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Studientag zur Algorithmischen MathematikRelationen und Graphen

Winfried Hochstättler

Diskrete Mathematik und OptimierungFernUniversität in Hagen

21. Mai 2011


Outline

RelationenÄquivalenzrelationen und Partialordnungen

GraphenGraphenisomorphieCodierung von GraphenValenzsequenzen


Relationen

Kartesisches ProduktSeien M und N Mengen. Das Kartesische Produkt von M und N istdie Menge aller geordeneten Tupel

M × N = {(m, n) | m ∈ M, n ∈ N}.

RelationenEine (binäre) Relation R ist eine Teilmenge des KartesischenProduktes R ⊆ M × N. An Stelle von (m, n) ∈ R schreiben wir auchmRn oder m ∼ n und sagen, m steht in Relation mit n.Die Linksklasse eines Elementes x ∈ M ist definiert als

[x ]l := {y ∈ N | xRy}.


Relationen


M × N = {(m, n) | m ∈ M, n ∈ N}.

RelationenEine (binäre) Relation R ist eine Teilmenge des KartesischenProduktes R ⊆ M × N. An Stelle von (m, n) ∈ R schreiben wir auchmRn oder m ∼ n und sagen, m steht in Relation mit n.

Die Linksklasse eines Elementes x ∈ M ist definiert als

[x ]l := {y ∈ N | xRy}.


Relationen


M × N = {(m, n) | m ∈ M, n ∈ N}.

RelationenEine (binäre) Relation R ist eine Teilmenge des KartesischenProduktes R ⊆ M × N. An Stelle von (m, n) ∈ R schreiben wir auchmRn oder m ∼ n und sagen, m steht in Relation mit n.Die Linksklasse eines Elementes x ∈ M ist definiert als

[x ]l := {y ∈ N | xRy}.


Äquivalenzrelationen und Partialordnungen

Eine Relation R ⊆ M ×M heißt Relation auf M. Sie ist

ÄP1: reflexiv, wenn ∀x ∈ M : xRxÄ2: symmetrisch, wenn ∀x , y ∈ M : (xRy ⇒ yRx)

P2: antisymmetrisch, wenn∀x , y ∈ M : (xRy und yRx ⇒ x = y)

ÄP3: transitiv, wenn ∀x , y , z ∈ M : (xRy und yRz ⇒ xRz)

Eine reflexive, symmetrische und transitive Relation heißtÄquivalenzrelation. Eine reflexive, antisymmetrische und transitiveRelation heißt Partialordnung.

Die Linksklassen einer Äquivalenzrelation nennen wir auchÄquivalenzklassen.



Eine Relation R ⊆ M ×M heißt Relation auf M. Sie istÄP1: reflexiv, wenn ∀x ∈ M : xRx

Ä2: symmetrisch, wenn ∀x , y ∈ M : (xRy ⇒ yRx)











Eine reflexive, symmetrische und transitive Relation heißtÄquivalenzrelation.

Eine reflexive, antisymmetrische und transitiveRelation heißt Partialordnung.



Äquivalenklassen

BeispielWir betrachten die Relation auf Z

yRz :⇐⇒ y − z ist gerade.

PropositionDie Äquivalenzklassen partitionieren die Grundmenge.


Äquivalenklassen



Äquivalenklassen


Beweis.Wegen x ∈ [x ] ist jedes Element in mindestens einerÄquivalenzklasse enthalten. Wir müssen also zeigen, dass dieÄquivalenklassen zweier Elemente entweder gleich oder disjunktsind.


Äquivalenklassen


Beweis.zu zeigen: [x ] ∩ [y ] 6= ∅ ⇒ [x ] = [y ].


Äquivalenklassen


Beweis.zu zeigen: [x ] ∩ [y ] 6= ∅ ⇒ [x ] = [y ].Sei t ∈ [x ] ∩ [y ]⇒ xRt und yRt


Äquivalenklassen


Beweis.zu zeigen: [x ] ∩ [y ] 6= ∅ ⇒ [x ] = [y ].Sei t ∈ [x ] ∩ [y ]⇒ xRt und yRtÄ2⇒ xRt und tRy ÄP3⇒ xRy ÄP3⇒ [y ] ⊆ [x ].


