Rüdiger Scholz (Hrsg.) Crashkurs – Pendel · 0-180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180...

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Rüdiger Scholz (Hrsg.)

Crashkurs – Pendel

Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover

Crashkurs – Schwerependel

© Dezember 2011 R. Scholz PhysikPraktikum Leibniz Universität Hannover 2

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis........................................................................................................ 2

Literatur ..............................................................................................................................2

1 Die harmonische Schwingung ........................................................................... 3

2 Gravitationspendel ............................................................................................. 4

2.1 Das mathematische Pendel .....................................................................................4 2.2 Harmonisierung: Analyse für kleine Auslenkungen...............................................4 2.3 Bestimmung des Ortsfaktors...................................................................................4 2.4 Analyse für endliche Winkel ....................................................................................5 2.5 Das physikalische Pendel ........................................................................................6

3. Dämpfung .......................................................................................................... 8

3.1 Die Bewegungsgleichung........................................................................................8 3.2 Gedämpftes Pendel und Energiesatz.................................................................... 10

Anhang: Vollständige Lösung von Gl. 11 ...................................................................12

Literatur 1. Lehrbücher Experimentalphysik und der theoretischen Physik 2. R. P. Feynman/R. B. Leighton, M. Sands: The Feynman Lectures of Physics 3. H. Haken, A. Wunderlin: Die Selbststrukturierung der Materie, Vieweg 1991 4. F. Kuypers: Klassische Mechanik, VCH, 1990

Crashkurs – Schwerependel

1 Die harmonische Schwingung

Als harmonische Schwingung wird die Bewegung von Körpern in einem quadratischen Potential bezeichnet. Derartige Potentiale führen zu den bekannten typisch sinusförmigen Bewegungen. Parabelpotentiale (Abb. 1) ergeben sich aus Rückstellkräften, deren Betrag proportional zur Auslenkung ist:

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2 20

1 1.

2 2

pot

pot

dWF x D x

dx

W x D x m x

2

(1)

Aus der Newtonschen Grundgleichung F(x) = ma folgt die Bewegungsdifferentialglei-chung

0,D

m x F x D x x xm

(2)

die direkt elementar lösbar ist:

00 0

0 00 0

00 0

0 0

( ) cos ; 0cos

sin ; 0cos

2; 2 ; ; tan

xx t t x x t

xv t x t t v v t

vD mT

m D

0

.x

(3)

1 Bewegung im Parabelpotential: Die rote Kugel schwingt harmonisch hin und her

Die Struktur der Differentialgleichung Gl. 2 ist spezifisch für sämtliche harmonischen Schwingungen. Durch entsprechenden Koeffizientenvergleich lassen sich daher in konkreten Fällen die charakteristischen Eigenschaften der jeweilig vorliegenden Schwingung ableiten. Beim Fadenpendel wird das gezeigt. Typische Merkmale und Kenngrößen harmonischer Schwingungen x0 Amplitude = maximale

Auslenkung 0

0 00

4 2xv

Tx

mittlere Geschwindig-keit

vmax = x00/cos Geschwindigkeits-amplitude

0 = 2f Resonanz-(Kreis-) frequenz

max 0 0

2 2 cosrms

v xv

mittlere quadratische Geschwindigkeit

T0 = 1/f = 2/0 Periodendauer

Tabelle 1 Kenngrößen der harmonischen Schwingung

Dämpfungsterme, anharmonische Zusatzterme im Potential in Gl. 1 mit anderen x-Abhängigkeiten führen zu Anharmonizitäten. Diese haben nicht nur Abweichungen der Resonanzeigenschaften zur Folge, sondern bewirken u. U. qualitativ völlig neue Bewegungsformen, z. B. chaotische Schwingungen.

