Runde Fraktale

Präsentation eines MatLab-Programms von Nele Fröse

Seminar bei Prof. Chr. Kaernbach: Dynamik komplexer Systeme

Juli 2007, Kiel

Warum Runde Fraktale?

• Eckige Fraktale wie die Kochkurve kennen wir schon.

• Gibt es so etwas auch ohne Ecken?

• Eigenschaften von fraktalen Mustern:

• Selbstähnlichkeit:• Bekommt man einen

Ausschnitt des Fraktals präsentiert, so kann man es vom Original nicht unterscheiden

www.flg-online.de/faecher/ma/fraktale/einfach.htm

Idee: Sinusfunktion

• Mit Sinus- und Cosinusfunktionen lassen sich vielleicht runde Fraktale herstellen.

• Zum Beispiel Schneckenhaus-förmige

1. Kreis

• Xsinus=sin(x)• Ycosinus=cos(x)• Wobei x in kleinen

Schritten von 0 bis 2Pi läuft.

2. Spirale

• Wir multiplizieren unsere Kurven mit einem schrittweise ansteigenden Wert

• Xspiral=schritt*sin(x)• Yspiral=schritt*cos(x)

2. Spirale

• Problem: Diese Spirale ist nicht wirklich selbstähnlich.

• Der Abstand zwischen den Spirallinien müsste zur Mitte hin enger werden, damit man sie ins Unendliche fortführen kann.

3. Fibonacci-Zahlen

• Wenn der Radius der Spirale nach außen derart zunimmt, dass sich der neue Radius aus der Summe der beiden alten ergibt, haben wir Selbstähnlichkeit.

• Fibonacci-Zahlen:• 0,1,1,2,3,5,8,13,21,...

4. Fibonacci und Sinus

• Die Idee ist nun, die Kurven schrittweise mit der nächsthöheren Fibonacci-Zahl zu multiplizieren.

• Ganz so einfach ist die Sache jedoch nicht...

4. Fibonacci und Sinus

• Hier sieht man die Sinuskurve mit wachsender Amplitude nach den Fibonacci-Regeln.

• Um einen geschmeidigen Kurvenverlauf zu erzielen, wird die Kurve erst nach jeden Nulldurchgang mit der höheren F-Zahl multipliziert:

• xspiral=fibonacci(i)*sin(x)

• i=ceil(schritt*konstante)

5. Fibonacci und Cosinus

• Bei der zugehörigen Cosinuskurve muss die F-Zahl an der gleichen Stelle geändert werden wie bei Sinus, sonst gibt es Ecken in der Gesamt-Spirale

• Also eine neue F-Zahl an jeder Amplitude

• Allerdings entstehen dafür Zacken in der Cos-Kurve

• yspiral= fibonacci(i)*cos(y)

5. Fibonacci und Cosinus

• Um die Zacken zu glätten, müssen die Kurvenstücke abwechselnd nach oben und unten um eine F-Zahl additiv verschoben werden.

• yspiral= (+/-1) *fibonacci(i-3) +fibonacci(i)*cos(y)

6. Fibonacci Spirale

• xspiral und yspiral zusammen ergeben eine schöne selbstähnliche Spirale!

• Wenn man unendlich viele Windungen berechnet, kann man unendlich weit in die Spirale hineinzoomen, ohne dass sich ihr Erscheinungsbild ändert.

6. Fibonacci Spirale

Kanten-Eigenschaften

• Reduziert man die Schrittzahl für die Kurven, so wiederholt sich auch das Kantenmuster selbstähnlich

Mehrere Spiralen

• Man kann auch mehrere Spiralen verdreht darstellen.

Noch mehr Spiralen

100 Spiralen... Huch??

Zoom...

Was ist passiert?

• Die Schritt-Kanten der verdrehten Spiralen überschneiden sich

• Dabei bilden sich dichte Kreise aus Schnittpunkten, die sich in eigenartiger Weise wiederholen

• 1-3-1-3-1-3-1-3...• Dieses Muster aus Abständen

der Ringe zueinander ist selbstähnlich!

Andere Kreismuster

• Es bilden sich verschiedene Kreismuster je nach Kantenauflösung der Spirale

• Bild oben: 6, unten: 7• Die Kreise unterscheiden sich

nach Dicke und Nähe• Grobe Klassifizierung nach

Augenmaß:• Dicker Ring: ,• Dünner Ring: .• Nahe Ringe: ...• Ferne Ringe: . . .

Kreismuster-Codes

• 5: .,. , .,. , .,. , .,. , .,.• 6: , . , . , . , . , . , . , . , . ,• 7: . ... . , . ... . , . ... . , . ... • 8: , . , . , . , . , . , . , . , . ,• 9: . , . . ... . . , . . ... . . , . . ...• 10: , . . . , . . . , . . . , . . . , . . . • 11: . . . ,,, . . . , . . . ,,, . . . , . . . ,,, .• 12: . . . . , . . . . , . . . . , . . . . ,• 13: . . . . ,,, . . . . , . . . . ,,, . . . . , . .• 14: . . . . .,. . . . .,. . . . .,. . . . .,.

Was sagt uns das?

• Die Ringmuster wiederholen sich periodisch und selbstähnlich, sind also auch fraktal

• Die fraktalen Spiralen haben fraktale Ringmuster erschaffen!

• Und wir wissen nicht, bei welcher Kantenzahl welches Muster entsteht. Chaos?

• Oder kann man für jede Kantenzahl das Muster vorhersagen und umgekehrt?

Fazit

• Ich weiß, dass ich nichts weiß

• Vielleicht findet jemand anders heraus, wie die Kantenzahl und die Muster zusammenhängen.