Äquivalenklassen


Beweis.zu zeigen: [x ] ∩ [y ] 6= ∅ ⇒ [x ] = [y ].Sei t ∈ [x ] ∩ [y ]⇒ xRt und yRtÄ2⇒ xRt und tRy ÄP3⇒ xRy ÄP3⇒ [y ] ⊆ [x ]. Ganz symmetrisch folgt[x ] ⊆ [y ] und somit [x ] = [y ].


Äquivalenklassen

BeispielWir betrachten die Relation auf Z

yRz :⇐⇒ y − z ist gerade.


Im Beispiel haben wir zwei Äquivalenzklasse, die geraden und dieungeraden Zahlen.


Partialordnungen

BeispielSei S eine Menge. Dann erklären wir auf 2S die Partialordnung ≤vermöge

A ≤ B :⇐⇒ A ⊆ B.


Partialordnungen

BeispielSei S eine Menge. Dann erklären wir auf 2S die Partialordnung ≤vermöge

A ≤ B :⇐⇒ A ⊆ B.

94

8

5

2

7

{1, 2, 3}

{4}{3}{2}{1}

∅1

12

6 10

11

{1, 2, 3, 4}

{2, 3, 4}

3


Graphen

Eine Relation R auf V heißt irreflexiv, wenn ∀v ∈ V : (¬vRv).

Einesymmetrische, irreflexive Relation nennen wir Graph. Gilt uRv , sonennen wir {u, v} eine Kante von G. Wir schreiben G = (V , E) undauch (u, v) statt {u, v}.Einige Begriffe

Wege:P3 P4 P5

Kreise: C3 C4 C5

Spaziergänge: (v0e1v1e2, v2, . . . , vn−1, en, vn) mit ei = (vi−1, vi).


Graphen

Eine Relation R auf V heißt irreflexiv, wenn ∀v ∈ V : (¬vRv). Einesymmetrische, irreflexive Relation nennen wir Graph.

Gilt uRv , sonennen wir {u, v} eine Kante von G. Wir schreiben G = (V , E) undauch (u, v) statt {u, v}.Einige Begriffe

Wege:P3 P4 P5

Kreise: C3 C4 C5



Graphen

Eine Relation R auf V heißt irreflexiv, wenn ∀v ∈ V : (¬vRv). Einesymmetrische, irreflexive Relation nennen wir Graph. Gilt uRv , sonennen wir {u, v} eine Kante von G. Wir schreiben G = (V , E) undauch (u, v) statt {u, v}.

Einige Begriffe

Wege:P3 P4 P5

Kreise: C3 C4 C5



Graphen

Eine Relation R auf V heißt irreflexiv, wenn ∀v ∈ V : (¬vRv). Einesymmetrische, irreflexive Relation nennen wir Graph. Gilt uRv , sonennen wir {u, v} eine Kante von G. Wir schreiben G = (V , E) undauch (u, v) statt {u, v}.Einige Begriffe

Wege:P3 P4 P5

Kreise: C3 C4 C5



Teilgraphen und Komponenten

Sind G = (V , E) und H = (V ′, E ′) Graphen, so heißt H ein Teilgraphvon G, falls V ′ ⊆ V und E ′ ⊆ E .

Der Teilgraph H ist induziert, wenndarüber hinaus E ′ =

(V ′

2

)∩ E .

Beispiele

GraphG H1 induziert H2 nicht induziertEin Graph ist zusammenhängend, wenn je zwei Knoten durch einenWeg verbunden sind. Die Zusammenhangskomponenten einesGraphen sind die Äquivalenzklassen(!) der „Verbundenheitsrelation“.



Sind G = (V , E) und H = (V ′, E ′) Graphen, so heißt H ein Teilgraphvon G, falls V ′ ⊆ V und E ′ ⊆ E . Der Teilgraph H ist induziert, wenndarüber hinaus E ′ =

(V ′

2

)∩ E .

Beispiele





(V ′

2

)∩ E .

