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Universität Bielefeld Fakultät für Physik Bachelor-Arbeit Rotation von Galaxien Ann-Kristin Möller Bielefeld, 17. August 2010 Gutachter: Prof. Dr. Dominik Schwarz Prof. Dr. Dietrich Bödeker

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  • Universität BielefeldFakultät für Physik

    Bachelor-Arbeit

    Rotation von Galaxien

    Ann-Kristin Möller

    Bielefeld, 17. August 2010

    Gutachter: Prof. Dr. Dominik SchwarzProf. Dr. Dietrich Bödeker

  • Erklärung 2

    ErklärungHiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständnig verfasst habe.Dabei wurden keine weiteren als die angegebenen Hilfsmittel verwendet.

    Bielefeld, 17. August 2010Ann-Kristin Möller

  • Inhaltsverzeichnis 3

    Inhaltsverzeichnis

    1 Einleitung 4

    2 Galaxie-Typen 52.1 Spiralgalaxien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Elliptische Galaxien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Lentikulare Galaxien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 Irreguläre Galaxien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.5 Hubble-Klassifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    3 Potential-Modelle 113.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Sphärische Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3 Abgeflachte Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    4 Rotationskurven 154.1 Beobachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Dunkle Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.3 Mess-Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    5 Die Galaxie M31 185.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.2 Rotation von M31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.3 Plummer-Modell bei M31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    6 Fazit 21

    Literaturverzeichnis 23

  • 1 Einleitung 4

    1 EinleitungSeit Menschen existieren, spielt das Weltall eine tiefgründige Rolle für Fragen dereigenen Existenz. Selbst heute, wo die Menschen tiefer ins Universum und somitweiter in die Vergangenheit schauen können als jemals zuvor, ist es immer nochein mystischer Ort und Bühne für Sience-Fiction und Sagen.Das Universum wird wohl noch lange nicht im Ganzen erfasst sein und viele Fra-gen bleiben lange Zeit ungelöst, doch die Menschen erhalten mit ihrer ForschungSchritt für Schritt mehr Erkenntnisse darüber, wie ihre Welt aufgebaut ist, imKleinen wie im Großen. Eine dieser Etappen ist sicherlich die Untersuchung vonGalaxien, die vielleicht wichtigsten Bausteine des Universums. Galaxien werdenauch Insel-Universen genannt und allein mit Hilfe des Hubble-Teleskop lassen sichtheoretisch bereits über fünfzig Millarden von ihnen beobachten. So ist es nichtverwunderlich, wenn auf ihnen das Hauptaugenmerk liegt, um etwas über die Weltzu lernen.

    Mit Galaxien habe ich mich in dieser Arbeit befasst, genauer gesagt, mit ihrerStruktur und Bewegung. Ich gebe zu Beginn einen kurzen Abriss über ihre For-men und Zusammensetzungen, sowie über ihr Vorkommen und ihre Helligkeitsei-genschaften. Anschließend gehe ich in einigen Beispielen darauf ein, wie man voneinfachen Modellen von Potentialen auf die Rotationsgeschwindigkeit von Galaxienschließen kann. Ein kurzer Abschnitt gibt Einsicht in die Bedeutung der dunklenMaterie bei der Beschreibung von Galaxien und ein weiterer soll darstellen, welcheMethoden es gibt, Galaxien zu beobachten und ihre Geschwindigkeiten zu mes-sen. Das bedeutet vor allem, welche Spektren für die Beobachtung von Nutzensind und wie man mit der Schwierigkeit der unterschiedlichen Neigungswinkel derGalaxien umgehen kann. Als Beispiel greife ich die Andromeda-Galaxie auf, ander die zuvor dargestellte Mathematik angewendet wird. Deren Rotationskurvesoll mit einem einfachen Potential modelliert und mit ihrer gemessenen Helligkeitverglichen werden.

  • 2 Galaxie-Typen 5

    2 Galaxie-TypenUm Rotationskurven und Masseverteilungen von Galaxien berechnen zu können,ist es wichtig, ihre Struktur und ihre Zusammensetzung aus stellarem Gas, Staub,Sternen und dunkler Materie zu kennen. Im Folgenden soll deshalb ein Überblicküber die vier Haupttypen von Galaxien gegeben werden.

    2.1 SpiralgalaxienDiese Galaxien, zu denen auch unsere Milchstraße und die Andromeda-GalaxieM31 gehören, sind scheibenförmig und bestehen aus Sternen, Gas und Staub. Ihrecharakteristischen Spiralarme winden sich um das Zentrum und können in sehrunterschiedlicher Form, Länge und Präsenz auftreten. Sie formen sich aufgrundstehender Dichtewellen und sind Geburtsstätte neuer Sterne. Ein schönes Bei-spiel ist die Whirlpool-Galaxie M51, die in Abb. 1 mit der Nachbargalaxie NGC5195 im Hintergrund dargestellt ist. Die Arme können dabei sowohl in die Rota-tionsrichtung als auch in entgegengesetzte Richtung weisen [1, §1.1.3]. Oft habenSpiral-Galaxien eine zentrale Ausbuchtung, ’Bulge’ genannt. Diese ist dicker alsdie Scheibe und ähnelt elliptischen Galaxien. Die Helligkeit des Bulges im Ver-gleich zur Scheibe lässt sich nicht einfach bestimmen, da sie abhängig ist von derstofflichen Eigenschaft wie dem Gasanteil der Scheibe und von der Windungsstärkeder Spiralarme. Auch seine Entstehung ist nicht vollkommen geklärt.

