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Rheinisch-Westf¨ alische Technische Hochschule Aachen Fakult¨ at f¨ ur Maschinenwesen Institut f¨ ur keramische Komponenten im Maschinenbau Professor Dr.-Ing. H.R.Maier Diplomarbeit Nr.414 Numerische Simulation und Parameteranalyse der Hertzschen Lasteinleitung in Ingenieurkeramik nach der Finite-Elemente-Methode (FEM) Bearbeiter cand.-Ing. Matthias Seitz Betreuer Dipl.-Ing. Klaus Dieter Metzlaff Aachen, den 6. Februar 1997 2. Auflage Li` ege, den 16. April 2014 Diese Arbeit ist nur f¨ ur den internen Gebrauch bestimmt. Alle Urheberrechte liegen beim IKKM. F¨ ur den Inhalt wird keine Gew¨ ahr ¨ ubernommen.

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Rheinisch-WestfalischeTechnische Hochschule

Aachen

Fakultat fur Maschinenwesen

Institut fur keramische Komponenten im Maschinenbau

Professor Dr.-Ing. H.R.Maier

Diplomarbeit Nr.414

Numerische Simulation und

Parameteranalyse der Hertzschen

Lasteinleitung in Ingenieurkeramik nach der

Finite-Elemente-Methode (FEM)

Bearbeiter cand.-Ing. Matthias Seitz

Betreuer Dipl.-Ing. Klaus Dieter Metzlaff

Aachen, den 6. Februar 1997

2. Auflage Liege, den 16. April 2014

Diese Arbeit ist nur fur den internen Gebrauch bestimmt. Alle Urheberrechteliegen beim IKKM. Fur den Inhalt wird keine Gewahr ubernommen.

Abstract

This diploma thesis deals with the contact problem on a theoretical basis.The main task is the investigation of contact behaviour of normal force loadedceramic with a sphere-plate model.The maximal loadable normal force is known as “contact firmness” of ce-ramic. It is not exactly known, which fracture mechanisms are involved. Inthe absence of shearing stress criteria, dimensioning of ceramic componentsis only done by the normal stresses. The loading of normal forces on ce-ramic components causes three-dimensional stress states, which complicatea criticism.The practicability of loading normal forces on advanced ceramics in particulardemands defined and reproducable contact spots. The formulas of Hertz andBoussinesq cannot be used to describe entirely contact problems, becausethey neglect friction and plastic behaviour.The “Institute for Ceramic Components in Mechanical Engineering” (IKKM)has made a lot of experiments concerning the fracture behaviour of advancedceramics. The relevance of shearing stress to failure was shown with hollowcylinders under radial pressure.After a summary of the current state of the development it gives numericalsimulations with finite elements method to show the influence of the param-eters radius, material properties, friction and stiffness of the lower boundary.The results are compared with analytical solutions and the experiments doneat the IKKM. The aim is to develop experimental conditions enabling theseparation of shearing stress failure and normal stress failure. This sepera-tion is subject of a dissertation at the IKKM, which subordinates the presentthesis.

Zusammenfassung

Diese Diplomarbeit behandelt das Kontaktproblem theoretisch. Der Schwer-punkt ist die Untersuchung des mechanischen Verhaltens von Keramik beiEinleitung normaler Krafte anhand des Modells Kugel-Platte.Unter “Kontaktfestigkeit” von Keramik versteht man die großtmogliche Nor-malkraft, bis Bauteilversagen eintritt. Es ist nicht naher bekannt, welcheVersagensmechanismen bruchverantwortlich sind. Aufgrund fehlender Ausle-gungskriterien fur Schubversagen werden keramische Bauteile derzeit auss-chließlich gegen Zugversagen dimensioniert und optimiert.Insbesondere bei der konstruktiven Ausfuhrung der Krafteinleitung in kera-mische Bauteile treten jedoch mehrachsige Spannungszustande auf, die eineBeurteilung der Bauteilzuverlassigkeit erschweren. Fur benotigte definierteund reproduzierbare Kontaktstellen gibt es keine allgemeingultigen Aussagen,da dieses Problem von Konstrukteuren in der Regel als Detail angesehen undniemals seperat betrachtet wird, wahrend analytische Losungen (Hertz undBoussinesq) durch die Einschrankungen Reibungsfreiheit und idealelastischesMaterialverhalten nur unvollstandige Angaben uber den tatsachlichen Span-nungszustand liefern.Am Institut fur keramische Komponenten im Maschinenbau wurden im Rah-men von Studien- und Diplomarbeiten zahlreiche Versuche zum Bruchver-halten von Keramik unter normal eingeleiteter Druckkraft durchgefuhrt. AnHohlzylindern unter radialem Außendruck wurde im Rahmen einer Disserta-tion die Versagensrelevanz von Schubspannungen nachgewiesen.Als Teil einer Dissertation am IKKM, deren Ziel die versuchstechnische Tren-nung von Schub- und Zugversagen ist, soll diese Diplomarbeit das Kontak-tproblem numerisch simulieren. Der derzeitige Wissensstand soll aufgezeigtund mit FEM-Berechnungen der Einfluss verschiedener Parameter festgestelltwerden.Anhand der berechneten Daten sollen die Einflusse Kugelradius, Werkstoff-paarung und Reibung untersucht werden. Als Vergleichskriterium dienen dieam IKKM durchgefuhrten Versuche, sowie analytische Losungen. Ziel derParametervariationen ist es, Versuchsbedingungen anzugeben, die eine Tren-nung von versagensrelevanter Schub- und Zugbeanspruchung ermoglichen.

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

2 Grundlagen 3

2.1 Keramik im Maschinenbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1 Einteilung und Herstellung . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.2 Werkstoffprofile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.3 Festigkeit von Keramik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.1 Tensorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.2 Kontinuumsmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.3 Losung elastischer Probleme . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Finite Elemente Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.1 Numerische Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.2 Losung diskretisierter Probleme . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.3 Das Programm ABAQUS . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Beitrage zum Kontaktproblem 25

3.1 Literaturauswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.1 Analytische Losungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.2 Numerische Arbeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.3 Experimentelle Arbeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Berechnung mit ABAQUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.1 Gang der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.2 Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.3 Verifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3 Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3.1 Einfluß der Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3.2 Versuchsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3.3 Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

I

INHALTSVERZEICHNIS II

4 Resumee 514.1 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

A Literaturverzeichnis 54A.1 Allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54A.2 Keramik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55A.3 Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58A.4 Numerische Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60A.5 Literaturrecherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

B Listings 64B.1 IDEAS - Macros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64B.2 Standard.inp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85B.3 Shell-Script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

C ABAQUS-POST Abbildungen 127

Abbildungsverzeichnis

2.1 Klassische Einteilung keramischer Werkstoffe [9] . . . . . . . . 32.2 Anwendungsbezogene Einteilung keramischer Werkstoffe [9] . . 42.3 Vor- und Nachteile moderner Ingenieurkeramik [9] . . . . . . . 52.4 Einfluß eines Materialfehlers auf die Spannungsverteilung . . . 92.5 Mohrsche Kreise fur einen mehrachsigen Spannungszustand . . 152.6 Vereinfachende Werkstoffmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . 172.7 Spannungs-Dehnungs Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.8 Losungsschritte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1 Punktlast auf einen Halbraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2 Kreisformige Flachenlast auf einen Halbraum . . . . . . . . . . 273.3 Hertzscher Kontakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4 Rissausbreitung bei Hertzschem Kontakt . . . . . . . . . . . . 323.5 Systembedingte Fehler bei Kontaktexperimenten [99] . . . . . 333.6 Ablauf einer FEM-Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.7 Preprozessormakros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.8 Knoten- und Elementmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.9 Durch Shellscript variierte Parameter . . . . . . . . . . . . . . 373.10 Namensgebung der FEM-Berechnungen . . . . . . . . . . . . . 373.11 Modellierung des Materialverhaltens . . . . . . . . . . . . . . 383.12 Mogliche Grunde fur abweichende Beobachtungen . . . . . . . 413.13 Kraftegleichgewicht der Kugel bei Reibung . . . . . . . . . . . 443.14 Versuchsreihe mit ahnlichen Spannungszustanden . . . . . . . 473.15 Anforderungen an Kugelmaterialien . . . . . . . . . . . . . . . 47

C.1 Dreidimensionale Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

III

Tabellenverzeichnis

IV

Kapitel 1

Einleitung

Kontaktbelastung heißt die Einleitung von Druck- und Schubspannungen aneiner Kontaktflache, die durch Beruhrung zweier Korper entsteht. Die Kon-taktflache ist dabei klein im Verhaltnis zur Korpergroße.Unter “Kontaktfestigkeit” von Keramik versteht man die großtmogliche Nor-malkraft, bis Bauteilversagen eintritt. Es ist nicht naher bekannt, welcheVersagensmechanismen bruchverantwortlich sind. Aufgrund fehlender Ausle-gungskriterien fur Schubversagen werden keramische Bauteile derzeit auss-chließlich gegen Zugversagen dimensioniert und optimiert.Insbesondere bei der konstruktiven Ausfuhrung der Krafteinleitung in keramis-che Bauteile treten jedoch mehrachsige Spannungszustande auf, die eineBeurteilung erschweren. Fur benotigte definierte und reproduzierbare Kon-taktstellen gibt es keine allgemeingultigen Aussagen, da dieses Problem vonKonstrukteuren in der Regel als Detail angesehen und niemals separat betra-chtet wird, wahrend analytische Losungen (Hertz und Boussinesq) bei plas-tischem Materialverhalten nur unvollstandige Angaben uber den raumlichenSpannungszustand liefern.Am Institut fur keramische Komponenten im Maschinenbau (IKKM) wur-den im Rahmen von Studien- und Diplomarbeiten zahlreiche Versuche zumBruchverhalten von Keramik unter normal eingeleiteter Druckkraft durchgefuhrt.An Hohlzylindern unter radialem Außendruck wurde im Rahmen einer Dis-sertation die Versagensrelevanz von Schubspannungen untersucht [96]. AlsTeil einer Dissertation am IKKM, deren Ziel die versuchstechnische Tren-nung von Schub- und Zugversagen ist, soll diese Diplomarbeit das Kontakt-

1

KAPITEL 1. EINLEITUNG 2

problem theoretisch behandeln. Der derzeitige Wissensstand soll aufgezeigtund mit Hilfe von FEM-Berechnungen der Einfluß verschiedener Parameterfestgestellt werden.Es werden die Parameter Kugelradius, Plattengeometrie, Reibung und Mate-rialpaarung variiert. Die Kugelradien variieren von 1mm−5mm. Die Platte1

ist eine Kugel, die den Radius 3mm oder unendlich hat. Bei der Reibung wer-den die Grenzfalle µ = 0 und µ = 1 betrachtet.Die Kontaktpartner sind aus den Stahlen 1.4301 , 1.6580 und den KeramikenAl2O3 , HIP SN , Si SiC , ZrO2.Zur Durchfuhrung der Berechnungen steht eine Hewlett-Packard-Workstationder Apollo-Serie, sowie die kommerziellen Softwarepakete I-DEAS VI undABAQUS 5.5 zur Verfugung. Es werden unter Verwendung von Macros demProblem angemessene Netze generiert, die zur Vergleichbarkeit bei allen Berech-nungen gleich bleiben.Die Ergebnisse werden mit den am IKKM durchgefuhrten Versuchen [97],sowie analytischen Losungen verglichen.Ziel der Parametervariation ist es, Versuchsbedingungen anzugeben, die eineTrennung von Schub- und Zugversagen ermoglichen.Im Rahmen der Forschung fanden zahlreiche Diskussionen mit Herrn Metzlaffstatt. Aus der engen Zusammenarbeit gingen viele Anregungen hervor, diein dieser Diplomarbeit umgesetzt wurden. Sie sind nicht ausdrucklich in denLiteraturhinweisen erwahnt, die im Anhang der Arbeit neben Programmlist-ings und Bildern ausgewahlter Beispiele zu finden sind.

1Der untere Kontaktpartner wird immer “Platte” genannt, auch wenn es sich um eineKugel handelt

Kapitel 2

Grundlagen

2.1 Keramik im Maschinenbau

2.1.1 Einteilung und Herstellung

Einteilung und Anwendung moderner Ingenieurkeramik

In den letzten Jahren haben keramische Werkstoffe im Maschinenbau standigan Bedeutung gewonnen. Neben den traditionellen silikatkeramischenWerkstoffen, wie Porzellan, Steingut und Glaskeramik, wurden die zwei neuenkeramische Werkstoffgruppen Strukturkeramik und Funktionskeramik en-

• Silikatkeramik

– dicht – poros

• Oxidkeramik

– einfache Oxide – komplexe Oxide

• Nichtoxidkeramik

– Carbide

– Nitride

– Silicide

– Boride

– Sulfide

– Mischkristalle

Abbildung 2.1: Klassische Einteilung keramischer Werkstoffe [9]

3

KAPITEL 2. GRUNDLAGEN 4

twickelt. Sie haben unter dem Sammelbegriff Hochleistungskeramik zahlre-iche technische Anwendungen im Maschinen- und Apparatebau, in der Elek-tronik und Elektrotechnik gefunden [15] [17] [19]. Daher wird die traditionelleEinteilung nach Herkunft (→ Tabelle 2.1 auf Seite 3) [12] zunehmend durcheine anwendungsbezogene Klassifizierung (→ Tabelle 2.2) verdrangt [8] [9][16] [17]. Durch verbesserte Herstellungsverfahren (→ Kapitel 2.1.1) lassen

• Gebrauchskeramik

– Baukeramik

– Sanitarkeramik

– Haushaltskeramik

– Zierkeramik

• Feuerfestkeramik

• Technische Keramik

– Konventionelle Technische Keramik

∗ Elektrotechnik ∗ Labortechnik ∗ Chemietechnik

– Hochleistungskeramik

∗ Mechanisch

∗ Thermisch

∗ Chemisch

∗ Elektrisch

∗ Magnetisch

∗ Optisch

∗ Biologisch

∗ Nuklear

Abbildung 2.2: Anwendungsbezogene Einteilung keramischer Werkstoffe [9]

sich heute Eigenschaften (→ Tabelle 2.3 auf Seite 5) wie Thermoschockbestandigkeitin weitem Rahmen gezielt beeinflussen. Deshalb ist Keramik aus dem mod-ernen Maschinenbau nicht mehr wegzudenken.Werkzeuge zum Urformen, Umformen und Trennen, Warmetauscher, Katalysatoren,Turbolader, Gelenkprothesen und Kondensatoren sind nur einige Beispieleder zahlreichen Anwendungsmoglichkeiten. Eine detailierte Aufzahlung derEinsatzmoglichkeiten [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [28] moderner Ingenieurk-eramik wurde den Rahmen dieser Arbeit sprengen.

Herstellung und Eigenschaften moderner Ingenieurkeramik

Der Herstellungsprozeß [8] [9] [10] [11] [13] [14] [15] fur oxidische und nichtox-idische Sinterkeramiken entspricht weitgehend dem der Pulvermetallurgie,

KAPITEL 2. GRUNDLAGEN 5

Vorteile Nachteile

hohe Formstabilitatbegrenzte Duktilitat

hohe Festigkeiteingeschrankte Bearbeitbarkeit

große Harteeingeschrankte Formgebung

Verschleißfestigkeitfertigungsbedingte Streuung

geringe Dichte der Festigkeit

Temperaturbestandigkeit Thermoschockempfindlichkeit

chemisch und biologischweitgehend inert

Verfugbarkeit

Abbildung 2.3: Vor- und Nachteile moderner Ingenieurkeramik [9]

wobei die Bauteilendeigenschaften in hohem Maße von den Pulvereigen-schaften (Reinheit), der sogenannten Grunverdichtung bei der Formgebungund schließlich dem Sinterprozeß abhangen.Der Sintervorgang stellt einen Feststoffdiffusionsprozeß dar, bei dem derkeramische Werkstoff durch Losungs- und Ausscheidungsvorgange verdichtetund rekristallisiert wird und hierdurch seine Festigkeitseigenschaften erhalt.

Durch eine nach dem Sintern vorgenommene heißisostatische Preßbehand-lung (HIP-Behandlung), bei der die Mikroporositat weitgehend beseitigt wird,kann die Streubreite der Festigkeitseigenschaften erheblich verringert werden.

Eine weitere Moglichkeit ist, Keramik durch chemische Reaktion herzustellen.Die Festigkeit von gesinterter Keramik ist deutlich hoher, als die von reaktion-sgebundener. Der Vorteil von reaktionsgebundener Keramik ist die nahezu

KAPITEL 2. GRUNDLAGEN 6

schwindungsfreie und daher maßgenaue und eigenspannungsarme Herstel-lung. Das ermoglicht die Realisierung komplexerer Geometrien.

2.1.2 Werkstoffprofile

Nichtoxidkeramische Werkstoffe

Allgemein Hierzu gehoren Carbide, Nitride, Boride und Silicide, die auchals Hartstoffe bezeichnet werden. Das Eigenschaftsprofil dieser Stoffgruppeist gekennzeichnet durch hohen E-Modul, hohe Temperaturfestigkeit undHarte sowie gute Warmeleitfahigkeit und hohen Korrosionswiderstand.Neben Kompaktwerkstoffen werden nichtoxidkeramische Stoffe insbesonderezur Herstellung von Schichtverbundwerkstoffen fur Schneidwerkzeuge, Um-formwerkzeuge sowie fur tribologisch hochbeanspruchte Baueile eingesetzt.Zur Schichtabscheidung werden vorzugsweise CVD- und PVD-Beschich-

tungsverfahren [27] angewandt.

Carbide

Siliziumkarbid SiC wird hauptsachlich nach dem Acheson-Verfahren ausQuarz und Petrolkoks gewonnen. Es ist als hochwertiges Schleifmittel inForm von gebundenen oder losen Kornern, sowie als tongebundener Feuer-feststoff seit Jahrzehnten auf dem Markt. SiC zeichnet sich durch eine ho-he Warmeleitfahigkeit aus. Seine elektrische Leitfahigkeit ermoglicht diefunkenerosive Bearbeitung. Die strukturkeramischen Anwendungen um-fassen das gesinterte Siliziumkarbid S SiC, das reaktionsgebundene Siliz-iumkarbid RB SiC, die reaktionsgebundene silizierte Kohle C SiC, das siliz-iuminfiltrierte Siliziumkarbid Si SiC und das siliziumnitridgebundene SiNSiC.

Silizierte Kohle C SiC ist ein Verbundwerkstoff aus Kohlenstoff und SiC.Bei seiner Herstellung wird ein poroser Grundkorper aus Kohlenstoff bei

hoher Temperatur mit Si−Dampf beaufschlagt. Dabei bildet sich an derOberflache eine ca. 1 mm starke Schicht aus Siliziumkarbid.

Siliziuminfiltriertes Siliziumkarbid Si SiC ist ein Verbundwerkstoffaus elementarem Silizium und SiC. Bei seiner Herstellung wird ein poroserGrunkorper aus Primar-SiC und Kohlenstoff bei hohen Temperaturen mitflussigem oder gasformigem Silizium infiltriert. Aus dem vorhandenen Kohlen-stoff und dem Silizium bildet sich Siliziumkarbid. Zur Erzeugung dichterWerkstoffe ist Siliziumuberschuß notwendig. Handelsubliches Si SiC enthaltdaher 8− 14 % freies Silizium.

KAPITEL 2. GRUNDLAGEN 7

Borcarbid B4C ist nach Diamant und kubischem Bornitrid der hartesteWerkstoff, der großtechnisch Anwendung findet. Daher wird er uberwiegendin der Bearbeitungstechnik und als Verschleißschutz eingesetzt.

Nitride

Gesintertes Siliziumnitrid SSN indexAdditive Ausgangspunkt fur dieHerstellung ist feinstkorniges Si3N4 -Pulver, das zusammen mit Additivenund Hilfsstoffen durch Druck in die gewunschte Form gebracht wird. Nachdem Ausheizen der Hilfsstoffe erfolgt die Sinterung im Vakuum oder unterStickstoffatmosphare bei 1750 − 1950◦C. SSN ist in der mechanischen Fes-tigkeit 1 dem RBSN weit uberlegen.

Reaktionsgebundenes Siliziumnitrid RBSN entsteht durch einenNitridierungsprozeß mit Formlingen aus elementarem Silizium, das mit demgasformigen Stickstoff bei Temperaturen um 1400◦C zu Si3N4 reagiert.Die nach diesem Verfahren nahezu schwindungsfrei und daher eigenspan-nungsarm hergestellten Bauteile weisen eine offene Porositat von 15 − 30%Vol. auf.

Bornitrid B3N4 Kubisches Bornitrid CBN ist nach Diamant der hartestegroßtechnisch relevante Werkstoff. Hexagonales BornitridHBN ist ein weich-er, graphitahnlicher Werkstoff mit guter Bearbeitbarkeit und ausgezeichnetenHochtemperaturisolationseigenschaften.

Oxidkeramische Werkstoffe

Aluminiumoxid Al2O3 wird hauptsachlich uber den Bayerprozeß aus Baux-it gewonnen und ist die am weitesten verbreitete Werkstoffgruppe der Tech-nischen Keramik. Dichtgesintertes Al2O3 zeichnet sich durch hohe Festigkeitund Harte sowie durch Temperatur- und Korrosionsbestandigkeit aus. Ausder Vielschichtigkeit von Reinheit, Feinheit und Dichte resultiert ein bre-ites Anwendugsspektrum von der Gebrauchskeramik bis hin zur Hochleis-tungskeramik (→ Abbildung 2.2 auf Seite 4).

