Rechenbuch Metall Lösungen

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EUROPA-FACHBUCHREIHE für Metallberufe J. Dillinger W. Escherich U. Fischer R. Gomeringer R. Kilgus F. Näher P. Schädlich B. Schellmann C. Scholer H. Tyroller Lösungsheft zum Rechenbuch Metall Gültig ab 30. Auflage VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG Düsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten Europa-Nr.: 10501

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EUROPA-FACHBUCHREIHE

für Metallberufe

J. Dillinger W. Escherich U. Fischer R. Gomeringer R. Kilgus F. Näher P. Schädlich B. Schellmann C. Scholer H. Tyroller

Lösungsheft

zum Rechenbuch Metall

Gültig ab 30. Auflage

VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG

Düsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten

Europa-Nr.: 10501

Page 2: Rechenbuch Metall Lösungen

Autoren:

Dillinger, Josef Studiendirektor München

Escherich, Walter Studiendirektor München

Fischer, Ulrich Ing. (grad.), Studiendirektor Reutlingen

Gomeringer, Roland Dipl.-Gwl., Studiendirektor Balingen

Kilgus, Roland Dipl.-Gwl., Oberstudiendirektor Neckartenzlingen

Näher, Friedrich Ing. (grad.), Oberstudiendirektor Balingen

Schädlich, Peter Dipl.-Ing., Studiendirektor München

Schellmann, Bernhard Oberstudienrat Kißlegg

Scholer, Claudius Dipl.-Ing., Dipl.-Gwl., Studiendirektor Metzingen

Tyroller, Hans Oberstudiendirektor München

Lektorat und Leitung des Arbeitskreises:

Roland Kilgus, Neckartenzlingen

Bildentwürfe: Die Autoren

Bildbearbeitung: Zeichenbüro des Verlags Europa-Lehrmittel, Ostfildern

Das vorliegende Lösungsheft wurde auf der Grundlage der neuen amtlichen Rechtschreibung erstellt.

Hinweise:1. Die Bezeichnung der Lösungen erfolgt jeweils durch eine Zahlengruppe, gebildet aus der Seiten-

nummer der betreffenden Aufgabe im Rechenbuch Metall und aus der Aufgabennummer.So bedeutet z. B. 12/3.: Rechenbuch Metall, Seite 12, Aufgabe 3.

2. Bei der Beurteilung von Aufgaben, in denen der Wert p vorkommt, ist zu berücksichtigen, dass die Ergebnisse mit dem Taschenrechner berechnet wurden. Dabei wurde für p der Wert 3,141592654 benutzt.Die Ergebnisse der Aufgaben wurden sinnvoll auf- bzw. abgerundet.Bei Arbeitszeitberechnungen wurden die berechneten Endwerte grundsätzlich auf volle Minuten aufgerundet.

ab 30. Auflage 2008Druck 5 4 3 2 Alle Drucke derselben Auflage sind parallel einsetzbar, da sie bis auf die Behebung von Druckfehlern untereinander unverändert sind.

ISBN 978-3-8085-1980-6

Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der gesetzlich geregelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden.

© 2008 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruitenhttp://www.europa-lehrmittel.deSatz: Satz+Layout Werkstatt Kluth GmbH, 50374 ErftstadtDruck: Konrad Triltsch Print und digitale Medien GmbH, 97199 Ochsenfurt-Hohestadt

Page 3: Rechenbuch Metall Lösungen

Inhaltsverzeichnis zum Lösungsheft

1 Grundlagen der

technischen Mathematik . . . . . . . . . . . . . . 51.1 Zahlensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Grundrechnungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3 Gemischte Punkt-

und Strichrechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.4 Bruchrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.5 Potenzieren und Radizieren . . . . . . . . . . . . 61.3 Technische Berechnungen . . . . . . . . . . . . . 71.3.1 Umrechnen von Einheiten bis und Rechnen1.3.6 mit physikalischen Größen . . . . . . . . . . . . 71.3.7 Umstellen von Formeln . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.8 Technische Berechnungen mit dem

Taschenrechner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Berechnungen im Dreieck . . . . . . . . . . . . . 111.4.1 Lehrsatz des Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . 111.4.2 Winkelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

• Im rechtwinkligen Dreieck . . . . . . . . . . . . 14• Im schiefwinkligen Dreieck . . . . . . . . . . . 16

1.5 Allgemeine Berechnungen . . . . . . . . . . . . 181.5.1 Schlussrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5.2 Prozentrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5.3 Zeitberechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5.4 Winkelberechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.6 Längen, Flächen, Volumen . . . . . . . . . . . . 221.6.1 Längen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

• Teilung gerader Längen . . . . . . . . . . . . . . 22• Kreisumfänge und Kreisteilungen . . . . . 23• Gestreckte und zusammengesetzte

Längen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.6.2 Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

• Geradlinig begrenzte Flächen . . . . . . . . . 24• Kreisförmig begrenzte Flächen . . . . . . . . 25• Zusammengesetzte Flächen . . . . . . . . . . 26• Verschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.6.3 Volumen, Masse, Gewichtskraft . . . . . . . . 28bis • Gleichdicke Körper, 1.6.5 Berechnung mit Formeln . . . . . . . . . . . . 281.6.6 Gleichdicke Körper, Berechnung

mit Hilfe von Tabellenwerten . . . . . . . . . . 30• Spitze und abgestumpfte Körper,

Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30• Zusammengesetzte Körper . . . . . . . . . . . 32

1.6.7 Volumenänderung beim Umformen . . . . . 341.7 Schaubilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.7.1 Grafische Darstellungenbis von Funktionen1.7.3 und Messreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2 Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.1 Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.1.1 Konstante Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . 39

• Konstante geradlinige Bewegungen . . . 39• Kreisförmige Bewegung . . . . . . . . . . . . . 40

2.1.2 Beschleunigte und verzögerte Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2 Zahnradmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.3 Übersetzungen bei Antrieben . . . . . . . . . . 452.3.1 Einfache Übersetzungen . . . . . . . . . . . . . . 452.3.2 Mehrfache Übersetzungen . . . . . . . . . . . . 462.4 Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.5 Hebel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.5.1 Drehmoment und Hebelgesetz . . . . . . . . . 562.5.2 Lagerkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.5.3 Umfangskraft und Drehmoment . . . . . . . . 602.6 Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.7 Arbeit, Energie, Leistung,

Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.7.1 + Mechanische Arbeit und2.7.2 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

• Potienzielle und kinetische Energie . . . . 642.7.3 + Mechanische Leistung und2.7.4 Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.8 Einfache Maschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.8.1 Schiefe Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.8.2 Keil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.8.3 Schraube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3 Prüftechnik und Qualitätsmanagement . . 703.1 Maßtoleranzen und Passungen . . . . . . . . 703.1.1 Maßtoleranzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.1.2 Passungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.2 Qualitätsmanagement . . . . . . . . . . . . . . . . 733.2.1 Prozesskennwerte aus Stichproben-

prüfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.2.2 Maschinen- und Prozessfähigkeit . . . . . . . 773.2.3 Statistische Prozesslenkung

mit Qualitätsregelkarten . . . . . . . . . . . . . . 79

4 Fertigungstechnik und

Fertigungsplanung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.1 Spanende Fertigung . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.1.1 Drehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

• Schnittdaten, Drehzahlen und Anzahl der Schnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

• Schnittkraft und Leistung beim Drehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

• Hauptnutzungszeit beim Drehen . . . . . . 894.1.2 Bohren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

• Schnittdaten, Schnittkräfte, Leistungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

• Hauptnutzungszeit, beim Bohren,Reiben, Senken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.1.3 Fräsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93• Schnittdaten, Drehzahl, Vorschub, Vor-

schubgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . 93• Schnittkraft und Leistung

beim Fräsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94• Hauptnutzungszeit beim Fräsen . . . . . . . 94

4.1.4 Indirektes Teilen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.1.5 Koordinaten in NC-Programmen . . . . . . . 97

• Geometrische Grundlagen . . . . . . . . . . . 97• Koordinatenmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

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4.1.6 Hauptnutzungszeit beim Abtragen und Schneiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.1.7 Kegelmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.2 Trennen durch Schneiden . . . . . . . . . . . . . 1054.2.1 Schneidspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.2.2 Streifenmaße und Streifenausnutzung . . 1064.3 Umformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.3.1 Biegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

• Zuschnittermittlung bei Biegeteilen . . . . 107• Rückfedern beim Biegen . . . . . . . . . . . . . 107

4.3.2 Tiefziehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109• Zuschnittdurchmesser, Ziehstufen,

Ziehverhältnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.4 Exzenter- und Kurbelpressen . . . . . . . . . . 1114.5 Spritzgießen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.5.1 Schwindung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.5.2 Kühlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.5.3 Dosierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.5.4 Kräfte beim Spritzgießen . . . . . . . . . . . . . . 1124.6 Fügen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.6.1 Schraubenverbindung . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.6.2 Schmelzschweißen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

• Nahtquerschnitt und Elektrodenbedarf beim Lichtbogenschweißen . . . . . . . . . . 115

4.7 Fertigungsplanung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.7.1 Vorgabezeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.7.2 Kostenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.7.3 Lohnberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5 Werkstofftechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.1 Wärmetechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.1.1 Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.1.2 Längen- und Volumenänderung . . . . . . . . 1225.1.3 Schwindung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.1.4 Wärmemenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.2 Werkstoffprüfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.2.1 Zugversuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.2.2 Elastizitätsmodul und Hookesches

Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.3 Festigkeitsberechnungen . . . . . . . . . . . . . 1275.3.1 Beanspruchung auf Zug . . . . . . . . . . . . . . 1275.3.2 Beanspruchung auf Druck . . . . . . . . . . . . . 1285.3.3 Beanspruchung auf Flächenpressung . . . 1295.3.4 Beanspruchung auf Abscherung,

Schneiden von Werkstoffen . . . . . . . . . . . 1305.3.5 Beanspruchung auf Biegung . . . . . . . . . . . 130

6 Automatisierungstechnik . . . . . . . . . . . . . 1326.1 Pneumatik und Hydraulik . . . . . . . . . . . . . 1326.1.1 Druck und Kolbenkraft . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.1.2 Prinzip der hydraulischen Presse . . . . . . . 1346.1.3 Kolben- und Durchflussgeschwindig-

keiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.1.4 Leistungsberechnung in der

Hydraulik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.1.5 Luftverbrauch in der Pneumatik . . . . . . . . 138

6.2.1 Logische Verknüpfungen . . . . . . . . . . . . . . 139bis 6.2.36.2.4 Selbsthalteschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . 142

7 Elektrotechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1447.1 Ohmsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1447.2 Leiterwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1447.3 Temperaturabhängige Widerstände . . . . . 1457.4 Schaltung von Widerständen . . . . . . . . . . 1467.4.1 Reihenschaltung von Widerständen . . . . . 1467.4.2 Parallelschaltung und gemischte

Schaltung von Widerständen . . . . . . . . . . 146• Gemischte Schaltung von Wider-

ständen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1477.5 Elektrische Leistung bei Gleich-

spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1497.6 Wechselspannung und Wechselstrom . . . 1517.7 Elektrische Leistung bei Wechselstrom

und Drehstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1547.8 Elektrische Arbeit und Energiekosten . . . 1557.9 Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

8 Aufgaben zur Wiederholung und

Vertiefung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1578.1 Lehrsatz des Pythagoras, Winkel-

funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1578.2 Längen, Flächen, Volumen, Masse und

Gewichtskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1588.3 Dreh- und Längsbewegungen,

Getriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1598.4 Kräfte, Arbeit, Leistung . . . . . . . . . . . . . . . 1608.5 Maßtoleranzen, Passungen und Teilen . . 1628.6 Qualitätsmanagement . . . . . . . . . . . . . . . . 1638.7 Spanende Fertigung . . . . . . . . . . . . . . . . . 1658.8 Schneiden und Umformen . . . . . . . . . . . . 1668.9 Fügen: Schraub-, Passfeder-, Stift-

und Lötverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . 1678.10 Wärmedehnung und Wärmemenge . . . . . 1698.11 Hydraulik und Pneumatik . . . . . . . . . . . . . 1708.12 Elektrische Antriebe und Steuerungen . . 1718.13 Gemischte Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

9 Projektaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1749.1 Vorschubantrieb einer

CNC-Fräsmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1749.2 Hubeinheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1769.3 Zahnradpumpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1799.4 Hydraulische Spannklaue . . . . . . . . . . . . . 1819.5 Folgeschneidwerkzeug . . . . . . . . . . . . . . . 1849.6 Tiefziehwerkzeug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1889.7 Spritzgießwerkzeug . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1919.8 Qualitätsmanagement am Beispiel

eines Zwischengetriebes . . . . . . . . . . . . . . 1929.9 Pneumatische Steuerung . . . . . . . . . . . . . 1989.10 Elektropneumatik – Sortieren von

Materialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

Page 5: Rechenbuch Metall Lösungen

Grundlagen der technischen Mathematik: Zahlensysteme, Grundrechnungsarten 5

1

8/1. Umwandlung von Dezimalzahlen

8/2. Umwandlung von Dualzahlen

8/3. Umwandlung von Hexadezimalzahlen

8/4. Umwandlung von Dualzahlen

1 Grundlagen der technischen Mathematik

z10 24 30 48 64 100 144 150 255 2000

z2 110 00 1 11 10 11 00 00 100 00 00 1100100 100100 00 10010110 11111111 11111010000

z16 18 1E 30 40 64 90 96 FF 7D0

Tabelle 3 a b c d e f g h i

z2 100 10 10 1 11 11 11 00 11 11 11 00 00 11 11 11 11

z10 4 10 31 51 240 255

Tabelle 4 a b c d e f

z16 68 A0 96 8F ED FF

z10 104 160 150 143 237 255

z2 1 10 10 00 10 10 00 00 10 01 01 10 10 00 11 11 11 10 11 01 11 11 11 11

Tabelle 5 a b c d e f

z2 10 10 10 11 10 00 11 00 11 00 11 10 00 11 10 01 00 10 10 00 01 11

z16 2A 38 CC E3 92 87

Tabelle 6 a b c d e f

11/1. a) 228,41598 ≈ 228,42 b) 103,9352 ≈ 103,94 c) 263,86684 ≈ 263,87

d) 58,1376 ≈ 58,14 e) 499,394 ≈ 499,40 f) 394,7366 ≈ 394,74

11/2. a) 38,055 ≈ 38,06 b) 40,52238237 ≈ 40,52

11/3. a) 6 005,019286 ≈ 6 005,02 b) 9 772,238696 ≈ 9 772,24

11/4. a) –69 b) –17 c) –10,3– ≈ –10,33 d) 9

24,75 + 15 38,7 – 2,08 44,2 · 13,111/5. a) ––––––––––– + ––––––––––– – ––––––––––––

12,6 0,36 20,05 – 1,7

= 3,15476 + 101,72222 – 31,55423

= 73,32275 ≈ 73,32

1.1 Zahlensysteme

1.2 Grundrechnungsarten

1.2.3 Gemischte Punkt- und Strichrechnungen

Page 6: Rechenbuch Metall Lösungen

23,4 – 8,6 13,8 + 22,7b) 34,2 · –––––––––– – –––––––––––– · 20,6

2,4 27 – 3,5

= 34,2 · 6,16666 – 1,55319 · 20,6

= 178,904058 ≈ 178,90

c) 14,09822485 ≈ 14,10

d) 0,600076373 ≈ 0,60

11/6. a) –8 ab b) –315 xy c) –31 mn d) 70 ac

10,5 x –19,2 m 9 x 4,5 x11/7. a) –––––––– b) ––––––––– c) ––– = ––––– d) 0

y n 2 y y

11/8. a) –3a · (8x – 5x) – 2a · (20x – 12x)= –3a · 3x – 2a · 8x= –9ax – 16ax = –25ax

b) –3x · (8x – 5x) + 3x · (–12x – 33x)= –3x · 3x + 3x · (–45x)= –9x2 – 135x2 = –144x2

6 Grundlagen der technischen Mathematik: Grundrechnungsarten

12/1. Lösungsbeispiel:

3 3 · 6 18 12 30 10 18a) --- = ----------- = ------ b) –-– c) –-– d) –-– e) –-–

4 4 · 6 24 24 24 24 24

12/2. Lösungsbeispiel:

3 3 : 3 1 1 1 4 10a) ------ = -------------- = --- b) –-– c) – d) – e) –-–

21 21 : 3 7 12 2 5 33

12/3. Lösungsbeispiel:

3 a) ------ = 3 : 21 = 0,1428… ≈ 0,143 b) 0,083 c) 0,500 d) 0,800 e) 0,303

21

12/4. Lösungsbeispiel:

9 375 9 375 : 25 375 : 25 15a) 0,9375 = ––––––– = ––––––-–––-– = –––––––-– = –––

10 000 10 000 : 25 400 : 25 16

3 17 1 333b) – c) ––– d) – e) –––––-–

8 20 5 1 000

16/1. a) 8a3 = 23a3 = (2a)3 b) 128 dm3 c) 19,5 m3

d) b2 e) 0,0375 cm3 f) 2 m

1 116/2. a) 102; 103; –––– = –––– = 10–2; 10–3; 106; 10–6

100 102

b) 5,542 · 104; 1,647 978 · 106; 3,567 63 · 105; 3,32 · 104

c) 3,3 · 10–2; 7,56 · 10–1; 2,1 · 10–3; 2 · 10–5; 10–7

d) 10–1; 5 · 10–2; 7 · 10–3; 3,3 · 10–1; 3,21 · 10–1

m16/3. a) 2,997 9 · 108 –––; b) 4,007 659 4 · 107 m; c) 1,495 · 108 km; d) 5,101 009 33 · 108 km2

s

16/4. a) 15 b3 b) 2 · (2 m3 + n3) c) x2y (10x2 – 3y2) d) 22,3a2 + 1,8a3 = a2 (22,3 + 1,8a)

16/5. a) 45 b) a9 c) 40x6 d) 0,65 b5 e) 21x4

f) 3a2 g) 73 h) 32 i) 40 k) 4x

1.2.4 Bruchrechnen

1.2.5 Potenzieren und Radizieren (Wurzelziehen)

Page 7: Rechenbuch Metall Lösungen

16/6. a) 7; 10; 11; 13; 10; 1,1; 0,6; 0,2

5 15 a 3cb) a; 3a2; 2am; a + b; –––; –––; –––; –––

7 4 b 2b

16/7. a) ���100 = 10 b) �������156,25 m2 = 12,5 m c) ��������0,3600 cm2 = 0,6 cm

a) ���81 = 9 b) ����4 m2 = 2 m c) ��������0,0144 dm2 = 0,12 dm

16/8. a) 2��a b) 9���m c) (2m + 3n)��b d) 2��9 = 6 e) (c – 2)��c

16/9. a) 6 b) 7��6 c) 10a d) 28 e) 2xy f) 9m2n

g) 2 h) ��x

Grundlagen der technischen Mathematik: Grundrechnungsarten, Technische Berechnungen 7

1

21/1a. Lösungsbeispiel:

10 dm1,0 m · ––––––– = 10 dm1 m

Ergebnisse a b c d e f g

m 1,0 0,075 6 500 0,001 2,35 0,007 0,235

dm 10 0,75 65 000 0,01 23,5 0,07 2,35

cm 370 396 20,4 1 300,7 7,5 0,0639 75,8

mm 3 700 3 960 204 13 007 75 0,639 758

dm2 145 26,5 1 470 5,6 9 0,3103 0,0009

cm2 14 500 2 650 147 000 560 900 31,03 0,09

m3 0,000115 0,000000063 0,000000003 0,001675 0,000343 0,000002 0,000125450

dm3 0,115 0,000063 0,000003 1,675 0,343 0,002 0,125450

qm 300 405 1 750 1 1 520 78 35

420 mm · 1 m21/2. v = p · d · n d = 420 mm = ––––––––––––– = 0,42 m

1 000 mm

1 1 1 min 540n = 540 –––- = 540 –––- · –––––- = ––––min min 60 s 60 s

540 m mv = p · 0,42 m · –––– = 11,869 –– = 11,9 ––60 s s s

m m 1 min 16 m m21/3. a) vf = 16 –––– = 16 –––– · ––––-– = ––––– = 0,27 ––

min min 60 s 60 s s

vb) a = –

tm

0,27 ––v s 0,27 m · s2

t = – = ––––––– = ––––––––––– = 0,135 sa m 2 · s · m

2 ––s2

1.3 Technische Berechnungen

1.3.1– Umrechnung von Einheiten und Rechnen mit physika lischen

1.3.6 Größen

Page 8: Rechenbuch Metall Lösungen

10 N N21/4. F = pe · A pe = 80 bar = 80 bar · ––––––––– = 800 ––––

cm2 · bar cm2

NF = 800 –––– · 66,75 cm2 = 53 400 N = 53,4 kNcm2

m m 1 min 110 m21/5. Pc = Fc · vc vc = 110 –––– = 110 –––– · ––––– = –––– ––

min min 60 s 60 s

110 m N · mPc = 6 365 N · –––– –– = 11 669,2 ––––– = 11 669,2 W ≈ 11,7 kW60 s s

8 Grundlagen der technischen Mathematik: Technische Berechnungen

24/1. U = p · d | : pU p · d–– = –––– p p

Ud = ––pU 125 mmd = –– = –––––––– = 39,8 mmp p

24/2. p · d2 |A = ––––– | · 44 |

4 · p · d2 |A · 4 = –––––––– | : p4 |

A · 4 p · d2––––– = –––––p p

����� ������������� ����������4 · A 4 · 56,74 cm2d = �––––– = �–––––––––––– = �72,28 cm2 = 8,5 cm

p p

24/3. c2 = a2 + b2 | – a2

c2 – a2 = a2 + b2 – a2

b2 = c2 – a2

������� ���������������������� ������������b = �c2 – a2 = �(160 mm)2 – (85 mm)2 = �18 375 mm2 = 135,5 mm

24/4. vf = n · fz · z | : (n · z)

vf n · fz · z–––– = ––––––– n · z n · z

Vffz = ––––n · z

mm72 ––––vf min 72 mm · minfz = –––– = –––––––– = –––––––––––– = 0,2 mm

n · z 45 45 · 8 min –––– · 8min

24/5. n1 · z1 = n2 · z2 | : z2

n1 · z1 n2 · z2–––––– = –––––– z2 z2

440 –––– · 32 n1 · z1 min 1n2 = –––––– = –––––––– = 176 ––––

z2 80 min

1.3.7 Umstellen von Formeln

Page 9: Rechenbuch Metall Lösungen

24/6. F1 d12 |

–– = ––– | · d22

F2 d22 |

F1 · d22 d1

2 · d22 | F2–––––– = –––––– | · ––

F2 d22 | F1

F1 · d22 · F2 d1

2 · F2–––––––––– = –––––––F2 · F1 F1

d12 · F2d2

2 = –––––––F1

������ �������������������d12 · F2 (20 mm)2 · 4 000 N

d2 = �–––––– = �––––––––––––––––––F1 150 N

����������������d2 = �10 666,66 mm2 = 103,3 mm

24/7. U |I = –– | · RR |

U · RI · R = –––––R

U = I · R = 4,2 A · 12 O = 50,4 V (1 V = 1 O · 1 A)

24/8.

Grundlagen der technischen Mathematik: Technische Berechnungen 9

1

a) F · s = FG · hFG · h

F = ––––––s

FG · hs = –––––––

FF · s

FG = –––––h

F · sh = ––––

FG

b) F1 · Œ1 = F2 · Œ2F2 · Œ2F1 = ––––––Œ1

F2 · Œ2Œ1 = ––––––F1

F1 · Œ1F2 = ––––––Œ2

F1 · Œ1Œ2 = ––––––F2

c) F1 · a = F2 · bF2 · b

F1 = –––––a

F2 · ba = ––––––

F1

F1 · aF2 = ––––––

b

F1 · ab = –––––––

F2

d) nt zg––– = –––ng zt

zg · ngnt = –––––––zt

nt · ztng = ––––––zg

nt · ztzg = ––––––ng

zg · ngzt = ––––––nt

e) FB = (F1 + F2) – FAF1 = FA + FB – F2F2 = FA + FB – F1FA = (F1 + F2 – FB)

f)

g)

U = 2 · (Œ + b)

UŒ = –– – b2

Ub = –– – Œ2

A0 = 2A + AM

A0 – AMA = ––––––––2

AM = A0 – 2A

h) Q = c · m · (t2 – t1)Qc = –––––––––––

m · (t2 – t1)Qm = ––––––––––

c · (t2 – t1)Qt2 = ––––– + t1c · m

Qt1 = t2 – –––––c · m

i) m · (z1 + z2)a = ––––––––––––2

2am = ––––––z1 + z2

2az1 = ––– – z2m

2az2 = ––– – z1m

k) D – dC = ––––––L

D = C · L + d

d = D – C · LD – dL = –––––

C

Page 10: Rechenbuch Metall Lösungen

10 Grundlagen der technischen Mathematik: Technische Berechnungen

l ) da = m · (z + 2)

dam = –––––z + 2

daz = –– – 2m

m) d = �������D2 – Œ2

D = �������d2 + Œ2

Œ = ��������D2 – d2

27/1. p · d2 | p · d2 · 4 | 4 · A p · d2 4 · AA = ––––– | · 4 4 · A = –––––––– | ÷ p ––––– = ––––– d = ������–––––

4 | 4 | p p p

��������������4 · 5,672 mm2d = �–––––––––––––– = 2,687 mm ≈ 2,7 mm

p

Lösung mit dem Taschenrechner

Schritt 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Eingabe AC 4 x 5,672 : p = �� =

Anzeige 0 4 4 5,672 22,688 3,14159 7,2218 7,2218 2,687

27/2. a) sin 15° = 0,258819 b) cos 32,42° = 0,8441

Lösung mit dem Taschenrechner

Schritt 1 2 3 4

Eingabe AC sin 15 =

Anzeige 0 0 15 0,258819

Lösung mit dem Taschenrechner

Schritt 1 2 3 4

Eingabe AC cos 32,42 =

Anzeige 0 0 32,42 0,8441408

c) tan 56,53° = 1,5125 d) sin 84,43° = 0,9952

Lösung mit dem Taschenrechner

Schritt 1 2 3 4

Eingabe AC tan 56,33 =

Anzeige 0 0 56,33 1,5125

Lösung mit dem Taschenrechner

Schritt 1 2 3 4

Eingabe AC sin 84,43 =

Anzeige 0 0 84,43 0,9952

e) cos 77,2° = 0,2215 f) tan 87,41° = 22,1068

Lösung mit dem Taschenrechner

Schritt 1 2 3 4

Eingabe AC cos 77,2 =

Anzeige 0 0 77,2 0,2215

Lösung mit dem Taschenrechner

Schritt 1 2 3 4

Eingabe AC tan 87,41 =

Anzeige 0 0 87,41 22,1068

1.3.8 Technische Berechnungen mit dem Taschenrechner

n) Q = q · s · nQ

q = –––––s · n

Qs = –––––

q · nQ

n = –––––q · s

o) P = U · I · cos gP

U = –––––––––I · cos g

PI = ––––––––––

U · cos gP

cos g = –––––U · I

p) R1 · R2● R1 = ––––––––

R1 + R2

– R · R2R1 = –––––––––R – R2

R · R1R2 = –––––––R1 – R

q) (F1 · Œ1 + F2 · Œ2)● FB = –––––––––––––––

ŒFB · Œ – F2 · Œ2Œ1 = ––––––––––––––

F1

FB · Œ – F1 · Œ1Œ2 = ––––––––––––––F2

FB · Œ – F2 · Œ2F1 = ––––––––––––––Œ1

FB · Œ – F1 · Œ1F2 = ––––––––––––––Œ2

Page 11: Rechenbuch Metall Lösungen

28/1. Rechtwinklige Dreiecke

�����������������������a) c = �����a2 + b2 = �(120 mm)2 + (160 mm)2 = 200 mm

����������������������b) b = �����c2 – a2 = �(170 mm)2 – (80 mm)2 = 150 mm

�������������������c) c = �����a2 + b2 = �(8,3 cm)2 + (40 cm)2 = 40,852 cm

��������������������d) a = �����c2 – b2 = �(8,2 dm)2 – (6,4 dm)2 = 5,126 dm

��������������������e) a = �����c2 – b2 = �(0,12 m)2 – (0,02 m)2 = 0,118 m

����������������������f) b = �����c2 – a2 = �(20,2 km)2 – (13,5 km)2 = 15,026 km

540 54027/4. v = p · d · n d = 420 mm = 0,4 m n = –––– = –––––

min 60 s

540 p · 0,4 · 540 m mv = p · 0,4 m · –––– = ––––––––––– –– = 11,309 ––60 s 60 s s

Grundlagen der technischen Mathematik: Technische Berechnungen, Berechnungen im Dreieck 11

1

Lösung mit dem Taschenrechner

Schritt 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Eingabe AC p · 0,4 · 540 : 60 =

Anzeige 0 3,1415 3,1415 0,4 1,2566 540 678,584 60 11,309

Lösung mit dem Taschenrechner

Schritt 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Eingabe AC p · 22 + 2 · 30 +

Anzeige 0 3,1415 3,1415 22 69,1 2 2 30 129,1

Schritt 10 11 12 13 14 15 16 17

Eingabe 2 · p · 9,5 · 1 =

Anzeige 2 2 3,1415 6,2831 9,5 188,8 1 188,8

27/3. a) a = 23,697° b) b = 87,34°

Lösung mit dem Taschenrechner

Schritt 1 2 3 4 5

Eingabe AC SHIFT sin 0,4019 =

Anzeige 0 0 0 0,4019 23,697

c) g = 74,33°

Lösung mit dem Taschenrechner

Schritt 1 2 3 4 5

Eingabe AC SHIFT tan 3,5648 =

Anzeige 0 0 0 3,5648 74,33

Lösung mit dem Taschenrechner

Schritt 1 2 3 4 5

Eingabe AC SHIFT cos 0,0464 =

Anzeige 0 0 0 0,0464 87,34

27/5. S = U · tS = (p · 22 mm + 2 · 30 mm + 2 · p · 9,5 mm) · 1 mmS = 188,8 mm · 1 mm = 188,8 mm2

1.4 Berechnungen im Dreieck

1.4.1 Lehrsatz des Pythagoras

Page 12: Rechenbuch Metall Lösungen

28/2. Rahmen

Länge einer Versteifungsstrebe:�������������������������c = �����a2 + b2 = �(750 mm)2 + (1 200 mm)2 =1 415,097 mm

≈ 1415 mm

28/3. Kegel

�����������������������h = �����c2 – b2 = �(170 mm)2 – (60 mm)2 = 159,06 mm

≈ 159 mm

28/4. Zylinder����������������������b = 2 · �����c2 – a2 = 2 · �(60 mm)2 – (40 mm)2

= 89,443 mm

28/5. Platte

���������������������x = �(29 mm)2 + (29 mm)2 = ��������1682 mm2 = 41,012 mm

29/6. Vierkant

���������������������c = �����a2 + b2 = �(30 mm)2 + (30 mm)2 = 42,426 mm

29/7. Sechskant

D 2 D 2(––) = (––) + (16 mm)2

2 4

D2 D2––– – ––– = (16 mm)2

4 16

3–– D2 = (16 mm)2 = 256 mm2

1616D2 = 256 mm2 · ––3

D = ��������1 365,3– mm2 = 36,950 mm

29/8. Quader

������������������������c = Œ1 = �����a2 + b2 = � (420 mm)2 + (215 mm)2

= 471,832 mm

����������������������������c = Œ2 = �����a2 + b2 = � (471,832 mm)2 + (180 mm)2

= 505,000 mm

29/9. Anschnitt

�����������������������a = Œs = �����c2 – b2 = �(40 mm)2 – (32,5 mm)2

= 23,318 mm ≈ 23,3 mm

L = (100 + 40 + 1,5 + 1,5 – 23,3) mm = 119,7 mm

29/10. Kugelpfanne

���������������������xa = –– = �����c2 – b2 = �(24 mm)2 – (11 mm)2

2

= 21,330729 mm

x = 42,661 mm

29/11. Treppenwange

��������������������������c = L = �����a2 + b2 = �(2200 mm)2 + (1800 mm)2

= 2 842,5 mm

12 Grundlagen der technischen Mathematik: Berechnungen im Dreieck

dD

b =D

4

c=

D 2

a

Bild 29/7: Sechskant

x

ø22

Sø48

24

11x2

Bild 29/10: Kugelpfanne

Bild 29/6: Vierkant

SW

ø 60

30 30

c

Page 13: Rechenbuch Metall Lösungen

29/12. Lehre

�����������������������b = �����c2 – a2 = �(60 mm)2 – (42,5 mm)2 = 42,353 mm

x = (42,353 + 42,5) mm = 84,853 mm

29/13. Zahntrieb

����������������������a = x = �����c2 – b2 = �(115 mm)2 – (34 mm)2 = 109,859 mm

29/14. Portalkran������������������

m 2 m 2 mc = �����a2 + b2 = � (1,3 ––) + (1,9 –– ) = 2,3 ––s s s

30/15. Lochung

����������������������c = �����a2 + b2 = �(36 mm)2 + (32 mm)2 = 48,166 mm

x = 48,166 mm – 8 mm = 40,166 mm ≈ 40,17 mm

30/16. Ausleger

�������������������������Œ = c = �����a2 + b2 = �(1250 mm)2 + (830 mm)2

= 1 500,467 mm ≈ 1 500 mm

30/17. Härteprüfung

����������������������b = �����c2 – a2 = �(5 mm)2 – (2,15 mm)2 = 4,514 mmh = (5 – 4,514) mm = 0,486 mm

30/18. Segmentplatte

���������������������x = �(40 mm)2 – (10 mm)2 = 38,730 mm

���������������������������������y = �(40 mm)2 – (38,730 mm – 5 mm)2 = 21,501 mm

30/19. Kräfte beim Drehen

������������������������c = Fa = �����a2 + b2 = �(8 900 N)2 + (1 700 N)2

= 9 060,9 N

30/20. Scheibenfräser

��������������������a) b = �����c2 – a2 = �(40 mm)2 – (34 mm)2 = 21,071 mm

������������� ����������������������d 2 d 2 d 2 d 2 d

● b) Œs = �(–– ) – (–– – a) = �–– – (–– – 2 · –– · a + a2)2 2 4 4 2

�����������������d 2 d 2

= � –– – –– + d · a – a2

4 4

=������a · d – a2

30/21. Lochstempel

f 2

(– ) = r2 – (r – 0,1)2

2���������������������������f– = �(5 mm)2 – (5 mm – 0,1 mm)2

2= 0,995 mm

f ≈ 2 mm

30/22. Seewölbung● ���������������������a = �����c2 – b2 = �(6 365 km)2 – (23 km)2 = 6 364,9584 km

h = r – b = 6 365 km – 6 364,9584 km = 0,04156 km= 41,56 m

Grundlagen der technischen Mathematik: Berechnungen im Dreieck 13

1

120

85

x=b+42,5

a=

42,5

c =60

b =?

Bild 29/12: Lehre

a = 2,15 mm

c=

5m

m

b

Bild 30/17: Härteprüfung

r

f

ø10

0,1

f2

r-0,

1

Bild 30/21: Lochstempel

Page 14: Rechenbuch Metall Lösungen

33/2. Winkel

14 Grundlagen der technischen Mathematik: Berechnungen im Dreieck

a b c d e

a 6° 8,5° (8° 30‘) 39,84° (39° 50‘) 69,83° (69° 50‘) 87,86° (87° 51‘)

a 1,62° (1° 37‘) 10,17° (10° 10‘) 38,83° (38° 50‘) 53,17° (53° 10‘) 85°

a 5° 25° 70,83° (70° 50‘) 89,17 (89° 10‘) 89,83° (89° 50‘)

33/3. Berechnungen im Dreieck

a b c d e

c in mm 62 50 350 784 1 120

a in mm 50,8 30 225 747 760

b in mm 35,6 40 268 238 825

@ a 55° 36,83° 40° 72,33° 42° 40‘

@ b 35° 53,17° 50° 17,67° 47° 20‘

33/4. Kegelräder

d1––2 d1 160 mm

tan d1 = –– = –– = –––––––– = 1,8182; d1 = 61,2°d2 d2 88 mm––2

d2 = 90° – d1 = 90° – 61,2° = 28,8°

33/5. Prismenführung

b = a · tan 40° = 16 mm · 0,8391 = 13,426 mmx = 36 mm – 2 · b = 36 mm – 2 · 13,426 mm = 9,148 mm ≈ 9,15 mm

33/6. Seitenschieber

x = a · tan 30° = 5 mm · 0,5774 = 2,887 mm ≈ 2,9 mm

33/7. Bohrlehre

100 mm 100 mmc = –––––––– = –––––––– = 155,6 mmcos 50° 0,6428

b = 100 mm · tan 50° = 100 mm · 1,1918 = 119,18 mm

33/8. Befestigungsplatte

x = 40 mm · cos 20° = 40 mm · 0,9397 = 37,59 mm

y = 40 mm · sin 20° = 40 mm · 0,3420 = 13,68 mm

33/9. Sinuslineal

E = L · sin a = 100 mm · sin 24,5° = 100 mm · 0,4147 = 41,47 mm

1.4.2 Winkelfunktionen

� Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck

33/1 Funktionswerte

sin: 0,1736; 0,7431; 0,0640; 0,4874; 0,9124; 0,6136

cos: 0,9848; 0,6691; 0,9980; 0,8732; 0,4094; –0,7896

tan: 0,1763; 1,1106; 0,0641; 0,5581; 2,2286; –0,7771

Page 15: Rechenbuch Metall Lösungen

34/10. Blechhaube

750 mm 400 mma = ––––––––– – ––––––––– = 175 mm;2 2

a 175 mmL = ––––––– = ––––––––– = 272,24 mm ≈ 272 mmsin 40° 0,6428

34/11. Drehteil

a D – d (50 – 30) mm atan –– = –––––– = –––––––––––––– = 0,1190; –– = 6,79°; a = 13,58°2 2 Œ 2 · 84 mm 2

34/12. Abdeckblech

160 mm 160 mmŒ1 = ––––––––– = ––––––––– = 184,8 mmcos 30° 0,8660

Œ2 = 160 mm · tan 30° = 160 mm · 0,5773 = 92,4 mm

Œ3 = 530 mm – 80 mm = 450 mm

p · d p · 160 mmŒ4 = ––––– = –––––––––––– = 251,3 mm2 2

Œ = Œ1 + Œ3 + Œ4 + Œ3 – Œ2 = 1 243,7 mm

34/13. Reibradgetriebe

100 mm 100 mmh = –––––––– = ––––––––– = 26,79 mm ≈ 26,8 mmtan 75° 3,7321

34/14. Trägerkonstruktion

c 2 300 mmtan a = ––––– = ––––––––––––––––––––––––– = 0,4182; a = 22,69°a + b 3 000 mm + 2 500 mm

a a 3 000 mmcos a= –– ; d = –––––– = ––––––––––– = 3 251,68 mm ≈ 3 252 mmd cos a 0,9226

c c 2 300 mm sin a = –––––– ; d + e = ––––– = ––––––––––– = 5 961,64 mmd + e sin a 0,3858

e = 5 961,49 mm – d = 3 961,49 mm – 3 251,68 mm = 2 709,81 mm ≈ 2 710 mm

fsin a = –– ; f = d · sin a = 3 251,68 mm · 0,3858 = 1 254,50 mm ≈ 1 255 mmd

���������������������������� ���������������������g2 = b2 + f 2; g = �����b2 + f 2 = �(2 500 mm)2 + (1 254,50 mm)2 = �7 823 770 mm2

≈ 2 797 mm

34/15. Profilplatte

P1: X1 = 0 mm

Y1 = 0 mm

P2: X2 = 40 mm

Y2 = 0 mm

P3: X3 = (40 + 30) mm = 70 mm

Y3 = 30 mm · tan 20° = 30 mm · 0,3640 = 10,92 mm

P4: X4 = X3 = 70 mm

Y4 = 28 mm

(37 – 28) mmP5: tan 20° = ––––––––––––––70 mm – X5

9 mm 9 mmX5 = 70 mm – –––––––– = 70 mm – ––––––– = 45,27 mmtan 20° 0,3640

Y5 = 37 mm

Grundlagen der technischen Mathematik: Berechnungen im Dreieck 15

1

ö3

ö2

ö1 ö 4

Bild 34/12: Abdeckblech

Page 16: Rechenbuch Metall Lösungen

P6: X6 = 20 mm + 16 mm · sin 60° = 20 mm + 16 mm · 0,8660 = 33,86 mm

Y6 = 37 mm

P7: X7 = 20 mm P8: X8 = 0 mm

Y7 = 45 mm Y8 = 45 mm

34/16: Rundstab

6 mmsin a = ––––––– = 0,24; a = 13,89°25 mm

120° – 2 · ab = ––––––––––– = 46,11°2

a = r – tacos b = –– ; a = r · cos b = 25 mm · 0,6933 = 17,33 mmr

t = r – a = 25 mm – 17,33 mm = 7,67 mm

34/17. Vierkant

16 mmcos a = –––––––– = 0,8; a = 36,87°20 mm

b = 45° – a = 8,13°

b = 2 · 20 mm · sin b = 40 mm · 0,1414 = 5,656 mm ≈ 5,7 mm

� Winkelfunktionen im schiefwinkligen Dreieck

36/1. Schiefwinklige Dreiecke

a b b · sin a 75 mm · sin 75°a) ––––– = ––––– ; a = –––––––––– = ––––––––––––––––- = 102,45 mmsin a sin b sin b sin 45°

g = 180° – a – b = 180° – 75° – 45° = 60°

c a a · sin g 102,45 mm · sin 60°–––––– = ––––––; c = ––––––––– = ––––––––––––––––––––– = 91,85 mmsin g sin a sin a sin 75°

sin b sin g b · sin g 45 mm · sin 60,5°b) –––––– = ––––– ; sin b = ––––––––– = –––––––––––––––––– = 0,9108b c c 43 mm

b = 65,62°

a = 180° – b – g = 180° – 65,62° – 60,5° = 53,88°

a c c · sin a 43 mm · sin 53,88°––––– = ––––– ; a = –––––––– = –––––––––––––––––––– = 39,91 mmsin a sin g sin g sin 60,5°

c) c2= a2 + b2 – 2 · a · b · cos g����������������������� ���������������������������������������c = � a2 – b2 – 2 · a · b · cos g = �(502 + 362 – 2 · 50 · 36 · cos 59,5°) mm2

= 44,37 mm

sin a sin g a · sin g 50 mm · sin 59,5°––––– = ––––– ; sin a = –––––––– = –––––––––––––––––– = 0,9709a c c 44,37 mm

a = 76,16°

b = 180° – a – g = 180° – 76,16° – 59,5° = 44,34°

b2 + c2 – a2d) a2 = b2 + c2 – 2 · b · c · cos a; cos a = ––––––––––––

2 · b · c(392 + 452 – 572) mm2

= –––––––––––––––––––––– = 0,0846; a = 85,15°2 · 39 · 45 mm2

16 Grundlagen der technischen Mathematik: Berechnungen im Dreieck

Bild 34/17: Vierkant

16

R20

b

a

b

Page 17: Rechenbuch Metall Lösungen

sin a sin b b · sin a 39 mm · sin 85,15°–––––– = –––––; sin b= ––––––––– = –––––––––––––––––––– = 0,6818a b a 57 mm

b = 42,98°

g = 180° – a – b = 180° – 85,15° – 42,98° = 51,87°

36/2. Ausleger

a) b = 180° – (60° + 70°) = 50°x b b · sin a 1 500 mm · sin 60°–––––– = –––––– ; x = ––––––––– = –––––––––––––––––––– = 1 695,77 mm ≈ 1 696 mm

sin a sin b sin b sin 50°

y b b · sin g 1 500 mm · sin 70°––––– = –––––– ; y = ––––––––– = –––––––––––––––––––– = 1 840,02 mm ≈ 1 840 mmsin g sin b sin b sin 50°

Œb) sin g = –– ; Œ = x · sin g = 1 695,77 mm · sin 70° = 1 593,50 mm ≈ 1 594 mmx

36/3. Kurbeltrieb

sin a sin b b · sin a 180 mm · sin 30°a) ––––– = –––––– ; sin b = –––––––– = ––––––––––––––––– = 0,2250

a b a 400 mmb = 13,00°

b) Winkel g zwischen Kurbel und Kurbelstange: g = 180° – a – b= 180° – 30° – 13° = 137°

c a a · sin g 400 mm · sin 137°–––––– = ––––– ; c = –––––––– = ––––––––––––––––––– = 545,6 mmsin g sin a sin a sin 30°x = r + a – c = 180 mm + 400 mm – 545,6 mm = 34,4 mm

36/4. Grundplatte

����� ����� �����P1P2 = a; P1P3 = b; P2P3 = c; @ P1P2P3 = @ ba2 + c2 – b2

b2 = a2 + c2 – 2 · a · c · cos b; cos b = –––––––––––––2 · a · c

(922 + 362 – 712) mm2= ––––––––––––––––––––––––– = 0,7124; b = 44,57°

2 · 92 · 36 mm2

xcos b = ––; x = a · cos b = 36 mm · cos 44,57° a

= 25,65 mm

ysin b = ––; y = a · sin b = 36 mm · sin 44,57° a

= 25,26 mm

oder�����������������������a2 = x2 + y2; y = �����a2 – x2 = �(36 mm)2 – (25,65 mm)2

= 25,26 mm

36/5. Fachwerk

a2 = b2 + c2 – 2 · b · c · cos a�����������������������a = �b2 + c2 – 2 · b · c · cos a�����������������������������������������������a = �(3 0002 + 2 2002 – 2 · 3 000 · 2 200 · cos 20°) mm2

= 1 198,4 mm

Grundlagen der technischen Mathematik: Berechnungen im Dreieck 17

1

b

c

a

a

Bild 36/5: Fachwerk

Page 18: Rechenbuch Metall Lösungen

37/1. Werkstoffpreis

1. Schritt: Am = 1 kg; Aw = 1,08 EUR

Aw EUR2. Schritt: ––– = 1,08 –––––

Am kg

3. Schritt: Em = Em1· Em2

= 1,35 kg · 185 Deckel

Em = 249,75 kg · Deckel

Em · Aw 249,75 kg · 1,08 EUREw = –––––––– = ––––––––––––––––––––––

Am 1 kg

Ew = 269,73 EUR

37/2. Schutzgasverbrauch

1. Schritt: Am = 23 m; Aw = 640 —

Aw 640 — —2. Schritt: ––– = –––––– = 27,83 ––

Am 23 m m

3. Schritt: Em = 78 m

Em · Aw 78 m · 640 —Ew = –––––––– = –––––––––––––

Am 23 m

Ew = 2 170,43 “

37/3. Notstromaggregat

1. Schritt: Am = Am1 · Am2 = 2 Aggregate · 3 StundenAm = 6 Stunden

2. Schritt: Am = 6 Stunden; Aw = 120 —Aw 120 — —––– = ––––––––––– = 20 ––Am 6 Stunden h

3. Schritt: Em = 3 Aggregate

Em · Aw 3 · 120 — —Ew = –––––––– = ––––––––––– = 60 ––

Am 6 Stunden h

240 —240 — Treibstoff reichen für –––––– = 4 h.—60 ––h

37/4. CuZn-Blech

1. Schritt: Am = Am1 · Am2

= 4 m2 · 4 mm = 16 m2 · mm

2. Schritt: Am = 16 m2 · mm; Aw = 136 kg

Aw 136 kg kg––– = ––––––––––––– = 8,5 –––––––––––Am 16 m2 · mm m2 · mm

3. Schritt: Em = Em1· Em2

= 10 m2 · 6 mm

= 60 m2 · mm

Em · Aw 60 m2 · mm · 136 kgEw = –––––––– = ––––––––––––––––––––– = 510 kg

Am 16 m2 · mm

18 Grundlagen der technischen Mathematik: Allgemeine Berechnungen

1.5 Allgemeine Berechnungen

1.5.1 Schlussrechnung

Page 19: Rechenbuch Metall Lösungen

37/5. Qualitätskontrolle

● 1. Schritt: Am = 3 Prüfer; Aw = 14 Stunden

2. Schritt: Am · Aw = 3 · 14 Stunden = 42 Stunden

3. Schritt: Em = 8 Stunden

Am · Aw 3 Prüfer · 14 StundenEw = –––––––– = –––––––––––––––––––––––

Em 8 Stunden

Ew = 5,25 Prüfer

Es werden mindestens 6 Prüfer benötigt.

37/6. Rundstahl

● 1. Schritt: Am = 200 mm; Aw = 450 cm= 4,5 m

2. Schritt: Am · Aw = 200 mm · 4,5 m = 900 mm · m

3. Schritt: Em = 100 mm

Aw · Am 4,5 m · 200 mmEw = –––––––– = –––––––––––––––––

Em 100 mm

Ew = 9 m

Grundlagen der technischen Mathematik: Allgemeine Berechnungen 19

1

38/1. Festplatte

100 % · Pw 100 % · 15 MBPs = ––––––––––– = ––––––––––––––– = 0,15 %

Gw 10 000 MB

38/2. Scanzeit

Gw 4 minPw = –––––– · Ps = –––––– · 24 % = 0,96 min ‡ 57,6 s fi 58 s

100 % 100 %

Scanzeit = 4 min – 0,96 min = 3,04 min ‡ 3 min 2,4 s

oder:Aw 4 min

Ew = –––– · Em = –––––– · 24 % = 0,96 minAm 100 %

Die Scanzeit beträgt 4 min – 0,96 min = 3,04 min ‡ 3 min 2,4 s

38/3. Rauchgasentschwefelung

38 % – 20 % = 18 % Verbesserung

100 % · Pw 100 % · 18 %Ps = –––––––––––– = ––––––––––––– = 47,37 %

Gw 38 %

38/4. Gehäusegewicht

kg1 mm Blechdicke bei r = 7,85 ––––– ‡ 100 %dm3

kg2 mm Blechdicke bei r = 2,7 ––––– ‡ ? %

dm3

kg100 % · 2,7 –––– · 2 mmdm3

Neues Gewicht = ––––––––––––––––––––––– = 68,79 %kg7,85 –––– · 1 mmdm3

Gewichtsverminderung = 100 % – 68,79 % = 31,21 %

1.5.2 Prozentrechnung

Page 20: Rechenbuch Metall Lösungen

38/5. Zugfestigkeit

N1 250 ––––– · 100 %mm2 N N–––––––––––––––––––– = 880,28 ––––– ≈ 880 –––––142 % mm2 mm2

38/6. Lotherstellung

Prozentualer Gehalt der Bestandteile in der Schmelze:Sn = 63 %, Pb = 37 %Massenanteil der Bestandteile an der Gesamtmasse:

63 % · 150 kg 37 % · 150 kgmSn = –––––––––––––– = 94,5 kg mPb = –––––––––––––– = 55,5 kg100 % 100 %

38/7. Aktienfonds

● Die Kosten für einen Fondsanteil betragen 135 EUR.

Gw 15 Anteile · 135 EUR 2 025 EUR · 5,25 %a) Pw = ––––––– · Ps = –––––––––––––––––––––– · 5,25 % = ––––––––––––––––––––

100 % 100 % 100 %

Pw = 106,31 EUR

Gesamtbetrag = 2 025 EUR + 106,31 EUR = 2 131,31 EUR

Gw 2 025 EURb) Pw = –––––– · Ps = –––––––––––– · 45 % = 911,25 EUR

100 % 100 %

Gewinn = 911,25 EUR – 106,31 EUR = 804,94 EUR

20 Grundlagen der technischen Mathematik: Allgemeine Berechnungen

39/1. Arbeitsaufträge

a) 1 h 43 min b) 4 h 20 min c) 2 h 34 min d) 9 h 25 min

39/2. Stundenumrechnung

a) 2,7667 h b) 6,5042 h c) 0,5667 h d) 0,16 h

39/3. Zeitangabe

a) 0 h 48 min b) 0 h 9 min c) 0 h 45 min 36 s

d) 8 h 33 min e) 2 h 21 min 36 s f) 1 h 1 min 12 s

39/4. Zeitumrechnung

a) 455,4 min b) 500,033 min c) 3,667 min d) 0,10833 min

e) 60,367 min

39/5. Fahrzeit

a) 8.35 Uhr + 4 h 38 min + 5 min 20 s + 36 min = 13:54:20 Uhr

b) 4 h 38 min + 5 min 20 s + 36 min = 5 h 19 min 20 s

39/6. Montagezeit

5 min 25 s = 325 s;25 Geräte · 325 s = 8 125 s = 135,42 min

‡ 135 min 25 s‡ 2 h 15 min 25 s

39/7. Zahnriementrieb

a) Aus Diagramm abgelesen:Antrieb 1: 0,16 s

Antrieb 2: 0,4 s

Antrieb 3: 0,8 s

1.5.3 Zeitberechnungen

Page 21: Rechenbuch Metall Lösungen

41/1. Umrechnungen

27° 30‘; 62° 40,2‘, 38° 13,8‘

41/2. Umrechnung

a) 6° 2‘; 1° 29‘; 9° 42‘; 22° 4‘

b) 16‘ 25,2‘‘; 49‘ 36‘‘; 0‘ 3,6‘‘

41/3. Platte

b = 180° – 115° = 65°; a = b = g = 65°; d = 115°

41/4. Winkel im Dreieck

a) g = 180° – (17° + 47°) = 116°

b) a = 180° – (72° 8‘ + 31°) = 76° 52‘

c) b = 180° – (121° + 56° 41‘) = 2° 19‘

41/5. Mittelpunktswinkel

360° 360°6-Eck: a = ––––– = ––––– = 60°

n 6b = 180° – a = 180° – 60° = 120°

8-Eck: a = 45°; b = 135°

10-Eck: a = 36°; b = 144°

41/6. Flansch

360°a = ––––– = 72°5

41/7. Drehmeißel

a + b + g = 90°b = 90° – (a + g)b = 90° – (17° + 15°) = 90° – 32°b = 58°

41/8. Wagenheber

d 50°–– + b + 90° = 180°; b = 180° – 90° – –––2 2

b = 65°

d 50°a = 90° – –– = 90° – –––– = 65°2 2

41/9. Schablone

a + 118° = 180°a = 180° – 118° = 62°

ab = 90° + –– = 121°2

180° – 2 · 65°g = ––––––––––––– = 25°2

41/10. Zahnriementrieb

a = 180° – 7° + 18° = 191°

b = 180° + 7° + 30° = 217°

b) Zeiten für 4 000 WerkstückeAntrieb 1: 4 000 Werkstücke · 0,16 s = 640 s = 10 min 40 s

Antrieb 2: 4 000 Werkstücke · 0,4 s = 1 600 s = 26 min 40 s

Antrieb 3: 4 000 Werkstücke · 0,8 s = 3 200 s = 53 min 20 s

Grundlagen der technischen Mathematik: Allgemeine Berechnungen 21

1

65°

g

a2a

2

118°

b

a

Bild 41/9: Schablone

360°na =

180°- a2

b = 2 ·a

b

Bild 41/5: Mittelpunktswinkel

1.5.4 Winkelberechnungen

Page 22: Rechenbuch Metall Lösungen

� Teilung gerader Längen

43/1. Restlänge

ŒR = Œ – (Œs1 + s + Œs2 + s + Œs3 + s + Œs4 + s + Œs5 + s)ŒR = Œ – (Œs1 + Œs2 + Œs3 + Œs4 + Œs5 + 5 · s)ŒR = 6 000 mm – (750 mm + 87 mm + 1 300 mm + 1 540 mm + 625 mm + 5 · 1,5 mm)ŒR = 6 000 mm – 4 309,5 mm = 1 690,5 mm

43/2. Anzahl der Teilelemente

a) 4Œ – (n – 1) · s 3 400 mm – 4 · 2 mmb) Œs = ––––––––––––– = ––––––––––––––––––––––– = 678,4 mm

n 5

43/3. Teilung

Œ 300 mma) p = –––––– = ––––––––– = 42,86 mmn + 1 6 + 1

Œ – (a + b) 300 mm – (44,5 mm + 44,5 mm)b) p = –––––––––– = –––––––––––––––––––––––––––––––––– = 42,2 mmn – 1 6 – 1

43/4. Anreißen von Löchern

Œ – (a + b) 800 mm – (25 mm + 25 mm)p = –––––––––– = –––––––––––––––––––––––––––––– = 50 mmn – 1 16 – 1

25 mm; 75 mm; 125 mm; 175 mm; 225 mm; 275 mm; 325 mm; 375 mm; 425 mm;

475 mm; 525 mm; 575 mm; 625 mm; 675 mm; 725 mm; 775 mm

43/5. Teilung

Œ 2 000 mmp = –––––– = ––––––––––– = 125 mmn + 1 15 + 1

43/6. Schutzgitter

Œ – (a + b) Œ – (a + b) 2 150 mm – (130 mm + 130 mm)p = –––––––––– ; n = –––––––––– + 1 = ––––––––––––––––––––––––––––––––––– + 1 = 28n – 1 p 70 mm

43/7. Obergurt

Œ – (a + b)p = –––––––––n – 1

Œ = p · (n – 1) + (a + b) = 70 mm (9 – 1) + (20 mm + 30 mm) = 610 mm

43/8. Treppengeländer

Œ Œ 4 160 mmp = –––––– ; n = –– – 1 = ––––––––––– – 1 = 51n + 1 p 80 mm

x = p – 12 mm = 80 mm – 12 mm = 68 mm

43/9. Blechtafel

n = 2 · n1 + 2 · n2

Œ – (a + b) 1 840 mm – (200 mm + 200 mm)n1 = –––––––––– + 1 = –––––––––––––––––––––––––––––––––– + 1 = 25p 60 mm

Œ – (a + b) 1 120 mm – (260 mm + 260 mm)n2 = –––––––––– + 1 = –––––––––––––––––––––––––––––––––––– + 1 = 11p 60 mm

n = 2 · 25 + 2 · 11 = 72

22 Grundlagen der technischen Mathematik: Längen, Flächen, Volumen

1.6 Längen, Flächen, Volumen

1.6.1 Längen

Page 23: Rechenbuch Metall Lösungen

43/10. Klingelschild

Œ – (a + b) 200 mm – (45 mm + 25 mm) 200 mm – 70 mmp = ––––––––––– = –––––––––––––––––––––––––––––––––– = –––––––—–––––––––– = 26 mmn – 1 6 – 1 5

x = p – 10 mm = 26 mm – 10 mm = 16 mm

y = 180 mm – (15 mm + 70 mm + 15 mm) = 180 mm – 100 mm = 80 mm

� Kreisumfänge und Kreisteilungen

44/1. Kreisumfang

22,93 mm; 40,84 mm; 61,26 mm; 64,40 mm; 247,87 mm; 363,48 mm

44/2. Durchmesser

19,99 mm; 5,00 mm; 9,99 mm; 69,96 mm; 26,99 mm; 124,94 mm

44/3. Bandsäge

Œ = p · d + 2a = p · 600 mm + 2 · 1 250 mm = 4 385 mm

44/4. Schnittteile

p · D · a p · 300 mm · 65°Bild 3 Œ1 = –––––––– = ––––––––––––––––– = 170 mm360° 360°

p · d · a p · 190 mm · 65°Œ2 = –––––––– = ––––––––––––––––– = 108 mm360° 360°

D – d 300 mm – 190 mmŒ3 = 2 · –––––– = 2 · –––––––––––––––––––– = 110 mm2 2

Œa = Œ1 + Œ2 + Œ3 = (170 + 108 + 110) mm = 388 mm

Œi = 2 · p · d = 2 · p · 20 mm ≈ 126 mm

Bild 4 Œ1 = 4 · Œ = 4 · 120 mm = 480 mmŒ2 = p · d = p · 60 mm = 188,5 mmŒa = Œ1 + Œ2 = 480 mm + 188,5 mm = 668,5 mm

Œi = p · d = p · 20 mm = 62,83 mm

Bild 5 Œa = 2 · 85 mm + p · 30 mm + 30 mm + p · 15 mm = 341,4 mm

Œi = 2 · 65 mm + 2 · 7 mm = 144 mm

44/5. Teilung

55 mmdm = 95 mm · 2 + 2 · –––––––– = 190 mm + 55 mm = 245 mm2

p · dm p · 245 mmp = ––––––– = –––––––––––– = 48,1 mm

n 16

� Gestreckte und zusammengesetzte Längen

45/1. Handlauf

L = Œ1 + Œ2 + Œ3p · dm · a p · 1 140 mm · 150°

Œ2 = ––––––––– = ––––––––––––––––––––– = 1 492,3 mm360° 360°

L = 300 mm + 1 492,3 mm + 500 mm = 2 292,3 mm

45/2. Kreisring

U 1 058 mmU = p · dm; dm = –– = –––––––––– = 336,77 mm ≈ 337 mmp p

d = 337 mm – 12 mm = 325 mm

45/3. Blechbehälter

dm = 900 mm + 20 mm = 920 mmU = p · dm = p · 920 mm = 2 890,27 mm

Grundlagen der technischen Mathematik: Längen, Flächen, Volumen 23

1

Page 24: Rechenbuch Metall Lösungen

45/4. Haken

L = Œ1 + Œ2 + Œ3p · dm p · (20 mm + 10 mm)

Œ1 = ––––––– = ––––––––––––––––––––––– = 47,12 mm2 2

Œ22 = (90 mm)2 + (450 mm)2

����������������������Œ2 = �(90 mm)2 + (450 mm)2 = 458,91 mm

p · dm · a p · (20 mm + 10 mm) · 270°Œ3 = –––––––––– = ––––––––––––––––––––––––––––– = 70,29 mm

360° 360°

L = 47,12 mm + 458,91 mm + 70,29 mm = 576,72 mm

45/5. Rohrschelle und Griff

Rohrschelle:

L = Œ1 + Œ2 + Œ3 + Œ4Œ1 = 2 · 15 mm Œ2 = 2 · 5 mm

p · dm1 p · (150 mm + 5 mm) p · 155 mmŒ3 = ––––––– = ––––––––––––––––––––––– = –––––––––––– = 243,47 mm

2 2 2

p · dm2 p · (50 mm + 5 mm) p · 55 mmŒ4 = ––––––– = ––––––––––––––––––––– = ––––––––––– = 86,39 mm

2 2 2

L = 30 mm + 10 mm + 243,47 mm + 86,39 mm = 369,86 mm

Griff:

L = 2 · 30 mm + 80 mm + p · 70 mm= 60 mm + 80 mm + 219,8 mm = 359,9 mm

24 Grundlagen der technischen Mathematik: Längen, Flächen, Volumen

� Geradlinig begrenzte Flächen

47/1. Strebe

A = 5 · A1 = 5 · (3 cm)2 = 45 cm2

47/2. Quadratstahl

Œ = ����Œ12 · 2 = ��������(7 mm)2 · 2 = ������98 mm2 = 9,8995 mm ≈ 10 mm

47/3. Flachstahl

A 175 mm2Œ = ––– = ––––––––––––= 14 mm b 12,5 mm

47/4. Stütze

A (48 mm)2b = –– = –––––––––– = 72 mm

Π32 mm

47/5. Führung

A = A1 – A2 + A356 mm + 40 mm 30 mm + 15 mmA = –––––––––––––––––– · 26 mm – –––––––––––––––––– · 14 mm + 80 mm · 14 mm

2 2A = 1 248 mm2 – 315 mm2 + 1 120 mm2

A = 2 053 mm2

47/6. Pleuelstange

A – 2 · A1 4 290 mm2 – 2 · 60 mm · 27,5 mmx = –––––––––– = –––––––––––––––––––––––––––––––––––– = 22 mm

Π45 mm

1.6.2 Flächen

Page 25: Rechenbuch Metall Lösungen

47/7. Trapez

2 · A 2 · 210 mm2Œ2 = ––––– – Œ1 = –––––––––––––––– – 20 cm = 15 cm = 150 mm

b 12 cm

47/8. Stahlstab

2 · A 2 · 289,5 mm2b = –––––– = ––––––––––––––––––––––– = 12 mm

Œ1 + Œ2 23 mm + 25,25 mm

47/9. Knotenblech

A1 = Œ · b = 190 mm · 110 mm = 20 900 mm2

2 · A 2 · 17 350 mm2b = –––––– = ––––––––––––––––––– = 135,54 mm

Œ1 + Œ2 190 mm + 66 mm

A2 = A – A1 = 38 250 mm2 – 20 900 mm2 = 17 350 mm2

x = b + 110 mm = 135,54 mm + 110 mm = 245,54 mm

47/10. Laufschiene

x = 26 mm – 5,6 mm = 20,4 mm

Œ1 + Œ2 26 mm + 20,4 mmA = ––––––– · b = –––––––––––––––––––– · 40 mm = 928 mm2

2 2

47/11. Schlüsselweite

a) d = 0,866 · D = 0,866 · 64 mm = 55,424 mm

D – d 64 mm – 55,424 mmFrästiefe = –––––– = –––––––––––––––––––––– = 4,288 mm2 2

b) A fi 0,649 · D2 = 0,649 · (64 mm)2 = 2 658 mm2

� Kreisförmig begrenzte Flächen

49/1. Kreisflächen

p · d2 p · (63 mm)2A = –––––– = ––––––––––––– = 3 117 mm2; 59 395,7 mm2; 18 095 574 mm2; 128,68 cm2;

4 40,000 907 9 m2; 38,48 cm2; 0,738 98 dm2; 59,45 m2; 25,97 m2; 0,000 050 3 m2

49/2. Durchmesser

4 Ad = ����–––– = 8,5 cm; 21,5 mm; 41,5 dm; 7,4 cm; 0,869 mp

49/3. Querschnittsfläche

p · d2A = –––––– = 38,484 5 mm2; 132,732 mm2; 452,389 mm2; 804,248 mm2;

41 809,56 mm2; 2 463,01 mm2; 3 216,99 mm2; 3 848,45 mm2;

5 674,50 mm2; 8 659,01 mm2; 9 503,32 mm2; 12 271,8 mm2;

49/4. Fußplatte

p · d2 p · (0,64 m)2Auflagefläche: A = –––––– = ––––––––––––– = 0,321 699 m2

4 4

49/5. Rohre

a) Durchgangsquerschnitt: 71,255 7 mm2; 126,677 mm2; 285,023 mm2; 506,707 mm2;

791,73 mm2; 1 140,09 mm2; 2 026,83 mm2;

2 026,83 mm2b) –––––––––––––– = 16. Der Querschnitt des halbzölligen Rohres ist im Querschnitt des

126,677 mm2Rohres mit 2 inches 16-mal enthalten.