    Abb. 1: Spiralgalaxie M51 [2], aufgenommen mit dem Galileo-Teleskop und derSpektograph-Kamera d.o.lo.res. über das B-, V- und R-Band

    Etwa die Hälfte aller Spiralgalaxien weisen in ihrem Innern auch längliche, balken-

  • 2 Galaxie-Typen 6

    förmige Strukturen auf [1, §1.1.3]. Bei vielen Spiralgalaxien ist der Balken nicht sogut ausgeprägt, wie etwa bei der Galaxie NGC1300 in Abb. 2.

    Abb. 2: Balkenspiralgalaxie NGC1300, aufgenommen mit dem Hubble Space Te-lescope [3]

    Spiralgalaxien finden sich vermehrt in Regionen niedriger Galaxien-Ballung, wo-hingegen ihr Anteil in dichteren Gebieten auf etwa 10% abnimmt [4, §4.1.2]. DieOberflächenhelligkeit als Funktion des Radius R gewährt eine erste Einsicht zurGröße und Masse von Galaxien und verhält sich für Spiralgalaxien folgendermaßen[1, §1.1.3]:

    I(R) = Id · e−R/Rd , (1)

    mit der zentralen Oberflächenhelligkeit Id, die typischerweise einen Wert von ca.100L�pc

    −2 hat, und mit der Scheiben-Skalenlänge Rd ≈ 2h−17 kpc. h7 ist durchdie Hubble-Konstante definiert:

    H0 = 70h7km s−1Mpc−1 ,

    wobei h7 eins ist bis auf eine Abweichung von 10% [1, §1.1.3]. L� = 3,84 · 1026W ist die Leuchtstärke der Sonne. Die Einheit Parsec ist umgerechnet: 1 pc ≈3,09 · 1016 m ≈ 3,26 lyr.

    Das Tully-Fischer-Gesetz [5] bschreibt den Zusammenhang zwischen der Leucht-stärke LR und der Rotationsgeschwindigkeit vc:

    log10

    (LRh

    27

    1010L�

    )= 3,5 log10

    ( vc200 km s−1

    )+ 0,5 (2)

    Dabei verweist der Index bei LR darauf, dass die Leuchtstärke im R-Band, alsobei λ = 660 nm gemessen wird. Die totale, sogenannte bolometrische LeuchtstärkeL, die Rate der Energie integriert über alle Wellenlängen, ist schwierig zu messen.Unter anderem, weil die Atmosphäre viele der eingehenden Wellenlängen teilweiseverzerrt oder absorbiert. Deswegen beschränkt man sich auf enge Wellenlängen-Bereiche.

  • 2 Galaxie-Typen 7

    2.2 Elliptische GalaxienElliptische Galaxien wie M87 (Abb. 3) weisen kaum oder kein interstellares Gasauf, formen keine Scheibe wie Spiralgalaxien und besitzen auch keine Balken. Auf-grund der Abwesenheit des Gases müssen die vorhandenen Sterne sehr alt sein,da kein Material vorhanden ist, um neue Sterne zu formen. Binney und Tremai-ne zufolge ist ihr Alter sogar mit dem des Universums vergleichbar. Die meistenhelleren elliptischen Galaxien rotieren kaum. Elliptische Galaxien finden sich ver-mehrt (≈ 40%) in dichteren Gebieten, weniger (≈ 10%) in Umgebungen niedrigerGalaxien-Dichte [1, §1.1.3].

    Abb. 3: Elliptische Galaxie M87 [6], vom Canada-France-Hawaii-Teleskop aufge-nommen

    Die Isophoten (Konturen gleicher Oberflächen-Helligkeit) dieses Typs ähneln kon-zentrischen Ellipsen ohne eine scharf umrissene Kontur. Das Achsenverhältnis abliefert typische Werte zwischen 1 und 0,3. Es treten sowohl achsensymmetrische alsauch triaxiale Formen auf, doch anhand von Beobachtungen lässt sich dies schwerzuordnen, da immer nur die projizierte Helligkeits-Verteilung zu sehen ist [4, §§4.2,4.3].Die Oberflächenhelligkeit lässt sich sehr gut durch das Sérsic-Gesetz beschreiben[1, §1.1.3]:

    Im(R) = Ie exp

    [−bm

    [(R

    Re

    )1/m− 1

    ]], (3)

    mit der Oberflächen-Helligkeit Ie bei effektivem Radius Re, das heißt des Radiusder Isophote, die die Hälfte der totalen Helligkeit beinhaltet. m ist der Sérsic-Index. Für hellere elliptische Galaxien hat er einen Wert von m ≈ 6, für dunklerem ≈ 2. Für m = 1 erhält man das gleiche Helligkeits-Profil wie für Spiralgalaxien.bm ist eine Funktion, welche numerisch aus der Bedingung∫ Re

    0

    dR R Im(R) =1

    2

    ∫ ∞0

    dR R Im(R)

  • 2 Galaxie-Typen 8

    erhalten werden muss. Der Fehler für bm = 2m − 0,324 ist beispielsweise ≤ 0,001bei 1 < m < 10. Für m = 1 erhält man wieder die Oberflächenhelligkeit für Spiral-galaxien.

