RECHNEN - dorweiler.orgHilfe 3 GLEICHUNGEN LÖSEN Um eine Gleichung 4∙ T+5=21 zu lösen, musst du...

Hilfe 1MIT KLAMMERN

RECHNEN

Ausklammern kennst du schon seit langem. Anhand der zwei Beispiele wirst du dich erinnern:

1) Klammern auflösenBeispiel: „Jack und Jim sind doof“ bedeutet: Jack ist doof und Jim ist doof. Die Eigenschaft „doof“ bezieht sich auf beide. Genauso bei den Zahlen – achte aber auf die Vorzeichen!

2 𝑥 + 𝑦 = 2𝑥 + 2𝑦

3 + 𝑎 4 − 𝑏 = 𝟑 ∙ 𝟒 − 𝟑 ∙ 𝒃 + 𝒂 ∙ 𝟒 − 𝒂 ∙ 𝒃 = 12 + 4𝑎 − 3𝑏 − 𝑎𝑏

2) AusklammernHier ziehst du eine gemeinsame Eigenschaft heraus, der Rest bleibt stehen:

7𝑥 + 21𝑦 = 7 ∙ (𝑥 + 3𝑦)Lerntheke 8.2 – „Gleichungen“

Hilfe 2 TERME

Ein Term ist einfach ein Rechenausdruck. Da du inzwischen mit Buchstaben rechnest, ist es etwas komplizierter. Ein paar Beispiele können dir helfen:

2𝑥 + 3𝑥 = 5𝑥 𝑎𝑏𝑒𝑟 𝑛𝑖𝑐ℎ𝑡 5𝑥2‼!

3𝑥 ∙ 4𝑥 = 12𝑥2

2𝑥 ∙ 4𝑎 + 5𝑏 = 𝟖𝒂𝒙 + 𝟏𝟎𝒃𝒙

Lerntheke 8.2 – „Gleichungen“

Hilfe 3 GLEICHUNGEN LÖSEN

Um eine Gleichung 4 ∙ 𝑥 + 5 = 21

zu lösen, musst du systematisch vorgehen. Auch wenn du anfangs die Lösung durch probieren herausfinden kannst – später ist dir das nicht mehr möglich.Der Lösungsweg ist dabei immer gleich.Zunächst bringt man alle Variablen („x“) auf die eine und alle Zahlen auf die andere Seite.

4 ∙ 𝑥 + 5 = 21 | − 54 ∙ 𝑥 = 21 − 5

Anschließend wird der Reihe nach alles weggerechnet, was „stört“. Wichtig: Die notwendige Rechenoperation ist immer das Gegenteil von dem, was in der Gleichung steht.

4 ∙ 𝑥 = 16 |: 4 (𝑛𝑖𝑐ℎ𝑡 − 4 ‼‼)𝑥 = 4


Hilfe 4 BINOMISCHE FORMELN

Es gibt drei binomische Formeln – und obwohl der Name Kompliziertes erahnen lässt, sind sie eigentlich eine Abkürzung für Faule. Wenn du dir diese Formeln gut merkst, kannst du dir später sehr viel Arbeit ersparen.

1) 𝒂 + 𝒃 𝟐 = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑎 + 𝑏 = 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑎 + 𝑏2 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐

2) 𝒂 − 𝒃 𝟐 = 𝑎 − 𝑏 ∙ 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 − 𝑎𝑏 − 𝑏𝑎 + 𝑏2 = 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐

3) 𝒂 + 𝒃 ∙ 𝒂 − 𝒃 = 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏𝑎 − 𝑏2 = 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐

Merken musst du dir nur den roten Teil. Erkennst du diesen Ausdruck irgendwo, kannst du ihn ganz leicht in den anderen verwandeln. Später wirst du das oft brauchen.

Beispiel:𝑥 + 5 2 = ⋯ = 𝑥2 + 2 ∙ 𝑥 ∙ 5 + 25𝑥2 − 81 = ⋯ = (𝑥 + 9)(𝑥 − 9)


Station 1 ☺AUSKLAMMERN 1

KLAMMERE AUS.

KLAMMERE JEWEILS DEN FAKTOR -5 AUS.

KLAMMERE JEWEILS DEN FAKTUR 7X AUS.

a) −10 − 15 x = b) −10 x +15 =

c) −15 x − 10 = d) 15 − 10 x =

e) −25 a − 30 b = f) −75 a − 60 =

a) 7 x2 + 14 x = b) 7 x2 − 14 x =

c) 21 x − 35 a x = d) −21 x + 35 a x =

e) −56 x2 − 63 x y = f) −56 x2 + 63 x y =


Station 1 LÖSUNG

a) −10 − 15 x = −5 (2 + 3x) b) −10 x + 15 = −5 (2x − 3)

c) −15 x − 10 = −5 (3x + 2) d) 15 − 10 x = −5 (−3 + 2x)

e) −25 a − 30 b = −5 (5a + 6b) f) −75 a − 60 = −5 (15a + 12)

a) 7 x2 + 14 x = 7x (x + 2) b) 7 x2 − 14 x = 7x (x − 2)

c) 21 x − 35 a x = 7x (3 − 5a) d) −21 x + 35 a x = 7x (−3 + 5a)

e) −56 x2 − 63 x y = 7x (−8x − 9y) f) −56 x2 + 63 x y = 7x (−8x + 9y)