Grundlagen der technischen Mathematik: Längen, Flächen, Volumen 25

1

Page 26: Rechenbuch Metall Lösungen

49/6. Nennweiten

p · d2 p · (38,1 mm)2 A 1 140 mm2d = 38,1 mm; A = –––––– = ––––––––––––––– = 1 140 mm2; A1 = –– = ––––––––––– = 380 mm2

4 4 3 3�������4 · A1d1 = � –––––– = 22 mm; d1 = 20 mm gewählt.p

49/7. Scheiben

p · (14 mm)2 p · (6 mm)2A = A1 – A2 = ––––––––––––– – –––––––––––– = 153,9380 mm2 – 28,2743 mm2

4 4= 125,6637 mm2; 301,5929 mm2; 671,515 mm2; 5 252,74 mm2; 9 535,52 mm2

49/8. Abdeckblech

p · R2 · a p ·r 2 · a p · 6202 mm2 · 72° p · 642mm2 · 72°A = –––––––––– – –––––––– = ––––––––––––––––––– – ––––––––––––––––– = 238 952 mm2 = 23,89 dm2

360° 360° 360° 360°

49/9. Kreisringausschnitt

(A1 – A2) · a (11 309,7 mm2 – 5 026,55 mm2) · 140°A = ––––––––––––– = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– = 2 443,45 mm2

360° 360°

49/10. Profil

A1 – A2 10 568,30 mm2 – 7 853,98 mm2

A des Kreisringteiles = –––––––– = ––––––––––––––––––––––––––––––––– = 678,58 mm2

4 4

A der beiden rechteckigen Teile = 35 mm · 8 mm · 2 = 560 mm2

A des Profiles = 1 238,58 mm2

49/11. Behälter

p · d2 p · (0,4 m)2A = A1 + A2 = –––––– + p · d · h = –––––––––––– + p · 0,4 m · 0,6 m

4 4

= 0,1257 m2 + 0,754 m2 = 0,8797 m2

(100% + 18%) 0,8797 m2 · 118%Blechbedarf = A · –––––––––––––– = –––––––––––––––––– = 1,038 m2

100% 100%

49/12. Übergangsbogen

A = 2 · A1 + A2 + A31 p p · D p · dA = 2 · –– · –– · (D2 – d2) + ––––– · b + ––––– · b4 4 4 41 p p pA = 2 · –– · –– · (0,42m2 – 0,22m2) + –– · 0,4 m · 0,3 m + –– · 0,2 m · 0,3 m4 4 4 4

A = 0,188 456 m2 ≈ 0,2 m2

� Zusammengesetzte Flächen

50/1. Platte und Versteifungsblech

p · (160 mm)2 95 mm · 105 mma) A = A1 – A2 = ––––––––––––––– – ––––––––––––––––––– = 15 118,7 mm2 = 151,187 cm2

4 2

p · (60 cm)2b) A = A1 – A2 = 36,5 cm · 34 cm – –––––––––––– = 534,14 cm2 = 53 414 mm2

4 · 4

50/2. Schutzhaube

p · r · a p · 360 mm · 120°a) ŒB = –––––––– = –––––––––––––––––– = 754 mm

180° 180°

ŒB · r · 2 754 mm · 360 mm · 2A1 = –––––––– = ––––––––––––––––––––––– = 271 440 mm2

2 2

26 Grundlagen der technischen Mathematik: Längen, Flächen, Volumen

Page 27: Rechenbuch Metall Lösungen

A2 = ŒB · 100 = 754 mm · 100 mm = 75 400 mm2

A = A1 + A2 = 346 840 mm2

346 840 mm2 · 100 %Blechbedarf (100 %) = –––––––––––––––––––––––––– = 462 452 mm2 ≈ 46,25 dm2

75 %

p · r1 · a p · 480 mm · 135°b) ŒB = –––––––– = –––––––––––––––––– = 1 131 mm

180° 180°

ŒB · r1 · 2 p · r 22 · a · 2 1 131 mm · 480 mm · 2 2 · p · (85 mm)2 · 135°

A1 = –––––––– – –––––––––––– = –––––––––––––––––––––––– – –––––––––––––––––––––––2 360° 2 360°

= 525 856 mm2

A2 = ŒB · 120 = 135 720 mm2 A = A1 + A2 = 661 576 mm2

661 576 mm2 · 100 %Blechbedarf (100%) = ––––––––––––––––––––––– = 945 108 mm2 ≈ 94,5 dm2

70 %

50/3. Mannloch

p · D · d p · 380 mm · 280 mmA = ––––––––– = –––––––––––––––––––––––– = 83 566 mm2 ≈ 8,36 dm2

4 4

50/4. Riemenschutz

a) r 2 = (r – 180 mm)2 + 2202mm2

r 2 = r 2 – 2 · 180 mm · r + 1802mm2 + 2202mm2

80 800 mm2r = ––––––––––––––– = 224,4 mm

2 · 180 mm

a 220 mmtan –– = ––––––––––––––––––––––––– = 4,95492 224,4 mm – 180 mm

a–– = 78,5899°2

a = 157,2°

p · r · a p · 224,4 mm · 157,2°Œb = ––––––– = –––––––––––––––––––––– = 615,676 mm180° 180°

Œb · r – Œ · (r – b) 615,676 mm · 224,4 mm – 440 mm · (224,4 mm – 180 mm)A = –––––––––––––––– = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

2 2

2 · A = 118 621,9 mm2 = 1 186 cm2

Blechbedarf = 2A + 20 % = 1 186 cm2 · 1,2 = 1 423,2 cm2

p · r · a p · 400 mm · 135°b) ŒB = –––––––– = –––––––––––––––––– = 942 mm

180° 180°

Π2

(––) = r 2 – (r – b)2 = (400 mm)2 – (400 mm – 247 mm)2 = 136 591 mm2

2

��������������Œ = 2 · �136 591 mm2 = 2 · 369,6 mm = 739,2 mm

2 · [ŒB · r – Œ · (r – b)] 2 · [942 mm · 400 mm – 739,2 mm · (400 m – 247 m)]A = ––––––––––––––––––––– = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

2 2= 263 702,4 mm2 = 2 637 cm2

Blechbedarf = 100 % (2 Seitenflächen) + 25 % (Zuschlag für Verschnitt) 2 637 cm2 · 125 %= ––––––––––––––––––– = 3 296,25 cm2

100 %

Grundlagen der technischen Mathematik: Längen, Flächen, Volumen 27

1

ö4

a

440

180

r

Bild 50/4: Riemenschutz

Page 28: Rechenbuch Metall Lösungen

50/5. Dichtung, Schablone

p · D · d p · 65 mm · 36 mma) A1 = ––––––––– = –––––––––––––––––––– = 1 837,83 mm2

4 4

p · d2 p · (25 mm)2A2 = –––––– = ––––––––––––– = 490,874 mm2

4 4

2 · p · d2 2 · p · (6 mm)2A3 = –––––––––– = ––––––––––––––––– = 56,548 6 mm2

4 4

A = A1 – (A2 + A3) = 1 290,407 4 mm2 ≈ 12,9 cm2

p · d2 p · D · d p · (30 mm)2 p · 50 mm · 30 mmb) A = A1 + A2 = ––––– + –––––––– = ––––––––––––– + ––––––––––––––––––––– = 942,478 mm2 ≈ 9,4 cm2

4 · 2 4 · 2 4 · 2 4 · 2

� Verschnitt

51/1. Blechabdeckung

AV = AGes – AW = 10 dm · 20 dm – 21,65 dm2 · 8 = 26,8 dm2

AGes – AW 200 dm2 – 173,2 dm2

AV =–––––––––– · 100 % = –––––––––––––––––––––– · 100 % = 13,4 %AGes 200 dm2

51/2. Abschreckbehälter

750 mm · 1 700 mmAV = AGes – AW = 1 000 mm · 2 000 m – 2 · –––––––––––––––––––––––– = 725 000 mm2

2Gesamtverschnitt in mm2:AVges = 6 · AV = 725 000 mm2 · 6 = 4 350 000 mm2

AGes – AW 1 000 mm · 2 000 mm – 1 275 000 mm2

AV% = –––––––––– · 100 % = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– · 100 % = 36,25 %AGes 2 000 000 mm2

51/3. Knotenblech

AV = AGes – AW = 200 mm · 500 mm – (405 mm · 130 mm – 170 mm · 65 mm)= 58 400 mm2 = 5,84 dm2

AGes – AW 100 000 mm2 – 41 600 mm2

AV% = –––––––––– · 100 % = –––––––––––––––––––––––––––– · 100 % = 58,4%AGes 100 000 mm2

51/4. Verbindungsblech

30 cm + 10 cmAV = AGes – AW = 50 cm · 100 cm – (30 cm · 18 cm + –––––––––––––––– · 26 cm) · 3 = 1 820 cm2

2AGes – AW 5 000 cm2 – 3 180 cm2

AV% = –––––––––– · 100 % = ––––––––––––––––––––––––––– · 100 % = 36,4 %AGes 5 000 cm2

28 Grundlagen der technischen Mathematik: Längen, Flächen, Volumen

� Gleichdicke Körper, Berechnung mit Formeln

54/1. Zylinderstift

p · d2 p · (20 mm)2a) V = A · h = –––––– · h = ––––––––––––– · 80 mm = 25 133 mm3

4 4

b) m = 100 · V · r = 100 · 25,133 cm3 · 7,85 g/cm3 = 19 729 g = 19,729 kg

54/2. Gefäß

p · d2 p · (1,26 dm)2a) V = A · h = –––––– · h = –––––––––––––– · 1,80 dm = 2,244 “

4 4

1.6.3 Volumen, 1.6.4 Masse und 1.6.5 Gewichtskraft

Page 29: Rechenbuch Metall Lösungen

b) Blechbedarf für n = 12 Gefäße ohne Zuschlag:

p · d2 p · (1,26 dm)2A‘0 = n · (A + AM) = 12 · (–––––– + p · d · h) = 12 · (–––––––––––––– + p · 1,26 dm · 1,80 dm)4 4

= 12 · (1,247 dm2 + 7,125 dm2) = 12 · 8,372 dm2 = 100,464 dm2

Blechbedarf mit Zuschlag:A0 = 1,15 · A‘0 = 1,15 · 100,464 dm2 ≈ 115,5 dm2 = 1,155 m2

54/3. Motor

p · d2 p · (7,5 cm)2a) V = n · A · h = 4 · –––––– · h = 4 · –––––––––––– · 6,8 cm = 1 202 cm3

4 4

b) h‘ = r – r · cos a = r · (1 – cos a) = 34 mm · (1 – cos 30°) = 4,56 mm

54/4. Sägeabschnitte

a) V = A · h = 45 mm · 5 mm · 150 mm = 33 750 mm3 = 33,75 cm3

gm = V · r = 33,75 cm3 · 7,85 ––––– = 265 g = 0,265 kgcm3

L 1 000 mmb) n = ––– = ––––––––––––––– ≈ 6,6 ‡ 6 Werkstücke

Π(150 + 2) mm

c) ŒR = L – n · Œ = 1 000 mm – 6 · (150 + 2) mm = 88 mm

54/5. Gitterrost

a) m‘1 = 1,77 kg/m (aus Tabelle)m = m‘ · Œ = 1,77 kg/m · 24 m = 42,48 kg

b) m‘2 = 1,76 kg/m (aus Tabelle)m‘1 – m‘2 1,77 – 1,76

Dm = –––––––––– · 100 % = ––––––––––– · 100 % = 0,56 %m‘1 1,77

54/6. Hydraulikzylinder

p · d12 p · (14 cm)2

a) V1 = A1 · h = –––––– · h = –––––––––––– · 50 cm = 7 697 cm3 ≈ 7,7 —4 4

p · (d12 – d2

2) p · (142 – 102) cm2

b) V2 = A2 · h = –––––––––––– · h = –––––––––––––––––– · 50 cm = 3 770 cm3 ≈ 3,8 “4 4

60 s/minc) Anzahl der Doppelhübe je Minute: n = ––––––––– = 7,5/min

8 s1 Q = n · (V1 + V2) = 7,5 ––––– · (7,697 + 3,770) —

min “

= 86,0 ––––min

54/7. Führungsschiene

a) A1 = Œ1 · b1 = 22 mm · 15 mm = 330 mm2

Œ2 = 22 mm – 2 · 9,5 mm = 3 mm

Œ1 + Œ2 (22 + 3) mmA2 = ––––––– · h = ––––––––––––– · 9,5 mm

2 2= 118,75 mm2

V0 = A · h = (A1 + A2) · h

= (3,30 cm2 + 1,19 cm2) · 120 cm = 538,8 cm3

m0= V0 ·r= 538,8 cm3 · 7,85 g/cm3 = 4 230 g = 4,23 kg

Grundlagen der technischen Mathematik: Längen, Flächen, Volumen 29

1

A 4

ö 29,5

9,5

A 3

A 1

A 2

Bild 54/7: Führungsschiene

Page 30: Rechenbuch Metall Lösungen

b) Für 1 Bohrung ist:p · d2 p · (6,6 mm)2

V3 = A3 · h3 = –––––– · h = –––––––––––––– · 15 mm = 513,2 mm3

4 4

p · d2 p · (11 mm)2V4 = A4 · h4 = –––––– · h4 = ––––––––––––– · 7 mm = 665,2 mm3

4 4

Für 12 Bohrungen ergibt sich:

VB = n · (V3 + V4) = 12 · (0,5132 + 0,6652) cm3 = 14,1 cm3

mB = VB · r = 14,1 cm3 · 7,85 g/cm3 = 111 g

m = m0 – mB = 4 230 g – 111 g = 4 119 g

1.6.6 Gleichdicke Körper, Masseberechnung mit Hilfe von Tabellenwerten

55/1. Standregal

Ebene 1: m = n · m’ · Œ = 4 · 0,95 kg/m · 2,0 m = 7,6 kg

Ebene 2: m = n · m’ · Œ = 11 · 0,67 kg/m · 4,0 m = 29,5 kg

Ebene 3: m = n · m’ · Œ = 3 · 4,22 kg/m · 2,5 m = 31,7 kg

Ebene 4: m = n · m’ · Œ = 8 · 2,98 kg/m · 3,2 m = 76,3 kg

55/2. Draht

mm = m’· Œ; Œ = –––m’

92 kg · 1 000 mBund Nr. 1: Œ = –––––––––––––––––– = 2 390 m38,5 kg

55 kg · 1 000 mBund Nr. 2: Œ = ––––––––––––––––––= 12 222 m4,5 kg

12 kg · 1 000 mBund Nr. 3: Œ = –––––––––––––––– = 702 m17,1 kg

645 kg · 1 000 m Bund Nr. 4: Œ = ––––––––––––––––– = 2 633 m245 kg

55/3. Verkleidung einer Fräsmaschine

a) 1 m2 PMMA (Plexiglas), 4 mm dick, besitzt das Volumen

V = A · h = 100 dm2 · 0,04 dm = 4 dm3 und wiegt damit

dm3 kgm“ = V · r = 4 ––––– · 1,18 –––– = 4,72 kg/m2

m2 dm3

b) m = m“ · AStahlblech:m“ = 11,80 kg/m2 (aus Tabellenbuch)

m = 11,80 kg/m2 · 2,4 m2 = 28,32 kg

Al-Blech: m“ = 5,40 kg/m2 (aus Tabellenbuch)m = 5,40 kg/m2 · 5,8 m2 = 31,32 kg

PMMA (Plexiglas): m = 4,72 kg/m2 · 3,2 m2 = 15,10 kg

� Spitze und abgestumpfte Körper sowie Kugeln

56/1. Zentrierspitze

p · d2–––––– · hA1 · h1 4 p · (31,6 mm)2 · 27,4 mm

a) V1 = ––––––– = –––––––––– = –––––––––––––––––––––––––– = 7 163 mm3 = 7,163 cm3

3 3 4 · 3

m1 = V1 · r = 7,163 cm3 · 7,85 g/cm3 = 56,2 g

30 Grundlagen der technischen Mathematik: Längen, Flächen, Volumen

Page 31: Rechenbuch Metall Lösungen

p · h2b) V2 = –––––– · (D2 + d2 + D · d)12

p · 102,5 mm= –––––––––––––– · (31,62 + 25,22 + 31,6 · 25,2) mm2 = 65 206 mm3 = 65,206 cm3

12

m2 = V2 · r = 65,206 cm3 · 7,85 g/cm3 = 511,9 g

56/2. Einfülltrichter

p · h1a) Trichter: V1 = –––––– · (D2 + d2 + D · d)12p · 2,2 dm

= ––––––––––– · (32 + 0,62 + 3 · 0,6) dm2 = 6,43 dm3

12p · d2 p · (0,6 dm)2

Zuführrohr: V2 = A2 · h2 = –––––– · h2 = ––––––––––––– · 0,5 dm = 0,14 dm3

4 4 Gesamt: V = V1 + V2 = 6,43 dm3 + 0,14 dm3 = 6,57 dm3

b) m = V · r = 6,57 dm3 · 0,9 kg/dm3 = 5,913 kg

56/3. Spritzgießform

A · h 10 mm · 10 mm · 5 mma) V = ––––– = –––––––––––––––––––––––– = 166,7 mm3

3 3

b) Vges = 120 · V = 120 · 166,7 mm3 = 20 004 mm3

Vges 20 004 mm3

t = ––––– = ––––––––––––– = 250 minVw mm3

80 –––––min

56/4. Kippmulde

a) Volumen ohne Schrägen:

V1 = Œ1 · Œ2 · h= 1,5 m · 0,75 m · 1,2 m= 1,350 m3

Volumen der beiden Schrägen:Œ5 · Œ2V2 = 2 · –––––– · h

2= 0,25 m · 0,75 m · 1,2 m = 0,225 m3

Füllvolumen:V = V1 – V2 = 1,350 m3 – 0,225 m3

= 1,125 m3

b) Boden (Rechteck):A1 = Œ3 · h = 1,0 m · 1,2 m = 1,2 m2

Senkrechte Wände (Trapez):Œ1 + Œ3A2 = 2 · –––––– · Œ22

= (1,5 m + 1,0 m) · 0,75 m = 1,875 m2

Geneigte Wände (Rechteck):A3 = 2 · Œ4 · h = 2 · 0,791 m · 1,2 m = 1,898 m2

Œ4 = �����Œ22 + Œ52 = ������������0,752m2 + 0,252m2 = 0,791m

Gesamtfläche:A = A1 + A2 + A3 = 1,200 m2 + 1,875 m2 + 1,898 m2 = 4,973 m2 = 497,3 dm2

Masse:m = V · r = A · s · r = 497,3 dm2 · 0,05 dm · 7,85 kg/dm3 = 195,2 kg ≈ 0,2 t

Grundlagen der technischen Mathematik: Längen, Flächen, Volumen 31

1

ö 2=

0,75

m

h =1,2 m

ö1=1,5 m

ö4

ö3=1,0 mö5= 0,25 m

ö5= 0,25 m

Bild 56/4: Kippmulde

Page 32: Rechenbuch Metall Lösungen

56/5. Zylinderstiftp · hKegelkuppen: V1 = 2 · ––––– · (D2 + d2 + D · d)12p · 3,5 mm= 2 · –––––––––––– · (202 + 182 + 20 · 18) mm2 = 1 987 mm3

12

p · D2 p · (20 mm)2Zylindrischer Teil: V2 = A · h = –––––– · h = ––––––––––––– · 93 mm = 29 217 mm3

4 4

Gesamtvolumen: V = V1 + V2 = (1,987 + 29,217) cm3 = 31,204 cm3

(1 Stift)

m = n · V · r = 200 · 31,204 cm3 · 7,85 g/cm3 = 48 990 g ≈ 49 kg

m FG = m · g = 49 kg · 9,81 –––– = 480,7 Ns2

56/6. Wälzlagerkugeln

Die Masse m von n Kugeln beträgt: m = n · V · rp · d3 p · (4 mm)3

a) d = 4 mm: V = –––––– = –––––––––––– = 33,5103 mm3

6 6

m 1 263 gn = –––––– = –––––––––––––––––––––––––––––– = 4 801V · r 0,0 335 103 cm3 · 7,85 g/cm3

p · (1,6 mm)3b) d = 1,6 mm: V = –––––––––––––– = 2,14466 mm3 = 2,14466 · 10–3 cm3

6

8,6 g · 103n = ––––––––––––––––––––––––––– = 511

2,14466 cm3 · 7,85 g/cm3

56/7. Gasbehälter

V · 6 20 000 m3 · 6a) d3 = ––––– = –––––––––––––– = 38 197 m3

p p

d = 3�������38 197 m3 = 33,678 m

b) A0 = p · dm2 =p · (d + s)2 = p · (33,678 m + 0,019 m)2 = 3 567 m2

tc) m = A0 · s · r = 3 567 m2 · 0,019 m · 7,85 ––– = 532 t

m3

mFG = m · g = 532 000 kg · 9,81 –– = 5 218 920 N ≈ 5 219 kNs2

d) Kantenlänge (innen) des würfelförmigen Behälters:

V = Œ3; Œ = 3��V = 3�������20 000 m3 = 27,144 m

Annahme: Bleche werden mit Ecknähten verschweißt (Bild 56/7).Damit ist die Kantenlänge aller Bleche Œ = 27,144 m

Ages = 6 · Œ2 = 6 · (27,144 m)2 = 4 421 m2

� Zusammengesetzte Körper

57/1. Gleitlagerbuchse

p · (4,8 cm)2a) V1 = A1 · h1 = ––––––––––––– · 0,5 cm = 9,048 cm3

4p · (4,4 cm)2

V2 = A2 · h2 = ––––––––––––– · 3,5 cm = 53,218 cm3

4p · (4 cm)2

V3 = A3 · h3 = ––––––––––– · 4,0 cm = 50,265 cm34

V = V1 + V2 – V3 = (9,048 + 53,218 – 50,265) cm3 = 12,001 cm3

b) m = n · V · r = 10 · 12,001 cm3 · 8,7 g/cm3 = 1 044 g

32 Grundlagen der technischen Mathematik: Längen, Flächen, Volumen

Bild 56/7: Gasbehälter; Eckverbindung

Page 33: Rechenbuch Metall Lösungen

57/2. Befestigungsleiste

a) V0 = A · Œ0 = b · h · Œ0 = 6,5 cm · 1,5 cm · 20,2 cm = 196,95 cm3

b) V1 = A · Œ = 6,5 cm · 1,5 cm · 20,0 cm = 195 cm3

p · d2 p · (1,8 cm)2V2 = n · A2· h = n · ––––––– · h = 5 · ––––––––––––– · 1,5 cm = 19,1 cm3

4 4V3 = A3 · h = 2,5 cm · 3,5 cm · 1,5 cm = 13,1 cm3

V = V1 – V2 – V3 = 195 cm3 – 19,1 cm3 – 13,1 cm3 = 162,8 cm3

m = V · r = 162,8 cm3 · 7,85 g/cm3 = 1 278 g

V0 – V 196,95 cm3 – 162,8 cm3

c) DV = ––––––– · 100 % = –––––––––––––––––––––––– · 100 % = 21 %V 162,8 cm3

57/3. Deckel

a) Rohteil: A0 = Œ02 = 10,52 cm2 = 110,25 cm2

Y0 = A0 · h = 110,25 cm2 · 1,4 cm = 154,35 cm3

m0 = V0 · r = 154,35 cm3 · 2,7 g/cm3 = 416,75 g

p · d2 p · (4 cm)2Fertigteil: A1 = Œ1

2 = (10 cm)2 = 100 cm2; A2 = –––––– = ––––––––––– = 12,56 cm2

4 4p · d2 p · (1,2 cm)2

A3 = 4 · –––––– = 4 · –––––––––––– = 4,52 cm2

4 4

p · d2 p · 32A4 = 4 · (Œ2 – ––––– ) = 4 · (1,52 – –––––– ) cm2 = 1,93 cm2

4 · 4 4 · 4A = A1 – (A2 + A3 + A4) = 100 cm2 – (12,56 cm2 + 4,52 cm2 + 1,93 cm2) = 80,99 cm2

V = A · h = 80,99 cm2 · 1,2 cm = 97,19 cm3

gm = V · r = 97,19 cm3 · 2,7 –––– = 262,4 gcm3

Zu zerspanende Querschnittsfläche

DA = A0 – A = 110,25 cm2 – 80,99 cm2 = 29,26 cm2

b) Durch das Fertigprofil müssen außen nicht bearbeitet werden:

A5 = 2 · 0,25 cm · (10,5 cm + 10,0 cm) = 10,25 cm2

und A4 = 1,93 cm2

DA’ = A4 + A5 = 1,93 cm2 + 10,25 cm2 = 12,18 cm2

Die zu zerspanende Querschnittsfläche am Umfang vermindert sich auf

DA“ = DA – DA‘ = 29,26 cm2 – 12,18 cm2 = 17,08 cm2

Verminderung in %, bezogen auf die ursprünglich zu zerspanende Querschnittsfläche DA:DA“ – DA 17,08 cm2 – 29,26 cm2

DA% = –––––––––– · 100% = ––––––––––––––––––––––– · 100 % = – 42 %DA 29,26 cm2

57/4. Ventil

p · (4 cm)2a) V1 = A1 · Œ1 = ––––––––––– · 0,8 cm = 10,053 cm3

4

p · h p · 1 cmV2 = ––––– · (D2 + d 2 + D · d ) = –––––––– · (42 + 1,52 + 4 · 1,5) cm2 = 6,349 cm3

12 12

p · (1,5 cm)2V3 = A3 · Œ3 = –––––––––––– · 9,7 cm = 17,141 cm3

4

V = V1 + V2 + V3 = 10,053 cm3 + 6,349 cm3 + 17,141 cm3 = 33,543 cm3

V 33 543 mm3b) Œ = ––– = –––––––––––––– = 24,21 mm ≈ 24,2 mm

A p · (42 mm)2–––––––––––––

4

Grundlagen der technischen Mathematik: Längen, Flächen, Volumen 33

1

A 5

A 4

Bild 57/3: Deckel

Page 34: Rechenbuch Metall Lösungen

57/5. Gabelkopf

a) V0 = A · h = (2 cm)2 · 4,7 cm = 18,8 cm3

p · (15 mm)2b) V1 = A1 · h1 = ––––––––––––– · 18 mm = 3 181 mm3

4V2 = A2 · h2 = 20 mm · 20 mm · 27 mm = 10 800 mm3

p · (8 mm)2V3 = –––––––––––– · 25 mm = 1 257 mm3 V4 = 20 mm · 10 mm · 20 mm = 4 000 mm3

4p · (10 mm)2

V5 = ––––––––––––– · 10 mm = 785 mm34

V = V1 + V2 – V3 – V4 – V5 = 3 181 mm3 + 10 800 mm3 – 1 257 mm3 – 4 000 mm3 – 785 mm3

= 7 939 mm3

gm = V · r = 7,939 cm3 · 7,85 –––– = 62,3 gcm3

57/6. Spannpratze

a) V0 = A0 · h0 = 4,0 cm · 2,5 cm · 12,4 cm = 124,00 cm3

m0 = V0 · r = 124 cm3 · 7,85 g/cm3 = 973,4 g

p · d12 p · (1 cm)2

b) Nut: V1 = A1 · Œ1 + –––––– · h1 = 1 cm · 0,6 cm · 3,2 cm + –––––––––– · 0,6 cm2 · 4 2 · 4

= 1,92 cm3 + 0,24 cm3 = 2,16 cm3

p · d22 p · (1,4 cm)2

Ausfräsung: V2 = A2 · Œ2 + –––––– · h2 = 1,4 cm · 2,5 cm · 3,4 cm + –––––––––––– · 2,5 cm4 4

= 11,90 cm3 + 3,85 cm3 = 15,75 cm3

p · d32 p · (1,086 cm)2

Gewinde M12: V3 = –––––– · h3 = ––––––––––––––– · 2,5 cm = 2,32 cm3

4 4 V = V0 – (V1 + V2 + V3) = 124,00 cm3 – (2,16 + 15,75 + 2,32) cm3 = 103,77 cm3

m = V · r = 103,77 cm3 · 7,85 g/cm3 = 815 g

1.6.7 Volumenänderung beim Umformen

58/1. Achse

p · (25 mm)2Va = Ve · (1 + q) = –––––––––––– · 80 mm · (1 + 0,15) = 45 160 mm3

4

Va 45160 mm3

Œ1 = –– = –––––––––––––––– = 30,1 mmA1 50 mm · 30 mm

58/2. Hebel

p · d 2 p · (28 mm)2V1 = 2 · –––––– · h1 = 2 · ––––––––––––– · 20 mm = 24 630 mm3

4 4

V2 = A2 · h2 = 10 mm · 8 mm · 102 mm = 8 160 mm3

Ve = V1 + V2 = 24 630 mm3 + 8 160 mm3 = 32 790 mm3 = 32,790 cm3

Va = Ve · (1 + q) = 32,790 cm3 · (1 + 0,06) = 34,757 cm3 ≈ 34,8 cm3

58/3. Rundstahlstücke

p–– · (96 mm)2 · 44 mm · (1 + 0,05)Ve1 · (1 + q) 4

a) Œ1 = ––––––––––– = ––––––––––––––––––––––––––––––––– = 184,8 mmA1 p–– · (48 mm)2

4

34 Grundlagen der technischen Mathematik: Längen, Flächen, Volumen

Page 35: Rechenbuch Metall Lösungen

Grundlagen der technischen Mathematik: Schaubilder, Grafische Darstellungen 35

1

1.7 Schaubilder

1.7.1– Grafische Darstellungen von Funktionen

1.7.3 und Messreihen

Ve2 · (1 + q) (76 mm)2 · 44 mm · (1 + 0,05)b) Œ2 = ––––––––––– = ––––––––––––––––––––––––––––– = 147,5 mm

A1 p–– · (48 mm)2

4

Ve3 · (1 + q) 0,866 · (88 mm)2 · 44 m · (1 + 0,5)c) Œ3 = ––––––––––– = ––––––––––––––––––––––––––––––––– = 171,2 mm

A1 p–– · (48 mm)2

4

58/4. Rohteil für Zahnrad

p · (9,5 cm)2a) V1 = A1 · Œ1 = –––––––––––– · 1,5 cm = 106,32 cm3

4

p · (12 cm)2V2 = A2 · Œ2 = –––––––––– · 4,5 cm = 508,94 cm3

4

p · h p · 4 cmV3 = –––– · (D2 + d2 + D · d) = –––––––– · (9,52 + 7,22 + 9,5 · 7,2) cm2 = 220,42 cm3

12 12

Ve = V1 + V2 + V3 = 106,32 cm3 + 508,94 cm3 + 220,42 cm3 = 835,68 cm3

b) Va = Ve · (1 + q) = 835,68 cm3 · (1 + 0,08) = 902,53 cm3

kgc) m = i · V · r = 8 000 · 0,90253 dm3 · 7,85 ––––– = 56 679 kg ≈ 56,7 t

dm3

1989 1992 1995 1998 2001 2004 2007

89,694,1

102,4

114,1

130,9139,8

148,2Ingenieure im Maschinenbau (in Tausend)

Bild 61/1: Ingenieure im Maschinenbau

61/1.

Page 36: Rechenbuch Metall Lösungen

36 Grundlagen der technischen Mathematik: Schaubilder, Grafische Darstellungen

Blechdicke

abso

lute

Häu

fig

keit

0,98 0,99 1,00 1,02 1,03 mm

2

1,010

0,97

4

6

8

10

n = 40

Bild 62/2: Messreihe einer Stichprobe

25,0 %Kleinwagen

23,3 %Mittelklasse

33,5 %untere

Mittelklasse

9,2 % obereMittelklasse

6,3 %

2,7 % Oberklasse

Kleinst-wagen

CO2

Bild 62/3: CO2-Ausstoß

62/2.

62/3. Anteil der Klassen am CO2-Ausstoß

Messwert Strichliste

≥ < n

1 0,97 0,98 | 1

2 0,98 0,99 ||| 3

3 0,99 1,00 |||| 5

4 1,00 1,01 |||| |||| 9

5 1,01 1,02 |||| |||| 10

6 1,02 1,03 |||| ||| 8

7 1,03 |||| 4

40

360°1 % CO2-Ausstoß ––––– = 3,6°100

33,5 % ‡ 3,6° · 33,5 ‡ 120,6°25,0 % ‡ 3,6° · 25,0 ‡ 90°23,3 % ‡ 3,6° · 23,3 ‡ 83,88°9,2 % ‡ 3,6° · 9,2 ‡ 33,12°6,3 % ‡ 3,6° · 6,3 ‡ 22,68°2,7 % ‡ 3,6° · 2,7 ‡ 9,72°

Page 37: Rechenbuch Metall Lösungen

Grundlagen der technischen Mathematik: Schaubilder, Grafische Darstellungen 37

162/4. Drehzahldiagramm

Einzustellende Drehzahlen:1 1Baustahl n = 710 –––– CuZn n = 1 000 ––––

min min

1 1Gusseisen n = 125 –––– Thermoplaste n = 500 ––––min min

Durchmesser d

Um

fan

g U

0 5 10 15 20 25 30 35 mm 450

15

30

45

60

75

90

105

120

150

135mm

Bild 62/5: Kreisumfang

d in mm 0 5 10 20 25 30 35 40 45 50

U in mm 0 15,7 31,4 62,8 78,5 94,2 110,0 125,7 141,4 157,1

62/6. Drehzahl

1Abgelesene Drehzahl: a) Baustahl n = 90 –––––min

1b) Kupfer n = 710 –––––

min

1c) Aluminium n = 355 –––––

min

62/5. Kreisumfang

Dem Durchmesser d = 5 mm ist der Umfang U = p · 5 mm = 15,7 mm zugeordnet.

Page 38: Rechenbuch Metall Lösungen

38 Grundlagen der technischen Mathematik: Schaubilder, Grafische Darstellungen

62/7. Schweißmaschine

Der Weg ist eine Funktion der Zeit.Weg = Geschwindigkeit · Zeit

s = v · tmms = 300 –––– · 2 min = 600 mmmin

t in min 0 2 4 6 8 10

s in mm 0 600 1 200 1 800 2 400 3 000

Zeit t

Weg

s

0 2 4 6 8 min 100

600

1200

1800

2400

3000

mm

Bild 62/7: Schweißmaschine

Page 39: Rechenbuch Metall Lösungen

Mechanik: Bewegungen 39

2

� Konstante geradlinige Bewegungen

65/1. Hubgeschwindigkeit

s 1,80 m m m s mv = –– = ––––––– = 0,164 ––– = 0,164 ––– · 60 –––– = 9,82 ––––t 11 s s s min min

65/2. Höhenunterschied

m204 ––––min m mv = ––––––––– = 3,4 ––; s = v · t = 3,4 –– · 13,6 s = 46,24 m

s s s60 –––– min

65/3. Welle

1 mma) vf = n · f = 280 –––– · 0,8 mm = 224 ––––

min min

s 124 mm + 82 mmb) t = –– = –––––––––––––––––– = 0,92 min ‡ 55,2 s

vf mm224 ––––min

1 mmc) vf = n · f = 200 –––– · 0,32 mm = 64 –––––

min min

65/4. Kastenprofil

1 275 mmZahl der Teilschritte n = –––––––––– = 1775 mm

n = nSchw. + nEilg.; nSchw. = nEilg. + 1

n – 1 16n = nEilg. + 1 + nEilg.; nEilg. = ––––– = ––– = 8; nSchw. = 8 + 1 = 92 2

t = tSchw. + tEilg.

sSchw. 9 · 0,075 mtSchw. = –––––– = –––––––––––– = 2,25 min

vSchw. m0,3 ––––min

sEilg. 8 · 0,075 mtEilg. = ––––– = –––––––––––– = 0,12 minvEilg. m5 ––––

min

t = 2,25 min + 0,12 min = 2,37 min

65/5. Drehzahlberechnung

vf = n · fz · z, vf1 = vf2; n1 · fz1 · z1 = n2 · fz2 · z2; fz1 = fz2

1240 –––– · 8 n1 · z1 min 1n1 · z1 = n2 · z2; n2 = –––––– = ––––––––––– = 320 ––––

z2 6 min

2 Mechanik

2.1 Bewegungen

2.1.1 Konstante Bewegungen

Page 40: Rechenbuch Metall Lösungen

65/6. Grundlochbohrung

1 mma) vf = n · f = 710 –––– · 0,12 mm = 85,2 ––––

min min

s 63 mm + 3 mm + 2 mm sb) t = ––– = ––––––––––––––––––––––––– = 0,798 min = 0,798 min · 60 –––– = 47,88 s

vf mm min85,2 ––––min

c) Gesamtzeit = Hauptnutzungszeit + Nebenzeittges= th + tn = th + 0,15 th = 1,15 th

tges 3 600 sth = –––– = ––––––––– = 3 130,43 s

1,15 1,15

th 3 130,43 sAnzahl der Bohrungen z = ––– = ––––––––––– = 65,38 ‡ 65

t 47,8 s

65/7. Laufkran

a) v2 = vH2 + vw

2;

v = ������vH2 + vw

2

��������������������m 2 m 2v =� (6,3 ––––) + (19 ––––)min min

����������� mv = �39,69 + 361 ––––min

m m mv = �����400,69 –––– = 20,02 –––– ≈ 20 ––––min min min

m 1b) s = v · t = 20 –––– · 24 · ––– min = 8 m

min 60

m6,3 ––––vH minc) tan a = –––– = –––––––– = 0,331

vW m19 ––––min

a = arctan 0,331 = 18,31°

� Kreisförmige Bewegung

67/1. Winkelschleifer

1 min mv = p · d · n = p · 0,23 m · 6 000 –––– · –––– = 72,26 ––min 60 s s

67/2. Drehzahlen aus Schaubild

m 1Bei vc = 70 –––– abgelesen für d = 25 mm n = 1000 ––––min min

1d = 40 mm n = 500 ––––min

1d = 80 mm n = 250 ––––

min

1d =150 mm n = 125 ––––min

40 Mechanik: Bewegungen

vw

vvH

a

Bild 65/7: Laufkran

Page 41: Rechenbuch Metall Lösungen

67/3. Riemenscheibe

1 mv = p · d · n = p · 0,09 m · 2 800 –––– = 791,7 ––––min min

67/4. Maximale Drehzahl

v = p · d · nbei Zustellung von Hand

25 m 60 s 1 500 m––––– · –––– = ––––––––s min min

m1 500 ––––v min 1n = ––––– = ––––––––––– = 2 652 ––––p · d p · 0,18 m min

bei maschineller Zustellung

35 m 60 s 2 100 m––––– · –––– = ––––––––s min min

m2 100 ––––v min 1n = ––––– = –––––––––– = 3 713 ––––p · d p · 0,18 m min

67/5. Schleifscheibe

18 m 60 s 1 080 m––––– · –––– = ––––––––s min min

m1 080 –––– v min 1v = p · d · n; n = ––––– = ––––––––––– = 7 639 ––––p · d p · 0,045 m min

67/6. Bohrer

1 mvc = p · d · n = p · 0,018 m · 355 –––– = 20 ––––min min

67/7. Drehzahlberechnung

m45 ––––v min 1v = p · d · n; n = ––––– = –––––––––––– = 2 387 ––––p · d p · 0,006 m min

67/8. Durchmesserberechnung

m40 ––––v minv = p · d · n; d = ––––– = –––––––––––– = 0,040 m = 40 mmp · n 1p · 315 ––––min

67/9. Walzendurchmesser

m50 ––––v minv = p · d · n; d = ––––– = ––––––––––– = 1,137 m = 1 137 mmp · n 1p · 14 –––-min

67/10. Seiltrommel

1 m● a) v1 = p · d · n1 = p · 0,22 m · 30 –––– = 20,73 ––––

min minm70 ––––v2 min 1b) n2 = ––––– = –––––––––– = 101,3 ––––

p · d p · 0,22 m min

Mechanik: Bewegungen 41

2

69/1. Tabelle 1 m m54 ––– 54 –– v s v s ma) s =–– · t = –––––– · 18 s = 486 m; a = –– = ––––– = 3 ––

2 2 t 18 s s2

2.1.2 Beschleunigte und verzögerte Bewegungen

Page 42: Rechenbuch Metall Lösungen

���������������� ���������m m2 mb) v = ������2 · a · s = �2 · 5 ––– · 120 m = �1200 –––– = 34,64 –––

s2 s2 s

������ ����������2 · s 2 · 120 mt = �––––– = �–––––––––– = ����48s2 = 6,928 sa m5 ––s2

m 1 min mc) v = 36 –––– · –––––– = 0,6 ––

min 60 s s

m2 m0,62 –––– 0,6 –––v2 s2 v ss = ––––– = ––––––––– = 0,12 m; t = –– = –––––––– = 0,4 s

2 · a m a m2 · 1,5 –– 1,5 –––

s2 s2

2 · s 2 · 18 mm mm 2 · s 2 · 18 mm mmd) v = –––– = –––––––––– = 72 ––––; a = ––––– = –––––––––– = 144 ––––

t 0,5 s s t2 0,52s2 s2

69/2. Rennwagen

km km 1 000 m 1 h100 –––– 100 –––– · –––––––– · –––––––v h h km 3 600 s ma) a = –– = –––––––– = ––––––––––––––––––––––––– = 11,57 –––

t 2,4 s 2,4 s s2

m11,57 ––– · (2,4s)2

a · t2 s2b) s =––––– = ––––––––––––––––– = 33,32 m

2 2

m mc) v = a · t = 11,57 –– · 1 s = 11,57 ––

s2 s

d) t-Achse: 1 s ‡ 4 cmmv-Achse: 10 –– ‡ 2 cms

69/3. Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm

vv = a · t; a = –– ;t

m m15 –– 15 ––v1 s m v2 s mPkw 1: a1 = –– = ––––– = 15 –– ; Pkw 2: a2 = –– = –––––– = 5 –– ;

t1 1 s s2 t2 3s s2

69/4. Bremsversuche

v1 8,33 mt1 = 3,5 s; s1 = ––– · t1 = –––– ––– · 3,5 s = 14,58 m

2 2 st2 = 4,0 s; s2 = 27,78 m

t3 = 5,0 s; s3 = 48,61 m

42 Mechanik: Bewegungen

m/s

10,5 t1,5 2 2,5

v

25

20

1011,57

s

Page 43: Rechenbuch Metall Lösungen

69/5. Werkzeugschlitten

m mvf = 16 –––– = 0,27 –––min s

m0,27 ––v st = –– = ––––––– = 0,135 sa m2 –––s2

m0,27 ––v ss = –– · t = ––––––– · 0,135 s = 0,018 m = 18 mm2 2

69/6. Maschinentisch

30 m · 1 min mv = ––––––––––––– = 0,5 ––min · 60 s s

v 2 · s1 2 · 0,125 ms1 = ––– · t1; t1 = ––––– = –––––––––––– = 0,5 s

2 v m0,5 ––-s

s2 s2 1,6 mv = –– ; t2 = –– = ––––––– = 3,2 s

t2 v m0,5 ––s

v 2 · s3 2 · 0,1 ms3 = –– · t3; t3 = –––––– = ––––––––––– = 0,4 s

2 v m0,5 ––s

t = t1 + t2 + t3 = 0,5 s + 3,2 s + 0,4 s = 4,1 s

69/7. Bohreinheit

● m0,2 –––v st1 = t3 = –– = ––––––– = 0,09 sa m2,2 ––s2

m0,2 –––v ss1 = s3 = ––· t = ––––––– · 0,09 s = 0,009 m = 9 mm2 2

s2 = 180 mm – (s1 + s3) = 180 mm – 18 mm = 162 mm

s2 162 mmt2 = –– = –––––––– = 0,81 s

v mm200 ––––s

t = t1 + t2 + t3 = 0,09 s + 0,81 s + 0,09 s = 0,99 s

Mechanik: Zahnradmaße 43

2

s1 s2 s3

t 2t 1 t 3

t

t

v

Bild 69/6: Maschinentisch (v-t-Diagramm)

� Zahnradmaße und Achsabstände

73/1. Außenverzahntes Stirnrad

a) da = m (z + 2) = 1,5 mm (50 + 2) = 78 mm

b) h = ha + hf = m + m + c = 2 · m + c= 2 · 1,5 mm + 0,167 · 1,5 mm = 3,25 mm

c) d = m · z = 1,5 mm · 50 = 75 mm

73/2. Zahnradtrieb

m (z1 + z2) 2 mm (64 + 24)a1 = ––––––––––– = –––––––––––––––– = 88 mm

2 2m (z2 + z3) 2 mm (24 + 40)

a2 = –––––––––– = –––––––––––––––– = 64 mm2 2

2.2 Zahnradmaße

Page 44: Rechenbuch Metall Lösungen

73/3. Innenverzahnung

a) d1 = m · z1 = 1,5 mm · 28 = 42 mm

d2 = m · z2 = 1,5 mm · 80 = 120 mm

b) da1 = m (z1 + 2) = 1,5 mm (28 + 2) = 45 mm

da2 = m (z2 – 2) = 1,5 mm (80 – 2) = 117 mm

1,5 mmc) df1 = d1 – 2 (m + c) = 42 mm – 2 (1,5 mm + ––––––––)4

7,5 mm= 42 mm – 2 · –––––––– = 42 mm – 3,75 mm4

= 38,25 mm

1,5 mmdf2 = d2 + 2 (m + c) = 120 mm + 2 (1,5 mm + ––––––––)4= 120 mm + 3,75 mm = 123,75 mm

1,5 mmd) h1 = h2 = 2 · m + c = 2 · 1,5 mm + ––––––––

4= 3 mm + 0,375 mm = 3,375 mm

m · (z2 – z1) 1,5 mm · (80 – 28)e) a = –––––––––––– = –––––––––––––––––– = 39 mm

2 2

73/4. Zahnradpumpe

da = d + 2 · ha = d + 2 · m; d = m · z

da = m · z + 2 · m = m (z + 2)

da 32,5 mmm = ––––– = ––––––––– = 2,5 mm

z + 2 11 + 2

m · (z1 + z2) 2,5 mm (11 + 11)a = ––––––––––– = –––––––––––––––––– = 27,5 mm

2 2

73/5. Schrägverzahntes Zahnradpaar

mn · z1 4 mm · 17a) d1 = ––––––– = –––––––––– = 75,03 mm

cos b cos 25°

da1 = d1 + 2 · mn = 75,03 + 2 · 4 mm = 83,03 mm

mn · z2 4 mm · 81d2 = ––––––– = ––––––––––– = 357,5 mm

cos b cos 25°

da2 = d2 · 2 · mn = 357,5 mm + 2 · 4 mm = 365,5 mm

p · mn p · 4 mmb) pt = –––––– = –––––––––– = 13,87 mm

cos b cos 25°

c) h = 2 · mn + c = 2 · 4 mm + 0,2 · 4 mm = 8 mm + 0,8 mm = 8,8 mm

73/6. Tischantrieb

mn1 1,75 mmmt1 = –––––– = –––––––––– = 1,78 mm

cos b cos 10°

mn2 2,75 mmmt2 = –––––– = ––––––––– = 2,79 mm

cos b cos 10°

mt1 · (z1 + z2) 1,78 mm · (26 + 130)a1 = ––––––––––––– = ––––––––––––––––––––

2 2

a1 = 138,84 mm

mt2 · (z3 + z6) 2,79 mm · (34 + 136)a2 = ––––––––––––– = –––––––––––––––––––––

2 2

a2 = 237,15 mm

44 Mechanik: Zahnradmaße

Page 45: Rechenbuch Metall Lösungen

76/1. Rädertrieb

a) z2 = i · z1 = 1,2 · 80 = 96 Zähne

d2 120 mm m (z1 + z2) 1,25 mm (80 + 96)b) m = ––– = –––––––– = 1,25 mm; a = ––––––––––– = ––––––––––––––––––– = 110 mm

z2 96 2 2

76/2. Zahnstange

a 180°s = z · p · ––––– = 16 · 2 · pmm · ––––– = 50,27 mm360° 360°

76/3. Riementrieb

a) Riemenbreite b0 = 9,7 : c = 2 mm

dw1 = da1 – 2 · c = 42 mm – 2 · 2 mm = 38 mm

dw2 = da2 – 2 · c = 63 mm – 2 · 2 mm = 59 mm

11 800 ––––- · 38 mm n1 · dw1 min 1n2 = –––––––– = ––––––––––––––––––– = 1 159 ––––

dw2 59 mm min

n2 · dw2 n2 · dw2b) n3 = –––––––– ; dw3 = ––––––––dw3 n3

11 159 –––– · 59 mmmindw3 = ––––––––––––––––––– = 57 mm

11 200 ––––

min

76/4. Bohrspindel

a) d = m · z = 4 mm · 18 = 72 mm

mm162 ––––vf min 1vf = p · d · n; n = ––––– = –––––––––– = 0,716 ––––

p · d p · 72 mm min

mmb) s = vf · t = 162 –––– · 0,6 min = 97,2 mm

min

ac) s = z · p · –––––

360°

s · 360° s · 360° 97,2 mm · 360°a = ––––––– = –––––––– = –––––––––––––––– = 154,6998° = 154° 41‘ 56“z · p z · p · m 18 · p · 4 mm

76/5. Schneckenrad

1 900 ––––– · 2n1 z2 n1 · z1 mina) –– = ––; n2 = –––––– = –––––––––––

n2 z1 z2 60

1n2 = 30 ––––

min

1 mb) v = p · d · n = p · 0,2 m · 30 –––– = 18,85 –––––

min min

Mechanik: Übersetzungen bei Antrieben 45

2

2.3 Übersetzungen bei Antrieben

2.3.1 Einfache Übersetzungen

Page 46: Rechenbuch Metall Lösungen

76/6. Tischantrieb

n1 z2 n1 · z1–– = –– ; n2 = ––––––n2 z1 z2

600 min–1 · 16 1n2 = –––––––––––––– = 240 ––––40 min

Bei einer Steigung der Spindel von P = 5 mm entspricht dies einer Strecke von 240 · 5 mm = 1 200 in 1 min: Am = 1 200 mm, Aw = 1 min = 60 s

Em = 200 mm (Verfahrweg)

Em · Aw 200 mm · 60 sEw = –––––––– = ––––––––––––––– = 10 s

Am 1 200 mm

b) Anzahl der Umdrehungen der Spindel bei einer Strecke von 200 mm : Steigung P = 5 mm

200 mmn4 = ––––––––– = 40 Umdrehungen (Spindel)5 mm

n3 z4 z4 · n4 60 · 40 Umdrehungen–– = ––; n3 = –––––– = ––––––––––––––––––––––––––n4 z3 z3 30

n3 = 80 Umdrehungen

46 Mechanik: Übersetzungen bei Antrieben

78/1. Tischantrieb

z2a) i1 = ––z1

130z1 / z2 = 26 / 130 : i11 = –––– = 5

26

120z1 / z2 = 40 / 120 : i12 = –––– = 340

110z1 / z2 = 44 / 110 : i13 = –––– = 2,544

104z1 / z2 = 52 / 104 : i14 = –––– = 252

z4 136i2 = –– = –––– = 4

z3 34

i1 = i11 · i2 = 5 · 4 = 20

i2 = i12 · i2 = 3 · 4 = 12

i3 = i13 · i2 = 2,5 · 4 = 10

i4 = i14 · i2 = 2 · 4 = 8

78/2. Handbohrmaschine

z2 52a) i1 = –– = ––– = 5,2

z1 10

z4 36i2 = –– = ––– = 1,5

z3 24

z6 44i3 = –– = ––– = 2,75

z5 16

i13 = i1 · i3 = 5,2 · 2,75 = 14,3

i12 = i1 · i2 = 5,2 · 1,5 = 7,8

b) 16 000 ––––na na na mini = ––– ; ne = ––– ; ne1 = ––– = –––––––––––

ne i i1 20

1ne1 = 300 ––––min

16 000 ––––na min 1ne2 = ––– = ––––––––––– = 500 ––––

i2 12 min

16 000 ––––na min 1ne3 = –– = ––––––––––– = 600 ––––

i3 10 min

16 000 ––––na min 1ne4 = ––– = –––––––––– = 750 ––––

i4 8 min

na nab) i = –– ; ne = ––ne i

namax 6 000 1 1ne = ––—– = –––––– = 769,23 –––– ≈ 770 ––––

i12 7,8 min min

2.3.2 Mehrfache Übersetzungen

Page 47: Rechenbuch Metall Lösungen

78/3. Stufenloses Getriebe

n1ig = ––– (n2K – kleinste Abtriebsdrehzahl am Riementrieb)n2K

11 400 –––– n1 min 1n2K = ––– = –––––––––– = 200 ––––

ig 7 minn1iK = –––– (n2g – größte Abtriebsdrehzahl am Riementrieb)n2g 1

1 400 ––––n1 min 1n2g = ––– = ––––––––––– = 2000 ––––

iK 0,7 min1,6

1. Schaltstufe: i1 = ––––1

1 200 ––––n2K n2K min 1i1 = –––––; nemin = ––– = ––––––––– = 125 ––––

nemin i1 1,6 min–––1

12 000 ––––n2g n2g min 1i1 = –––––; nemax = ––– = –––––––––– = 1 250 ––––

nemax i1 1,6 min–––1

2. Schaltstufe: i2 = 0,321200 ––––n2k n2k min 1

i2 = –––––; nemin = ––– = –––––––– = 625 ––––nemin i2 0,32 min

12 000 ––––n2g n2g min 1 i2 = –––––; nemax = ––– = ––––––––––– = 6 250 ––––

nemax i2 0,32 min

78/4. Spindelgetriebe

z2 50a) Übersetzung Zahnriemen: i1 = ––– = ––– = 1,56

z1 32

8 Übersetzung Schneckentrieb: i2 = ––

1

8 i = i1 · i2 = 1,56 · –– = 12,5

1 1

750 ––––na min 1ne = –– = ––––––––––– = 60 –––––

i 12,5 min

1 mmb) vf = h · P = 60 –––– · 4 mm = 240 –––––

min min

Mechanik: Kräfte 47

2

82/1. Freileitungsmast

� Grafische Lösung

25 Na) 1. Schritt: Kräftemaßstab Mk = ––––––

mm

F1 800 N F2 1 200 N2. Schritt: Pfeillänge œ1 = ––– = ––––––– = 32 mm Pfeillänge œ2 = ––– = ––––––––– = 48 mm

Mk N Mk N25 –––– 25 ––––mm mm

2.4 Kräfte

Page 48: Rechenbuch Metall Lösungen

3. Schritt: Kräfteplan (Bild 82.1)

4. Schritt: Resultierende Fr (Bild 82/1)

5. Schritt: Pfeillänge œr = 58 mm

NFr = œr · Mk = 58 mm · 25 –––– = 1 450 Nmm

ar = 96°

b) Das Spannseil wirkt gegen die Richtung der Resultierenden Fr.

� Rechnerische Lösung

a) Die Resultierende Fr wird über den Satz des Pythagoras ermittelt (Bild 82/1).��������������������Fr = ������F1

2 + F22 = �(800 N)2 + (1 200 N)2 = 1 442,2 N

b) ar = b + 40° (Bild 82/1)

Fr F2––––––– = ––––––sin 90° sin b

F2 · sin 90° 1 200 N · 1sin b = ––––––––––– = ––––––––––– = 0,832

Fr 1 442,2 N

b = 56,3°

ar = 56,3° + 40° = 96,3°

82/2. Seilrolle

� Grafische Lösung

50 N1. Schritt: Kräftemaßstab Mk = –––––mm

FG 1 500 N2. Schritt: Pfeillänge œ1 = œ2 = –––– = –––––––– = 30 mm

Mk N50 ––––mm

3. Schritt: Kräfteplan (Bild 82/2)

4. Schritt: Resultierende Fr (Bild 82/2)

5. Schritt: Pfeillänge Œr = 23 mm

NFr = Œr · Mk = 23 mm · 50 –––– = 1 150 Nmm

ar = 68°

� Rechnerische Lösung

Die Resultierende Fr wird über den Kosinussatz ermittelt (Bild 82/2).

Fr2 = F1

2 + F22 – 2 · F1 · F2 · cos g

= (1 500 N)2 + (1 500 N)2 – 2 · 1 500 N · 1 500 N · cos 45°

= 1 318 019,5 N2

Fr = ���Fr2 = ����������1 318 019,5 N2 = 1 148 N

ar = 180° – 45° – b (Bild 82/2)

Fr F2––––––– = ––––––sin 45° sin b

F2 · sin 45° 1 500 N · sin 45°sin b = ––––––––––– = ––––––––––––––––– = 0,9239

Fr 1 148 N

48 Mechanik: Kräfte

ö 2ör

ö 1

45°

A

Ea r

b

45°

FG

F r

F = FG

Bild 82/2: Seilrolle

ö2

ö r

ö 1

90°

A

E

ar

b

40°

F2

F r

F 1

Bild 82/1: Freileitungsmast

Page 49: Rechenbuch Metall Lösungen

b = 67,5°

ar = 180° – 45° – 67,5° = 67,5°

82/3. Dieselmotor

� Grafische Lösung

0,6 kNa) 1. Schritt: Gewählter Kräftemaßstab Mk = –––––––

mm

F 42 kN2. Schritt: Pfeillänge ŒF = –––––– = –––––––– = 70 mmMk kN

0,6 ––––mm

3. Schritt: Kräfteplan (Bild 82/3)

4. Schritt: Pfeillänge ŒFN = 19 mmFN = ŒFN · Mk

kN= 19 mm · 0,6 –––– = 11,4 kNmm

b) Pfeillänge ŒFp = 72,5 mm (Bild 82/3)kNFp = ŒFP · Mk = 72,5 mm · 0,6 –––– = 43,5 kNmm

� Rechnerische Lösung

a) FN = F · tan 15° (Bild 82/3)= 42 kN · tan 15° = 11,25 kN

F 42 kNb) Fp = ––––––– = –––––––– = 43,48 kN

cos 15° cos 15°

82/4. Hubseil: Lastzugwinkel a = 30°

� Grafische Lösung

0,25 kNa) 1. Schritt: Gewählter Kräftemaßstab Mk = ––––––––

mm

F 10 kN2. Schritt: Pfeillänge ŒF = ––– = ––––––––– = 40 mmMk kN0,25 ––––

mm

3. Schritt: Kräfteplan (Bild 82/4-1)

4. Schritt: FG ist die Resultierende im Krafteck

5. Schritt: Pfeillänge ŒG = 77 mm

kNFG = ŒG · Mk = 77 mm · 0,25 –––– = 19,25 kNmm

� Rechnerische Lösung

a) Die Gewichtskraft FG wird über den Sinussatz ermittelt (Bild 82/4-1).

FG F–––––––– = ––––––––sin 150° sin 15°

F · sin 150° 10 kN · sin 150°FG = –––––––––––– = –––––––––––––––– = 19,32 kN sin 15° sin 15°

Mechanik: Kräfte 49

2

FN

15°

öFN

FpF

E

A

ö F

öFp

Bild 82/3: Dieselmotor

15°

F

E

A

ö G

150°

Fö F

FG

ö F

Bild 82/4-1: Hubseil, Lastzugwinkel a = 30°

Page 50: Rechenbuch Metall Lösungen

82/4. Hubseil, Lastzugwinkel a = 60°

� Grafische Lösung

kNa) 1. Schritt: Gewählter Kräftemaßstab Mk = 0,25 ––––

mmF 10 kN2. Schritt: Pfeillänge ŒF = –––– = ––––––––– = 40 mmMk kN0,25 ––––

mm

3. Schritt: Kräfteplan (Bild 82/4-2)

4. Schritt: FG ist die Resultierende im Krafteck.

5. Schritt: Pfeillänge ŒG = 69 mmkNFG = ŒG · Mk = 69 mm · 0,25 –––– = 17,25mm

� Rechnerische Lösung

a) Die Gewichtskraft FG wird über den Sinussatz ermittelt (Bild 82/4-2).

FG F–––––––– = –––––––––sin 120° sin 30°

F · sin 120° 10 kN · sin 120°FG= ––––––––––– = –––––––––––––––– = 17,32 kNsin 30° sin 30°

82/4. Hubseil, Lastzugwinkel a = 90°

� Grafische LösungkN

a) 1. Schritt: Gewählter Kräftemaßstab Mk = 0,25 ––––mm

F 10 kN2. Schritt: Pfeillänge ŒF = ––– = ––––––––––– = 40 mmMk kN

0,25 ––––––mm

3. Schritt: Kräfteplan (Bild 82/4-3)

4. Schritt: FG ist die Resultierende im Krafteck (Bild 82/4-3).

5. Schritt: Pfeillänge ŒG = 56,5 mm

kNFG = ŒG · Mk = 56,5 mm · 0,25 –––––mm

= 14,13 kN

� Rechnerische Lösung

a) Die Gewichtskraft FG wird über den Sinussatz ermittelt (Bild 82/4-3).

FG F 10 kN · sin 90°––––––– = ––––––––; FG = –––––––––––––––sin 90° sin 45° sin 45°

= 14,14 kN

82/4. Hubseil, Lastzugwinkel a = 120°

� Grafische Lösung

kNa) 1. Schritt: Gewählter Kräftemaßstab Mk = 0, 25 –––––

mm

F 10 kN2. Schritt: Pfeillänge ŒF = ––– = ––––––––––– = 40 mmMk kN0,25 ––––

mm

50 Mechanik: Kräfte

45°

F

E

A

ö G

F

ö F

FG

öF

Bild 82/4-3: Hubseil, Lastzugwinkela = 90°

30°

F

E

A

ö G

120°

F

ö F

FG

öF

Bild 82/4-2: Hubseil, Lastzugwinkela = 60°

Page 51: Rechenbuch Metall Lösungen

3. Schritt: Kräfteplan (Bild 82/4-4)

4. Schritt: FG ist die Resultierende im Krafteck (Bild 82/4-4).

5. Schritt: Pfeillänge ŒG = 40 mmkNFG = ŒG · Mk = 40 mm · 0,25 ––––mm

= 10 kN

� Rechnerische Lösung

a) Die Gewichtskraft FG wird über den Sinussatz er-mittelt (Bild 82/4-4).

FG F––––––– = –––––––sin 60° sin 60°

F · sin 60°FG = –––––––––– = Fsin 60°

= 10 kN

Mechanik: Kräfte 51

2

82/4. Hubseil, Teilaufgabe b

Lastzugwinkel a in °

Gew

ich

tskr

aft

F g

0

10

20

30

kN

60 90 120

Bild 82/4: Hubseil, Gewichtskräfte FG in Abhängigkeit der Lastzugwinkel a.

