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Regelungs- und Systemtechnik 1 Kapitel 3: Laplace-Transformation Prof. Dr.-Ing. habil. Pu Li Fachgebiet Prozessoptimierung

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  • Regelungs- und Systemtechnik 1

    Kapitel 3: Laplace-Transformation

    Prof. Dr.-Ing. habil. Pu Li

    Fachgebiet Prozessoptimierung

  • 2 Problemdarstellung:

    Man möchte die Differentialgleichung in eine algebraische Gleichung umwandeln.

    Die Eigenschaften des Systems sind schwer zu analysieren!

    ukyadtdya

    dtyda

    dtyd

    unnn

    n

    n

    n

    =++++ −−−

    11

    1

    1

  • 3

    ,0000

    )(

    ≥≠<

    =tt

    tf

    Definition:

    ωσ js +=

    { } ∫∞

    −==0

    )()()( dtetftfLsF st

    mit

    Zeitbereich:

    Frequenzbereich:

    Laplace-Transformation typischer Funktionen

  • 4 Laplace-Transformation typischer Funktionen

    Einheitssprung:

    ≥<

    ==0100

    )()(tt

    ttf σ

    { }s

    es

    dtetLsF stst 11)()(00

    =−===∞

    −∞

    −∫σRampenfunktion: ttf =)(

    20

    000

    11)1()(s

    dtetes

    des

    dttesF stststst =

    −−=−== ∫∫∫

    ∞−∞−

    ∞−

    ∞−

    Exponentialfunktion: atetf −=)(

    ase

    asdtedteesF tastasstat

    +=

    +−===

    ∞+−

    ∞+−

    ∞−− ∫∫

    11)(0

    )(

    0

    )(

    0

  • 5 Laplace-Transformation typischer Funktionen

    Impulsfunktion: ≤≤

    ===→ sonst0

    0/1,lim)()(

    0

    εεδ εεε

    trrttf

    { } ∫∫ ==== −→∞

    −ε

    ε εδδ

    00

    0

    11lim)()()( dtedtettLsF stst

    also 0für0)( ≠= ttδ

    und ∫ ∫∞

    ∞−→

    ==ε

    ε εδ

    00

    11lim)( dtdtt

  • 6 Laplace-Transformation typischer Operatoren Differential:

    )0()()()0(

    ))(()(

    0

    00

    00

    fssFdtetfsf

    dtestfetfdfedtedtdf

    dtdfL

    st

    stststst

    −=+−=

    −−==

    =

    ∫∫∫∞

    ∞−∞−

    ∞−

    ∞−

    Integral:

    )(1)(1

    )()(1

    )(1)()(

    0

    000

    0 00 00

    sFs

    dtetfs

    dtetfedzzfs

    dedzzfs

    dtedzzfdzzfL

    st

    ststt

    stt

    sttt

    ==

    −=

    −=

    =

    ∫∫

    ∫ ∫∫ ∫∫

    ∞−

    ∞−

    ∞−

    ∞−

  • 7 Eigenschaften der Laplace-Transformation Zeitverschiebung (Totzeit):

    { }

    )()(

    )()()()(

    0

    0

    )(

    0

    sFedefe

    tdetfedtetftfL

    sss

    tssst

    τωτ

    ττ

    ωω

    ττττ

    −∞

    −−

    ∞−−−

    ∞−

    ==

    −−=−=−

    ∫∫

    Überlagerung: { } )()()()( 22112211 sFasFatfatfaL +=+

    Ähnlichkeit: { } ( )

    )(1)(1)(1

    )(1)()(

    00

    /

    0

    /)(

    0

    asF

    adef

    adef

    a

    atdeatfa

    dteatfatfL

    as

    as

    aatsst

    ===

    ==

    ∫∫

    ∫∫∞

    −∞

    ∞−

    ∞−

    ωωωωω

    ω

    Achtung: { } )()()()( 2121 sFsFtftfL ≠

  • 8 Laplace-Transformation typischer Funktionen

    )(tf )(sF )(tf )(sF

    )(tσ s1 tωsin 22 ω

    ω+s

    t 2

    1s

    tωcos 22 ω+ss

    nt 1!+ns

    n te at ωsin− 22)( ωω

    ++ as

    ate − as +

    1 te at ωcos− 22)( ω++ ass

    ate −−1 )( ass

    a+

    )(tδ 1

    dtdx )0()( xssX −

    2

    2

    dtxd 2 ( ) (0) (0)s X s sx x− −

    Laplace-Transformation: )()( sFtf →

    Inverse Laplace-Transformation: )()( tfsF →

    { })()( tfLsF =

    { })()( 1 sFLtf −=

    )