    Den Zusammenhang zwischen der Oberflächenhelligkeit und der Leuchtstärke wie-derum ist:

    L(r) =

    ∫d2r Im(r) (4)

    Die Helligkeit von elliptischen Galaxien schwankt zwischen Werten von 1012L� fürhelle und 104L� für leuchtschwache Galaxien. Die Größe, Helligkeit und Geschwin-digkeitsverteilung von elliptischen Galaxien hängen eng zusammen. So sind Exem-plare mit höherer Leuchtstärke größer, haben aber eine geringere Oberflächen-Helligkeit. Für diesen Galaxie-Typ kann man die Verteilung der Dunklen Materiein ähnlicher Weise bestimmen, wie für Spiralgalaxien: Für isolierte Galaxien lässtsich die Emission von Röntgen-Strahlung von heißem Gas um die Galaxie her-um nutzen. Ebenso die Beobachtung von Satelliten-Galaxien oder des schwachenGravitationslinsen-Effekts.

    2.3 Lentikulare Galaxien

    Abb. 4: Lentikulare Galaxie M102 [7], mit dem R-, V- und B-Band am NordicOptical Telescope augenommen

    Diese linsenförmigen Galaxien gelten als Typ zwischen Spiralgalaxien und ellip-tischen Galaxien. Sie bestehen ebenso wie Spiral-Galaxien aus einer Scheibe undeinem zentralen Bulge und weisen auch eine ähnliche exponentielle Helligkeits-Verteilung auf. Doch sie unterscheiden sich durch ihren geringen Gasanteil unddem Fehlen von Spiralarmen. Dieser Typ findet sich in großer Zahl in Gebietenvon hoher Galaxien-Dichte, wie in Galaxien-Haufen, aber selten in isolierter Form

  • 2 Galaxie-Typen 9

    [1, §1.1.3]. Van Gorkom [8] vermutet, dass sich dieser Zusammenhang dadurch er-klären lässt, dass Lentikulare Galaxien einmal Spiralgalaxien gewesen sein könnten,die ihr Gas durch Wechselwirkung mit dem umgebenen Gas des Galaxie-Haufensverloren haben. Ein Beispiel dieses Typs ist in Abb. 4 dargestellt.

    2.4 Irreguläre GalaxienWährend des Alterungsprozesses von Spiralgalaxien verzerren sich deren charakte-ristischen Arme und werden zunehmend undeutlicher erkennbar, außerdem nimmtihre Leuchtstärke ab. Dann werden sie als irreguläre Galaxien bezeichnet. Sie zeich-nen sich dadurch aus, dass junge Sterne weniger geordnet auftreten als in ihrenVorgänger-Klassifikationen. Abb. 5 zeigt die irreguläre Galaxie Sextans A, die imgleichnamigen Sternbild zu finden ist. Über ein Drittel der bekannten Galaxiensind von dieser Art. Sie weisen eine annähernd lineare Abhängikeit zwischen Ro-tationsgeschwindigkeit und Radius mit einem Maximum von v ≈ 50-70km s−1 anihrem äußeren Rand auf [1, §1.1.3].

    Abb. 5: Irreguläre Galaxie Sextans A [9] vom Cerro Toloro Inter-American Ob-servatory

    Es werden auch solche Galaxien unter diesen Namen gefasst, die zu keinem anderenTyp passen. Dazu gehören zum Beispiel Galaxien, die von einer anderen Galaxiegestört werden oder mit einer Galaxie zusammengestoßen sind.

  • 2 Galaxie-Typen 10

    2.5 Hubble-KlassifikationDie Hubble-Klassifikation ist ein Schema, welches von E. Hubble entworfen wurde.Er nahm an, dass sich elliptische Galaxien zu Spiralgalaxien entwickeln und dabeientweder einen Balken ausprägen können oder nicht [4, §4.1.1]. Inzwischen giltdiese Annahme nicht mehr als richtig, dennoch wird sie allgemein zur Darstellungder Galaxien herangezogen. Abb. 6 zeigt dieses Schema. „E“ steht für elliptischeGalaxien, „S“ für Spiralgalaxien. Der Zusatz „B“ meint, dass es sich um eine Bal-kengalaxie handelt. Die Unterteilung der elliptischen Galaxien En mit n von 1 bis7 zeigt die Entwicklung der Form von rund bis sehr länglich, beziehungsweise dasAchsenverhältnis ba mit n = 10[1− (b/a)] [4, §4.1.1]. S0 sind lentikulare Galaxien,anschließend folgen Spiralgalaxien ohne oder mit Balken, die in Sa, Sb und Scbeziehungsweise SBa, SBb und SBc unterteilt sind. Die Bezeichnungen a, b und cgeben an, wie eng die Spiralarme um das Zentrum gewunden sind und wie auffäl-lig der zentrale Bulge ist. Zwischentypen werden dann als Sab, Sbc und so weiterbezeichnet.

    Abb. 6: Hubble-Klassifikation [10]

  • 3 Potential-Modelle 11

    3 Potential-ModelleUm von gemessenen Rotationskurven auf die Masse und Dichteverteilung einerGalaxie schließen zu können, ist es erforderlich, vereinfachende Modelle zur Dar-stellung von Galaxien zu entwickeln. Einige dieser Modelle für Potentiale sollenim Folgenden vorgestellt werden. Es ist wichtig, dass man nicht versucht, Galaxie-Systeme mithilfe von statistischer Mechanik zu berechnen. Man kann Sterne inGalaxien nicht mit Molekülen in einem abgeschlossenen Behälter vergleichen, denndie Wechselwirkungen zwischen den jeweiligen Komponenten spielen sich auf völ-lig verschiedenen Skalen ab. Während die Interaktionen zwischen Molekülen kurz-reichweitig sind, da die Kraft klein ist, bis sich die Teilchen auf kurze Distanz an-nähern, sind Gravitationskräfte zwischen Sternen auch noch weit entfernt spürbar.Somit müssen die Kräfte auf Sterne auf der Skala der ganzen Galaxie betrachtetwerden. Als erste Vereinfachung wird folglich eine glatte, gleichmäßige Dichtever-teilung angenommen, ohne den einzelnen Komponenten im Detail Beachtung zuschenken [1, §1.2].