60°

F

E

A

ö G

F

ö F

FG

öF

60°

Bild 82/4-4: Hubseil, Lastzugwinkela = 120°

82/5. Werkzeugmaschinenführung

� Grafische Lösung

1. Schritt: Gewählter Kräftemaßstab

NMk = 70 ––––mm

F2. Schritt: Pfeillänge ŒF = –––Mk

3 500 N= –––––––– = 50 mmN70 ––––

mm

Page 52: Rechenbuch Metall Lösungen

3. Schritt: Kräfteplan (Bild 82/5)

4. Schritt: Normalkräfte FN1 und FN2siehe Krafteck (Bild 82/5)

5. Schritt: ŒFN1 = ŒFN2 = 35,5 mm

FN1 = FN2 = ŒFN · MK

N= 35,5 mm · 70 ––––mm

= 2 485 N

� Rechnerische Lösung

Die Normalkräfte FN1 und FN2 werden über den Sinussatz ermittelt (Bild 82/5).

F FN1––––––– = –––––––sin 90° sin 45°

F · sin 45° 3,5 kN · sin 45°FN1 = –––––––––– = ––––––––––––––– = 2 475 Nsin 90° sin 90°

82/6. Schrägstirnrad

� Grafische Lösung

1. Schritt: Gewählter Kräftemaßstab

NMk = 2 ––––mm

FN2. Schritt: Pfeillänge ŒFN = –––Mk

140 N= –––––– = 70 mmN2 ––––

mm

3. Schritt: Kräfteplan (Bild 82/6)

4. Schritt: Teilkräfte Fu und Fa (Bild 82/6)

5. Schritt: Pfeillängen Œu = 67,5 mm,Œa = 18 mm

NFu = Œu · Mk = 67,5 mm · 2 –––– = 135 Nmm

NFa = Œa · Mk = 18 mm · 2 ––––– = 36 Nmm

� Rechnerische Lösung

Die Kräfte Fu und Fa werden über Winkelfunktionen ermittelt (Bild 82/6).

Fu = FN · cos b = 140 N · cos 15° = 135,2 N

Fa = FN · sin b = 140 N · sin 15° = 36,2 N

82/7. Keilspanner

� Grafische Lösung

a) 1. Schritt: Gewählter KräftemaßstabkNMk = 5 –––cm

52 Mechanik: Kräfte

F a

öa

öFN

E

A

ö uF

u

b =15°

Bild 82/6: Schrägstirnrad

ö F

A

E

öFN1

ö FN2

F N2

FN1

F

90°

45°

Bild 82/5: Werkzeugmaschinenführung

Page 53: Rechenbuch Metall Lösungen

FG2. Schritt: Pfeillänge ŒFG = –––Mk25 kN= –––––– = 5 cm

kN5 ––––cm

3. Schritt: Kräfteplan (Bild 82/7 a)

4. Schritt: Teilkräfte FNA und FNB(Bild 82/ 7a)

5. Schritt: Pfeillängen ŒNA = 1,82 cm,ŒNB = 5,3 cmFNA= ŒNA · Mk

kN= 1,82 cm · 5 –––– = 9,1 kNcm

FNB = ŒNB · Mk

kN= 5,3 cm · 5 –––– = 26,5 kNcm

b) 1. Schritt: Gewählter KräftemaßstabkNMk = 5 ––––cm

2. Schritt: Pfeillänge ŒNB = 5,3 cm(siehe Teilaufgabe a)

3. Schritt: Kräfteplan (Bild 82/7b)4. Schritt: Teilkräfte FNC und F1 (Bild 82/7b)5. Schritt: Pfeillängen ŒF1 = 1,82 cm,

ŒNC = 5 cmF1 = ŒF1 · Mk

kN= 1,82 cm · 5 –––– = 9,1 kNcm

Die Zugkraft F in der Schraube hebt dieKraft F1 auf.

F = F1 = 9,1 kNkNFNC = ŒNC · Mk = 5 cm · 5 –––– = 25 kNcm

� Rechnerische Lösung

a) Die Kräfte FNA und FNB werden über Winkelfunktio-nen ermittelt (Bild 82/7a).

FNA = FG · tan 20° = 25 kN · tan 20° = 9,09 kN

FG FG 25 kNcos 20° = ––––; FNB = –––––––– = –––––––– = 26,6 kN

FNB cos 20° cos 20°

b) Die Kräfte F und FNC werden über Winkelfunktionen ermittelt (Bild 82/7b).

FNB = 26,6 kN (siehe Teilaufgabe a)FNC = FNB · cos 20° = 26,6 kN · cos 20° = 25 kN

F = F1 = FNB · sin 20° = 26,6 kN · sin 20° = 9,09 kN

82/8. Schließeinheit, Winkel a = 10°

� Grafische Lösung

a) 1. Schritt: Gewählter Kräftemaßstab500 NMk = ––––––mm

Mechanik: Kräfte 53

2

20°

öNA

öNB

E

A

F G

FNA

FNB

Bild 82/7a: Keilspanner

F NC

20°

öF

ö NC

E

A

FNB

F1

Bild 82/7b: Keilspanner

Page 54: Rechenbuch Metall Lösungen

2. Schritt: Pfeillänge F 10 000 NŒF = ––– = ––––––––– = 20 mmMk N500 ––––

mm

3. Schritt: Kräfte F1 und F2(Bild 82/8-1)

4. Schritt: Pfeillängen, Kräfte

Œ1 = Œ2 = 57 mm

500 NF1 = F2 = Œ1 · Mk = 57 mm · –––––– = 28 500 N = 28,5 kNmm

b) Die Pleuelkraft F2 wird im Lagerpunkt in die Schließkraft FS und die Kraft Fy zerlegt.

500 N1. Schritt: Gewählter Kräftemaßstab Mk = ––––––mm

F2 28 500 N2. Schritt: Pfeillänge ŒF = ––– = ––––––––– = 57 mm

Mk N500 ––––mm

3. Schritt: Kräfte FS und Fy (Bild 82/8-2)

4. Schritt: Pfeillängen, Kräfte

ŒS = 56 mm, Œy = 10 mm

500 NFS = ŒS · Mk = 56 mm · –––––– = 28 000 N = 28 kNmm

500 NFy = Œy · Mk = 10 mm · –––––– = 5 000 N = 5 kNmm

� Rechnerische Lösung

a) Die Pleuelkräfte F1 und F2 werden über Winkelfunktionen berechnet (Bild 82/8-1).

F 5 kNF1 = –––––––– = –––––––

2 · sin a sin 10°= 28,79 kN = 28,8 kN

F2 = F1 = 28,8 kN

b) Die Teilkräfte FS und Fy werden über Winkelfunktionen berechnet (Bild 82/8-2).FS = F2 · cos a = 28,8 kN · cos 10° = 28,36 kN

Fy = F2 · sin a = 28,8 kN · sin 10° = 5 kN

82/8. Schließeinheit, Winkel a = 5°

� Grafische Lösung

a) 1. Schritt: Gewählter Kräftemaßstab1 000 NMk = ––––––––

mm

2. Schritt: Pfeillänge F 10 000 NŒF = ––– = ––––––––––

Mk N1 000 ––––mm

= 10 mm

54 Mechanik: Kräfte

F /2

ö F

ö1

E

A

F1

5° F2

ö2

Bild 82/8-3: Schließeinheit, Winkel a = 5°

ö y

E

A

Fy

10°

F2

ö2

öS FS

Bild 82/8-2: Schließeinheit, Winkel a = 10°

F /210°

ö F

ö1

E

A

F1

10°

F2

ö2

Bild 82/8-1: Schließeinheit, Winkel a = 10°

Page 55: Rechenbuch Metall Lösungen

3. Schritt: Kräfte F1 und F2(Bild 82/8-3)

4. Schritt: Pfeillängen, Kräfte

Œ1 = Œ2 = 57,5 mm

1 000 NF1 = F2 = Œ1 · Mk = 57,5 mm · –––––––– = 57 500 N = 57,5 kNmm

b) Die Pleuelkraft F2 wird im Lagerpunkt in die Schließkraft FS und die Kraft Fy zerlegt.

1. Schritt: Gewählter Kräftemaßstab1 000 NMk = ––––––––

mm

2. Schritt: Pfeillänge F2 57 500 N

ŒF = ––– = ––––––––––Mk N1 000 ––––mm

= 57,5 mm

3. Schritt: Kräfte FS und Fy(Bild 82/8-4)

4. Schritt: Pfeillängen, Kräfte

ŒS = 57 mm, Œy = 5 mm

1 000 NFS = ŒS · Mk = 57 mm · –––––––– = 57 000 N = 57 kNmm

1 000 NFy = Œy · Mk = 5 mm · –––––––– = 5 000 N = 5 kNmm

� Rechnerische Lösung

a) Die Pleuelkräfte F1 und F2 werden über Winkelfunktionen berechnet (Bild 82/8-3).

F 5 kNF1 = –––––––– = ––––––– = 57,37 kN = 57,4 kN

2 · sin a sin 5°

F2 = F1 = 57,4 kN

b) Die Teilkräfte FS und Fy werden über Winkelfunktionen berechnet (Bild 82/8-4).FS = F2 · cos a = 57,4 kN · cos 5° = 57,18 kN

Fy = F2 · sin a = 57,4 kN · sin 5° = 5 kN

82/8. Schließeinheit, Winkel a = 2°

� Grafische Lösung

Durch den Winkel a = 2° ist eine hinreichend genaue Konstruktion der Kraftecke mit handelsüblichen Zeichengeräten nicht mehr gesichert.

� Rechnerische Lösung

a) Die Pleuelkräfte F1 und F2 werden über Winkelfunktionen berechnet (Bild 82/8-5).F 5 kN

F1 = –––––––– = ––––––– = 143,268 kN = 143,27 kN2 · sin a sin 2°

F2 = F1 = 143,27 kN

b) Die Teilkräfte FS und Fy werden über Winkelfunktionen berechnet (Bild 82/8-5).FS = F2 · cos a = 143,27 kN · cos 2° = 143,182 kN = 143,18 kN

Fy = F2 · sin a = 143,27 kN · sin 2° = 5 kN

Mechanik: Kräfte 55

2

ö y

öSE

A

F2

Fy

ö2

FS

Bild 82/8-4: Schließeinheit, Winkel a = 5°

Page 56: Rechenbuch Metall Lösungen

83/1. Kettentrieb

M dF = –––; Œ = –– = 60 mmŒ 2

144 N · mF = –––––––––– = 2 400 N0,060 m

83/2. Kipphebel

F1 · Œ1 = F2 · Œ2F1 · Œ1 1 450 N · 145 mm

F2 = –––––– = –––––––––––––––––– = 934,4 NŒ2 225 mm

84/3. Ausgleichsgewicht

F · Œ1 = FG · Œ2F · Œ1 2 100 N · 1 400 mm

FG = –––– = –––––––––––––––––––– = 4 900 NŒ2 600 mm

84/4. Spannexzenter

F · Œ1 = FN · Œ2F · Œ1 180 N · 150 mm

FN = –––– = ––––––––––––––––– = 19 285,7 N = 19,3 kNŒ2 1,4 mm

84/5 Umlenkhebel

a) Œ1 = Œ · cos 30° = 420 mm · cos 30° = 363,7 mm

b) Ml = Mr

F2 · Œ2 = F1 · Œ1F1 · Œ1 48 kN · 363,7 mm

F2 = –––––– = –––––––––––––––––– = 62,35 kNŒ2 280 mm

56 Mechanik: Hebel

Sch

ließ

kraf

t F S

Winkel a

kN

2

150

20

57,5

° (Grad)

143

100

5 100

28

50

Bild 82/8-6: Schließkraftverlauf

F /2F1

F2

Fa

a

Krafteck (Skizze),Teilaufgabe a)

Krafteck (Skizze),Teilaufgabe b)

Fy

a F2

FS

Bild 82/8-5: Schließeinheit, Winkel a = 2°

82/8. Schließeinheit, Teilaufgabe c)

2.5 Hebel

2.5.1 Drehmoment und Hebelgesetz

Page 57: Rechenbuch Metall Lösungen

84/6. Pressvorrichtung

SMl = SMrF2 · Œ2 = F1 · Œ1 + FG · ŒG

F1 · Œ1 + FG · ŒG 80 N · 840 mm + 50 N · 380 mm 86 200 N · mmF2 = –––––––––––––– = ––––––––––––––––––––––––––––––––– = –––––––––––––––– = 1 959 N

Œ2 44 mm 44 mm

84/7. Spanneisen

F1 · Œ1 = F2 · Œ2F1 · Œ1 12 kN · 74 mm

F2 = –––––– = ––––––––––––––– = 8,15 kNŒ2 109 mm

84/8. Auswerfer

SMl = SMrF2 · Œ2 = F1 · Œ1 + F3 · Œ1

F1 · Œ1 + F3 · Œ1 2,2 kN · 118 mm + 0,18 kN · 118 mmF2 = ––––––––––––– = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––– = 2,0 kN

Œ2 140 mm

84/9. Spannrolle

FN · ŒNFN · ŒN = F1 · Œ2; F1 = –––––––Œ2

ŒN = 225 mm · sin 50° = 225 mm · 0,7660 = 172,35 mm

Œ2 = 250 mm · cos 25° = 250 mm · 0,9063 = 226,58 mm

850 N · 172,35 mmF1 = ––––––––––––––––––– = 646,6 N226,58 mm

84/10. Kippschaufel

a) M“ = Mr

F1 · Œ2 = F · Œ1F · Œ1 10 kN · 275 mm

F1 = –––––– = ––––––––––––––– = 9,02 kNŒ2 305 mm

b) M“ = Mr

FG · ŒG = F1 · Œ2F1 · Œ2 9,02 kN · 305 mm

FG = –––––– = ––––––––––––––––– = 6,877 kN ≈ 6,9 KNŒG 400 mm

Mechanik: Hebel 57

2

F2 74109

DrehpunktF1

Bild 84/7: Spanneisen

ö N

250

225

ö 2

25°

50°

F N

F1

Bild 84/9: Spannrolle

86/1. Wälzführung

Für den Drehpunkt A gilt:

SMl = SMr

FB · Œ = F · ŒFF · ŒF 450 N · 82 mm

FB = ––––– = ––––––––––––––– = 198,4 NŒ 186 mm

FA + FB = F

FA = F – FB = 450 N – 198,4 N = 251,6 N

82186

A F1

FB

Bild 86/1: Wälzführung

2.5.2 Lagerkräfte

Page 58: Rechenbuch Metall Lösungen

86/2. Träger

Für den Drehpunkt A gilt:

SMl = SMr

FB · Œ = F1 · Œ1 + F2 · Œ2F1 · Œ1 + F2 · Œ2FB = –––––––––––––

Œ

6 000 N · 300 mm + 4 500 N · 750 mmFB = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– = 5 175 N1 000 mm

FA + FB = F1 + F2

FA = F1 + F2 – FB = 6 000 N + 4 500 N – 5 175 N = 5 325 N

86/3. Fräsmaschine

Für den Drehpunkt A gilt:

SMl = SMr

F · ŒF = FB · Œ

F · ŒF 3,5 kN · 180 mmFB = ––––– = ––––––––––––––––– = 1,615 kN

Π390 mm

FA + FB = FFA = F – FB = 3,5 kN – 1,615 kN = 1,885 kN

86/4. Umlenkrolle

a) FA = �������FA2X + FA

2Y

���������������������= �(1 500 N)2 + (1 500 N2)

= 2 121,3 N

b) Die Pendelstange stellt sich in Richtung der Lagerkraft FA ein.

FAX 1 500 Ncos a = –––– = ––––––––––– = 0,7071

FA 2 121,3 N

a = 45°

86/5. Hebel

a) SMl = SMr

F2 · Œ2 = F1 · Œ1 + F3 · Œ1F1 · Œ1 + F3 · Œ1F2 = ––––––––––––––

Œ22,8 kN · 118 mm + 0,18 kN · 118 mm

= ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––140 mm

= 2,51 kN

b) FA = F1 + F2 + F3 = 2,8 kN + 2,51 kN + 0,18 kN = 5,49 kN

58 Mechanik: Hebel

FAX

FAY

å FA

Bild 86/4: Umlenkrolle

AF2 F3

140 118

FA

F1

Bild 86/5: Hebel

1000

AF1

FB

300750

F2

Bild 86/2: Träger

390

AFA

F

FB

180

Bild 86/3: Fräsmaschine

Page 59: Rechenbuch Metall Lösungen

86/6. Winkelhebel

Kraft F1

F1 · Œ1 = F · Œ2F · Œ2 10 kN · 95 mm

F1 = ––––– = –––––––––––––– = 7,916 kN ≈ 7,92 kNŒ1 120 mm

Lagerkraft FA

FAX = F

FAY = F1

FA = �������FA2X + FA

2Y

= �������(10 kN)2 + ������(7,29 kN)2

= 12,76 kN

86/7. Containerfahrzeug

Für den Drehpunkt B gilt:

SMl = SMr

F1 · Œ1 = FA · Œ + F2 · Œ2FA · Œ= F1 · Œ1 – F2 · Œ2

F1 · Œ1 – F2 · Œ2FA = –––––––––––––Œ

35 kN · 2 200 mm – 20 kN · 3 000 mm= ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––3 600 mm

17 000 kN · mm= ––––––––––––––––– = 4,72 kN3 600 mm

FA + FB = F1 + F2

FB = F1 + F2 – FA = 35 kN + 20 kN – 4,72 kN = 50,28 kN

86/8. Laufkran

Für den Drehpunkt A gilt:

SMl = SMr

FB · Œ = (F1 + F3) · Œ1 + F2 · Œ2(F1 + F3) · Œ1 + F2 · Œ2FB = –––––––––––––––––––

Œ

Linke Stellung der Laufkatze:(12 kN + 20 kN) · 3,5 m + 60 kN · 4,6 mFB = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––10 m388 kN · m= ––––––––––– = 38,8 kN10 m

FA + FB = F1 + F2 + F3

FA = F1 + F2 + F3 – FB = 12 kN + 20 kN + 60 kN – 38,8 kN = 53,2 kN

Rechte Stellung der Laufkatze:

(12 kN + 20 kN) · 6,8 m + 60 kN · 4,6 m 493,6 kN · mFB = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– = ––––––––––––– = 49,36 kN10 m 10 m

FA = F1 + F2 + F3 – FB = 12 kN + 20 kN + 60 kN – 49,63 kN = 42,64 kN

Mechanik: Hebel 59

2A

FAx

120

FAy

F2

F1

95

FAx

FA

Bild 86/6: Winkelhebel

A

FB

F2(F1+F3)

10 m

3,5 m(6,8 m)

4,6 m

Bild 86/8: Laufkran

BF1 F2

FA

3600

2200 3000

Bild 86/7: Containerfahrzeug

Page 60: Rechenbuch Metall Lösungen

87/1. Zahnriementrieb

z2 35a) i = –– = ––– = 2,33

z1 15

b) M2 = i · M1 = 2,33 · 240 N · m = 559,2 N · m

87/2. Schneckengetriebe

n1 z2a) i = ––– = –––;n2 z1

11 440 –––– · 1n1 · z1 min 1n2 = –––––– = –––––––––––– = 45 ––––

z2 32 min

M2 z2b) –––– = ––;M1 z1

M2 · z1 80 N · m · 1M1 = ––––––– = –––––––––––– = 2,5 N · m

z2 32

88/3. Montagepresse

da) M2 = F1 · Œ = F1 · –– = 1,5 kN · 60 mm = 90 kN · mm = 90 N · m

2

M2 z2 M2 · z1 d2 120 mmb) ––– = ––; M1 = –––––––; z2 = ––– = –––––––– = 48

M1 z1 z2 m 2,5 mm90 N · m · 22M1 = ––––––––––––– = 41,25 N · m

48

88/4. Kolbenverdichter

Fu · da) M = –––––––; d = dw12

2 · M 2 · 48 N · mFu = –––––– = –––––––––––– = 533,33 Ndw1 0,180 m

M2 n1b) ––– = ––– = i;M1 n2

M2 = i · M1 = 2,84 · 48 N · m = 136,32 N · m

88/5. Räderwinde

da) M2 = FG · Œ2 = FG · –––

20,180 m= 2 kN · ––––––––– = 0,180 kN · m = 180 N · m

2

M2 z2b) ––– = ––– = i ;M1 z1

M2 180 N · mM1 = –––– = –––––––––– = 54,55 N · m

i 3,3

Fu · d2c) m2 = ––––––;2

d2 = m · z2 = 3 mm · 99 = 297 mm

2 · M2 2 · 180 N · mFu = –––––– = ––––––––––––– = 1 212,1 N

d2 0,297 m

60 Mechanik: Hebel

2.5.3 Umfangskraft und Drehmoment

Page 61: Rechenbuch Metall Lösungen

d) M1 = F1 · Œ1;

M1 54,55 N · mF1 = ––– = –––––––––––– = 181,8 N

Œ1 0,3 m

88/6. Pkw-Antrieb

a) 1. Gang: i1G = i1 · iA = 4,12 · 3,38 = 13,93

2. Gang: i2G = i2 · iA = 2,85 · 3,38 = 9,63

3. Gang: i3G = i3 · iA = 1,95 · 3,38 = 6,59

4. Gang: i4G = i4 · iA = 1,38 · 3,38 = 4,66

5. Gang: i5G = i5 · iA = 1,09 · 3,38 = 3,68

b) M2 = i · M1; M2 = Fu · rR

Fu · rR = i · M1

i · M1Fu = ––––––rR

i1 · M1 13,93 · 220 N · m1. Gang: Fu1 = ––––––– = –––––––––––––––––– = 10 388,5 N

rR 0,295 m

i2 · M1 9,63 · 220 N · m2. Gang: Fu2 = ––––––– = –––––––––––––––––– = 7 181,7 N

rR 0,295 m

i3 · M1 6,59 · 220 N · m3. Gang: Fu3 = ––––––– = –––––––––––––––––– = 4 914,6 N

rR 0,295 m

i4 · M1 4,66 · 220 N · m4. Gang: Fu4 = ––––––– = –––––––––––––––––– = 3 475,3 N

rR 0,295 m

i5 · M1 3,68 · 220 N · m5. Gang: Fu5 = ––––––– = –––––––––––––––––– = 2 744,4 N

rR 0,295 m

c) v = p · d · n; d = 2 · rR = 2 · 0,295 m = 0,59 m

16 200 ––––n n min 1–– = i5G; n5 = ––– = –––––––––––– = 1 684,8 ––––n5 i5G 3,68 min

1 684,8 mv = p · 0,59 m · –––––––– = 52,05 –––60 · s s

m s52,05 –– · 3 600 ––

s h km= –––––––––––––––––– = 187,4 ––––

m h1 000 ––––

km

88/7. Hubwerk

n1 z2 · z4 z1 · z3 1 17 · 21 1a) i = ––– = –––––––; nTr = n1 · –––––– = 550 –––– · ––––––– = 53 ––––

nTr z1 · z3 z2 · z4 min 57 · 65 min

1 mb) v = p · d · n = p · 0,28 · 53 –––– = 46,62 ––––

min min

d 0,28 mc) MTr = FG · –– = 3 kN · –––––––– = 0,42 kN · m = 420 N · m

2 2

1420 N · m · 53 ––––M2 n1 M2 · n2 min

d) –––– = ––; M1 = ––––––– = ––––––––––––––––––– = 40,47 N · mM1 n2 n1 1550 ––––

min

Mechanik: Hebel 61

2

Page 62: Rechenbuch Metall Lösungen

90/1. Ladestation

a) FR = μ · FN = 0,15 · 3 500 N = 525 N

b) FR = μ · FN = 0,08 · 3 500 N = 280 N

90/2. Kupplung

a) FR = μ · FN = 0,62 · 125 N = 77,5 N

85 mmb) MR= FR · r = 77,5 N · –––––––– = 3 293,8 N · mm = 3,3 N · m

2

90/3. Maschinenschlitten

a) Für den Drehpunkt A gilt:

FG · Œ1 = FB · ŒFG · Œ1 450 N · 82 mm

FB = –––––– – = ––––––––––––––– = 198,4 NŒ 186 mm

FA + FB = FG

FA = FG – FB = 450 N – 198,4 N = 251,6 N

b) F = FRA + FRB = μ · FA + μ · FB

= μ · (FA + FB) = μ · F = 0,005 · 450 N = 2,25 N

90/4. Schweißmaschine

f · FN 0,6 cm · 2 kNa) FR = ––––– = ––––––––––––– = 0,2 kN = 200 N

r 6 cm

FR · db) M = 2 · –––––– (zwei Rollen)

2

200 N · 0,120 m= 2 · –––––––––––––––– = 24 N · m

2

90/5. Schraubenverbindung

FR = μ · FN;

FR 3 200 NFN = ––– = –––––––– = 16 000 N

μ 0,2

FN 16 000 NSpannkraft je Schraube FNs = –––– = ––––––––– = 8 000 N

2 2

90/6. Bohreinheit

a) F = FR + FH + FfFR = μ · FN = μ · FG · cos a = 0,07 · 1 500 N · cos 30°

= 90,93 NFH = FG · sin a = 1 500 N · sin 30° = 750 NF = 90,93 N + 750 N + 1 800 N

= 2 640,93 N

db) M = F · ––– = 2 640,93 N · 0,071 m

2

= 187,5 N · m

62 Mechanik: Reibung

F HFG

F N

FF R

F f

30º

Bild 90/6: Bohreinheit

2.6 Reibung

Page 63: Rechenbuch Metall Lösungen

90/7. Getriebewelle

a) Für den Drehpunkt A gilt:

FB · Œ = F1 · Œ1 + F2 · Œ2F1 · Œ1 + F2 · Œ2FB = ––––––––––––––

Œ18 kN · 450 mm + 13,5 kN · 1 130 mm= –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

1 580 mm= 14,78 kN

FA + FB = F1 + F2

FA = F1 + F2 – FB = 18 kN + 13,5 kN – 14,78 kN

= 16,72 kN

b) FRA= μ · FA = 0,06 · 16,72 kN = 1,003 kN = 1 003 N

FRB= μ · FB = 0,06 · 14,78 kN = 0,887 kN = 887 N

c) MR = MRA + MRB;

FRA · dA 1 003 N · 0,1 mMRA = –––––––– = ––––––––––––––– = 50,15 N · m

2 2

FRB · dB 887 N · 0,125 mMRB = –––––––– = ––––––––––––––––– = 55,44 N · m

2 2

MR = 50,15 N · m + 55,44 N · m = 105,59 N · m

Mechanik: Arbeit, Energie, Leistung, Wirkungsgrad 63

2

A

FB

F2

1580

450

1130

F1

Bild 90/7: Getriebewelle

2.7 Arbeit, Energie, Leistung, Wirkungsgrad

2.7.1 Mechanische Arbeit und 2.7.2 mechanische Energie

� Mechanische Arbeit

92/1. Aufzug

W = F · s = 11 200 N · 12,5 m = 140 000 N · m = 140 kN · m

92/2. Betonpumpe

kg m kg · mFG = r · V · g = 2,45 –––– · 5 000 dm3 · 9,81 ––– = 120 172,5 ––––––– ≈ 120,17 kNdm3 s2 s2

W = F · s = 120,17 kN · 11,5 m = 1 381,955 kN · m ≈ 1,38 MN · m

93/3. Werkstück

p · d2 p · (4,35 dm)2V = –––––– · h = –––––––––––––– · 15 dm = 222,925 dm3

4 4

kg m kg · mFG = r · V · g = 7,25 ––––– · 222,925 dm3 · 9,81 –– = 15 855 –––––– ≈ 15,86 kNdm3 s2 s2

W = F · s = 15,86 kN · 0,8 m = 12,688 kN · m

93/4. Vorschubeinheit

a) FR = q · FG = 0,08 · 3 250 N = 260 N

b)WR = FR · s = 260 N · 0,43 m = 111,8 N · m

93/5. DruckfederN

a) F = R · s = 24,5 –––– · 23 mm = 563,5 Nmm

N––––R · s2 24,5 mm · (23 mm)2

b) W = –––––– = –––––––––––––––––––––2 2

= 6 480 N · mm = 6,48 N · m

Page 64: Rechenbuch Metall Lösungen

93/6. Drehversuch

Zurückgelegter Weg s:

425 mms = p · 85 mm · ––––––––– = 226 980 mm = 226,98 m0,5 mm

147 537 N · mW = F · s = 650 N · 226,98 m = 147 357 N · m = –––––––––––––– = 40,983 W · h ≈ 0,041 kW · h3 600 N · m–––––

W · h

� Potenzielle und kinetische Energie

93/7. Pumpspeicherwerk

V = Œ · b · h = 320 m · 85 m · 16,5 m = 448 800 m3 = 448 800 000 dm3

kg m kg · mFG = r · V · g = 1 ––––– · 448 800 000 dm3 · 9,81 ––– = 4 402 728 000 ––––––– = 4 402 728 kNdm3 s2 s2

1 245 972 024 kN · mWP = FG · s = 4 402 728 kN · 283 m = 1 245 972 024 kN · m = ––––––––––––––––––––––3 600 kN · m–––––––

kW · h= 346 103,3 kW · h ≈ 346 MW · h

93/8. Schleifscheibe

m 20,012 kg · (80 ––)m · v2 s kg · m

a) Wk = ––––––– = –––––––––––––––––– = 38,4 –––––– · m = 38,4 N · m2 2 s2

Wk 38,4 N · mb) Wk = F · s; F = ––– = ––––––––––– = 25 600 N

s 0,0015 m

93/9. Personenwagenm60 km · 1 000 –––

km km ma) v = 60 –––– = –––––––––––––––––– = 16,67 –––

h 3 600 s s1 h · –––––––1 h

m 21 200 kg · (16,67 –––)m · v2 s kg · mWk = ––––––– = –––––––––––––––––––––– = 166 733 ––––––– · m

2 2 s2

= 166,7 kN · m

m120 km · 1 000 –––km km m

b) v = 120 –––– = ––––––––––––––––––– = 33,33 –––h 3 600 s s

1 h · –––––––1 h

m 21 200 kg · (33,3 –––)m · v2 s kg · mWk = –––––– = –––––––––––––––––––– = 666 533 ––––––– · m = 666,5 kN · m

2 2 s2

(Die doppelte Geschwindigkeit ergibt die vierfache kinetische Energie!)

93/10. Pendelschlagwerk

ma) Wp= FG · s1 = m · g · s1 = 21,735 kg · 9,81 –– · 1,407 m = 300 N · m

s2

b) Wp= Wk��������������m · v2 2 · Wk 2 · 300 kg · m2 m

Wk= ––––––; v = �����––––––– = �––––––––––––––– = 5,25 ––2 m 21,735 kg · s2 s

mc) Wp= FG · s2 = m · g · s2 = 21,735 kg · 9,81 ––– · 0,22 m = 46,9 N · m

s2

Verbrauchte Schlagarbeit = 300 N · m – 46,9 N · m = 253,1 N · m

64 Mechanik: Arbeit, Energie, Leistung, Wirkungsgrad

Page 65: Rechenbuch Metall Lösungen

� Mechanische Leistung (ohne Wirkungsgrad)

96/1. Kran

W 15 kN · m kN · mP = ––– = –––––––––– = 0,5 ––––––– = 0,5 kWt 30 s s

96/2. Hebebühne

FG · s 11 500 N · 1,80 m N · mP = –––––– = ––––––––––––––––––– = 3 763,64 –––––– ≈ 3,764 kW

t 5,5 s s

96/3. Hubstapler

FG · s 6 550 N · 1,65 m N · mP = –––––– = –––––––––––––––––– = 4 323 –––––– = 4,323 kW

t 2,5 s s

96/4. Riementrieb

P = F · v; v = p · d · n; P = F · p · d · n;

N · m7 400 ––––––P sF = –––––––– = –––––––––––––––––––––––– ≈ 274,6 N

p · d · n 1 450p · 0,355 m · –––––––––––min · 60 s––––

min

96/5. Hydraulikmotor

720 N · mP = 2p · n · M = 2p · –––– · 67,5 N · m = 5 089,38 –––––– ≈ 5,1 kW60s s

96/6. Pumpspeicherwerk

N · m34 000 000 ––––– · 1 sp · t sF = ––––– = ––––––––––––––––––––– = 120 141,34 N ≈ 120,141 kN

s 283 m

kg · m120 141,34 –––––––FG s2

m = ––– = ––––––––––––––––––– ≈ 12 247 kg ‡ 12 247 dm3 = 12,2 m3 Wasserg m9,81 –––s2

96/7. Aufzug

a) FG = 50 kN – 38 kN = 12 kN

m kN · mP = FG · v = 12 kN · 2,3 –– = 27,6 ––––––– = 27,6 kWs s

d 0,45 mb) M = FG · –– = 12 kN · –––––––– = 2,7 kN · m

2 2

� Wirkungsgrad

96/8. Elektromotor

P2 22 kWn = ––– = –––––––– = 0,905 = 90,5 %

P1 24,3 kW

96/9. Antriebseinheit

n = n1 · n2 · n3 = 0,85 · 0,83 · 0,78 = 0,550 29 ≈ 55 %

Mechanik: Arbeit, Energie, Leistung, Wirkungsgrad 65

2

2.7.3 Mechanische Leistung und 2.7.4 Wirkungsgrad

Page 66: Rechenbuch Metall Lösungen

96/10. Dieselmotor

kN · mW2 = P · t = 160 ––––––– · 1 800 s = 288 000 kN · m = 288 000 kJs

kJW1 = 20,18 — · 37 000 ––– = 746 660 kJ—

W2 288 000 kJn = –––– = –––––––––––– = 0,3857 ≈ 38,6 %

W1 746 660 kJ

� Mechanische Leistung und Wirkungsgrad

97/11. Kaltkreissäge

a) P2 = n · P1 = 0,65 · 4,3 kW = 2,795 kW ≈ 2,8 kW

N · m2 795 –––––– P2 s

b) P2 = 2 · p · n · M; M = –––––––– = –––––––––––––––––– = 1 482,8 N · m2 · p · n 182 · p · ––––––––––

min · 60 s –––––––––min

M 1 482,8 N · mc) F = ––– = –––––––––––––- = 4 707,3 N

d 0,63 m–– –––––––2 2

97/12. Hydraulikkolben

12,5 m ma) P2 = F · v = 120 kN · ––––––– = 25 kN · –– = 25 kW

60 s s

P2 25 kWb) P1 = ––– = ––––––– = 29,762 kW ≈ 29,8 kW

n 0,84

97/13. Seilwinde

m kg · mFG = m · g = 5 000 kg · 9,81 ––– = 49 050 ––––––– = 49 050 Ns2 s2

1,5 m N · mP2 = FG · v = 49 050 N · –––––– = 1 226,25 –––––– ≈ 1,2 kW60 s s

P2 1,226 kWP1 = ––– = ––––––––– = 1,782 kW ≈ 1,8 kW

n 0,8 · 0,86

97/14. Wasserturbine

kg m kg · mF = FG = r · V · g = 1 –––– · 144 000 dm2 · 9,81 ––– = 1 412 640 ––––––– = 1 412,6 kNdm3 s2 s2

F · s 1 412,6 kN · 37 m kN · mP1 = ––––– = ––––––––––––––––– = 871,1 ––––––– = 871,1 kWt 60 s s

P2 = n · P1 = 0,85 · 871,1 kW = 740,4 kW

97/15. Kreiselpumpe

m66 kg · 9,81 ––– · 51 mF · s s2 N · m

a) PP2 = ––––– = ––––––––––––––––––––––– = 33 020,5 –––––– ≈ 33 kWt 1 s s

PP2 33 kWb) PP1 = PM2 = –––– = ––––––– = 44 kW

np 0,75

PM2 44 kWc) PM1 = –––– = ––––––– = 51,8 kW

nM 0,85

d) n= nM · nG = 0,75 · 0,85 = 0,6375 ≈ 63,8 %

66 Mechanik: Arbeit, Energie, Leistung, Wirkungsgrad

Page 67: Rechenbuch Metall Lösungen

97/16. Schlepplift

m3,5 km · 1 000 –––km kN · m

a) PG2 = F · v = 30 kN · ––––––––––––––––––– = 29,167 ––––––– = 29,167 kW3 600 s sh · –––––––

h

PG2 29,167 kWPG1 = ––– = ––––––––––– = 34,723 kW = PM2nG 0,84

PM2 34,723 kWPM1 = –––– = ––––––––––– = 39,458 kW ≈ 39,5 kW

nM 0,88

b) Vom Motor abgegebenes Drehmoment MM2

m3,5 km · 1 000 –––km–––––––––––––––––

3 600 sh · –––––––

v h 1 1 1n2 = –––– = ––––––––––––––––––– = 0,213 ––; n1 = n2 · i = 0,213 –– · 110 = 23,43 ––d · p 1,45 m · p s s s

N · m34 723 ––––––PM2 sMM2 = –––––––– = ––––––––––––––– = 235,886 N · m (genauer Wert ohne

2 · p · n1 12 · p · 23,43 –– Zwischenrundungen 235,3896 N · m)s

oder: Drehmoment an der Seiltrommel MG2

d 1,45 mMG2 = F · –– = 30 000 N · ––––––– = 21 750 N · m2 2

vom Getriebe aufgenommenes Drehmoment MG1

MG2 21 750 N · mMG1 = ––––– = ––––––––––––––– ≈ 235,4 N · m

i · nG 110 · 0,84

97/17. Pkw-Dieselmotor

N · m105 000 ––––––P s

a) M = –––––––– = ––––––––––––––– = 238,7 N · m2 · p · n 4 2002 · p · –––––––––

60 smin · ––––min

2 200 N · mb) P = 2 · p · n · M = 2 · p · –––––––––– · 315 N · m = 72 570,8 –––––– ≈ 72,6 kW

60 s smin · ––––min

c) Drehmoment am Hinterrad M2 = n · i · M1 = 0,9 · 13,515 · 300 N · m = 3 649 N · m

M2 3 649 N · mF = –––– = –––––––––––– = 11 847 N

d 0,616 m–– ––––––––2 2

Mechanik: Arbeit, Energie, Leistung, Wirkungsgrad 67

2

Page 68: Rechenbuch Metall Lösungen

68 Mechanik: Einfache Maschinen

99/1. Schrägaufzug

FG · h 600 N · 4 mF = –––––– = –––––––––––– = 320 N

s 7,5 m

99/2. Rampe

FG · h 3,6 kN · 2,8 ma) F = –––––– = ––––––––––––––– = 1,26 kN

s 8 m

FG · h 3,6 kN · 2,8 mb) s = –––––– = ––––––––––––––– = 10,08 m

F 1 kN

99/3. Schrägaufzug

F · s 1 000 N · 300 mh = ––––– = –––––––––––––––– = 6,667 mFG 45 000 N

99/4. Steigung

mFG = m · g ≈ 6 500 kg · 10 –– = 65 000 N = 65 kNs2

FG · h 65 kN · 210 mF = –––––– = –––––––––––––– = 3,9 kN

s 3 500 m

99/5. Ladebalken

F · s 650 N · 4,8 ma) FG = –––– = –––––––––––––– = 2 600 N

h 1,2 m

b) Rechnerische Lösung:h 1,2 msin a = –- = –––––– = 0,250; a = 14,478°s 4,8 m

FH 650 NFG = –––––– = –––––––––––– = 2 600 N = 2,6 kN

sin a sin 14,478°

FH 650 NFN = –––––– = –––––––––––– = 2 517,35 N ≈ 2,52 kN

tan a tan 14,478°

Zeichnerische Lösung vgl. Bild 99/5:

Zeichnen Sie maßstäblich ein rechtwinkliges Dreieckaus der senkrechten Kathete h = 1,2 m und der Hypo-tenuse s = 4,8 m. Auf dem Ladebalken (Hypotenuse) be-findet sich der Kessel (als Kreis dargestellt). Im Schwer-punkt des Kreises ist die Gewichtskraft als Strahl senk-recht nach unten darzustellen. Das Kräfteparallelo-gramm wird gebildet aus der Normalkraft FN senkrechtzu den Ladebalken und der Hangabtriebskraft FH im ge-wählten Kräftemaßstab parallel zu den Ladebalken. DieHangabtriebskraft ist gleich groß wie die Zugkraft, wirktjedoch in entgegengesetzter Richtung.

ö H

h

s

a

a

ö G

ö N

FN

FH

Kräftemaßstab

MK = 40 Nmm

öH = = = 16,25 mm

FN = öN · MK = 63 mm · 40 = 2 520 NNmm

FG = öG · MK = 65 mm · 40 = 2 600 NNmm

FH

MK

650 N

40 Nmm

FG

Bild 99/5: Ladebalken

2.8 Einfache Maschinen

2.8.1 Schiefe Ebene

Page 69: Rechenbuch Metall Lösungen

99/6 Rollbiegewerkzeug

s2tan 30° = ––– = 0,5774s1

F1 · s1 F1 F1 2 400 NF2 = –––––– = ––– = –––––––– = –––––––– = 4 156,6 N

s2 s2 tan 30° 0,5774––s1

99/7. Keiltriebpresse

s2 F1 · s1 F1 F1 12,5 kNF1 · s1 = F2 · s2; tan 30° = –– = 0,5774; F2 = ––––––– = ––– = ––––––– = –––––––– = 21,6 kN

s1 s2 s2 tan 30° 0,5774––s1

bei 60 % Reibungsverlust F2 = 0,4 · 21,6 kN = 8,6 kN

Mechanik: Einfache Maschinen 69

2

F ¡ = öF¡ · MK = 18 mm · 500 = 9 000 NNmm

a = 33,7°

A

B

480

320

a) Lageplan M 1 : 20

F2 = öF2 · MK = 30 mm·500 =15000 N

Kräftemaßstab

MK = 500 Nmm

F ¡¡ = F ¡ = 9000 N

BöF2

F ¡

a

F ¡¡

F2

c) Krafteck im Gelenk B

b) Krafteck im Gelenk A

ö FG

a

AöFII

FG

FI

Nmm

10000 NFGöFGMK 500

= = = 20 mm

Nmm

Bild 100/4: Wagenheber

2.8.2 Keil

2.8.3 Schraube

100/1. Abzieher

2 · F1 · p · d2 · F1 · p · d = F2 · P ; F2 = ––––––––––––

P

2 · 95 N · p · 220 mm= –––––––––––––––––––––– = 87 545,7 N

1,5 mm

100/2. Spindelpresse

F1 · p · d 96 N · p · 400 mma) F2 = ––––––––– = ––––––––––––––––––- = 12 063,7 N

P 10 mm

F2 · P 15 700 N · 10 mmb) F1 = ––––– = ––––––––––––––––––– = 124,9 N

p · d p · 400 mm

124,9 N · 100 %c) 124,9 N ‡ 35 %; 100 % ‡ –––––––––––––––– = 356,9 N

35 %

100/3. Schraubstock

F2 · P 12 000 N · 5 mmF1 · p · d = F2 · P ; F1 = –––––– = –––––––––––––––––

p · d p · 2 · 250 mm= 38,2 N ‡ 30 %

38,2 N · 100 %100 % ‡ ––––––––––––––– = 127,3 N30 %

100/4. Wagenheber

a) Zeichnerische Lösung (Bild 100/4)

F2 · P 15 000 N · 4 mmb) F1 = –––––––– = ––––––––––––––––––––– = 218,3 N

p · d · n p · 2 · 125 mm · 0,35

Page 70: Rechenbuch Metall Lösungen

70 Prüftechnik und Qualitätsmanagement: Maßtoleranzen und Passungen

Alle Maße sind in mm angegeben.

102/1. Maßtoleranzen

a) TB = ES – El = + 0,05 – (+ 0,02) = 0,03

GoB = N + ES = 80 + (+ 0,05) = 80,05

GuB = N + El = 80 + (+ 0,02) = 80,02

b) TB = + 0,15 – (–0,15) = 0,30

GoB = 5 + (+ 0,15) = 5,15; GuB = 5 + (– 0,15) = 4,85

c) Tw = 0 – (–0,08) = 0,08

GoW = 28 + 0 = 28,00; GuW = 28 + (– 0,08) = 27,92

+ 0,013d) Aus einer Maßtoleranztabelle: 120j6 = 120 – 0,009

TW = + 0,013 – (–0,009) = 0,022

GoW = 120 + (+ 0,013) = 120,013; GuW = 120 + (–0,009) = 119,991

+ 0,007e) Aus einer Maßtoleranztabelle: 50K7 = 50 – 0,018

TB = + 0,007 – (–0,018) = 0,025

GoB = 50 + (+ 0,007) = 50,007; GuB = 50 + (–0,018) = 49,982

102/2. Buchse

3 Prüftechnik und Qualitätsmanagement

102/3. Lehre

Maß a: GoW = 60,2 – 34,8 = 25,4

GuW = 59,8 – 35,2 = 24,6

TW = Gow – GuW = 25,4 – 24,6 = 0,8

Maß b: GoW = 20,2 – 7,47 = 12,73

GuW = 19,8 – 7,55 = 12,25

TW = Gow – GuW = 12,73 – 12,25 = 0,48

102/4. Anschlagleiste

Go = 26,1 – 6,5 = 19,6 Gu = 25,9 – 6,7 = 19,2

102/5. Welle

– 0,02550f7 = 50 – 0,050

Go = 49,975 – 5,5 + 10 = 54,475

Gu = 49,950 – 5,6 + 10 = 54,350

Toleriertes Abmaße Toleranzen Höchstmaße MindestmaßeMaß

es = 0 TW = 0,062 GOW = 50,000 GUW = 49,93850h9 ei = – 0,062

ES = + 0,016 TB = 0,016 GOB = 35,016 GUB = 35,00035H6 EI = 0

es = 0 TW = 0,2 GOW = 38,0 GUW = 37,838 – 0,2 ei = – 0,2

ES = + 2 TB = 2 GOB = 22 GUB = 2020 + 2 EI = 0

3.1 Maßtoleranzen und Passungen

3.1.1 Maßtoleranzen

Page 71: Rechenbuch Metall Lösungen

102/6. Gehäuse

102/7. Antriebseinheit

Höchstmaß x = 85,5 – 12,0 – 31,8 + 0,1 = 41,8

Mindestmaß x = 85,0 – 12,3 – 32,0 + 0,1 = 40,8

Maß Abmaße Istmaß

27 ± 0,1 es = + 0,1 ei = – 0,1 ok

65 ± 0,15 es = + 0,15 ei = – 0,15 ok

2,5H11 ES = + 0,060 EI = 0 ok

25h9 es = 0 ei = – 0,052 ok

M20x1,5 es = + 0,22 ei = + 0,03 ok

30 ± 0,03 es = + 0,03 ei = – 0,03 ok

Alle Maße sind in mm angegeben.

103/1. Schieber mit Führung

Mindestspiel PSM = GuB – GoW = 20,00 – 20,00 = 0Höchstspiel PSH = GoB – GuW = 20,05 – 19,95 = + 0,1

103/2. Rundpassungen

Toleriertes ES es GoB GoW TB TW PSM PSHMaß EI ei GuB GuW

100H8 + 0,054 100,0540,0540 100,000

+ 0,036 + 0,125

100f7 – 0,036 99,9640,035– 0,071 99,929

104/3. Passungen

Toleriertes Maß

50H7

50g6

100 + 0,05

100 – 0,05

10F7

10m6

25K6

25h5

Abmaße

ES = 0,025EI = 0

es = – 0,009ei = – 0,025

ES = + 0,05EI = 0

es = 0ei = – 0,05

ES = + 0,028EI = + 0,013

es = + 0,015ei = + 0,006

ES = + 0,002EI = – 0,011

es = 0ei = – 0,009

Grenzmaße

GoB = 50,025GuB = 50,000

GoW = 49,991GuW = 49,975

GoB = 100,05GuB = 100,00

GoW = 100,00GuW = 99,95

GoB = 10,028GuB = 10,013

GoW = 10,015GuW = 10,006

GoB = 25,002GuB = 24,989

GoW = 25,000GuW = 24,991

Grenzpassungen

PSH = 0,050

PSM = 0,009

PSH = 0,10

PSM = 0

PSH = 0,022

PÜH = – 0,002

PSH = 0,011

PÜH = – 0,011

104/4. Gleitlager

– 0,050 + 0,072a) 200f7 = 200 – 0,096 200H8 = 200 0

TB = ES – EI = + 0,072 – 0 = 0,072

Tw = es – ei = – 0,050 – (– 0,096) = 0,046

3.1.2 Passungen

Prüftechnik und Qualitätsmanagement: Maßtoleranzen und Passungen 71

3

Page 72: Rechenbuch Metall Lösungen

72 Prüftechnik und Qualitätsmanagement: Maßtoleranzen und Passungen

b) GoB = N + ES = 200 + 0,072 = 200,072

GuB = N + EI = 200 + 0 = 200,000

GoW = N + es = 200 + (– 0,050) = 199,950

GuW = N + ei = 200 + (– 0,096) = 199,904

c) PSH = GoB – GuW = 200,072 – 199,904 = 0,168

PSM = GuB – GoW = 200,000 – 199,950 = 0,050

104/5. Schwenklager

+ 0,034 – 0,006a) 16F7 = 16 + 0,016 mit 16g6 = 16 – 0,017 ergibt eine Spielpassung.

0 – 0,006b) 16M7 = 16 – 0,018 mit 16g6 = 16 – 0,017 ergibt eine Übergangspassung.

+ 0,018 + 0,034c) 16H7 = 60 0 mit 16r6 = 16 + 0,023 ergibt eine Übermaßpassung.

d) Zu den frei gewählten Tolerierungen genau passende ISO-Toleranzklassen gibt es nicht.Deshalb müssen die nächstliegenden Toleranzen aus der Größe der Toleranz T und denGrundabmaßen ES bzw. es berechnet werden. Als Grundabmaß bezeichnet man den Ab-stand zwischen der Nulllinie und dem Grenzabmaß, das der Nulllinie am nächsten liegt.Die folgenden Werte sind Tabellenbüchern zu entnehmen.

Bei 20 + 0,2/0 sind ES = 0 und T = 0,2. Da bei allen H-Toleranzen ES = 0 und beim Nenn-maß 20 mm und dem Grundtoleranzgrad IT12 die Grundtoleranz T = 0,21 ist, liegt 20H12

= 20 +0,21/0 der gegebenen frei gewählten Tolerierung am nächsten.

Bei 20 – 0,2/– 0,5 sind es = – 0,2 und T = 0,3. Da bei allen a-Toleranzen es = – 0,30 und beimNennmaß 20 mm und dem Grundtoleranzgrad IT13 die Grundtoleranz T = 0,33 ist, liegt20a13 = 20 – 0,30/– 0,63 der gegebenen frei gewählten Tolerierung näher als z. B. 20c13.

104/6. Passungen beim Einbau verschiedener Normteile

Die Grenzpassungen können direkt aus den Abmaßen berechnet werden.

+0,021 + 0,021 PSH = + 0,021 – (+ 0,008) = 0,013a) 20H7 = 20 0 20m6 = 20 + 0,008 :

PÜH = 0 – (+ 0,021) = – 0,021

+ 0,021 0 PSH = + 0,021 – (– 0,033) = 0,054 b) 20H7 = 20 0 20h8 = 20 – 0,033 :

PSM = 0 – 0 = 0

Die Abmaße von 20h8 müssen aus dem Grundabmaß es = 0 und der Grundtoleranz T = 33 mmfür IT8 und N = 20 mm berechnet werden, wenn keine Toleranztabelle zur Verfügung steht.

+ 0,021 0 PSH = + 0,021 – (– 0,130) = 0,151 c) 20H7 = 20 0 20h11 = 20 – 0,130 :

PSM = 0 – 0 = 0

+ 0,021 + 0,028 PSH = + 0,021 – (+ 0,015) = 0,006d) 20H7 = 20 0 20n6 = 20 + 0,015 :

PÜH = 0 – (0,028) = – 0,028

104/7. Bestimmung einer Wellentoleranz

+ 0,025Aus einer Toleranztabelle: 35H7 = 35 0

PSH = GoB – GuW; GuW = GoB – PSH = 35,025 – 0,008 = 35,017

PÜH = GuB – GoW; GoW = GuB – PÜH = 35,000 – (– 0,033) = 35,033

+ 0,033Die Grenzabmaße der Welle sind damit 35 + 0,017 ‡ 35n6.

Page 73: Rechenbuch Metall Lösungen

108/1. Einkommen

a) Medianwert: x~ = 2 200 Euro

b) Arithmetischer Mittelwert:x1 + x2 + x3 + … xnx– = ––––––––––––––––––––

n1 · 1 885 + 3 · 2 050 + 4 · 2 080 + 3 · 2 200 + 2 · 2 280 + 1 · 2 500 + 1 · 2 550x– = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

15x– = 2 171 Euro

c)

� Hinweise zur Lösung der Aufgaben

Die Prüfdaten, z. B. Messwerte, zu einem Prüfmerkmal (z. B. Bauteildurchmesser), werden während einer Stichprobenprüfung in einer Urliste oder Strichliste gesammelt. Die Verteilung der Häufigkeit glei-cher Werte kann in einem Histogramm als Kurven- oder Balkendiagramm dargestellt werden.Bei einem logarithmischen Auswerteblatt ergibt die Häufigkeitsverteilung eine Gerade, wenn es sich umeine Normalverteilung handelt. Diese grafische Methode stellt die im Gesamtlos zu erwartenden, pro-zentualen Anteile an Gutteilen, Nacharbeit und Ausschuss dar.Prozessregelkarten bieten die Möglichkeit, Veränderungen eines Prozesses gegenüber einem Sollwertgrafisch darzustellen.Urwertkarte: Sie erfasst alle Messwerte einer Prüfung.Zentralwert-Spannweitenkarte (x

~-R-Karte): Ohne großen Rechenaufwand lassen sich Fertigungsstreu-

ungen und Tendenzen aufzeigen. Sie werden vor allem in der manuellen Regelkartenführung eingesetzt.Mittelwert-Standardabweichungskarte (x–-s-Karte): Diese Karten zeigen die Veränderungen des Mittel-wertes innerhalb der Fertigung. Die Auswertung der Messwerte erfolgt meist rechnerunterstützt. Die Ergebnisse sind genauer, weil alle Werte einer Stichprobenprüfung in die Auswertung einfließen.

EinkommenEuro

1

2

3

4

5

abso

lute

Häu

fig

keit

01800 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2600

Bild 108/1c: Einkommen

3.2 Qualitätsmanagement

3.2.1 Prozesskennwerte aus Stichprobenprüfung

Prüftechnik und Qualitätsmanagement: Qualitätsmanagement 73

3

Page 74: Rechenbuch Metall Lösungen

74 Prüftechnik und Qualitätsmanagement: Qualitätsmanagement

108/2. Passmaße

a) k = ��n = ���40 = 6,3 ≈ 6

R 0,027h = –– = ––––– = 0,0045 ≈ 0,005k 6

Strichliste Passmaße

Klasse von (≥) bis (<) Anzahl der Messwerte

1 16,000 16,005 |||| (5)

2 16,005 16,010 |||| (4)

3 16,010 16,015 |||| (5)

4 16,015 16,020 |||| |||| (9)

5 16,020 16,025 |||| |||| ||| (13)

6 16,025 16,030 |||| (4)

b)

c) x~ = 16,015x1 + x2 + x3 + … xnx– = ––––––––––––––––––––

nx–1 + x–2 + x–3 + … x–nx= = –––––––––––––––––––– (Gesamtmittelwert)

n

Klasse

2abso

lute

Häu

fig

keit

1 2 3 4 5 6

4

6

8

10

12

14

%

30

20

10

rela

tive

Häu

fig

keit

Bild 108/2b: Passmaße

Urliste Passmaße in mm (n = 40) x

16,027 16,020 16,021 16,022 16,024 16,023

16,000 16,001 16,002 16,024 16,020 16,009

16,005 16,007 16,015 16,017 16,026 16,014

16,003 16,010 16,017 16,025 16,020 16,015

16,007 16,003 16,010 16,012 16,017 16,010

16,015 16,007 16,015 16,020 16,021 16,016

16,020 16,015 16,012 16,017 16,025 16,018

16,017 16,012 16,021 16,020 16,022 16,018

x= = 16,015

Page 75: Rechenbuch Metall Lösungen

108/3. Blechdicke

Lösungen für a) bis c) in der Tabellex1 + x2 + x3 + … xnx– = ––––––––––––––––––––

nR = xmax – xmin

Urliste

Prüfmerkmal: Blechdicke 1,00 ± 0,02

Stichproben: 8

1 2 3 4 5 6 7 8

x1x2x3x4x5

0,970,980,991,001,00

1,010,980,991,021,00

0,980,991,011,001,01

1,030,991,021,001,01

1,001,010,991,021,01

1,031,011,021,001,01

1,031,021,021,001,01

1,031,021,001,021,01

xx

0,990,998

1,001,00

1,000,998

1,011,01

1,011,006

1,021,014

1,021,016

1,021,016

R 0,03 0,04 0,03 0,04 0,03 0,03 0,03 0,03

108/4 Wellendurchmesser

x1 + x2 + x3 + x4 + … + xna) x– = –––––––––––––––––––––––––––

n1 · 14,999 mm + 2 · 15,000 mm + 3 · 15,001 mm + 2 · 15,002 mm + 1 · 15,003 mmx– = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

9135,009 mm= ––––––––––––– = 15,001 mm

9

b) Berechnung der relativen Häufigkeit hj:

njhj = –– · 100 %; n = 9n1hj1= –– · 100 %= 11,11 %92hj2= –– · 100 %= 22,22 %93hj3= –– · 100 %= 33,33 %92hj4= –– · 100 %= 22,22 %91hj5= –– · 100 %= 11,11 %9

108/5. Widerstände

22 · 98 Ω + 33 · 99 Ω + 39 · 100 Ω + 45 · 101 Ω + 41 · 102 Ω + 20 · 103 Ωa) x– = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

20020 110 Ω= ––––––-–– = 100,55 Ω

200

b) R = xmax – xmin = 103 Ω – 98 Ω = 5 Ω

Durchmesser

Häu

fig

keit

14,999 15,000 15,001 15,002 15,003 15,004mm

1

2

3

4

5

10

20

30

40

50%

rela

tive

Häu

fig

keit

11,1% 11,1%

22,2 %22,2 %

33,3%

0 0

Bild 108/4: Wellendurchmesser

Prüftechnik und Qualitätsmanagement: Qualitätsmanagement 75

3

Page 76: Rechenbuch Metall Lösungen

76 Prüftechnik und Qualitätsmanagement: Qualitätsmanagement

c)

108/6. Lochkreisdurchmesser

1 · 10,6 mm + 2 · 10,5 mm + 5 · 10,4 mm + 5 · 10,3 mm + 7 · 10,2 mm + 11 · 10,1 mm +a) x– = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––120

+16 · 10,0 mm + 26 · 9,9 mm + 16 · 9,8 mm + 11 · 9,7 mm + 8 · 9,6 mm + 6 · 9,5 mm +––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––120

+ 4 · 9,4 mm + 2 · 9,3 mm 1 188,5 mm––––––––––––––––––––––––––– = –––––––––––– = 9,904 mm120 120

b) R = xmax – xmin = 10,6 mm – 9,3 mm = 1,3 mm

����������∑ (xi – x)2

c) s = � –––––––––n – 1

Anmerkung: Mehrmaliges Auftreten von gleichen Messwerten wird über einen entspre-chenden Faktor berücksichtigt.

����������������������������������������������������������������������������������������(10,6 mm – 9,9 mm)2 + (10,5 mm – 9,9 mm)2 · 2 + (10,4 mm – 9,9 mm)2 · 5 + … + (9,3 mm – 9,9 mm)2 · 2s = � –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

119�����������8,49 mm2

= � –––––––––– = ����������0,071345 mm2 = 0,267 mm119

d) + s = x_

+ s = 9,904 + 0,267 = 10,171

– s = x_

– s = 9,904 – 0,267 = 9,637

Es liegen 80 Messwerte zwischen den Grenzen der Standardabweichung. 80 · 100 %Dies entspricht einem prozentualen Anteil von –––––––––––– = 66,66 %.

120

e) Beispielrechnungen:nj 2

Für Maß 9,3 gilt: hj = –– · 100 % = –––– · 100 % = 1,67 %n 120

nj 6Für Maß 9,5 gilt: hj = –– · 100 % = –––– · 100 % = 5 %

n 120Fj = 1,67 % + 3,33 % + 5 % = 10 %

Widerstände

abso

lute

Häu

fig

keit

98 99 100 102 103 104Q

10

20

30

40

50

101097

Bild 108/5: Widerstände

Maße 9,3 9,4 9,5 9,6 9,7 9,8 9,9 10 10,1 10,2 10,3 10,4 10,5 10,6

hj % 1,67 3,33 5 6,67 9,17 13,3 21,67 13,3 9,17 5,83 4,17 4,17 1,67 0,83

Fj % 1,67 5 10 16,67 25,84 39,14 60,81 74,11 83,28 89,11 93,28 97,45 99,12 99,95

Page 77: Rechenbuch Metall Lösungen

112/1. Bundbuchse

a) ø 25h6 → Tw = es – ei = 0 mm – (–13 mm) =13 mm(es und ei aus Tabellenbuch)

T 13 mmcm = ––––– = –––––––––– = 1,556 · s 6 · 1,4 mm

Ermittlung von Dkrit:OGW – x– = 25,000 mm – 24,994 mm = 0,006 mmx– – UGW = 24,994 mm – 24,987 mm = 0,007 mm→ Dkrit = 0,006 mm = 6 mm

Dkrit 6 mmcmk = ––––– = ––––––––– = 1,433 · s 3 · 1,4 mm

b) Die Maschinenfähigkeit ist nicht nachgewiesen, da cm = 1,55 < 1,67 ist.cmk = 1,43 > 1,33, d. h. der kritische Maschinenfähigkeitsindex wird eingehalten.Um die geforderten Kennwerte zu erfüllen, muss die Streuung des Fertigungs -prozesses reduziert werden.

112/2. Maschinenauswahl

a) 60f7 → Tw = es – ei = – 30 mm – (– 60 mm) = 30 mm(es und ei aus Tabellenbuch)

Maschine A:

T 30 mmcm = ––––– = –––––––––– = 1,06 · s 6 · 5 mm

Ermittlung von Dkrit:OGW – x– = 59,970 mm – 59,955 mm = 0,015 mmx– – UGW = 59,955 mm – 59,940 mm = 0,015 mm→ Dkrit = 0,015 mm = 15 mm

Dkrit 15 mmcmk = ––––– = ––––––––– = 1,03 · s 3 · 5 mm

Maschine B:

T 30 mmcm = ––––– = –––––––––– = 2,56 · s 6 · 2 mm

Ermittlung von Dkrit:OGW – x– = 59,970 mm – 59,959 mm = 0,011 mmx– – UGW = 59,959 mm – 59,940 mm = 0,019 mm→ Dkrit = 0,011 mm = 11 mm

Dkrit 11 mmcmk = ––––– = ––––––––– = 1,833 · s 3 · 2 mm

b) Die Maschinenfähigkeit ist nur für die Maschine B nachgewiesen, da bei dieser Maschine die üblichen Kennwerte für den Nachweis der Maschinenfähigkeit cm = 2,5 ≥ 1,67 und cmk = 1,83 ≥ 1,67 erfüllt sind.

Bei Maschine A ist dagegen die Maschinenfähigkeit nicht nachgewiesen: cm = 1,0 < 1,67 und cmk = 1,0 < 1,67.

3.2.2 Maschinen- und Prozessfähigkeit

Prüftechnik und Qualitätsmanagement: Qualitätsmanagement 77

3

Page 78: Rechenbuch Metall Lösungen

78 Prüftechnik und Qualitätsmanagement: Qualitätsmanagement

c) Die Maschine B sollte in der Serienbearbeitung eingesetzt werden, weil mit der Maschinenfähigkeitsuntersuchung festgestellt wurde, dass nur die Maschine B unteridealen Bedingungen innerhalb der vorgegebenen Grenzwerte fertigen kann.

