. . .Denn wenn man auf diese Art nicht nur die Regeln begreift, son-dern auch den Grund und Ursprung derselben deutlich einsieht, sowird man einigermassen in Stand gesetzt, selbsten neue Regeln zuerfinden und vermittelst derselben solche Aufgaben aufzulosen, zuwelchen die sonst gewohnlichen Regeln nicht hinreichend sind.

Leonhard Euler, Einleitung zur Re�en-Kun�

Robert rechnet

Was nach der vierten Nacht mit dem Zahlenteufel geschah1.

von

Christian Siebeneicher

Fangen wir ganz am Anfang an, und dieser Anfang war nach dem Ende von Robertsvierter Nacht mit dem Zahlenteufel. Wie wir wissen endete sie so:

— Nein danke, fur heute habe ich genug. Ich bin verdammt mude. Ichmuß mich mal richtig ausschlafen, sonst gibt es morgen in der Schulewieder Arger. Ich glaube, ich haue mich einfach eine Weile hin, wenn esdir nichts ausmacht. Dieses Mobel da sieht doch ganz bequem aus.

Und er legte sich auf die flauschige, pelzige, sofagroße Rechenmaschine.

— Meinetwegen, sagte der Alte. Du schlafst ja schon. Im Schlaf lerntman immer am besten.

Diesmal machte sich der Zahlenteufel auf Zehenspitzen davon, weil erRobert nicht wecken wollte.

Vielleicht ist er gar nicht so schlimm, dachte Robert noch. Im Grundeist er sogar ganz nett.

Und so schlief er ungestort und traumlos bis lang in den Vormittag. Erhatte vollig vergessen, daß Samstag war, und am Samstag gibt es ja keineSchule.

. . . und dann?

1Hans Magnus Enzensberger, Der Zahlenteufel, ein Glucksfall von einem Buch, in demgezeigt wird, daß in der Mathematik die Lust herrschen kann, daß nicht der Schrecken herrschenmuß. Es hat mich zu der hier beschriebenen kleinen Expedition in die Welt des Rechnens angeregt,und dafur danke ich seinem Autor.

c© Christian Siebeneicher

1

Ja, dann stand Robert auf und trank den Kakao, den seine Mutter ihm hingestellthatte. Und als er so vor sich hin doste und noch nicht ganz wach in die Tasse guckte,sah er auf einmal den Zahlenteufel auf seiner sofagroßen Rechenmaschine gemutlichdurch den Kakao paddeln.

‘Na Robert’, kommandierte der Alte, ‘dann tipp mal eins durch drei!’ Robert holteseinen Taschenrechner, sagte Eins durch Drei, und gleichzeitig tippte er gehorsam¤£

¡¢1¤£

¡¢÷ ¤£

¡¢3 . Nachdem er auch noch

¤£

¡¢= getippt hatte, erschien augenblicklich in dem

kleinen Fensterchen des Rechners

0,333333333

Eine Null, ein Komma und dann genau neun Dreien, murmelte Robert, und ererinnerte sich an das, was bei dieser Aufgabe in der Schule gemacht worden war:

• Es ging los mit ‘Eins durch Drei geht nicht ’, und gleichzeitig mußte eine Nullnotiert werden.

• Hinter die Eins kam dann eine Null, und dadurch wurde sie zu einer Zehn. Nunkonnte man sagen ‘Zehn durch Drei ist drei ’, hinter die schon hingeschriebeneNull wurde ein Komma gemacht und dahinter kam eine Drei. Schließlich wurdedreimal Drei von Zehn abgezogen, und der Rest Eins kam unter einen Stricheine Zeile tiefer.

• Hinter den Rest Eins kam dann wieder eine Null (wodurch er zu einer Zehnwurde), wieder hieß ‘Zehn durch Drei ist drei ’, und hinter Null Komma Dreiwurde eine neue Drei gesetzt. Dann wurde wieder dreimal Drei von Zehn ab-gezogen und der Rest Eins unter einem neuen Strich notiert.

• Mit dem neuen Rest Eins ging es dann in der gleichen Weise wie beim vorigenMal weiter: Mit einer Null dahinter wurde er zu einer Zehn, wieder wiederhieß ‘Zehn durch Drei ist drei ’, hinter Null Komma Drei Drei wurde dann eineneue Drei gesetzt, wieder wurde dreimal Drei von Zehn abgezogen und derRest Eins unter einem neuen Strich notiert. Und weil bei diesem Spiel jedesmal eine Eins ubrig blieb, kam es nie zu einem Ende.

Deshalb war es auch ganz klar, daß es hinter den im Fensterchen sichtbaren Drei-en mit weiteren Dreien ohne Ende weitergehen mußte. Durch die Bemerkung desZahlenteufel, ‘Die erste Drei nach dem Komma, das sind drei Zehntel. Dazu kommtdann die zweite Drei, die macht drei Hundertstel, die dritte drei Tausendstel und soweiter. Die kannst du dann zusammenzahlen’, bekam die endlose Folge von Dreieneine klare Bedeutung.

2

‘. . . und jetzt noch einmal durch drei’, drangelte der Alte, brav tippte Robert nocheinmal

¤£

¡¢÷ ¤£

¡¢3 und

¤£

¡¢= , und in dem Fensterchen erschien jetzt

0,111111111

Klar dachte er, denn drei durch drei ist eins — dafur brauchte er keinen Taschen-rechner.

Der Alte ließ nicht locker: ‘Los, noch mal durch drei!’ Robert tippte wieder¤£

¡¢÷ ¤£

¡¢3

und¤£

¡¢= , und nun erschien

0,037037037

Das war ein bißchen unerwartet — 037, 037 und wieder 037. Merkwurdig, dachteRobert, die 037, dreimal hintereinander, das paßt ja genau auf die neun Platzehinter der Null und dem Komma, und wegen der drei 037–er Blocke wurde fur ihnaus der langweiligen Folge der aufeinder folgenden Einsen in 0, 111111111. . . die in111 –Packchen aufgeteilte Folge

0, 111 111 111 . . .

Beim Teilen durch Drei entstand dann hieraus die Packchen–Folge

0, 037 037 037 . . .