Zirkonoxid ZrO2 Rohstoffe sind Baddeleyit (monoklines ZrO2) undZirkon (ZrSiO4) 2. ZrO2 in unstabilisierter Form ist fur keramische Bauteileungeeignet, da sich aufgrund seines Polymorphismus beim Abkuhlen nach

14-Punkt Biegefestigkeit2chemisch : Zirkoniumsilikat

KAPITEL 2. GRUNDLAGEN 8

dem Sinterbrand tetragonale Kristallite unter Volumenvergroßerung in monok-line umwandeln und dabei das Gefuge zerstoren konnen.Zur Herstellung von vollstabilisiertem Zirkonoxid wird durch den Einbauvon Fremdoxiden (CaO,MgO, Y2O3, CeO) in das Kristallgitter die kubis-che Hochtemperaturstruktur beim Abkuhlen eingefroren. Beim teilstabil-isiertem Zirkonoxid PSZ 3 wird im Gegensatz zum vollstabilisiertem Zirkonox-id FSZ 4 die Menge an Fremdionen so weit verringert, daß neben der ku-bischen Phase auch ein vertraglicher Anteil an umwandlungsfahigem tetrag-onalen Zirkonoxid vorliegt. Zirkonoxid, das sich aufgrund seines extremfeinen Gefuges (< 100 nm) bei der Abkuhlung von der Sintertemperaturzwar von der kubischen in die tetragonale, danach aber nicht in die monok-line Phase umwandelt, wird als TZP 5 bezeichnet.PSZ eignet sich aufgrund seiner hohen Rißzahigkeit und Biegefestigkeitbesonders fur mechanisch hochbeanspruchte Strukturen bei Anwendungstem-peraturen bis ca. 600◦C. Es wird auch haufig fur Zwecke des Verschleißschutzesbei Kaltumformwerkzeugen (Drahtziehdusen) verwendet. Aufgrund der niedri-gen Warmeleitfahigkeit wird ZrO2 zur Warmeisolierung im Motorenbau einge-setzt. Die im Vergleich zu anderen Keramiken relativ hohe Dichte sprichtgegen einen Einsatz bei fliehkraftbeanspruchten Bauteilen. Aufgrund sein-er Sauerstoffionenleitfahigkeit wird Zirkonoxid auch als Funktionskeramik inder Sensortechnik eingesetzt.

Aluminiumtitanat Al2TiO5 ist die stochiometrische Mischphase vonAl2O3 und TiO2. Die extreme Anisotropie des Ausdehnungskoeffizienten imKristallit fuhrt beim Herstellungsprozeß zu kritischen inneren Spannungenmit Mikrorißbildung. Beim Aufheizen heilen die Risse teilweise wieder aus,daher sind die Festigkeitseigenschaften stark temperaturabhangig.Zur Kompensation sind konstruktive Maßnahmen, wie das Umgießen mitMetall zur Druckvorspannung erforderlich.

Silicatkeramische Werkstoffe Hierzu gehoren Ziegel, Porzellan, Steingut,Terracotta und Schamott. Die Herstellungsverfahren sind seit langer Zeitbekannt, daher spricht man auch von traditioneller Keramik. Diese Stoffewerden uberwiegend als Gebrauchskeramik eingesetzt und haben mit mod-erner Ingenieurkeramik nichts zu tun.

3partially stabilized zirconia4fully stabilized zirconia5tetragonal zirconia polycristal

KAPITEL 2. GRUNDLAGEN 9

2.1.3 Festigkeit von Keramik

Einfluß von Inhomogenitaten

Die Betrachtung eines Werkstoffes als Kontinuum bedeutet die Vernachlas-sigung mikroskopischer Storungen. Eine Storung der Homogenitat geht inder Regel mit lokalen Spannungsspitzen einher (→ Abbildung 2.4).

1. Bauteil mit Fehler

2. Spannungsverteilung bei idealelastischem Verhalten

3. Abbau von Spannungsspitzendurch Fliessen

4. Nennspannungsverteilung

Abbildung 2.4: Einfluß eines Materialfehlers auf die Spannungsverteilung

Nach Volker Weiß [9] betragt die maximale Zugspannung in einem Flachstabder Breite 2b aus linearelastischem Material in einer Kerbe mit dem Radius%

σmax =2 σnenn (1 + ξ2)

1 + (1 + ξ2)ξ arctan 1ξ

, ξ =

√%

b(2.1)

Die meisten Werkstoffe, zum Beispiel Metalle, sind in der Lage, lokale Span-nungsspitzen durch mikroskopisches Fließen abzubauen.

KAPITEL 2. GRUNDLAGEN 10

Die maximale Zugspannung in der Kerbe betragt bei ideal-elastisch-plasti-schem Material (→ Abbildung 2.6 auf Seite 17)

σmax = σo (2.2)

Dadurch verhalt sich ein solcher Werkstoff makroskopisch wie ein Kontinu-um. Im Gegensatz dazu besitzt Keramik nicht diese Fahigkeit. Das bedeutet,daß mikroskopische Inhomogenitaten nicht durch mikroskopisches Fließenausheilen konnen, sondern das makroskopische Verhalten maßgeblich beein-flussen.

Statistische Methoden zur Beschreibung des Materialverhaltens

Neue Werkstoffe werden zunehmend fur den Einsatz unter extremen Betriebs-bedingungen entwickelt. Steigende Sicherheitsanforderungen und wirtschaftlich-er Materialeinsatz erfordern immer bessere Verfahren zur Werkstoffentwick-lung, -prufung und -beurteilung.Insbesondere trifft das auf Ingenieurkeramik zu. Sie enthalt herstellungsbe-dingt Inhomogenitaten, wie Poren, Risse und Einschlusse. Es ist charakter-istisch fur Keramik, daß eine integrale Betrachtung, das heißt die Annahmeeines Kontinuums, nicht zulassig ist.Erst die Kombination von konventionellen Festigkeitsprufungen mit statis-tischen Methoden ermoglicht Aussagen uber das Materialverhalten.Das wichtigste Verfahren ist die Ermittlung von Versagenswahrscheinlichkeit-en nach Weibull. Sie basiert auf der weakest-link-theory.

Weibull-Theorie

Wahrscheinlichkeitsrechnung Es wird davon ausgegangen, die versa-gensinitiierenden Fehler seien zufallig im Werkstuck verteilt. Versagen trittein, wenn eine Belastung auf einen Materialfehler trifft. Je großer das betra-chtete Volumen ∆V ist, desto wahrscheinlicher wird ein Materialfehler.Die Wahrscheinlichkeit fur ein Versagen des Volumens ∆V , das den n-tenTeil des Gesamtvolumens V betragen soll, ist

P (∆V versagt) =

xi∫−∞

f(ξ) dξ = F (xi) (2.3)

Darin ist F die Verteilungsfunktion mit der zugehorigen Dichtefunktion ffur die Zufallsvariable X, die im Versagensfall einen Wert > xi annimmt.

KAPITEL 2. GRUNDLAGEN 11

Weibullverteilung Hier bietet sich die Weibullverteilung [41] an, diedurch zwei freie Parameter λ und mt an Versuchsergebnisse anpassbar ist.

Ft(x) = 1− e−λxmt = 1− e−∆VV0

(σ(∆V )σ0

)mt(2.4)

Dabei werden Volumengroße und Spannung auf geeignete Werte bezogen.

Uberlebenswahrscheinlichkeit Die Uberlebenswahrscheinlichkeit ist derVersagenswahrscheinlichkeit komplementar.

P (∆V uberlebt) = 1 − P (∆V versagt) = e−∆VV0

(σ(∆V )σ0

)mt(2.5)

Weakest-Link-Theory Diese Theorie wird so genannt, da sie davon aus-geht, daß das Versagen eines einzigen Volumenelementes ein Versagen desGesamtvolumens zur Folge hat.Falls das Versagen der Einzelvolumina stochastisch unabhangig voneinan-der ist, ergibt sich die Gesamtuberlebenswahrscheinlichkeit als Produkt derEinzelwahrscheinlichkeiten.

P (V0uberlebt) =n∏i=1

P (∆Viuberlebt) (2.6)

=n∏i=1

e− 1V0

(σ(∆V )σ0

)mt∆V

(2.7)

P (V0uberlebt) = e− 1V0

n∑i=1

(σ(∆V )σ0

)mt∆V

(2.8)

In der Regel kann man ein Produkt von Verteilungsfunktionen nicht geschlossenlosen. Der große Vorteil der Weibullverteilung ist die analytische Losbarkeitder Gleichung (2.6).Erst dadurch wird eine physikalische Interpretation der freien Parameterermoglicht. Durch Bilden des Grenzuberganges

limn→∞

e− 1V0

n∑i=1

(σ(∆V )σ0

)mt∆V

= e− 1V0

∫V

(σ(∆V )σ0

)mtdV

(2.9)

erhalt man schließlich die Versagenswahrscheinlichkeit als Komplement derUberlebenswahrscheinlichkeit.

FV (σ) = 1− e− 1V0

∫V

(σ(x,y,z)σ0V

)mVdV

(2.10)

KAPITEL 2. GRUNDLAGEN 12

Oberflacheneinfluß Analog kann diese Rechnung fur Fehler an der Ober-flache durchgefuhrt werden.

FS(σ) = 1− e− 1S0

∫S

(σ(x,y,z)σ0S

)mSdS

(2.11)

Interpretation der Parameter Die Parameter m und σ0 sind werkstoff-spezifisch und durch Versuche bestimmbar. Die Bezugspannung σ0 entsprichtder Belastung, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 63, 2 % zum Versagen

fuhrt. Das Integral∫V

(σ(∆V )σ0

)mtdV nennt man effektives Volumen.

Der Weibullmodul m ist ein Maß fur den Einfluß der Materialbelastung.

m = 0 : Spannungsunabhangiges Verhaltenm→∞ : Deterministisches Verhalten

Da diese Theorie keine Festigkeitswerte, sondern Versagenswahrscheinlichkeit-en liefert, kann sie zum unerwarteten Ergebnis fuhren, daß die “Festigkeit”bei einer Vergroßerung des beanspruchten Querschnittes sinkt, obwohl dieNennspannung abnimmt. Es ist jedoch so, daß eine Querschnittvergroßerungbei kleinem Weibullmodul in erster Linie die Wahrscheinlichkeit eines Mate-rialfehlers erhoht.

Vergleichspannungen In Gleichung (2.10) ist σ(x, y, z) die ortsabhangigeMaterialbelastung. Sie wird durch eine skalare Vergleichspannung ausge-druckt. Eine einfache Vergleichspannung ist die erste Hauptspannung.

σ(x, y, z) = σI (2.12)

Weibull hat eine Minimalspannung σu vorgeschlagen, die uberschritten wer-den muß, bevor Versagen eintreten kann (Drei-Parameter-Ansatz).

σ(x, y, z) = σI − σu (2.13)

Am Institut fur keramische Komponenten im Maschinenbau wurde das Post-prozessorprogramm RELACS entwickelt. Es ermittelt Versagenswahrschein-lichkeiten von finite Elemente Modellen 6 mit der Vergleichspannung

σ(x, y, z) = m

√σmI + σmII + σmIII (2.14)

6Derzeit ist das nur fur Modelle aus ANSYS moglich

KAPITEL 2. GRUNDLAGEN 13

2.2 Mechanik

2.2.1 Tensorrechnung

Die Tensorrechnung entstand um die Jahrhundertwende. Die bekanntesteAnwendung erfuhr sie in der Relativitatstheorie. Fur Ingenieurswissenschaftengewinnt der Tensorkalkul [58] [43] [44]immer mehr an Bedeutung. Es ist davon auszugehen, daß er in Zukunftneben Matrizenrechnung, linearer Algebra und Infinitesimalrechnung festerBestandteil des mathematischen Rustzeugs eines Ingenieurs sein wird. Diewichtigste Rechenregel ist die Einsteinsche Summationsvereinbarung [45],nach der uber paarweise auftretende Indices summiert wird, falls es nichtausdrucklich anders vermerkt ist.

2.2.2 Kontinuumsmechanik

Kinematik

Der Verschiebungsvektor Im unbelasteten Zustand nimmt ein Korpereine bestimmte Lage im Raum ein. Infolge einer Belastung werden die ma-teriellen Teilchen ihre Lage im Raum verandern. Sie erfahren Verschiebungen,die durch den Verschiebungsvektor ~u beschreibbar sind. Der Verschiebungsvek-tor ist die Differenz der Ortskoordinaten eines Teilchens.Die Gesamtheit aller Verschiebungsvektoren eines Korpers heißt Verschiebungszu-stand. Der Verschiebungszustand enthalt sowohl die Starrkorperbewegung(Translation und Rotation), als auch die Deformation (Volumenanderungund Gestaltanderung).

Zusammenhang zwischen Verschiebung und Deformation Sind dieDeformationen des Korpers hinreichend klein, genugt zur Beschreibung derklassische Verzerrungstensor, der den symmetrischen Anteil des Verschiebungs-gradienten darstellt.

εij =1

2(ui,j + uj,i) (2.15)

Zur Beschreibung endlich großer Deformationen benotigt man Ausdrucke,die nichtlineare Terme enthalten. Man spricht von geometrischer Nichtlinear-itat. FEM-Programme, die große Deformationen berucksichtigen, verwendenin der Regel den klassischen Verzerrungstensor und gehen iterativ vor (→Kapitel 2.3.3 auf Seite 24).

KAPITEL 2. GRUNDLAGEN 14

Kompatibilitatsbedingungen Da benachbarte Volumenelemente sich wed-er uberschneiden noch auseinanderklaffen durfen, muß der Verzerrungstensorden Vertraglichkeitsbedingungen (Integrabilitatsbedingungen) genugen.

εij,kl + εkl,ij − εik,jl − εjl,ik = 0ijkl (2.16)

Von diesen 81 partiellen Differentialgleichungen sind nur 6 wesentlich

ε22,33 + ε33,22

ε33,11 + ε11,33

ε11,22 + ε22,11

ε23,13 + ε13,23

ε13,12 + ε12,13

ε12,23 + ε23,12

− 2 ε23,23 = 0− 2 ε31,31 = 0− 2 ε12,12 = 0

−ε12,33 − ε33,12 = 0−ε23,11 − ε11,23 = 0−ε13,22 − ε22,13 = 0

(2.17)

Sie heißen de Saint-Venantsche Kompatibilitastbedingungen.

Statik

Der Spannungstensor Eine fundamentale Beziehung in der Kontinuumsmechanikist die lineare Abbildung einer Flachennormalen ni auf den Spannungsvek-tor pi durch den Spannungstensor σij, der den Spannungszustand in einemPunkt eindeutig beschreibt.

pi = σjinj (2.18)

Werden hier die wahren Spannungen (→ Kapitel 2.2.2 auf Seite 17) eingeset-zt, handelt es sich um den Cauchyschen Spannungstensor, der im klassischenKontinuum symmetrisch ist.

Gleichgewichtsbedingungen Die Summe aus den an einem Korper an-greifenden Volumenkraften fi und Oberflachenkraften pi bewirkt eine Im-pulsanderung seines Schwerpunktes.

∫ ∫V

∫fi dV +

∫S

∫σji nj dS =

d

dt

∫ ∫V

∫%xi dV (2.19)

Mit dem Satz von Gauss folgt fur %, V = const.

σji,j + fi = % xi (2.20)

KAPITEL 2. GRUNDLAGEN 15

Mohrsche Spannungskreise Ein wichtiges Hilfsmittel zur Darstellungeines Tensors sind die Mohrschen Kreise (→ Abbildung 2.5). Sie ermoglicheneine zweidimensionale Darstellung raumlicher Spannungszustande. Dabei entsprichtein Punkt in der σ, τ − Ebene einer Richtung im Raum.Alle symmetrischen Tensoren besitzen reelle Hauptwerte, die paarweise senkrechtaufeinanderstehenden Eigenvektoren zugeordnet werden konnen. Im Fall desSpannungstensors σij sind die Eigenvektoren Flachennormalen eines schub-spannungsfreien Volumenelementes.

Abbildung 2.5: Mohrsche Kreise fur einen mehrachsigen Spannungszustand

Die Schnittpunkte der Kreise mit der Abszisse entsprechen den Hauptachsen.In diese Richtungen nehmen die Spannungen die in der Regel der Große nachgeordneten Hauptwerte σI , σII und σIII an.

Maximale Schubspannung Die maximal auftretende Schubspannung

τmax =1

2(σI − σIII) (2.21)

wird auch Vergleichspannung nach Tresca genannt. Sie stimmt mit dem Ra-dius des großten Mohrkreises uberein.

KAPITEL 2. GRUNDLAGEN 16

Stoffgesetze

Das Hookesche Gesetz In vielen Fallen ist die Deformation reversibelund proportional zur Spannung. Das Hookesche Gesetz beschreibt diesesMaterialverhalten. Es verknupft den Cauchyschen Spannungstensor linearmit dem klassischen Verzerrungstensor.

σij = Eijkl εkl (2.22)

Eijkl ist ein Tensor vierter Stufe mit 34 = 81 Koeffizienten. Fur isotrope Stoffemuß Eijkl Kugelgestalt besitzen, daß heißt, er laßt sich als Linearkombinationaus Eins-Elementen vierter Stufe darstellen:

Eijkl = λ δijδkl + µ δikδjl + κ δilδjk (2.23)

Aus der Symmetrie 7

Eijkl = Ejikl = Eijlk = Eklij (2.24)

folgt µ = κ. Fur isotrope Stoffe reduziert sich der Tensor Eijkl also auf zweiwesentliche Koeffizienten :

Eijkl = λ εkk δij + 2 µ εij (2.25)

Diese Koeffizienten λ und µ sind nach Lame benannt. Sie hangen eng mitden Materialkonstanten E und ν zusammen.

λ =νE

(1 + ν)(1− 2ν)(2.26)

µ =E

2(1 + ν)= G (2.27)

Das Hookesche Gesetz fur isotrope Materialien lautet:

σij =E

(1 + ν)

1− 2νεkk δij + εij

}(2.28)

εij =1

E{(1 + ν) σij − ν σkkδij} (2.29)

Plastisches Materialverhalten

Das in Gleichung (2.22) beschriebene Materialverhalten gilt nur fur Span-nungen unterhalb einer Grenze σp . Diese physikalische Nichtlinearitat wirddurch verschiedene Modelle (→ Abbildung 2.6 auf Seite 17) angenahert.Das genaueste Modell beschreibt linearelastisches Verhalten unterhalb ein-

er Fließspannug σF mit anschließender linearer Verfestigung bis zur Maxi-malspannung σo. Die anderen Modelle sind als Grenzfalle darin enthalten.

7Die letzte Symmetrie folgt aus dem Postulat eines Potentials Π = 12Eijklεijεkl

KAPITEL 2. GRUNDLAGEN 17

1. idealelastisch

2. idealplastisch

3. elastisch-plastisch

4. lineare Ver-festigung

Abbildung 2.6: Vereinfachende Werkstoffmodelle

Nenngroßen Die Materialkonstanten σp und Rm werden als sogenannteNenngroßen im einachsigen Zugversuch [59] ermittelt. Spannung σ undDehnung ε sind auf die Maße L0 und S0 des unbelasteten Zugstabes bezogen.

σnenn =F

S0

, εnenn =Lu − L0

L0

(2.30)

Bei großen Deformationen werden daher weitere Betrachtungen erforderlich.

Wahre Dehnung ist die Langenanderung bezogen auf die momentaneLange.

ε =∫dε =

L0(1+εnenn)∫L0

dl

l= ln(1 + εnenn) (2.31)

Wahre Spannung ist die Prufkaft F auf die tatsachliche Flache Stat be-zogen.

σtat =F

S0

S0

Spl

SplStat

(2.32)

Bei plastischer Dehnung gilt unter der Annahme von Inkompressibilitat

Spl = S0(1 + εpl) (2.33)

KAPITEL 2. GRUNDLAGEN 18

Bei anschließender einachsiger idealelastischer Belastung in 1−Richtung ist

Stat = Spl (1 + ε22)(1 + ε33) (2.34)

Stat = Spl (1− νel ε11)2 (2.35)

Der Ausdruck laßt sich in einer Taylorreihe um εel = ε11 = 0 entwickeln.

SplStat

= (1 + 2 νel εel) (2.36)

Die wahre Spannung ist also mit Gleichung (2.30)

σtat = σnenn(1 + εpl)(1 + 2 νel εel) (2.37)

Diese Gleichungen setzen einen uber der Lange der Probe konstanten Quer-schnitt voraus und geben daher eine sichere untere Grenze fur die wahreSpannung an. Bei stark ausgepragter Einschnurung Z ist die wahre Span-nung großer [60]. Da in der Regel die Prufendkraft Ft (→ Abbildung 2.7auf Seite 19) nicht bekannt ist, kann sie nur mit der maximalen PrufkraftFm = Rm S0 nach oben abgeschatzt werden.