Station 2 ☺AUSKLAMMERN 2

KLAMMERE JEWEILS EINEN GEEIGNETEN FAKTOR AUS.

a) 3 x − 3 y = b) 15 m − 15 n =

c) 9 a + 9 b = d) −12 a − 12 b =

e) 6 x + 18 x = f) 12 a − 9 b =

g) 14 m − 21 n = h) 27 x + 42 y =

i) 3 x + 6 x y = j) 12 a b − 15 b =

k) −45 x2 − 30 x = l) 15 r − 21 r s =

o) a x + 2 a b = p) 8 x2 + 18 x y =


Station 2 LÖSUNG

a) 3 x − 3 y = 3 (x − y) b) 15 m − 15 n = 15 (m − n)

c) 9 a + 9 b = 9 (a + b) d) −12 a − 12 b = −12 (a + b)

e) 6 x + 18 x = 6x (1 + 3) f) 12 a − 9 b = 3 (4a − 3b)

g) 14 m − 21 n = 7 (2m − 3n) h) 27 x + 42 y = 3 (9x + 14y)

i) 3 x + 6 x y = 3x (1 + 2y) j) 12 a b − 15 b = 3b (4a − 5)

k) −45 x2 − 30 x = −15x (3x + 2) l) 15 r − 21 r s = 3r (5 − 7s)

o) a x + 2 a b = a (x + 2b) p) 8 x2 + 18 x y = 2x (4x + 9y)


Station 3 ☺KLAMMERN AUFLÖSEN 1

LÖSE DIE KLAMMERN AUF.

a) 4(x + y) b) 9(2 + b) c) 7(3 + k)

d) (a b) 7+ e) (y 2) 9+ f) (3 x) 8+

g) a(x + y) h) q(r + z) i) t(a + x)

j) (x + y)z k) (r + s)t l) (9 + a)b

m) x(1 + y) n) k(s + t) o) y(b + 0)

p) q(r + v) q) 10(3x + 2y) r) 9(3a + 4b)


Station 3 LÖSUNG

a) 4(x + y) b) 9(2 + b) c) 7(3 + k) = 4x + 4y = 18 + 9b = 21 + 7k d) (a b) 7+ e) (y 2) 9+ f) (3 x) 8+

= 7a + 7b = 9y + 18 = 24 + 8x g) a(x + y) h) q(r + z) i) t(a + x) = ax + ay = qr + qz = at + tx j) (x + y)z k) (r + s)t l) (9 + a)b = xz + yz = rt + st = 9b + ab m) x(1 + y) n) k(s + t) o) y(b + 0) = x + xy = ks + kt = by p) q(r + v) q) 10(3x + 2y) r) 9(3a + 4b) = qr + qv = 30x + 20y = 27a + 36b



LÖSE DIE KLAMMERN AUF.

a) 7(a + b + 3c) b) 9(k + 2l + 3m) c) (x 2y 3z) 5+ +

d) (8 a b) 4+ + e) 25(3x + 3y + 5z) f) 7(9r + 2s + 8)

g) 6x(3a + 4b + 12c) h) 5a(3b + 14c + 13d) i) 9m(4n + 3p + 15q)

j) (12x 3y 4z) 4a+ + k) (8a 4b 2c) 4d+ + l) (8p 3q 5s) 3r+ +

m) 12k(3m + 15n + 17p) n) (8x 2y 3z) 5a+ + o) 14a(20p + 3q + 2r)

p) (17x 12y 3z) 5k+ + q) 8a(7b + 3c + 4d) r) + + (5e 3f 2g) 5h


Station 4 LÖSUNG

a) 7(a + b + 3c) b) 9(k + 2l + 3m) c) (x 2y 3z) 5+ +

= 7a + 7b + 21c = 9k + 18l + 27m = 5x + 10y + 15z d) (8 a b) 4+ + e) 25(3x + 3y + 5z) f) 7(9r + 2s + 8)

= 32 + 4a + 4b = 75x + 75y + 125z = 63r + 14s + 56 g) 6x(3a + 4b + 12c) h) 5a(3b + 14c + 13d) i) 9m(4n + 3p + 15q) = 18ax + 24bx + 72cx = 15ab + 70ac + 65ad = 36mn + 27mp + 135mq j) (12x 3y 4z) 4a+ + k) (8a 4b 2c) 4d+ + l) (8p 3q 5s) 3r+ +

= 48ax + 12ay + 16az = 32ad + 16bd + 8cd = 24pr + 9qr + 15sr m) 12k(3m + 15n + 17p) n) (8x 2y 3z) 5a+ + o) 14a(20p + 3q + 2r)

= 36km + 180kn + 204kp = 40ax + 10ay + 15az = 280ap + 42aq + 28ar p) (17x 12y 3z) 5k+ + q) 8a(7b + 3c + 4d) r) + + (5e 3f 2g) 5h

= 85kx + 60ky + 15kz = 56ab + 24ac + 32ad = 25eh + 15fh + 10gh



LÖSE DIE KLAMMERN AUF. ÜBERTRAGE SORGFÄLTIG INS HEFT.

