Regelungs- & Steuerungstechnik 1 · Routh-Hurwitz-Kriterium: Notwendige und hinreichende...

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Copyright by ~Gesus~ & Lowy Stand: 27.06.2005 1/20 Regelungs- & Steuerungstechnik 1 Grundlagen von Regelungen: Grundbausteine: Führungsgröße w Sollvorgabe für die Aufgabengröße (Sollwert) Aufgabengröße A y Ausgang (zu beeinflußende Größe) Regelgröße y Durch Sensor erfassbare Größe (zum Zweck des Regelns erfasst) Regeldifferenz e Fehler, Abweichung Stellgröße s u Eingang des zu regelnden Systems (Regelstrecke, Prozess) Störgrößen i z Störungen durch äußere Einflüsse Aktoreingang u Eingangsgröße des Stellglieds (Aktor) Typen von Regelungsaufgaben: Festwertregelung w const = ( ) i i z z t = Folgeregelung () w wt = i z const = Mischformen () w wt = ( ) i i z z t = Entwicklungsschritte: Qualitative Analyse der Regelungs- & Steuerungsaufgabe Festlegen der Architektur + Sensoren, Aktoren Mathematische Modellbildung (inkl. experimentelle Kennwertermittlung) DGL Modell- & rechnergestützte Analyse der Eigenschaften (Analyse) Entwurf (Synthese) der Regelung & Steuerung + Simulation evtl. Veränderung Implementierung durch Hardware, Software Simulation & Validierung Inbetriebnahme, Fine-Tuning w e A y y s u Sensor Aktor Regel- strecke Regler () R G s 1 z Regel- strecke 2 z 3 z r u u m u ' y

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Regelungs- & Steuerungstechnik 1 Grundlagen von Regelungen: Grundbausteine: Führungsgröße w Sollvorgabe für die Aufgabengröße (Sollwert) Aufgabengröße Ay Ausgang (zu beeinflußende Größe) Regelgröße y Durch Sensor erfassbare Größe (zum Zweck des Regelns erfasst) Regeldifferenz e Fehler, Abweichung Stellgröße su Eingang des zu regelnden Systems (Regelstrecke, Prozess) Störgrößen iz Störungen durch äußere Einflüsse Aktoreingang u Eingangsgröße des Stellglieds (Aktor) Typen von Regelungsaufgaben: Festwertregelung w const= ( )i iz z t= Folgeregelung ( )w w t= iz const= Mischformen ( )w w t= ( )i iz z t= Entwicklungsschritte:

• Qualitative Analyse der Regelungs- & Steuerungsaufgabe • Festlegen der Architektur + Sensoren, Aktoren • Mathematische Modellbildung (inkl. experimentelle Kennwertermittlung) DGL • Modell- & rechnergestützte Analyse der Eigenschaften (Analyse) • Entwurf (Synthese) der Regelung & Steuerung + Simulation evtl. Veränderung • Implementierung durch Hardware, Software • Simulation & Validierung • Inbetriebnahme, Fine-Tuning

w e−

Ayysu

Sensor

Aktor R e g e l-s tre c k e

Regler( ) RG s

1z

R e g e l-s tre c k e

2z 3z

ru umu

'y

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Modellbildung: Der Systemzustand ( ) , 0x t t ≥ kann bestimmt werden, wenn ( )0x und ( ) , 0u t t ≥ bekannt sind. Zustandsbeschreibung: Äquivalente Darstellungen für LTI-SISO-Systeme: Erzeugung des Zustandsraummodells: Durch Einschränkungen und Vereinfachungen des Systems eine technisch mathematische Beschreibung in Form einer DGL erstellen. (Dabei kann in den meisten Fällen von einem Kräftesystem und F m a= ⋅ ausgegangen werden!) Nun wird der Zustandsvektor x (Jeder Integratorausgang ist ein Zustand!!) und seine Ableitung bestimmt! ( ), & ...x f x u u⇒ = = (=Zustandsraummodell) Aus diesem Zustandsraummodell kann der Blockschaltplan erzeugt werden! Dabei beginnt man bei einem Integrator mit Eingang und Ausgang! Linearisierung: Liegt eine nichtlineare Funktion vor (z.B. gegeben als Kennlinienfeld), so muss eine Linearisierung im Betriebspunkt (Arbeitspunkt) vorgenommen werden! Speziell für zwei Zustandsgrößen x und zwei Eingänge u :

1

2

xx

x⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1 1 1

1 2 1 21 1 1

2 2 22 2 2 2

1 2 1 2

| |AP AP

f f f fx x u ux x u

x x uf f f fx x u u

∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂Δ Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ Δ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

| |i iAP AP

j j

f fx x ux u

⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂Δ = ⋅Δ + ⋅Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )1 11 0 1 0

Lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung

... ...n n m mn n m ma y a y a y b u b u b u− −

− −+ + + = + + +

Zustandsraummodell

T

x Ax buy c x du= +

= +( ) ( )