Stat = S0(1− Z) (2.38)

σtat =Ft

S0(1− Z)(2.39)

σtat ≤Rm

1− Z(2.40)

In nichtlinearen FEM-Programmen (→ Kapitel 2.3.3 auf Seite 24) tretendiese wahren Großen auf. In der Regel werden sie deshalb direkt als Eingabepa-rameter verlangt. Dabei ist sorgfaltig vorzugehen, da das Ergebnis maßge-blich von ihnen abhangt.

2.2.3 Losung elastischer Probleme

Der idealelastische isotrope Fall

Randwertaufgabe erster Art Durch Einsetzen von Gleichung (2.15) inGleichung (2.25) auf Seite 16 erhalt man

σij = µ (ui,j + uj,i) + λ uk,k + δij (2.41)

Im stationaren Fall(xi = 0) lautet Gleichung (2.20) somit

σij,i + fi = 0j = µ (ui,ji + uj,ii) + λ uk,ki + δij + fi (2.42)

Diese Gleichungen gehen auf Navier zuruck. Bei fehlenden Volumenkraftenerhalt man die Bipotentialgleichung

(1− 2 ν) ui,jj + uk,ki = 0i ⇒ ∆∆ ui = 0i (2.43)

KAPITEL 2. GRUNDLAGEN 19

Abbildung 2.7: Spannungs-Dehnungs Diagramm

Randwertaufgabe zweiter Art Analog hierzu kann man die Verschiebun-gen eliminieren. Man erhalt die Gleichungen nach Michell

(1 + ν)σij,kk + σkk,ij = −(1 + ν)[fi,j + fj,i +

ν

1− νfk,kδij

](2.44)

Sie gehen bei konstanten Volumenkraften in die Gleichungen von Beltramiuber.

(1 + ν)σij,kk + σkk,ij = 0ij (2.45)

Auch hier lassen sich Bipotentialgleichungen formulieren.

∆∆ σij = 0ij , ∆∆ εij = 0ij (2.46)

Losung der Randwertaufgaben Probleme der Kontinuumsmechanik ver-langen in der Regel die Erfullung von statischen und kinematischen Randbe-dingungen. Man nennt sie Randwertaufgaben dritter Art. Bei physikalischerund geometrischer Linearitat kann man Losungen durch Superposition gewin-nen. Zusammenfassend kann man sagen, daß bei konstanter Volumenkraftin einem linearelastischen isotropen Korper Verschiebung, Verzerrung undSpannung biharmonische Funktionen sind. Da nach Goursat biharmonischeFunktionen Φ durch zwei holomorphe Funktionen f(z) und g(z) darstellbarsind, stehen eine Vielzahl von Losungen zur Verfugung.

Φ = Re {zf(z) + g(z)} (2.47)

KAPITEL 2. GRUNDLAGEN 20

Rotationssymmetrische Probleme

Zylinderkoordinaten bei Symmetrie zur 3− Achse 8.

x1 = ξ1 cos ξ2

x2 = ξ1 sin ξ2

x3 = ξ3

(2.48)

Die Jakobideterminante dieser Koordinatentransformation ist

J =

∣∣∣∣∣∂xi∂ξj

∣∣∣∣∣ = ξ1 (2.49)

Es ist erkennbar, daß fur die Symmetrieachse ξ1 = 0 keine Aussage moglichist, da die Jakobideterminante verschwindet.Der Laplace-Operator ∆ fur Zylinderkoordinaten lautet

∆ =∂2

∂r2+

1

r2

∂2

∂ϕ2+

1

r

∂r+

∂2

∂z2(2.50)

Die Bipotentialgleichungen (2.43)(2.46) gelten unabhangig von der Wahl desKoordinatensystems.

Die Verzerrungen lauten analog zu Gleichung (2.15) auf Seite 13

εr = ur,rεϕ = 1

r(ur + uϕ,ϕ)

εz = uz,zεrϕ = 1

2

[1r(ur,ϕ − uϕ) + uϕ,r

]εrz = 1

2(ur,z + uz,r)

εϕz = 12

(uϕ,z + 1ruz,ϕ)

(2.51)

Die Gleichgewichtsbedingungen sind analog zu Gleichung (2.20)

σr,r + 1rσrϕ,ϕ + σrz,z + 1

r(σr − σϕ) = 0

σrϕ,r + 1rσϕ,ϕ + σϕz,z + 1

rσrϕ = 0

σrz,r + 1rσϕz,ϕ + σz,z + 1

rσrz = 0

(2.52)

8Krummlinige Koordinaten erhalten hochgestellte Indices

KAPITEL 2. GRUNDLAGEN 21

Das isotrope Stoffgesetz lautet analog zu Gleichung (2.25)

Eijkl = λ gijgkl + µ (gikgjl + gilgjk) (2.53)

Der Ausdruck gij heißt kontravarianter Metriktensor.

gij =

1 0 00 1/r2 00 0 1

(2.54)

Die Stoffgleichungen lauten

σr = 2 µ εr + λ (εr + εϕ + εz)σϕ = 2 µ εϕ + λ (εr + εϕ + εz)σz = 2 µ εz + λ (εr + εϕ + εz)σrϕ = 2 µ εrϕσϕz = 2 µ εϕzσrz = 2 µ εrz

(2.55)

2.3 Finite Elemente Methode

2.3.1 Numerische Methoden

Numerische Methoden sind ein besonders leistungsstarkes Verfahren fur dieBewaltigung komplexer Aufgaben aus der Natur- und Ingenieurwissenschaft.Zu ihnen gehoren

• die Boundary-Elements-Method (BEM),

• die Finite-Difference-Method (FDM) und die

• Finite-Elements-Method(FEM).

Die Methode der finiten Elemente ist die leistungsfahigste der drei Methoden[67]. Sie ist heutzutage in Softwarepaketen enthalten, die verhaltnismaßigeinfach bedienbar sind.Es ist Aufgabe des Ingenieurs, wesentliche Fragestellungen zu erkennen,

sowie mit Hilfe angepaßter Idealisierungen und Rechenmethoden effektiv zubearbeiten [65][66].

Der numerischen Sachkenntnis sind dabei naturgemaß Grenzen gesetzt.Dennoch ist eine kritische Prufung der Rechnung unverzichtbar. Keinesfallsdarf der Ingenieur sich diesen Programmen hilflos ausliefern, indem er sie als“black box” betrachtet. Erst durch die fachgerechte Beurteilung erhalt einErgebnis seine Aussagekraft.

KAPITEL 2. GRUNDLAGEN 22

2.3.2 Losung diskretisierter Probleme

Diskretisierung

Die Losung von Aufgaben der Festkorpermechanik wird in mehrere Losungs-schritte untergliedert [69] [70] [71] [74]. Zunachst wird die kontinuierlichzusammenhangende Struktur durch Unterteilung in finite Elemente diskretisiert.Der Verlauf von Feldvariablen innerhalb eines Elementes wird durch Ele-mentspezifische Interpolationsfunktionen und durch Werte in den Element-knotenpunkten approximiert.Durch Einsetzen der in die das Problem beschreibenden Gleichungen, die

im allgemeinen als Integralausdrucke gegeben sind, wird auf Elementebenedie numerische Auswertung vorgenommen. Sodann werden die elementbe-zogenen Gleichungen zu globalen Systembeziehungen zusammengefaßt. DieAuflosung dieser Systembeziehungen liefert die Approximation der gesuchtenFeldgroßen fur die gesamte zu analysierende Struktur.

Gleichgewichtsbedingungen

Energietheoreme Die grundlegende Gleichung fur die Spannungs- undVerformungsanalyse eines Kontinuums im Rahmen der FEM ist die Gle-ichgewichtsbedingung, beziehungsweise die auf ihr basierenden Energietheo-reme [47] [75].Der heute ubliche Ausgangspunkt, von dem aus die meisten kommerziellen

FEM-Programme entwickelt sind, ist das Prinzip der virtuellen Arbeit (virtuellenVerruckungen).

Virtuelle Arbeit Es besagt, daß in einer Gleichgewichtssituation fur jedesvirtuelle Verschiebungsfeld δui(xj), das mit den Randbedingungen vertraglichist, die innere Arbeit δiW gleich der Arbeit der außeren Krafte δaW ist.

δiW = δaW (2.56)

Die innere Arbeit berechnet sich

δiW =∫V

δεijσij dV =∫V

1

2

(∂δui∂xj

+∂δuj∂xi

)σij dV (2.57)

Fur die außere virtuelle Arbeit gilt

δaW =∫V

δuibi dV +∫S

δuipi dS (2.58)

KAPITEL 2. GRUNDLAGEN 23

Programmspezifische Formulierung Im Rahmen der FEM ist es gangi-ge Praxis, die Koordinaten der symmetrischen Spannungs- und Verzerrung-stensoren zu Vektoren zusammenzufassen [72] [73].

δεp =

δε11

δε22

δε33

δε12 + δε21

δε13 + δε31

δε23 + δε32

, δσp =

δσ11

δσ22

δσ33

δσ12

δσ13

δσ23

(2.59)

Damit lasst sich die innere Arbeit in folgender Form schreiben.

δiW =∫V

δεpσp dV (2.60)

Steifigkeitsmatrix

Die Steifigkeit ist definiert als

Dijkl =∂σij∂εkl

(2.61)

Bei linearelastischen Problemen ist Dijkl = Eijkl. Man kann die elementspezi-fischen Gleichungen fur die Knotenkrafte zu einem schwach gekoppelten Gle-ichungssystem zusammenfassen. Bei Kenntnis des inversen Stoffgesetzes istkeine explizite Invertierung der Steifigkeitsmatrix erforderlich.

δεp = D−1pk δσk (2.62)

2.3.3 Das Programm ABAQUS

Elementgeometrie

ABAQUS bietet eine Anzahl von Elementen, deren Geometrie achsensym-metrisch ist. Es sind Gleichung (3.1) und Gleichung (3.3) auf Seite 25 imple-mentiert. Die Elemente werden in der r, z − Ebene definiert und erstreckensich uber den Winkel ϕ = 2 π (→ Abbildung C auf Seite 128).Die Interpolationsfunktionen sind wahlweise linear oder quadratisch. Es wer-den die Feldgroßen σij , εij und ui ermittelt.

KAPITEL 2. GRUNDLAGEN 24

Losung der Gleichgewichtsbedingungen

Das Programm ABAQUS ist in der Lage, große Deformationen zu berucksichtigen.Das Ermitteln der gesuchten Feldgroßen geschieht schrittweise. Die zu erre-ichenden Randbedingungen werden in benutzerdefinierten Schritten (Steps)vorgegeben. (→ Abbildung 2.8) Die Steps werden vom Programm in Inkre-

• Step

– Increment

∗ Iteration

Abbildung 2.8: Losungsschritte

mente variabler Große zerlegt. In jedem Inkrement wird Gleichung (2.56)auf Seite 22 iterativ gelost. Mit dem Newtonverfahren wird eine Tangenten-steifigkeit gemaß Gleichung (2.61) auf Seite 23 ermittelt. Die geometrischeNichtlinearitat (→ Kapitel 2.2.2 auf Seite 13) wird durch die kleine Inkre-mentgroße berucksichtigt.

Kontaktelemente

Zur Modellierung von Kontaktproblemen werden zuachst Oberflachen zugewiesen.Oberflachen bestehen aus Randknoten und Linienelementen 9 mit Normalen.Das geschieht teilweise automatisch, indem ABAQUS Randelemente undnach außen zeigende Flachennormalen erkennt. Die richtige Oberflachengenerierungsollte allerdings im Postprozessor kontrolliert werden.Anschließend werden Kontaktpaare definiert. Sie bestehen aus zwei Ober-flachen, die in Kontakt kommen konnen. Wahrend der FEM-Rechnung wirdin jedem Inkrement gepruft, ob sich die Oberflachen durchdringen.Hierbei benutzt ABAQUS den Master-Slave Algorithmus. Das bedeutet, daßdie Oberflachen nicht gleichberechtigt sind. Master-Oberflachen bestehen ausRandknoten und undurchlassigen Elementen. Dagegen bestehen Slave-Ober-flachen aus Randknoten, die die Master-Elemente nicht durchdringen durfenund durchlassigen Elementen. Des weiteren unterscheidet ABAQUS zwis-chen vernachlassigbarem (small sliding) und endlichem (finite sliding) Gleitenbeim Kontakt (→ Kapitel 3.2.2 auf Seite 39).

9Im zweidimensionalen Fall

Kapitel 3

Beitrage zum Kontaktproblem

3.1 Literaturauswertung

3.1.1 Analytische Losungen des Kontaktproblems

Sind sowohl alle beteiligten Korper, als auch angreifende Krafte zur z−Achsesymmetrisch, verschwinden die Ableitungen nach ϕ.Die Verzerrungen vereinfachen sich zu

εr = ur,r εϕ = 1rur

εz = uz,z εrz = 12

(ur,z + uz,r)

}(3.1)

Die Gleichung (2.52) auf Seite 20 vereinfacht sich zu:

σr,r + σrz,z + 1r(σr − σϕ) = 0

σrϕ,r + σϕz,z + 1rσrϕ = 0

σzr,r + σz,z + 1rσzr = 0

(3.2)

Durch die Symmetrieuberlegung σrϕ = −σrϕ = 0 vereinfacht sich Gle-ichung (3.2) weiter zu

1r

[∂∂r

(r σr) − σϕ]

+ ∂∂zσrz = 0

1r

[∂∂r

(r σrz)]

+ ∂∂zσz = 0

(3.3)

Es treten lediglich die Normalspannungen σr , σϕ , σz und die Schubspan-nung σrz auf.

25

KAPITEL 3. BEITRAGE ZUM KONTAKTPROBLEM 26

Punktlast auf einen Halbraum

Sei F eine Kraft, die im Koordinatenursprung am Halbraum z > 0 angreift.Mit dem Ansatz nach Gleichung (2.47) auf Seite 19 fur Gleichung (2.43) aufSeite 18 erhalt man die Formeln von Boussinesq.

Φ = C1 R + C2 z ln(z +R)

R =√r2 + z2

}(3.4)

Abbildung 3.1: Punktlast auf einen Halbraum

σr = F2πr2

[(1− 2ν)(1− z

R)− 3 zr

4

R5

]σϕ = F

2πr2 (1− 2ν)[zR− 1 + zr2

R5

]σz = −3 F

2πr2z3r2

R5

σrz = −3 F2πr2

z2r3

R5

(3.5)

Dieses Ergebnis laßt eine Aussage uber das Fernfeld einer Kontaktstelle r � azu. Es lasst sich zeigen, daß der im Punkt (r, z) angreifende Spannungsvektor

KAPITEL 3. BEITRAGE ZUM KONTAKTPROBLEM 27

~SR = σz~ez+σrz~er stets zur Kraftangriffstelle zeigt (→ Abbildung 3.1.1). SeinBetrag ist

SR = 3F2πR2 cos2 ψ , cosψ =

z

R(3.6)

Die Verschiebungen betragen

ur = F2πr

1+νE

[zr2

R3 + (1− 2ν)( zR− 1)

]uz = F

2πR1+νE

[z2

R2 + 2 (1− ν)] (3.7)

Kreisformige Flachenlast auf einen Halbraum

Die Gleichung (3.7) laßt sich superponieren. Dabei wird zum Beispiel dieAbsenkung duz eines Punktes durch Aufintegrieren der Einflusse dF = p dA(→ Abbildung 3.1.1) ermittelt

Abbildung 3.2: Kreisformige Flachenlast auf einen Halbraum

uz =(1− ν2)

πE

∫A

∫p dA (3.8)

Diese Gleichung fuhrt in der Regel auf elliptische Integrale.

uz(r) =(1− ν2)

πE4a

π/2∫0

p(ψ)√

1− (r/a)2 sin2 ψ dψ (3.9)

Fur eine konstante Flachenlast p auf einer Kreisflache des Radius a um denUrsprung gilt auf der Symmetrieachse r = 0

uz(r = 0) = 2(1− ν2

) F

aπE(3.10)

KAPITEL 3. BEITRAGE ZUM KONTAKTPROBLEM 28

Die maximale Schubspannung ist mit Gleichung (2.21) auf Seite 15

τ(z) =F

4πa2

{1− 2ν + 2(1 + ν) cos θ − 3 cos3 θ

}(3.11)

θ =z√

a2 + z2(3.12)

Ihr Maximum besitzt sie in zτmax

zτmax = a

√2(1 + ν)

7− 2ν(3.13)

τmax =F

4πa2

{1− 2ν +

4

9(1 + ν)

√2(1 + ν)

}(3.14)

Hertzsche Theorie

Abbildung 3.3: Hertzscher Kontakt

Beruhren sich zwei Kugeln (→ Abbildung 3.3), so ergeben sich unter Einflußvon Druckkraften die Abplattungen z1 und z2, und eine gemeinsame Kon-taktflache mit dem Radius a, dessen Quadrat mit hinreichender Genauigkeitdurch die erste Naherung beschrieben wird.

a2 = 2 R1z1 = 2 R2z2 (3.15)

KAPITEL 3. BEITRAGE ZUM KONTAKTPROBLEM 29

Die Fernbewegung α der Kugeln addiert sich aus den nichtlinearen Abplat-tungen z1 + z2 und der linearen Deformation w1 + w2.

α = (z1 + z2) + (w1 + w2) (3.16)

Mit Gleichung (3.8)

w1 + w2 =

(1− ν2

1

πE1

+1− ν2

2

πE2

) ∫A

∫p(r) dA (3.17)

und der Annahme einer halbkugelformigen Flachenlast p(r)

p(r) =F

πa2

3

2

√1−

(r

a

)2

(3.18)

Erhalt man mit den auch fur negative und unendliche Radien gultigen Ab-kurzungen R und E

1

R=

1

R1

+1

R2

,1

E=

1− ν21

E1

+1− ν2

2

E2

(3.19)

die Gleichungen

a =3

√3

4

FR

E(3.20)

α =3

√(3

4

F

E

)2 1

R(3.21)

Es laßt sich zeigen, daß die Kontaktflache jedes kontraformen Kontakteszweier idealelastischer Korper eine Flache zweiten Grades ist [51].Ihre Projektionen sind Ellipsen.

3.1.2 Numerische Arbeiten

Hardwarevorraussetzungen

Die numerische Losung von Kontaktproblemen mit nichtlinearer Spaltgeome-trie ist erst seit relativ kurzer Zeit moglich. Der technische Fortschritt aufdem Gebiet der Hardware gestattet es heute, rechenintensive Probleme zubearbeiten, deren Losung noch vor 20 Jahren als utopisch galt.Entsprechend groß ist die Zahl der Veroffentlichungen, die sich mit nu-

merischen Problemen und deren Losung beschaftigt. Ein großer Teil dieserArbeiten ist in erster Linie fur Programmierer von finite Elemente Program-men interessant [78] [79] [80].

KAPITEL 3. BEITRAGE ZUM KONTAKTPROBLEM 30

Forschungsschwerpunkte

Ausfuhrliche Behandlung erfuhr das stationare kontraforme Kontaktproblemvor allem beim System Rad-Schiene [76] [84] und bei Walzlagern [87].In diesen Fallen ist keine spezielle Betrachtung der Schubbeanspruchung derbeteiligten Korper erfolgt.

Extremalprobleme

Das Kontaktproblem laßt sich als Minimalproblem formulieren [77] [83] [88].Das am haufigsten angewandte Verfahren zur Losung von Extremalprob-lemen ist das der Lagrange-Optimierung. Dieses Verfahren wird bei nicht-linearer Iterationsrechnung (→ Kapitel 2.3.3 auf Seite 24) angewandt. Dabeiwerden Zwischenergebnisse beurteilt und bei Ablehnung die Schrittweite ver-ringert. Die Implementation in Verbindung mit Strafmethoden (Penalty-Verfahren) sind Gegenstand von [81] [85] [86] [89].

3.1.3 Experimentelle Arbeiten

Klassifizierung des Kontaktproblems

Kontaktphanomene lassen sich nach verschiedenen Gesichtspunkten ein-teilen. Das hier betrachtete Kontaktproblem ist stationar und kontraform.Kontraform bedeutet, daß die Kontaktflache vor, wahrend und nach der De-formation klein im Vergleich zu den Korperabmessungen bleibt.Zur theoretischen Betrachtung ist eine Verallgemeinerung auf den Fall El-

lipsoid gegen Ellipsoid nutzlich. Dabei konnen die Grenzfalle Kugel, Zylinderund Ebene durch unendliche Radien miterfaßt werden. Diese Idealisierungist bei endlich langen Zylindern nicht zulassig.Im folgenden wird der Indenter Kugel und die Materialprobe Platte genan-

nt. Diese Verallgemeinerung gilt auch fur die durchgefuhrten Berechnungenungeachtet der tatsachlichen Plattengeometrie.

Versuchsanordung Beim Kontaktproblem wird uberwiegend davon aus-gegangen, daß die Festigkeit der Kugel wesentlich großer als die der Platteist. Das entspricht in etwa der Situation bei einer Harteprufung [91] [90]. Beieiner Versuchsanordnung zum Kontaktverhalten von Keramik in Anlehnungan Harteprufungen sind grundsatzliche Uberlegungen erforderlich.Harteprufungen werden in einem Bereich ausgefuhrt, in dem das Materialver-halten der Kugel als starr angesehen werden kann. Daher ist die Qualitat derKugel mit ihrem Hartegrad hinreichend festgelegt.Ihr plastisches Verhalten laßt sich nur sehr schwer modellieren, da die in der

KAPITEL 3. BEITRAGE ZUM KONTAKTPROBLEM 31

Regel aus Hartmetall bestehenden Kugeln durch ihre herstellungsbedingteTextur anisotrop sind.