Das zeigte : Man kann die 111 ohne Rest durch Drei teilen! Ein Wunder? Nicht ganz,denn im Rechenunterricht hatte Robert ja gelernt,

daß eine Zahl ohne Rest durch Drei geteilt werden kann, wenn die Summeihrer Ziffern ohne Rest durch Drei geteilt werden kann.

und diese schone Regel hatte den Namen Dreierprobe. Daß die Zahl 111 zur Dreier-probe aber paßt wie die Faust auf’s Auge, war ihm vorher noch nie aufgefallen.

Ohne den Alten abzuwarten, tippte Robert wieder¤£

¡¢÷ ¤£

¡¢3 und

¤£

¡¢= , und im Fenster-

chen erschien diesmal:

0,012345679

3

Da wird ja gezahlt, wunderte er sich. Dann bemerkte er aber, daß der Alte ihn einbißchen zweifelnd anguckte. Deshalb sah Robert etwas genauer hin, und da fiel ihmdann naturlich auf, daß die 8 fehlte.

Komisch, dachte er, weil die Acht fehlt, passen die restlichen neun Ziffern zusammenmit der Null und dem Komma genau in’s Fensterchen.

Und weil es wegen der Dreierprobe klar war, daß auch drei hintereinandergesetzte037 –Blocke eine Zahl ergeben, die ohne Rest durch Drei geteilt werden kann — dasDreifache einer Zahl kann ja immer ohne Rest durch Drei geteilt werden —, mußtenach dem Teilen durch Drei ein Neunerblock erscheinen. Daß sich dabei nun abergerade die Ziffernfolge 012345679 ergab, war wohl mehr ein Zufall.

Jetzt war es naturlich spannend zu wissen, ob es auch beim Taschenrechner nach012345679 wieder mit 01. . . weitergeht, also so, wie es wegen der Dreierprobe seinmußte. Durch Malnehmen mit Hundert, also durch Tippen von

¨§

¥¦×¤£

¡¢100 und

¤£

¡¢=

konnte man das leicht uberprufen! Im Fensterchen wurde dann alles um zwei Platzenach links geschoben, und dadurch mußten die nachsten zwei Ziffern vom Ergebnisin’s Fensterchen kommen!

Also tippte er¨§

¥¦×¤£

¡¢100 , und wie erwartet erschien

1,234567901

im Fensterchen. Hinter dessen Rand hatten sich also wirklich eine Null und eineEins versteckt.

Damit war es klar, daß es nach der Neun wieder mit 012345679 von vorn losgehenmußte, und dann wieder, und wieder, ohne Ende, denn aus jeweils drei 037 –Pack-

chen wurde ja beim Teilen durch Drei immer ein 012345679 –Paket, und das gingso ohne Ende — bis in’s Aschgraue, wie der Zahlenteufel immer sagte.

Zur Probe nahm Robert 0,012345679 noch mit 3 mal. Als im Fensterchen

0,037037037

erschien, war er wegen der Dreierprobe sicher, daß beim nachsten Mal im DURCHDREI Spiel aus drei hintereinander gesetzten 012345679 –Blocken ein gigantischerZahlenwurm mit siebenundzwanzig Ziffern entstehen wurde, und daß dieser sichdann ohne Ende wiederholender mußte. So viele Ziffern waren Robert in einer ein-zigen Zahl noch nie begegnet, da konnte einem ja schwindlig werden! Aber geradedeshalb wollte er nun die Ziffern dieses Wurmes sehen!

Gespannt tippte er also wieder¤£

¡¢÷ ¤£

¡¢3 und

¤£

¡¢= , und er sah

4

0,004115226

Nur neun Ziffern nach dem Komma, klar, denn fur mehr hatte sein Taschenrechnerja keinen Platz. Dafur war aber das, was der Taschenrechner ihm diesmal zeigte,ziemlich merkwurdig! In einer Art Singsang murmelte Robert diese geradezu narri-schen Zahlen im Dreiertakt vor sich hin und schrieb dabei:

null–null-vier 0,004eins–eins-funf 115

zwei–zwei–sechs 2260,004 115 226

Nach diesem Anfang fand er es ganz selbstverstandlich, genauso mit

drei–drei–sieben 0,004 115 226 337vier–vier–acht 448

0,004 115 226 337 448

weiterzumachen. Nur mußte naturlich erst noch geklart werden, ob nach der 226auch wirklich die 337 kommt, und so tippte Robert

¨§

¥¦×¤£

¡¢1000 und

¤£

¡¢= . Als dann

tatsachlich

4,115226337

im Fensterchen des Rechners erschien, gab es keinen Grund, nicht mit

funf–funf–neun 0,004 115 226 337 448 559sechs–sechs–zehn 6610sieben–sieben–elf 7711acht–acht–zwolf 8812

0,004 115 226 337 448 559 6610 7711 8812

weiterzumachen. Weil inzwischen schon ziemlich viele Ziffern zusammengekommenwaren, zahlte Robert sie probehalber. Dabei stellte sich heraus, daß schon dreißigZiffern dastanden, daß er im Eifer des Gefechts also uber das Ziel hinausgerannt war.Eins war nun sofort klar: Nach siebenundzwanzig Ziffern ging es nicht wieder vonvorne los, und Robert hatte sogar das Gefuhl, daß die 004115226. . . vom Anfang mitdieser Methode niemals wieder zu sehen sein wurde. Schade, dachte er, daß diesepraktische Spielregel fur’s Weitermachen nichts taugt — mit ihr ware es doch soeinfach gewesen.