    3.1 AllgemeinesDie Dichte ρ einer (Massen-)Verteilung und dessen Potential Φ stehen in direkterVerbindung durch die Poisson-Gleichung:

    ∆Φ = 4πGρ , (5)

    mit der Gravitationskonstante G. Für eine kugelsymmetrische Verteilung ist essinnvoll, den Laplace-Operator in sphärischen Koordinaten zu schreiben:

    ∆ = ∂2r +2

    r∂r +

    1

    r2∂2ϑ +

    cos(ϑ)

    r2 sin(ϑ)∂ϑ +

    1

    r2 sin2(ϑ)∂2ϕ . (6)

    Betrachtet man die Sterne einer Galaxie als die Strömung eines reibungsfreien,also idealen Fluids, gelangt man zu der Euler-Gleichung

    ρ(t, ~r)

    [∂~v

    ∂t(t, ~r) + [~v(t, ~r) · ~∇]~v(t, ~r)

    ]= ~fv(t, ~r)− ~∇p(t, ~r) . (7)

    ρ ist die Dichte, ~v die Geschwindigkeit, p der Druck und ~fv der Kraftdichtevektor.Für ein nicht-ideales Fluid ergibt als sich ein weiterer Term die Viskosität auf derrechten Seite der Euler-Gleichung. Diese setzt sich aus der Scherviskosität η undder Dehnviskosität ζ zusammen:

    ~fViskosität = η ·∆~v + (ζ +η

    3)~∇(~∇ · ~v) .

    Um die Kraft F (~r) auf einen Massepunkt mit Masse m innerhalb einer Massenver-teilung ρ(~r) zu berechnen, benötigt man das Gravitationspotential Φ(~r) [1, §2.1]:

    Φ(~r) = −G∫

    d3~r ′ρ(~r ′)

    |~r ′ − ~r |. (8)

  • 3 Potential-Modelle 12

    Mit der Schwerebeschlunigung

    ~g(~r) = ~∇∫

    d3~r ′Gρ(~r ′)

    |~r ′ − ~r |

    folgt somit ~F (~r) = m · ~g(~r) = −m · ~∇Φ(~r).

    3.2 Sphärische Systeme• Die einfachsten Systeme sind kugelsymmetrisch. Für eine homogen verteilte

    Kugel mit der Masse M(r) = 43πr3ρ innerhalb des Radius r gilt [1, §2.2.1]:

    Φ(r) =

    {−2πGρ(a2 − 13r

    2) (r < a)

    − 43πGρa3

    r (r > a)(9)

    Die potentielle Energie berechnet sich durch [1, §2.2.1]

    W = −4πG∫ ∞0

    dr rρ(r)M(r) = −3GM2

    5a. (10)

    a bezeichnet den Radius der Kugel.

    • Für ein sphärisches System, dessen Potential im Zentrum annähernd kon-stant ist und nach außen hin auf Null abfällt, erhält man das Plummer-Modell [1, §2.2.2]:

    Φ(r) = − GM√r2 + b2

    , (11)

    wobei M die Gesamtmasse ist und b die sogenannte Plummer-Skalenlänge.Die Rotationsgeschwindigkeit einer vernachlässigbaren Punktmasse m ergibtsich aus dem Gleichsetzen der Gravitationskraft |F | = −GM(r)r2 und derZentripetalkraft v

    2

    r :

    v2 = r|F | = rdΦ(r)dr

    =GM(r)

    r(12)

    3.3 Abgeflachte Systeme• Um Spiral-Galaxien beschreiben zu können, ohne einen Dunklen Halo einzu-

    beziehen, braucht man ein Potential-Modell für achsensymmetrische Schei-ben. Wenn r den Radius innerhalb der Scheibe und z die Höhe außerhalbder Scheibe bezeichnet, ist das Kuzmin-Modell [1, §2.3.1]

    ΦK(r, z) = −GM√

    r2 + (a+ |z|)2(a ≥ 0) (13)

  • 3 Potential-Modelle 13

    nützlich. a ist derjenige Abstand von der Scheibe, für den gilt: Das Potentialbei (r, z) für z < 0 beziehungsweise z > 0 entspricht dem Potential einerPunktmasse an den Punkten (0,± a) [1].

    • Man erhält auch ausgehend von einem Homöoid das Potential eines abge-flachten Systems [1, §2.6.1]. Ein Homöoid ist eine dreidimensionale Schale,die von zwei konzentrischen Ellipsoiden eingefasst wird. Wenn für das äußereEllipsoid mit a, b, c als Halbachsen

    1 =x2

    a2+y2

    b2+z2

    c2

    gilt, so erhält man die innere Ellipse mit 0 < m < 1 durch

    m2 =x2

    a2+y2

    b2+z2

    c2.

    Man stelle sich zunächst ein homogenes, sehr flaches Rotationsellipsoid mitMassendichte ρ vor, mit den Halbachsen a und c, q := ca und c der Rota-tionsachse, vergleiche Abb. 7. Seine Masse ist M(a) = 43πρqa

    3 und seineOberflächendichte Σ(a,R) = 2ρq

    √a2 −R2.

