Rüdiger Scholz Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover · beim p-n-Übergang (Abb. 1)....

Rüdiger Scholz

Halbleiter - pn-Übergang

Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover


Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis........................................................................................................ 2

Literatur ........................................................................................................................... 2

1 Elektrolumineszenz ............................................................................................ 3

2 Elektronenenergie im Festkörper ...................................................................... 4

2.1 Energiebänder ..................................................................................................... 4 2.2 Freies Elektronengas (ideales Fermi-Gas) .......................................................... 4 2.3 Verbindung der Modelle: Ladungsträgerkonzentration im Halbleiter ............... 6 2.4 Einfluss der Temperatur: Eigenleitung im reinen Halbleiter ............................. 7 2.5 Opto-elektronische Übergänge zwischen den Bändern ...................................... 7 2.6 Wahrscheinlichkeit strahlender Übergänge: Direkte/indirekte Halbleiter ......... 8 2.7 Spektrale Energieverteilung der Band-Band-Übergänge ................................... 10

3 Ladungsträgerbewegung in dotierten Halbleitern: Shockley-Theorie ............ 12

3.1 Dotieren .............................................................................................................. 12 3.2 Einfluss der Temperatur: Leitung in dotierten Halbleitern ............................... 12 3.3 Diffusionsströme durch den pn-Kontakt im thermischen Gleichgewicht .......... 13 3.4 Der pn-Kontakt mit äußerer Spannung .............................................................. 14 3.5 Zusammenfassung der Ergebnisse bis zur Shockley-Formel ............................ 17 3.6 Die reale Halbleiter-Diode ................................................................................. 19 3.7 Messungen an Dioden ........................................................................................ 21 3.8 LED ................................................................................................................... 22 3.9 h-Bestimmung aus der Linienmitte .................................................................. 23

Anhang: Materialien .................................................................................................. 25

Leiter – Halbleiter – Isolatoren ..................................................................................... 25 Materialparameter Si, Ge, GaAs (bei T0 = 300 K) .......................................................... 25 Binäre Verbindungshalbleiter ....................................................................................... 25 III/V Verbindungshalbleiter ......................................................................................... 25

Impressum ................................................................................................................. 27

Bildverzeichnis .............................................................................................................. 27 Literatur 1. Feynman/Leighton/Sands; Feynman Lectures Of Physics, Bd. 3 2. W. Demtröder; Experimentalphysik Bd. 3 3. M. Alonso, E: J. Finn; Fundamental University Physics Bd. 3 4. Gerthsen/Kneser/Vogel; Physik; Kap. 14.3.6 5. K. Lehovec et. al., Physical Review 83, 603−607 (1951) 6. Charles Kittel, Einführung in die Festkörperphysik, Oldenbourgh Verlag 2006 7. E. Fred Schubert, www.LightEmittingDiodes.org und dort die Links zu den verschiedenen

Darstellungen (diese Webseite steht leider seit 2014 nicht mehr zur Verfügung) 8. J. Brody, D. Weiss, P. Young, Observing the Maxwell-Boltzmann distribution in LED emission spectra, Am.

J. Phys. 78 (9) 933

© März 2014 ⋅R. Scholz ⋅ PhysikPraktikum ⋅ Leibniz Universität Hannover ⋅ 2


1 Elektrolumineszenz

Die Lichtemission als Folge eines Stromes durch eine zweipolige Silizium-Carbid-Anordnung (SiC) wurde von dem Radioelektroniker und Erfinder Henry Joseph Round sehr zufällig entdeckt und in einer kurzen Notiz im Magazin „Electrical World“ veröffentlicht (Abb. 2). Heute würde man den Aufbau als „Diode“ bezeichnen. Damit war die erste LED im Betrieb gewesen. Allerdings keine pn-Halbleiterdiode, sondern eine Halbleiter-Metall-Diode.

Erst im Jahr 1923 kam es zu einer Wiede-rentdeckung des Lichteffekts durch den russischen Ingenieur Oleg Vladimirovich Lossev im Rahmen genauer Untersuchungen der I-U-Kennlinie einer SiC-Diode (Abb. 3). Lossev konnte insbesondere darauf hinweisen, dass die Lichterscheinung keine Folge einer Aufheizung ist, sondern ein „Kaltlicht-Effekt“ − eben Lumineszenz. Knapp 30 Jahre nach Lossevs Publikation veröffentlichten K. Lehovec et. al. ein systematisches Experiment samt Theorie zur Elektrolumineszenz beim p-n-Übergang (Abb. 1).

Nach heutiger Vorstellung geht bei der Lumineszenz ein Molekülverband aus einem angeregten Zustand in den Grundzustand über, wobei Energie frei wird und als Licht abgestrahlt wird. Merkmale dieses Effekts, die besondere Vorteile moderner LED darstellen: • Praktisch verzögerungsfrei schaltbar; • hoher thermischer Wirkungsgrad (geringe

Abwärme). Wer die Hintergrundüberlegungen und Herleitungen überspringen will, kann direkt bei Kapitel 3.5, bei der Zusammenfassung der Ergebnisse einsteigen.

2 Erste Veröffentlichung zum Phänomen der Elektrolumineszenz

Quelle: Electrical World (1907 19 309)

3 Das wohl erste Foto des Elektrolumineszenzeffekts von Oleg Vladimirovich Lossev Quelle: Wireless World and Radio Review 1924,271, 93

1 Physical Review 83, 603−607 (1951)



2 Elektronenenergie im Festkörper

2.1 Modell 1: Energiebänder Abb. 4 illustriert diese Modellvorstellung: Die Potentialtöpfe (ein periodisches Coulomb-Potential1) zwischen den Potentialbergen lokalisieren das Einflussgebiet der Atomrümpfe im Kristallgitter. Beim Kristallaufbau spalten elektronische Zustände in so viel dicht liegende Zustände auf, wie Atome das Kristallgitter bilden. Beim Zusammenrücken der Atome zum Festkörper entstehen so aus den diskreten Elektronenzuständen Energiebänder und dazwischen energetisch verbotene Zonen, die sog. Bandlücken.

Nehmen Sie als Beispiel die Elektronenkonfiguration von Silizium, 1s2 2s2 2p6 3s2 3p2. Die 1s-, 2s- und 2p-Elektronen bilden tief in den Potentialtöpfen liegende Bänder: tight binding-Bereich (in Abb. 4 schraffiert). Die 3s und 3p- Niveaus überlappen zu einem teilweise delokalisierten Energieband. Pro Atom vier Valenzelektronen bevölkern dieses Valenzband (VB). Jedes Si-Atom bietet für vier Nachbarn ein Bindungselektron. So wird mit 8 Elektronen die stabile Edelgaskonfiguration erreicht, das Band ist „voll“2.

Nettoladungstransport (= Leitung) ist im Kristall nicht möglich. Elektronen der tief liegenden Bänder sind lokalisiert. Im Valenzband könnten Elektronen energetisch möglicherweise (wie in Abb. 4) die Potentialberge zwar überwinden. Das Band jedoch ist voll. D. h. alle Zustände sind besetzt und zu jeder Elektronenwelle mit dem Impuls p gibt es damit eine Gegenwelle mit dem Impuls − p. Ein Nettoimpuls, klassisch „Bewegung“, ist nicht möglich. Das nächste Band ist leer. Wenn durch Energieaufnahme Elektronen dorthin gelangen, sind sie beweglich, das Band wird zum Leitungsband (LB). Bei Leitern ist der Energieabstand zwischen VB und LB Null oder die Bänder überlappen. Ist der Abstand kleiner als etwa 1−2 eV spricht man von Halbleitern, ist er größer als 4 eV, hat man gute Isolatoren (s. Anhang). 2.2 Modell 2: Freies Elektronengas (ideales Fermi-Gas) Dieses Modell der statistischen Physik klärt die Thermodynamik der Elektronen ohne Kristallfeinheiten3: (1) Die klassische Beziehung zwischen Elektronenenergie E und -impuls p = k bleibt erhalten:

( )22

e e2 2kpp k E

m m= ⇒ = =

(nichtrelativistische Energien)

(2) Abzählen der besetzbaren Energieeigenzustände im Phasenvolumen ergibt die räumliche Dichte D(E)⋅dE möglicher Zustände im Energieintervall dE:

( )3/2

2 2

1 2d d

2mD E E E E

π =

. (1)

1 Amorphe, also nicht kristalline, aber harte Materialien, sind in diesem Zusammenhang keine Festkörper, sondern „harte“ Flüssigkeiten. 2 Die Entstehung der Bänder wird in /1/ für einen sehr einfachen aber typischen und verallgemeinerbaren Fall vorgerechnet. 3 Für den Elektronenimpuls p setzt man in der Regel die Wellenzahl k der zugehörigen deBrogliewelle ein: p = ⋅k; die Herleitung der Formeln auf dieser Seite ist nicht schwierig, aber wichtig; Sie sollten sie unbedingt nachrechnen, vgl. /1/, /2/ und /3/.