5

Aber so schnell wollte Robert nun doch nicht aufgeben. Vielleicht gab es ja nocheine andere Moglichkeit, die narrischen Zahlen mit Ziffern auszudrucken. Und kaumwar ihm dieser Gedanke durch den Kopf gegangen, da fiel ihm auch schon die alteGeschichte mit elftausend, elfhundert und elf wieder ein:

Als in der Schule vor ein paar Jahren großere Zahlen in’s Spiel kamen, hatte der Opaihn einmal aufgefordert, elftausend, elfhundert und elf aufzuschreiben, und ohne zuzogern hatte er damals 111111 auf einen Zettel geschrieben. Der Opa hatte damalsgeschmunzelt und ein uraltes Buch aus seinem Bucherregal herausgenommen. Dar-aus las er dann vor2:

Endlich ist auch zu merken, dass niemals von einer Sorte mehr als neunkonnen geschrieben werden, indem 10 Stucke von einer Sorte ein Stuckvon der folgenden ausmachen und folglich dahin gehoren. Deswegen musssich einer nicht verfuhren lassen, wenn man ihm zu schreiben vorlegt eilf-tausend, eilfhundert und eilf; er muss namlich wissen, dass eilfhunderteinen Millenarium nebst einem Centenario ausmache und deswegen wirder haben zwolftausend einhundert und eilf, welche also geschrieben wer-den 12111.

Daß man fruher eilf sagte und nicht elf wie wir heute, hatte er sich gleich gedacht,und nachdem der Opa ihm noch erklart hatte, daß man einen Millenarium heuteeinen Tausender nennt, und daß man bei einem Centenario an einen Hunderterdenken soll, schrieb er auf den Zettel,

110001100

1112111

und ohne die im Grundeuberflussigen Nullen

1111

1112111

Beim Schreiben ging ihm damals auf, weshalb der Opa so listig geschmunzelt hatte,und mit einem mal konnte er sich jetzt die mit Ziffern geschriebene sechs–sechs–zehnganz anders vorstellen:

6610

Mit diesem Kniff fuhr er wie selbstverstandlich nach

0,004 115 226 337 448 559

2Das Buch war die Einleitung zur Re�en-Kun� von Leonhard Euler aus dem Jahre 1738 — von derEule also, die Robert spater bei seinem Besuch im Zahlenhimmel treffen wurde.

6

dann mit sechs–sechs–zehn folgendermaßen fort:

0,004 115 226 337 448 559 6610

0,004 115 226 337 448 559 670

Dann kam sieben–sieben–elf dazu,

0,004 115 226 337 448 559 670 7711

0,004 115 226 337 448 559 670 781

dann acht–acht–zwolf,

0,004 115 226 337 448 559 670 781 8812

0,004 115 226 337 448 559 670 781 892

dann neun–neun–dreizehn,

0,004 115 226 337 448 559 670 781 892 9913

0,004 115 226 337 448 559 670 781 893 003

dann zehn–zehn–vierzehn — mit einem neuen Problem, das aber kein Problem mehrwar,

0,004 115 226 337 448 559 670 781 893 0031 0

1014

0,004 115 226 337 448 559 670 781 893 004 114

und schließlich elf–elf–funfzehn,

0,004 115 226 337 448 559 670 781 893 004 1141 1

1115

0,004 115 226 337 448 559 670 781 893 004 115 225

7

Schon bei zehn–zehn–vierzehn hatte Robert die Wiederkehr der 004 bemerkt, undnachdem jetzt aus der ihr nachfolgenden 114 eine 115 geworden war, war er sicher,daß es mit den siebenundzwanzig Ziffern

004115226337448559670781893

wieder von vorn losgehen wurde. Die Vermutung, daß der Drehwurm dreimal so langwerden wurde, hatte sich also als richtig herausgestellt.

Aber, fragte er sich, mußte denn dieser aus dem Singsang entstandene Wurm auchgenau der gleiche sein, der sich beim Teilen durch 3 ergeben hatte? Weil er auchohne den Zahlenteufel wußte, daß es beim Teilen genau umgekehrt zugeht wie beimMalnehmen, konnte er diese Frage ganz leicht beantworten: Es war ja nichts weiterzu tun als zu uberprufen, ob 3 mal

0,004115226337448559670781893

wirklich wieder0, 012345679 012345679 012345679

ist. Weil der Zahlenteufel aber inzwischen nicht mehr auf seinem großen Rechner imKakao herumpaddelte, war es klar, daß Robert die Aufgabe

0, 004115226337448559670781893 mal 3

so ausrechnen mußte, wie er es in der Schule gelernt hatte. Weil er das Einmaleins mitder Drei vorwarts und ruckwarts konnte, war das naturlich kein wirkliches Problem.Dumm war es aber, daß an der Rechnung so viele Ziffern beteiligt waren, und daßer deshalb beim Rechnen dauernd auch noch das berucksichtigen mußte, was sichgerade im Sinn befand. Dadurch gab es viele Gelegenheiten zum Verrechnen, undbei einer so wichtigen Rechnung durfte das auf keinen Fall passieren.

Deshalb hatte Robert die Rechnung am liebsten den Taschenrechner machen lassen,doch weil hier eine Zahl mit siebenundzwanzig Ziffern mit Drei malzunehmen war,es im Fensterchen des Rechners aber nur Platz fur zehn Ziffern gab, konnte diesbestimmt nicht durch einfaches Eintippen erledigt werden. Vor dem Rechnen muß-te die lange Zahl erst einmal an die Moglichkeiten des Taschenrechners angepaßtwerden.

Und weil man beim normalen Rechnen ja auch mit den einzelnen Ziffern rechnet,und nicht mit der gesamten Zahl, zerteilte Robert die lange Zahl in Blocke mitjeweils neun Ziffern, und rechnete mit diesen Blocken — und dem Taschenrechner— dann genauso, wie er es sonst mit einzelnen Ziffern und dem Einmaleins im Kopf

8

getan hatte. Der Taschenrechner war hierbei sehr nutzlich, weil man mit ihm Zahlenmit neun Ziffern fehlerlos mit Drei malnehmen kann.