Hinzu kommt, daß einschlagige Normen diese Prufkorper aus oben genan-nten Grunden ausschließlich in ihrer Harte festlegen. Im Sinne der Normgleiche Prufkorper konnen daher kontingente Fließgrenzen σp besitzen.

Wechselwirkung zwischen Kugel und Platte Untersuchungen, die Kugelde-formationen berucksichtigen, treffen meist die vereinfachende Annahme, diePlatte sei unendlich starr, wahrend Untersuchungen zum Kontaktverhaltender Platte die Kugel idealisieren.

Beide Annahmen treffen bei einer Kontaktbelastung von Keramik nicht zu.Ein in dieser Arbeit zu untersuchender Effekt tritt in der steiferen Platte aufund wird erst durch das plastische Verhalten der Kugel verursacht.Geschieht, wie in diesem Fall, eine Auswirkung auf die Platte, die auf Mate-

rialeigenschaften der Kugel zuruckzufuhren ist, kann das Verhalten der Plattenur in Verbindung mit dem Verhalten der Kugel beurteilt werden.

Versagensablaufe

Druckfestigkeit Eine theoretische Grenze der Druckfestigkeit von Keramikist durch die Schubfestigkeit gegeben. Bei einer einachsig durch den Druckp0 belasteten Probe gilt

τmax =1

2p0 (3.22)

Diese Schubspannung ist in einem Winkel von 45◦ zur Belastungsrichtung zufinden, was sofort aus Betrachten der Mohrschen Spannunkskreise (→ Abbil-dung 2.5 auf Seite 15) folgt. Bei Versagen durch Schubspannung entstehen sodie charakteristischen Bruchkegel. Sie wurden auch in [97] [99] beobachtet.Die experimentell ermittelte Druckfestigkeit von Keramik ist um den Faktor10 − 30 grosser als die Zugfestigkeit [9]. Die Schubfestigkeit von Keramik,die ungefahr ein Drittel ihrer Mikroharte betragt, wird derzeit mit demFunfzehnfachen der Zugfestigkeit angenommen.

p0,max ≈ 30 σmax (3.23)

τmax ≈ 15 σmax (3.24)

An sorgfaltig hergestellten Keramiken (SiSiC,Al2O3) wurden Druckfestigkeit-en von p0,max ≈ 60 σmax im Experiment ermittelt [99] [95].

KAPITEL 3. BEITRAGE ZUM KONTAKTPROBLEM 32

Versagensmechanismen Viele Theorien gehen davon aus, daß Keramikungeachtet des globalen Spannungszustandes letztendlich durch lokale Zugspan-nung versagt. Eine grundsatzliche Beschreibung der Bruchmechanismen istin [30] [35] gegeben.Die Griffith-Theorie [9] fuhrt das Versagen von Keramik auf drei Rissoffnungsartenzuruck. Diese Risse sind herstellungsbedingte Fehlstellen (→ Kapitel 2.1.3auf Seite 10) im Material. Dabei werden fur alle Rissoffnungsarten lokaleZugspannungsspitzen als treibende Kraft angenommen.

Rissausbreitung Das Versagen einer Platte aufgrund eines Kugelkontak-tes wird ubereinstimmend beschrieben. Zunachst entsteht ein kreisformigerRiss von geringer Tiefe in der Nahe des Kontaktrandes. Dieser Riss wird alsversagensinitiierend angesehen.Die anschließende Ausbreitung des Risses erfolgt unter 45◦, was auf Schub-

spannungseinfluß deutet. (→ Abbildung 3.4 auf Seite 32)

Abbildung 3.4: Rissausbreitung bei Hertzschem Kontakt

Am Institut fur keramische Komponenten im Maschinenbau (IKKM)durchgefuhrte Versuche zum Kontaktverhalten von Keramik

Zylindrische Kontaktkorper Eine Kontaktbeanspruchung stellt eine ge-ometrische Unstetigkeit dar, die zu Spannungssingularitaten fuhrt [13].

KAPITEL 3. BEITRAGE ZUM KONTAKTPROBLEM 33

Theoretische Aussagen gelten nur fur unendlich lange Zylinder. Reale Zylin-der besitzen an den Enden Kanten, die Singularitaten von hoherer Ordnunghervorrufen. Diese Singularitaten sind gleichen Ursprungs wie die primarenKontakteffekte und konnen Versuchsergebnisse so stark verfalschen, daß eineTrennung von den primaren Einfussen unmoglich wird.Die Kontaktfestigkeit von Si SiC bei zylindrischen und spharischen Pruf-

korpern war Gegenstand von [99]. Die Schwierigkeiten bei der versuchstech-nischen Realisierung eines Linienkontaktes zeigt (→ Tabelle 3.5).

• Durch Fehlanpassung von Stempel- und Probenquerschnitt entstehenan den Zylinderenden Singularitaten der Spannungsverteilung.

• Unterschiedliche laterale Ausdehnung von Probe und Stempel infolgeunterschiedlicher Querdehnungen kann zu lateralen Zugspannungen inder Probe fuhren, die vorzeitiges Versagen hervorrufen.

• Durch Effekte und Kriechen an den Kanten kommt es zu ungle-ichmaßigen Spannungsverteilungen in der Keramik.

• Exzentrische Belastung der Probe durch nicht parallele Kontaktflachenfuhren zu Biegespannugen.

Abbildung 3.5: Systembedingte Fehler bei Kontaktexperimenten [99]

Spharische Kontaktkorper Kugeln verbinden den Vorteil einfacher Ge-ometrie mit guter Reproduzierbakeit. Sie lassen sich sehr prazise herstellenund sind unkritischer gegenuber Lagefehlern.Die in [99] gemachten qualitativen Aussagen uber spharische Kontaktkorper

werden in [97] durch Versuche mit Platten aus Al2O3 quantifiziert. Es wur-den die Parameter Kugelradius und Oberflachenrauhigkeit variiert und un-tersucht.Dabei stellte sich der Rissverlauf als unabhangig vom Kugelradius heraus.Allerdings wurde ein vom Kugelradius abhangiges Materialverhalten der

Kugel beobachtet. Hier wurden Kugeln aus Walzlagerstahl verwendet, aufdie die eingangs gemachten Aussagen uber Prufkorper zutreffen.Bei ebenfalls durchgefuhrten Versuchen mit Kugeln aus ZrO2 konnten sehrhohe Normalkrafte versagensfrei in die Platten aus Al2O3 eingeleitet werden.Die Prufeinrichtung konnte maximal 50 kN ausuben. Damit konnte kein Ma-terialversagen herbeigefuhrt werden.Die festgestellte Unabhangigkeit von der Beschaffenheit der Plattenober-

KAPITEL 3. BEITRAGE ZUM KONTAKTPROBLEM 34

flache weist auf Volumeneffekte hin. Diese Volumeneffekte konnten jedochnicht eindeutig als Schubversagen identifiziert werden.

3.2 Berechnung mit ABAQUS

3.2.1 Gang der Arbeit

Ablauf einer FEM-Anwendung

Die Anwendung der finite Elemente Methode ist bei kommerziellen Soft-warepaketen in drei Abschnitte unterteilt. Der schematische Ablauf ist in(→ Abbildung 3.6) dargestellt. Die eigentliche Rechnung wird vom Gle-

Einzelrechnung Serie gleichartiger Berechnungen

Erstellen von Hand↓

Eingabe von Hand Makro *.prg↓ ↓

Preprozessor Preprozessor

↓ ↓generiertes generiertes Standard-Input-File Input-File Input↓ ↘ ↙

Roh-Input-FileKorrektur ↓von Hand Variation↓ ⇓

Input-File Input-Files↓ ⇓

FEM-Solver FEM-Solver↓ ⇓

Result-File Result-Files↓ ⇓

Postprozessor Postprozessor

Abbildung 3.6: Ablauf einer FEM-Anwendung

ichungsloser (Solver) ausgefuhrt. Zur benutzerfreundlichen Ein- und Ausgabe

KAPITEL 3. BEITRAGE ZUM KONTAKTPROBLEM 35

der Daten gibt es sogenannte Pre- bzw. Postprozessoren.Im Preprozessor geschieht die Vernetzung. Die Ausgabe des Preprozessors

ist ein Input-File, das samtliche Knoten- und Elementdefinitionen enthalt.Das von Hand nachbearbeitete Inputfile wird anschließend in den Solver

eingegeben. Nach erfolgreicher Rechnung konnen die Ergebnisse im Post-prozessor betrachtet werden.

Erstellen der Roh-Input-Files

Preprozessormacros Die geometrische Modellierung geschieht im Pre-prozessor aus I-DEAS VI unter Verwendung von zehn Preprozessormakros(→ Abbildung 3.7). Hier werden Kugelradius, Netzfeinheit und andere ge-

Kugelradius auf Platte auf Kugel

1mm P1320.prg K1320.prg2mm P2320.prg K2320.prg3mm P3320.prg K3320.prg4mm P4320.prg K4320.prg5mm P5320.prg K5320.prg

Abbildung 3.7: Preprozessormakros

ometrische Eckdaten eingegeben. Der Preprozessor errechnet daraus automa-tisch die Knotenkoordinaten. Dieser Vorgang heißt Vernetzung.Da es kann passieren kann, daß der Preprozessor durch Rundungsfehler neg-

ative Koordinaten fur Knoten auf der Symmetrieachse ermittelt, ist in derRegel eine Nachbearbeitung notig.

Durch die verwendeten Macros (→ Kapitel B.1 auf Seite 64) sind Net-ze mit großtmoglicher Ahnlichkeit generierbar. Daruberhinaus wird die Zahlder Rundungsfehler stark reduziert.

Standard-Input-File Von den durch den Preprozessor erzeugten Input-Files werden nur die geometrischen Daten und die Mengenfestlegungen be-notigt.Es gibt einige Optionen, die nicht im Preprozessor aktiviert werden konnen.

Dazu gehoren Einstellungen fur den Gleichungsloser, aber auch die Definitionder Kontaktelemente.Daher wurde ein Standard-Input-File geschrieben, das die entsprechenden

KAPITEL 3. BEITRAGE ZUM KONTAKTPROBLEM 36

Befehle enthalt. Hier werden auch die Randbedingungen festgelegt. Die furalle Rechnungen gleichen Solvereinstellungen, Randbedingungen und Mate-rialdefinitionen sind dem File Standard.inp (→ Kapitel B.2 auf Seite 85) zuentnehmen.

Gruppenbildung Die Moglichkeit, im Preprozessor Mengen und Teilmen-gen von Knoten und Elementen bilden zu konnen, ist bei der systematischenWeiterverarbeitung der Files sehr hilfreich. (→ Abbildung 3.8)

Kugel KUGELPlatte PLATTEKugeloberseite OBENKugelachse KUGAXKugeloberflache CONTACPlattenoberflache TARGETPlattenachse PLATAXPlattenunterseite AUFLAGRotationsachse ROTAX = KUGAX ∪ PLATAXStelle des ERST =Erstkontaktes ROTAX ∩ (CONTAC ∪ TARGET)

Abbildung 3.8: Knoten- und Elementmengen

Erstellen der Input-Files

Roh-Input-File Durch Erganzen eines Standard-Input-Files um Knotenko-ordinaten, Elementdefinitionen und Mengendefinitionen, die aus einem gener-ierten Input-File stammen, entsteht ein Roh-Input-File.Die insgesamt zehn Roh-Input-Files enthalten alle geometrischen Angaben,sowie die erforderlichen Randbedingungen und Materialdefinitionen. Es istjedoch noch keine Information uber Materialpaarung oder Reibung enthal-ten.

Variation Durch Einfugen von drei Wertzuweisungen (→ Abbildung 3.9)entstehen lauffahige Input-Files. Die benotigten Zeilen werden vom Shell-Script Variation (→ Kapitel B.3 auf Seite 94) in jeder Kombination eingefugt.Auf diese Weise entstehen aus einem Roh-Input-File mehrere Input-Files,

die sich jeweils nur in der Zuweisung von Kugelmaterial, Plattenmaterial undReibungskoeffizienten unterscheiden (→ Tabelle 3.10 auf Seite 37).

KAPITEL 3. BEITRAGE ZUM KONTAKTPROBLEM 37

• Materialzuweisung Kugel

• Materialzuweisung Platte

• Große des Coulombschen Reibungskoeffizienten

Abbildung 3.9: Durch Shellscript variierte Parameter

Namensgebung Die durchgefuhrten Rechnungen besitzen Namen, die Auf-schluß uber die variierten Parameter geben. Dabei muß beachtet werden,

Name Bedeutung Berechnete Werte

1. Stelle Geometrie K: Kugel auf KugelP: Kugel auf Platte

2. Stelle Kugelradius in mm 1, 2, 3, 4, 53. Stelle Plattenhohe in mm 3

4.& 5. Stelle Elemente pro mm 204: 1.4301

6. Stelle Kugelmaterial 6: 1.6580a: Al2O3

7. Stelle Plattenmaterial c: Si SiCs: HIP SN

z: ZrO2

8. Stelle Reibung o: ohne Reibung µ→ 0x: maximale Reibung µ = 1

Abbildung 3.10: Namensgebung der FEM-Berechnungen

daß nur acht Stellen zur Verfugung stehen.Nicht alle moglichen Materialkombinationen sind von praktischer Bedeutung.Zur Modellverifikation (→ Kapitel 3.2.3 auf Seite 40) sind grundsatzlich alleKombinationen, in denen Kugel und Platte aus gleichem Material bestehen,interessant. Des weiteren liefern auch physikalisch nicht existente Material-paarungen Beitrage zur Regressionsrechnung (→ Kapitel 3.3.3 auf Seite 49).

KAPITEL 3. BEITRAGE ZUM KONTAKTPROBLEM 38

3.2.2 Modellierung

Solvereinstellungen

In einem ersten Schritt wird durch Losen der Gleichung (2.43) auf Seite18 eine endliche Kontaktflache ermittelt. Das Erfullen von kinematischenRandbedingungen wird auch Randwertaufgabe erster Art genannt.Danach wird die Normalkraft in Schritten von 1kN erhoht. Dies stellt eine

Randwertaufgabe dritter Art dar, da sowohl statische als auch kinematischeRandbedingungen einzuhalten sind.Es werden geometrische Nichtlinearitaten berucksichtig (→ Kapitel 2.3.3 aufSeite 24). Die vorgenommenen Einstellungen sind dem File Standard.inp (→Kapitel B.2 auf Seite 85) zu entnehmen.

Materialverhalten

Das Materialverhalten wird gemaß (→Abbildung 2.6 auf Seite 17) fur Keramikenals idealelastisch und fur Metalle als elastisch-plastisch mit isotroper Verfes-tigung angenahert. Die (→ Tabelle 3.11) zeigt die Werte der eingesetztenMaterialkonstanten, die aus [2] [3] [4] [7] [9] stammen 1. Die Werte σF und

Material E ν σF σoin GPa in MPa

1.4301 196 0, 3 196 8721.6580 212 0, 3 1079 1477Al2O3 380 0, 25 – –Si SiC 360 0, 19 – –

HIP Si3N4 300 0, 26 – –ZrO2 210 0, 3 – –

Abbildung 3.11: Modellierung des Materialverhaltens

σo werden mit Gleichung (2.37) auf Seite 18 ermittelt.Da hier nicht die Zuverlassigkeit der Kugeln berechnet wird, werden keinegarantierten Mindestwerte benutzt, sondern Mittelwerte, um das plastischeFließen gut zu beschreiben.

1der E-Modul fur Al2O3 wurde korrigiert

KAPITEL 3. BEITRAGE ZUM KONTAKTPROBLEM 39

Definition der Kontaktelemente

Kontaktdefinition Im File Standard.inp wird die freie Oberflache der El-ementmenge TARGET als Master-Oberflache definiert. Die freie Oberflachevon CONTAC ist die Slave-Oberflache.Besondere Aufmerksamkeit verlangen die Erstkontaktpunkte Kugel-Unten< KU > und Platte-Oben < PO >. Bei automatischer Generierung derOberflachenelemente ist darauf zu achten, daß an den Punkten < KU > und< PO > keine Abrundung erfolgt.Des weiteren zeigt sich hier eine Inkonsistenz des Programmes ABAQUS.Bei achsensymmetrischen Elementen darf keine Radiuskoordinate kleiner

Null sein. Andererseits muß die Master-Oberflache uber die Slave-Oberflacheherausragen, um zu verhindern, daß Slave-Knoten am Ende einer Master-Oberflache “herunterfallen”.Bei der Konfiguration “small sliding” ist die Tangente an < PO > ausre-ichend, um ein Herunterfallen von < KU > zu verhindern. Bei der Kon-figuration “finite sliding” empfiehlt es sich, dem durch Zylinderkoordinatenfestgelegten Knoten < KU > einen positiven Radius von etwa 10−10 zugeben.

Kontaktinteraktion Die definierten Kontaktelemente tauschen Normal-und Tangentialkrafte aus.

Ft = µ Fn (3.25)

Es werden die Grenzfalle µ = 0 und µ = 1 betrachtet. Damit bei allen Rech-nungen der gleiche Kontaktalgorithmus benutzt wird, ist der reibungsfreieFall durch µ = 10−10 beschrieben.Da auf den Slave-Knoten < KU > die Krafte Ft und Fn wirken, darf

er nicht durch Randbedingungen oder gekoppelte Freiheitsgrade in seinerVerschiebung eingeschrankt werden. Dabei ist es unerheblich, ob diese Ein-schrankungen physikalisch sinnvoll sind.An dieser Stelle verursachen sie eine Division durch Null und gefahrden da-her die gesamte Losung. Deshalb wird in den Roh-Input-Files der Knoten ander Stelle < KU > aus der Knotenmenge KUGAX entfernt.

Weitere Kontaktoptionen ABAQUS bietet die Auswahl zwischen ver-nachlassigbaren (small sliding) und endlichen (finite sliding) Verschiebungen.Bei endlichen Verschiebungen werden die Linienelemente und Ihre Flachennormalender Master-Oberfache durch Splinefunktionen angenahert, um Unstetigkeit-en zu eliminieren. Bei vernachlassigbaren Verschiebungen gleiten die Slave-Knoten tangential zum Erstkontaktelement ab.

KAPITEL 3. BEITRAGE ZUM KONTAKTPROBLEM 40

In zahlreichen Proberechnungen wurden verschiedene Kontaktkonfiguratio-nen gepruft. Grundsatzlich werden mit ubereinstimmenden Netzen die bestenErgebnisse erzielt. Diese Forderung wird in den Preprozessormacros (→Kapi-tel B.1 auf Seite 64) berucksichtigt.Es ergibt sich eine Zeitersparnis vom Faktor zehn zugunsten der Konfigu-ration “small sliding” gegenuber “finite sliding”. Der Fehler gegenuber dergenaueren Konfiguration ist durch die sehr geringe Verschiebung der Master-Knoten in der Großenordnung der Rundungsfehler.Die aufwendigere Konfiguration “finite sliding” ist unempfindlicher gegen

unterschiedliche Elementgroßen. Da sie aber deutlich mehr Inkremente zurLosung benotigt, ist der kumulierte Rundungsfehler großer als der Genauigkeits-gewinn durch die Kontaktkonfiguration.Fur die hier gemachten Berechnungen haben sich nur zwei weitere Optionenals nutzlich erwiesen. Es sind die Option “No Separation” und die Option“Shrink Element”. Beide ersparen dem Kontaktalgorithmus einen Teil derPrufroutinen (→ Kapitel 2.3.3 auf Seite 24).

3.2.3 Verifikation

Konvergenzverhalten

Das Konvergenzverhalten nach [9] wurde mit einem Netz der vierfachenDichte uberpruft (→ Kapitel C auf Seite 131).Es ergab sich keine wesentliche Anderung der ermittelten Daten. Eine weit-ere Erhohung der Netzdichte scheiterte hardwarebedingt am Speicherbedarfdes Preprozessors.

Vergleich mit analytischen Losungen

Die ersten Pufkriterien sind Symmetrieuberlegungen (→ Kapitel 3.1.1 aufSeite 25). Jeder Gradient muß aus Symmetriegrunden in r = 0 parallel zurz − Achse verlaufen.Das bedeutet fur Linien gleicher Spannung, beziehungsweise Dehnung, daßsie dort senkrecht zur z − Achse sind. Die Deformationen an den Stellen< KU > und < PO > mussen senkrecht zur z − Achse verlaufen.Die Schubspannung σrz muß auf der Rotationsachse verschwinden. Am an-schaulichsten wird das durch die Uberlegung erklart, daß ein Volumenelementauf der Rotationsachse drei Hauptrichtungen besitzen muß, in denen keineSchubspannungen auftreten.Aus Symmetriegrunden ist eine Hauptrichtung parallel zur Rotationsachse.