    (

    t

    f

    )

    (

    s

    F

    )

    (

    t

    f

    )

    (

    s

    F

    )

    (

    t

    s

    s

    1

    t

    w

    sin

    2

    2

    w

    w

    +

    s

    t

    2

    1

    s

    t

    w

    cos

    2

    2

    w

    +

    s

    s

    n

    t

    1

    !

    +

    n

    s

    n

    t

    e

    at

    w

    sin

    -

    2

    2

    )

    (

    w

    w

    +

    +

    a

    s

    at

    e

    -

    a

    s

    +

    1

    t

    e

    at

    w

    cos

    -

    2

    2

    )

    (

    w

    +

    +

    a

    s

    s

    at

    e

    -

    -

    1

    )

    (

    a

    s

    s

    a

    +

    )

    (

    t

    d

    1

    dt

    dx

    )

    0

    (

    )

    (

    x

    s

    sX

    -

    2

    2

    dt

    x

    d

    2

    ()(0)(0)

    sXssxx

    --

    &

    _1202374135.unknown

    _1202374332.unknown

    _1202374462.unknown

    _1202399228.unknown

    _1202399241.unknown

    _1335073251.unknown

    _1202399192.unknown

    _1202374390.unknown

    _1202374431.unknown

    _1202374356.unknown

    _1202374213.unknown

    _1202374269.unknown

    _1202374167.unknown

    _1202373309.unknown

    _1202373432.unknown

    _1202373613.unknown

    _1202374054.unknown

    _1202374072.unknown

    _1202373635.unknown

    _1202373556.unknown

    _1202373365.unknown

    _1202373258.unknown

    _1202373287.unknown

    _1202373243.unknown

  • 9 Wirkungen der Polstellen )(tf )(sF p

    tωsin 22 ωω+s

    ωj±

    tωcos 22 ω+ss ωj±

    te at ωsin− 22)( ωω

    ++ as ωja ±−

    te at ωcos− 22)( ω+++

    asas ωja ±−

    t 2

    1s

    nt 1

    !+ns

    n ate −

    as +1

    ate −−1 )( ass

    a+

    )

    (

    t

    f

    )

    (

    s

    F

    p

    t

    w

    sin

    2

    2

    w

    w

    +

    s

    w

    j

    ±

    t

    w

    cos

    2

    2

    w

    +

    s

    s

    w

    j

    ±

    t

    e

    at

    w

    sin

    -

    2

    2

    )

    (

    w

    w

    +

    +

    a

    s

    w

    j

    a

    ±

    -

    t

    e

    at

    w

    cos

    -

    2

    2

    )

    (

    w

    +

    +

    +

    a

    s

    a

    s

    w

    j

    a

    ±

    -

    t

    2

    1

    s

    n

    t

    1

    !

    +

    n

    s

    n

    at

    e

    -

    a

    s

    +

    1

    at

    e

    -

    -

    1

    )