Auf diese Weise wurde die Rechenaufgabe auf einmal ganz harmlos:

0·004115226 337448559 670781893 × 3

Wie immer beim Malnehmen machte Robert einen Strich unter die Aufgabe, undweil er beim Malnehmen immer hinten anfing, machte er es auch jetzt so. Er tippte¤£

¡¢670781893¨§

¥¦×¤£

¡¢3 und

¤£

¡¢= und schrieb das Ergebnis

2012345679

unter den Strich, und zwar genau unter den hinteren Block. Weil dort aber nur dieneun Ziffern 012345679 Platz hatten, schrieb er die vor diesen stehende 2 in dieAbteilung davor:

0, 004115226 337448559 670781893 × 32 012345679

Dann kam der mittlere Block dran. Robert tippte¤£

¡¢337448559¨§

¥¦×¤£

¡¢3 und

¤£

¡¢= , und

das Ergebnis

1012345677

trug er unter dem mittleren Block ein — allerdings eine Zeile tiefer als das Ergebnisvom ersten Schritt. Auf diese Weise mußte er sich nicht schon beim Malnehmen mitder Verarbeitung des Ubertrags abgeben:

0, 004115226 337448559 670781893 × 32 012345679

1 012345677

Schließlich kam der vordere Block an die Reihe. Robert tippte¨§

¥¦0,004115226¨§

¥¦×¤

£¡¢3 und

¤£

¡¢= , und das Ergebnis

0,012345678

kam an die richtige Stelle in der dritten Zeile:

0, 004115226 337448559 670781893 × 32 012345679

1 0123456770, 012345678

9

Weil nun nichts mehr malzunehmen war, machte er den ublichen Strich und zahltezusammen:

0, 004115226 337448559 670781893 × 32 012345679

1 0123456770, 0123456780, 012345679 012345679 012345679

Ohne große Rechnerei hatte er gezeigt, daß das Dreifache des aus dem Sprechgesangentstandene Wurms gleich

0, 012345679 012345679 012345679

ist, und das bedeutete, daß dieser Wurm genau der gleiche sein mußte wie der, dersich beim Teilen der Zahl 0, 012345679 012345679 012345679 durch 3 ergeben hatte.

So hatte er nun weitermachen konnen, und wegen der Dreierprobe wußte er schonvor jedem Rechnen, daß beim Teilen durch DREI aus drei hintereinandergesetzten004115226337448559670781893 –Blocken ein Wurm mit einundachtzig Ziffern ent-stehen wurde. Im Grunde hatte er die Rechnung ohne allzu große Muhe auf einemBlatt Papier machen konnen, denn dazu war ja nichts weiter zu tun, als den Wurm

0,004115226337448559670781893004115226337448559670781893004115226337448559670781893

durch Drei zu teilen, eine Ziffer nach der anderen3.

3Bei dem Verfahren fur das Teilen, das Robert in der Schule gelernt hatte, gab es bei dieserAufgabe ein Problem: Weil das Ergebnis immer rechts neben das Gleichheitszeichen geschriebenwird, gab es hier zu wenig Platz fur das Ergebnis der Rechnung — nun, er hatte ja noch einneues Blatt Papier rechts ankleben konnen. Robert wußte nicht, daß Kinder in anderen Landernso ein Problem gar nicht haben. Sie rechnen namlich auch heute noch so, wie es Leonhard Eulerin seiner Einleitung zur Re�en-Kun� macht, und bei dieser Art zu rechnen braucht man — wie auch beiden anderen Rechenarten — kein Gleichheitszeichen.

Anstelle des Gleichheitszeichens hat man auch beim Teilen einen Strich, der hier allerdings uberdie zu teilende Zahl gemacht wird. Das Ergebnis entwickelt sich dann beim Rechnen Schritt furSchritt uber dem Strich:

0,001371

3) 0,004115226337448559670781893004115226337448559670781893004115226337448559670781893

Vor die zu teilende Zahl — und von dieser durch eine Klammer abgetrennt — wird der Teiler 3geschrieben. Dann werden die Ziffern, eine nach der anderen, durch Drei geteilt, und das jeweiligeErgebnis wird uber dem Strich direkt uber derjenigen Ziffer notiert, die gerade beim Teilen drangewesen ist.

So kommt es bei dieser Art zu rechnen zunachst zu 0,00, dann zur 1, danach zur 3, dann zur 7,dann wieder zur 1 usw. Ware Robert nicht in Deutschland zur Schule gegangen, dann hatte er dasTeilen wahrscheinlich auf diese Weise gelernt, denn in beinahe allen Landern auf der Welt machtman es so.

10

Anstatt diese Rechnung gleich zuende zu bringen, wollte Robert jetzt erst einmalausprobieren, ob es beim DURCH SIEBEN Spiel vielleicht genauso aufregend wer-den wurde wie beim Teilen durch Drei. Also tippte er

¤£

¡¢1¤£

¡¢÷ ¤£

¡¢7 und

¤£

¡¢= , und

augenblicklich erschien

0,142857142

im Fensterchen. In der letzten Nacht hatte ihm der Zahlenteufel schon so etwas Ahn-liches gezeigt, und auch in der Schule hatte die Rechnung fur

¤£

¡¢1¤£

¡¢÷ ¤£

¡¢7 schon an der

Tafel gestanden. Er erinnerte sich dunkel daran, daß es hier ein bißchen schwierigerwar als bei

¤£

¡¢1¤£

¡¢÷ ¤£

¡¢3 . Nach dem ersten Rest 1 kamen namlich noch die Reste 3, 2, 6,

4 und 5, aber danach ging es wieder mit dem ersten Rest 1 los und alles wiederholtesich. Das hatte zur Folge, daß beim Teilen durch Sieben 0, 142857 142857 . . .mit

einer endlosen Folge von 142857 –Blocken entstehen mußte4.

Robert tippte gleich noch einmal¤£

¡¢÷ ¤£

¡¢7 und

¤£

¡¢= , und zu seiner Verwunderung

erschien jetzt

0,020408163

Zwei, vier, acht, sechzehn, die gehopsten Zweien, dachte er, wieso aber gerade diegehopsten Zweien? Um sich erst einmal zu vergewissern, ob es hinter dem Randvom Fensterchens wirklich mit zweiunddreißig und vierundsechzig weiterging, druckter

¨§

¥¦×¤£

¡¢100 und

¤£

¡¢= , und es erschien

2,040816327

4In der Art von Leonhard Euler’s Rechenkunst wurde diese Rechnung folgendermaßen

aussehen:︷ ︸︸ ︷

0,14285714 . . .7)1,00000000 . . .

73028201460564035504910730282 . . .

Probleme mit dem Rest gibt es bei dieser Form der Buchfuhrung nicht. Er steht — gut sichtbar — unter dem jeweilsletzten Strich.