112/3. Lagerplatte

a) 20– 00,25 → T = es – ei = 0 mm – (– 0,25 mm)

= 0,25 mm = 250 mm

T 250 mmcp = ––––– = ––––––––– = 1,746 · s 6 · 24 mm

Ermittlung von Dkrit:OGW – q = 20,000 mm – 19,750 mm = 0,250 mm = 250 mmq – UGW = 19,750 mm – 19,750 mm = 0 mm = 0 mm→ Dkrit = 0 mm

Dkrit 0 mmcpk = ––––– = ––––––––– = 03 · s 3 · 24 mm

b) Der Prozessfähigkeitsindex cp = 1,74 ≥ 1,33 istnachgewiesen.Die Prozessfähigkeit ist dagegen nicht nachgewie-sen, da cpk = 0 < 1,33 ist.Soll eine Fähigkeit erreicht werden, muss der Fer-tigungsprozess zentriert werden.

c) 50 % der Teile liegen unterhalb der unteren Tole-ranzgrenze.

112/4. Welle

a) 30h6 → T = es – ei = 0 mm – (– 13 mm) = 13 mm(es und ei aus Tabellenbuch)

T T 13 mmcp = –––––; s = ––––– = ––––––– ≈ 1,297 mm6 · s 6 · cr 6 · 1,67

b) (GoW + GuW) Toleranzmitte q1 = ––––––––––––

230,000 mm + 29,987 mm= ––––––––––––––––––––––– = 29,9935 mm

2

q2 = q1 + 0,003 m = 29,9965 mm

Dkrit = OGW – q2 = 30 mm – 29,9965 mm= 0,0035 mm = 3,5 mm

Dkrit 3,5 mmcpk = ––––– = ––––––––– = 0,733 · s 3 · 1,6 mm

112/5. Antriebswelle

● a) ø 40m6 → T = es – ei = 25 mm – 9 mm = 16 mm(es und ei aus Tabellenbuch)

T 16 mmcp = ––––– = –––––––––– = 2,426 · s 6 · 1,1 mm

UGW OGW

19,750 20,000mm

Bild 112/3: Lagerplatte

UGW OGWDkrit

m1 m2

Bild 112/4: Welle

Page 79: Rechenbuch Metall Lösungen

b) Die Bohrungen könnten einem Trend unterliegen, da die Durchmesser zur Unterschrei-tung des unteren Grenzwertes tendieren. Das lässt auf eine Abnützung des Werkzeugesschließen. Die untere Eingriffsgrenze wurde bei der Fertigung nicht beachtet.

116/1. Bohrungen

a)Klassen 1 2 3 4 5 6 7 8 9

relative Häufigkeit 2 4 8 22 32 16 12 4 0hj in %

absolute Häufigkeit 1 2 4 11 16 8 6 2 0nj

Werteklassen

rela

tive

Häu

fig

keit

hj

1

10

20

30

%

5

10

15

abso

lute

Häu

fig

keit

nj

2 3 4 5 6 7 80

0

Bild 116/1: Histogramm der Häufigkeitsverteilung

Ermittlung von Dkrit:OGW – q = 40,025 mm – 40,019 mm = 0,006 mm = 6 mmq – UGW = 40,019 mm – 40,009 mm = 0,01 mm = 10 mm→ Dkrit = 6 mm

Dkrit 6 mmcpk = ––––– = ––––––––– = 1,823 · s 3 · 1,1 mm

Die Prozessfähigkeit ist nachgewiesen, da cp = 2,42 ≥ 1,33 und cpk = 1,82 ≥ 1,33 ist.

b) Im Bereich m– 3 s = 40,019 mm – 3 · 0,0011 mm = 40,0157 mm und m+ 3 s = 40,019 mm + 3 · 0,0011 mm = 40,0223 mm liegen 99,73 % der gefertigten Teile.

3.2.3 Statistische Prozesslenkung mit Qualitätsregelkarten

Prüftechnik und Qualitätsmanagement: Qualitätsmanagement 79

3

Page 80: Rechenbuch Metall Lösungen

80 Prüftechnik und Qualitätsmanagement: Qualitätsmanagement

116/2. Dehnschraube

a) – c) Für Schaftdurchmesser 11k6 ergibt sich Höchstmaß 11,012; Mindestmaß 11,001

����������x1 + x2 + x3 + … + xn ∑ (xi – x–)2

x– = ––––––––––––––––––––––; s = � ––––––––––; R = xmax – xminn n – 1

Die Standardabweichung aller Stichproben wird als Mittelwert der Standardabwei-chungen s– bezeichnet und aus den Einzelstandardabweichungen s1, s2, … sm und derAnzahl der Stichproben m berechnet.

s1 + s2 + s3 + … + sms– = –––––––––––––––––––––m

0,0020 + 0,0027 + 0,0018 + 0,0019 + 0,0026 + 2,0020 + 0,0018 + 0,0020s– = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– mm

8s– = 0,0021 mm

x–1 + x–2 + x–3 + … + x–nd) Gesamtmittelwert x= = ––––––––––––––––––––––––n

(11,0020+11,0026+11,0036+11,0054+11,0070+11,0078+11,0100+11,0116) mm= ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––8

x = 11,0063 mm

Es sind weniger als 1 % Ausschuss zu erwarten.

Stichprobe 1 2 3 4 5 6 7 8

Mittelwert x– 11,0020 11,0026 11,0036 11,0054 11,0070 11,0078 11,0100 11,0116

Spannweite R 0,005 0,007 0,005 0,005 0,007 0,005 0,004 0,005

Standardabweichung s 0,0020 0,0027 0,0018 0,0019 0,0026 0,0020 0,0018 0,0020

rela

tive

Häu

fig

keit

in %

10,9

98

10

20

80

Schaftdurchmesser in mm

5

1

0,2

30

40

60

70

90

95

99

99,8

11,0

10

UEG

0,5

2,5

16

50

84

97,5

99,5

11,0

00

11,0

02

11,0

04

11,0

06

11,0

08

11,0

12

11,0

14

11,0

16

OEG

x -2s

x -s

x

x+s

11,0

20

= 11,0063 mm

11,0

18 x =x1+x2+x3+...+xu

u

Gesamt-mittelwert x

Bild 116/2: Wahrscheinlichkeitsnetz

Page 81: Rechenbuch Metall Lösungen

116/3. Prozessregelkarten

Histogramm der Häufigkeitsverteilung der Messwerte.Häufigkeitsverteilung:

Messwert Anzahl Messwert Anzahl

10,999 II 11,008 IIII II

11,001 III 11,011 IIII

11,003 IIII 11,012 III

11,004 IIII I 11,013 II

11,006 IIII III

Tabelle mit den Medianwerten x~ der Stichprobe.Der Medianwert ist der mittlere der nach Größe geordneten Messwerte einer Stichprobe.Der Medianwert wird auch Zentralwert genannt.

Beispiel: Stichprobe 2nach der Größe geordnet:

10,999; 11,001; 11,003 ; 11,004; 11,006;

116/3. Prozessregelkarten

Messwerte

10,098

2

4

8

%

5

10

20

abso

lute

Häu

fig

keit

15

0

7

6

5

3

1

011,002 11,006 11,010 11,014

11,000 11,004 11,008 11,01210,096

Bild 116/3a: Histogramm der Häufigkeitsverteilung

Stichprobe 1 2 3 4 5 6 7 8

x~ 11,003 11,003 11,004 11,006 11,006 11,008 11,011 11,012

Prüftechnik und Qualitätsmanagement: Qualitätsmanagement 81

3

Page 82: Rechenbuch Metall Lösungen

82 Prüftechnik und Qualitätsmanagement: Qualitätsmanagement

1 2 3 4 5 6 7 8

11,003

11,002

11,004

11,005

11,006

11,007

11,008

11,009

mm

11,010

11,012OEG

9

Med

ian

wer

t x

0

11,011

1 2 3 4 5 6 7 8

0,004

0,005

0,006

mm

0,008

9

StichprobeS

pan

nw

eite

R0,003

0

Bild 116/3b: x~-R-Karte

Sta

nd

ard

abw

eich

un

g s

1 2 3 4 5 6 7 8

0,0015

0,0020

0,0025

0,0035

9Stichprobe

0,0010

mm

0,0030

0,00050

Mit

telw

ert

x

1 2 3 4 5 6 7 8

11,001

0

11,002

11,003

11,004

11,005

11,006

11,007

11,008

11,009

11,010

OEG

9

mm

11,012

11,013

UEG

Stichprobe

11,000

Bild 116/3c: x–-s-Karte

Erkenntnis: Die Messwerte liegen noch innerhalb der Eingriffs- und Warngrenzen. Es ist jedoch einTrend in Richtung obere Eingriffsgrenze zu erkennen. Es kann in nächster Zeit mit un-zulässigem Verschleiß des Drehwerkzeuges gerechnet werden.

Page 83: Rechenbuch Metall Lösungen

116/4. Objektivlinse

a) Aus Grafik abgelesen

x== 1,745 mm + s = 0,030 mm – s = 0,038 mm

x== Gesamtmittelwert.

Bei der 10-%-Marke verlässt die Gerade den Bereich zwischen unterer und oberer Ein-griffsgrenze. Es kann mit einem Ausschuss von 10 % gerechnet werden.

x1 + x2 + x3 + x4 + x5b) x– =–––––––––––––––––––––

n

1,80 + 1,70 + 1,78 + 1,74 + 1,71x– = ––––––––––––––––––––––––––––––––5

x–

= 1,746 mm Mittelwert der 1. Stichprobe

����������∑ (xi – x–)2

s = �–––––––––––n – 1

�������������������������������������������������������������������������������(1,80 – 1,746)2 + (1,70 – 1,746)2 + (1,78 – 1,746)2 + (1,74 – 1,746)2 + (1,71 – 1,746)2

s = �––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––5 – 1

s = 0,0433 mm Standardabweichung der 1. Stichprobe

Mittelwert aller Einzelstandardabweichungen, näherungsweise gerechnet über die ge-mittelte Spannweite R

_:

R1 + R2 + … + R10R_

= –––––––––––––––––– = 0,09510

s– = R · 0,4 = 0,095 · 0,4 = 0,038 mm

Gesamtmittelwert:

x–1 + x–2 + x–3 + … + x–10x= = ––––––––––––––––––––––– = 1,7354 mm10

Häufigkeit

0,05

0,02

0,1

0,2

10,5

5 102,5

16

20 30 40

50

60 70 8084

90 95 99 99,8

99,9

99,9

8

97,5

99,5

99,9

5

1,91

1,88

1,85

1,82

1,79

1,76

1,73

1,70

1,67

1,64

-s +s

OEG

-s

+s

UEG

Dic

ke

x

Bild 116/4a: Wahrscheinlichkeitsnetz

Prüftechnik und Qualitätsmanagement: Qualitätsmanagement 83

3

Page 84: Rechenbuch Metall Lösungen

84 Prüftechnik und Qualitätsmanagement: Qualitätsmanagement

1,6

1,7

1,75

1,8

mm

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

Mit

telw

ert

x

0,02

0,03

mm

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

Sta

nd

ard

abw

eich

un

g s 0,04

0,05

Bild 116/4c: x–-s-Karte

Stichprobe 1 2 3 4 5

x~ 1,74 1,75 1,74 1,73 1,73

R 0,1 0,12 0,12 0,09 0,12

x– 1,746 1,76 1,732 1,726 1,74

s 0,0433 0,0463 0,0476 0,0321 0,0474

Stichprobe 6 7 8 9 10

x~ 1,73 1,73 1,74 1,74 1,74

R 0,06 0,09 0,12 0,06 0,07

x– 1,716 1,722 1,754 1,726 1,732

s 0,0230 0,0342 0,0488 0,0261 0,0295

c) Messwerte in x–-s-Karte

Page 85: Rechenbuch Metall Lösungen

1,68

1,70

1,75

1,76

mm

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0,00

0,08

mm

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

Sp

ann

wei

te R

0,10

1,69

1,71

1,72

1,73

1,74

1,78

Med

ian

wer

t x

0,02

0,04

0,06

0,12

0,14

0,18

Stichproben

Stichproben

Bild 116/4c: x~-R-Karte

c) Messwerte in x~-R-Karte

Prüftechnik und Qualitätsmanagement: Qualitätsmanagement 85

3

Page 86: Rechenbuch Metall Lösungen

86 Fertigungstechnik und Fertigungsplanung: Spanende Fertigung

� Schnittdaten, Drehzahlen und Anzahl der Schnitte

121/1. Längs-Runddrehen

a) Tabellenwerte für die Schnittgeschwindigkeit vc:m m

vcmin = 140 ––––, vcmax = 220 ––––·min min

m––––vcmin + vcmax (140 + 220) min m

vc = ––––––––––– = ––––––––––––––– = 180 ––––2 2 min

b) Tabellenwert für den Vorschub f:fmin = 0,3 mmf = 1,3 · fmin = 1,3 · 0,3 mm = 0,39 mm

c) Tabellenwert für die Schnitttiefe ap:apmax = 5,0 mmap = apmax = 5,0 mm

121/2. Welle

a) Tabellenwerte für die Schnittgeschwindigkeit vc:m vcmax = 160 ––––

min m mvc = 0,7 · vcmax = 0,7 · 160 –––– = 112 ––––

min min

b) Tabellenwerte für den Vorschub f und die Schnitttiefe ap:fmax = 0,5 mm, apmax = 5 mmf = 0,7 · fmax = 0,7 · 0,5 mm = 0,35 mm

ap = 0,7 · apmax = 0,7 · 5 mm = 3,5 mm

m–––––vc 112 min 1

c) n = ––––– = –––––––––– = 713 ––––p · d p · 0,05 m min

121/3. Kupplungsflansch

d + d1 (180 + 105) mm a) dm = –––––– = ––––––––––––––– = 142,5 mm

2 2

b) Tabellenwerte für die Schnittgeschwindigkeit vc:m mvcmin = 200 ––––, vcmax = 300 ––––

min minm––––

vcmin + vcmax (200 + 300) min mvc = ––––––––––– = ––––––––––––––– = 250 ––––

2 2 min

m––––vc 250 min 1

c) n = –––––– = –––––––––––– = 558 ––––p · dm p · 0,1425 m min

4 Fertigungstechnik und Fertigungsplanung

4.1 Spanende Fertigung

4.1.1 Drehen

Page 87: Rechenbuch Metall Lösungen

d) Außendurchmesser d:1 m

vc = p · d · n = p · 0,180 m · 558 –––– = 315,5 ––––min min

e) Innendurchmesser d1:1 m

vc = p · d1 · n = p · 0,105 m · 558 –––– = 184,06 ––––min min

122/4. Ritzelwelle

a) Tabellenwerte für die Schnittgeschwindigkeit vc:m mvcmin = 100 ––––, vcmax = 160 ––––

min minm––––

vcmin + vcmax (100 + 160) min mvc = ––––––––––– = ––––––––––––––– = 130 ––––

2 2 min

1b) n = 710 ––––

min

c) Tabellenwerte für die Schnitttiefe ap:apmin = 0,2 mm, apmax = 0,5 mm

apmin + apmax 0,2 mm + 0,5 mm ap = –––––––––––– = ––––––––––––––––– = 0,35 mm

2 2

d) Enddurchmesser d1 der Vorbearbeitung = Anfangsdurchmesser d der Fertig -bearbeitung.

Anfangsdurchmesser d der Fertigbearbeitung:d – d1i = –––––2 · ap

d = i · 2 · ap + d1 = 1 · 2 · 0,35 mm + 40 mm = 40,7 mm(= Enddurchmesser d1 der Vorbearbeitung)

d – d1i = –––––2 · ap

d – d1 65 mm – 40,7 mmap = ––––– = ––––––––––––––––– = 3,0375 mm

2 · i 2 · 4

� Schnittkraft und Leistung beim Drehen

122/5. Spezifische Schnittkraft

a) A = ap · f = 3 mm · 0,35 mm = 1,05 mm2

b) h = f · sin k = 0,35 mm · sin 60° = 0,303 mm

Nc) kc = 4 445 –––––

mm2

d) Fc = A · kc · C; C = 1,0 (Tabellenwert) NFc = 1,05 mm2 · 4 445 ––––– · 1,0 = 4 667,25 N

mm2

122/6. Welle

a) A = ap · f = 5,5 mm · 0,3 mm = 1,65 mm2

b) h = f · sin kk = 60°: h = 0,3 mm · sin 60° = 0,259 mm

k = 90°: h = 0,3 mm · sin 90° = 0,30 mm

Fertigungstechnik und Fertigungsplanung: Spanende Fertigung 87

4

Page 88: Rechenbuch Metall Lösungen

88 Fertigungstechnik und Fertigungsplanung: Spanende Fertigung

Nc) k = 60°: kc = 3 710 –––––

mm2

Nk = 90°: kc = 3 535 –––––mm2

d) Pc = Fc · vc = A · kc · C · vc; C = 1,0 (Tabellenwert)N m 1 min N · mk = 60°: Pc = 1,65 mm2 · 3 710 ––––– · 1,0 · 200 –––– · –––––– = 20 405 ––––– = 20,4 kW

mm2 min 60 s sN m 1 min N · mk = 90°: Pc = 1,65 mm2 · 3 535 ––––– · 1,0 · 200 –––– · –––––– = 19 442,5 ––––– = 19,4 kW

mm2 min 60 s sPce) P1 = ––n

20,4 kW k = 60°: P1 = –––––––– = 27,2 kW0,75

19,4 kW k = 90°: P1 = –––––––– = 25,9 kW0,75

f) Größere Eingriffswinkel k haben kleinere Antriebsleitungen P1 zur Folge.

122/7. Kupplungsflansch

a) A = ap · f = 5 mm · 0,4 mm = 2,0 mm2

b) h = f · sin k = 0,4 mm · sin 75° = 0,386 mm ≈ 0,39 mm

Nc) kc = 1 500 –––––

mm2

vc d + d1 180 mm + 110 mmd) n = ––––––; dm = –––––– = –––––––––––––––––– = 145 mm

p · dm 2 2

m150 ––––min 1n = ––––––––––– = 329 ––––p · 0,145 m min

1 me) vc = p · d · n = p · 0,180 m · 329 –––– = 186 ––––

min min

Pcf) P1 = ––; Pc = Fc · vc = A · kc · C · vc; C = 1,0 (Tabellenwert)n

N m 1 min N · m= 2,0 mm2 · 1 500 ––––– · 1 · 186 –––– · ––––– = 9 300 ––––– = 9,3 kWmm2 min 60 s s

9,3 kW P1 = ––––––– = 11,6 kW

0,80

122/8. Drehversuch

Pca) P1 = ––n

Pc = P1 · n = 167,8 kW · 0,8 = 13,44 kW

b) Pc = A · kc · C · vcPckc = ––––––––; C = 1,0 (Tabellenwert)

A · C · vcA = ap · f = 6,0 mm · 0,35 mm = 2,1 mm2

N · m13 440 –––––s 13 440 · 60 N Nkc = ––––––––––––––––––––––––––––– = ––––––––––––––––– = 2 133 –––––

m 1 min 2,1 · 1,0 ·180 mm2 mm2

2,1 mm2 · 1,0 · 180 –––– · –––––min 60 s

c) h = f · sin k = 0,35 m · sin 60° = 0,303 mmN

kc = 1 935 –––––mm2

Page 89: Rechenbuch Metall Lösungen

� Hauptnutzungszeit beim Drehen

124/1. Gelenkbolzen

1a) n = 2 800 ––––

min

b) L = L1 + L2 = (Œ1 + Œa) + (Œ2 + Œa) = (20 + 1,5) mm + (25 + 1,5) mm = 48 mm

L · i 48 mm · 200 c) th = –––– = –––––––––––––––––– = 34,3 min

n · f 1 2 800 –––– · 0,1 mmmin

124/2. Flansch

vc d + d1 200 mm + 80 mm a) n = ––––––; dm = –––––– = ––––––––––––––––– = 140 mm

p · dm 2 2

m140 –––– min 1n = ––––––––– = 318 ––––p · 0,14 m min

L · i d – d1 200 mm – 80 mmb) th = ––––; L = –––––– + Œa + Œu = ––––––––––––––––– + 1 mm + 0,8 mm = 61,8 mm

n · f 2 2

61,8 mm · 2 · 15th = ––––––––––––––––– = 19,43 min

1318 –––– · 0,3 mmmin

124/3. Lagerbüchse

a) Quer-Plandrehen:vc d + d1 70 mm + 45 mm

n = ––––––; dm = –––––– = –––––––––––––––– = 57,5 mm p · dm 2 2

m120 ––––min 1n = –––––––––––– = 664 ––––p · 0,0575 m min

Längs-Runddrehen:m120 ––––

vc min 1 1n = ––––– = –––––––––– = 545,6 –––– ≈ 546 ––––p · d p · 0,07 m min min

L · i d – d1 70 mm – 45 mmb) th = ––––; L = –––––– + Œa + Œu = ––––––––––––––– + 3 mm = 15,5 mm

n · f 2 2

15,5 mm · 2th = ––––––––––––––––– = 0,116 min ≈ 0,12 min

1664 –––– · 0,4 mmmin

L · ic) th = ––––; L = Œ + Œa + Œu = 62 mm + 2 mm = 64 mm

n · f

64 mm · 2th = ––––––––––––––––– = 0,586 min ≈ 0,59 min

1546 –––– · 0,4 mmmin

124/4. Kupplungsflansch

d + d1 130 mm + 90 mm 1a) dm = –––––– = –––––––––––––––––– = 110 mm; n = 250 ––––

2 2 min

d + d1 130 mm + 90 mm 1b) dm = –––––– = –––––––––––––––––– = 110 mm; n = 500 ––––

2 2 min

Fertigungstechnik und Fertigungsplanung: Spanende Fertigung 89

4

Page 90: Rechenbuch Metall Lösungen

90 Fertigungstechnik und Fertigungsplanung: Spanende Fertigung

L · ic) Vorbearbeitung: th = ––––

n · fd – d1Planfläche A: L = –––––– + Œa + Œu =

2130 mm – 90 mm= –––––––––––––––––– + 1,6 mm = 21,6 mm

221,6 mm · 1thA = –––––––––––––––––– = 0,29 min

1250 –––– · 0,3 mmmin

d – d1 130 mm – 90 mmPlanfläche B: L = –––––– + Œa = –––––––––––––––––– + 0,8 mm = 20,8 mm

2 2L · i 20,8 mm · 1thB = –––– = –––––––––––––––––– = 0,28 minn · f 1250 –––– · 0,3 mm

minth = thA + thB = 0,29 min + 0,28 min = 0,57 min

Fertigbearbeitung (nur Planfläche A)L · i d – d1 130 mm – 90 mm

th = ––––; L = –––––– + Œa + Œu = ––––––––––––––––– + 1,6 mm = 21,6 mmn · f 2 2

21,6 mm · 1th = ––––––––––––––––– = 0,43 min

1500 –––– · 0,1 mmmin

� Schnittdaten, Schnittkräfte und Leistungen

127/1. Schnittdaten

a) Tabellenwert für die Schnittgeschwindigkeit vc:mvcmax = 30 ––––

minm mvc = 0,7 · vcmax = 0,7 · 30 –––– = 21 ––––

min min

b) f = 0,1 mm

m21 ––––vc min 1

c) n = ––––– = ––––––––––– = 668 ––––p · d p · 0,010 m min

127/2. Grundplatte

d · f 14 mm · 0,4 mm a) A = –––– = –––––––––––––––– = 1,4 mm2

4 4

f sb) h = – · sin – = 0,2 mm · sin 59° = 0,17 mm

2 2

c) Tabellenwerte für die spezifische Schnittkraft kc:Nh = 0,15 mm: kc1 = 1 840 –––––

mm2

Nh = 0,20 mm: kc2 = 1 730 –––––mm2

kc ≈ Mittelwert aus kc1 und kc2N(1 840 + 1 730) –––––

kc1 + kc2 mm2 Nkc = ––––––– = ––––––––––––––––––– = 1 785 –––––

2 2 mm2

4.1.2 Bohren

Page 91: Rechenbuch Metall Lösungen

d) Fc = 1,2 · A · kc · C; C = 1,3 (Tabellenwert)NFc = 1,2 · 1,4 mm2 · 1 785 ––––– · 1,3 = 3 898,4 N

mm2

m 1 min 22 –––– · ––––––vc min 60 s N · m

e) Pc = z · Fc · ––– = 2 · 3 898,4 N · –––––––––––––– = 1 429,4 ––––– = 1,4 kW2 2 s

Pc 1,4 kW f) P1 = –– = ––––––– = 1,75 kW

n 0,8

127/3. Leiste

f sa) h = – · sin – = 0,2 mm · sin 59° = 0,17 mm

2 2

b) A = A2 – A1d2 · f 20 mm · 0,4 mm

A2 = ––––– = –––––––––––––––– = 2,0 mm2

4 4d1 · f 8 mm · 0,4 mm

A1 = ––––– = ––––––––––––––– = 0,8 mm2

4 4A = 2,0 mm2 – 0,8 mm2 = 1,2 mm2

c) Pc = z · Fc · vFc = 1,2 · A · kc C; C = 1,3 (Tabellenwert)Tabellenwerte für die spezifische Schnittkraft kc:

Nh = 0,15 mm: kc1 = 5 320 –––––mm2

Nh = 0,20 mm: kc2 = 4 940 –––––mm2

kc ≈ Mittelwert aus kc1 und kc2N(5 320 + 4 940) –––––

kc1 + kc2 mm2 Nkc = ––––––– = ––––––––––––––––––– = 5 130 –––––

2 2 mm2

NFc = 1,2 · 1,2 mm2 · 5 130 ––––– · 1,3 = 9 603,4 Nmm2

Die Geschwindigkeit v wirkt in der Mitte des Spanungsquerschnittes A.vc d2 20 mm

v = –– · rv; r2 = –– = ––––––– = 10 mmr2 2 2

d1 8 mmr1 = –– = –––––– = 4 mm

2 2r1 + r1 (10 + 4) mm

rv = –––––– = –––––––––––– = 7 mm2 2

m 18 ––––min mv = ––––––– · 7 mm = 12,6 ––––

10 mm minm 1 min N · mPc = 2 · 9 603,4 N · 12,6 –––– · –––––– = 4 033,4 ––––– ≈ 4,0 kW

min 60 s s

P 4 kW d) P1 = –– = ––––– = 5,3 kW

n 0,75

� Hauptnutzungszeit beim Bohren, Reiben, Senken

129/1. Flanschring

1a) n = 355 ––––

min

Fertigungstechnik und Fertigungsplanung: Spanende Fertigung 91

4

Page 92: Rechenbuch Metall Lösungen

92 Fertigungstechnik und Fertigungsplanung: Spanende Fertigung

L · i d 25 mmb) th = ––––; L = Œ + Œs + Œa + Œu; Œs = ––––––––– = –––––––––– = 7,51 mm

n · f s 2 · tan 59°2 · tan –– 2

L = 32 mm + 7,51 mm + 1,5 mm = 41,01 mm41,01 mm · 8

th = –––––––––––––––––– = 6,16 min (für einen Flanschring)1355 –––– · 0,15 mm

minfür 60 Flanschringe: th = 60 · 6,16 min = 369,6 min

L · ic) th = ––––; L = Œ + Œs + Œa + Œu; Œs = 7,51 mm (Aufgabe b)

n · fL = 96 mm + 7,51 mm + 1,5 mm = 105,01 mm

105,01 mm · 8th = –––––––––––––––––– = 15,78 min (für 3 Flanschringe)

1355 –––– · 0,15 mmmin

für 60 Flanschringe: th = 20 · 15,78 min = 315,6 min

129/2. Rohrflansch

m16 ––––vc min 1a) n = ––––– = ––––––––––– = 283 ––––

p · d p · 0,018 m min

L · ib) th = ––––; L = Œ + Œs + Œa + Œun · f

d 18 mmŒs = ––––––––– = –––––––––– = 10,73 mms 2 · tan 40°2 · tan –– 2

L = 20 mm + 10,73 mm + 0,8 mm + 1 mm = 32,53 mm32,53 mm · 4

th = –––––––––––––––––– = 5,75 min1283 –––– · 0,08 mm

min

129/3. Kettenrad

m8 ––––vc min 1a) n = ––––– = ––––––––––– = 102 ––––

p · d p · 0,025 m min

L · ib) th = ––––; L = Œ + Œs + Œa + Œun · f

= 32 mm + 4 mm + 1 mm + 4,5 mm = 41,5 mm41,5 mm · 200

th = –––––––––––––––––– = 232,5 min1102 –––– · 0,35 mm

min

129/4. Bundbüchse

L · ia) th = ––––; L = Œ + Œs + Œa + Œun · f

d 6,6 mmŒs = ––––––––– = –––––––––– = 1,98 mms 2 · tan 59°2 · tan –– 2

L = 10 mm + 1,98 mm + 0,8 mm + 1,0 mm = 13,78 mmm14 ––––vc min 1

n = ––––– = –––––––––––– = 675 ––––p · d p · 0,0066 m min

13,78 mm · 4 th = –––––––––––––––––– = 0,68 min

1675 –––– · 0,12 mmmin

Page 93: Rechenbuch Metall Lösungen

L · ib) th = ––––; L = Œ + Œa = 4,8 mm + 0,5 mm = 5,3 mm

n · fm9 ––––vc min 1

n = ––––– = ––––––––––– = 220 ––––p · d p · 0,013 m min

5,3 mm · 4 th = –––––––––––––––––– = 1,2 min

1220 –––– · 0,08 mmmin

� Schnittdaten, Drehzahl, Vorschub und Vorschubgeschwindigkeit

132/1. Schnittdaten, Drehzahl

a) Tabellenwerte für die Schnittgeschwindigkeit vc:m mvcmin = 80 ––––; vcmax = 180 ––––

min minm(80 + 180) ––––

vcmin + vcmax min mvc = ––––––––––– = –––––––––––––– = 130 ––––

2 2 min

m130 ––––vc min 1

b) n = ––––– = ––––––––– = 276 ––––p · d p · 0,15 m min

c) Tabellenwerte für den Vorschub je Schneide fz:fzmin = 0,1 mm; fzmax = 0,4 mm

fzmin + fzmax (0,1 + 0,4) mm fz = ––––––––––– = –––––––––––––– = 0,25 mm

2 2

d) f = fz · z = 0,25 mm · 8 = 2 mm

1 mme) vf = n · f = 276 –––– · 2 mm = 552 –––––

min min

133/2. Getriebegehäuse

a) Tabellenwert für die Schnittgeschwindigkeit:m vcmin = 80 ––––

min m mvc = 1,3 · vcmin = 1,3 · 80 –––– = 104 –––––

min min

b) Tabellenwerte für den Vorschub je Schneide fz:fzmin = 0,1 mmfz = 1,3 · fzmin = 1,3 · 0,1 mm = 0,13 mm

m104 ––––vc min 1

c) n = ––––– = ––––––––––– = 105 ––––p · d p · 0,315 m min

d) f = fz · z = 0,13 mm · 12 = 1,56 mm

1 mme) vf = n · f = 105 –––– · 1,56 mm = 163,8 –––––

min min

133/3. Formplatte

ma) vc = vcmin = 80 ––––

min

4.1.3 Fräsen

Fertigungstechnik und Fertigungsplanung: Spanende Fertigung 93

4

Page 94: Rechenbuch Metall Lösungen

94 Fertigungstechnik und Fertigungsplanung: Spanende Fertigung

1b) n = 500 ––––

min

c) fz = fzmin = 0,1 mm

d) vf = n · f = n · fz · z1 mm= 500 –––– · 0,1 mm · 4 = 200 –––––

min min

� Schnittkraft und Leistung beim Fräsen

133/4. Grundkörper

a) h ≈ fz = 0,10 mm

b) A = ap · fz = 6 mm · 0,10 mm = 0,60 mm2

Nc) kc = 3 245 –––––

mm2

d) Fc = 1,2 · A · kc · C; C = 1,0 (Tabellenwert)NFc = 1,2 · 0,60 mm2 · 3 245 ––––– · 1,0 = 2 336,4 N

mm2

d 275 mme) –– = –––––––– = 1,25

ae 220 mmj = 106° (Tabellenwert)

j 106°f) ze = z · –––– = 10 · –––– = 2,9

360° 360°

m 1 min N · mg) Pc = ze · Fc · vc = 2,9 · 2 336,4 N · 90 –––– · –––––– = 10 163,4 ––––– = 10,2 kW

min 60 s s

Pc 10,2 kWh) P1 = –– = –––––––– = 13,1 kW

n 0,78

133/5. Passleiste

a) A = ap · fz = 4 mm · 0,1 mm = 0,4 mm2

b) Fc = 1,2 · A · kc · C; C = 1,0 (Tabellenwert)NFc = 1,2 · 0,4 mm2 · 1 890 ––––– · 1,0 = 907,2 N

mm2

d 100 mmc) –– = –––––––– = 1,43

ae 70 mmj ≈ 89° (Tabellenwert)

j 89°ze = z · –––– = 8 · –––– = 1,98 ≈ 2,0360° 360°

m 1 min N · md) Pc = ze · Fc · vc = 2,0 · 907,2 N · 150 –––– · –––––– = 4 536 ––––– = 4,5 kW

min 60 s s

Pc 4,5 kWe) P1 = –– = ––––––– = 6,0 kW

n 0,75

� Hauptnutzungszeit beim Fräsen

135/1. Führungsleiste

m25 ––––vc min 1 1

a) n = ––––– = ––––––––– = 99,5 –––– ≈ 100 ––––p · d p · 0,08 m min min

Page 95: Rechenbuch Metall Lösungen

1 mmb) vf = n · fz · z = 100 –––– · 0,08 mm · 8 = 64 –––––

min min

c) L = Œ + 0,5 · d + Œa + Œu = 260 mm + 0,5 · 80 mm + 2 · 1,2 mm = 302,4 mm

L · i 302,4 mm · 15 d) th = –––– = –––––––––––––– = 70,9 min

vf mm64 ––––min

135/2. Maschinentisch

Vorfräsen

m80 ––––vc min 1

a) n = ––––– = ––––––––––– = 81 ––––p · d p · 0,315 m min

1 mmb) vf = n · fz · z = 81 –––– · 0,15 mm · 20 = 243 –––––

min min

c) L = Œ + 0,5 · d + Œa + Œu – Œs����������������������Ls = 0,5 · �����d2 – de

2 = 0,5 · �(315 mm)2 – (215 mm)2 = 115,1 mm

L = 1 050 mm + 0,5 · 315 mm + 2,5 mm – 115,1 mm = 1 094,9 mm

L · i 1 094,9 mm · 1 d) th = –––– = –––––––––––––– = 4,51 min

vf mm243 ––––min

Fertigfräsen

m130 ––––vc min 1

a) n = ––––– = ––––––––––– = 131 ––––p · d p · 0,315 m min

1 mmb) vf = n · fz · z = 131 –––– · 0,08 mm · 20 = 209,6 –––––

min min

c) L = 1 094,9 mm (vgl. Vorfräsen)

L · i 1 094,9 mm · 1 d) th = –––– = –––––––––––––– = 5,2 min

vf mm209,6 ––––min

135/3. Keilwelle m14 ––––vc min 1

a) n = –––– = –––––––––– = 56 ––––p · d p · 0,08 m min

b) f = fz · z = 0,08 mm · 14 = 1,12 mm

������������������������c) L = Œ + Œs + Œa; Œs = �������ae · d – ae

2 = � 3 mm · 80 mm – (3 mm)2 = 15,2 mm

L = 58 mm + 15,2 mm + 2 mm = 75,2 mm

L · i 75,2 mm · 6d) tth = –––– = –––––––––––––––––– = 7,19 min

n · f 156 –––– · 1,12 mmmin

137/1. Zahnrad

i 40 5 35 LA (Lochabstände)a) nK = –– = ––– = –– = ––– –––

T 56 7 49 LK (Lochkreis)

4.1.4 Indirektes Teilen

Fertigungstechnik und Fertigungsplanung: Spanende Fertigung 95

4

Page 96: Rechenbuch Metall Lösungen

96 Fertigungstechnik und Fertigungsplanung: Spanende Fertigung

b) Möglich sind alle Lochkreise, in denen 7 ganzzahlig enthalten ist:

5 · 3 15 LA 5 · 4 20 LA 5 · 6 30 LA–––– = ––– ––– oder ––––– = ––– –––– oder –––––– = ––– –––7 · 3 21 LK 7 · 4 28 LK 7 · 6 42 LK

137/2. Anschlussplatte

i · a 40 · 21° 21 7 1 7 LAnK = –––– = ––––––– = –– = –– = 2 –– = 2 –– ––– 360° 360° 9 3 3 21 LK

5 6 9 11Weitere Möglichkeiten: 2 ––; 2 ––; 2 –––; 2 ––; …15 18 27 33

137/3. Welle mit Sechskant

i 40 4 2a) nK = –– = –– = 6 –– = 6 ––

T 6 6 3Verwendbar sind alle Lochkreise, in denen 3 ganzzahlig enthalten ist, also 15, 21, 24, 27,30, 33 … 48 …

10 14 16 18 20 22 32 LAb) Teilschritte nK = 6 –––; 6 –––; 6 –––; 6 –––; 6 –––; 6 ––– … 6 ––– –––

15 21 24 27 30 33 48 LK

137/4. Skalenscheibe

i 40 1 3 LAnK = –– = –––– = –– = ––– ––– · Die Schere schließt 4 Löcher ein.T 360 9 27 LK

2 7Weitere mögliche Lochkreise und Teilschritte: ––– ; ––– 18 63

137/5. Reibahlen

Die Winkelsumme für den halben Umfang ist bei jeder der beiden Reibahlen a = a1 + a2 + ... = 180°

a) Reibahle mit 8 Zähnen:

i · a 40 · 42° 42 6 12 LA 18 LAFür 42°: nK = –––– = ––––––– = –– = 4 –– = 4 –– ––– oder 4 –– ––– 360° 360° 9 9 18 LK 27 LK

40 · 44° 44 8 16 LA 24 LAFür 44°: nK = –––––– = –– = 4 –– = 4 –– ––– oder 4 ––– ––– 360° 9 9 18 LK 27 LK

40 · 46° 46 1 2 LA 3 LAFür 46°: nK = –––––– = –– = 5 –– = 5 –– ––– oder 5 ––– ––– 360° 9 9 18 LK 27 LK

40 · 48° 48 3 6 LA 9 LAFür 48°: nK = –––––– = –– = 5 –– = 5 –– ––– oder 5 ––– ––– 360° 9 9 18 LK 27 LK

b) Reibahle mit 10 Zähnen

12 LA 1° 15 LAa1 = 33°: nK = 3 ––– ––– a2 = 34 –– : nK = 3 ––– ––– a3 = 36°: nK = 418 LK 2 18 LK

1° 3 LA 6 LAa4 = 37 –– : nK = 4 –– ––– a5 = 39°: nK = 4 ––– –––2 18 LK 18 LK

137/6. Zahnradsegment

160°Winkelteilung für 1 Zahn: a = –––– = 5°32

i · a 40 · 5° 5 15 LAa) nK = –––– = –––––– = –– = ––– –––

360° 360° 9 27 LK

Lösung mit Vollzahnrad:

32 · 360°z‘ = ––––––––– = 72160°

i 40 5 15 LAnK = –– = ––– = –– = ––– ––––T 72 9 27 LK

Page 97: Rechenbuch Metall Lösungen

i · a 60 · 5° 5 15 LAb) nK = –––– = –––––– = –– = ––– –––

360° 360° 6 18 LK

137/7. Klauenkupplung

● i 40 4 12 LAa) nK = –– = ––– = 6 –– = 6 ––– –––

T 6 6 18 LK

b) Um die Fräserbreite: x = 10 mm

c) Größtmögliche Breite bmax des Fräsers:dbmax = –– · sin a1 = 30 mm · sin 30° = 15 mm2

d) Kleinstmögliche Breite bmin des Fräsers:Dbmin = –– · sin a2 = 55 mm · sin 15° = 14,24 mm2

bmin

bmax

a1=30°a2=15°

=30

mm

d2

Bild 137/7: Klauenkupplung

� Geometrische Grundlagen

139/1. Formplatte

a + 110° = 180°a = 180° – 110° = 70°

a + b = 90°b = 90° – a = 90° – 70° = 20°

g + 115° = 180°g = 180° – 115° = 65°

g + d = 90°d = 90° – g = 90° – 65° = 25°

139/2. Nocken

100°b = –––– = 50°2

a + b = 90° a = 90° – b = 90° – 50° = 40°

Der Winkel n ist Stufenwinkel zum Winkel von 100°.Der Winkel 2 d ist Scheitelwinkel zum Winkel n.

2 d = n = 100°

2 d 100°d = ––– = –––– = 50°2 2

d + g = 90°g = 90° – d = 90° – 50° = 40°

139/3. Bolzen

Strahlensatz:a a1 12,5 mm a1–– = ––; ––––––––– = ––––––b b1 8 mm 9 mm

a · b1 12,5 · 9 a1 = –––––– = ––––––– · mm = 14,06 mm

b 8

r3 = a1 + 12,5 mm = 26,56 mm; d3 = 53,13 mm

2·d

h

100°

Bild 139/2: Nocken

b=8b1=9

a 1

a=

12,5

P3P2

P1

Bild 139/3: Bolzen

4.1.5 Koordinaten in NC-Programmen

Fertigungstechnik und Fertigungsplanung: Spanende Fertigung 97

4

Page 98: Rechenbuch Metall Lösungen

98 Fertigungstechnik und Fertigungsplanung: Spanende Fertigung

139/4. Welle

a = 180° – 90° – 50° = 40°

g = 180° – 40° = 140°

g 140° g = 2 · d; d = –– = –––– = 70°2 2

e = 180° – 90° – 70° = 20°

139/5. Schneidplatte

a) Konturpunkt P1:Hilfsdreieck M1 P1 A

Konturpunkt P2:Hilfsdreieck M2 P2 B,Hilfsdreieck P1 C P2

b) Hilfsdreieck M1 D P3

c) a = b = g = 30°

30°d = ––– = 15°2

� Koordinatenmaße

142/1. Distanzplatte

a) b)

M2

BP2

P1

P3

C

A

M1

D

30°

d

R1=10

R1=10

ab

R2=3

5

60

g

Bild 139/5: Schneidplatte

PunktKoordinatenmaßeX-Achse Y-Achse

P1 X 20 Y 47,5

P2 X 20 Y 12,5

P3 X 48 Y 30

P4 X 90 Y 30

P5 X 90 Y 12

P6 X 90 Y 48

PunktKoordinatenmaßeX-Achse Y-Achse

P1 X 20 Y 47,5

P2 X 0 Y –35

P3 X 28 Y 17,5

P4 X 42 Y 0

P5 X 0 Y –18

P6 X 0 Y 36

142/3. Ventilplatte

a) b)

PunktKoordinatenmaße

Absolutmaß KettenmaßX-Achse Y-Achse X-Achse Y-Achse

P1 X – 40 Y – 35 X – 40 Y – 35

P2 X 100 Y – 35 X 140 X 0

P3 X 100 Y 55 X 0 Y 90

P4 X – 40 Y 55 X – 140 Y 0

P5 X 60 Y 35 X 100 Y – 20

PunktKoordinatenmaße

Absolutmaß KettenmaßRadius Winkel Radius Winkel

P6 R 27,5 A 90 R 27,5 A 90

P7 R 27,5 A 210 R 27,5 A 120

P8 R 27,5 A 330 R 27,5 A 120

142/2. Führungsnut

asin a = ––; a = c · sin a = 26 mm · sin 22,5° = 9,950 mmc

y = 6 mm + 9,950 mm = 15,950 mm

bcos a = ––; b = c · cos a = 26 mm · cos 22,5° = 24,021 mmc

x = 5 mm + 24,021 mm = 29,021 mm

Absolutmaß:P2 (X 29,021 Y 15,950)

Kettenmaß:P2 (X 24,021 Y 9,950)

Page 99: Rechenbuch Metall Lösungen

142/6. Biegeklotz

Scheitelwinkel e = d = 20°Rechtwinkliges DreieckA P3 M: e + b + d + 90° = 180°b = 180° – e – d – 90°b = 180° – 20° – 20° – 90° b = 50°y = 5 mm · sin 50° = 3,83 mmyp3 = 5 mm + 3,83 mm = 8,83 mm

x = �������(5 mm)2 – �������(3,83 mm)2 = 3,21 mmxp3 = 75 mm + 3,21 mmxp3 = 78,21 mm

16,17 mmtan 40° = ––––––––––x

16,17 mmx = –––––––––– = 19,27 mmtan 40°

xp4 = 75 mm + 3,21 mm – xxp4 = 75 mm + 3,21 mm – 19,27 mmxp4 = 58,94 mm

142/4. Schneidplatte

Punkt P2: x2‘ = 32 mm · tan 25° = 14,922 mmx2 = 25 mm – 14,922 mm = 10,078 mmX 10,078; Y 40

Punkt P3: x3 = 25 mm + 14,922 mm = 39,922 mmX 39,922; Y 40

142/5. Lagerschale

������ ���������������������b = �R2 – a2 = � (16 mm)2 – (3,5 mm)2 = 15,612 mm

KoordinatenmaßePunkt X-Achse Z-Achse

P0 X 41 * Z 15

P1 X 26 * Z 0

P2 X 22,5 * Z – 3,5

P3 X 22,5 * Z – 24,388

P4 X 10 * Z – 40

M I – 16 K 0

P3

P4

M

R =16

b

a =3,5

Bild 142/5: Lagerschale

* In NC-Programmen für Drehteile werden die X-Koordinatenmaße durchmesserbezogen an - ge geben.

PunktKoordinatenmaße

X-Achse Y-Achse

P1 X 0 Y 0

P2 X – 75 Y 0

P3 X – 78,21 Y 8,83

P4 X – 58,94 Y 25

P5 X – 0 Y 25

Hilfsdreieck: P4

40°

x

P3

25 mm - 8,83 mm= 16,17 mm

B

Bild 142/6b: Biegeklotz, Hilfsdreieck P3 P4 B

M

Hilfsdreieck:P3

A40°

R5

e

P2

R5

d

by

x

yP

3

Bild 142/6a: Biegeklotz, Hilfsdreieck AP3M

Fertigungstechnik und Fertigungsplanung: Spanende Fertigung 99

4

Page 100: Rechenbuch Metall Lösungen

100 Fertigungstechnik und Fertigungsplanung: Spanende Fertigung

143/7. Deckplatte

143/8. Schaltnocken

PunktKoordinatenmaße

X-Achse Y-Achse

P8 X 85 Y 27

P9 X 77 Y 35

P10 X 76 Y 35

P11 X 68 Y 43

P12 X 68 Y 50

P13 X 52 Y 50

P14 X 52 Y 43

P15 X 44 Y 35

P16 X 43 Y 35

P17 X 35 Y 27

PunkteAbsolutmaße Inkrementalmaße

X-Achse Y-Achse X-Achse Y-Achse

P1 15,000 4,000 15,000 4,000

P2 42,000 4,000 27,000 0,000

P3 54,042 33,000 12,042 29,000

P4 32,000 53,724 – 22,04 20,72

P5 9,666 47,267 – 22,33 – 6,45

P6 1,666 22,267 – 8 – 25,000

Mittelpunktdreieck:g 25 mmtan b = –– = ––––––– = 3,125a 8 mm

b = 72,255°a = 90° – b = 17,745°

y‘5sin a = ––– π y‘5 = R · sin aR

y ‘5 = y ‘6 = 14 mm · sin 17,745° = 4,267 mm

x5‘ = x6‘ = R · cos a= 14 mm · cos 17,745° = 13,334 mm

y5 = 43 mm + 4,267 mm = 47,267 mm

x5 = 23 mm – 13,334 mm = 9,666 mm

y6 = 18 mm + 4,267 mm = 22,267 mm

x6 = 15 mm – 13,334 mm = 1,666 mm

��������������������x3‘ = �(17 mm)2 – (12 mm)2

x3‘ = 12,042 mmx3 = 42 mm + 12,042 mm = 54,042 mm

�������������������y4‘ = �(14 mm)2 – (9 mm)2

y4‘ = 10,724 mmy4‘ = 43 mm + 10,724 mm = 53,724 mm

P6

M

R14

x5

a

P5

M

R14

a

b

x6

y6

y5

g =

43

-18

= 25

a = 23 -15 = 8

Bild 143/8: Schaltnocken

Page 101: Rechenbuch Metall Lösungen

143/9. Kastenträger

● y ‘2tan g = –––R1

y ‘2 = R1 · tan g = 250 mm · tan 32,5°= 159 mm

x ‘3 = R1 · sin a = 250 mm · sin 25°= 106 mm

y ‘3 = R1 · cos a = 250 mm · cos 25°= 227 mm

x ‘4 = R2 · sin a = 500 mm · sin 25°= 211 mm

y ‘4 = R2 · cos a = 500 m · cos 25°= 453 mm

P3

x3'

y2' y

3'

a

P2 M1

b= 90°+a

a=25°

g= 90° - b

2

R1=250

P4

x4'

M2

y4'a

R2=500

Bild 143/9: Kastenträger

KoordinatenmaßePunkt X-Achse Y-Achse

P1 X 0 Y 0

P2 X 0 Y 256

P3 X 144 Y 483

P4 X 1689 Y 1203

P5 X 2111 Y 1203

P6 X 3656 X 483

KoordinatenmaßePunkt X-Achse Y-Achse

P7 X 3800 Y 256

P8 X 3800 Y 0

M1 I 250 J 0

M2 I 211 J – 453

M3 I –106 J – 227

– – –

143/10. Schneidplatte

● aDreieck A P1 B: tan a = ––b

a 14 mmb = ––––– = ––––––– = 9,803 mmtan a tan 55°

d = 30 mm – b = 30 mm – 9,803 mm= 20,197 mm

Dreieck P1 C P2:x ‘2 = d · cos a = 20,197 mm · cos 55°

= 11,585 mm

y ‘2 = d · sin a = 20,197 mm · sin 55°= 16,544 mm

Dreieck A’ P1 B‘:a‘ 10 mmb‘ = ––––– = ––––––– = 7,002 mm

tan a tan 55°a‘ 10 mmc‘ = ––––– = ––––––– = 12,208 mm

sin a sin 55°

Dreieck A’ C’ P3:d‘ = A’ P3––––– = 10 mm + d + b‘

= 10 mm + 20,197 mm + 7,002 mm= 37,199 mm

x ‘3 = d‘ · cos a = 37,199 mm · cos 55°= 21,336 mm

y ‘3 = d‘ · sin a = 37,199 mm · sin 55° = 30,472 mm

a=55°A

A'

B'

B

b

b'

D

EM1

G

H M2

a' = 10a = 14

P1C'C

P2

P3

P4

P5

a

d

x2' c

x3'

c '

y2'

y3'

a

a

fe

f

e

x5'

y5'

x4' F'y4'

Bild 143/10: Schneidplatte

Fertigungstechnik und Fertigungsplanung: Spanende Fertigung 101

4

Page 102: Rechenbuch Metall Lösungen

102 Fertigungstechnik und Fertigungsplanung: Spanende Fertigung

Dreieck P3 P4 F:x ‘4 = 8 mm · sin 55° = 6,553 mmy ‘4 = 8 mm · cos 55° = 4,589 mm

Dreieck P2 P5 D:x ‘5 = 28 mm · sin 55° = 22,936 mmy ‘5 = 28 mm · cos 55° = 16,060 mm

Dreieck A P1 B:a 14 mmc = ––––– = ––––––– = 17,091 mm

sin a sin 55°

Dreiecke P2 M1 G und H P4 M2:e = R · cos a = 10 mm · cos 55° = 5,736 mmf = R · sin a = 10 mm · sin 55° = 8,192 mm

143/11. Formplatte

● x ‘1 = l · tan a1 = 80 mm · tan 35°= 56,017 mm

R 100 mmx ‘‘1 = –––––– = ––––––––cos a1 cos 35°

= 122,077 mm

x ‘2 = R · cos a1 = 100 mm · cos 35°= 81,915 mm

y ‘2 = R · sin a1 = 100 mm · sin 35°= 57,358 mm

x ‘3 = R · cos a2 = 100 mm · cos 20°= 93,969 mm

y‘3 = R · sin a2 = 100 mm · sin 20°= 34,202 mm

x4‘ = l · tan a2 = 80 mm · tan 20°= 29,118 mm

R 100 mmx4“ = –––––– = ––––––––cos a2 cos 20°

= 106,418 mm

KoordinatenmaßePunkt X-Achse Y-Achse

P1 X 75 Y 60

P2 X 63,415 Y 43,456

P3 X 65,872 Y 29,528

P4 X 72,425 Y 24,939

P5 X 86,351 Y 27,396

P6 X 109,182 Y 60

M1 I 8,192 J – 5,736

M2 I 5,736 J 8,192

x1'' x1' x4' x4''

P4

P3

M

P2

R=100

x2'

x3'

l = 8

0a1

a1

a 2

a1=

35

°a2 =

20°

a2

P1

y2'

y3'

Bild 143/11: Formplatte

KoordinatenmaßePunkt X-Achse Y-Achse

P1 X 121,906 Y 280

P2 X 218,085 Y 142,642

P3 X 393,969 Y 165,798

P4 X 435,536 Y 280

M I 81,915 J 57,358

145/1. Untergesenk

Vth = 4 · (th1 + th2); th = –––VWp · d 2 p · 14 mm2

Zylindrischer Ansatz: V = –––––– · h = ––––––––––– · 8 mm = 1 231,5 mm3

4 41 231,5 mm3

th1 = ––––––––––––– = 18,1 minmm3

68 ––––min

Gesamtquerschnitt: V = Œ · b · h = 40 mm · 40 mm · 12 mm = 19 200 mm3

19 200 mm3th2 = ––––––––––––– = 61 min

mm3315 ––––

min

th = 4 · (18,1 min + 61 min) = 316,4 min

4.1.6 Hauptnutzungszeit beim Abtragen und Schneiden

Page 103: Rechenbuch Metall Lösungen

145/2. Armaturenplatte

La) th = ––; L = 800 mm + 2 · 400 mm + 2 · 100 mm + 2 · 95 mm + 610 mm = 2 600 mm

vf

2 600 mmth = ––––––––––– = 6,8 minmm380 ––––min

Lb) th = ––; L = 3 · (300 mm + 150 mm) = 1 350 mm

vf

1 350 mmth = ––––––––– = 3,6 minmm380 ––––min Bohrungen bleiben unberücksichtigt.

145/3. Segment

La) th = 15 · – ––; L = 2 · Œ1 + Œ£2 + Œ£3 + Œ£4vf

�����������������Œ1 = �262mm2 – 82mm2 = 24,74 mm

p · d1 · a p · 16 mm · 150°Œ£2 = –––––––– = –––––––––––––––– = 20,94 mm

360° 360°

p · d2 · p R1 8 mmŒ£3 = –––––––––; cos b = –– = ––––––– = 0,3077; b = 72,1°

360° R2 26 mm

g = 210° – 2 · b = 210° – 2 · 72,1° = 65,8°

p · 52 mm · 65,8°Œ£3 = –––––––––––––––– = 29,9 mm360°

Œ£4 = p · d3 = p · 8 mm = 25,13 mm

L = 2 · 24,74 mm + 20,9 mm + 29,9 mm+ 25,13 mm = 125,41 mm

125,41 mmth = 15 · ––––––––––– = 330 minmm5,7 ––––min

Œb) v = ––; Œ = v · t

tmmŒ = 180 –––– · 330 min · 15 = 891 000 mm = 891 mmin

145/4. Schlossblende

a) Œ1 = p · d = p · 70 mmŒ1 = 219,91 mm

Œ2 = p · d = p · 6 mmŒ2 = 18,85 mm

p · 24 mm · 282,64°Œ3 = ––––––––––––––––––360°

Œ3 = 59,20 mm

Œ4 = 16 mm + 15 mm – 9,37 mmŒ4 = 21,63 mm

p · d p · 8 mmŒ5 = ––––– = –––––––––4 4

Œ5 = 6,28 mm

Œ6 = 15 mm – 2 · 4 mm = 7 mm

ö1

R 2 = 26

R1 = 8

ö2

ö4

R2 =

26ö 3

ö1 30°

30°

g

b

Bild 145/3: Segment

ö1

M

b

ö4

ö5

ö6

ö5

ö2

ö3

Bild 145/4a: Schlossblende

(Winkelbestim-mung s. Neben-rechnung)

Fertigungstechnik und Fertigungsplanung: Spanende Fertigung 103

4

Page 104: Rechenbuch Metall Lösungen

104 Fertigungstechnik und Fertigungsplanung: Spanende Fertigung

L = Œ1 + Œ2 + Œ3 + 2 · Œ4 + 2 · Œ5 + Œ6L = 219,91 mm + 18,85 mm + 59,20 mm

+ 2 · 21,63 mm + 2 · 6,28 mm + 7 mm = 360,78 mm

Nebenrechnung:7,5sin a = –––; a = 38,68°12

b = 360° – 2 · a = 360° – 2 · 38,68°b = 282,64°

���������������������y = �(12 mm)2 – (7,5 mm)2

y = 9,37 mm

L 360,78 mmb) th = –– = –––––––––––––––––––– = 0,24 min

vf m mm1,5 –––– · 1 000 ––––min m

th für 40 Schlossblenden:sth = 0,24 min · 40 = 9,6 min = 9,6 min · 60 –––– = 576 s

min

145/5. Verfahrensvergleich● m

a) Aus Bild 5: Schneidgeschwindigkeit Wasserstrahlschneiden: vf = 0,3 ––––minL 360,78 mm · min · mth = –– = –––––––––––––––––––– = 1,20 minvf 0,3 m · 1 000 mm

th = 1 min 12 s = 72 s

Laserstrahlschneiden: vf = 1,5 m ∫ th = 14,4 s––––min

b) Die Zeit beim Laserstrahlschneiden (14,4 s) ist gegenüber der Zeit beim Wasser-strahlschneiden (72 s) fünfmal kleiner und damit die Geschwindigkeit 500% größer.

Hilfsdreieck: M

y

7,5

a

12

Bild 145/4b: Schlossblende, Detail

147/1. Kegelmaße

D – d 1 · 80 mm C 1 aa) C = ––––– ; d = D – C · L = 64 mm – –––––––––– = 64 mm – 4 mm = 60 mm; –– = ––– ; –– = 1,43°

L 20 2 40 2

D – d 1 C 1 ab) C = ––––– ; D = d + C · L = 65 mm + –– · 120 mm = 65 mm + 15 mm = 80 mm; –– = ––– ; –– = 3,58°

L 8 2 16 2

D – d D – d (60 mm – 52 mm) · 10 C 1 ac) C = ––––– ; L = ––––– = –––––––––––––––––––––– = 80 mm; –– = ––– ; –– = 2,86°

L C 1 2 20 2

D – d 1 C 1 ad) C = ––––– ; D = d + C · L = 90 mm + –– · 200 mm = 90 mm +10 mm = 100 mm; –– = –– ; –– = 1,43°

L 20 2 40 2

D – d 40 mm – 34 mm 6 mm 1 C 1 ae) C = ––––– = ––––––––––––––––– = –––––––– = ––– = 1 : 30; = –– = ––– ; –– = 0,95°

L 180 mm 180 mm 30 2 60 2

147/2. Hülse

D – d 40 mm – 32 mm 8 mm 1C = ––––– = ––––––––––––––––– = ––––––– = ––– = 1 : 10L 80 mm 80 mm 10

a C 1 atan –– = –– = ––– = 0,05; –– = 2,86°2 2 20 2

147/3. OberschlittenverstellungD – d 48 mm – 40 mm

a) Kegelverjüngung: C = ––––– = ––––––––––––––––L 120 mm

1C = ––15

4.1.7 Kegelmaße

Page 105: Rechenbuch Metall Lösungen

C 1b) Neigung: –– = –––

2 30

a Cc) Neigungswinkel: tan –– = –– = 0,0333

2 2 a–– = 1,91°2

147/4. Lagersitz

D – dC = –––––; D = L · C + dL

1D = 28 mm · –– + 30 mm12

D = 32,33 mm

147/5. Fräsdorn

a C 7 aa) tan –– = –– = –––––– = 0,1458; –– = 8,3°

2 2 24 · 2 2

D – d 7b) C = –––––; d = D – C · L = 44,45 mm – ––– · 65,4 mm = 44,45 mm – 19,075 mm = 25,38 mm

L 24

147/6. Morsekegel

● a C 1 aa) tan –– = –– = –––––––––– = 0,026; –– = 1,49°

2 2 2 · 19,254 2

D – d 1b) C = –––––; D = d + C · L = 26,2 mm + –––––– · 109 mm = 26,2 mm + 5,66 mm = 31,86 mm

L 19,254

D – d D – d (26,2 mm – 25,9 mm) · 19,254c) C = –––––; x = L = ––––– = ––––––––––––––––––––––––––––––– = 5,78 mm

L C 1

149/1. Scheibe

a) a = a1 + 2 · u = 18 mm + 2 · 0,1 mm = 18,2 mm

b) d1 = d – 2 · u = 58 mm – 2 · 0,1 mm = 57,8 mm

149/2. Lasche

2 mm · 3 %u = –––––––––––– = 0,06 mm100 %

a1 = a – 2 · u = 36 mm – 2 · 0,06 mm = 35,88 mm

b1 = b – 2 · u = 90 mm – 2 · 0,06 mm = 89,88 mm

d = d1 + 2 · u = 14 mm + 2 · 0,06 mm = 14,12 mm

149/3. Joch- und Kernbleche

Schneidspalt nach Tab. 1, Seite 148: u = 0,01 mma) a1 = a – 2 · u = 84 mm – 2 · 0,01 mm = 83,98 mm

b1 = b – 2 · u = 14 mm – 2 · 0,01 mm = 13,98 mm

b) a1 = a – 2 · u = 56 mm – 2 · 0,01 mm = 55,98 mm

b1 = b – 2 · u = 84 mm – 2 · 0,01 mm = 83,98 mm

c1 = c – 2 · u = 14 mm – 2 · 0,01 mm = 13,98 mm

d1 = d – 2 · u = 14 mm – 2 · 0,01 mm = 13,98 mm

e1 = e – 2 · u = 28 mm – 2 · 0,01 mm = 27,98 mm

4.2 Trennen durch Schneiden

4.2.1 Schneidspalt

Fertigungstechnik und Fertigungsplanung: Trennen durch Schneiden 105

4

Page 106: Rechenbuch Metall Lösungen

106 Fertigungstechnik und Fertigungsplanung: Trennen durch Schneiden

149/4. Halter

0,4 mm · 2,5 %u = ––––––––––––––– = 0,01 mm100 %

a1 = a – 2 · u = 20 mm – 2 · 0,01 mm = 19,98 mm

b1 = b – 2 · u = 60 mm – 2 · 0,01 mm = 59,98 mm

c1 = c – 2 · u = 20 mm – 2 · 0,01 mm = 19,98 mm

d1 = d – 2 · u = 80 mm – 2 · 0,01 mm = 79,98 mm

149/5. Platte

Schneidspalt nach Tab. 1, Seite 148: u = 0,09 mma) a1 = a – 2 · u = 25 mm – 2 · 0,09 mm = 24,82 mm

b1 = b – 2 · u = 35 mm – 2 · 0,09 mm = 34,82 mm

R1 = R – u = 4 mm – 0,09 mm = 3,91 mm

b) d = d1 + 2 · u = 10 mm + 2 · 0,09 mm = 10,18 mm

151/1. Scheiben

a) B = d + 2 · a = 36 mm + 2 · 2,1 mm = 40,2 mm

b) V = d + e = 36 mm + 2,1 mm = 38,1 mm

R · A 1 · 1 018 mm2c) n = ––––– = ––––––––––––––– = 0,665 ‡ 66,5 %

V · B 38,1 · 40,2 mm

151/2. Schilder

a) B = b + 2 · a = 32 mm + 2 · 1,0 mm = 34 mm

b) V = Π+ e = 38 mm + 1,0 mm = 39 mm

p · (20 mm)2c) A = 38 mm · 22 mm + 18 mm · 10 mm + –––––––––––– = 1 173 mm2

2 · 4R · A 1 · 1 173 mm2

n = ––––– = –––––––––––––––– = 0,88 ‡ 88 %V · B 39 mm · 34 mm

151/3. Klemme

Einreihige Anordnung:

a) B = b + 2 · a = (26 + 5 + 3) mm + 2 · 0,9 mm = 35,8 mm

b) V = Π+ e = 28 mm + 0,9 mm = 28,9 mm

3 · p · (10 mm)2 p · (6 mm)2c) A = 10 mm · 12 mm + 10 mm · 18 mm + 6 mm · 4 mm + –––––––––––––––– + ––––––––––––

2 · 4 2 · 4= 456 mm2

R · A 1 · 456 mm2n = ––––– = –––––––––––––––––––– = 0,44 ‡ 44 %

V · B 28,9 mm · 35,8 mm

Zweireihige Anordnung:

a) B = b + 2 · a + e= 34 mm + 2 · 0,9 mm + 0,9 mm= 36,7 mm

b) V = 38 mm + 2 · 0,9 mm = 39,8 mm

2 · 456 mm2c) n = –––––––––––––––––––– = 0,62 ‡ 62 %

39,8 mm · 36,7 mm

100 % (0,62 – 0,44)d) ––––––––––––––––––– = 41 %

0,44

V

e

ae

Bild 151/3: Streifen bei zweireihiger Anordnung

4.2.2 Streifenmaße und Streifenausnutzung

Page 107: Rechenbuch Metall Lösungen

152/4. Platinen in zweireihiger Anordnung

a) V = d + e = 40 mm + 1,3 mm = 41,3 mm

aRb) sin 60° = ––; aR = V · sin 60° = 41,3 mm · 0,8660 = 35,8 mm

V

B = d + 2 · a + aR = 40 mm + 2 · 1,3 mm + 35,8 mm = 78,4 mm

p (40 mm)22 · ––––––––––––

R · A 4c) n = ––––– = –––––––––––––––––––– = 0,776 ‡ 77,6 %

V · B 41,3 mm · 78,4 mm

152/5. Platinen in dreireihiger Anordnung mit Seitenschneider

a) V = d + e = 40 mm + 1,3 mm = 41,3 mm

b) aR = V · 0,8660 = 35,8 mm (siehe Aufgabe 152/4.)

i = 2,2 (Tabelle 1, Seite 150) B = d + 2 · a + 2 · aR + i = 40 mm + 2 · 1,3 mm + 2 · 35,8 mm + 2,2 mm = 116,4 mm

p · (40 mm)23 · ––––––––––––––

R · A 4c) n = ––––– = ––––––––––––––––––––– = 0,784 ‡ 78,4 %

V · B 41,3 mm · 116,4 mm

Die geringe Erhöhung des Ausnutzungsgrades rechtfertigt die Mehrkosten für den Sei-tenschneider nicht.