( )

ÜbertragungsfunktionY s

G sU s

=

LT

LT

det( ) ( )

det( )

TT

sE A bc d

G s c sE A b dsE A

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = − +

[ ]

2

0( )

0 1 1 2 10 1 1

0

0 1 0 0 0 00 0 1 0 0 0

1 0 0 00 0 0 0 1 0

1

0 0

nn

n nn

xyy

x x uxb

a x a x a x uya a a

y b x

−−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = = +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − ⎣ ⎦⎣ ⎦

=

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Laplace Transformation: Rechenregeln & Gesetze: Korrespondenzen:

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Blockschaltpläne: Blockschaltpläne sind eine anschauliche Möglichkeit zur Beschreibung linearer und nichtlinearer Systeme. Dabei werden Teilsysteme als Blöcke repräsentiert, die mittels gerichteter Kanten zum Gesamtsystem verknüpft werden. Sie verdeutlichen die topologische Struktur und physikalisch-technischen Zusammenhänge. Die Verfeinerung des Blockschalt-/Strukturplans in elementare mathematische Operationen wird al sSignalflußplan bezeichnet. Symbole des Blockschaltplans: Signalverzweigung

Verallgemeinerte Additionsstelle

Linearer Übertragungsblock

Nichtlinearer Übertragungsblock

Statischer Übertragungsblock

Blockschaltbildalgebra: Serienschaltung

Parallelschaltung

Kreisstruktur

Erweiterte Kreisstruktur

Zwei Rückkreisstrukturen ... ( )1 2/1v v r rG G G G± +

1y

u2y

3y1 2 3y y y u= = =

1 2 3y u u u= + −1u

y3u

2u+

( )y G s u=u y( )G s

( ) ( )( )y t f u t=

( ) ( ) ( )1 2y t u t u t= ⋅

uy( ).f

1u2u

y

( ) ( )ii

G s G s=∏ u y1iG − 1iG +iG

( ) ( )ii

G s G s=∑u yiG

1iG +

( ) ( )( ) 1

v

v r

Y s GG sU s G G

= =±

u yvG

rG∓

u yvG

rG∓b c

( ) ( )( ) 1

v

v r

Y s GG s c bU s G G

= = ⋅ ⋅±

u y∫ ⇒ ( ) 1G ss

=:Integrator

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Normalformen des Zustandsraummodells: Kanonische Normalform

1 0 00 00 0 n

λ

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ][ ]

1 2 3

1 2 3

T

T

b b b b

c c c c

=

=

(Entkoppelung des Systems) Regelungsnormalform Existenz für

0 1 2

0 1 00 0 1Aa a a

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

[ ][ ]0 1 2

0 0 1T

T

b

c c c c

=

=

(setzt vollständige Steuerbarkeit voraus) Beobachtungsnormalform

Existenz für

1

²

T

T

TB

T n

cc A

S regulärc A

c A −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

0

1

2

0 01 00 1

aA a

a

−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

[ ][ ]

0 1 2

0 0 1

T

T

b b b b

c

=

=

(setzt Beobachtbarkeit voraus)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

0 0

( ) ( ) ( ) ( )LTT T T

x t Ax t bu t x t x

y t c x t Y s c X s c sE A bU s

= + =

= ⎯⎯→ = = −

1² nsS b Ab A b A b ist regulär−⎡ ⎤= ⎣ ⎦

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Gewichtsfunktion & Übergangsfunktion: Gewichtsfunktion: ( ) ( )g t G s−•

Übergangsfunktion: ( ) ( )0

t

h t g dτ τ= ∫

Regeldifferenz: Systemstabilität: Ein stabiles System wird in Ruhe gelassen (Regler: Einschwingvorgang verschnellern), ein instabiles System muss mit einem Regler stabilisiert werden! Systemdynamische Bausteine: P-,I-,D-Systeme: P-System ( ) ( )y t K u t= ⋅

Übertragungsfunktion: ( )G s K=

P-Baustein besitzt keine Pole und Nullstellen. Er hat keine Eigendynamik!

I-System ( ) ( )

0

t

Iy t K u dτ τ= ⋅ ∫ ( ) ( )Iy t K u t= ⋅

Übertragungsfunktion: ( ) IKG ss

=

Für 0u = wird 0x gehalten Grenzstabil!