Beispiele

GraphG

H1 induziert H2 nicht induziertEin Graph ist zusammenhängend, wenn je zwei Knoten durch einenWeg verbunden sind. Die Zusammenhangskomponenten einesGraphen sind die Äquivalenzklassen(!) der „Verbundenheitsrelation“.




(V ′

2

)∩ E .

Beispiele

GraphG H1 induziert

H2 nicht induziertEin Graph ist zusammenhängend, wenn je zwei Knoten durch einenWeg verbunden sind. Die Zusammenhangskomponenten einesGraphen sind die Äquivalenzklassen(!) der „Verbundenheitsrelation“.




(V ′

2

)∩ E .

Beispiele

GraphG H1 induziert H2 nicht induziert

Ein Graph ist zusammenhängend, wenn je zwei Knoten durch einenWeg verbunden sind. Die Zusammenhangskomponenten einesGraphen sind die Äquivalenzklassen(!) der „Verbundenheitsrelation“.




(V ′

2

)∩ E .

Beispiele

GraphG H1 induziert H2 nicht induziertEin Graph ist zusammenhängend, wenn je zwei Knoten durch einenWeg verbunden sind.

Die Zusammenhangskomponenten einesGraphen sind die Äquivalenzklassen(!) der „Verbundenheitsrelation“.




(V ′

2

)∩ E .

Beispiele



Graphenisomorphie

G1 = (V1, E1) und G2 = (V2, E2) sind isomorph :⇐⇒

∃f : V1 → V2 bijektiv:∀u, v ,∈ V1 : ({u, v} ∈ E1 ⇐⇒ {f (u), f (v)} ∈ E2) .


Codierung von Graphen

Adjazenzmatrix

s t i e rs 0 1 0 0 0t 1 0 1 1 0i 0 1 0 1 0e 0 1 1 0 1r 0 0 0 1 0

i

s r

t e



Inzidenzmatrix

s 1 0 0 0 0t 1 1 1 0 0i 0 1 0 1 0e 0 0 1 1 1r 0 0 0 0 1

i

s r

t e



Adjazenzlistens: tt: s,i,ei: t,e

e: t,i,rr: e

i

s r

t e


Valenzsequenzen

Ist G = (V , E) ein Graph und V = {v1, . . . , vn}, so nennen wir(deg(v1), deg(v2), . . . , deg(vn)) seine Valenzsequenz.

Sei D = (d1 ≥ d2 ≥ . . . ≥ dn). Frage: Wann ist D die Valenzsequenzeines einfachen Graphen?

Lemma (Handshakelemma)∑v∈V

deg(v) = 2|E |.

Dies liefert nur eine notwendige Bedingung. Allerdings gilt:

PropositionD ist die Valenzsequenz eines Multigraphen genau dann, wenn dieSumme aller Knotengrade gerade ist.


Eine notwendige und hinreichende Bedingung

Satz (Erdos, Gallai)D ist die Valenzsequenz eines einfachen Graphen genau dann, wenn

∀i = 1, . . . , n :i∑

j=1

dj ≤ i(i + 1) +n∑

j=i+1

min{i , dj}.


Noch eine notwendige und hinreichende Bedingung

Satz (Havel, Hakimi)D = (d1 ≥ d2 ≥ . . . ≥ dn) ist Valenzsequenz eines einfachen Graphengenau dann wenn d1 < n undD′ = (d2 − 1, d3 − 1, . . . , dd1+1 − 1, dd1+1. . . . , dn) Valenzsequenzeines einfachen Graphen ist.

Beweis.


Noch eine notwendige und hinreichende Bedingung

Satz (Havel, Hakimi)D = (d1 ≥ d2 ≥ . . . ≥ dn) ist Valenzsequenz eines einfachen Graphengenau dann wenn d1 < n undD′ = (d2 − 1, d3 − 1, . . . , dd1+1 − 1, dd1+1. . . . , dn) Valenzsequenzeines einfachen Graphen ist.

Beweis.

1 2

k ijj

ik

21


Verfahren nach Havel und Hakimi

D = (5, 5, 3, 2, 2, 2, 1)

D′ = (4, 2, 1, 1, 1, 1)

D′ = (1, 0, 0, 0, 1)


Graphensuchmethoden

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