11

Die 32 war ok, aber anstelle der 7 des Taschenrechners hatte er eigentlich eine6 erwartet. Trotzdem ließ er sich nicht beirren und blieb bei seiner Idee mit dengehopsten Zweien:

0,020408163264

Und weil er sich beim Einschlafen schon oft die Zeit mit dem Verdoppeln vertrie-ben hatte — die Zahlen wurden so schnell groß, viel schneller als beim Zahlen —,sagte er fast automatisch einhundertachtundzwanzig, zweihundertsechsundfunfzig undfunfhundertzwolf dran, und zogerte diesmal nicht beim Weiterschreiben:

0,020408163264128

256512

0,020408163265306112

Dazu kamen dann

ein tausend vierundzwanzigzwei tausend achtundvierzigvier tausend sechsundneunzig

was mit Ziffern so aussah,

0,0204081632653061121024

20484096

0,020408163265306122448896

dazu dann

acht tausend einhundertzweiundneunzigsechzehn tausend dreihundertvierundachtzig

zweiunddreißig tausend siebenhundertachtundsechzig

mit der Rechnung

0,020408163265306122448896819216384

327680,020408163265306122448979591168

12

dazu wieder

funfundsechzig tausend funfhundertsechsunddreißigeinhunderteinunddreißig tausend zweiundsiebzig

zweihundertzweiundsechzig tausend einhundertvierundvierzig

und in der Rechnung

0,02040816326530612244897959116865536131072

2621440,020408163265306122448979591836729344

dazu dann

funfhundertvierundzwanzig tausend zweihundertachtundachtzigeine Million achtundvierzig tausend funfhundertsechsundsiebzigzwei Millionen siebenundneunzig tausend einhundertzweiundfunfzig

mit der Rechnung

0,0204081632653061224489795918367293445242881048576

20971520,020408163265306122448979591836734693834752

dazu dann

vier Millionen einhundertvierundneunzig tausend dreihundertvieracht Millionen dreihundertachtundachzig tausend sechshundertacht

sechzehn Millionen siebenhundertsiebenundsiebzig tausend zweihundertsechzehn

und in der Rechnung

0,0204081632653061224489795918367346938347524194304

838860816777216

0,020408163265306122448979591836734693877550678016

und dazu dann schließlich

13

dreiunddreißig Millionen funfhundertvierundfunfzig tausend vierhundertzweiunddreißigsiebenundsechzig Millionen einhundertacht tausend achthundertvierundsechzig

einhundertvierunddreißig Millionen zweihundertsiebzehn tausend siebenhundertachtundzwanzig

mit der Rechnung

0,02040816326530612244897959183673469387755067801633554432

67108864134217728

0,020408163265306122448979591836734693877551020405424128

Wieder war ein Wunder geschehen! Die 0204 vom Anfang war beim Verdoppelnzum zweiten Mal zum Vorschein gekommen! Robert war sicher, daß es jetzt mit derentsetzlich langen Zahl

020408163265306122448979591836734693877551

wieder von vorn losgeht. Er zahlte die Ziffern und kam dabei auf zweiundvierzig; eshatte sich also ein Drehwurm mit zweiundvierzig Ziffern ergeben!

Jetzt freute er sich richtig darauf, diesen beim Hopsen entstandenen Wurm zurProbe mal sieben zu nehmen — mit Blocken von Ziffern anstatt mit einzelnen Ziffernnaturlich, und mit Hilfe seines Taschenrechners:

0, 020408 163265306 122448979 591836734 693877551 mal 74 857142857

4 142857138857142853

1 1428571420, 1428560, 142857 142857142 857142857 142857142 857142857

Als er nach dem Zusammenzahlen das Ergebnis genauer betrachtete, fiel ihm auf,daß die 142857 vom ersten Schritt genau sieben mal in ihm vorkam:

0, 142857 142857 142857 142857 142857 142857 142857

Sieben hintereinander gesetzte 142857 –Blocke konnten also ohne Rest durch 7 ge-teilt werden, und dabei ergab sich dann ein Zahlenwurm mit zweiundvierzig Ziffern,ein Zahlenwurm also, der sieben mal so lang war wie der erste Drehwurm 142857.

Es sah also ganz so aus, als wurde das DURCH SIEBEN Spiel ahnlich ablaufen, wiedas DURCH DREI Spiel, bei dem ja nach den ersten beiden Stationen der Drehwurm

14

mit jedem Schritt dreimal langer wurde. Weil er aber fur die Sieben keine so einfacheRegel kannte wie die Dreierprobe fur die Drei, war es ihm uberhaupt nicht klar,weshalb die Sache auch hier so ahnlich funktionieren sollte.

Trotzdem verfolgte er den Gedanken weiter: Wenn die Wurmer auch bei DURCHSIEBEN mit jedem Schritt sieben mal langer wurden, dann mußte beim nachstenSchritt in diesem Spiel ein Drehwurm mit 7× 42, also mit

7× 42 = 7× 7× 6 = 49× 6 = (50− 1)× 6 = 300− 6 = 294

Ziffern rauskommen und dieser Drehwurm mußte sich deshalb ergeben, weil siebenhintereinandergesetzte

020408163265306122448979591836734693877551 –Blocke

ohne Rest durch Sieben geteilt werden konnen5.

Die gehopsten Zweien ließen Robert nicht los. Beim Grubeln daruber kam ihm aufeinmal der Kommentar des Zahlenteufels wieder in den Sinn, nachdem bei

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¡¢1¤£

¡¢÷ ¤£

¡¢3

die 0,333333333 im Fensterchen des Rechners erschienen war:

Die erste Drei nach dem Komma, das sind drei Zehntel. Dazu kommt dann diezweite Drei, die macht drei Hundertstel, die dritte drei Tausendstel und so weiter.Die kannst du dann zusammenzahlen.

Ja naturlich, dachte Robert, auf die gleiche Weise kann ich doch auch die Dinge beiden gehopsten Zweien ansehen!