    Abb. 7: Ein Spheroid mit Achsenverhältnis q. Die Länge der Sichtlinie durch dasSpheroid in Richtung des Beobachters beträgt 2q

    √a2 −R2 [1, §2.6.1].

    R ist der zylindrische Radius. Um die Oberflächendichte und Masse einesHomöoids zu erhalten, werden beide Formeln nach a abgeleitet. Um einensehr flachen Homöoid zu bekommen, lässt man q klein werden und behält2ρqa = Σ0 konstant. Es ergibt sich:

    δM(a) = 2πΣ0aδa , Σ(a,R) =Σ0δa√a2 −R2

    .

  • 3 Potential-Modelle 14

    Wird nun das Potential eines Spheroiden-Mantels benutzt [1, 2.5.1], welcheshier nicht hergeleitet werden soll,

    Φ(u) = −GδMae·

    {sin−1(e) (u < u0)

    sin−1(sech(u)) (u ≥ 0), (14)

    kann man auf das Potential einer Scheibe durch einen Homöoid schließen. ukommt durch die Substitution R = a cosh(u) sin(v), z = a sinh(u) cos(v) (u ≥0, 0 ≤ v ≤ π) und mit der Bedingung cos2(v) + sin2(v) = 1 zustande. DieExzentrizität e ist für sehr flache Systeme eins. Der Wert u0 bezeichnet einenPunkt auf der Oberfläche des Sphäroiden. Damit erhält man schließlich:

    Φ(R, z) = 4G

    ∫ 0∞

    da sin−1(

    2a√+ +√−

    )d

    da

    ∫ a∞

    dR′R′Σ(R′)√R′2 − a2

    , (15)

    mit

    ñ =

    √z2 + (a±R)2 und Σ(R) =

    ∑a≥R

    Σ0δa√a2 −R2

    .

    Die Geschwindigkeit in der äquatorialen Ebene ergibt sich mit z = 0 somitzu:

    v2(R) = RdΦ(R)

    dR= −4G

    ∫ R0

    daa√

    R2 − a2d

    da

    ∫ ∞0

    dR′R′Σ(R′)√R′2 − a2

    (16)

    Dies sind einige der einfacheren Modelle. Solche, die Galaxien weitaus realistischerdarstellen, sind komplizierter und beinhalten mehr Parameter. Viele Beispiele fin-den sich in Galactic Dynamics von J. Binney und S. Tramaine.

  • 4 Rotationskurven 15

    4 Rotationskurven

    4.1 BeobachtungenUmkreist ein Stern ein galaktisches Zentrum in großem Abstand, so sollte dasPotential dem einer Punktmasse entsprechen. Daraus ergibt sich die zirkulare Ge-schwindigkeit dieser Punktmasse aus dem Gleichgewicht der Zentripetalkraft undder Gravitationskraft zu:

    vc(r) =

    √G ·M(r)

    r, (17)

    vorausgesetzt, die Gravitation ist die einzige wirkende Kraft, beziehungsweise al-le anderen sind vernachlässigbar. Dieses Verhalten erwartet man annähernd beigroßen r für eine Galaxie, wenn lediglich die leuchtende Materie, d.h. Sterne undGas, zur Gesamtmasse beitragen. Doch verschiedene Beobachtungen zeigen, dassdie meisten Rotationskurven nicht nach diesem Gesetz mit wachsendem Radiusabfallen, sondern flach sind oder gar leicht ansteigen. Abb. 8 zeigt als Beispiel dieRotationskurve der Spiral-Galaxie NGC 6503. Zu sehen ist die gemessene Gesamt-Geschwindigkeit, die sich aus den Anteilen des Gases (gas), der dunklen Materie(halo) und der Scheibe (disk) zusammensetzt.

    Abb. 8: Rotationskurve der Galaxie NGC6503 [11]

    Diese Rotationskurven deuten darauf hin, dass sich mehr Masse in Galaxien be-findet, als man sehen kann. Binney und Tremaine [Galactic Dynamics] zufolgegilt sogar, dass der Anteil dunkler Materie in Umgebungen niedriger Leuchtstärkebei weitem dominiert. Für Radien jenseits 300 kpc lässt sich die Verteilung derdunklen Materie durch die Beobachtung der Kinematik von Satelliten-Galaxienoder durch den schwachen Gravitationslinsen-Effekt ermitteln [12], bei dem dasGravitationsfeld naher Galaxien das Bild entfernter Galaxien stört.

  • 4 Rotationskurven 16

    Einige Experten haben Statistiken zusammengestellt, um Galaxien nach ihren For-men und Rotationskurven zu katalogisieren. Sie haben festgestellt, dass die Hel-ligkeit von Galaxien im Zusammenhang mit der Geschwindigkeitsfunktion stehenkönnte. So weisen die meisten hellen Typen eine leicht abfallende Rotationskurveauf, mittlere eine flache und dunklere Galaxien eine ansteigende [13].