4 Energiebänder beim Festkörper allgemein 5 Fermiverteilung f(E), Gl. 2 für kBT = 0,05⋅EF (blau) und kBT = 0,2⋅EF (rot)



(3) „Barometrische Höhenformel“ für Elektronen: Ein Festkörper hat mehr Eigenzustände als Elektronen zu ihrer Besetzung. Es sind daher nicht sämtliche Zustände besetzt. Je größer die Energie eines Zustandes ist, desto geringer ist die Besetzungswahrscheinlichkeit f(E). Je größer die Temperatur T, desto größer ist diese Wahrscheinlichkeit. Für ein ideales Gas freier Elektronen gilt die Fermi-Dirac-Statistik (s. dazu /2/ und /3/;vgl. Abb. 5 und Abb. 6):

( ) ( )( )( ) 1

Bexp / 1Ff E E E k T−

= − + ; kB = 1,38⋅10−23 J/K. (2a)

EF liegt bei kalten Halbleitern mittig zwischen EC und EV: EF ≈ (EC + EV)/2 (Abb. 6). Bei niedriger Temperatur ist EC − EV > kBT und nur wenig Elektronen sind im LB,. Einschränkungen durch das Pauliprinzip sind dann unbedeutend und in guter Näherung (Fehler < 0,05) gilt die Boltzmann-Näherung:

( ) ( )( )( ) ( )( )1

B Bexp / 1 exp / .F Ff E E E k T E E k T−

= − + → − − (2b)

2.3 Verbindung der Modelle: Ladungsträgerkonzentration im Halbleiter Abb. 6 zeigt die Kombination der Modelle 1 und 2. Der rote Ausschnitt in Abb. 4 wurde dazu um die Fermiverteilung f(E) und die Zustandsdichte D(E) ergänzt. EC und EV stehen für die Bandkanten von LB und VB.

Bei niedrigen Temperaturen fällt f(E) für E > EF noch innerhalb der Bandlücke schnell auf Null, alle Zustände im LB bleiben unbesetzt und das VB bleibt voll. Damit ist eine Ladungsträger-bewegung im Halbleiter nicht möglich und er isoliert. Mit zunehmender Temperatur „verschmiert“ die Fermigrenze (Abb. 5/6) und reicht schließlich bis in das LB hinein, d. h., die Besetzung von LB-Zuständen wird wahrscheinli-cher. Jedes Elektron im LB hinterlässt ein Loch im VB. Die Eigenleitung von Halbleitern beruht auf der Beweglichkeit dieser Elektron-Loch-Paare. Zur Berechnung der mittleren Ladungsträgerdichte im LB und VB summieren Sie für jeden Energiewert das Produkt aus der Dichte möglicher Zustände im Intervall dE und der Wahrscheinlichkeit ihrer Besetzung zwischen den Bandgrenzen auf (vgl. /2/):

( ) ( )

( ) ( )

C

C

V

V

3/2*B C F C F

C C2B B

3/2*B F V F V

V V2B B

2d 2 exp exp

2d 2 exp exp .

e

E

N

p

E

N

m k T E E E En D E E f E E N

h k T k T

m k T E E E Ep D E E f E E N

h k T k T

π

π

∞

∞

− −= − ≈ − = −

− −= − ≈ − = −

∫

∫

(3)

Anschaulich bedeutet diese Vorgehensweise eine Konzentration der Energiebänder auf je einen Ladungsträgerzustand mit den Besetzungsdichten n bzw. p, den Energien EC bzw. EV und dem jeweiligen Entartungsgrad NC bzw. NV (so etwas wie effektive Zustandsdichten). Diese Entartungsgrade für die Löcher – und Elektronenzustände hängen schwach von der Temperatur ab (µT3/2).

6 Halbleiter; links: Energie im Bändermodell, rechts: Energie im

freien Elektronengas



2.4 Einfluss der Temperatur: Eigenleitung im reinen Halbleiter Im thermischen Gleichgewicht sind Halbleiter neutral, die Löcher- und Elektronendichten somit gleich. Man bezeichnet diese Gleichgewichtskon-zentration als intrinsische Ladungsträgerdichte ni: n = p = ni; n⋅p = ni2. ni nimmt nach Gl. 3 stark mit der Temperatur zu (Abb. 8).

2 Gi C V

B

3

2 GBi0

B 0 B 0

exp

1 1exp

En p n N N

k T

Ek Tnk T k T T

⋅ = = ⋅ ⋅ −

= ⋅ − ⋅ −

(4)

Die erste Beziehung folgt direkt aus Gl. 3. Ausgehend von dem Wert ni0 = ni(T0) bei T0 = 300 K (s. Anhang für Ge/Si/GaAs) ergibt sich die zweite Beziehung. Die Fermi-Energie in Gl. 3 stellt sich so ein, dass die Neutralitätsbedingung n = p erfüllt ist; knapp unterhalb der Mitte zwischen LB und VB:

C F F V C VC V F V B

B B C

1exp exp ln .

2 2

GE

VE E E E E E Nn p N N E E k T

k T k T N − − −

= ⇔ − = − ⇒ = + +

(5)

Der Bandabstand EG = EC - EV wird auch als Bandlücke bezeichnet (energy gap). Bei Si berechnen Sie für T = T0 = 300 K: EF = EV + 0,49⋅EG. 2.5 Opto-elektronische Übergänge zwischen den Bändern Absorption von Photonen: Die Bestrahlung von Halbleitern erhöht deren Leitfähigkeit (Photoleitfähigkeit). Durch die Absorption eines Photons werden bewegliche Ladungsträger erzeugt (Abb. 9), im LB ein bewegliches Elektron, im VB ein bewegliches Loch. Energiesatz: ∆E = ⋅ω = h⋅c/λ = E(n) − E(p) > EG Die Photonenenergie ⋅ω muss dazu mindestens so groß wie die Bandlücke sein. Die optische Anregung gängiger Halbleiter erfordert Lichtwellenlängen von sichtbar bis infrarot: • Ge: EG = 0,7 eV/λ ≈ 1,8 µm; • Si: EG = 1,14 eV/λ ≈ 1,1 µm; • GaAs: EG = 1,5 eV/λ ≈ 827 nm; • GaP: EG = 2,3 eV/λ ≈ 540 nm. Impulssatz: Wie bei allen Übergangsprozessen muss nicht nur die Energie, sondern auch der Impuls des Systems erhalten bleiben.

Ein Photon der Wellenlänge λ = 1,1 µm trägt den Impuls 6 1Photon

2 5,7 10 m .p k πλ

−∆ = ∆ = = ⋅ ⋅ Nach

der Unschärferelation führt die Bewegung von Elektronen im Si-Ionengitter mit der Gitterkonstante von a = 543 pm zu einer 2000fachen Impulsunschärfe:

10 1Elektron

20 1,2 10 m .paπ −≤ ∆ ≤ = ⋅ ⋅

8 Temperaturabhängigkeit der intrinsischen Ladungsträgerdichte

bei Si, Ge und GaAs nach Gl. 4 (Fitwerte s. Anhang) Quelle: Mittelwerte verschiedener Lehrbücher

9 Absorption eines Photons − Thermalisierung − Emission eines

Photons im einfachen Bändermodell (Abszisse ohne Bedeutung



Die auftretenden Photonenimpulse liegen sehr dicht beim Nullbereich dieser Unschärfe.

Photon

Elektron

0.pp

∆≈

∆

Die Absorption optischer Photonen ändert den Elektronenimpuls praktisch nicht. Emission: Elektronen erreichen durch sog. Thermalisierung (Zustandsübergänge innerhalb der Bänder; punktiert in Abb. 9) die Bandkante des LB (Löcher erreichen die VB-Kante). Dabei wird Energie und Impuls an das Ionengitter abgegeben (Anregung von sog. Phononen). Beim Rekombinieren der Elektron-Loch-Paare wird die Energiebilanz durch Aussenden eines Photons der Energie

G C V' 'E E E Eω∆ = ≈ = − schließlich wieder hergestellt. Wie die Absorption ist auch die Emission eines Photons ein ∆k= 0-Prozess. 2.6 Wahrscheinlichkeit strahlender Übergänge: Direkte/indirekte Halbleiter Im thermischen Gleichgewicht sind die Entstehungs- und Rekombinationsraten (Abbau an Ladungsträ-gerdichte pro Sekunde) der Elektron-Loch-Paare gleich. Strahlung wird im Halbleiter sofort reabsorbiert. Durch Störung des Gleichgewichts kann die Rekombinationsrate erheblich vergrößert werden. Eine Möglichkeit ist die Injektion von Ladungsträgern. Dieser Prozess wird bei Lumineszenzdioden verwendet und soll hier detailliert beschrieben werden. Die Rekombinationsrate R ist zum einen proportional zur Dichte vorhandener Elektron-Lochpaare R ∝ p⋅n = ni2. Weitere Einflussgrößen auf die Rekombinationsrate, nämlich Details der Gitterstruktur bei gleicher intrinsischer Ladungsträgerdichte ni, kommen über eine Proportionalitätskonstante herein. Man definiert auf diese Weise einen materialabhängigen Rekombinationskoeffizienten B4: R = B ⋅n⋅p. Bei gleicher Ladungsträgerdichte hängt die Photonenausbeute von diesem Rekombinationskoeffizienten B, also dem Halbleitermaterial ab5. Die Tabelle zeigt Werte für die Si, Ge und GaAs: Der Rekombinations-koeffizient B ist bei GaAs vier Zehnerpotenzen größer als beim Ge! Machen Sie sich klar, dass damit eben auch eine Aussage über die Wahrscheinlichkeit von Band-Band-Übergängen gemacht wird. Es zeigt sich, dass Schwierigkeiten bei der Impulserhaltung bei optischen Übergängen diesen gewaltigen Unterschied erklären können. Der Einfluss der Impulse zeigt sich in der E = E(k)-Darstellung nach Abb. 10. Die Elektronenenergie ist dort als Funktion des Elektronenimpulses aufgetragen, wobei man statt des Impulses p üblicherweise die Wellenzahl k der deBrogliewelle p k= nimmt. Nach dem Modell des freien Elektronengases erwarten Sie für nichtrelativistische Energien Parabeln, wie in Abb. 10 dargestellt6. Die Löcherenergie nimmt auch in dieser Darstellung nach unten zu.