� Zuschnittermittlung bei Biegeteilen

153/1. Gestreckte Längen

a) L = Œ1 + Œ2 – v = 16 mm + 22 mm – 1,9 mm = 36,1 mm

b) L = 62 mm + 120 mm – 3,2 mm = 178,8 mm

c) L = 82 mm + 76 mm – 5,2 mm = 152,8 mm

153/2. Winkel

L = Œ1 + Œ2 + Œ3 – n · v = (20 + 55 + 60) mm – 2 · 6,7 mm = 121,6 mm

153/3. Halter

L = Œ1 + Œ2 – v = (31 + 11) mm – 4,5 mm = 37,5 mm

153/4. Kastenprofil

L = (4 · 50 – 2) mm – 4 · 8,3 mm = 164,8 mm

153/5. Rohrschelle

5L = [(100 – 2 · 22) + 2 · 15 + p · (22 + ––) – 2 · 9,9] mm 2

= 143,2 mm

153/6. Befestigungswinkel

a) L1 = Œ1 + Œ2 – v = (26 + 15 – 4) mm= 37 mm

L2 = (20 + 9,5 – 4) mm = 25,5 mm

� Rückfedern beim Biegen

155/1. Lasche

r2 5 mma) –– = –––––– = 2,5; aus Tabelle 154/1: kR = 0,96

s 2 mm

L1

L2

(Maßstab 1:1)

Bild 153/6: Befestigungswinkel

4.3 Umformen

4.3.1 Biegen

Fertigungstechnik und Fertigungsplanung: Umformen 107

4

Page 108: Rechenbuch Metall Lösungen

108 Fertigungstechnik und Fertigungsplanung: Umformen

b) r1 = kR · (r2 + 0,5 · s) – 0,5 · s = 0,96 · (5 mm + 0,5 · 2 mm) – 0,5 · 2 mm

= 4,76 mm

a2 90°c) a1 = –– = –––– ≈ 93,8°

kR 0,96

155/2. Abdeckblech

r2 6 mma) –– = –––––––– = 4,0; aus Diagramm 154/3: kR = 0,84

s 1,5 mm

b) r1 = kR · (r2 + 0,5 · s) – 0,5 · s = 0,84 · (6 mm + 0,5 · 1,5 mm) – 0,5 · 1,5 mm

≈ 4,92 mm ≈ 4,9 mm

c) a2 = 90° – 30° = 60°; a‘2 = 30°a2 60° a‘2 30°

a1 = –– = –––– ≈ 71,4°; a‘1 ––– = –––– ≈ 35,7°kR 0,84 kR 0,84

155/3. Befestigungswinkel Bild 155/3:

a) a2 = 180° – 125° = 55°

r2 25 mmb) ––= ––––––– ≈ 6,3; aus Tabelle 154/1: kR = 0,93

s 4 mm

a2 55°c) a1 = –– = –––– = 59,1°

kR 0,93

d) r1 = kR · (r2 + 0,5 · s) – 0,5 · s= 0,93 · (25 mm + 0,5 · 4 mm) – 0,5 · 4 mm= 23,1 mm

Rohrschelle Bild 155/4.

a) Berechnung der Biegewinkel (Bild 155/4)

11,25 mmsin b = –––––––––– = 0,337,50 mm

b = 17,5°a2 = 180° – 2 · b

= 180° – 2 · 17,5° = 145°

a‘2 = 90° – b= 90° – 17,5° = 72,5°

r2 25 mmb) –– = –––––––– = 10; aus Tabelle 154/1: kR = 0,96

s 2,5 mm

r‘2 7,5 mm–– = –––––––– = 3; aus Tabelle 154/1: kR = 0,98s 2,5 mm

c) Biegewinkel a2 = 145°:

a2 145°a1 = –– = –––– = 151,0°

kR 0,96

Biegewinkel a‘2 = 72,5°:

a‘2 72,5°a‘1 = ––– = ––––– = 74,0°

kR 0,98

d) r1 = kR · (r2 + 0,5 · s) – 0,5 · s

= 0,96 · (25 + 0,5 · 2,5) mm – 0,5 · 2,5 mm≈ 24 mm

r‘1 = 0,98 · (10 + 0,5 · 2,5) mm – 0,5 · 2,5 mm≈ 9,8 mm

a'211,25

11,2

5

26,25b

a22

Bild 155/4: Berechnung der Biegewin-kel für Rohrschelle

Page 109: Rechenbuch Metall Lösungen

155/4. Wandhaken

a) a2 = 180° – 45° = 135°

a‘2 = 23°

r2 2,5 mmb) –– = –––––––– = 2,5; aus Tabelle 154/1: kR = 0,96

s 1 mm

a2 135°c) a1 = –– = ––––– = 140,6°

kR 0,96

a‘2 23°a‘1 = ––– = –––– = 24,0°

kR 0,96

d) r1 = kR · (r2 + 0,5 · s) – 0,5 · s= 0,96 · (2,5 mm + 0,5 · 1 mm) – 0,5 · 1 mm = 2,4 mm

r‘1 = r1 = 2,4 mm

155/5. Kleiderhaken

a) a2 = 180° – 30° = 150°

a‘2 = 35°

r2 10 mmb) –– = –––––––– = 6,25 ≈ 6,3; aus Tabelle 154/1: kR = 0,96

s 1,6 mm

r‘2 20 mm–– = –––––––– = 12,5; aus Diagramm 154/3: kR‘ ≈ 0,95s 1,6 mm

a2 150° a‘2 35°c) a1 = –– = –––– = 156,3°; a‘1 = ––– = –––– = 36,8°

kR 0,96 kR‘ 0,95

d) r1 = kR · (r2 + 0,5 · s) – 0,5 · s = 0,96 · (10 mm + 0,5 · 1,6 mm) – 0,5 · 1,6 mm

= 9,6 mm

r‘1 = 0,95 · (20 mm + 0,5 · 1,6 mm) – 0,5 · 1,6 mm = 19,0 mm

e) L = Œ1 + Œ2 + Œ3 + Œ4 + Œ5p · rm1 · a1 p · rm2 · a2= 20 mm + –––––––––– + 55 mm + –––––––––– + 30 mm

180° 180°p · 10,8 mm · 135° p · 20,8 mm · 35°

= 20 mm + ––––––––––––––––––– + 55 mm + –––––––––––––––––––– + 30 mm180 ° 180°

= (20 + 25,4 + 55 + 12,7 + 30) mm

= 143,1 mm

� Zuschnittdurchmesser, Ziehstufen, Ziehverhältnisse

158/1. Zylinder

�����������������������������D = ��������d2 + 4 · d · h = �(45 mm)2 + 4 · 45 mm · 40 mm = 96 mm

158/2. Hülse

������������������������������D = ���������d22 + 4 · d1 · h = �(120 mm)2 + 4 · 60 mm · 90 mm = 190 mm

158/3. Kugelhalbschale

p · d 21 p p (40 mm)2 p

A1 = –––––– + –– (d21 – d2

2) = –––––––––––– + –– [(55 mm)2 – (40 mm)2] = 3 632,5 mm2

2 4 2 4

������ ����������������4 · A 4 · 3 632,5 mm2D = � –––––– = � –––––––––––––––– = 68 mm

p p

4.3.2 Tiefziehen

Fertigungstechnik und Fertigungsplanung: Umformen 109

4

Page 110: Rechenbuch Metall Lösungen

110 Fertigungstechnik und Fertigungsplanung: Umformen

158/4. Filtereinsatz

�����������������������D = �d22 + 4 · (d1 · h1 + d2 · h2) =

������������������������������������������������= �(50 mm)2 + 4 · (30 mm · 25 mm + 50 mm · 10 mm) = 87 mm

158/5. Napf

D 140 mma) b = –– = ––––––––– = 1,4

d 100 mm

b) bmax = 2,1 (Tabelle 1, Seite 157); bmax ist größer als b: das Teil kann in einem Zug gezogenwerden.

158/6. Ziehteildurchmesser

D 117 mmb1 = 1,8 (Tabelle 1, Seite 157); d1 = –– = –––––––– = 65 mmb1 1,8

158/7. Zylinder

������������ �����������������������������a) D = �d2 + 4 · d · h = �(20 mm)2 + 4 · 20 mm · 30 mm = 53 mm

b) b1 = 2,0; b2 = 1,3 (Tabelle 1, Seite 157)

D 53 mmd1 = –– = ––––––– = 26,5 mmb1 2,0

d1 26,5 mmd2 = –– = ––––––––– = 20,4 mm ≈ 20 mm

b2 1,3

2 Züge sind erforderlich.

158/8. Relaisgehäuse

������������ �����������������������������a) D = �d2 + 4 · d · h = �(15 mm)2 + 4 · 15 mm · 60 mm = 62 mm

D 62 mmb) d1 = –– = ––––––– = 30 mm (1. Zwischenzug)

b1 2,1d1 30 mm

d2 = –– = ––––––– = 19 mm (2. Zwischenzug)b2 1,6

d2 19 mmd3 = –– = ––––––– = 14 mm

b3 1,4

(d3 ist kleiner als d = 15 mm; d. h., in 3 Zügen kann das Gehäuse gezogen werden.)

d2 19 mmc) b3 = –– = ––––––– = 1,3

d 15 mm

158/9. Kegeleinsatz

A = Kreis + Kegelstumpfmantel + Zylinder + Kreisring =��������������p · d2

1 p d2 – d12 p

= ––––––– + –– · �h21 + (–––––––) · (d1 + d2) + p · d2 · h1 + –– (d2

3 – d22)4 2 2 4

�����������������������������p · (40 mm)2 p 60 mm – 40 mm 2= ––––––––––––– + –– · �(50 mm) + (––––––––––––––––––) · (40 mm + 60 mm) +4 4 2

p+ p · 60 mm · 20 mm + –– · [(80 mm)2 – (60 mm)2] = 15 235 mm2

4������ ���������������4 · A 4 · 15 235 mm2

D = � ––––– = � ––––––––––––––– = 139,3 mmp p

Page 111: Rechenbuch Metall Lösungen

158/10. Behälter

a) b1 = 2,1 (Tabelle 1, Seite 157)

D = b1 · d1 = 2,1 · 74 mm = 155,4 mm

D2 – d2 (155,4 mm)2 – (74 mm)2b) D = ��������d2 + 4 · d · h; h = ––––––– = –––––––––––––––––––––––– = 63 mm

4 · d 4 · 74 mmp · D2 p · (155,4 mm)2

c) A = –––––– = –––––––––––––––– = 18 967 mm2

4 4

R · A 1 · 18 967 mm2d) n = ––––– = –––––––––––––––––––––––––––––––– = 0,75 ‡ 75 %

V · B (155,4 mm + 2,5 mm) · 160 mm

160/1. Sicherungsblech

a) F = S · taBmaxS = 1 mm · (p · 22 mm + 2 · 30 mm + 2 · p · 9,5 mm) = 188,8 mm2

NF = 188,8 mm2 · 280 ––––– = 52 864 Nmm2

2 2b) W = –– · F · s = –– · 52 864 N · 1 mm = 35 242,7 N · mm = 35,243 N · m

3 3

Fn · H 40 kN · 20 mmc) WD = –––––– = ––––––––––––––– = 53,33 kN · mm = 53,33 N · m

15 15

d) F < Fn und W < WD; die Presse kann im Dauerbetrieb eingesetzt werden.

160/2. Scheibe

a) F = S · taBmaxS = 3 mm · (p · 25 mm + p · 12 mm) = 348,7 mm2

NF = 348,7 mm2 · 376 ––––– = 131 111,2 N = 131,1 kNmm2

2 2b) W = –– · F · s = –– · 131,1 kN · 3 mm = 262,6 kN · mm = 262,6 N · m

3 3

Fn · Hc) WD = ––––––

15160 kN · 15 mmStanzautomat A: WD = –––––––––––––––– = 160 N · m

15250 kN · 30 mmStanzautomat B: WD = –––––––––––––––– = 500 N · m

15Die Einsatzbedingungen F ≤ Fn und W ≤ WD werden vom Stanzautomaten B erfüllt.

160/3. Warmumformung

Fn · H 400 kN · 40 mma) WE = 2 · WD = 2 · –––––– = 2 · –––––––––––––––– = 2 133,3 kN · mm15 15b) F · h = WE

WE 2 133,3 kN · mmF = ––– = ––––––––––––––––– = 152,38 kN

h 14 mm

160/4. Distanzblech

a) F = S · taBmaxs = t · (Umfang Œ + Bohrung b)Œ = 15 mm + 6 mm + 20 mm + 16 mm + 10 mm + 5 mm + 8 mm + 5 mm + 9 mm

p · 16 mm+ –––––––––– + 14 mm = 120,56 mm ≈ 120,6 mm4

4.4 Exzenter- und Kurbelpressen

Fertigungstechnik und Fertigungsplanung: Exzenter und Kurbelpressen 111

4

Page 112: Rechenbuch Metall Lösungen

112 Fertigungstechnik und Fertigungsplanung: Spritzgießen

b = p · d = p · 10 mm = 31,4 mmS = 0,8 mm · (120,6 mm + 31,4 mm) = 121,6 mm2

NF = 121,6 mm2 · 476 ––––– = 57 882 N = 57,9 kNmm2

2 2 2b) W = –– · F · s = –– · 57,9 kN · 0,8 mm = –– · 57 900 N · 0,0008 m = 30,88 N · m

3 3 3

c) Fn > F und WD > W. Die Distanzbleche sind auf der Presse herstellbar.

160/5. Fließpressrohling

Fn · H 80 kN · 20 mma) WD = –––––– = –––––––––––––– = 106,7 N · m

15 15b) W = WD

2= –– · F · s3

3 · WD 3 · 106 700 N · mmF = –––––– = –––––––––––––––––––– = 45 728,6 N

2 · s 2 · 3,5 mmN N

c) taBmax = 0,8 · Rmmax = 0,8 · 95 ––––– = 76 –––––mm2 mm2

d) F = S · taBmaxS = p · d · tF = p · d · t · taBmax

F 45 728,6 Nd = ––––––––––– = ––––––––––––––––––––– = 54,7 mmNp · t · taBmax p · 3,5 mm · 76 –––––

mm2

165/1. Schwindung

a) Formmaß für Polyamid

d · 100 % 20 mm · 100 % d1 = –––––––––– = –––––––––––––– = 20,26 mm100 % – S 100 % – 1,3 %

s · 100 % 1,5 mm · 100 % s1 = –––––––––– = ––––––––––––––– = 1,52 mm100 % – S 100 % – 1,3 %

165/2. Projizierte Fläche

a) Die projizierte Fläche ist eine Kreisfläche.

d2 · p (50 mm)2 · pAP1 = ––––– = –––––––––––– = 1 963 mm2

4 4

d1mm

s1mm

b) Polystyrol 20,090 1,507

c) Polyethylen 20,325 1,524

d) Polypropylen 20,305 1,523

e) PVC 20,121 1,509

4.5 Spritzgießen

4.5.1– 4.5.1 Schwindung –, 4.5.2 Kühlung –, 4.5.3 Dosierung –,

4.5.4 4.5.4 Kräfte beim Spritzgießen

Page 113: Rechenbuch Metall Lösungen

b) Die projizierte Fläche ist eine Rechteckfläche.AP2 = 2 · d · Œ = 2 · 2 mm · 30 mm = 120 mm2

c) A = AP1 + AP2 = 1 963 mm2 + 120 mm2 = 2 083 mm2 = 20,83 cm2

165/3. Formmasse

a) VFT = V1 – V2 (V1 und V2 sind Kegelstümpfe)

p · h p · 40 mmV1 = ––––– · (D2 + d2 + D · d)= –––––––––– · (502 + 402 + 50 · 40) mm2 = 63 879 mm3

12 12

p · 39 mm V2 = –––––––––– · (482 + 382 + 48 · 38) mm2 = 56 891 mm3

12

VFT = 63 879 mm3 – 56 891 mm3 = 6 988 mm3

VFT gesamt = 13 976 mm3 (zwei Formteile)

b) Zwei Angießkanäled2 · p (2 mm)2 · p

VA = 2 · ––––– · Œ = 2 · ––––––––––– · 30 mm = 188,5 mm3

4 4

gc) ms = (VFT + VA) · r = (13,976 cm3 + 0,189 cm3) · 1,14 –––– ≈ 16 g

cm3

165/4. Dosierung

a) VD = 1,25 · Vs + Vp

ms 60 g VS = ––– = –––––––––– = 43,478 cm3

r 1,38 g/cm3

mp 20 g Vp = ––– = –––––––––– = 14,493 cm3

r 1,38 g/cm3

VD = 1,25 · 43,478 cm3 + 14,493 cm3 = 68,841 cm3

165/5. Zykluszeit

a) tk = s · (1 + 2 · s) = 2 · (1 + 2 · 2) = 10

tk = 10 Sekunden

b) tk = Nachdruckzeit + Dosierzeit + Haltezeit

tk = tp + tRK

1 1tp = –– · tk = –– · 10 s = 3 Sekunden

3 3

c) tz = Werkzeug schließen + Einspritzen + Kühlen tk + Werkzeug öffnen + Auswerfentz = (1 + 2 + 10 + 0,8 + 1,4) Sekunden = 15,2 s

165/6. Zuhaltekraft

projizierte Fläche mit Anguss: Ap = 1,15 · A = 1,15 · 20 cm2 = 23 cm2

NFZ = 1,15 · Ap · p = 1,15 · 23 cm2 · 1 000 · 10 –––– = 264 500 N = 264,5 kNcm2

165/7. Kniehebel

F1

F

Fy

F2

FZ

F2

Kräfte am Kniehebel Kräfte am Werkzeug

Bild 165/7: Befestigungswinkel

Fertigungstechnik und Fertigungsplanung: Spritzgießen 113

4

Page 114: Rechenbuch Metall Lösungen

114 Fertigungstechnik und Fertigungsplanung: Fügen

F/2 F/2 10/2 kNa) sin a = –––; F1 = ––––– = ––––––– = 286,493 kN; F1 = F2F1 sin a sin 1°

F Fy 5 kNFy = –– = 5 kN; Fz = ––––– = –––––– = 286,450 kN

2 tan a tan 1°

b) Fy = Fz · tan a = 500 kN · tan 1° = 8,728 kN

FFy = ––; F = 2 · Fy = 2 · 8,728 kN = 17,456 kN

2

169/1. Druckzylinder

A · pe · v (500 mm)2 · p 8 · 1,5 N a) FB = –––––––– = ––––––––––––– · –––––– · 0,1 ––––– = 39 270 N = 39,27 kN

6 4 6 mm2

Re 8 · 8 · 10 Nb) szul = ––– = –––––––– = 256 –––––

2,5 2,5 mm2

FB 39 270 N c) S = ––– = ––––––––– = 153,4 mm2; M16 mit S = 157 mm2

szul N 256 ––––– mm2

169/2. Vorschubantrieb

F · v 4 000 N · 3 a) FB = –––– = –––––––––– = 3 000 N

4 4

Re 8 · 8 · 10 Nb) szul = ––– = –––––––– = 256 –––––

2,5 2,5 mm2

FB 3 000 N c) S = ––– = ––––––––– = 11,72 mm2; M5 mit S = 14,2 mm2

szul N 256 ––––– mm2

4 000 N · 3 FB 2 000 N d) FB = –––––––––– = 2 000 N; S = ––– = ––––––––– = 7,81 mm2

6 szul N 256 ––––– mm2

M4 mit S = 8,78 mm2

169/3. Schraubenverbindung

a) FR = v · FQ = 2 · 3,2 kN = 6,4 kN

FR 6,4 kN FN = –– = –––––– = 32 kN; wird durch 2 Schrauben erzeugt!

m 0,2

FN 32 kN Ferf = ––– = –––––– = 16 kN

2 2

b) Nach Tabelle 1 Seite 168 kann als kleinster Gewindenenndurchmesser gewählt werden:M8 mit Fv = 17,2 kN und MA = 23,1 N · m

Fv Fv 17 200 N Nc) p = –– = –––––––––– = –––––––––––––––––– = 408,88 –––––

A p p mm2

–– (dw2 – dh

2) –– (11,62 – 92) mm2

4 4

4.6 Fügen

4.6.1 Schraubenverbindung

Page 115: Rechenbuch Metall Lösungen

N Nd) pzul = 1,2 · Re = 1,2 · 235 ––––– = 282 –––––; pzul < p!

mm2 mm2

Abhilfe: 1) Verwendung von Scheiben nach ISO 7090-200 HV.2) Größere Auflagefläche durch Verwendung von M10 ohne Ausschöpfung

der maximalen Vorspannkraft.

169/4. Spanneisen

● a) 2 Spanneisen erzeugen 4 Reibkräfte.

v · Fc 3 · 6 800 N FR = ––––– = –––––––––– = 5 100 N

4 4

FR 5 100 N b) FN = –– = ––––––– = 34 000 N

m 0,15

FN · (35 + 74) mm 34 kN · 109 mmFerf = ––––––––––––––––– = ––––––––––––––– = 50,08 kN

74 mm 74 mm

c) Auswahl nach Tabelle 1 Seite 168:M10–8.8 ist nicht verwendbar, da Fmax = 27,3 kN.M12–10.9 oder M16–8.8 wären verwendbar.Oder alternativ werden 2 weitere Spanneisen eingesetzt. Die erforderliche Vorspann-kraft wird dadurch halbiert → Ferf = 25 kN.

� Nahtquerschnitt und Elektrodenbedarf beim Lichtbogenschweißen

172/1. I-Naht

A = b · s = 2,5 mm · 3 mm = 7,5 mm2

Vs = A · L = 7,5 mm2 · 970 mm = 7 275 mm3

172/2. Kehlnaht

a) Nach Tabelle 1 Seite 171 benötigt man 1 Wurzellage mit Elektrodendurchmesser 4 mmund 4 Decklagen mit Elektrodendurchmesser 5 mm, mit jeweils 450 mm Länge.

Stückb) Wurzellage: zs = 3 –––––– mit 4 x 450 mm

m

StückDecklage: zs = 18,5 –––––– mit 5 x 450 mmm

StückWurzellage: Z = L · zs = 9,7 m · 3 –––––– = 29,1 Stück = 29 Stückm

StückDecklage: Z = L · zs = 9,7 m · 18,5 –––––– = 179,5 Stück = 180 Stückm

172/3. Abdeckplatte

a) L = p · d = p · 100 mm = 314 mm

aA = a2 · tan –– = (8 mm)2 · tan 45° = 64 mm2

2Vs = A · L = 64 mm2 · 314 mm = 20 096 mm3

b) Nach Tabelle 1 Seite 171 benötigt man 1 Wurzellage mit Elektrodendurchmesser 4 mmund 2 Decklagen mit Elektrodendurchmesser 5 mm, mit jeweils 450 mm Länge.

4.6.2 Schmelzschweißen

Fertigungstechnik und Fertigungsplanung: Fügen 115

4

Page 116: Rechenbuch Metall Lösungen

116 Fertigungstechnik und Fertigungsplanung: Fügen

172/4. Versteifungsblech

a) L = 2 · 300 mm + 2 · 720 mm = 600 mm + 1 440 mm = 2 040 mm

b) Nach Tabelle 1 Seite 171 benötigt man eine Wurzellage mit Elektrodendurchmesser 4 mmund 4 Decklagen mit Elektrodendurchmesser 5 mm, mit jeweils 450 mm Länge.

172/5. Kreisring

a) L = L1 + L2 = p · D + p · d = p · (D + d) = p · (250 mm + 150 mm) = 1 256,63 mm ≈ 1 257 mm

b) Nahtplanung nach Tabelle 1 Seite 171:Für die Nahtdicke a = 8 mm sind erforderlich:1 Wurzellage, Elektroden 4 · 450 mm, spez.

Elektrodenbedarf zs = 3 Stück/m2 Decklagen, Elektroden 5 · 450 mm, spez.

Elektrodenbedarf zs = 7 Stück/m

c) Z = L · zs;StückWurzellage : Z = 1,257 m · 3 –––––– = 3,771 Stück ≈ 4 Elektroden

m

StückDecklagen : Z = 1,257 m · 7 –––––– = 8,799 Stück ≈ 9 Elektrodenm

172/6. Absperrgitter

Œ – 2a Œ – 2a 16 000 mm – 170 mm · 2a) p = –––––; n = ––––– + 1 = ––––––––––––––––––––––––– + 1 = 88

n – 1 p 180 mm

b) Schweißnahtlänge: L = 2 · (60 mm + 40 mm) · 88 = 17 600 mm = 17,6 m

kgc) Nach Tabelle 1 Seite 171 beträgt die Nahtmasse m = 0,14 –––

mkg

gesamte Nahtmasse = m · L = 0,14 ––– · 17,6 m = 2,46 kgm

172/7. V-Naht

aa) A = s2 · tan –– + b · s

2

A = (10 mm)2 · tan 30° + 2 mm · 10 mm= 57,735 mm2 + 20 mm2 = 77,7 mm2

b) Vs = A · L = 77,7 mm2 · 12 000 mm = 932 400 mm3

c) Nach Tabelle 1 Seite 171 benötigt man eine Wurzellage mit Elektrodendurchmesser 3,2 mm, eine Fülllage mit Elektrodendurchmesser 4 mm und eine Decklage mit Elektro-dendurchmesser 5 mm, mit jeweils 450 mm Länge.

Spez. Elektrodenbedarf nach Tabelle 1 Seite 171:

StückWurzellage: zs = 4 –––––– mit 3,2 x 450 mmm

StückFülllage: zs = 4 –––––– mit 4 x 450 mmm

Stück Decklage: zs = 6,2 –––––– mit 5 x 450 mmm

StückWurzellage: Z = L · zs = 12 m · 4 –––––– = 48 Stückm

StückFülllage: Z = L · zs = 12 m · 4 –––––– = 48 Stückm

StückDecklage: Z = L · zs = 12 m · 6,2 –––––– = 75 Stückm

Page 117: Rechenbuch Metall Lösungen

Bei Vorgabezeitberechnungen werden die errechneten Endwerte grundsätzlich auf volle Minuten aufgerundet.

174/1. Schleifen einer Grundplatte

a) tv = 0,01 · zv · tg = 0,10 · 25 min = 2,5 minta = tg + tv = 25 min + 2,5 min = 27,5 min

b) T = tr + ta = 32 min + 27,5 min = 59,5 min ≈ 60 min

174/2. Bearbeitung eines Getriebegehäuses

a) t t = ttu + ttb = 80 min + 18 min = 98 min

b) tg = t t + tw = 98 min + 2 min = 100 min

c) ta = te = tg + 0,05 · tg + tv = 100 min + 0,05 · 100 min + 0,1 · 100 min == (100 + 5 + 10) min = 115 min

d) tr = trg + 0,01 · zrer · trg + 0,01 · zrv · trg = (10 + 0,05 · 10 + 0,18 · 10) min = 12,3 min

e) T = tr + ta = 12,3 min + 115 min = 127,3 min ≈ 128 min

174/3. Fräsen von Spannbolzen

a) Eingesparte Ausführungszeit t ’a = (16,5 – 10,0) min – 4,5 min = 2,0 min

4,5 minb) Zeitersparnis in % bei der Rüstzeit = –––––––– · 100 % = 54,2 %

8,3 min

2,0 minbei der Ausführungszeit = –––––––––––––––– · 100 % = 24,4 %(16,5 – 8,3) min

4.7 Fertigungsplanung

4.7.1 Vorgabezeit

172/8. Doppel-V-Naht

a 2 a(––) · tan ––2 2

A = 4 · ––––––––––– + s · a2

a2 aA = –– · tan –– + s · a2 2

(20 mm)2 50°A = –––––––– · tan ––– + 20 mm · 2 mm2 2

A = 93,26 mm2 + 40 mm2 = 133,26 mm2

Nach Tabelle 1 Seite 171 benötigt man 1 Wurzellage mit Elektrodendurchmesser 3,2 mm, 1 Fülllage mit Elektrodendurchmesser 4 mm und 1 Decklage mit Elektrodendurchmesser 5 mm mit jeweils 450 mm Länge.

Stück Wurzellage: zs = 4 –––––– mit 3,2 x 450 mm = 8 Stückm

StückFülllage: zs = 4 –––––– mit 4 x 450 mm (wegen Doppel-V-Naht · 2) = 8 StückmStückDecklage: zs = 6,2 –––––– mit 5 x 450 mm = 13 Stück

m

Fertigungstechnik und Fertigungsplanung: Fertigungsplanung 117

4

Page 118: Rechenbuch Metall Lösungen

118 Fertigungstechnik und Fertigungsplanung: Fertigungsplanung

178/1. Gemeinkosten

jährliche Gemeinkosten · 100 % 172 000 EUR · 100 %Gemeinkostensatz = ––––––––––––––––––––––––––––––––– = ––––––––––––––––––––– = 93,5 %Jahreslohnsumme 184 000 EUR

178/2. Selbstkosten

Werkstoffkosten 70,00 EURFertigungslöhne 152,00 EURGemeinkosten 1,4 · 152,00 EUR = 212,80 EUR–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––Selbstkosten 434,80 EUR

178/3. Verkaufspreis

Selbstkosten = Werkstoffkosten + Fertigungslöhne + Gemeinkosten= 78,00 EUR + 143,00 EUR + 1,35 · 143,00 EUR = 414,05 EUR

Verkaufspreis = Selbstkosten + Gewinn = 414,05 EUR + 0,09 · 414,05 EUR = 451,31 EUR

178/4. Gewinn

Verkaufspreis = vorgesehene Selbstkosten + vorgesehener Gewinn= 1 280,00 EUR + 0,12 · 1 280,00 EUR = 1 433,60 EUR

tatsächlicher Gewinn = Verkaufspreis – tatsächliche Selbstkosten= 1 433,60 EUR – (1 280,00 EUR + 26,40 EUR) = 127,20 EUR

127,20 EUR · 100 %tatsächlicher Gewinn in % = ––––––––––––––––––––––––––– = 9,74 %1 280,00 EUR + 26,40 EUR

178/5. Selbstkosten

Verkaufspreis · 100 % 6 400,00 EUR · 100 %Selbstkosten = –––––––––––––––––––––– = –––––––––––––––––––– = 5 818,18 EUR100 % + Gewinn in % 110 %

Zeiten jeweils in Minuten oder in % der Grundzeiten bzw. RüstgrundzeitenNr.

a

b

c

d

ttb

4,2

10

82

t tu

3,9

8,2

53

tt

29

8,1

18,2

135

tw

1,5

1,4

2,5

tg

30,5

9,5

20,7

135

zer

4 %

3 %

2 %

zv

8 %

10 %

7 %

9 %

te

34,2

10,8

22,2

150

m

4

50

11

5

ta

137

540

245

750

t rg

15

37

300

zrer

3 %

4 %

5 %

zrv

12 %

10 %

12 %

tr

13

18

43

351

T

150

558

288

1 100

4.7.2 Kostenrechnung

174/4. Drehen von Wellen

a) 2 Wellen: ta = T – tr = 42 min – 24,5 min = 17,5 min

ta 17,5 minte = ––– = ––––––––– = 8,75 min

m 216 Wellen: Die Zeit je Einheit te ist gleich wie bei 2 Wellen = te = 8,75 min

ta = m · te = 16 · 8,75 min = 140 min

b) T = ta + tr = 140 min + 24,5 min = 164,5 min

c) Die Auftragszeit, umgerechnet auf 1 Welle, beträgtT 42 minbei 2 Wellen: T’ = ––– = ––––––––––– = 21 min2 2T 164,5 minbei 16 Wellen:T ‘ = ––– = –––––––––– = 10,28 min16 16

Einsparung je Welle = 21 min – 10,28 min = 10,72 min

d) T = 8 · 42 min = 336 min

174/5. Tabellenaufgabe

Page 119: Rechenbuch Metall Lösungen

178/6. Provision

Rohpreis = Selbstkosten + Gewinn = 360,00 EUR + 0,1 · 360,00 EUR = 396,00 EUR

396,00 EUR · 5 %Provision = ––––––––––––––––– = 20,84 EUR95 %

Verkaufspreis = Rohpreis + Provision = 396,00 EUR + 20,84 EUR = 416,84 EUR

178/7. Platzkosten

Platzkosten = Fertigungslohn + Gemeinkosten = 16,95 EUR + 5,5 · 16,95 EUR = 110,18 EUR

178/8. Verkaufspreis

Werkstoffkosten 5,88 EURWerkstoffgemeinkosten = 6 % von 5,88 EUR 0,35 EURFertigungslöhne 11,86 EURFertigungsgemeinkosten = 310 % von 11,86 EUR 36,77 EUR–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––Herstellkosten 54,86 EURVerwaltung und Vertrieb = 14 % von 54,86 EUR 7,68 EUR–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––Selbstkosten 62,54 EURGewinn = 10 % von 62,54 EUR 6,25 EURRohpreis (95 %) 68,79 EUR

68,79 EUR · 5 %Risiko und Provision = 5 % des Verkaufspreises = –––––––––––––––– = 3,62 EUR95 %

Verkaufspreis 72,41 EUR

178/9. Jahresabrechnung

Gemeinkosten · 100 % 218 340 EUR · 100 %Gemeinkostenzuschlag = ––––––––––––––––––––––– = ––––––––––––––––––––– = 260 %Fertigungslöhne 83 980 EUR

Fertigungslöhne 83 980 EUR EURDurchschnittsstundenlohn = –––––––––––––––––––––– = ––––––––––––– = 7,45 –––––

Jahresarbeitsstunden 11 280 h h

GemeinkostenzuschlagPlatzkosten = Durchschnittsstundenlohn · (1 + ––––––––––––––––––––––––)100 %EUR 260 % EUR= 7,45 ––––– · (1 + –––––––) = 26,82 –––––

h 100 % h

178/10. Getriebegehäuse

Drehen: 1,8 h · 32,00 EUR/h = 57,60 EURFräsen: 1,6 h · 43,00 EUR/h = 68,80 EURSchleifen: 1,1 h · 60,00 EUR/h = 66,00 EUR–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––Fertigungskosten 192,40 EURBrutto-Werkstoffkosten 70,20 EUR–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––Herstellkosten 262,60 EURVerwaltung und Vertrieb = 12 % von 262,60 EUR 31,51 EUR–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––Selbstkosten 294,11 EURGewinn = 11 % von 294,11 EUR 32,35 EUR–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––Rohpreis (93 %) 326,46 EUR

326,46 EUR · 7 %Risiko und Provision = 7 % des Verkaufspreises = ––––––––––––––––– 24,57 EUR93 %

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––Verkaufspreis 351,03 EUR

Sägerei Dreherei Schleiferei Zusammenbau

Gemeinkostenzuschlag in % 260 285 315 180

Durchschnittsstundenlohn in EUR/h 7,45 7,75 7,83 7,84

Platzkosten in EUR/h 26,82 29,84 32,49 21,95

Fertigungstechnik und Fertigungsplanung: Fertigungsplanung 119

4

Page 120: Rechenbuch Metall Lösungen

120 Fertigungstechnik und Fertigungsplanung: Fertigungsplanung

181/1. StundenlohnEUR11,98 ––––– · 97 %E · S hV = –––––– = ––––––––––––––––––– = 11,62 EUR/h

100 % 100 %

181/2. WochenlohnEUR12,08 ––––– · 110 %

E · S Z h 14 %V = –––––– · (1 + –––––––) = ––––––––––––––––– · (1 + –––––––) = 13,29 EUR/h100 % 100 % 100 % 100 %

h EUR hWochenlohn VW = V · 38 –––––––– = 13,29 ––––– · 38 –––––––– = 505,02 EUR/WocheWoche h Woche

181/3. EcklohnEUR 2,1 %

a) En = 11,50 ––––– · (1 + ––––––– ) = 11,74 EUR/hh 100 %

EUR11,74 ––––– · 97 %En · S h

b) V6 = ––––– = –––––––––––––––– = 11,39 EUR/h100 % 100 %

EUR11,74 –––––– · 110 %hV8 = ––––––––––––––––––– = 12,91 EUR/h100 %

181/4. Leistungszulage

EUR12,08 –––––– · 114 %hV = –––––––––––––––––– = 12,30 EUR/h112 %

181/5. Monatslohn

EUR11,95 ––––– · 120 %E · S Z h 18 %V = ––––––– · (1 + –––––– ) = ––––––––––––––––––– · (1 + –––––– ) = 16,92 EUR/h

100 % 100 % 100 % 100 %

EUR hMonatslohn Vm = 16,92 –––––– · 163 —––––– = 2 757,96 EUR/Monath Monat

181/6. Leistungszulage

Z EUR 26 %V9 = V · (1 + –––––– ) = 13,76 –––––– · (1 + –––––– ) = 17,34 EUR/h100 % h 100 %

EUR 18 %V10 = 15,60 ––––– · (1 + –––––– ) = 18,41 EUR/hh 100 %

EURDV = V10 – V9 = (18,41 – 17,34) ––––– = 1,07 EUR/hh

181/7. Akkordlohn

a) Die Vorgabezeit Tv bezieht sich auf die Normalleistung.

h min minWochenarbeitszeit T = 39 ––––––– · 60 ––––– = 2 340 –––––––Woche h Woche

min2 340 –––––––T WocheStück/Woche = ––– = ––––––––––––––– = 390 Stück/WocheTv min

6 –––––––Stück

4.7.3 Lohnberechnung

Page 121: Rechenbuch Metall Lösungen

min2 340 ––––––––T Woche min

b) Tatsächliche Zeit/Stück Tt = ––––––––––– = ––––––––––––––– = 4,65 ––––––Stückzahl Stück Stück503 –––––––

Wochemin6 –––––

Tv StückG = ––– · 100 % = ––––––––––– · 100 % = 129 %

Tt min4,65 –––––Stück

EUR13,25 –––––– · 129 %R · G h

c) V = –––––– = –––––––––––––––––––– = 17,09 EUR/h100 % 100 %

181/8. Akkordrichtsatz

EUR13,21 ––––– · 110 %R8 S8 R6 · S8 h–– = ––; R8 = –––––– = ––––––––––––––––––– = 14,98 EUR/hR6 R6 S6 97 %

181/9. Leistungsgrad

● G · Tt 116 % · 25 mina) Besprechung beim Betriebsrat: Tv = ––––––– = ––––––––––––––– = 29 min

100 % 10 %

Tv (120 + 140 + 250 + 29) minG = ––– · 100 % = ––––––––––––––––––––––––––– · 100 % = 114 %

Tt (95 + 133 + 220 + 25) min

EUR13,15 –––––– · 114 %R · G h

b) V = –––––– = –––––––––––––––––––– = 14,99 EUR/h100 % 100 %

Fertigungstechnik und Fertigungsplanung: Fertigungsplanung 121

4

Page 122: Rechenbuch Metall Lösungen

122 Werkstofftechnik: Wärmetechnik

184/1. Umrechnung von Temperaturangaben

a) T = t + 273 = 308 K; 523 K; 253 K; 288 K; 265 K

b) t = T – 273 = 235 °C; 45 °C; –100 °C; –238 °C; –255 °C

184/2. Längenänderung

a) Dt = t2 – t1 = 38 °C – 20 °C = 18 °C

1DŒ = a— · Œ1 · Dt = 0,000012 ––– · 6 m · 18 °C = 0,001296 m = 1,296 mm im Sommer°C

1b) DŒ = 0,000012 –––– · 6 m · (– 35 °C) = – 0,00252 = – 2,52 mm im Winter

°C

184/3. Pressverbindung

Œ2 – Œ1 (17,980 – 18,000) mmDŒ = Œ2 – Œ1 = a— · Œ1 · Dt ; Dt = –––––– = ––––––––––––––––––––––– = – 92,59 °C

a— · Œ1 0,000012 · 18,000 mm–––––––––––––––––––––––°C

Dt = t2 – t1; t2 = Dt + t1 = (– 92,59 + 20) °C = – 72,59 °C ≈ – 73 °C

184/4. Warmaufziehen

Dt = t2 – t1 = 95 °C – 20 °C = 75 °C

1Dd = aŒ · d1 · Dt = 0,000016 –––– · 100 mm · 75 °C = 0,120 mm°C

d2 = d1 + Dd = 100 mm + 0,120 mm = 100,120 mm

184/5. Getriebwelle

DŒ = a— · Œ1 · Dt1

a) Betrieb: DŒB = 0,000012 ––– · 420 mm · 45 °C = 0,227 mm°C

1b) Stillstand: DŒS = 0,000012 ––– · 420 mm · (– 15 °C) = – 0,076 mm

°C

184/6. Volumenausdehnung

Dt = t2 – t1 = 90 °C – 18 °C = 72 °C

1DV = av · V1 · Dt = 0,00018 ––– · 1,5 m3 · 72 °C = 0,01944 m3

°C

V2 = V1 + DV = 1,5 m3 + 0,01944 m3 = 1,51944 m3 ‡ 1519,44 “

184/7. Modelllänge

Œ · 100 % 75 mm · 100 %Œ1 = –––––––––– = –––––––––––––––– = 75,76 mm100 % – S 100 % – 1 %

5 Werkstofftechnik

5.1 Wärmetechnik

5.1.1 Temperatur, 5.1.2 Längen- und Volumenänderung,

5.1.3 Schwindung

Page 123: Rechenbuch Metall Lösungen

Werkstofftechnik: Wärmetechnik 123

5

184/8. Schwungscheibe

Œ · 100 % 1 200 mm · 100 %Œ1 = –––––––––– = ––––––––––––––––––– = 1 212,1 mm100 % – S 100 % – 1 %

Werkstücklänge Œ in mm 1 200 140 120 80 40

Modelllänge Œ1 in mm 1 212,1 141,4 121,2 80,8 40,4

184/9. Stahlwelle

a) Dt = t2 – t1 = 20 °C – 65 °C = – 45 °C

1Dd = a— · d1 · Dt = 0,000012 ––– · 35,001 mm · ( –45 °C) = – 0,0189 mm°C

d2 = d1 + Dd = 35,001 mm – 0,0189 mm = 34,9821 mm ≈ 34,982 mm

b) Zulässiges Mindestmaß für 35h6 : 35,00 mm – 0,016 mm = 34,984 mm34,984 mm – 34,982 mm = 0,002 mm = 2 mm

184/10. Toranlage

DŒ = ± 2 mm

DŒ ± 2 mmDt = ––––– = –––––––––––––––––––––––––– = ± 41,6 °C1a— · Œ1 0,000012 –––– · 4 005 mm°C

tmax = t1 + Dt = (20 + 41,6) °C = 61,6 °C

tmin = t1 – Dt = (20 – 41,6) °C = – 21,6 °C

� Wärmemenge beim Erwärmen und Abkühlen

186/1. Wasser

Dt = t2 – t1 = 95 °C – 12 °C = 83 °C

kJQ = c · m · Dt = 4,18 ––––––– · 60 kg · 83 °C = 20 816 kJkg · °C

186/2. Heizung

Dt = t2 – t1 = 20 °C – 5 °C = 15 °C

kgm = r · V = 1,29 ––– · 1 000 m3 = 1 290 kg

m3

kJQ = c · m · Dt = 1 ––––––– · 1 290 kg · 15 °C = 19 350 kJkg · °C

186/3. Härten kgmÖ = r · V = 0,91 ––––– · 800 dm3 = 728 kg

dm3

Nach dem Temperaturausgleich ist die vom Stahl abgegebene Wärmemenge Qab gleich dervom Öl aufgenommenen Wärmemenge Qauf. Die Mischungstemperatur ist tM.

Qab = Qauf

cs · ms · (ts – tM) = cÖ · mÖ · (tM – tÖ)

kJ kJ0,49 ––––––– · 18 kg · 780 °C + 1,8 ––––––– · 728 kg · 20 °C

cs · ms · ts + cÖ · mÖ · tÖ kg · °C kg · °CtM = ––––––––––––––––––––––––– = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– =

cs · ms + cÖ · mÖ kJ kJ0,49 ––––––– · 18 kg + 1,8 ––––––– · 728 kg

kg · °C kg · °C

= 25,081 °C ≈ 25 °C

5.1.4 Wärmemenge

Page 124: Rechenbuch Metall Lösungen

124 Werkstofftechnik: Werkstoffprüfung

186/4. Spritzgießwerkzeug

kJa) 1 Teil: Q = c · m · Dt = 1,3 ––––––– · 0,06 kg · 140 °C = 10,92 kJ

kg · °C

200 kJ200 Teile/Stunde: Qh = –––– · 10,92 kJ = 2 184 ––––h h

b) Qh = Qw (vom Wasser abgeführte Wärmemenge)kJ2 184 ––––

Qw h kg —Qw = c · m · Dt ; m = ––––––– = ––––––––––––––––––– = 104,5 ––– (––)c · Dt kJ h h4,18 –––––––– · 5 °C

kg · °C

— — 1 h “Volumenstrom: V = 104,5 –– = 104,5 –– · ––––––– = 1,74 ––––h h 60 min min

� Schmelzwärme

186/5. Aluminium

kJQ = q · m = 356 ––– · 1 000 kg = 356 000 kJ = 356 MJkg

186/6. Kupferschrott

Wärmemenge Q1 bis zur Erwärmung auf Schmelztemperatur:

kJQ1 = c · m · Dt = 0,39 ––––––– · 3 000 kg · (1 083 – 20) °C = 1 243 710 kJ = 1 243,71 MJkg · °C

Schmelzwärme Q2 :

kJQ2 = q · m = 213 –––– · 3 000 kg = 639 000 kJkg

Q = Q1 + Q2 = (1 243 710 + 639 000) kJ = 1 882 710 kJ = 1 883 MJ

189/1. Strebe

p pa) So = –– · d2

o = –– · (8 mm)2 = 50,27 mm2

4 4

Fm 15 000 N Nb) Rm = ––– = –––––––––––– = 298,4 –––––

So 50,27 mm2 mm2

Fe 9 500 N Nc) Re = ––– = –––––––––––– = 189 ––––

So 50,27 mm2 mm2

Lu – Lo DL 7,85 mmd) A = ––––––– · 100 % = –––– · 100 % = –––––––––– · 100 % = 19,6 %

Lo Lo 40 mm

5.2 Werkstoffprüfung

5.2.1 Zugversuch

Page 125: Rechenbuch Metall Lösungen

Werkstofftechnik: Werkstoffprüfung 125

5

189/2. Dehnschraube

a)

e · Lo 0,2 % · 30 mmb) DLpo,2 = ––––––– = ––––––––––––––– = 0,06 mm

100 % 100 %

c) Fpo,2 = 19,5 kN (Bild 189/2)

Fp0,2d) Rpo,2 = –––––;

So

d2 (6 mm)2

So = p · ––– = p · –––––––– = 28,27 mm2

4 4

19 500 N NRpo,2 = ––––––––––– = 689,78 ––––––28,27 mm2 mm2

Dehnung e

00

0,02 0,06 0,10 0,14 mm 0,18

5

10

15

20

kN

FP0,2 =19,5FP 0,2

0 0,2 %

Verlängerung DL

P6

P1

P2

P3

P4

Zu

gkr

aft

F

Bild 189/2: Kraft-Verlängerungs-Diagramm der Dehnschraube

Page 126: Rechenbuch Metall Lösungen

126 Werkstofftechnik: Werkstoffprüfung

191/1. Gummipuffer

DL 1,2 mma) e = –––– = –––––––– = 0,043

Lo 28 mm

F F · 4 850 N · 4 Nb) s = ––––– = ––––––– = –––––––––––– = 1,203 –––––

S p · d2 p · 302 mm2 mm2

N1,203 ––––––s mm2 N N

c) E = ––– = ––––––––––––––– = 27,97 ––––– ≈ 28 –––––e 0,043 mm2 mm2

191/2. Hubseil

p · d2 p · 1,22 mm2a) S = 86 · –––––– = 86 · ––––––––––––– = 97,3 mm2

4 4

F 30 000 N Nb) s = ––– = –––––––––– = 308,3 –––––

S 97,3 mm2 mm2

N308,3 ––––– · 24 000 mmF · Lo Lo mm2

c) DL = –––––– = s · ––– = ––––––––––––––––––––––––– = 35,23 mmS · E E N210 000 –––––

mm2

192/3. Federmontage

NF = R · S = 6 ––––– · 20 mm = 120 Nmm

192/4. Dehnungsmessung

DL 0,060 mma) e = ––– = –––––––––– = 0,0006

Lo 100 mm

N Nb) s = E · e = 210 000 ––––– · 0,0006 = 126 –––––

mm2 mm2

F · Lo Lo N 9 200 mmc) DL = –––––– = s · ––– = 126 ––––– · –––––––––––––– = 5,52 mm

S · E E mm2 N210 000 –––––mm2

192/5. Tiefziehen

FN 400 Na) S1 = ––––– = ––––––––––––– = 2,82 mm

n · R N8 · 17,7 ––––mm

Nb) DF = R · Ds = 17,7 –––– · 14 mm = 247,8 N

mm

c) FN1 = n · DF + FN = 8 · 247,8 N + 400 N = 2 382,4 N

192/6. Pendelstange

N Na) s = E · e = 210 000 ––––– · 0,0012 = 252 –––––

mm2 mm2

p pb) F = s · S; S = –– (D2 – d2) = –– (302 – 222) mm2 = 326,73 mm2

4 4NF = 252 ––––– · 326,73 mm2 = 82 336 N = 82,3 kN

mm2

F · Lo Lo N 1 800 mmc) DL = ––––– = s · –– = 252 ––––– · ––––––––––––––– = 2,16 mm

S · E E mm2 N210 000 –––––mm2

d) Kräftezerlegung nach Bild 192/6.Fs = F · cos a = 82,3 kN · cos 45° = 58,2 kN

Fs

a=45°

A

F = 82,3 kN

FsE

Bild 192/6: Kräftezerlegung

5.2.2 Elastizitätsmodul und Hookesches Gesetz

Page 127: Rechenbuch Metall Lösungen

Werkstofftechnik: Festigkeitsberechnungen 127

5

192/7. Flachriementrieb

a) DL = 2 · DLa = 2 · 35 mm = 70 mm

p · db) Lo = 2 · ––––– + 2 · a = p · d + 2 · a = p · 580 mm + 2 · 1 800 mm = 5 422,12 mm

2

DL 70 mme = –––– = –––––––––––––– = 0,013Lo 5 422,12 mm

N Nc) s = E · e = 80 ––––– · 0,013 = 1,04 –––––

mm2 mm2

Nd) F = s · S = 1,04 ––––– · 100 mm · 5 mm = 520 N

mm2

192/8. Federprüfung

F 120 N Nb) F = R · s; R = –– = ––––––– = 15 ––––

s 8 mm mm

c) Federkraft F aus Schaubild: F ≈ 110 N

Berechnung:NF = R · s = 15 ––––– · 7,4 mm = 111 N

mm

Federweg s

0 1 2 3 4 5 87,4

120110

80

60

40

20

0

Fed

erkr

aft

F

N

mm

Bild 192/8: Federprüfung

194/1. Zugstab

N310 –––––Re mm2 N

sz zul = ––– = ––––––––– = 207 ––––––v 1,5 mm2

194/2. Strebe

NF = S · sz = 180 mm2 · 168 ––––– = 30 240 Nmm2

194/3. Hebelstange

N340 ––––––Re mm2

v = ––––– = ––––––––––– = 1,79sz zul N190 –––––

mm2

194/4. Zugstange

N NRe = v · sz zul = 1,3 · 168 ––––– = 218 –––––mm2 mm2

194/5. Drahtseil

p · d2 p (0,4 mm)2a) S = –––––– · 19 · 6 = –––––––––––– · 19 · 6 = 14,3 mm2

4 4

F 3 000 N Nsz = ––– = –––––––––– = 209,8 ––––––S 14,3 mm2 mm2

FB 22 000 Nb) v = ––– = –––––––––– = 7,3

F 3 000 N

5.3 Festigkeitsberechnungen

5.3.1 Beanspruchung auf Zug

Page 128: Rechenbuch Metall Lösungen

194/6. Rundstahlkette

F 10 000 NS = ––– = ––––––––– = 156,25 mm2

sz N64 –––––mm2

������ ����������������p · d2 4 · S 2 · 156,25 mm2S = 2 · –––––– ; d = � ––––– = � –––––––––––––––– = 10 mm

4 2 · p p

194/7. Schlüsselweite

F 38 000 NS = ––––– = –––––––––– = 500 mm2

sz zul N76 –––––mm2

�������� ����������S 500 mm2S = 0,866 · s2 ; s = � –––––– = � –––––––––– = 24 mm

0,866 0,866

128 Werkstofftechnik: Festigkeitsberechnungen

195/1. Schubstange

p pS = ––– (D2 – d2) = –– (602 – 542) mm2 = 537 mm2

4 4

F 56 000 N Nsd = –– = –––––––––– = 104 –––––S 537 mm2 mm2

N210 –––––sdF mm2

v = –––– = –––––––––– = 2sd N104 –––––

mm2

195/2. Spindelpresse

N295 –––––sdF mm2 N

a) sd zul = –––– = –––––––––– = 118 –––––v 2,5 mm2

p · d 2 p (25 mm)2b) S = –––––– = –––––––––––– = 491 mm2

4 4

NFmax = S · sd zul = 491 mm2 · 118 ––––– = 57 938 N ≈ 58 kNmm2

195/3. Dehnschraube

p · d2 p · (9 mm)2a) S = –––––– = –––––––––––– = 63,6 mm2

4 4

NF = sz · S = 550 –––––– · 63,3 mm2 = 34 980 N ≈ 35 kNmm2

p pb) SR = –– (D2 – d2) = –– (252 – 132) mm2 = 358 mm2

4 4

F 35 000 N Nsd = –––– = –––––––––– = 97,8 –––––SR 358 mm2 mm2

5.3.2 Beanspruchung auf Druck

Page 129: Rechenbuch Metall Lösungen

Werkstofftechnik: Festigkeitsberechnungen 129

5

195/4. Gummi-Metall-Puffer

p · d2 p · (100 mm)2a) S = –––––– = –––––––––––––– = 7854 mm2

4 4

FG 30 000 N Nsd = –––––– = ––––––––––––––– = 0,95 –––––

4 · S 4 · 7 854 mm2 mm2

N3 –––––sd max mm2

b) v = ––––––– = ––––––––––– = 3,2sd N0,95 –––––

mm2

196/1. Schneidstempel

A = 32 mm · 20 mm = 640 mm2

F 80 000 N Np = –– = –––––––––– = 125 –––––A 640 mm2 mm2

196/2. Schneidkraft

p · d2 p · (5 mm)2A = –––––– = –––––––––––– = 19,6 mm2

4 4NF = p · A = 200 ––––– · 19,6 mm2 = 3 920 N

mm2

196/3. Nietverbindung

A = Œ · d = 5 mm · 11 mm = 55 mm2 (in Kraftrichtung projizierte Querschnittsfläche eines Nietes)

F 1 000 N Np = ––––– = ––––––––––– = 4,55 –––––4 · A 4 · 55 mm2 mm2

196/4. Bolzenverbindung

F 14 000 N A 133 mm2A = –––– = –––––––––– = 133 mm2 d = ––– = –––––––––– = 13,3 mm

pzul N Œ 10 mm105 –––––mm2

196/5. Passfeder

M 200 000 N · mmF = ––– = ––––––––––––––––– = 10 000 Nd 40 mm-–– -–––––––2 2

A = (50 – 2 · 6) mm · 3 mm = 114 mm2

F 10 000 N Np = ––– = –––––––––– = 87,7 –––––A 114 mm2 mm2

196/6. Gleitlager

F 20 000 NA = ––– = ––––––––– = 2 000 mm2

p N10 –––––mm2

����� ����������A 2 000 mm2A = d · Œ = d · 0,6 · d = 0,6 · d 2 ; d = � –––– = � ––––––––––– ≈ 58 mm

0,6 0,6

Œ = 0,6 · d = 0,6 · 58 mm = 35 mm

5.3.3 Beanspruchung auf Flächenpressung

Page 130: Rechenbuch Metall Lösungen

130 Werkstofftechnik: Festigkeitsberechnungen

� Abscherung

198/1. Seilrolle

F 4 · F 4 · 25 000 N Nta = ––– = ––––––––– = –––––––––––––––– = 40 –––––S 2 · p · d2 2 · p · (20 mm)2 mm2

198/2. Scherstift

2 · M 2 · 200 000 N · mmF = –––––– = –––––––––––––––––––– = 20 000 ND 20 mm

N NtaB max ≈ 0,8 · Rm max = 0,8 · 610 ––––– = 488 –––––mm2 mm2

F 20 000 NS = ––––––– = –––––––––– = 40,98 mm2

taB max N488 –––––

mm2

������� ���������������p · d 2 2 · S 2 · 40,98 mm2S = 2 · –––––––; d = � ––––– = � ––––––––––––––– = 5,1 mm ≈ 5 mm

4 p p

198/3. PassschraubeN640 –––––

taB mm2 Na) ta zul = ––– = –––––––––– = 400 –––––

v 1,6 mm2

Fzul N p · (21 mm)2

ta zul = ––––; Fzul = ta zul · S = 400 ––––– · ––––––––––––– =S mm2 4

= 138 544 N ≈ 139 kN

b) Die höchste Flächenpressung tritt im abgewinkelten Stab auf.

F 130 000 N Np = ––– = ––––––––––––––––––––– = 310 –––––S 21 mm · 20 mm mm2

� Schneiden von Werkstoffen

198/4. Lochstempel

Na) F · S · taB max = p · d1 · s · taB max = p · 1,5 mm · 0,8 mm · 320 ––––– = 1 206 N

mm2

F F 1 206 N Nb) p = ––– = ––––––– = –––––––––––– = 96 ––––––

A p · d 22 p · (4 mm)2 mm2

––––––– ––––––––––––4 4

198/5. Sicherungsscheibe

N NtaB max = 0,8 · Rm max = 0,8 · 510 ––––– = 408 –––––mm2 mm2

a) Vorlochen:NF = S · taB max = p · d · s · taB max = p · 22 mm · 1 mm · 408 –––––– = 28 199 N ≈ 28 kN

mm2

b) Ausschneiden:S = n · Œ · s = n · SW · (tan 30°) · s = 6 · 46 mm · 0,5774 · 1 mm = 159 mm2

NF = S · taB max = 159 mm2 · 408 ––––– = 64 872 N ≈ 65 kNmm2

5.3.4 Beanspruchung auf Abscherung, Schneiden von Werkstoffen

Page 131: Rechenbuch Metall Lösungen

198/6. Halteblech

N NtAB max ≈ 0,8 · Rm max = 0,8 · 200 ––––– = 160 —–––mm2 mm2

a) Lochen:F = S · taB max

������������������ N= (2 ·p · 7 mm + 2 · 4 mm + 24 mm + 2 · �(12 mm)2 + (4 mm)2) · 0,8 mm · 160 ––––– = 12 964 Nmm2

b) Ausschneiden:NF = S · taB max = (3 · 20 mm + 30 mm + p · 5 mm) · 0,8 mm · 160 ––––– = 13 531 N

mm2

Werkstofftechnik: Festigkeitsberechnungen 131

5

200/1. Widerstandsmoment

Mb 527 000 N · cmW = –––– = ––––––––––––––– = 77,5 cm3

sb N6 800 ––––cm2

200/2. Träger

b · h2 20 mm · (50 mm)2

W = –––––– = ––––––––––––––––––– = 8 333 mm36 6

F · Œ 3 200 N · 1 200 mmMb = –––– = –––––––––––––––––––– = 960 000 N · mm4 4

Mb 960 000 N · mm Nsb = –––– = –––––––––––––––––– = 115,2 –––––

W 8 333 mm3 mm2

200/3. √-Profil

N1 380 cm3 · 8 200 ––––Mb W · sbzul cm2

a) F = –––– = ––––––––– = –––––––––––––––––––––– = 87 046 NŒ Œ 130 cm

N471 cm3 · 8 200 ––––W · sb zul cm2

b) F = –––––––––– = ––––––––––––––––––––– = 29 709 NŒ 130 cm

200/4. T-Profil

Mb F · Œ 5 000 N · 620 mmW = ––––– = ––––– = ––––––––––––––––––– = 18 788 mm3 ≈ 18,8 cm3

sb zul sb zul N165 –––––mm2

Ein T-Profil EN 10055-T100 mit W = 24,6 cm3 kann verwendet werden.