D-System ( ) ( )Dy t K u t= ⋅

Übertragungsfunktion: ( ) DG s K s= ⋅

Totzeitsysteme: Systemausgang reagiert verzögert auf den Systemeingang (z.B.: Transportvorgänge)

( ) ( )( ) t

t

sT

y t K u t T

G s K e−

= ⋅ −

= ⋅

( ) ( )( ) ( )

0

: 0 lim

: lims

s

Anfangswert h G s

Endwert h G s→∞

=

∞ =

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

0

Anfangswertansatz: 0 lim

Endwertansatz: lims

s

y sG s U s

y sG s U s→∞

=

∞ =

( )( )

1 kein bleibender Regelfehler

1 bleibender Regelfehler

h

h

∞ = ⇒

∞ ≠ ⇒

( ) ( )( ) ( )0

lim 1s

e t s G s U s→

→∞ = −

( ) ( ): 1 1

::::: 0,5:

p pR R p

n

R

d

a a d R n R

p

h t V h tM relativeÜberschwingweite M M

V VV Endwertt Halbwertszeitt Verzögerungszeitt Verzugszeitt Anregelzeit t t t t tt Peaktime

−= = − = −

= + = +

2 3 1 121 ... 12 3! ! (1 )1

2

t

tn

sTn

t t

Tsx x xe x für nTn sT ns

−−

= + + + + + ≈ ≈ ≥++

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PT1-Systeme: Proportional verzögerndes System 1. Ordnung! Die Einschwingzeit einT ist eine wichtige Kenngröße, sie gibt an, nach welcher Zeit die Übergangsfunktion ein relativ auf den Endwert bezogenes 5%± Band nicht mehr verlässt. PT2-Systeme: Proportional verzögerndes System 2. Ordnung! PT2-Systeme sind bei bestimmter Parametrierung schwingungsfähig (komplexe Pole!). Minimalphasensystem & Allpässe: Minimalphasensysteme (MP) Keine Nullstellen oder/und Pole in der rechten

Halbebene der Pol-Nullstellenkarte! Nichtminimalphasensysteme (NMP) Mindestens eine Pol- oder Nullstelle in der rechten

Halbebene und/oder totzeitbehaftet! Allpasssysteme (AP) Spezielle NMP-Systeme , deren Pol-

/Nullstellenverteilung symmetrisch zur Imaginärachse ist. (frequenzunabhängiger, konstanter Amplitudenverlauf) Totzeitsystem ist Allpasssystem!

Überschwingweite & Dämpfungsgrad:

Prozentuale Überschwingweite: ( ) ( )( )

max1 100%h T h

üh

− ∞= ⋅

( ) ( ) ( )

( )1

T y t y t K u tKG ssT

⋅ + = ⋅

=+

5% 3einT T T= =

( )

2 20 0 0

20

2 12 20 0 1 2

2

1 1 2 1 1

y D y y K u

G s K Ks D s s s

ω ϖ ϖ

ω τ τω ω τ τ

+ + =

= = >+ + + +

0

20

20

: Kennkreisfrequenz: Dämpfungsgrad: Verstärkungsgrad

1

1 2e

r

DK

D

D

ω

ω ω

ω ω

= −

= −

21,2 0 0 1 arccose ep D D Dω ω σ ω ϕ= − ± − = ± =

0 : Oszillator0 : instabiles System (min. ein Pol hat pos. Realteil)

0 1: periodisch stabiles Systemverhalten (konj. kompl. Polpaar)1: aperiodischer Grenzfall (keine Schwingung)1: aperiodisch s

DD

DDD

=<< <=≥ tabiles Systemverhalten (zwei reelle neg. Pole)

( ) (1 ) ( )

( ) ( )

tLTT

tLTT

h t k e sG s

Kg t e G sT

= − ⎯⎯→

= ⎯⎯→

1( ) (1 sin( )1 ²

eteh t K e t

Dσ ω ϕ−= − +

,1Maxe

T πω

=

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Stabilität von LTI-Systemen: Zustandsstabilität: Die Zustandsstabilität ist die Eigenschaft eines Systems, nach einer Auslenkung in dieselbe Ruhelage wieder zurückzukehren. Stabilitätsbedingung für LTI-Systeme: Zustandssteuerbarkeit & -beobachtbarkeit: Ein LTI-System gilt als vollständig steuerbar, wenn eine zulässige Steuerung ( )u t existiert,

die einen beliebigen Anfangszustand 0x in endlicher Zeit in den Ursprung ( ) 0ex t = überführt. Steuerbarkeitskriterium: Grund für Scheitern: falsche Regelgrößen / falsche Platzierung der Aktoren! Ein LTI-System wird vollständig zustandsbeobachtbar genannt, wenn jeder beliebige Anfangszustand 0x aus der Kenntnis von ( )y t eindeutig bestimmt werden kann! Beobachtbarkeitskriterium: Grund für Probleme: falsche Platzierung des Sensors BIBO-Stabilität (E/A Stabilität): System ist vollständig stuerbar und beobachtar. Das System ist Zustandsstabil:

( ){ } ( )Re 0 1, 2,...i iA A i nλ σ= < =

asymptotisch stabil ⇔ E/A-Stabil

System ist nicht vollständig steuerbar und/oder beobachtbar.