( ) ( )22

e e

.2 2

kpE km m

= =

(6)

4 vgl. /2/ 5 nach Y: P. Vashni, phys. sat. solidi 19, 459 (1967) 6 Eine Gleichung, die den Energie-Impulszusammenhang quantifiziert, E = E(k), wird als Dispersionsrelation bezeichnet. Die E(k)-Parabel für die Löcher ist in dieser Darstellung nach unten gekrümmt, das Energieminimum für die Löcher ist oben.

Material B (cm3/s) bei T ≈ 300 K Ge ≈ 5⋅10−14 Si ≈ 1⋅10−15 GaAs ≈ 7⋅10−10 Rekombinationskoeffizienten einiger Halbleitermaterialien



Weder Löcher noch Elektronen sind im Kristall jedoch wirklich frei. Die Potentiale der Ionenrümpfe stören das einfache Bild nach Abb. 10 vielfältig. Die oben durchgeführte Mittelwertbildung über die Bandstruktur lässt Details der Bandstruktur zu, wenn sie für jeweils unterschiedliche k-Werte durchgeführt wird. Man definiert so impulsabhängige effektive Massen me* = me*(k) bzw. mp* = mp*(k) und kann damit den realen Bandverlauf (s. Abb. 11) beschreiben:

( ) ( ) ( ) ( )= + = + = − = −

2 22 2

e G G p* * * *e e p p

; .2 2 2 2

k kp pE k E E E km m m m

Halbleiter, bei denen die Energieminima der Bandkanten EC(k) bzw. EV(k) der Löcher im VB und der Elektronen im LB zum selben k-Wert gehören, also sich mit ∆k = 0 energetisch „senkrecht“ gegenüberliegen, heißen direkte Halbleiter, die andern nennt man indirekte Halbleiter. Da das LB praktisch leer ist, steht bei der Absorption eines Photons mit hoher Wahrscheinlichkeit ein freier Zustand zur Verfügung, der das Elektron samt Impuls ke aufnehmen kann. Nur in umgekehrter Richtung, bei der Emission, wird es schwierig. Die Wahrscheinlichkeit, im VB einen freien Zustand zu finden, der zufälligerweise den gleichen Impuls hat und energetisch passt, ist gering. Strahlende Übergänge sind in direkten Halbleitern erheblich wahrscheinlicher als in indirekten.7 Betrachten Sie die Prozessfolge in dem hypothetischen direkten Halbleiter nach Abb. 10. Die Absorption des Photons ändert den Impuls ke also nicht. Das Elektron trägt den Impuls ke mit ins LB. Das Loch im Valenzband hat den Impuls kp. Der Impulserhaltungssatz erfordert kp = − ke (weißer Kreis mit Kreuz im VB). Bei der nachfolgenden Thermalisierung wandert das Elektron in das verfügbare Energieminimum des LB. Einhaltung des Impulssatzes ist problemlos, da die Gitterbausteine des Ionengitters als Stoßpartner den Elektronenimpuls ke aufnehmen. Bei Erreichen des Energieminimums hat das Elektron den Impuls k = 0. Da das VB-Maximum (Energieminimum für Löcher) ebenfalls bei k = 0 liegt, ist der Impulssatz bei der nun folgenden Photonemission (∆k = 0-Übergang in das VB) auch erfüllbar. Die Photonenemission erfordert also, etwas verallgemeinert, dass die Energieminima von LB und VB den gleichen Impulseigenwert haben. Dies ist allerdings in aller Regel bei realen Halbleitermaterialien nicht der Fall. Abb. 11 zeigt die recht stark verbogenen Leitungsbänder von Si, Ge und GaAs. Nur beim GaAs sind Band-Band-Übergänge mit ∆k = 0 möglich. GaAs ist in enger Umgebung des Minimums des LB noch annähernd ein „quadratischer“ Halbleiter nach Gl. 6, Si und Ge nicht.

7 Durch spezielle Maßnahmen im Rahmen des sog. Bandgap-Engeniering (Dotierungen, Gitterfehlstellungen) wurden jedoch inzwischen auch zahlreiche indirekte Halbleiter zum Leuchten gebracht.

11 Elektronische Übergänge: Indirekte Übergänge bei Ge und Si;

direkter und indirekter (0,36 eV darüber) bei GaAs.

10 Absorption eines Photons − Thermalisierung − Emission eines

Photons; in der E(k)-Darstellung (Abszisse: Impuls)



2.7 Spektrale Energieverteilung der Band-Band-Übergänge Die spektrale Verteilung emittierter Photonen wird auch als Linienform bezeichnet. Abb. 12/13 zeigt das Messeergebnis für eine rote LED. Die Intensität wurde auf Imax - Imin = 1 normiert. Die typische Asymmetrie der Linien begründet sich aus den unterschiedlichen Prozessen für große und kleine Photonenenergien EPh. Ein prinzipieller Einblick in die Zusammenhänge ist gar nicht so schwierig. Dazu betrachten Sie die Energieverteilung der Emissionsraten spontan strahlender Band-Band-Übergänge (/vgl. /8/). Bei strahlenden Übergängen werden Photonen der Energie EPh ± dEPh abgegeben. Die Übergangsrate rL→V(EPh) dEPh spontaner Strahlungsübergänge vom LB in das VB ist einerseits proportional zur Dichte freier Lochzustände im VB anderseits zur Dichte besetzter Elektronenzustände im LB. Sei En (bzw. Ep) die Energie der Elektronen (bzw. Löcher) im LB (bzw. VB), dann gilt (Löcherdichte: p = DV(Ep)⋅(1 − fp(Ep); Elektronendichte: n = DC(En)⋅fn(En)):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )L V Ph Ph C V Ph

Übergangswahrscxheinlichkeit besetzte Elektronenzustände im LB freie Lochzustände im VB

d (L V) 1 d .n n n p p pr E E P D E f E D E f E E→

= → ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅

(7)

Bei großen Photonenenergien EPh > EG sind Details des Übergangs (Impulserhaltung, Bandkantenverlauf, ...) von untergeordneter Bedeutung und die Zustandsdichten D(E) hängen nur schwach von der Energie ab. Die wesentliche Energieabhängigkeit liefern die Fermiverteilungen der Besetzungswahrscheinlichkei-ten. Liegt das Fermi-Niveau EF in der Bandlücke, gilt: En − EF » kBT und EF − Ep » kBT. Mit EPh = (En - EC) - (Ep + EV)> EG vereinfacht sich das Produkt der Exponentialfunktionen:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )( )

11

B B

1 1

B B

B Ph G B

1 exp / 1 1 exp / 1

exp / 1 1 exp /

exp / exp / .

n n p p n F p F

n F p F

n p

f E f E E E k T E E k T

E E k T E E k T

E E k T E E k T

−− ⋅ − = − + ⋅ − − +

≈ − − ⋅ − − −

= − − = − −

Setzen Sie diese Verteilungen in die Gl.7 für rL→V ein, erhalten Sie eine übersichtliche Näherungslösung:

( ) ( ) ( )( )

( )( )L V

Ph

C V Ph G B PH) exp / d .n p

R E

r P L B D E D E E E k T E→

= → ⋅ − −

(8)

12 Linie einer roten LED; Fitparameter für den hochenergetischen

Zweig: EG ≈ 1,92 eV und T = 363 K; Imin = 0,07; gestrichelt: Gaussfit

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1,85 1,90 1,95 2,00 2,05 2,10

rel.

Inte

nsitä

t

Photonenenergie in eV

≈ 1.95 eV

FWHM∆E ≈ 0,056 eV

13 Die gleiche Spektralverteilung wie in Abb. 12 Abszisse in dieser

Darstellung: die Wellenlängen; Fit wie in Abb. 12

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

610 615 620 625 630 635 640 645 650 655

rel.