KAPITEL 3. BEITRAGE ZUM KONTAKTPROBLEM 41

Fur die beiden anderen Hauptrichtungen folgt somit

σr(r = 0) = σϕ(r = 0) (3.26)

Diese Forderungen werden ohne Ausnahme erfullt.

Vergleich mit Experimenten

Bei der Berechnung wurde der Vergutungsstahl 2 1.6580 als Kugelmaterialangenommen (→ Kapitel 3.2.2 auf Seite 38). Dieser Stahl hat eine sehr hoheFließgrenze. Er verhalt sich bis zu einer Spannung von σF = 1 GPa ideale-lastisch und verfestigt sich linear bis zu einer Spannung von σo = 1, 47GPa.Trotzdem scheinen diese Werte zu niedrig, um die in den Versuchen ver-wendeten Kugeln zu beschreiben. Es gibt drei mogliche Grunde (→ Tabelle3.12) Bei den am Institut fur keramische Komponenten im Maschinenbau

1. Die Zug-Druck-symmetrische Modellierung des plastischen Materi-alverhaltens beschreibt nicht ausreichend genau das reale Materialver-halten der Kugeln.

2. Durch die Herstellung erhalten die Kugeln einen Faserverlauf, der dieFestigkeit auf Werte uber 2 GPa erhohen kann.

3. Die Ermittlung plastischer Kugeldeformationen im Versuch geschah zuungenau. Dadurch wird plastisches Fließen zu spat erkannt.

Abbildung 3.12: Mogliche Grunde fur abweichende Beobachtungen

durgefuhrten Versuchen [97] wurden Kugeln aus Walzlagerstahl benutzt.Die Modellierung dieser Kugeln ist problematisch, denn es handelt sich auf-

grund ihrer Herstellung um inhomogene, anisotrope Korper. Es gelten hierdie gleichen Aussagen, wie in (→ Kapitel 3.1.3 auf Seite 30).Eine noch genauere Modellierung des realen Materialverhaltens ist nicht sin-nvoll. Vielmehr sollte in zukunftigen Experimenten (→ Kapitel 3.3.2 aufSeite 47) der Aspekt der Reproduzierbarkeit starker berucksichtigt werden.Die Warmebehandlung der Kugeln ist eine Moglichkeit, homogene und

isotrope Korper zu schaffen.

230 CrNiMo 8

KAPITEL 3. BEITRAGE ZUM KONTAKTPROBLEM 42

3.3 Diskussion

3.3.1 Einfluß der Parameter

Einfluß des Kugelradius

Kugel auf Platte Das Programm ABAQUS berechnet dimensionslos Ver-schiebungen, Dehnungen und Spannungen. Das bedeutet, daß eine Rechnungfur eine Kugel des Radius R auf einer ebenen Platte zum gleichen Ergebnisfuhren muß, wie eine Berechnung fur eine Kugel des Radius R = κR.Bei gleichen Materialkonstanten E, ν, σF , σo verandern sich lediglich die auftre-tenden Krafte um den Faktor κ2.

F = κ2F (3.27)

Da sich die Zahl der beteiligten Elemente andert, ist auf diese Weise eineModellverifikation nach [9] moglich (→ Kapitel 3.2.3 auf Seite 40).Die Große der Randeffekte ist bei allen Berechnungen vernachlassigbar.

Von ihnen abgesehen, mussen samtliche Felder σ, ε, u bis auf den gewahltenMaßstab identisch sein.

σ = σ(r

κ,z

κ) (3.28)

Ein Vergleich von p23206ax bei 4kN mit p43206ax bei 16kN (→ Kapitel Cauf Seite 131) bestatigt diese Zusammenhange.

Effektives Volumen Fur das effektive Volumen eines Halbraumes folgtmit der trivialen Substitution u = r

κ, v = z

κ

Veff =

2π∫0

∞∫0

∞∫0

(σ(u, v)

σ0V

)mVuκ3 du dv (3.29)

Veff = κ3 Veff (3.30)

Analog ist die effektive Oberflache Seff = κ2 Seff . Die Weibulltheorie ergibtalso, daß fur unendlich kleine Kugeln die Versagenswahrscheinlichkeit gegenNull geht. Die Gleichung (3.30) zeigt deutlich, daß bei der Krafteinleitungin Ingenieurkeramik das Materialverhalten vom Großeneffekt dominiert wird.Bei einer angemessenen konstruktiven Ausfuhrung muß eine Konzentrationder Spannung angestrebt werden.

KAPITEL 3. BEITRAGE ZUM KONTAKTPROBLEM 43

Kugel auf Kugel Bei der Geometrie Kugel auf Kugel wird die Zugspan-nung an der Plattenoberflache durch einen Stutzeffekt vollstandig kompen-siert (→ Kapitel C auf Seite 135).Es wird vermutet, daß sich die Oberflache der Platte einem Gewolbe ahnlichverhalt. Da die Plattenoberflache die Richtung der Hauptspannungen vorgibt,kann sich nur ihr Betrag der jeweiligen Belastung anpassen. Ein negativerRadius der Platte hatte demnach eine Erhohung der Zugspannung in derOberflache zur Folge.In diesem Fall fuhrt die Dimensionsanalyse nicht auf eine Unabhangigkeitvom Kugelradius. Der Einfluß ζR des Parameters Kugelgroße ist

ζR = f(RKugel

RPlatte

)(3.31)

Der Stutzeffekt tritt bei jedem Radius RPlatte 6=∞ auf. Die praktische Rele-vanz dieser Geometrie ist in Frage gestellt, da keramische Bauteile mit einerentsprechenden Form nicht ganzlich ohne Eigenspannungen hergestellt wer-den konnen.Außerdem ist das vorhandene Gleichgewicht instabil. Eine beliebig kleineStorung kann zum seitlichen Ausweichen der Kontaktpartner fuhren.

Einfluß der Reibung

Entstehen von Reibung Die Entstehung tangentialer Krafte hat zweiGrunde. Durch unterschiedliche Radialdehnungen der Kontaktpartner unddurch Deformation der Platte. Insgesamt ist der Einfluß der Reibung gering.Die Rechnungen mit µ = 1 ergeben Maximalwerte fur Schub- und Zugspan-nungen, die bis zu zehn Prozent hoher als im reibungsfreien Fall sind. DieAnnahme eines Reibungskoeffizienten µ = 1 stellt eine sichere Abschatzungder Materialbelastung dar. Als Beispiel sind p4320cco und p43206co im An-hang (→ Kapitel C auf Seite 140) zu sehen. Inwiefern die Beschaffenheit derOberflache beim Kontaktproblem eine Rolle spielt, kann hier nicht geklartwerden, da diese nicht modelliert werden kann.

Reibung durch unterschiedliche Radialdehnung Es kann eine Rel-ativbewegung aufgrund unterschiedlicher radialer Dehnungen εr entstehen.Der Reibungseinfluß kann durch den Schlupf am Kontaktrand abgeschatztwerden.Da diese Dehnungen Querdehnungen sind, ist der Reibungseinfluß ζµ von

der Differenz der Quotienten der Materialwerte E und ν abhangig.

ζµ = f

{µ;F ; a;

(νKugelEKugel

− νPlatteEPlatte

)}(3.32)

KAPITEL 3. BEITRAGE ZUM KONTAKTPROBLEM 44

Reibung durch Deformation der Platte Der andere Grund fur dieEntstehung von Reibung ist die Neigung der Kontaktflache durch die De-formation der Platte. Hier konnen Krafte tangential zur Kontaktflache amKraftegleichgewicht beteiligt sein (→ Abbildung 3.13).

Abbildung 3.13: Kraftegleichgewicht der Kugel bei Reibung

Fz =∫A

p cos β + µp sin β dA (3.33)

Fz = 2 π

a∫0

p(r)(1 + µ tan β)r dr (3.34)

Der Einfluß durch die Formanderung ist ebenfalls von den Materialeigen-schaften abhangig, da der Winkel β von der Absenkung der Plattenmitte

KAPITEL 3. BEITRAGE ZUM KONTAKTPROBLEM 45

abhangt. Der zweite Reibungseinfluß ζµ,Def ist mit einem mittleren Nei-gungswinkel abschatzbar.

Fz(µ) = (1 + µ tan β) Fz(µ = 0) (3.35)

tan β ≈ uz(0, 0)

a≈ 10−2 (3.36)

=⇒ ζµ,Def � ζµ (3.37)

Einfluß der Materialpaarung

Idealelastische Materialien Bei idealelastischen Materialien ist die großteSchubspannung stets auf der Rotationsachse zu finden.

rτmax = 0 (3.38)

zτmax ≈ 0, 47 a (3.39)

Dieses Ergebnis folgt auch aus Gleichung (3.11)

Plastische Materialien Das Verhalten bei einer Krafteinleitung durchplastische Kugeln ist grundsatzlich vom Kontakt mit idealelastischen Kugelnverschieden.Bei plastischem Materialverhalten tritt eine Entlastung der Platte infolgeFließens der Kugel ein. Hier ist die maximale Schubspannung etwa unterhalbdes Kontaktrandes.

rτmax ≈ a (3.40)

Sie betragt etwa 20% der durch gleiche Kraft mit einer idealelastischen Kugelgleicher Große hervorgerufenen Schubspannung. Die Deformation der Plat-te ist deutlich geringer. Dadurch betragt die maximale Zugspannung an derPlattenoberflache etwa ein Drittel der Zugspannung bei einer Kontaktbelas-tung durch eine idealelastischen Kugel.Zur genauen Ermittlung der Große und Lage des Maximums sollte eine Re-gressionsrechnung durchgefuhrt werden (→ Kapitel 3.3.3 auf Seite 49) DerEinfluß des plastischen Materialverhaltens ζpl ist von den Großen σF und σoabhangig.

ζpl = f (σF ;σo) (3.41)

Effektives Volumen Durch die Vergroßerung des Kontaktradius a istdas effektive Volumen der Platte bei einer Krafteinleitung durch plastische

KAPITEL 3. BEITRAGE ZUM KONTAKTPROBLEM 46

Kugeln großer. Durch Verwenden von “idealelastischen” Kugeln zur Kraftein-leitung geschieht eine Spannungskonzentration, die eine Reduzierung des ef-fektiven Volumens bewirkt (→ Kapitel 3.3.1 auf Seite 42).Dieser Sachverhalt erklart die in [97] gemachten Beobachtungen, daß mit

Kugeln aus ZrO2 Normalkrafte von 50 kN zerstorungsfrei in Platten ausAl2O3 eingeleitet werden konnten (→ Kapitel 3.1.3 auf Seite 33).

3.3.2 Versuchsbedingungen

Versagensmodell

Weakest-Link-Theory Das Problem des Schubversagens ist ahnlich demProblem Zugversagen nur durch Kombination von Mechanik und Statistiklosbar. Die Auswertung der Ergebnisse mit der Weibulltheorie verlangt einePrufung der stochstischen Unabhangigkeit der Versagensereignisse.

Da in Versuchen [97] durch Zug initiiertes Schubversagen beobachtet wird,existiert offenbar neben dem bekannten stochastisch unabhangigen Zugver-sagen mindestens eine weitere Versagensart.

Bedingte Wahrscheinlichkeit Dieses mittelbare Schubversagen ist mitder bedingten Wahrscheinlichkeit P (τ |σini) beschreibbar. Die Gleichung (2.6)auf Seite 11 nimmt dann eine andere Form an.

P (∆V versagt) = P (∆V versagt durch Zug)+ P (∆V versagt durch Schub, nach Eintreten

einer initiierenden Zugspannung)+ P (∆V versagt spontan durch Schub)

P (∆V versagt) = P (σ) + P (τ |σini) + P (τ) (3.42)

Es ist nicht bekannt, inwiefern der schubversagensinitiierende Zugspannungszu-stand mit dem versagensrelevanten vergleichbar ist. Eine Zugspannung, diefur ein globales Zugversagen nicht ausreicht, konnte durchaus ein Schubver-sagen initiieren.

σini ≤ σ (3.43)

Da die Versagensinitiierung an der Oberflache stattfindet, ist ein Oberflacheneinflußbeteiligt.

Bruchstatistische Auswertung Das Schubversagen selbst kann auch de-terministisch bestimmt sein. Das mittelbare Schubversagen P (τ |σini) kann

KAPITEL 3. BEITRAGE ZUM KONTAKTPROBLEM 47

unter der sinnvollen Annahme P (τ) = 0 an Materialproben untersucht wer-den, deren Versagenswahrscheinlichkeit P (σ) � P (τ |σini) in Vorversuchenbestimmt wird. Die bruchstatistische Auswertung geschieht bimodal.

Vergleichbare Spannungszustande

Linearisierung Das Kontaktproblem ist nichtlinear. Das bedeutet, daß dieEinleitung der doppelten Kraft nicht die doppelte Materialbeanspruchung be-wirkt. Trotzdem lassen sich bestimmte Zusammenhange linearisieren.Nach Gleichung (3.28) auf Seite 42 sind Spannung und Dehnung unter derBedingung F

R2 = const. bis auf den Maßstab κ gleich. Dieser Zusammenhanggilt unabhangig von einer Stoffgleichung, also insbesondere auch bei plastis-chem Materialverhalten. Der Großeneinfluß laßt sich also mit der BedingungFR2 = const. untersuchen (→ Tabelle 3.14). Es muß dabei nur die Gleichheit

Kugelradius Normalkraft Effektives EffektiveVolumen Oberflache

1mm F0 V0 S0

2mm 4 F0 8 V0 4 S0

3mm 9 F0 27 V0 9 S0

4mm 16 F0 48 V0 16 S0

5mm 25 F0 125 V0 25 S0

Abbildung 3.14: Versuchsreihe mit ahnlichen Spannungszustanden

der Materialkonstanten der unterschiedlich großen Kugeln gewahrleistet sein.

Auswahl der Materialien Die Kugeln sollten homogen und isotrop sein.Sie sollten aus Materialien bestehen, die verschiedenen Anforderungen genu-gen. (→ Tabelle 3.15) Die Werkstoffkennwerte mussen genau bekannt sein

• Definiertheit

• Verfugbarkeit

• Anwendbarkeit

Abbildung 3.15: Anforderungen an Kugelmaterialien

KAPITEL 3. BEITRAGE ZUM KONTAKTPROBLEM 48

und durfen nicht ubermaßig streuen. Kugeln aus Keramik sind hier unkri-tisch, da ihr Materialverhalten idealelastisch bis zum Bruch ist. Daher ist ihrVerhalten ausreichend genau durch den hinreichend bekannten E-Modul unddie Querkontraktionszahl beschrieben.Verfugbarkeit ist am besten durch die Verwendung weit verbreiteter Mate-rialien gewahrleistet. In der Regel sind fur diese Materialien auch gesicherteWerkstoffkennwerte in ausreichendem Maße vorhanden. Bei der Auswahlsollte auch die langfristig angestrebte Anwendung als konfektioniertes Kon-struktionselement berucksichtigt werden. Außerdem sollte insgesamt ein moglichstgroßer Bereich an Werkstoffkennwerten abgedeckt werden.

Kugeln aus plastischem Material Bei Verwendung von Werkstoffen mitplastischem Materialverhalten sollten mindestens ein sehr sproder und einausgesprochen duktiler Werkstoff verwendet werden.Der austenitische Stahl 3 1.4301 und der Vergutungsstahl 4 1.6580 deck-

en einen großen Wertebereich fur die Fließgrenze ab. Die Forderung nachVerfugbarkeit erfullen sie gut. Homogenitat und Isotropie konnen durch eineWarmebehandlung nach der Formgebung verbessert werden.

Verminderung von Zugspannungen an der Oberflache

Uberlagerung mit Biegespannung Durch Uberlagerung der Kontaktbe-lastung mit einer Biegespannung kann man eine Entlastung der Plattenober-flache erzielen. Die Rechnung P3w20ax (→ Kapitel C auf Seite 146) simulierteine Keramikplatte mit einer Zwischenschicht aus 1.4301 an der Unterseite.Die maximale Zugspannung ist hier an der Unterseite der Keramik.

Ausnutzen des Stutzeffektes Die FEM-Berechnungen haben ergeben,daß bei der Geometrie Kugel auf Kugel die Zugspannung an der Plattenober-flache durch einen Stutzeffekt vollstandig kompensiert wird. Der Stutzeffekttritt bei jedem Radius RPlatte 6= ∞ auf (→ Kapitel C auf Seite 135). Dasvorhandene Gleichgewicht ist instabil. Bei der versuchstechnischen Realisierungsind daher besondere Maßnahmen zu treffen, um ein seitliches Ausweichender Kontaktpartner zu verhindern. Des weiteren stellt sich die Frage, wiedas Auflager der Platte gestaltet sein soll. Die Realisierung des Auflagersbeinhaltet das zu untersuchende Problem der Krafteinleitung. Das erschw-ert die Trennung der untersuchten von der versuchstechnisch notwendigenKrafteinleitung.

3X 5 CrNiMo 18 8430 CrNiMo 8

KAPITEL 3. BEITRAGE ZUM KONTAKTPROBLEM 49

Weitere Geometrien Als weitere Geometrie kommt ein Kreisring mit ra-dialer Krafteinleitung in Frage. Bei dieser Geometrie tritt der Stutzeffektund eine Uberlagerung mit Biegespannungen auf. Es ist zu prufen, ob sichin diesem Zusammenhang in der Walzlagertechnik gewonnene Erkenntnisseauf das keramikspezifische Kontaktproblem ubertragen lassen.

3.3.3 Regression

Dimensionsloser linearer Ansatz

Zur genauen Ermittlung der Einflusse kann eine Regressionsrechnung durchgefuhrtwerden. Dazu werden Ansatze benotigt, die in gewissem Rahmen physikalis-che Zusammenhange widerspiegeln. Diese Ansatze sollten die HertzschenFormeln (3.19) und (3.3) als Grenzfalle enthalten.Eine dimensionslose Große x laßt sich als Funktion der Hertzschen Aussagex0 und weiterer Einflusse darstellen.

x− x0 = f(ζ1; ζ2; . . .) (3.44)

Unter der Annahme, die Funktion f enthalt die Hertzschen Gleichungen alsGrenzfall

f(0; 0; . . .) = 0 (3.45)

erhalt man durch Taylorentwicklung

f = k1ζ1 + k2ζ2 + . . . (3.46)

Ansatz fur die Einflusse

Die Große a3/R3 sei außer von den von Hertz formulierten Einflussen vonden Einflussen ζµ und ζpl abhangig. Mit den Ansatzen fur ζµ und ζpl

ζµ = kµµ

(νKugelEKugel

− νPlatteEPlatte

)(3.47)

ζpl =kσFσF

+kσoσo

(3.48)

erhalt man (a

R

)3

−(

3 F

4 ER2

)= kµ,elµ

(νKugelEKugel

− νPlatteEPlatte

)(3.49)

(a

R

)3

−(

3 F

4 ER2

)= kµ,plµ+

(kσFσF

+kσoσo

)(3.50)

KAPITEL 3. BEITRAGE ZUM KONTAKTPROBLEM 50

Diese Ansatze gehen fur σF =∞, σo =∞, µ = 0 in die Hertzsche Gleichung(3.19) auf Seite 29 uber. Analog gilt fur α3/R3

R

)3

−(

3 F

4 ER2

)2

= cµ,elµ

(νKugelEKugel

− νPlatteEPlatte

)(3.51)(

α

R

)3

−(

3 F

4 ER2

)= cµ,plµ+

(cσFσF

+cσoσo

)(3.52)

Losen des uberbestimmten Gleichungssystems

Durch Einsetzen von Versuchsergebnissen (oder FEM-Ergebnissen) in obigeGleichungen entsteht ein uberbestimmtes lineares Gleichungssystem fur dieUnbekannten kj oder cj, das durch Multiplikation mit AT zu einem eindeutigbestimmten wird.

