RT FH Landshut

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Vorlesung „Regelungstechnik“ Prof. Dr. Schönberger FH Landshut Fachbereich Elektrotechnik Vorlesungsmitschrift

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Vorlesung Regelungstechnik Prof. Dr. Schnberger FH Landshut Fachbereich Elektrotechnik Vorlesungsmitschrift VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 2 Inhalt 1. Einfhrung und geschichtlicher Abriss der RegelungstechnikSeite 1.1 Beispiel: Wasserstandsregelung 4 1.2 Beispiel: Fliehkraftregler4 1.3 Beispiel: Drehzahlregelung 5 1.4 Das Blockschaltbild des Regelkreises 7 2. Mathematische Behandlung des Regelkreises 2.1 Differentialgleichungen (Zeitbereich)8 2.1.1 Beispiel: Druckregelung 8 2.1.2 Beispiel: Induktivitt 8 2.1.3 Beispiel: Kapazitt 8 2.2 Verzgerungsglied 1. Ordnung: PT1 Glied 9 2.3 Grenzwertstze der Laplace Transformation12 2.4 bertragungsfunktion und Frequenzgang13 2.5 Verknpfungen von bertragungsgliedern13 2.5.1 Blockdarstellung13 2.5.2 Reihenschaltung13 2.5.3 Parallelschaltung14 2.5.4 Kreisschaltung 14 3. bertragungsverhalten technischer Regelstrecken 3.1 Mglichkeiten zum bestimmen des bertragungsverhalten15 3.2 Proportionalstrecken ohne Verzgerung 16 3.3 Verzgerungsglied 1. Ordnung16 3.4 Ortskurve und Bode-Diagramm des Systems 1. Ordnung17 3.5 Verzgerung 2. Ordnung 19 3.6 Ortskurve und Bode-Diagramm des Systems 2. Ordnung22 3.7 Integrierende Strecken23 3.8 Strecken hherer Ordnung27 3.9 Strecken mit Totzeit tT 29 4. Regler 4.1 Reglerbersicht30 4.2 P-Regler30 4.3 I-Regler35 4.4 PI-Regler38 4.5 D-Regler41 4.6 PD-Regler 42 4.7 PID-Regler47 4.8 Auswahl des geeigneten Reglers 544.9 Digitaler Regler55 VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 3 5. Stabilitt im Regelkreis 5.1 Stabilitt allgemein57 5.2 Stabilittskriterium nach Hurwitz59 5.3 Stabilittskriterium nach Nyquist61 5.4 Allgemeingltiges Stabilittskriterium nach Nyquist62 5.5 Stabilittskriterium von Nyquist im Bode-Diagramm63 6. Optimale Einstellung von Regelkreisen 6.1 Optimale Einstellung70 6.2 Praktische Einstellregeln70 6.3 Einstellregeln nach Chiem, Hrones und Reswick71 7. FUZZY Logic & Control Original Anhang von Prof. Dr. Schnberger ber FUZZY Logic & Control (Formatierung teilweise abgendert) 7.1 Einfhrung72 7.2 FUZZY Set Theorie72 7.2.1 Scharfe und unscharfe Mengen72 7.2.2 Operatoren fr unscharfe Mengen74 7.2.3 Linguistische Variable und linguistische Terme75 7.3 FUZZY Regelung (FUZZY Control)75 7.3.1 Design eines Fuzzy-Reglers76 7.3.2 Fuzzifizierung76 7.3.3 Erstellen der Regelbasis77 7.3.4 Inferenz und Defuzzifizierung78 7.3.5 Optimierung79 7.3.6 Die SIEMENS Fuzzy-shell PROFUZZY79 7.4 FUZZY PID Regler80 7.5 Gegenberstellung von FUZZY und konventionellen Reglern81 7.6 Beispiele fr FUZZY Anwendungen81 8. Literatur85 VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 4 Regler Stellglied Aktor Messglied Sensor Dampf Drehzahl(Istwert) Dampfmaschine(Proze) Q ab Qzu Regler y x Flche h z Sollwert 1. Einfhrung und geschichtlicher Abriss der Regelungstechnik 1.1 Beispiel: Wasserstandsregelung Regelgre ist der Wasserstand h Aufgaben des Reglers -Sollwert = Istwert (kein Regelfehler) -Strungen ausgleichen Die Rckkopplung ist immer eine Gegenkopplung, falsch wre ein Ventil folgendermaen (rot) mitgekoppelt Frage: wird bei einer Strung z.B. abnachher abvorherQ Q >(grerer Abfluss) der alte Wert h wieder erreicht? Nein, denn wegen ab zuQ Q = muss auch Qzu grer werden, und dass funktioniert nur bei kleinerem h proportional = starre Reglung 1.2 Beispiel: Fliehkraftregelung 1788 fhrt James Watt einen Zentrifugalregler fr Dampfmaschinen ein C. Maxwell hat 1868 die erste Theorie der RT entwickelt Stabilittskriterium von Rooth und Hurwitz Niquist 1932 entwickelt optimale Regelkriterien Heute Oppelt (Flugregler) RT geht ber eine umfassende Kybernetik, Disziplinen, Volkswirtschaft Biologie (Krpertemperatur), kologie Unterschied zwischen Steuerung und Regelung Steuerung: offener Wirkungsablauf (kette ohne Rckkoppelung) Regelung: geschlossener Wirkungsablauf (Regelfluss) VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 5 1.3 Beispiel: Drehzahlsteuerung/regelung Steuerung: Sollwert, Fhrungsgre w: Sollwert ist der Wert, den eine Gre unter festgelegten Bedingungen haben soll. Der Sollwert wird vorne eingestellt und ber die einzelnen Glieder der Steuerkette zum Motor bzw. Antriebsmaschine bertragen. Man spricht von bertragungsgliedern. Strgre z: Eine Strgre ist eine variable Belastung der Arbeitsmaschine z.B. NetzspannungsnderungenVernderung der Drehzahl n trotz gleich bleibender Fhrungsgre. Dies ist manchmal ausreichend z.B. bei einer Kreissge oder Drehbank Die bessere Methode ist es aber die Ausgangsgre (hier n) stndig zu messen und bei Abweichungen von dem durch den Sollwert vorgegebenen Wert in die Steuerkette eingreifen. Rckfhrung von der Ausgangsgre zur Eingangsgre Regelung x : Istwert oder Regelgre (tatschlicher Wert im Prozess bzw. der hinter dem Messglied angezeigter Wert) Vergleicher: bildet dx x w = dx : Regeldifferenz (hufig bezeichnet mit e: error) wenn0 > = error xddann ist der Istwert zu klein Regelabweichung d wx w x x = = Soll- wert- geber Regler netz- gefhrter Strom- richter Arbeits- maschine Konstant angeregter Gleichstrommotor M UA w Tacho- generator x xd n - Vergleicher Soll- wert- geber Znd- impuls- steuersatz netz- gefhrter Strom- richter Arbeits- maschine Konstant angeregter Gleichstrommotor M UA n VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 6 Es gibt 3 Schritte im Rckkopplungskreis:Messen Vergleichen Regeln (Verstellen) Messglied: Hier Tachogenerator Umformung von n in eine Gleichspannung. In der PraxisV U Vist10 10 + Prozessmesstechnik: 0 20mA eingeprgten Gleichstrom Vergleicher: Sollwert Istwert = Differenz Vorbergehende Regeldifferenzwhrend des RegelvorgangsBleibende Regeldifferenz Hufig auch: Regelabweichung wxRegelabweichung < 0: Istwert ist zu gering Regelabweichung > 0: Istwert zu hoch Regelabweichung = 0: Ausgeregelt, d.h. Stellglied hat die richtige Einstellung. Regler: Aus der Regeldifferenz wird ber den Regler die erforderliche Stellgre gebildet. Bestmgliche Einstellung der Regler-Parameter heit die Regelgre: - so schnell wie mglich - so genau wie mglich - so schwingungsfrei wie mglich der Fhrungsgre (Stellgre) anpassen und die Strgren auszuregeln. Der Regler hat ein bestimmtes zeitliches Verhalten mit bestimmten Parametern wie: - Regler - Verstrkung - Regler - Zeitkonstanten Reglerausfhrung: pneumatisch, hydraulisch, mechanisch, elektrisch Im Beispiel: stetiger Regler (kontinuierlicher Regler) Im Prozessregelung hufig auch diskontinuierliche Regler: Zweipunkt-, Dreipunktregler. (Temperaturregelung in fen, Bgeleisen usw.) Stellglied: Verstellorgan wie z.B. Ventile, Schieber, Klappen, Thyristor, Transistor, Stellmotor usw. VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 7 1.4 Das Blockschaltbild des Regelkreises: Vergleicher, Regler, Stellglied, Prozess, Messglied *x : Prozess Istwert, wird zu x gewandelt Prozess vorgegeben: Muss in seiner Dynamik mathematisch beschrieben werden Messglied/Sensor: Proportionalerwandler, Wandlung schnell (kleine Zeitkonstanten) und in gleiche Einheit wiew

Soll/Istwert-Vergleicher z.B.- in Analogelektronik: Operationsverstrker - in Digitaltechnik: SPS, DSP Stellglied/Aktor: meist proportional (schnell), oft auch Integral (z.B. Schrittmotor) Symbole: Zusammenfassung, Regelstrecke entspricht: Stellglied + Objekt + Messumformer Beispiele fr Regelungen: TemperaturregelungKursregelung DrehzahlregelungAntennen (nachlauf) regelung DruckregelungPositions (lage) regelung MischungsregelungFlugbahnregelung ReglerStreckeyRw Rckwrtszweig xdx x - w xd yRy x* wird hufig zusammengefasst z StrgreStellsignal xx ReglerStellglied Aktor Regelstrecke Prozess Messglied Sensor - wx2x1 - x xRckwirkungsfreier Block x2 = f(x1) x1 f(x2) e = w-x Vergleicher Verzweigungsstelle informationstechnik xxe Vorwrtszweig VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 8 u i L u i C ax d F & =Dmpfer A x Fe =Kolben- flche A xe: Druck ax c F = Feder 2. Mathematische Behandlung der Regelkreisglieder 2.1 Beschreibung im Zeitbereich ber DifferentialGleichung(DGL) 2.1.1. Beispiel: Mechanisch/Pneumatisches System Gesamtformel: a a ex d x C A x & + = 2.1.2. Beispiel: Induktivitt Zeitbereich: dtt diL t u) () ( =wenn) (t iund ) (t usinusfrmig sind kann man schreiben t je I I =bzw. t je j I L U = Frequenzbereich: I L j U = Die Differentiation im Zeitbereich wird zur Multiplikation mits j = im Frequenzbereich s : Laplace-Operator 2.1.3. Beispiel: Kapazitt Zeitbereich: = dt t iCt u ) (1) (Frequenzbereich: bei sinus: t je I I = bzw. t jejICU =11 IC jIj CU = = 1 1 1 Aus dem Integral im Zeitbereich wird Multiplikation mit s j1 1= im Frequenzbereich Tabelle: Gleichung (2.1) Gilt nur wenn fr0 < t alle Ableitungen der DGL gleich Null sind System ist in Ruhe gilt in der Technik immer Zeitbereich dtd dt ...Frequenzbereich j j1Laplacebereichs s1VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 9 u(t) u0 2.2 Verzgerungsglied 1. Ordnung Beispiel aus der Elektrotechnik: Zeitbereich: dtt diL t i R t u) () ( ) ( + = Man dividiert immer durch den Koeffizienten der 0-ten Ableitung hier R {dtt diRLt iRt uT te Zeitkons) () () (1 tan + = Dimensionsprobe: [ ][ ]secsec= =V AA VRL dtt diT t iRt u ) () () (1 + = Lsung der DGL:? ) ( = t ipartikulr ogeni i t i + =hom) ( Anregung: meist Sprungfunktion =>= = ) (00 0) ( ) (00t ut fr ut frt x t ue Die Partikulrlsung einer DGL fr Sprunganregung ist immer der Eingeschwungene Zustand von xa.RUipartikulr0= (stationrer Zustand) 1homTtogene K i =(K unbekannt) ax i =ex u =L R i uR uL u(xe) bertragungs- funktion VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 10 t i(t) 63% RU0 T1 Bestimmung von k aus Randbedingung: 0 ) 0 ( = = t i Induktivitt L sperrt am Anfang RUe K i i iTtpart0hom1+ = + = RUKRUk t i0 00 ) 0 ( = + = = =) 1 ( ) (1 0 TteRUt i = Lsung im Frequenzbereich: }{) ( ) () (1s i s T s iRs Uaexx + =] 1 )[ () (1s T s xRs xae + =) (11) (1s xs TRs xe a += Verstrkung: Stationreaxx Stationr heit eingeschwungenalle Ableitungen = 0s = 0 R xxStationrea1= bertragungsfunktion (hier 1.Ordnung): ) (1 ) () (1s Fs TKs xs xea= += (1. Ordnung durch s1 im Nenner) oder e ax s F x = ) ( Rcktransformation in den Zeitbereich: Definition von xe: Sprungfunktion sxs xee0) ( = (oft ss xe1) ( = ) Laplace-Funktion des Sprunges: s s Tx Ks xee) 1 () (10+=VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 11 Rcktransformation: aus Laplace Rcktransformationstabelle folgt )1(1110sTsTx Kxea+=) 1 ( ) (10Tte ae x K t x = Feststellung: Eine bertragungsfunktion der Form s TK11+stellt eine exponentiellen Anstieg oder Abfall auf 0 ex K mit der Zeitkonstanten (63%-Wert) T1 dar. Einschub: Anregungsfunktion und deren Laplace-Transformierten 20) (sxs xee=sxs xee0) ( =dtdtdtd dtd Sprung Rampe Impuls 0) (e ex s x =VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 12 Steigung bei 0: 10Tx ke t xa(t) 0 ex K T1 2.3 Grenzwertstze der Laplace Transformation Allgemein: ) ( lim ) 0 ( ) ( lim0s x s x t xasa at = = : Anfangswert ) ( lim ) ( ) ( lim0s x s x t xasa at = = : Endwert speziell gilt fr sprungfrmige Anregung mit sxs xee0) ( = und) ( ) ( ) ( s F s x s xe a =) ( ) (0s Fsxs xea= oben eingesetzt ) ( lim ) 0 (0s F x xesa = ) ( lim ) (00s F x xesa = Stimmt das? Probe bei einem System 1.Ordnung: s TKs F11) (+=gesucht) (t xafr Sprunganregung s TKx xesa101lim ) 0 (+ = Anfangswert 0 s TKx xesa1001lim ) (+ = Endwert Anfangssteigung=)1. Ableitung des Anfangswert: 1010101lim1lim ) 0 (Tx KTsKxs TKx s xeesesa=+ =+ = &Endsteigung: 01lim ) (100=+ = s TKx s xesa Zusammenhang zwischen bertragungsfunktion (Laplace Transformierte) und Frequenzgang z.B. System 1. Ordnung s TKs F11) (+=formal: j s =11) (T jKj F+= (Frequenzgang) Zerlegung nach Betrag (Verstrkung ber der Frequenz) und Phase: {{12 1) 2 (T f jkf j F +=Frequenz einer Sinusfunktion VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 13 xe F1*F2 xa L R I ue uL U 2.4 bertragungsfunktion und Frequenzgang Durch formales Ersetzen des Laplace-Operators der bertragungsfunktion durch jerhlt man den Grquenzgang. z.B. System 1. Ordnung (PT1): s TKs xs xs Fea11 ) () () (+= =Frequenzgang: 11 ) () () (T jKj xj xj Fea += =x j x ) ( hier Rckblende auf RL-Glied Komplexe Wechselstromrechnung: ) ( j x x Ue e = =) ( j x x Ia a = =) 1 ( ) 1 (1T j I RRLj I R I L j I R U + = + = + = 1 11 11T jKUT jRU I +=+= 11) (T jKxxUIj Fae+= = =) ( j F ist eine komplexe Gre, die sich entweder in der Gauschen Zahlenebene als Real- und Imaginrteil oder nach Betrag und Phase darstellen lsst. 2.5 Die Verknpfung von bertragungsgliedern 2.5.1 Blockdarstellung 2.5.2 Reihenschaltung 1 1F x xe a =2 2F x xe a = mit 2 1 e ax x = wird 2 1F F x xe a =xa1 = xe2xe F1 xa F2 unnu kT1 xaxeMotor s Tk11+ F(s): bertragungsfunktion VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 14 xaxe rck vorvorF FF + 1 xaxe rck vorF F + 11 zein eUaUzrck xa1 + + xa2 xaxe F1 F2 xa z - xe1 xa1 xe Fvor Frck 2.5.3 Parallelschaltung 2 12 21 1a a ae ae ax x xF x xF x x+ =)` = = ) (2 1F F x xe a+ = 2.5.4 Kreisschaltung (Rckfhrung) 1 1 a e ex x x =mit rck a aF x x =1 und vor e aF x x =1

voraeFxx =1 eingesetzt: rck a evoraF x xFx =e rckvorax FFx = + )1(evorrck voraxFF Fx = +1 erck vorvoraxF FFx +=1

Was ist die bertragungsfunktion von xe zu e (Regeldifferenz) )` ==rck vor rckvorF F FF**1 Anmerkung: Oft ist die Verstrkung des Vorwrtszweiges sehr hoch ( 1 >>vorF ) z.B. bei OPs erckaxFx =1 eeinrckaUZZU = VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 15 3. bertragungsverhalten technischer Reglerstrecken (Proze) 3.1 Mglichkeiten zum bestimmen des bertragungsverhalten Zwei Mglichkeiten: 1. Mathematische/Physikalisch: Prinzip Gleichgewicht: Summe der Spannungen, Strme, Krfte, Momente, , =0 DGLF(s) 2. Analyse der Prozessantwort auf normierte Eingangsignale: Spannung, Sinus, Impuls Systemidentifikation: Man erhlt eine bertragungsfunktion der allgemeinen Form ... 1) (3 332 22 1+ + + += =s T s T s TKs Fxxea wenn 1+ im Nenner, dann immerK x xe a = ) (Systeme mit Ausgleich oder PTn-Glied wenn die 1 im Nenner fehlt, also ...) (3 332 22 1+ + +=s T s T s TKs F dann ist = ) (ax (am Anschlag) Systeme ohne Ausgleich oder I-Glieder Sprungantwort einer Strecke mit Ausgleich Sprungantwort einer Strecke ohne Ausgleich a) 0. Ordnung a) 0. Ordnung b) 1. Ordnung b) 1. Ordnung c) 2. Ordnung (c* schwingungsfhig)c) 2. Ordnung (gedmpft schwingend) d) 3. Ordnungt x a b c t ) ( xx a d b c c* VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 16 xaxe pK u F(s) n: Drehzahl t Aufheizen U Abkhlen xa xe t e px K xe = nDrehzahl xa = u Spannung 3.2 Proportionalstrecken ohne Verzgerung (0-te Ordnung) e ax K x =mit pK K =Kp: Proportionalverstrkung Beispiele: Immer fr Messglieder(Sensoren) und Stellglieder angewendet z.B. Tachogenerator Kp: Dimensionen [ ][ ] UmdrehungZeit Vxxea= 3.3 Verzgerungsglied 1. Ordnung VZ1-Glied oder PT1-Glied Beispiel: Hochlaufen eines Motors Beispiel: Aufheiz- und Abkhlvorgnge Druckverlauf in Behltern mit kompressiblen Gasen Abschtzung aus einer Messkurve: Wann handelt es sich um ein System 1. Ordnung 1)keine waagrechte Tangente im Ursprung, d.h. direkter Anstieg 2)keines Schwingung t U K n U T Temperatur Heizung U Druck: xe P Druck: xa VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 17 3.4 Ortskurve und Bode-Diagramm des Systems 1. Ordnung (VZ1 oder PT1-System) Schreibt man die bertragungsfunktion F(s) als komplexe Funktion mit s = j, so erhlt man fr das PT1-System ( )F jKj Tj Tj TK j TT( )( )( )( )=+=+ 11111 111112 mit dem Realteil{ }( )Re ( ) F jKT=+ 1 12 und dem Imaginrteil Im{ }( )F jK TT( =+11 12 Damit kann man in der komplexen Ebene die Ortskurve des PT1-Systems zeichnen. Beispiel:Es sei die Verstrkung K = 10 und die Zeitkonstante T1 = 0,1 sec in sec-1Re {F(j}{F(j} 0100 48,6- 3,44 86,1- 4,88 10 *)5- 5 400,59- 2,36 00 *)Achtung: Hier ist = 1 / T1 = E (Eckfrequenz). Bei dieser ausgezeichneten Kreisfrequenz sind die Betrge von Realteil und Imaginrteil gleich, d.h. die Phase des Zeigers ist - 45 Grad. (das entspricht der halben Gesamtphase) Der Betrag istF jK( ) =2 Wie oben gezeigt, kann man F(j) nach Realteil und Imaginrteil aufteilen und erhlt die Ortskurve. Diese hat den Vorteil, da Betrag (Zeigerlnge) und Phase (Winkel zur pos. reellen Achse) in nur einem Diagramm dargestellt sind. Nachteilig ist, da nicht auf der Abszisse, sondern an der Ortskurve selbst angetragen ist. Zerlegt man F(j) nach Betrag und Phase gemF jKj TF ej( ) =+= 1 1, so erhlt man mit { } { }( )F F j F jKT= + =+Re ( ) Im (2 221 1 (nach einigen Zwischenrechnungen) { }{ }= = arctanIm (Re (arctanF jF j T1 VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 18 Damit kann man das Bode-Diagramm (Frequenzgang), bestehend aus dem Amplitudengang und dem Phasengang zeichnen. Der Amplitudengang wird doppellogarithmisch, der Phasengang halblogarithmisch dargestellt. Gleiches Beispiel wie oben: K = 10 und T1 = 0,1 sec in sec-1F in Grad 0100 68,57- 31 10 *) s. o.7,07- 45 204,47- 63,4 402,43- 76 0- 90 Anmerkungen zum Bode-Diagramm: Bode-Diagramm = Frequenzgang = Amplitudengang + Phasengang 1)Die Asymptoten a) e > eeeeKK KF =|||

\|+=2 2 21 das ist im Doppel-log-System eine Gerade mit Abfall 1:1 2)Hufig normiert man auf e e 110 110100 110100 eaeaxxdB inxxF log 20 = = k=10 Amplitudengang doppel-logarithmische-Darstellung Phasengang halblogarithmische-Darstellung 11Te = -45 -90 VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 19 ax d & ax c & ax m & & xa: Weg c: Federkonstante m: Masse d: Dmpfer ex F =) 3)Hufig Darstellung vonF in Dezibel dB eaeaxxdB inxxF log 20 = = dB40200-20-40 Verstrkung1001010,10,01 3.5 Verzgerung 2. Ordnung c x m x d x c Fa a a: & & & + + ={ {aTaTaxcmxcdxcF& & & + + =221 ) 1 (12 22 1s T s T x xca e+ + = 2 22 111s T s Tcxa+ += ) (s F = 2 22 1s T s T 1 + +K = 220 0s1 2D1 + + sK

Umrechnung ber Koeffizientenvergleich: 0 = 21T: Resonanzfrequenz 02D = 1Tmit D: Dmpfung Ist das System 220 0s1 2D1 + + sK schwingungsfhig? Das ist alleine abhngig von den Lsungen des Nenners (quadratische Gleichung in s) Lsungen: ) 1 (20 2 , 1 = D D s VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 20 Lsungen entweder reell oder konjungiert komplex reell bei D > 1 Die gerade Gleichung lsst sich in Partialbruchform schreiben 220 0s1 2D1 + + sK =) ( ) (2 1s s s sK = s T s TKb a++ 111 Auflsbar in die Reihenschaltung von 2 Systemen 1.Ordnung 2 11s sT Tb a= Ist dann nicht schwingungsfhig oder aperiodisch D > 1D = 1 aperiodischer Grenzfall 0 < D < 1D = 0 Dauerschwingung Im jIm j Im jReRe ReRe Im jVorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 21 Sprungantwort des Systems 2. Ordnung a) aperiodische Schwingung D > 1b) aperiodischer Grenzfall D = 1 c) gedmpfte Schwingung 0 < D < 1 d) ungefmpfte Dauerschwingung D = 0 e) aufklingende Schwingung D < 0 Sprungantwort des Systems 2. Ordnung mit Hilfe der Grenzwertstze: Anfangswert:xy KTs T ss( ) lim 01001 22 2=+ += Anfangssteigung:xy K sTs T ss= + += ( ) lim 01001 22 2 Endwert:xy KTs T sK ys( ) lim =+ += 001 22 2 01 Um den Verlauf der Sprungantwort zeichnen zu knnen, mu immer die Dmpfung D berechnet werden. Erst daraus ist zu ersehen, ob das System schwingt oder aperiodisch seinen Endwert erreicht. Ein aperiodisches System wird hufig durch 2 andere Kenngren beschrieben: Wendepunkt TgTu Tu:Verzugszeit(Ersatz - Totzeit) Tg:Ausgleichszeit t x a d c b w e VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 22 3.6 Ortskurve und Bode-Diagramm des Systems 2. Ordnung (VZ2 oder PT2-System) Ausgehend von Gl. 3.3, welche das PT2 System mit der Dmpfung D und der Eigenkreisfrequenz 0 beschreibt, erhlt man mit s = j ( ) ( )4 4 4 4 3 4 4 4 4 2 1 4 4 4 4 3 4 4 4 4 2 1l maginrtei I alteilDKDjDKD jKj F4020220Re4020222020 01 2 2 121 2 2 112 1) (|||

\|+ ++|||

\|+ +(((

|||

\| =|||

\| +=PT2 Ortskurven: Bode-Diagramm des PT2-Gliedes (105 , 0 ; 7= = s K ): Zerlegung von) ( j FS in Betrag und Phase ( )F j KD( ) = + + |\

||11 2 2 1220204= |\

||arcDtan21002 110-1100101102 110-1100101102 10 -90 -180 5 | | F0,5 0,2 2 D = 0.1 D = 0.1 D = 0.3 D = 0.3 D = 1 D = 1 DK2 21Te = D steigt K Im Re VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 23 Asymptoten im Bode-Diagramm: 01 = F j K ( ) also eine Parallele zur - Achse 01 (ohne Herleitung)negative Steigung 2:1 bzw. Abfall von 40 dB pro Dekade 0 = E ist die Eckfrequenz 3.8 Strecken hherer Ordnung Blockschaltbild einer P-T3-Strecke, gebildet aus drei hintereinander geschalteten P-T1-Strecken Sprungantworten zu n SsTs F) 1 (1) (+= ,10 ... 1 = n Kennwerte der Sprungantworten fr Verzgerungsglieder n-ter Ordnung mit gleichen Zeitkonstanten nTG/TTU/TTU/TG 11,0000,0000,000 22,7180,2820,104 33,6950,8050,218 44,4631,4250,319 55,1192,1000,410 65,6992,8110,493 76,2263,5490,570 86,7114,3070,642 t x n = 1 0 ) ( xn = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n = 7 n = 8 n = 9n = 10 xdw x x z KpTNKsT1 VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 24 97,1645,0810,709 107,5905,8690,773 Ortskurven von P-Strecken 1.-4. Ordnung Experimentell gewonnene Sprungantwort als Beispiel Vorschub: 60 Raster / min s Tu85 , 0 = ,s Tg7 . 3 =23 , 0 =guTT 3 = n695 , 3 =TTg s T 1 =,805 , 0 =TTu s T 1 = 3) 1 (1) (Tss FS+=K Im Re 1. 2. 3. 4. uTVorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 25 xa xe t y 1 ) ( t Zeiteinhei x Ke I 0 ex Q = ax h =10 t/h h/m 1 h Q KI1 0 3.7 Integrierende Strecken (I-Strecken) Regelstrecken mit I-Verhalten treten relativ hufig auf sKs Ts FIIS= =1) ( mit IITK1=IT : Zeitkonstante des I-Gliedes IK : integraler Verstrkungsfaktor Sprungantwort: Je grter die Integrierzeit, umso geringer der Anstieg der Ausgangsgre Beispiele: a) Lenkverhalten eines PKW ex : Auschlagwinkel des Lenkrades ax : Fahrtrichtungswinkel des Fahrzeugs b) Kurssteuerung eines Schiffes ex : Ruderwinkel ax : Kurs c) Flssigkeitsniveau in einem Kessel Flssigkeitsniveau ist direkt proportional zum Integral des Durchflusses dt Q h ~ = dt QAh1 ss QAs h) ( 1) ( = s As Fs Qs hS1 1) () () ( = = AKI1=bzw.A TI=Zahlenbeispiel:Wenn hmQ35=und 25 , 0 m A =dann ergibt sich folgende Sprungantwort t QK tAQhI = =h t 1 =m h 10 = VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 26 Im Re Ermittlung von IK aus der Sprungantwort: beih t 1 =m t QK tAQhI10 = = = h mhh mh mKI1) 2 (1 5102 3 ==Vergleich mit Definitionsgleichung: IKA =1

2 2125 , 01m mKI = = , 25 , 0 m A TI= = Weiteres Beispiel: von Motor (PT1) bewegter Schlitten auf einer Spindel (I) Ortskurve und Bode-Diagramm des I-Gliedes: a) Ortskurve: I IKjjKj F = = ) ( b) Bode Diagramm: ITj F1) ( =bzw.) log( ) ( logIT j F =im log-Mastab also Abfall von 1:1 und Durchtritt bei IT1= wegen { }{ } FFReImtan = mit{ } 0 Re = Fwird = tand.h. = 90 konstant Anmerkung: Haben xa und xe unterschiedliche Dimensionen, so hat KI ausser s-1 noch die Dimension der Ausganggre dividiert duch die Dimension der Eingangsgre. Zur Bestimmung des Schnittpunktes mit der -Achse bleiben die Dimensionen von xa und xe unbercksichtigt! 110100 110100 100 IIKT= =1-90 10 Kugelrollspindel Schlitten Drehwinkelsensor Vorschubmotor FVorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 27 xe y xa x Im Re 1T KI I-Glied mit Verzgerung (IT1-Glied) z.B. Bewegter Krper beim Fallv xe = ,s xa =wegen Massebeschleunigung zustzliche Verzgerung. ) 1 ( 11) (1 1s T sKsKs Ts FI IS+= += Sprungantwort: Ermittlung des prinzipiellen Verlaufs mit den Grenzwertstzen Anfangswert:t = 00 ) ( lim = s Fs Anfangssteigung: t = 0 01) ( lim1=+= s TKs F sIs Endwert: t =) ( lim0s Fs Endsteigung:t IIsKs TKs F s =+= 101) ( lim Ortskurve: j TKT j jKj FI I+ =+=121) 1 () ( 211) ( 1)} ( Re{TT Kj FIS+ = ] ) ( 1 [)} ( Im{21TKj FIS + = t K yI 0 tx T1 x(t) VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 28 Bode Diagramm: Hintereinanderschaltung eines PT1- und eines I-GliedesAddition der Frequenzkennlinien Zeitbereich: jjKj FEIS111) (+ = Frequenzbereich: s T s Ts FS1 111 1) (+ = 110100 110100 100 -90 -180 10 1 : 1F2 : 1E110100 110100 100 1PT-90 -180 10 1T I IFVorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 29 tT =tT 2 =0 = tT =23 F1 ) . ( K bzw3.9 Strecken mit Totzeit tTZunchst keine Reaktion erst nach tT volle Reaktion =t ttT t fr T t y KT t frt x) (0) (< meist ist1 = k Typische Beispiele: Dusche, Frderband ) (vlTt = Weitere Beispiele: Pipelines, Satellitenkommunikation, Phasenanschnittssteuerung Mathematisch: Partielle DGL Laplace-Transformierte: ) ( ) ( s y e K s xtsT = tsTes ys xs F= =) () () ( tT jT mit e j Ft = =) ( Ortskurve:1 = F : mitwsteigendBode-Diagramm der Totzeit-gliedes: Bei Systemen hherer Ordnung wirkt die Verzugszeit Tu wie eine Totzeit Strecke mit groer Verzugszeit bzw. Totzeitensind schwer regelbar t y t y y0 K y0 Tt l y x VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 30 l2l1 yR xd 4. Regler 4.1 Reglerbersicht Ziel: Regler immer so dimensionieren das dxNull wird. Mglichst schnell, ohne berschwnge Man unterscheidet stetige Regler unstetige Regler proportional P Zweipunktregler integral IDreipunktregler differential DKhler/Neutral/Heizen PI, PD links/stopp/rechts PID (Universal Regler Hier: Nur stetige Regler 4.2 P-Regler d p Rx K y =pdRRKxyF = =Reglerbertragungsfunktion dx pK Ry Hufig wird statt pKder Proportionalbereich px angegeben. % 1001 =ppKxBeispiel: mechanisch: pdRKllxy= =12 w Regler Stellglied,Strecke, Meglied dxxxVorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 31 elektrisch: allgemein mit OP grundstzlich gilt: RereaFZZUU= =r rR Z =e eR Z =erRRRF = P-Regler P-Regler sind fr Strecken mit Ausgleich ungeeignet P-Regler zur Regelung einer P T1 Strecke: Beispiel: Temperaturregelung eines Glhofens (P T1 - Strecke) Der Operationsverstrker ist Vergleicher und Regler zugleich.Whlt man Rr = Re so ist Ua = Ue - Ux ze d ex U R ay U zr Verstrker z.B. Phasen- anschnitt- steuerung Netz R e Ue R r R e R r Glh- ofen Me- verstrker UH Ua Ux Heizelement VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 32 Fasst man den Regler (Operationsverstrker) mit dem Stellglied (Phasenanschnittsteuerung) ber einen gemeinsamen Verstrkungsfaktor KP zusammen, so kann man nachfolgendes Blockschaltbild zeichnen: Strgre z:Bettigung von Ofenffnungen, Glhgutzufuhr oder -entnahme. Wirkt additiv auf die Strecke. Oder Spannungsschwankungen im Netz wie hier angenommen (siehe Blockschaltbild) Zusammenfassung von Ofen und Messglied zur Regelstrecke: Strecke:FK KT sKT sSS M S=+=+*1 11 1Regler:F KR p= Beim bertragungsverhalten des geschlossenen Regelkreises unterscheidet man zwischen dem FhrungsverhaltenFxww =: wie reagiert der Regelkreis auf eine nderung des Sollwertes? Es wirkt nur w. Strgre z = 0. Man erwartet da frt x = w wird. StrverhaltenFxzz =:wie reagiert der Regelkreis auf eine nderung der Strgre? Es wirkt nur z. Sollwert w = 0. Man erwartet da frt x = 0 wird. KS*: Strecken- verstrkung T1: Strecken- zeitkonstante KP: Verstrkungs- faktor von Regler und Stellglied KM: Verstrkungs- faktor des Megliedes xdw yR x x z KS 1+T1 s Kp FSFR Ua = xdUe = w UH = yR = x* Ux = x Strgre z VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 33 a) Fhrungsverhalten Die bertragungsfunktion der Kreisschaltung ist s T K KK Ks TK Ks TK KF FF FwxFS pS pS pS pS RS Rw11111111 + +=+++= += = Die Gesamtdynamik ist wieder von 1. Ordnung. Welcher Istwert x wird bei sprungfrmiger Verstellung des Sollwertes auf w0 erreicht? Unter Anwendung der Grenzwertstze fr sprungfrmige Anregung gilt: Endwert: 0 01001 1lim ) ( wK KK Kws T K KK Kw xS pS pS pS ps + =+ + + = also: Istwert ist ungleich Sollwert, bleibende Regeldifferenz Anmerkung: Man kann auch direkt die bleibende Regeldifferenz xd() ber das Block-schaltbild berechnen: S RdF F wxF += =11 S pdK Kw x + =110 Dies ist immer dann ntig, wenn die Anregung eine Rampe ist! Fazit: Durch Erhhung des Reglerverstrkungsfaktors erreicht man zwar eine Verringerung der bleibenden Abweichung, sie wird jedoch niemals null. Vorsicht: Gefahr der Instabilitt bei Strecken hherer Ordnung. x w0 63% bleibende Regeldifferenz s ps pK KK Kw +10 s pK KT + 11 011wK Ks p + VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 34 b) Strverhalten: Der Kreis befindet sich im Eingeschwungenen Zustand; es wirke nur eine Strgre z FxzFF FKT sK KT sKK K T szSR SSp SSp S= =+ =+++=+ + 11111111 Es wirke eine sprungfrmige Strung auf z0 Startwert:01lim ) 0 (10=+ + = s T K KKz xS pSs Endwert:01 1lim ) (0100 + =+ + = S pSS pSsK KKzs T K KKz x Die bleibende Regeldifferenz kann von durch Erhhung von KP verbessert werden. Ingesamt aber unbefriedigende Regelung.x t xa mit Strung bleibende Regeldifferenz xa ohne Strung Aufschaltung von z VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 35 4.3 I-Regler = dt t x K t yd I R) ( ) (sKxys FIdRR= = ) (Realisierung: a) elektrisch RC jZZUUerea1 = =sCRs FR1) ( =CRKI1 = b) pneumatisch c) elektromechanisch Motor + Spindel oder Schrittmotor Getriebexd M yR R eUaUC Stellzylinder Druckkanal Steuerzylinder StellkolbenSaugkanal x w Steuerkolben yR VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 36 I-Regler zur Regelung einer PT1-Strecke Regler: sKFSR = a) Fhrungsverhalten: 212121)) (1 ( ) (s T s K KK Ks T sK Ks T sK KwxFS IS IS IS Iw+ +=++ += = Gesamtdynamik 2. Ordnung 2 1221111sK KTsK KFgesamt TS Igesamt TS Iw3 2 1 3 2 1+ +=w F xw = Kann x schwingen? _______ 220 01 21 s sDKFw + += ? = D10TK KS I = { 3 2 1vorgegebenSr einstellbaI S I S I S IT K KDK K K K K KT DD11021 122 = == Je hher KI, desto mehr schwingt x Je kleiner KI desto langsamer (trger) x Ist w = x(x( ) ) 0 00lim ) ( w F w xws= = Soll-Istwert-Deckung 0wSprungantwort je nach Dmpfung s TKS11+

sKS

xdw x z FSFR VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 37 Verschrfung der Regelanforderung: optimales Nachlaufverhalten 20) ( : ) (sws w Rampe t w =gesucht:) ( ) ( ) ( = x w xd Direkt aus Blockschaltbild 2111s T sK Kw xS Id++ = Allgemeine Grenzwertstze: 2121200lim ) (s T s K Ks T ssws xS Isd+ ++ = 0 ) (0 = S IdK Kwx Fr Nachlauf ungeeignet, fr Sprung geeignet b) Strverhalten: 2111)) 1 (1 ( ) 1 () () () (s T s K Ks Ks T sK Ks TKs zs xs FS ISs ISz+ +=++ += =mit szs z0) ( = wird 0 lim ) ( lim2100=+ + = s T s K Ks Kz t xS ISs t Keine bleibende Strwirkung auf x(t). Zusammenfassung: keine bleibende Regelabweichung und Streinwirkung, aber zu langsam. ) (dxt 2 1 2 1 2 0 sTsKK sTs s x SI d ++ + = w VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 38 yr xd KP sKI Re Cr Rr xdyR 4.4 PI-Regler PI-Regler sind die am hufigsten verwendeten Regler. Ausgangsgre ist berlagerung von P- und I-Antwort. ) 1 ( ) (s KKKsKK s FPIPIP R+ = + =mit IPNKKT = Nachstellzeit wird s Ts TKs TK s FNNPNP R+ = + =1)11 ( ) (bergangsverhalten: PI-Regler wirkt wie I-Regler, dessen Wirkungsbereich um TN vorverlegt ist. Schneller als I-Regler aber trotzdem gute stationre Eigenschaften des I-Reglers. Technische Realisierung: a) elektrisch )11 (1s R C RRRs CRxyr r ererrdR+ =+ =

erpRRK =und r r NR C T = b) mechanisch y y1y2 xd Ryt 0 d Px KI-Anteil P-Anteil NTVorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 39 Im Re KP KP NT1= KP 110100 110100 100 -90 -180 10 NET1= NET1= PK| | FFrequenzgang des PI-Reglers: )11 ( ) (NP RT jK j F + = P RK F = } Re{NPRTKF = } Im{ Bode Diagramm: 2)1( 1 | ) ( |NPTK j F + =NT 1tan =NT 1arctan =| | Ffr PK = >>1 PI-Regler zur Regelung einer PT1-Strecke: Strecke: s TKFSS11+= Regler: s Ts TKs TK FNNPNp R+ = + =1)11 ( xdw x x z Kp FSFR TNKsT1 VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 40 a) Fhrungsverhalten: ) 1 ( ) 1 () 1 ()) 1 () 1 (1 ( ) 1 () 1 () (111s T K K s T s Ts T K Ks T s Ts T K Ks T s Ts T K Ks FN P S NN P SNN P SNN P Sw+ + ++=+++ ++= 0 00) ( lim ) ( lim w s F w t xws t= = 0 ) ( ) (0= = x w xd unabhngig von TN ist die bleibende Regeldifferenz = 0 b) Einschwingverhalten: Nennerpolynom bestimmend 21122120 0) ( 1 ) ( sK KT TsK KTT s T T s T T K K K K NS PNDS PNN N N N S P S P3 2 1 43 42 1 + + + = + + + = nach einfacher Rechnung: ) 1 (211S PS PNK KT K KTD + = Zustzlicher P-Anteil fhrt zu hherer Dmpfung im Vergleich zum I-Regler Sonderfall: 1T TN =

) 1 ( ) 1 () 1 () (s T K K s T s Ts T K Ks FN P S N NN P Sw+ + ++= P S NP SK K s TK K+ System 1.Ordnung, kein Schwingverhalten c) Strverhalten: 2111) 1 () 1 () 1 (11) (s T T K K s T K Ks T Ks T s Ts T K Ks TKs FN S P N S PN SNN P SSZ+ + +=+ +++=Gleicher Nenner wie bei) (s F : Gilt immer, den Nenner gibt das dynamische Verhalten des Systems an. Hier also: Gleiche Dmpfung wie bei Fhrungssprung Die Nullstelle im Zhler sorgt laut Grenzwertstzen dafr, dass fr einen Strspung 0z keine bleibende Regelabweichung erscheint. PI-Regler fr PT1-Strecke fr Fhrung und Strung geeignet. Auch fr I-Stecke ergibt sich mit PI-Regler ein gnstiges Fhrungs- und Strverhalten.VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 41 xa xe t Ce Rr UeUa Ri ~ xa 10TK xD e t 4.5 D-Regler Ein reines differenzierendes Glied (D-Glied) hat die Form: ) ( ) ( t x K t xe D a& =bzw.s K s Fs xs xDea = = ) () () ( KD: Differnzierbeiwert Ein solches System wrde auf eine Sprunganregungmit einem Dirac-Impuls antworten. Technisch nicht realisierbar, wenn Ordnung von Zhler hher als Ordnung von Nenner. Realisierung eines D-Gliedes: elektrisch: s C RUUe rea = wre ein ideales D-Glied, ist aber praktisch nicht mglich wegen immer vorhandenenRi der Spannungsquelle. s C Rs C Rs CRRUUe ie reirea + =+=11: DT Um Ri nicht dem Zufall durch eine beliebige Quelle zu berlassen wird besser ein definiertes Re am Eingang zugeschalten. Re>>Ri s Ts Ks C Rs C Rs FUUDe ee rea11 1) (+ = + = =mit D rK C R =und 1T C Re= Sprungantwort des DT1-Gliedes Anfangswert: 1010101lim1lim ) 0 (TK xTsK xs Ts K xt xD e D esD esa=+=+= = Endwert: 01lim ) (100=+= =s Ts K xt xD esa VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 42 xa xe KP s KD + + xa 10TTK xVP e t P eK x0 1T4.6 PD-Regler Durch das hinzunehmen des D-Anteils wird bereits whrend der Entstehung einer Regeldifferenz eine Stellgre erzeugt und damit die Regelung schneller. Parallelschaltung Idealer PD-Regler dtdxK x K t ydD d P R+ = ) ( bzw.) 1 ( ) (PDd P d D d P RKs Kx K s x K x K s y + = + = mit VPDTKK=(Vorhaltezeit) ) 1 () () () ( s T Ks xs ys FV PdRR+ = = Physikalisch nicht realisierbar, nur in Verbindung mit einer Verzgerung z.B. 1. Ordnung. Verzgerung kann aber hufig gegenber anderen Verzgerungen im Regelkreis vernachlssigt werden. Realisierbar: s Ts TK s FVP R111) (++= VT T1 In der Praxis treten Frequenzen bis E im Regelkreis dann nicht auf PD-Regler zu Regelung einer PT2-Strecke Strecke: 2 22 11 s T s TKFSS+ += Regler:) 1 ( s T K FV p R+ = a) Fhrungsverhalten (Nicht schwingungsfhig, b aT T ,reelle Pole): ) 1 ( ) 1 )( 1 () 1 () 1 )( 1 () 1 (1) 1 )( 1 () 1 () (s T K K s T s Ts T K Ks T s Ts T K Ks T s Ts T K Ks FV P S b aV P Sb aV P Sb aV P Sw+ + + ++=+ ++++ ++=Whlt man hier die Vorhaltezeit b VT T = , dann ergibt sich ein Fhrungsverhalten 1. Ordnung mit s T K KK Ks Fa P SP Sw+ +=1) (VTwhlt man gleich der grten Zeitkonstanten von b aT T , bleibende Regeldifferenz: S PS Ps tK KK Kw s F w t x+= = 1) ( lim ) ( lim0 00 S PdK Kwx w x+= = 1) ( ) (00

xexa s T111+) 1 (V PsT K + xdw x x z Kp FSFR TVKsT1,T22 VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 45 Schwingungfhige Strecke (Pole von 2 22 11 s T s T + + konjugiert komplex): 2 22 1) ( 1) 1 () (s T s K K T T K Ks T K Ks FP S V P SV P Sw+ + + ++= zur Ermittlung der Dmpfung Umrechnung in: S PS P V VP S wK K TK K T TDswswDs TK K s F++= + ++=1 21 21) 1 () (21220 0

D-Anteil vergrert ber TV die Dmpfung (System wird stabiler) Untersuchung auf bleibende Regeldifferenz bei Sprunganregung: S PS Pws tK KK Kw s F w t x+= = 1) ( lim ) ( lim0 00(wie bei nicht schwingungsfhiger Strecke) Gleiche bleibende Regeldifferenz wie bei Verwendung eines P-Reglers. Bleibende Regeldifferenz nur von KP, nicht von TV abhngig. Vorsicht: Auch eine nicht schwingungsfhige Strecke 2. Ordnung kann zu Schwingungen des geschlossenen Kreises fhren. z.B. nicht schwingungsfhige Strecke mits T s Tb a2 , 1 = = Verhalten der Regelgre x nach Fhrungssprung) (0t w w = 0 x t a VT T =b VT T =21= D des geschlossenen Kreises 0 =VTVorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 46 b) Strverhalten: ) 1 ( 1) 1 (1) 1 (11) (2 22 12 22 12 22 1s T K K s T s Ts T Ks T s Ts T K Ks T s TKs FV P SV SV P SSz+ + + ++=+ ++++ += Bleibende Abweichung nach sprungfrmiger Strung 0z : S PStK KK zt x+= 1) ( lim0 sollte 0 sein! Also: Stationres Verhalten bei Fhrung und Strung bei P-Strecken nicht optimal, da bleibende Abweichung. Dynamisches Verhalten bei Strsprung 0z Also: Bei dynamischen Verhalten gegenlufige Tendenz zwischen Fhrungs- und Strverhalten. b VT T =bei Fhrung gnstig, bei Strung ungnstig. Optimum bei 21 D .Zusammenfassung: Schnell, Polkompensation, Phasenanhebung 0 x t a VT T =b VT T =21= D des geschlossenen Kreises 0 =VT) ( t xd VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 47 4.7 PID-Regler berlagerung eines P,I und D-Reglers. Universalregler. + + =dtdxK dt x K x K t ydD d I d P R) (bzw. )11 ( ) ( sKKs KKx K s x KsxK x K s yPDPId P d DdI d P R+ + = + + = mit NIPTKK=(Nachstellzeit) und VPDTKK=(Vorhaltezeit) )11 ( ) () () (s Ts TK s Fs xs yVNP RdR+ + = = Umformung mit gleichem Nenner s Ts T T s TK s FNV N NP R21) (+ +=Nullstellen bei0 = sund zwei Nullstellen NVVTTTs41 1 (212 , 1 = ) Fr V NT T 4 erhlt man zwei reelle Pole und der Zhler lsst sich in zwei Linearfaktoren zerlegen: Die Lsungen von 2 , 1ssind immer negativ: 111 1sTTsNN = = ; 221 1sTTsVV = =s Ts T s TK s FNV NP R) 1 )( 1 () ( + += sei NPNPNNP PTKTKTTK K= = s Ts T s TK s FNV NP R + + = ) 1 )( 1 () ( Diese Form ist besonders geeignet, um Polstellen der Regelstrecke durch Nullstellen des Reglers zu kompensieren (Verringerung der Ordnung). Geeignete Form zur Darstellung des Bode-Diagramms. VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 48 Zwischen den Parametern ergeben sich folgende Beziehungen: ) 1 (NVP PTTK K+ = ;V N NT T T + = ;V NV NVT TT TT + = Ein idealer PID-Regler ist technisch nicht realisierbar. Ideale Sprungantwort Zur technischen Realisierung des PID-T1-Reglers gibt es verschiedene Mglichkeiten. Das T-Rckfhrnetzwerk ist durch einen Impedanzwandler entkoppelt (OP2). Im einfachsten Fall kann der Impedanzwandler ein einfacher Transistor in Emitterschaltung sein. Am + Eingang von OP2 liegt die Teilspannung ) ( 11) (11) ( ) (3 333332PPRPPRR R s Cs C Rs ys CR Rs CRs y s x+ ++=+ ++=yR t NTP dK x0 P dK x0 NTC3 R2 xdyR R1 R3 RP C2 OP1 OP2 x2 x2 i2 i1 virtuelle Masse VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 49 Spannungumlauf Ausgang: 12 1Rxi id= =eingesetztin)1(22 2 2s CR i x + =ergibt )1(2212s CRRxxd+ = )1() ( 11221 3 332s CRRxR R s Cs C Ry xdPPR+ =+ ++ = ) 1 ()) ( 1 )( 1 (3 2 23 3 2 212s R C s C RR R s C s C RRRxyPPdR++ + + =12RRKP = ; 2 2C R TN= ;) (3 3 P VR R C T + = ; PR C T3 1 = (T1 parasitre Zeitkonstante) ) 1 () 1 )( 1 () (1s T s Ts T s TK s FNV NP R+ + + =Sprungantwort (eines allgemeinen PID-T1-Reglers): ) 1 (1) (12s T s Ts T T s TK s FNV N NP R++ +=mit sxxdd0=1022212011) () 1 (lim ) 0 (TTx Ksss T T s Ts T T s T xK yVd PN NV N N dPsR=++ += Anfangssteigung geht gegen; Endwert geht gegen Nachteilig bei der angegebenen OP-Schaltung ist, dass N PT K ,und VTnicht unabhngig voneinander eingestellt werden knnen. Verbesserte Schaltung eines PID-T1-Reglers

0U CM -U1 RM1 R0 Rf1 R1 R2 aU )` Rq )` RM y1 y2 y3 C1 A 4 48 4 47 6 R12 R3 (1-)R3 yR t NTP doK x1TTK xVP do VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 50 ber Potis , , sind KP, TN und TV verstellbar ) 1 () 1 ( ) 1 () () ( 111 013 23 21 00s T s Ts T s TKUUs FT TCR RR RTVC R TRRRRKNV NPaRVMfff M Nfq fP + + + = =)` = + = = (((

+ = Bode-Diagramm des PID-T1-Reglers 3 2 1 43 42 11111 1) (T PDVPINNP Rs Ts Ts Ts TK s F+ + + = PIPD-T1 PID-T1 110100100010000 110100100010000 100 -90 -180 10 | | FNT1 VT1 11T 110100 110100 100 0 -90 10 | | FVT1 11T 90 110100 110100 100 -90 -180 10 | | FNT1 VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 51 = Re Im ) 1 (1NPTTK 1TTKVP Ortskurve des PID-Reglers: Hier PID-T1-Regler in Frequenzdarstellung N NN V NP RT j T TT j T TK j F + + =1221) () ) ( 1 () ()} ( Re{21121T TT T T T TK j FNV N NP++ =) ) ( 1 ()) ( 1 ()} ( Im{2112T TT T TK j FNV NP + = PID-Regler zur Regelung einer PT2-Strecke Strecke sei nicht schwingungfhig, d. h.: ) 1 )( 1 ( 1 ) () () (2 22 1s T s TKs T s TKs ys xs Fb aS SS+ +=+ += =a bT T > NV NP RT ss T s TK s F + + =) 1 )( 1 () ( ReIm 0 ) 1 (1NPTTK ) (11T T TV N PK 0 1TTKVP 0 xdw x x z Kp FSFR TN,TVKsT1,T22 y VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 52 a) Fhrungsverhalten: ) 1 )( 1 () 1 )( 1 (1) 1 )( 1 () 1 )( 1 () () () (s T s T T ss T s T K Ks T s T T ss T s T K Ks ws xs Fb a NV N P Sb a NV N P Sw+ + + + ++ + + + = = Hier whlt man z. B. NT gleich der grten Streckenzeitkonstante b NT T = und a VT T = ) () (1) (s ws xs T K KK KT sK KT sK Ks FN P SP SNP SNP Sw= + =+= Endwert der Sprungantwort: 000lim ) ( ws T K KK K wxN P SP Ss= + = Also unabhngig von der Wahl von NT bzw. VTund unabhngig von der Ordnung der P-Strecke wird die bleibende Regeldifferenz gleich Null. 0 ) ( ) (0= = x w xd Anmerkung: Die hier getroffene Wahl von NTmuss nicht optimal sein. VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 53 b) Strverhalten: ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 () 1 )( 1 () 1 )( 1 (1) 1 )( 1 () () () (s T s T K K s T s T T ss T Ks T s T T ss T s T K Ks T s TKs ws xs FV N P S b a NN Sb a NV N P Sb aSz + + + + + =+ + + + ++ += =Auch hier ist bei einem Strsprung fr t entsprechend0 = skeine bleibende Strwirkung0 ) ( = xBei der Strbertragungsfunktion kann die Ordnung des Systems nicht durch b NT T = bzw. a VT T = reduziert werden. Zusammenfassung und Vergleich: PID-Regler sind am anpassungsfhigsten, schnell, haben keine bleibende Regeldifferenz bei Fhrungs- und Strsprung und knnen die Ordnung des Systems reduzieren 0 x t a Vb NT TT T= = FhrungssprungStrsprung VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 54 4.8 Auswahl der geeigneten Reglerstrukturen Reglerstruktur Strecke P PD PI PID reine Totzeit Un- brauch- bar Un- brauch- bar Fhrung +Strung Un- brauch- bar Totzeit + Verzgerung 1. Ordnung Un- brauch- bar Un- brauch- bar Etwas schlechter als PID Fhrung +Strung Totzeit + Verzgerung 2. Ordnung Nicht geeignet schlecht Schlechter als PID Fhrung +Strung 1. Ordnung + sehr kleine Totzeit Fhrung Fhrung bei Verzugszeit Strung Strung bei Verzugszeit hherer Ordnung Nicht geeignet Nicht geeignet Etwas schlechter als PID Fhrung +Strung ohne Ausgleich mit Verzgerung Fhrung (ohne Verzgerung Fhrung Strung (ohne Verzgerung) Strung VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 55 4.9 Realisierung digitaler Regler Im Rechner wird zunchst i i ix w e =gebildet und dann ber den Regelalgorithmus iygebildet. Quasi-stetiger Regelalgorithmus fr einen PID-Regler )11 () () () ( s Ts TKs es ys FVNP R+ + = = das ganze wird im Zeitbereich zu ]) () (1) ( [ ) (0 + + =tVNPdtt deT d eTt e K t y ) (t eliegt nur zu diskreten Zeitpunkten als 1 1, ,+ i i ie e eetc. vor Daher:Diskretisierung von = tiAT e dt e00) ( Flche Diskretisierung von Ai iTe edtt de1) ( Steigerung Digitaler PID-Algorithmus = + + =ii iAVNAi P ie eTTeTTe K y01)] ( [ Regel algorithmus wi ADC Abtaster TA xdi = ei xi

DAC TA Halte- glied PC oder Rechner yi

wi: Diskreter Sollwert zum Zeipunt ti d.h.) (i it w w=) (i d dit x x = hier vereinfacht ei (error) AAfT1= : Abtastzeit; R AT T > (Rechenzeit) yxVorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 56 Eine bessere Variante ist es iyaus dem letzten Stellwert 1 iyzu berechnen mit = + + =102 1 1 1)] ( [ii iAVNAi P ie eTTeTTe K y wird nach Differenzbildung 1 i iy y : )`=+ =+ + =+ + + = AVPAVPNAAVPi i i i iTTK dTTK dTTTTK de d e d e d y y2102 2 1 1 0 1) 2 1 () 1 (PID Stellungsalgorithmus PID-Geschwindigkeitsalgorithmus: 1 i iy ybestimmt den Stellgrenzuwachs vom Zeitpunkt 1 itzum Zeitpunkt iti i iy y y = 1ist nderungsgeschwindigkeit von iy 2 2 1 1 0 + + = i i i ie d e d e d y Hier ist statt des Haltegliedes ein analoger Integrator vorzusehen (z.B. elektrischer Schrittmotor) Faustregeln zur Wahl des Abtastintervalles TA: Mglich zwischen min. 10ms bis in den Minutenbereich. Shannon Theorem (fTA21< ) greift nicht, da keine Bandbegrenzten Signale vorhanden sind. Faustformeln fr einen geschlossenen Regelkreis bei Sprunganregung von diesen Dimensionierungsvorschriften ist immer die restriktivste anzuwendene AT T 1 , 0 Te xTt t AT T 25 , 0 xT TA1 , 0 T xVorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 57 5. Stabilitt im Regelkreis 5.1 Stabilitt allgemein Steuerung ist immer stabil, Regelung dagegen kann infolge der Rckkopplung instabil werden. Bei Anregung kann sich der Regelkreis aufschaukeln, was unter Umstnden zu einer Zerstrung der Anlage fhren kann. Zwei Arten der Instabilitt Die Stabilitt eines Regelkreises wird bestimmt durch a.die Eigenschaften (Struktur und Parameter) der Regelstrecke b.die Eigenschaften (Struktur und Parameter) des Reglers nicht durch die Wahl der Eingangsgre. Also: Die Stabilitt ist alleine durch die homogene DGL bestimmt, da die Anregung ohne Bedeutung ist. Die Fhrungs- oder Strbertragungsfunktion zwischen xe = w bzw. xe = z und xa hat immer folgende Form: ......22 1 022 1 0+ + ++ + += =s a s a as b s b bxxFea Anmerkung: Hier ist die Form mit a0, a1, a2 ... anschaulicher als mit T1, T22, T33 mitTaaii i=0. Als zeitabhngige DGL schreibt man Gl. 5.1 in der Form ... ...2 1 0 2 1 0+ + + = + + + e eea aax b x b x b x a x a x aAusgangsgre und AbleitungenEingangsgre und Ableitungen Ob ein von auen angestoenes System sich in einem Beharrungszustand beruhigt - also stabil ist oder nicht - hngt nicht von der Art der Anregung ab, sondern liegt im inneren Aufbau des Systems selbst begrndet. Auch nach Nullsetzen von xe wird das System seine stabilen oder instabilen Schwingungen fortsetzen. a Die Stabilitt eines Systems hngt nur von der linken Seite der obigen DGL ab. Man nennt sie die Charakteristische Gleichung. (a0 + a1 s + a2 s2 + . . . ) xa= 0 bzw. 1 + FR FS= 0 bzw.(Gl. 5.1) 1 + F0= 0 mit FR FS = F0 oszillatorisch instabil (aufschaukeln) z x monoton instabil x t VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 58 F0 = FR FSist die bertragungsfunktion des offenen Kreises. Also: Die Beiwerte a0, a1, a2 ..., deren Gre und Vorzeichen von den Parametern von Regler und Strecke festgelegt werden, entscheiden alleine ber das Stabilittsverhalten. Beispiel:PID - Regler zur Regelung einer PT2 - Strecke 2 22 121)11 (s T s TKF unds Ts T T K s T K Ks Ts T K FSSNN v R N R RNv R R+ +=+ += + + = Die charakteristische Gleichung1 0 + = F FR S wird dann 0) 1 () (12 22 12=+ + + ++s T s T s TK s T T K s T K KNS N v R N R R 0) 1 (2 22 12 3 2221=+ ++ + + + +s T s T s Ts T T K K s T K K K K s T T s T T s TNN v S R N S R S R N N N wird mit 0K K KS R= 0 ) ( ) (3 2220 1 0 0= + + + + + s T T s T T K T T s T K T KN N v N N N 2123142432 a0a1 a2a3 Ist dieses System stabil? z aufgeschnittener Kreis xa xe FRFS VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 59 5.2 Stabilittskriterium nach Hurwitz 1.Ein System ist monoton stabil, wenn alle Beiwerte ai (i=0 ... n) vorhanden sind und gleiches Vorzeichen haben. Das ist die Grundvoraussetzung fr Stabilitt! 2.Ein System ist auch oszillatorisch stabil, wenn die Hurwitz-Determinante D>0 ist. a1a3a5a7......... a0a2a4a6......... D = 0a1a3a5a7...... > 0 0a0a2a4a6...... 00a1a3a5a7... 00a0a2a4a6... Beweis von 2. Es sei monotone Stabilitt vorausgesetzt, d.h. alle ai sind vorhanden und haben gleiches Vorzeichen.Die Stabilittsgrenze bei D=0 ist gekennzeichnet durch Dauerschwingungen, die weder auf- noch abklingen. t jaae x x ngung Dauerschwi =:Eingesetzt in Gl. (5.1)04 3 2 1 0= + + + + + a a aa ax a x a x a x a x a erhlt man fr die Stabilittsgrenze 04433221 0= + + + t jat jat jat jat ja e x a e x a j e x a e x a j e x a bzw.04433221 0= + + + a a j a a j a Dies ist eine komplexe Gleichung, bei der Realteil = 0 bzw. Imaginrteil = 0 ist. Man erhlt daraus folgende Bedingungen fr die Stabilittsgrenze: 044220= + + a a a hier ist jeweils 055331= + + a a a = krit Auf diese Weise erhlt man z. B. fr eine charakteristische Gleichung 3. Ordnung (a4=a5=0) 20022aaa akrit krit= = das sind identische Aussagen 31123aaa akrit krit= = an der Stabilittsgrenze Setzt man 20 2aakrit = in die Imaginrteil-Gleichung ein, so erhlt man 0 .3 0 2 1 3201= a a a a bzw aaaaan der Stabilittsgrenze!VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 60 Vergleich mit der Hurwitz-Determinante 3. Ordnung: . . . 03 0 2 12 03 1d e q a a a aa aa aD > = = Nachfolgend werden die Stabilittsbedingungen nach Hurwitz fr charakteristische Gleichungen 2. bis 4. Ordnung angegeben: (Gl. 5.3) 2. Ordnung:a a1 20 mit 20aakrit = 3.Ordnung:03 0 2 1 a a a a mit 3120aaaakrit= = 4.Ordnung:021 423 0 3 2 1 a a a a a a a mit 31aakrit = ... zurck zum Beispiel: PID - Regler mit PT2 - Strecke. Die charakteristische Gleichung war von 3. Ordnung. 03 0 2 1 a a a a 0 ) ( ) (22 0 0 1 0 + + T T K T T K T T T K TN N v N N N 0 ) ( ) 1 (22 0 0 1 0 + + T K T K T K Tv N. Wertung: Das Hurwitz-Kriterium ist fr die berprfung auf Stabilitt gut geeignet, nicht jedoch fr einen Reglerentwurf. Die nderung der Reglerparameter und -struktur auf das Stabilittsverhalten ist nicht unmittelbar erkennbar. Hurwitz nicht geeignet fr Totzeitglieder! Besser zur Stabilittsuntersuchung ist das Nyquist-Kriterium VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 61 -1 Im Re 5.3 Stabilittskriterium nach Nyquist Frage: Wie kommt es zu Dauerschwingungen im rckgekoppelten Kreis? Sowohl FR als auch FS haben frequenzabhngig Phasenschiebende Eigenschaften. fr eine bestimmte Frequenz kann die Gesamtphase von F0 genau -180 betragen VorzeichenumkehrMitkopplung anstatt Gegenkopplung Wenn dann noch die Kreisverstrkung des offenen Kreises1 | ) ( | | ) ( | | ) ( |0 0> = = V j F j F j FS R ist, kommt es zu aufklingenden Schwingungen =)`>=> Regler=tf([500,10],[50,0])

Transfer function: 500 s + 10 ---------- 50 s Spindelventil: s s Ti1001 1= >> Spindelventil=tf(1,[100,0])

Transfer function: 1 ----- 100 s und WrmetauscherHzTmits s TKS125 , 018 111111= =+=+ >> Waermetauscher=tf(1,[8,1])

Transfer function: 1 ----------- 8 s + 1 Die BODE-Diagramme der Einzelblcke erhlt man ber den Befehl >> bode(Regler,Spindelventil,Waermetauscher) VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 66 Achtung: Um die Eckfrequenzen richtig ablesen zu knnen, ist die Abszisse (ber properties rechte Maustaste) in rad/sec entspr. darzustellen. Die Gesamtbertragungsfunktion F0 des offenen Kreises knnte man jetzt ber die Befehlsfolge >> F0=Regler*Spindelventil*Waermetauscher

Transfer function: 0.5 s + 10 ---------------------- 4e-005 s^3 + 0.005 s^2

>> bode(F0) darstellen, dies hat aber zwei Nachteile: Amplituden- und Phasenrand werden nicht angezeigt der Regler kann nicht so einfach gendert werden. Hier benutzt man besser das sog. SISO Tool (System Input System Output). Prozess G und Regler C werden getrennt durch ihre bertragungsfunktion dargestellt. In diesem Fall ist der Prozess >> G=Spindelventil*Waermetauscher und der Regler behlt die oben zugewiesene Form. Mit dem Befehl >> sisotool(G) erhlt man zunchst den Frequenzgang von G, kann aber ber file / import den Reglerfrequenzgang Regler in das Feld C ziehen. Damit erhlt man den Frequenzgang F0 = Regler*Spindelventil*Waermetauscher. Wie man sieht, ist der Amplitudenrand unendlich (die -1800 Linie wird nicht geschnitten) und der Phasenrand liegt bei 42,50. Das System ist also stabil. VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 67 Die Sprungantwort hat folgende Form: Da das System nie die -1800 Linie schneidet, kann es nicht instabil werden, auch wenn man die Verstrkung noch so stark erhht. Aber: man knnte auf die Idee kommen, die Zeitkonstante des Wrmetauschers durch die Reglerzeitkonstante zu kompensieren. Was passiert dann? s T s TF wird T T mits T s T s Ts T KFi NNi NN R= =+ + =10) 1 () 1 (0 110 Die charakteristische Gleichung 1 + F0 = 0 wird zu KR + TN Ti s2 = 0 Dieses System ist nach Hurwitz instabil, genauer: an der Stabilittsgrenze, da die Dmpfung gleich null ist. Man erkennt das auch aus dem BODE-Diagramm des offenen Kreises. Fallen die beiden Eckfrequenzen von Wrmetauscher und PI-Regler zusammen, so erhlt man eine Phase von konstant- 1800, d.h. das System ist an der Dauerschwingungsgrenze. Erweiterung der Regelaufgabe: In der Praxis wird es durch den Flssigkeitstransport vom Wrmetauscher bis zu der Messstelle tempist immer zu einer Totzeit kommen. Es wird also im Blockschaltbild hinter dem Wrmetauscher noch ein Totzeitglied e-sTt einzufgen sein. Ein Totzeitglied mit der Verstrkung 1 hat nur einen Einfluss auf die Phase und zwar: = - Tt

Diese Aufgabenstellung wird hier nicht weiter behandelt. VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 68 Beispiel: Stabilittsuntersuchung an einer PT2 Strecke mit PI Regler Strecke: 2 3 , 1122 12 22 1= = =+ += T und T K mits T s TKFSSS Regler: 12 5 )11 ( = = + = + =I RIRNR RK und K mitsKKs TK FVorsicht! 4 , 2 4166 , 0 = = =EIRNKKT a) Unter Anwendung des Nyquist-Kriteriums ist festzustellen, ob der Regelkreis stabil ist. b) Bei welcher Reglerverstrkung ist die Stabilittsgrenze erreicht? c) Welchen Einfluss hat eine Vernderung von TN auf die Stabilitt? a) Bei dem Nyquist-Kriterium ist der Verlauf der F0 Ortskurve zu betrachten. ) ( )1( ) (12220 jKKT j TKF F j FIRSS R+ + = = nach Zwischenrechnung erhlt man )1 5 41291 5 4) 31 10 () (2 4 2 420+ +++ ++ = j j F Der Schnittpunkt mit der reellen Achse liegt bei15 , 1912 129 . 0 )} ( Im{0= = = = =kritmit bzw j F eingesetzt in Re{F0} ergibt31 5 4) 31 10 (} Re{2 420 =+ ++ =krit kritkritF Das System ist instabil! VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 69 b) Bei welcher Reglerverstrkung ist die Stabilittsgrenze erreicht? An der Stabilittsgrenze muss F0 = FS FR = 1 sein, d.h. man muss den Reglerverstrkungsfaktor von ehemals KR = 5 um den Faktor 3 auf67 , 135*= =RK reduzieren. Achtung: Daauf K auch muss istTKKINRI*, = 43*= =IIKKeingestellt werden.TN bleibt konstant! c) Welchen Einfluss hat eine Vernderung von TN auf die Stabilitt? Eine Vergrerung von TN (Regler wird langsamer) entspricht einer Verkleinerung von N(Linksverschiebung im BODE-Diagramm). Die Phase wird angehoben und schneidet nicht mehr die -1800 Linie, sondern nhert sich dieser von oben. Das System wird stabil! VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 70 6. Optimale Einstellung von Regelkreisen 6.1 Optimale Einstellung EineOptimaleEinstellungeinesRegelkreisesbedeutetdasdieRegeldiffernzbeiFhrungs- und Strverhalten so gering wie mglich ist und mglichst schnell beseitigt wird. Geringe RegeldifferenzP bzw. I-Anteil erhhenabnehmende DmpfungInstabilitt Typischer Verlauf der Regelgre: mx : berschwingweite anT : AnregelzeitZeit bis zum Eintreten in das Toleranzband ausT : AusregelzeitZeit bis zum vlligen Verbleib in dem Toleranzband 6.2 Praktische Einstellregeln VieleVerfahrensrechnischeRegelstreckenlassensichvereinfachtalsPT1-Gliedmitnach geschalteter Totzeit betrachten. tsTSSes TKs F+=11) ( mit gT T=1(Ausgleichszeit) und n tT T=(Verzugszeit) Fr solche Strecken gelten nach Ziegler und Nichols folgende Einstellregeln: 1.ManstellezuerstdenRegleralsP-Reglerein,d.h.derI-undeventuellderD-Anteil sind herauszunehmen. 2.Man vergrere den Proportional-Anteil KP des Reglers solange, bis der Regelvorgang geradeungedmpfteSchwingungenausfhrt,sichalsoanderStabilittsgrenze befindet. Dieser Wert KPheit KPkrit. Die Schwingungsdauer der Dauerschwingung ist zu messen. Sie wird mit Tkrit bezeichnet. 3.Die gnstigste Einstellung eines P-Regler: Pkrit PK K = 5 , 04.Die gnstigste Einstellung eines PI-Reglers: Pkrit PK K = 45 , 0 kritInTKT = = 85 , 01 5.DiegnstigsteEinstellungeinesPID-Reglersist: Pkrit PK K = 6 , 0 , krit nT T = 5 , 0 und krit DT T = 12 , 0 Diese Regeln sind von Ziegler und Nichols auf empirische Weise ermittelt worden. 0 x t Toleranzabstand anTausTmxVorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 71 6.3 Einstellregeln nach Chiem, Hrones und Reswick Aperiodischer Verlauf Reglerverlauf mit 20% berschwingenRegler StrungFhrungStrungFhrung P KPx 3 , 0 x 3 , 0 x 7 , 0 x 7 , 0KPx 6 , 0 x 35 , 0 x 7 , 0 x 6 , 0PI Tn nT 4gT 2 , 1nT 3 , 2gT 1KPx 95 , 0 x 6 , 0 x 2 , 1 x 95 , 0Tn nT 4 , 2gT 1nT 2gT 35 , 1PID Ts nT 42 , 0gT 5 , 0nT 42 , 0gT 47 , 0wobei S ngK TTx= Also: unterschiedliche Einstellung bei Folgeregelungen bzw. bei Regelkreisen mit Strungen VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 72 7. FUZZY Logic & Control 7.1 Einfhrung Die FUZZY Set Theorie wurde erstmals 1965von Prof. Zadeh von der Berkeley University, California, vorgestellt. Sie behandelt die mathematischen Grundlagen zur Beschreibung unprziser, unscharfer (engl. fuzzy) Informationen.Nach langen Jahren, in denen sich die FUZZY - LOGIC hauptschlich im Verborgenen entwickelte, kam es zu Beginn der 90er Jahre - angeregt durch die Japaner -zu einem regel-rechten Fuzzyboom. Hier sind neben anderen Anwendungen insbesondere solche aus der Regelungstechnik zu nennen.FUZZY - CONTROL erschliet der Regelungstechnik unzweifelhaft neue, bisher nicht verfgbare Mglichkeiten, es muss aber betont werden, dass ein optimal eingestellter PI oder PID - Algorithmus nicht unbedingt durch einen FUZZY Algorithmus ersetzt werden sollte. Vorteile ergeben sich fr FUZZY Regler insbesondere dann, wenn -die Regelstrecke z. B. infolge von Nichtlinearitten nur ungenau mathematisch beschrieben (identifiziert) werden kann, oder -wenn starke Parameter- oder Strukturvernderungen der Strecke auftreten. 7.2 FUZZY Set Theorie Die Definition und mathematische Behandlung von FUZZY Sets ist eine Erweiterung der klassischen Mengenlehre. Neben der Einfhrung unscharfer Mengen sind deren logische Ver-knpfungen, z. B. nach UND oder ODER sowie insbesondere eine Methode zur Defuzzifi-zierung zu beschreiben. Obwohl der mathematische Hintergrund relativ komplex ist, braucht man zur Anwendung der FUZZY - LOGIC keine vertieften mathematischen Kenntnisse. Der notwendige Algorithmus wird von verschiedenen verfgbaren Softwaretools, sog. FUZZY Shells bereitgestellt.Einige grundlegende theoretische Kenntnisse sind jedoch auch fr den FUZZY Anwender un-abdingbar und werden im folgenden vorgestellt. 7.2.1 Scharfe und unscharfe Mengen In der klassischen Mengenlehre kann von jedem Objekt exakt gesagt werden, ob es zu der Menge gehrt oder nicht. Die Zugehrigkeit ist immer entweder 0 oder 1. Die logischen Verknpfungen sind eindeutig definiert. 12345678910 1112x 1 Menge A: 6 2 xMenge B: 9 4 xA & B A oder B VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 73 Im tglichen Leben oder selbst in der Mathematik sind jedoch Begriffe blich, welche keine eindeutige Zugehrigkeit zu einer Menge gestatten. Man spricht von sog. unscharfen Mengen (engl. fuzzy set). Beispiele dafr sind: warm, khles Wetter, viele Menschen, hoher Berg. Diese Aussagen werden zwar von jedem Betrachter etwas anders interpretiert, jedoch allgemein verstanden. Dies wird nachfolgend an der unscharfen Menge "warm" verdeutlicht. Im Unterschied zu einer scharfen Menge sind hier alle Zugehrigkeitsgrade zwischen 0 und (in der Regel) 1 mglich. Im allgemeinen Fall knnen die Zugehrigkeitsfunktionen unschar-fer Mengen von beliebiger Gestalt sein. Eshatsichjedochalsgnstigerwiesen,nurbestimmteTypenvonFUZZYsetszuzulassen. Das sind insbesondere trapezfrmige Formen, welche sich leicht in dreieckfrmige Sets oder sog. Singletons verwandeln lassen, wie die Abbildungen auf der nchsten Seite zeigen. A B =C D 1 Dreieckfrmiges FUZZY set 1 Singleton A B CD 1 Trapezfrmiges FUZZY set 102030 C 1 warm VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 74 7.2.2 Operatoren fr unscharfe Mengen Die beiden wichtigsten Operationen gewhnlicher Mengen sind die Bildung -des Durchschnitts, das ist die Schnittmenge von A und B, also die UND VerknpfungA B sowie -der Vereinigung, das ist die Vereinigungsmenge von A und B, also die ODER Verknpfung A B. Unter Bercksichtigung der unterschiedlichen Zugehrigkeitsgrade lassen sich auch fr unscharfe Mengen solche Verknpfungen definieren. Die UND Verknpfung zweier unscharfer Mengen entspricht in der FUZZY Logik genau wie indergewhnlichenMengenlehredemDurchschnittbeiderFlchen.Mathematischistdies der Minimum - Operator. UNDMIN - Operator Fr die ODER Verknpfung (Vereinigung) erhlt man analog den Maximum - Operator ODERMAX- Operator Es gibt noch eine Vielzahl weiterer Operatoren fr unscharfe Mengen, fr die praktische Anwendung der FUZZY Logic reichen die oben dargestellten aber zunchst aus. A B1 xMenge AMenge B A B1 xMenge AMenge B VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 75 7.2.3 Linguistische Variable und linguistische Terme Begriffe wie "kalt", "warm", "lang", "kurz" oder "symphatisch" knnen nicht durch einen einzigen diskreten Zahlenwert dargestellt werden, sondern sind sprachliche Begriffe, welche eine unscharfe Menge bilden.Dies soll am Beispiel des Begriffs "Entfernung" erlutert werden: Entfernungen - in diesem Falle die linguistische Variable "Entfernung" - werden vom Menschen meist nicht exakt in Metern mit mehreren Nachkommastellen, sondern hufig durch Begriffe wie "nah", "weit" etc. angegeben. Dies sind die linguistischen Terme der linguistischen Variablen "Entfernung", denen im konkreten Fall definierte Zugehrigkeitsfunktionen (engl. mem-bership functions: MBF) zugeordnet werden. In ihrer Gesamtheit machen die Zugehrigkeitsfunktionen die Struktur der linguistischen Variablen aus. 7.3 FUZZY Regelung (FUZZY Control) Der Mensch ist sehr wohl in der Lage, mit Hilfe unscharfer Informationen (Eingangsgren) eine optimale Prozessfhrung ber gezielte Eingriffe in den Prozessablauf (Stellgren) zu gewhrleisten. Dies soll an einem alltglichen Vorgang, dem "Kuchenbacken" in einem Backofen nher erlutert werden: Eine Hausfrau schiet den Kuchenteig auf einem Backblech in den Ofen ein und wei dabei ungefhr, nach welcher Zeit er fertig sein wird. Dies ist die erste unscharfe "Prozessmess-gre".Whrenddessen berwacht sie stndig anhand der Brunung und des Geruches den Backvor-gang. Dies sind ebenfalls unscharfe "Messgren". Auch Grenzwerte z.B. ber die Wahr-nehmung "riecht angebrannt" werden berwacht. Aus all diesen unscharfen Eingangsinformationen wird vom Menschen eine scharfe "Stellgr-e" ermittelt, denn der Ofen wird zu einer bestimmten Zeit abgeschaltet und der Kuchen ist in der Regel exakt gar. Ein FUZZY Regler arbeitet in vergleichbarer Weise. Auch hier werden unscharfe Eingangs-gren ber einen Wissensbasierten Regelalgorithmus zu einer Wohldefinierten Stellgre verarbeitet. Im Vergleich zu bekannten Reglerentwrfen ergeben sich jedoch zwei wesentliche Un-terschiede: -Eine mathematische Modellbildung des Prozesses (Strecke) findet nicht statt,dafr wird-in die Regelbasis Expertenwissen - hier das der Hausfrau - mit eingebracht. 2040 6080 1001 msehr nahnah mittelweitsehr weitVorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 76 7.3.1 Design eines Fuzzy-Reglers Fr das Design eines Fuzzy-Reglers sind folgende Schritte notwendig: 1.Fuzzifizierung: Festlegung der notwendigen Messgren (Reglereingangsgren) und der Stellgre (Reglerausgang) mit deren unscharfen Mengen. 2.Regelbasis: Aufstellen von Regeln zwischen den Mess- und der Stellgre in der Form wenn Messwert 1 = a1 UND Messwert 2 = b1DANNStellgre = x1 wenn Messwert 1 = a2 UND Messwert 2 = b2DANNStellgre = x2 usw. 3.Inferenz und Defuzzifizierung: Unscharfes Schlieen auf die diskrete Stellgre 4.Optimierung Dieser Vorgang soll am Beispiel einer Temperaturregelung erlutert werden. 7.3.2 Fuzzifizierung In der Praxis werden bei regelungstechnischen Anwendungen keine "unscharfen" Ein-gangsgren vorliegen, sondern ber Sensoren ermittelte "scharfe" Messgren. Die Aufgabe der Fuzzifizierung besteht nun darin, die ermittelten Messwerte den linguistischen Termen zuzuordnen und damit die linguistischen Variablen "zu laden".Als erstes mssen hierzu fr alle Ein-/Ausgnge linguistische Variable und deren Terme gebildet werden, hier zum Beispiel die linguistische Variable "Temperatur" und deren Terme "kalt" oder "warm". In der Regelungstechnik ist es meist ausreichend, normierte dreieck- oder trapezfrmige Fuzzy-sets zu verwenden. Es ist also nur noch ihre Anzahl, ihre Verteilung und ihre Grenzen zu bestimmen. Dabei muss darauf geachtet werden, dass bei der Definition der linguistischen Terme keine undefinierten Stellen auftreten, da diese zu Lcken im Regelverhalten fhren wrden. Die nachfolgende Darstellung zeigt den Vorgang der Fuzzifizierung am Beispiel derTemperaturregelung mit der Eingangsgre Temperaturdifferenz e und der Ausgangsgre Heiz-/Khlleistung y. Der hier dargestellte aktuelle Messwert fr die Temperaturdifferenz erfllt den linguistischen Term "zu warm" mit ca. 80%, den Term "null" mit ca. 20%. -1000 +100C 1 1 -1000+100W zu kaltnullheizenkhlenkonstant Temperaturdifferenz eHeiz-/Khlleistung P Messwert zu warm VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 77 7.3.3 Erstellen der Regelbasis Um eine diskrete Stellgre aus den unscharfen Eingangsgren (Fuzzy Sets) zu bilden, mssen jetzt Regeln folgender Form gebildet werden: wenn Eingang .... dann Ausgang .... Diese Regeln beinhalten das "Expertenwissen" eines Fachmannes, so wie er mit seinem know how die Anlage fahren wrde. Das Aufstellen dieser Regeln ist ebenso wie die geschickte Wahl der Eingangsgren und deren Fuzzifizierung entscheidend fr die optimale Funktion des Fuzzureglers. Folgende Regeln werden aufgestellt: 1. WENN e = zu warmDANN P = khlen 2.WENN e = nullDANN P = konstant 3.WENN e = zu kalt DANN P = heizen Es ist u.U. mglich, diese Regeln mit Faktoren (engl. Degree of Support: DoS) zwischen 0 und 1 zu wichten, um ihnen so mehr oder weniger Bedeutung zu geben. VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 78 7.3.4Inferenz und Defuzzifizierung Unter Inferenz versteht man die Verarbeitungsvorschrift der aufgestellten Regeln unter Bercksichtigung der aktuellen Eingangsgren. Dabei knnen je nach Lage der aktuellen Messgren eine oder mehrere Regeln wirksam werden; man spricht vom "Feuern" der Regeln. Nimmt man zunchst an, dass nur eine Regel feuert, so ergibt sich folgende im Bild dar-gestellte Inferenz mit der diskreten Ausgangsgre. Als Verfahren zur Defuzzifizeirung wird hier der Flchenschwerpunkt - Methode (Center-of Moment: CoM) gewhlt. Ein weiteres Verfahren ist die Maximummethode (Mean-of-Maxi-mum: MoM), bei der der Maximalwert des Ausgangsterms die diskrete Stellgre bildet. Nach demselben Verfahren wird im folgenden Bild fr den Fall verfahren, dass zwei Regeln gleichzeitig feuern. Fr die UND - Verknpfung zweier Fuzzy Sets wird die Minimum Methode angewandt,bei der ODER - Verknpfungfindet die Maximum Methode Anwen-dung. -1000 +100C 1 1 -1000+100W zu kaltnullheizenkhlenkonstant Temperaturdifferenz eHeiz-/Khlleistung P Messwert zu warm diskrete Stellgre -1000 +100C 1 1 -1000+100W zu kaltnullheizenkhlenkonstant Temperaturdifferenz eHeiz-/Khlleistung P Messwert zu warm diskrete Stellgre VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 79 7.3.5 Optimierung Zunchst sind die verstndliche Vorgehensweise und die Resultate einer Fuzzy - Regelung bestechend. Es zeigt sich aber schnell, dass Verbesserungen und Optimierungen erforderlich sind. Dies bezieht sich zum einen auf die Dynamik der Regelung, zum anderen aber auch auf die Vermeidung einer bleibenden Regeldifferenz. Der oben dargestellte Algorithmus hnelt einem Proportionalregler und erreicht erwartungsgem fr Strecken mit Ausgleich im End-zustandkeine Soll-Istwertdeckung. Hier sind I- und D-Anteile erforderlich, welche im nchsten Abschnitt behandelt werden sollen. Grundstzlich gestaltet sich die Optimierung eines Fuzzy-Reglers aus zwei Grnden recht schwierig: 1. Es existiert noch keine Optimierungstheorie oder -strategie. 2. Beim Fuzzy-Regler knnen eine Vielzahl von Parametern variiert werden, z. B. Anzahl und Lage der linguistischen Terme, die Regelbasis oder deren Wichtung. 7.3.6 Die SIEMENS Fuzzy-shell PROFUZZY Zur Demonstration einer Fuzzy-Regelung wird die SIEMENS Fuzzy-shell PROFUZZY verwendet. Diese Software bentigt als Zielhardware eine SPS vom Typ SIMATIC S5. Das Programmieren aller Schritte fr den Fuzzy-Regler geschieht auf einem PC. Von diesem erfolgt der Download zur SPS, welche als Hardware den Fuzzy-Algorithmus sowie die analogen Ein-/Ausgnge bedient. Entsprechende Funktionsbausteine werden zur Verfgung gestellt. PROFUZZY bietet folgenden Leistungsumfang:: maximal 10 Eingnge und 4 Ausgnge maximal 7 Zugehrigkeitsfunktionen pro Ein- oder Ausgang maximal 50 Fuzzy-Regeln, wobei eine Regel auf mehrere Ausgnge wirken kann die Ausgangs-Fuzzy-sets sind immer Singletons zur Defuzzifizierung ist nur die Schwerpunktmethode mglich. Die Laufzeiten auf der SPS knnen je nach CPU Typ relativ lang werden. Fr 2 Eingnge und 1 Ausgang mit je 5 Termen und 20 Regeln gibt Siemens folgende Zeiten an: CPU 6ES5 095 - ...103 ms 6ES5 103-8MA03 47 ms 6ES5 943-...56 ms 6ES5 945-7UA111,5 ms 6ES5 948-... 2,8 ms 6ES5 928-3UB11 9 ms VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 80 FUZZY Regler y e P dt e I

dtdeDFUZZY Regler dy e I 7.4 FUZZY PID - Regler Bezieht man bei einem Fuzzy-Regler neben dem Proportionalteil der Regeldifferenz(errore)auchnochdessenzeitlichenderungoderdessenIntegralmitindenAlgorithmus ein, so sinde& und d evor dem Aufruf und auerhalb des Fuzzy-Reglers zu berechnen. Der gesamte Regelkreis nimmt damit folgende Form an: Fr einen vollstndigen PID-Regler sind dann 3 Fuzzy-sets fr den P-, I- und D-Anteil aufzustellen. Natrlich knnen auch noch andere Megren in die Regelung mit einbezogen werden. Anmerkung 1: Vom Verstndnis her ist es einfacher, fr die Fuzzy-Regelbasis die nderung einer Messgre aufzunehmen als deren Integral.Sofern der digitale Regler sowohl einen Stellungs- als auch einen Geschwindigkeitsalgorith-mus aufweist, kann man folgende Analogien verwenden: PI Stellungsalgorithmus + = dt e I e P y PI Stellungsalgorithmus e IdtdeP dy + = Anmerkung 2: Man kann fr die Berechnung der I - und D - Anteile von e den "normalen" I - bzw. D - Regelalgorithmus mit den entsprechenden Verstrkungsfaktoren durchlaufen. Nur werden am Ende hier nicht die Summen gebildet - wie beim PID - Algorithmus blich - sondern ber den Fuzzy Regler gefhrt. FUZZY Regler Regel Strecke y wx x - K e P dt e I

dtdeDVorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 81 7.5 Gegenberstellung von Fuzzy - und konventionellen Reglern Vorteile: -kein mathematisches Modell der Regelstrecke erforderlich -Fuzzy - Regler sind auch von Laien zu verstehen (und eventuell zu bearbeiten) -Fuzzy - Regler reagieren robuster und stabiler auf Parameternderungen der Strecke -Hufig bessere Regelqualitt als bei herkmmlichen Reglern -Kostengnstig bei Verwendung von Fuzzy - Chips -Billige Sensoren verwendbar, da keine absolut exakten Mewerte notwendig. Fuzzy Regler arbeiten mit ungenauen Messwerten unter Verwendung von Expertenwissen stabil und robust. -Lernfhigkeit bei berlagerung neuronaler Netze Nachteile: -Bisher existieren noch keine fundierten Regeln, welche eine geradlinig, mathematisch optimierte Reglerauslegung gewhrleisten. -Sehr viele, unberschaubare Variationsmglichkeiten der Fuzzy-Parameter. Es bleibt noch nachzutragen, dass hufig auch Sollwerte als Fuzzy sets vorgegeben werden. Beispiele sind der Sollwert fr die Raumtemperatur "warm", Geschwindigkeit "langsam", Ab-stand "nahe" und nicht 1,235 mm. ZunehmendwerdenauchunscharfeOptimierungskriterienwie"energiesparend"oder"um-weltvertrglich" wichtiger als schnelles Einschwingen oder absolute Soll-/Istwertdeckung. All diese berlegungen werden zu einem weiteren Anwachsen der FUZZY-LOGIC fhren. 7.6 Beispiele fr FUZZY - Anwendungen Beispiel 1: Einlagerung von Ballen in ein Hochregallager Dieses Beispiel behandelt nicht eine Fuzzy-Regelung, sondern einen Fuzzy-Entscheidungs-prozess. IneinrechtausgedehntesHochregallager(Lngeca.100m)werdenmittelseines SchienengebundenenStaplersZelluloseballen(unterschiedlicherFeuchte)eingelagert.Die ZelluloseballenwerdenberzweiFrderbnderBand1undBand2indieReichweitedes Staplers transportiert und stauen sich an den Bandenden auf. Erste (vereinfachte) Aufgabenstellung: Der Staplerfahrer erhlt ber ein Display im Fahrzeug folgende Informationen: -Anzahl der sich am Band 1 rckstauenden Ballen FUZZY - set: Anz_B1 -Anzahl der sich am Band 2 rckstauenden BallenFUZZY - set: Anz_B2 -die aktuelle Position des StaplersFUZZY - set: Position DieAufgabedesStaplerfahrersbzw.frdenFUZZYAlgorithmusbestehtdarin,dieBallen ohnegrerenRckstauaufdenBndernundberminimaleWegstreckenindasHoch-regallager einzubringen. VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 82 FUZZY - Lsungsschritte: 1. Formulierung linguistischer Variablen fr die FUZZY - sets. Fr die 3 Eingangsgren (linguistische Variable)Anz_B1,Anz_B2 undPosition werden jeweils 3 Terme in umseitig dargestellter Form gewhlt. Die Ausgangsgre ist in diesem Fall eine diskrete Entscheidung in Form des FUZZY - sets Auswahl, entweder Band 1 oder Band 2. Es handelt sich um zwei Singletons, welche nach der Defuzzifizierungsmethode MoM zu ermitteln sind. 2. Erstellen der Regelbasis In der Regelbasis wird das "Expertenwissen" formuliert, welche in diesem Fall in Form einer Entscheidungstabelle dargestellt ist. In Abhngigkeit der linguistischen Eingangsgren ist in den Matrixelementen jeweils die Bandnummer angegeben, von welchem ein Ballen zu entnehmen ist. PositionNahe Band1MitteNahe Band2 Anzahl B1wenigevieles_vielewenigevieles_vielewenigevieles_viele wenige111111221 viele111221221 An-zahl B2 s._viele221221222 Die Shell fuzzyTECH 3.0 MCU von Inform, Aachen Diese Software ist eine vollgraphische Entwicklungs- und Bedienoberflche, welche alle FUZZY Design Phasen untersttzt. Hardwareseitig wird mindestens ein 386er PC mit VGA Grafik, DOS 3.3 und MS-Windows 3.0 bentigt.Es knnen bis zu maximal 8 Eingangsgren (FUZZY sets) und 4 Ausgangsgren bearbeitet werden. Jedes set kann bis zu 7 linguistische Variable haben. Zur Defuzzifizierung stehen die Schwerpunktmethode (Center-ofMaximum: CoM) oder die Maximummethode (Mean-of-Maximum: MoM) zur Verfgung. Auerdem kann jede Regel mit einer Gewichtung zwischen 0 und 1 versehen werden (Degree of Support: DoS). fuzzyTECH 3.0 MCU bietet die Mglichkeit, einen Assembler Code fr Standard Mikro-controller zu generieren. Hierzu zhlt beispielsweise die gesamte 51er Familie von Intel. VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 83 Beispiel 2: Feuchteabhngige Einlagerung der Ballen in ein Hochregallager 0 5810121520Stck 1 1 0 2550 75 100m sehr vielevielenahe Band2 nahe Band1mitte Anzahl_B1 bzw. Anzahl_B2Position wenige Hochregallager mit verschiedenen Trocknungszonen (Lnge ca. 100 m) Staplerfahrzeug Trans-port- band 2 Ballen unter-schiedlicher Feuchte zum Einlagern in das Hochregal-lager Position * Anzahl_B1 * Anzahl_B2 * *FUZZY-Sets INPUT Anzahl_B1 - wenige - viele - sehr_viele Anzahl_B2 - wenige - viele - sehr_viele Position - nahe_B1 - mitte - nahe_B2 OUPUT Auswahl - Band1 - Band2 Trans-port- band 1 Band1Band2 Auswahl VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 84 Beispiel 2: Feuchteabhngige Einlagerung der Ballen in ein Hochregallager In Erweiterung zu Beispiel 1 ist davon auszugehen, dass die auf den Bndern ankommenden Zelluloseballen unterschiedliche Feuchte aufweisen. Dazu wird die Feuchtigkeit des jeweils letzten Ballens am Bandkopf messtechnisch ermittelt und als weitere Messgre herangezo-gen.Das Hochregallager verfgt ber verschiedene Trocknungszonen; sehr feuchte Ballen werden ganz rechts, bereits trockene Ballen ganz links eingelagert. Somit kann jedem Ballen eine weitere linguistische Variable in Form seines Zielortes im Regal zugeordnet werden. Beispielsweise knnte diese Variable den Namen Ziel erhalten und wiederum die linguistischen Terme nahe_Band1, mitte und nahe_Band 2 haben. Eine entsprechende Regelbasis ist zu erstellen. Beispiel 3: Positionsregelung der Laufkatze eines Entladekrans Mit einem Entladekran werden Container von einem Schiff auf einen Eisenbahnwaggon ent-laden. Die ber eine Stahltrosse an der Laufkatze des Krans hngenden Container fhren beim Bewegen Pendelungen aus, so dass es nicht leicht ist, die Last exakt auf dem Waggon zu positionieren. Diese Aufgabe soll von einem Fuzzy - Regler bernommen werden. Messgren sind die Position der Laufkatze (position) und der Winkel, mit dem die Last gegenber der Senkrechten pendelt (angle). Stellgre ist die Leistung, mit der der Kran angesteuert wird (power). VorlesungsmitschriftRegelungstechnik Ecker AntonFachhochschule Landshut 85 Literatur: Reuter, M. und Zacher, S. : Regelungstechnik fr Ingenieure, Vieweg Verlag Lutz, H. und Wendt, W. : Taschenbuch der Regelungstechnik, Verlag Harri Deutsch Schulz, G. : Regelungstechnik I, Oldenbourg Verlag Schneider, W. : Regelungstechnik fr Maschinenbauer, Vieweg Verlag Orlowski, P.F. : Praktische Regelungstechnik, Springer Verlag