Rechnerarchitektur für Wirtschaftsinformatik 4 Logik und...

Rechnerarchitektur für Wirtschaftsinformatik

4 Logik und Schaltalgebra

Hochschule Fulda – FB AI Wintersemester 2017/18

http://ra.rz.hs-fulda.de Peter Klingebiel, HS Fulda, FB AI

Rechnerarchitektur - Peter Klingebiel - HS Fulda - FB AI 2

Boolesche Algebra 1 • Boolesche Algebra Grundlage bei der Entwicklung

von Digitaltechnik / digitaler Elektronik • benannt nach George Boole, auf dessen Logikkalkül von

Mitte des 19. Jahrhunderts die Boolesche Algebra basiert • die Boolesche Logik kennt nur zwei Zustände:

0 oder 1 wahr oder falsch Schalter ein oder Schalter aus true oder false Spannung 5 Volt oder Spannung 0 Volt

• Boolesche Algebra bildet ein binäres System

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Boolesche Algebra 2

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deutsch englisch Bezeichnung Operatoren C-Operator UND AND Konjunktion &&

ODER OR Disjunktion ||

NICHT NOT Negation !


AND 1

• AND-Verknüpfung (Konjunktion, UND) • Beispiel: wenn ich morgen frei habe und die Sonne

scheint, dann fahre ich in die Rhön • beide Bedingungen, ich habe morgen frei und die Sonne

scheint, müssen wahr sein. Dann fahre ich in die Rhön. • Wahrheitstabelle AND-Verknüpfung

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A B A AND B falsch falsch falsch wahr falsch falsch falsch wahr falsch wahr wahr wahr


AND 2

5

E1 E2 Lampe offen offen aus

geschlossen offen aus offen geschlossen aus

geschlossen geschlossen an


AND 3

• AND – Funktion, Symbole, Wahrheitstabelle

• das Ergebnis einer logischen UND-Verknüpfung ist immer dann true, wenn alle Eingänge true sind

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OR 1

• OR-Verknüpfung (Disjunktion - ODER) • Beispiel: wenn es 18 Uhr ist oder ich Hunger habe, dann

esse ich eine Pizza • eine oder beide Bedingungen, es ist 18 Uhr oder ich habe

Hunger, müssen wahr sein. Dann esse ich eine Pizza. • Wahrheitstabelle OR-Verknüpfung

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A B A OR B falsch falsch falsch wahr falsch wahr falsch wahr wahr wahr wahr wahr


OR 2

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E1 E2 Lampe offen offen aus

geschlossen offen an offen geschlossen an

geschlossen geschlossen an


OR 3

• OR – Funktion, Symbole, Wahrheitstabelle

• das Ergebnis einer logischen ODER-Verknüpfung ist immer dann true, wenn mindestens ein Eingang true ist

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NOT 1

• NOT-Verknüpfung (Negation, NICHT)

• die logische NICHT-Verknüpfung verändert eine logische Aussage in ihr Gegenteil

• d.h. aus true wird false • und aus false wird true • Wahrheitstabelle NOT-Verknüpfung

• Digitaltechnik: NICHT-Verknüpfung Inverter

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A NOT A falsch wahr wahr falsch


NOT 2

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Schalter Lampe offen ein

geschlossen aus


NOT 3

• NOT – Funktion, Symbole, Wahrheitstabelle

• das Ergebnis einer logischen NICHT-Verknüpfung verändert eine Aussage in ihr Gegenteil, aus true wird false und aus false wird true

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Logische Grundfunktionen 3

• kurze Zusammenfassung • es gibt drei logische Grundfunktionen

• die Kombination dieser drei Grundfunktionen kann die Vielfalt der Funktionen der Digitaltechnik erzeugen

• einige Kombinationen der Grundfunktionen treten in der Digitaltechnik häufiger auf und werden als eigene Funktionsblöcke mit eigenen Bezeichnungen versehen

• dazu gehören NAND, NOR, XOR und XNOR

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deutsch englisch Bezeichnung UND AND Konjunktion