Crashkurs – Schwerependel

2 Gravitationspendel

In vielen Fällen führt die Bewegungsanalyse auf harmonische Näherungen. Schon deshalb ist die Analyse harmonischer Bewegungen von zentraler Bedeutung: Bewegung von Elektronen im Dielektrikum unter Einwirkung von Licht; Optik (vergleiche

„Crashkurs Optik“; PhysikPraktikum; LUH), unterschiedliche Pendelarten, Matratzenmodell“ des Festkörpers, Schwingungsanalyse in der Akustik und in der Baustatik. 2.1 Das mathematische Pendel Die Masse ist eine Punktmasse (also ohne

Trägheitsmoment);

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die Massenaufhängung ist masselos; Reibungsphänomene werden ignoriert. Der Abstand zwischen Masse und

Drehpunkt, l, ist konstant. Setzt man den frei wählbaren Energienullpunkt willkürlich auf Null für = 0 ergibt sich die potentielle Energie der Masse m am Faden zu

1 cospotW m g l . (3)

2 Die physikalischen Größen beim mathematischen Pendel

Es liegt also ganz offensichtlich kein Parabelpo-tential vor und damit keine harmonische Schwingung (vgl. Abb. 3). 2.2 Harmonisierung: Analyse für kleine Auslenkungen In derartigen Fällen wird versucht, Randbedingungen zu finden, untern denen das System analytisch leichter zugänglich ist. Wie bereits angedeutet, bietet sich bei der Schwingungsanalyse der Bereich sehr kleiner Amplituden an. Bei kleinen Auslenkungen von < 10°, kann man im Rahmen einer Toleranzgren-ze von 0,5 % die Taylorreihen der cos-Funktion nach dem quadratischen Term abbrechen:

2 4

22 4 2 40

1 11 cos ...

2 241 1

.2 2

potW m g l m g l

m g l O m l O

(4)

Der Vergleich mit Gl. 1 und Gl. 2 zeigt, dass diese Näherung auf eine harmonische Schwingung führt. Durch direkten Vergleich ergeben sich die charakteristischen Eigenschaften, z. B. die Periodendauer:

00

22

lT

g

. (5)

2.3 Bestimmung des Ortsfaktors Nach Gl. 5 können Sie mit dem Schwerependel den Ortsfaktor g bestimmen (in Hannover gilt g = (9,812874 5105) m/s2)

22

0

4l

gT

.

Crashkurs – Schwerependel

Der Messgenauigkeit einer solchen g-Messung wird durch die Messung der Dauer t = nT0 von n Schwingungen verbessert, bleibt aber stets durch die Messunsicherheit der Längenmessung nach unten beschränkt. n folgt aus der Anforderung an die Genauigkeit der Zeitmessung:

0 0 0

22 2 ; 2

g l t l t t l tq n

l

g l t l nT nT l q T

l.

Sind Zeit- und Längenmessung gleich ungenau, folgt z. B. für q = 0,1: n = 20. 2.4 Analyse für endliche Winkel Für endliche Auslenkungen ist das Potential nicht mehr harmonisch und das Kräfteparallelogramm in Abb. 2 liefert eine nicht mehr analytisch lösbare nichtlineare Differentialgleichung:

sin 0 sin 0g

m l m gl

.

Ein alternativer Weg zur Bestimmung der Periodendauer T über den Energieerhaltungssatz hilft hier (wie in zahlreichen anderen Fällen) weiter. Die Argumentation geht so: Für eine volle Schwingung = 40 braucht das Pendel die volle Periodendauer T, ein kleines Winkelstück d erfordert die Zeit dt. Die Summe über alle dt für eine volle Schwingung ist T (da die Winkelgeschwindigkeit d/dt eine Funktion des Pendelausschlags ist, sich also ständig ändert, erhalten Sie T durch Integration über infinitesimale Zeitspannen dt):

Potential des mathematischen Pendels

0

-180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180

Auslenkung

po

ten

tie

lle E

ner

gie

3 Die potentielle des mathematischen Pendels (gestrichelt die

harmonische Nährung) 0

0

1 1d d 4

Periode Periode

T t

d .

Der Energiesatz (hier noch ohne Reibung) liefert einen Wert für d/dt:

2 2 2

2 20 0

1 1; (1 cos )

2 2

21(1 cos ) (1 cos ) cos cos .

2

kin pot

ges

W m v m l W m g l

gW m l m g l m g l

l

(6)

Mit Gl. 5 erhalten Sie daraus eine Bestimmungsgleichung für T:

0 2

2 20 00

dd dd 4 4

2 cos cos 1 sin

zl lT t

g g k z

.

Die letzte Umformung erfolgt durch die etwas mühselige aber elementare Rechnung mit der Substitution

2 2 2 2 2 20 00cos 1 2 sin ; sin und cos 1 2sin 1 2 .