5Vom Opa erfuhr er, daß dies wirklich so ist und daß vor mehr als zweihundert Jahren einJunge — Carl Friedrich Gauss — diesen Drehwurm — zusammen mit vielen anderen und zumgroßen Teil viel, viel langeren — bestimmt hatte. In einer sehr umfangreichen Tafel hatte er al-le diese Drehwurmer zusammengestellt — der langste unter ihnen hat immerhin 982 Ziffern! —und am Ende seiner gigantischen Arbeit notierte er (damals achtzehn Jahre alt) auf Lateinisch:Explicitur October 11. 1795 (fertiggestellt am 11. Oktober 1795). Der in dieser Tafel angegebeneDrehwurm fur

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¡¢1¤£

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¡¢÷¤£

¡¢7¤£

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¡¢7 lautet:

·

Robert zahlte nach, und es waren wirklich genau 294 Ziffern und als er dieses Ungeheuer mitSieben malnahm, erhielt er tatsachlich die sieben hintereinandergesetzten zweiundvierziger Blockevom vorherigen Schritt.

Offensichtliche Regeln fur die Abfolge der Ziffern konnte er hier nicht erkennen. Aber konnte esnicht sein, fragte er sich, daß auch hier eine versteckte, noch zu entdeckende Gesetzmaßigkeit amWerke ist?

15

Ich fange an mit zwei Hundertstel. Dazu kommen dann wieder zwei Hundertstel,aber diesmal gehopst, dann wieder zwei Hundertstel, und jetzt zweimal gehopst undso weiter. Und alle diese gehopsten Zweien kann ich dann zusammenzahlen!

Und so mußte dann die ganze Kommazahl von¤£

¡¢1¤£

¡¢÷ ¤£

¡¢7¤£

¡¢÷ ¤£

¡¢7 herauskommen,

wenn man all’ die Gehopsten von 0, 02 zusammenzahlt. Das war ein Gedanke, uberden er unbedingt mit dem Opa sprechen mußte6 !

Schließlich war Robert bei den gehopsten Zweien auch noch aufgefallen, daß er in derFolge der Gehopsten von 0, 02 immer zur vorangehenden Zahl zuruckhopsen konnte,wenn er mit 50 malnahm. Nachdem er einen Moment daruber nachgedacht hatte,wurde ihm klar, daß es dafur einen guten Grund gibt:

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¥¦×¤£

¡¢50 bewirkt namlich das

gleiche wie¨§

¥¦×¤£

¡¢100¤£

¡¢÷ ¤£

¡¢2 !

Weil er nun mit¨§

¥¦×¤£

¡¢50 ruckwarts marschieren konnte, vermutete Robert, daß dies

auch fur den Drehwurm eine Bedeutung haben musse — vielleicht ware es ja moglich,

6Als er dem Opa dann sein Problem beschrieb, griff dieser wieder in sein Regal, holte wiederein uraltes Buch heraus und versicherte Robert, daß er beim Studium dieses Buches bestimmt zueiner Antwort auf seine Frage kommen werde. Das Buch war Leonhard Eulers Voll�andige Anleitung zurAlgebra von 1770, und — er wollte seinen Augen nicht trauen — da war doch auf dem Titelblatteine kleine Eule abgebildet, die uber der Gottin Pallas Athene, auf einer abgebrochenen Saule saß!So eine Eule gab es namlich auch auf der griechischen 1 Euro–Munze, die seit den Sommerferienzu seinen Sammalobjekten gehorte.

Robert schlug das Buch auf und war sofort enttauscht. Viele Buchstaben — und ganz besondersdie großen — sahen namlich anders aus als die ihm vertrauten. Trotzdem fing er an, den Textbuchstabenweise zu entziffern, und schon nach kurzer Zeit wurde aus dem Entziffern ein langsamesLesen. Dabei merkte er dann sehr schnell, daß er ein Mathematik–Buch in der Hand hielt, dasgelesen werden wollte, und obwohl die Sprache etwas altertumlich und deshalb fur ihn ungewohntwar, verstand er das, was er las. Kein Wunder, denn ”die Absicht des weltberuhmten Verfassers beydemselben war“, so hieß es im Vorwort, ”ein Lehrbuch zu verfertigen, aus welchem ein jeder ohneeinige Beyhulffe die Algebra leicht fassen und grundlich erlernen konne“. Daß es auch in seinen furden Mathematikunterricht bestimmten Lehrbuchern um etwas gehen konnte, was ”ein jeder ohneeinige Beyhulffe leicht fassen und grundlich erlernen konne“, ein derartiger Gedanke war Robertnoch nie durch den Kopf gegangen — aber seine Schulbucher waren ja auch keine Lesebucher undsie waren auch nicht mit der Idee geschrieben worden, daß irgendjemand aus ihnen ohne einigeBeyhulffe die Mathematik grundlich erlernen konne.

In diesem Buch las Robert dann mit zunehmender Freude — mit Papier und Bleistift nebensich, weil er inzwischen gemerkt hatte, wie wichtig dies beim Mathematikmachen ist. Im zweitenAbschnitt uber Die verschiedenen Rechnungsarten mit zusammengesetzten Großen und dann indem Kapitel Geometrische Progressionen aus dem dritten Abschnitt fand er das Handwerkszeug,das er fur die Beantwortung seiner Frage benotigte. Außerdem fand er bei seiner Beschaftigungmit diesen Dingen eine Erklarung dafur, weshalb beim Teilen durch Drei und Sieben genau diebeobachteten Ziffernfolgen herauskommen mußten, weshalb beim DURCH SIEBEN Spiel die ge-hopsten Zweien in’s Spiel kamen, und weshalb es sinnvoll ist, zwischen 0,9999999. . . und 1 keinenUnterschied zu machen.

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den gesamten Drehwurm

020408163265306122448979591836734693877551

von¤£

¡¢1¤£

¡¢÷ ¤£

¡¢7¤£

¡¢÷ ¤£

¡¢7 durch Ruckwartsgehen aus der letzten 1 ganz hinten heraus-

zudroseln!

Das brachte ihn auf den Gedanken, nach den beiden GETEILT DURCH Spieleneinmal das Spiel MAL FUNFZIG zu spielen. Das Spiel beginnt mit der 1. Diesewird mal 50 genommen und das Ergebnis 50 zur 1 dazugezahlt. Das Resultat 51freute ihn, denn es stimmte mit den beiden letzten Ziffern des Drehwurms uberein,und so begann er das Spiel weiterzuspielen.

