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    TS Microtechniques Régime sinusoïdal

    Circuits linéaires en régime sinuso ï dal

    1 Fonction sinusoïdale

    1.1 Définitions

    • Définition

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    t est le temps en secondes (s

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    ω  est la pulsation en radians par seconde (rad.s-1) ;

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    est la phase instantanée en radians (rad) ;

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    • Valeur moyenne

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    • Valeur efficace

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    • Période

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    Par définition T est telle que

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    ou k = 1, 2, 3, …

    ce qui conduit à :

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    ou avec la fréquence :

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    2 Représentation de Fresnel

    La représentation de Fresnel est une représentation vectorielle des grandeurs sinusoïdales.

     2.1 Représentation d’un vecteur

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    En coordonnées cartésiennes :

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     2.2 Représentation de Fresnel

    Pour la tension :

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    Si on prend le courant I comme origine des phases la

    représentation se simplifie.

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    ϕ (phi) représente le déphasage de i par rapport à u.

    En représentation de Fresnel, ϕ est l’angle allant de i vers u.

    Remarque :  le déphasage ϕ dépend du dipôle et de la pulsation ω

     2.3 Loi des mailles en représentation de Fresnel

    Exemple :

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    Loi des mailles instantanée : 

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    avec

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    et

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    Remarque : u à la même période que u1 et u2.

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    Loi des mailles vectorielle : 

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    avec

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    et

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    En aucun cas il ne faut faire la somme algébrique des valeurs efficaces U1 et U2.

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    • Remarque : il en va de même pour la loi des noeuds.

    3 Puissances en régime sinusoïdal

    • Puissance activeLa puissance active est la moyenne de la puissance instantanée.

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    TS Microtechniques Régime sinusoïdal

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    U et I : valeurs efficaces ϕ : déphasage entre u et i (rad).

    Unité : le watt (W).

    • Puissance réactive

    La puissance réactive est une invention mathématique pour faciliter les calculs.

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    TS Microtechniques Régime sinusoïdal

    Unité : le voltampère réactif (VAR)

    • Puissance apparente

    La puissance apparente ne tient pas compte du déphasage entre u(t) et i(t).

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    Unité : le voltampère (VA).

    Autres relations

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    cosϕ  = Π 

    Σ 

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    TS Microtechniques Régime sinusoïdal

    Remarque :  seule la puissance active  à une ré alité physique.

    La puissance réactive ne correspond à aucune puissance réelle.

    4 Les dipôles passifs linéaires

    Résistance R Inductance L Capacité C

    Schéma

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    Equation

    fondamentale

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    Impédance Z ( )Ω

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    TS Microtechniques Régime sinusoïdal

    Relation entre les

    valeurs efficacesU  R  = Ρ .Ι  U  L  = Λω .Ι  U C   =

      1

     Χω .Ι 

    Déphasage ϕ (rad) ϕ  R = 0   ϕ  L =π

    2ϕ C  = −

    π

    2

    Représentation de

    Fresnel

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    Puissance active

    P (W)

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    TS Microtechniques Régime sinusoïdal

    Puissance réactive

    Q (VAR)

    0

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    • La bobine réelle

    Z est l’impédance de la bobine (en Ohms ; ).Ω

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    et tgϕ   = Λω 

     ρ 

    • Le condensateur réel

    Le condensateur réel ne s’éloigne du condensateur parfait que pour les très hautes

    fréquences (ƒ > 1 MHz) .

    Nous considérons ici que le condensateur est parfait.

    5 Théorème de Boucherot

    5.1 Théorème

     Les puissances active et r é active absorbé es par un groupement de dipôles sont 

    respectivement é gales à la somme des puissances actives et r é actives absorbé es par chaque

    é lé ment du groupement.

    5.2 Exemple

    • Puissance instantanée

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    • Puissance active

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    14/10/98 © Claude Divoux, 1999 67/109

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    • Puissance réactive

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      Le théorème de Boucherot n’est pas valable pour S  la puissance apparente.

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  • 8/20/2019 Regime Sinus Leger

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    6 Facteur de puissance

    6.1 Définition

    • Définition générale

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    • Cas particulier du régime sinuso ï dal

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    soit

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    TS Microtechniques Régime sinusoïdal

    En régime sinusoïdale le facteur de puissance est

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    TS Microtechniques Régime sinusoïdal

    .

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    6.2 Importance du cos

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    TS Microtechniques Régime sinusoïdal

    Problème économique : plus I est faible plus les pertes sont faibles. Pour diminuer I sans

    modifier P ou U, il faut augmenter cos ϕ.

    On dit qu’il faut relever le facteur de puissance.

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    TS Microtechniques Régime sinusoïdal

    Plus Q se rapproche de 0, plus cos ϕ se rapproche de 1. En rajoutant à l’installation électrique des

    condensateurs ou des inductances, on modifie Q sans modifier P.

    6.3 Relèvement du facteur de puissance

    Si l’installation électrique est inductive  (Q > 0), il faut diminuer Q en adjoignant des

    condensateurs (QC < 0) de telle sorte que 0 ≤ Q + QC < Q.

