SBP Mathe Grundkurs 1 - clifford.at · # 0 Antwort Diese Lernkarten sind sorgf altig erstellt...

124
SBP Mathe Grundkurs 1 #0 by Clifford Wolf SBP Mathe Grundkurs 1

Transcript of SBP Mathe Grundkurs 1 - clifford.at · # 0 Antwort Diese Lernkarten sind sorgf altig erstellt...

SBP Mathe Grundkurs 1 # 0 by Clifford Wolf

SBP Mathe Grundkurs 1

# 0 Antwort

Diese Lernkarten sind sorgfaltig erstellt worden, erheben aber wederAnspruch auf Richtigkeit noch auf Vollstandigkeit.

Das Lernen mit Lernkarten funktioniert nur wenn die Inhalte bereitseinmal verstanden worden sind. Ich warne davor diese Lernkartennur stur auswendig zu lernen.

Diese und andere Lernkarten konnen vonhttp://www.clifford.at/zettelkasten/

heruntergeladen werden.

Viel Erfolg bei der SBP Mathe Grundkurs 1 Prufung!

Clifford Wolf <[email protected]>

Diese Lernkarten stehen unter der CC BY-NC-SA Lizenz.

SBP Mathe Grundkurs 1 # 1 by Clifford Wolf

Mengenoperationen

# 1 Antwort

x ∈ A, x /∈ A x ist (nicht) Element von A.A ⊆ B, A 6⊆ B A ist (nicht) Teilmenge von B.A ⊂ B, A 6⊂ B A ist (nicht) echte Teilmenge von B.

A ∩B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} = SchnittmengeA ∪B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B} = VereinigungsmengeA \B = {x | x ∈ A ∧ x /∈ B} = Differenzmenge

A×B = {(x, y) | x ∈ A ∧ y ∈ B} = Produktmenge

SBP Mathe Grundkurs 1 # 2 by Clifford Wolf

Logische Operationen

# 2 Antwort

A⇔ B Aquivalenz (gleichbedeutind mit)A⇒ B Implikation (daraus folgt)A ∧B Konjunktion (und)A ∨B Disjunktion (oder)A∨B Antivalenz (ungleich, entweder-oder)¬A Negation (nicht)∀A : B Allquantor (fuer alle A gilt B)∃A : B Existenz (es gibt ein A fuer das B gilt)

SBP Mathe Grundkurs 1 # 3 by Clifford Wolf

naturliche Zahlen

# 3 Antwort

N = {0, 1, 2, 3, ...}

(N? = {1, 2, 3, ...})

SBP Mathe Grundkurs 1 # 4 by Clifford Wolf

ganze Zahlen

# 4 Antwort

Z = {...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...}

(Z− = {...,−3,−2,−1})

SBP Mathe Grundkurs 1 # 5 by Clifford Wolf

rationale Zahlen

# 5 Antwort

Q ={ zn|z ∈ Z, n ∈ N?

}

Q+ = {q|q ∈ Q, q > 0}Q− = {q|q ∈ Q, q < 0}

SBP Mathe Grundkurs 1 # 6 by Clifford Wolf

reelle Zahlen

# 6 Antwort

R = alle Zahlen auf der Zahlengerade

Untermengen: R+,R−,R+0 ,R

−0

SBP Mathe Grundkurs 1 # 7 by Clifford Wolf

Assoziativgesetze(Addition und Multiplikation)

# 7 Antwort

a+ (b+ c) = (a+ b) + c

a · (b · c) = (a · b) · c

SBP Mathe Grundkurs 1 # 8 by Clifford Wolf

Kommutativgesetze(Addition und Multiplikation)

# 8 Antwort

a+ b = b+ a

a · b = b · a

SBP Mathe Grundkurs 1 # 9 by Clifford Wolf

Distributivgesetzder Multiplikation

# 9 Antwort

a · (b+ c) = a · b+ a · c

SBP Mathe Grundkurs 1 # 10 by Clifford Wolf

Aquivialenzumformungender Multiplikation

# 10 Antwort

a · b = c ⇔ a =c

b⇔ b =

c

a

SBP Mathe Grundkurs 1 # 11 by Clifford Wolf

Aquivialenzumformungender Addition

# 11 Antwort

a+ b = c ⇔ a = c− b ⇔ b = c− a

SBP Mathe Grundkurs 1 # 12 by Clifford Wolf

Definition: lineare Gleichung

# 12 Antwort

eine lineare Gleichung ist eine Gleichung mit den Variablen xnder Gestalt

ax1 + bx2 + ... = k.

Die Losungsmenge eines linearen Gleichungssystems ist dieSchnittmenge der Losungsmengen der einzelnen Gleichungen.

SBP Mathe Grundkurs 1 # 13 by Clifford Wolf

Gauss’sches Eliminationsverfahren

# 13 Antwort

ax1 + bx2 = c | · ddx1 + ex2 = f | · −a⇔

adx1 + bdx2 = dc

−adx1 − aex2 = −af=⇒

(ad− ad)x1+(bx− ae)x2 = dc− af⇔(bx− ae)x2 = dc− af

SBP Mathe Grundkurs 1 # 14 by Clifford Wolf

Definition: Betrag

# 14 Antwort

|a| =

{a | a ≥ 0

−a | a < 0

SBP Mathe Grundkurs 1 # 15 by Clifford Wolf

Definition: lineare Funktion

# 15 Antwort

f(x) = kx+ d

⇒ f(0) = d, ⇒ f(x+ 1)− f(x) = k

⇒ der Graph von f ist eine Gerade mit der Steigung k.

SBP Mathe Grundkurs 1 # 16 by Clifford Wolf

2-Punkt Formel fur lineare Funktion

# 16 Antwort

f(x) = k · x+ d

k =f(x2)− f(x1)

x2 − x1

d = f(x)− k · x

SBP Mathe Grundkurs 1 # 17 by Clifford Wolf

Definition: direkte und indirekteProportionalitat

# 17 Antwort

direkte Proportionalitat:f(x) = k · x

indirekte Proportionalitat:f(x) = k

x

SBP Mathe Grundkurs 1 # 18 by Clifford Wolf

Konstante Faktoren bei direkter undindirekter Proportionalitat

# 18 Antwort

bei direkter Proportionalitat:f(x) = k · x ⇒ f(a · x) = a · f(x)

bei indirekter Proportionalitat:

f(x) = kx ⇒ f(a · x) = f(x)

a

SBP Mathe Grundkurs 1 # 19 by Clifford Wolf

Definition: (streng) monotonsteigend/fallend

# 19 Antwort

streng monoton steigend (wachsend):x2 > x1 ⇒ f(x2) > f(x1)

streng monoton fallend (abnehmend):x2 > x1 ⇒ f(x2) < f(x1)

monoton steigend (wachsend):x2 > x1 ⇒ f(x2) ≥ f(x1)

monoton fallend (abnehmend):x2 > x1 ⇒ f(x2) ≤ f(x1)

SBP Mathe Grundkurs 1 # 20 by Clifford Wolf

Definition: Graph einer reellenFunktion

# 20 Antwort

f : A→ R, A ∈ R

G = {(x; y) | x ∈ A, y = f(x)}

G = Graph der reellen Funktion f

SBP Mathe Grundkurs 1 # 21 by Clifford Wolf

Potenzieren von Ungleichungen

# 21 Antwort

a < b ⇔ an < bn

wenn a, b ∈ R+0 und n ∈ R+.

SBP Mathe Grundkurs 1 # 22 by Clifford Wolf

Monotoniegesetz der Addition

# 22 Antwort

Mon+:

a < b ⇔ a+ c < b+ c

(a, b, c ∈ R)

SBP Mathe Grundkurs 1 # 23 by Clifford Wolf

Monotoniegesetze der Multiplikation

# 23 Antwort

Mon · pos:

a < b ⇔ a · c < b · c | c > 0

Mon · neg:

a < b ⇔ a · c > b · c | c < 0

(a, b, c ∈ R)

SBP Mathe Grundkurs 1 # 24 by Clifford Wolf

Kehrwert und Negation beiUngleichungen mit 0

# 24 Antwort

0 < a ⇔ 0 <1

a0 < a ⇔ 0 > −a

0 < a < b⇔ 0 <1

b<

1

a

(a, b ∈ R)

SBP Mathe Grundkurs 1 # 25 by Clifford Wolf

Addition und Multiplikation vonUngleichungen

# 25 Antwort

a < b ∧ c < d ⇒ a+ c < b+ d

(a, b, c, d ∈ R)

a < b ∧ c < d ⇒ a · c < b · d

(a ∈ R ∧ b, c, d ∈ R+)

SBP Mathe Grundkurs 1 # 26 by Clifford Wolf

Transitivgesetz der Ordnungsrelation

# 26 Antwort

a < b ∧ b < c ⇒ a < c

SBP Mathe Grundkurs 1 # 27 by Clifford Wolf

Formeln fur Quadrat-Binome

# 27 Antwort

(a+ b)2

= a2 + 2ab+ b2

(a− b)2= a2 − 2ab+ b2

(a+ b) · (a− b) = a2 − b2

SBP Mathe Grundkurs 1 # 28 by Clifford Wolf

Losungsformel und Strategie fuerx2 + px + q = 0

# 28 Antwort

x2 + px+ q = 0 ⇔

⇔ x2 + px = −q ⇔

⇔ x2 + px+(p2

)2=(p2

)2 − q ⇔⇔

(x+ p

2

)2=(p2

)2 − q ⇔ ...

... ⇔ x = −p2 ±√(

p2

)2 − q

SBP Mathe Grundkurs 1 # 29 by Clifford Wolf

Wie viele Losungen hatx2 + px + q = 0?

# 29 Antwort

x2 + px+ q = 0 ⇔ x = −p2 ±√(

p2

)2 − q2 Losungen in R wenn

(p2

)2 − q > 0

1 Losung in R wenn(p2

)2 − q = 0

keine Losung in R wenn(p2

)2 − q < 0

D =(p2

)2 − q = Diskriminante

SBP Mathe Grundkurs 1 # 30 by Clifford Wolf

Satz von VIETA

# 30 Antwort

Seien α1 und α2 Losungen von

x2 + px + q = 0

dann gilt fuer alle x ∈ R:

x2 + px+ q = (x− α1) · (x− α2)

mit α1 + α2 = −p und α1 · α2 = q.

SBP Mathe Grundkurs 1 # 31 by Clifford Wolf

Losungsformel furax2 + bx + c = 0

# 31 Antwort

ax2 + bx+ c = 0

⇐⇒

x = −b±√b2−4ac

2a

SBP Mathe Grundkurs 1 # 32 by Clifford Wolf

Definition von Polynomfunktion

# 32 Antwort

f(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a2x2 + a1x+ a0

n = Grad der Polynomfunktion

SBP Mathe Grundkurs 1 # 33 by Clifford Wolf

Abspalten eines Linearfaktors

# 33 Antwort

Sei f eine Polynomfunktion n-ten Grades und α ∈ R eine Null-stelle von f , dann gibt es eine Polynomfunktion g (n− 1)-tenGrades, so dass fur alle x ∈ R gilt:

f(x) = (x− α) · g(x)

Methoden zur Ermittlung der Koeffizienten von g:

• Koeffizientenvergleich

• Polynomdivision

SBP Mathe Grundkurs 1 # 34 by Clifford Wolf

Methode des Koeffizientenvergleichs

# 34 Antwort

Beispiel - allgemeines Polynom dritter Ordnung:

a3x3 + a2x

2 + a1x+ a0 = (x− α) · (b2x2 + b1x+ b0) =

= b2x3 +bzx

2 +b0x−αb2x2 −αb1x −αb0 =

= b2︸︷︷︸a3

x3 + (b1 − αb2)︸ ︷︷ ︸a2

x2 + (b0 − αb1)︸ ︷︷ ︸a1

x+ (−αb0)︸ ︷︷ ︸a0

⇒ b2 = a3, b1 = a2 + αb2, b0 = a1 + αb1, αb0 = −a0︸ ︷︷ ︸Kontrolle

SBP Mathe Grundkurs 1 # 35 by Clifford Wolf

Satz von Horner

# 35 Antwort

an − bn = (a− b) · (an−1 + an−2b+ · · ·+ abn−2 + bn−1)

Beweis durch Ausmultiplizieren:alle Terme in der Mitte fallen weg.

SBP Mathe Grundkurs 1 # 36 by Clifford Wolf

Definition der Potenz-Funktion

# 36 Antwort

Potenz-Funktion = wiederholtes multiplizieren:

xn = x · x · x · x · · ·x︸ ︷︷ ︸n mal

x = Basis, n = Exponent

SBP Mathe Grundkurs 1 # 37 by Clifford Wolf

Definition der Wurzel-Funktion

# 37 Antwort

Wurzel-Funktion = Umkehrung der Potenz-Funktion:

xn = a ⇔ x = n√a

SBP Mathe Grundkurs 1 # 38 by Clifford Wolf

Wurzeln von Potenzen

# 38 Antwort

n√ak =

(n√a)k

SBP Mathe Grundkurs 1 # 39 by Clifford Wolf

Potenzen mit Exponenten kleiner 1

# 39 Antwort

a1n = n

√a

a0 = 1

a−n =1

an

SBP Mathe Grundkurs 1 # 40 by Clifford Wolf

Exponenten aus Q

# 40 Antwort

akn =

n√ak =

(n√a)k

SBP Mathe Grundkurs 1 # 41 by Clifford Wolf

Potenzieren von Potenzen

# 41 Antwort

(ak)n

= ak·n

SBP Mathe Grundkurs 1 # 42 by Clifford Wolf

Potenzieren von Produkten

# 42 Antwort

(a · b)n = an · bn

SBP Mathe Grundkurs 1 # 43 by Clifford Wolf

Multiplikation von Potenzen gleicherBasis

# 43 Antwort

ak · an = ak+n

SBP Mathe Grundkurs 1 # 44 by Clifford Wolf

Bruche von Potenzen gleicher Basis

# 44 Antwort

ak

an=

ak−n | k > n

1an−k | k < n

1 | k = n

SBP Mathe Grundkurs 1 # 45 by Clifford Wolf

Verzinsung

# 45 Antwort

Beispiel mit 5,5% Verzinsung im Jahr:

k0 = ursprunglich eingezahler Betragk1, k2, k3, ... = Betrag nach 1, 2, 3, ... Jahren

k1 = k0 + 0,055 · k0 = 1,055 · k0

k2 = k1 + 0,055 · k1 = 1,0552 · k0

kn = 1,055n · k0

SBP Mathe Grundkurs 1 # 46 by Clifford Wolf

Wurzeln von Produkten und Bruchen

# 46 Antwort

n√a · b = n

√a · n√b

n

√a

b=

n√a

n√b

SBP Mathe Grundkurs 1 # 47 by Clifford Wolf

Wurzeln von Wurzeln

# 47 Antwort

n

√m√a =

m

√n√a = n·m

√a

SBP Mathe Grundkurs 1 # 48 by Clifford Wolf

Definition der Exponentialfunktion

# 48 Antwort

f(x) = c · ax

(c, x ∈ R, a ∈ R+)

SBP Mathe Grundkurs 1 # 49 by Clifford Wolf

Definition der Logarithmusfunktion

# 49 Antwort

ax = y ⇔ x = loga(y)

loga = Logarithmus zur Basis a

SBP Mathe Grundkurs 1 # 50 by Clifford Wolf

Definition des naturlichen Logarithmusund der naturlichenExponentialfunktion

# 50 Antwort

naturliche Exponentialfunktion:

exp(x) = ex

naturlicher Logarithmus:

ln(x) = loge(x)

e ≈ 2.7183 . . . = die Eulersche Zahl

SBP Mathe Grundkurs 1 # 51 by Clifford Wolf

Logarithmen beliebiger Basis mit demnaturlichen Logarithmus

# 51 Antwort

loga =ln(x)

ln(a)

SBP Mathe Grundkurs 1 # 52 by Clifford Wolf

Potenzen belibiger Basis mit dernaturlichen Exponentialfunktion

# 52 Antwort

ax = eλ·x

λ = ln(a)

SBP Mathe Grundkurs 1 # 53 by Clifford Wolf

Monotonie von Exponentialfunktionen

# 53 Antwort

ax ist

{streng monoton steigend | a > 1

streng monoton fallend | a < 1

SBP Mathe Grundkurs 1 # 54 by Clifford Wolf

Logarithmen von Potenzen

# 54 Antwort

loga(bx) = x · loga(b)

SBP Mathe Grundkurs 1 # 55 by Clifford Wolf

Logarithmen von Produkten

# 55 Antwort

loga(x · y) = logax+ logay

(Prinzip des Rechenschiebers)

SBP Mathe Grundkurs 1 # 56 by Clifford Wolf

Unbeschranktes exponentiellesWachstum

# 56 Antwort

N(t) = N0 · at = N0 · eλt mit λ = ln a

λ > 0, a > 1 = exponentielles Wachstum

λ < 0, a < 1 = exponentielle Abnahme

SBP Mathe Grundkurs 1 # 57 by Clifford Wolf

Warum kann√

2 keinerationale Zahl sein?

# 57 Antwort

Beweis von√2 6∈ Q durch Widerspruch:

√2 ∈ Q =⇒ ∃a, b ∈ N? :

√2 = a

b∧ a, b teilerfremd

⇒(ab

)2= 2 ⇒ a2

b2= 2 ⇒ a2 = 2b2

⇒ a2 ist gerade ⇒ a ist gerade (denn 2 ist eine Primzahlund muss daher bereits in a als Primfaktor enthalten sein)

⇒ ∃p ∈ N? : a = 2p ⇒ a2 = (2p)2 = 4p2 = 2b2 ⇒ 2p2 = b2

⇒ b2 ist gerade ⇒ b ist gerade

=⇒ Widerspruch zu a, b teilerfremd =⇒√2 6∈ Q �

SBP Mathe Grundkurs 1 # 58 by Clifford Wolf

Graph einer lineraen Funktion

# 58 Antwort

x

f(x)

d

−dk

f(a)

f(a+ 1)

a a+ 1

k

1

f(x) = k · x+ d

SBP Mathe Grundkurs 1 # 59 by Clifford Wolf

Graph von 1/x

# 59 Antwort

x

f(x)

Symm

etrischan

beidenM

edianen

Bei x = 0 nicht definiert!

f(x) = 1x

1/3; 3

1/2; 2

1; 1

2; 1/2 3; 1/3

-1; -1

-1; -1/2

SBP Mathe Grundkurs 1 # 60 by Clifford Wolf

Graph der Exponentialfunktion(Am Beispiel von 2x)

# 60 Antwort

x

f(x)

1/21 2

4

8

−1 0 1 2 3

f(x) = 2x

SBP Mathe Grundkurs 1 # 61 by Clifford Wolf

Graph der Exponential- undLogarithmusfunktion

# 61 Antwort

x

f(x)

1

1

Ges

pieg

eltan

der1.

Med

iane

f(x) = expx

f(x) = lnx