Weil¨§

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¡¢50 aber die gleiche Wirkung hat wie

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¡¢10 , und weil das auf

das¨§

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¡¢5 folgende

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¡¢10 zusammen mit diesem und dem Zusammenzahlen nichts

anderes bewirkt, als das Ergebnis von¨§

¥¦×¤£

¡¢5 direkt vor die Ausgangszahl zu setzen,

konnte er das MAL FUNFZIG Spiel etwas einfacher folgendermaßen beschreiben:Starte mit einer Zahl, nimm diese mit 5 mal und schreibe das Ergebnis vor die Zahl.

Nachdem er schon die 51 hatte, mußte er mit dieser Vorschrift im nachsten Schrittdie 5 mit 5 malnehmen und das Ergebnis 25 vor die schon dastehende 51 setzten. Dasmachte er so, daß er die 2 von der 25 zwar vor die 5 schrieb, aber etwas kleiner undeine Station tiefer — dort stand sie bereit, um im nachsten Schritt weiter verarbeitetzu werden:

5512

Dann nahm er die neue 5 ganz vorn mit 5 mal. Zum Ergebnis 25 kam noch die kleine2 aus der zweiten Zeile dazu, und das ergab 27. Die 7 schrieb er direkt vor die 551,die 2 davor kam kleiner wieder eine Station tiefer:

755122

Jetzt wurde die 7 mit 5 malgenommen, und zum Ergebnis 35 kam die 2 aus derzweiten Zeile dazu. Das ergab 37. Die 7 kam vor die 7551, und die 3 wieder davor,aber eine Station tiefer.

7755132 2

Nun wurde die neue 7 mit 5 malgenommen. Zum Ergebnis 35 kamen aber noch 3aus der zweiten Zeile dazu. Das ergab 38, die vor die 77551 geschrieben wurde, die3 naturlich wieder eine Station tiefer,

87755133 2 2

17

Bei jedem Schritt ergab sich auf diese Weise eine weitere Ziffer des Drehwurmsund Robert war ziemlich sicher, daß er mit dem MAL FUNFZIG Spiel wirklichden gesamten Drehwurm mit seinen zweiundvierzig Ziffern aus der 1 ganz hintenhervorlocken konnte — aber das wollte er spater einmal zuende rechnen.

Statt dessen beschaftigte er sich nun mit dem Malnehmen der Einserzahlen, mitdem ihn der Zahlenteufel in der ersten Nacht uberrascht hatte. Er wollte wissen,was wirklich dahinter steckt.

Nach dem selbstverstandlichen Anfang

1× 1 = 1 und 11× 11 = 121

rechnete Robert zunachst einmal so, wie er es in der Schule gelernt hatte

111 × 111111

11111112321

1111 × 11111111

11111111

11111234321

11111 × 1111111111

1111111111

1111111111123454321

Damit war der Grund fur den Trick des Alten klar: Weil jede zusatzliche 1 in derEinserzahl in der Rechnung eine neue Zeile mit Einsen erzeugt, mußte sich beimZusammenzahlen jedes Mal eine neue Ziffer ergeben und im Ergebnis mußte deshalbin der Mitte eine neue Ziffer zum Vorschein kommen.

Das konnte allerdings nur so lange gut gehen, wie die Einserzahl weniger als zehnEinsen hatte. Hat sie zehn Einsen, dann mussen zehn Einsen zusammengezahlt wer-den, und dann gilt: Endlich ist auch zu merken, dass niemals von einer Sorte mehrals neun konnen geschrieben werden, indem 10 Stucke von einer Sorte ein Stuck vonder folgenden ausmachen und folglich dahin gehoren. Nachdem bei neun Einsen die9 erschienen war, wurde es aus diesem Grund bei zehn anders — Zahlensalat hatteder Zahlenteufel das Ergebnis genannt, aber was ist das eigentlich, Zahlensalat?

Robert wollte es ein bißchen genauer wissen. Hierfur hatte er naturlich nichts weitertun mussen, als die Zahl mit den zehn Einsen mit sich selbst malzunehmen —eine etwas umfangreiche, aber doch leichte Rechnung. Weil er aber auch wissenwollte, wie das Ergebnis bei zwanzig, dreißig, vierzig oder mehr Einsen aussieht,ware es nicht nur schwierig geworden, die ganze Rechnung auf einem Blatt Papierunterzubringen, Robert hatte auch große Zweifel, daß er die Rechnung bei so vielenEinsen ohne Verzahlen oder Verrechnen zuende bringen wurde.

18

Deshalb probierte er auch hier das Malnehmen mit Blocken von Ziffern anstatt miteinzelnen Ziffern. Hierfur zerteilte er die Einserzahl in der Aufgabe 11111× 11111durch Abtrennen der ersten 1 in zwei Blocke, einen Einserblock und einen Vie-rerblock. Damit nahm dann die Rechenaufgabe bei funf Einsen die folgende Forman:

1|1111× 1|1111

Nach diesem Anfang ging es beinahe von selbst weiter: Entsprechend zum Rechnenmit Ziffern mußte nun jeder Ziffern–Block der einen Zahl mit jedem Block der ande-ren malgenommen werden. Das Ergebnis kam dann an diejenige Stelle des ublichenRechenschemas, die durch die Regeln fur’s Malnehmen dafur vorgeschrieben war.

Die Buchfuhrung fur seine Rechnung sah folgendermaßen aus

1 1111 × 1|1111123 4321

11111 11111 2345 4321

und verlief im Einzelnen wie folgt:

• Zuerst wurden die beiden 1111 Blocke miteinander malgenommen. Weil er1111 × 1111 aber schon ausgerechnet hatte, mußte er nur noch das Ergebnis1234321 in die ersten Zeile unter dem 1111 Block eintragen. Weil dort abernur Platz fur die letzten vier Ziffern 4321 war, kam der erste Abschnitt 123 indie Abteilung davor.

• In die zweite Zeile kam unter die 1 in der mittleren Abteilung das Resultat1111 von 1× 1111.

