[Schaum - Murray.R.spiegel] Analisis Vectorial

SERIE DE COMPENDIOS SCIIAUM

TEORIA Y PROBLEMAS

DE

ANALISIS VECTORIALy una htroducción ¡l

ANALI$S TENSORIAL

MURRAY R. SPIEGEL, Ph.Prcfessor of Maúernatict

Reñstelaer PolYkclnic Institu¡e

Ltns GürÉrPiz DftzI¡sdierc d¿ AMto

ANc{. GtÍú¡¡z VIzqr¡zIdgdi¿ro .t AMto

L¡.@¡a¿o d CiMiü FÉlMDlplo"ado I lñtú¡¿rid Nuhar

D.

qYA4qMcGRAW-HILL

xÉxcq.-BocorÁ o guEttlos ¡tngs . GUATEMALA . t-tsBoa . MAoRtDNUEVA yoRK . PANAMA . saN JUAN . saNTtAGo . sÁo paulo

AUCKLAND' HAMBURGO ! JOHANNESBURGO' LONDRES' MONTREALNUEVA DELHI . PARÍS . SAN¡FRANcISco . SINGAPUR

ST, LOUIS . SIDNEY . TOKIO . IORONTO

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A¡IALISIS VECÍOFIAL

Prohlbida la reproducción totat o parcial de 66la obra,oor cualouler m€dlo. sin autor¡zación escrlta del editor

DERECHOS RESERVAOOS i 1970, respecto a lá /iméra edlc¡ón en españor porLIBROS IVCGRAW.HILL DE MÉxrCO, S. A. d€ C. V

atlaoo¡fulco 499.501, Fracc, lndustrial san, Andrés atoto53500 NaucalDan dé Juárez. Edo. de Méx¡coMlembro d€ la CámaraNaclonal ds ls Indusrla Edttorial, Reg. NúrA.455

lsBN 96&451-068.3

fladucido de la prlmsra edlción €n lnglés deVECÍOB ANAIYSIS

Copydght @ 1967, by Mccraw-Hllt Book Co., U. S. A.

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Esta obra se termlnó ds, , LTqllTt1:l,l-t"r: q: LT:tn'uitr.gi¿tica s, a u; c. v.

Cál lé l3 No.944Cállé l3 No.

Oélegaclón |napalapa09310 Méxlco, D. F.

Se t¡¡aron 8 200 ejsmpláres

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Pr logo

El análisis vector;al, que se inició a mediados del siglo pasado, constituye hoy día una parte esenciallas matenrátjcas nccesaria para matemáticos, fhicos, ingeniefos y demás científicos y lécnicos. Estatidad no es casual i el análisis v€ctorial no solo constituye una notación concisa y clam par¿ presentar

,cuaciones del modelo matcrnáiico d€ las situaciones físicas y problemas geométricos, sino que, además,rcioná una ayuda inefimable en la formación de las imágcnes men¡ales dc los conceptos fisicos

o

ométricos- En resrmcn, el análisis veclorial pücde considerarse, sin Iugar a düdas, como cl más ricouaje y forma d€l pe¡samiento d€ las cicncias flsicas.

Po¡ la foma y mancra de cxposición, este libro se pücde rtilizar como tcxto en un curso dc ¿nálisis

Cada capitulo comienza cxponicndo claramentc las dcfiniciones, principios y tcor€más p€riinent€s,ejcmplos ilxstrativos y descriplivos. A cont;nuació¡¡ sc presenta rna colecció¡ de problemas total-tc resucltos y otros suplcmentarios con r€spucsta pero sin resolver, todos ellos de progresiv¿ difi-

riai o €omo un m¡gnifico libro complcmentário de cualquier otro texto. Asirdsmo, puede ser dcvalor para todos los alumnos de las asignaturas de fisica, mecánica, electromagnetjsmo, aerodi-,a e inEnidad de otras correspondientes a los distintos campos de la ciencia y de la tóc¡ica cn qüe

nplean los métodos vecroriales.

. Los problemas rcsueltos aclaran y amplian la teoria. evidencian los puntos esencialcs sin los que €l

tales tan nccesarios rara conoce¡ la materia a fondo. Asimismo. en los Droblemas resucltos se

lnentarios siñ,en dc conpleto rcpaso dcl tema de cada capitulo.

El autorligüras.

diante sc sentiria conti¡uamente poco scguro y proporciona¡ la repctición de los principios fun.

uycn nunerosas dcnrostraciones de teo¡crnas y dedücciones de fómrulas. Los ¡r¡merosos prob)emas

I análisis tensorial, que tan cvidenles ventajas p.oporcionan en cl estudio dc ingcnie¡ía, fisica y mate-

Los temas tfatados son, a grandcs rasgos, el álgebra y el cálculo difcrencial c integúl de vectores,d€ la divcrgencia, del rotacional y de¡nis t€oremas integrales. hacicndo much¡simas aplicacrones¡ruy divcrsos. Atención especial mereceD los oapítulos rclativos a las coorden¿das curvilínéas

El libro conticne mucho nás m¿terial de lo usual en ¡a mayo.ia dc los primcros cürsos de cimci3genieri¡. Con ello la obra se ba hecho más completa, constituyendo un libro de consulta muy útilla vez. catalizador del interés rcr tc¡nas má! elevados.

agradecc la colaboración dcl seño. H€nry Haydcn en la preparación tipográfica y dibujoEl realisn¡o de las figuras realza cl valor de la obra en la quc la crposición vis'ral.jueBa

papcl tan

R, SPTEGEL

Indice de moterios

¡ TTTORf,S Y ESCALARES. Ik6r. Esc¡lar. Al8ebra tccao.ial- ¡¡Fs del Algebr¡ vectorial. V€ctor uoiiario. yecroEslira¡ios trirrecl¿ngulares. Vccto¡es compon€ntc!, C¡mpo €scala¡, Ca¡nDo lectorial.

I. TTODUCTOS ESCAIAR Y VECTORIAI.

A dFTRENCIACION WCIORIAL

hod¡¡clo cacal¿Lr o intono. Producto y€ctorial o exlcmo. Productoc triot s. Sistemas &

r6

35

51

Düivad¿ do ú v.ctor. Curvas €n el ospacio. Conlinuidad y dc¡ivabiliüd. Fórmulas de dcri-?!ión. D€rivadas p¡rciales de ull v.ctor. DifeÉncial de un voctor, c€onetría dif€r€ncia¡.

OPTRACIONES DIFERXNCIAIES: GRADmNTE, DIWRGENCIA Y ROTA-CIONAL..Operado¡ difer€ncial vecto¡i¿l nabla. CEdie¡te, Diverg€ncia,q¡¡. inlcnie¡c cl opc¡ador ¡¿bla. Invariaúa.

Rotacional. Fórmulas on la!

L\TIECRACION VECTORIAI.lnlegr8l de un i€ctor. Inüe8¡al cuwillnea. Integral de sup€¡fici€. Inlogr¿l d6 volumen.

r ANAIISIS TENSOnIAL

¡,JoPERAcIoT\Ts TNTEGRALES: TEoREMA Df, LA DIVERGENCIA, TEoREMA !\r ' DEL ROTACIONAI Y OTROS TEOREMAS INTf,GRALr,S.... . . . -. . . . , , . . . . . l0ó V

Teorcma dc !a divcrspncia de Gáuss. Teoromá dcl rot¿cion¿l de Stokés. Teorema de Gr€enar el pl¿no. Ot¡os teorcrnas int glal$. Fofma irtcgr¿l del op€r¿dor nabl¡.

f " cooRDEN¡DAS CttRVrr,rNEAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Ttusfo¡trl¡ción dq coor&nad¡s. Coo¡dcnadas cuNilfrc¿s ofogon¿!€s. VectorÉ! unit¿riosen sistcdra d€ coord€¡ad¿r curvilín€¿s. El.ñentos de llnea y de volurnen. G¡adi.nte. d¡ver-gcncio y ¡otacio¡al. Caso3 pa¡ticular€s de sistemas de coord€n.dÁs ortoAonales. Coordc¡adascilíad¡jcas. Cm¡dcnadar €sfáica!. CoordoDad^ cilíndricas pa¡abólicas. Coord€nad¿s p¡-r¿bolo¡d¿l€s. coord.nad¡s cillndrica¡ cliptic¡s. coorden¿das .lferoidales alargada!. coorde-nada3 csfe¡oidale acll¿tada. Coord.íadás cliGoidal€s. c,oo¡denadas biDolar6,

fr)€s fisica.. Espa.ios dc N dineftlones. Transfonnació¡ d€ coordenadas. Convenio desunaalótr dc los ¡ndicca r.pctidos. Vcctorc3 contrava¡iant s y coyar¡aotes. Tensorcs contr¿-va¡iartcs, coErian&s y mixtos, Delta & KroDeckcr. Tcnsor€g de orden supc¡ior, Escalarcs oinvarlsntes. C¿mpos te¡Boriales. T€nsores simét¡icos y hcmisi¡nétricos. Op€racior6 fu¡da-ÍF¡úrles con iensor€s. Matriacs. Algebra matricial. EI clomenlo dc linea y cl tensor ñétrico.T€nso¡ r€clproco. Te¡sor€s asociados. Módulo de un vector. Angulo entre dos v€ctor€s.Co6Don6Ls ftuic¡s dc un v€.tor. Slrobolos de Cbfistoffel. Iry€s dc imnsfomació¡ dc 106sÍlrlboloc de Clristoffcl. Llncas eeodésic¿s, D€rivada covariante do un t.nsor. Simbolos yt nsons altor¡antca. Fo¡ma t€nsorial del iradiente, divergencia, rotacional y laplaciana.Dedvad¿ ab3olut{ o intrlns€ca. Tensorls rclativo y ¿b6oluto.

itDIcE. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2lE

t6ó

-'Vectores y escolores

\ICTOR. Es üna magnitud cüya determinación exige el conocimiento d€ un módulo, una direc-:i¡r r :n sentido. Ejemplos de magnitud€s vectorial(s son cl desplazam¡enro, la velocidad, la aceleración,l¡! 'rÉ.;3. el imoetu. erc-

C.áñcameñte, ün vector se representa por un segmento orien-¡¡I,: OP (Fig. i); la longitud del segmento es el módulo del vector, laúr.J:.on de seCmento es la correspondiente del vector y Ia flecha indicaa ;e.¡rdo del vecior. El puílo O s€ llama oigen o punto de aplica-::tt -: P el extrcno del vector. La r€cta en que s€ apoyael segmentoE :¿.ma dirc¿rriz del vecror.

lnaliticam€nte, un vector se representa por una lelra con una

'.s j- r encima. por ejemplo Á en la l - ig. I . el módülo *". , . ' ¡ ¡ . Ár :¡en A. Otros autores pre6erer emplear una letra negrilla, por:€:rpio A, con 10 que lA o A indica su nódulo. En esle libro emplea-''=ri esta última notación. El vector OP también se pu€de esc¡ibirj¡. o bien, oP; en este caso su nódulo es -oP,

1óF¡, o ti"n, or.

ESCALAR. Es una magnitud cuya determinación solo requiere.el conocimienta de u¡r númeror. .antidad respecto de ci€rta unidad de medida de su rnisma especie. !-emplos tipicos de escalares:i¡c la longitud, la masa, el tiempo, Ia temperatura, €l tfabajo, la energia, etc., y cualquier número real.is escalar€s se indican po! una letra de tipo ordinario. Las op€raciones con €scalares obedecen a lasnl.úas reglas del álgebrí elemental.

ALGEBRA Vf,CTORIAL. Las operaciones de adición o suma, difercncia o resta, multiplicaciónx l.rodu€to del álCebra €lsmental entre números ¡eales o escalar€s, se pueden generalizar, introduciendo.ié¡rrminadas definiciones, al álg€bra entre vectorcs. Veamos las defniciones fundamentales.

./. Dos vectores A y B.son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección e idénticosentido. Si además tienen el mismo origen o punto de aplicación, son ¡gral¿r. Tanto la equipo-lenci¡ como la jgualdad entre los vectores dados la representaremos por A : B (Fig. 2). Ceofnó-tricamente se reconoce que dos vectores son equipolentes si el polígono que resulta al unir susorígenes por una parte, y sus €xtremos por otra es un paralelogramo:

2. Dado un vector A, el vector opuesto, -A, es €l que tiene €l mismo módulo y direc¿ión p€rosenrido con(rar io (Fig. l r .

VECTORES Y ESCALARES

Su a o rcsultant¿ de dos veotores ^

y B cs otrovector C obtenido trashdando el orig€n d. B alcxtrcmo de A y ünicndo cl odgan de A con cl cxtr.mo B (Fig. 4). Anallticam€nte s€ expresa A+B : C,

Observ$e quc trasladando los dos yeotorcs aün origen común, el veclor süma co¡¡€spotd€ a ladiagonal dcl p¡relelogramo con €l orig€n en clo¡igcn co¡nún- Por ello s€ dic¿ quc la suÍra de vcc-tores obedecc a lz ley del paralelogrumo (eéascProb. 3).

La generalizació¡ a la suña de varios vectoreses inmediato sin riás que iI sumando de dos €ndos succaivamenta (ve¡sa Prob. 4).

Fla.{

4. La dtferencia de los tectores A y B, que se reprcs€nta an¿lÍlicamcnte por A -8, es otro vector C,t¿l que sumado a B produc€ el vector A. Dicho de otra Íranera, para rast¿r dos vectoras se sunraal vcctor minuendo el opuesto sl \'ector sustraendo, es dccir, C : A - B : A + (-B). Ls di-

o simplememte 0.5, El produ.to de un esc¡rlar tn por un vector Á es otro veotor, h1A, de la misma direc¿ión q

pcro con un módulo l,rl veces el de A y un senlido igual u opu€sto al de A scgún que ellar ñ sea posiLivo o negátivo. Si ,n : 0. |'¡A es el vector nulo.

LEYFS DEL ALGEBRA VECTORIAL. Sean A, E y C lras vectores y ñ y ¿ dos escalaresestas condiciones s€ verifica:

, . A+B:B+A2. A+(B+C):(A+B)+C

1. n(nL\: (nn)At, (m + n'r[: nA + nA

\ó. n(A + B): nA +,ñB

Propicdad conmutativ¿ dc la slmaPropiedad asociativa de la swÍaPropiedad conmutstiva del producto por un cscalarPropiedad asociativ¿ del producto por un €s.alarPropiedad dislributiva del producto por un escal¿r

peoto de la sur¡a de escalar€sPropicdad dbtribotiva dcl producto por un csc¿l¡r

pccto de la sume de vcctores

€lcap. 2 d€finiremos los prodüctos entr€ v€ctores.Étss lcyes p€rmiten considetar y lratar las ecr¡acior¡ca vectoriales da la misma for¡na que si fucr¡l

escalares (ciuaciones algcbraicas). Por ejgmplo, si A *B: C, transponiendo términos, A: C-B

VEC¡OR UNITARIO. Es todo vector de módulounid¿d. Si Acs un v€ctor de módulo distinto de cero, / + 0,cl vcctoi Al,{ es un vector unitario de la mivn¿ dirección ysentido que

^.Todo vcctor A se pu€d€ repr€s€nt¿r por el producto dcun vector ünit¿rio ¡ dc ls dirección y s€ntido que aquel mul_tiplicado po¡ sl módulo de A, que es ün escalar. Analític¿-m€nt€, Pues, se esc¡ibe, A : ,l¡.

VECTORf,S UNITARIOS TRINRf,CTANCULARE¡Il, j, t. Un sisten¡ tllúy importanE de vecto¡es unitariosson los que tienen Por dircccioncs las corresPondientes a losejes da un sistema de coordenadas cartesi¡¡as .n €1 csp¿cio,¡, y, z, con scntidos los positivos de €stos ejes y qüe sc llarranveclorcs unitarios t, ¡, k (Fig. 5).

Mientras ro sc diga lo contrario, supordremos que clsisteña dc coordcü¿das trir¡ecBngularcs es 4alextrorsun>

Obs€rvcs€ quc no ¡parecÉn más las propiedades dcl producto de un escalar por ün v€ctor.

c=¡i!

^{

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fc,

' di-

r0,

fA

¡lcranFB.I

I

I


, r bcchos. Ests dcnominación deriva d€l h€cho que unE:illo con ros.a a der€ch¿s gi.ando 90' d€sde O¡ a Ol,rnfz ctr cl scntido poshivo de Oz. como sc mues¡¡a enr F!- 5.

En gencral, trcs vcctores A, B y C oon el mismo origcnt fr coplanatios, fofÍnan tn sisteÍ\ <dexlrofiuh, o a derc-,.iñ si un tornillo dc rosca a derechas girando de A a B po¡i Éor ángulo avanz¿ eD Ia di¡eccién y sentido dc C,Es s. reprcscnb cn l¡ Fig. ó.

vECTOnES COMPONENTf,S. Todo v€ctor A eni :spacio (3 d¡mcnsioncs) s€ püede repres€ntar con sü,r!-::cn en el conespondiente O de un sistema dc coorde-¡d15 trirrcctangul¡rcs (Fig. 4- Sean (,{r, ,1,, ,lJ las coorde-Edrs cartesiaDa3 dcl punto extrEmo del veclor

^ cuyo ori-

!!3 es O. Los vectores lri, A;, y 4k se llLma vectorctfi*pwnles rcatangulares o simplemenfe veclorcs .onponente[ü -.{ s€gún l¿s direcciones x, y y z, resp€ctivam¿nte, Los

-l¡rB ,{¡, Ar y At 6c ll^r al coñponenlet rcclanguldr$ o

-d.nent€

companerit€s del vector A según las dircocioncs¡,t y z respaolvamanE,

La suma o resultanti de los tres vector€s,4¡i, ,1J, y ,4sk¿r cl vector A. ¿sto as.

t t :Ai iAzi iA.}

E módulo de A es

a: l^ l :a/Ai+A.,+Ai

E^ p¿trlic¡tlar, el y.ctor de posicíón o rudio recto¡ r cuyo origcn es

'r- /, z), sa cscribc cr Ia forma

f :n+r+zk

{É tiene de ñódulo t: rj: I x'¿ + f + z'.

CAMPO ESCALAR. Si en cada punto (x, y, z) de una reSión R d€l espacio se le pu€de adociarrn escalar É(r,,,, z), hemos definido ün cdrnpo escalar $ cn R. L¿ funció¡ d dep€nde, pu¿s, d€l puntoy, por ello, 6e llama /¡rción es&lat de posición, o bi¿r, luicün de punto escalat.

Eje|nDt6. (r) I¡s tcmperatnras en cada punio int€rior o sobr€ l¡ superficie de la aierra, €o un cierto¡nst¿nte, d€fircn un campo cscolar.

(2't ó (t, t, z\ : * zr defne u¡ campo cscala..

Si un oampo cscafar cs independiente del ti€mpo, se llama pcnnaneñte o estacíoñatio,

CAMPO VECTORIAL. Si e\ cada punto (¡, /, z) de üna región R del espacio se l€ puede asociar|d vector V(x, /, z), hemos d€finido un .anpo wctotial V e^ R. I-a firnción V depende, pucs, del puntoy, por ello, se llama fuacün vectorial de posictón, o bi.n fuhción de pmto vectoial.

Ejenplo¡. (J) Las velocidades en cada pünto (¡,),2) cn €1 interior de un flüido en movimiento,en un ci€rto instante, definen un campo vectorial.

(2) V(x,y,z): xt'í-2yz't + xtzL dcfinc un campo vectorial

Si un o¡mpo vcctodal es iDdependiente del tiempo se llama perñdnente o ettacionatio.

Ftr. ?

el punto O y cuyo ertremo es cl ponlo


l , Dé las nugnitudcs dadas a cont¡nuac¡ón irdic¿r las de caiáctefresl¿i y tas de e¡ácter €torial.

f¿l ¡-.áa¿ ,r, "o,u^"n

€(l) potÉncia-(j) intensidad del campo ñasnético

t0) yeclor¡al

Problemas resueltos

Ut eneryíA (,/, distanci¿-1f- ..

€s@le tu') esláresc¿la¡ (r¡) es.ala¡

Sot. (¿) veclorial

U)

2. Represent¿r gráficamentc: (¿) una füer!& de l0 n€wtons eÍ la dir€cció¡ Ét€ 30'Norte,' (ó) u¡a fucrza dc l5 ¡cwtons m la dirección Norle 30" Este.

Con la un¡dad d€ ñódulos indicada, los vector€s pedidos aparecen rcpresentadd en las 6gura¡.

3. Un aulomóvil recorre 3 kilóñ€tros hacia el Norte y lü€go 5 kilómelros hac¡a el Nord6tc. R€ptwnta rcstosddplazamicnto y h¿llar cl desplazmiento Gultanter (¿) gráficamente (á) analiticameoto.

El vector OP o A reprcsenta €l dcspiazamiento dc I kmhacia el Nort€.

El v€ctor PQ o B reprcs¿nla €l desplazamiento do 5 kñ

El r€ctor OQ o C rcpreent¿ el d€splazamien@ resul-taDte o sum¿ de los vcctores A y B,.s decir, C : A + B.Pu€de observar8e la /e/ d¿l r/¡¿¿r'!1o dc Ia süma dc vcctors.

El vector r€sultantc OQ t¿mbiér s. puede obtcn¿r tta-z¡ndo l¿ di¡gonal del par¡lelosramo OPOR construido co¡los véctores OP : A y OR (isual al vcctor PQ o R). Esra esb le! del patulelostMo & la suma do v.ciores. es d€cir, de

(a) Deteminoción etdlca d¿ l¿ ¡¿r¿r¿¿r¿. Se mid€ Ia lonsituddc la diagon l cod la mi!¡na unid¿d de long¡tud dÉ I k¡n adoPt¿d¡ par¿ los olros vectons. Así sE deduce el valor dc ?,4 kmsproxitradam.nle. M€dianlc un trasport¿dor o schicircülo8r¡duado s€ mide €f ángrJlo EOQ - 61,5'. Por lo tanto, elvcctor OQ ti€no de rródulo 7,4 *m, y di.ección y s€¡tidoE3tc 61,5" Nortc.

(b, D¿t.,ninaci¡jn anolítica de la rctultant.. En el triánsuloOPO,llamado A, B, Ca los ¡bódulos do los v€ctore3 A, B, c,rdpectivam€nüe, el teorc¡n¿ del coseno D€ín¡t€ €scribir:

C' = At + B'-2ABcos L OPQ:tr + 5,-2<3N5)co6135. - 34 + r5/t- 55,2r

d. donde C = 7,4J (aprorim¿damenlcj,

Frs.{ú)


-{9liándo ahora €l teo.ema de los s¿nos s€ deduce l¿ dirección y el s€ntido:

ACser L OQP sen L OPQ

A*n oPO I (0,70?)*n oQP a

- 7.41

: . 0.285s, LoQP : \6 '35'

E¡ v€cior OQ, en consecuencia, ti€ne de módulo 7,43 km y una d¡re.ción qúe forma un ángulo con la¡irrEión Este de (45'+ 16'35') :61"35', esto es, su direcljón y senrido quedan defin¡dos por Este 61"35,

.{ 5¿¡á¡ la suma o resullante.de los siguient€s dsplazamidtosir-lo trtros hacia el Noroestej B, 20 metros, Este 30' No¡te; C, 35 meüos hacia el Sur. (F¡g. a.)