a) (a + 4)(b + 3) b) (x + 6)(y + 2) c) (3 + d)(4 + e)

d) (u + w)(v + 3) e) (c + d)(e + 1) f) (r + 5)(s + t)

g) (x + 3)(y – 2) h) (2r + 5)(s – 2) i) (3x + 4y)(y – 2)

j) (9 – x)(y + 4) k) (r – 8)(2s – 5) l) (9m – 2n)(m – 1)

m) (–x – y)(a – b) n) (–m – n)(–r – s) o) (–2 – x)(y – z)

p) (a – x)(b – y) q) (2u – 3v)(–2w – 4) r) (y – 2)(–y – 7)


Station 5 LÖSUNG

a) (a + 4)(b + 3) b) (x + 6)(y + 2) c) (3 + d)(4 + e) = ab + 3a + 4b + 12 = xy + 2x + 6y + 12 = 12 + 3e + 4d + de d) (u + w)(v + 3) e) (c + d)(e + 1) f) (r + 5)(s + t) = uv + 3u + vw + 3w = ce + c + de + d = rs + rt + 5s + 5t g) (x + 3)(y – 2) h) (2r + 5)(s – 2) i) (3x + 4y)(y – 2) = xy – 2x + 3y – 6 = 2rs – 4r + 5s – 10 = 3xy – 6x + 4y² – 8y j) (9 – x)(y + 4) k) (r – 8)(2s – 5) l) (9m – 2n)(m – 1) = 9y + 36 – xy – 4x = 2rs – 5r – 16s + 40 = 9m² – 9m – 2mn + 2n m) (–x – y)(a – b) n) (–m – n)(–r – s) o) (–2 – x)(y – z) = –ax + bx – ay + by = mr + ms + nr + ns = –2y + 2z – xy + xz p) (a – x)(b – y) q) (2u – 3v)(–2w – 4) r) (y – 2)(–y – 7) = ab – ay – bx + xy = –4uw – 8u + 6vw + 12v = –y² – 5y + 14



LÖSE DIE KLAMMERN AUF. ÜBERTRAGE SORGFÄLTIG INS HEFT.

a) (2a – b)(4 – c) b) (–a – 7b)(2a – 4) c) (a – b)(d – c)

d) (x – y)(y – z) e) (–a – b)(b – 2) f) (4 – 6x)(1 + z)

g) (–a – b²)(b – 5) h) (–2 – ab)(5 – c²) i) (–1 – xy)(z² – 5)

j) (–u – v)(5w – 2t) k) (8x – 4y)(7z – 3) l) (9a – 3b)(2c – 8d)

m) (x – 3)(x – 2) n) (a + 2)(a – 3) o) (5 – x)(2 + x)

p) (b – 2)(b – 10) q) (2 – r)(5 – r) r) (t – 5)(2 – t)


Station 6 LÖSUNGEN

a) (2a – b)(4 – c) b) (–a – 7b)(2a – 4) c) (a – b)(d – c) = 8a – 2ac – 4b + bc = –2a² + 4a – 14ab + 28b = ad – ac – bd + bc d) (x – y)(y – z) e) (–a – b)(b – 2) f) (4 – 6x)(1 + z) = xy – xz – y² + yz = –ab + 2a – b² + 2b = 4 + 4z – 6x – 6xz g) (–a – b²)(b – 5) h) (–2 – ab)(5 – c²) i) (–1 – xy)(z² – 5) = –ab + 5a – b³ + 5b² = –10 + 2c² – 5ab + abc² = –z² + 5 – xyz² + 5xy j) (–u – v)(5w – 2t) k) (8x – 4y)(7z – 3) l) (9a – 3b)(2c – 8d) = –5uw + 2tu – 5vw + 2tv = 56xz – 24x – 28yz + 12y = 18ac – 72ad – 6bc + 24bd

m) (x – 3)(x – 2) n) (a + 2)(a – 3) o) (5 – x)(2 + x) = x² – 5x + 6 = a² – a – 6 = 10 + 3x – x² p) (b – 2)(b – 10) q) (2 – r)(5 – r) r) (t – 5)(2 – t) = b² – 12b + 20 = 10 – 7r + r² = –t² + 7t – 10



LÖSE DIE KLAMMERN AUF UND FASSE ZUSAMMEN.

a) (2x + 4y)(6x – 5y) + (x – y)(3x – 2y) – (x + y)(2x + y)

b) (a + b)(a – 2b) – (2a – 3b)(a + b) – (a – b)(3a + b)

c) (4u – 3v)(2u – 5v) – (2u – 7v)(3u – 4v)

d) (7x – 2y)(3x – y) – (x – 3y)(2x – 4y) – (3x + 4y)(9x – y)


Station 7 LÖSUNG

a) (2x + 4y)(6x – 5y) + (x – y)(3x – 2y) – (x + y)(2x + y) = 13x² + 6xy – 19y² b) (a + b)(a – 2b) – (2a – 3b)(a + b) – (a – b)(3a + b) = –4a² + 2ab + 2b² c) (4u – 3v)(2u – 5v) – (2u – 7v)(3u – 4v) = 2u² + 3uv – 13v² d) (7x – 2y)(3x – y) – (x – 3y)(2x – 4y) – (3x + 4y)(9x – y) = –8x² – 36xy – 6y²


Station 8 ☺☺GLEICHUNGEN LÖSEN

Löse die Gleichungen im Heft. Dokumentiere jeden Zwischenschritt.