• Weil jetzt nur noch mit der vorderen 1 der rechten Zahl malgenommen werdenmußte und weil das Malnehmen mit einer Eins nichts verandert, konnte erhier einfach die Blocke der vorderen Zahl in die dritten Zeile unterhalb der 1eintragen.

• Danach wurde der Strich gezogen und zusammengezahlt.

Bei sechs Einsen zerteilte er — wieder durch Abtrennen der ersten 1 — die Einserzahlin einen Einserblock und einen Funferblock, und rechnete dann sinngemaß wie inder vorigen Rechnung — insbesondere paßte er das Ergebnis von der vorangehenden

19

Rechnung in der ‘richtigen’ Weise in die erste Zeile der Rechnung ein:

1 11111 × 1|111111234 54321

111111 111111 23456 54321

Bei sieben Einsen benutzte er das Ergebnis der Rechnung mit sechsen

1 111111 × 1|11111112345 654321

1111111 1111111 234567 654321

und damit war klar, wie der Hase lauft. So konnte es dann weitergehen bis in’sAschgraue.

Zunachst also mit acht Einsen

1 1111111 × 1|1111111123456 7654321

11111111 11111111 2345678 7654321

dann mit neun1 11111111 × 1|11111111

1234567 8765432111111111

1 111111111 23456789 87654321

und schließlich mit zehn Einsen — und das war ja gerade die Stelle, an der derZahlenteufel sich so grundlich getauscht hatte.

1 111111111 × 1|11111111112345678 987654321

1111111111 1111111111 234567900 987654321

Nichts war hier unnormal, nur kam an dieser Stelle zum ersten Mal die Regel in’sSpiel: Endlich ist auch zu merken, dass niemals von einer Sorte mehr als neun

20

konnen geschrieben werden, indem 10 Stucke von einer Sorte ein Stuck von derfolgenden ausmachen und folglich dahin gehoren.

Fachmannisch futterte Robert dann das Ergebnis des zehnten Schrittes in das For-mular fur den elften, und loste damit — ganz nebenbei und ganz muhelos — dieAufgabe, bei der der Alte in der ersten Nacht vor Wut geplatzt war:

1 1111111111 × 1|1111111111123456790 0987654321

11111111111 11111111111 2345679012 0987654321

Dann kam er zum zwolften Schritt,

1 11111111111 × 1|111111111111234567901 20987654321

111111111111 111111111111 23456790123 20987654321

und nach dem dreizehnten

1 111111111111 × 1|11111111111112345679012 320987654321

1111111111111 1111111111111 234567901234 320987654321

hatte er eine Idee, wie der Zahlensalat sich mit der Anzahl der Einsen in der Ein-serzahl schrittweise weiter entwickeln konnte.

Um eine Grundlage fur seine weiteren Nachforschungen zum Thema Zahlensalat zuhaben, rechnete er noch bis zu zwanzig Einsen weiter. Allerdings machte er es ausSpaß am Rechnen bei der Aufgabe mit den zwanzig Einsen

11111111111111111111× 11111111111111111111

anders und benutzte diesmal fur seine Rechnung das Ergebnis der Rechnung mitden zehn Einsen:

1111111111 1111111111 × 1111111111|1111111111

123456790 0987654321123456790 0987654321123456790 0987654321

123456790 0987654321

123456790 1234567901 2098765432 0987654321

21

So konnte es dann auch in großeren Schritten weitergehen7.

Die Ergebnisse seiner Rechnungen stellte er in einer Tabelle zusammen und notiertezum Vergleich ganz rechts die Rechenergebnisse seines Taschenrechners.

Auf dem Papier Mit dem Taschenrechner

1 1 1

2 121 121

3 12321 12321

4 1234321 1234321

5 123454321 123454321

6 12345654321 1,234565432e+10

7 1234567654321 1,234567654e+12

8 123456787654321 1,234567877e+14

9 12345678987654321 1,234567899e+16

10 1234567900987654321 1,234567901e+18

11 123456790120987654321 1,234567901e+18

12 12345679012320987654321 1,234567901e+18

13 1234567901234320987654321 1,234567901e+18

14 123456790123454320987654321 1,234567901e+18

15 12345679012345654320987654321 1,234567901e+18

16 1234567901234567654320987654321 1,234567901e+18

17 123456790123456787654320987654321 1,234567901e+18

18 12345679012345678987654320987654321 1,234567901e+18

19 1234567901234567900987654320987654321 1,234567901e+18

20 123456790123456790120987654320987654321 1,234567901e+18

Schon beim Eintippen war Robert aufgefallen, daß der Taschenrechner bei den Ein-serzahlen mit mindestens zehn Einsen stets

1,234567901e+18

7Auch beim Malnehmen gibt es es eine andere Form der Buchfuhrung als die, die wir in Deutsch-land in der Schule lernen: Die Faktoren werden dabei nicht nebeneinander hingeschrieben und durchein Malzeichen voneinander getrennt, sondern — Stelle unter Stelle — untereinander. Die eigent-liche Rechnung erfolgt genauso, wie wir es kennen. In Euler’s Einleitung zur Rechenkunst wird esauf diese Weise gemacht, fast uberall sonst auf der Welt macht man es auch so, und vor 1920 hatman es auch in Deutschland so gemacht.

Fur Einserzahlen mit vierzig Einsen sieht die Rechnung folgendermaßen aus (ohne Malzeichenbei Euler, mit Malzeichen vor dem unten stehenden Faktor sonst):

11111111111111111111 11111111111111111111× 11111111111111111111 11111111111111111111

1234567901234567901 209876543209876543211234567901234567901 209876543209876543211234567901234567901 20987654320987654321

1234567901234567901 209876543209876543211234567901234567901 23456790123456790123 43209876543209876543 20987654320987654321

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ausgibt — daß das Ergebnis der Rechnung des Taschenrechners also ganz unabhangigvon der Eingabe ist. Wie war das moglich? War es etwa dieses Wunder, das denZahlenteufel veranlaßt hatte von Zahlensalat zu reden? Und uberhaupt: Wollte ihnder Taschenrechner durch die standige Wiederholung der Ziffernfolge 1234567901vielleicht auffordern herauszufinden, weshalb diese Ziffernfolge sowohl hier, wie auchbeim DURCH DREI Spiel zu sehen ist?

23