Aij kj = xi (3.53)

AkiAijkj = Akixi (3.54)

Die Gleichung (3.3.3) ist aquivalent zu den Normalengleichungen und ergibtdie Least-Squares Losung. Die so ermittelten Losungen lauten

ael = R 3

√√√√ 3 F

4ER2+ kµ,el µ

(νKugelEKugel

− νPlatteEPlatte

)(3.55)

apl = R 3

√√√√ 3 F

4ER2+ kµ,pl µ+

(kσFσF

+kσoσo

)(3.56)

αel = R 3

√√√√( 3 F

4ER2

)2

+ cµ,el µ

(νKugelEKugel

− νPlatteEPlatte

)(3.57)

αpl = R3

√√√√( 3 F

4ER2

)2

+ cµ,pl µ+(cσFσF

+cσoσo

)(3.58)

Kapitel 4

Resumee

4.1 Zusammenfassung

Am Institut fur keramische Komponenten im Maschinenbau wurden im Rah-men von Studien- und Diplomarbeiten zahlreiche Versuche zum Bruchver-halten von Keramik unter normal eingeleiteter Druckkraft durchgefuhrt [99][97]. Als Teil einer Dissertation am IKKM, deren Ziel die versuchstechnischeTrennung von Schub- und Zugversagen ist, behandelt diese Diplomarbeit dasKontaktproblem theoretisch und schatzt mit numerischen Simulationen denEinfluss verschiedener Parameter ab. In der Modellierung sind die EinflusseOberflachenbeschaffenheit und nichtelastisches Verhalten von Keramik ver-nachlassigt.Der Reibungseinfluß erweist sich dabei als gering. Die Rechnungen mit µ =1 ergeben Maximalwerte fur Schub- und Zugspannungen, die bis zu zehnProzent hoher als im reibungsfreien Fall sind. Die Annahme eines Reibungsko-effizienten µ = 1 stellt eine sichere Abschatzung der Materialbelastung dar.Das Verhalten bei einer Krafteinleitung durch plastische Kugeln ist grund-

satzlich vom Kontakt mit idealelastischen Kugeln verschieden. Bei ideale-lastischen Materialien ist die großte Schubspannung stets auf der Rotation-sachse zu finden. Bei plastischem Materialverhalten tritt eine Entlastunginfolge Fließens ein. Hier ist die maximale Schubspannung etwa unterhalbdes Kontaktrandes. Sie betragt etwa 20% der durch gleiche Kraft mit eineridealelastischen Kugel gleicher Große hervorgerufenen Schubspannung.Ein in dieser Arbeit untersuchter Effekt tritt in der steiferen Platte auf undwird erst durch das plastische Verhalten der Kugel verursacht.Die Deformation bei einer Lasteinleitung durch eine Kugel aus plastischem

51

KAPITEL 4. RESUMEE 52

Material ist deutlich geringer. Dadurch betragt die maximale Zugspannungan der Plattenoberflache etwa ein Drittel der Zugspannung bei einer Kon-taktbelastung durch eine idealelastische Kugel.Durch die Vergroßerung des Kontaktradius a ist das effektive Volumen derPlatte bei einer Krafteinleitung durch eine plastische Kugel großer. Da bei derKrafteinleitung in Ingenieurkeramik das Materialverhalten vom Großeneffektdominiert wird, ist bei einer angemessenen konstruktiven Ausfuhrung eineKonzentration der Spannung anzustreben.Zur genaueren Ermittlung der Große und Lage der Spannungsmaxima undReibungseinflusse kann eine Regressionsrechnung durchgefuhrt werden. Dazuwerden Ansatze gegeben, die in gewissem Rahmen physikalische Zusam-menhange widerspiegeln und die Hertschen Gleichungen als Grenzfalle en-thalten.

4.2 Ausblick

Bei der konstruktiven Ausfuhrung der Krafteinleitung in keramische Bauteilesind theoretische Zusammenhange gefragt, die eine Beurteilung erleichtern.Damit konnten langfristig konfektionierte Konstruktionselemente zur Ein-bindung von Ingenieurkeramik in seine funktionale Umgebung geschaffenwerden.Die dazu notwendige Regression der Parametereinflusse sollte in einem Math-ematikprogramm (MAPLE, MATHEMATICA) geschehen. Zweckmaßiger-weise geschieht die Auswertung der insgesamt 500 Rechnungen mit Hilfe vonMakros. Ihre Erstellung und Anwendung ist mit einen Arbeitsaufwand derGroßenordnung einer weiteren Diplomarbeit verbunden.Da das Verhalten plastischer Kugeln prinzipiell eine andere Materialbelas-tung hervorruft, ist dieser Sachverhalt bei der nachsten Versuchsreihe zuberucksichtigen. Zur Abdeckung eines großen Parameterbereiches sollte einausgesprochen duktiler und ein sehr sproder Werkstoff benutzt werden. ZumBeispiel der austenitische Stahl 1 1.4301 und der Vergutungsstahl 2 1.6580.Es ist eine Auswertung der Berechnungen mit dem am IKKM entwickeltenPostprozessorprogramm RELACS geplant. Das Problem des Schubversagensist ahnlich dem Problem Zugversagen nur durch Kombination von Mechanikund Statistik losbar. Die Auswertung von Schubspannungszustanden mit derWeibulltheorie verlangt eine Prufung der stochstischen Unabhangigkeit derVersagensereignisse. Da in Versuchen [97] initiales Zugversagen beobachtetwird, nimmt Gleichung (2.6) auf Seite 11 eine andere Form an.

1X 5 CrNiMo 18 8230 CrNiMo 8

KAPITEL 4. RESUMEE 53

Anhang A

Literaturverzeichnis

54

Literaturverzeichnis

A.1 Allgemein

[1] Kreyszig, Erwin : Advanced Engineering Mathematics. 7.Aufl..New York : John Wiley & Sons Inc., 1993 – ISBN 0-471-59989-1

[2] Wegst, C.W. : Stahlschlussel. 16.Aufl.. Marbach : StahlschlusselWegst GmbH, 1992 – ISBN 3-922-599-09-5

[3] Beitz, Wolfgang; Kuttner, Karl-Heinz : Dubbel, Taschenbuch furden Maschinenbau. 17.Aufl.. Berlin, Heidelberg : Springer-Verlag,1990.

[4] nn : Hutte. 29.Aufl.. Berlin, Heidelberg : Springer-Verlag, 1989.

[5] Kuczera, Josef : Heinrich Hertz. 3.Aufl.. Leipzig : Teubner-Verlag,1987 (Biographien hervorragender Naturwissenschaftler, Techniker undMediziner Bd.20). – ISBN 3-322-00387-6

[6] Wurtemberger, Gerold (Bearb.) : Fachkunde Metall. 47.Aufl..Wuppertal : Europa-Verlag, 1985. – ISBN 3-8085-1027-7

[7] Wurtemberger, Gerold (Bearb.) : Tabellenbuch Metall. 35.Aufl..Wuppertal : Europa-Verlag, 1985. – ISBN 3-8085-1085-4

54

LITERATURVERZEICHNIS 55

A.2 Keramik

Einteilung und Herstellung

[8] Maier, Horst R. : Werkstoffkunde II, Keramik. 1.Aufl.. RWTHAachen : IKKM, 1990 (Leitfaden Technische Keramik). – (Vorlesung-sumdruck).

[9] Maier, Horst R. : Konstruktionstechnik, Keramik. 2.uberarb.Aufl..RWTH Aachen : IKKM, 1992 (Leitfaden Technische Keramik). – (Vor-lesungsumdruck). – ISBN 3-925-714-42-1

[10] Greil, P. : Einfuhrung in die Technische Keramik. TU Hamburg-Harburg : Verlag, 1990 . – (Vorlesungsumdruck).

[11] Salmang, H.; Scholze, H. : Keramik. Bd.I+II. Heidelberg : Springer-Verlag, 1982

[12] Geiger, Benno : Keramisches ABC. Zurich : Danowski Verlag, 1997.–(Reprint der Ausg. 1947). – ISBN 3-906583-39-2

[13] Richerson, David W. : Modern Ceramic Engineering. 2.Aufl.. NewYork : Marcel Dekker Inc., 1992 – (Hb 12Df 7957). – ISBN 0-8247-8634-3

[14] Kingery, W.D.; Bowen, H.K.; Uhlmann, D.R. : Introduction toCeramics. 2.Aufl.. New York : John Wiley & Sons Inc., 1976

[15] Landferman, H.; Hausner, H. : Keramische Werkstoffe- Ubersicht-Herstellung-Anwendung. Essen, 1988 (TechnischeKeramik, ein neuer Werkstoff mit hoher Innovation fur High-Tech-Bereiche).

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[17] Reh, H.K. : Keramische Werkstoffe - Einteilung, Anwendungen,Markte. , 1990 – (interne Mitteilung).

[18] Reh, H.K. : Wie realistisch sind die Marktprognosen fur tech-nische Keramik , 1989 (Keramische Zeitschrift 41 Nr. 3, S. 176-182).

[19] Japan Fine Ceramics Association (Hrsg.) : Fine Ceramics forFuture Creation. Tokyo, 1990 (Annual Report for Overseas Readers).

LITERATURVERZEICHNIS 56

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[22] Maier, Horst R. : Strukturkeramik: Basis fur die Produkt- undTechnologieinnovation. : Werkstofftag 1993 (VDI -Bericht Nr. 1021).– ISBN 3-18-091021

[23] Maier, Horst R.(Federfuhrung); Granitzki, Karl-E.; Hoppert, Hans;Oser, Erwin; div. : Technische Keramik als Innovationsgrund-lage fur die Produkt- und Technologie- Entwicklung in NRW.Dusseldorf : MWMT NRW, Dezember 1991 – (Studie). – ISBN 3-922571 144 99

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[25] Maier, Horst R. : Design Management Keramik - Keramikverzeiht noch nichts. Produktion, 1988 .

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Festigkeit von Keramik

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[31] Barlow, R. E.; Proschan, F. : Statistische Theorie der Zu-verlassigkeit. Berlin : Akademie-Verlag, 1981

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[36] DeSalvo, G.J. : Theory and Structural Design Applications ofWeibull Statistics. , 1970 – (WANL-TME-2688).

[37] Maier, Horst R. : Statistische und bruchmechanische Festigkeit-saspekte von keramischen Werkstoffen.

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[39] Williams, M.L. : On the stress distribution at the base of astationary crack. 1957 (J. Appl. Mech. 24(3)).

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LITERATURVERZEICHNIS 58

A.3 Mechanik

Tensorrechnung

[42] Betten, Josef : Tensorrechnung fur Ingenieure. Stuttgart :Teubner-Verlag, 1987 (Leitfaden der angewandten Mathematik undMechanik, Bd.64). – ISBN 3-519-02366-0

[43] Betten, Josef : Elementare Tensorrechnung fur Ingenieure.Braunschweig : Vieweg-Verlag, 1985 – (Nachdr. v. 1977).

[44] Klingbeil, E. : Tensorrechnung fur Ingenieure. Mannheim : B.I.-Wissenschaftsverlag, 1984

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Kontinuumsmechanik

[46] Betten, Josef : Kontinuumsmechanik. Berlin : Springer-Verlag,1993 – ISBN 3-540-56646-5

[47] Dieker, Stefan; Reimerdes, Hans-Gunther : Elementare Fes-tigkeitslehre im Leichtbau. 1.Aufl.. Bremen : Donat-Verlag, 1992– ISBN 3-924444-58-7

[48] Hahn, H.G. : Elastizitatstheorie. Stuttgart : Teubner-Verlag, 1985

[49] Becker, Ernst; Burger, W. : Kontinuumsmechanik. Stuttgart :Teubner Studienbucher, 1975 (Leitfaden der angewandten Mathematikund Mechanik, Bd.20).

[50] Szabo, Istvan : Hohere Technische Mechanik. 8.Aufl.. Berlin :Springer-Verlag, 1975 – (Fd 1495 C +8). – ISBN 3-540-03679-2

[51] Timoshenko, S.P.; Goodier, J.N. : Theory of Elasticity. 3.Aufl..New York : McGraw-Hill Book Company, 1970 (Engineering SocietiesMonographs). – (Fd 1378 +3).

[52] Leipholz, H. : Einfuhrung in die Elastizitatstheorie. Karlsruhe:G.Braun, 1968

LITERATURVERZEICHNIS 59

[53] Foppl, L. : Zur konformen Abbildung ebener elastischer Span-nungszustande. : ZAMM, 1960 (Forschung auf dem Gebiet des Inge-nieurwesens 26).

[54] Sokolnikoff, I.S. : Mathematical Theory of Elasticity. 2.Aufl..New York : Mc Graw-Hill, 1956

[55] Hertz, Heinrich : Die Prinzipien der Mechanik in neuem Zusam-menhang dargestellt. : Sandig Reprint, 1984 (Gesammelte Werke :Bd. III) – (Nachdruck der Ausg. Leipzig, 1914). – ISBN 3-253-03114-4

Plastisches Materialverhalten

[56] Lubliner, J. : Plasticity Theory. London : Macmillan PublishingCompany, 1990

[57] Chakrabarty, J. : Theory of Plasticity. New York : McGraw-HillBook Company, 1987

[58] Betten, Josef : Elastizitats- und Plastizitatslehre. 2.Aufl.. Braun-schweig : Vieweg-Verlag, 1986

[59] EN 10 002 Teil 1 : Metallische Werkstoffe; Zugversuch.

[60] Troost, Alex; Betten, Josef; El-Magd, E. Abou : Ein-schnurvorgang eines Zugstabes unter konstanter Last beiRaumtemperatur. RWTH Aachen, 1973 (Materialprufung 15).

[61] Freudenthal, A.M.; Geiringer, H. : The mathematical theoriesof inelastic continuum. 2.Aufl.. Berlin : Springer-Verlag, 1958 (Hand-buch der Physik, Bd.6).

[62] Drucker, D.C. : A more fundamental approach to plastic stress-strain relations. Chicago: American Society of Mechanical Engineers,1951 (Proc. 1st. U.S. Nat. Congress on Applied Mech.)

[63] Prager, W. : Recent developments in the mathematical theoryof plasticity. 1949 (J. Math. Phys.).

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LITERATURVERZEICHNIS 60

A.4 Numerische Methoden

[65] Klein, Bernd : FEM. Grundlagen und Anwendungen der Finite-Elemente-Methode. 2.Aufl.. Frankfurt : Vieweg-Verlag, 1996. – ISBN3-528-15125-0

[66] Frohlich, Peter : FEM-Leitfaden. Einfuhrung und praktisch-er Einsatz von Finite-Elemente-Programmen. Berlin : Springer-Verlag, 1995 . – ISBN 3-540-58643-1

[67] Mayr, Martin; Thalhofer, Ulrich : NumerischeLosungsverfahren in der Praxis. FEM-BEM-FDM. Wien :Carl Hanser Verlag, 1993 . – ISBN 3-446-17061-8

[68] Weck, Manfred; Heckmann, Andreas : Finite-Elemente-Vernetzung auf der Basis von CAD-Modellen. Kopplungvon CAD und FEM. Deutscher Wirtschaftsdienst, 1993 . – ISBN3-87156-172-8

[69] Schwarz, H.R.; : Methode der finiten Elemente. 3.Aufl.. Stuttgart: Teubner-Verlag, 1991

[70] Cook, R.D.; Malkus, D.S.; Plesha, M.E. : Concepts and Appli-cations of Finite Element Analysis. 3.Aufl.. New York : John Wiley& Sons Inc., 1989

[71] Bathe, K.-J. : Finite-Elemente-Methoden. Berlin : Springer-Verlag,1986

[72] Huebner, K.H.; Thornton, E.A. : The Finite Element Methodfor Engineers. 2.Aufl.. New York : John Wiley & Sons Inc., 1982

[73] Gallagher, R.H. : Finite-Element-Analysis. Berlin : Springer-Verlag, 1976

[74] Zienkiewicz, O.C. : Methode der finiten Elemente. Wien : CarlHanser Verlag, 1975

[75] Hahn, H.G. : Methode der finiten Elemente in der Festigkeit-slehre. Frankfurt : Vieweg-Verlag, 1975

LITERATURVERZEICHNIS 61

A.5 Literaturrecherche

Theoretische Arbeiten

[76] Becker, Andre : Numerische Berechnung des Kontaktes be-liebig gekrummter Korper unter Berucksichtigung der Einfluß-großen des Rad-Schiene-Systems Ruhr-Universitat Bochum : Insti-tut fur Konstruktionstechnik, 1990 (Heft 90.3). – (Dissertation). – (Hb5875)

[77] Bischoff, Dieter : Mathematische Formulierung und numerischeMethoden fur Kontaktprobleme auf der Grundlage von Ex-tremalproblemen. Universitat Hannover : Institut fur Baumechanikund Numerische Mechanik, 1988 – (Dissertation). – (Hb 5489)

[78] Lubarda, V.A.; Lee, E.H. : A Correct Definition of Elastic andPlastic Deformation and its Computational Significance. Chica-go : American Society of Mechanical Engineers, 1981 (J. Applied Mech.48)

[79] Arnold, D. N.; Brezzi, F. : Mixed and nonconforming finite el-ement methods; implementation, postprocessing and error es-timates. 1985 (Math. Modelling and Numer. Anal.).

[80] Barthold, F. J.; Bischoff, D. : Generalization of Newton typemethods to contact problems with friction. Hannover : Inst. f.Baumech. und Numerische Mechanik, 1989

[81] Bertsekas, D. P. Constrained optimization and Lagrange mul-tiplier methods. New York : Academic Press, 1982

[82] Bischoff, D. Mahnken, R. : Zur Konvergenz von Kontaktalgo-rithmen die auf Active Set Strategien beruhen. Stuttgart : Univ.,1984 (GAMM-Seminar: Unilaterale Probleme).

[83] Campos, L. T. ;Oden, J. T. ;Kikuchi, N. : A numerical analysis ofa class of contact problems with friction in elastostatics. London,1982 (Comp. Meth. in Appl. Mech.).

[84] Frederikson, B. : Finite element solution of surface nonlinear-ities in structural mechanics with special emphasis to contactand fracture mechanics problems. , 1976 (Comp. and Struc.).

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[85] Großmann, C.; Kaplan, A. A. : Strafmethoden und modifizierteLagrangefunktionen in der nichtlinearen Optimierung. Leipzig :Teubner-Verlag, 1979

[86] Gwinner, J. : A penalty approximation for unilateral contactproblems in nonlinear elasticity. TH Darmstadt : Fachber. Math-em., 1986 (Preprint 1024).

[87] Haslinger, J. ; Hlavacek, I : Contact between elastic bodies.Bd.II Univ. of Tech. Lappeenranta : Dep. of Math., 1985 (Res. Rep. 10).

[88] Jacobi, W. : Das geometrisch nichtlineare Kontaktprob-lem “elastischer Korper - starres Hindernis” bei verfor-mungsabhangiger Belastung als restringiertes Minimalprob-lem. Univ. Hannover : Inst. f. Statik, 1983 – (Dissertation).

[89] Wierzbicki, A. P. : A penalty-shifting method in constrainedstatic optimization and its convergence properties. 1971 (Arch.Automat. Telemech.).

Experimentelle Arbeiten

[90] DIN EN 10 003 : Metallische Werkstoffe - Harteprufung nachBrinell. Beuth-Verlag GmbH, Januar 1995

[91] DIN EN 10 109 : Metallische Werkstoffe - Harteprufung nachRockwell. Beuth-Verlag GmbH, Januar 1995

[92] DIN ISO 3738 : Hartmetalle; Rockwell-Harteprufung. Beuth-Verlag GmbH, Februar 1989

[93] DIN ISO 3878 : Hartmetalle; Vickers-Harteprufung. Beuth-VerlagGmbH, Juli 1991

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LITERATURVERZEICHNIS 63

[96] Fischer, Stefanus : Rontenographische und holographischeDehnungs- und Spannungsanalysen an keramischen Kompo-nenten. RWTH Aachen : IKKM, 1996. – (Dissertation). – ISBN 3-931814-03-3

[97] Balzereit, J. : Untersuchungen zur Kontaktfestigkeit vonAl2O3. RWTH Aachen : IKKM, November 1995 – (Diplomarbeit DA632).

[98] Sander, Dieter : Kontaktbelastung Keramik. RWTH Aachen :IKKM, 1995 . – (internes Papier).

[99] Rathenow, Armin : Kontaktfestigkeitsuntersuchungen zwischenKeramikproben aus Si SiC und sparischen sowie zylindrischenGegenkorpern aus gehartetem Stahl. RWTH Aachen : IKKM, 1994– (Studienarbeit K/SA 85).