Inte

nsitä

t

Wellenlänge (nm)

FWHM∆λ = 18,1 nm

λmax = 636 nm



Für große Photonenenergien wurde Gl. 8 mit R(EPh) = const. an die Messungen angepasst, um Bandlücke und Halbleitertemperatur zu bestimmen (Abb.12/13, schwarze Linie). Der Fit gelang sehr gut mit Emax = 1,95 eV und T = 362,7 K. Beachten Sie, dass in Wirklichkeit Emax > EG ist, da die Näherung R(EPh) = const. den Fit etwas zu höheren Energien verschiebt. Die Lage des Maximums gibt jedoch in jedem Fall einen brauchbaren Wert für die Energielücke des verwendeten Materials. Je nach Energieab-hängigkeit des Faktors R(EPh) variiert dieser Wert etwas: Man findet (vgl. /7/ und /8/) Emax − kBT < EG < Emax − kBT/2, hier also 1,92 eV < EG < 1,93 eV. Durch den Einfluss zahlreicher Strukturdetails (z. B. Impulsabhängigkeit der Bänderkanten, durch die Abweichung der Dispersionsrelation von der quadratischen Lösung Gl. 6, vor allem auch durch Übergänge über Zwischenzustände in der Energie-Lücke) „verschmiert“ die Linie für kleine Photonen-energien. Im Ergebnis gibt es keine scharfe Linienkante bei EPh = EG< Emax, die Spektralverteilungen ähneln vielmehr stark gaussschen Glockenkurven. Die gestrichelte Linie in Abb. 12/13 demonstriert einen Gaussfit mit der Linienmitte Emax = 1,95 eV und der σ-Breite σ = 0,023 eV/HWHM = 0,028 eV. Abb. 13 zeigt die spektrale Verteilung in der häufigeren Darstellung der Intensität als Funktion der Wellenlänge λ. Für die Rechnung wurden in Gl. 8 folgende Parameter eingesetzt:

EG = 1,92 eV; T = 362,7 K und damit λmax = h⋅c/EPh = 636,4 nm.

Auswahl geeigneter Materialen Typische Halbleitermaterialien der IV. Gruppe des Periodensystems (Si, Ge, C) sind indirekte Halbleiter. Da bei diesen Halbleitern strahlungslose Übergänge die optischen weit überwiegen, sind diese sog. IV-Halbleiter nicht als LED-Materialien geeignet. Man verwendet binäre Mischkristalle, die aus jeweils einem Element der III. Gruppe (Ga, Al, In) und der V. Gruppe (As, P, Sb) gezogen werden, sog. III/V-Kristalle8. Abb. 14 zeigt eine Zusammenstellung der Merkmale dieser Kristalle. Die Linien zwischen den Punkten weisen auf Eigenschaften weiterer, so genannter ternärer Mischkristalle hin (diese Verbindungshalbleiter bestehend aus drei Elementen). Je nach Zusammensetzung ändert sich die Bandlücke bei konstantem Gitterparame-ter (schraffiertes Gebiet in Abb. 14). Je nach x-Wert in der Verbindung Ga1-xAlxAs erhält man EG = 1,43 eV/λ = 868 nm (GaAs; x = 1) bis EG = 1,92 eV/λ = 646 nm (Ga0,64Al0,36As; x = 0,36). Der rote Punkt zeichnet den Materialenbereich für rote CD-Laser und Laserpointer aus.

8 Tatsächlich findet man in der Literatur inzwischen auch II/VI-Halbleiter.

14 III/V-Halbleiter; nach rechts ist die Energielücke EG in eV

aufgetragen; Der rote Punkt gehört zu der Laser-Pointer-LED mit dem quaternären Material AlGaInP mit EG = 1,9 eV und λ = 644 nm, schraffiert ist das Gebiet der sog. ternären Mischkristalle Quelle: Gowar, Optical Communication Systems.



3 Ladungsträgerbewegung in dotierten Halbleitern: Shockley-Theorie

3.1 Dotieren Durch Dotieren, ein dosiertes Einbringen von Fremdatomen, lässt sich die Leitfähigkeit des Halbleiters ziemlich willkürlich beeinflussen.

Bei der n-Dotierung bringt man Fremdatome mit schwach gebundenen zusätzlichen Elektronen ein (Dichte der Donatoratome sei Nn). Diese Elektronen besetzen also ein Donatorniveau mit einer Energie Ed knapp unter dem Leitungsband und können bereits mit einer geringen Energie EC − Ed ≈ 0,01 eV 116 K in das LB befördert werden, wo sie als Leitungs-elektronen beweglich sind (Abb. 15). Bei der p-Dotierung bringt man Atome mit einer zusätzlichen freien Elektronenbindung ein (Dichte der Akzeptoratome ist Np) und liefert sog. Akzeptorniveaus, die bereits mit geringer Energie Ea ≈ 0,01eV von Elektronen aus dem VB besetzt werden und somit bewegliche Löcher im VB zurücklassen. 3.2 Einfluss der Temperatur: Leitung in dotierten Halbleitern Im dotierten Halbleiter unterscheidet man Majoritätsladungsträger (n(n), Elektronen im (n)-Halbleiter; p(p), Löcher im (p)-Halbleiter) und Minoritätsladungsträger (p(n), Löcher im (n)-Halbleiter und n(p), Elektronen im (p)-Halbleiter). Diese haben ein unterschiedliches Temperaturverhalten9 (Abb. 16): • Freeze-out-Bereich: Bei Temperaturen

kBT< EC − Ed werden mit zunehmender Temperatur immer mehr Donatoratome ionisiert, die Elektronendichte n(n) nimmt zu, bis ab ca. 200 K alle Donatoratome ionisiert sind: n(n) = Nn.

• Extrinsischer Bereich: Bei mittleren Temperaturen EC − Ed < kBT < EC − EV

bleibt zunächst n(n) ≈ Nn = const. • Intrinsischer Bereich: Wenn kBT > EC − EV,

werden Elektronen aus dem VB direkt in das LB angeregt und es entstehen intrinsi-sche Elektron-Loch-Paare (punktierte Linie nach Gl. 4 ni ∝ exp(−EG/(2kBT)).

Halbleiterbausteine für die hier vorgestellten Anwendungsbereiche werden meist extrinsisch betrieben10.

9 Hier als Beispiel für den (n)-Halbleiter beschrieben 10 Für tiefer gehende Erklärungen sei auf das Standardwerk von Ch. Kittel (vgl. /6/) verwiesen.

15 Dotierte Halbleiter; rechts n-dotiert, links p-dotiert

16 Temperaturabhängige Ladungsträgerdichte im dotierten

Halbleiter , punktiert ist die exponentielle Zunahme der Eigenleiterdichte ni mit der Temperatur gezeigt



Eine Analyse der Leitungsvorgänge im Halbleiter beruht auf der Analyse von Ladungsträgerkonzentratio-nen (n, p), ihrer Temperaturabhängigkeit und ihrer Verschiebung durch Diffusionsprozesse infolge der Konzentrationsgefälle (dn/dx; dp/dx). Gegen die Verwirrung bei der „Ladungsträgerarithmetik“ soll zunächst eine Liste der verwendeten Bezeichnungen helfen: p0(p) Löcherdichte im p-Halbl. im thermischen Gleichgewicht (Majoritätsladungsträger; MAT) n0(n) Elektronendichte im n-Halbl. im thermischen Gleichgewicht (MAT) p0(n) Löcherdichte im n-Halbl. im thermischen Gleichgewicht (Minoritätsladungsträger; MIT) n0(p) Elektronendichte im p-Halbl. im thermischen Gleichgewicht (MIT) p(n) Löcherdichte im n-Halbleiter außerhalb des Gleichgewichts (es fehlt die „0“ im Index) n(p) Elektronendichte im p-Halbleiter außerhalb des Gleichgewichts (es fehlt die „0“ im Index) Np Dichte der Akzeptoratome Nn Dichte der Donatoratome NC Effektive Zustandsdichte im Leitungsband (Entartungsgrad) NV Effektive Zustandsdichte im Valenzband (Entartungsgrad) Durch Dotieren verschieben sich die Ladungsträgerdichten. (1) Im extrinsischen Temperaturbereich sind alle Donatoratome ionisiert und die Majoritätsträgerdich-

ten nehmen große Werte an: n0(n) ≈ Nn und p0(p) ≈ Np. Die Fermi-Energie EF verschiebt sich in der Folge jeweils in die Nähe der Dotierungsniveaus (Verringerung von EC − EF bzw. EF − EV; vgl. Abb. 17). Aus Gl. 5 wird:

n-Seite: ( ) ( )C Fn 0 C

B

nn exp

E EN n N

k T−

≈ = −

; p-Seite: ( ) ( )F Vp 0 V

B

pp exp

E EN p N

k T−

≈ = −

.

(2) Die Relation p0⋅n0 = ni2 gilt für die Konzentrationen im thermischen Gleichgewicht − auch beim dotierten Halbleiter:

n-Halbleiter: ( )( )

2 2

0 n 00 n

n ; (n)n

i in nn N p

n N= = = ; p-Halbleiter: ( )

( )2 2

0 p 00 p

p ; ( )p

i in np N n p

p N= = = .

3.3 Diffusionsströme durch den pn-Kontakt im thermischen Gleichgewicht Bringt man den (n)- und den (p)-Halbleiter zusammen, erhält man das elektronische Jahrhundertbauteil: die pn-Diode:

Aufgrund ihrer jeweils größeren Anzahldich-te diffundieren die Majoritätsträger auf die jeweilige Minoritätsseite: Elektronen in den (p)-Halbleiter, Stromdichte jdiff(n) und entsprechend Löcher in den (n)-Halbleiter, Stromdichte jdiff(p)11. Dadurch gerät das Grenzgebiet (WD im Bild rechts) aus dem Ladungsgleichgewicht und es entsteht ein lokales E-Feld von (n) nach (p). In der Folge bilden sich zusätzlich Driftströme aus, den Diffusionsströmen entgegen, jE(n) und jE(p). Im thermischen Gleichgewicht kompensieren sich Diffusionsstrom und Driftstrom gerade:

jdiff(n) + jE(n) = jdiff(p) + jE(p) = 0.