1. a) x + 3 = 8 b) x + 2 = 12 c) x + 9 = 18 d) x + 4 = 5 e) x + 22 = 44 f) x + 28 = 30 g) x + 7 = 2 h) x + 8 = –4 i) x + 2 = –12

2. a) x – 1 = 2 b) x – 3 = 5 c) x – 4 = 11 d) x – 8 = 9 e) x – 2 = 13 f) x – 12 = 22 g) x – 7 = –11 h) x – 9 = –14 i) x – 1 = –19

3. a) x 5 15 = b) x 2 8 = c) x 7 21 = d) 3 x 27 = e) 9 x 45 = f) 8 x 64 =

g) x 2 4,2 = h) 5 x 12,5 = i) 9 x 1,8 =


1. a) x + 3 = 8 b) x + 2 = 12 c) x + 9 = 18 L = { 5 } L = { 10 } L = { 9 } d) x + 4 = 5 e) x + 22 = 44 f) x + 28 = 30 L = { 1 } L = { 22 } L = { 2 } g) x + 7 = 2 h) x + 8 = –4 i) x + 2 = –12 L = { –5 } L = { –12 } L = { –14 }

2. a) x – 1 = 2 b) x – 3 = 5 c) x – 4 = 11 L = { 3 } L = { 8 } L = { 15 } d) x – 8 = 9 e) x – 2 = 13 f) x – 12 = 22 L = { 17 } L = { 15 } L = { 34 } g) x – 7 = –11 h) x – 9 = –14 i) x – 1 = –19 L = { –4 } L = { –5 } L = { –18 }

3. a) x 5 15 = b) x 2 8 = c) x 7 21 = L = { 3 } L = { 4 } L = { 3 } d) 3 x 27 = e) 9 x 45 = f) 8 x 64 =

L = { 9 } L = { 5 } L = { 8 } g) x 2 4,2 = h) 5 x 12,5 = i) 9 x 1,8 =

L = { 2,1 } L = { 2,5 } L = { 0,2 }



LÖSE DIE GLEICHUNGEN IM HEFT. DOKUMENTIERE JEDEN ZWISCHENSCHRITT.

1. a)

x2

2= b)

x1

5= c)

x9

8=

d) x

95= e)

x7

7= f)

x9

6=

g) x

0,310

= h) x

1,14= i)

x0,8

8=

2.

a) x – 2 = 5 b) 3 + x = 1 c) x

412

= −

d) 3 x 3,6 = e) x ( 4) 3,6 − = − f) x

1,13= −

g) x + 1,8 = 2,2 h) x – 3,6 = 1,5 i) 3 x 1,5− = −


1. a)

x2

2= b)

x1

5= c)

x9

8=

L = { 4 } L = { 5 } L = { 72 }

d) x

95= e)

x7

7= f)

x9

6=

L = { 45 } L = { 49 } L = { 54 }

g) x

0,310

= h) x

1,14= i)

x0,8

8=

L = { 3 } L = { 4,4 } L = { 6,4 }

2. a) x – 2 = 5 b) 3 + x = 1 c) x

412

= −

L = { 7 } L = { –2 } L = { –48 }

d) 3 x 3,6 = e) x ( 4) 3,6 − = − f) x

1,13= −

L = { 1,2 } L = { 0,9 } L = { –3,3 } g) x + 1,8 = 2,2 h) x – 3,6 = 1,5 i) 3 x 1,5− = −

L = { 0,4 } L = { 5,1 } L = { 0,5 }



LÖSE DIE GLEICHUNGEN IM HEFT. DOKUMENTIERE JEDEN ZWISCHENSCHRITT.

1. a)

x4 3

2− = b)

x3 2

3+ = c)

x3 4

5− =

d) x

8 25+ = e)

x4 5

8+ = f)

3x2 5

4+ =

g) 2x

1 55− = h)

5x4 1

6− + = i)

2x9 11

9+ =

2. a)

123

x= b)

63

x= c)

1515

x=

d) 14

7x= e)

164

x= f)

497

x=


1. a)

x4 3

2− = b)

x3 2

3+ = c)

x3 4

5− =

L = { 14 } L = { –3 } L = { 35 }

d) x

8 25+ = e)

x4 5

8+ = f)

3x2 5

4+ =

L = { –30 } L = { 8 } L = { 4 }

g) 2x

1 55− = h)

5x4 1

6− + = i)

2x9 11

9+ =

L = { 15 } L = { 6 } L = { 9 }

2. a)

123

x= b)

63

x= c)

1515

x=

L = { 4 } L = { 2 } L = { 1 }

d) 14

7x= e)

164

x= f)

497

x=

L = { 2 } L = { 4 } L = { 7 }


a) Das Handy „280 SE“ der Firma Tobio kostet einschließlich 19% Mehrwertsteuer 142,80 €.