2 2k z k k

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Crashkurs – Schwerependel Das Integral für T ist zwar auch nicht geschlossen lösbar, jedoch als elliptisches Integral 1. Gattung immerhin tabelliert. 1 Auch gelangt man durch die Entwicklung in Potenzreihen zu guten Näherungen. Für k 0 (also für „verschwindend kleine“ Auslenkungen) folgt sofort das bekannte Ergebnis dharmonischen Näherung T = T0 = 2(l/g)1/2. Für alle anderen Fälle wird der Integrand in eine Taylorreihe entwickelt und gliedweise integriert.

er

2 2

22 2 2 2

2 20 0

22 2 2 122 3 2

1

d 1 34 4 d 1 sin si

2 2 81 sin

1 3 154 1 ... 2

2 2 8 48m

m

zl lT z k z

g gk z

l lk k k k

mg g

n ...k z

Die erste Korrektur der Periodendauer T = T(0) für endliche Auslenkungen erhalten Sie, wenn Sie k2= sin2(0/2) (0/2)2 nähern und die Reihe nach dem quadratischen Term abbrechen:

2 2

002 1 1

4 4

lT T

g

0 (7) Periodendauer vs. Amplitude

0,98

0,99

1

1,01

1,02

1,03

1,04

1,05

1,06

1, 70

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Amplitude (rad)

T/T

0

Abb. 4 zeigt die Messung der Periodendauer T eines einfachen Fadenpendels (eine Kugel mit der Masse m = 0,1 kg konnte an einem dünnen Faden der Länge l = 56 cm praktisch frei schwingen) für Anfangsauslenkungen bis zu 0 = 50°= 0,87 rad. Für diesen maximalen Wert beträgt die Anharmonizitätskorrektur 0,5 %. 4 Korrektur der Periodendauer für große Auslenkungen;

Messungen und der theoretisch erwartbare Zusammenhang (1 + 02/16) nach Gl. 7. Messunsicherheiten ergeben sich aus der Standardabweichung der T-Messreihen

2.5 Das physikalische Pendel Ein beliebig geformter starrer Körper, schwinge um eine feste Achse A mit der Amplitude . lS sei der Abstand des Schwerpunkts S vom Drehpunkt A (Abb. 5).

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Auf den Körper wirkt das Drehmoment

A sinSD l m g .

Ist JA das Trägheitsmoment bezüglich der Drehachse A, folgt aus der Drehimpulserhaltung

A A S

S

A

sin

sin 0.

J D l m g

l m g

J

(8)

5 Das physikalische Pendel

Durch Vergleich z. B. mit Gl. 2 finden Sie direkt die Schwingungsdauer T :

2 2

0 002 1 1

4 4A

S

JT T

l m g

. (9)

1 z. B. Bronstein/Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik; Teubner 1979; Seitze 67

Crashkurs – Schwerependel

Die reduzierte Pendellänge lr Ein mathematisches Pendel mit der Länge lr hätte die gleiche Schwingungsdauer wie das physikalische Pendel, wenn die folgende Bedingung eingehalten wird

A rr

S S

AJ ll

l m g g l m

J

. (10)

Beispiel: Stahlzylinder am Faden Ein Stahlzylinder der Länge L = 10 cm und mit dem Durchmesser 2r = 3 cm (m = 556 g) hängt an einem Faden der Länge l = 1 m. (1) Als mathematisches Pendel: Der Schwerpunkt ist lS =l + L/2 = 1,05 m vom Aufhängepunkt entfernt. Die Periodendauer (harmonische Näherung) ergibt sich damit zu

S0 2 2,0556 s

lT

g .

Als physikalisches Pendel:. JZ ist das Trägheitsmoment des Zylinders bei Drehung um seinen Schwerpunkt

2 21 1

4 12ZJ mr mL .

Nach dem Steinerschen Satz folgt das Trägheitsmoment für die Drehung um den Aufhängepunkt

2 2 2 2 2 2A S Z S S

1 1 1 1

4 12 4 122J ml J ml mr mL m l r L

Gl. 9 liefert damit im harmonischen Grenzfall

2 2 22 2S

SA02 2

S S S S

1 11 14 122 2 2 1 1,00044 12

2,0564s

m l r LlJ r L

T Tl m g l m g g l l

T

.

