Rechnen Mit Komplexen Zahlen

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  • 8/3/2019 Rechnen Mit Komplexen Zahlen

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    Rechnen mit komplexen Zahlen

    Stefan Boresch

    Department of Computational Biological ChemistryFaculty of ChemistryUniversity of Vienna

    November 12, 2010

  • 8/3/2019 Rechnen Mit Komplexen Zahlen

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    Copyright (c) 2008 Stefan Boresch

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    http://www.gnu.org/licenses/fdl.htmlhttp://www.gnu.org/licenses/fdl.html
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    Einleitung

    Problem: Was ist die Wurzel einer negativen Zahl?4 = ?. Es existiert keine

    reelle Zahl x R fur die x2 = 4 gilt.

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    Einleitung

    Problem: Was ist die Wurzel einer negativen Zahl?4 = ?. Es existiert keine

    reelle Zahl x R fur die x2 = 4 gilt. Losung: Imaginare Zahl(en). Grunddefinition:

    1 = i bzw. i2 = 1 (1)Manchmal wird auch j statt i geschrieben. Mit Gl. 1 kann Wurzel jeder negativenreellen Zahl berechnet werden. Beispiel:

    4 =

    41 = 2 i = 2iDer erste Schritt folgt aus den Rechenregeln fur Potenzen (u. Wurzeln); imzweiten Schritt wird einfach i als Abkurzung fur 1 geschrieben.

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    Einleitung

    Problem: Was ist die Wurzel einer negativen Zahl?4 = ?. Es existiert keine

    reelle Zahl x R fur die x2 = 4 gilt. Losung: Imaginare Zahl(en). Grunddefinition:

    1 = i bzw. i2 = 1 (1)Manchmal wird auch j statt i geschrieben. Mit Gl. 1 kann Wurzel jeder negativenreellen Zahl berechnet werden. Beispiel:

    4 =

    41 = 2 i = 2iDer erste Schritt folgt aus den Rechenregeln fur Potenzen (u. Wurzeln); imzweiten Schritt wird einfach i als Abkurzung fur 1 geschrieben.

    So weit, so gut. Imaginare Zahlen allein sind jedoch nur maig nutzlich, denn mitimaginaren Zahlen allein kann z.B. nicht die Wurzel aus positiven Zahlen gezogenwerden . . . . Die wirkliche Losung besteht aus der Kombination von reellen undimaginaren Zahlen zu den komplexen Zahlen, Symbol C. Eine allgemeinekomplexe Zahl z hat die Form:

    z = x + i y x, y R (2)Man bezeichnet x, y als Real- und Imaginarteil von z und schreibt

    Re(z) = x Im(z) = y

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    Gausche Zahlenebene kartesische Darstellung

    Es wird an die Zahlengerade zur Darstellung reeller Zahlen erinnert:

    3 2 1 0 1 2 32 e

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    Gausche Zahlenebene kartesische Darstellung

    Es wird an die Zahlengerade zur Darstellung reeller Zahlen erinnert:

    3 2 1 1 2 3

    3i

    2ii

    i

    2i

    3i

    x = Re(z1)

    y = Im(z1)

    z1 = 2 + 2.5 i

    Zur Darstellung komplexer Zahlen wird die y-Achse fur den Imaginarteil verwendet.

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    Gausche Zahlenebene kartesische Darstellung

    Es wird an die Zahlengerade zur Darstellung reeller Zahlen erinnert:

    3 2 1 1 2 3

    3i

    2ii

    i

    2i

    3i z1 = 2 + 2.5 i

    2 + 2.5 i

    z3 = 2.5 2 i

    Zur Darstellung komplexer Zahlen wird die y-Achse fur den Imaginarteil verwendet.

    Die reellen Zahlen sind geordnet, z.B., 2 > 2 > 1 . . .. Hingegen welche der dreikomplexen Zahlen z1, z2, z3 ist groer?

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    Gausche Zahlenebene kartesische Darstellung

    Es wird an die Zahlengerade zur Darstellung reeller Zahlen erinnert:

    3 2 1 1 2 3

    3i

    2ii

    i

    2i

    3i z1 = 2 + 2.5 i

    2 + 2.5 i

    z3 = 2.5 2 i

    Zur Darstellung komplexer Zahlen wird die y-Achse fur den Imaginarteil verwendet.

    Die reellen Zahlen sind geordnet, z.B., 2 > 2 > 1 . . .. Hingegen welche der dreikomplexen Zahlen z1, z2, z3 ist groer? Komplexe Zahlen sind nicht geordnet!

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    Gausche Zahlenebene kartesische Darstellung

    Es wird an die Zahlengerade zur Darstellung reeller Zahlen erinnert:

    3 2 1 1 2 3

    3i

    2ii

    i

    2i

    3i z1 = 2 + 2.5 iz2 =

    2 + 2.5 i

    z3 = 2.5 2 i

    Zur Darstellung komplexer Zahlen wird die y-Achse fur den Imaginarteil verwendet.

    Die reellen Zahlen sind geordnet, z.B., 2 > 2 > 1 . . .. Hingegen welche der dreikomplexen Zahlen z1, z2, z3 ist groer? Komplexe Zahlen sind nicht geordnet!

    Was z1, z2, z3 gemeinsam haben, ist der gleiche Abstand vom Ursprung

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    Gausche Zahlenebene kartesische Darstellung

    Es wird an die Zahlengerade zur Darstellung reeller Zahlen erinnert:

    3 2 1 1 2 3

    3i

    2ii

    i

    2i

    3i

    x

    y|z| =

    x2 + y2

    z1 = 2 + 2.5 i

    Zur Darstellung komplexer Zahlen wird die y-Achse fur den Imaginarteil verwendet.