    4.2 Dunkle MaterieSchon im Jahr 1932 war von dem niederländischen Astronom J. H. Oort entdecktworden, dass die Form der Milchstraße nicht mit dessen Masse und der Gravita-tionswirkung zusammenpassten. Dunkle Materie wird schlicht so bezeichnet, weilsie keine Wechselwirkung mit Photonen aufweist. Es findet keinerlei Emission stattund sie ist deshalb „unsichtbar“. Am LHC (large hadron collider) am CERN ver-sucht man herauszufinden, aus welchen Bestandteilen dunkle Materie aufgebautist. Vielleicht ist es eine unbekannte Teilchensorte, wie zum Beispiel WIMPs (weak-ly interacting massive particles) oder Axionen [1]. Aber es kommen auch Neutro-nensterne und Schwarze Löcher (MACHOs – massive compact halo objects) oderBraune Zwerge in Frage [14]. Dagegen spricht, dass die gesamte Masse der WIMPsund MACHOs nicht ausreicht, um das Problem der dunklen Materie vollständigzu lösen[16].Es gibt auch Wissenschaftler, welche die Existenz dunkler Materie bezweifeln.Sie vermuten, dass sich die Gravitationskraft auf großen Skalen anders verhältals auf kleinen. So suchen sie nach einer neuen Theorie, welche die Diskrepanzzwischen der Galaxien-Masse, die sich durch die gemessene Leuchtstärke ergibt,beziehungsweise der Masse, die durch die gemessene Geschwindigkeit berechnetwurde, abwendet.

    4.3 Mess-MethodenEs gibt einige Techniken, um von ionisiertem Gas und Sternen auf die Rotation vonGalaxien schließen zu können, zum Beispiel anhand von Emissions- und Absorpti-onslinien. Um das gesamte Geschwindigkeitsfeld abzudecken, werden Fabry-Perot-Spektrographen benutzt oder Faseroptik-Instrumente [13]. Die am häufigsten ver-wendeten Emissionlinien sind Hα, [NII] und [SII], die sich im Wellenlängenbereichvon 656,28nm, 654,8nm und etwa 671,6nm befinden. Vor allem die HI-Messungenspielen eine wichtige Rolle, um Spiral-Galaxien zu analysieren, denn das HI er-streckt sich weit über den sichtbaren Bereich der Galaxie hinaus [13]. WährendCO-Linien stark in zentralen Regionen von Galaxien emittiert werden, da der An-teil von molekularem Gas dort sehr hoch ist, lassen sich mit HI-Emissionen sehrgut Bereiche abdecken, in denen neue Sterne geformt werden. Für Spiral-Galaxienwerden oft Fabry-Perot-Spektrographen zur Hα-Analyse benutzt [13].

    Teleskope werden immer größer und Berechnungen an Computern werden immerschneller und effizienter, wodurch immer genauere Messergebnisse erzielt werden

  • 4 Rotationskurven 17

    können. Mittlerweile erreichen die Messungen Winkelauflösungen von Milliogense-kunden (wie zum Beispiel das VLT - very large telescope) und die Geschwindig-keitsauflösungen liegen bei weniger als einem tausenstel Kilometer pro Sekunde.

    Um die Rotationsgeschwindigkeiten korrekt zu berechnen, muss der Neigungswin-kel i der Galaxie miteinbezogen werden. Eine Möglichkeit ist die intensitätsgewich-tete Methode [13]:

    vint =

    ∫I(v)v dv∫I(v)dv

    . (18)

    I(v) bezeichnet das Intensitätsprofil an einem Punkt als Funktion der radialenGeschwindigkeit. Daraus erhält man die Rotationsgeschwindigkeit vrot

    vrot =vint − vsys

    sin (i), (19)

    mit vsys der Geschwindigkeit, mit der sich die Galaxie insgesamt von dem Beob-achter fortbewegt.

    Eine weitere Technik ist die Iterations-Methode [13]. Zunächst wird eine ers-te Rotationskurve aus einem Positions-Geschwindigkeitsdiagramm gewonnen, dieaus einem anderen Verfahren hergeleitet wurde. Danach wird eine gemessene In-tensitätsverteilung der Wellenlänge genommen, die schon für die Erstellung desPositions-Geschwindigkeitsdiagramms benutzt wurde, um ein zweites Diagrammzu erstellen. Eine korrigierte, zweite Rotationskurve ergibt sich nun aus der Diffe-renz zwischen den beiden erhaltenen Geschwindigkeitsdiagrammen. Diese Proze-dur wird so lange wiederholt, bis die Summe der Quadratwurzeln der Differenzendes i-ten und des ersten Geschwindigkeitsdiagramms sein Minimum erreicht hatund stabil bleibt.Diese zweite Methode hat sich als sehr zuverlässig erwiesen [13].

    Es ist nicht möglich, den Neigungswinkel i im Fall 0 < i < 90◦ allein durchPhotometrie zu bestimmen. Gerhard und Binney [15] haben aus diesem Grundsogenannte Konus-Dichten benutzt, die sich derart verhalten, dass sie für Winkelkleiner als i nicht sichtbar sind. Eine solche Dichte kann dann zu einer beliebigenLeuchtstärkedichte addiert werden, ohne, dass sich die Verteilung der Oberflächen-helligkeit ändert [4, §4.2.3].

  • 5 Die Galaxie M31 18

    5 Die Galaxie M31Im folgenden Abschnitt soll die Berechnung einer Rotationskurve anhand einesBeispiels dargestellt werden. Dafür eignet sich eine Galaxie, die gut erforscht undnicht allzu weit von der Milchstraße entfernt ist, wie die Andromeda-Galaxie M31(Abb. 9).