( ){ } ( )Re 0j jA Aλ σ= < für alle steuer- und

beobachtbaren Eigenwerte ( )j Aλ asymptotisch stabil ⇒ E/A-Stabil

( ){ } ( )Re 0 1, 2,...

: Eigenwerte der Systemmatrix i i

i

A A i n

A

λ σ

λ

= < =

11 1 1 1 11

1

Modalform:

0

nn

SZ nn n n n n

i

b b bQ b b b

b b b

b i

λ λ

λ λ

−−

⎡ ⎤⎡ ⎤= Λ Λ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

≠ ∀

( )1

1 1 1 1 1 11

Modalform:

0

nnT T

SZ nn n n n n

i

c c cQ c c c

c c cc i

λ λλ λ

−−

⎡ ⎤⎡ ⎤= Λ Λ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦≠ ∀

1

det 0

nSZ

n nSZ SZ

SZ

Q b Ab A b

Q QRang Q n

×

⎡ ⎤= ⎣ ⎦≠ ∈

=

( ) 1

det 0

nT TBZ

n nBZ BZ

BZ

Q c A c A c

Q QRang Q n

×

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦≠ ∈=

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Routh-Hurwitz-Kriterium: Notwendige und hinreichende Bedingungen für die Stabilität von LTI-Systemen, die sich nur an den Koeffizienten b des charakteristischen Polynoms des Nenners der nichtreduzierten Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises orientieren. Notwendige Bedingung: 0 0 i ib b i> ∨ < ∀ Notwendige und hinreichende Bedingung: 0nb > und alle n Hurwitzdeterminanten von nD Direkte Methode von Lyapunov: Überprüfung der Stabilität von Systemen ohne explizite Berechnung der Eigenwerte der Systemmatrix! Das System hat genau dann einen asymptotisch stabilen Gleichgewichtspunkt wenn es zu jeder symmetrischen, positiv definiten Matrix Q eine symmetrische, positiv definite Matrix P gibt, so dass gilt: Wirkung reeller & konjugiert komplexer Pole: Stabilitätsgrad: Absolute Stabilitätsreserve Es existiert eine Grenzgerade { }Re . 0grs constσ= = < in der

Pol/Nullstellenkarte, so dass alle Systempole links von ihr liegen! Das System schwingt schneller als mit der

Zeitkonstanten 1

grσ! Höchsteinschwingzeit < 3

grσ

( ) grtg t Meσ≤

( ) 11 0...n n

n nN s b s b s b−−= + + +

0>

1 3 5

2 4

1 3

2

000 0

n n n

n n n

n n n

n n

b b bb b b

D b bb b

− − −

− −

− −

=

0 0 positiv definit0 0 negativ definit0 & 0 indefinit

T

T

T T

x Mx x Mx Mx x Mx Mx y My M

> ∀ ≠ ⇒

< ∀ ≠ ⇒

< > ⇒

Hinreichende Bed. für 1 4 :n≤ ≤

TA P PA Q+ = − ( ) ( )T Td dV x x Px V x x Pxdt dt

= ⇒ =

( )Speziell für 2:det erstes Element ist 0 0 positiv definit 0 0 negativ definit 0 ind

nA x A

beliebig

=

> >> << efinit

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Relative Stabilitätsreserve Alle Systempole liegen in einem Sektor 90grϕ ϕ≤ < ° um die negative reelle Achse!

Mindestdämpfung: cosgr grD ϕ= Kombinierte Stabilitätsreserve Schnittmenge aus relativer und absoluter Stabilitätsreserve! Dominierendes Systemverhalten und Ordnungsreduktion: Bei Systemen höherer Ordnung wird das dynamische Systemverhalten oft nur von weniger Polen primär bestimmt!

Reduzierung der Systemordnung und Problemdimension!

Dominierende, große Zeitkonstanten: 1i

i

Tp

=

Nichtdominierende, kleine Zeitkonstanten: 1j

jpτ =

Da die erste Teilübertragungsfunktion den dynamisch dominierenden Anteil enthält, kann die zweite durch den stationären Wert 1 ersetzt werden (da mehr als 10x schneller abklingend): Wirkungsgrad von Nullstellen auf das Gesamtsystem: Grundlagen der Regelung & Standardregler: Grundstruktur: Regelungsziele: Durch Anpassen der Übertrgungsfunktion des Reglers ( )RG s , sollen die Regelungsziele erreicht werden:

1. Stabilität 2. gutes Folgeverhalten (z.B.: 1y w= ⋅ ) [stationär, dynamisch] 3. „gute“ Störunterdrückung (z.B.: 1 2 31 0 0 0y w z z z= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ )

10i jT τ>

( ) ( ) ( ) ( ) ( )*1

1 11i iji ij

K KG s G sT s T ssτ

= ⋅ ≈ =+ ++∏ ∏∏

( )RG sw

( )rG s

( )SG se y

'y

1z 2z

3zMeßrauschen

SollwertFührungsgröße

Störgröße

RegelgrößeAufgabengröße

Störgröße

1( )(1 0,1 )(1 )

vsTG ss s

+=

+ +2

0,110

v

v

v

T reduziertes SystemT schnelleres reduziertes SystemT PT System

≈ ⇒≈ ⇒≈ ⇒ −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )01 2 3

0 0 0 0

11 1 1 1

R S SG G G GY s W s Z s Z s Z sG G G G

−= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

+ + + + 0 R S rG G G G=

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Standardstrecken: Strecke vom globalen P-Typ Strecke vom globalen I-Typ

( )2

2

1 ... ... ...1 ... ... ...S S

s sG s Ks s

+ + +=

+ + +

( )2

2

1 ... ... ...1 ... ... ...

SS

K s sG ss s s

+ + +=

+ + +

Standardregler: P-Regler ( )R PG s K= I-Regler ( ) I

RKG ss

=

PI-Regler ( ) IR P

KG s Ks

= +

PID-Regler (technisch nicht realisierbar) ( ) 11I

R P D P vn

KG s K K s K T ss T s

⎛ ⎞= + + = + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

PID-Regler verzögert (technisch realisierbar) ( )

1D I

R Ps

K s KG s KT s

= + ++

Vorhalt/Nacheil-Regler ( ) 1 , 01

vR P v

T sG s K T TTs

+= >

+

Anregungsfunktionen: Sprunganregung ( )0w w tσ= Rampenanregung ( )0w w t tσ= Störsprünge ( )1 2 0,z z z tσ= Stabilitätsanalyse von Regelkreisen im Frequenzbereich: Nyquist-Kriterium:

• speziell für Regelkreise, auswertbar an der Übertragungsfunktion ( )0G s des geöffneten Kreises

• Graphisch auswertbar • Auch für Totzeitbehaftete Systeme geeignet

Ein geschlossener linearer Regelkreis ist dann und nur dann stabil, wenn die Ortskurve des aufgeschnittenen Regelkreises ( )0G jω

• Nicht durch den kritischen Punkt 1 0kritP j= − + verläuft und

( ) ( ) , 0|s jG j G s ω ωω = ≥=

( )0

:1 0

SchwingbedingungG j jω = − + ⋅

( ) ( )( )( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

1 ...

arg arg arg ...

m

nG j K f jg j

K m f j n g j

ω ωω

ϕ ω ω ω

= ⋅ ⋅ ⋅

⇒ = + ⋅ − ⋅ +

( )0, 0

arg, 0

KK

Kπ>⎧

= ⎨ <⎩

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• Der von kritP zum laufenden Ortskurvenpunkt ( )0G jω weisende Vektor für wachsendes ω von 0+ bis +∞ eine globale Phasenwinkeländerung W erfährt.

Linke-Hand-Regel: Linke-Hand-Regel ist nur anwendbar, wenn die offene Kreisübertragungsfunktion keinen Pol in der rechten Halbebene aufweist ( 0rn = ) und maximal einen Pol (auch keine doppelten) auf der Imaginärschse hat ( 1an ≤ ). Bei komplizierten Ortskurvenverläufen ist die Linke-Hand-Regel nicht immer eindeutig und es sollte auf das Nyquist-Kriterium zurückgegriffen werden! Regel: Der geschlossene Regelkreis ist stabil, wenn beim Entlangwandern auf der ( )0G jω -Ortskurve von 0ω = nach ω = ∞ der kritische Punkt kritP beim Passieren des diesem am nächsten liegenden Ortskurvenabschnittes stets linker Hand liegt! Stabilität von Regelkreisen mit Totzeit:

stabil für Es bleibt jedoch eine Regeldifferenz e

Bodediagramme: Darstellung einer Frequenzgangsfunktion ( ) ( ) ( )jG j A e ϕ ωω ω= ⋅ in Betrags- ( )A ω und

Phasenfunktion ( )ϕ ω . Dabei wird ( )A ω logarithmisch zur Basis 10 und ( )ϕ ω linear über der der logarithmisch geteilten Frequenzachse ω aufgetragen.

Für multiplikativ verknüpfte Frequenzgangfunktionen gilt:

0 2soll r aW n nϖ

ω

ππ=+∞

=+= Δ Φ = ⋅ + ⋅

: Anzahl Pole rechte Halbebene: Anzahl Pole auf Imaginärachse

r

a

nn

: Aus Ortskurvenverlauf bestimmen, dabei wird die Winkeländerung immer in zunehmende Richtung gemessen

istWϖ

Stabilität!!ist sollW W= ⇒

w x0

tsTK e−−dx

0 1K <

Im

RekritP

0 1K =

( ) ( ) ( ) ( )1 2 ... nG j G j G j G jω ω ω ω= ⋅ ⋅ ⋅

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 2

1 2

lg lg lg ... lg

...n

n

A A A Aω ω ω ω

ϕ ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω

= + + +

= + + +

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Bodediagramme von P-,I-,D-Bausteinen: P-Baustein ( )