11 Um die Formulierung zu vereinfachen, wird hier immer mal wieder nur eine Seite des Kontaktes dargestellt. Die Argumente für die jeweils andere Seite sind dann völlig analog (symmetrischer pn-Kontakt).

17 pn-Übergang; oben: im thermischen Gleichgewicht, unten: externe Spannung U in Flusspolung; Ordinate ist die Energie, Abszisse eine Ortskoordinate; rot ist die Bandlücke



Die Größe der Diffusionsspannung UD Die Energiedarstellung macht diesen Zustand durch einen Bänderknick erkennbar. Durch das lokale E-Feld baut sich eine elektrische Spannung UD auf, diese führt zu einem Potentialgefälle e⋅UD. Die Bandkante des (p)-Halbleiters hebt sich um ∆E = e⋅UD gegenüber der Bandkante des (n)-Halbleiters. Während im reinen Halbleiter die Minoritäts- und Majoritätsträgerdichten gleich sind, n0(p) = n0(n) bzw. p0(n) = p0(p), sinkt die Elektronendichte n0(p) im energetisch angehobenen p-Halbleiter12 ab (entsprechend die Löcherdichte im n-Halbleiter). Im thermischen Gleichgewicht (konstante Fermi-Energie im Kristall; vgl. Abb. 17) sinken die jeweiligen Minoritätsträgerdichten bis:

( ) ( ) ( )0 0 D Bp n exp /n n eU k T= ⋅ − und ( ) ( ) ( )0 0 D Bn p exp /p p eU k T= ⋅ − daraus folgt (10)

( )( )

( )( )

( ) ( ) = ⋅ = ⋅ = ⋅ ≈ ⋅

n p0 0 00B B B BD 2 2

0 0 i i

p n pnln ln ln ln .

p nN Np n pnk T k T k T k TU

e n e p e n e n (11)

(1) Ohne Dotierung ist n0(n) = n0(p) bzw. p0(p) = p0(n) und die Spannung Null. (2) Setzen Sie in Gl. 11 die Beziehung für ni2 aus Gl. 4 ein, finden Sie e⋅UD ≈ EG − ExkBT. Mit für

T → 0 nähert sich das Diffusionspotential e⋅UD der Bandlücke: e⋅UD → EG. 3.4 Der pn-Kontakt mit äußerer Spannung Durch eine zusätzliche externe Spannung (vgl. Abb. 17 unten) lässt sich die (n)-(p)-Energiestufe vergrößern: sog. Sperrpolung, (−) an (p) oder verringern: sog. Flusspolung, (+) an (p). Bei der Flusspolung werden aus der externen Ladungsquelle Ladungsträger in den pn-Kontakt injiziert und erzeugen im pn-Kontakt ein ständiges Ungleichgewicht. Eine mit dem Wert der äußeren Spannung U stark anwachsende Stromstärke wird dadurch kontinuierlich erhalten (Abb. 18). In der anderen Polungsrichtung sperrt der pn-Kontakt.

Um den theoretischen Kennlinienverlauf nachzubilden, berechnet man die Ströme durch die Randzone des Raumladungsbereiches des pn-Kontakts. Ohne grundlegende Einsichten zu gefährden, wählt man einige vereinfachende Annahmen13: (1) Der pn-Wechsel erfolgt abrupt, spezielle Strukturen der Raumladungszone werden ignoriert. (2) Boltzmann-Näherung: Die Fermi-Energie liegt in der Bandlücke weit unterhalb der Bandkante EC:

( ) ( )( )( ) ( )( )1

B Bexp / 1 exp / .F Ff E E E k T E E k T−

= − + ≈ − −

(3) Geringe Ladungsträgerinjektion, die Majoritätsladungsträgerdichten ändern sich durch die äußere Spannung nicht: Nur wenig Löcher diffundieren von (p) nach (n) und nur wenig Elektronen diffundieren von (n) nach (p): n0(n) ≈ Nn » p(n): p0(p) ≈ Np » n(p)

(4) Es findet praktisch keine Rekombination in der Raumladungszone WD statt. (5) Die Donatordichten sind sehr groß gegenüber den Eigenleitungsdichten: Nn » ni und Np » ni.

12 Da sich alles im LB abspielt, wurde hier der Energienullpunkt auf E = EC(n) gelegt. 13 Nach William Bradford Shockley (Nobelpreis 1956 für die Arbeiten zu Halbleitern); die Grenzen dieser Näherungen werden zum Schluss des Skripts benannt. Wer mehr wissen möchte, recherchiere unter „Lösung der Poisson-Gleichung für den pn-Übergang“

18 Diodenkennlinien in Flusspolung ; T = 295 K;

a) Ge (EG ≈ 0,7 eV) b) Si (EG ≈ 1,1 eV) c) GaAs (EG ≈ 1,4 eV) d) GaAsP (EG ≈ 2 eV) e) GaInN (EG ≈ 2,9 eV) Quelle: Lit. /7/



Anlegen einer externen Spannung - Diffusion und Drift Eine externe Spannung U bringt den pn-Kontakt aus dem Gleichgewicht. Da nach der Näherung (3) die Majoritätsträgerdichten ihren Gleichgewichtswert beibehalten (n(n) ≈ n0(n) ≈ Nn; p(p) ≈ p0(p) ≈ Np), ändern sich die Minoritätsträgerdichten und Gl. 10 stimmt nicht mehr:

( ) ( ) ( )( )D Bp n exp /n n e U U k T= ⋅ − − und ( ) ( ) ( )( )D Bn p exp /p p e U U k T= ⋅ − − . (12)

Nun können die Stromdichten für die Diffusion und die Drift berechnet werden. Diffusion: Zur Beschreibung von Diffusionsströmen im Halbleiter eignen sich folgende Größen: • Die Stromdichte j (Einheit A/m2) ergibt sich direkt aus der Diffusionsgeschwindigkeit vdiff, der

Teilchendichte n und der Teilchenladung q durch j = n q vdiff. • Die Diffusionsgeschwindigkeit (Einheit m/s) hängt nach dem Fick’schen Gesetz vom Konzentrations-

gefälle ab: n vdiff = -D⋅grad(n). • Die Diffusionskoeffizient D (Einheit m2/s; leider dasselbe Symbol wie die Zustandsdichte), verbindet

die Teilchenstromdichte und das Konzentrationsgefälle im Fick’schen Gesetz (s. o.). • Die mittlere Lebensdauer zwischen Paarerzeugung und Rekombination τ (Einheit s) definiert die

Diffusionslänge L (Einheit m) L durch L = τ⋅vdiff. • Die Beweglichkeit µ (Einheit Cb⋅s/kg) zeigt die mikroskopische Perspektive der Diffusion;

elektrische Ladung, mittlere kinetische Energie und Beweglichkeit der Mikrowelt beeinflussen die Diffusion:

Bk TDe

µ= (Einstein-Smoluchowski-Beziehung.

• Im Random-Walk-Modell findet man eine Beziehung zwischen der Beweglichkeit und der Diffusionslänge:

Bk TL De

τ µ τ= ⋅ = ⋅ .

Der Rand der Raumladungszone (RLZ) ist feldfrei. Ströme durch diesen Randbereich sind damit Diffusionsströme aufgrund eines Konzentrationsgefälles dn/dx. Ohne Grundeinsichten zu verschütten, wird hier für kleine Entfernungen dx von der RLZ eine lineare Näherung gewählt: Entlang der Diffusionslänge L ist der Gradient konstant, dn/dx = ∆n/L. Der Teilchendichteunterschied ∆n lässt sich so abschätzen: Mit zunehmender Entfernung x vom Rand der RLZ nähert sich die Minoritätsträgerkon-zentration nx(p) (durch Rekombination) dem Gleichgewichtswert n0(p) an. Es ist also ∆n = nx - n0. Jeweils für Löcher und Elektronen erhalten Sie so: dn/dx ≈ [nx(p) – n0(p)]/Ln bzw. dp/dx ≈ [px(n) – p0(n)]/Lp.



Die Werte der Diffusionslängen Ln bzw. Lp hängen stark von der Rekombinationsrate, von der Dotierung und der Reinheit des Kristalls ab und liegen typisch zwischen einigen µm bis mm. Unter diesen Voraussetzungen berechnen Sie die Stromdichten für Elektronen und Löcher, j(n) und j(p) und daraus die Gesamtstromdichte j = j(n) + j(p) aus den jeweiligen Beiträgen für Elektronen und Löcher

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0

0

p pd p dd d

n nd n dd d

n n nn

p p pp

n nn nj n qD eD eDx x L

p pp pj p qD eD eDx x L

− = − = ≈

− = − = ≈

Hier wird die Spannungsabhängigkeit der Minoritätsdichten nach Gl. 12 einesetzt:

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

D B

0D B 0

00 D B

0

exp /

0 B

0 B

p pn exp / p

np exp / 1

p

p exp / 1 bzw. für den Löcherstrom auf der der n-Seite

n exp / 1

nn

n n

n

n

eU k T

n

n

p

p

n n Dj n eD e n e U U k T n

L L

nDe n e U U k T

L n

Dj n n e eU k T

LD

j p p e eU k TL

=

− ≈ ≈ ⋅ − − −

≈ ⋅ − − −

= ⋅ ⋅ −

= ⋅ ⋅ − .