    Abb. 9: Die Andromeda-Galaxie M31 [17]

    5.1 AllgemeinesDie Galaxie M31 ist eine Spiralgalaxie und befindet sich im Sternbild Andromeda.Sie ist rund 0,77Mpc von uns entfernt und hat einen Halo-Durchmesser von etwa0,31Mpc, wobei die sichtbare Scheibe nur einen Durchmesser von etwa 53,99 kpcaufweist [18]. Die absolute Helligkeit beträgt −20 Magnituden. Sie ist die nächs-te Galaxie von der Milchstraße aus gesehen und somit ein Mitglied der LokalenGruppe. Die radiale Geschwindigkeit beträgt nach Rubin und D’Odorico (1969)−310km/s für das Bezugssystem der Sonne. Der Neigungswinkel dieser Galaxie imBezug zur Sichtlinie beträgt i = 12,◦ 5 [18].

    5.2 Rotation von M31Es ist möglich, mit den 100m-Teleskopen in Effelsberg bei Bad Münstereifel undGreen Bank in Virginia, USA, die Rotationsgeschwindigkeit dieser Galaxie bis zueinem Radius von circa 35 kpc zu bestimmen [19]. Leider treten bei der Beob-achtung der Andromeda-Galaxie einige Schwierigkeiten auf. Da sich das Gas derMilchstraße im Vordergrund von M31 mit derselben Geschwindigkeit bewegt wie

  • 5 Die Galaxie M31 19

    das Gas der Andromeda-Galaxie, ist es schwierig die beiden Bewegungen ausein-ander zu halten und so sichere Messergebnisse zu erzielen [19].

    Abb. 10: Rotationskurve der Andromeda-Galaxie [19]

    In Abb. 10 ist die Rotationskurve der Andromeda-Galaxie zu sehen. Sie setztsich aus den Komponenten der Scheibe, des zentralen Bulges, des ausgedehntenHalos, demWasserstoffanteil und dem Schwarzen Loch im Zentrum zusammen. Fürletzteres wurde nach Bender et al. [20] eine Masse von 1,0 · 108M� angenommen.Die Ausdehnung des dunkle-Materie-Anteils stellt in diesem Modell eine Kugelmit gleichbleibender Temperatur dar. Die Kurve fällt nur sehr leicht ab und hatein Maximum bei einem Radius von etwa 10 kpc mit einer Geschwindigkeit von265 km s−1. Die Messwerte für Abstände r ≥ 21 kpc stammen von dem Effelsberg-Teleskop, während die darunter liegenden Werte von Unwins H1 Messungen [21]kommen. Die durchgezogene Linie stellt den besten Fit dar. Aus den Daten wurdendie Massen der Komponenten innerhalb 35 kpc hergeleitet: Mstern = 2,3 · 1011M�für den Sternen-Anteil, MHI = 5,0 · 109M� für die Wasserstoffmasse und MDM =1,1·1011M� für die dunkle Materie. Daraus ergibt sich die Gesamtmasse zuMtot =3,4 · 1011M�. Es ist also das Verhältnis zwischen dunkler und leuchtender MaterieMDMMlum

    ≈ 0,5.

    5.3 Plummer-Modell bei M31Das Diagramm in Abb. 11 zeigt noch einmal die Messwerte für die Geschwindigkeit.Die durchgezogene Linie zeigt dieses Mal jedoch einen von mir erstellten Fit mitMathematica nach dem Plummer-Modell (11) für sphärische Systeme.Die Funktion der Geschwindigkeit erhält man durch Ableiten des Potentials:

    v2(r) = −r∇Φ(r) ⇒ v(r) =

    √GMr2

    (r2 + b2)(3/2). (20)

    Der Fit bringt den Wert b = 8,53393 kpc und M · G = 1,611 · 10−27 kpc3

    s2 . DieMasse der Andromeda-Galaxie ergibt sich so also zu M = 3,56 · 1011M�. Damitweicht dieser Wert lediglich um 0,16 · 1011M� von dem Literaturwert ab. Obwohl

  • 5 Die Galaxie M31 20

    0 5 10 15 20 25 30 35r @kpcD

    50

    100

    150

    200

    250

    300v @kmsD

    Plummer-Modell-Fit an M31

    Abb. 11: Ein Fit nach dem Plummer-Modell bei M31 von den Messwerten vonCarignan et al. [19]

    es sich bei Andromeda um eine Spiralgalaxie handelt, also der sichtbare Bereicheine flache Scheibe ist, kann schon das einfache Modell für ein sphärisches Systemdie gemessene Rotationsgeschwindigkeit gut nachbilden. Das bedeutet also, dasses mehr Masse in dieser Galaxie geben muss, als durch die Sterne sichtbar ist.Zum Vergleich ist in Abb. 12 das Oberflächenhelligkeitsprofil für M31 abgebildet,sowohl für die Haupt- als auch für die Halbachse. Die Legende beinhaltet ver-schiedene gemessene Wellenlängen in µm. Die Zunahme des Profils im äußerstenNordwesten (NW) hängt mit einer Störung durch die benachbarte Galaxie NGC205 zusammen [22]. Für alle Wellenlängen fällt das Profil zu beiden Seiten desZentrums von M31 stark ab.In Abb. 13 ist noch einmal deutlicher zu sehen, wie sich das Helligkeitsprofil imVergleich zu der Geschwindigkeit anhand einiger ausgewählter Messpunkte ausAbb. 12 von der R-Band-Messkurve verhält. Während die Helligkeit deutlich biszum äußeren Rand abfällt, bleibt die Rotationsgeschwindigkeit annähernd flach.Damit zeigt sich, dass die Masse der Galaxie nicht nur aus leuchtender Materiebestehen kann. Es muss also einen Anteil der Galaxienmasse geben, der kein Lichtabsorbiert.