ODER OR Disjunktion NICHT NOT Negation


NAND 1

• NAND-Verknüpfung (Not AND – Nicht UND)

• NAND ist die Kombination einer UND-Verknüpfung mit einer NICHT-Verknüpfung

• Wahrheitstabelle NAND-Verknüpfung

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A B X = A AND B Y = NOT X falsch falsch falsch wahr wahr falsch falsch wahr falsch wahr falsch wahr wahr wahr wahr falsch


NAND 2

• NAND – Funktion, Symbole, Wahrheitstabelle

• das Ergebnis einer logischen NAND-Verknüpfung ist immer dann true, wenn kein oder nur ein Eingang true ist, und false, wenn beide Eingänge true sind

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NOR 1

• NOR-Verknüpfung (Not OR – Nicht ODER)

• NOR ist die Kombination einer ODER-Verknüpfung mit einer NICHT-Verknüpfung

• Wahrheitstabelle NOR-Verknüpfung

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A B X = A OR B Y = NOT X falsch falsch falsch wahr wahr falsch wahr falsch falsch wahr wahr falsch wahr wahr wahr falsch


NOR 2

• NOR – Funktion, Symbole, Wahrheitstabelle

• das Ergebnis einer logischen NOR-Verknüpfung ist immer dann true, wenn kein Eingang true ist

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XOR 1

• XOR-Funktion prüft auf Ungleichheit von zwei binären Größen Antivalenz

• zwei binäre Größen A und B sind ungleich, wenn gilt A = 0 und B = 1 oder A = 1 und B = 0

• Y = (A ∧ B) ∨ (A ∧ B) • Wahrheitstabelle der XOR-Verknüpfung

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A B A XOR B falsch falsch falsch wahr falsch wahr falsch wahr wahr wahr wahr falsch


XOR 2

• XOR oder Antivalenz Gegenteil der Äquivalenz • Verknüpfungen zur Realisierung der XOR-Funktion

• Übung: Überprüfung durch eine Wahrheitstabelle

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XOR 3

• XOR – Funktion, Symbole, Wahrheitstabelle

• das Ergebnis einer logischen XOR-Verknüpfung ist immer dann true, wenn nur ein Eingang true ist, oder wenn beide Eingänge nicht gleich sind (Antivalenz)

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Äquivalenz 1

• Äquivalenz-Funktion (Gleichwertigkeit) prüft auf Gleichheit von zwei binären Größen

• zwei binäre Größen A und B sind gleich, wenn gilt A = 0 und B = 0 oder A = 1 und B = 1

• Y = (A ∧ B) ∨ (A ∧ B)

• Übung: mit welchen Verknüpfungen kann die Äquivalenz-Funktion realisiert werden?

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Äquivalenz 2

• Verknüpfungen zur Realisierung der Äquivalenz-Funktion

• Übung: Überprüfung durch eine Wahrheitstabelle

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XNOR 1

• XNOR-Verknüpfung (Exlusiv Nicht ODER) • prüft auf Gleichheit von zwei binären Größen Äquivalenz (Gegenteil der Antivalenz)

• XNOR ist die Kombination einer XOR-Verknüpfung mit einer NICHT-Verknüpfung

• Wahrheitstabelle XNOR-Verknüpfung

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A B X = A XOR B Y = NOT X falsch falsch falsch wahr wahr falsch wahr falsch falsch wahr wahr falsch wahr wahr falsch wahr


XNOR 2

• XNOR – Funktion, Symbole, Wahrheitstabelle

• das Ergebnis einer logischen XNOR-Verknüpfung ist immer dann true, wenn alle Eingänge true oder false sind, oder wenn alle Eingänge den gleichen Zustand haben (Äquivalenz)

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Funktionen mit mehreren Eingängen 1

• oft sind Funktionen mit mehr als zwei Eingängen nötig, insbesondere für die AND- und OR-Funktionen

• Kombination von Grundfunktionen • Beispiel: logische UND-Verknüpfung von drei Größen