Damit kommt schließlich die Shockley-Formel heraus:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )00S B S

npexp / 1 ; .pn

n p

ep Den Dj j n j p j eU k T j

L L⋅⋅

= + = ⋅ − = + (13)

Die Sättigungssperrstromstärke jS hängt zwar nicht mehr von der externen Spannung U, aber exponentiell von der Temperatur ab. Um das einzusehen betrachten Sie die Größen in Gl.. 13. Die Temperaturanhän-gigkeit der Diffusionsgrößen Dn und Dp bzw Ln und Lp bedarf einer speziellen Untersuchung, die hier nicht geleistet werden soll. Es zeigt, jedoch, dass sie nur schwach ist (vgl. /2/). Entscheidend für den Einfluss der Temperatur ist exponentielle Abhängigkeit der intrinsischen Ladunsträgerdichte ni2 µ exp(-EG/kBT). Mit der üblichen Arithmetik der Ladungsträgerdichten n0(p) = ni2/p0(p) ≈ ni2/Np und p0(n) = ni2/n0(n) ≈ ni2/Nn erhalten Sie schließlich und zum Abschluss eine Beziehung, die die wesentlichen Abhängigkeiten von Temperatur und externer Spannung offenbart:

( ) ( ) ( )( ) ( )

S0

S B

00 2S

2 G0

B 0

exp / 1

np

1 1exp .

p pn ni

n p p n n p

pni

p n n p

j

j j n j p j eU k T

p D Dn D Dj e e n

L L N L N L

DD Ee n

N L N L k T T

= + = ⋅ − ⋅⋅

= + = − +

= − + ⋅ − −

(14)



3.5 Zusammenfassung der Ergebnisse bis zur Shockley-Formel Energiebänder Energiebänder stehen als erlaubte Energieeigenwerte bei Kristallen zur Verfügung. Zwischen diesen Bändern liegen verbotene Zonen. Die Bänder entstehen, weil bei der Kristallbildung die diskreten atomaren Niveaus vielfach aufspalten und sich verschieben. Das letzte besetzte Band (Valenzband) ist bei Halbleitern vollständig mit Elektronen gefüllt (Edelgaskonfiguration durch kovalente Bindung im Kristall), das nächstfolgende erlaubte Band ist leer. Halbleiter haben bei T = 0 K keine freien Ladungsträger ihre Leitfähigkeit σ ist null. Werden Elektronen ins Leitungsband angeregt, wird der Halbleiter vom Isolator zum Leiter. Ladungsträgerarithmetik Beim dotierten Halbleiter ist die Konzentration (= Dichte) der Majoritätsträger durch die Dichte der Dotieratome gegeben n(n) = Nn bzw. p(p) = Np; für die Dichte der Minoritätsträger gilt n(n)⋅p(n) = n(p)⋅p(p) = ni2:

Dotierung Majoritätsträger Minoritätsträger p-Halbleiter p(p) = Np n(p) = ni2/Np n-Halbleiter n(n) = Nn p(n) = ni2/Nn

Die Besetzungswahrscheinlichkeit von Zuständen wird durch Verteilungen gegeben

Verteilung Majoritätsträger

Maxwell-Boltzmann ( ) ( )( )= − −MB Bexp /Ff E E E k T

Fermi-Dirac ( ) ( )( )( )−= − +

1

FD Bexp / 1Ff E E E k T

Der Unterschied berücksichtigt das Pauli-Verbot bei Fermi-Teilchen. Ist die Elektronendichte sehr viel geringer als die Zustandsdichte, verschwindet dieser Unterschied. pn-Übergang Im pn-Kontakt bildet sich ein Fließgleichgewicht zwischen der konzentrationsbedingten Diffusion und der potentialbedingten Drift von Ladungsträger aus. Dabei entsteht im thermischen Gleichgewicht eine ladungsträgerverarmte Zone und über diese hinweg eine Potentialdifferenz UD aus.

( )( )

( )( )

( ) ( ) = ⋅ = ⋅ = ⋅ ≈ ⋅

n p0 0 00B B B BD 2 2

0 0 i i

p n pnln ln ln ln .

p nN Np n pnk T k T k T k TU

e n e p e n e n

Nicht vorgerechnet, aber zur Vollständigkeit hier sei erwähnt: Die Breite WD der Raumladungszone des abrupten pn-Übergangs können Sie berechnen:

D Dp n

2 1 1ε = +

W U

e N N.

Für Silizium mit ε = 11,8, bei T = T0 = 300 K; UD = 0,73 V und Dotierungswerten Nn = 2⋅1016 cm-3 und Np = 1⋅1016 cm-3 ergibt sich WD = 3,8 µm.



Shockley-Formel für die Gleichrichterdiode Durch einen pn-Halbleiter-Übergang fließen bei externer Spannung U Ladungsträger. Die Stromstärke hängt dabei stark vom Halbleitermaterial (chemisches Element, Dotierung, Geometrie) und exponentiell von einer extern angelegten Spannung U und der Temperatur T ab. Eine brauchbare Näherung für die Stromstärke (Stromdichte j) im Halbleiter liefert die Shockley-Formel:

( )= ⋅ − S Bexp / 1j j eU k T darin ist js die Sperrstromstärke 2S

p n

pni

n p

DDj e n

N L N L

= − +

und ni die

intrinsische Ladungsträgerdichte

= ⋅ ⋅ − = − −

3

2 2G GBi C V 0

B B 0 B 0

1 1exp exp .i

E Ek Tn N N nk T k T k T T

Stromdichten sind nicht direkt messbar aber die Stromstärken, in die der Strömungsquerschnitt A eingeht (I = |A⋅j|). Gl. 14 wird daher auf eine Form gebracht, die die Diskussion der Einflussgrößen vereinfacht. Eine handliche Größe für die Diskussion ist dabei die sog. Thermospannung Uth = kBT/e: • Diffusionsspannung UD, typische Werte liegen im Volt-Bereich; • Externe Spannung U; typische Werte −10 V < U < 1 V; • Bandlücke UG = EG/e; typische Werte liegen im Volt-Bereich (vgl. Anhang); • Thermospannung Uth = kBT/e; bei Zimmertemperatur T0 = 300 K ist Uth0 = 25,8 mV.

( ) ( ) ( )S S0

S

S B S0 G thth th0

1 1exp / 1 exp exp / 1 .

I I

I

I A j eU k T Aj T U U UU U

= ⋅ ⋅ − = − − ⋅ −

(15)

(1) jS0 hängt schwächer als exponentiell von der Temperatur ab − wie genau, das wird von der Bauart der Diode bestimmt. (2) Die exponentielle Temperaturabhängigkeit IS =IS0 exp(−UG⋅(1/Uth - 1/ Uth0)) beschreibt die thermische Anregungswahrscheinlichkeit von Elektron-Lochpaaren über die Bandlücke hinweg: Sperrströme sind Minoritätsträgerströme, also ohne „Hilfe von der anderen Halbleiterseite“. IS0 wird auch als Sättigungsstromstärke bezeichnet. (3) Der Exponentialfaktor [exp(U/Uth) − 1] beschreibt die Erhöhung der Dichten von Minoritätsladungs-trägern durch den Diffusionsstrom durch den pn-Kontakt (Verbiegung der Bandkanten). Das elektronische Bauteil mit einem pn-Übergang wird als Halbleiter-Diode bezeichnet. Man unterscheidet, je nach Polung der externen Spannung Sperrrichtung der HL-Diode (U < 0) und Flussrichtung (U > 0). Die Sperrstromstärke hängt für |U| » Uth nicht von der externen Spannung ab. In Flussrichtung gepolt, nimmt die Stromstärke exponentiell mit U zu. Die Kennlinienform ist für alle Halbleiterdioden gleich. Abb. 19 zeigt die nach Gl. 15 berechneten Diodenkennlinien. In jedem der Fälle finden Sie eine Exponentialfunktion ohne Schwellenwert. Der Faktor exp(−UG/Uth) führt zu einer Verschiebung der Kennlinien parallel zur Abszisse, die Form bleibt jedoch gleich.