Gib an, wie hoch die Mehrwertsteuer in Euro hierbei ist.

b) In der Preisliste des Händlers „Digital World“ steht das Handy „VR 17“ mit einem Nettopreis von 77,30 €. Ein Kunde muss beim Kauf zusätzlich 19% Mehrwertsteuer zahlen. Der Telefonladen „X-World“ bietet dasselbe Handy zu einem Bruttopreis (einschließlich 19% Mehrwertsteuer) von 89,25 € an.

Wer verkauft das Handy günstiger?

Station 11 PROZENTRECHNUNG


a) W = G∙p

100= 142,80∙100

119= 120 €

A: Die Mehrwertsteuer beträgt 22,80 €.

b) W = G∙p

100= 77,30∙19

100= 14,69 €

77,30 + 14,69 = 91,99 €

A: Das Handy ist beim Telefonladen „X-World“ günstiger.

Station 11 LÖSUNG


Bei Fußball-Meisterschaftsspielen gilt: Für einen Sieg erhält eine Mannschaft drei Punkte, für ein Unentschieden einen Punkt, für Niederlagen gibt es keinen Punkt.Jede Mannschaft spielt im Verlauf einer Saison zweimal gegen jede andere Mannschaft. Die Punkte aller Spiele einer Mannschaft werden addiert.

a) Die Saison hat gerade begonnen, eine Mannschaft hat bisher zweimal gespielt. Wie viele Punkte kann diese Mannschaft haben? Nenne alle Möglichkeiten.

b) Begründe, warum eine Mannschaft nach drei Spielen nicht acht Punkte haben kann.

c) Nach 14 Spielen hat eine Mannschaft 26 Punkte.Wie viele Spiele könnte diese Mannschaft gewonnen haben? Nenne alle Möglichkeiten.

Station 12 STATISTIK


a) Diese Mannschaft kann 0 Punkte (zwei Mal verloren), 1 Punkt (einmal unentschieden, einmal verloren), 2 Punkte (zwei Mal unentschieden), 3 Punkte (einmal verloren, einmal gewonnen), 4 Punkte (einmal gewonnen, einmal unentschieden) oder 6 Punkte haben (zwei Mal gewonnen).

b) Die Mannschaft kann nach drei Spielen nicht drei Punkte haben, weil3 + 3 + 3 = 9; 3 + 3 + 1 = 7.

c) Nach 14 Spielen und 26 Punkten kann die Mannschaft entweder 6,7 oder 8 Spiele gewonnen haben.

6·3 + 8·1 + 0·0 = 267·3 + 5·1 + 2·0 = 26

8·3 + 2·1 + 4·0 = 26

Station 12 LÖSUNG


In Lisas Klasse sind 24 Schülerinnen und Schüler. In einem Kreisdiagramm ist dargestellt, wie viele Schülerinnen und Schüler der Klasse keine Geschwister, einen Bruder/ eine Schwester oder zwei Geschwister haben. Niemand in Lisas Klasse hat mehr als zwei Geschwister.

Wie viele Kinder haben keine, ein oder zwei Geschwister? Notiere die berechneten Werte.

Station 13 DIAGRAMME LESEN


W = 𝐾∙𝑝100

= 24∙50100

= 12 Kinder

12 Kinder haben keine Geschwister.

W = 𝐾∙𝑝100

= 24∙25100

= 6 Kinder

Je 6 Kinder haben ein Geschwisterkind oder zwei Geschwisterkinder.

Station 13 LÖSUNG


Gegeben ist ein Säulendiagramm. Die gestrichelte Linie zeigt die durchschnittliche Höhe der Säulen.

a) Zeichne in das folgende Säulendiagramm die durchschnittliche Höhe der Säulen mit einer waagerechten Linie ein.

b) Zeichne in das folgende Säulendiagramm eine vierte Säule so ein,dass die gestrichelte Linie die durchschnittliche Höhe aller vier Säulen zeigt.

Station 14 DIAGRAMME LESEN


Station 14 LÖSUNG


Station 15(H2, H3) ☺☺

ZAHLENRÄTSEL

Formuliere zu den Zahlenrätseln Fragen, stelle Gleichungen auf und löse sie.

Überprüfe die Ergebnisse am Sachverhalt.

a) Die Geschwister Stefanie und Katrin sind zusammen 28 Jahre alt. Katrin ist 4

Jahre jünger als Stefanie.

b) Katrin und Stefanie erhalten pro Woche insgesamt 10 € Taschengeld.

Stefanie bekommt 4 € mehr als Katrin.

c) Der Erlös des Flohmarktes beträgt 280 €. Bei der Verteilung erhält Klaus 126 €

mehr als Stefan.


Station 15(H2, H3) LÖSUNG

a) 28 = 𝑥 + 𝑥 − 4; 𝑥 = 16 → Stefanie 16 Jahre; Kathrin 12 Jahre

b) 𝑥 + 𝑥 + 4 = 10; 𝑥 = 3 → Kathrin 3 €; Stefanie 7 €

c) 𝑥 + 𝑥 + 126 = 280; 𝑥 = 77 € → Stefan 77 €; Klaus 203 €



SACHAUFGABEN 1

Löse die Aufgaben mit einer Gleichung.

1. Für ein Mountainbike kostet ein Reifen mit Felge 72 €. Die Felge allein kostet 12 €mehr als der Reifen.Berechne den Preis für den Reifen und die Felge.

