 57 Zeilenvektor, 5 Zeilenvertauschung, 107

zulässiger Bereich eines linearen Programms, 442

zulässiger Punkt eines linearen Programms, 442

Zyklus - eines Graphen, 422

MATlAB Unterrichtscodes

eofaetor eramer deter

eigen2 eigshow eigval

eigvee elim

findpiv

fourbase grams house inverse

leftnull linefit

lsq

normal

Berechnet die n x n-Matrix der Kofaktoren. Löst das System Ax = b mit Hilfe der Cramer'schen Regel. Matrix-Determinante, berechnet aus den Pivotelementen in PA = LU. Eigenwerte, Eigenvektoren und det(A - >"1) für 2 x 2-Matrizen. Grafische Veranschaulichung von Eigenwerten und Eigenvektoren. Eigenwerte und ihre Vielfachheit als Lösungen der Gleichung det(A - >"I) = O. Berechnet so viele linear unabhängige Eigenvektoren wie möglich. Reduktion der Matrix A auf Zeilen-Treppenform R mit Hilfe einer invertierbaren Matrix E. Bestimmt ein Pivot element für das Gauß'sche Eliminationsverfahren (wird von plu verwendet). Konstruiert Basen für die vier fundamentalen Unterräume. Gram-Schmidt-Orthogonalisierung der Spalten von A. 2 x 12-Matrix mit den Koordinaten der Ecken eines Hauses. Inverse einer Matrix (falls existent), berechnet mit dem Gauß-Jordan-Verfahren. Berechnet eine Basis des Linkskerns. Zeichnet die Kleinste-Quadrate-Approximation von m gegebenen Punkten durch eine Gerade. Kleinste-Quadrate-Approximation von Ax = b, berechnet mit Hilfe von AT Ai: = ATb. Eigenwerte und orthonormale Eigenvektoren für den Fall AT A = AAT.

nulbasis Matrix von speziellen Lösungen der Gleichung Ax = 0 (Basis des Kerns).

ortheomp Findet eine Basis für das orthogonale Komplement eines Unterraums.

partie Partikuläre Lösung der Gleichung Ax = b, wobei alle freien Variablen zu Null gesetzt werden.

plot2d Zweidimensionaler Plot für die Haus-Abbildungen (Einband [der zweiten amerikanischen Ausgabe, Anm. d. Übers.] und Abschnitt 7.1).

plu Rechteckige PA = LU-Faktorisierung mit Zeilentausch. poly2str Wandelt ein Polynom in eine Zeichenkette um. projeet Projiziert einen Vektor b auf den Spaltenraum von A. projmat Konstruiert die Projektionsmatrix auf den Spaltenraum von A. randperm Konstruiert eine zufällige Permutation.

656 MATLAB Unterrichtscodes

rowbasis Berechnet eine Basis für den Zeilenraum aus den Pivot zeilen von R.

samespan Überprüft, ob zwei Matrizen denselben Spaltenraum besitzen. signperm Determinante der Permutationsmatrix, deren Zeilenordnung

durch den Vektor p gegeben ist. slu LU -Faktorisierung einer quadratischen Matrix ohne Zeilen

tausch. sIv Wendet slu an, um das Gleichungssystem Ax = bohne Zeilen

tausch zu lösen. splu Quadratische PA = LU-Faktorisierung mit Zeilentausch. spIv Berechnet die Lösung eines quadratischen Gleichungssystems

Ax = b mit invertierbarer Matrix A. symmeig Berechnet die Eigenwerte und Eigenvektoren einer symmetrischen

Matrix. tridiag Konstruiert eine Tridiagonalmatrix mit konstanten Diagonalen a,

b, c. Diese Unterrichtscodes sind direkt erhältlich auf der Homepage zur linearen Algebra

http://web.mit.edu/18.06/www

Sie sind in MATLAB geschrieben, wurden aber auch in Maple und Mathematica übersetzt.

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