E¡ €l €xtremo de A s€ sitú¿ el oriepn de B.E¡ el extremo de B se sitúa el origen de C.l¿ resultant€ D se obtiene unierdoelorig€n O del v€cto¡ A con el extrerno de C, es d€cjr, D : A + B + C.

Sigüiendo el método e¡áfico se dedu@ que el vecto¡ D tiene de módulo 4,1 unidades:20,5 m y undrtF€rión y s¿nüdo defrnido por Este 60 Sur

¡fs.(d) F¡s,(¿)

S" Draost¡ar qu€ l¿ suma de vectores soza de ¡a propiedad conmutativa! A + B: B + A (Fis, (r)).

OP+PQ:oQ, o bie¡, A+B:C,OR +RQ: OQ, o bien, B+A:C.

For lo le!o, A-B B A.

¡5 Dcñostrar qu€ la suftra de v€.tores goza de Ia p¡opiedad aso€iativa: A + (B + C) : (A + B) + C.

OP+PQ:OQ:(A+B),

Y PQ+QR:PR:(B+C).O¡ + PR : OR : D, e,sd€cir, A +(B + C) : D.oQ + QR : oR : D, esd.¡ir, (a +B) +C : D.f¡to¡ces, A +(B + C) : (A +B) + C

G€neraliza¡do los resuli¡dos de los probleñas 5t ó s€ al€muestra que en la sum¿ de cualquier lme¡oé \€ctores la resultantc cs indepcndient€ del orden en oqE s. tofmn,

¡ , ( -

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6 VECTORES Y FSCALARFS

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8. Dados los vector€s A, B y c (Fi8. 1a), consrruir tos vectores (a) A _ B + 2C, (b\ 3c _,1.e^ _ B)

(bt

f.I

- i (2^-a)


|' IL ¡rih * aué! cn la dirccción y s¿ntido dcl Nor-

-- ¡ ú¡ rclocidad, rolatirr ¡ l¡ Ti.rr¿, do 250 krvh

¿¡b r l¡ cr¡t ¡rci¡ d. un vicnto h¡cia GI O€6te con

-üdd.d d¿ 50 tm/ll rEl¡üva a l¡ Tirt¡ lámblh.

Er h v!¡ocida4 dirtccitu y sc¡iido d.l i,ccto¡ yclo-Ét l o¡¡c ll.i?rla cl avión si no hubicac vi.nto.

-*-- -t

{ 'ial

s.á¡ w : vetocid¿d d€l vicnro -¡

a' il /

v. : volocid¿d del ¿vión con üento r

V! : vclocidad d.l ¡vtón rin üGDto l'I

F¡ 6t&! co¡dbidcs,

¡. : v. + w, do don¡lo v, - v. -w : v. + (-lV).-

Midiondo I¿ ¡oogitud dol \¡ccto! Vó se obfen 6,5 unidades quc equivalcn ¿É.llo vicncn dados por Oest! 33' Nortl.

I. I¡do6 doo vatorEs ¡ y I dc dilint¡ di¡Ección, h¡llar la crptlsión dc o¡¡lquic¡ véctor r dd pla¡o &tc¡minadoF ¿qucllo3.

Los vrctoÉs d¡dos no ticÍcn l¿ rnis¡¡á dircctriz. Por lorúto, &tarmiÍa! un pla¡o. S6a r cu¡lquicr vector do d¡choll¡o y r¡8sladomos los \€ctorc! r, b y r dc

'naoe¡¿ quc t.ng¿n

d ori¡pn com¡ln O. por el €xt¡oño X do r ú¡cemos partlole¡¡ bs diraccloüa! dc ¡ y b, Elpccti$rnrnt , forná¡do €l para.

, rLlograoo ODRC. D€ l¿ 68uñ 16 doduc¿ , \ . r.

oD -¡(oa): .n, | _ 'L"OC : r()B) : )ó, 4., ,,. -ondordcxcrso¡.¡cal¡ tB

Ahora bion, rógún l¿ lóy do compo¡ición del paralclognmo,

OR:OD+Oc, o bi . ¡L r : ¡ ¡+, t

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. .u

I

q¡¡. ca l¡ o¡pnsión Fdid¡" l,oe v*lorEs .¡¡ c ,b son 16 @nqotu tcs t ctüld.t, o v.clo.!s coopo¡rcrit .,do r s.dn l¡! dincciord &. y b rcsFclív¡rFntc' lr3cac.ldlsr€/p¡¡.dcn s.r poaitivG o D.s¡tivo3,rgúr 106 ati!6 dé lo3 icclo.la. Dc l¿ const¡r¡cción gcométrica s d.spr€ndc q*.t c / son únicos pore., b y ¡ (hdos. los vcctorEs a y h *¡ lo. ve.toret ¿n la á¿tt d€l tístema dc coord$adrs dcñnido por ¡utdircccioDc on ol plano quc délrfiin¡n.

¡L Dddo! trqt t€torai no copla¡¡rio! ni paralclos ¡, b y c, h¡llr¡ l¡ expresión dc cuslquie¡ v€ctor r é¡r cl 6paciot¡idimc¡¡don4

s.e ¡ rl vdor cu¿lsui!¡¡ d.l.spacio de origi¡ o d qoctr¿slad.Eos lor trc6 Elorrs d¡do¡ .' D y c. Por cl .xtrlso idc r t ¡..mo6 pl¡ir6 par¿Lto3, rca!.c¿ivamt , ¿ lo3 qu.rtct!¡min¡n . y b, b y c, y. y., forñó¡dos! cl paratclcplpodo¡Ox,Y¡Utl. Dc h fieu¡a sc doduco,

ov = ¡(oA) :r¡ )OP : ÍOB) : ),b ) on dond! ¡, /, .¿ son e!.¿¡¡rcs

on - loc): zc)

Alor¡bi. | | OR :Ov +vQ +QR -oV+OP + OT,o bicn, r -.ü +}n+ ,c-

Llc Ie con trucción g.or¡¿!¡icá $ d.6pr.nde quo ¡ /, y t ron único6 pam r, b, c, y r d,¡dos.

. - ' ' - - - . - '

VECTORES Y ESCAIA¡ES

Los !€ctorcs ¡.,lb y zc sollas compon útet v¿ctoiales, o v€clorts coftponcntct, de r.según I¡s dirlc-ciones de ¡, b y c, repecrivam€nte. Los vscto¡cs .' b y c son los w.to'* ¿n la bas¿ d.l sisttroa d. coor'denadas d€nnido por sus direc.io.ca cn el €spacio.

Coño caso padicular, si aj b y c aón los vector6s uritárioi i;l y k, respectlvañcntb, rirtrtu¡lncnte p€r_p€ndicuiares, cu¿lquier veclor. se pücdc expresar! d€ fo¡m¡ única. cn fünción d€ li)s vcctor€s ünit¡rios segúnlos ejes po.. -. ¡i + / + zL.

Asimismo, si c - 0, el e¿tor r peno¡€.erá al plano fo¡mado por ¡ y b, obtcni¿nd@ €lproblema 10.

12. Demostrar qne si los vectorcs, y b no tienen lamisr a di¡€cción,la igualdad v€ctoriai ¡a +/b = 0 implicaque¡: / :o.

Supongamos que ¡ I O. Ertoncls, de ¡. + /b : O s€ d€ducc ¡¡ : /b, €s dcci. ¡: --(//¡)b. E-sloquiere d€cir que a y b ricner la misma di@ión, lo cu¿l es cont.a.io a la hipót€sis. Por consiguienle,¡ 0, v de vb 0 se desprende que y O.

r3. Demostrar que si ¡ y b son dos veclores cuyas dir€cciones se cortan, la igu¡ldad v@torial ¡,a "l- ),¡b :rú + / ¡b impl ic¡ qu€ ¡¡ ¡ , e r ' : , r .

¡ , ¡+/ ,0:¡ ! ¡+/ :b¡,r + / ,b (¡ ,¡+v¡b):0, o bidt, (¡¡-xJ¡ +Cv'- . / ¡)b=0,

Po¡ lo ranro, sesún elproblema 12.

.t, - ¡' : 0' ,' - t: : 0. o bien, ¡, -,,'Y':!,.

14. Demorrar que si ¡, b y c no son coplanarios ni paralelos, la iSualdad vecto¡i¿l x¡ +/b +zc - 0 implicá

oue. i :y:z:0 'Supongamos que ¡ + 0. Enlonces, de ¡s +zb + zc:o sc deduce ¡¡ = -)'6 + -:c, es decir,

¡ : -<-yl¡)b (z/x)c. Aho.¡ bien, -Olx)b - (?/¡)c es un veclor del plano qüe forma b v c (ptoblema | 0),estocs,¡per leoe€alplanodebyc, locualescontr¿r ioalahipótesisdeqi¡€¡,bycnosorcoplana. ios,Por lotan¡o,¡ :0-Razonandodcanálos¿manera,süponiendo/*oyluegoz+o,sel le8¡ascndascon'kadicciones, cor lo que queda derhoslrado lo pcdido

15. Denosrra.que si¡, b y c son tres vectores no coplan¿rjos ¡iparalelos,la igFldad i€ctoliai tia.+ Iib + z,c =¡ ¡ . - hb r .c impl ica que \ , : Í / , , . , z ' : zt .

La ccuació¡ dada * puede escr¡bi¡ en l¡ fo¡¡na (¡r - ¡rh + O, - y)b + (2, -2). : o.según ef probfema f 4, ¡, - at : 0, lt - y' : O, y zt -:r - o, o bien, ¡, : ¡¡, /\ : t^ 2 | : z.

f-ió\Derilorrar que las diagon:lis de un paralelogramo so cortan cn su punto medio

\ / S¡,a ;EC, el pamlelosramo dado cuyas diasonales s€ /\--l cort¿n cn el punto P. -

ComoBD :r : b,BD - b-e. Entonces BP : ¡(D ¡),

Como AC : a b, AP : .y(¡ + bi.Aho.a bien, AB AP I PB = AP - BP, con lo que,

¡ /á +.b) - ¡(b a) : (¡ + /)¡ r L! - r)b.

Como las direcciones de ¿ y b se corla¡. según el pro_blcma 13,¡+/ ' l€, ¡ :0, es deir , ¡ : ¡ - ' , / "Por lo tanto, ¡ cs ol punto medio dc las dos diagonales.

t7. Demorrar que el pollgono que rcsulta al unir los puntosmcdios de los lados dc un cuadrilátero ec unpararerogr¿mo.

Sea ,rBCD €l cuad.¡látero dado y P, O, rR y S los puntos medios dé sus lados (Fig. ¿).

En¡onces, PQ: ' / , ( ¡ + b), QR == ' / lb c), Rs: ' r(c + d), sP: rL(d + ¡) .Ahora bi .n,s + b+c. l d : 0. Por lo tanto,

PQ -' :(a - b) -"/c + d) SR y QR : '/'(b + c) : -'/,(d,+ ¡) - PS

Como los lados opúesros del f'olieo¡o formado son iguales y pa.¿lelos, dicho poligono eelogr¡mo.


II3""; i;ii*ll1llli';:,::: ':f"i'-o: "l "'9*

o v 11' r,..,. sus rcsprcrivos vectores de posic,ón. D€mos-g*,:' li TlTfi'T"'.:::::: ^ ^: - ",.: : o'.;'ürd;;;';.;i::;i;ü;HT'.:?ü[[?:Ti;¡=q1 O' si, y soto si, se verifici ¿, + ,, + ., 10.

rl€l

=de o. ve¿nos en qué co¡diion€s * *,¡i"."rá.i,iiíJi-,,ir;;,.,.;;;:i,H,i".ii,."í.#;:rJ); ' iF1::1". '" 'Ti: ' :-oj,::: ' : lóle-f,r:f ' ,{{rrespecbdeo vver vecrordeposicióndco'r6s.

o).

_D. la.Fis. (ó)

-se deduce qu9., : i +r , r , ¡ ¡ :y +l ! , ¡ . :y +r, ! , con lo quc la ccuac¡ón¡tr

- ¿,r! + ¿rr¡ : 0 se transfo¡md en

a¡\ + a{, + a,r1: a(v + ri) + ¿lr + ri, * "*' *.,,

_ (a, + a, + a,:)r + a¡,, + oii + a,¡,, : OLa condición n€.esaria y süficienre pa.a que ¿,! ¡ i ¿,r., + ¿r.i : 0 es

(a,+a,+a¡ -0. es dc. i r , a,+ar+a,:o.

Este resultado puede generalizane sin dificutrad.

:l :,",;:::."".1T,1.-:1.,:ra que pasa por dos puntos 7 y a cuyos vectores de posición ¡65p€cto crcr or¡scn o

ü{:. y D, respecnvamente.

S.a r el vector de posición de un ¡punto ge¡érico P de la

Dc Ia ñgur¡ adjunra se deduce,

D\-AP.- OP, o bien, s + Ap : r , de donde Ap : r _ ¡

01 - AB : OB, o bien,a + AB : b, de do¡deAB : b_s

Ahora bicn como AP y AB son colinealcs, Ap : rAB,(b ¡). po¡ lo ranr¡, ta euación ped¡da cs

r: ¡ + (b-a), o bic¡ , r : ( t _r)¡ + rb

S.6'¿ ecuac'ón sce$r ibeen ta fofma(¡ 4a , /b_r. 0, o

- : i - r tud€susco€ñ. i rnLesdea.byr6 | _ | ¡ r_ I =O

-.: ionstSutente. según et p¡oblena 18. el punro ppertcncce¿ : re.ta qu€ une "4 y A, jndep€ndientem€nte de ta clección

,J¡o néla¿o, Corno Ap y pB soa colin€al€s, siendo h1 y ,,:!r escalaras sc verifica:

nap np['. o bjen, n(r-¡.) =

n^ nn! oonoe se deduce r rr ¡ , , que se ttama farha rinérica.

VECAORES Y ESCAI,ARES

20. (^4- Ylllr !:.vc¡r9y d€ pos¡ción 4 y r, de ros puDto!

r\..1,rt I urt. -r.1, cf' un s6tom¡ dc coor&n¡d¡3trirrecr¿nguhr .n fudctón de tos rlctorcs unit¡rid l,l, L. (ó) D.t rminar gráñc¿ y am tic¿tncnt le .6¡o rE6ülr.¡rc dc dirrc3 r€c-roÉ

(¿) ¡r =OP : oc + cB +Bp - 2l + 4t + 3¡r¡ - oQ:oD +DE + EQ - t_51 +2r

(bl ctófcank,t.,la rcsulratrrc d. r, y .r !. oor¡!.E4t .!¡ ot¡soml OR dcl paralclosramo oPiO.Anan cañ¿nt¿ vtcn d^d^ ñr

Q{r,- t ,2)

¡, + r' = (¡ + aJ + 3r) +(l-5, + 2¡) :3t-l + Jr

quc cl r¡ódulo ,,1 dd vocaor A vi€de d¡do por

Ai+AJ+ A¡cc a: l lJ4¡1.Por cl t orcna dc pitágo¡as,

(oP)' : (oor'+@b"er do¡de O-P €s et módulo d€l vecror Op, erc.

Análosü'Ent, (oO)': (oT)'+ (iO)'.Po¡ Io !¿nro. (-p)' . ro,nl. + riOy - tO¿). o

A, - Al + AZ I ,ri. ca deci', ,r : ,/ /? + 4=/l

¿. Dadd lo3 v.c.or* rt : 3i-21 + t, r, : Z-4r-3r,(¿) r,, (á) r¡ + r' + r.. (.) 2r¡ - 3q - 5r,.

t . t l r " l , r - ¡ r4+zr l = v l j t1 -

tzf +6 = c.

r,:-r+2r+2t, b¡l l¡r lo. ñódulo3

= 4t- i ,

,6 = *6=s,ec(ó) q+.2i . . = (3r-2,+r)+(a-{ t -3t)+(- t+2t+zr)

- at-{J+otPor to t¡nto, l!+r,+."l = l l¡-+l+orl . /(8;7:&, to] =

(¿) al - 3.2 -&3 = 2(3t - 4 +t) - 3(21-r, -!¡t) - i(-t + zJ + z¡)= 0l-4t +21-6t +tA +9¡ +í - roJ - tor = 5¡ -2, +¡.

Por lo r¡nto. l2r1-3r,-s,"1. ¡ r -zt*¡ l - / (R;(8; (# =,6=s.qz

Dado. loj v.ctoE! f, : 21-l + t , h : ¡ + l¡ -2r, r, : -2t +l -3r, t ¡¡ : 3r * 2i * 5r, h¡[¡¡va6¡os oc ¡os c€.3lar€s ¿. ó y . d0 múéra quc ¡. ¿rr r áf¡ r d..

3r+2¡+5r = ¿(21- l+r) +r0+3t-2¡) +c(-2r+r_a¡)= (2.+b-2c)t + ({ +3ó +c). , + (¿ -2ó -3.)r .

Ahoú bi.n, los yétores i, L k no son ni coplanarios ni par¿telos, sc$l.n el probldra 15,

2t + b-2c:3, <+3b+c:2, o,7.b-3. :5.

Resolvicndocstcsis i . f ¡ ¡de.cu¡cio¡.s,s:--2,b: t ,c:-1cút loquor. : -24+r¡-

El ve.\or r. d¿pcndc línealrurr¿ dG los vccrorts rL r, y r.; cn otru pal¡bras, ¡,, r,, rr y ¡., forn¡n

j

IrT

sist€r¡a dc vcctorcs l¡r¿¿,r¿nte ¿lepeüleúe. Sin .mba¡go, tres (o renoo d. cao3 cuatro v€cror€¡ sonñ.nte in¿.p.a¿ientes.

ED Acncral, los v<.rorcs A, B, C, . . . sod lincaLEnto defEndbntes si .risten u cohjulto déa4., . . . ,notodos¡¡ulos,deba¡cr¿que¿A+óB+.C+.. . :0,c¡ tcásocoDtr¿;osonl i

L úÉ ü¡ !.rcto¡

I I

\€ctores r, : 2l + 4¡-5L,

¡rs¡lt¿¡tc R : !+ 12 = {21 +4J -5k) + (r +2j +3}) = 3i + 6j _ 2[.

r . ln l = l ¡ r -o¡-zr , - /o7- tat ' - , . - = t .

For lo tanto, un vector unitario .on Ia dire.ció¡ y sentido dé R es ! ¡ 31 + 6i - 2L

Comprob¡ción : l ' l = <lf . r l f - r - l f - t .

Ealla¡ un vetor d. orisen P(t,, r\, ,) y .xl¡emo QG,, y,, d,ü€¡mi¡udo lucao su módulo.

El vector dc posición de "

6 1-El r€ctor de posición de P es r2 =

PQ = 12-L = l '2í+y2l+z2})- Q1i+r]+2,r , )' = l '2-

'1\ t + l ra- r ! ) i + (22-, , )h.


udtario con la dircc.iór y sentido do la rGulranL dc los*: i ;2 i+3I.

+6.1

= ! , *7

2_7

r3. 6,l i r +

t r -

q

Obervese quc cat€ módulo no ca otra cosa que la distan.cia e¡tr€ los puntos P y O.

¡. Sobre u sólido actúa¡ trÉs fu€rzas A, B y C que, e¡ fu¡ciód dc sus componcntes, vieneÍ dadas por las €cua-cio¡€s vectorialca A : ,1ri + AJ + A¡, B:¿,i + 4¡ + A,r, C: C,i * CJ * C"x. Hallar el módulo deb tue.z¿ resült¡n¡c.

Fuer¿a ¡c3u¡t¿nlr B = a+B+c: ( /4r+41+c1)t+ (42+82+c') t+ ( /3+8.+ca)k.

Módufo dc la rcsulrante = ffiEste r€sül¡ado se puede gÉncraliz¿r fácilment€ al c¿so de varias fue¡z¿s.

tl. Detcmi¡a¡ 1o3 áogulor .! P y / quc cl v.ctor r : xi+r4 +rt_ lorma cotr los scntidos positivos dc 1o3 cjc,s de coo¡denaal¡s, y

co8!a+cos"É+cos¡?=1.

El triángülo O?lP de la figura ca ¡.ctángulo er ,r; por lo

r-t" *" " {. Análogrm.nte, d. 106 tri¡ir$los ñcrán-t f t -

¡ulG OdP y OCP s! deduc¡¡. "o,

, : I v c, , ,

,os/ = 1. .

rcspetúvaÍren&, Asimisrño, r, - r : \/t'- t --.

ytror lo urnto, co3 d

/ .co3p: . ,cosy=- i ,alc dóDde se deduc.n loc valor€s dc los ¿n8ülos o, f y / pcdi-dos. D€ estls c¡prEiones se obti€¡¿

_xt+r '+2'{osia+cocr+cos' / :1.