    (

    a

    s

    s

    a

    +

    _1202374390.unknown

    _1202450087.unknown

    _1202450156.unknown

    _1202450225.unknown

    _1240648274.unknown

    _1202450178.unknown

    _1202450110.unknown

    _1202449768.unknown

    _1202449770.unknown

    _1202449772.unknown

    _1202449773.unknown

    _1202449771.unknown

    _1202449769.unknown

    _1202449767.unknown

    _1202374213.unknown

    _1202374332.unknown

    _1202374356.unknown

    _1202374269.unknown

    _1202373258.unknown

    _1202374135.unknown

    _1202374167.unknown

    _1202373243.unknown

  • 10

    da )0()(0

    fssFdtedtdf

    dtdfL st −=

    =

    ∞−

    [ ])0()(limlim0

    fssFdtedtdf

    s

    st

    s−=

    ∞→

    ∞−

    ∞→ ∫

    Weil 0lim =

    ∞→

    st

    se

    dtdf

    )(lim)0( ssFfs ∞→

    =

    Beispiel: )2)(1(

    1)(++

    =sss

    sF

    0)2)(1(

    1lim)(lim)0( =++

    ==∞→∞→ ss

    ssFfss

    Eigenschaften der Laplace-Transformation

    Satz vom Anfangswert: f (0)

  • 11 Eigenschaften der Laplace-Transformation

    Satz vom Endwert: f (∞)

    da )0()(0

    fssFdtedtdf

    dtdfL st −=

    =

    ∞−

    [ ])0()(limlim0

    00

    fssFdtedtdf

    s

    st

    s−=

    ∞−

    → ∫

    Weil

    )(lim)(0

    ssFfs→

    =∞

    Beispiel: )2)(1(

    1)(++

    =sss

    sF

    21

    )2)(1(1lim)(lim)(

    00=

    ++==∞

    →→ ssssFf

    ss

    )0()(lim)0()(lim0

    000

    fssFffdfdtedtdf

    s

    st

    s−=−∞==

    ∞∞−

    → ∫∫

  • 12 Inverse Laplace-Transformation

    )()( tfsF → { })()( 1 sFLtf −=⇒Umformung der Funktion zu elementaren Funktionen:

    )()()()( 21 sFsFsFsF n+++=

    damit

    { } { } { } { })()()(

    )()()()()(

    21

    12

    11

    11

    tftftfsFLsFLsFLsFLtf

    n

    n

    +++=+++== −−−−

    Für die Funktion (m

  • 13 Inverse Laplace-Transformation

    ∑= +

    =n

    k k

    k

    sscsF

    1)(dann

    nkspsssssssN kkn ,,1,0)())(()( 21 =−=⇒=+++=

    damit { } ∑∑=

    =

    −− =

    +==

    n

    k

    tsk

    n

    k k

    k kecss

    cLsFLtf11

    11 )()(

    Beispiel 1: )2)(1(

    3)(++

    +=

    ssssF

    1,232,1)2)(1(

    )2()(21

    )(

    −==⇒=+=+++

    +++=

    ++

    +=

    BABABAss

    BAsBAs

    Bs

    AsF

    Daher tt eetf 22)( −− −=

    2,1 21 −=−= pp

  • 14 Inverse Laplace-Transformation

    Beispiel 2: )22)(2(1)( 2 +++

    =sss

    sF

    0,21,

    21122,022,0

    )22)(2()(2)22()(

    222)( 2

    2

    2

    =−==⇒=+=++=+

    +++++++++

    =++

    ++

    +=

    CBACACBABA

    sssCAsCBAsBA

    ssCBs

    sAsF

    Daher

    ( )teteetf ttt sincos21)( 2 −−− +−=

    ++

    +++

    +−

    +=

    ++

    −+−

    +=

    ++

    −+

    =

    ++−

    +=

    1)1(1

    1)1(1

    21

    21

    1)1(11

    21

    21

    1)1(21

    21

    2221

    21)(

    222

    22

    sss

    sss

    s

    ss

    ssss

    ssF

    dann

    jpp ±−=−= 1,2 3,21

  • 15 Inverse Laplace-Transformation

    Beispiel 3: 2)1)(2(1)(

    ++=

    sssF

    0,1,112,022,0

    )12)(2()2()22()(

    122)( 2

    2

    2

    =−==⇒=+=++=+

    +++++++++

    =++

    ++

    +=

    CBACACBABA

    sssCAsCBAsBA

    ssCBs

    sAsF

    Daher

    ttt teeetf −−− +−= 2)(

    22

    22

    )1(1

    )1(1

    21

    )1(11

    21

    )1(21

    1221)(

    ++

    +−

    +=

    +−+

    −+

    =

    +−

    +=

    ++−

    +=

    sssss

    s

    ss

    ssss

    ssF

    dann

    1,2 3,21 −=−= pp

  • 16 Lösung linearer Differentialgleichungen

    )(111

    1 tzyadtdya

    dtyda

    dtyd

    nnn

    n

    n

    n

    =++++ −−−

    Laplace-Transformation:

    =⇒=⇒= −)()()(

    )()()()()()( 1

    sNsZLty

    sNsZsYsZsYsN

    Beispiel: 0)0()0(,6522

    ===++ − yyeydtdy

    dtyd t

    Laplace-Transformation: 1

    1)()65( 2+

    =++s

    sYss

    Daher

    321)3)(2)(1(1

    )65)(1(1)( 2 +

    ++

    ++

    =+++

    =+++

    =s

    Cs

    Bs

    Assssss

    sY

    ttt CeBeAety 32)( −−− ++=

  • 17 Übertragungsfunktion

    Ausgang: )()()( sUsGsY =

    Zeitbereich:

    Frequenzbereich:

    Übertragungsfunktion: )()()(

    sUsYsG =

  • 18 Übertragungsfunktion elementarer Glieder

    )()( tuKty P=P-Glied (Proportional-Glied):

    Sprungantwort?

    PKsUsYsG ==)()()(⇒= )()( sUKsY P

    ∫=t

    I duKty0

    )()( ττI-Glied (Integrierglied):

    Sprungantwort?

    sK

    sUsYsG I==)()()(⇒= )()( sU

    sKsY I

  • 19

    0)0(,)( == udtduKty DD-Glied (Differenzierglied):

    Sprungantwort?

    sKsUsYsG D== )()()(⇒= )()( ssUKsY D

    Übertragungsfunktion elementarer Glieder

    0)0(,)(1 ==+ yuKtydtdyT P

    PT1-Glied (Verzögerungs-, Trägheitsglied):

    Sprungantwort?

    1)()()(

    1 +==

    sTK

    sUsYsG P⇒=+ )()()(1 sUKsYssYT P

  • 20 Übertragungsfunktion elementarer Glieder

    Die Sprungantwort: )1()( 1Tt

    P eKty−

    −=

    mit PKyy =∞= )(,0)0(

    Da 11

    )( Tt

    P eTKty

    −= dann

    1)0(

    TKy P=

    Wenn 1Tt = dann PP KeKTy 632,0)1()(1

    1 =−=−

  • 21

    ::

    :

    1

    t

    P

    TTK

    1)()()(

    1 +==

    sTeK

    sUsYsG

    sTP

    t

    PT1Tt (Verzögerung + Totzeit):

    Die Parameter: Verstärkung

    Trägheitszeitkonstante

    Die Sprungantwort: Totzeit

    Übertragungsfunktion elementarer Glieder

    0)0(),()(1 =−=+ yTtuKtydtdyT tP

  • 22

    PT2Tt-Glied:

    PT3-Glied (z.B. Behälterkaskade):

    Übertragungsfunktion elementarer Glieder

  • 23 Übertragungsfunktion allgemeiner Systeme:

    Die Eigenschaften des Systems sind schwer zu analysieren!

    zkukyadtdya

    dtyda

    dtyd

    zunnn

    n

    n

    n

    +=++++ −−−

    11

    1

    1

    Man möchte die Differentialgleichung in eine algebraische Gleichung umwandeln.

    nnnn

    z

    nnnn

    u

    zunnnn

    asasassZk

    asasassUksY

    sZksUksYassYasYsasYs

    +++++

    ++++=

    +=++++

    −−

    −−

    −−

    11

    111

    1

    11

    1

    )()()(

    )()()()()()(

    Physikalische Bedeutung:

  • 24 Blockschaltbild (Strukturbild):

    )()()( sUsGsY =⇒

    )()()()( 21 sUsGsGsY =⇒

    )()()()()( 21 sZsGsUsGsY +=⇒

    [ ])()()()( sZsUsGsY −=⇒

  • 25 Blockschaltbild:

  • 26 Dynamik eines Behälters:

    [ ])()(1)( sFsFAs

    sH ausein −=⇒

    0)0(, hhFFdthdA ausein =−=

    Bilanzgleichungen:

    ausein FFdthdA ∆−∆=∆

    ⇒RhFaus

    ∆=∆ )(1)( sH

    RsFaus =

    ⇒ 1)()(

    +=

    RAsR

    sFsH

    ein

    Negative Rückführung!