  • 6 Fazit 21

    Abb. 12: Oberflächenhelligkeit von M31 [22]

    ´

    ´

    ´

    ´´

    ´

    ´

    ´

    ´

    ´

    ´

    0 5 10 15 20 25 30 350

    50

    100

    150

    200

    250

    30014

    15

    16

    17

    18

    19

    20

    21

    r @kpcD

    v@k

    ms

    D

    Obe

    rflä

    chen

    helli

    gkei

    t@m

    aga

    rcse

    c²D

    Abb. 13: Direkter Vergleich von Rotationskurve und Oberflächenhelligkeit imR-Band von M31.

    6 FazitMit dieser Arbeit habe ich Grundwissen über die Beobachtung von Galaxien zu-sammengefasst und an einem Beispiel dargestellt, dass schon ein einfaches mathe-matisches Modell, welches auf Messungen angewendet wird, Aufschlüsse über dieZusammensetzung von Galaxien geben kann. Die Beschreibung der verschiedenen

  • 6 Fazit 22

    Galaxie-Typen zeigt, dass ihre Unterscheidung für weitere Berechnungen durchaussinnvoll ist. Denn sie haben nicht nur unterschiedliche Formen, sondern sie variie-ren auch in ihrem Helligkeitsprofil, ihrer Zusammensetzung aus Gas und Sternen,und weisen somit auch ein unterschiedliches Emissions- und Absorptionsverhaltenauf. Erst wenn diese Eigenschaften vollständig entschlüsselt sind, kann ein Schlussauf die Vergangenheit der Galaxien oder sogar des Universums und auf die ferneZukunft gezogen werden.

    Die intensive Beschäftigung mit diesem Thema hat mich gelehrt, dass Kosmolo-gie und Astronomie weit verbreitete Forschungsgebiete in der Physik sind. Es warinteressant zu erfahren, wie viele Erkenntnisse allein in den letzten Jahren bereitsaus den Himmelsbeobachtungen gezogen wurden und wie viele Fragen dennochbisher ungeklärt geblieben sind.

    In der nahen Zukunft kann man damit rechnen, dass die Messinstrumente nochsensibler und die Computer leistungsfähiger werden und man somit viele Unsi-cherheiten bei der Untersuchung von Galaxien beseitigen kann. Damit ergibt sichdie Möglichkeit, tiefer ins All zu blicken und neue Entdeckungen zu machen, diehelfen, die komplexe Beschaffenheit des Universums zu entschlüsseln.Vielleicht wird man dadurch sogar den Aufbau der dunklen Materie verstehen.

    Auch wenn man das Universum auf Zahlen und Formeln reduzieren kann, um einbesseres Verständnis davon zu erlangen, die Faszination der Menschen an diesemThema wird wohl nie verloren gehen.

  • Literaturverzeichnis 23

    Literaturverzeichnis[1] J. Binney & S. Tremaine, Galactic Dynamics, 2008

    [2] http://www.tng.iac.es/news/2000/07/06/m51/, Fundación Galileo Galilei- INAF, Fundacion Canaria, Italien Institute of Astrophysics, vom 16.08.2010

    [3] http://apod.nasa.gov/apod/ap050112.html, Hubble Heritage Team, ESA,NASA, vom 11.09.2010

    [4] J. Binney & M. Merrifield, Galactic Astronomy, 1998

    [5] S. Sakai et al. 2000, ApJ, 529, 698

    [6] http://apod.nasa.gov/apod/ap040616.html, Canada-France-Hawaii Te-lescope, J.-C. Culliandre (CFHT), Coelum, vom 16.08.2010

    [7] messier.lamost.org/seds/seds.org/messier/cn/m/, vom 16.08.2010

    [8] J. H. van Gorkom, In Clusters of Galaxies: Probes of Cosmological Structureand Galaxy Evolution, 2004

    [9] http://www.nasa.gov/worldbook/galaxy_worldbook.html, NASA, vom16.08.2010

    [10] http://www.lsw.uni-heidelberg.de/users/mcamenzi/Galaxien2.pdf,Max Camenzind, vom 11.09.2010

    [11] M. Kamionkowski, 1998, astro-ph/9809214

    [12] P. Schneider, 2006, In Gravitational Lensing: Strong, Weak, and Micro

    [13] Y. Sofue & V. Rubin, Rotation Curves of Spiral Galaxies, 2001

    [14] E. Battana & E. Florido, The Rotation Curve of Spiral Galaxies and its Cos-mological Implications, 2000

    [15] J. Binney, O. E. Gerhard, 1996, MNRAS, 279, 993

    [16] http://en.academic.ru/dic.nsf/enwiki/131227, beziehungsweise http://en.academic.ru/dic.nsf/enwiki/20562, vom 14.09.2010

    [17] http://www.capella-observatory.com/ImageHTMLs/Galaxies/M31.htm,S. Heutz, S. Binnewies, J. Pöpsel, 2007, vom 16.08.2010

    [18] http://nedwww.ipac.caltech.edu/level5/ANDROMEDA_Atlas/Hodge_intro.html, University of Washington Press, 1981, vom 16.08.2010

    [19] C. Carignan, L. Chemin, W. K. Huchtmeier & F. J. Lockman, The ExtendedH1 Rotation Curve and Mass Distribution of M31, 2006

    [20] R. Bender et al., 2005, ApJ, 631, 280

    [21] S. C. Unwin, 1983, MNRAS, 205, 787

  • Literaturverzeichnis 24

    [22] P. Barmby, M.L.Ashby, L. Bianchi, C. W. Engelbracht et al., Dusty Waveson a Starry Sea: The Mid-Infrared View of M31, 2006