    6.4 Méthode

    L’objectif est de dimensionner le condensateur en fonction du facteur de puissance recherché

    pour passer du facteur de puissance cosϕ à cosϕ'

    Sans le condensateur Avec le condensateur

    14/10/98 © Claude Divoux, 1999 87/109

  • 8/20/2019 Regime Sinus Leger

    88/109

    TS Microtechniques Régime sinusoïdal

    14/10/98 © Claude Divoux, 1999 88/109

  • 8/20/2019 Regime Sinus Leger

    89/109

    TS Microtechniques Régime sinusoïdal

    7 Déphasage

    7.1 Définition

    • Valeurs instantanées

    14/10/98 © Claude Divoux, 1999 89/109

  • 8/20/2019 Regime Sinus Leger

    90/109

    TS Microtechniques Régime sinusoïdal

    U et I sont les valeurs efficaces de u et i.

    (ωt+θu) et (ωt+θi) sont les phases instantanées de u et i.

    14/10/98 © Claude Divoux, 1999 90/109

  • 8/20/2019 Regime Sinus Leger

    91/109

    TS Microtechniques Régime sinusoïdal

    • Diff érence de phase

    14/10/98 © Claude Divoux, 1999 91/109

  • 8/20/2019 Regime Sinus Leger

    92/109

    TS Microtechniques Régime sinusoïdal

    14/10/98 © Claude Divoux, 1999 92/109

  • 8/20/2019 Regime Sinus Leger

    93/109

    TS Microtechniques Régime sinusoïdal

    14/10/98 © Claude Divoux, 1999 93/109

  • 8/20/2019 Regime Sinus Leger

    94/109

    TS Microtechniques Régime sinusoïdal

    ϕ est la diff érence de phase entre u et i ou le déphasage de i par rapport à u.

    si ϕ < 0, i est en avance sur u ; la charge est de nature capacitive.

    si ϕ > 0, i est en retard sur u ; la charge est de nature inductive.

    si ϕ = 0, i et u sont en phase ; la charge est de nature résistive.

    on peut alors écrire les grandeurs u et i d’une des façons suivantes :

    14/10/98 © Claude Divoux, 1999 94/109

  • 8/20/2019 Regime Sinus Leger

    95/109

    TS Microtechniques Régime sinusoïdal

    ou

    14/10/98 © Claude Divoux, 1999 95/109

  • 8/20/2019 Regime Sinus Leger

    96/109

    TS Microtechniques Régime sinusoïdal

    14/10/98 © Claude Divoux, 1999 96/109

  • 8/20/2019 Regime Sinus Leger

    97/109

    TS Microtechniques Régime sinusoïdal

    7.2 Déphasage en représentation de Fresnel

    14/10/98 © Claude Divoux, 1999 97/109

  • 8/20/2019 Regime Sinus Leger

    98/109

    TS Microtechniques Régime sinusoïdal

    Sur le diagramme de Fresnel, ϕ est l’angle allant de

    14/10/98 © Claude Divoux, 1999 98/109

  • 8/20/2019 Regime Sinus Leger

    99/109

    TS Microtechniques Régime sinusoïdal

    14/10/98 © Claude Divoux, 1999 99/109

  • 8/20/2019 Regime Sinus Leger

    100/109

    TS Microtechniques Régime sinusoïdal

    vers

    14/10/98 © Claude Divoux, 1999 100/109

  • 8/20/2019 Regime Sinus Leger

    101/109

    TS Microtechniques Régime sinusoïdal

    14/10/98 © Claude Divoux, 1999 101/109

  • 8/20/2019 Regime Sinus Leger

    102/109

    TS Microtechniques Régime sinusoïdal

    .

    7.3 Mesure du déphasage à l’oscilloscope

    • Méthode

    A l’oscilloscope on mesure l’intervalle de temps t allant de u vers i et la période T

    Sachant qu’une période complète correspond à 2π radians ou 360 degrés, on effectue une

    règle de trois pour trouver le déphasage ϕ.

    14/10/98 © Claude Divoux, 1999 102/109

  • 8/20/2019 Regime Sinus Leger

    103/109

    TS Microtechniques Régime sinusoïdal

    14/10/98 © Claude Divoux, 1999 103/109

  • 8/20/2019 Regime Sinus Leger

    104/109

    TS Microtechniques Régime sinusoïdal

    14/10/98 © Claude Divoux, 1999 104/109

  • 8/20/2019 Regime Sinus Leger

    105/109

    TS Microtechniques Régime sinusoïdal

    en radians ou

    14/10/98 © Claude Divoux, 1999 105/109

  • 8/20/2019 Regime Sinus Leger

    106/109

    TS Microtechniques Régime sinusoïdal

    14/10/98 © Claude Divoux, 1999 106/109

  • 8/20/2019 Regime Sinus Leger

    107/109

    TS Microtechniques Régime sinusoïdal

    en degrés

    7.4 Résumé

    Soit ϕ, le déphasage de i par rapport à u :

    Grandeurs instantanées Représentation de Fresnel Mesure à l’oscilloscope

    14/10/98 © Claude Divoux, 1999 107/109

  • 8/20/2019 Regime Sinus Leger

    108/109

    TS Microtechniques Régime sinusoïdal

    Angle allant de i vers u Mesurer ∆t de u vers i

    14/10/98 © Claude Divoux, 1999 108/109

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    109/109

    TS Microtechniques Régime sinusoïdal

    7.5 Mesure du déphasage en électrotechnique

    cosϕ  = Π 

    Σ =  Π 

    Υ  .Ι