¡63 ¡¡¡¡¡6¡6¡ ¡6s z, cos f, cog ? !€ llaman los .or¿roJ dtr¿.tores del rf;¡tot OP,

t, DctcrmirA¡ rm con uúto dc €c1¡acion.s dc la rccla quc p¡sa por 106 punaos P(¡¡, ¡, z) t Q(4 !6 d.

sL¡rqyr.106v.ctort dc Do3iclón dc Py O, tspetiv¡-ment , y r .l concpondic¡rt ¡ un punto EÉnérico X d. l¿recta PO.

rt +PR - rr o bisr¡, PR = t -rrrt+PQ -r} o bi.tt, PQ : rr - ¡r

Ahor¡ bicn, PR : ¿PO, lkndo r un c6calar. Ibr lo tento,r-¡r : (!' - rJ qlrc es l¿ óc1¡!cióú yrctorial d. h r!c-ta"

En coordonadas Iectangularcr, co¡no r-: ¡l + , + .t,

. k l ' l r - ¡ ¡ ) - { ¡ r l . r r l +tr¡ , ' t l l r2t . r2t . .2¡) - ( ¡ r l . t1t '¿r¡) l

( ¡ - ¡ r ) t+(r- t ) l+( ' - , r ) ¡ = t l t '2- ' ; , t + 9a-t) t+ k2- zr ' t r l

Cúro l, L t Do ror coplan¡rioc ¡i pardcloc (¡on lineal¡Eert i¡drp.ndi.ntes), s.gún .t

VECTORES Y FSCALARES

t-r - t(yr-r), ,-4 - 4\-z'\

de l¡ rcct¡, si6do , el psráúfro. Elii r !6 obtidi.,

f - t tfc- \

,. D¿do d cúipo g€calar definido po¡ {(¡, /, z) - 3¡': - .ry' + 5, haÍ¡r .l vdor d. { €o lós punüor (¿) (0,

5 = -12'

$, R€Fascnt¡r ¡¡áÍ!¡rste lo! si5¡i.[ta3 c¡spo¡ vlctof¡sba i(¿)v(¡,r)-.d+/r, (ó) v(ar: -¡t-r,|, (¿) v(.r,/,r)-.l+ ,i+*,

(b, (t, -4,2r, (c) (-t, -4, -3t.(¿) C(o,0,0) - 3(o)2(o - (oxof + 5. 0-0+5 =

6l Q6,-2,21 = 3{rff l}- (1)(-2f + 5 - 6 + 8+ 5

(c) ó(-r,-z.-i) = 3(-1f(-s) - (-¡)(-2f + 5 = --e -\\

=19

8+

(¿) En cad¡ F¡nto (r,r), cr(6pto d .l pun¡o (0, O dcl pl.no r/ ..tÁ dd¡ilo lm r¡dor ún¡co ¡I +nódub y'FT¡', cuya rtiÉcción Dasa por .l ori¡ar y *r.ido ¡!.j¡¡dos dc é1. P¡.d .iopli6rnétodos 3¡áfico!. obs¿rv.ñro! qua lodos lo¡ v.ctor6! ¡sociadoi o lo¡ ltuntos do l¡! c r.un¡tt + lt - a', .o¡ a > 0, ti6n n d. Dodulo ¿. En ls Fig. (¿) 8p¡¡oéD rÉprclontado cl c.¡npoc1¡asüótr a uD¡ drtcroí¡¡d¡ clcal¡.

,

VECTORES Y ESCALARES l3

t¡4 F, cste caso. c¿da v€ctor cs i$ial y opr¡csro ¿l co¡rqlpordiente de (4). En la Fig. (ó) se ¡epr$€nta .l c€mporEtorial en cuestión.

En l¡ Fig. (¿) cl cafipo ticrF cl asp.cto d€ un flüido qüc cmerg. do üna fuénre puntu¿l ¿n O, siguiendohs dire.c¡ones y se.¡tidd qu€ apa.€cen. Por 6sta ¡arón el @mpo sa lla¡n¡ dc tipo ¡uehte puntual.

En l¡ Fig. (á) cl c¡mpo parecc fluir hacia O, por lo que sc llad. de ripo r4ntil¿¡o Dunlua,.En el espacio de t es d¡mc¡sioncs la interpfctación co(€sponale a un ffuido que eúor8e (o d$¡gua)

Edialmente de ü¡1a fu€nte fo sumid.ro) line¿1.El campo vecto¡ial s¿ ll¿Íu bidirEnional porque cs indcp6ndiente d€ ,.

It4 Corlro et módufo dc c^da e.ctor.s \/i¡lir, todos lo5 puntos de l¿ sup.rficie esféric6:1.+ /, + z': ¿:, con a > O, tiend el mismo vcctor d. posición €uyo módulo es, pr€cisamente, ¿. Por co¡sigüiente,.l campo vectorial prqs€nta el aspccto de un fuido qu€ en€r8e de üna fülnte puntuat cn O segt¡n ¡od¡s l¿sdircacioncs. Es u¡ ca¡npo d! t¡po /¿¿Ír, puntual cn tr€. dincN¡oncs.

E¡dc lar ÍraAnitud6 que se citan dccir cüálcs so¡ csc¿lar.s y cuáles vectoriales. (¿) Enc¡gla cinéticá, (¿) inten-irád d€l campo cléd'ico, (c) entropfa, (d) trabqio, (¿) fucrza ccntrírus¿, (t tcmpc.atur¡, (a) por.nc¡al sravila-erio, (r) carga €lódnca, (l) esf¡¡€rzo corrante, U) frecuencia.sot (a) esc¿l¿r, (ó) vectorial, (c) esc¿lar, (d) .sc¿lar, (¿) vccto.i¿1, (/) cscalar, (s) cs{:¿lar, (}) .sc¿lar, (, \€ctorial,

U) es.alar.

L_n av¡ón rccon€ 2m km haci¡ €l O.st€ y luelo lJo km Oestc ó0' No.tc. Halr) erÁf¡.¡¡n n&, (¿) anali¡icam.rte.iof. Módülo 304,r knr, dirccción r sentido Oesre 25'17' Nortc.

Hallar €l dcsplazañ¡c¡to rcsultant€ de los sigui€Dtcs: A, 20 km Estc 30" Sur; B, 50 krn hácia el O.6to; C,{ tm h¿cia el Noresk: D. l0 km Cresl. 60' Sullr¿ Módulo m,9 km, dir..rión y sentido Oest¿ 2l'39' Sur.

Dcmost¡a. sáñcrt[Ént¿ q¡¡e -{A - B) : -A + B.

Sob.€ tln sól¡do pr¡nt¡al en P actúan las tres fuer¿s coplanaria! qr¡€ mü€$tra la Fig. (¿). Hall¿. la fuerz¡ qu..s ne.csario aplic¡r cn P para mantcDcr €n ¡cposo al sólido dado,So¿ 323 lV di&crarnrntc opuost¿ a la de i 50 ¡ú.

D¡do3 1o3 Écton3 A, B, C y D Épr.sertadoó dr le Fig. (ó), construir ol vcctor (?) 3A - 28 - (C - D)

¡ r ;c+;(a-B+2D).

t

IIkI

Problemas propueEtoe JK

lazamien¡o r€sulCmt€

ir


31. Sea ABCDEF los v¿rlic€s de un s(ágono regular, halla. Ia result¿nte de las fu€rz¡s reprEs@Éq¿s porvecto.€s AB, AC, AD, AE y AF.

l4

S¿/. 3 AD.

I h 25 min.

42. U¡ sólido de 10ON depesopende dclcentro de unacu€rdacomo se obsera en la figura. Halla¡ la tensión 7 en ;a

38, siendo A y B dos v€ctores dcmostrar las d.siguald¿des(¿) lA + B I= la l+ lB ¡,(ó) l -B l¿ tA l-

39. Demostr¿r l¿ dcsigualdad I A + B + C I S I A | + | B | + | C l.

/¡0. Dos cindades.! y A e$án siruadas üna frente a la olra en las dos o¡illas de una ria de 8 km dc archo. si€ndlvelocidad del agua de 4 krn/h- Un hoñbre cn ,.{ qui€re ir a Ia ciudad C que se encuenha a 6 kn aSuasde, y en su misña ribe¡a. Si la €mb¿rc¡ció¡ qu€ utilüa tiene u¡a velocidad ¡¡áxiÍrz d€ l0 km/h y d.3.. Ia Cen €l menor tiémpo posibl€, ¿qué dir€ccjón debe torEr y cuánto tiempo emplea.¡ conseSuir s-s¿/. Deb€ seguir un¿ ¡rayectoria rectilln€a formaddo un ánsulo de 34'28'con l¿ di.€eión dc l¿ corri

41. U¡ hombre que s€ dirige hacia cl Sur ¿ 15 km/h observa qüe el vierto sopla del Oesto. Aum.nt¡ sua 25 krí/h y le parece que cl vicnto sopla del Suroeste. Det€minar la v€locidad det vi€nto asi como su d

s¿/. El vionto vien€ en la di.€cción Oeste 56'18'None a 18 krn/h.

,sol. 100 N.

,t3. Simplifica. la expresión 2A + B + 3C {A - 28 2(24 lB C)1. So/.5A-38+C.

44. S€an a y b dos veclo.es de distinta dhección y A : (¡ +4/)a+ (2x + / + l)b y B : (y -, + 2)a + l2x-3r- l)b.Hallar los valorcs d. : y d€.y d€ manera quc 3A : 28.Sol . r :2-r : - t .

lmN

¡¡5. EntE lc vatores d€ las bas¿s de dos sistetl6 de coordemdaE s,, ¡, rr y b,, b,. b, €xist n las rcl¡cionca

¡ , :2h + lb ' -b¡ , ¡ ' :b ' -2h+2b' , &: 2ü!+| ' ' -2b,

E¡p.esar €l v@tor F : 3b, -br + 2b, cn fu¡ción de r,, s", s". Sot. 2¡' + 5.' + 3¡¡.

4ó. Seá¡ ¡, b, c ires vectores no co!,lanarios ni paralelos, det€mi¡ar si los v€ctores ¡¡ : 2r - 3b + c, r¡ = 3¡+ 2c, y 13 : 4a - 5b + c son lin.almente independi€nles.S¿/. Como se ve.iñca Iá r€lación r. : 5r, - 2¡,, solr li¡e¡lmeÍte indep€ndientes.

47. Consruir el paralelográño dados sus vcctor€s diagonales A y B.

48. Demostrar que la rect¿ que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralela al t.rcarigual a su rnitad (paralela media).

49. (¿) Demostrar Ia ¡gualdad vectorial O^ + OB + OC : OP + OQ + OR, siendo O un puntointerio¡ al 1riá¡sulo ,4rC y P, 0, I los puntos medios d€ los ladd ,rr, ¿C, C,{, resp€ctivsment€.

(ó) ¿Es ci€rta la igualdad si O es Lrn punto exterior ¿l triáneuio d¿dd? Demostrarlo. So¿ SI.

50. En Ia figura adju.to, ,44C, es un'paralelog¡amo y ? y Olos puntos m€dios de los lados rCy CD, respeclivame¡te.Demostrar que ,{P y,{O dividcn a la di¿sonal t en trespartes iguales m€diante los puntos ¡ y ñ

51. Demostra¡ qu.l¡s ñedianas de un triánsulo s. cort¿¡ enür punto. que e llamá baricentro, a l/l del lado y 2/3 delvértice opuBto s8ún cu&lqu¡era de cllas.

f¿. Defilostrd qü€ las bis¿c¡.icca dc 1o3 áncrtlos dc u¡ triiá¡-gulo s co¡td en un puDto, quc 3a llá¡¡ra ilrccDtro y @ffes-ponde al c€¡t¡o de la circunfcrcnci¡ ioscri¡a al a¡á¡gulo.

53. Dado un lriángulo cu¿lquicra, d.morrar quc exist€ otrotriángulo cuyos lad6 son iSualcs y paralelos a la! ñedianas d€ aquel.

l *-.tru


:l S.ú t y q los y€ctores de posición, ¡especto ale u¡ orig€n O, de los punros P y 0, respecrivamenre. por otratrE, 3.a R un punto que dividc al segr¡rento PO on la rcl¿ción a : r. Demoslra¡ que e¡ v€€lor de posición

rD -f ¡¡q -'

-

t viÍc dado por r - ; ;: in&p€ñdicnbenentc del oflsen elesido.

:I- t o r¡, !., ...,I, los vectorcs alc posición! respecio de un oigen O, de las rnasas pu.tuate5 2,,, ah, .,., n,,.E5Í.íivamcnte. Deñostrar qu€ .l vector de posición del contro de nasas vi€ne d¿do Do¡

ñ7r| + ñ2r2 + ,.. + nn n

|liatLs.a

h"i"*'

si.

rod.p.odiontemcntldel origon elcgido.

Í. E¡ Los vérticrs d€ un cuadril¿tcro, A(-L -2,2r, D(3,2,-l). C(t, -2,4t. y D(3, t,2), se colocan .nasa3é l,2,3 y 4 unidades, respectivamcntc. Hallar las coordcnadas del cenl¡o de masas de dicho sisterna.5!¿_ (2,0,2).

!f- D.f,osuar qu€ la €cuación do un plano que pas¿ por lres punlos dados ,-1, r; C, no alineados, d€ veclofes dc¡oslión rcsp€ctivos r, b, c resfrecto de uD oricpn o, viene dada por

¡ p.+,b+pc

l ._L. l* , ]* l^- l r l . l l i .

) \ L i \+: ,¡¡¡do ,1, tr, p esqlares cualesquicra. Comprobar que dicha €.uación es independi.nlc d€l o¡ican-elegido. / '

i ¡ 'Lo.v€ctorcsal€posicióndelospuntosPyOso¡,r .spcct ivameóle,r ,r-2i ] j3 l+k,y¡, :4 ' i : l j+2k.Derermina¡ €l v€ctor PQ en función de i, j, k y hallar su módulo. so/. 2l-ól +¡k,7.'

f Seo¿o ¡. : : ¡- l -4k, B = -2t + 4j 3k, C: i + 2J-k, hal l ¡r

{') 2A - E + 3c, (ó) | A + B + C l, (c) I 3A - 28 + 4c l, (d) un vecto¡ unilario con la

d€f 3A-28+4c. Sor. (¿) l t i -sL lbt \ . /ü e.u ( .) / lss = 19,9t ,^ la 28+4Ct9.95

1sobrc un sólido puntual en P actúan las fuerz¿s F,:2i + 3j-5k' F -5i + J + lk, F,: i -2j + 4k,r. : 4t - 3i - 2k, riedidas en n *tons (N). Hallar (¿) la fuerza ¡esultante, (¿) el ¡nódulo de dicha resultante.sol (a) 2t- L Q\2,uN.

¡- En cada uno de los dos casos sigui€ntos, determinar si los vector€s dados son o no lin€almente ¡ndependiontes

1d) A : 2l +l-3lqB : i -4I 'C = 4i + 3j k ' (ó) A : t -3i + 2I 'B : 2l-4j k 'C - 3i + 2i-k.Sor. (¿) line¡hut dcpendientls, (ú) li¡€alEnre indep€nd¡entes.

C- Demost.ar qu€ cada cuatro vectores cn ües dim€nsiones d€b€n ser linealmentc d€p€ddi€nl€s.

lt g- Dernosirar que la condicrón ¡ec$aria y suficiente para ¡¡uc lo3 v€ctores A : ,41i + /¡l _l_ ,'1.k, B : 4i + ¿,i + ,¡k,

l i , !",1"\c:c¡l+CJ+csk, sea¡ li¡ealmentc independieñres es que cl dererm ina n r€

lál i, i" | '*al't.t"cccero.

ar (¿) Democt¡ar que 106 iEctores A :3i +t-2k, B: -l + 3¡ + 4¡, C:4¡ - 2i- 6¡ puedens$ los ladosde un triárliulo, (á) HaUa. las longiaudd de las &€dianas de dicho triángulo sol.2.45;5't4t6.12.

G, Dado el cámpo escalar 4Q, t, 4 - 4rz' + 1ry2 -z' + 2, hallar (a) d(1,-1,-2),(á) /(0, -3, l).

s¿r. (¿) 36, (ó) ll.

f- Repre¡cntar gráñcanente los cañpos vectoriales definidos po.

(¿) v( ! . r ) ; r ¡ - 'J . (ó)v( t . r ) =/ l - r j , ( . ) v(r . t , , ) . ##3

Capítulo

Productos escqlqr y vectoriol

PRODUCTO ESCALAR O INTERNO. Dados dos vec¡ores A y B, sr¡ p.oductoo int€rno, A' B, s€ define como el producto de süs módulos por el coseno del ángulo 6 quePor lo lanto.

S.Dados A = 4t+lei+4t y

AA

A'A

B 'B

Las propiedades del produclo escalar son:

¡ . A.B = B.A

2, A.(B+C) - A.B + A.C

3. a{A B) - (nA) B - A (ng). (A'B) '

4. t . l = j . j =L. t - 1, 1. , = J,¡ = l . i =0

Propiedad conmutativaP¡opiedád dislribü1iva del producto cscal¿r¡espccto de la suma.sie¡Jo ,, un cscalar

L,B - AB cÁrs9, OS0="

Obsérvcsc que A B es un escalar, un número, y no ün v€clor.

B = 8ri + AJ + 8.t, se v€rifica,= Ag, + A,B2+ 483=a2=a2+Á'+a2

=a'-ni+ai+ai

ó. Si A'B : 0 y ninguno de los vectores es nulo, ambos son perpendicula¡es.

PRODUCTO VECTORIAL O EXTERNO. Dados los vectores A y B, su productoe,(tcrno es otro vector C: A x B. El rnódulo de A X B es el produclo de módulos por el senoángulo I que forman. La direccióD dc C - A ),8 es la p€rpendicular al plano que fo¡man A y B, ysentido es tal que A, B! y C fornun un triedro a derechas. Por

'o tanto,

A xB - , . {3sen09, 0303n

siendo u un vector unitario que indica la direc.ión y sentido del prodüclo A x B. Si A: B, osi A ti€ne la misma dirección qr.¡e B, sen0 0, co¡ lo que A x B - 0.

Las propi€dades del producto vectorial son:

.1.

2.

3.

4,

5.

axa - -BxÁ

Ax (B +c) - AxB + Axc

n(AxB) = ( 'A)xB = Ar (DB)

(No goza de l¿ pfopiedad oonmutatila.)

Propiedad distr ibul iva del producto vcctor ia lrespecto de l¿ suma

= (Ax B)n , s iendo ,) uD cscalar.

ix l = jx j = krk .0, lx j=k, jxk- i , k: i= j

Dados A =l1i + Á; +, \k r B - Bi i 1B, i+4k, s¿ \ ,cf i r ic¡ .

l6

PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAI

i tka1 A2 A3

B1 82 B.

L7

'] El roódülo de A x B repr€senta el ár€a del páralelogramo de lado A y B.

_ Í A x B - 0, y nirguno de los veclores es nulo. ambos tjenen ia misma di¡ección.

IIODUCTOS TRIPLES. Por medio dc productos escalares y vectoriales de tres vcctores,L 3 c. s€ püeden formar p¡oductos de la forma (A-B)C, A'(B x C) y A x(B x c). se vcrific¡¡|¡qicdades siguientes:

: ' { r .B)c+A(8.C)

: -r.(B x C): B'(C x A): C. (A x B): volumen de un paraleleplpedo de aristas A, By C.Dn signo positivo o negativo según quc A,By C formen un triedro á dereohas o ¿ izquierdas.s A :,11¡ +,r' i +,{g|(, B:4i +4l +tL y c : qi + crj + c¡'

AtB =

A.(Bxc) =

, b/ci . bx.

a bvc t 0. (problernas 53 y 54)

A1 A2 A3

81 82 B.

c! c, c.

: - ,^x (Bxc) I (Ax B) xc

! -4 ' (Bxc) = (A.c)B-(A.B)c' i - {xB)xC = (A.c)B - (B.c)A

q producto A . (B x C) se l1¿Í]á tt¡ple ptoducto escalar y se rep¡csenta por [AnCl: El producto,l x C) recibe el nombre de liple prcrlLt to vectoríal.

¡¡ el producto A .(B x c) se püeden omiti¡ los paréDtesis y esc.ibi¡ A 'B x c (Problema 4l).ábargo, €sto no se puede hacar en el producto A x (B X C) (véanse los Problcmas 29 y 47).

(El producto vcctorial no goza dc la propieded asoc¡lriva.)

S¡STEMAS DE VECTORES RECIPROCOS. Dos sistemas de vectores ¡,b,c y ¡',b',c' sc

¡ ' ¡ ' - b 'b '= c 'c '= l

C.¡ - a ' .c = b ' . a = b ' .c = c ' . a = c ' .b = 0

l¿ condición ¡eccssria y suficie¡te para que los sisteúas de veclores a,b,c y ¡',b',c', sean recl.

cva

-J

; r,": -f i , l -¡ i "1 =

.

' : -=-

IE ?RODUCITOS ESCALAR Y VECIORIAL

Problema¡ resueltoe

PRODUCTO ESCA¡JAR

l. Deftostr¿r que A.B : B. A.A.B:/Acos0:A/co€0:B'A

Por consiguiente, et producto os.al¡r goza de Ia propiédad conmut¡tiva.

2, Dcmosúar qw A.b cs igual ¡ l¡ proyección dc A sobrB B,siendo b el véctor ur¡¡taio cn Ia di¡Ección v senr¡do de B.

Co¡üo indic¿ la fisur¿, los plaros pcrpe¡diq¡lares ¿ Btrazado3 por €l origa y cl ¿lt¡€mo de A corr¿n a aquA Gn bspuntos G y ¡I, ¡.sp€ctivañ€nt€, po¡ lo tanto,

PfoyeccióndcAsobroB:Cn:EF-Ac¡60:A.b - i i

3. DemostrAr quo A.(B + C):A'B +A.C, | ' r --- . -á54¿ ¡ el v.4tor ünirario en la dir€c¡ión y s.ntido de A,

Proye4ción de (B + C) sobre A : proy€cción d€ B sobr€ A+ proy€.ción de C aobre A

(B+C).r :B r +C.¡Multiplicado por ,,1,

(B + c) ,!¡ : B ' ,,{¡ + c . ,{s(E+C).A:B,A +C,A

Teniendo m cü.nl¡ !¡ propiedaal conrhubriva dcl prodr¡cto

A.(B + C) : A,B + A.C

luego .l produclo esc¿lar goza dc la propicdad disiributiv8f€sp€cto de la suma.

4. I}mostr¿r qw (A + B) ,(C + D) - A.C + A.D + B-C + B.D.Dol problena 3, (A + B) . (c + D) : A.(c+D)+8.(c+D) = A.C+A.D +B C+B'Luogo el producto e!.ala¡ soza d€ la propiedados del ágebm ordin.ria.

5. Halla¡ los prodr¡ctos €s.alarcs siguié¡rbs:

r ' l r . r = l r l l r l - .

o ' = ( l ) { r ) (1) - 1(ó) l . I j l l L cos 90- - ( l ) ( r ) (0) . 0

r . l r . l . l . l l l l - " m' = (r)(r) (o) . o

(d) l . {2 i -3J+I) = 2j l -3J.J +l . l t = 0-3+0 = -3(¿) (2t- l ) . {3 i+I) = 2l . (3r + r . ) - , . (31 + r) = €l . t + 2t . | - 3 l ' I - , ' t = 6 +0-0-0 = 6

l

l,t

,6.) i A = A,r+ A,t + A¡ y B = 8,t + 4i + 4k, deinostra. q\ . ^.R

= A$r+ A2B2+ Az

\-, / A,B = (¡11+,42j +,t . [ ) . (al i +a2j +83¡)

, , {1t .(al t + 8J +a3[) + 4J.(¡1r+8+4r¡) +,a!t . (8rr+¡, ,+S3k)

Arqrt + 1B'.r +,\%r.r + a,BJ-t + a2B2r,, + 4831.¡ + A.B!r't + 4B2r'.t + ajB.r'

l'tl*

B'D

ls

i4-

Fur'¡

PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL

= A&r+ /t282 + a.B.r F i. i = I' j : k. k - I y todos los dcñft produclot csc¡lar€s son nulos,

!- oA:,lri +,{t, + .r'r, ricooctr¿r q¡¡,r : y'T.r : \/-A'J,+,+,1'.