19 Diodenkennlinien nach Gl. 15



3.6 Die reale Halbleiter-Diode Um Ihnen ein Gespür für die Größenordnungen zu ermöglichen, finden Sie hier einige typische Werte für die Sättigungsstromstärke bei T0 = 300 K; Ln= 0,1 mm; Lp = 0,01 mm; Nn = 10⋅Np= 1015 cm-3 Si Ge GaAs Beweglichkeit Elektronen µn [cm2 V-1s-1] 1.350 3.900 8.000 Beweglichkeit Löcher µp [cm2 V-1s-1] 480 1.800 300 Dn = µn⋅kBT/e [cm2 s-1] 35 101 207 Dp = µp⋅kBT/e [cm2 s-1] 12,4 46,6 7,8 intrinsische Dichte ni [cm−3] 1,5⋅1010 2,4⋅1013 1,8⋅106 jn0 [A/cm2] 1,26⋅10−9 9,30⋅10−3 1,07⋅10−16 jp0 [A/cm2] 4,47⋅10−10 4,29⋅10−3 4,02⋅10−18 jS0[A/cm2] 1,70⋅10-9 1,36⋅10-3 1,11⋅10-16 (1) Durchbruch: Die Sperrschicht wird für große Sperrspannungen plötzlich leitfähig, es kommt zum so genannten Durchbruch. Dafür sind im Prinzip zwei unterschiedliche Effekte verantwortlich, der Lawineneffekt und der Zenereffekt. Ohne besondere Schutzmaßnahmen kann der Durchbruch zur thermischen Zerstörung des pn-Übergangs führen. • Ist die Sperrschicht ausreichend breit und die Sperrspannung ausreichend groß, erhalten die

Elektronen dort einen Impuls, der u. U. ausreicht, um durch Stoß ein weiteres Elektron aus dem Gitterverband herauszulösen. So können durch Stoßionisation lawinenartig Minoritätsladungsträger erzeugt werden. Da die Sperrschichtweite mit der Temperatur abnimmt, nimmt die Durchbruch-spannung mit der Temperatur zu.

• Bei sehr hoher Dotierung und sehr geringer Sperrschichtweite, kommt es nicht zur Ausbildung einer Lawine. Allerdings ist die Barriere durch die Bandlücke bei starker Verbiegung der Bänder im äußeren Feld u. U. so schmal, dass Elektronen aus dem VB in das LB tunneln können (innere Feldemission).

• Beim thermischen Durchbruch führt ein großer Sperrstrom bei gleichzeitig großer Sperrspannung zu einer großen Verlustleistung: Die Diode brennt durch.

(2) Kapazität: Die Sperrschicht erinnert an einen kleinen Kondensator. Tatsächlich hat die Sperrschicht eine Kapazität CS, die das Hochfrequenzverhalten von Halbleiterdioden bestimmt. Da die Größe der Sperrschicht durch eine externe Spannung gesteuert werden kann, erhält man mit Halbleiterdioden spannungsge-steuerte Kapazitäten. Abb. 20 zeigt das Ersatzschaltbild realer Dioden. (3) Rekombination: Bei kleinen Spannungen sind reale Stromstärken größer, da Ströme durch Rekombinationsvorgänge in der Raumladungszo-ne messbar werden. (4) Majoritätsträgerströme: Bei großen Spannungen sind die Majoritätsträgerdichten nicht mehr unabhängig von der externen Spannung U. Die Niedriginjektionsnäherung gilt nicht mehr. Diesen Effekt, wie auch den unter Ziffer 3 kann man in Grenzen phänomenologisch dadurch beheben, dass man einen sog. Diodenfaktor einführt, der die Thermospannung erhöht: Uth → a⋅Uth; 1 < a < 3:

20 Ersatzschaltbild realer Dioden

U

RB⋅I



= ⋅ − → ⋅ − th th

exp 1 exp 1 .aS S

U UI I IU U

Der Faktor a wird auf manchen Datenblättern ausgewiesen. Die Ziffern (1) bis (4) machen deutlich, dass im Rahmen des hier vorgestellten Modells zahlreiche

Details der Ladungsträgerbewegung unberücksichtigt bleiben: Ladungsträgerbeweglichkeit, Streuung von Elektronen an Gitterschwingungen (Phononenstreuung), unterschiedliche Rekombinationsmechanismen führen zu einer komplexen Situation, die hier nicht weiter analysiert werden soll. Eine sehr gute Näherung lässt sich in der Regel mit einer Taylorentwicklung in Gl. 14/15 und ci = 0 für i > 3 erreichen:

( ) ( ) = ⋅ + + +

2 3

S0 S0 0 0 1 2 30 0 0

...T T TI T I T c c c cT T T

; c0 = 1 – c1 – c2 – c3 - ...

(5) Bahnwiderstand: Bei großen Stromstärken I wird der Bahnwiderstand RB der Diode spürbar (Abb. 21). RB kann als einfache ohmsche Komponente der verwendeten Materialien angesehen werden. Dieser Effekt hat deutliche Auswirkungen auf die Form der Kennlinien. Sie schmiegen sich für große Stromstärken an Geraden der Steigung I = U/RB an. Um das zu verstehen, lösen Sie Gl. 15 nach der Spannung U über der Diode auf und ergänzen den Term um den Spannungsabfall an RB:

+= + = ⋅ + → ⋅ +

* S

B th B th BS S

a ln a ln .I I IU U R I U R I U R I

I I

Die Steigung der Kennlinie U = U(I), der differentielle Widerstand r, nähert sich immer mehr RB an:

= = ⋅ + →*

th B Bd 1

a .dUr U R I RI I

Die Steigung der Kennlinie wird für große Stromstärken I also konstant. Abb. 21 zeigt diese Verformung (rote Kennlinie). Aus der Kennliniensteigung für große Stromstärken (≈ 1/RB) können Sie jeweils für konstante Stromstärken I die idealisierte Kennlinienform bestimmen:

= −*BU U R I .

Diese Eigenschaft realer Dioden verschafft Ihnen auch eine lineare Kennliniennäherung14. Für einen von Ihnen gewählten Arbeitspunkt, (UA*|IA) bestimmen Sie eine sog. Schwellenspannung USch

= ⋅ ⋅ =

A

Sch tha ln 0,821 VS

IU UI

.

Die Gerade mit der Steigung 1/RB durch den Punkt (0|USch) stellt eine für manche Zwecke brauchbare Näherung der I-U-Kennlinie dar (gestrichelt rot in Abb. 21). Die Werte für Abb. 21 entstammen dem Datenblatt der Diode 1N4148 (Diodenfaktor a = 2,13, Arbeitspunkt (853 mV|77 mA); Sperrstromstärke IS = 24 nA).

14 Andere Verfahren verwenden als Geradensteigung die Steigung der Tangente im Arbeitspunkt

21 Reale Kennlinie: Wirkung des Bahnwiderstandes RB

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4

Spannung (V)

Dio

dens

trom

(A)



3.7 Messungen an Dioden In Abb. 22 sehen Sie die Stromstärken durch eine Si-Diode in Flussrichtung (links) und Sperrrichtung (rechts). Beachten Sie die unterschiedlichen Skalierungen der Abszissen. Die Sperrstromstärke rechts ist nach oben aufgetragen und die Spannung in Flusspolung im linken Teilbild sind sehr klein. Auf diese Messung wird nun Gl. 15 angewendet. Sperrichtung (U < 0; |U| » Uth):

GS0

th th0

1 1exp .

aU

I IU U

= ⋅ − − (16)

Die Auswertung des Kennlinienfeldes für die Sperrrichtung liefert z. B. für eine Messung des Sperrstroms als Funktion der Temperatur eine Darstellung wie in Abb. 23 gezeigt (Ordinate logarithmisch skaliert). Deutlich ist den Messwerten der Einfluss der Sperrspannung anzusehen, der in der Theorie dieses Skripts nicht analysiert wird. Flussrichtung (U > Uth): Das Kennlinienfeld in Flussrichtung wertet man gut aus, indem die Spannungen für konstante Stromstärken und unterschiedliche Temperaturen betrachtet werden (Abb. 22 links). Die durchgezogenen Linien in Abb. 24 zeigen eine Simulation mit der folgen Gleichung:

GS0

th th0

1 1exp exp 1 .

a a th

U UI IU U U

= ⋅ − − ⋅ −

Bandlücke UG, Sperrstromstärke IS0 und Diodenfaktor a sind aus der Analyse der Sperrstromstärke übernommen.

24 Simulation der Flusskennlinien nach Gl. 17; Messwerte aus

Abb. 22; Scharparameter Thermospannung: von oben 0,026 V; 0,030 V und 0,034 V Fitparameter: UG = 1,1 V; a = 1,45; IS0 = 3,47⋅10-11A.

-12

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

Diodenspannung (V)

Dio

dens

trom

stär

ke (L

og(A

))

22 Diodenkennlinien; links Durchlass-, rechts Sperrrichtung

Quelle: /7/

23 Sperrstrom durch die Diode; Messwerte aus Abb. 22;

Simulation (rot) nach Gl. 16 mit : UG = 1,1 V; a = 1,45; IS0 = 3,47⋅10−11A. Die drei Messwertreihen gehören zu drei unterschiedlichen Sperrspannungen (0,1 V; 1 V; 10 V)

-12

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

0 50 100 150 200Temperatur (°C)

Sper

rstr

om (l

og(A

))