X, Y, Z: A = X ∧ Y ∧ Z = (X ∧ Y) ∧ Z

• ODER-Verknüpfung von vier Eingängen A, B, C, D A v B v C v D = (A v B) v ( C v D) 25


Zusammengesetzte Funktionen 1

• kurze Zusammenfassung

• neben den drei Grundfunktionen AND, OR und NOT gibt es kombinierte Funktionen, z.B. NAND, NOR, XOR und XNOR

• weitere zusammengesetzte Funktionen sind möglich, haben aber keine praktische Bedeutung

• zu den zusammengesetzten Funktionen gehören auch die Grundfunktionen, mit denen mehr als zwei Größen verknüpft werden, z.B. OR mit vier Eingängen

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Schaltalgebra 1

• bei den logischen Verknüpfungen / Funktionen werden zur Darstellung der Zusammenhänge zwischen den Zustän-den der Eingangsgrößen und der Ergebnisgröße Wahr-heitstabellen verwendet

• allgemein gilt:

der Zusammenhang von Eingangsgrößen und Ergebnisgröße ist mittels Funktionsgleichung und/oder Wahrheitstabelle darstellbar

• Beispiel: Funktionsgleichung und Wahrheitstabelle der UND-Verküpfung sind gleichwertig

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Schaltalgebra 2

• logische Grundfunktionen wie AND, OR und NOT und zusammengesetzte Funktionen wie NAND, NOR, XOR und XNOR werden ganz selten einzeln verwendet

• durch die Verknüpfung dieser Elemente werden größere digitale Verknüpfungen realisiert

• bei elektronischen Digitalrechnern werden die Verknüpf-ungsfunktionen als elektronische Schaltelemente realisiert

digitale Schaltungen

• allgemein gilt:

jede digitale Schaltung kann mit einer Wahrheitstabelle und/oder einer Funktionsgleichung beschrieben werden

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Wahrheitstabellen 1

• Wahrheitstabellen enthalten Kombinationen der Eingangs-größen und weist von diesen abhängig der Ausgangs-größe ihren Wert zu

• werden alle möglichen Kombinationen der Eingangs-größen beschrieben, dann ist die Wahrheitstabelle eindeutig

• Wahrheitstabellen sind nach festem Schema aufgebaut

• Schaltungen mit zwei und mit drei Eingangsgrößen

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A B X

0 0

1 0

0 1

1 1

A B C X

0 0 0

1 0 0

0 1 0

1 1 0

0 0 1

1 0 1

0 1 1

1 1 1


Wahrheitstabellen 2

• ist die Ausgangsgröße einer Schaltung durch n Eingangs- größen bestimmt, dann ist die Anzahl der in der Wahrheits- tabelle zu berücksichtigenden Kombinationen der Eingangs- größen

2n • damit ist die Funktion der

Schaltung vollständig mit der Wahrheitstabelle beschrieben

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20 21 22 23

A B C D X

0 0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

1 1 0 0

0 0 1 0

1 0 1 0

0 1 1 0

1 1 1 0

0 0 0 1

1 0 0 1

0 1 0 1

1 1 0 1

0 0 1 1

1 0 1 1

0 1 1 1

1 1 1 1


Wahrheitstabellen 3

• Beispielschaltung und Wahrheitstabelle

• Übung: wie lautet die Funktionsgleichung?

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Schaltalgebra 1

• durch Ausprobieren ist i.d.R. auch für einfache Aufgaben-stellungen die dafür erforderliche Schaltung nicht zu finden (wie beim Programmieren!)