A ' A (,1) (,1, co3 a' = A'. l"tryD, A - yti A.

Ta.nbién, A.A : (/tl +,rJ + A*),(Ai + )tl + I,tt: (A)(a') + (A')(A'\ + (A)(A,) - Ai + ,ti + s"

! Foblefna 6, ton¡ndo B -

A.

a-Ha.l l ¡ r . lv¡ lord.¿dcform¡q'¡cA:2i+d+ry8-41-2¡-2¡s€¡np.rpcrdicul¡¡ t6.

l9

ri-''> ' -, ¡

It lo-¡ano, ; : VT .r - \/4:+ 4+4es elrtódulo d6 A. Alsünas vÉces A.A 36 rcp$s€nt¿ por A..

/ ¿ '6 ¿ - '1 A"-ü

E rhr et ánsuto foÍn¡do po¡ los v€ctorcs a : !i l2r-L y a-6i -tt-?'

^.8: AR.60, ,t - \/6 +@¡ eÚ : t, B - ^//(6r' + (-3r' + (21 :1

^.8 : (2)(O + e)(-3) + (-r)(2) : 12- 6 - 2 = 4

Por ro r¿nto, co!, - +P : óOr: f = o,uos. * a.

t s¡ A . B : 0 y ,1 y ¡ so¡ dbtintos dc cÉro, demolr¿¡ qu. A ca p€rlendicular a B.

Si A.B :,{acor t - 0, mtonccs cos 0 - 0, osóa,0:9O'. Reclprocament€, sir - 90', A B:0.

Del probleñ¡ 9, A y B ton F¡p€o.liorlat6 s¡ A 'B = 0.

Por lo t¡Dto, A'B -

(2)(4) + (d) (-2) + (I)(-2) -

8- 2o-2 - o,.lG do'tdÉ, ¿ -

t.

t t . DÉúostra¡ quc 106 i taiolü A:3i-2r+k' B: l -3r+5k' C:2i+¡-41 tonn¿n ün tr iángr¡ lo

Dcmoatremo., on prioar lüg¡r, quo los v.clor$ for¡Bn triángülo.

¿

(¿)

De las ngr¡ras 66 déduc¿ que ello ocü.re si

(ó)

\ i \ i . ;1 t . -¿L(¿) uro.te los r€ctorcs, por cjdnplo (3), €s la ¡¿sultá¡t dc los otros dos (1) y (2).

(ó) I¡ Esult¡rl. dc los vcctorB (l) + (2) + (1) ér cl vector nulo. Co¡no i¡di@ lás figurás, pued. ocuri¡quc doc v€ctorB tcnlM cl €sctmo cotntrn, o bien, quc ninSuno de los extrE nos co¡ricid¿n' Er ¡u€st.oca¡o 6 t¡ivial qu. A : b I c y, por lo tanto, los v.ctore, forfná¡ triá¡8¡tlo.

.J, coño A . B = (3) (l) + (-2) (-3) + (r) (s) : 14, A . C : (3) (2) + (-2) (l) + (r) (--4) : 0, y

] B'c:( l)(2)+(-3)(l)+(t(--4':-2l,scd.duccqueAvcsoÍperPendicular$vqueelkiánsulo.I es r€cEnsuro.

- - ' - ' - ' - -

PRODUCTOS ESCAIAR Y VECTORIAL

_rá1, Hallar los ánsulos quc forma el vecror A : 3i - ó¡ + 2k con los ejas coo¡denados,

Soan o, É, / los ángülos que fo¡rñ¿n A con los somicj€s positivos ¡, /, ", r€sp€crivañenrc.

A t: (A)(t) cos a = ",/ a¡ 11-e¡ 1 1z¡ cos a : 7 cos oA.¡ : (3¡_6i +?k). i : 3 i . l_ój . l * 2k. t : 3

Por lo t¿nlo, cos d : 3/7 : 0,4286, d. dond€ a : 64,ó.r aproxim¿damente,Análoraft€nt€, cos É = -617, P : I49", de donde. cos y : 217, r = 73,4o.Los cos.nos d. d, B, y ,,3¿ llatuar,.osenos dircctotet de A (problerna 27, Capíaulo I).

J 13. Halfar la f'rorccción del ilctorA: t-2i + k sesún la di¡ección deB:41-4i + jk,

B+C-/{ , o bi€n, C : A-8,

c. c: (A-B).(A-B): A.A + B B-2A.B

cr: Ar + B. _L1Bcos0.

AU

Ftg.(d) Fl¿.

Dedlostrar que las diiasonalas do un rombo son perpendicula¡G. (Fis. (¿).)

oQ.. .OP+PQ-A+BoR+RP -OP, obie¡, B+RP:A, de donde, RP:A-B

Luoso oQ-RP: (A + B) (A-B): , { : -a! :o. yaqueA:B.

Po¡ consieuie¡t!, Oq ¡s pcrpendicula¡ a Rp.

I¡

tfl ' r¡41

ü.&.

o s€a, (1) 2¿, - 6., : 3.,o sca, (?) 4c, + 3c¿ : cj

El v€ctor udr¡'io en ra dif.cción r sertido dc Be b : f : iaffi- f, r - f, ; + !*.

proyección dc a sobn el vécror B : A. b : (t- A + D. (+t - +t + +k)

- or(f) + t-a(-*) n or (l) :'r1 :''"

,,/4. o"¡n**, .l t€or€rha itel coseno ile un t¡iánsulo €uarqu¡e¡.

En la Fis. (¿) inferior,

Lu.go

.) rs-

-/ 16. Hall¡r el vector u¡ritario perp€ndicular at plano formado por A : 2i - 6j - 3k y B : _4i + 3j - k.

Se¡ C = .rl + c't J- cak un vector pe.pendicula. &l pl¡no form¡do por A y B. El vec(or C €s p€rpen-dicularaAyaB. Lu.eo,

C'A -

2c, -6c, - 3.¡ : 0,

e .B:4.¡+3.r- c, :0,

PRODUCTOS ESCALAR Y

ffi¡do.l sircma romado por (.¿) y (2) : q = ; .r , ¿,

ú4r d i.ctor un¡lario en la di¡ec.ión y s€ntido dc C es

VECTORIAL

= _ !" . ="" r lr - | ; - rr.

¿3(;r-á,+¡)

. " ' t r l f . r -{r+rrf)1(;¡ - ; l +;r) .

I . ¡ ¿J, f .

cc

&.t l¡abaio rBlir¿do po.la fuer¿a F:2i -l - k al desplazar un sólido puntual a lo larso del vcctorf: r:?i-5r. (Fis. (¿),)

Tabajo Ealizado = (nódülo de la fuez¡ en la dirección y sentido dol movimiento) (d.splazami&to):(rcos,)( / )=F ¡

: (2 i - j -k) . (3r + 2j_5r) - 6 '2 + 5 : 9.

' t , ' )

E lbr la ocu¡ción del pla¡o p¿rpendícülar al r€ctor A : 2l + 3j + 6k y quc pssa po¡ el extntfio det v€ctorf: i + 5¡ + lk, (Fig, (r),)

Sea r el vector d€ posición del punto P, y O cl ertrerho de B-

Como PQ: B-..s p€rDondicula¡. A,(B-r).A - 0, o s.¿, r.A - B.A cs ta ecuación vectorial¡H plano buscado. En coord€¡adas rc.tangula.es,

( r i+/ ,+zk) (2¡+3j+6k): ( i + 5J + 3k) -(2i + 3j + 6k)2x +3r +62: O)(2) +(5)(3) + (3)(6) : 35

En cl probleña 18, hall¿r la distancia del o.iepn ¿l plano.

La dista¡cja del oris€n al pla¡o os isual a la proyecaión de B sobre A.

El v€ctor unit¡rio er Ia dir€cción y senrido a A 2i ' 3i | 6k 2

^rcAes ¡ = )= = Jo¡, *.ir,

'rd"

: |-i + 1:ia;-t.

Lueso, proyección dcBsobreA - B .¡ : (i+5j +3 tt\ '(2111*3171+617 l - t(2/7) + 5i3/?)+3(ófD:5. \...--\

Sicndo A un vcctor cualqui€m, demostrar que A : (A Di + (A j)l + (A . k)(.

Como A:,4¡ i * ,4, i * A,k, A i= A;.1+ Ai . í+ A,y. i : Al

A¡áloga¡rert€, A l : , r¡ y A.¡ :r !

Lueso, A .= lJ + ,lJ + ,,{,1 : (A , i)t l- (A 'u + (A 'k)k.

22

PRODUCTO YECIORIAL


21, f,)cñostra¡ qüe A x B: -B x A,

Flc.(ó)

ElmódulodeAxB:Ces,4Asen,ysudirecciónysenr idosonraiesqueA,ByCfo¡manunried¡a derechas (Fig. (a)).

Elmódulo deB x A: Dest4 sen dy su di¡€cción y sentido son tales que B, A y D forman un triedna izquierdas (Fie. (,t)).

Por lo tanto D tiene el mismo modulo y dirección que C p€¡o 6 de scotido contrario, es d€ci¡, C - -f)osea,AxB:-BxA.

El produclo vectorial no goza de la propiedad conmutativa.

,/r2. Sicndo A x B - 0 y A y B no rulos, d€mostrar que A es paral€lo a B.

Si AxB:á8seo0u:0, sc t ierc, sn 0 :0 y 0:0 ' ó 180' .

. r23. Demostrar que AxBl+ A.Bi¡ : lA ' B¡.

lA xB 1+ A'B:: ,4, s€n Ú u ' + I ,44 cos Ú: ,a ' t ' : lA :" iB r¡

/l¡1. Hallar los produclos vectoriales siguientesl

' , . , lc) ¡x j = * . ( f ) jx j - 0

(ó) jxr , = ¡ (s) rx¡ ' r= -rx i - - j( . ) r t t = J (¡) (2 j )x(3h) - 6 jx l : 6 l(d) kxj = - jx l = - l ( i ) (3 i )x(-21) = -6lxk = 6J

re.¡ ! j -0 I 2 l l i -31{, -2t-3[ - -5r

,-/2s. Demorrar que A r (B+c) : A x B +A x c enr ..lcasoeó queAes perpe¡dicülar aBy támbiéncuando\-- lo sea a C.

Como A es perpendicular aB, A x B es un vectorperlendicular al plano fo.mado por A y B y cuyomódulo es,jA sen 90' : -lr, o s€a, el mód¡lo de ,{8.Esto equilale e mulriplic¿r el lsror B po¡ I y girar elvcclór resulrante u¡1 ¡¡8ulo de 90' hasta la posicióÍque se indic¡ en l¿ ñgura.

Análos¡menle, A t C es el vector que se obtienemL¡lliplicando C pof A y gi.ar el vcctor rcsult¿¡te unángulo d€ 90' has¡r l¿ polición indrcada en la figura.

r¡-


M úisa forma, A x (B + C) es el vccto¡ qr¡. s¿ oblicne al ñutr¡plicar

2t

B+CporAygir¿rcl

sonA^ByA C. se deducó,ú Éhante un ángulo dc 90o hast¿ la posición ind¡mda en ta figu.a.

CE A x (B + C) es la diagon¡l del p¡¡alelosrsmo cuyos la¡os¡.C:O:AxB+AxC,

D6.omporiendo B en sw compon€ntes, perpendicu-haA, Br, y paralclo ¿ A, B , se ticns, A: Br * 4,,

| ¡-ñ-rdo, alángulo fofli¿do por A y B,rl -a s€n r.k lo tanto, el módl¡lo de A x Br €s ,,{, sen ¿, es decir,a¡r q!¿ cl de A x B. lá dircc.ió. y scntido dc A x B,E Eñbién la mbm¡s qu6 l¿s de A . B, Por consi-t i ¡ ic ,AxBr:AxB.

brÉ¡r qw A x (B+c) :A x B +A x c en el

- !ú¡l c¡ qüe A, B y C no !€an coplaDários ni para-

h

A¡á:logar¡rente, 3i se descompo¡é C e¡ los v€ctorcslc y Cr paral:lo y F¡pendicul¿r, r€sp€c{iv¡ñcn@, a A,robt iene, A Cr:A C,

Tanbien,comoE+c = B¡+Bl+c,+cÍ -

(Br+ c!) + (Br, + cr , ) se dedK€,ax (81+ ct) = Ax(R+C)'

A¡or¿ bi¿n Br y Cr son vecior€s perp€ndiculares á A y, scaún el problema 25,

Áx (Br + Cr) = AxBr + ^xC1

^x(B+C) = AxB+Axc

$É cxprcs¡ qr¡€ d p¡odüc[o r€lorial goz¡ do la pmpidad disr¡ibutiva .6Fcro dc l¡ surha. Muhipt¡candopor- l ,y&niendoencuenlaclproblcma2l,(B+C)xA:BxA+CrA.Obsé.ve3€queenel pro-dl¡cto ve€torial h¿y quc te¡€r on cuent¿ €l ord.n d€ loq facto¡€s. Las propi€dad€s usu¿les del átgebra s€ pueden¿plicar ú¡icar¡dnie 3i s€ toman los vectores e¡ el orde¡ élablecido.

v- Si .ndo A =^1i+A2i+hk 9 = Bl + B.l I R¡, d€mostrar queA x B =

' t .

I I

AxB - (r1i +/21+,4t) x (Ar l +ArJ+B3t)

: l1tx(A1t+A2l+r3t) + ,lrt x (8it + Brj I A3t) + ,la¡ x (Ar l + B2j + 8oh)

- AlB¡xl + qB.lxl + Al¿€Lxr + A2Bút1+ A28dxi + A28.txÍ + &B\kxt + qB'ttx! + A!¡€txt

= (4,4 - A.B,)t + (h4- Ai.) t + UrB, - A2R!)k -

t j ¡

8t A2 B.

Dsdos a-2t-3J- l y B = r + 4J - 4, hal lar (d) A x B, (¿)BxA, (c)(A+B) x (A-B).

- a. l l l r| / t . ) l '(o\ a/8. (21-31:*t ^ ( r+4j-2t) = l2 -3 - l

| 4-2

= ' l - i : i l - , l i - l l . - I i

- : l = ,oi + sr + 11r 'if: ,

(2¡ - 3t - r) x (l + aJ - 2¡) = 2r x 0 + 4j - 3¡) - 3J x (t + 4j - 2r) - ¡ x (t + {., - 2¡)

= 2¡ x l + Etxt - 4 ix¡ - 3Jxt - r2 j xf + 6jxI - ¡xr - 4tx j + ztx r

= 0 + 8¡ + 4 ' + 3r_ 0 +61_J + 4i +0 = 10t+3J+l1l

A

Jp.

PRODUCTOS ESCATáR Y VECTOR'^¿

(¿) BxA = (r+{¡-2Dx,rr-rr-r , = l l

. , ¡ I4 -21

- , l -1 -11 -, l l :?l ' ' j . - l l . - ror-o-rr : .

- Conpa¡¿n.to oon (¿), A x ! - -B x A. ()¡6¿rr€r. qu. ato rquiy¡¡! ¿l @Éd¡ jsuirnt t Sid&EiDantc sc Ffmot¡¡.¡ür d doc Í!.¡r (fiIas o coluDD.t), .l dltct!¡üim!! canbi¡ d.-tf¡no.

(.) A+r : (21-3t:t) + ( l+4J-2t) : 3t +J-31A-l = (21-3t- t ) - ( t+{ l -2¡) = I - l j +¡

h¡c8o (A+B)x(A-B) = (31+J-3Dx(r-1+r) .

. - l I -31 - lS - ! l- ' l -z r l - ¡ l r r l *

: ax(a-B)+Bx(a-a)

t l¡ t

r l3I t

, ¡

-3

I

(A+a) x (Á-l)

A:l [ - r+2t,

= -201 - 6, - 24.

(¿)ax(Bx

r AxA- AxE + Bx^-Ar l . a-ArE-r tx l ! -0

= -2(r0t+¡r+rlD = -20r-8r-2r¡, apl icendo (a).

t¡i

(.)

B-2!+¡- t , y C=i-X+rt , h¡ I ¡ r (a) (AxB)xC,

I t I r(ó) ExC - l2 r -1

' \ t -2 2- 0 l -ü -5h = -5r-5¡.

!.rf clib¡ .mbigi¡od¡d...

/ 30. Dqr¡o.t¡¡¡ qu. cl áf!¡ dr un pñ¡lolotrá¡ro dc tados A

t¡!¡o (Axa)xc - (-t+tl+!t) x0-2t+2r) :

y¡ . . lA x¡1.

I rE¡o AXOxc) = (U- l+t)x(-5r-5D = l8 -¡ z l= l5 l+t iJ- l !ü.

t2^'" = l'. j,

¡l¡a r¡¡ p.nlclolr.Do - !E*L-- tAls, iB ¡: lA )''E- | '

= - l+?r+5¡.

= 2+r+1t-r l .I

I

l , r

0-5-5

Ad pu.* (A x B),x C # A x (E x C} rr.in.lral¡ ¡ar¡¡ir¡d d. t¡dülrr loraor..L c¡ A x¡

s,$¡h.A-+'¡

i! Obúrt- qpc d ¡ñ d.l trl¡ryüb qr tinc po.i h¡ lor Ay t . . i lml ¡ , / . I A x I l .

¡t¡¡l¡r .l ¡n &¡ triÁ¡&do q¡ro. v¿rtic.! lon 106 Fudor 4t, f, 4, 4¡¿ -t¡¡, 4f, ¿ f¡:,

rQ -(2- r)r + (-t - 3), + (r:-2)L - r -41- LIa' - (-¡ - l)¡ + (2 - 3) l'+ (3 ¡:2) I - l¡-l + r

i jl -4-r

-2 -t l

25

{,,}

PRODUCTOSESCALAR Y VECTORIAL

E For*Eá 3,O,

bA ui¡¡$¡lo = ¡lPe i PR I j l ( i -ar-r) ' ( -2r- j +k) l

| " : l -5r*r-ekt = r . ,G#;1¡F; <-sP - ¿lw.- ! l

briÉ. el veclo¡ unilario porp€ndicular al plano fo¡mado por A : 2i - 6j * 3k y B -

4l +3J -t.

-l ! B cs un vector perpc¡dicular al plano formado por A y B,

l i , k,axB =

l2 _6 -g

14 3 - l= 15i - 10j + 301¡

El vccior ünitario en la dirccción y sentido dc A x B s

+:+ $=1,?' .? 'la(Bt y/{15r+(-10r+(30)_

Fl *ctor üni.ario de la misma d¡É.c¡6n y sentido cont¡ario e$ (- 3l + 2i - 6t)/7

Cc'oDarar con cl ¡€óultrdo dcl problcrna 16.

Eir el teorerla de los s.nos en trián!¡¡lo plano.

S.a¡ ¡, b y c los lados del t¡i¡h8ülo ,8c que 6e rl-Éla en ¡a ñgurai cn ést¿s condiciones ¡ + b + c : 0.Hiplic¿rdo por ¡ x, b I, y c x, sucesivam€nt, s.

¡xb:bxc:cx¡

!¡ib,sé¡ C

abeiC:bcsfnA

v' ' j e'r'

Luep v1+V2+Vr+V4 -

C,Gidcrando un tctrecdro d. caras F,, F,, F,F., y seanr: Vb V& V. 106 wcto.e6 cuyoa ñódulos soll, rEspccüv.-Et¿, l¡3 áre¡s ds F¡, ¿, F¡, F¡, cüyas dircccion€s sonFp.{dicul¿rcs a dich¿s caras y de séntido haci¿ el .xt€'i. del tel¡aedro- Domootrar qu¿ Vr+Vr+V¡+V. = 0.

seSrtn .l proble¡úa 30, cl á¡!¡ dG u¡ triá¡8ulo dordosRyS$' / ' lRxS

Lo3 vectoros a¡ociados con cada un¿ d€ las c¿ras d.l

y¡. . r ¡ ,c, y"= lcxe, v4= á(c-a)x(!-A)

* [¡ 'r + ¡ 'c + c,¡ + tc-^)¡(B-^)]i [.r'r + r"c + c,aa * c'¡ - c'¡ - a'¡ + ¡,.¡] = ¡.

Esto r€lult&do !e puedr gÉncralizar s Dn poliedro c€r¡ado y, cn €l caso lfifito, a un¡ suporfcio cer¡ada

Atgün¿e v!co6, cono h.mcr visto c¡ cs& c¿!o, r.sulta conwnicnto asigna¡ dtu€cción y sentido a un ár€¿,€s dccir, consid6rar cor caráctcr vectoria¡ a un¿ supcrftie. Se pü€ne hablar, en ¿3aas condicionc. d.l Ect¿t&.a o v.cto¡ superfrcí.,

I{aih. cl n¡omcoto tlc üna fr¡cr¿a F Especto dc ün punto ¡.

EI rnaub ilel mo¡nento M d¿ una fi¡cr¿a F resp€cto dc un punro P 6s igual ¿l módülo de la fuerza F,

,{Fe D€ }

,a stst¡oTrcA '1,I rnul ur.rs s. fr"^ -¿

- ,É-++'

II

26 PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL

multiplicando po¡ la disiancia dcl pünto P r l¿ di¡Ect¡iz de F.Por Io tanto, Iláma¡üo r al v€ctor quo une P con cl origpd 0 deF. result¡,

M : ¡(r sen 0) : /Fsen € : lr x Í |

El sentido de r x F correspo¡d€ al avan@ de un dacacor-chos cn ¡ con el s€ntido alc ¡ot¡ción tal quc llcvc ¿ coincidirclprirncr vector con el sogundo por el ñenor de los ángulos queforn¿n (r€gla d.l triedro a dercchas que heños visto ¿nterio¡-fncnte), El momento de un veclof se rcpr€santa, €ntorces, porM:rxF.

6d. Uo sóli.to rlgido gir¡ alredédor de un €je que pasa por O con- u¡¿ volocidld angular @. D€mostr¿r qüe la v.locidad lineal y de

utr pr¡oto P del sólido cuyo vcctor d€ posición €s r vi€¡e daila porv : {, x r, siendo @ un vector de módulo o y orya direcció¡y s€ntido son ¡as &l ¡yanoc de !n sacacorchos que gira en elsentido del movimienro.

Como €l punto P dcscribe urla circunfe¡encia do radio .s€n ,, el ñódulo de la velocidad l¡leal v es @(¡ s¡ ,) : lo x.l.Pñ¡ co6igüie¡tc, v es pe.pcndicul¿r ¡ o y e r dc foúa quc r,o y r fo¡men uri tri€dro a d€r€ch¿s.

Lu€go v tienc €l misrno módulo, dirección y rcrtido queo x r, es clcci¡, i : o x r. El v€ctor o se ll¡ma rd¿.¡Z¿¡d ¿¡f!-

9\ F,' \ L--

\ - - -"

at)

PRODUCTO,S TRTPLFS.