200/5. Achse

Mb F · Œ 3 800 N · 1 420 mmW = ––––– = –––––––– = –––––––––––––––––––– = 17 750 mm3

sb zul 4 · sb zul N4 · 76 –––––mm2

�������� ����������������p · d3 32 · W 32 · 17 750 mm3W = –––––; d = 3� ––––––– = 3� ––––––––––––––––– = 56,5 mm

32 p p

5.3.5 Beanspruchung auf Biegung

Page 132: Rechenbuch Metall Lösungen

132 Automatisierungstechnik: Pneumatik und Hydraulik

� Druck

203/1. Druckeinheiten

6 Automatisierungstechnik

Umwandlung in a b c

pabs 2,5 bar 0,2 bar 2,5 bar

pe 7,2 bar 3 bar 12 bar

pe – 0,6 bar – 0,88 bar – 0,47 bar

203/2. Positiver Überdruck

pabs = pe + pamb = 1,25 bar + 1 bar = 2,25 bar = 225 000 Pa

203/3. Negativer Überdruck

pabs = pe + pamb = – 0,45 bar + 1 bar = 0,55 bar

203/4. Sauerstoffflasche

a) Druckunterschied = 130 bar – 2,5 bar = 127,5 bar

b) 127,5 bar = 127,5 · 105 Pa = 12 750 000 Pa

c) Druckunterschied = 130 bar – 115 bar = 15 bar—Sauerstoffverbrauch = 15 bar · 50 ––– = 750 “

bar

203/8. Bremskraftverstärker

a) pe= pabs – pamb= 0,65 bar – 1 bar= – 0,35 bar

� Kolbenkraft

203/6. Pneumatikzylinder

p · D2 N p · (7 cm)2a) F = pe · A · n = pe · –––––– · n = 60 –––– · ––––––––––– · 0,85 = 1 963 N

4 cm2 4

p · D2 N p · (5 cm)2b) F = pe · A · n = pe · –––––– · n = 90 –––– · ––––––––––– · 0,85 = 1 502 N

4 cm2 4

p · D2 N p · (2,5 cm)2c) F = pe · A · n = pe · –––––– · n = 40 –––– · –––––––––––– · 0,85 = 167 N

4 cm2 4

203/7. Hydraulikzylinder

F1 = wirksame Kolbenkraft, wenn Kolbenseite mit Drucköl beaufschlagt wirdF2 = wirksame Kolbenkraft, wenn Kolbenstangenseite mit Drucköl beaufschlagt wird

p · D2 N p · (10 cm)2a) F1 = pe –––––– · n = 400 –––– · ––––––––––– · 0,9 = 28 274 N 28,3 kN

4 cm2 4

p · (D2 – d2) N p · (102 – 62) cm2F2 = pe –––––––––––– · n = 400 ––––– · ––––––––––––––––– · 0,9 = 18 096 N 18,1 kN

4 cm2 4

6.1 Pneumatik und Hydraulik

6.1.1 Druck und Kolbenkraft

b) 10 NFv = pe · A = 0,35 bar · ––––––––– · 615 cm2 = 2 152,5 Ncm2 · bar

Page 133: Rechenbuch Metall Lösungen

p · D2 N p · (16 cm)2b) F1 = pe –––––– · n = 600 –––– · ––––––––––– · 0,9 = 108 573 N 108,6 kN

4 cm2 4

p · (D2 – d2) N p · (162 – 122) cm2F2 = pe –––––––––––– · n = 600 –––– · ––––––––––––––––––– · 0,9 = 47 501 N 47,5 kN

4 cm2 4

p · D2 N p · (5 cm)2c) F1 = pe –––––– · n = 1 000 –––– · ––––––––––– · 0,9 = 17 671 N 17,7 kN

4 cm2 4

p · (D2 – d2) N p · (52 – 32) cm2F2 = pe –––––––––––– · n = 1 000 –––– · –––––––––––––––– · 0,9 = 11 310 N 11,3 kN

4 cm2 4

203/8. Pneumatikzylinder

N p · (4 cm)2F1 = pe · A · n = 55 –––– · –––––––––– · 0,8 = 552,9 N

cm2 4

N pF2 = pe · A · n = 55 –––– · –– (42 cm2 – 1,52 cm2) · 0,8 = 475,2 Ncm2 4

204/9. Hydraulikzylinder

F 42 500 NA = ––––– = ––––––––––––– = 118,06 cm2

pe · n N400 –––– · 0,9cm2

������ ��������������4 · A 4 · 118,06 cm2d = � ––––– =� –––––––––––––– = 12,26 cm 123 mm

p pNächster Normzylinderdurchmesser d = 125 mm

204/10. Kaltkreissäge

N pF1 = pe · A · n = 400 –––– · –– · (18 cm)2 · 0,85 = 86 519,5 Ncm2 4

F1 · Œ1 86 519,5 N · 165 mmF1 · Œ1 = F2 · Œ2; F2 = –––––– = –––––––––––––––––––––– = 150 270,7 N 150 kN

Œ2 95 mm

204/11. Druckbegrenzung

F 1 200 N Npe = ––––– = –––––––––––––––– = 51,1 –––– 5,1 barA · n p · (6 cm)2 cm2

–––––––––– · 0,834

204/12. Pneumatische Spannvorrichtung

N pa) F1 = pe · A · n = 70 –––– · –– · (3,5 cm)2 · 0,88 = 592,7 N

cm2 4

F1 · Œ1 592,7 N · 96 mmb) F2 · Œ2 = F1 · Œ1; F1 = –––––– = ––––––––––––––––– = 758,7 N

Œ2 75 mm

204/13. Dieselmotor

N p · 7,52 cm2F = pe · A · n = 850 –––– · –––––––––––– · 0,85 = 31 919 N 31,9 kN

cm2 4

204/14. Druckübersetzer

N pa) F1 = pe1 · A1 · nP = 60 –––– · –– · (21 cm)2 · 0,8 = 16 625 N

cm2 4

b) Die zur Bildung des hydraulischen Drucks pe2 wirksame Kraft beträgtF1’ = F1 · nH = 16 625 N · 0,9 = 14 963 N

F1’ 14 963 N Npe2 = ––– = –––––––––––– = 388,8 –––– (fi 38,9 bar)

A2 p cm2

72 cm2 · ––4

N pc) F2 = pe2 · A3 · nH = 388,8 –––– · –– · (18 cm)2 · 0,9 = 89 044 N

cm2 4

Automatisierungstechnik: Pneumatik und Hydraulik 133

6

Page 134: Rechenbuch Metall Lösungen

pe1 6 bard) i = ––– = –––––––– = 1 : 6,48

pe2 38,9 bar

204/15. Zweibacken-Druckluftfutter

pa) Wirksame Kolbenfläche A = –– · (252 cm2 – 42 cm2) = 478,3 cm2

4NF1 = pe · A · n = 60 –––– · 478,3 cm2 · 0,75 = 21 523,5 N

cm2

F1 F1 · Œ1 21 523,5 N · 70 mmb) –– · Œ1 = F2 · Œ2; F2 = –––––– = ––––––––––––––––––––– = 31 388,4 N

2 2 · Œ2 2 · 24 mm

134 Automatisierungstechnik: Pneumatik und Hydraulik

206/1. Hydraulische Bremsanlage

F1 2 000 N · 4 Na) pe = –– = ––––––––––––– = 394,7 –––– ( 39,5 bar)

A1 p · (2,54 cm)2 cm2

N p · (3,6 cm)2

b) F2 = pe · A2 = 394,7 –––– · –––––––––––– = 4 017,6 N 4 018 Ncm2 4

F1 d12 F1 · d2

2 2 000 N · (36 mm)2

oder: –– = –––; F2 = ––––––– = ––––––––––––––––––– = 4 017,6 N 4 018 NF2 d2

2 d12 (25,4 mm)2

206/2. Doppelkolbenzylinder

N p NF1 = pe · A1 = 400 –––– · –– · (5 cm)2 = 400 –––– · 19,635 cm2 = 7 854 Ncm2 4 cm2

N p NF2 = pe · A2 = 400 –––– · –– · (10 cm)2 = 400 –––– · 78,54 cm2 = 31 416 Ncm2 4 cm2

206/3. Hydraulische Handhebelpresse

F · Œ 100 N · 600 mma) F1 · Œ1 = F · Œ; F1 = –––– = –––––––––––––––– = 600 N

Œ1 100 mm

F1 · A2 600 N · 125 cm2

F2 = –––––– = ––––––––––––––– = 3 000 N = 3 kNA1 25 cm2

s1 A2 A2 · s2 125 cm2 · 52 mmb) ––– = –––; s1 = –––––– = ––––––––––––––––– = 260 mm

s2 A1 A1 25 cm2

260 mmAnzahl der Hübe = ––––––––– = 5,250 mm

206/4. Hydraulische Wälzlagerpresse

F1 · Œ1 120 N · 270 mma) F1 · Œ1 = F2 · Œ2; F2 = ––––– = –––––––––––––––– = 925,7 N

Œ2 35 mm

p925,7 N · –– · (902 mm2 – 702 mm2)F2 A2 F2 · A3 4

b) ––– = –––; F3 = ––––––– · n = –––––––––––––––––––––––––––––––––––– · 0,85 = 69 942 NF3 A3 A2 p–– · (6 mm)2

4

p20 mm · –– · (902 mm2 – 702 mm2)s2 A3 s3 · A3 4

c) –– = ––– ; s2 = –––––– = –––––––––––––––––––––––––––––––––– = 1 777,8 mms3 A2 A2 p–– · (6 mm)2

41 777,8 mmAnzahl der Hübe = –––––––––––– = 52,3

34 mm

6.1.2 Prinzip der hydraulischen Presse

Page 135: Rechenbuch Metall Lösungen

206/5. Hydraulische Spannvorrichtung

F1 · p · d 160 N · p · 500 mm 160 N · 1 570,8 mma) F1 · p · d = F2 · P ; F2 = –––––––– = ––––––––––––––––––– = ––––––––––––––––––––– = 125 663,7 N

P 2 mm 2 mm

Tatsächlich wirksame Spindelkraft = 125 663,7 N · 0,6 = 75 398 N

F2 75 398 N Nb) pe = –– = ––––––––––––––– = 19 834,7 ––––

A2 p cm2–– · (2,2 cm)2

4N pF3 = pe · A3 · n = 19 834,7 –––– · –– · (1,8 cm)2 · 0,85 = 42 902,2 N 42,9 kN

cm2 4

F1 160 N 1c) –– = –––––––––––– ––––

F3 42 902,2 N 268

s2 4 · A3 p pd) –– = ––––– ; A2 = –– · 2,22 cm2 = 3,80 cm2; A3 = –– · 1,82 cm2 = 2,54 cm2

s3 A2 4 4

A2 · s2 3,80 cm2 · 2 mms3 = ––––––– = ––––––––––––––––– = 0,748 mm

4 · A3 4 · 2,54 cm2

Automatisierungstechnik: Pneumatik und Hydraulik 135

6

208/1. Kolbengeschwindigkeiten

Q 40 000 cm3 cm 1 m ma) v = –– = –––––––––––––––– = 2 037 –––– · –––––––– 20 ––––

A p min 100 cm minmin · –– · (5 cm)2

4

Q 20 dm3 dm 1 m mb) v = –– = ––––––––––––––––– = 25,5 –––– · ––––––– 2,6 ––––

A p min 10 dm minmin · –– · (1 dm)2

4

Q 15 000 cm3 cm 1 m mc) v = –– = ––––––––––––––––––– = 3 056 –––– · –––––––– 31 ––––

A p min 100 cm minmin · –– · (2,5 cm)2

4

208/2. Durchflussgeschwindigkeiten

Q 25 000 cm3 cm 1 min 1 m ma) v = –– = –––––––––––––––––– = 6 576,7 –––– · –––––– · –––––––– 1,1 ––

A p min 60 s 100 cm smin · –– · (2,2 cm)2

4

Q 25 000 cm3 cm 1 min 1 m mb) v = –– = –––––––––––––––––– = 1 052,3 –––– · –––––– · –––––––– 0,18 ––

A p min 60 s 100 cm smin · –– · (5,5 cm)2

4

Q 40 000 cm3 cm 1 min 1 m mc) v = –– = –––––––––––––––––– = 1 039,4 –––– · –––––– · –––––––– 0,17 ––

A p min 60 s 100 cm smin · –– · (7 cm)2

4

208/3. Vorschubzylinder

cm310 000 ––––

Q min cm 1 m ma) v = –– = ––––––––––––– = 509,3 –––– · –––––––– 5 ––––

A p min 100 cm min–– · (5 cm)2

4cm3

10 000 ––––Q min cm 1 m m

b) v = –– = –––––––––––––––––––––– = 679,1 –––– · –––––––– 6,8 ––––A p min 100 cm min–– · (52 cm2 – 2,52 cm2)

4

6.1.3 Kolben- und Durchflussgeschwindigkeiten

Page 136: Rechenbuch Metall Lösungen

s s 2,1 m sc) v = ––; t = –– = –––––– = 0,42 min = 0,42 min · 60 –––– = 25,2 s

t v m min5 ––––min

s 2,1 sd) t = –– = –––––––– = 0,309 min = 0,309 min · 60 –––– = 18,54 s

v m min6,8 ––––min

208/4. Vorschubzylinder

cm p cm3 1 dm3 dm3 “Q = v · A = 10 –––– · –– · (8 cm)2 = 502,7 –––– · –––––––––– 0,5 –––– = 0,5 ––––min 4 min 1 000 cm3 min min

208/5. Hydraulikzylinder

cm332 000 –––– ������ ���������������Q min 4 · A 4 · 6 400 mm2

a) A = ––– = ––––––––––––––– = 64 cm2; d = � ––––– = � ––––––––––––––– 90 mmv cm p p500 ––––

min

s s 32,5 cm sb) v = ––; t = –– = ––––––––– = 0,065 min = 0,065 min · 60 –––– = 3,9 s

t v cm min500 ––––min

208/6. Vorschubsystem

cm35 000 ––––

Q1 min cm 10 mm 1 min mma) v = –– = ––––––––––––– = 63,7 –––– · ––––––– · –––––– = 10,6 ––––

A p min 1 cm 60 s s–– · (10 cm)2

4

cm3 cm35 000 –––– + 20 000 ––––

Q1 + Q2 min min cm 10 mm 1 min mmb) v = ––––––– = –––––––––––––––––––––––– = 318,3 –––– · ––––––– · –––––– = 53 ––––

A p min 1 cm 60 s s–– · (10 cm)2

4

cm325 000 ––––

Q1 + Q2 min cm 10 mm 1 min mmc) v = ––––––– = –––––––––––––––––––––– = 624,1 –––– · ––––––– · –––––– = 104 ––––

A p min 1 cm 60 s s–– · (102 cm2 – 72 cm2)4

s 130 mm d) Zeit für Eilgangweg: t1 = –– = –––––––– = 2,5 s

v mm53 ––––s

s 62 mmZeit für Vorschubweg: t2 = –– = ––––––––– = 5,8 sv mm10,6 ––––

ss 192 mmZeit für Rückweg: t3 = –– = –––––––– = 1,8 sv mm104 ––––

s––––––––––––––––––––––––––Zeit für Arbeitstakt: t1 + t2 + t3 = 10,1 s

208/7. Hydraulikrohrleitung

cm3250 000 ––––

Q min cm 1 m 1 min ma) v = –– = ––––––––––––– = 12 732,4 –––– · –––––––– · –––––– = 2,1 ––

A p min 100 cm 60 s s–– · (5 cm)2

4cm3

250 000 ––––Q min cm 1 m 1 min m

b) v = –– = ––––––––––––– = 3 183,1 –––– · –––––––– · –––––– = 0,53 ––A p min 100 cm 60 s s–– · (10 cm)2

4

136 Automatisierungstechnik: Pneumatik und Hydraulik

Page 137: Rechenbuch Metall Lösungen

cm3250 000 –––– ����� �������������Q min 4 · A 4 · 13,89 cm2 10 mm

c) A = –– = –––––––––––––– =13,89 cm2; d = � ––––– = � ––––––––––––– = 4,2 cm · ––––––– = 42 mmv cm p p 1 cm300 · 60 ––––

mingewählt d = 50 mm

Automatisierungstechnik: Pneumatik und Hydraulik 137

6

210/1. Leistung

Q · pe 35 · 16a) P = –––––– = ––––––– kW = 0,93 kW

600 600

Q · pe 86 · 250b) P = –––––– = –––––––– kW = 35,8 kW

600 600

Q · pe 36 · 20c) P = –––––– = ––––––– kW = 1,2 kW

600 600

210/2. Hydromotor

Q · pe 72 · 23P1 = –––––– = ––––––– kW = 2,76 kW

600 600

P2 = n · P1 = 0,78 · 2,76 kW = 2,15 kW

210/3. Schaufelbagger

m kga) FG = g · r · V = 9,81 –– · 2 –––– · 400 dm3 = 7 848 N

s2 dm3

FG · s 7 848 N · 2,75 m N · mP2 = –––––– = ––––––––––––––––– = 2 158 –––––– = 2 158 W

t 10 s sP2 2,158 kW

P1 = –––– = –––––––––– 2,5 kWn 0,85

600 · P 600 · 2,5b) pe = ––––––– = ––––––––– bar 107 bar

Q 14

210/4. Hydraulikeinheit

a) PM1 = 0,6 kW; PM2 = nM · PM1 = 0,85 · 0,6 kW = PP1

PP2 = nP · PP1 = 0,8 · 0,85 · 0,6 kW = 0,408 kW

600 · PP2 600 · 0,408 — “b) Q = –––––––– = ––––––––––– –––– = 4,08 ––––

pe 60 min min

210/5. Kolbenpumpe

PP2 Q · pe 25 · 200PP1 = ––– = ––––––– = –––––––––– kW = 12,82 kW = PM2np 600 · np 600 · 0,65

PM2 12,82 kWPM1 = ––– = ––––––––– 15,1 kW

nM 0,85EURJährliche Energiekosten = 15,1 kW · 1500 h · 0,13 –––––– = 2 944,50 EUR

kW · h

210/6. Zahnradpumpe

a) Fördervolumen einer Zahnlücke

Fördervolumen von „z“ Zahnlücken bei einer Umdrehung beider Räder

Fördervolumen bei „n“ Umdrehungen = Volumenstrom

pV1 –– · 2 · m · b2pVz –– · 2 · m · b · 2 · z2

pQ –– · 2 · m · b · 2 · z · n = p · m · b · 2 · z · n2

6.1.4 Leistungsberechnung in der Hydraulik

Page 138: Rechenbuch Metall Lösungen

Für p = p · m ergibt sich1Q p · m · m · b · 2 · z · n = p · 2 mm · 2 mm · 16 mm · 2 · 10 · 1 500 ––––

minmm3 1 — “= 6 031 858 ––––– · –––––––––––––––– 6 ––––min 1 000 000 mm3 min

Q · pe 6 · 32 P2 0,32 kWb) P2 = ––––– = –––––– kW = 0,32 kW; P1 = –– = –––––––– = 0,44 kW

600 600 n 0,73

210/7. Axialkolbenpumpe

Q · pe 136 · 45 P2 10,2 kWa) P2= –––––– = ––––––– kW = 10,2 kW; P1 = ––– = –––––––– = 13,6 kW

600 600 n 0,75

b) Q = A · dL · n · z · sin ap · (1,6 cm)2 1 cm3 1 — “= –––––––––––– · 12 cm · 1 500 –––– · 9 · sin 30° = 162 860 –––– · –––––––––– 163 ––––

4 min min 1 000 cm3 min

138 Automatisierungstechnik: Pneumatik und Hydraulik

212/1. Luftverbrauch

pe + pamb p · (3,5 cm)2 1 4 bar + 1 bara) Q = A · s · n · ––––––––– = ––––––––––– · 1,5 cm · 30 –––– · –––––––––––––

pamb 4 min 1 barcm3 1 — “

= 2 164,8 –––– · –––––––––– 2,16 ––––min 1 000 cm3 min

Lösung mit Tabelle bzw. Diagramm:— 1 “Q = q · s · n = 0,047 ––– · 1,5 cm · 30 –––– = 2,115 ––––

cm min min

p · (7 cm)2 1 4 bar + 1 bar cm3 1 — “b) Q = –––––––––– · 9 cm · 15 –––– · ––––––––––––– = 25 977 –––– · –––––––––– 26 ––––

4 min 1 bar min 1 000 cm3 min

— 1 “(mit Tabelle: Q = 0,19 ––– · 9 cm · 15 –––– = 25,65 –––– )cm min min

p · (10 cm)2 1 8 bar + 1 bar cm3 1 — “c) Q = –––––––––––– · 8,5 cm · 12 –––– · ––––––––––––– = 72 099,6 ––––– · –––––––––– 72,1 ––––

4 min 1 bar min 1 000 cm3 min

— 1 “(mit Tabelle: Q = 0,69 ––– · 8,5 cm · 12 –––– 70,4 –––– )cm min min

212/2. Leckstelle in Pneumatikanlage

m3 EURJährliche Kosten = 0,01 –––– · 365 · 24 · 60 min · 0,04 –––– 210,24 EURmin m3

212/3. Pneumatischer Drehantrieb

pe + pamb p · (7 cm)2 1 4 bar + 1 bara) Q = 2 · A · s · n · ––––––––– = 2 · –––––––––– · 2,5 cm · 35 –––– · ––––––––––––

pamb 4 min 1 bar

cm3 1 — —= 33 673,9 –––– · –––––––––– 33,7 ––––min 1 000 cm3 min

— 1 —(mit Tabelle: Q = 2 · 0,19 ––– · 2,5 cm · 35 –––– = 33,25 ––––)cm min min

Luftverbrauch pro Tag bei 90 % Nutzungsgrad

— 60 min 1 m3Q = 33,7 –––– · 8 h · ––––––– · 0,9 = 14 558,4 — · –––––– 14,6 m3 (mit Tabelle: Q = 14,3 m3)

min h 1 000 —

N p · (7 cm)2b) F = p · A · n = 40 –––– · –––––––––– · 0,9 = 1 385,4 N

cm2 4

6.1.5 Luftverbrauch in der Pneumatik

Page 139: Rechenbuch Metall Lösungen

c) d = m · z = 2,5 mm · 36 = 90 mm

d 0,090M = F · –– = 1 385,4 N · ––––– m = 62,3 N · m2 2

a° s 360° · s 360° · 25 mmd) ––––– = –––––; a = ––––––– = ––––––––––––– = 31,83° (31° 49‘ 52“)

360° p · d p · d p · 90 mm

212/4. Pneumatische Hubeinrichtung

Zylinder 1A1:

pe + pambQ = 2 · A · s · n · –––––––––pamb

p · (2,5 cm)2 (4,5 + 1) bar= 2 · ––––––––––– · 10 cm · 350 · –––––––––––4 1 bar

1 —= 188 986 cm3 · –––––––––– 189 —1 000 cm3

Zylinder 2A1:

pe + pambQ = 2 · A · s · n · –––––––––pamb

p · (5 cm)2 (4,5 + 1) bar= 2 · –––––––––– · 85 cm · 350 · ––––––––––––4 1 bar

1 —= 6 425 539 cm3 · –––––––––– 6 426 —1 000 cm3

Zylinder 3A1:

pe + pambQ = 2 · A · s · n · –––––––––pamb

p · (3,5 cm)2 (4,5 + 1) bar= 2 · ––––––––––– · 52 cm · 350 · ––––––––––––4 1 bar

1 —= 1 926 150 cm3 · –––––––––– 1 926 —1 000 cm3

Gesamter Luftverbrauch für 350 Zyklen = 189 — + 6 426 — + 1 926 — = 8 541 “

Pneumatik, Hydraulik, Automatisierungstechnik: Logische Verknüpfungen 139

6

216/1. Hubeinrichtung

Funktionstabelle Funktionsplan

E3 E2 E1 A0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 01 1 0 01 1 1 1

E1&

&

&

E2

E3

E1

E2

E3

Ausführlich

Kurzform

A

A

Bild 216/1: Hubeinrichtung

Funktionsgleichung: A = E1 _ E2 _ E3

6.2 Logische Verknüpfungen

Page 140: Rechenbuch Metall Lösungen

140 Pneumatik, Hydraulik, Automatisierungstechnik: Logische Verknüpfungen

216/3. Turbine

Funktionstabelle Funktionsplan

216/4. Sortierweiche

Funktionstabelle Funktionsplan

E3 E2 E1 A1, A20 0 0 00 0 1 10 1 0 10 1 1 11 0 0 11 0 1 11 1 0 11 1 1 1

E3 E2 E1 A1 A20 0 0 0 00 0 1 0 00 1 0 1 00 1 1 0 01 0 0 0 01 0 1 0 01 1 0 0 01 1 1 0 1

E1

E2>1

E3

A1

A2

Bild 216/3: Turbine

E1 E2 E3

A1&

&A2

Kurze Werkstücke

Lange Werkstücke

Bild 216/4: Sortierweiche

Funktionsgleichung: A1 = E1 ∂ E2 ∂ E3 = A2

Funktionsgleichungen:

A1 = 3E1 _ E2 _ 3E3 A2 = E1 _ E2 _ E3

216/2. Tafelschere

Funktionstabelle Funktionsplan

E3 E2 E1 A0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 01 1 0 01 1 1 1

&

&E1

AE2

E3

Bild 216/2: Tafelschere

Funktionsgleichung:A = E1 _ E2 _ E3

Page 141: Rechenbuch Metall Lösungen

Pneumatik, Hydraulik, Automatisierungstechnik: Logische Verknüpfungen 141

6

Funktionsgleichung:A = (E1 _ 3E2 _ E3 _ 3E4 _ 3E5 _ 3E6)

V(3E1 _ E2 _ E3 _ E4 _ E5 _ E6)

Funktionsgleichung:

A = (E1 _ 3E2 _ 3E3 _ 3E4 _ E5) V(E1 _ 3E2 _ 3E3 _ E4 _ 3E5) V(E1 _ 3E2 _ E3 _ 3E4 _ 3E5) V(3E1 _ E2 _ 3E3 _ 3E4 _ E5) V(3E1 _ E2 _ 3E3 _ E4 _ 3E5) V(3E1 _ E2 _ E3 _ 3E4 _ 3E5)

216/5. Vorschubantrieb

Funktionstabelle Funktionsplan

216/6. Schließanlage

Funktionstabelle Funktionsplan

E1 E2 E3 E4 E5 E6 ABetriebsart „Einrichten“

1 0 1 0 0 0 1Betriebsart „Bohren“

0 1 1 1 1 1 1

Ein

rich

ten

Bo

hre

n

Sta

rt

Mo

tor

hlu

ng

Sch

utz

gitt

er

Vors

chu

b

E1 E2 E3 E4 E5 A1 0 0 0 1 11 0 0 1 0 11 0 1 0 0 10 1 0 0 1 10 1 0 1 0 10 1 1 0 0 1

E4 E5 E6

A

&

E3E2E1

&

>1

Einrichten

Bohren

Bild 216/5: Vorschubantrieb

E4 E5

A

&

E3E2E1

>1

&

&

&

&

&

Bild 216/6: Schließanlage

Page 142: Rechenbuch Metall Lösungen

219/2. Sinterofen

Pneumatikplan Stromlaufplan Funktionsplan

219/1. Schwenkantrieb

PneumatikplanPosition 0° ‡ 1S1Position 180° ‡ 1S2

142 Pneumatik, Hydraulik, Automatisierungstechnik: Logische Verknüpfungen

1V2

1

2

3

1V1

1S2

1S1

1

12

1

1S3

1S2

1S1

1V3

1V4

1A2

31

131

2 2

31

24

5

14

219/3. Pneumatische Steuerung

Funktionsplan Pneumatikplan

3

1V1

1S2

1V3

1

2

1

12

1

1S3

1V4

1A

2

31

131

2 2

31

24

5

1S4

31

2

12

1

1V2

1S1 1S2

1V5

1S1

14

Bild 219/1: Schwenkantrieb

15

4

3

2

1A1

1V2 1V3

1V1

1M1

+ 24 V

0 V

1 2 3

3 13 23

4 14 24

1

2

S1

S2

23

K1 K1

K1 1M1A1

A2

+

-

S2

&K1

S1

1

>1

14

&

1S2 1

14&

1S1

1S4

1S3>1

>1

6.2.4 Selbsthalteschaltungen

Funktionsgleichung: K1 = (S1 ∂ K1) _ 3S2

Page 143: Rechenbuch Metall Lösungen

219/5. Steuerung eines Drehstrommotors

a) Die Selbsthaltung ist dominierend löschend. Über S2 wird die Selbsthaltung gesetzt.Q1 zieht an; der Hilfsschließer bringt die Schaltung in Selbsthaltung. Gleichzeitig wer-den im Hauptstromkreis die Schützkontakte der drei Phasen L1, L2 und L3 geschlossen.Mit S1 wird die Selbsthaltunggelöscht. Schütz Q1 fällt ab, diedrei Phasen werden unterbrochen.

b) Funktionsplan

Pneumatik, Hydraulik, Automatisierungstechnik: Logische Verknüpfungen 143

6

&Q1>1

S1

S2

1

219/4. Gitterabsperrung

Funktionsgleichung: K1 = (((S1 ∂ S2) _ 1S1) ∂ K1) _ (3S3 _ 3S4)))

Funktionsplan Pneumatikplan

3

1V1

1S4

1V3

1

2

1

12

1

1S2

1V4

2

31

131

2 2

31

24

5

1S3

31

2

12

1

1V2

1A

1V5

1S5 2

31

1S1 1S1

Gitter

1V1

31

24

5

1A

1V2

1M1

S5

Gitter

+ 24 V

0 V

1 2 4

3 3 23

4 4 24

1

2

S1

S3

34

S2 K1

K1 1M1A1

A2

3

K1

13

14

1

2

S4

+

-

S5 3

4

&K1>1

>10

&

0

0

0

1

1

S1

S2

S3

S4

1 &S5

Pneumatikplan Stromlaufplan

Page 144: Rechenbuch Metall Lösungen

144 Elektrotechnik: Ohmsches Gesetz, Leiterwiderstand

7 Elektrotechnik

220/1. Spannung

U = I · R = 4,2 A · 12 O = 50,4 V

220/2. Strom

U 12 VI = ––– = ––––– = 3 AR 4 O

220/3. Widerstand

U 230 Va) R = ––– = –––––– = 35,94 O

I 6,4 A

b) Bei gleich bleibender Spannung verdoppelt sich der Strom

220/4. Spannungs-Strom-Schaubild

a) Bei U1 = 20 V abgelesen I1 = 0,8 A

bei U2 = 30 V abgelesen I2 = 1,2 A

bei U3 = 40 V abgelesen I3 = 1,6 A

bei U4 = 70 V abgelesen I4 = 2,8 A

bei U5 = 85 V abgelesen I5 = 3,4 A

U1 U2 Unb) R = ––– = ––– = ... = ––– = 25 OI1 I2 In

c)

221/1. Widerstand

O · mm20,0178 –––––––– · 44 m

r · Œ mR = ––––– = ––––––––––––––––––––– = 0,783 O

A 1 mm2

221/2. Freileitung

1 1 ma) g = ––– = –––––––––––––––– = 35,71 –––––––––

r O · mm2 O · mm20,028 –––––––––

m

Spannung U0 20 40 60 80 V 100

Str

om

Ü

0

1

2

3A4

12,5 Q

50 Q

Bild 220/4: Spannungs-Strom-Schaubild

7.1 Ohmsches Gesetz

7.2 Leiterwiderstand

Page 145: Rechenbuch Metall Lösungen

Elektrotechnik: Temperaturabhängige Widerstände 145

7

O · mm20,028 ––––––––– · 25 000 m

r · Œ mb) R = ––––– = –––––––––––––––––––––––––– = 7,37 O

A 95 mm2

221/3. Schaubild

a) Bei Œ1 = 5 m abgelesen R1 = 3 Obei Œ2 = 4,5 m abgelesen R2 = 2,7 Obei Œ3 = 2,8 m abgelesen R3 = 1,7 Obei Œ4 = 1,6 m abgelesen R4 = 1 O

O · mm21,37 ––––––––– · 5 m

r · Œ r · Œ mb) R = –––– ; A = –––––– = –––––––––––––––––––– = 2,28 mm2

A R1 3 O

222/1. Widerstandsänderung

1DR = R20 · a · Dt = 220 O · 0,0039 ––– · 28 K = 24,024 OK

mit Dt = t2 – t1 = 48 °C – 20 °C = 28 °C πDt = 28 K

222/2. Temperaturkoeffizient aDR = R20 · a · Dt;

DR 7,75 O 1a = –––––––– = –––––––––––––––– = 0,0036 –––R20 · Dt 107,79 O · 20 K K

mit Dt = t2 – t1 = 40 °C – 20 °C = 20 °C πDt = 20 K

DR = R40 – R20 = 115,54 O – 107,79 O = 7,75 O

222/3. Widerstandserhöhung

DR = R20 · a · Dt;

DR 3 ODt = –––––– = ––––––––––––––––– = 25,64 KR20 · a 130 O · 0,0039 ––

K

t = t20 + Dt = 20 °C + 25,64 °C = 45,64 °C

mit DR = 0,1 · 30 O = 3 O

222/4. Kennlinien Kaltleiter

Aus Bild 1Widerstandswert bei 120 °C; R120 = 15 OWiderstandsänderung: DR = R140 – R130 = 2 000 O – 80 O = 1 920 O

222/5. Kennlinien Heißleiter

Aus Bild 2Temperatur bei einem Widerstand von 60 kO:R20 = 10 kO: t (60 kO) = – 18 °C

R20 = 40 kO: t (60 kO) = 10 °C

Widerstand bei einer Temperatur von 60 °C:R20 = 10 kO. R60 = 2 000 OR20 = 40 kO: R60 = 7 000 O

7.3 Temperaturabhängige Widerstände

102

104

0 100 ¡C

Q

106

80604020 120t

R

t

105

103

—20

250kQ40kQ

10kQ

1kQ

2000

7000

60000

Bild 222/5: Kennlinien Heißleiter

Page 146: Rechenbuch Metall Lösungen

146 Elektrotechnik: Schaltung von Widerständen

223/1. Reihenschaltung

U 230 VR = R1 + R2 = 100 O + 150 O = 250 O; I = –– = ––––––– = 0,922 AR 250 O

223/2. Gesamtwiderstand

R = R1 + R2 + R3;R3 = R – (R1 + R2) = 1 300 O – (1 000 O + 200 O) = 1 300 O – 1 200 O = 100 O

223/3. Drei Widerstände

U2 75 V a) I = I2 = ––– = –––––– = 0,5 A

R2 150 O

b) U1 = I · R1 = 0,5 A · 50 O = 25 V

U3 = I · R3 = 0,5 A · 250 O = 125 V

c) U = U1 + U2 + U3 = 25 V + 75 V + 125 V = 225 V

d) R = R1 + R2 + R3 = 50 O + 150 O + 250 O = 450 Ooder

U 225 V R = –– = –––––– = 450 OI 0,5 A

223/4. Relaisschaltung

a) Berechnung der Spannung UH im Selbsthaltezustand

U 24 V 24 VWiderstand Relais RR : RR = ––– = ––––––– = ––––––––––– = 400 OIEin 60 mA 60 · 10–3 A

UH = RR · IH = 400 O · 45 mA = 400 O · 45 · 10–3 A = 18 V

b) Am Vorwiderstand Rv liegt die Spannung Uv = 24 V – 18 V = 6 V an

Uv 6 V 6 VRv = ––– = ––––––– = ––––––––––– = 133,33 O

IH 45 mA 45 · 10–3 A

226/1. Zwei Widerstände

R1 · R2 30 O · 30 O 900 O2

R = ––––––– = –––––––––––– = ––––––– = 15 R1 + R2 30 O + 30 O 60 O

1 1 1 1 1 2 1oder –– = –– + ––– = ––––– + ––––– = ––––– = ––––––; R = 15 OR R1 R2 30 O 30 O 30 O 15 O

226/2. Gesamtwiderstand

R1 · R2R = –––––––;R1 + R2

R · (R1 + R2) = R1 · R2R · R1 + R · R2 = R1 · R2R1 · R2 – R · R2 = R · R1R2 · (R1 – R) = R · R1

R · R1 5 kO · 7 kO 35 kO2

R2 = –––––– = ––––––––––– = –––––– = 17,5 kOR1 – R 7 kO – 5 kO 2 kO

7.4 Schaltung von Widerständen

7.4.1 Reihenschaltung von Widerständen

7.4.2 Parallelschaltung und gemischte Schaltung von Widerständen

Page 147: Rechenbuch Metall Lösungen

1 1 1 1 1 1 1 1 7 – 5 2oder ––– = ––– + –––; ––– = ––– – ––– = ––––– – –––––– = –––––– = –––––––;R R1 R2 R2 R R1 5 kO 7 kO 35 kO 35 kO

35 kOR2 = –––––– = 17,5 k2

226/3. Parallelschaltung

U 100 V U 100 Va) I1 = ––– = –––––––– = 1,25 A; I2 = ––– = –––––– = 0,5 A

R1 80 O R2 200 OI3 = I – (I1 + I2) = 2 A – (1,25 A + 0,5 A) = 2 A – 1,75 A = 0,25 A

b) Bei einer Parallelschaltung liegt an jedem Widerstand die gleiche Spannung an. Des-halb fließt durch den kleinsten Widerstand der größte Strom.

U 100 Vc) R3 = ––– = –––––– = 400

I3 0,25 A

226/4. Heizwiderstände

I 13 A U1 230 V a) I1 = –– = ––––– = 3,25 A; R1 = ––– = –––––– = 70,8 O

4 4 I1 3,25 A

R1 70,8 Ob) Stufe 1: zwei Widerstände parallel: R = –– = –––––– = 35,4 O

n 2 R1 70,8 O

Stufe 2: drei Widerstände parallel: R = –– = –––––– = 23,6 On 3 R1 70,8 O

Stufe 3: vier Widerstände parallel: R = –– = –––––– = 17,7 On 4

c) Stufe 1: I = I1 · n = 3,25 A · 2 = 6,5 A

Stufe 2: I = I1 · n = 3,25 A · 3 = 9,75 A

Stufe 3: I = I1 · n = 3,25 A · 4 = 13 A

226/5. Hydraulikventil

a) Bei Parallelschaltung liegt an allen Spulen die gleiche Spannung U = 24 V an.

U 24 Vb) I1 = I2 = I3 = I4 = I5; I1 = ––– = ––––– = 0,5 A

R1 48 OI = I1 + I2 + I3 + I4 + I5 = 5 · 0,5 A = 2,5 A

c) Die Kontrolllampe ist parallel zur Spule zu schalten.Würde sie in Reihe mit der Spule geschaltet, so würde bei einem Defekt der Lampe an derSpule keine Spannung anliegen, bei nicht defekter Lampe würden sich die 24 V Span-nung entsprechend den Widerständen von Spule und Lampe aufteilen.

Bei Parallelschaltung von Spule und Lampe gilt:

RS · RL 48 O · 8 O 384 O2

RSL = ––––––– = –––––––––– = –––––– = 6,86 ORS + RL 48 O + 8 O 56 O

U 24 VI = ––––– = –––––– = 3,5 ARSL 6,86 O

Würde zu jeder Spule eine Kontrolllampe geschaltet, so würde ein Gesamtstrom von I = 5 · 3,5 A = 17,5 A fließen. Dies könnte zu einer Überlastung des Stromzweiges führen;es müsste deshalb in Reihe zur Lampe ein Vorwiderstand geschaltet werden.

� Gemischte Schaltung von Widerständen

226/6. Gemischte Schaltung

R2 · R3 100 O · 25 Oa) R = R1 + R23 = R1 + ––––––– = 70 O + –––––––––––––– = 70 O + 20 O = 90 O

R2 + R3 100 O + 25 O

Elektrotechnik: Schaltung von Widerständen 147

7

Page 148: Rechenbuch Metall Lösungen

b) U2 = U3 = R3 · I3 = 25 O · 2 A = 50 V

U2 50 VI2 = –––– = –––––– = 0,5 A

R2 100 OI1 = I2 + I3 = 0,5 A + 2 A = 2,5 A

c) U1 = I1 · R1 = 2,5 A · 70 O = 175 V; U2 = 50 V siehe b)

U = U1 + U2 = 175 V + 50 V = 225 V

226/7. Netzwerk

● U 12 Va) RGes = R12345 = ––– = –––––– = 20 O

I 0,6 A

R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R

R23 = R2 + R3 = R + R = 2 · R

R23 · R4 2R · R 2R234 = –––––––– = ––––––– = –– R

R23 + R4 2R + R 3

2 5R1234 = R234 + R1 = –– R + R = –– R3 3

5–– R · RR1234 · R5 3 5 5

R12345 = –––––––––– = ––––––––– = –– R; –– R = 20 O; R = 32 OR1234 + R5 5 8 8

–– R + R3

b) R5 liegt parallel zum Zweig mit den Widerständen R1234π U5 = 12 V

U5 12 VI5 = ––– = –––––– = 0,375 A;

R5 32 OStrom durch R1: I1 = 0,6 A – 0,375 A = 0,225 AU1 = R1 · I1 = 32 O · 0,225 A = 7,2 V

Spannung an R4: U4 = 12 V – 7,2 V = 4,8 Vπ Spannung U23 an R23 = U4 = 4,8 V

Spannung an R3: 1Spannung U2 an R2 = Spannung U3 an R3; U3 = ––– · U421U3 = –– · 4,8 V = 2,4 V2

226/8. Relaisschaltung

● a) Taster geöffnet: Urel = Rrel · I = 3 kO · 8 mA = 3 000 O · 8 · 10–3 A = 24 V

U1 = U – Urel = 48 V – 24 V = 24 V

U1 U1 24 V 24 V R1 = ––– = ––– = ––––– = ––––––––– = 3 000 O = 3 kO

I1 I 8 mA 8 · 10–3 A

Taster schlossen: Urel = 24 V – 8 V = 16 V

Urel 16 V 16 V I1 = –––– = ––––– = ––––––––– = 5,33 · 10–3 A = 5,33 mA

Rrel 3 kO 3 · 103 OU – Urel 48 V – 16 V 32 V 32 V

I = ––––––– = ––––––––––– = ––––– = –––––––– = 10,66 mA R1 3 kO 3 kO 3 · 103 O

I2 = I – I1 = 10,66 mA – 5,33 mA = 5,33 mA

Urel 16 V 16 V R2 = –––– = –––––––– = –––––––––––– = 3 · 103 O = 3 kO

I2 5,33 mA 5,33 · 10–3 A

Urel 16 V 16 V b) Irel = –––– = ––––– = –––––––– = 5,3 · 10–3 A = 5,3 mA

Rrel 3 kO 3 · 103 O

148 Elektrotechnik: Schaltung von Widerständen

Page 149: Rechenbuch Metall Lösungen

Elektrotechnik: Elektrische Leistung bei Gleichspannung 149

7

228/1. Fahrradfrontbeleuchtung

P = U · I = 10,5 V · 0,57 A = 7,875 W

228/2. Halogenlampe

U U 12 Va) I = –––; R = ––– = ––––––– = 1,92 O

R I 6,25 A

b) P = U · I = 12 V · 6,25 A = 75 W

228/3. Leistungsberechnung

P = I2 · R = (0,3 A)2 · 400 O = 360 W

228/4. Widerstand

U 2 U 2 (230 V)2a) P = –––; R = –––– = ––––––––– = 881,7 O

R P 60 W

b) P2 = n · P1 = 0,18 · 60 W = 10,8 W

228/5. Leistungsschild

P1 = U · I = 230 V · 75 A = 17 250 W = 17,25 kW

P2 14,85 kWn = ––– = ––––––––– = 0,86 (= 86 %)

P1 17,25 kW

228/6. Magnetventil

P 12 Wa) P = U · I ; I = ––– = ––––––– = 0,5 A = 500 mA

U 24 V

U Ub) IL = IS = IGes = ––––– = –––––––

RGes RL + RS

U2 (24 V)2R L = ––– = ––––––– = 288 O

P 2 W

U2 (24 V)2RS = ––– = ––––––– = 48 O

P 12 W

RGes = RL + RS = 288 O + 48 O = 336 O

24 VIL = IS = ––––––– = 0,0714 A = 71,4 mA336 O

Anmerkung: Aufgrund des geringen Stromflusses könnte die magnetische Kraft nichtmehr ausreichen, um das Magnetventil zu schalten. Deshalb darf die Lampe nicht inReihe zur Spule geschaltet sein, sondern sie ist parallel zur Spule zu schalten.

228/7. Starter

a) Pzu = U · I = 10 V · 222 A = 2 220 W = 2,22 kW

Pab 1,12 kWb) n = –––– = ––––––––– = 0,504 (= 50,4 %)

Pzu 2,22 kW

228/8. Gemischte Schaltung

● a) Parallelschaltung π U = U1 = U2 = U34I4 = I3 = 3 mAU = U34 = I4 · (R3 + R4) = 3 · 10–3 A · (3 000 O + 4 000 O) =

= 3 · 10–3 A · (7 000 O) = 21 V

R L

R S

U =

24

V

Bild 228/6: Magnetventil, Reihen-schaltung

7.5 Elektrische Leistung bei Gleichspannung

Page 150: Rechenbuch Metall Lösungen

150 Elektrotechnik: Elektrische Leistung bei Gleichspannung

U2b) P = –––;

R

1 1 1 1–– = ––– + ––– + –––– R R1 R2 R34

1 1 1= –––––––– + –––––––– + ––––––––

1 000 O 2 000 O 7 000 O23

= –––––––––––;14 000 O

14 000 OR = ––––––––– = 608,7 O23

(21 V)2P = –––––––– = 0,7245 W

608,7 O

228/9. Leistungshyperbel

● a) Die höchstzulässige Spannungbeträgt U = 47 V

Der höchstzulässige Strombeträgt I = 21,5 mA

U2b) Rechnerische Ermittlung der Daten mit P = ––– = I2 · R

R����� ���������������1 kO: U = � P · R = �0,5 W · 1 000 O = 22,36 V

��� ���������P 0,5 WI = � –– = � –––––––– = 0,0223 A = 22,3 mAR 1 000 O

����� ���������������5 kO: U = � P · R = �0,5 W · 5 000 O = 50 V

��� ���������P 0,5 WI = � –– = � –––––––– = 0,01 A = 10 mAR 5 000 O

U

0

10

2021,5

30

40

mA

50

Ü

0 20 40 60 80 100V47

R = 470 Q R = 1 kQ

R = 2,2 kQ

R = 4,7 kQ

R = 10 kQ

P = 1 W

Bild 228/9a: Leistungshyperbel für 1-Watt-Widerstände

U

0

mA

Ü

0 V

R = 1 kQ

R = 5 kQ

10 20 30 40 50 60

10

20

30

22,3

22,3

Bild 228/9b: Leistungshyperbel für 0,5-Watt-Widerstände

Page 151: Rechenbuch Metall Lösungen

Elektrotechnik: Wechselspannung und Wechselstrom 151

7

230/1. Frequenz der DB

1 1a) T = –– = –––––––––– = 0,06 s = 60 ms

f 2 116 –– ––3 s

2 1b) w = 2 · p · f = 2 · p · 16 –– –– = 104,72 s–1

3 s

230/2. Periodendauer

1 1 1a) f = ––– = –––––––––– = 20 –– = 20 Hz

T 50 · 10–3 s1

b) w = 2 · p · f = 2 · p · 20 –– = 125,66 s–1

s

230/3. Kreisfrequenz

1w = 2 · p · f = 2 · p · 100 –– = 628,32 s–1

s

230/4. Oszillogramm

a) Aus Bild 2 ergeben sich für eine Periode 4 Skt. Nach dem Maßstab gilt

msT = 4 Skt · 50 –––– = 200 msSkt

1 1b) f = –– = –––––––––– = 5 s–1 = 5 Hz

T 20 · 10–3 s

1c) w = 2 · p · f = 2 · p · 5 –– = 31,41 s–1

s

230/5. Autoradio

1a) wA = 2 · p · fA = 2 · p · 87,5 · 106 –– = 549,78 · 106 s–1

s1wE = 2 · p · fE = 2 · p · 108 · 106 ––– = 678,58 · 106 s–1

s1 1

b) TA = ––– = –––––––––––––– = 0,01142 · 10–6 s = 11,42 · 10–9 sfA 187,5 · 106 –––

s1 1TE = ––– = –––––––––––– = 0,009259 · 10–6 s = 9,26 · 10–9 sfE 1108 · 106 ––

s

231/6. Momentanwert der Stromstärke

Aus Bild 1: Imax = 1,8 A; T = 40 ms

2 · p 2 · pi = Imax · sin (w · t) = Imax · sin ( ––––– · t ) = 1,8 A · sin ( ––––––– · 17 ms) =T 40 ms

= 1,8 A · 0,454 = 0,817 A = 817 mA (Rechner auf RAD)

231/7. Sinusförmige Wechselspannung

1u = Umax · sin (2 · p · f ) = 325 V · sin (2 · p · 50 –– · t )sa) (Rechner auf RAD)

Zeitpunkt t1 t2 t3 t4 t5

u in Volt 100,4 262,9 325 262,9 0

Zeitpunkt t6 t7 t8 t9 t10

u in Volt –100,4 –269,2 –325 –269,2 0

7.6 Wechselspannung und Wechselstrom

Page 152: Rechenbuch Metall Lösungen

152 Elektrotechnik: Wechselspannung und Wechselstrom

b)

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

t

ms

U100

200

300

350

0

V

-100

-200

-300

-350

Bild 231/7: Wechselspannung

231/8. Momentanwert der Spannung (Rechner auf RAD eingestellt)

uu = Umax · sin (2 · p · f · t); ––––– = sin (2 · p · f · t );Umax

u 110 Varcsin ––––– arcsin ––––––––u Umax 155,5 V

arcsin ––––– = 2 · p · f · t ; t = –––––––––––– = ––––––––––––––––– =Umax 2 · p · f 12 · p · 60 ––

s0,7857= –––––––––––– = 2,08 · 10–3 s = 2 ms (Rechner auf RAD)

12 · p · 60 ––s

Der Momentanwert u = 110 V tritt immer 2 ms nach dem Nulldurchgang ein. Nach Über-schreiten der Maximalspannung ergibt sich ein weiterer Momentanwert von 110 V. Dieserliegt 2 ms vor dem nächsten Nulldurchgang (am Ende der positiven Halbwelle).

Berechnung des zweiten Zeitpunktes

ms1 000 –––1 1 s 2Periodendauer T = –– = ––––– = ––––––––– = 16,6 ms = 16 –– msf 1 1 360 –– 60 ––

s s

T 2 1Nulldurchgang bei –– = 16 –– ms : 2 = 8 –– ms2 3 3

T 1 2 ms vor Nulldurchgang: –– – 2 ms = 8 –– ms 2 3

1– 2 ms = 6 –– ms = 6,3 ms3

Anmerkung: Bei vielen Rechnern wird der arcsin als sin–1 angegeben.

–100

0

100

u

t0,004 0,012

2 ms 6,3 ms

u = 155,5 · sin(2 · p · 60 · t)

0,008

Bild 231/8

Page 153: Rechenbuch Metall Lösungen

Elektrotechnik: Wechselspannung und Wechselstrom 153

7

231/10. Maximalwert

Umax 34 VUmax = ��2 Ueff; Ueff = ––––– = ––––– = 24 V

��2 ��2

Imax 0,6 AImax = ��2 · Ieff; Ieff = ––––– = –––––– = 0,424 A

��2 ��2

231/11. Sinusförmige Wechselspannung (Rechner auf RAD eingestellt)i 20 A 20 A

a) i = Imax · sin (2 · p · f · t); Imax = ––––––––––––––– = ––––––––––––––––––––––––––– = ––––––– = 34 Asin (2 · p · f · t) 1 0,5877sin (2 · p · 50 –– · 2 · 10–3 s)s

Imax 34 Ab) Imax = ��2 · Ieff; Ieff = ––––– = –––––– = 24 A

��2 ��2

1c) i = Imax · sin (2 · p · f · t) = 34 A · sin (2 · p · 50 –– · 3 · 10–3 s) = 27,5 A

s

i id) i = Imax · sin (2 · p · f · t); –––– = sin (2 · p · f · t ); arcsin –––– = 2 · p · f · t;

Imax Imax

i 10 Aarcsin ––––– arcsin ––––––Imax 34 A

t = ––––––––––––– = –––––––––––––– = 0,95 ms2 · p · f 1

2 · p · 50 ––s

231/12. Zündtrafo

UPrüf = 2,5 · 10 kV = 25 kV;

Umax = ��2 · UPrüf = ��2 · 25 kV = 35,35 kV

231/13. Oszillogramm

Aus Bild 2

a) Umax = 3 Skt; Umax = 30 V

Umax 30 Vb) Umax = ��2 · Ueff; Ueff = ––––– = ––––– = 21,2 V

��2 ��2 ms

c) T = 4 Skt · 5 –––– = 20 ms = 20 · 10–3 sSkt

1 1 1f = –– = ––––––––––– = 50 –– = 50 Hz

T 20 · 10–3 s s

231/9. Effektivwerte

Umax = ��2 · Ueff;

a) Umax = ��2 · 0,6 V = 0,848 V

b) Umax = ��2 · 110 V = 155,56 V

c) Umax = ��2 · 10 000 V = 14 142,13 V

Imax = ��2 · leff

a) Imax = ��2 · 2 A = 2,83 A

b) Imax = ��2 · 3 · 10–3 A = 4,24 · 10–3 A = 4,24 mA

c) Imax = ��2 · 100 · 10–6 A = 1,414 · 10–4 A = 0,1414 mA

Page 154: Rechenbuch Metall Lösungen

154 Elektrotechnik: Elektrische Leistung bei Wechselstrom und Drehstrom

230 Varcsin ––––––––––325,27 Vt230 = ––––––––––––––––––– = 2,5 · 10–3 s = 2,5 ms (Rechner auf RAD)

12 · p · 50 ––s

Imax 150 mAd) Imax = ��2 · Ieff; Ieff = ––––– = ––––––––– = 106 mA

��2 ��2

Ueff Ueff 230 Ve) Ieff = ––––; R = –––– = ––––––––––– = 2 169,8 O = 2,17 k

R Ieff 106 · 10–3A

� Elektrische Leistung bei Wechselstrom

233/1. Verbraucher

P 60 WP = U · I · cos j; I = ––––––––– = ––––––––––––– = 0,37 AU · cos j 230 V · 0,7

233/2. Leistungsschild Wechselstrommotor

a) P1 = U · I · cos j = 230 V · 1,4 A · 0,98 = 315,56 W 0,316 kW

P2 0,24 kWb) n = ––– = –––––––––– = 0,759

P1 0,316 kW

233/3. WechselstrommotorP 950 WP = U · I · cos j; cos j = ––––– = –––––––––––––––– = 0,607

U · I 230 V · 6,8 A

233/4. Wechselstromnetz

a) P1 = U · I · cos j = 230 V · 14 A · 0,8 = 2 576 W

b) P2 = P1 · n = 2 576 W · 0,9 = 2 318,4 W 2,32 kW

233/5. Schweißumformer

● PM = Leistung des Motors; PG = Leistung des GeneratorsPM2 = PM1 · nM = 7 500 W · 0,85 = 6 375 WPM2 = PG1 = 6,375 kWPG2 = PM2 · nG = 6 375 W · 0,9 = 5 737,5 W

PG2 5 737,5 WUG = –––– = –––––––---– = 16,39 V

I 350 A

7.7 Elektrische Leistung bei Wechselstrom und Drehstrom

231/14. Wechselstrom (Rechner auf RAD eingestellt)

● Imax = 150 mA; Ueff = 230 V; f = 50 Hz

1a) i = Imax · sin (2 · p · f · t) = 150 mA · sin (2 · p · 50 –– · 5 · 10–3 s) = 150 mA · 1 = 150 mA = ¬maxs

b) Umax = ��2 · Ueff =��2 · 230 V = 325,27 V

c) Umax = ��2 · 230 V = 325,27 V; u = Umax · sin (2 · p · f · t );

uarcsin –––––u Umax–––––– = sin (2 · p · f · t); t = –––––––––––––;

Umax 2 · p · f100 Varcsin ––––––––––

325,27 Vt100 = ––––––––––––––––––– = 9,95 · 10–4 s = 0,995 ms12 · p · 50 ––s

Page 155: Rechenbuch Metall Lösungen

Elektrotechnik: Elektrische Arbeit und Energiekosten 155

7

234/1. Elektromotor

W = P · t = 3 500 W · 8,5 h = 29 750 W · h = 29,75 kW · h

234/2. Glühlampe

W 1 000 W · hW = P · t; t = ––– = –––––––––––– = 16,67 h = 16 h 40 min 12 sP 60 W

234/3. Standby

W = P · t = 3 W · 365 · 15 h = 16 425 W · h = 16,425 kW · h

EURK = W · KP = 16,425 kW · h · 0,20 ––––––– = 3,285 3,29 EURkW · h

234/4. Leistungsschild

W = U · I · cos j = 230 V · 18 A · 0,85 = 3 519 W 3,52 kW

W = P · t = 3,52 kW · 6,5 h = 22,88 kW · h

EURK = W · KP = 22,88 kW · h · 0,20 ––––––– = 4,576 4,58 EURkW · h

234/5. Drehstrommotor

P = ��3 · U · I · cos j = ��3 · 400 V · 15,8 A · 0,81 = 8 856,2 W 8,86 kW

W = P · t = 8,86 kW · 8,33 h = 73,80 kW · h

EURK = W · KP = 73,8 kW · h · 0,20 ––––––– = 14,76 EURkW · h

7.8 Elektrische Arbeit und Energiekosten

� Elektrische Leistung bei Drehstrom

233/6. Leistungsschild Drehstrommotor

P = ��3 · U · I · cos j = ��3 · 400 V · 30,5 A · 0,85 = 17 940,1 W 18 kW

233/7. Fräsmaschinenmotor

P2 5 500 Wa) P1 = ––– = –––––––– = 6 790,1 W 6,79 kW

n 0,81

P1 6 790 Wb) P1 = ��3 · U · I · cos j; I = –––––––––––––– = ––––––––––––––––– = 11,82 A

��3 · U · cos j ��3 · 400 V · 0,83

233/8. Vierleiter-Drehstromnetz

a) P = ��3 · U · I cos j = ��3 · 400 V · 1,2 A · 0,86 = 714,14 W

P2 550 Wb) n = ––– = –––––––––– = 0,77

P1 714,14 W

233/9. Schweißaggregat

P2 18 000 WP1 = ––– = ––––––––– = 20 000 W

n 0,9

P1 20 000 WP1 = ��3 · U · I · cos j; I = –––––––––––––– = –––––––––––––––– = 36,12 A

��3 · U · cos j ��3 · 400 V · 0,8

233/10. Aufzug● F · s 3 000 N · 18 m

a) PM2 = –––––– = –––––––––––––– = 3 913 W = 3,913 kWt · nA 20 s · 0,69

b) PM2 = PM1 · n; PM2 = ��3 · U · I · cos j · nM;

PM2 3 913 WI = –––––––––––––––– = –––––––––––––––––––– = 7,391 A 7,4 A

��3 · U · cos j · nM ��3 · 400 V · 0,9 · 0,85

Page 156: Rechenbuch Metall Lösungen

156 Elektrotechnik: Transformator

235/1. Schutztransformator

U1 N1 U1 · N2 230 V · 913––– = –––; N1 = ––––––– = ––––––––––– = 5 000U2 N2 U2 42 V

235/2. Leerlaufspannung

U1 N1 U1 · N2 230 V · 70––– = –––; U2 = ––––––– = ––––––––––– = 100,62 VU2 N2 N1 160

235/3. Schweißtransformator

U1 230 Va) ü = ––– = –––––– = 3,965 4

U2 58 V

N1b) ü = –––; N1 = ü · N2 = 4 · 70 = 280

N2

235/4. Klingeltransformator

U1 I2 I2 · U2 2,5 A · 12 Va) ––– = –––; I1 = –––—– = –––––––––––– = 0,13 A

U2 I1 U1 230 V

I1 · U1 0,13 A · 230 Vb) für 10 V: I2 = ––––––– = –––––––––––––– = 2,99 A

U2 10 V

U1 230 Vü = ––– = –––––– = 23

U2 10 V

I1 · U1 0,13 A · 230 Vfür 8 V: I2 = –––––– = –––––––––––––––– = 3,74 A

U2 8 V

U1 230 Vü = ––– = –––––– = 28,75

U2 8 V

7.9 Transformator

234/6. Leistungsschild

● a) Erforderliche Wärmemenge Q = c · m · Dt

kJQ = W2 Q = 4,18 ––––––– · 5 kg · 86 °C = 1 797,4 kJkg · °C

1 J = 1 W · s; W2 = 1 797,4 kJ = 1 797,4 · 103 W · s = 1,797 · 106 W · s 1,8 · 106 W · s

W2 1,8 · 106 W · s 1 kW 1 hW1 = –––– = –––––––––––––– 2,25 · 106 W · s · –––––––– · ––––––– = 0,625 kW · h

n 0,8 1 000 W 3 600 s

W1 2,25 · 106 W · s 1 125 sb) W1 = P1 · t; t = ––– = –––––––––––––––– = 1,125 · 103 s = ––––––––– = 18,75 min

P1 2,0 · 103 W s60 –––––min

U2 U2 (230 V)2 52 900 V2 V2 Vc) P1 = –––; R = ––– = ––––––––– = –––––––––– = 26,45 ––––– = 26,45 –– = 26,45 O

R P1 2 000 W 2 000 W V · A A

r · Œ R · A 26,45 O · 0,503 mm2

R = –––––; Œ = ––––– = –––––––––––––––––––––– = 9,5 mA r O · mm2

1,4 –––––––––m

Page 157: Rechenbuch Metall Lösungen

Aufgaben zur Wiederholung und Vertiefung: Lehrsatz des Pythagoras, Winkelfunktionen 157

8

8 Aufgaben zur Wiederholung und Vertiefung

236/1. Platte

��������a) x = �342 – 182 mm – 6,4 mm = 22,44 mm

��������b) x = �342 – 182 mm – 6,6 mm = 22,24 mm

18 mmc) cos a = ––––––– = 0,5294; a = 58,03°

34 mm

236/2. Flansch

58y = 30 mm + –– mm · sin 45° = (30 + 20,51) mm = 50,51 mm2

58x = 30 mm – –– mm · sin 45° = (30 – 20,51) mm = 9,49 mm2

58 36,2 8a = –– mm – (–––– + ––) mm = 29 mm – 22,1 mm = 6,9 mm2 2 2

236/3. Konsole

Œ1 Œ1 2 500 mm a) cos a = ––; Œ2 = ––––– = –––––––––– = 3 264 mm

Œ2 cos a cos 40°

b) Œ3 = �����Œ22 – Œ1

2 = ����������3 2642 – 2 5002 mm = 2 098 mm

mc) FG = m · g = 10 000 kg · 9,81 –– = 98 100 N

s2

FG FG 98 100 N Zugstab: tan a = –––; F1 = ––––– = ––––––––– F1 tan a tan 40°

= 116 911 N

FG FG 98 100 N Druckstab: sin a = –––; F2 = ––––– = ––––––––– = 152 617 N

F2 sin a sin 40°

236/4. Schwalbenschwanzführung

18 mma) b = 25 mm + 2 · ––––––– = 45,78 mm

tan 60°5 mm

b) x = 45,78 mm – 2 · (5 mm + ––––––– ) = 45,78 mm – 27,32 mm = 18,46 mmtan 30°

236/5. Prisma

x2 = R2 + R2 = 2 · R2

x = R · ��2 = 18 mm · ��2 = 25,456 mm

x 25,456 mmy = –– = ––––––––––– = 12,728 mm2 2

y‘ = (43 – 18 + 12,728) mm = 37,728 mm

x‘ = y ‘ = 37,728 mm

xx1 = 60 mm – (–– + x‘)2

25,456= 60 mm – (––––––– + 37,728) mm 2

= 9,544 mm

x

y

43

60

x '

y '

P1 P4

P2 P3

R R

Bild 236/5: Prisma

a =40°

F2

FG

F1

Bild 236/3: Konsole

8.1 Lehrsatz des Pythagoras, Winkelfunktionen

Page 158: Rechenbuch Metall Lösungen

158 Aufgaben zur Wiederholung und Vertiefung: Längen, Flächen, Volumen, Masse und Gewichtskraft

x2 = 60 mm – 12,728 mm = 47,272 mm

x3 = 60 mm + 12,728 mm = 72,728 mm

25,456x4 = 60 mm + ––––––– mm + 37,728 mm = 110,456 mm2

y1 = 62 mmy2 = (62 – 37,728) mm = 24,272 mm

y3 = y2 = 24,272 mm

y4 = y1 = 62 mm

237/1. Aufteilen eines Flachstabes

DŒ = L – (Œ1 + Œ2 + Œ3 + Œ4 + Œ5 + Œ6) – 6 · b= 3 000 mm – (25 + 90 + 137 + 1 210 + 685 + 792) mm – 6 · 2,5 mm= 3 000 mm – 2 939 mm – 15 mm = 46 mm

237/2. Masse von Normprofilen, Blechen und Rohren

a) m‘ = 5,41 kg/m; m = m‘ · Œ = 5,41 kg/m · 40 m = 216,4 kg

b) m“ = 35,4 kg/m2; m = m“ · A = 35,4 kg/m2 · 125 m2 = 4 425 kg

c) m‘ = 3,393 kg/m; m = m‘ · Œ = 3,393 kg/m · 85 m = 288,4 kg

237/3. Haken

p · dm1 · a1 p · 19 mm · 300°a) Œ1 = ––––––––––– = –––––––––––––––– = 49,74 mm; Œ2 = 40,00 mm

360° 360°p · dm3 · a3 p · 13 mm · 270°

Œ3 = ––––––––––– = –––––––––––––––– = 30,63 mm360° 360°

L = Œ1 + Œ2 + Œ3 = (49,74 + 40,00 + 30,63) mm = 120,37 mm ≈ 120 mm

p · d2 p · (0,3 cm)2b) V = A · Œ = –––––– · Œ = –––––––––––– · 12 cm = 0,848 cm3

4 4m = n · V · r = 2 500 · 0,848 cm3 · 7,85 g/cm3 = 16 642 g ≈ 16,6 kg

237/4. Rohrhalter

a) L = Œ1 + Œ2 + Œ3 + Œ4 + Œ52p · 13,5 mm · 64,62° p · 43 mm · 299,77° 2p · 13,5 mm · 55,15°= 18,38 mm + –––––––––––––––––––––– + –––––––––––––––––––– + ––––––––––––––––––––––

360° 360° 360°+ (50 mm – 28,72 mm)

= 18,38 mm + 15,23 mm + 112,49 mm + 12,99 mm + 21,28 mm = 180,37 mm ≈ 180 mm

b) m= V · r = A · L · r = 3 cm · 0,3 cm · 18 cm · 2,7 g/cm3 = 43,74 g

237/5. Blechteil

Œ1 + Œ2 p · d 2 8 + 6 p · 32

a) A = 2 · (––––– · b – ––––– ) = 2 · ( ––––– · 12 – ––––– ) cm2 = 154 cm2

2 4 2 4g

b) m = A · s · r · i = 154 cm2 · 0,0005 cm · 8,9 –––– · 1 650 = 1 131 gcm3

237/6. Abschreckbehälter

a) V = Œ · b · h = 2,0 m · 1,2 m · 0,7 m = 1,68 m3

Vp 1,450 m3

b) h1 = –––– = ––––––––––––– = 0,604 mŒ · b 2,0 m · 1,2 m

Dh = h – h1 = 0,7 m – 0,604 m = 0,096 m = 96 mm

tc) m = V · r = 1,450 m3 · 0,85 ––– = 1,233 t = 1 233 kg

m3

8.2 Längen, Flächen, Volumen, Masse und Gewichtskraft

Page 159: Rechenbuch Metall Lösungen

Aufgaben zur Wiederholung und Vertiefung: Dreh- und Längsbewegungen, Getriebe 159

8

237/7. Blasenspeicher

a) Halbkugeln:p · d 3 p · (2,80 dm)3

V1 = –––––– = –––––––––––––– = 11,494 dm3

6 6Zylinder:

p · d2 p · (2,80 dm)2V2 = ––––– · h = –––––––––––––– · 4 dm = 24,630 dm3

4 4V = V1 + V2 = 11,494 dm3 + 24,630 dm3 = 36,124 dm3 ≈ 36 “

b) 2 Halbkugeln:A1 = p · dm

2 = p · (2,85 dm)2 = 25,518 dm2

Zylinder:A2 = p · dm · h = p · 2,85 dm · 4 dm = 35,814 dm2

A = A1 + A2 = 25,518 dm2 + 35,814 dm2 = 61,332 dm2

V = A · s = 61,332 dm2 · 0,05 dm = 3,0666 dm3

m = V · r = 3,0666 dm3 · 7,85 kg/dm3 = 24,073 kg ≈ 24 kgmFG = m · g = 24,073 kg · 9,81 –––– ≈ 236 Ns2

238/1. Umfangsgeschwindigkeit

2 800 1 ma) vc = p · d · n = p · 0,25 m · –––––– –– = 36,7 –––

60 s s

vc zul wird überschritten.

m s25 –– · 60 ––––vc s min

b) d = ––––– = –––––––––––––– ≈ 0,17 m = 170 mmp · n 1p · 2 800 ––––

min

238/2. Zeigerantrieb

a) da = m · (z + 2) = 1,5 mm · (20 + 2) = 33 mm

b) h = 2,25 · m = 2,25 · 1,5 mm ≈ 3,38 mm

n2 · z2 360° · 20c) n1 · z1 = n2 · n2; z1 = –––––– = ––––––––– = 120 Zähne (am gedachten ganzen Umfang)

n1 60°z1 = 120 Zähne ist die an der Verzahnungsmaschine einzustellende Zähnezahl.

z1 + z2 120 + 20d) a = m · –––––– = 1,5 mm · –––––––– = 105 mm

2 2

238/3. Riementriebm35 ––

vc s 1 1a) n = ––––– = –––––––––– = 85,7 –– = 5 142 ––––

p · d p · 0,13 m s min

12 800 ––––n1 min

b) d2 = –– · d1 = ––––––––––– · 120 mm = 65,3 mmn2 15 142 ––––

min

12 800 ––––n1 min

c) i = –– = ––––––––––– = 0,545n2 15 142 ––––

min

8.3 Dreh- und Längsbewegungen, Getriebe

Page 160: Rechenbuch Metall Lösungen

160 Aufgaben zur Wiederholung und Vertiefung: Kräfte, Arbeit und Leistung

238/4. Schneckentrieb

11 500 –––– · 2n1 · z1 min 1

a) n2 = ––––– = –––––––––––– = 50 ––––z2 60 min

11 500 ––––n1 min

b) i = –– = ––––––––– = 30n2 150 ––––

min

c) d = m · z2 = 2,5 mm · 60 = 150 mm

da = d + 2 · m = (150 + 2 · 2,5) mm = 155 mm

238/5. Gewindespindelantrieb

s 180 mma) n2 = –– = –––––––– = 30 Umdrehungen

P 6 mm

z1 1 24 1b) n2 = n1 · –– = 500 –––– · –– = 375 ––––

z2 min 32 min

1 mmvf = n2 · P = 375 –––– · 6 mm = 2 250 ––––min min

238/6. Kranantrieb

m150 ––––v min 1

a) n4 = ––––– = –––––––––– = 76 ––––p · d p · 0,63 m min

176 ––––n1 z2 · z4 n4 z2 · z4 min 71 · 72

b) –– = ––––– ; z3 = –– · ––––– = ––––––––– · ––––––– = 16n4 z1 · z3 n1 z1 1 17

1 420 ––––min

11 420 ––––n1 min 18,7

c) i = ––––– = ––––––––– = –––– = 18,7n4 1 176 ––––

min

z2 71 4,18 z4 72 4,50i1 = –– = ––– = –––– = 4,18 ; i2 = –– = ––– = –––– = 4,50

z1 17 1 z3 16 1

239/1. Kräfte beim Zerspanen

������� ��������������������a) Fr = �Fc

2 + Ff2 = �(1 600 N)2 + (550 N)2 = 1 692 N

Fc 1 600 Nb) tan a = –– = –––––––– = 2,9091; a = 71°

Ff 550 N

8.4 Kräfte, Arbeit und Leistung

Page 161: Rechenbuch Metall Lösungen

Aufgaben zur Wiederholung und Vertiefung: Kräfte, Arbeit und Leistung 161

8

239/2. Tragkette

a) FG = m · g = 2 500 kg · 9,81 m/s2 = 24 529 N = 24,529 kN

FS = FG = 24,529 kN

FGb) cos 30° = –––––

2 · Fk

FG 24,529 kNFk = ––––––––––– = –––––––––– = 14,2 kN

2 · cos 30° 2 · 0,8660

239/3. Spannpratze

a) Nach Tabelle 1 Seite 168 ist für die Vorspannkraft Fv = 39 900 N ein AnziehdrehmomentMA = 80 N · m bei einem Gewinde M12 erforderlich.