Anmerkungen: Für lS oder für r = L = 0 erhalten Sie jeweils das Ergebnis für das mathematische Pendel. Ohne Faden, also für lS =L/2, und einen sehr kleinen Zylinderradius erhalten Sie das Ergebnis für

die Schwingung eines sehr dünnen Zylinderstabes um eines seiner Enden:

A

S

12 2

2 3

J LT

l m g g

1 .

Auch beim physikalischen Pendel hängt im reibungsfreien Grenzfall die Periodendauer nicht von

der Gesamtmasse ab.

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Crashkurs – Schwerependel

3. Dämpfung

3.1 Die Bewegungsgleichung Verschiedene Reibungsphänomene führen auf zusätzliche Terme in Gl. 1. Je nach Art der Reibung finden Sie unterschiedliche Abhängigkeiten von der Pendelgeschwindigkeit v = ld/dt. Für die geschwindig-keitsproportionale Reibung (Stokessche Reibung), FR = cv, ist die Bewegungsgleichung geschlossen analytisch lösbar. Hier finden Sie eine Formulierung der Lösung mithilfe der komplexen Exponentialfunk-tion. Dies hat Vorteile bei der Analyse unterschiedlich starker Dämpfungen (man spricht in diesem Zusammenhang auch von der „Güte“ eines schwingfähigen Systems

20 2 0 (11)

mit den Abkürzungen: 0 ; 2 ; R

g cF c v c l

l m . Der Lösungsansatz (t) = Aexp(t)

führt durch Einsetzen auf die charakteristische Gleichung, deren Lösungen direkt auf die allgemeine Lösung der DGl.2.

2 2 2 20 0

2 20

exp( ) in die DGl. einsetzen:

exp 2 0 2 0

.

t A t

A t

Diese -Werte führen auf die allgemeine Lösung von Gl. 11

2 2 2 20exp exp exp exp exp .t A t A t t A A 0

(12)

1. Geringe Dämpfung ( < 0) Der Radikant wird nun negativ, die Wurzel also imaginär. Die A folgen aus den Randbedingungen (0) = 0 und 00 ; mit 0 = 0 und 00 ergibt sich z. B.3:

† 0

0

2 200

2i

( ) exp sin

( ) exp cos sin exp cos .

A A

t t t

t t t t t t

(13)

Die Reibung führt zum Abklingen der Schwingung. Die Abklingzeit ergibt sich aus der

Abklingkonstanten (analog zur Periodendauer T = 2) durch = 2. Für große Massen m wird die Abklingkonstante = c/(2m) klein (die Abklingzeit groß) und damit

der Reibungseinfluss gering. Beim ungedämpften Pendel ( = 0) haben Pendelausschlag und Pendelgeschwindigkeit einen

Phasenunterschied von /2. Je nach Stärke der Reibung tritt eine zusätzliche Phasendifferenz tan = / auf. Nur für 0 ist ein Energieübertrag vom Pendel an die Umgebung möglich.

Die Schwingung des gedämpften Pendels ist gegenüber dem ungedämpften verlangsamt: 2 = 02 2. (Die Fälle 02 2 und 2 = 02 2 werden gleich im Anschluss diskutiert).

2 Einzelheiten finden Sie in jedem Lehrbuch zur Lösung linearer Differentialgleichungen. 3 s. Anhang zu diesem Crash-Kurs

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Crashkurs – Schwerependel

Das Verhältnis aufeinanderfolgender Amplituden ist konstant und charakterisiert die Dämpfung.

Man bezeichnet den natürlichen Logarithmus dieses Verhältnisses als logarithmisches Dekrement des Oszillators.

expln ln

1 exp( 1

nT nTT

n T n T

. (14)

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ist direkt gut messbar, wenn nur unwesentlich größer ist als die Periodendauer T, wenn sich also aufeinanderfolgende Amplituden ausreichend unterscheiden. Ist dagegen die Abklingzeit sehr groß, T, dann sollten Sie zur Bestimmung von Pendelamplituden vergleichen, die entsprechend mehr als eine Periode auseinander liegen. Abb. 6 zeigt ein Beispiel. Bei dem oben bereits vorgestellten Gravitationspendel zeigt sich, dass erst nach 33 Perioden die Amplitude spürbar, um etwa 20%, abgeklungen ist. Entsprechend lange pendelt die Masse. Die genaue Auswertung (gestrichelte Linie in Abb. 5) der Messung liefert = 0,0051 0,0005, bei einer Periodendauer von T = (1,51 0,01) s folgt für dieses Pendel: = 2/ = 2/T = (1872 184) s.