../¡1. Oemostr¿r que cl valor absoluto ile A .(B x C) 6sigual al volu¡ber de u! pe¡alebptpcdo dc ¿rÉtasA,B y C.

Sca n cl vector unitario pcrpcndicüla. al pa¡a.lclosramo I con la misma dire¡ción y sentido q eB x C, y á la dislarci¡ del cxlrlmo de A al pa¡a-

Voluñ€n del par¿lelspípodo : (alrura ,) (ftla del par¿lclosr¿mo ¡): (A.n)( lB x C L): A'{ BxCl ' ¡ } - A (BxO

SiA,By cr|ofonna¡ün tncal¡o a dclr . lE, A.¡ < 0 yelvolurr loD: lA'(B x C) I .

' / ts. s¡ ¡-A,t*Aoln/ok, B -Blt+Bri+8.k, c =crt+caj +cak de¡nostrar qu€

A. (Bxc) =AL A, 4l81 8' 831c, c. c. l

I '

¡ lL A" ar l

c\ c2 cal

= (a¡ + A2! + /{,r\. k¿'c"-¡"c")r + (&c'-¡1c.), + (81c'-&c)ll

. 4lB2C.- ¡€C2t + A.@sCt- B/C.\ + ,tei¿$r- 82C!) =, t¡ le A¿lL 82 B.l

PRODUCTOS ESCATÁR Y VECTOR¡AL 27. i, rd{(2 -3j) . [ ( i + j -k)x(3i-k) ] .

[ - , I t , ' . ' , '2 -3 0l

r I - l l =4.¡ o -r l

7ü ' lq ' (

Olro nétodo- Haciendo oDereionos,

(21-3J). [ ix(31-t) + tx(3i- t ) - ]x(3r-r) l

--t-.D.f,ostrar que A (Bxc) = B.(cxA) = C.(AxB).

4arhl¡ r82¿¡ lc1 c ' cal

D.l Drobl€ma 18. s obliene

Del problefn¿ 38, a'(BxC) =

: (2r-3t . [ ¡ ixr - ix [ + 3jxt - jx¡ - 3¡xt + Ixr l= (21-3J).(0 + j - 3¡( - ¡ - 3 j + 0) t o,= (21-3t . ( - t -2J-3r) = (2)(-1) + (-3)(-2)+ (0)(-3) =

l}

.6.

Teni€ndo cn cuentaque €n un det€rminante si se p.ínut4n €ntn sl dos.llne¿! (filas o colun¡ad su valor

A1 A, 4lLB"B"l=-

", t" c"l

L B. B" lt , t i ^ .1cr c. cal

q c2 ct lo, a" a. l =B1 82 83

c1 c2 ca

B\ B, B'

ct c2 c.

B\ 82 8.

t -1='At ' ( ' r

4.

f \ .

I@

-7 Dcm6rrar qüe A. (B x C) = (AxB) C.

Del problcma zl0, A-( txC) = c.(AxD). (AxB).C

a.

En €l prodücto A (B x C) s pu€ne $¡primir el paiént.sis y oscribir A .B x C, ya que.tr esto caso no€xisa€ ambisii€dad ; e¡ ef€cto, l.s úni@s int ¡prclaciones poliblcs ion dc A . (B x C) y (A B) x C, p.roesta úlr¡nr¿ carec€ de 3crtido ya quc no €stá d€ñnido el pfoducto vcctoí5l de u¡ es.al¿r por u vcctor.

La igu¿ldad A (B x C):A xB C se p¡.¡.de exprcsar diciendo quo los productos es.al¡r y voctoris¡,en estas condiciones, son p€rmutables,

Dcmstra. que A.(A x C) = o-

Del probleña 41. A (A x C) = (A x A) 'C : 0.

Deñctmr qu€ la @ndición ¡ec€sária y suficbnte par¿ qr¡c los rctorEs A, B y C se3o coplan¡rios e3 quc

A B C=0.

Obs:¡ves€ que A B x C no puede 8ilnifi*r otÉ cosa qr¡e A (B x C).

Si A, B y C aod coplan¡rioa, cl volüñen dcl paraleleplpodo fomado por cllo6 6s igual ¿ ccro. Lucge,según el problema 37, A BxC=0.

R€cípro@ftente, si A'B x C : 0, el volum€|l del p¿ral€leplpcdo fodnado po¡ lo3 vccaolEs A, B y Ces ccro, y, por Io lanto, Ios v6cior$ son coplandios.

{"1. Sean r ' : ¡ ' i+¡ j+¿,k, r ¡ : ¡J+/¡ l +4k y r . : ¡J+rJ+:,k Ios wctoros d€ posic ión d€ los

2E PRODUCTOS ESCAT.AR Y VECIORTAL

luntos Pl¡t, /¡, z,), Pd¡!, ¡, zJ, y Plx,. ., ¡. :,). Hal'ar láecuación dcl pla¡o qüe pasa por A, & y &.

SuporSamos que P,, ¿ y ¡! Do esún ¡lineados, esdccir, que de¡ermi¡ra¡ un plano.

Sca r : ¡i +, + zt el veclo. do posición de unpünto senérico del plano- Considerddo los v€ctoro3PrP, : ¡ : - r , , PrPj : r j - . r y P,P : r - r , ,queson

Dcl problem¡ 43. P,P PrP' x PlP¡ '= O ó(.-¡J G,-r,) x (r¡-rr) -- o

En coordenádas rcctangulares,

l ( ' - . \ ) t + g-y1Jl + k-, i ) r l . [ ( ¡ , -"1) l Ll r [G3-'1)t + (73-rl), + ('s-'r)¡] =0

o bien, seeún el problema 18.

/V/r'rs,r Iraüd la €cuadón dol plano fonnado po¡ los punros pl2,-1, t), ¿:(3,2. -t) y pl-1,3,2).

i!I

r ,=zt- j+¡ , r r : l l + 2i- k, . ¡ : - i + l i - f 2k y. : - r i - l - . } i +2k.

I-os v¡itores ¡pt= r-rr. F2pr= r?-ri, pal'r = rs-t éstán siruados enol plano pedido,luego

( r - t t ) . ( r2-rr)x(rs- .1) = 0

[ ( , -2)r+(t ,+1)r+(z-r)¡ ] - [ i +3r-2r] x[-3i+ar+k] = o[( ' -2) l+( /+1) j+(¿-1)r ] . [ ¡u+5¡+13¡] = o

u(¡-2)11(7+t)+13(,-1) = o obien, U¡+t+13' = 30.

. , /4ó.Seana, lyctosvectoresdeposicióndctospü¡ros¿Oyrtnoal ine¿dos.D€mosrrarque¡xb,fbxc+cx¡es un voctor perp.trdiculs¡ al pl¿no fo.rnado por ¿ O y -R.

Llamernos I al voctor d! posición de un pünro 8enérico det pleo form¿do por P, O y R. lrs vcctoresr- ¡, b-¡ y c - ¡ son coplan¡rios y, según el problema 43.

(r-¡) (b-¡)x(c-r) = 0 obien. (r - . ) . ( ¡xh+txc+cx¡) .0.

Luego.xD+Dxc+cx¡ es pe¡pe¡dicular ¿ r-r y tañbién alp'ano formado por¿ O yR-, i .

47. Demosrra. que: (a) Ax(BxC) = B(a.c)-c(A.B), (¿) (AxB)xc =B{A.c)-A(B.c),

(¿) Se¿n a -¡1t +,.{ , t +, t . ¡ , E=Alt+B2r+&¡. c=Crl+C,¡+car.

Sc t icn€ Ax(Bxc) . (At l+A2t+út) x

I

r i r lBr B, 4l

- (A!t+A2t+&r,xt [B2ca-&c2]t + l4c1-Brc. l t + lBlc2-82cLlt )

PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL 29

r r* lLA"A"l

4r"-r"r, ,"",- u,r" ",""- ",",1

T¡Dbién, B(A. c) -

(A2B'C2-AzB2C\-/9¡,3C\ +'l3Alca)l I (4B2Ca- &&Cr- laBrc.+ AL82C!)t+ (A$.Cr - A,B{a- A2a2ca + A2B.C2>\

c{Á. B)(alr + 8r, + 8s¡) (,.{icr + l,c, +

^!C., - (CL\ + Cá + cartúlal+ A2B2+ &h)(A2BLCe+!l3B$o-,14C$2- &C$) | + (B2trCr+ B214Cs-C2trB\- AhBslt

+ t4Agr+ hA2C,- CaAl8r -CaA2B,)h

: r taxB)xc = -cx (^xB) = - {A(c, E) - B(c. A)} = B(^.c)-A(a.c) habiendo sut i ru ido A,Bs C de (¿) por C, A y B r€spectivarE¡f€.

Obsérves€ qu6 A x € x C) r¿ (A x B) x C, es d.cir, cl producto rcctorial no go2a d. la propiedad3--ciativ¿ psra todos los v€ctor$, A, B, C'

D}-:r-..r¡ar qu. (AtB)'(cxD) = (A'c)(B D) - (a'D)(B c).

u€l probleña 41, X.(CxD): (xxc).D. S€a X = AxB¡ luego

(^xB).(cxD) {(AxB)xc}. D = {a( ,c)-a(B.c)} ' t )

(A.c) (8. D) - (^. D)(B.C). s€gún ol p¡obtema 47á).

¡ l l loostrar que: Ax(BxC) + Bx(CxA) + cx(AxB) = 0.

Delp¡oblern¿ 47(¿), Ax(Dxc) = B(^.c)-c(A.B)

Bx(cxA) : e(a,A) - A(B.c)

Cx(axB) - A(C.B) - B(C.A)soa¡do mi€mbro a ¡r¡iérnbm se obtilnc el tesutiado D.¡ido

Desostra( que: (AxB) x(cxD) = B(A.cxD) - A(B.cxD) = C(A.BxD) - D(A.Bxc).

Dcl pmbL¡n¡ 41¿), Xx(CxD) : C(¡.r¡) - D(X.c). S.¡ X=AXB; entonoos,

(axB)x(cxD) = c(a )( B. D) - D(A x B. c)

c(a. B xn) - D(4. a xc)

Dcl problems 47(¿), (AxB) xY = A(4.!)-A(B.y). S€¿ Y=cxDi *roo"*, / .' (Ax!) x ¿Cxrr) = B(A.CXD)-A(B.Cxn)

. 3€a PC¡ ün triáItsub aeféfico o¡yoa haLos ?, {, . sor .rco6 ab clrculo má¡i¡no. Dcdodt¡ar q¡¡o

seno - s.n ¡RsenP se¡ I saú¡ t

SupoDg¿mos quc la clfor¿ €s d. r¡dio unid¡d, y scaí A, B y C los vccloEs unit¿¡ios traz¡do! d€sdc olc.Dtro O de l¿ $f6ra a lo¡ pu¡tos P, 0 y -R, Blpactivam€nte. Del problem¡ 50,

Q) (A x B) x (A x c) - (4.! x C)A

30 PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL

Elvóctor ünitario p€rpendicular a A x ByA x CesA,por lo quc de (-l) se obliene

(2t s¿o. s€¡q s€nP A - (A.B x C)A

(3) sen I sen4 ser 'P = A.B x c

Por pcrmutáción clctica de p. q, 4 P, Q, R y A,B, C se

(4)(J)

Coño sesundos miemb¡os de (3), (4) y (J) son isualcs(problema 4O),

se¡ ¡r sEng s¿oP:san, scn r senO:sen4 s¿n p scn.¡R

scnpson¡scno: B CxAsebq scnp san¡ : C'A x B

Eat, s. el teor.na d. lot s.¿or de l¡ trigonomctria 6férica.

. : '52. Dcfnoslra¡ quc: (AxB).(BrC)x(CxA) - (A BxCf.

Del probl€na 4?(¿), Xr(cxA) = c(X.A) - A(x.c). Sc¿¡ X=Bxc; entonces,

-/s3. Dados ros v€{lores "' ifi. u'- Y c'=

:1

, dof¡ostfa¡ quc si a' bx c I 0 ,I

lonP seno sen A

(Exc)x(cxA) = c(B ic. A) - A(BxC.C)= c(A-axc) - a(D.cxc) = c(^.Bxc)

(AxB).(RxC) x (CxA) = (AXB).C(A.BxC)= (A: B. c)(A.B x c) = (e.sxC)2

(a¡ a ' .a = b ' .b - c ' .c = l ,(ú) erb = a ' .c = 0, d.¡ = l .c - o, c ' .a =

(c) s i ¿.bxc = ¿GntoncesC. dx c ' = 1/ I / ,

(d) a', b', y c' no son coplana¡ios si !, b, y c no lo son.

. . l r r . ¿.bxc

bxc b.brc b,b.c(0) ¡ .D = o.r

Los otros $lllados se dcducen de forma análoga. También s€ pueden hallar obs¿rvando,ejemplo, que ¡' tienc la misma dir@ción y sentido que b x c y qu€, por lo tanto, debe ser pcrpendic'¡a b y a c, con lo cual , r ' .ü : 0 y ¡"c : o.

De (¿) y (á) se innere qu€ los sistems de-v€ctores ¡' b, c y ¡', b', c' son r€cíprocos. (Problepropuestos 104 y 106.)

PRODUCTOSESCAIAR Y VECTORIA!

6{). Halla.loscosnos directores de la recra quc pasa por tos pu nros (1, 2, ,--4)

3t

rtr.go J. ú' c'

(a.bxc), v2 7

(a x ! ) . (bx c)x(c x ¡)--7i -

= v"

= v.

= I

seeún el problcrna 52.

rdr Del probi€ma 43, si a, b y c no son coDtcon iocuar ¡ ' , b ' y c ' no *"

"oot- i ; :1 ' . ' " "

' o x c É o Lucsodc( ' )$deduccque¡"b'xc '+0

tr l>moslrar quc todo vector r se pucde exprcsa. en función de los vectofes ¡€ciprocos d€t p¡oblema j3 en Io

r = (r .d)¡+ (r .b,)b + c.C)c.

Del p¡obterna 5 B(a.cxD)_a(B.cxD) = C(r .Bx¡r)_D(a.sxc)

coronce\. D = !18-{g' - B(^ c\ D . crA B, D

4.BrC { .8.C A.B^c

Sea A=¡, D=b, c=c y D=r. En es|¿s condic iones,r 'b,c i . ¡ r l t

. . ¡ ¡c ¡ .b¡ ._

rx b\ - . . , " , . r . " ' " , ¡ . (a. ; .crb_ r . , " . ¡ ; , .

- ( r .d)¿ . r .ú,b + a.d 'c i

- .4, ' . '7 -: \ " ) 's

¡ ! . \ j

:\:/ Problemas propue;togi t' / ' ( r^, )

l . fa l lar i r ) ¡ . { t+ j ) . , (h1¡ -2k).{¡ r lL) . ( . , (2t_ ¡r r ( , . (3t+2i k)- \ :

, " : ; : ' , '?_-, : ; : :4¡_4_4k,h¿'hf : ( " ,

(at ^

8. \b A. -t.t

B, \dt ,o - ," .- ,1, ,r^ - ",.,n

. r"r. b ,sot.

9a t0 )bl \/ t4 t9r'! krt \/ tn k, _ A U !

t' l ';l '; 'g*'yo'-'o"BiJl1l;;¡' r-u* v B:4r ri+k, tbrc''4i-2i+4k v D=3/:6t 2t^._. / , , / ' " ' - - "^

. . . " - r . - ' , \,YLPa]acsévaloresd.¿sonA,dt-2j lkyB=.2di +¿j-ai pc.rr€n. l icura.es? So!. a 2,_l

59, H¿lla.r los á nsu¡os. agL¡dos forrudos por ta @ta que uñe los pu¡rc { t. - 3, 2) y (l, j,l)con tos ejes cooFs¿/. arc c6 2l : t . arc cos 2/1. a.ccos Ul ó 4a t2, 4A t2 .70 J¿

vv

2,-4) 'J ( \ ,Sol. 217,317. -617 ó -zf i , -317,6t7

ó1. Dos l¿dos de ün r . idnsulo son tos vectores A l i+61--2k, y B .4t_j i3k. Hal tar los ángutos dcttriá¡au¡o. So/. arc c'x 7tl-3, ü. cos \/ ir/15,90., o bi€n, 36.4,, 51.56,, m,

62. Las diasonales dc un paratelosramo son A:l¡ o¡-¡,, U:t, t- lj -ót. Demosrr¿r que drcho para-I€log.año es u¡ rornbo y h¿ilar süs ánsulo. y Ia toñgrrud d( \u\ trdos:3ol , 5{ i12, arc cos 2l l75, 180.-arccos23/75. o bien, 4,33, 72.8, . 107' j2,

----

-1-

12 PRODUCÍOS ESCALAR Y VECTORIAL' ,(;..*dg Hallar Ia p¡oyección dcl v.¿tor 2i - 3j + 6I sobr€ el v€ctor i + 2i +-,2k. Sot.8l3

f4.¡ Hall¿r la proy€cción dal v€ctor 4i - 3J + k sobr€ l. rc¡ia que p¿sa po. los puntos (2, 3, -1) y (-2, -4, 3,.I S¿¿. t

rF: . ,s iA:4i-J+3kyB:-21+l-2k,hal larc lv€ctoruni lar iop€rpendicular¡AyB.. \ f¿/. +( i 2j*2ky3

óó. Hallar el ánsulo asudo formado por dos diagonalca dc un cubo. Sol. arc cos l/3, o bi€n, ?o'32'

ó7. Hallar el ve.lor unita.io paralolo al plsno ¡/ y porpcndicula. al vector 4i 3¡ + k. s¿/. + (3i + 4j)/5

óE. Demost.ar qu€ A : (2i - 2l + Xy3, B : (t .f 2J + 2h)/3 y C : (2i t- j 2k)/3 son vectores unilariosmutuamente !€.pendiculares.

ó9. Halla. el rabajo realizado para despl¿zer un cuorpo a lo larso de la ¡€cta que pasa por (3, 2, -1) y (2, - I , 4)en el campo de fuerzas dado por F : 4l - 3l + 2k. S¿/. 15

70. S€a F un canpo de fuen¡s conslanie. Demost¡ar quc .l trabajo realirado para desplazar un cuerpo a lo l¿rgode un poligoño cerado en .stc campo cs c¿ro.

71. Demoska. que u¡ ángulo inscrilo €n una scmicúcunfcroncia cs recto.

72. s€a ,racD un paralelosrarno. Dcmorrrar quc 71, + a7, co, DA, AC" , BD'.

73, Siendo,arCD un cuadri¡átero cu¿lquiera y ¡ y O los punlos nedios de sus diagonales, demostrar quo

m'-BV-éD'+Di,-Ac I aD' - 4Pe,

Esto es una gprEmlización dcl problem¿ anterior.

7a. (a) Halla. l. €c¡nción ve.torial del plano pcrpcñdicular a un velor dado A y que dista p unidades del o.igen.(r) Epresar la ecuación d€ (¿) cn coordcnad¡s r€clangula6.sol. (¿) r'¡ -p. si€ndo n = A/,,1I \bl Aé + 4, I Ar Ap

?5. Scan rr y r' v€ctores ünnarios dcl plano ¡/ qüc forman los ángxllos o y t con €l sdn¡ej€ ¡ p6itivo-'(¿) Der¡roslrar que.¡ :cosol+sln¿1, r t =co6r i +scn/ j .(ó) A pani¡ d€ .1 . rr, r€ducn hs fórmulas trigononélicas

cos(q-l) : cos ocos, + s.n 4 sén p, cG(q + t) : cos d cos t wn d sen É

?ó. Simdo r el vecto. dc pos'.ión dc un punto d¿do (¡,,r,, r,), y r €l vector de posición dé un pbto cualqüiera(¡ , r , r ) , hal larel lusar soornétr ico d. ¡ s i (a) 1r-¡1-3, (ó)G-a).a:0. (c)c-a) r :0.so¿ (a) Esfera, centro €n (¡,, t¡, r,) y radio 3.

(b) Plano perpendicular a e quc pasa por su lxtremo.(c) Esfera de ceÍt.o cn (rtl2, r'12,,'12) y .adio '¿t/V +-yi i )i, o s€a, L¡na €srera de diámet.o (¿).

7. Sio¡do A:3i I i + 2I y B: i -2 j -4t los v€ctor€s de posic ión de los puntos?y O resp€ct¡vamente:(a) HaUa¡ l¿ ecuación dcl plano que rrasa po¡ O y €s porpendicular

^ l^ re.ta PQ.

(ó) ¿Cuál as la disrancia del punto (-1, l, l) al plano?so/. (¿) (r B) (A-B):0, o bien, 2t +3t +6,: -JEt (b) 5

78. Efegtuar los productos indicados:pl zi Bi +xt,tb.( i+2,r .k,(c)(2t-4k).(+2t,(d){4t+l-2k)\(3i+k),(¿)(2i+j-r)x{l i 2j+4r)So1. (¿) 8i ót. (D 2l-1. (c) 8t-41

- 4k. t¿' ¡ . loi - l l . (er 2i - l l l -7kso1. (¿) 8i 6k, ( ] ¡ t 2t-1, (c)8t-4j+4k, ( l ) i -10j-3k, (e)2i-111-7k

79.SiA:3i- j -2kyB:21+31+k,ha¡ la l (o) lAxBl, (¿) (A+28)x(2A -B), ( . ) l (A+B):(A B).s¿/. r¿r y '1e5. ró) -2Jl -351-55k, ( . )2v195

E0.SiA- i -2 j - lk, B:21 +l-k y C- i+3j-2k, hal lar :(¿)L(AxB)xC, ( . ) A.(B x C), ( . ) (A xB) x(BxC)(¿) lA : (B x C) , (d) (a x B).C, ( /) (A x B)(B.c)sor. (a) 5 \/ 26, (ó) 3 1/ lO, (c) -m, Q, -20, (¿) -40i - 20j + 2Ot, (/) 35i - 35i + 35k

Sl.Demosk¡rque! isev.¡ iñcánsimuháncamcntclascondic ion.s:(¿)A.B:A.Cy(ó)AxB-AxC,.r-. siendo At 0, se 1icn. qu. B = C, pcro quc si solo s cumpl€ una de eltas, e¡.o¡cs B + C nec€sariamenc.