Anhang B

Listings

B.1 IDEAS - Macros

Zur Generierung der Netze wurden die Programme k3320.prg und p3320.prggeschrieben. Da sich die Makros fur andere Kugelradien nur geringfugig vonp3320 unterscheiden, sind hier nur die Abweichungen angegeben.

k3320.prg

C : k3320.prg

CP: Select Menu#

K : mpos:;/mf us am:;return;

C : Lastfall loeschen

K : /ta bo ca del

K : *

K :

K : /ta bo co ma del

K : *

K :

K : /ta bo r ma del

K : *

K :

K : /ta bo s nf del

K : *

K :

C : Lastfall Ende

C : Gruppen loeschen

K : /ta gr del

K : *

K :

C : Gruppen Ende

C : Elemente loeschen

K : / TA ME EL DEL

K : *

K :

C : Paranoia setting

K :

K : / TA ME EL DEL

K : *

K :

C : Elemente Ende

C :

K : / NO DEL

64

ANHANG B. LISTINGS 65

K : *

K :

K : / MA DEL

K : *

K :

K : / TA G S DEL

K : *

K :

K : !DE

K : *

K :

K : /TA g cr

K : po po K

C : Punkte der KUGEL

K : 00.00,10.000,0

K : 00.00,07.00,0

K : 03.00,10.00,0

K : 01.50,10.00,0

C : R/2,10 - R/2sqrt(3)

K : 00.00,09.134,0

K : 01.50,09.134,0

C : R/3,10 - R/sqrt(3)

K : 00.000,08.268,0

K : 01.000,08.268,0

K : d

C : Kreisbogen , geteilt

K : /TA g cr ar ce l

K : 1

K : 2

K : 3

K : d

K : /TA g mo d l

K : 1

K : p

K : 33,33333333333

K : ;return;

K : 3

K : p

K : 50

K : ;return;

K : d

C : Punkte der PLATTE

C : Label= 11ff

K : /TA g cr

K : po po K

K : 00.0,0.0,0

K : 01.5,0.0,0

K : 03.0,0.0,0

K : 00.0,0.866,0

K : 01.5,0.866,0

K : 0.0,1.732,0

K : 1.0,1.732,0

K : 00.0,3.0,0

K : d

C : Kreisbogen , geteilt

K : /TA g cr ar ce l

K : 11

K : 13

K : 18

K : d

K : /TA g mo d l

K : 6

K : p

K : 66,666666666667

K : ;return;

K : 7

K : p

K : 50

K : ;return;

K : d

C : waagrechte Linien

K : /TA g cr li pp l

K : 1

K : 4

K : 3

K : d

K : /TA g cr li pp l

K : 5

K : 6

K : 10

K : d

K : /TA g cr li pp l

ANHANG B. LISTINGS 66

K : 7

K : 8

K : d

C : senkrechte Linien

K : /TA g cr li pp l

K : 1

K : 5

K : 7

K : 2

K : d

K : /TA g cr li pp l

K : 4

K : 6

K : 8

K : 9

K : d

C : Platte, waagrechte Linien

C : Curve-Label= 22ff

K : /TA g cr li pp l

K : 11

K : 12

K : 13

K : d

K : /TA g cr li pp l

K : 14

K : 15

K : 20

K : d

K : /TA g cr li pp l

K : 16

K : 17

K : d

C : Platte, senkrechte Linien

C : Curve-Label= 27ff

K : /TA g cr li pp l

K : 18

K : 16

K : 14

K : 11

K : d

K : /TA g cr li pp l

K : 19

K : 17

K : 15

K : 12

K : d

C : Mesh -Areas

K : /ta me ma cr

K :

K :

K :

K :

K :

K : l

K : 24

K : 29

K : 22

K : 32

K : d

K :

C :

K : 32

K : 23

K : 9

K : 25

K : d

K :

C :

K : 25

K : 10

K : 30

K : 31

K : d

K :

C :

K : 31

K : 26

K : 28

K : 24

K : d

K :

C :

ANHANG B. LISTINGS 67

K : 27

K : 26

K : 30

K : 8

K : d

K :

C : Kugel

K : 15

K : 18

K : 2

K : 21

K : d

K :

K : 21

K : 4

K : 14

K : 20

K : d

K :

K : 20

K : 13

K : 17

K : 15

K : d

K :

K : 14

K : 5

K : 12

K : 19

K : d

K :

K : 13

K : 19

K : 11

K : 16

K : d

K :

K : d

C : Mesh-Feinheit der Platte

K : / me ma sp se

K : *

K : 32

K : 4

K : 20

K : 14

C : Mesh-Feinheit der

C : Kugel p,q,r,s

C : p=n*R*Pi/6

C : q=n*R/3

C : r=n*R/(6*(sqr(3)-1))

C : s=p/(5*sqr(3))

K : 32

K : 20

K : 14

K : 4

C : Mesh-Feinheit, Ende

C : Biasing

K : / me ma bi se l

K : 4

K : 5

K : 9

K : 10

K : 12

K : 14

K : 16

K : 19

K : 20

K : 23

K : 25

K : 29

K : 31

K : 32

K : d

C : curve 4

K : e

K : l

K : a

K : 4

C : curve 5

K : e

K : l

K : a

ANHANG B. LISTINGS 68

K : 2

C : curve 9

K : e

K : l

K : b

K : 2

C : curve 10

K : e

K : l

K : b

K : 4

C : curve 12

K : e

K : l

K : a

K : 1.5

C : curve 14

K : e

K : l

K : a

K : 1.3

C : curve 16

K : e

K : l

K : b

K : 2

C : curve 19

K : e

K : l

K : b

K : 2

C : curve 20

K : e

K : l

K : b

K : 2

C : curve 23

K : e

K : l

K : a

K : 1.5

C : curve 25

K : e

K : l

K : a

K : 1.3

C : curve 29

K : e

K : l

K : a

K : 2

C : curve 31

K : e

K : l

K : a

K : 2

C : curve 32

K : e

K : l

K : a

K : 2

C : biasing Ende

K :

C : Netzgenerierung

C : mit Optimierung

K : /ge sh

K : *

K : /no ba gk

K : r

K :

K :

K : /e w e

K : r

K :

K :

C : Netzgenerierung Ende

C : Gruppenbildung

K : /gr n e r ma l

K : 6

K : 7

K : 8

K : 9

ANHANG B. LISTINGS 69

K : 10

K : d

K : d

K :

K : ad n r e g

K :

K : d

K : d

K :

K : /gr sto

K : KUGEL

C :

K : /gr ne e r ma l

K : 1

K : 2

K : 3

K : 4

K : 5

K : d

K : d

K :

K : ad n r e g

K :

K : d

K : d

K :

K : /gr sto

K : PLATTE

C :

K : /gr ne no r cu l

K : 2

K : 4

K : d

K : d

K :

K : ad e r no g

K :

K : d

K : d

K :

K : /gr sto

K : CONTAC

C :

K : /gr ne no r cu l

K : 8

K : 10

K : d

K : d

K :

K : ad e r no g

K :

K : d

K : d

K :

K : /gr sto

K : TARGET

C :

K : /gr ne no r cu l

K : 11

K : 12

K : d

K : d

K :

K : ad e r no g

K :

K : d

K : d

K :

K : /gr sto

K : OBEN

C :

K : /gr ne no r cu l

K : 16

K : 17

K : 18

K : d

K : d

K :

K : ad e r no g

K :

K : d

K : d

ANHANG B. LISTINGS 70

K :

K : /gr sto

K : KUGAX

C :

K : /gr ne no r cu l

K : 27

K : 28

K : 29

K : d

K : d

K :

K : ad e r no g

K :

K : d

K : d

K :

K : /gr sto

K : PLATAX

C :

K : /gr ne no r cu l

K : 22

K : 23

K : d

K : d

K :

K : ad e r no g

K :

K : d

K : d

K :

K : /gr sto

K : AUFLAG

C : NSET ERST

K : /gr ne no l

K : 1790

K : 38

K : d

K : d

K :

K : ad e r no g

K :

K : d

K : d

K :

K : /gr sto

K : ERST

C : Gruppenbildung Ende

C : Schliessen des Spaltes

K : /e o mt g

K : KUGEL

K : d

K : l

K : 2

K : 18

K :

C : move ende

C : <PU>,<KO>

C : Case SET

K : /ta bo r nd c

K :

K :

K : l

K : 1752

K : d

K :

K :

K :

K :

K :

K :

K :

K :

K :

C :

K : /s nf cr

K : l

K : 1

K : d

K :

K : 0

K : -5000

K : 0

ANHANG B. LISTINGS 71

K : 0

K : 0

K : 0

K :

C :

K : /ca cr

K :

K : 1

K : 1

C : Case Set Ende

C :

K : mpos:;/mf us am:;return;

K : /MF PR E

E : **** END OF SESSION ****

k1320.prg.diff

< : k3320.prg > : k1320.prg

Punkte der KUGEL

< K : 00.00,07.00,0

< K : 03.00,10.00,0

< K : 01.50,10.00,0

< K : 00.00,09.134,0

< K : 01.50,09.134,0

< K : 00.000,08.268,0

< K : 01.000,08.268,0

> K : 00.00,09.00,0

> K : 01.00,10.00,0

> K : 00.50,10.00,0

> K : 00.00,09.711,0

> K : 00.50,09.711,0

> K : 00.000,09.423,0

> K : 00.333,09.423,0

Mesh-Feinheit der Kugel

< K : 32

< K : 20

< K : 14

< K : 4

> K : 11

> K : 7

> K : 6

> K : 2

Biasing

< K : 4 > K : 3

Netzgenerierung mit Optimierung

< K : /no ba gk

< K : /e w e

> K : /no ba b

> K : /e w o

NSET ERST

< K : 1790

< K : 38

> K : 1752

> K : 39

<PU>,<KO>

< K : 1752

< K : 1

> K : 1

> K : 1767

ANHANG B. LISTINGS 72

k2320.prg.diff

< : k3320.prg > : k2320.prg

Punkte der KUGEL

< K : 00.00,07.00,0

< K : 03.00,10.00,0

< K : 01.50,10.00,0

< K : 00.00,09.134,0

< K : 01.50,09.134,0

< K : 00.000,08.268,0

< K : 01.000,08.268,0

---

> K : 00.00,08.00,0

> K : 02.00,10.00,0

> K : 01.00,10.00,0

> K : 00.00,09.423,0

> K : 01.00,09.423,0

> K : 00.000,08.845,0

> K : 00.666,08.845,0

Mesh-Feinheit der Kugel

< K : 32

< K : 20

< K : 4

---

> K : 21

> K : 9

> K : 3

Biasing

< K : 4

---

> K : 3.5

NSET ERST

< K : 1790

< K : 38

---

> K : 860

> K : 26

<KO>

< K : 1752

---

> K : 819

k4320.prg.diff

< : k3320.prg > : k4320.prg

Punkte der KUGEL

< K : 00.00,07.00,0

< K : 03.00,10.00,0

< K : 01.50,10.00,0

< K : 00.00,09.134,0

< K : 01.50,09.134,0

< K : 00.000,08.268,0

< K : 01.000,08.268,0

---

> K : 00.00,06.00,0

> K : 04.00,10.00,0

> K : 02.00,10.00,0

> K : 00.00,08.845,0

> K : 02.00,08.845,0

> K : 00.000,07.691,0

> K : 01.333,07.691,0

ANHANG B. LISTINGS 73

Mesh-Feinheit der Kugel

< K : 32

< K : 20

< K : 14

< K : 4

---

> K : 42

> K : 27

> K : 18

> K : 5

Netzgenerierung mit Optimierung

< K : /no ba gk

< K : /e w e

---

> K : /no ba p

> K : /e w o

NSET ERST

< K : 1790

< K : 38

---

> K : 1802

> K : 39

<PU>,<KO>

< K : 1752

< K : 1

---

> K : 1

> K : 1752

k5320.prg.diff

< : k3320.prg > : k5320.prg

Punkte der KUGEL

< K : 00.00,07.00,0

< K : 03.00,10.00,0

< K : 01.50,10.00,0

< K : 00.00,09.134,0

< K : 01.50,09.134,0

< K : 00.000,08.268,0

< K : 01.000,08.268,0

---

> K : 00.00,05.00,0

> K : 05.00,10.00,0

> K : 02.50,10.00,0

> K : 00.00,08.557,0

> K : 02.50,08.557,0

> K : 00.000,07.113,0

> K : 01.667,07.113,0

Mesh-Feinheit der Kugel

< K : 32

< K : 20

< K : 14

< K : 4

---

> K : 52

> K : 33

> K : 23

> K : 7

Biasing

< K : 2

< K : 2

---

> K : 3

> K : 3

ANHANG B. LISTINGS 74

Netzgenerierung mit Optimierung

< K : /no ba gk

< K : /e w e

---

> K : /no ba p

> K : /e w o

NSET ERST

< K : 1790

< K : 38

---

> K : 1815

> K : 39

<PU>,<KO>

< K : 1752

< K : 1

---

> K : 1

> K : 1752

p3320.prg

C : p3320.prg

CP: Select Menu#

K : mpos:;/mf us am:;return;

C : Lastfall loeschen

K : /ta bo ca del

K : *

K :

K : /ta bo co ma del

K : *

K :

K : /ta bo r ma del

K : *

K :

K : /ta bo s nf del

K : *

K :

C : Lastfall Ende

C : Gruppen loeschen

K : /ta gr del

K : *

K :

C : Gruppen Ende

C : Elemente loeschen

K : / TA ME EL DEL

K : *

K :

C : Paranoia setting

K :

K : / TA ME EL DEL

K : *

K :

C : Elemente Ende

C :

K : / NO DEL

K : *

K :

K : / MA DEL

K : *

K :

K : / TA G S DEL

K : *

K :

K : !DE

K : *

K :

K : /TA g cr

K : po po K

C : Punkte der KUGEL

K : 00.00,10.000,0

K : 00.00,07.00,0

K : 03.00,10.00,0

K : 01.50,10.00,0

C : R/2,10 - R/2sqrt(3)

K : 00.00,09.134,0

ANHANG B. LISTINGS 75

K : 01.50,09.134,0

C : R/3,10 - R/sqrt(3)

K : 00.000,08.268,0

K : 01.000,08.268,0

K : d

C : Kreisbogen , geteilt

K : /TA g cr ar ce l

K : 1

K : 2

K : 3

K : d

K : /TA g mo d l

K : 1

K : p

K : 33,33333333333

K : ;return;

K : 3

K : p

K : 50

K : ;return;

K : d

C : Punkte der PLATTE

C : Label= 11ff

K : /TA g cr

K : po po K

K : 00.0,0.0,0

K : 01.0,0.0,0

K : 02.5,0.0,0

K : 05.0,0.0,0

K : 00.0,0.75,0

K : 01.0,0.75,0

K : 02.5,0.75,0

K : 05.0,0.75,0

K : 00.0,01.75,0

K : 01.0,01.75,0

K : 02.5,01.75,0

K : 05.0,01.75,0

K : 00.0,02.75,0

K : 01.0,02.75,0

K : 02.5,02.75,0

K : 05.0,02.75,0

K : 00.0,03.0,0

K : 01.0,03.0,0

K : 02.5,03.0,0

K : 05.0,03.0,0

K : d

C : waagrechte Linien

K : /TA g cr li pp l

K : 1

K : 4

K : 3

K : d

K : /TA g cr li pp l

K : 5

K : 6

K : 10

K : d

K : /TA g cr li pp l

K : 7

K : 8

K : d

C : senkrechte Linien

K : /TA g cr li pp l

K : 1

K : 5

K : 7

K : 2

K : d

K : /TA g cr li pp l

K : 4

K : 6

K : 8

K : 9

K : d

C : Platte, waagrechte Linien

C : Curve-Label= 17ff

K : /TA g cr li pp l

K : 11

K : 12

K : 13

K : 14

K : d

ANHANG B. LISTINGS 76

K : /TA g cr li pp l

K : 15

K : 16

K : 17

K : 18

K : d

K : /TA g cr li pp l

K : 19

K : 20

K : 21

K : 22

K : d

K : /TA g cr li pp l

K : 23

K : 24

K : 25

K : 26

K : d

K : /TA g cr li pp l

K : 27

K : 28

K : 29

K : 30

K : d

C : Platte, senkrechte Linien

C : Curve-Label= 32ff

K : /TA g cr li pp l

K : 27

K : 23

K : 19

K : 15

K : 11

K : d

K : /TA g cr li pp l

K : 28

K : 24

K : 20

K : 16

K : 12

K : d

K : /TA g cr li pp l

K : 29

K : 25

K : 21

K : 17

K : 13

K : d

K : /TA g cr li pp l

K : 30

K : 26

K : 22

K : 18

K : 14

K : d

C : Mesh -Areas

K : /ta me ma cr

K :

K :

K :

K :

K :

K : l

K : 35

K : 17

K : 39

K : 20

K : d

K :

C :

K : 39

K : 18

K : 43

K : 21

K : d

K :

C :

K : 43

K : 19

K : 47

K : 22

K : d

K :

ANHANG B. LISTINGS 77

C :

K : 34

K : 20

K : 38

K : 23

K : d

K :

C :

K : 38

K : 21

K : 42

K : 24

K : d

K :

C :

K : 42

K : 22

K : 46

K : 25

K : d

K :

C :

K : 33

K : 23

K : 37

K : 26

K : d

K :

C :

K : 37

K : 24

K : 41

K : 27

K : d

K :

C :

K : 41

K : 25

K : 45

K : 28

K : d

K :

C :

K : 32

K : 26

K : 36

K : 29

K : d

K :

C :

K : 36

K : 27

K : 40

K : 30

K : d

K :

C :

K : 40

K : 28

K : 44

K : 31

K : d

K :

C :

C : Kugel

K : 10

K : 13

K : 2

K : 16

K : d

K :

K : 16

K : 4

K : 9

K : 15

K : d

K :

K : 12

K : 10

K : 15

K : 8

K : d

ANHANG B. LISTINGS 78

K :

K : 6

K : 11

K : 8

K : 14

K : d

K :

K : 14

K : 9

K : 5

K : 7

K : d

K :

K : d

C : Mesh-Feinheit

K : / me ma sp se

K : *

K : 3

K : 20

K : 30

K : 16

K : 7

K : 20

K : 5

C : Mesh-Feinheit

C : der Kugel p,q,r,s

C : p=n*R*Pi/6

C : q=n*R/3

C : r=n*R/(6*(sqr(3)-1))

C : s=p/(5*sqr(3))

K : 32

K : 20

K : 14

K : 4

C : Mesh-Feinheit, Ende

C : Biasing

K : / me ma bi se l

C : Kugel aussen

K : 2

K : 4

K : 5

K : 7

K : 9

C : Kugel oben

K : 11

K : 13

K : 14

C : Kugel innen

K : 12

K : 15

C : Platte aussen

K : 19

K : 22

K : 25

K : 28

K : 31

C : Platte innen

K : 34

K : 38

K : 42

K : 46

C : Platte unten

K : d

C : curve 2

K : e

K : l

K : a

K : 1

C : curve 4

K : e

K : l

K : a

K : 4

C : curve 5

K : e

K : l

K : a

K : 2

C : curve 7

K : e

K : l

K : a

ANHANG B. LISTINGS 79

K : 1.5

C : curve 9

K : e

K : l

K : a

K : 1.3

C : curve 11

K : e

K : l

K : b

K : 2

C : curve 12

K : e

K : l

K : b

K : 1

C : curve 13

K : e

K : l

K : b

K : 1

C : curve 14

K : e

K : l

K : b

K : 2

C : curve 15

K : e

K : l

K : b

K : 2

C : curve 19

K : e

K : l

K : a

K : 6

C : curve 22

K : e

K : l

K : a

K : 6

C : curve 25

K : e

K : l

K : a

K : 6

C : curve 28

K : e

K : l

K : a

K : 6

C : curve 31

K : e

K : l

K : a

K : 6

C : curve 34

K : e

K : l

K : a

K : 5

C : curve 38

K : e

K : l

K : a

K : 5

C : curve 42

K : e

K : l

K : a

K : 5

C : curve 46

K : e

K : l

K : a

K : 5

C : biasing Ende

K :

C : Netzgenerierung

C : mit Optimierung

C : K : /DR au

C : K : /me ma me

ANHANG B. LISTINGS 80

C : K : *

K : /ge sh

K : *

K : /no ba gk

K : r

K :

K :

K : /e w e

K : r

K :

K :

C : Netzgenerierung Ende

C : Gruppenbildung

K : /gr n e r ma l

K : 13

K : 14

K : 15

K : 16

K : 17

K : d

K : d

K :

K : ad n r e g

K :

K : d

K : d

K :

K : /gr sto

K : KUGEL

C :

K : /gr ne e r ma l

K : 1

K : 2

K : 3

K : 4

K : 5

K : 6

K : 7

K : 8

K : 9

K : 10

K : 11

K : 12

K : d

K : d

K :

K : ad n r e g

K :

K : d

K : d

K :

K : /gr sto

K : PLATTE

C :

K : /gr ne no r cu l

K : 2

K : 4

K : d

K : d

K :

K : ad e r no g

K :

K : d

K : d

K :

K : /gr sto

K : CONTAC

C :

K : /gr ne no r cu l

K : 29

K : 30

C : K : 31

K : d

K : d

K :

K : ad e r no g

K :

K : d

K : d

K :

K : /gr sto

K : TARGET

ANHANG B. LISTINGS 81

C :

K : /gr ne no r cu l

K : 6

K : 7

K : d

K : d

K :

K : ad e r no g

K :

K : d

K : d

K :

K : /gr sto

K : OBEN

C :

K : /gr ne no r cu l

K : 11

K : 12

K : 13

K : d

K : d

K :

K : ad e r no g

K :

K : d

K : d

K :

K : /gr sto

K : KUGAX

C :

K : /gr ne no r cu l

K : 32

K : 33

K : 34

K : 35

K : d

K : d

K :

K : ad e r no g

K :

K : d

K : d

K :

K : /gr sto

K : PLATAX

C :

K : /gr ne no r cu l

K : 17

K : 18

K : 19

K : d

K : d

K :

K : ad e r no g

K :

K : d

K : d

K :

K : /gr sto

K : AUFLAG

C : NSET+ELSET ERST

K : /gr ne no l

K : 4363

K : 38

K : d

K : d

K :

K : ad e r no g

K :

K : d

K : d

K :

K : /gr sto

K : ERST

C : Gruppenbildung Ende

C : Schliessen des Spaltes

K : /e o mt g

K : KUGEL

K : d

K : l

K : 2

K : 27

ANHANG B. LISTINGS 82

K :

C : move ende

C : <PU>,<KO>

C : Case SET

K : /ta bo r nd c

K :

K :

K : l

K : 4405

K : d

K :

K :

K :

K :

K :

K :

K :

K :

K :

C :

K : /s nf cr

K : l

K : 1

K : d

K :

K : 0

K : -5000

K : 0

K : 0

K : 0

K : 0

K :

K : /ca cr

K :

K : 1

K : 1

C : Case Set Ende

K : mpos:;/mf us am:;return;