MA 80 000 N · mmb) MA = F · Œ; F = ––– = –––––––––––––– = 267 N

Π300 mm

F · Œ 40 000 N · 35 mmc) Drehpunkt linke Spannstelle: F2 = –––– = –––––––––––––––––– = 17 500 N

Œ2 (35 + 45) mm

F1 = F – F2 = 40 000 N – 17 500 N = 22 500 N

239/4. Gabelstapler

a) Gewichtskraft des Gabelstaplers FG = m · g = 1 700 kg · 9,81 m/s2 = 16 677 N = 16,677 kN ≈ 16,7 kN

F · Œ = FG · Œ1FG · Œ1 16,7 kN · 2 100 mm

F = –––––– = –––––––––––––––––––– = 29,23 kNŒ 1 200 mm

b) Gewichtskraft der Last von 2 t: F’ = m · g = 2 000 kg · 9,81 m/s2 = 19 620 N ≈ 19,6 kN Drehpunkt Vorderachse: SMl = SMr ; F’ · Œ + FH · Œ2 = FG · Œ1

FG · Œ1 – F’ · Œ 16,7 kN · 2 100 mm – 19,6 kN · 1 200 mmKraft auf Hinterachse: FH = –––––––––––– = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– = 3,3 kN

Œ2 3 500 mm

Kraft auf Vorderachse: Fv = F’ + FG – FH = 19,6 kN + 16,7 kN – 3,3 kN = 33 kN

239/5. Seilwinde

ma) Weg je Minute s = v · t = 0,2 –– · 60 s = 12 m

sm12 ––––

s min 1n = ––––– = ––––––––––– = 12,1 –––– an der Seiltrommelp · d p · 0,315 m min

1 40 1nK= n · i = 12,1 –––– · –– ≈ 40 –––– an der Kurbelmin 12 min

b) Gewichtskraft der Last von 120 kg: FG = m · g = 120 kg · 9,81 m/s2 = 1 177 NHubarbeit an der Last: W2 = FG · h = 1 177 N · 8,5 m = 10 005 N · m

W2 10 005 N · mc) Hubarbeit an der Kurbel: W1 = ––– = –––––––––––– = 15 392 N · m

n 0,65

s 8,5 md) Zeit für 8,5 m Hubhöhe: t = –– = –––––– = 42,5 s

v m0,2 ––s

W1 15 392 N · m N · mP = ––– = –––––––––––– = 362 ––––– = 362 W

t 42,5 s s

Fk = 28,4 mm @ 14,2 kN

MK =500 Nmm

Fk = 28,4 mm @ 14,2 kN

FG = 24,5 kN

Bild 239/2: Tragkette

Page 162: Rechenbuch Metall Lösungen

239/6. Schraubenverbindung

a) Nach Tabelle 1 der Seite 168 ergibt das Drehmoment MA ≈ 23 N · m an einem GewindeM8 eine Vorspannkraft Fv ≈ 17 200 N.

b) Vorspannkräfte aller Schrauben zusammen: F = n · Fv = 10 · 17 200 N ≈ 170 000 N Druckkraft im Zylinder F = A · pe

F 170 000 N N N 1 barInnendruck pe = –– = –––––––––––– = 1 385 –––– = 1 385 –––– · ––––––––– ≈ 139 barA p · 12,52 cm2 cm2 10 N/cm2

–––––––– cm2

4

162 Aufgaben zur Wiederholung und Vertiefung: Maßtoleranzen, Passungen und Teilen

240/1. Allgemeintoleranzen

Allgemeintoleranzen nach Tabelle:

10 ± 0,1; 62 ± 0,15; 14 ± 0,1

xmax = (10,1 + 62,15 – 13,9) mm = 58,35 mm

xmin = (9,9 + 61,85 – 14,1) mm = 57,65 mm

240/2. ISO-Toleranzen

Aus ISO-Toleranztabellen:

240/3. Wellenlagerung

xmax = 18,2 mm – 11,75 mm = 6,45 mm

xmin = 17,8 mm – 12,00 mm = 5,80 mm

240/4. Spritzgießwerkzeug

a) 20H7/h6: 20 +0,021/ 0 20 0/–0,013Höchstspiel: PSH = GoB – GuW = 20,021 mm –19,987 mm = 0,034 mm

Mindestspiel: PSM = GuB = GoW = 20,000 mm – 20,000 mm = 0 mm

b) 14H7/f7: 14 0/+0,018 14 –0,016/–0,034Höchstspiel: PSH = GoB – GuW = 14,018 mm – 13,966 mm = 0,052 mm

Mindestspiel: PSM = GuB = GoW = 14,000 mm – 13,984 mm = 0,016 mm

c) 20H7/r6: 20 0/+0,021 20 +0,041/+0,028Höchstübermaß: PüH = GuB – GoW = 20,000 mm – 20,041 mm = – 0,041 mm

Mindestübermaß: PüM = GoB – GuW = 20,021 mm – 20,028 mm = – 0,007 mm

240/5. Einstellknopf

i 40 2 8 LAa) nK = –– = –––– = –– = ––– –––

T 100 5 20 LK

6 LA 12 LAb) Weitere Möglichkeiten: nK = ––– ––– = ––– –––

15 LK 30 LK

Toleranzklasse 5 6 7 8 9

Toleranz in mm 13 19 30 46 74

ToleranzklasseTo

lera

nz

in u

m0

1319

30

46

74

Nennmaßbereichüber 50 bis 80 mm

5 6 7 8 9

Bild 240/2: Passungen

8.5 Maßtoleranzen, Passungen und Teilen

Page 163: Rechenbuch Metall Lösungen

b) Das Histogramm lässt auf eine Normalverteilung schließen, da es die Form einerGlockenkurve hat.

c) ø 11h9 → T = es – ei = 0 mm – (– 43 mm) = 43 mm (es und ei aus Tabellenbuch)

T 43 mmcm = ––––– = –––––––––– = 1,716 · s 6 · 4,2 mm

Ermittlung von Dkrit:OGW – x– = 11 mm – 10,970 mm = 0,030 mmx– – UGW = 10,970 mm – 10,957 mm = 0,013 mm→ Dkrit = 0,013 mm = 13 mm (der kleinere Wert der beiden Differenzen)

Dkrit 13 mmcmk = ––––– = –––––––––– = 1,033 · s 3 · 4,2 mm

d) Die Normalverteilung lässt darauf schließen, dass nur zufällige Einflüsse wirken. Die Maschinenfähigkeit ist nicht nachgewiesen, da cmk = 1,03 < 1,67 ist. Um die geforder-ten Kennwerte zu erfüllen, muss die Streuung reduziert werden.

241/1. Maschinenfähigkeit

�� ���a) k = �n = �50 = 7,07 ≈ 7

R xmax – xmin – 20 mm – (– 38 mm) w = –– = –––––––––– = ––––––––––––––––––– = 2,6 mm ≈ 3 mm

k k 7

Aufgaben zur Wiederholung und Vertiefung: Qualitätsmanagement 163

8

Nennmaßabweichung

abso

lute

Häu

fig

keit

nj

2

0-38

4

6

8

10n = 5012

14

-35 -32 -29 -26 -23 -20 -17 um

Bild 241/1: Histogramm

Klasse Nr. Messwert Strichliste nj

≥ <

1 – 38 – 35 ||| 3

2 – 35 – 32 |||| |||| 9

3 – 32 – 29 |||| |||| |||| 14

4 – 29 – 26 |||| |||| ||| 13

5 – 26 – 23 |||| || 7

6 – 23 – 20 ||| 3

7 – 20 – 17 | 1

S = 50

8.6 Qualitätsmanagement

Page 164: Rechenbuch Metall Lösungen

241/2. Prozessfähigkeit

a + b)

164 Aufgaben zur Wiederholung und Vertiefung: Qualitätsmanagement

Stichprobe Nr. x–i si Ri

1 30,0038 0,00750 0,020

2 30,0092 0,00383 0,009

3 30,0062 0,00576 0,011

4 30,0022 0,00536 0,015

5 30,0062 0,00814 0,019

6 30,0072 0,00893 0,023

7 29,9972 0,00517 0,013

8 30,0082 0,02057 0,054

9 30,0028 0,01038 0,029

10 29,9982 0,00753 0,017

c) ø 30 + 0,06/–0,03 → T = es – ei = 0,06 mm – (– 0,03 mm) = 0,09 mm = 90 mm

1 1m: = x– = –– Sxi = ––– (30,004 + 30,012 + … + 29,992) = 30,0041 mm n 50

���������� �������������������������������������������S (xi – x–)2 (30,004 – 30,0041)2 + … + (29,992 – 30,0041)2

s: =� –––––––––– = � –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– = 0,0094 mm = 9,4 mmn – 1 (50 – 1)

Hinweis: Die „Schätzer“ m: und s: werden direkt aus den Messerten x1 … x50 berechnet.

T 90 mmcp = ––––– = –––––––––– = 1,606 · s 6 · 9,4 mm

Ermittlung von Dkrit:OGW – m: = 30,06 mm – 30,0041 mm ≈ 0,056 mmm: – UGW = 30,0041 mm – 29,97 mm ≈ 0,034 mm→ Dkrit = 0,034 mm = 34 mm (der kleinere Wert der beiden Differenzen)

Dkrit 34 mmcpk = ––––– = –––––––––– = 1,213 · s 3 · 9,4 mm

d) Die Prozessfähigkeit ist nicht nachgewiesen, da cpk = 1,21 < 1,33 ist. Soll eine Fähigkeiterreicht werden, muss der Fertigungsprozess zentriert werden.

241/3. Qualitätsregelkarte

a) Sieben aufeinander folgende Prüfergebnisse (10.30–14.00 Uhr) zeigen eine steigende Ten-denz. Es handelt sich somit um einen Trend.Maßnahmen: Der Prozess ist zu unterbrechen, um die Verschiebung des Prozessmittel-wertes zu untersuchen.

b) Ein Prüfergebnis (13.00 Uhr) liegt unterhalb von UEG.Maßnahmen: Den Prozess nicht unterbrechen. Feststellen, wodurch diese Prozessverbes-serung zustande gekommen ist.

c) Der Prozessverlauf der Mittelwerte x– lässt auf systematische Einflüsse während des Ferti-gungsprozesses schließen. Er kann somit nicht als statistisch beherrscht betrachtet wer-den.

Page 165: Rechenbuch Metall Lösungen

242/1. Bohren eines Flansches

a) L = Œ + Œs + Œa + Œu = 28 mm + 0,3 · 22 mm + 5 mm ≈ 40 mm

m25 ––––vc min 1

b) n = ––––– = ––––––––––– = 362 ––––p · d p · 0,022 m min

L · i 40 mm · 15c) th = –––– = ––––––––––––––––– = 8,29 min

n · f 1362 –––– · 0,2 mmmin

242/2. Drehen einer Welle

Vergleich der angegebenen Schnittwerte mit einem Tabellenbuch:Drehen von unlegiertem Baustahl mit Hartmetall-Wendeschneidplatten bei mittleren Bear -beitungsbedingungen: vc = 200…350 m/min, f = 0,1…0,3 mm, gewählt für Œa = Œu = 3 mm

vc 250 m/mina) n = ––––– = ––––––––––– = 637 1/min

p · d p · 0,125 m

b) n = 355 1/min

c) L = Œ + Œa + Œu = (750 + 3 + 3) mm = 756 mm

L · i 756 mm · 2th = –––– = –––––––––––––––––– = 8,52 minn · f 355/min · 0,5 mm

242/3. Fräsen einer Platte

������� ����������������������1 1a) Œs = –– · �d 2 – b2 = –– · �(250 mm)2 – (160 mm)2 = 96 mm

2 2

dL = Œ + –– – Œs + Œa + Œu2

= (750 + 125 – 96 + 10 + 10) mm

= 799 mm

m160 ––––vc min 1

b) n = ––––– = –––––––––– = 204 ––––p · d p · 0,25 m min

1 mmc) vf = n · f = 204 –––– · 2,8 mm = 571 –––––

min min

L · i 799 mm · 1d) th = –––– = ––––––––––– = 1,40 min

vf mm571 ––––min

242/4. Fräsen einer Führung

m125 ––––vc min 1

a) n = ––––– = –––––––––– = 497 ––––p · d p · 0,08 m min

1 mmvf = n · z · fz = 497 –––– · 8 · 0,1 mm = 398 ––––min min

b) Vorschubweg beim Schlichten:

L = Œ + d + Œa + Œu = (190 + 80 + 2 · 5) mm = 280 mm

L · i 280 mm · 1th = –––– = ––––––––––– = 0,704 min ≈ 0,7 minvf mm398 ––––

min

Aufgaben zur Wiederholung und Vertiefung: Spanende Fertigung 165

8

öu = 10

750

160

ø250

79986

öa = 10

Bild 242/3: Berechnung des Fräsweges

8.7 Spanende Fertigung

Page 166: Rechenbuch Metall Lösungen

243/1. Formblech

a) Œ1 = 10 mm; Œ2 = 2 · 12 mm = 24 mm; Œ3 = (25 – 20 – 2 · 4) mm = 7 mm

Œ4 = p · 4 mm = 12,57 mm; Œ5 = (35 – 4) mm = 31 mm

12,5Œ6 = �������252 + 12,52 mm = 27,95 mm; Œ7 = p · –––– mm = 19,63 mm2

Œ8 = (60 – 4 – 12,5) mm = 43,5 mm

L = Œ1+ Œ2 + ... + Œ8 = (10 + 24 + 7 + 12,57 + 31 + 27,95 + 19,63 + 43,5) mm

= 175,65 mm ≈ 176 mm

b) Aus Tabellen: Rm max = 410 N/mm2;N NtaB max = 0,8 · Rm max = 0,8 · 410 ––––– = 328 –––––

mm2 mm2

NF = S · taB max = L · s · taB max = 176 mm · 3 mm · 328 ––––– = 173 184 Nmm2

2 2c) W = –– · F · s = –– · 173 184 N · 0,003 m ≈ 346 N · m

3 3

243/2. Deckblech

a) Vorlochen: Œ1 = p · d1 = p · 30 mm = 94,2 mm

Ausschneiden: Œ2 = (100 + 60 + 2 · ��2 · 20 + 0,75 · p · 80) mm = 405 mm

b) S1 = Œ1 · s = 94,2 mm · 2 mm = 188,4 mm2

S2 = Œ2 · s = 405 mm · 2 mm = 810 mm2

c) Rm max = 510 N/mm2 (aus Tabellenbuch)taB max ≈ 0,8 · Rm max = 0,8 · 510 N/mm2 = 408 N/mm2

d) F = (S1 + S2) · taB max = (188,4 + 810) mm2 · 408 N/mm2 = 407 347 N fi 407 kN

243/3. Lasergeschnittene Blechteile

a) Schneidkantenlänge eines Blechteiles:p · dŒ1 = ––––– = p · 120 mm = 377 mm Œ2 = 4 · Œ = 4 · 120 mm = 480 mm

2Gesamtschneidlänge aller Teile:L = 4 · (Œ1 + Œ2) = 4 · (377 + 480) mm = 3 428 mm

L 3,428 mb) th = –– = ––––––––– = 0,86 min

vf 4 m/min

1 600 — 1 hc) V = V‘ · th = ––––––– · ––––––– · 0,86 min = 23 “

1 h 60 min

243/4. Biegeteil

a) Ausgleichswerte (aus Tabellenbuch): v1 = 4,8 v2 = 7,4L = a + b + c – v1 – v2 = (36 + 25 + 14) mm – 4,8 mm – 7,4 mm = 62,8 mm

b) Rückfederungsfaktor (aus Tabellenbüchern)r2 2,5 mm

für r2 = 2,5 mm und –– = –––––––– = 1 π kr1 = 0,92s 2,5 mm

Radius am Biegestempelr1 = kr · (r2 + 0,5 · s) – 0,5 · s = 0,92 · (2,5 + 0,5 · 2,5) mm – 0,5 · 2,5 mm = 2,2 mm

Rückfederungsfaktor (aus Tabellenbüchern)r2 10 mm

für r2 = 10 mm und –– = –––––––– = 4 π kr1 = 0,84s 2,5 mm

Radius am Biegestempelr1 = kr · (r2 + 0,5 · s) – 0,5 · s = 0,84 · (10 + 0,5 · 2,5) mm – 0,5 · 2,5 mm = 8,2 mm

166 Aufgaben zur Wiederholung und Vertiefung: Schneiden und Umformen

8.8 Schneiden und Umformen

Page 167: Rechenbuch Metall Lösungen

a2c) Biegewinkel beim Werkzeug: a1 = ––

kr

90°Für r2 = 2,5 mm: a1 = –––– = 97,8°

0,92

90°Für r2 = 10 mm: a1 = –––– = 107,8°

0,84243/5. Tiefziehen eines Napfes

������������ ���������������a) D = �d2 + 4 · d · h = �852 + 4 · 85 · 70 mm = 176 mm

b) Maximale Ziehverhältnisse nach Tabellen: b1 = 1,8; b2 = 1,2

D 176 mmd1 = –-– = –––––––– = 98 mm

b1 1,8

d1 98 mmd2 = –– = ––––––– = 82 mm

b2 1,2

Der Napf kann in 2 Zügen hergestellt werden.

Aufgaben zur Wiederholung und Vertiefung: Fügen: Schraub-, Passfeder-, Stift- und Lötverbindungen 167

8

244/1. Scheibenkupplung

a) Anziehdrehmoment und Vorspannkraft bei SchaftschraubenAblesung: Fv ≈ 17 kN

Gewinde

Schaftschrauben

Asin

mm2

VorspannkraftFv in kN

AnziehdrehmomentMA in N · m

Gesamtreibungszahl m0,08 0,12 0,14 0,08 0,12 0,14

M88.8

10.912.9

36,618,627,131,9

17,225,229,5

16,524,228,3

17,926,230,7

23,134,039,6

25,337,243,6

M8 x 18.8

10.912.9

39,220,329,734,8

18,827,732,4

18,126,631,1

18,827,732,4

24,836,442,6

27,340,147,1

M108.8

10.912.9

58,029,543,350,7

27,340,247,0

26,238,545,0

36,053,061,0

46,068,080,0

51,075,088,0

M10 x 1,258.8

10.912.9

61,231,546,554,4

29,443,250,6

28,341,548,6

37,055,064,0

49,072,084,0

54,080,093,0

b) Spannungsquerschnitt des Gewindes M8 aus Tabellen: S = 36,6 mm2

F 17 000 N Nsz = –– = ––––––––– = 464 ––––– S 36,6 mm2 mm2

NZum Vergleich: Streckgrenze bei der Festigkeitsklasse 8.8: Re = 640 –––––mm2

c) Reibkraft zwischen den Kupplungshälften und dem Zentrierring:FR = n · FN · m = 6 · 17 000 N · 0,25 = 25 500 N

Übertragbares Drehmoment:d 60M = FR · –– = 25 500 N · –– mm = 765 000 N · mm = 765 N · m2 2

Zulässiges Drehmoment:M 765 N · mMzul = –– = ––––––––– ≈ 383 N · mv 2

8.9 Fügen: Schraub-, Passfeder-, Stift- und Lötverbindungen

Fest

igke

its-

klas

se

Page 168: Rechenbuch Metall Lösungen

p · (dw2 – d2) p · (11,62 – 8,42) mm2

d) Beanspruchte Fläche: A = ––––––––––– = –––––––––––––––––––– = 50,3 mm2

4 4

F 17 000 N NFlächenpressung: p = –– = ––––––––– = 338 –––––A 50,3 mm2 mm2

244/2. Passfeder-Verbindung

a) Aus Tabellen:b = 14 mm h = 9 mm t1 = 5,5 mm

t2’ = 9 mm – 5,5 mm = 3,5 mm

M 600 · 103 N · mmb) Fu = –– = –––––––––––––––– = 15 000 N

dz 80 –– –– mm2 2

M 600 · 103 N · mmc) Fp = –– = –––––––––––––––– = 22 430 N

a 26,75 mm

d) Durch Flächenpressung beanspruchte Fläche:A = Œ’ · t2’ = 46 mm · 3,5 mm

= 161 mm2

Fp 22 430 N Np = ––– = ––––––––– = 139 –––––

A 161 mm2 mm2

244/3. Stiftverbindung

a) Drehmoment M = F · Œ= 120 N · 60 mm = 7 200 N · mm

doder M = 2 · Fs · –– = Fs · d2

MScherkraft Fs = –– d7 200 N · mm= ––––––––––––– = 600 N

12 mm

Fs Fsb) Abscherspannung ts = –– = ––––– S p · d1

2

–––––4

600 N N= ––––––––––– = 48 ––––– p · (4 mm)2 mm2

––––––––4

Der Stiftdurchmesser ist ausreichend groß, da ts < ts zul.

244/4. Lötverbindung

a) Fläche der Lötnaht: A = Œ · b = 15 mm · 10 mm = 150 mm2

F 5 000 N NScherspannung: ta = –– = ––––––––– = 33 –––––A 150 mm2 mm2

b) Die Kraft F entsteht nur, wenn gleichzeitig eine gleich große Gegenkraft F’ entstehen kann.Bei der Lötverbindung kann diese Gegenkraft F’ durch Einspannen eines Blechendes oderdurch eine freie Kraft aufgebracht werden. Die verbindende Lötnaht wird deshalb nurdurch 5 000 N beansprucht.

168 Aufgaben zur Wiederholung und Vertiefung: Fügen: Schraub-, Passfeder-, Stift- und Lötverbindungen

t’2

b

t1

d = 50

h

a

FP

t’2 =3,5

= 46ö’

b =14

a = 25 mm + mm = 26,75 mm

3,52

Aus der Welle herausragenderTeil der Passfeder

Bild 244/2: Passfeder-Verbindung

Fs

d =12

d1 = 4Fs

F =120 N

ö = 60

Bild 244/3: Stiftverbindung

Page 169: Rechenbuch Metall Lösungen

245/1. Pressverbindung

a) DŒ = a1 · Œ1 · Dt = 0,000012 1/°C · 80 mm · 70 °C = 0,067 mm

DŒ 0,1 mmb) Dt = –––––– = ––––––––––––––––––––– = 104 °C

a1 · Œ1 0,000012 1/°C · 80 mm

t2 = t1 + Dt = 20 °C + 104 °C = 124 °C

245/2. Spritzgießen

kJa) Q = c · m · Dt = 1,3 –––––– · 40 kg · (230 – 50) K = 9 360 kJ

kg · K

kJb) c = 4,18 ––––– (aus Tabellenbuch)

kg · K

Q 9 360 kJDt = ––––– = ––––––––––––––––––– = 22,4 K = 22,4 °Cc · m kJ4,18 –––––– · 100 kg

kg · K

c) DŒ1 = a · Œ · Dt = 0,00008/K · 40 mm · (50 – 20) K = 0,10 mm

DŒ2 = 0,00008/K · 45 mm · 30 K = 0,11 mm

DŒ3 = 0,00008/K · 30 mm · 30 K = 0,07 mm

245/3. Wärmebehandlung

kJa) c = 0,49 –––––– (aus Tabellenbuch)

kg · K

kJQ1 = c · m · Dt = 0,49 –––––– · 6 000 kg · (950 – 20) K = 2 734 200 kJ ≈ 2 734 MJkg · K

kJQ2 = 0,49 –––––– · 3 800 kg · (940 – 20) K = 1 713 040 kJ ≈ 1 713 MJkg · K

kJQ3 = 0,49 –––––– · 3 800 kg · (180 – 20) K = 297 920 kJ ≈ 298 MJkg · K

b) Q = Q1 + Q2 + Q3 = (2 734 + 1 713 + 298) MJ = 4 745 MJ

c) Das Volumen V des benötigten Erdgases ist umso größer, je größer die erforderlicheWärmemenge Q ist und je kleiner der Heizwert Hu des Erdgases und der Wirkungs-grad n des Kessels sind.

Q 4 745 MJV = ––––– = –––––––––––– = 150,6 m3

Hu · n MJ35 ––– · 0,90m3

245/4. Schwindung beim Gießen

Œ · 100 % Œ · 100 % 100 %a) Œ1 = –––––––––– = –––––––––––– = Œ · ––––––

100 % – S 100 % – 1 % 99 %

100 %Œ1 = 150 mm · –––––– = 151,5 mm; 202,0 mm; 42,4 mm; 60,6 mm; 55,6 mm

99 %

Œ · 100 % 100 %b) Œ1 = –––––––––––––– = Œ · ––––––

100 % – 1,2 % 98,8 %

100 %Œ1 = 150 mm · ––––––– = 151,8 mm; 202,4 mm; 42,5 mm; 60,7 mm; 55,7 mm98,8 %

Aufgaben zur Wiederholung und Vertiefung: Wärmeausdehnung und Wärmemenge 169

8

8.10 Wärmeausdehnung und Wärmemenge

Page 170: Rechenbuch Metall Lösungen

246/1. Auswerfzylinder

N p · (7 cm)2a) F = pe · A · n = 60 –––– · –––––––––– · 0,85 = 1 963 N

cm2 4

pe + pamb p · (7 cm)2 1 6 bar + 1 bar cm3 “b) Q = A · s · n · ––––––––– = –––––––––– · 5 cm · 45 –––– · –––––––––––– = 60 613 –––– ≈ 61 ––––

pamb 4 min 1 bar min min

—9 000 ––––Qv min

c) i = ––––– = ––––––––––– = 148Q —61 ––––

min

246/2. Spannzylinder

F1 · Œ1 20 kN · 85 mmF2 = ––––– = ––––––––––––––– = 4,25 kN

Œ2 400 mm

F 4 250 N N N 1 barpe = ––––– = ––––––––––––––––––– = 67,7 –––– = 67,7 –––– · –––––––––– = 6,77 barA · n p · (10 cm)2 cm2 cm2 10 N/cm2

–––––––––––– · 0,804

246/3. Vorschubzylinder

p · (14 cm)2 cm cm3 “a) Q = A · v = –––––––––––– · 820 –––– = 126 229 –––– ≈ 126 ––––

4 min min min

F 250 000 N 1 barb) F = pe · A · n; pe = –––––– = –––––––––––––––––– = 1 888 N/cm2 = 1 888 N/cm2 · ––––––––––

A · n p · (14 cm)2 10 N/cm2–––––––––––– · 0,86

4 = 189 bar

s 50 cmc) t1 = –– = ––––––– = 3,66 s

v1 820 cm–––––––

60 s

Q 126 229 cm3/minv2= –– = ––––––––––––––––– = 1 674 cm/min ≈ 16,7 m/minA2 p (142 – 102) cm2

––––––––––––––––4

s 50 cmt2 = –– = –––––––– = 1,79 sv2 1 674 cm––––––––

60 s

d) Von der Pumpe an den Zylinder abgegebene Leistung:

F · v 250 000 N 8,2 m N · mP2 = –––– = –––––––––– · –––––– = 39729 –––––– = 39,729 kWnZyl 0,86 60 s s

Vom Motor der Pumpe zugeführte Leistung:

P2 39,729 kWP1 = –––––– = ––––––––––– = 47,866 kW

nPumpe 0,83

246/4. Radialkolbenpumpe

p · d2 p · (1,2 cm)2 1 cm3a) Q = –––––– · z · s · n = ––––––––––––– · 8 · 2,2 cm · 1 380 –––– = 27 469 –––– ≈ 27,5 “/min

4 4 min min

Q · pe 27,5 · 500b) P = ––––– = ––––––––– kW = 22,9 kW

600 600

170 Aufgaben zur Wiederholung und Vertiefung: Hydraulik und Pneumatik

8.11 Hydraulik und Pneumatik

Page 171: Rechenbuch Metall Lösungen

27 500 cm3–––––––– –––– ����� ������������Q 60 s 4 · A 4 · 2,86 cm2

c) A = –– = ––––––––––––– = 2,86 cm2; d = � ––––– = � –––––––––––– = 1,91 cm ≈ 19 mmv cm p p1,6 · 100 –––

s

246/5. Hydraulische Presse

F 250 000 Na) F = pe · A · n; A = –––– = ––––––––––––––– = 138,9 cm2

pe · n N2 000 –––– · 0,90

cm2

������ �������������p · d2 4 · A 4 · 138,9 cm2A = ––––––; d = � ––––– = � ––––––––––––– = 13,30 cm

4 p p

b) d = 140 mm

p · d2 p · (14 cm)2 cm cm3 “c) Q = A · v = –––––– · v = ––––––––––– · 250 –––– = 38 485 –––– ≈ 38,5 ––––

4 4 min min min

Q 38 485 cm3/mind) v = ––– = –––––––––––––––––– = 333,3 cm/min ≈ 3,33 m/min

A1 p–– · (142 – 72) cm2

4

e) Vernachlässigt man die Reibung, wird der Kolben durch die Druckkräfte von beiden Sei-ten im Gleichgewicht gehalten.

p200 bar · –– · (14 cm)2

p1 · A1 4p1 · A1 = p2 · A2; p2 = –––––– = ––––––––––––––––––––– ≈ 267 bar

A2 p–– · (142 – 72) cm2

4

Aufgaben zur Wiederholung und Vertiefung: Elektrische Antriebe und Steuerungen 171

8

247/1. Drehstrom-Asynchronmotor

a) P = ��3 · U · I · cos j = ��3 · 400 V · 4,83 A · 0,82 = 2 744 W ≈ 2,74 kW

P2 2,2 kWb) n = –– = –––––––––– = 0,80

P1 2,744 kWN · m2 200 ––––––

P sc) P = 2 · p · n · M; M = ––––––– = –––––––––––––– = 7,45 N · m

2 · p · n 2 820 12 · p · ––––– ––60 s

247/2. Schleifscheibenantrieb

P 2 kWa) PMot = –– = ––––– = 2,105 kW = P2n 0,95

P2 2,105 kWb) P1 = –– = ––––––––– = 2,339 kW

n 0,90P1 2 339 W

P1 = ��3 · U · I · cosj; I = –––––––––––––– = –––––––––––––––––– = 4,22 A

��3 · U · cos j ��3 · 400 V · 0,80

247/3. Heizlüfter

U2 = U – U1 = 230 V – 125 V = 105 V

U1 125 VI = ––– = –––––––– = 0,104 A

R1 1 200 OU2 105 V

R2 = ––– = ––––––– = 1 010 ΩI 0,104 A

8.12 Elektrische Antriebe und Steuerungen

Page 172: Rechenbuch Metall Lösungen

247/4. Elektrohydraulische Steuerung

U 24 Va) K1: R = –– = ––––– = 120 O

I 0,2 A

U 24 VY1, Y2: R = –– = ––––– = 48 ΩI 0,5 A

b) Der Gesamtwiderstand ergibt sich aus den parallelen Widerständen der Spulen von K1,Y1 und Y2. Der Vorwiderstand Rv bleibt unberücksichtigt.

1 1 1 1–– = –– + –– + ––R R1 R2 R3

1 1 1 1= –––––– + ––––– + ––––– = ––––– ; R = 20 Ω120 O 48 O 48 O 20 O

c) R1 und Rv sind in Reihe geschaltet. Die Stromstärke darf dabei nur I1‘ = 100 mA betragen.Somit gilt:

U 24 VR = R1 + Rv = –– = ––––– = 240 OI’1 0,1 A

Rv = R – R1 = 240 O – 120 O = 120 Ω

172 Aufgaben zur Wiederholung und Vertiefung: Gemischte Aufgaben

248/1. Getriebeplatte

mn · z1 2,5 mm · 34a) d1= –––––– = –––––––––––– = 89,476 mm

cos b cos 18,20°

da1= d1 + 2 · mn = 89,476 mm + 2 · 2,5 mm = 94,476 mm

mn · z2 2,5 mm · 47d2= –––––– = –––––––––––– = 123,688 mm

cos b cos 18,20°

da2= d2 + 2 · mn = 123,688 mm + 2 · 2,5 mm = 128,688 mm

b) h = 2 · m + c = 2 · 2,5 mm + 0,1 · 2,5 mm = 5,25 mm

d1 + d2 89,476 mm + 123,688 mmc) a = –––––– = ––––––––––––––––––––––––––– = 106,582 mm

2 2

d) Absolut: x2 = 58 mm + 106,582 mm · cos 31° = 149,359 mm

y2 = 144 mm – 106,582 mm · sin 31° = 89,106 mm

Inkremental: x2 = 106,582 mm · cos 31° = 91,359 mm

y2 = – 106,582 mm · sin 31° = – 54,894 mm

+0,025 +0,018e) Aus Toleranztabellen: 50H7 = 50 0 ; 50k6 = 50 +0,002

Bohrung: GoB = N + ES = 50 + (+0,025) = 50,025GuB = N + El = 50 + 0 = 50,000

Welle: GoW = N + es = 50 + (+0,018) = 50,018GuW = N + ei = 50 + (+0,002) = 50,002

Höchstübermaß PÜH = GuB – GoW = 50,000 – 50,018 = – 0,018

Höchstspiel PSH = GoB – GuW = 50,025 – 50,002 = + 0,023

8.13 Gemischte Aufgaben

Page 173: Rechenbuch Metall Lösungen

248/2. Messabweichungen

a) Maßverkörperung und Werkstück sind aus Stahl und dehnen sich von der Bezugstempe-ratur 20 °C bis zur gemeinsamen Messtemperatur 24 °C um den gleichen Betrag aus.Die Messabweichung ist deshalb f = 0 mm.

b) Maßverkörperung: DŒM = aM · Œ0 · Dt = 0,000012 1/°C · 100 mm · +4 °C = +0,0048 mm = 4,8 mm

Werkstück: DŒW = aW · Œ0 · Dt = 0,000024 1/°C · 100 mm · +4 °C = +0,0096 mm = 9,6 mm

Messabweichung: f = DŒW – DŒM = 9,6 mm – 4,8 mm = 4,8 mm

c) Maßverkörperung: DŒM = aM · Œ0 · Dt = 0,000012 1/°C · 100 mm · –2 °C = –0,0024 mm = –2,4 mm

Werkstück: DŒW = aW · Œ0 · Dt = 0,000024 1/°C · 100 mm · +4 °C = +0,0096 mm = 9,6 mm

Messabweichung: f = DŒW – DŒM = 9,6 mm – (– 2,4) mm = 12 mm

248/3. Umlenkrollem

a) F = m · g = 500 kg · 9,81 –– = 4 905 Ns2

p · d2 p · (0,5 mm)2S = i · ––––– = 64 · –––––––––––––– = 12,566 mm2

4 4

F 4 905 N Nsz = –– = –––––––––––– = 390 –––––S 12,566 mm2 mm2

Fmax 12 000 Nb) v = ––––– = ––––––––– = 2,45

F 4 905 N

N Nc) Re = 0,8 · 800 ––––– = 640 –––––

mm2 mm2

Re 640 N Nszzul = –– = –––– ––––– = 160 –––––

v 4 mm2 mm2

2 · F 2 · 4 905 NS = ––––– = ––––––––––– = 61,31 mm2

szzul N160 ––––––mm2

S 61,31 mm2Je Schraube: S‘ = –– = ––––––––––– = 15,33 mm2

i 4

Gewählt: M6 mit Spannungsquerschnitt S = 20,1 mm2

80 m 1 min–––––– · ––––––v min 60 s m

d) a = –– = ––––––––––––– = 0,83 ––t 1,6 s s2

Aufgaben zur Wiederholung und Vertiefung: Gemischte Aufgaben 173

8

Page 174: Rechenbuch Metall Lösungen

174 Projektaufgaben: Vorschubantrieb einer CNC-Fräsmaschine

9 Projektaufgaben

250/1. Gewindespindel-Antrieb

vf min 1 mm/min 1a) n2 min = ––––– = –––––––––– = 0,20 ––––

P 5 mm min

vf max 2 000 mm/min 1n2 max = ––––– = ––––––––––––––– = 400 ––––

P 5 mm min

vE 5 000 mm/min 1b) n2E = ––– = ––––––––––––––– = 1 000 –––––

P 5 mm min

c) Lagerung der Kugelgewindespindel und Aufnahme der radialen Kräfte, die durch denZahnriemenantrieb entstehen, sowie der axialen Kräfte durch die Bewegung des Tischesim Eilgang und vor allem beim Fräsen.

d) Das Rillenkugellager (Pos. 17) ist das Loslager der Gewindespindel (Pos. 10) und muss beiTemperaturänderungen in der Bohrung des Lagerbocks (Pos. 18) beweglich sein.

e) Die beiden Lagerungen der Gewindespindel sind vollständig abgedichtet und lebensdau-ergeschmiert.

250/2. Zahnriemen-Antrieb

z2 36a) i = –––– = –––– = 1,44

z1 25n1

b) i = –––– ; n1 = n2 • in2

1 1n1 min = 0,2 –––– • 1,44 = 0,29 ––––

min min

1 1n1 max = 400 ––––– • 1,44 = 576 ––––

min min

1 1n1E = 1 000 –––– • 1,44 = 1 440 ––––

min min

1 m 1 min m mc) v = p • d • n = p • 0,04 m • 1 440 –––– = 181 –––– · –––––– = 3,02 –––– ≈ 3 –––

min min 60 s s s

d) Mit Flach- und Keilriemen sind keine ganz genauen Übersetzungsverhältnisse möglich.Dadurch wird das Anfahren genauer Schlittenpositionen schwierig. Zahnriemenantriebejedoch besitzen ein genaues, gleich bleibendes Übersetzungsverhältnis und haben auchunter Belastung keinen Schlupf.

250/3. Sicherheitskupplung

a) FR = m • FN = 0,25 • 2 500 N = 625 N

dR 0,055b) M = 2 • FR • ––– = 2 • 625 N • ––––– m = 34,4 N •m

2 2

c) Durch Öl oder Fett an den Reibflächen sinkt der Reibwert. Da die Reibkraft und das Reib-moment direkt vom Reibwert abhängen, werden auch diese geringer.

d) Beim Durchdrehen der Riemenscheibe gegenüber den Reibscheiben und der Nabe wirddie Gefahr des Fressens dadurch vermindert, dass die Riemenscheibe eine wesentlich ge-ringere Härte hat als die angrenzenden Bauteile.

e) Alle gewählten Werkstoffe können mit der Universalhärteprüfung, der Härteprüfung nachVickers oder Rockwell geprüft werden. Für die Nabe und die Riemenscheibe wäre aucheine Prüfung nach Brinell möglich.

9.1 Vorschubantrieb einer CNC-Fräsmaschine

Page 175: Rechenbuch Metall Lösungen

Projektaufgaben: Vorschubantrieb einer CNC-Fräsmaschine 175

9

251/4. Bearbeitung des Lagerflansches

a) • Analyse des Fertigungsauftrages anhand der Zeichnung, der Stückzahlen und des Termins• Arbeitsplanung: Notwendige Bearbeitungen, Wahl der Maschine, Spannplan, Werk-

zeugplan• Erstellung des NC-Programms• Überprüfung des Programms, teilweise durch Simulation• Erprobung und Optimierung der Fertigung• Dokumentation und Speicherung des Programms

b) Für die Bearbeitung auf einer Senkrechtfräsmaschine sind zwei Aufspannungen erforderlich:1. Aufspannung: Bearbeitung der Flächen � und �

1 2

Bild 251/4a: Bearbeitung des Lagerflansches, 1. Aufspannung

1 2

Bild 251/4b: Bearbeitung des Lagerflansches, 2. Aufspannung

2. Aufspannung auf der Fläche �, Abstützung an der Fläche �: Bearbeitung aller ande-ren Flächen und Bohrungen.

c) Bei der Komplettbearbeitung in einer Aufspannung werden die durch Umspannen derWerkstücke möglichen Lageabweichungen vermieden. Allerdings müssen z. B. für die 5-Seiten-Bearbeitung die Maschinen mit einer waagrechten und senkrechten Spindel so-wie mit einem Rundtisch zum Schwenken des Werkstückes ausgestattet sein.

d) NC-Programme bestehen aus einzelnen Sätzen. Diese enthalten (meist) die Satznummer,die Wegbedingungen, die Zielpunktkoordinaten und Schaltbefehle. In anderen Sätzenwerden die technologischen Daten der Werkzeuge aufgerufen, Zyklen definiert oder Un-terprogramme aufgerufen. Beispiele: Bild 251/4c und Bild 251/4d

Wegbedingungen

Zielpunktkoordinaten

Satznummer

Technologische Anweisung

Schaltbefehl

N 60Satz

Anfang

G 01

1. Wort

G 41

2. Wort

X 20

3. Wort

Y 10

Adress-buch-stabe

F 200 M 03

Beispiel für Zyklusdefinition:

Beispiel für Zyklusaufruf :

G81 (X0,1) Y2 Z-25 (B20)

Rück-zugs-ebene

Bohrungs-tiefe

Verweilzeitin Sekunden

Sicher-heits-

abstand

Bedin-gung fürDefinition

G79

Bedingungfür Aufruf

X22 Y18 Z0

Lage derBohrung

Rückzugsebene

Sicherheits-ebene 2

25

2018

22

Bild 251/4c: Beispiel für den Aufbau von NC-Sätzen Bild 251/4d: Zyklusdefinitionen und Aufruf

Page 176: Rechenbuch Metall Lösungen

176 Projektaufgaben: Hubeinheit

253/1. Übersetzung, gleichförmige Bewegung

1750 –––––n1 nM nM min 1

a) i = ––– = ––– ; nW = ––– = –––––––––– = 66,67 ––––n2 nW i 11,25 min

1 mmb) v = p • d • n = p • 54,85 mm • 66,67 –––– = 11 488,3 ––––

min min

mm 1 m 1 min m= 11 488,3 –––– · –––––––––– · –––––– = 0,19 –––

min 1 000 mm 60 s s253/2. Beschleunigte Bewegung

m0,19 ––––v s

a) t1 = –––– = –––––––––– = 0,21 sa m0,9 ––––

s2

m0,19 ––––v s

b) t3 = –––– = ––––––––– = 0,16 sa m1,2 ––––

s2

m 2(0,19 ––)v2 sc) s1 = ––––– = –––––––––––– = 0,020 m = 20,0 mm

2 • a m2 • 0,9 –––s2

m 2(0,19 ––)v2 sd) s3 = ––––– = –––––––––––– = 0,015 m = 15,0 mm

2 • a m2 • 1,2 –––s2

e) s = s1 + s2 + s3; s2 = s – s1 – s3 = 750 mm – 20 mm – 15 mm = 715 mm

s2 0,715 mt2 = ––– = –––––––––– = 3,76 s

v m0,19 –––

s

f) t = t1 + t2 + t3 = 0,21 s + 3,76 s + 0,16 s = 4,13 s

253/3. Lagerkräfte

Für den Drehpunkt B gilt:

SM— = SMr

FA • Œ = Fk • Œ1Fk • Œ1 450 N • 52 mm

FA = –––––– = ––––––––––––––– = 222,9 NŒ 105 mm

FA + FB = Fk

FB = Fk – FA = 450 N – 222,9 N = 227,1 N

253/4. Arbeit, Leistung

a) W = Fk • s = 450 N • 0,750 m = 337,5 N •m

b) n = n1 • n2 = 0,83 • 0,8 = 0,66

F • v W 337,5 N •m N •mc) P = ––––– = –––––– = ––––––––––––– = 124,7 –––––– = 124,7 W

n t • n 4,1 s • 0,66 s

9.2 Hubeinheit

Page 177: Rechenbuch Metall Lösungen

Projektaufgaben: Hubeinheit 177

9

253/5. Gehäusepassungen

a) Festlager ∫ Rillenkugellager (Pos. 12)Loslager ∫ Rillenkugellager (Pos. 9)

b) Die Lagerkraft FA belastet den Lageraußenring als Punktlast (Tabelle 1 Seite 253 im Rechenbuch).

Rillenkugellager: Höchstmaß/AußenringGoW = N + es = 62,000 mm + 0,000 mm = 62,000 mm

Gehäusebohrung: Mindestmaß bei Toleranzklasse H6GuB = N + El = 62,000 mm + 0,000 mm = 62,000 mm

Die Toleranzklassen F6, F7, G7, G8, H7 und H6 ergeben Spielpassungen.Engste Spielpassung∫ Toleranzklasse H6

c) Die Lagerkraft FB belastet den Lageraußenring als Punktlast (Tabelle 1 Seite 253 im Rechenbuch).

Rillenkugellager: Höchstmaß/AußenringGoW = N + es = 80 mm + 0,000 mm = 80,000 mm

Die Toleranzklassen J6 und J7 ergeben leichte Übergangspassungen.

253/6. Montagetechnik

a) Das Loslager wird mit einer Spielpassung in das Kettengehäuse eingebaut. Wird die An-triebswelle als Baugruppe vormontiert und dann in das Kettengehäuse eingebaut, kanndas Rillenkugellager ohne Montagekräfte auf den Außenring montiert werden.

b) Der Außendurchmesser D des Rillenkugellagers (Pos. 12) ist so gewählt, dass die vor-montierte Antriebswelle mit dem Kettenrad (Pos. 7) durch den Sicherungsring (Pos. 11)geschoben werden kann.

c)Montage- Benennung Montage- Benennung

schritt schritt

1 Antriebswelle – Pos. 5 8 Sicherungsring – Pos. 132 Passfeder – Pos. 6 9 Sicherungsring – Pos. 113 Kettenrad – Pos. 7 10 Baugruppe Antriebswelle einbauen4 Hülse – Pos. 8 11 Lagerdeckel – Pos. 145 Rillenkugellager – Pos. 9 12 Zylinderschraube – Pos. 156 Sicherungsring – Pos. 10 137 Rillenkugellager – Pos. 12 14

Montage- Montagevorgang, Erläuterungenschritt

1 Spannring (Pos. 2) auf das Standrohr schieben2 Klemmstückhälften (Pos. 3) in die Nut des Standrohres einführen3 Antrieb (Pos. 1) auf das Standrohr setzen4 Antrieb (Pos. 2) und Spannring (Pos. 2) mit Zylinderschrauben (Pos. 4) verspannen.

254/7. Befestigungstechnik

a) Das Klemmstück ist in zwei Hälften geteilt, die seitlich in die Nut des Standrohres einge-führt werden können.

b) Zur Aufnahme der Klemmstück-Hälften muss lediglich eine Nut in das Standrohr einge-stochen werden. Die Klemmverbindung erlaubt eine genaue Ausrichtung des Antriebes.

c)

254/8. Beanspruchungen/Stahlauswahl

a)Beanspruchung ∫ durch ∫ WerkstoffeigenschaftenBiegung ∫ Kettenzugkraft ∫ hohe Biegefestigkeit

∫ gute ZähigkeitAbscherung ∫ Kettenzugkraft ∫ hohe ScherfestigkeitVerschleiß ∫ Rollreibung ∫ gute Verschleißfestigkeit

Page 178: Rechenbuch Metall Lösungen

178 Projektaufgaben: Hubeinheit

b) Gewählter Stahl: 16MnCr5 ∫ Einsatzstahl, Randschichthärtung

∫ verschleißfeste Oberfläche,hohe Dauerfestigkeit,gute Kernfestigkeit mit hoher Zähigkeit

254/9. Zahnriementrieb

a) Von der Änderung sind die Rollenkette und das Kettenrad (Pos. 7) betroffen.b) Vorteile: keine Schmierung, geräuscharmer Lauf, elastisches Verhalten bei Belastungs-

wechselNachteil: schnellerer Verschleiß, höhere Dehnung ∫ ungenauere Bewegungsübertra-

gung

254/10. Zeichnungsbemaßung

a) Gewählt: Variante �Begründung: die rechte Kante des Einstiches bestimmt die Lage des Sicherungsringesund damit das Axialspiel des Lagers.Die Toleranz der Einstichbreite 1,85H13 hat keinen Einfluss auf das Spiel.

b) Das Mindestspiel PSM = 0,1 mm tritt unter folgenden Bedingungen auf:Höchstmaß-Lagerbreite bo, Höchstmaß-Sicherungsringbreite so, Mindestmaß Lu.Lu = bo + so + PSM = 18,00 mm + 1,75 mm + 0,10 mm = 19,85 mmLo = Lu + TL = 19,85 mm + 0,10 mm = 19,95 mm

Nennmaß L = 20,00 mm, oberes Abmaß ES = – 0,05 mm; unteres Abmaß EI = – 0,015 mm

c) Das Höchstspiel PSH tritt unter folgenden Bedingungen auf:Höchstmaß Lo, Mindestmaß-Sicherungsringbreite su, Mindestmaß-Lagerbreite bu;Lo = bu + su + PSH; PSH = Lo – bu – su = 19,95 mm – 17,9 mm – 1,62 mm = 0,43 mm

254/11. Passfederverbindung

Fk • d 450 N • 54,85 mma) M = F • r = –––––– = ––––––––––––––––––– = 12 341,3 N •mm

2 2

M 12 341,3 N •mmb) M = F • r; F = ––– = ––––––––––––––––– = 881,5 N

r 14 mm

Fc) p = –– ; A = Œ1 • h;

A

Œ1 = Œ – b = 30 mm – 8 mm = 22 mm

881,5 N Np = –––––––––––––––– = 13,4 mm –––––

22 mm • 3 mm mm2

N125 ––––––pzul mm2

b) v = –––– = ––––––––––– = 9,3p N13,4 ––––––

mm2

254/12. Hauptnutzungszeit

mm240 000 –––––vc min

a) dg = –––––– = ––––––––––––––––– = 25,5 mm (dg < d1)p • ng 1p • 3 000 ––––min

d – d1 95 mm – 70 mmb) L1 = –––––– + Œa + Œu = ––––––––––––––––– + 2 mm = 14,5 mm

2 2

d – d1 95 mm – 60,5 mmL2 = –––––– + Œa + Œu = ––––––––––––––––––– + 2 mm = 19,25 mm

2 2

ö1

ö = 30

8Passfeder

Bild 255/11: Passfeder

Page 179: Rechenbuch Metall Lösungen

Projektaufgaben: Zahnradpumpe 179

9

c) th = th1 + th2

p • dm1 • L1 • i1 d + d1 (95 + 70) mmth1 = ––––––––––––––– ; dm1 = –––––– + Œa – Œu = ––––––––––––– + (1 – 1) mm = 82,5 mm

vc • f 2 2

p • 82,5 mm • 14,5 mm • 1th1 = ––––––––––––––––––––––––––– = 0,078 min = 4,7 s

mm240 000 ––––– • 0,2 mm

min

p • dm2 • L2 • i2 d + d1 (95 + 60,5) mmth2 = ––––––––––––––– ; dm2 = –––––– + Œa – Œu = ––––––––––––––– + (1 – 1) mm = 77,75 mm

vc • f 2 2

p • 77,75 mm • 19,25 mm • 1th2 = –––––––––––––––––––––––––––––– = 0,098 min = 5,9 s

mm240 000 ––––– • 0,2 mm

min

th = 4,7 s + 5,9 s = 10,6 s

256/1. Längen

Nutumfang UN = O-Ring-Umfang UO

p • 51,1 mmUN = 2 • Œ1 + 2 • Œ2 = 2 • 36 mm + 2 • ––––––––––––– = 72 mm + 160,54 mm = 232,54 mm

2

UO 232,54 mmUO = p • (d + 2 • d1); (d + 2 • d1) = ––– = –––––––––––– = 74 mm; d1 = 2 mm

p pd = 74 mm – 2 • 2 mm = 70 mm

O-Ring 70 x 2

256/2. Passungen

a) Bohrung 24K6: ES = + 0,002 mm, EI = – 0,011 mm;TB = ES – EI = + 0,002 mm – (– 0,011 mm) = 0,013 mm

Welle 24h6: es = 0,000 mm, ei = – 0,013 mmTW = es – ei = 0,000 mm – (– 0,013 mm) = 0,013 mm

b) Höchstspiel PSH = ES – ei = + 0,002 mm – (– 0,013 mm) = 0,015 mm

Höchstübermaß PÜH = EI – es = – 0,011 mm – (– 0,000 mm) = – 0,011 mm

256/3. Zahnradmaße

a) d = m • z = 1,5 mm • 24 = 36 mm

b) da = d + 2 • ha = d + 2 •m = 36 mm + 2 • 1,5 mm = 39 mm

c) h = ha + hf = m + (m + c) = 2 •m + 0,25 •m= 2 • 1,5 mm + 0,25 • 1,5 mm = 3,375 mm

m (z1 + z2) 1,5 mm (24 + 24)d) a = ––––––––––– = ––––––––––––––––– = 36 mm

2 2

256/4. Festigkeit

p pa) F = p • A; A = –– • d2 = –– • 242 mm2 = 452,4 mm2

4 4

10 NF = 12 bar • –––––––––– • 4,524 cm2 = 542,9 N

cm2 • bar

F 542,9 Nb) Zusätzliche Kraft je Schraube F1 = –– = –––––––– = 181 N

3 3

F1 181 N Nsz = –– = –––––––––– = 12,7 ––––––

As 14,2 mm2 mm2

9.3 Zahnradpumpe

Page 180: Rechenbuch Metall Lösungen

180 Projektaufgaben: Zahnradpumpe

256/5. Konturpunkte

a) D = d + 2 • ha = m • z + 2 •m = 1,5 mm • 24 + 2 • 1,5 mm = 39 mm

Grenzabmaße: EI = 0; ES = + 0,025 mm

m • (z1 + z2) 1,5 mm • (24 + 24)b) a = –––––––––––– = ––––––––––––––––––– = 36 mm

2 2

������ ����������������c) y1 = �r 2 – x 2 = �(19,52 – 142) mm2 = 13,574 mm

P1 (14,000/13,574)

x2 = – 14,000 mm

y2 = a – y1 = 36 mm – 13,574 mm = 22,426 mm

P2 (–14,000/22,426)

256/6. Kegeldrehen

a C 1a) tan –– = –– = ––––– = 0,1

2 2 2 • 5

a a–– = 5,711°; a = 2 • –– = 2 • 5,711°= 11,422°2 2

ab) Neigungswinkel ––– = 5,711°

2D – d 1

c) C = –––––; d = D – C • L = 15 mm – –– • 18 mm = 11,4 mmL 5

256/7. Hydraulik

cm3600 –––––

Q min cm ma) v = ––– = ––––––––––––––– = 1 559 ––––– 9 15,6 –––––

A p min min––– • 0,72 cm2

4dm3 10 N •m •min

b) P = Q • pe = 0,6 ––––– • 12 bar • ––– ––––––––––––– = 12 Wmin 6 s • dm3 • bar

257/8. Warmumformung

a) Der Temperaturbereich liegt im Austenitgebiet des Stahles∫ homogenes Gefüge und kubisch-flächenzentriertes Gitter garantieren beste Umform-

bedingungen.

b) geringer Zerspanungsaufwand, höhere Festigkeiten, vor allem an den Übergangsdurch-messern, optimierter Werkstoffverbrauch

257/9. Stahlauswahl/Wärmebehandlung

a) Aufkohlen: Glühen der Teile in kohlenstoffabgebendem Medium bei 880 bis 980 °C.Härten: Randhärtung ∫ Schnelle Erwärmung auf 780 bis 820 °C, Abschrecken in ÖlAnlassen: bei 150 bis 200 °C

b) Zeichnungstext nach DIN 6773: einsatzgehärtet und angelassen58 + 4 HRC Ehat = 0,5 + 0,3

c) Fertigungsverfahren nach DIN 4766-1: Schleifen

257/10. Zahnradpumpe

a) Auf der Saugseite füllen sich die Zahnlücken mit Öl, das durch die Drehbewegung aufdie Druckseite transportiert wird.

b) Die Antriebswelle (Pos. 6) dreht sich in Blickrichtung auf die Zahnriemenscheibe (Pos. 14)gegen den Uhrzeigersinn.

c) CL68 ∫ Schmieröl für Umlaufschmierung auf Mineralölbasis, mit erhöhten Anforderun-gen an Korrosions- und Alterungsbeständigkeit, ISO-Viskositätsklasse 68

257/11. Kegelverbindung

a) Kein Spiel zwischen Welle und Nabe, zentrischer Lauf (keine Unwucht), Übertragung ho-her Drehmomente.

P1

y

x

r

Bild 256/5: Konturpunkte

Page 181: Rechenbuch Metall Lösungen

Projektaufgaben: Hydraulische Spannklaue 181

9

b) Aufnahme von Drehmomenten, wenn die Kraftübertragung am Kegelmantel durch Rei-bung gestört ist (Sicherheitsmaßnahme).

c) Kleinere Kegelwinkel a ∫ Größere Normalkräfte FN und damit größere Reibungskräfte FR∫ Übertragung größerer Drehmomente

257/12. Schraubenverbindung

a) siehe Bild 257/12.

b) Senkschraube ISO 10642 – M8 × 20 – 8.8

257/13. Dichtung

a) Die Toleranz der Flachdichtung T = 0,1 mm und dieelastische Verformung der Dichtung bei der Mon-tage beeinflussen das Spiel Sp.

b) Das Spiel Sp zwischen dem Pumpenritzel und derLagerplatte wird größer∫höherer Leckölverlust, geringerer Wirkungsgrad.

20

Bild 257/12: Schraubenverbindung

259/1. HydrozylinderN p • (2,5 cm)2

a) F = pe • A • n = 2 500 ––––– • ––––––––––––– • 0,88 = 10 799 Ncm2 4

s 65 mm mm 43,33 dm dmb) v = –– = ––––––– = 43,33 ––––– = –––––– • 60 ––––– = 26 –––––

t 1,5 s s 100 min mindm p • (0,25 dm)2 dm3 “

Q = v • A = 26 –––– • –––––––––––––– = 1,276 ––––– ≈ 1,3 ––––min 4 min min

c) Innendurchmesser des Rohres d = (8 – 2 • 1) mm = 6 mmcm3

1 300 –––––Q min cm 4 598 m m m

v = ––––––– = –––––––––––––– = 4 598 ––––– = ––––––––– ––– = 0,766 ––– ≈ 0,8 –––A p • (0,6 cm)2 min 100 • 60 s s s–––––––––––––

4

d) Die wirksame Kolbenkraft muss durch die Reibkraft FR aufgenommen werden. Die Reib-kraft FR = 10 799 N wird durch die 4 Spannkräfte (Normalkräfte) der Schrauben erzeugt.