' ! | -El Hal lar el ár€a del paral . losramo cuyas diasonales son A:3i +J-2k y B: i -3j + 4k. Sol.5\ , /3

PRODUCTOS ESCA¡.AR Y VECTORTAL

l¡-Ehcidad anrular de un sólido rls¡do qu€ giB-'¿-lrcddor d€ un e.¡€ fii, ü€ne dada po¡ o : 4i + , _ 2k.Éd- la velocid.d llne¡l de un pünto p dcl sót¡do cuyo \4.tor dé poi¡cion nspccro ¿e un punro'dc¡ cF*r_3i _r . s¿¿ 5i Bt_t4r.

t - : tq a_l l , I ,J¿ . lh¡ i6ca¡(A. l .B).(B+c) x(C+A). so¿ 2A Bxc | ' - i , r r ih¡ i6ca¡(A.r .B).(B+c) x(c+A). so¿ 2A Bx. l ' - ' i , ' l I I

'

la. ¡ A.b a.ol 1 i , - i : )>* , -hGuar quc (^.8¡c)r¡ .b\c) . lB.¡ B.b u.c l i í - , , r I

lc . . c.r c.ol l , í _ j IÉi¡.¡_ef volume¡ dcr paBlefepipedo cuyas aristas son A = zt-\ +&,cj.+ f,i, c: ¡i-l r:r,

ffir.l ¡¡ta ó.f ¡riángulo cuyos vérricca son lospunros(3, -1,2),(1, *1, _3) y (4, _3,.D. Sot.U2,J¡6s

t : l - ¡ -3kyB: i -2 j+k,hal la¡u¡v€ctordcmóduto5p€rpendicular¿losvecroresAyB.

rd ==f i + i + k¡

fei*lo en cuenta cl problema 75, d.dlcn Ia fómülas

scn {d - }3) : sen d cos, - cos o s€n r, scn (a + r) : s€n d cos p + cos d s€n p

L ¡dD la fuerz¿ F : 3t + 2i -4k 6n el punro (1, -t, 2), Hatlar el mom€nro de F respecto d.t punro)r¡ l .J) . Sot.2i-7i -2k

t¡¿ 7

bdrA-BxC:0,demostrarquc,o(a)A,ByCaoncoplanar iosnosicndocol in€alesdosdocl los,¡ .úrdosdelosvcctoresA,ByCsoncol i ¡eales,o(.) lo3!rcsv.croresA,ByCaoncol ineales.

&ta¡ la cor3t8nt€ ¿ de forma gue los wcro.es 2¡ i*k, i *2i- j ly 3l+aj +5k s€¿n copEnanos.5.¿ ¿ --4

f.¡ lrciorcsdc posiciór, con ¡especto ¡l orisen, d6tospunt6¿ O y,Rsonr, : 3t -21_k,., : i + 3! +4r! .' : 2¡ + J - 2k, resp€ctivam€nt!. Ha¡l¡¡ la distancia de P sl pla¡o OOa. So¡. 3

t¡Irar la distancia desde el ponto (6, --4,4) ¿ la re.ta que pas& por (2,I,2) y (3, -1.4), Sot 3

lLd6 fos pünlos .(2, ¡,3), OU,2,t), R(-1. -\ -2) y S(t, ---4,0), balta¡ la nfnim¡ dista¡cia ent¡! ta! r.ctas,!y ¡S. Sol, \/2

Ihlostfa¡ que las alturas de un l¡iángüio sr coTran eD ün p\ñto (ortoc.ntrc).

D.dost¡ar quo le3 medialrices de ün triÁngulo se corta¡ cn un punto (clf./r¡c¿rrf¿).

rñostrar que (A x B).(c x D) +(B x c).(A x D) + (C x A).(B x D) = 0.

b POn u¡ ar¡Ángulo €sféíco cuyos ,ados ¿ 4 . son a.cos dc circuto máxi¡Ío. Dcducir €l te¡)En¡ dcl coscooé 106 iriársulos €sféricos,

cosp = cos 4cos.- sen 4 san r cosP

&r Frñrut¿ción clclica d€ las lelras. so d€ducen lórnulas snáloga\ para ms 4 y cos r.[¡'d: ln¡erprcter ¡os dos miepbros de Ia idcDtidad (A x B) .(A x c) : (B .at(A.A) -(A . c)(B ,A).1

,

t4 PRODUCTOS ESCALAR Y \'ECTORIA!

102. Hallar ün sislcfna de rlctores r€ciprocos ¿l foÍnado por 2t+3J-t, l-l-2ü, -t+4+21,

s¿¿ ír ' i r . - i t ' r - i r , - : r+r-ár

tor. si ¡ '= ".0,".!!1,

r-.::ro* , J=;l*, dcnrosúa¡ que

b xc c ' . f C' ;'

=

" ' . r ' *"

o=¡o1d' "

- " ' .b!" '

104. Siendo ., b, c, y r', b', c', tal€s $to

a' . ¡=b1b=c"c=l

¡ ' . ¡ = r ' .c = D' . ¡ . b1c = c1¡ = c1b = 0

demosÍa¡ quc s€ t€riñ@:

¡ , - bxc r ,= . l ! , " ,= " Io¡ . brc a.Dxc

105. Demostra¡ quc el único s¡stema d. vectores que cs Éiproco de sl mismo €s cl fo.mado por locunitar¡os i,i, k,

106. DeEGtrar quo solo ¿xiste un sist€r¡a dc !€ctores rcclprcco dc uno dado de !€ctoÑs ¡o coplanarios ni

ür

Capírulo 3

aR=n(¿+^¿)-n(r)jx _ R(&+A¿) - R(¿)

^r Ae

li es el i¡cr€mento de la variable ü, como.D la fisur¿ adjunta.

&F.¿ca del veotor R(¡r) respecto del escalar r se define por

dü ar-o a¿d limit€.

¡tR; dependf tanbién de z, se puede halla¡ de forma análoga, su derivada rcspecto de ,r

." ,.nr"r"nr" W. ffi. enálogam€nte se pue¿len definir las deriva¿las d€ orden sr¡perior.

gItI--rS EN EL ESPACIO. Si, en particular, R(r) es el vector de posición (r) qüe une el odgsri5¡.ma de coorde¡adas co¡ un pu¡to (jr, L z), cualquiera,

r(¿) =,(¿) i + y lu) i + z<Lj t^

{c) establece la relación ft¡ncional de n, .}, y z respecto de r.

Lj .l lugar geométrjco de su €xlr€mo es una

Diferencioción vectoriol

¡DA DE UN VECTOR. Sea Rlr) unlE i6 de la var iable e,cálar u: e¡ esLas co!-

R(! +A¿) - R(¿)A¿

@odo valores a tl. se obtiene distintos valor€s

'=r(ú), y=y(uJ, .=z(t)

¿¡ r(u i ¿u\ - ¡(u\conorrones 7;

É la misma dhección y sentido que /r, como

en la figllra adjunta. Si €-lr" "r ;1 f

f,- *"

", un u."to,

"n la dir€cción de la tangente

,:eaa en el punto (.!, ), z) y viene dado por

d\ t l¿

du du' du" ¡ tú -

'c .aso de que la variable ¿ sea el trempo r, -4

Ia wlocidad inslanfánea \ con la que el ext¡emo de r describ€ la curva en cuestión. Análo-

, * :

# * * **acün insta tátaa L to taryo de di€ha curv¡.

d €rpdc¡o cuyas ecuaciones paramétricas son

r¿) i : i

3óDIFERENCiACION VECTORIAL

CONTINUIDAD yDERTVABILTDAD. Una función escalar d(r) es cr,¡¡?,ra en ¿ sj: é(r), o bien, si para todo número positivo < existe otro ó de torma que

. ló(u+¿u)-ó ( , ) l<€ para todo l / r <ó.Una función \e.ror iat Rl l , r . R,tut i . R¿tu.t¡ | Rswtk c\ ,anr ind en, ¡ i to son tas rre\ I(scaj¡¡es /(r{,). Rf,) y ,c.rrl, o ¡¡en, ij lin

, ;ñr, . é- , . . : -_, . , . . , -o xtu + ¿ut:R(u) Dicho ge otra manera, R(r)para lodo n¡ imero porir j ,o , er isre olro ¿ de forma que

I R(r + /r) - R(']) i < . para todo 1lu <o.

:ffi nltüifi if"r,"j,*r*É,l'.mff :,"r,:fi í**"?rk::llkitlLlx,gHlt."s'.nft j, TORMULAS DE DIRJVACIO\, Sean a- B v. n,ñ. i^-- . .^^.^_]- , , . .

. ) @ u¿ ru¡cron e\cardr der i \abte de u A' B v c fün\ iones \ecror iales derivables (

ÉD estas condicion€s, *"'ulütcs oenvabl€s de un escall

lt . f ,or" , = df

-dB

2. l (^ *r - o. f '#.", .9ro," , = n,^8.f""

-*n,+ l ¡or'¡= ¿ d-4

s. f - re.u '"r = o.u,#. o.#"" - f . r ""

¿A

siexistc este ljmite . Anátogarne¡te,

= l im

¡

=Uma! 'o

A(r, T +Ly, z l * A(. ,y,2)

Al¡ , i , z +A¡) - A(¡ .y.¡)

o t{n"1r""¡¡ = e '1n, f r *a"¡ j } ,c¡ * #,ru".rCon respeclo al orden de los t¡ctores, hay que rener en cuenta que el producro vectorial no es conm

DERIVAXIAS PARCIALIS Df I]N V¡

lli,lffi; ';ü;;',;:: 'l::: í"'":i ; 'Tl:,.i:: ¿ ::i:'J:',1ffi1i..; *t.:,li: l,jl

o';1, 1q!'5¡¡i1¿'

AAa).Aaé;

tim ó(u

so' las derivadas parciares de A rcspeclo dc , y de :, respectivanenr€, siempre que los ¡imires exhtan_

DIFERENCIACION YECTORTAL

d€ continuided y dcrivabilidad de funciones de una varieble se pued€n generalü¡ró. dos o más variables. Por cjcmplo, una d(¡, /) as conlinua en un punto (.x,/) !i

.ú¡-_r - -l,v) : C(¡, J,), o bicn, si par¡ todo núrie¡o positivo . existc otfo ó dc forma

t\! - ¿t\-ó(x,r\ l < r para rodo l lx | <6 y l /¡ l< ó. Análogas deñniciones s€Gn cl caso dc funciones vectorial€s.

&fu¡oones de dos o más varieblcs el t¿rmino deriv¿ól¿ indicr qu. ls función ticne primems

de orden sup.rior 6e dc6¡lcn dc la misme form¡ quc cn cl cÁlculo difercncial ordin¡.io.

a'A a.aA. a '?Aoz' ot ot of '

a'A ¿.aa- a 'Aot o, ot of ot ot

a .aa- aza a .¿a.of oy

a . a^. a"^ _ a.!1t-,ot o2' ot o2'

cs ¡ndifcrcntc.parcisl€s continuss de s€gundo orden se vcriñca ¡;"

= d-*4- cs dcc¡r, el ordcn

d. la derivación paro¡al de vectorcs son análogas a las dcl élculo diferenci¡l ordinerio pqr¡llcalar€s. Por lo üán(o. 6¡ A y B soÍ funcioncs dc x. /, :. se lienc

- r r=,r .F*S.¡

. " r=^ '$-$ '"

- 3{3t , r . ¡ r } $.¡ l

. -s+.s.

i, zt l : , i t , i :¿'t '\)'a ,- aB

aB ?a aaAA

{r|.B)

_ ̂ .9.

¿¡-B).A.dA+dA.B

Ja¡B)-AxdB+¿AxB

DE UN VECTOR. Las fórmulas dc difcrcnciac¡ón dc un vcclor 3on aráloras a la3difcrcncbl ordinario. Por ejemplo,

^=AJ+Azl + 41, enlonces dA= dA¡+¿A;l+d' l . l

r A= A(¡,y,,), sc ricDc dA - *¿' - #¿ , !a,, "t".

DI¡ERENChI. Constituye el cstudio de l¡s cuías y supcrfici4 cn el cap¿cio.

curva cn el espacio dcñnida por la función (t¡)¡ seerln henros visro. $ es un veclor m l¡ di.

& la tang€nte a c. Considerando ¡l escalsr ¿ como l¡ longilüd dc arco r medida a partir da un

de C de la curva $ es un vecto¡ tanglnte a cy qua llamarlmos T coño sc obs.fta a¡ la ñgur¡,¿lu -

:+'

3E DTFSRENCIACION VECTORIAL

La v¿riacióD d. T respecto de r es una medida da la,f¡

cürv¡tu¡a de C y vGne dsd¿ por +. k direcriórt

de .=

en un prunto cu¡iquicra de C ec l¿ correspon-

dienta a la trofmal ¿ la cuwa en dicho punto (Pro-bleme 9). Et vcctor ünitario N er la dirección dc lanonnal se llama ¡o¡mal princípal

^ ta c\rt.la. Asl p\cs,

; - ,(\. siendo r la .r¡r¿rr¿rd de C en el punb dado.

El ¡rclproco de ls olrlvaturo, e : llr sellÁúta. rudío de

- L6s fó¡mulat de heñetseftet qüe rclacionan los vecto¡És T, N y B con sus dcrivadas,

güre¡@l:¿T¿"

= rB - }(T, = -7N

EI vccto¡ unitario B definido por cl producto vccto¡ial B : T x N, perpendiculsr alpor f y N s€ llam¡ óü¿D¡a, a la cuna. Los vectores T, N; B to¡maD ur riedro triñectánguloen cu¡lqui€r punto de C. Este sistemÁ dc coordenad¿s recibe el nomb¡e de triedrc itlttlnseco enComo a medid¿ que varla r el sist€ma s€ desplaza, s€ le co oce oon la denoÍun ci6n de ttiedro r

dB;;

dN

eD do¡de €l esc¡la¡ r se ll,ama to¡r¡idr. El r€cíproc¡ dc l¡ tonión o : l/r es el rudia d. torsibr.

Bl plarc osculadot E luna gurva en un punto ¡ $ el que contien€ a la tangente y ¡ I¿en P. El plano ñotmal es el que pasa po¡ P y es perpendicular sl plaro tsngente. El p/droque pasA por P y €s Derp€trdicula¡ a Ia rormsl principal.

MECAMCA. El estudio del movimiento de uDa pa.tlcula a lo l¿rgo de una cürvo es un¿mecárica que sc denomi¡s chertuútica y e c¡ryo cstudio se ¡plican ¿lgonos conccptos defereüc¡I.

l.¿, dinóñica c6la. Darle de la mecánica oue estudia las fuerzas aolic¿das ¿ los ¡ólid<¡sen dovimi€nto. L¿ ley fu¡daür€ntal da la !trecáúic¡ es debids a Newton y exprcsa que laactúa sobrc üD sólido de m¿s¿ r¡, desplszándolo s u¡r¿ velocid¿d v¿¡i¡b¡c v, üene dad¿ por

r = fro"tricndo ,,f el lmpctu o cantidad de movimie o del solido. Si m cs constant , l¡ fórmul¿

a E - m ;; - bt , siendo r Ia ac¡leració¡ del sólido.

t

I ¡ &' h ' dz ' Pf ¡ lA l l t i r l

E - &" l ; ' . 7;^ '

DIFERENCTACION VECIORTAL

Problemae resueltos

-<¡) l+r,(") j+r(z)ky¡, , ,yzfüncionesd€. iv¿bl€sdeun.scal¿r¡rdemostrarqu€f - ) ' ) ' Pf¡

"A ! ! t i r l \ ( 'N'

[ .(¿ +4")t +r( '¡ +4")t +,G +Aü)r]- [ , (ul t +rt , l l + ¿tul l ]

t -

s.n¿l + cosr¡ + r f , r rakr lo¡ f ,

. jt*'4,- ,ar"*or * ,3r,rr = "*, r

rdBl

- s.a. , +kJ

= f , t f f t = j t -o, - * i t .o,) I*r1t t t . : - .on. | - cosr,

= /G;'Í r-¿*"')\ tL\" = '5

=l= /é,- ' rT- i* , j . t

it-u

- L ¡{' +A{ - R(!)

- ¡ [.fu +A"lr * r(u

- h r(u.A¡.)-¡(¡ ) t+ r(¡+41) - / (¿){ . . t ¡+A,t - ¡ t ¡1,É:-* A. A" ' -

- - - - -^¡- "

& ¿a .lz-Ét + t; t + 7;r

ot n&, at 1f f | . ot

[ . i , 'Q""!:fi¡¡l¿ se mücw a to largo de rDa cuna cuys3 ccuacionca pamméFic¡s son x : e-t, j = 2 cos 3t,Lr 3r. siendo t cl ti€mDo.h¡ su velocidad y sr ac.le.ación cn fuició¡ dcl ticmpo (lcy.ic ¡,€locidad€s y ¡ccL.¿cion s).trü¡ cl ¡nódülo de la velocid¿d y de ¡s ac€leración cn el ifftenio r : 0.

g iclor d€ posició¡ r de l. partlcula .3 r : ¡l + rl + rx -

.il + 2cos 3r¡ + 2 !6n 3rt,¿r

L! v€locidad cs r 7 i

= +{-ólen3/ l + 6cos3tt

! h a.¿lención . = d¿i=r- , i -18cos3r¡-18sc¡ l r l ¡

¿. ,tt¿hcl i rsra¡te¡:0. i - - l | 6Yyfr ¡ -18j . Por Io ranro,

Írffufo do fa r€focidad cn t = O,1/ (-rr, + @, : \/t

'nódulo d€ la ac€le¡ación en ¡ : 0, Viit +Fl8t: V-32r

¡ panicüfa se m¡¡.rc ¿ lo I¿rgo dé la curv¿ x:2r', r: t -U, z:3, - 5, tundo r el tidrpo. HalI¡¡¡úponcriLs d€ la rblocidad y dc la acclcració¡ en cl instúte t - I y €n la dir€cción l-=ji#*ii.:.

40 DIFERENCIACION VECTORIAL

= L = ! ¡2r ,1 + (2-4t \ ! r 1rr -5)rJd¿ d¿

= 4¡ l+(2r-4)J+3t = 4l-2J +3¡. atr=1.

El t¡cctor unitario €n la dir€cción t - 3J + 2t "s

:J..::]]].& =y'qt¡2+q-t¡2+12¡2

,zl-uego la componentc d€ Ia velocidad on la dirección dada es

Velocidad

(4t-a +3¡) ' ( i - 3J +2t) (4)(1) + (-2)(-3) + (3)(2)---_-=-- = ----- _-y'14 r'A

) ' - ¿ ¿r ¿.

Aceteración =

-

= at?l = *Lr¿l+(2t-{)J+3l l = 4l+2t- d.z d. 'dt d,

./La componcnte de Ia acel€ración en la dirccción d¿da cs({t + 2l + ot).o - 3J + 2t) (4)(l) + (2)(-3) + (0)(2)

fn /-tt vt4

Las ecuaciones para¡tétricas de una curva C son ¡ : ¡(¡), y : Ásr, z: z(s), siendo t la longitudde C medida d€sde un punto 6jo de €lla, Llamando r al vector d€ posición de un punto gpnérico d€ C,trar quc at/d.r es un vcctor unitario tangpnte a C,

¿¿¿ú<dvdzEl vector f

: ; ( t i +.y i + zk): ; l + +t+ [ kes tangente a la curva ¡ : d¡) ,y:y(¡) ,

z :4r). Para d€moshar qu€ su módulo es la unidad, tencmos

et = re|,#f r(:.f = M,d,f = ,45 V dS dt t ts v (¿s J.

ya que (dr)r = (dt)' + (dy), i (dz)¡ según se estudia en cálculo.

Hallsr el ve€tor tangcnte unitario en un punto cualquiera de lacurya x : rr + I,y : 4t - 3,2 :

Hallar. cl v€ctor tangpnte unítario en el punto co[espondiente al instante, : 2,

(q) El vector tangente a la curva cn uno de sus puntos es

,¡.r16)(.r' .:,-:'(á)

4;, = i [(¿2+t)t + (r¡-s),

El módulo dcl vcctor * l:ll =

Luego ol voctor tanganie unitario pcdido cs T = ffi

+ 0r2-6r)t] = 2tt + 4! + ({r-6)t

s t¿. t dsObséncse quo, como I il .

i ,

(á) En , : ¿ Gl v6tor t¿¡rgpntc unitario cs T

r=1' / ,7t =*.4SlCa at t

_ { t+{¡+21 = 2¡*?¡*!¡ .

/G). ,G; Qf 3 3 3

iIrü,.

^t*

*dtt

y'1. Sicndo A y B funciones derivablcs dc un cscal¡r u, demostrar:

(ot át¡ 's)

= A.P¿m

. 14.s.tt¡t

1! *"4v

t -3r+21 ./n18 alÁ

{14 1

+ 0t .

- i /14

*y

( t ) t (axB) =

= ¿: lo o"* . f ' " -@

= ¡"8 * ! ! ,s

Ot¡o mélodo.

9<,r 's) = +4u ítt

lJk

al a2 A381 82 Bs

Tcniendo en cuenta el teorema do ta de¡ivación de determinantes.

Aa A2 A3

lL ¿-P2 d-23du du du

A =5121 +r j -¿3ky B=sen¡ i - cosrJ,ha[ar(a) *rO. rr , (ó l r1<exs), G¡ tA,U.

f ro."¡ = ̂ .* , #.". (5t21 + rJ - ,et) . (cosr l + sen r j ) + (10!t + J - 3r2t) . (senr l _ coE¿r)= lÍeoEt + ,senr + lors€nr -

"o", = f1sr.- rl cos l1-i i-sen r¡

Orro métofu, A. B = 5r2 s€n, - r coa, . por lo tantol

¿(A'8, - ; i¿ d,-6

t (Dr-sent - r cosr) = 5r 'Co8r + 10rs€nf + rS€nt - Cou,(5¡2- t) cos , + tl, sen t

DIFERENCIACION VECTORIAL

1.r - ¡t = rn (4 '44):iEl4!)-:-4:-P-

Al¡-O Au

¿g o4E-i#@

= ^rim a.^i - o+."

-éi)= ¡.dB * 44.¡a¿-{ aü Au \!_7

" du du -

túo métorlo, Sean A = A].l+ A2l + {t, n = Brl + Bzt + Bsl. Entonces

! i,r. ol = !,@t, * A2B2 + AsBsJ

= a,!# , o,'* , afft , ,#r,, ff+ , rfat =

4l

{ t , r 'nr

-

I

n''i "*'"

Jr+,rt.=Um

A¿-0

= l imA¿-o

( ¡+M)x(g+Ag) - lxnAü

axAg+AAx¡+AAxAgA¡

,,¿{a*t) = *d} * ff"n, .

dA d.42 ¿rl3du dt du

BL 82 Bg

I J r l5t2 r -Fl +

cosr sen t 0 |

*.fi * ¿f ,t

I , r l10, t -grr l

scn, -coa, 0 |

42 DTFERENCIACION VECTORIAL

: [ f ¡s€nr l - f ¡cos/ l + (5rt s€n r - r cos , )k]

+ [ -3r 'cost i -3rrsenr¡ + (- lO, cos r-s€nr)k]: (t¡ scn t - 3rr cos r)i - (rt cos f + 3r' sen r), + (5r¡ scn, - s€n t - I l, cos r)k

Otrc m¿todo.