Exponentielle Dämpfung

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Anzahl Perioden

Am

pli

tud

e (

rad

)6 Das logarithmische Dekrement eines Gravitationspendels,

bei dem T; die Messung offenbart: = 1872 s 1236T0

Gedämpfter Schwinger

Zeit

Au

sle

nku

ng

7 Unterschiedliche Dämpfung eines Oszillators = 0,60: der Oszillator ist knapp unterkritisch gedämpft, er schwingt einmal durch; = 0: der Oszillator ist kritisch gedämpft, die Abklingzeit ist minimal = 30: der Oszillator ist überdämpft und „kriecht“ langsam in die Nulllage zurück.

2. Starke Dämpfung ( > 0) Im Fall starker Dämpfung sind beide -Werte in Gl. 12 reell und eine Schwingung kommt nicht zustande. Aus einer Anfangsauslenkung „kriecht“ das Pendel in die Nulllage zurück (Abb. 7). Je größer die Dämpfungskonstante ist, desto langsamer „kriecht“ das Pendel in die Nulllage, das System ist überdämpft. 3. Kritische Dämpfung ( = 0) Schließlich betrachten Sie bitte noch den Grenzfall = 0. Formal fallen nun die Lösungen der charakteristischen Gleichung zusammen. Die Lösung der DGl. 11 wird für die Anfangswerte (0) = 0 und 0 0 besonders einfach4 (vgl Abb. 7):

0( ) 1 exp .t t t

Der Fall kritischer Dämpfung als aperiodischer Grenzfall bezeichnet. Die Abklingzeit, die Zeit, in der der Oszillator in Ruhelage zurückkehrt (=einen kleinen Minimalausschlag unterschreitet ohne zu schwingen, ist minimal). Stoßdämpfer nutzen dieses Verhalten für die Autofederung.

4 s. Anhang zu diesem Crash-Kurs

Crashkurs – Schwerependel

3.2 Gedämpftes Pendel und Energiesatz Die Dämpfung der Schwingung wird in zahlreichen Anwendungsfällen durch den dimensionslosen Gütefaktor (Q-Faktor) charakterisiert. Sei Wges die Gesamtenergie zu einem bestimmten Zeitpunkt und WT die durch Dämpfung zu dem Zeitpunkt abgegebene Energiemenge pro Periode, dann ist Q definiert als

ges2Δ T

WQ

W .

Für das beschriebene Pendel lässt sich Q direkt auf die Pendeleigenschaften zurückführen. Dazu können Sie die Abnahme WT z. B. aus der Abnahme der kinetischen Energie Wkin berechnen

2 22 2ges ges ges

ges ges ges

ges

1 1 1 10 0 ; 0 exp( 2

2 2 2 20 0 0

2 2 2 .Δ d d 0 2T T

W mv m l W T mv T m l T W T

W W WQ

W T W t W T T

)

(15)

Das Pendel im Beispiel oben bringt es also auf eine Güte von Q = 616. Im Fall kritischer Dämpfung ist = 0 = 2/T also Q = 1/2. Im überkritischen Fall in Abb. 6 ist = 30 = 6/T also Q = 1/6. Beim knapp unterkritischen Fall ist = 2/30 = 4/3/T also Q = 3/4. Der Energiesatz erlaubt einen quantitativen Zugang zum schwach gedämpften Pendel auch ohne Lösung der Bewegungsgleichung. Im harmonischen Fall ist sind die Mittelwerte der potentiellen und der kinetischen Energie gleich, der Mittelwert der kinetischen Energie die Hälfte der Gesamtenergie:

2 2 2kin ges max max

1 1 1 12

2 2 2 2W m v W mv v v

2 . (16)

Im schwach gedämpften Fall verliert das Pendel in einer Periode ein wenig Energie. Die Reibungsleistung gibt die momentane Energieabgabe an:

ges 2R R R R

d 1

d 2

WP F v v F v v F

t maxv . (17)

Dabei wurde hier die Momentangeschwindigkeit durch die mittlere Geschwindigkeit aus Gl. 16 ersetzt. Laminare Luftströmung: Stokesche Reibung (FR = cv) Gl. 17 liefert

22

max

d 1

d 2

0 exp 0 exp 2 .