2. Bei einer Klassensprecherwahl stimmen zwei Drittel einer Klasse für Melanie. Die restlichen neun Schülerinnen und Schüler enthalten sich der Stimme. Überlege, wie viele Schülerinnen und Schüler die Klasse hat.


1) 2𝑥+12=72; 𝑥=30; Der Reifen kostet 30€, die Felde 42€. 2) Die Klasse hat 27 Schülerinnen und Schüler.


TAXIFAHRT

Löse die Aufgaben mit einer Gleichung.

Eine Taxifahrt kostet 1,50 € pro Kilometer. Hinzu kommt eine Grundgebühr von 2,50 €. 1. Gib einen Rechenausdruck an, mit dem die Fahrtkosten berechnet werden

können.2. Was kostet die Fahrt bei 12 km / 9 km / 7 km gefahrener Strecke?


1,5x+2,5; 20,50 € (16 €; 13 €)


SACHAUFGABEN 2

1) Familie Drews hat in einem Preisausschreiben 3500 € gewonnen. Das Geld soll so aufgeteilt werden, dass die Eltern doppelt so viel erhalten wie die drei Kinder.

Wie viel € bekommen die Kinder?

2) Danny sagt: "Ich habe mir eine Zahl gedacht, sie mit 3 multipliziert, dann 9 dazu addiert und schließlich durch 5 dividiert. Mein Ergebnis lautet 12. Wie heißt meine Zahl?"


1) Jedes Kind erhält 500 €. 2) 3𝑥+9:5=12; 3𝑥+9=60; 𝑥=17


SACHAUFGABEN 3

1) Ulf und Michael wiegen zusammen 105 kg. Michael ist um 8 kg leichter als Ulf.

2) Ein gleichschenkliges Dreieck hat 230 cm Umfang. Die Basis ist um 20 cm länger als ein Schenkel. Wie lang sind Schenkel und Basis?


1) Ulf wiegt 56,5kg, Michael 48,5kg.; 2) Die Schenkel sind 70cmlang, die Basis 90cm.


ZAHLRÄTSEL 1

Schreibe als Gleichung auf und löse dann.

1) Addiert man 5 zum Sechsfachen einer Zahl und multipliziert die Summe mit 4, so erhält man dasselbe, als wenn man zum Achtfachen der gesuchten Zahl 100 addiert.

2) Welche Zahl muss man von 84 subtrahieren, um das Doppelte der Zahl zu erhalten?

3) Das Dreifache und Vierfache einer Zahl ergeben zusammen 91. 4) Von welcher Zahl ist das Siebenfache um 32 größer als das Fünffache?5) Addiert man zu einer Zahl die Summe von 7 und 19 und die Differenz von 28 und

13, so erhält man die Zahl 58.6) Addiert man 3 zum Vierfachen einer Zahl und multipliziert die Summe mit 4, so

erhält man das Zwanzigfache der Zahl.


1) x=5 2) x=28 3) x=13 4) x=16 5) x=17 6) x=3


ZAHLRÄTSEL 2

Schreibe als Gleichung auf und löse dann.

1) Subtrahiert man 4 vom Dreifachen einer Zahl und multipliziert die Differenz mit 2, so erhält man das Fünffache der Zahl.

2) Vier aufeinander folgende Zahlen ergeben die Summe 62. 3) Zwei Zahlen unterscheiden sich um 6. Das Vierfache der kleineren Zahl ist um 5

kleiner als das Dreifache der größeren Zahl. 4) Das Dreifache einer mit 1 verminderten Zahl ist halb so groß wie das Fünffache

der um 2 vermehrten Zahl. 5) Das Vierfache einer um 3 vermehrten Zahl ist dreimal so groß wie das Doppelte

der um 3 verminderten Zahl.


1) x=8 2) x=14 3) x=13 4) x=16 5) x=15

Station 22(H4) ☺☺

BINOMISCHEFORMELN

LÖSE DIE KLAMMERN MIT HILFE DER BINOMISCHEN FORMELN AUF UNDVEREINFACHE, WENN MÖGLICH.

1. a) (r + s)² b) (k + 3)² c) (9 + x)² d) (x + 2y)² e) (3k + 4m)² f) (7d + 2e)² g) (25 + 2x)² h) (9a + 2b)² i) (8m + 5n)²

2. a) (x – y)² b) (a – 3)² c) (m – n)² d) (4m – 5)² e) (6m – 5)² f) (3k – 4)² g) (9x – 2y)² h) (5d – 2e)² i) (5x – 7y)²

3. a) (x + 3)(x – 3) b) (5 + k)(5 – k) c) (5 + m)(5 – m) d) (7x + 4y)(7x – 4y) e) (5u + 12)(5u – 12) f) (2k + 3m)(2k – 3m) g) (2d + 3e)(2d – 3e) h) (5v + 3w)(5v – 3w) i) (4e + 5f)(4e – 5f)