( ) ( )

01 1 1

1 1 1

0 :

0 :

jP

jP

K G j K K e

K G j K K e π

ω

ω −

> = = ⋅

< = = ⋅

I-Baustein ( ) 2 2 2

2 0 : j

PK KK G j ej

π

ωω ω

−> = = ⋅

D-Baustein ( ) 2

3 3 30 : j

PK G j K j K eπ

ω ω ω> = = ⋅

Kenngrößen der Frequenzgangfunktion (Randkriterien): Phasenrandkriterium: Der geschlossene Regelkreis ist E/A-stabil, wenn gilt: 0RΨ > Amplitudenrandkriterium: Der geschlossene Regelkreis ist E/A-stabil, wenn gilt: 1RA > Reglerentwurf: Reglerentwurf: Heuristische Einstellmethoden: Einstellregeln nach Ziegler-Nichols: Die zugrundegelegten Reglertypen sind wahlweise P-, PI-, PID-Regler: Reglertyp RK nT vT

P-Regler ,0,5 R kritK⋅ ( )∞ ( )0

PI-Regler ,0, 45 R kritK⋅ 0,85 kritT⋅ ( )0

PID-Regler ,0,7 R kritK⋅ 0, 4 kritT⋅ 0,15 kritT⋅ Einstellregeln des symmetrischen Optimums: Näherungsweise Kompensation der großen Streckenzeitkonstanten führt zu einer Beschleunigung des Einschwingens. Gutes stationäres Verhalten aufgrund des I-Anteils. Kompromiß zwischen gutem Führungs- und Störverhalten. Robustheit gegen Paramteränderungen (Stabilität)

( ) 11R R vn

G s K T sT s

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

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Frequenzgangentwurfskriterien: Unter Voraussetzung von Stabilität wird ein gutes Führungs- ( 1wG ≈ ) Störungsübertragungsverhalten ( 2 0zG ≈ ) sowie eine Meßstörungsunterdrückung ( 3 0zG ≈ ) angestrebt. Für den Regelkreis gilt jedoch 2 1w zG G+ = , somit gilt wegen dem typischen Teifpassverhalten von wG automatisch Hochpassverhalten für 2zG und es lassen sich somit nur niederfrequente Laststörungen ( )2z t mit diesem Regelkreis unterdrücken. Entwurf hinsichtlich des bestmöglichen Kompromisses. Im Bodediagramm wird deshalb die Frequenzachse in drei Bereiche unterteilt: Unterer Frequenzbereich Verlauf der Frequenzkennlinie von ( )0G jω bestimmt

stationäres Führungs- und Störverhalten des geschlossenen Regelkreises

Mittlerer Frequenzbereich Verlauf der Frequenzkennlinie von ( )0G jω bestimmt Stabilität und Einschwingverhalten des geschlossenen Regelkreises

Oberer Frequenzbereich Aus dem Verlauf in diesem Bereich von ( )0G jω lassen sich Aussagen über Messstörungsunterdrückung und Robustheit der Regelung ableiten

( )RG sw

( )SG sx

1 0z =2z

3z

Systemstörung

Messrauschen

Ausgangsstörung

( ) ( ) ( ) ( )

2 3

0 02 3

0 0 0

11 1 1

w z zG G G

G GX s W s Z s Z sG G G

= + ++ + +

1Dω ω

1Dω ω≈

1Dω ω

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Entwurfsvorschriften für zufriedenstellendes Regelkreisverhalten: Stabilität Für Stabilität muss gelten: 0RΨ > ( mittlerer Frequenzbereich!) Gutes stationäres Verhalten

( ) ( ) ( )20 1, 0 0w zG j G j≈ ≈ ( )10 | 1

DG j ω ωω

Gutes Einschwingverhalten

Einschwingzeit und Bandbreite: Im mittleren Frequenzbereich muss gelten:

( )0 1 11

1 0,5 5/ D D

D

G jω ω ω ωω ω

≈ ≤ ≤

( )wG jω weißt in der Umgebung von 1Dω 1PT Verlauf auf,

damit wird durch 1Dω auch die Bandbreite von ( )wG jω bestimmt:

Abschätzung der Einschwingzeit des Führungsverhaltens: Geringes Überschwingen: Gutes Folgeverhalten mit geringem Überschwingen: 60RΨ ≈ ° Gutes Störverhalten: 30RΨ ≈ ° Da meist beides gewünscht wird, sollte eine Phasenreserve zwischen den beiden Werten angestrebt werden!

