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  • Risikotheorie

    Stand: 02. Dezember 2016

    Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Institut für Mathematik

  • 2

    Inhalt Vorbemerkung .......................................................................................................................... 3

    I Personenversicherungsmathematik ................................................................................... 6

    I. 1. Bewertung von Finanzströmen ........................................................................................ 6

    I. 2. Lebensdauerverteilungen und Sterbetafeln ...................................................................... 10

    I. 3. Lebensversicherungsprämien .......................................................................................... 21

    I. 4. Deckungsrückstellungen ................................................................................................. 32

    I. 5. Verbundene Leben .......................................................................................................... 38

    I. 6. Kostenrechnung und Überschussbeteiligung .................................................................. 41

    I. 7. Die private Krankenversicherung .................................................................................... 43

    I. 8. Kopfschäden und Schadenprofile .................................................................................... 46

    I. 9. Alterungsrückstellungen und Prämienanpassungen ........................................................ 48

    II Sachversicherungsmathematik .......................................................................................... 52

    II. 1. Das kollektive Modell der Risikotheorie ........................................................................ 52

    II. 2. Die Panjer-Rekursion ..................................................................................................... 71

    II. 3. Die diskrete Fourier-Transformation .............................................................................. 75

    II. 4. Rückversicherung ........................................................................................................... 82

    II. 5. Schadenabwicklung und -reservierung ........................................................................... 97

    II. 6. Prämienprinzipien ............................................................................................................ 102

    III Credibility-Theorie .............................................................................................................. 112

    III. 1. Die Credibility-Prämie .................................................................................................. 119

    III. 2. Die linearisierte Credibility-Prämie ............................................................................... 122

    III. 3. Die empirische Credibility-Prämie ................................................................................ 125

    III. 4. Modellerweiterungen ..................................................................................................... 127

    IV Ruintheorie .......................................................................................................................... 131

    IV. 1. Zeitdiskrete Ruinprobleme ............................................................................................ 131

    IV. 2. Zeitstetige Ruinprobleme .............................................................................................. 141

    V Verallgemeinerte lineare Modelle ....................................................................................... 149

    V. 1. Exponentialfamilien ........................................................................................................ 149

    V. 2. Lineare statistische Modelle ........................................................................................... 157

    V. 3. Verallgemeinerte lineare Modelle .................................................................................. 167

    Verzeichnis der Definitionen, Sätze, Lemmata und Beispiele ………...…………………… 184

    Literatur ..................................................................................................................................... 185

    Danksagung ................................................................................................................................ 186