AxB =I J r l5t2 t -1,3l = -r3qosr i - r3s€n/J + (-srzcosr - rsen/)k

s€n ¡ -cos, 0 |

Ueeo, S6 x B) : (r' s€n r - 3r' cos r) i - (r. cos r + 3/r s€n r) j + (5rr sen, - I Ir cos f -

@ *e.^) = n.'* * *La.t = ze.df

= 2(s.21 + rJ - ¿3t) . (1011 +J - 3r2k) = 10019

Otro útétodo. t . s, = Ftzf + 1tf + q-t3¡2 = 2slr. +

Luego, fipilf

+f+r! = 1s¡¿o + 2t + 6t6.

,/ 9. Siendo A de módulo constante, demostrar que A y dA/d, son perpendicula¡es, siempre que I d\ldt | + O.

Como A €s de módulo constante, A. A : constante.

beso, ${A..A.t : " .+ * #.o:^ '# :o.

Asf nues, .l ..$ : o y A es F,rp€ndtcutar a $ siempre que l#l .t

40. Demostrar que *ro." x c) : A.B , f +n. f r xc+f i 'n x c,s iendoA,B,crivablcs de un escalar u.

D€ los problemas ?(a)y 7(b), 4e.fn, ,c) = e. Íufs,c¡ * f

.n, .c

= n.tn' j f , * j f 'c l * j f .n'c

= e.r ' f * e ' f "c * df .n, ,c

/rl. H"ll"t i,"'#'#,.Der probf€ma ro,f,tv

fr ,fi', =

+2t+1tB

c2+ta

-, ¿v d"yt '¿r '

dt"

- . dv d"vdt dté

-. ¿"v d'v dt ¿v d'vY'-- ; x - : - ; - + _i- . ' -x - : ' ; -

da- dt- 4t dt aI ta

- . dv fvu+u=Y.-:_x. . :_cll .la¿

12. U¡a partfcula s€ mucvo de forma que su vector de posición viene dado por r : cos rr,t i + sen a,t j,una const¿nto. Demost¡ar que (a) la velocidad v de la panlcula €s perpendicular a r, (ó) la

' DIFERENCIACION VECTORIAL

-ilila

hacia €l origen y su módulo es p¡oporcional a su distanci¿ al mismo,

df1.1 r : 7 - -@s€n@ri + @cosort j

S€ tiene r.v: lcos@ti + s€nr4rr], [-ro sen rol i -f úr cos.orl]: (sos @r) (-{, sen qrt) + (s€n @r) (¿, cos úrr) : 0

luego, r y Y son pcrpendiculares,

d\ dt'lll 77

: -Al : -t" co" tt i - @r s€n a" j

: -@¡ lcos úr, i + sen úr, I I : ---<,,t

La acele¡ación tiene, pues, la misma dirección que r p€ro sentido contrario, es decir, está dirigidahacia el origen. Su módulo es p¡oporcional a I r l, que es la distancia al origen.

L) ¡ x v: lcos úrr l + s€n @r¡] x [-@sen@tl +@cos@rll

41

(c) r x v : vector constant€.

or)

cos @t s€n @, 0

-ú, s€n (l)/ @ cos @, 0

^"+ -d,t-

: @(cos¡@/ + s€nrar/)k : @L, vcctof constantc,

Flsicamente, se trata del ñovimi€nto de una partlcula alrededor de una ci¡cunferencia con una vclo-cidad angufar constante @. L¿ aceleración, dirigida hacia el centro de la circunfe¡encid, I ll"Ía-centrípera.

03," = 4ro'P-4'ur.dI ' dt dt dt

1¡o"# - #'r, = ft<r"fi - XSxst= n,4 , d4,* -d¡' da .ta

Dcmostrar que ^.#

= ooi -

Sea ¡ = A! l+A2t+Asl . L\eEo A

0"1 = :rn?tn1,,f"r'/"ee,.* +

t4"# * 4, .s ltlt da tlt' ^,¿:+ - {4,8

cla' ¿l¿'

= /E;tr;Áu"* r u"o3- ( l¿ - . la

¿4" ¿A^ dA^hd;+A2i+Asi

6l+,e1,+ ei¡a/z

Otro método.

como A.A = f , f t6, ' l . t = f tU' t

f to.rt = ^.# -

n*.¡, = zr '# v f iu"t = ud/

l ""egozr, . f f=u# " n.#=n#.

Obsérvcse que si A es un v@tor constan n, ^'#

= 0, como en el problema 9.

- - - - - - - - -


15, Si A = 12r2y - ra¡t + @x! -, sen¡)j + (r2 cosy)k, hal lar, +, +, +, +, =?4,ot oy dr ' dy. dx dy

&,uo, - ^,

+ !é! - y*n x¡¡ + S 1,2 cosT)r

(4ry - 4é)l + (y&! - y cosr)J + 2, coay g,

&ru"r-^, + aran-rsenx)¡ +

$l,2cos7)r2,t2 | + eerY - sür x) j - :2 sen y) k

]wr-*1t * j<t*v-rcos,)r + $,o"*r , ,

(4y - L2.'11 + g2ex! +y sen -x) ¡ + 2 cosy I

frrr*rt . f,an -*, a ¡ - f,a, xny¡xO + r2&y I - r.2cosl | = z?"x! ! - z2 cosl L

= .,4,#,

= *,",,1_l *rrerr-senx)J - $r"2senrrr

= 4zl + (xy{! +{1 -cosr) j - 2rsenyk

= ,",b

= &,*r-{,s)r

+ }<r;;; l-rcosr)J

+ $(2rcosy)r

= 4x | + (zyex! ¡ ¿xl - "*rl!

- zxseny I

12 \2

Obsérvese qu" ** = <9* , ",

decir, qu€ el ord€n de la dedvac¡ón no altera el resultado.' dt dz dzü-cierto, en general, sieñpre que A 'tenga derivadas parciales, de primero y segundo orden, continuas.

si SQ,y,z l = r l2z y a = rz i - zy2 ! + yz2tr , , t rat tar ¡ f fóel cnel punto (2,-L,L).ox oz

Q¡, = 1zy2z\(*z | - xy2 1+yz2L¡ . z2y2z2 | - r2!1" ! ! zt3 z3lt

i (+A) = d1x2y2zz1-a2,1azt+t fszeu = zt2l2z 1- r" f , + 3xlsz2 |Ozd2'

$ tOol = j<z"rt", t - x2ya ! + 3ry. z2 ky

;$ ,t^, = j<ur"" | - 2'!4 ! + 3!. 22 h) =

Parar=2, y=-t ,z=1 s€ obt iene t(-r)2(f ) t - 2(_t)41 = 4t _ 2! .

17. Dado el vecto¡ F función de las variables escalares ¡,/,.z,, y x,r,y z,asu vez, funciones de /,dF ?E ?r

'1' Dp dy 'óF dz, t t

= 7t '¿;¿-¿yl .á;¿,

suponicndo que las derivaciones sean Dosibles.

Ero,

aa¿/

^2ÓA:--:

^2OA

^2dA3'4

^2óA

ta,

= 4xy2z | - lat' I + lysz2 |

4t2¿ | - 2y1 I

i

i

IrJ


FlPr,r',z,c)l + 4(',y,z,r) k. Enronces

45

s-Tngamos que F = Fl(r,/,¿,¡)t +

dD = dFr i + d,F2l + d\k

,?4 a¡, a¿= [-- : dr + +dr + a=d/ot ot of

+

¿r.(-¡j t

o,

+

* $a" l r , t*0, , ! t , , lay , pa, l1

t$a, * !n",{ ' , , ln" t r

* P¡ * *r , r , ' r*r - pJ + 3&¡,r"

Ot. Ot Ot ót dt

r$r * P¡ * $.u,r, * 19-&, * }&r Fr,r"o, oy ór dz oz dz

* $a" * $a, * $a.ou ol oz= !E r,

oa

hp, dF =d.

?r ?rd.z.7¡¿l . }s¿z--- .

-- -i- .

--+ r <- -:-

Ol Ot dt Oa .t, Oz da

DIFERENCIAL

IEoostrar las fórmutas de Frenct-s€net @r+ : rN, (á) +

:,p1N, G) # : .tB - rT.

{d Como T . T : l, dcl problema 9 se deduce que T . $ : O, es aecir, $ es perpendicular a T,

Soa N GI vector unitario en la di¡ección y sentido de $; "o,on**, $ : rN. El vcctor N es la

rcrmal pfincipal, K csla cwvatura y Q : l lK.as el radio de curvatura.

e) s€aB.:r x N,entonces, #: , *#-t .# x N:r x $ *"* t n: , , $.I-ueso, r.$: T.T x

$:0, es decir, T es oeruendicular a

$.

DeB.B: lscdeducequeB.$(oroblemag),esAecir ,$esneroendicularaByestÁsi tuadoen ol plano fornado por I y N,

** # p€rtcnc¡e al plano deTyNyes perpendicular aT, es paralelo a N; luego S

: -r0,.

Fl vector B es la órhormal, t esla torsió\y o : llt cs al radio dc torsión.

(c) Como T, N y B forman un triedro a dere€ha, también lo fomnn N, B y T, es decir, N : B x T, ¡, ,t I

ru"go,$:B. # +f f , r lpX r¡- 'N x r : - , +,B:,B-.r(T. / l r / / U.2V'1í1 , . / ¡ \ ) / , Í l * , . . , . , , . -1. . .1

Representar la curv¿.¡ J3.*r,, y -.3se¡,i, !':4r y haltar (a) et ¡ tit l- ,.., 'lll¡ f,l'':riT,ffi,}f,5'f ¿'Í?Jn:ffiifff:ffi1ux,1",":T1'o?i: E-D -' '.i -. t2torsión o. Ifl|

1. tj

"T-Esta curva e, llaña h¿ltce circular y se r9prcf¡ta en ta figura. tsR 0 |

;*H:*#Í#r#.::ifiÍ:;:,?T?"/xi,s::1,1h::""i":s: w___1u nhcietateraldelc i l ind; ; ; , .+ i i . :9. ,* . . . , , ' , ' lE¡! ! r ¡gg¡9rrqU4su[,cr . r f f ia,L(a) El v€cto¡ de posición dc un punto genédco de la cuna os ,, ,, ,i. ,

o \

¡

¿r

dsi;

Asl puco, T

$r#tfds

(c) B = TxN

da=dt

-7N

= $r-$*"rr +|coart * f r l = -$coeir - f scnrt

= tf# = -fr"o",r - *¿senrlcomo j f = rn, l rSl = l ' l l ¡ r l = x con xlo.Lucgo, x

Do#

D¡FERENCIACION VECTORIAL

Ssosr l + 3 s€nr j + {r t

-3s€nt l+ScoBrJ+4¡

It i l = EE" = ,Gtscn,)t+ (3.*,)t;? =.5

* = '# = -$senrr+$cosrr+fr .

- cct - s€n, 0

((18_-xT) * #n -

= T.((27N¡B -xstx l ' ** f fnrU = T.1r2rT+rsD¡

= l#l = GE.*IT[E;" = * y p=* =+= r , so obt im€ I I =:# = -cosr l -sotrrr .

r r r

= l - i * , ' , t "o", á l = fsenrr**1 "o"r t * $r

"o"r t* f .*r t , f =t#= L.o.rr+fsenrt

4 4 . - - 4 t-T(-cost l - s€nrJ) =

ñcoscl +

i ;s¿trrJ,obie[ '7=tE y o=+

20. Dernostr¿r quo el radio de curvatura de la ca¡rva crr¡ras ecrraciones paramétrlas sor r = r(sl, y = y(s

=z(¡)vicncdadopo, p = k*f , 1{4¡' * (*ff'h'ds2' ' ¡ ls2 ' 'ds2' -

El vcctor de posición do un punto genérico de la curv& es ¡ = r(s)t + y(¡)J + z(s)¡.

Lngor= *=Xt*?"t* t* t , #=#r*8¿t*#r. -*. f = ,<N, con ro quc K = I # l= /rF: ,#: ,#quodando dcno'trado ya quo

21. Demosúar quo *,* , ,&" = +.r \ dE da- d,a- p-

, \( t=i , *=,T-"* . *= " Í :*#n -g.,+'ii = ;.;',,.;;,.; í. * *, -''

KTB - ,ef +

=é¡=1


küldo en cuenta el problrma 20, el rcsultado,se puede escribir €n la forma

T = [(r 'f + (y')2 + qz"¡21-1

- dc las primas representan Las derivadas res¡recto de r

t t Dc (o). N=14! - -2¿l + ( l -zt ' ) i + \K¿s 1+ 2t2

E h cr¡rva x=c, !=t ' , "=] f ,hal lar (a) la curvatura x, (ó) l¿ tonión 7.

d E rrctor de posic ión es r = t l + t2 '1 +! t" t . ' ' - , ,_ \ t

Por Io ianto, 'i = , * v1 + 2r'k ' At ^

+ = l+ I = EÁo= Qt '+(nf .@T = rr*o ' 'n- ' t '

\ ' /¿t 'dt . ' y ' dt dt ¡ {

y T =r ie"=t#=t+-ul !uzt ' Í , ü

?tq - 0+zt2)(ü+ +t t ' t - ( \ Izr l+u2u$t) - -q¡ i+ Q- 4t2)! + 4t l \ f , \dt olEV-

= (l;-tT-- {rv

1t r ' \

xyz

ttz

r t

oi. ,.i , ,.- \A\ iX, \

. , d* ' \ ' '

A' 'c i t

Eotonces 4I - ¿T/¿' - -: fJ:A--ú!:-Ads ds/d¡ -71 +-lz9- ' 'r \ir-.

.2¿l + ( l -zt2r i + \ , r ! . , , \ ' - , \-l

--F-- (\' \--' , I ^t'lt r r l . l , \

po¡rotanto, B.= rxN = lrt,o, 3-o" #"1 = HF

-2 1- 2c2- 2c -1+2É t+2tz l+2t '

De aquf ouc ds _ +tt + (+t2 - 2\!-- Ety "

1 = 0."14-tdt (l + 2t'\' - .ts ctslcat

También, -7N = -r [ -2t t + ( !=4; l t + 2tr

l .crn,o f i =

0bsérvcsc que r = ?- en este caso.

4tl + (4t2 - 2)i - 4r¡ '= --- 1r;Ef-

- TN , sc obticn€ T = ,-U, _ *f

E[a¡ las €cuacion$, \¡ectorial y cartisiana, de la (a) ta¡¡g€¡ttc, (ó) norm¿l principal y (c) binormal a la cuwaü problema 22 en €l punto corr€spondicnte a f : l.

Sean Te, Ne, y Bo los yectores tgngent€, normal principal y binormal en el punto dado. Del problcm¿ 22,

To o r _r+2!+*. . , -2t-J l2k o = ?¡=¿j I¡b = -----¡- '

Ño = ------ , oo = -3 -


Si A es un voctor dado y ro y r son, rsspectivamente, los vectores de posición del origen y de ung€nérico de A,el ve€tor r-¡o cs paralelo a A y la ecuación de A es(r-ro) x A :0.

Por lo tanto:La ecuación de la tangent€ es (r - ro)

La ecuación de la normal principal es (r - ro)

La ecuación de la normal es (r - ro)

xTo:0X:Nd: Ot úo",¡ o

tivamente,

x- l

-2

r -1

En coordenadas ¡ectangulargs, para ¡2

: xi * ¡j + ?k, ¡o :i f

¡,* , n, estas ecuaciones son,

z -2/32'

paramétricá. (problema 28, Capítulo 1).

1y-1 z-2/3

2 2tx- t " t -7 z-2/3

que también se pueden escribir on forma

24. Hallar las ecuaciones, vectorial y cartisiana, del plano (a) osculador, (á) normal y(c) rectificante de la curvalos problemas 22 y 23 en el punto correspondiente a / : l.

(a) El plano osculador es el que contiene a la tangente y a la normal principal. Si r es el voctor d€de un punto genérico del plano y rq el vector de posición del punto correspondiente a / : I,r * ro es perpendicular a la binormal Bq en dicho punto, es decir, (r - ro) 'Bo : 0.

(ó) El plano normal es perpendicular al vector tangente.erl el punto dado. Luego la ecuación pedida(r-ro) 'To:0.

(c) El pla¡a rectificante os perpendicular a la normal en elpunto dado. La ecuación pedida es (r - re) 'No : 0..

Las ecuaciones de (a), (b) y (c) en coordenadas rec-tangulares son, respectivamente,

2(x- l \ -2(y-1)+ 1(z -2/3) = 0,

1(¡- l ) + 2(y-1) + 2(z -2/3) = O,

-2lr-r)- r (Y-1\ + 2(2-2/s) = o.

En la 6gura están representados losplanos osculador,normal y rectifrcante a la curva C en el punto P.

2s. (a)

(ó)

(c,

Demost¡ar que la ecuación ¡ : r(2, v) es la correspondiente a una superficie._AtarDemostrar que --- X

-: ¡epresenra un vector normal a la superficie.'ouóv'

Hallar un yector unita¡io no¡mal a la siguienta superficie, siendo a > 0,

\o)

r : acos l l sen yi + as€n | ]s€n yi + acos vk

Si consideramos que a toma un valor fijo 29,entonces r : r(ro, r) representa una curvaque la ¡opresentamos por |l : ¡lo. Análoga-mente, 4 : at define otra curva r : r(zr, v)..d.l variar r, r : r(¿¡, y) representa una curvaque sa mueve en el espacio generando unasup€rñcic ̂5.. Así pues, r : r(¡¡,v) representauna superficie como se indica en la ñgura.

I -ascufvasu:uo,u:¡- , r , . . . ,p€rtenecenaestasuperf ic ieasícomolasr: vo,v-vb,, .

A cada valor de ay v le corresponde un puntode la superficie. Asl pues, las curvas z : uoy v:por ej6mplo, se cortan en el punto (¡.o, vo) dc la superficie. El par de números (¡.r, v) se llaman


t--idcremos un punto P de la superficie s cu-qó @¡denadas son (riq, rq), como se indic¿ enI t¡¡ra. El reclor Arl Au en el punto P se ob-

- derivando r respecto de ¿ manteniendo

¡ :@nstante: roi este vector ar/ ¿¿ en 9lEro P, es tangente a la curva y : yo en dichor@¡o- Análogamente, ¿r/ Ay en P es un vector¡4Erite a la curva ? : constante : ¡o. Comorüos vectores, A¡lAu y arlav, son tangentes,ú .¡ punto P a dos curvas de la superñcie, seúduc€ que también son tangentes a la supe¡-

Ar Art¡ en dicho Dunto. Lueso- --: r -' - ou 7t es un

€or normal a S en P.

i

- : -as€n r]sen y i + acos ¡¡s€n yi

i-= : a cos ¡.lcos ! ' I + 4sen ll cosr, j -c sen vk

Entonces,

i j

-¿senasbnv acos4sent

k

0

4 COS ¡l COS v 4 Sen.¡¡ COS v -4 Sen v

49

¿úca¡ sobre la superficie. Si las familias de curvas a : constante y v : constante son perp€ndicularesú rr sus puntos de intersección, el sistema coordenado curyilíDeo se llama ortogonql, En el Capítulo 7ECrx un estudio más detallado de las coordenadas curyillneas.

¿r Ar

I: -a! cos ¡/ sen¡ y i - a2 sen ¡¡ s€n' v ¡ - a, sen y cos u k

r(presenta un vector norrqal a la superficie en un punto cualquiera (¡l, v).

EI vector normal unitario se obtiene divi<liendo f x $ oor su mód"lo, l# * f I, o"ao oo.

. ( a,sen y si sen v > 0v 4 'sen' v(sen' v + cos'v) : I

1 -a 'sen y s i senr < 0

Luego son los vectores normales unitarios dados por

+ (cos ¿ sen v I + s€n a sen v j + cos v k) : * n

La superficie en cuestión está definida por las ecuaciones ¡ : ¿cos r s€n vel : a sen tsen y, z : ccos r,de las cuales se obtiene x' + y" + z' : ¿'que es la ecuación de úna esfera de radio a. Como r : an, s€deduce que

n:cos¿senvi + senrsenv j +cosrk f - ,4 , !to ' \ i 'Jcs el vector unilario nonnal exterior N la esf€ra en el punto (a, ,). I

No,tz,_t ,2 ' I l' r '2 ' i ) lEallar Ia €cuación del plano tangente a la superficie z:x2+y.enelpunto(1,-1,2), -l* r"'s*¿'--+L

llPro¡ru6r l ¡5!r l .v. l4Jql ' l ¡Erv¿_¡rJ 'wrrv l rJgulv\r '_r ' ! / 'ñ.1. , .1,1

, tn ' t - - t ' ) - t I ISeanx:¡.t, y:v,z: a¡ + y¡ las ecuaciones fraramétric¿s de la superficie. El vector dq posiciód\ú ' I ,/ ,.

-ú punto cualquiera de ella es | \. .,

r : ¡ ¡ i * ¡ , j * (u" * y ' )k


af: i+2uk: i+2k. +: i+2¡tk: i -2k en el punto (1,-1,2), s iendo

ovEntonces

ArAu

Del problema 25, la normal n a la superficie on este punto es

Ar Ar

" :á " 6u:6+ 2k) x( i -2k): -2 i+2i+k

El vector do posición dcl punto (1, -1,2) es

Ro : i - i * 2k

El v€ctor de posición de un punto genérico del plaoo es

R:¡ i*r i*zk

Como indica la figura, R-Re es perpendicular a |r,luego la ecuación del plano pedido es (R - Ro) ' n : O,o bien, [Gi+r+zk) - (i - j +2k)l .t-2i+2i+k] : 0es decir, -2(x - l) + 2(t + l) * (z *2) : 0, o sea,2x-2y-z:2.

MECANICA

27. Demostrar que la aceleración a de una partlcula que se mueve a lo largo de una curva en el espacio-convelocidad v vieoe dada por

,=*r*4xdtp

siendo T el v€ctor tangente unitario a la curva, N la normal principal y p el radio dc curvatura.

Velocidad v : módulo de v multiplicado por el vector unitario tang€nte T

o bien, v:YT

D€dvando,

DGI prob¡ema l8(¿),

Pof lo tanto,

dT dldt ds

9ar¡=*r* ,4aI aa d¿

* = "n*cla cll,

d/ r * ,1$¡

xuN = 4

=T +:=N

dt=dt

+

Esto indica que la compon€nte de la acaleración en ta dirección d€ la tangente a la curva es dvldt, y laponente segltn la normál principal es y!/e. Esta última recibe el nombré de aceleración centrípe¿a. En €blema 12 v€rcmos un caso particular de este que nos ocupa.

2E, Sea r el vecto¡ de posición respecto de un punto O, de una partfcula de masa rr y F la fuerza ext€lio¡ quesobre la misma; el mom€nto de F resp€cto do O vien€ dado por M:r x F. Demostrar que M:rsiendo H : t x nñ y a la velocidad dc la partfcula.

