REKURSION + ITERATION

Manchmal ist es sinnvoll auf schon Erschafftes

zurückzugreifen, wie z.B. auf das im Lauf der Zeit

durch Generationen vor uns angehäufte

Menschheitswissen

Aus dem alten Menschheitswissen einer

Generation aufbauend wird das neue

Menschheitswissen erzeugt.Das geschah immer wieder bis zur heutigen Generation.

Mathematisch könnte man dies wie folgt modellieren:

Es beginnt mit dem "Urknall" (= leere Menge).

Daraus wird dann (nach einer bestimmten Regel)

eine neue Menge konstruiert (produziert):Die Menge der Atome.

Aus dieser wird dann wieder (nach einer

bestimmten Regel) eine neue Menge konstruiert

(produziert): Die Menge der Moleküle,

usw.

Die Vereinigung all dieser Mengen ergibt dann die

Gesamtmenge. Man sagt: Diese Gesamtmenge wurde induktiv definiert (induktive

Definition)

Mit der leeren Menge beginnt alles

Aus dieser wird dann (mit Hilfe einer Regel) eine neue

gebastelt.

Aus dieser wird dann wieder (mit Hilfe einer

Regel) eine neue gebastelt, usw.

…

Die Vereinigung all dieser Mengen ist die zu konstruierende Gesamtmenge.

Dieses Verfahren nennt man Iteration (iterativ)

(lateinisch iterare = wiederholen)

Beispiel:

Definition:

n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1

Zu dem Ausrufezeichen sagt man Fakultät

Was ist dann 5 Fakultät?

5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1=120

Die Fakultät kann man mit Hilfe von Regeln

berechnen.

---1

n ----------n*(n+1)

Regel R1: Die leere Menge produziert die Zahl 1bzw. aus der leeren Menge folgt die Zahl 1

Regel R2: Die Zahl n produziert die Zahl n*(n+1)bzw. aus der Zahl n folgt die Zahl n*(n+1)

Mit der leeren Menge beginnt alles

Aus dieser wird dann (mit Hilfe von R1) eine neue

gebastelt.

Aus dieser wird dann (mit Hilfe von R1) wieder eine

neue gebastelt.

3*2*1

Die Vereinigung all dieser Mengen ist die zu konstruierende Gesamtmenge.

1

2*1

Aus dieser wird dann (mit Hilfe von R1) wieder eine

neue gebastelt, usw.…

Aufgabe:Erstellen Sie die Funktion fak (Parameter, Rückgabe bitte selbst überlegen), die

die Fakultät einer Zahl berechnet.

int fak(int zahl){int i;int produkt=1;for(i=1;i<=zahl;i++){

produkt = produkt*i; }return produkt;

}

Aus dem alten Produkt wird das …

…neue Produkt

Weitere Lösung:

Angenommen, jemand hätte schon fak(n-1) berechnet. Wie kann man mit Hilfe

von fak(n-1) den Wert von fak(n) berechnen?

fak(n) = fak(n-1) * n

Aufgabe:Erstellen Sie die Funktion fakRek (int zahl), die die

Fakultät einer Zahl berechnet und im

Funktionskörper den in der letzten Folie erarbeiteten

Zusammenhang verwendet.

int fakRek(int zahl){ int prod; prod=fakRek(zahl-1)*zahl; return prod;}

Dieses Verfahren nennt man Rekursion (lat.

recurrere = zurücklaufen)

Konkret:Was passiert beim Aufruf

von fakRek(3)

fakRek(3)

int prod; prod=fakRek(zahl-1)*zahl; return prod;}

zahl=3(Kopie)

3 3

2

Bevor die Anweisung return prod;gemacht werden kann, muss zuerst fakRek(2) abgearbeitet werden!

Zusammengefasst:

fakRek(3)prod=fakRek(2)*3;return prod;

prod=fakRek(1)*2;return prod;

prod=fakRek(0)*1;return prod;

prod=fakRek(-1)*0;return prod;

Das Programm ist in einer

Endlosschleife!

...

Wie muss also unser Programm noch abgeändert

werden, damit es funktioniert?

int fakRek(int zahl){ int prod; if(zahl==1){ prod=1; }else{ prod=fakRek(zahl-1)*zahl;}return prod;

}

Konkret:Was passiert beim Aufruf

von fakRek(3)

fakRek(3)

prod=fakRek(2)*3;return prod;

prod=fakRek(1)*2;return prod;

prod=1;return prod; 1

2

6

6

2

1

Vorbereitung für eine Aufgabe:Ein Biologe hat die Entwicklung einer Hasenpopulation beobachtet.1. Generation: 2 Hasen.2. Generation: 4 Hasen.3. Generation: 2+4 = 6 Hasen.4. Generation: 4+6 = 10 Hasen.5. Generation: 6+10=16 Hasen....Wie geht es allgemein weiter ?Wie berechnet man die Anzahl der Hasen?

Die Anzahl der Hasen berechnet sich also (ab der 3. Generation) aus der Summe der Anzahl der Hasen der letzten 2 Generationen. Diese Folge von Zahlen nennt man die sogenannte Fibonacci-Folge .

Die Fibonacci-Folge ist eine unendliche Folge von Zahlen (den Fibonacci-Zahlen), bei der sich die jeweils folgende Zahl durch Addition ihrer beiden vorherigen Zahlen ergibt. Benannt ist sie nach Leonardo Fibonacci, der damit 1202 das Wachstum einer Kaninchenpopulation beschrieb.

Aufgabe:1) Implementieren Sie die FunktionfibIt(...) iterativ.

2) Implementieren Sie die FunktionfibRek(...) rekursiv.