1. a) (r + s)² b) (k + 3)² c) (9 + x)² = r² + 2rs + s² = k² + 6k + 9 = 81 + 18x + x² d) (x + 2y)² e) (3k + 4m)² f) (7d + 2e)² = x² + 4xy + 4y² = 9k² + 24km + 16m² = 49d² + 28de + 4e² g) (25 + 2x)² h) (9a + 2b)² i) (8m + 5n)² = 625 + 100x + 4x² = 81a² + 36ab + 4b² = 64m² + 80mn + 25n²

2. a) (x – y)² b) (a – 3)² c) (m – n)² = x² – 2xy + y² = a² – 6a + 9 = m² – 2mn + n² d) (4m – 5)² e) (6m – 5)² f) (3k – 4)² = 16m² – 40m + 25 = 36m² – 60m + 25 = 9k² – 24k + 16 g) (9x – 2y)² h) (5d – 2e)² i) (5x – 7y)² = 81x² – 36xy + 4y² = 25d² – 20de + 4e² = 25x² – 70xy + 49y²

3. a) (x + 3)(x – 3) b) (5 + k)(5 – k) c) (5 + m)(5 – m) = x² – 9 = 25 – k² = 25 – m² d) (7x + 4y)(7x – 4y) e) (5u + 12)(5u – 12) f) (2k + 3m)(2k – 3m) = 49x² – 16y² = 25u² – 144 = 4k² – 9m² g) (2d + 3e)(2d – 3e) h) (5v + 3w)(5v – 3w) i) (4e + 5f)(4e – 5f) = 4d² – 9e² = 25v² – 9w² = 16e² – 25f²


Station 23 (H4) ☺☺

BINOMISCHEFORMELN

LÖSE DIE KLAMMERN MIT HILFE DER BINOMISCHEN FORMELN AUF UNDVEREINFACHE, WENN MÖGLICH.

a) (3a – 5b)² – (a – 4b)(a + 4b) – (2a + 7b)²

b) (4x + 1)² – (3x + 1)(3x – 1) – (7x – 3)(3 + 7x)

c) (4m + n)² + (2m – 5n)(2m + 5n) – (m – 3n)²

d) (5p – 2)² – (3 – 4p)² – (4 – p)(4 + p)

e) (6a – b)² + (6a – b)(6a + b) – (6a + b)²

f) (3x – 7y)² – (7x – 3y)² – (7x – 3y)(3y + 7x)


a) (3a – 5b)² – (a – 4b)(a + 4b) – (2a + 7b)²

= 4a² – 58ab – 8b²

b) (4x + 1)² – (3x + 1)(3x – 1) – (7x – 3)(3 + 7x)

= –42x² + 8x + 11

c) (4m + n)² + (2m – 5n)(2m + 5n) – (m – 3n)²

= 19m² + 14mn – 33n²

d) (5p – 2)² – (3 – 4p)² – (4 – p)(4 + p)

= 10p² + 4p – 21

e) (6a – b)² + (6a – b)(6a + b) – (6a + b)²

= 36a² – 24ab – b²

f) (3x – 7y)² – (7x – 3y)² – (7x – 3y)(3y + 7x)

= –89x² + 49y²


Station 24(H4) ☺☺

BINOMISCHEFORMELN

1. Berechne mit Hilfe der 3. Binomischen Formel. Beispiel: 99 101 (100 1) (100 1) 10 000 1 9 999 = − + = − =

a) 98 102 b) 1001 999 c) 995 1005

d) 97 103 e) 55 65 f) 47 53

g) 23 17 h) 90 110 i) 109 91

2. Löse die Klammer mit Hilfe der Binomischen Formeln auf.

a) (x + 3)² b) (3x + 1)² c) (2x + 3)² d) (x – 2)² e) (x – 4)² f) (2x – 4)² g) (x + 5)(x – 5) h) (3x – 2y)(3x + 2y) i) (x + 2y)(x – 2y)

3. Übertrage in dein Heft und fülle die Lücken aus. a) (x + 6)2 = x2 + 12x + _____ b) (x – 5)2 = x2 _____ 10x _____ 25

c) (y + 0,3) (y – 0,3) = y2 – _____ d) (a + 7)² = a2 _____14a + _____


1. Berechne mit Hilfe der 3. Binomischen Formel. Beispiel: 99 101 (100 1) (100 1) 10 000 1 9 999 = − + = − =

a) (100 2) (100

98 1

2

9

2

)

0

996

= − +

=

b) (1000 1) (1000 1)

999 9

1001 999

99

= + −

=

c) (1000 5) (1000

995 1

5)

999 975

005

= − +

=

d) 97 103

9991

= e)

7

5

5

5 65

35=

f)

9

7

1

4 53

24=

g) 23 17

391

= h)

90 110

9900

= i)

109 91

9919

=

2. Löse die Klammer mit Hilfe der Binomischen Formeln auf.

a) (x + 3)² b) (3x + 1)² c) (2x + 3)² = x² + 6x + 9 = 9x² + 6x + 1 = 4x² + 12x + 9 d) (x – 2)² e) (x – 4)² f) (2x – 4)² = x² – 4x + 4 = x² – 8x + 16 = 4x² – 16x + 16 g) (x + 5)(x – 5) h) (3x – 2y)(3x + 2y) i) (x + 2y)(x – 2y) = x² – 25 = 9x² – 4y² = x² – 4y²

3. Übertrage in dein Heft und fülle die Lücken aus.

a) (x + 6)2 = x2 + 12x + 36 b) (x – 5)2 = x2 – 10x + 25 c) (y + 0,3) (y – 0,3) = y2 – 0,09 d) (a + 7)² = a2 + 14a + 49


Station 25 ☺☺AUTOBAHN


Ein Lkw startet um 500Uhr früh von Köln aus in Richtung Frankfurt. Sein Durchschnittstempo beträgt 70 km/ h. Zur gleichen Zeit fährt vom 40 km zurückliegenden Düsseldorf aus ein Pkw mit durchschnittlich 110 km/ h ebenfalls nach Frankfurt.Wann und wie weit hinter Düsseldorf holt der Pkw den Lkw ein?