    Die reellen Zahlen sind geordnet, z.B., 2 > 2 > 1 . . .. Hingegen welche der dreikomplexen Zahlen z1, z2, z3 ist groer? Komplexe Zahlen sind nicht geordnet!

    Was z1, z2, z3 gemeinsam haben, ist der gleiche Abstand vom Ursprung Dies fuhrtzum Konzept des Betrags |z| einer komplexen Zahl z. Aus der Skizze folgt sofort

    |z

    |= x2 + y2 (3)

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    Rechnen mit komplexen Zahlen I: Addition, Subtraktion, Multiplikation

    Regel: Alle herkommlichen Rechenregeln gelten unverandert. Die Konstantei =

    1 wird dabei wie ein beliebiges Symbol (wie eine beliebige Variable)behandelt, mit dem Unterschied, da Ausdrucke wie i2 = 1, i3 = i, i4 = +1usw. naturlich vereinfacht werden. Somit bleiben nur Terme mit und ohne i

    ubrig, diese werden zu Real- und Imaginarteil des Ergebnis zusammengefasst.

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    Rechnen mit komplexen Zahlen I: Addition, Subtraktion, Multiplikation

    Regel: Alle herkommlichen Rechenregeln gelten unverandert. Die Konstantei =

    1 wird dabei wie ein beliebiges Symbol (wie eine beliebige Variable)behandelt, mit dem Unterschied, da Ausdrucke wie i2 = 1, i3 = i, i4 = +1usw. naturlich vereinfacht werden. Somit bleiben nur Terme mit und ohne i

    ubrig, diese werden zu Real- und Imaginarteil des Ergebnis zusammengefasst. Beispiele: a = 1 + 3i, b = 5 2i

    Addition:

    a + b = (1 + 3i) + (5 2i) = 1 + 3i + 5 2i = 1 + 5 + 3i 2i = 6 + i

    S

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    Rechnen mit komplexen Zahlen I: Addition, Subtraktion, Multiplikation

    Regel: Alle herkommlichen Rechenregeln gelten unverandert. Die Konstantei =

    1 wird dabei wie ein beliebiges Symbol (wie eine beliebige Variable)behandelt, mit dem Unterschied, da Ausdrucke wie i2 = 1, i3 = i, i4 = +1usw. naturlich vereinfacht werden. Somit bleiben nur Terme mit und ohne i

    ubrig, diese werden zu Real- und Imaginarteil des Ergebnis zusammengefasst. Beispiele: a = 1 + 3i, b = 5 2i

    Addition:

    a + b = (1 + 3i) + (5 2i) = 1 + 3i + 5 2i = 1 + 5 + 3i 2i = 6 + i

    Subtraktion

    a b = (1 + 3i) (5 2i) = 1 + 3i 5 + 2i = 1 5 + 3i + 2i = 4 + 5i

    R h i k l Z hl I Addi i S b k i M l i lik i

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    Rechnen mit komplexen Zahlen I: Addition, Subtraktion, Multiplikation

    Regel: Alle herkommlichen Rechenregeln gelten unverandert. Die Konstantei =

    1 wird dabei wie ein beliebiges Symbol (wie eine beliebige Variable)behandelt, mit dem Unterschied, da Ausdrucke wie i2 = 1, i3 = i, i4 = +1usw. naturlich vereinfacht werden. Somit bleiben nur Terme mit und ohne i

    ubrig, diese werden zu Real- und Imaginarteil des Ergebnis zusammengefasst. Beispiele: a = 1 + 3i, b = 5 2i

    Addition:

    a + b = (1 + 3i) + (5 2i) = 1 + 3i + 5 2i = 1 + 5 + 3i 2i = 6 + i

    Subtraktion

    a b = (1 + 3i) (5 2i) = 1 + 3i 5 + 2i = 1 5 + 3i + 2i = 4 + 5i

    Multiplikation

    a

    b = (1 + 3i)

    (5

    2i) = 1

    5 + 3i

    5 + 1

    (

    2i) + 3i

    (

    2i) =

    = 5 + 15i 2i 6i2 = 5 + 15i 2i + 6 = 5 + 6 + 15i 2i = 11 + 13i

    R h i k l Z hl I Addi i S b k i M l i lik i

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    Rechnen mit komplexen Zahlen I: Addition, Subtraktion, Multiplikation

    Regel: Alle herkommlichen Rechenregeln gelten unverandert. Die Konstantei =

    1 wird dabei wie ein beliebiges Symbol (wie eine beliebige Variable)behandelt, mit dem Unterschied, da Ausdrucke wie i2 = 1, i3 = i, i4 = +1usw. naturlich vereinfacht werden. Somit bleiben nur Terme mit und ohne i

    ubrig, diese werden zu Real- und Imaginarteil des Ergebnis zusammengefasst. Beispiele: a = 1 + 3i, b = 5 2i

    Addition:

    a + b = (1 + 3i) + (5 2i) = 1 + 3i + 5 2i = 1 + 5 + 3i 2i = 6 + i

    Subtraktion

    a b = (1 + 3i) (5 2i) = 1 + 3i 5 + 2i = 1 5 + 3i + 2i = 4 + 5i

    Multiplikation

    a

    b = (1 + 3i)

    (5

    2i) = 1

    5 + 3i

    5 + 1

    (

    2i) + 3i

    (

    2i) =

    = 5 + 15i 2i 6i2 = 5 + 15i 2i + 6 = 5 + 6 + 15i 2i = 11 + 13i

    Anmerkungen: verdeutlicht Multiplikation. Mit entsprechender Ubung konnennaturlich viele der obigen Zwischenschritte ubersprungen werden.

    Di k j i t k l Z hl

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    Die konjugiert komplexe Zahl

    3 2 1 1 2 3