• wurde auf diesem Weg eine Schaltung gefunden, ist nicht sicher, dass alle Schaltglieder auch tatsächlich erforderlich sind

• der Entwurf von Digitalschaltungen wird nach festen Regeln durchgeführt

• dafür wird die Schaltalgebra genutzt, die eine Sonderform der vom englischen Mathematiker George Boole entwick-elten Booleschen Algebra darstellt

• mittels der Schaltalgebra lassen sich Digitalschaltungen berechnen und vereinfachen 32


Schaltalgebra 2

• die Schaltalgebra kennt Variable und Konstanten • es gibt nur die beiden Konstanten 0 und 1 • Variable können nur die Werte 0 und 1 haben • jede Größe, die diese Werte 0 und 1 annehmen kann, ist

für die Schaltalgebra eine Variable • Beispiel: ein Schalter ist offen (0) oder geschlossen (1) • die Darstellung von Konstanten ist nicht so einfach

• die Rechenregeln der Schaltalgebra beschreiben, wie

Variable miteinander oder mit Konstanten verknüpft werden können

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Schaltalgebra 3

• Rechenregeln der Schaltalgebra

• A sei eine Variable, 0 und 1 Konstanten • daraus ergeben sich folgende Regeln

A ∧ 0 = 0 A ∨ 0 = A A = A A ∧ 1 = A A ∨ 1 = 1 A ∧ A = A A ∨ A = A A ∧ A = 0 A ∨ A = 1

• es müssen noch weitere Regeln beachtet werden

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Schaltalgebra 4

• Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)

• Kommutativgesetz bei UND A ∧ B = B ∧ A

• Kommutativgesetz bei ODER A ∨ B = B ∨ A

• die Reihenfolge, mit der Variable mit UND und ODER verknüpft werden, ist gleichgültig

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Schaltalgebra 4

• Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz)

• Assoziativgesetz bei UND A ∧ (B ∧ C) = (A ∧ B) ∧ C

• Assoziativgesetz bei ODER A ∨ (B ∨ C) = (A ∨ B) ∨ C

• die Reihenfolge, mit der Variable mit UND und ODER zugeordnet werden, ist gleichgültig

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Schaltalgebra 5

• Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)

• Distributivgesetz bei UND (konjunktiv) A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)

• Distributivgesetz bei ODER (disjunktiv) A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

• Distributivgesetz hat große Bedeutung bei Umformung und Vereinfachung von Verknüpfungsgleichungen

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Schaltalgebra 6

• Morgansche Gesetze • der englische Mathematiker de Morgan hat die boolesche

Algebra um das 1. und 2. de Morgansche Gesetz erweitert

• 1. de Morgansches Gesetz A ∧ B = A ∨ B

• bei Auflösung der Invertierung wird aus UND ein ODER

• 2. de Morgansches Gesetz A ∨ B = A ∧ B

• bei Auflösung der Invertierung wird aus ODER ein UND 38


Schaltalgebra 7

• Bindungsregel • Verknüpfung mehrerer Variablen mit UND und ODER

kann zu Mehrdeutigkeiten führen • Beispiel: X = A ∨ B ∧ C • X = (A ∨ B) ∧ C oder X = A ∨ (B ∧ C) ??? • führt zu unterschiedlichen Ergebnissen! • Lösung: den logischen Verknüpfungen werden unter-

schiedliche Prioritäten zugeordnet • UND-Verknüpfung bindet stärker als ODER-Verknüpfung

Y = A ∨ B ∧ C ist damit eindeutig Y = A ∨ (B ∧ C)

• („Punktrechung geht vor Strichrechnung“)

• Setzen von Klammern Reihenfolge der Verknüpfung 39

Rechnerarchitektur�für Wirtschaftsinformatik� �4 Logik und SchaltalgebraBoolesche Algebra1 Boolesche Algebra2 AND1 AND2 AND3 OR1 OR2 OR3 NOT1 NOT2 NOT3 Logische Grundfunktionen3 NAND1 NAND2 NOR1 NOR2 XOR1 XOR2 XOR3 Äquivalenz1 Äquivalenz2 XNOR1 XNOR2 Funktionen mit mehreren Eingängen1 Zusammengesetzte Funktionen1 Schaltalgebra1 Schaltalgebra2 Wahrheitstabellen1 Wahrheitstabellen2 Wahrheitstabellen3 Schaltalgebra1 Schaltalgebra2 Schaltalgebra3 Schaltalgebra4 Schaltalgebra4 Schaltalgebra5 Schaltalgebra6 Schaltalgebra7

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