W cc v c v W

t m

cW t W t W t

m

Der Vergleich mit Gl. 15 zeigt, dass man auf diese Weise das Ergebnis aus einer Diskussion der Bewegungsgleichungen reproduziert hat. Dies rechtfertigt nachträglich den Ansatz Gl. 17.

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Crashkurs – Schwerependel

Große Strömungsgeschwindigkeiten: F’R = c2 v2 Interessant ist, dass Gl. 17 auch für nichtlaminare Strömungen eine elementare Lösung liefert:

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33 23 2

2 2 max 3 2

2 23 2 3 2 3 2

2 2

223 23 2

d 1

d 2

d 1 1 1 1d

2 2

1 1

1 1 12 20

cWc v c v W

t m

c cWt C

W m mW W

W tc cC t tm mW

Stokessche und nichtstokessche Dämpfung

t = T 1/2

Abb. 8 vergleicht die Verläufe. Wie Sie sehen, ist durch reinen Augenschein der Unterschied kaum erkennbar. Hier hilft ein sorgfältiger Fit an die Messergebnisse. Überzeugen Sie sich selbst: Die Messergebnisse für das oben genannte Pendel lassen sich mit dem quadratischen Ansatz für die Reibungskraft deutlich schlechter anpassen (Abb. 9).

8 Unterschiedliche Dämpfung eines Oszillators; zum Vergleich wurden gleiche Halbwertszeiten T1/2 angenommen. Unterhalb T1/2 würde sich nichtstokessche Dämpfung (gestrichelte Linie) stärker auswirken, oberhalb von T1/2 wäre die stokessche Reibung wirksamer.

Stokessche Dämpfung-100 0 100 200 300 400 500 600 700

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

kin

etis

che

Ene

rgie

(J)

Zeit (s)-100 0 100 200 300 400 500 600 700

Nichtstokessche Dämpfung

kin

etis

che

Ene

rgie

(J)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

Zeit (s)-100 0 100 200 300 400 500 600 700

-100 0 100 200 300 400 500 600 700

9 Vergleich zwischen der Anpassung mit stokesscher Reibung (links; Parameter nach Gl. 14 W(0) = 0,208 J und = 0,0035 s1) und nach

dem quadratischen Ansatz für die Reibungskraft (Parameter: W(0) = 0,214 J und c2/(2m3/2) = 0,0118 s1). Deutlich ist die schlechte Abpassung für große Zeiten im rechten Fall erkennbar wie nach Abb. 7 zu erwarten..

Crashkurs – Schwerependel

Anhang: Vollständige Lösung von Gl. 11

20 2 0

mit den Abkürzungen: 0 ; 2 ; R

g cF c v c l

l m .

Der Lösungsansatz (t) = Aexp(t)

2 2 2 20 0

2 20

exp 2 0 2 0

.

A t

Diese -Werte führen auf die allgemeinen Lösungen

2 201 0

2 2 2 20 0

0 0

0

0 00

exp exp exp exp exp

0

0

t A t A t t A t A t

AA A

A AA

2 202 0

0 0

0 00

exp exp

0

0

t A t A t t

A A

AA A

1. < 0: Der Radikant ist negativ, die Wurzel also imaginär: 2 20 i .

†0 0 0 0 0

220 0 0 0

0 0

0

0 0

;2 2i

( ) exp exp i exp i

exp cos sin exp sin

tan

A A A

t t A t A t

t t t t t

(18)

2. > 0: Der Radikant ist positiv, die Wurzel ist reell 2 20 .

0 0 0 0 0 0 0 0

0 00

;2 2 2 2

( ) exp exp exp

exp cosh sinh .

A A

t t A t A t

t t t

(19)

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Crashkurs – Schwerependel 3. = 0: Der Radikant ist Null, ist reell .

0 0

0 00

0 0 0

0

0

exp exp

exp .

A A

AA A

t A t A t t

t t

< 0 > 0 (0) = 0 0( ) exp sin .t t t

0exp sinh .t t

t

0 0

2

0( ) 1 exp cos

tan

t t t

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0exp cosh sinh .t t t t

= 0 (0) = 0 0 exp .t t t

0 0 0 1 expt t .t