  • 27

    ⇒)()()()()()(

    )()()(

    2

    1

    21

    sYsHsXsXsGsY

    sXsWsX

    ==

    −=

    Wie lautet die Übertragungsfunktion zwischen W und Y?

    )()()()()(

    )()()()()()(

    2

    1

    sYsHsWsGsY

    sYsHsXsGsYsX

    −=

    =

    =

    )()(1)(

    )()()()(

    )()()(1

    )()()()(

    1)()()()()(

    sHsGsG

    sWsYsWsY

    sGsHsG

    sWsYsHsG

    sWsYsHsGsY

    +=⇒=

    +

    =

    +⇒=+

    Daher

    Blockschaltbild:

  • 28

    )()(1)(

    )()(

    sHsGsG

    sWsY

    +=⇒

    )()(1)(

    )()(

    sHsGsG

    sWsY

    −=⇒

    Blockschaltbild:

  • 29 Blockschaltbild:

    )()(1)(

    )()(

    sHsGsG

    sWsY

    +=

    )()(11

    )()(

    sHsGsZsY

    +=⇒

    Wenn Z(s) = 0

    ?)()(=

    sZsY

    Wenn W(s) = 0

  • 30 Beispiel: Temperatur im Gewächshaus

    AbQ

    ZuQ

    AzZuu kQkdtdT θθθ ∆+∆=∆+∆1

    Die Gleichung durch die Änderung:

    )()()()1( 1 sksQkssT AzZuu θθ +=+

    Laplace-Transformation:

    )(1

    )(1

    )(11

    ssTksQ

    sTks AzZuu θθ +

    ++

    =

    Übertragungsfunktion:

    )(1

    )(1

    sQsTks Zuu+

    Führungsstrecke:

    )(1

    )(1

    ssTks Az θθ +

    =

    Störstrecke:

  • 31 Beispiel: Ein Mischungsprozess

    21 )( FkTtFkCdtCdT ztuu ∆+−∆=∆+

    Modellgleichung:

    )(1

    )(1

    )( 211

    sFsTksF

    sTeksC zu

    sTu

    t

    ++

    +=

    Laplace-Transformation:

  • 32 Beispiel: Reaktor mit exothermer Reaktion

    RMFPP QQFCdtdVC +−−= )( θθρθρ

    Energiebilanz:

    VekrVQ RE

    −== 0

    wobei

    VekQFCdtdVC R

    E

    MFPPθθθρθρ

    −+−−= 0)(Daher

    θ

    ρρθθθ R

    E

    PP

    MF eFC

    VkFC

    Qdtd

    FV −

    +−−= 0

    θθθθ RE

    RMuF ekQkdtdT

    −+−=+1also

    Der Prozess ist nichtlinear!

    RMF QQQdtHd

    +−=

  • 33 Beispiel: Reaktor mit exothermer Reaktion

    θθ

    θθθ θ ∆+∆−∆=∆+∆−

    020

    1RE

    RMuF eREkQk

    dtdT

    Linearisierung am Arbeitspunkt:

    MuFR QkkdtdT ∆−∆=∆−+∆ θθθ )~1(1Damit

    Normalerweise 1~ >>Rk

    D.h. MuFR QkkdtdT ∆−∆=∆−∆ θθθ ~1

    MR

    uF

    RR

    Qkk

    kdtd

    kT

    ∆−∆=∆−∆

    ~~1

    ~1 θθθ

    D.h.

    MuFz QkkdtdT ∆−∆=∆−∆ ~~1 θθ

    θ Wie verhält sich die Temperatur?