3.8 LED Jetzt verstehen Sie die Elektrolumineszenz der Halbleiterdiode. Dazu sei noch einmal der historische Beitrag von O. V. Lossev von 1924 zitiert. Im Rahmen sorgfältiger Messungen stieß der Elektroniker Lossev auf die Lumineszenz-Erscheinungen an der Kontaktstelle in der SiC-Diode (Abb. 25) und hatte etwas Mühe, das Phänomen zu verstehen. Sie wissen nun: Beim pn-Übergang in Durchlassrichtung (U < 0) werden Minoritätsladungsträger injiziert (n → n(p) und p → p(n)) und die so entstandenen Elektron-Loch-Paare rekombinieren unter Aussenden von Photonen, deren Energie mehr oder weniger direkt durch den Wert der Bandlücke bestimmt ist (h⋅c/λ ≈ EG). Direkte Halbleiter haben einen hohen Wirkungsgrad. Durch das Einschmelzen in Kunststoffkapseln mit passend gewählter Dispersion reduziert man Reflexionsverluste an den Halbleiteroberflächen. Das Spektrum unterschiedlicher Bauformen von LED, um die verschiedensten Farbeffekte zu erzeugen, ist sehr groß. Eine Darstellung hier würde den Rahmen sprengen und wäre vor allem auch nicht aktuell, da „Bandgap-Engineering“ und die Entwicklung neuer Verbindungshalbleiter derzeit rasante Fortschritte produzieren15. Bitte recherchieren Sie dazu in der aktuellen Literatur. Es stellt sich vielleicht aber noch die Frage, wie mit LED weißes Licht erzeugt werden kann. Im Prinzip stehen dazu drei Möglichkeiten zur Verfügung: (1) Man mischt mehre Farben zu Weiß (Nachteil: unterschiedliche Lebensdauern der Einzelfarben führen mit der Zeit zu Farbfehlern) oder (2) eine UV-LED regt einen weiß leuchtenden Farbstoff an (Phosphor Down-Conversion, wie bei den Leuchtstofflampen) oder (3) ein gelb leuchtender Farbstoff wird blau angeregt. Gelb und Blau zusammen ergeben in unserer Farbwahrnehmung Weiß (Lumineszenzkonversion) Abb. 26 zeigt, wie es geht: Das blaue Lumineszenz-licht einer GaN-LED mit einer Peakwellenlänge von etwa 450 nm regt die breitbandige Emission des Leuchtstoffes an. Die beiden komplementären Farben ergeben zusammen den Farbeindruck Weiß − etwas sehr blau vielleicht, aber Weiß. Dieses Verfahren ist derzeit das effektivste und wird vielfältig eingesetzt (vgl. /7/). Es sind Weißlicht-LED mit einer Effizienz von mehr als 60 lm/W erreichbar (7).

15 Vgl. /7/

26 LED produzieren weißes Licht

Quelle: /7/

25 Lumineszenz-Erscheinung beim historischenExperiment von

Oleg Vladimirovich Lossev

Quelle: Wireless World and Radio Review 1924, 271,



3.9 h-Bestimmung aus der Linienmitte Aus Gl. 15 können Sie ein Verfahren zur Bestimmung des Planck’schen Wirkungsquantums aus einer Messung der Durchlasskennlinie und des LED-Spektrums abzuleiten. Schreiben Sie zuerst Gl. 15 um:

G

G GS0 G S0

th th0 th th0 th

1 1exp exp 1 exp exp .

I

U U UUI I U IU U U U U

−= ⋅ − − ⋅ − ≈ ⋅

Hier ist IG eine Abkürzung für die Stromstärke durch die Diode im Fall U = UG. Auflösen nach U und Einsetzen der Bedingung für die Linienmitte einer LED (Emax = EG + ∆E, vgl. Abb. 12) liefern,

max korr

G BG th

G G

max B B

G B max G B

Δ

ln ln

ln ln .

U U

E k TI IU U UI e e I

E k T k TI E h c I Ee e I k T e e I k Tλ

= + = +

∆ ⋅ ∆

= + − = + − ⋅

(17)

Bis auf einen Korrekturterm ∆Ukorr (∆E ≈ kBT) liefert Gl. 17 für U = U(1/λmax) eine Gerade der Steigung h⋅c/e. Abschätzung der Größe des Korrekturterms: Wird T in Kelvin angegeben, finden Sie mit den Werten von S. 16 für Silizium beispielsweise ∆Ukorr ≈ − 0,0016⋅T V, bei Zimmertemperatur also ∆Ukorr ≈ −0,47 V. Da I < IG leicht einstellbar ist, hängt der Korrekturterm nur schwach von der Stromstärke I ab. Berücksichti-gen Sie jetzt noch den Bahnwiderstand der Dioden, RB, gilt nach Ziffern 5, Seite 17:

max korr

BB max korr B

max G

Δ

Δln 1 .

U U

k Th c IU R I U U R Ie e Iλ

⋅= + − + ⋅ = + + ⋅ ⋅

(19)

Daraus ergibt sich das Verfahren zur h-Bestimmung: 1. Suchen Sie den linearen Teil der Kennlinie

auf und verlängern Sie diesen rückwärts bis zur U-Achse Schnittpunkt: USch* = Umax + ∆Ukorr.

2. Aus dem Sperrstrom der Kennlinie bestimmen Sie ∆Ukorr oder bestimmen Sie alternativ

2’. das Intensitätsmaximum der LED-Linie: Umax = h⋅c/(e⋅λmax) mit dem Spektrometer und damit einen Wert für ∆Ukorr.

3. Führen Sie die Schritte 1/2 bzw. 1/2’ für verschiedene LED aus. 4. Aus einem linearen Fit von U* − ∆Ukorr = f(1/λmax) bestimmen Sie die Steigung und damit h.

27 Bestimmung von h im PhysikPraktikum der LUH

0

0,5

1

1,5

2

2,5

1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

USc

h(V

)

Wellenlänge (1/µm)

//



Ein Messbeispiel aus dem Physikpraktikum der LUH: 980 nm: USch = 1,0 V; 695 nm: USch = 1,4 V; 630 nm: USch = 1,6 V; 565 nm: USch = 1,8 V; 520 nm: USch = 2,2 V. Damit erhalten Sie (Abb. 27)

( )max korrmax

1 Δ1, 26 0,1 μm ; 0,35 VU Uλ

= ± ⋅ = −

und daraus: h = (6,723 ±0,7)⋅10-34 Js. Die Messunsicherheit von über 10 % zeigt die Grenzen dieses Verfahrens.



Anhang: Materialien

Leiter – Halbleiter – Isolatoren Materialparameter Si, Ge, GaAs (bei T0 = 300 K) Si Ge GaAs effektive Elektronenmasse mn*/me 1,08 0,55 0,067 effektive Lochmasse mp*/me 0,811 0,37 0,45 Beweglichkeit Elektronen µn [cm2 V-1s-1] 1.350 3.600 8.000 Beweglichkeit Löcher µn [cm2 V-1s-1] 480 1.800 300 Effektive Zustandsdichte NC[cm−3] 28,1⋅1018 10,2⋅1018 0,44⋅1018 Effektive Zustandsdichte NV [cm−3] 18,3⋅1018 5,6⋅1018 7,6⋅1018 Bandabstand EG [eV] 1,1 eV 0,66 eV 1,42 eV intrinsische Dichte ni [cm−3] 1,5⋅1010 2,4⋅1013 1,8⋅106 Gitterkonstanten [nm] 0,543 0,566 0,565 Rekombinationskoeffizient B [cm3/s] ≈ 1⋅10−15 5⋅10−14 ≈ 7⋅10−10 Binäre Verbindungshalbleiter IV/IV SiC SiGe III/V GaAs AlAs InP GaP GaSb InAs GaN InN II/VI CdS CsSe CsTe ZnS ZnSe ZnTe IV/VI PbS PbTe III/V Verbindungshalbleiter Binäre Verbindungen GaAs InP GaSb Ternäre Verbindungen InxGa1-xAs AlxGa1-xAs Quaternäre Verbindungen: InxGa1-xAsyP1-y, (2*III, 2*V), InxAlyGa1-x-yAs (3*III, 1*V) Bandgap-enginering: λmax (nm) Matrial λmax (nm) Anwendung InGaN/SiC 465 GaAlAs/NdYag 808 Frequenzverdoppler InGaN/SiC 510 InGaAs 980 optische Verstärker GaAsP/GaAs 590 AlGaAs 1064 Fiberoptik GasP 610 InGaAsP 1310 optische Kommun. AlGaInP 640 DVD-Laufwerke

Laserpointer InGaAsP 1480 optische Verstärker

GaAlAs 665 InGaAsP 1512 Gassensor (NH3) AlGaInP 670 Laserpointer InGaAsP 1550 Fiberoptik GaP 700 GaSbAs 2680 Gassensor (CO2) AlGaInP 760 Gassensor (O2) GaSbAs 3030 Gassensor (C2H2) GaAlAs 785 CD-Laufwerke GaSbAs 3330 Gassensor (CH4)

Einige LED-Materialien und ihre Anwendungen (Quelle: Internet-Recherche)



28 Bandlücken und Gitterkonstanten einiger Halbleitermaterialien; die roten Pfeile zeigen die wichtigen Infrarotquellen für die optische

Kommunikation Quelle: /7/



Impressum

Bildverzeichnis Bild 2 Electrical World (1907 19 309)

Bild 3, 25 Wireless World and Radio Review 1924,271, 93

Bild 14 Gowar, Optical Communication Systems

Bild 18, 22, 26, 28 E. Fred Schubert, www.LightEmittingDiodes.org

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Halbleiter pn-Übergang herausgegeben von Rüdiger Scholz bearbeitet von Dr. Rüdiger Scholz Kritische Durchsicht und Korrektur: Theresa Feld (BSc.) © 2014 Rüdiger Scholz ⋅ Leibniz Universität Hannover www.uni-hannover.de

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Rüdiger Scholz Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover · beim p-n-Übergang (Abb. 1)....

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