FR 10 799 NFR = q • FN; FN = ––– = ––––––––– = 53 995 N

q 0,20

FN 53 995 NSpannkraft einer Schraube: FN‘ = ––– = ––––––––– = 13 499 N ≈ 13,5 kN

4 4

259/2. Spannhebel

a) M— = Mr

Fsp • Œ2 = Fk • Œ1Fk • Œ1 10 799 N • 60 mm

Fsp = –––––– = –––––––––––––––––– = 8 639 NŒ2 75 mm

b) F = Fk + Fsp = 10 799 N + 8 639 N = 19 438 N

F F 19 438 N Nc) p = ––– = ––––– = –––––––––––––––– = 162 –––––

A d • Œ 10 mm • 12 mm mm2

F F 19 438 N • 4 Nd) ta = –– = ––––––––––– = ––––––––––––––––– = 124 –––––

S d2 2 • p • (10 mm)2 mm22 • p • –––

4

9.4 Hydraulische Spannklaue

Page 182: Rechenbuch Metall Lösungen

182 Projektaufgaben: Hydraulische Spannklaue

e) Der maßgebende Querschnitt ist an den Bohrungen:S = (25 – 10) mm • 8 mm = 120 mm2

F 19 438 N Nsz = –––––– = ––––––––––––– = 81 –––––

2 • S 2 • 120 mm2 mm2

259/3. Gabel

a) 12H8 = 12 + 0,027/0 12e8 = 12 – 0,032/–0,059

GoB = 12,027 GuB = 12,000 GoW = 11,968 GuW = 11,941

PSH = GoB – GuW = 12,027 – 11,941 = 0,086

PSM = GuB – GoW = 12,000 – 11,968 = 0,032

b) Auf Länge bearbeitete Gabel ohne weitere Bearbeitung:

V1 = A • h = (22 mm)2 • 60 mm= 29 040 mm3

V2 = A • h

= 12 mm • 22 mm • 40 mm

= 10 560 mm3

p • d 2

V3 = A • h = –––––– • h4

p • (10 mm)2

= –––––––––––––– • 10 mm4

= 785 mm3

V4 = A • h = (5 mm)2 • 10 mm

= 250 mm3

p • d22V5 = A • h = ––––––– • h

4

p • (9,03 mm)2

= –––––––––––––– • 20 mm = 1 281 mm3

4

V = V1 – V2 – V3 – V4 – V5 = (29 040 – 10 560 – 785 – 250 – 1 281) mm3

= 16 164 mm3 ≈ 16,2 cm3

m = V • r = 16,2 cm3 • 7,85 g/cm3 = 127 g

c) Volumen des Rohteiles: VR = A • h = (22 mm)2 • 62 mm = 30 008 mm3

Zerspantes Volumen beim Bearbeiten auf Länge:

V6 = (22 mm)2 • 2 mm = 968 mm3

Insgesamt zerspantes Volumen:

DV = V2 + V3 + V4 + V5 + V6 = (10 560 + 785 + 250 + 1 281 + 968) mm3

= 13 844 mm3

DV 13 844 mm3

DV % = –––– • 100 % = –––––––––––– • 100 % = 46,1 %VR 30 008 mm3

259/4. Geometrische Grundlagen

● Die beiden Winkel können durch Aufzeichnen auf Papier mit genügender Genauigkeit oderauf einem CAD-System sehr genau ermittelt werden. Für die Berechnung benötigt man denCosinus- und den Sinussatz, die in den meisten Stoffplänen nicht vorgesehen sind. DerRechnungsgang soll trotzdem gezeigt werden.

V4 (Fasen)V3 (Bohrung)

V5 (Gewindebohrung) V2 (Ausfräsung)

Bild 259/3: Gabel

Page 183: Rechenbuch Metall Lösungen

Projektaufgaben: Hydraulische Spannklaue 183

9

Dreieck ACD:

������ ���������������������c = �a2 + d2 = � (60 mm)2 + (10 mm)2 = 60,83 mm

d 10 mmtan e = ––– = –––––––– = 0,1667; e = 9,46°a 60 mm

Dreieck ABC:

Nach dem Cosinussatz gilt:

a2 = b2 + c2 – 2 • b • c • cos g

b2 + c2 – a2 (552 + 60,832 – 602) mm2

cos g= ––––––––––– = ––––––––––––––––––––––––– = 0,46712 • b • c 2 • 55 • 60,83 mm2

g = 62,15°

Nach dem Sinussatz gilt:

sin d b––––– = –– ;sin g a

b 55 mmsin d = –– • sin g = –––––––– • sin 62,15°= 0,8105

a 60 mm

d = 54,14°

a = 90°+ e – g = 90°+ 9,46°– 62,15°= 37,31°

b = d + e = 54,14°+ 9,46°= 63,60°

260/5. Hydraulikaggregat

a) Für das Ausfahren der Kolbenstange wird lediglich ein Volumenp • d2 p • (2,5 cm)2

V = –––––– • s = ––––––––––––– • 6,5 cm = 31,9 cm3

4 4benötigt. Das nutzbare Ölvolumen des Hydraulikaggregates ist deshalb sehr viel größer,um auch größere oder mehrere Zylinder betreiben zu können, ohne dass der Ölspiegel imÖlbehälter zu stark schwankt.

b) Hydrauliköl (H) mit Zusätzen (L) zur Erhöhung der Korrosions- und Alterungsbeständig-keit und zusätzlichen Wirkstoffen (P), die den Verschleiß im Mischreibungsbereich ver-mindern. Die kinematische Zähigkeit beträgt 22 mm2/s (bei 40 °C).

c) Spannzylinder werden oft mit Drücken bis zu 500 bar betrieben. Diese hohen Drücke sindnicht mit Zahnradpumpen, sondern nur mit Kolbenpumpen erreichbar.

260/6. Hydraulikschaltplan

1 Ölbehälter 5 Manometer2 Pumpe 6 Druckschalter3 Elektromotor 7 Wegeventil4 Druckbegrenzungsventil 8 Hand-Notbetätigung

260/7. Elektroschaltplan

a) E1 Drehstrommotor E4 Stellschalter mit 1 Öffner und 1 SchließerE2 Transformator E5 RelaisE3 Sicherungen E6 elektromagnetisch betätigtes Ventil

b) D1 Motor mit 0,75 kW Nennleistung, 1,9 A Nennstrom, 400 V Nennspannung, für 50 Hz Netzfrequenz

D2 Der Gleichrichter gibt 28 V Gleichspannung (DC) ab.D3 Drehstromnetz (3) mit Schutzleiter (PE), 50 Hz Netzfrequenz, 400 V Nennspannung,

abgesichert mit einer trägen Sicherung von höchstens 6 A

d) Der Druckschalter S0 unterbricht beim eingestellten Druck die Stromversorgung für das Re-lais K1. Das Relais fällt ab und schaltet über die 3 sich öffnenden Kontakte K1 den Motor ab.

a = 60

a =

60

s =

65

b =

55

ab

Ablesung a=37° b=64°Zeichnerische Lösung

Rechnerische Lösung

a = 60

B

A

C

D

a =

60

b = 55

b

d

e

g

ec

a

d = 10

Bild 259/4: Geometrische Grundlagen

Page 184: Rechenbuch Metall Lösungen

184 Projektaufgaben: Folgeschneidwerkzeug

262/1. Streifenmaße

Steglänge Œe = 40 mm

Randlänge Œa = 20 mm

Für t = 1,5 mm folgt aus Tabelle 1 S. 262: Stegbreite = Randbreite a1 = a2 = 1,4 mm

B = b + a1 + a2 + 1 mm = (40 + 1,4 + 1,4 + 1) mm = 43,8 mm

V = Π+ e = (20 + 1,4) mm = 21,4 mm

262/2. Schneidkraft

a) Vorlochen

S = p • d • s + Œ • s= p • 10 mm • 1,5 mm + 2 • (16 + 8) mm • 1,5 mm= 119,1 mm2

N NtaB max = 0,8 • Rm max = 0,8 • 410 –––––– = 328 ––––––mm2 mm2

Fv = S • taB maxN= 119,1 mm2 • 328 ––––––

mm2

= 39 065 N

Ausschneiden:

FA = S • taB max

p • 12 mm p • 5 mmŒ = 2 • (40 – 6 – 2,5) mm + –––––––––––– + 8 mm + –––––––––– + (20 – 8 – 2 • 2,5) mm

2 2= 104,7 mm

S = Œ • b = 104,7 mm • 1,5 mm

= 157 mm2

NFA = S • taB max = 157 mm2 • 328 –––––– = 51 496 Nmm2

b) Fg = (FV + FA) • 1,2 = (39 065 + 51 496) N • 1,2

= 108 673 N

Fn • H 125 000 N • 0,012 mc) WD = –––––– = –––––––––––––––––––– = 100 N•m

15 15

2 2W = –– • Fg • s = –– • 108 673 N • 0,0015 m

3 3

= 108,7 N•m

d) Fg ≤ Fn W ≤ WD

108 673 N < 125 000 N 108,7 N•m > 100 N•m1. Bedingung erfüllt 2. Bedingung nicht erfüllt

Die Presse kann somit für dieses Werkstück nicht im Dauerhub eingesetzt werden.

R2,5

20

ø10

t =1,5

40

R6

8

16

Bild 262/2: Schneidkraft

9.5 Folgeschneidwerkzeug

Page 185: Rechenbuch Metall Lösungen

Projektaufgaben: Folgeschneidwerkzeug 185

9

262/3. Streifenausnutzung

A1 = (40 – 6 – 2,5) mm • 20 mm = 630 mm2

p • 122 mm2

2 • A2 = 2 • ––––––––––––– = 56,5 mm2

4 • 4

A3 = (20 – 12) mm • 6 mm = 48,0 mm2

p • 52 mm22 • A4 = 2 • ––––––––––– = 9,8 mm2

4 • 4

A5 = (20 – 5) mm • 2,5 mm = 37,5 mm2–––––––––––781,8 mm2

A • R 781,8 m2 • 1n = –––––– = –––––––––––––––––––– = 0,834 ‡ 83,4 %B · V 43,8 mm · 21,4 mm

Anmerkung: Bohrung ø 10 und Ausschnitt 15 × 8 gehören zum Teil und werden nicht abgezogen.(B und V vgl. Aufgabe 262/1.)

262/4. Schneidspalt

a) taB max = 328 N/mm2 (vgl. Lösung der Aufgabe 262/2.); s = 1,5 mm; u = 0,05 mm

b) Der Schneidplattendurchbruch erhält die Sollmaße des Werkstücks:Œ = 40 mm; b = 20 mm; R6 = 6 mm; R2,5 = 2,5 mm

Die Ausschneidstempel werden um das Spiel 2 · u bzw. u kleiner.Œ1 = Œ – 2 · u = 40 mm – 2 · 0,05 mm = 39,9 mm

b1 = b – 2 · u = 20 mm – 2 · 0,05 mm = 19,9 mm

R 61 = R6 – u = 6 mm – 0,05 mm = 5,95 mm

R 2,51 = R2,5 – u = 2,5 mm – 0,05 mm = 2,45 mm

Die Lochstempel (für die Bohrung ø 10 und die Aussparung 16 × 8) erhalten die Sollmaßedes Werkstücks.d = 10 mm; Œ = 16 mm; b = 8 mm

Die Schneidplattendurchbrüche werden um das Spiel 2 · u größer.d1= d + 2 · u = 10 mm + 2 · 0,05 mm = 10,1 mm

Œ1 = Œ + 2 · u = 16 mm + 2 · 0,05 mm= 16,1 mm

b1= b + 2 · u = 8 mm + 2 · 0,05 mm = 8,1 mm

262/5. Druckplatte

Runder Stempel:

NFs = S · taB max = p · 10 mm · 1,5 mm · 328 ––––– = 15 456,6 N

mm2

p · (12 mm)2A = ––––––––––––– = 113,1 mm2

4

Fsp = –––A

15 456,6 N= ––––––––––––

113,1 mm2

N N= 136,7 ––––– < 250 –––––

mm2 mm2

A 4

40

20R2,5 A 4A 5

A 2 A 2A 3

A 1

R6

Bild 262/3: Streifenausnutzung

Page 186: Rechenbuch Metall Lösungen

Eckiger Stempel:

S = 2 · (16 + 8) mm2 = 48 mm2

NFs = S · taB max = (48 · 1,5) mm2 · 328 ––––– = 23 616 N

mm2

A = Œ · b = 10 mm · 18 mm = 180 mm2

Fsp = –––A

23 616 N= ––––––––––

180 mm2

N N= 131,2 ––––– < 250 –––––

mm2 mm2

NEine ungehärtete Druckplatte reicht aus, da die Flächenpressung jeweils unter 250 ––––– liegt.

mm2

262/6. Masse der Schnittteile

a) Masse der Schnitteile ohne Berücksichtigung der gerundeten Ecken

A = A1 – A2 – A3p · 102

= 40 · 20 mm2 – 15 · 8 mm2 – –––––– mm2

4= (800 – 120 – 78,54) mm2 ≈ 601,5 mm2

V = A · h = 601,5 mm2 · 1,5 mm = 902,25 mm3

g m = r · V = 7,85 –––– · 0,90225 cm3 = 7,08 gcm3

Masse für 10 000 Teile:m’ = 7,08 g · 10 000 = 70 800 g ≈ 70,8 kg

b) Masse der Schnittteile mit Berücksichtigung der gerundeten Ecken

2 · p · 122 mm2

2 · A1 = –––––––––––––––– = 56,5 mm2

4 · 4

A2 = 8 mm · 6 mm = 48,0 mm2

A3 = 31,5 mm · 20 mm = 630,0 mm2

p · 52 mm2

2 · A4 = 2 · –––––––––––– = 9,8 mm2

4 · 4

2 · A5 = 2 · 3,5 mm · 2,5 mm = 17,5 mm2

A6 = 8 mm · 12, 5 mm = 100,0 mm2

p · 102 mm2

A7 = ––––––––––––– = 78,5 mm2

4

A = 2 · A1 + A2 + A3 + 2 · A4 + 2 · A5 – A6 – A7 = 583,3 mm2

V = A · h = 583,3 mm2 · 1,5 mm = 874,95 mm3

gm = r · V = 7,85 –––– · 0,87495 cm3 = 6,8684 g

cm3

Masse für 10 000 Teile: m‘ = 6,8684 g · 10 000 = 68 684 g= 68,7 kg

186 Projektaufgaben: Folgeschneidwerkzeug

A 4 A 4A 5

A 1 A 1A 2

A 7

31,5

A 3

A 6

A 5

Bild 262/5b: Masse der Schnittteile

A 1

A 2

A 3

Bild 262/5a: Masse der Schnittteile

Page 187: Rechenbuch Metall Lösungen

Projektaufgaben: Folgeschneidwerkzeug 187

9

263/7. Werkzeugführung

a) Bei einem Schneidwerkzeug mit Plattenführung werden die einzelnen Stempel durch einemit dem Werkzeug fest verbundene Führungsplatte geführt. Die Stempel können daherseitlich nicht ausweichen und die Schneidplatte beschädigen.

b) Die Führung erfolgt durch zwei gehärtete Säulen, die in ein Säulengestell eingebaut sind,das als Normteil fertig bezogen werden kann. Bei dieser Führungsart wird nicht der ein-zelne Stempel, sondern das ganze Oberteil des Werkzeugs geführt. Durch den großen Ab-stand der Führungssäulen ergibt sich eine wesentlich genauere Führung als bei der Plat-tenführung. Außerdem haben Schneidwerkzeuge mit Säulenführung eine längere Le-bensdauer, da der Verschleiß durch die längeren Gleitflächen geringer ist als bei Schneid-werkzeugen mit Plattenführung.

263/8. Arbeitsverfahren

a) Bei diesem Folgeschneidwerkzeug wird der Schneidvorgang in zwei Stufen aufgeteilt.Dadurch ist es möglich, das Schnittteil mit großer Genauigkeit herzustellen. Eine Auftei-lung in drei Stufen (Bohrung, Schlitz und Ausschneiden) hätte den Nachteil, dass dasWerkzeug unnötig lang und teuer würde und die Lage der Bohrung zum Schlitz unge-nauer wäre.

b) Beim Gesamtschneidwerkzeug wird gleichzeitig in einem Hub gelocht und ausgeschnit-ten. Die Lage der Innen- zur Außenform ist sehr genau. Das teurere Werkzeug lohnt sichallerdings nur bei großen Genauigkeitsanforderungen und bei hohen Stückzahlen.

263/9. Schneidplatte

a) Die ausgeschnittenen Schnittteile können leichterdurch die Schneidplatte durchfallen, wenn derDurchbruch durch einen Freiwinkel entsprechenderweitert ist.

Dub) tan a= –––––

b

Du = b · tan a = 0,2 mm · tan 0,25°= 0,000 87 mm

263/10. Schneidspalt

a) Die Größe des Schneidspaltes hängt von der Dicke und von der Festigkeit des zu schnei-denden Werkstoffes sowie von der Größe des Freiwinkels ab. Der Schneidspalt kann Ta-bellen entnommen werden.

b) Bei zu großem Schneidspalt wird die Schnittfläche rau und brüchig, der Grat ist stark ge-zackt. Die Schnittteile werden ungenau. Die Werkzeugbeanspruchung ist geringer als beizu kleinem Schneidspalt.

263/11. Lochstempel

a) Lochstempel werden meist mit einem kegeligen Kopf ausgeführt, damit die Flächenpres-sung nicht zu groß wird und die Abstreifkraft sicher aufgenommen wird.

Nb) F = S · taBmax = p · d · s · 0,8 · Rmmax = p · 8 mm · 3 mm · 0,8 · 510 ––––– = 30 762,5 N

mm2

Abstreifkraft pro StempelFA = 0,2 · 30 762,5 N = 6 152,5 N

263/12. Normalien

Normalien sind Bauelemente oder Baugruppen, die in ihren Abmessungen vereinheitlichtsind und die in Serien gefertigt werden. Dadurch ergeben sich kostengünstigere Werkzeuge.Die Einzelteile (z. B. Lochstempel, Säulengestelle, Einspannzapfen) können komplett undkurzfristig bezogen werden. Dadurch wird der Konstruktions- und Fertigungsaufwand erheb-lich reduziert.

Du

ab =

0,2

Bild 263/9: Schneidplatte

Page 188: Rechenbuch Metall Lösungen

188 Projektaufgaben: Tiefziehwerkzeug

263/14. Arbeitssicherheit

1. Das Werkzeug muss sowohl im Pressenstößel als auch auf dem Pressentisch sicher be -fes tigt sein.

2. Das Werkzeug sollte möglichst durch ein Schutzgitter oder eine Schutzscheibe gesichert sein.3. Der Abstand zwischen Unterkante Führungsplatte und Oberkante Schneidplatte muss

kleiner als 8 mm sein.4. Eine Nachschlagsicherung soll bewirken, dass beim Arbeiten mit Einzelhub unbeabsich-

tigte Stößelniedergänge vermieden werden.5. Eine Zweihandeinrückung verhindert, dass die Hände im Gefahrenbereich sind, während

der Stößel niedergeht.6. Lichtschranken stoppen die Stößelbewegung, sobald der Lichtstrahl z. B. durch eine

nachgreifende Hand unterbrochen wird.

Nr. Benennung Gewählter Werkstoff Erläuterung

1 Grundplatte S235JR Unlegierter Stahl (Stahlbau), Mindest-streckgrenze Re = 235 N/mm2, mit garantier-ter Kerbschlagzähigkeit

2 Schneidplatte C105U Unlegierter Werkzeugstahl mit 1,05 % Koh-lenstoffgehalt (U = für Werkzeuge)

3 Führungsplatte E295 Unlegierter Stahl (Maschinenbau), Min-deststreckgrenze Re = 295 N/mm2

4 Stempelplatte C45U Unlegierter Werkzeugstahl (U = für Werk-zeuge) mit 0,45 % Kohlenstoffgehalt

5 Druckplatte 90MnCrV8 Niedrig legierter Kaltarbeitsstahl mit 0,9 %Kohlenstoffgehalt, 2 % Mangan, Chrom-und Vanadiumgehalt nicht angegeben

6 Kopfplatte E295 Vgl. Nummer 3

7 Zwischenlage E295 Vgl. Nummer 3

8 Ausschneidstempel X210CrW12 Hochlegierter Kaltarbeitsstahl mit 2,1 %Kohlenstoffgehalt, 12 % Chromgehalt, Wolf -ramgehalt nicht angegeben.

263/13. Werkstoffe

265/1. Tiefziehen

a) Tiefziehen ist das Umformen eines Blechzuschnittes unter Einwirkung von Zug und Druck.Beim Tiefziehen wird das Ziehteil, das vom Niederhalter arretiert wird, durch den Zieh-stempel in den Ziehring gedrückt. In mehreren Ziehstufen wird das Werkstück vom Zu-schnitt bis zum Fertigzug gefertigt.

b) Es kommt beim Tiefziehen zu Fließvorgängen, die durch Zug- und Druckbeanspruchun-gen ausgelöst werden.Die Zugbeanspruchungen treten vom Mittelpunkt des Ziehteiles auf. Während des Einzu-ges in den Ziehring treten im Werkstoff radiale Reckungen auf. Die Beanspruchungsver-hältnisse verändern sich beim Ziehvorgang ständig. Dabei treten am Ziehteil außer denradialen Spannungen auch tangentiale Beanspruchungen auf.

c) – durch Drehen– durch Schweißen– durch Löten– durch Kleben– durch Bördeln

d) Neben dem Tiefziehen mit starren Werkzeugen gibt es das– Tiefziehen mit elastischen Werkzeugen– Tiefziehen mit Wirkmedien (Hydroformverfahren)

9.6 Tiefziehwerkzeug

Page 189: Rechenbuch Metall Lösungen

Projektaufgaben: Tiefziehwerkzeug 189

9

265/2. Zuschnittermittlung

������������������������������a) D = �d12 + 2 · p · (d1 + r) · r + 4 · d2 · h

���������������������������������������������������������������������D = �(18 mm)2 + · 2 · p · (18 mm + 3,6 mm) · 3,6 mm + 4 · 24 mm · (40 mm – 3,6 mm) = 65,63 mm

D ≈ 66 mm

b) Nein; Verwendung von Tiefziehlack hat keinen Einfluss auf den Durchmesser des Zuschnitts.

265/3. Oberflächenbehandlung des Zuschnittwerkstoffes

a) – Verkupfern– Verzinnen– Lacküberzug– Überzug mit Ziehfilm oder Ziehfett

b) Die Ziehfähigkeit (Umformgrad) des Bleches wird verbessert.

265/4. Ziehverhältnis

a) Das Ziehverhältnis hat Einfluss auf den Stempeldurchmesser beim jeweiligen Zug. Es gilt:

D D 120 mmb1 = ––– ; d1 = ––– = ––––––––– = 60 mm; d1 b1 2,0

b) Das Ziehverhältnis gibt das maximale Verhältnis von Zuschnittdurchmesser und Stem-peldurchmesser an. Ist der geforderte Durchmesser des Ziehteils kleiner als der maximalerrechnete Stempeldurchmesser, so muss in mehreren Zügen gefertigt werden.

c) – Werkstofffestigkeit– Materialdicke– Radien– Schmiermittel– Oberflächengüte von Werkzeug und Werkstoff

265/5. Ziehverhältnis und Stufenfolge

a) D = 66 mm aus Aufgabe 2

D 66 mmb = ––– = –––––––– = 2,75;

d 24 mm

b1max = 2,0; b > bmaxπ Das Teil kann nicht in einem Zug gefertigt werden. Es sind 3 Züge

erforderlich (aus Teilaufgabe b).

D 66 mmb) d1 = –––––– = –––––––– = 33 mm

b1max 2,0

d1 33 mmd2 = –––––– = –––––––– = 25,4 mm

b2max 1,3

d2 25,4 mmd3 = –––––– = ––––––––– = 21,2 mm

b3max 1,2

Da erst der Durchmesser d3 kleiner als 24 mm ist, sind 3 Züge und somit 3 Ziehstufen er-forderlich.

D 66 mmc) b1 = ––– = –––––––– = 1,89 b1 < b1maxd1 35 mm

d1 35 mmb2 = ––– = –––––––– = 1,25 b2 < b2maxd2 28 mm

d2 28 mmb3 = ––– = –––––––– = 1,17 b3 < b3maxd3 24 mm

d) b = b1 · b2 · b3 = 1,89 · 1,25 · 1,17 = 2,76

d. h., der Stempel muss mindestens 60 mmDurchmesser haben.

Page 190: Rechenbuch Metall Lösungen

190 Projektaufgaben: Tiefziehwerkzeug

266/6. Ziehspalt

a) Der Ziehspalt ist der Zwischenraum zwischen Ziehring und Ziehstempel.b) Beim Ziehen entsteht an der Ziehkante eine Werkstoffanhäufung. Wäre der Ziehspalt

nicht größer als die Blechdicke, käme es zu einer Streckung des Materials.c) Blechdicke, Werkstoff.

����� �������d) w = s + 0,07 �10 · s = 0,6 mm + 0,07 �10 · 0,6 mm = 0,77 mm

266/7. Fehler am Ziehteil

a) Werkstofffehler: Querrisse oder ZipfelbildungWerkzeugfehler: Bodenreißer oder ZiehriefenVerfahrensfehler: Faltenbildung oder Druckspuren

b) Niederhaltekraft zu gering.c) Werkstofffehler oder Ziehspalt zu gering oder Blechhalterkraft zu groß.

266/8. Niederhalter

a) dN = d1 + 2 · (w + rr) = 35 mm + 2 · (0,77 mm + 2 mm) = 40,54 mm

p pb) AN = ––– · (D 2 – dN

2) = ––– · (662 mm2 – 40,542 mm2) = 2 130 mm2

4 435 mm 330 N/mm2

c) FN = pN · AN = [(1,89 – 1)2 + –––––––––––––– ] · –––––––––––– · 2 130 mm2 = 1 904,4 N200 · 0,6 mm 400

266/9. Schmierstoffe

a) – Schutz des Werkzeuges und des Werkstoffes vor Verschleiß und Abrieb.– Sicherung hoher Oberflächenqualität des Ziehteiles.– Vermeidung von Korrosion.– Verträglichkeit mit nachfolgenden Fertigungsverfahren.

b) – Ziehöle und Ziehfette– Rüböl– Seifenlauge– Talg– Kupfersulfatschicht– Metallbeschichtungen

266/10. Druckfeder

a) – Schraubenfeder (Spiralfeder)– Blattfeder– Drehfeder– Tellerfeder

b) Die Federrate R gibt an, welche Kraft F in N erforderlich ist, damit die Feder um den Wegs verformt wird.

F 5 400 Nc) FF = –– = –––––––– = 900 N (Parallelschaltung von Federn)

6 6FF 900 N N

FF = R · s; R = ––– = ––––––– = 30 ––––s 30 mm mm

266/11. Passungen0 – 0,027

24h6 = 24 – 0,013 24S7 = 24 – 0,048

PÜH = GuB – GoW = 23,952 – 24,000 = – 0,048 mm

PÜM = GoB – GuW = 23,973 – 23,987 = – 0,014 mm

Übermaßpassung

0 0,05324h6 = – 0,013 24F8 = 24 0,020

PSM = GuB – GoW = 24,020 – 24,000 = 0,020 mm

PSH = GoB – GuW = 24,053 – 23,987 = 0,066 mm

Spielpassung

Page 191: Rechenbuch Metall Lösungen

268/1. Grundbegriffe

a) Die Neigung entspricht den Aushebeschrägen beim Gießen. Sie dienen dem besserenEntfernen aus der Form.

b) Die Abkühltemperatur hat Einfluss auf die Gefügebildung des Spritzlings. Gleiche Tempe-ratur für jeden Schuss ergibt gleiche Gefüge.

c) Im Bild 3 wird ein Tunnelanguss verwendet.Andere Angussarten: Stangen- oder Kugelanguss, Punktanguss, Teller- und Scheibenan-guss, Schirmanguss, Ringanguss, Film- oder Bandanguss.

268/2. Granulat

a) VFT = Abdeckung V1 + Rand V2 + Zylinder V3V1 = 36 mm · 24 mm · 1,8 mm = 1 555,2 mm3

V2 = (2 · 1,8 · 36 + 2 · 1,8 · 20,4) mm2 · (3 – 1,8) mm = 243,65 mm3

(3,5 mm)2 · pV3 = 2 · –––––––––––– · (4 – 1,8) mm = 42,33 mm3

4 VFT = 1 555,2 mm3 + 243,65 mm3 + 42,33 mm3 = 1 841,18 mm3

gb) m = n · VFT · r · 1,25 = 50 000 · 1,841 cm3 · 0,91 –––– ·1,25 = 104 706,875 g = 104,7 kg

cm3

268/3. Schwindung

a) Die Form muss um die Schwindung größer sein, als das Fertigteil.

b) Nach dem Ausformen schwindet das Formteil noch geringfügig weiter.

Œ · 100 % 36 mm · 100 %c) Œ1 = –––––––––; Œ1 = –––––––––––––– = 36,55 mm

100 % – S 100 % – 1,5 %

24 mm · 100 %Œ2 = –––––––––––––– = 24,37 mm

100 % – 1,5 %

4 mm · 100 %Œ3 = –––––––––––––– = 4,06 mm

100 % – 1,5 %

3 mm · 100 %Œ4 = –––––––––––––– = 3,05 mm

100 % – 1,5 %

268/4. Auswerferstift

a) Spielpassung (geringes Passungsspiel)

b) PSH = ES – ei = 12 mm – (– 12 mm) = 24 mmPSM = EI – es = 0 mm – (– 4 mm) = 4 mm

c) GoB = N + ES = 3,5 mm + 0,012 mm = 3,512 mm < 3,52 mmDas Maß liegt außerhalb der Toleranz!

268/5. Maschinenauswahl

a) AP = Œ · b = 36 mm · 24 mm = 864 mm2 = 8,64 cm2

b) Zwei Formteile im WerkzeugNFA = 2 · AP · pW = 2 · 8,64 cm2 · 1 500 · 10 –––– = 259 200 N = 259,2 kN

cm2

c) FZ = j · FA = 1,25 · 259,2 kN = 324 kN

Maschine 2 ist zu wählen!

Projektaufgaben: Spritzgießwerkzeug 191

9

9.7 Spritzgießwerkzeug

Page 192: Rechenbuch Metall Lösungen

269/6. Einstellwerte

a) Fließfähigkeit zu gering; Form füllt sich nicht.

b) Es bilden sich „Schwimmhäute“; Kunststoff drückt aus der Kavität in die Trennebene.

c) Düse hebt ab; Kunststoff wird an der Düse herausgedrückt und schließt nicht mehr sau-ber.

d) Es wird zu viel Masse gefördert; Formteil wird zu groß, und beim Trennen der Düse fließtMasse nach.

e) Kunststoff ist noch nicht fest, das Formteil wird beschädigt.

269/7. Hydraulikzylinder

FZmin 200 000 N Na) pmin = ––––– = ––––––––––––––––––––––––– = 41,45 ––––– = 414,5 bar

A (80 mm)2 · p (16 mm)2 · p mm2

–––––––––––– – –––––––––––– 4 4

FZmax 500 000 N Nb) pmax = ––––– = ––––––––––––––––––––––––– = 103,62 ––––– = 1 036,2 bar

A (80 mm)2 · p (16 mm)2 · p mm2

–––––––––––– – –––––––––––– 4 4

FZ 365 000 N Nc) p = ––––– = ––––––––––––––––––––––––– = 75,64 ––––– = 756,4 bar

A (80 mm)2 · p (16 mm)2 · p mm2

–––––––––––– – –––––––––––– 4 4

269/8. Auswerferstift

a) Fmax = 3 · Fzul; Fzul = pzul · AN (3,5 mm)2 · pFmax = 3 · pzul · A = 3 · 50 ––––– · –––––––––––– = 1 443,17 N = 1,443 kN

mm2 4

F 10 000 N Nb) p = ––––– = ––––––––––––––––––––––––– = 282,94 –––––

Ap (7 mm)2 · p (2 mm)2 · p mm2

–––––––––––– – –––––––––––– 4 4

Npmin = 30 –––––; Andruckkraft ist ausreichend!mm2

269/9. Zykluszeit

a) Werkzeug schließen – Einspritzen – Nachdrücken – Dosieren – Halten – Werkzeug öffnen –Auswerfen

b) tk = s (1 + 2 · s) = 4 · (1 + 2 · 4) = 36tk = 36 Sekunden

192 Projektaufgaben: Qualitätsmanagement am Beispiel eines Zwischengetriebes

271/1. Abtriebswelle

a) k = ��n = ���50 = 7,07 ≈ 7

R xmax – xmin 20,018 mm – 20,006 mmw = –– = –––––––––– = ––––––––––––––––––––––– = 0,0017 mm ≈ 0,002 mm

k k 7

9.8 Qualitätsmanagement am Beispiel eines Zwischengetriebes

Page 193: Rechenbuch Metall Lösungen

Projektaufgaben: Qualitätsmanagement am Beispiel eines Zwischengetriebes 193

9

Klasse Nr. Messwert Strichliste nj hj in %

≥ <

1 20,006 20,008 || 2 4

2 20,008 20,010 |||| 5 10

3 20,010 20,012 |||| |||| | 11 22

4 20,012 20,014 |||| |||| ||| 13 26

5 20,014 20,016 |||| |||| 10 20

6 20,016 20,018 |||| | 6 12

7 20,018 20,020 ||| 3 6

S = 50 100

c) 20k6 nach Tabellenbuch ∫ OGW = 20,015 mmUGW = 20,002 mm

Es handelt sich um eine normalverteilte Stichprobe, d. h., es sind nur zufällige Einflüssewirksam.Der Mittelwert liegt außerhalb der Toleranzmitte.Der Streubereich entspricht ungefähr dem Toleranzfeld.Es wird ein merklicher Anteil fehlerhafter Teile (Bauteildurchmesser größer 20,015 mm)produziert.

271/2. Histogramm

a) Bei der ersten Stichprobe der Ritzelwelle handelt es sich um eine Normalverteilung(Glockenkurve).

b) Bewertung der ersten Stichprobe

Der Mittelwert der Stichprobe liegt etwa auf dem oberen Grenzwert (OGW).Der Streubereich ist größer als das Toleranzfeld.Ungefähr 50 % der gefertigten Abtriebswellen haben einen zu großen Durchmesser.

Bewertung der zweiten Stichprobe

Die Verteilform ist mehrgipflig.Das deutet auf die Mischung zweier Verteilungen hin.Es liegen somit systematische Einflüsse vorSämtliche Durchmesser liegen innerhalb der Toleranz.

b)

Bauteildurchmesser d

abso

lute

Häu

fig

keit

nj

2

4

6

8

10

n = 5012

14

20,0

02

4 %

8%

12 %

16%

20 %

24 %

28 %

20,0

04

20,0

06

20,0

08

20,0

10

20,0

12

20,0

14

20,0

16

20,0

18

20,0

20

mm

20,0

15

rela

tive

Häu

fig

keit

hj

UGW OGWToleranzmitte

Bild 271/1b: Abtriebswelle

Page 194: Rechenbuch Metall Lösungen

194 Projektaufgaben: Qualitätsmanagement am Beispiel eines Zwischengetriebes

c)

x– = 20,015 mms = 0,003 mm = 3 mm

272/3. Auswertung der Stichprobe der Ritzelwelle

x1 + x2 + … + xn 20,011 + 20,013 + … + 20,009a) x– = ––––––––––––––– = ––––––––––––––––––––––––––– = 20,0126 mm

n 50

���������� �������������������������������������������S (xi – x–)2 (20,011 – 20,0126)2 + … + (20,009 – 20,0126)2

b) s = � –––––––––– = � –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– = 0,0030 mmn – 1 (50 – 1)

c) R = xmax – xmin = 20,018 mm – 20,006 mm = 0,012 mm

272/4. Lagerdeckel

a) Die Maschinenfähigkeitsuntersuchung wird im Rahmen eines Kurzzeitversuchs unteridealen Bedingungen zur Beurteilung und Klassifizierung von Maschinen durchgeführt.

b)

Bauteildurchmesser d

abso

lute

Häu

fig

keit

nj

0

Wendepunkt

20,0

00123456789

20,0

04

20,0

08

20,0

12

20,0

16

20,0

20

mm

20,0

24

sx

Bild 271/2c: Histogramm

Klasse Nr. Messwert Strichliste nj hj in % Fj in %

≥ <

1 29,976 29,984 | 1 2 2

2 29,984 29,992 || 2 4 6

3 29,992 30,000 |||| |||| 9 18 24

4 30,000 30,008 |||| |||| |||| |||| | 21 42 66

5 30,008 30,016 |||| |||| ||| 13 26 92

6 30,016 30,024 ||| 3 6 98

7 30,024 30,032 | 1 2 100

Hinweis: Das Wahrscheinlichkeitsgesetz kann von der dem Rechenbuch beigefügtenBilder-CD entnommen werden.

Page 195: Rechenbuch Metall Lösungen

Projektaufgaben: Qualitätsmanagement am Beispiel eines Zwischengetriebes 195

9

Fj

s

– 3

– 2

– 1

0

+ 1

+ 2

+ 3

99,98

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

0,5

0,1

0,05

99,95

99,9

%

99,98

0,02

0,5

1

5

10

20

30

40

50

60

70

80

90

95

99

99,5

99,9

99,95

0,05

0,1

(100

%–

Fj)

%

29,9

76

29,9

84

29,9

92

30,0

00

30,0

08

30,0

16

30,0

24

30,0

3230

,033

mm

0,2 %

OG

W

35%U

GW

Messwerte

Bild 272/4b: Lagerdeckel

Es kann auf eine Normalverteilung geschlossen werden, da die Summen der relativenHäufigkeiten Fj im Wahrscheinlichkeitsnetz angenähert eine Gerade ergeben.

c) x– = 30,004 mm

s = 0,010 mm = 10 mm

d) 30H8 aus Tabellenbuch ∫ OGW = 30,033 mmUGW = 30,000 mm

Im Gesamtlos zu erwartende Überschreitungsanteile:35 % zu kleiner Durchmesser0,2 % zu großer Durchmesser(abgelesen aus dem Wahrscheinlichkeitsnetz)

e) 30H8 ∫ T = 30,033 mm – 30,000 mm = 0,033 mm = 33 mm

T 33 mmcm = ––––– = ––––––––– = 0,556 · s 6 · 10 mm

Page 196: Rechenbuch Metall Lösungen

Ermittlung von Dkrit:OGW – x– = 30,033 mm – 30,004 mm = 0,029 mmx– – UGW = 30,004 mm – 30,000 mm = 0,004 mm→ Dkrit = 0,004 mm = 4 mm

Dkrit 4 mmcmk = ––––– = ––––––––– = 0,133 · s 3 · 10 mm

Die Maschinenfähigkeit ist nicht nachgewiesen, da cm = 0,55 < 1,67 und cmk = 0,13 < 1,67ist.

272/5. Prozessregelkarte

a) Mittelwertkarte: aus Tabelle 114/1 im Rechenbuch: A3 = 1,427OEGx– = x=Vorlauf + A3 · s–Vorlauf = 30,0165 mm + 1,427 · 0,005 mm = 30,024 mmUEGx– = x=Vorlauf – A3 · s–Vorlauf = 30,0165 mm – 1,427 · 0,005 mm = 30,009 mm

Standardabweichungskarte: aus Tabelle 114/1 im Rechenbuch: B4 = 2,089OEGs = B4 · s–Vorlauf = 2,089 · 0,005 mm = 0,010 mmUEGs = nicht definiert

b) siehe Lösung c)

c) Für Stichprobe m = 1 ergibt sich:

x1 + x2 + … + xn (30,005 + 30,008 + 30,013 + 30,008 + 30,013) mmx–1 = ––––––––––––––– = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– = 30,009 mm

h 5

���������� �������������������������������������������������������������������S (xi – x–)2 [(30,005 – 30,009)2 + (30,008 – 30,009)2 + … + (30,013 – 30,009)2] mm2

s1 = � –––––––––– = � ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––n – 1 (5 – 1)

= 0,0035 mm

196 Projektaufgaben: Qualitätsmanagement am Beispiel eines Zwischengetriebes

m x1 x2 x3 x4 x5 x– s

1 30,005 30,008 30,013 30,008 30,013 30,009 0,0035

2 30,008 30,008 30,012 30,007 30,016 30,010 0,0038

3 30,016 30,012 30,008 30,009 30,008 30,011 0,0034

4 30,018 30,0015 30,016 30,015 30,009 30,012 0,0067

5 30,019 30,016 30,015 30,009 30,008 30,013 0,0047

6 30,019 30,015 30,016 30,021 30,016 30,017 0,0025

7 30,018 30,015 30,019 30,021 30,018 30,018 0,0022

8 30,018 30,024 30,025 30,023 30,025 30,023 0,0029

9 30,023 30,025 30,025 30,023 30,03 30,025 0,0029

10 30,034 30,036 30,028 30,038 30,045 30,036 0,0062

11 30,056 30,046 30,043 30,039 30,042 30,045 0,0065

Page 197: Rechenbuch Metall Lösungen

d) Seit dem Beginn der Prozessüberwachung steigt der Mittelwert.Es handelt sich um einen Trend, da sieben oder mehr aufeinander folgende Prüfergeb-nisse eine ansteigende Tendenz zeigen.

Projektaufgaben: Qualitätsmanagement am Beispiel eines Zwischengetriebes 197

9

30,046

30,041

30,036

30,031

30,026

30,021

30,016

30,011

30,006

30,024

30,009

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Stichproben

OEG

TM

UEG

mm

Bild 272/5b: Mittelwertkarte x

0,012

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Stichproben

OEG

UEG

mm

0,010

0,008

0,006

0,004

0,002

0

Bild 272/5c: Standardabweichungskarte s

Page 198: Rechenbuch Metall Lösungen

198 Projektaufgaben: Pneumatische Steuerung

274/1. Steuerungsablauf

a) Nach Betätigung von 1S3 oder 1S4 und 1-Signal von 2S1 schaltet das bistabile Stellglied1V3 π Kolbenstange von Zylinder 1A fährt langsam aus (Abluftdrosselung); 1S1 geht inDurchflussstellung; Kolbenstange von 1A betätigt 1S2 π 1-Signal am monostabilen Stell-glied 2V2 π Stellglied 2V2 in Selbsthaltung; Kolbenstange des Zylinders 2A fährt langsamaus (Abluftdrosselung) π 2S1 geht in Sperrstellung; 2S2 wird betätigt; 2S2 schaltet 1V3um; Kolbenstange von Zylinder 1A fährt ein und schaltet 1S1; 1S1 hebt die Selbsthaltungauf π Feder am monostabilen Stellglied 2V2 steuert den Steuerkolben so, dass Kolbenvon 2 A wieder einfährt und endlagengedämpft 2S1 durchschaltet; Zyklus ist durchlaufen.

b)

274/2. Steuerungsart

a) Schaltkreis 1: Haltegliedsteuerung;

Schaltkreis 2: Haltegliedsteuerung;

b) Schaltkreis 1: Verursacher ist Stellglied 1V3 (bistabiles Bauteil)Schaltkreis 2: Verursacher ist eine Selbsthalteschaltung (Speicherung über Schaltlogik)

274/3. Aufbereitungseinheit

Die Aufbereitungseinheit setzt sich aus folgenden Teilen zusammen

2S1

1S12S2

2S11S2

1S3 1S4

1 A

2 A

Bild 274/1: Funktionsdiagramm

1

2

3

4

5

(1S3v1S4) 2S1v

1V3-14

1S2

2V2-14:=1

2S2

1V3-12

2V2-14:=0

1S1

2S1

Bild 274/1: Grafcet

1 Filter

2 Druckreduzierventil

3 Manometer

4 Öler

1 2 3 4

Bild 274/3: Aufbereitungseinheit

274/4. Stellglieder

a) Aus steuerungstechnischer Sicht könnten auch 4/2 Wegeventile verwendet werden.b) Beim 5/2 Wegeventil wird die Kolbenseite über Anschluss 5 und die Kolbenstangenseite

über Anschluss 3 entlüftet. Deshalb können diese Anschlüsse zum Steuern der Kolbenge-schwindigkeiten verwendet werden.Bei einem 4/2 Wegeventil erfolgt die Entlüftung von Kolbenseite und Kolbenstangenseiteüber Anschluss 3. Deshalb können die Geschwindigkeiten der Ausfahr- und Einfahrbewe-gung an Anschluss 3 nicht getrennt eingestellt werden.

9.9 Pneumatische Steuerung

Page 199: Rechenbuch Metall Lösungen

Projektaufgaben: Pneumatische Steuerung 199

9

274/5. Abluftdrosselung

a) Die Abluftdrosselung könnte auch mit Hilfe eines Drosselventils am Entlüftungsanschlussdes Stellgliedes für die Ausfahrbewegung erreicht werden.

b) Durch die Abluftdrosselung fährt der Zylinderkolben immer gegen eine Gegenkraft, her-vorgerufen durch das Luftpolster an der Drosselstelle, an. Dadurch kommt es zu einergleichmäßigeren und ruhigeren Bewegung.

274/6. Luftverbrauch

Luftverbrauch eines doppeltwirkenden Zylinders:

pe + pambQ = 2 · A · s · n · ––––––––––pamb

p · (1 dm)2 6 bar + 1 barQ = 2 · ––––––––––––– · 2 dm · 1 · –––––––––––––– = 21,99 dm3 ≈ 22 —

4 1 bar

Für die zwei Zylinder 1A und 2A gilt somitQges.= 2 · Q = 2 · 22 — = 44 —

274/7. Kolbenkräfte

Ausfahrender Kolben F1:

daN daN pF1 = pe · A · n = (7,2 ––––– – 1 –––––) · 102 cm2 · –– · 0,85 = 413,69 daN ≈ 4,14 kN

cm2 cm2 4

Einfahrender Kolben F2:

daN daN pF2 = pe · A · n = (7,2 ––––– – 1 –––––) · [(10 cm)2 – (2,5 cm)2] · –– · 0,85 = 388,03 daN ≈ 3,88 kN

cm2 cm2 4

274/8. Logische Verknüpfung

a) 1S3 1S4 2S1 E14 c)

0 0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

1 1 0 0

0 0 1 0

1 0 1 1

0 1 1 1

1 1 1 1

b) E14 = (1S3 ; 1S4) : 2S1

275/9. Selbsthalteschaltung–––

a) K1 = (S1 ; K1) : S0

b) c)

E14

1S3

1S4

2S1&

>1

Bild 274/8: Logikplan

24 V DC

0 V

K1A1

A2

S0

S1 K1

Bild 275/9: Stromlaufplan

K1S1

S0&

>1

Bild 275/9: Logikplan

Page 200: Rechenbuch Metall Lösungen

200 Projektaufgaben: Pneumatische Steuerung

275/10. Elektropneumatische Steuerung

a) Pneumatikschaltplan

b) Elektrik

275/11. Wirkungen des elektrischen Stroms

a) Verantwortlich ist die magnetische Wirkung.

b) Wärmewirkung; Lichtwirkung; chemische Wirkung

275/12. Gemischte Schaltung

a)

RA-C = RA + RT + RB = 500 O + 20 O + 800 O = 1 320 ORA-C = RA-D = RB-C = RB-D

1A 1S1 1S2

1V2

1V11M1 1M2

2A 2S1 2S2

2V2

2V12M1 a ba b

Bild 275/10a: Pneumatik-Schaltplan

24 V DC

0 V

K1A1

A2

1S1

1S2K1

2M1

K1

1M2

2S2S3 S4

1M1

2S1

Bild 275/10b: Stromlaufplan

RAA C

R T R B

Bild 275/12a: Reihenschaltung

Page 201: Rechenbuch Metall Lösungen

Projektaufgaben: Pneumatische Steuerung 201

9

b)

RB · RBRA-CD = RA + RT + –––––––– = RA + RT + 0,5 · RB =RB + RB

= 500 O + 20 O + 0,5 · 800 O = 920 Ω

c)

RA · RARAB-C = –––––––– + RT + RB = 0,5 · RA + RT + RB =RA + RA

= 0,5 · 500 O + 20 O + 800 O = 1 070 Ω

d)

RA · RA RB · RBRAB-CD= –––––––– + RT + –––––––– = 0,5 · RA + RT + 0,5 · RB =RA + RA RB + RB

= 0,5 · 500 O + 20 O + 0,5 · 800 O = 670 O

e) Der größtmögliche Strom fließt bei Berührung der Spannungsquelle mit beiden Händenund der Stromfluss über beide Beine π RAB-CD = 670 O

U 24 VI = ––– = ––––––– = 0,0358 A = 35,8 mA

R 670 O

RAA CD

R T

R B

R B

Bild 275/12b: Gemischte Schaltung

RA

CR T R B

ABRA

Bild 275/12c: Gemischte Schaltung

RA

CDR T

R B

ABRA R B

Bild 275/12d: Gemischte Schaltung

Page 202: Rechenbuch Metall Lösungen

202 Projektaufgaben: Pneumatische Steuerung

275/13. Anweisungsliste für eine SPS

000: U E 0.2

001: O E 0.3

002: U E 0.4

003: = A 0.0

004: U E 0.1

005: S A 0.1

006: U E 0.5

007: S A 0.1

008: U E 0.0

009: R A 0.2

275/14. SPS Programmiersprachen

a) Programmiersprachen nach IEC 61131Funktionsplan – FUP

Anweisungsliste – AWL

Kontaktplan – KOP

Graph

Structured language – SCL

b) FUP: Es werden die Symbole und Schaltzeichen der digitalen Steuerungstechnik ver-

wendet.

AWL: Einfache textorientierte Fachsprache

KOP: Stromlaufplanähnliche Struktur

Graph: Ablaufsteuerungen können programmiert werden

SCL: Programmiersprache in Textform

Page 203: Rechenbuch Metall Lösungen

b) Funktionstabelle:

B3(K3) B2(K2) B1(K1) A A A

optisch kapazitiv induktiv Metall Kunststoffschwarz

Acryl

0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 1

0 1 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0

1 1 0 0 1 0

1 1 1 1 0 0

c) Funktionsgleichung:Metall : A = B1 ^ B2 ^ B3 oder K_M = K1 ^ K2 ^ K3Kunststoff (Schwarz): A = B13 ^ B2 ^ B3 oder K_KS = K13 ^ K2 ^ K3Acrylglas: A = B13 ^ B2 ^ B33 oder K_Ac = K13 ^ K2 ^ K33

Projektaufgaben: Elektropneumatik – Sortieren von Materialien 203

9

277/1. Materialsortierung durch Sensoren

a) Tabelle der Näherungssensoren (berührungslos)

Näherungs -

sensoren

B1: induktiv B2: kapazitiv B3: optisch

Symboldarstellung (BN)

(BU)

(BK)

(BN)

(BU)

(BK)

(BN)

(BU)

(BK)

Physikalisches Funktionsprinzip

Schaltet, wenn einObjekt das magneti-sche Streufeld desSensors beeinflusst

Schaltet, wenn einObjekt das elektri-sche Streufeld desSensors beeinflusst

Schaltet, wenn ein Objekt das Infrarotfelddes Sensors beein-flusst

EinsatzMaterialien(Werkstoffe)

Spricht bei allenelektrisch/magne-tisch leitendenWerkstoffen an. Z. B. Metalle oderGrafit

Alle Materialien, die ein elektrisches Feld stören können.Z. B. Metall, Kunst-stoffe, Wasser, Glas, Keramik usw.

Alle Materialien außer lichtdurchläs-sige Stoffe

Einbaugesichts-punkteBesonderheiten

Objektdistanz bis150 mm; Zwei- undDreileitertechnik;hohe Schaltgenau-igkeit

Objektdistanz bis 40 mm; Zwei- undDreileitertechnik;schmutzunempfind-lich

Objektdistanz bis 2 m,Drei- oder Vierleiter -technik; schmutz- undfremdlichtempfindlich;als Einweg- oder Re -flexionslichtschranke

9.10 Elektropneumatik – Sortieren von Materialien

Page 204: Rechenbuch Metall Lösungen

277/2. Einzelschritte von Ablaufsteuerungen

a) Der Schritt N wird durch ein Signalelement oder einen Sensor eingeleitet oder gesetzt.Zusätzlich wird in Reihe (UND_Verknüpfung) über Hilfsschließer abgefragt, ob der vor-hergehende Schritt gesetzt wurde (Schritt N-1). Wenn Reset_N+1 nicht aktiv ist, zieht Re-lais für den Schritt N an (Schritt_N) und geht über einen Hilfsschließer im parallelenStrompfad in Selbsthaltung. Im Leistungsteil wird über einen weiteren Hilfsschließer nundie Aktion ausgeführt; dies wird in Bild 2 nicht gezeigt. Wird der nächste Schritt N+1 da-durch eingeleitet und aktiv, so erfolgt ein Rücksetzen des Schrittes N über einen Öffnerdieses Schrittes. Wichtig ist, dass dieses Löschen erst erfolgt, wenn Schritt N+1 schon inSelbsthaltung gegangen ist (Spätöffnerprinzip).

b) Jeder einzelne Ablaufschritt wird mit einer Selbsthaltung umgesetzt; diese ist dominie-rend löschend.

c) Funktionsplan:

Funktionsgleichung:Schritt_N

= ((Initiator_N ^ Schritt_N-1) v Schritt_N) ^ Reset_N+1

277/3. Logik der Stellelemente

a) Sie unterscheiden sich in der Anzahl der Schaltstellungen (3 oder 2) sowie durch ihrSchaltverhalten bei Abfall der Betätigungsspannung.

b) 1V1 ∫monostabiles Schaltverhalten, 2V1 ∫ bistabiles Schaltverhalten, 3V1 ∫monostabiles Schaltverhalten.

c) 1V1 = 5/3 Wegeventil; bei Abfall der Ansteuerung von 1M1 oder 1M2 geht Ventil durch dieRückstellfedern in den Grundzustand (Sperr-Null) zurück. 2V1 = 5/2 Impulsventil; bei Ansteuerung von 2M1 oder 2M2 bleiben die jeweiligen Stel-lungen a oder b erhalten. 3V1 = 5/2 Wegeventil mit Rückstellfeder; lediglich die Grundstellung b ist stabil.

277/4. Sensorbautyp

a) Zweileitertechnik: Über die beiden Leitungen wirdder Sensor mit Strom versorgt und das Schaltsignalübertragen. Für Gleich- und Wechselspannungen.Dreileitertechnik (Normalfall): Sensor wird über zweiLeitungen mit Strom versorgt, auf der dritten Leitungwird ein Spannungssignal erzeugt, wenn der Sensordurchgeschaltet wird.

b) Der erste Sensor besitzt eine Schließerfunktion, ent-spricht der Identität; der zweite Sensor hat Öffner-funktion, also Negation.

277/5. Sensorverdrahtung

a) Sensoren 1 und 2 sind in Reihe geschaltet; Schaltausgang des Sensors 1 ist Eingang(Spannungsanschluss) für Sensor 2. Dessen Schaltausgang geht auf die Last, z. B. Relais.

204 Projektaufgaben: Elektropneumatik – Sortieren von Materialien

&

Reset_N-1 1Schritt_N&

Schritt_N-1

Initiator_N >1

Bild 277/2c: Grundbaustein von Ablaufsteuerungen Funktionsplan

1

Bild 277/4: SensorbautypIdentität

1

Bild 277/4: SensorbautypNegation

Page 205: Rechenbuch Metall Lösungen

b) Funktionstabelle Funktionsgleichung: K1 = B1 ^ B2

Projektaufgaben: Elektropneumatik – Sortieren von Materialien 205

9

Bild 278/6a: Zylinderendlagen – Magnetischer Näherungsschalter

Bild 277/5c: Sensorverdrahtung Alternative Verdrahtung

Sensor 2 Sensor 1 Last

B2 B1 K1

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

B1 &

B2

K1

Bild 277/5b: SensorverdrahtungFunktionsplan

c) Alternative VerdrahtungBeide Sensoren 1B1 und 1B2 sindhier als magnetische Sensoren aus-geführt.

278/6. Endlagenabfrage

am Pneumatikzylinder

a) Magnetischer Näherungsschalter (Reed-Kontakt)Nähert sich der Ringmagnet am Kolben dem Signalelement so gehen die beiden Federndurch den Permanentmagnet zusammen. Der Stromkreis ist geschlossen: Auf der Signal-leitung entsteht Signalzustand „1“ und die Leuchtdiode zeigt dies dem Bediener an.

Modernere Sensorbauformen sind kleiner und kompakter gebaut. Ursache für Signal-auslösung ist auch hier das Magnetfeld des Permanentmagneten am Kolben.

b) Vorteile sind vor allem das verschleißfreie Arbeitendes Schalters oder Sensors, gut einbaubar, keine Kol-lision mit Materialien oder anderen Bauteilen beimVerfahren der Aktoren, hohe Lebensdauer.

c) Magnetischer Näherungsschalter.

d) Eine korrekte Justage der Endlagen in Bezug zumKolbenhub ist erforderlich.

(BN)

(BU)

(BK)

Bild 278/6c: ZylinderendlagenSchaltsymbol

+ 24 V

0 V

1

5

K1A1

A2

5

K1

13

141B1

3

5

K2A1

A2

1B2

2 4

K3A1

A2

K2

14

13

Page 206: Rechenbuch Metall Lösungen

278/7. Luftverbrauch

Bei einem Standarddruck von pe = 6 bar ergibt sich folgender Verbrauch:

pe + pamb 0,322 · p 15 6 bar + 1 barQ ≈ 2 · A · s · n · ––––––––– ≈ 2 · –––––––– dm2 · 5 dm · –––– · ––––––––––––

pamb 4 min 1 bar

dm3 “≈ 84,45 –––– ‡ 84,45 ––––

min min

278/8. Unterdruck

a) Probleme: Haltekraft ist zu gering; Schmutz an Bauteilen, Unebenheiten usw. setzen diehorizontale Haltekraft herab; bei Druckabfall werden die Teile verloren.

b) FR = m · FN∫ FG = m · F = m · pe · A

N 32 · p= 0,18 · 6 –––– · ––––– cm2 = 7,634 N

cm2 4

2fache Sicherheit: F = 7,634 N : 2 = 3,817 N

F = m · g

F 3,817 kg · m · s2

m = ––– = ––––––––––––––– g 9,81 m · s2

= 0,389 kg = 389 g

278/9 Ablaufplan

Grafcet nach DIN EN 60648

206 Projektaufgaben: Elektropneumatik – Sortieren von Materialien

SaugerFG = m .g

F = pe.A

m = 0,18

Materialz.B. Metall

Bild 278/8b: Unterdruck – Haltekraft

3M1:=0

S1*1B1*2B1

2B2

1

2 2M1

3 3M1:=1

4 2M2

2B1

5

6 2M2

2B1

7 1M1

8

9

(Anfangs-/ Initialschritt)

B1*B2*B3

1B1

B1*B2*B3

3M1:=0

1M2

1B2

3S1

1B1 3S1

V

10 2M2

2B1

11 1M1

12

13

1B1

B1*B2*B3

3M1:=0

1M2

1B3

3S1

(Metall) (Acrylglas) (Kunststoff)

Bild 278/9a: Grafcetdarstellung

Page 207: Rechenbuch Metall Lösungen

278/10. Strompfade

a) 1. Schritt: Mit der Starttaste S1 wird der Sortiervorgang gestartet. Gleichzeitig wird über1B1 und 2B1 die Grundstellung der beiden Aktoren abgefragt. Wenn die Bedingungen er-füllt sind, zieht Relais K5 an und geht im Strompfad 10 in die Selbsthaltung (dominierendlöschend). Im Leistungsteil erhält die Spule von 2M1 über einen Hilfsschließer K5 Span-nung und zieht an. Der Kolben des Rundzylindersfährt zum Magazin (1A+).

2. Schritt: Wenn die Kolbenstange von 2A1 die vor-dere Endlage erreicht, spricht der Sensor 2B2 (ma-gnetischer Näherungsschalter) an, der HilfsschließerK5 ist noch geschlossen und Relais K6 wird unterSpannung gesetzt. In Strompfad 12 geht dieses Re-lais in Selbsthaltung und löscht über einen Öffner K6im Pfad 9 die Selbsthaltung für den Anfangsschritt.Da 2V1 bistabil ist, bleibt der Aktor 2A1 trotzdem aus-gefahren. Hilfsrelais K6 schaltet im Leistungsteil 3M1, der Ejek-tor 3A1 wird mit Druckenergie versorgt, so dass sichein Vakuum aufbauen kann.

b) Die Öffner K8 oder K11 oder K15 löschen die Selbst-haltung des 2. Schrittes.Die Löschung ist notwendig, damit die Teile in dieBehälter sortiert werden.

c) Siehe Bild 278/10c Strompfade des Leistungsteils.

278/11. Stromlaufplan

Projektaufgaben: Elektropneumatik – Sortieren von Materialien 207

9

K5

2M1

K6

3M1

3

4

3

4

Bild 278/10c: Strompfade desLeistungsteils

1M21M1

1V1

1V2 1V3

1A1

1B1 1B2 1B3

4 2

5 31

2M1

2V1

2V2 2V3

2A1

2B1 2B2

4 2

5 31

3V1 2

31

3A1

2M2 3M1

P2P1

3S13Z1

3Z2

a 0 b a b a b

Bild 278/11 Stromlaufplan – Pneumatikplan

Page 208: Rechenbuch Metall Lösungen

208 Projektaufgaben: Elektropneumatik – Sortieren von Materialien

+ 24 V

0 V

1

13

K1A1

A2

3

3

B1

K5A1

A2

4

1415

3

13

K2A1

A2

B2

1415

5

13

K3A1

A2

B3

1415

7

16

K4A1

A2

3S1

26203428

P1

P2

1018112636

K62

1

S1 K5

9 10

2B1

1B14

3

4

3

4

34

3

1

K6A1

A2

2

1291620

K152

1

K6

11 12

2B2

4

3

4

3

4

3

3

K_MA1

A2

4

16

K1

13

4

3

4

3

3

K8A1

A2

4

191116

K52

1

K8

18 19

2B1

4

4

3

4

3

3

K7A1

A2

4

171838

K82

1

K4 K7

16 17

4

3

4

3

4

K11

K8

K5

1

2

2837

K2

K3

1

1

K_ACA1

A2

2

20

K1

14

4

3

2 4

K2

K3

1

3

K_KSA1

A2

4

28

K1

15

4

3

2

K2

K3

K_M

K6 K7

Bild 278/11 Stromlaufplan – Ablaufteil für Materialerkennung, Startvorgang sowie Sortierung Metall

+ 24 V

0 V

3

3

K9A1

A2

4

212239

K102

1

K9

20 21

2B1 1B2

4

34

3

4

K4

K_AC

K6

3

K10A1

A2

23202441

K112

1

K10

22 23

4

34

3

4

K9

3

K11A1

A2

25112622

K122

1

K11

24 25

4

34

3

4

K10

1

K12A1

A2

272443

K52

1

K12

26 27

4

32

3

4

K4

K11

Bild 278/11 Stromlaufplan – Ablaufteil für Acrylglas

Page 209: Rechenbuch Metall Lösungen

278/12. Spulenwiderstand

U = R · ƒU 24 VR = –– = –––––– = 126,3 Oƒ 0,19 A

278/13. Elektrische Leistung

Magnetspule 1M1: P1 = U · ƒ1 = 24 V · 0,48 A = 11,52 W

Magnetspule 3M1: P2 = U · ƒ2 = 24 V · 0,32 A = 7,68 W

Gesamte elektrische Leistung: Pges = P1 + P2 = 11,52 W + 7,68 W = 19,2 W

Projektaufgaben: Elektropneumatik – Sortieren von Materialien 209

9

3

3

K13A1

A2

4

293040

K142

1

K13

28 29

2B1 1B3

4

34

3

4

K4

K_KS

K6

3

K14A1

A2

31283242

K152

1

K14

30 31

4

3

4

3

4

K13

3

K15A1

A2

33113430

K162

1

K15

32 33

4

3

4

3

4

K14

1

K16A1

A2

353244

K52

1

K16

34 35

4

3

3

4

K4

K15

2

3

K9

38 39

3

4

K7

4

3

K14

41 42

3

4

K10

4

3

K16

43 44

3

4

K12

4

1M2

40

K13

3

4

1M12M23M1

3

37

K6

4

3

36

K5

4

2M1

Bild 278/11 Stromlaufplan – Ablaufteil für Kunststoff, schwarz und Leistungsteil