Hinweis: Aufgaben dieser Art lassen sich oft durch Überlegen viel einfacher lösen als über das Aufstellen von Gleichungen – z.B. in der folgenden Art: Der Vorsprung des Lkw beträgt 40 km und der Pkw holt pro Stunde 40 km auf. Folglich hat der Pkw den Lkw nach einer Stunde, also um 600 Uhr früh, eingeholt. Er ist in dieser Zeit 110 km gefahren.

Das Aufstellen von Gleichungen erfordert z.B. folgende Überlegungen:Im Moment des Einholens gilt: tL = tP und sL = sP - 40 (Angaben in h bzw. km).Mit v = s·t bzw. t = s·v folgt daraus

𝑠𝑃 − 40

70=

𝑠𝑃110

und damit sP = 110 sowie tL = tP = 1.


Station 26 ☺☺GESCHICHTSSTUNDE


In seinem berühmten Lehrbuch "Vollständige Anleitung zur Algebra" beschreibt Eulerwie man Sachprobleme mit Gleichungen löst.Die folgende Aufgabe ist in der Sprache wiedergegeben, die 1770 von Leonhard Eulerbenutzt wurde.

Zertheile 48 in neun Theile, so daß immer eine um 1

2größer sey, als der vorhergehende?

Es sey der erste und kleinste Theil = x so ist der zweyte = x + 1

2und der dritte x + 1 etc.

Wie lauten die Zahlen?

31

3;3

5

6;4

1

3;4

5

6;5

1

3;5

5

6;6

1

3;6

5

6;7

1

3

Station 27 ☺☺GEOMETRIE


Ein Dreieck hat einen Umfang von 25 cm. Eine Seite ist um 4 cm länger als diekürzeste der drei Seiten, aber auch um 2 cm kürzer als die längere der drei Seiten.Wie lang sind die drei Seiten?

𝑎=5𝑐𝑚;𝑏=9𝑐𝑚;𝑐=11𝑐𝑚

Station 28 ☺☺MITGLIEDER


Die Mitgliederzahl eines Sportvereins setzt sich aus Jugendlichen und Erwachsenenzusammen. Insgesamt hat der Verein 3500 Mitglieder. Die gesamtenBeitragseinnahmen betragen 20500 €. Die Erwachsenen bezahlen 7 €, Jugendlichebezahlen 5 € Beitrag.a) Welchen Beitrag zahlen alle Erwachsenen?b) Die gesamten Beitragseinnahmen sollen auf 34500 € erhöht werden.Wie können die Beiträge neu festgesetzt werden? Diskutiert verschiedeneLösungen. Welche Lösung findet ihr gerecht?

a) zehntausendfünfhundert Euro b) z.B. 11,40 & 7,80

Station 29 ☺☺KLASSENFAHRT


Eine 8. Klasse mit 24 Schülern unternimmt eine 5-tägige Abschlussfahrt nachSüdtirol. Der Bus kostet pauschal 1900 € , für die Unterkunft mit Verpflegung werdenpro Tag und Person 28,50 € berechnet und für Eintritte kommen pro Schüler nocheinmal 10 € hinzu.a) Berechne die Kosten pro Schüler.b) Kurz vor Antritt der Fahrt fallen 3 Schüler wegen Krankheit aus. Berechne die Kosten pro

Schüler, wenn für die Kranken Unterkunft und Verpflegung und Eintritte nicht berechnet werden.

c) Der Elternbeirat unterstützt die Fahrt mit 400 € .

a) 231, 67 b) 242, 98 c) 215

Station 30 ☺☺BUNDESKANZLER


Im Jahr 1969 wurde Willy Brandt Bundeskanzler der Bundesrepublik Deutschland. SeinNachfolger wurde Helmut Schmidt.a) Willy Brandt regierte 3 Jahre weniger als Helmut Schmidt. Zusammen regierten sie 13

Jahre. Wie lange regierte Helmut Schmidt, wie lange regierte Willy Brandt?b) Willy Brandt wurde 5 Jahre früher als Helmut Schmidt geboren. Wenn man ihre

Geburtsjahre addiert, erhält man 3831. In welchem Jahr wurde Willy Brandt geboren, in welchem Helmut Schmidt?

Brandt regierte 5 Jahre, Schmidt 8 Jahre lang. Brand wurde 1913 geboren, Schmidt 1918.

RECHNEN - dorweiler.orgHilfe 3 GLEICHUNGEN LÖSEN Um eine Gleichung 4∙ T+5=21 zu lösen, musst du...

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