  • I Personenversicherungsmathematik

    3

    Vorbemerkung Unter „Versicherung“ versteht man aus betriebswirtschaftlicher Sicht die Deckung eines im einzel- nen ungewissen, insgesamt geschätzten Mittelbedarfs auf der Grundlage des Risikoausgleichs im Kollektiv und in der Zeit. Anders ausgedrückt bedeutet dies den Eintausch eines (zufallsbehafteten) Risikos des Versicherungsnehmers (VN) gegen eine (deterministische) Prämie an das Versiche- rungsunternehmen (VU), welches sich dadurch zur Übernahme der mit dem Risiko verbundenen Ansprüche oder Leistungen verpflichtet. Der VN erkauft sich damit einen gewissen finanziellen Schutz, da die in der Regel vergleichsweise kostengünstige Versicherungsprämie in ihrer Größen- ordnung bekannt und damit für den VN kalkulierbar ist, i. Allg. nicht jedoch die mögliche Belas- tung in einem Schadenfall (z.B. nicht gedeckte Hypothek für eine Immobilie nach einem Todesfall, Kosten einer aufwändigen Operation nach einem Unfall, Beschädigung oder Verlust eines Gebäu- des durch einen Brandschaden usw.) Die mit solchen Risiken verbundenen finanziellen Gefahren kann das VU auf der anderen Seite nur durch Verteilung auf viele Versicherte (Ausgleich im Kol- lektiv) bzw. den Umstand der Nicht-Gleichzeitigkeit aller Schadenfälle (Ausgleich in der Zeit) mi- nimieren. Eine gute Übersicht über die eher wirtschaftswissenschaftlichen Aspekte von Versiche- rung (Versicherungsbetriebslehre) gibt FARNY (2000). Traditionell unterscheidet man die Versicherungsgeschäfte nach Personenversicherung (z.B. Le- bens-, Kranken- und Pensionsversicherung), Sachversicherung (z.B. Feuerversicherung, Elemen- tarschadenversicherung), Vermögensversicherung (z.B. Haftpflichtversicherung) und Rückversi- cherung (das ist die „Versicherung der Versicherer“). In jüngerer Zeit werden verstärkt auch alter- native Versicherungskonzepte eingesetzt, die mit Instrumenten des Kapitalmarks arbeiten (Stich- worte: Index- und Fondsgebundene Lebensversicherung, Captives, Catastrophe Bonds und –Futures/Options, Securitisation, Alternative Risk Transfer). Naturgemäß fällt damit die Risikotheorie und speziell die Versicherungsmathematik als Grundlage der Prämienkalkulation und der Risikomodellierung in den Bereich der Stochastik; zu ihren The- menschwerpunkten zählen insbesondere die Schätzung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen und deren Parametern für die einzelnen Risiken (etwa auf der Basis von Sterbe- und Invaliditätstafeln im Bereich der Personenversicherungsmathematik oder von Schadenfrequenz- und Schadenhöhen- verteilungen im Bereich der Sach- und Rückversicherung), die Modellierung von zeitabhängigen Risikoprozessen (insbesondere im Zusammenhang mit der Problematik von langfristigen Abwick- lungen von Schadenfällen [Loss Reserving] und in der sog. Ruintheorie) oder die auf der zeitlichen Schadenerfahrung basierende Prämiendifferenzierung (Credibility Theory [Bayes-Verfahren], Bo- nus-Malus-Systeme [z.B. im Kfz-Haftpflichtbereich]). Die Versicherungsmathematik zählt aufgrund ihrer großen wirtschaftlichen und sozialpolitischen Bedeutung mit zu den ältesten mathematischen Disziplinen, wie der folgende, teilweise ergänzte Auszug aus MILBRODT UND HELBIG (1999) zeigt (vgl. auch KOCH (1998) und KNOBLOCH UND VON DER SCHULENBURG (2000)):

  • I Personenversicherungsmathematik

    4

    Jahr Ereignis

    1308 Ältester bekannter Leibrentenvertrag, geschlossen zwischen dem Erzbischof von Köln und dem Kloster St. Denis bei Paris.

    1370 Erste Seeversicherungsverträge in Genua (gemeinhin angesehen als Ursprung der Rück- versicherung).

    1583 W. Gybbons unterzeichnet in London den ersten bekannten Lebensversicherungsvertrag der Welt (einen Wettvertrag): Auszahlung von 400 £ bei Tod binnen eines Jahres (bei einer Einmalprämie von 30 £).

    1585 S. Stevin stellt in der Schrift Practique d’Arithmétique eine Zinstafel sowie eine Tabelle von Endwerten von Zeitrenten in Abhängigkeit von der Laufzeit auf.

    1590 Abschluss des sog. hamburgischen Seeversicherungsvertrags. 1591 Hamburger „Feuercontract“ zur Versicherung der städtischen Brauhäuser.

    1662 J. Graunt verfasst auf Anregung von W. Petty die Schrift Natural and political observa- tions made upon the bills of mortality mit einer Sterbetafel, die auf dem Londoner Todes- register beruht.

    1669 C. und L. Huygens tauschen sich in einem Briefwechsel über Erwartungswert und Median der zukünftigen Lebensdauer unter Zugrundelegung von Graunts Sterbetafel aus, auch für verbundene Leben und Personengruppen, die beim letzten Tod erlöschen.

    1670 Kampener „Kommunaltontine“, entsprechend einer Idee von L. Tonti, gestaltet als Ren- tenanleihe.

    1671 J. de Witt verfasst die Schrift Waerdye van Lyf-Renten naer Proportie van Los-Renten (Prämienberechnung für Leibrenten, „Rechnungsgrundlagen erster Ordnung“)