Reduktion des Einflusses von Messrauschen

Im oberen Frequenzbereich muss gelten: ( wirksame Reduzierung von hochfrquentem Messrauschen)

Robustheit gegen Modellierungsfehler

Wurden hochfrequente Streckeneigenschaften nicht berücksichtigt, so kann dieser Fehler ebenfalls mit der Forderung an die Reduktion des Einflusses von Messrauschen unterdrückt werden.

Wurzelortskurven: Veranschaulichung von Auswirkungen der Parameteränderungen auf die Polverteilung eines Regelkreises und damit auf die dynamischen Regelkreiseigenschaften. Die Wurzelortskurve ist definiert als der geometrische Ort in der s-Ebene, auf dem sich in Abhängigkeit eines beliebigen Kreisparameters g die Pole der Regelkreisübertragungs-funktion ( ),RKG s g also die Wurzeln von ( ),RKN s g bewegen. Bei Berechnung der WOK für den Parameterbereich 0 g≤ ≤ ∞ müssen die Fälle hinsichtlich der Determinanten untersucht werden (konjugiert komplexe Pole, rein reelle Pole). Für den Sonderfall, dass die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises linear von einem Parameter abhängt gelten folgende Eigenschaften:

1B Dω ω≈

1

3Ein

D

( )10 | 1

DG j ω ωω

( ) ( ) ( )!

0 0, , , 0RKN s g Z s g N s g= + = ( ) ( )( )

00

0

,, (offener Regelkreis)

,Z s g

G s gN s g

=

( ) ( )( )

( )

( )

0

100

00

1

,

m

n

s qZ s

G s K K K QN s s p

μμ

νν

=

=

−= ⋅ = ⋅ ⋅

∏: Parameter K g

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• Die Pole ( )RKp g sind entweder reelle oder konjugiert komplexe Pole

• n WOK Äste beginnen für 0g = in den Polstellen 0pν • m WOK Äste enden für g →∞ in den Nullstellen 0qμ • n m− WOK Äste enden für g →∞ im Unendlichen • Die Asymptoten der n m− Äste schneiden sich im Wurzelschwerpunkt: • Die Asymptoten schließen mit der reellen Achse einen Winkel ein:

Strukturelle Erweiterungen der einschleifigen Regelungsstruktur:

Steigerung der Regelungsqualität! Aufschaltungen: Führungsgrößenaufschaltung/Vorsteuerung:

( )VG s ist im Allgemeinen nicht exakt technisch realisierbar (Polüberschuss!). Störgrößenaufschaltung: Kaskadenregelung: Kaskadenregelungen sind ineinander verschachtelte Regelkreise, deren dynamisches Verhalten von von außen nach innen zumeist reaktiver (dynamisch schneller) wird. Zustandsbasierter Reglerentwurf: Zustandsregelung von LTI-SISO-Systemen: Für das Regelungsgesetz gilt: ( ) ( ), ,u t R w y x= (kombinierte Ausgangs- & Zustandsregelung)

0 0

1 1

n m

w

p qp

n m

ν μν μ= =

−=

∑ ∑

( )

( )

2 1 für 0

1,...,2 2

für 0

l

l

lKQ

n m l n ml

KQn m

π

π

− ⎫Φ = > ⎪⎪− = −⎬

− ⎪Φ = < ⎪− ⎭

VG

RG HG SG xw−

zuRu

Vu ( ) 111

V H Sw

R H S

G G GG sG G G

−= +

+

( ) ( )1 1V wH S

G s G sG G

= ⇒ =

ideales Führungsverhalten!

AG

RG HG SG xw−

z

uRuZu ( ) ( )1

1S A H

zR H S

G G GG s

G G G+

=+

( ) ( )1 0A zH

G s G sG

= − ⇒ =

Wirkung der Störgrößevollständig kompensiert!

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P-Regler mit vollständiger linearer Zustandsrückführung: Die n Eigenwerte ( )i Aλ einer vollständig steuerbaren SISO Strecke ( ),A b können mittels

vollständiger linearer Zustandsregelung mit nk ∈ in eine beliebige Konfiguration von n reellen und/oder konjugiert komplexen Regelungseigenwerten ( )Regi Aλ verschoben werden! Bei nicht vollständig steuerbaren Strecken ist nur eine Verschiebung der steuerbaren Eigenwerte möglich! LQ Regler Entwurfsverfahren: Für den Fall einer Festwertregelung ( ' 0w = ) gilt für das optimale lineare Zustandsregelgesetz: Zustandsbeobachter (Zustandsschätzer) für LTI Systeme: System oder Algorithmus, der es ermöglicht, alle nicht direkt messbaren Zustandsgrößen oder davon abgeleitete aufgrund weniger direkter Messungen zu rekonstruieren (schätzen). Vollständiger Zustandsbeobachter:

( ) ( )Prozessmodellˆ Korrekturterm

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆBeoA A

x A LC x Bu Lyx Ax Bu L y Cx

y Cx=

= − + + = + + −

=

Dabei gilt, dass L und somit auch alle iλ von BeoA frei wählbar sind (Beobachterpolplatzierung)! Wird L mit LQ-Gütefunktional berechnet erhält man den Kalman-Filter. Erweiterte Zustandsregelungsstruktur:

( )Reg

'TR R

A

T

x A bk K x bK w

y c x

= − +

=

( ) ( ) (Steuervektor)u t K x t= − ⋅

1 TK R B P−+= 1T TPA A P PBR B P Q−− − + = , 0TP P P+ + += >

1 TK R B P−+=

RK E= x Ax Bu= +

0xu' 0w =

x yC

Strecke

1Reg

TA A BR B P−+= −

Tk

1RK =

, ,

TA b cl

'w

u yStrecke

Regeleinrichtung

Dynamischer(Zustandsraum)Kompensator

BeobachterRegelgesetz

( )' TRu K w k x= −

( ) ( )Beo RegRe Rek jA Aλ λ≤

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Zusammenfassung von Regler und Beobachter zum Zustandsraumkompensator: Digitale Implementierung von Steuerungs-, Regelungs- & Filtergesetzen: Numerische Approximation des Integrationsoperators: Rechteck Approximation:

1k k ky y x h−= + ⋅ 1zshz− ( ) ( ) 1|R R zs

hz

G z G s −→

=

Trapez Approximation (Tustin-Approximation):

( )1 12k k k khy y x x− −= + + 2 1

1zs

h z−+

( ) ( ) 2 11

|R R zsh z

G z G s −→

+

=

Regleralgorithmen: Phasenvorhalt-/Phasennacheilregler mit Tustin Approximation:

( ) ( )( )R

Y s s aG s KE s s b

+= =

+ ( ) ( ) ( ) ( )* 1 * * 11 1b z Y z K a z E z− −− = −

Mit inverser Z-Transformation folgt: * * * *1 1 1, 2,...k k k ky b y K a e K e k− −= − + =

PID-Regler mit Rechteck Approximation:

( ) 11R P vn

G s K T sT s

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠ ( ) 11

1v

R Pn

Th z zG z KT z h z

⎛ ⎞−= + +⎜ ⎟−⎝ ⎠

Mit inverser Z-Transformation folgt: 1 0 1 1 2 2: 1, 2,...k k k k ky y d e d e d e k− − −= + + + = Umsetzung auf einen Prozessor: Software Lösung:

1. Lesen inklusive Wandeln aktueller Eingangswerte [L] (AD-Wandler) 2. Berechnen des aktuellen Stellwerts [R’] (z.B.: PID) 3. Ausgeben inklusive Wandeln des aktuellen Stellwerts [S] (DA-Wandler) 4. Vorausberechnen für den nachfolgenden Stellwert [V], ggf. inklusive Aktualisierung

der Variablenwerte

0 1 21 1 2 v v vp p p

n

T T Thd K d K d KT h h h

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + = − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

* * *2 2 2 2 2 2

ah ah bhK K a bbh ah bh

+ − −= = =

+ + +

y

'wuDynamischer

( )ZustandsraumKompensator

( ) ( )( ) ( )

1

1' 1

y TKomp Komp

w TKomp Komp

T TKomp

G s k sE A l

G s k sE A b

A A l c bk

= − −

= − − +

= − −

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Die Schritte L,R’,S verursachen eine Zeitverzögerung RT , die so kurz wie möglich gehalten werden muss. Die Abtastzeit AT h= muss ebenfalls genau eingehalten werden. Festlegung der Abtastfrequenz in Regelkreisen:

1 1A

A

fT h

= = Faustformel: 20A gω ω≈

quasistetiges Verhalten: 15 50B A Bω ω ω≤ ≤ ( :B Systembandbreiteω ) Gewünschtes Einschwingverhalten Abtastzeit: Frequenzbereichsbetrachtungen: Filterung des Sensorsignals: Tiefpass (Butterworth)-Filter 1. Ordnung Tiefpass (Butterworth)-Filter 2. Ordnung

( ) 0,50,5

Ar

A

G ss

ωω

=+

Ausreichend, wenn Spektrum von ( )zX ω

deutlich oberhalb von ( )X ω liegt

( ) ( )( ) ( )

2

22

0,52 0,5 0,5

Ar

A A

G ss s

ω

ω ω=

+ ⋅ +

Bedämpfung eines näher an ( )X ω heran-reichenden Spektrums des Messrauschens

Erweiterung der Regelfunktion bei digitaler Realisierung:

• Selbsteinstellende Regler (Anpassung an veränderte Streckendaten) • Automatische Verstärkungsgrad-Anpassung (Gain-scheduling: ( )R RK K α= ) • Kompensation nichtlinearer Sensor- oder Aktorkennlinie

0,5B Aω ω= ⋅

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Lösung von DGL 2. Ordnung: Spezielle Lösung mit Ansatz vom Typ der rechten Seite: