Scaffold 29S:Komplexe Zahlen

Niall Palfreyman

Biotechnology & Bioinformatics

Weihenstephan-Triesdorf University of Applied Science

Phase 1: Präsentation

Quanten

» Ein Photon ist weder Teilchen noch Welle, sondern ein Quantum.

» Der Zustand eines Quantumsist ein Pfeil ψ, der sich überZeit dreht (rechts).

» Der Winkel des Zustands ist die Phase, und beschreibt die Welleneigenschaften des Quantums.

» Der quadrierte Betrag beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass wir bestimmte Teilchen-Eigenschaften messen werden.

2

x

Was ist Phase?

» Im Diagramm ist nurdie eine Dimension x,doch ψ beschreibt die Position des Quantums in drei Dimensionen x, y, z.

» Wie kann eine Phase senkrecht zu allen drei Achsenrichtungen zeigen?!

» Kann es nicht. Also die Phase rotiert nicht im physikalischen Raum sondern in einem komplexen Raum!

x

1545: Cardanos Problem

»Finde zwei Zahlen a und b, deren Summe 10 und Produkt 40 ist:

»Eine Lösungwäre .

»Doch existierenwirklich solcheZahlen?

155

04010

4010

10also

40und

10

2

a

aa

aa

ab

ba

ba155 a

Komplexe Zahlen

» Carl-Friedrich Gauss (1777-1855) nannte Zahlen wie komplex.

» Eine komplexe Zahl hat die allgemeine Form , wobeiund .

» i ist definitiv keine reelle Zahl ( ), muss also eine komplett neuartige Zahl sein, deren Quadrat gleich –1 ist.

155

ziyxz Ry,x

12 i

Ri

Tipp

»Frage nicht, wie groß die Quadratwurzel von –1 ist.

»Akzeptiere einfach, dass i eine neue Zahl ist, deren Quadrat gleich –1 ist.

Komplexe Berechnungen

»Sei ; was ist der Wert von ?

»Lösung:

»Addieren, Subtrahieren und Multiplizieren mit Komplexen Zahl ist genau so wie bei reellen Zahlen!

»Nur überall dort, wo Du den Ausdruck bekommst, ersetze ihn durch –1.

iz 3 2z

91933 2222 iiz

2i

Beispiele Berechnen

»Berechne diesekomplexen Zahlen:

»Lösung:

ii 7243 ii 7243 ii 7243

iiiii 11574237243 iiiii 3174237243

i

i

iiiii

2922

28296

744273237243 2

Reeller und imaginärer Teil

»Sei eine komplexe Zahl.

» ist der reelle Teil von z.

» ist der imaginäre Teil von z.

»Merke: der imaginäre Teil y ist selber eine reelle Zahl!

iyxz

xzRe

yzIm

Gleichheit

»Zwei komplexe Zahlen z1, z2 sind sich gleich (z1= z2) iff Re(z1)=Re(z2) und Im(z1)=Im(z2).

»Falls Im(z1)=0, ist z rein reell.

»Falls Re(z1)=0, ist z rein imaginär.

Komplex Konjugierte

»Oft wollen wir das Vorzeichen des imaginären Teils tauschen; diese Operation heißt komplexe Konjugation.

»Wenn eine komplexe Zahl ist, ist die Zahl die komplex Konjugierte von z.

iyxz iyxz

Beispiel komplex Konjugierte

»Was ist die komplex Konjugierte?

»Merke:

sinicoszsinicosz

iziz

iziz

iziz

235235

3434

3434

ziyxiyxiyxz

Betrag einer komplexen Zahl

»Der Betrag einer komplexen Zahl ist .

»Also:

»Wir können diese Idee benützen um komplexe Zahlen zu teilen, z.B:

iyxz 222yxz

222

222

zyx

yiixyixyxiyxiyxzz

i

i

ii

ii

i

i155

43

375125

4343

432575

43

257522

Komplexe Ebene

»Komplexe Zahlen sind Pfeile in der komplexen Ebene:

»Addition ist ähnlichzur Vektoraddition:

»Konjugation ist eineReflektion durch die reelle Achse

x

y

21 zz

1z

2z

1x 2x 21 xx

1y

2y

21 yy

Betrag und Argument

» Wir können komplexe Zahlen auch als Betrag und Winkel darstellen.

» ist der Betragvon z, und

» ist dasArgument von z.

» Eine komplexe Zahl besteht also aus einem Abstand r und einer Drehung θ.

zr

x

y

O

y

x

r

zarg

cis Notation

»Wir können z auf die reelle und die imaginäre Achsen projizieren:

»x = r cos(θ)

»y = r sin(θ)

»Also:

x

y

O

y

x

r

DrehungAbstand

sinicosr

sinircosrz

Eulers große Einsicht

»Multiplikation mit dem Ausdruck entspricht also einer Drehung um den Winkel θ.

»Eulers große Einsicht war, dass

» dreht Zahlen um den Winkel θ!

sinicosei

sinicos

ie

Exponentialdarstellung komplexer Zahlen

»Zusammenfassend ist jede komplexe Zahl das Produkt eines reellen Betrags r mit einer komplexen Drehung um den Winkel θ gegen den Uhrzeigersinn von der reellen Achse aus: ierz

Multiplikation

»Testen wir diese Idee: Was ist das Produkt der Zahlen und ?

»

»Beträge werdenmultipliziert; Argumentewerden addiert!

i.ez 401 2

i.ez 502 3

i.i.i. eeezz 90504021 632

Re

Im

z1z2

z1 z2

Division

»Was ist der Quotient der Zahlen und ?

»

»Beträge werdendividiert; Argumentewerden subtrahiert!

i.ez 801 6 i.ez 30

2 2

i.i.

i.

ee

e

z

z 5030

80

2

1 32

6

Re

Im z1

z2

z1/ z2

Die Wurzeln aus 1

»Was ist die 3. Wurzel aus 1?

»Jede Zahl z, für die gilt:Davon gibt‘s drei Stück:

13 z

11 0 ie

321 ie

341 ie

Inverse

»Was ist 1/z ?

»Sei , dann gilt:

»Betrag ist 1/r;Drehung ist –θ.

42 iez

47214

211 ii

zee

irez

ir

iz

ere 111

Exponentialfunktion

»Berechne :

»

»Betrag ist ; Argument ist y.

iyxe

iyxiyx eee

xe

Komplexe Berechnungen

»Berechne :

» sinicos

1

sinicos

sinicos

eesinicos

ii

11

Komplexe Berechnungen

»Berechne in Exponentialform:

»

z

i

i

er

sinicosr

sinicosr

sinicosr

erz

35 iez

353 55 ii eez

Eulers Gedicht

»Berechne :

»2π ist eine Umdrehung, also

»Berechne :

»π ist halbe Umdrehung, also

»Also:

ie 2

12 ie

ie

1ie

01ie

Phase 2: Abruf

Komplexe Zahlen

» Carl-Friedrich Gauss (1777-1855) nannte Zahlen wie komplex.

» Eine komplexe Zahl hat die allgemeine Form , wobeiund .

» i ist definitiv keine reelle Zahl ( ), muss also eine komplett neuartige Zahl sein, deren Quadrat gleich –1 ist.

155

z_____z Ry,x

__i 2

Ri

Tipp

»Frage nicht, wie groß die Quadratwurzel von –1 ist.

»Akzeptiere einfach, dass i eine neue Zahl ist, deren Quadrat gleich ___ ist.

Komplexe Berechnungen

»Sei ; was ist der Wert von ?

»Lösung:

»Addieren, Subtrahieren und Multiplizieren mit Komplexen Zahl ist genau so wie bei reellen Zahlen!

»Nur überall dort, wo Du den Ausdruck bekommst, ersetze ihn durch ___.

iz 3 2z

9933 2222 ___iiz

2i

Beispiele Berechnen

»Berechne diesekomplexen Zahlen:

»Lösung:

ii 7243 ii 7243 ii 7243

_______iiii 74237243

i__i__ii 31437243

i

___i__

iiiii

2922

29

744273237243 2

Reeller und imaginärer Teil

»Sei eine komplexe Zahl.

» ist der ____ Teil von z.

» ist der imaginäre Teil von z.

»Merke: der imaginäre Teil y ist selber eine reelle Zahl!

iyxz

xzRe

__zIm

Gleichheit

»Zwei komplexe Zahlen z1, z2 sind sich gleich (z1= z2) iff Re(z1)=Re(z2) und Im(z1)=Im(z2).

»Falls Im(z1)=0, ist z rein _____.

»Falls Re(z1)=0, ist z rein ______.

Komplex Konjugierte

»Oft wollen wir das Vorzeichen des imaginären Teils tauschen; diese Operation heißt komplexe _________.

»Wenn eine komplexe Zahl ist, ist die Zahl die komplex Konjugierte von z.

_____z iyxz

Beispiel komplex Konjugierte

»Was ist die komplex Konjugierte?

»Merke:

_________zsinicosz

_____ziz

_____ziz

iziz

235

34

3434

___iyxiyxiyxz

Betrag einer komplexen Zahl

»Der Betrag einer komplexen Zahl ist .

»Also:

»Wir können diese Idee benützen um komplexe Zahlen zu teilen, z.B:

iyxz _____z 2

222

222

zyx

yiixyixyxiyxiyxzz

i

______

i

ii

ii

i

i155

375125

4343

432575

43

2575

Komplexe Ebene

»Komplexe Zahlen sind Pfeile in der komplexen Ebene:

»Addition ist ähnlichder Vektoraddition:

»Konjugation ist eineReflektion durch die _____ Achse

x

y

21 zz

1z

2z

1x 2x 21 xx

1y

2y

21 yy

Betrag und Argument

» Wir können komplexe Zahlen auch als Betrag und Winkel darstellen.

» ist der _______von z, und

» ist das_________ von z.

» Eine komplexe Zahl besteht also aus einem Abstand r und einer Drehung θ.

zr

x

y

O

y

x

r

zarg

cis Notation

»Wir können z auf die reelle und die imaginäre Achsen projizieren:

»x = r cos(θ)

»y = r sin(θ)

»Also:

x

y

O

y

x

r

DrehungAbstand

__________r

sinircosrz

Eulers große Einsicht

»Multiplikation mit dem Ausdruck entspricht also einer Drehung um den Winkel ___.

»Eulers große Einsicht war, dass

»__ dreht Zahlen um den Winkel θ!

sinicos___

sinicos

Exponentialdarstellung komplexer Zahlen

»Zusammenfassend ist jede komplexe Zahl das Produkt eines reellen Betrags r mit einer komplexen Drehung um den Winkel θ gegen den Uhrzeigersinn von der reellen Achse aus:

_____z

Multiplikation

»Testen wir diese Idee: Was ist das Produkt der Zahlen und ?

»

»Beträge werdenmultipliziert; Argumentewerden addiert!

i.ez 401 2

i.ez 502 3

_____eezz i.i. 504021 32

Re

Im

z1z2

z1 z2

Division

»Was ist der Quotient der Zahlen und ?

»

»Beträge werdendividiert; Argumentewerden subtrahiert!

i.ez 801 6 i.ez 30

2 2

____e

e

z

zi.

i.

30

80

2

1

2

6

Re

Im z1

z2

z1/ z2

Die Wurzeln aus 1

»Was ist die 3. Wurzel aus 1?

»Jede Zahl z, für die gilt:Davon gibt‘s drei Stück:

13 z

_ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _

Inverse

»Was ist 1/z ?

»Sei , dann gilt:

»Betrag ist 1/r;Drehung ist –θ.

42 iez

_____iz

ee 214

211

irez

_____rez

i 11

Exponentialfunktion

»Berechne :

»

»Betrag ist ____; Argument ist ____.

iyxe

iyxiyx eee

Komplexe Berechnungen

»Berechne :

» sinicos

1

____________

sinicos

eesinicos

ii

11

Komplexe Berechnungen

»Berechne in Exponentialform:

»

z

_______

sinicosr

sinicosr

sinicosr

erz i

35 iez

_____i eez 55 3

Eulers Gedicht

»Berechne :

»2π ist eine Umdrehung, also

»Berechne :

»π ist halbe Umdrehung, also

»Also: ____________

ie 2

__e i 2

ie

__e i

Phase 3: Übung

Berechnen

»Berechne diese komplexen Zahlen:

ii 2345

ii 2345

ii 2345

Reeller und Imaginärer Teil

»Berechne folgende Ausdrücke:

221 iRe

221 iIm

Division

»Vereinfache den folgenden Bruch:

i

i

5

64

Quadratische Gleichungen

»Find alle Lösungen dieser quadratischen Gleichung:

0222 zz

Berechnung des Betrags

»Sei z = x + iy. Schreibe folgenden Ausdruck in der Form a + ib :

zz

11

Berechnung des Betrags

»Sei z = x + iy. Beweise, dass:

2zzz

Multiplizieren

»Sei und . Berechne und schreibe die Zahlen z1, z2 und z1z2 in der Polarform . Was fällt Dir an den Argumenten und Beträgen auf?

iz 31 iz 3332 21 zz

iezz

Rotationen

»Sei . Beweise, dass die Multiplikation mit dem Faktoreiner Drehung um einen Winkel θ gleicht.

ie

ierz

Komplex Konjugierte

»Sei . Zeige, dass:

und

iyxz zRexzz 22

zImiiyzz 22

Komplex Konjugierte

»Seien z1, z2 zwei komplexe Zahlen in x+iy Form. Beweise folgende Ergebnisse:

2121 zzzz 2121 zzzz

2

1

2

1

z

z

z

z

Komplexe Zahlen und Trigonometrie

»Berechne den Ausdruckals trigonometrische Formel.

Ȇberrascht? Wir werden bald mehr zu dieser Formel zu sagen haben.

ii ee 21

Gratuliere – super gemacht!