  • 34 Beispiel: Reaktor mit exothermer Reaktion

    MuFz QkkdtdT ∆−∆=∆−∆ ~~1 θθ

    θ

    Die linearisierte Modellgleichung:

    )(~)()()1~( 1 sQkskssT MuFz −=− θθ

    Laplace-Transformation:

    )(1~

    ~)(

    1

    sQsTks Mu−

    −=θ

    Führungsstrecke:

    )(1~

    )(1

    ssTks Fz θθ −

    =

    Störstrecke:

  • 35 Beispiel: Reaktor mit exothermer Reaktion

    )(~)()()1~( 1 sQkskssT MuFz −=− θθ

    Laplace-Transformation:

    )(~)(~)()( 1 ssTsQksks MuFz θθθ ++−=und zwar

    Positive Rückführung!

    Blockschaltbild:

  • 36 Beispiel: Behälterkaskade (1)

    2022122

    2

    1011211

    1

    )0(,

    )0(,

    hhFFFdt

    dhA

    hhFFdtdhA

    ausein

    ein

    =−+=

    =−=Bilanzgleichungen:

    22

    222

    112

    2

    11

    111

    1

    111

    11

    ein

    ein

    FA

    hRA

    hRAdt

    hd

    FA

    hRAdt

    hd

    ∆+∆−∆=∆

    ∆+∆−=∆Das linearisierte Modell:

  • 37

    zRxRRx

    dtdxRA

    uRxdtdxRA

    211

    22

    222

    111

    11

    +=+

    =+

    Physikalische Bedeutung:

    )()()()(

    )()()(

    211

    22222

    11111

    sZRsXRRsXsXRA

    sURsXssXRA

    +=+

    =+

    )(1

    )()1(

    )(),(1

    )(22

    21

    221

    22

    11

    11 sZsRA

    RsXsRAR

    RsXsUsRA

    RsX+

    ++

    =+

    =

    dann

    Beispiel: Behälterkaskade (1)

  • 38 Beispiel: Behälterkaskade (2)

    2022122

    2

    1011211

    1

    )0(,

    )0(,

    hhFFFdt

    dhA

    hhFFdtdhA

    ausein

    ein

    =−+=

    =−=Bilanzgleichungen:

    Das linearisierte Modell:

    ausein

    ein

    FFFdt

    hdA

    FFdt

    hdA

    ∆−∆+∆=∆

    ∆−∆=∆

    2122

    2

    1211

    1

    2

    2

    1

    2112

    RhF

    RhhF

    aus∆

    =∆

    ∆−∆=∆

  • 39

    Blockschaltbilder:

    Beispiel: Behälterkaskade (2)

    ausein

    ein

    FFFdt

    hdA

    FFdt

    hdA

    ∆−∆+∆=∆

    ∆−∆=∆

    2122

    2

    1211

    1

    2

    2

    1

    2112

    RhF

    RhhF

    aus∆

    =∆

    ∆−∆=∆

    [ ]

    [ ])()()(1)(

    )()(1)(

    2122

    2

    1211

    1

    sFsFsFsA

    sH

    sFsFsA

    sH

    ausein

    ein

    −+=

    −=

    [ ]

    )(1)(

    )()(1)(

    22

    211

    12

    sHR

    sF

    sHsHR

    sF

    aus =

    −=⇒

  • 40

    Blockschaltbilder:

    Beispiel: Behälterkaskade (2)

    Das Gesamtsystem:

  • 41 Beispiel: Behälterkaskade (2)

    Foliennummer 1Foliennummer 2Foliennummer 3Foliennummer 4Foliennummer 5Foliennummer 6Foliennummer 7Foliennummer 8Foliennummer 9Foliennummer 10Foliennummer 11Foliennummer 12Foliennummer 13Foliennummer 14Foliennummer 15Foliennummer 16Foliennummer 17Foliennummer 18Foliennummer 19Foliennummer 20Foliennummer 21Foliennummer 22Foliennummer 23Foliennummer 24Foliennummer 25Foliennummer 26Foliennummer 27Foliennummer 28Foliennummer 29Foliennummer 30Foliennummer 31Foliennummer 32Foliennummer 33Foliennummer 34Foliennummer 35Foliennummer 36Foliennummer 37Foliennummer 38Foliennummer 39Foliennummer 40Foliennummer 41