K : /MF PR E

E : **** END OF SESSION ****

p1320.prg.diff

< : p3320.prg > : p1320.prg

Punkte der KUGEL

< K : 00.00,07.00,0

< K : 03.00,10.00,0

< K : 01.50,10.00,0

< K : 00.00,09.134,0

< K : 01.50,09.134,0

< K : 00.000,08.268,0

< K : 01.000,08.268,0

---

> K : 00.00,09.00,0

> K : 01.00,10.00,0

> K : 00.50,10.00,0

> K : 00.00,09.711,0

> K : 00.50,09.711,0

> K : 00.000,09.423,0

> K : 00.333,09.423,0

Mesh-Feinheit der Kugel

< K : 32

< K : 20

< K : 14

< K : 4

---

> K : 11

> K : 7

> K : 6

> K : 2

ANHANG B. LISTINGS 83

Biasing

< K : 4

---

> K : 3

Gruppenbildung

< K : 30

---

> C : K : 30

NSET+ELSET ERST

< K : 4363

< K : 38

---

> K : 2914

> K : 1

<PU>,<KO>

< K : 4405

< K : 1

---

> K : 2957

> K : 16

p2320.prg.diff

< : p3320.prg > : p2320.prg

Punkte der KUGEL

< K : 00.00,07.00,0

< K : 03.00,10.00,0

< K : 01.50,10.00,0

< K : 00.00,09.134,0

< K : 01.50,09.134,0

< K : 00.000,08.268,0

< K : 01.000,08.268,0

---

> K : 00.00,08.00,0

> K : 02.00,10.00,0

> K : 01.00,10.00,0

> K : 00.00,09.423,0

> K : 01.00,09.423,0

> K : 00.000,08.845,0

> K : 00.666,08.845,0

Mesh-Feinheit der Kugel

< K : 32

< K : 20

< K : 4

---

> K : 21

> K : 9

> K : 3

Biasing

< K : 4

---

> K : 3.5

NSET+ELSET ERST

< K : 4363

< K : 38

---

> K : 3451

> K : 26

<PU>

< K : 4405

---

> K : 3469

ANHANG B. LISTINGS 84

p4320.prg.diff

< : p3320.prg > : p4320.prg

Punkte der KUGEL

< K : 00.00,07.00,0

< K : 03.00,10.00,0

< K : 01.50,10.00,0

< K : 00.00,09.134,0

< K : 01.50,09.134,0

< K : 00.000,08.268,0

< K : 01.000,08.268,0

---

> K : 00.00,06.00,0

> K : 04.00,10.00,0

> K : 02.00,10.00,0

> K : 00.00,08.845,0

> K : 02.00,08.845,0

> K : 00.000,07.691,0

> K : 01.333,07.691,0

Mesh-Feinheit der Kugel

< K : 32

< K : 20

< K : 14

< K : 4

---

> K : 42

> K : 27

> K : 18

> K : 5

NSET+ELSET ERST

< K : 4363

< K : 38

---

> K : 5557

> K : 50

<PU>

< K : 4405

---

> K : 5597

p5320.prg.diff

< : p3320.prg > : p5320.prg

Punkte der KUGEL

< K : 00.00,07.00,0

< K : 03.00,10.00,0

< K : 01.50,10.00,0

< K : 00.00,09.134,0

< K : 01.50,09.134,0

< K : 00.000,08.268,0

< K : 01.000,08.268,0

---

> K : 00.00,05.00,0

> K : 05.00,10.00,0

> K : 02.50,10.00,0

> K : 00.00,08.557,0

> K : 02.50,08.557,0

> K : 00.000,07.113,0

> K : 01.667,07.113,0

ANHANG B. LISTINGS 85

Mesh-Feinheit der Kugel

< K : 32

< K : 20

< K : 14

< K : 4

---

> K : 52

> K : 33

> K : 23

> K : 7

Biasing

< K : 2

< K : 2

---

> K : 3

> K : 3

Netzgenerierung mit Optimierung

< K : /e w e

---

> K : /e w o

Gruppenbildung

< C : K : 31

---

> K : 31

NSET+ELSET ERST

< K : 4363

< K : 38

---

> K : 7151

> K : 63

<PU>

< K : 4405

---

> K : 7189

B.2 Standard.inp

**_____________________________________________________________

***************************************************************

*HEADING

p<R>320.INP 31.12.96

**_____________________________________________________________

** |

** Geometrie |

** Radius | <R>mm

** Hoehe | 3mm

**Kommentar

**______________|______________________________________________

**

** IDEAS - File : p<R>320.prg

**

** Anzahl der Knoten (nodes) : <N>

** Anzahl der Elemente (elements) : <E>

ANHANG B. LISTINGS 86

** Anzahl der Elemente pro mm

** im kritischen Bereich (Feinheit) : <F>

**

**

** KO= <KO> ._____

** | )

** |_ /

** KU= <KU> .|_\/

** PO= <PO> .|_______________

** | |

** | |

** PU= <PU> .|_______________|

**

**_____________________________________________________________

**

** Rechnung in 21 Schritten :

** STEP 1 UY(KO) = -<R> um

** STEP 2 FY(KO) = -1 kN

** STEP 3 FY(KO) = -2 kN

** STEP 4 FY(KO) = -3 kN

** STEP 5 FY(KO) = -4 kN

** STEP 6 FY(KO) = -5 kN

** STEP 7 FY(KO) = -6 kN

** STEP 8 FY(KO) = -7 kN

** STEP 9 FY(KO) = -8 kN

** STEP 10 FY(KO) = -9 kN

** STEP 11 FY(KO) = -10 kN

** STEP 12 FY(KO) = -11 kN

** STEP 13 FY(KO) = -12 kN

** STEP 14 FY(KO) = -13 kN

** STEP 15 FY(KO) = -14 kN

** STEP 16 FY(KO) = -15 kN

** STEP 17 FY(KO) = -16 kN

** STEP 18 FY(KO) = -17 kN

** STEP 19 FY(KO) = -18 kN

** STEP 20 FY(KO) = -19 kN

** STEP 21 FY(KO) = -20 kN

**_____________________________________________________________

***************************************************************

** M A T E R I A L - P R O P E R T I E S

** Diese Werte sind zur Beschreibung des plastischen

ANHANG B. LISTINGS 87

** Materialverhaltens . Daher wurde die mittlere Festigkeit,

** nicht die garantierte Mindestfestigkeit, benutzt. Die

** Einheit ist in MPa = N/mm^2 (fuer Node-Koordinaten in mm

** und Kraefte in Newton)

**_____________________________________________________________

** IDEAL "" 0

**

*MATERIAL,NAME=IDEAL

*ELASTIC

2.00E+04, 4.9999E-01, 20

**_____________________________________________________________

** Progressiv "" 0

**

*MATERIAL,NAME=HYPO

*HYPOELASTIC

2.00E+04, 3.3333E-01, 0, 0.2, 0.02

**

** E-Modul,Poisson,I_1,I_2,I_3

** I_i sind Invarianten des Dehnungstensors

**_____________________________________________________________

** St 37-2 "Baustahl" 3

**

*MATERIAL,NAME=ST0036

*ELASTIC

2.11E+05, 0.3, 20

*PLASTIC,HARDENING=ISOTROPIC

2.352E+02, 0, 20

5.444E+02, .2231, 20

**_____________________________________________________________

** St 70-2 "Baustahl" 7

**

*MATERIAL,NAME=ST0070

*ELASTIC

2.11E+05, 0.3, 20

*PLASTIC,HARDENING=ISOTROPIC

3.604E+02, 0, 20

8.805E+02, .0998, 20

**_____________________________________________________________

** St 52-3 "Baustahl, schweissbar" 5

**

*MATERIAL,NAME=ST0570

ANHANG B. LISTINGS 88

*ELASTIC

2.11E+05, 0.3, 20

*PLASTIC,HARDENING=ISOTROPIC

3.554E+02, 0, 20

7.209E+02, .1906, 20

**_____________________________________________________________

** X 5 CrNi 18 8 "Edelstahl rostfrei" 4

**

*MATERIAL,NAME=ST4301

*ELASTIC

1.96E+05, 0.3, 20

*PLASTIC,HARDENING=ISOTROPIC

1.955E+02, 0, 20

8.716E+02, .3715, 20

*EXPANSION

16.0e-06, 20

**_____________________________________________________________

** 30 CrNiMo 6 "Verguetet" 6

**

*MATERIAL,NAME=ST6580

*ELASTIC

2.12E+05, 0.3, 20

*PLASTIC,HARDENING=ISOTROPIC

1.079E+03, 0, 20

1.477E+03, .08618, 20

**_____________________________________________________________

** 34 CrNiMo 8 "Verguetet" 8

**

*MATERIAL,NAME=ST6582

*ELASTIC

2.12E+05, 0.3, 20

*PLASTIC,HARDENING=ISOTROPIC

1.003E+03, 0, 20

1.422E+03, .08618, 20

**_____________________________________________________________

** X 5 NiCrTi 26 15 "Hochwarmfest" 9

**

*MATERIAL,NAME=ST4980

*ELASTIC

1.96E+05, 0.3, 20

*PLASTIC,HARDENING=ISOTROPIC

ANHANG B. LISTINGS 89

6.362E+02, 0, 20

1.185E+03, .11333, 20

**_____________________________________________________________

**_____________________________________________________________

** Al2O3 "Aluminiumoxid" A

**

*MATERIAL,NAME=Al2O3

*ELASTIC

3.80E+05, 0.250, 20

*EXPANSION

5.4E-06, 20

**_____________________________________________________________

** SiSiC "SiliziumCarbid" C

**

*MATERIAL,NAME=SiSiC

*ELASTIC

3.60E+05, 0.190, 20

*EXPANSION

5.4E-06, 20

**_____________________________________________________________

** HIPSi3N4 "Siliziumnitrid" S

**

*MATERIAL,NAME=HIPSi3N4

*ELASTIC

3.00E+05, 0.260, 20

*EXPANSION

5.4E-06, 20

**_____________________________________________________________

** ZrO2 "Zirkonoxyd" Z

**

*MATERIAL,NAME=ZrO2

*ELASTIC

2.10E+05, 0.300, 20

*EXPANSION

1.08E-05, 20

**_____________________________________________________________

***************************************************************

** Definition der Knoten

**_____________________________________________________________

*NODE, SYSTEM=R

**_____________________________________________________________

ANHANG B. LISTINGS 90

***************************************************************

** Definition der Knotenmengen

**_____________________________________________________________

*NSET,NSET=KUGEL

**_____________________________________________________________

*NSET,NSET=PLATTE

**_____________________________________________________________

*NSET,NSET=CONTAC

**_____________________________________________________________

*NSET,NSET=TARGET

**_____________________________________________________________

*NSET,NSET=OBEN

**_____________________________________________________________

*NSET,NSET=KUGAX

**_____________________________________________________________

*NSET,NSET=PLATAX

**_____________________________________________________________

** Definition der Rotationsachse

**

*NSET,NSET=ROTAX

KUGAX,PLATAX

**_____________________________________________________________

** Definition des Auflagers

**

*NSET,NSET=AUFLAG

**_____________________________________________________________

**

*NSET,NSET=ERST

<PO>, <KU>

**_____________________________________________________________

***************************************************************

** Definition der Elemente

**_____________________________________________________________

*ELEMENT,TYPE=CAX4

**_____________________________________________________________

***************************************************************

** Definition der Elementemengen

**_____________________________________________________________

*ELSET,ELSET=KUGEL

**_____________________________________________________________

*ELSET,ELSET=PLATTE

ANHANG B. LISTINGS 91

**_____________________________________________________________

*ELSET,ELSET=CONTAC

**_____________________________________________________________

*ELSET,ELSET=TARGET

**_____________________________________________________________

*ELSET,ELSET=OBEN

**_____________________________________________________________

*ELSET,ELSET=KUGAX

**_____________________________________________________________

*ELSET,ELSET=PLATAX

**_____________________________________________________________

*ELSET,ELSET=AUFLAG

**_____________________________________________________________

*ELSET,ELSET=ERST

**_____________________________________________________________

***************************************************************

** Materialzuweisung

**

*SOLID SECTION,ELSET=KUGEL,MATERIAL=

*SOLID SECTION,ELSET=PLATTE,MATERIAL=

**SOLID SECTION,ELSET=DUMMY,MATERIAL=IDEAL

**_____________________________________________________________

***************************************************************

** Die Oberflaeche von KUGEL ist CONTAC,

** Die Oberflaeche von PLATTE ist TARGET

**_____________________________________________________________

** Obeflaechendefinition

**

*SURFACE DEFINITION, NAME=CONTAC, TRIM=YES

CONTAC

*SURFACE DEFINITION, NAME=TARGET, TRIM=YES

TARGET

**_____________________________________________________________

** Definition des Kontaktes

**

*CONTACT PAIR, INTERACTION=HERTZ,SMALL SLIDING

CONTAC,TARGET

*SURFACE INTERACTION, NAME=HERTZ

*FRICTION

*SURFACE BEHAVIOR,NO SEPARATION

**_____________________________________________________________

ANHANG B. LISTINGS 92

***************************************************************

** Die Lasteinleitung in die Kugelmitte wird durch

** Koppeln des Freiheitsgrades in "2"-Richtung aller

** Elemente der Elementmenge OBEN realisiert.

*EQUATION

2,

OBEN, 2, 1.0, <KO>, 2, -1.0

**_____________________________________________________________

***************************************************************

** M O D E L - S O L U T I O N

**

*WAVEFRONT MINIMIZATION,SUPPRESS

**_____________________________________________________________

** Erster Schritt: Deformation durch Wegvorgabe

**

*STEP, NLGEOM, INC=1000

*STATIC

1.0000E+00, 1., 1.0000E-06, 1.0000E+00

*CONTACT INTERFERENCE, TYPE=ELEMENT,SHRINK

ERST

*BOUNDARY,OP=NEW

KUGEL,ZSYMM

PLATTE,ZSYMM

ROTAX,XSYMM

AUFLAG,YSYMM

<KO>, 2,,-<R>.0E-03

*CONTACT PRINT,SLAVE=CONTAC,NSET=CONTAC,FREQUENCY=10

*NODE PRINT ,NSET=ERST,FREQUENCY=1000

*EL PRINT ,ELSET=ERST,FREQUENCY=1000

*NODE FILE ,FREQUENCY=1000

*EL FILE ,FREQUENCY=1000

*RESTART ,WRITE ,FREQUENCY=1000

*MONITOR, NODE= <KO>, DOF=2 ,FREQUENCY=10

*END STEP

**_____________________________________________________________

** Zweiter Schritt : Ersetzen der B’dry durch

** Aufbringen der Einzel-Kraft

**

*STEP,AMPLITUDE=RAMP, NLGEOM, INC=1000

*STATIC

1.0000E+00, 1., 1.0000E-06, 1.0000E+00

ANHANG B. LISTINGS 93

*BOUNDARY,OP=NEW

KUGEL,ZSYMM

PLATTE,ZSYMM

ROTAX,XSYMM

AUFLAG,YSYMM

*CLOAD ,OP=MOD

<KO>, 2, -1.0E+03

*NODE PRINT ,NSET=ERST,FREQUENCY=1000

*EL PRINT ,ELSET=ERST,FREQUENCY=1000

*NODE FILE ,FREQUENCY=1000

*EL FILE ,FREQUENCY=1000

*RESTART, WRITE ,FREQUENCY=1000

*MONITOR, NODE= <KO>, DOF=2 ,FREQUENCY=10

*CONTACT PRINT,SLAVE=CONTAC,NSET=CONTAC,FREQUENCY=10

*END STEP

**_____________________________________________________________

**Dritter Schritt : Erhoehen der Einzel-Kraft auf 2 kN

**

*STEP,AMPLITUDE=RAMP, NLGEOM, INC=1000

*STATIC

1.0000E+00, 1., 1.0000E-06, 1.0000E+00

*CLOAD ,OP=MOD

<KO>, 2, -1.9E+04

...

**_____________________________________________________________

**Letzter Schritt : Erhoehen der Einzel-Kraft auf 20 kN

**

*STEP,AMPLITUDE=RAMP, NLGEOM, INC=1000

*STATIC

1.0000E+00, 1., 1.0000E-06, 1.0000E+00

*CLOAD ,OP=MOD

<KO>, 2, -2.0E+04

*NODE PRINT ,NSET=ERST,FREQUENCY=1000

*EL PRINT ,ELSET=ERST,FREQUENCY=1000

*NODE FILE ,FREQUENCY=1000

*EL FILE ,FREQUENCY=1000

*RESTART, WRITE ,FREQUENCY=1000

*MONITOR, NODE= <KO>, DOF=2 ,FREQUENCY=10

*CONTACT PRINT,SLAVE=CONTAC,NSET=CONTAC,FREQUENCY=10

*END STEP

**_____________________________________________________________

ANHANG B. LISTINGS 94

B.3 Shell-Script

Variation

# Aufruf dieses Shell-Skripts: variation <Rohdatei>

#! /bin/sh

# Angabe der Materialien der Kugel

SCMKUGEL="4 6 a c s z"

# Angabe der Materialien der Platte

SCMPLATTE="4 6 a c s z"

# Angabe der Reibungswerte

SCFRICTION="o x"

RAWFILE=$1

for SCMK in $SCMKUGEL

do

if test $SCMK = "4"

then

MK=ST4301

elif test $SCMK = "6"

then

MK=ST6580

elif test $SCMK = "a"

then

MK=Al2O3

elif test $SCMK = "c"

then

MK=SiSiC

elif test $SCMK = "s"

then

MK=HIPSi3N4

else

MK=ZrO2

fi

for SCMP in $SCMPLATTE

do

if test $SCMP = "4"

then

MP=ST4301

elif test $SCMP = "6"

then

MP=ST6580

elif test $SCMP = "a"

then

MP=Al2O3

elif test $SCMP = "c"

then

MP=SiSiC

elif test $SCMP = "s"

then

MP=HIPSi3N4

else

MP=ZrO2

fi

for SCFR in $SCFRICTION

do

ANHANG B. LISTINGS 95

if test $SCFR = "o"

then

FR=1.0E-10

else

FR=1.0

fi

awk -v mkugel=$MK -v mplatte=$MP -v friction=$FR \

-f materials.awk $RAWFILE.inp > $RAWFILE$SCMK$SCMP$SCFR.inp

done

done

done

Materials.awk

# materials.awk : Schreibt automatisch Materialzuweisungen

# in abaqus *.inp -Files und ist Bestandteil von variation

# Funktion printf(): %s ist Platzhalter fuer String-Variablen

# : %e ist Platzhalter fuer Double-Variablen;

# .1 bedeutet die Ausgabe einer Stelle nach

# dem Dezimalpunkt (precision)

# \n erzeugt eine neue Zeile (newline)

/Kommentar/ {

# Kommentarzeile

printf"** KUGEL | %s \n** PLATTE | %s\n**

Reibung | %.1e\n", mkugel, mplatte, friction

next

}

/SOLID SECTION,ELSET=KUGEL,MATERIAL=/ {

printf"*SOLID SECTION,ELSET=KUGEL,MATERIAL=%s\n", mkugel

next

}

/SOLID SECTION,ELSET=PLATTE,MATERIAL=/ {

printf"*SOLID SECTION,ELSET=PLATTE,MATERIAL=%s\n", mplatte

next

}

/FRICTION/ {

printf"*FRICTION\n%.1e\n", friction

next

}

{print $0}

Anhang C

ABAQUS-POST Abbildungen

Dreidimensionale Darstellung (P4320)

127

ANHANG C. ABAQUS-POST ABBILDUNGEN 128

Abbildung C.1: Dreidimensionale Darstellung

ANHANG C. ABAQUS-POST ABBILDUNGEN 129

Deformation einer Platte aus Si SiC

ANHANG C. ABAQUS-POST ABBILDUNGEN 130

K3320zzx, 20 kN

ANHANG C. ABAQUS-POST ABBILDUNGEN 131

P43206ax, 16 kN

ANHANG C. ABAQUS-POST ABBILDUNGEN 132

P23206ax, 4 kN

ANHANG C. ABAQUS-POST ABBILDUNGEN 133

P23206ax, 2 kN

ANHANG C. ABAQUS-POST ABBILDUNGEN 134

K23206ax, 2 kN

ANHANG C. ABAQUS-POST ABBILDUNGEN 135

K43206ax, 8 kN

ANHANG C. ABAQUS-POST ABBILDUNGEN 136

P53206ax, 4 kN

ANHANG C. ABAQUS-POST ABBILDUNGEN 137

P53206ax, 8 kN

ANHANG C. ABAQUS-POST ABBILDUNGEN 138

P53206ax, 12 kN

ANHANG C. ABAQUS-POST ABBILDUNGEN 139

P53206ax, 16 kN

ANHANG C. ABAQUS-POST ABBILDUNGEN 140

P4320cc , 10 kN

ANHANG C. ABAQUS-POST ABBILDUNGEN 141

P4320cc , 10 kN

ANHANG C. ABAQUS-POST ABBILDUNGEN 142

P43206cx, 10 kN

ANHANG C. ABAQUS-POST ABBILDUNGEN 143

P43206c , 20 kN

ANHANG C. ABAQUS-POST ABBILDUNGEN 144

P43206c , 20 kN

ANHANG C. ABAQUS-POST ABBILDUNGEN 145

P33206ax, 10 kN

ANHANG C. ABAQUS-POST ABBILDUNGEN 146

P3w206ax, 10 kN