¡I.I tl ¡I

, l- l

M = TXF

) )Pero ; ( rx¿v) = ¡xf ¡ rnv)aú dt

¿= rxt( , r ¡v)

es decir,

,l

r x fi{nt) según la ley de Newron.

4,^,¿

vxmv = r x;(nv) + 0

u = i r r"r" l = *4¿ at t

I til-Obsérveso que la fórmula s€ puedc aplicar tanto cuando nt s€a const¿nte como cuaJrdo no lo sca, El


un vector A : A,i + A,l * ,4¡k referido ¿

- -rro

cin¿tic¿ y es el montcnto dcl fmpctu. La relación expresa que cl momento aplicado es igual

-rlui[ del momento cinético f,or unidad de tiempo.

Ed seso gareral de un sistema de, partfculas de masas nr,mr,..., mny vwtores de posición rr, rr,. . ., rn

-

d sist€ma do fuerzas exteriores R, F¡,,.., F,, el momento cinético resultante es H: b ^rr*x

v,¡ : t

o ,on¡.^. ̂ ,'- ^" - 4!rdtaDte es M: Z ak X Fryse\

&- l " ' - dt '

de A en un sistema de coordenadas XfZ de ori-O- ¡abiendo que el p¡imer sistema gira con respe{to

a

-rdo,

que se mant¡ene fijo en cl espacio.

b

-!mas

fijo y móvil, res¡rcctiva .1ente, demostrar que

- ür v€ctor (o tal oue

dAt dAt¿;1.= 7; l +a,xA

tT I

ll l4tesentando por D, y D,' los operado¡es deriv¿da sn los sisüemas fijo y móvil, respectivament€, dlmos-r¡¡ la equivalencia

D¡ = D, + otx

-

Ea la rotación del primer sisteria respccto del segundo, los vcctores I, j, k varfan con el tiempo. Por lomto, la derivada de A es

-- de coordenadas ¡/z de origen O. Su derivada

rnd.r tiempo "" ff

t + # t * #k.calcular

( r ) * = '#, - *r , *r + A,# + e,¿j + 4f f

' i l r= #[ * ' ,# * n, f , . n"#es d€cir,

{2)

Como i es un vector unitario, di/d, €s perpendicul¿r a i (problerná 9) y, en consecuencia, está situadorD el plano formado por j y k. Luego,

Análogamente,

aJ + c'k

a¡k + dri

c"i * a¡j

dldl

dtdt

dkdt

(3)

(4)

(t

Derivando i .i : 0, se obtiene t. $ + ff .i : o.

luego o. : -6t.

Análosamonte de i .k : o, i. dtÜ + fi.u: o, v

nero i . f i : a¡ de ( l) , t #.t : c, de ( i) ;

d¡ : -a¡ i de i ,k :0, t . f f + aj .* : o

Por lo tanto, a4: ol+"*, * :o"t-oJ, S:- . . i - " . t

in " # l, t | # l-

*" las derivadas de A ¡especto de


¡4!+tdJ*04!=t_At dt 2d¡ . -3¿, ' l \42- d2As') l + (d, !Ar- dsls)J + (d2A1 + ds42|k

qr,e se puede poner en la forma

% -da dr

Ar A" A3

Haciendo d," =(D!, -ú2=o)2, ú7=o4 el determinante se reduce a

r j I

(D1 (D2 Cü3

A! A2 As

+ ¿c'1'{ , La magnitud ¿, es el vecto¡ velocidad angular del sistema móvil

# I = ¿"r¡nu¿u en cl sisterna ñjo

dAl; ' l"

= <lett"uou en el s¡stema móv¡l

D.A = D^A + ¿rxA = (Dñ +orx)A

de donde se deduce la equivalencia

(ó)

Siendo ar = @11 + (D2!pecto del fijo.

Po¡ definición, DIA =

Dra =

De (a).

Df = Dn+rnx.

30. En el problema 29, hallar: (¿) la velocidad y (ó) la aceleración respe.cto de dos sistemas de refer€ncia.

(a) Sea el vector A del problema 29 el vector de posición r de la pa¡tlcula. Aplicando la notacióndel problema 29 (¿) se obtiene,

(1) Drr : (Dn +Grx)r : ,¿r +.o x r

Pero Dt¡ : yDÍ : velocidad de la partícula r€specto del sistema fijo,

D^r : tÚn : yelocidad de la partícula respecto del sist€ma móvil,

o.¡ x r : v¿r : velocidad del sistema móvil resp€cto del fijo.

Entonc€s (/) se puede poner en la forma

(2)

o bien,

(J)

f t t l : , t r lñ+@Xf

\ t Í : \Dñ + 1ñf

. . Obsérvese que los papeles de los sistomas móvil y fijo son intercambiables. En efecto, s€ puedesid€rar que el sistema móvil p€rmanece fijo y que el fijo se mueve respecto de aquel. En este últimono hay más que cambiar el subíndice nr pot f y a por -@, ya que el s€ntido de rotación relativavierte. Haciendo esto en (2) se deduc€

Ytñ: \oÍ- t t Xrr o bien, Yrr l : vr la+o Xr

que coincide con el ¡esultado anterio¡.

'r¡-i\


Dlr : aceleración de la partícula r€sp€cto del sistcma ñjo,

Dlr : aceleración de la partícula respecto del sistema móvil.

2@ x Dtur + (Dno) x ¡-l-o x(o x r)

acele¡ación del sistema móvil respecto del fijo

attt : tdñ + añl| .

53

¡¡

-Tfñ

& la partícula respecto d€l sistema ñjo es Dfu : Dr(D¡r). Aplicando D/ a los dos miem-b {L r¡, !'¡.¡¡ndo en cuenta la equivalencia demostrada en el problema 29(ó) rejulta

DADtr) : Dr(Dñr+.,t x.): (D,+ox)(D,¡+o xr): D^(Daf +ox¡) +oX (D,r + o x.): Dz^r I D,,(o x r) +o x DDr +o x(o x ¡)

Dlr : D2^r + 2@ x Dñ¡ +(D-or) x r +o x ((,, x r)rb-

S.z¡

I res-

aPl^ :

E¡oces. "^

t :

an lo que

En ñuchos de los casos que se presentan en la práctic¿, o es un vector constante, es decir, se trata& un movimiento de rotación uniforme de velocidad aogular constante, En estas condiciones, Daq, : 0 y

t.t : 2<o x D¿l r + o X (r, X r) : 2.,t x vñ + o X (G, x ¡)

l,¿ magnitud 20, x tn s€ llama acelercción de Coiolis y o x (.u x r) es la aceleración centrlpeta,

Las leyes ds Ncwton solo son válidas en el caso de s¡srer¿¿s üercrales, es deciq aquellos que o son fijos,. e¡ movimiento, respecto de ot¡o fijo, es r€ctillneo y uniforme. La Tierra no constit¡lye un sistema iÁcr-clal. por lo cual, es necesario tener en cuenta las fuerzas a que ello da lugar (corioli!, etc.) al efectuarátulos muy precisos. si la masa M de uns partícula €s constante, la segunda ley de Newion adquiercb forma familiar

MD2úr : F -2M(t" x Dnl) - Mla x(o x ¡)l.4

ca dónde D' repres€nt" ^

dldl e u\ sistemá ligado a la Tiorra y F es la resultante dei sistoma de fuer¿asGalment€ aplicada sobre la particula desde el exterior. Los dos últimos términos del scgundo miembro& (4) son despreciables y en la mayoría de los casos no habrá necesidad de tenerlos en cuánta.

La leoría de la relatividad de Ei¡stein ha modiñcado ¡adicalmente los conceptos de movimiento abso-luto y, como consecuencia de ella, las leyes de Newton están hoy en día en estado de revisión, perfeccio-¡amiento o adaptación.

. . dR\a) I ,

, , . drRro) ZF ' \c)

" , l# l para¡:0.

Siendo A : , ¡ i - r j + (27 + 1) k y B:(2f -3) i* f - rk, hal lar

o I o' n¡, b { <t " R). G, * tA + B r, (d) * (^ " +lpara, : r. sot (a) -6, (ó) ?j + 3k,(c) l , (d) i+6r+2k

Problemas propuestos

lEndo R: e-t i +t¡( t ' + l ) i - tag,k, hal lar

Sot (a) - i - k, (á) i + 21, (d \/1, @) 1/ s

constantes. .Sol,-qn*nr/ . r t i + a@cosúrr t +ók

llallar la le-y de velocidades y d€ aceleraciones de una partícula que se mueve a lo largo de la curva x : 2 sen 3r,-¡

= 2cos 31, z : 8r. Idem, de los módulos do Ia velo€idad y acelcración.5o/. v : 6 cos 3¡ i - 6 s€n 3t j *8k, ¡ : - l8s€n3f i - 18cos3t i , Iv l : t0, ls l :18 t -

Hallar ef vector unitario tangente en un punto de la curva x : ct cos @t, y : 4 sen @r, z : b, síeado a, b, e,

-r'F-----

¿ '

) ¡ D¡FE¡RENCIACION VECTORIAL

dSiendo A:sen ¡¡l + cos zi + ¡k, B:cos ¿i- sen rd- 3k, y C:2i+3j - k, hatlar ¿(Ax (Bx C))

(ü) ¡(: a+}

35.

36. Hallar *".* -#.B) siendo AyB funciones de¡ivables de¡. .io/. ^ #-#.

L'

37. s iendoA(r) :3¡¡ i - ( r+a)t+(¡ i*2tkyB(t :son, i*3e- ' i -3cosrk, f rat tar${,1 x n)en

Sor. -30i + l4j + 20k :

3S, Siendo $ : 6, i - 24t, i+ 4 sen t k, hallar A sabiendo que A : 2i + ty +

: -i - 3k en, : O,

So/. A : (r! -, + 2)i + (l - 2r.I + (f - 4 sen t)k

39, Demostrar que r : ¿-t(Cr cos 2t + q s€n 2r), siendo Cr y C' vectores constantes, es una solución de la,ítr )¡

diferencial * - r ; +5r:0.

40, Demostrar que la solución general de la ecuación diferencial fr +2"ff + alh :0, siendo @ y ú,

tes. es

(a) r: ed(C, ¿ { "'-,' l Crs-y'-"'-or r) si or - a.¡! > 0(á) r: ed(Cr *n 1/ a,-a, t * C.cos y'7Z7 t) si o¡-úrr < O.(c) r : e{¡(C1 + C¡r) si a'- ú¡r : 0. '

siendo Cr y C! vectores arbitrarios constantes.

d2¡ i¡ ¡tz¡ ¡tr d,r41. Resolver (a) #-O *- -5r :0,(ó) iV +z *- *r :0,(c) f i +t :0.

So/. (a)r: Cr¿ú * C,B-t,(b)t:e-'(q+ Crr), (c) r : Cr cos 2f +C'sen2t i

42. Resolver S :* ,# : - t . Sol . X: C,cost + Cr senr, Y: Crsenr-C¡cost

'./.43. Siendo A : cos ¡/ i * (3xy - zx')i - (3x * 2y)k, h^tt^, -T, +, +, #, #, ;+

a^ AAS"l . ; : -J, senxyi + (3,-4x)¡- 3k,

f i : -xsanxt i+3xi-2k, t

atl .. ae{ a,A ¿'Aax,

: -y' cos xy i - aL ay,:-r 'cosxli, -Ax ay : -$il : -1xt cos xy +'e¡¡

A'¡14. Siendo A : xryz i-2x2. ! +xztkyB:2zllyi-x*.¡ltallar -5fo; (A x B) en el punto(lp,

Sol. 7l * 6j - 6k,

Sor. -4i - 8¡

GEOMETRIA DIFEREI\¡CIAL

47. Hallar (a) el vector unit¿rio tangonte T, (ó) la curvatura 4 (c) la normal principal N' (d) la binomaltorsión z de la cu¡vz x : t - t 13, l : t,, z : | + f.13.

,15. Siendo C' y C' vcctor€s constantes y I un escalar constantc, demostrar quc H : ¿ -¡¡(Cr sen ll * C¡

es la sofución de la ccuación diferencial en derivadas parciarc" ff * #

:o.' /

^^. t@<t ' r lc ,4ó. Demostrar que A: '"' ; , siendo poun vector constante, ar y c escalares constantes e r=

satisfacc a la ecu¿ció " $ *++: + + Esta ccuación se uüliza mucho en

( ' I - l ) ¡ -? j+(rr+l)kr r )B:

^/-2(r + t')


ü c$¡cio visne dada, en función de la longitud de arco s, por las ecuaciones paramétrigas

x: arctags,y: l l2\ /z ln(¡ ' * l ) , z: r -arc tag r , ¡ r , d\¡

ú,1 r = - 'zr¡ - ( r - ; :_,J 'v¿sr G, f = ;+ @ o="É

¡1 ¡ = f-!-:-..:á"JJ t u¡ p= "';,i,

*=@r- iP*t- ,(9s1+ 4¿2 + l\3t2 '

rt ¡ cn la cúbica alabeada ¡ : I, y : t,, z : t'

39r4+9r2+1

que la torsión €n el caso de una curva plana gs z : 0.

que el radio de curvatura d€ una curva plaDa dc eeuaciones y : f(x), z : 0, es deci¡, rfla curva

,,,|lÚco et plano r/ vieno dado por o = l\'g'fl"t'

r ¡ :acosr¡ l+ós€nr le lvectordeposic ióndelospr{ l tosdeunacurvay4yóconstantosposi t ivas,l¡ curvatura y el radio dc curvatura de [a misma. Interprüar el caso en que a : á.

ci¡punfe¡encia de radio a y radio de curyatura p : ¿.

qbl- -:; si ¿ : á, la curva dada, que es una elipse, s€ transforma en una- - (a'scn'r + b'cos' u)'t ' --

e

xr,$: .o xque las fórmulas dc Fr?net-serrct s€ pu€d€n cscribir en la forma f;

: o

Demostrar que 7 = !:!r! on lacurva r: r(r).- l ix Í | "

+.*,*I si et parámeto , es la longitud de arco r, d€mostrar we r = 4!-f,!!-jl

(d- ¡/ d; \-

Q.¡ÉadoQ:r x r, demostrar que <=

Edlar ry " en la curva.r -- 0 -*n0, y: I -cos 0, z :4w¡¡(012).

(3 * cos d) cos 0/2 + 2 'É,r\

0 sen eP91. x:T t , - - ^ (3 +cos0)cos0/2 +Zsenssen6Jz

t1/ o-¿cosot r: -------------- :-:------12ms0-4

, , -LI

EAllar la to$ión do la curva ¡ : #,

y : 1=T'

z : t * ? Razonar la respuesta.

sor. r : 0. La curva cstá situada en el plano x - 3y + 32 : 5.

Demostra¡ que las ecuacion€s dc Ia tangente normal ptincipal y binormal de la curva r:r(f) ( . el punto t:roron, rcspoctivamcnt€, r : ro + tTs, t : re * tN¿, r : re + rBo, siÉndo t un parámctro.

Hallarlas€cuacionesdela(a)tanepnle,(ó)normalprincipaly(c)bi¡ormalalacurva¡:3cosr,/:3sonr,z : 4t en el punto corr€spondiente z t : tr,

N.4'ds

- - x Byhal laro. ,9o1, r,¡ : ,T +,(B

oue la curvatuf¿ do

ü &rivadas con rcsp€cto a ,.

ta curva r - d0 vicne dado por i< = ' i:T;t ,

-c" ta que tos punrosl r l

indi-

ortogonal es que F = 0.

Halla¡ la ecuación del plano tangente a la sup€rficie z : x/ €n el punto (2,3,6)'

ó1.

62,

63.

64.


.sot . (¿)rangente:r : -3 i*4"k +t(- | i ' I * )"0"" ' x:-3 'v -- ] ' ' , " -u+ ! t '

(á) Normal: ¡ : -3 i+4r¡+t i ó x : -3 + , , v : 4", z : o '

(c) Binormar:r : -3 i iazi+r{* t -*-) 6 x : -3,v :+ ' + ! t , ' : } t '

Hallar las etuacioncs de los planos (a) osculador, (á) normal, (c) rectificante, a la curva x :3t - !" y

, : i r+r 'enel punto corréspondiénte a r : l . Sol . (a)v-z + l :0 ' (ó)y + z-7:o ' (c\

(a) Demostrar que la dif€rencial de la longitud dc arco en la superficie r : r(a' v) vicnc dada por

ds2 = Edu2 + 2Fdu¿v + c¿t)2

siendo tr =*.* =,*r , "

=*.* , ' =$.$ =,$r.

(ó) Demostrar que la condición necesaria y suñciente para que el sistema de coordenadas curvilfneas

Sol. 3x + 2y

Halla¡ las ecuaciones del plano tangente y de la normal a la superfrcie 4z : x1 - y' en el punto (3',1

Sol . 3x-y -22 : 4t x : 3t ' l 3, y : 1 - t ' z : Z-2t

} ,865. Demostrar que el vector unitario normal a la superfrcier: ¡(¿, v) cs n = t fi{', siendo E,

{EC _ F'

deñnidos en el problema 62.

MECAMCA

66, Una particula s€ mueve a lo largo de lacurvar:(t '-4f)i +.G' + 40i + (8r - 3¡¡)k' siendo , :

los módulos de las componentei tangencial y normal de su aceleración sn el instante t : 2'So/. Tangencial, i6; normal, l?,1.

67. Demostrar que si una particu¡a reco[e una curya con ufia velocidad v y una aceleración ¡, el radio de. !

de la trayectoria es Q : --r ,^ .1

6E. Un sólido os atraido hacia un punto fijo O con una fuerza F : f(r)¡,llamada fuerza ce rul, sierl'dode posición del sólido respecto de O. Demostrar que r x v : h' siendo h un vector constanle'el mom€nto cinético es constante.

69. Demo3trar que el vector aceleración de una partícula que se mueve a lo larSo de una curva en €l

situado siempre en el plano osculador'

70, (a) Hallar la aceleración en coordenadas polares (p,{) de una particula que se tfuev€ en el plano

iól ¿Cuáles son las componentes de la acéleración paralela y perpendicular a q?

sol . ta) i = l< i - pó'¡"o"ó - @ó * zpó1..nÓl r

, [< i -pó' ' ¡ *n{ * 1pP *zbólco.Ó)t

$\ ' ;

- Pó2, Pd" zbó

l:[ .J

--, \^ t.

15" Capítulo 4

Operociones diferenciolesGrsdiente, divergencio y rolocionol

-EIADOR

DIFERENCIAL YECTORIAL NABLA. Se representa por V y se define por

v = 3t * 3¡ * pr = rP * l+- - 13ot ot oz o, ot o2

vectorial goz¿ de propiedades análogas a las de los vectores ordinarios y es de gran utilidad¡lkación de tres [ragnitudes muy importantes en la práctica denominadas gradlente, divergencia

El operador V se le conoce más comrlnmente con el nombre de operadot nabla,

GfADIENTE. Sea la función 4{x, y, z\ definida y deñable en cada uno de los puntos (x, y, z) decirta región del espacio ({ deñne un campo escalar derivable). El gradiente de {, representado

o grad {, viele dado por

vo = <3¡ *3¡ * 3*ro = Pi * F¡ * ?órou oy oz or oy óz

que V{ define un campo vectorial,

l: componente de V{ en la dirección de un vector unitario a es igual a V{ , ry sellamr derbada de Qdirección de a, o bien, derivada de ó según s.

DMRGENCIA. Sea V(.r, y, z) : Ytl * Vrl + ytk una función definida y derivable en cada unopuntos (.x, y, z) de una cierta región del espacio (V deñne un campo vectorial derivable).

La divergencia de V, representada por V'V o div V, viene dad¿ por

V.v = ta¿t*f , i , *v\ . ru, t ,u. t t 4r t

9!,?¡

I ¿v2 + dv37y 7z

Obsérvcsc lr rnalogla con cl p¡oducto escalar A'B : APL + AzB. * 1"8r. Asimismo V'V + V'V.

ROTACIONAL. Si Y(.r,¡, z) es un c¡mpo vectorial derivable, el rotacional de V, representadoV x V o rot V, viene dado por

+ 3r)x( lz. t + V-t + Y.\ \o2vxv =,* , .* ,

l t J

-1. a- la' tulv' l,

I

o6;Y.

>*---- ' - '

i

*, t \t ' 'G..\¡iL .l\

GRADIENTE, DIVERCENCIA Y ROTACIONAL

- td l

- lo' l j *v" l

-* ' " . ,*-* , t %tuoy

Obsérvese que en el desarrollo del determinante, los oPeradores $Zndeben p r e c e de r a \, V",

FORMULAS EN LAS QUE INTERYIENE EL OPERADOR V. Sean A y B dos funcionesriales derivables y { y r¿ funciones escalares derivables en todos los puntos (r, /, z) de una regiespacio, en estas condiciones,

!o

d

ú

' ¿v"'oy

aloY

ll^VI

2l

.¿v.

a7rv1

a3r

v,

a7z

vi -

aoy

i

' t "n./ \ \ ú11.

/ , t " tz.

n

t

I .

2.

3.

5.

7.

V@tr/ , ) = V{ +V{,obien, srad(é+ry ' ) = cradÓ + srad ú

V.(n+S) = V.t +V.B , o bien, div(A+B) = divA + divB

Vx( l+¡) = VxA + VxB , o bien, rot(A+B) = t 'ot A + rot B

V.<dal =(Vó).a+d(V.a)

Vx(óA) = (Vó)xA + @1VxA7

V.(axB) = B.(Vxa) - a.(VxB)

Vx (ax B) = (B.V)A - B(V.A) - (a 'V)B + a(V'B)

V(a.s) = (B'V)a + (A.V)B + Bx(Vxa) + ax(VxB)

v.1v4¡ = v"6 = ^t4- - {4 . {4' 7x2 dy' 722

-2?2¡ ' ¡ .2siendo V'- f7

+ #

. ;?

el operalor de Laplace.

V x (Vó) = 0 . El rotacionat dcl gradiente de / es cero.

V. (V x A) = O. La divergencia del rotacional de A es cero.

Vx(Vx¡) = VfV.al - V'e

-69.

En las fórmula 9-12, se supone que { y A tiene4 segundas derivadas parciales continuas'

INYARIANZA. Conside¡emos dos sistenas de coordenadas rectangular€s de referencia r¡z y(figura adjunta) con el mismo origen O pero girado uno con resp€cto al otro'

t

I

Las coordenadas de un mismo punto P del es-pacio son (x, y, z) y (x' y' z') respecto de cada unode los sist€mas. La,s ecuaciones de transformación deunas coordenadas en otras son

l ¡x + lpy + loz

l21x+Ioy+lr"z

\1x+\ry+1""¿

err donde I*, j, k : l, 2, 3 representan los cosqnosdirectores de los ejes x'. y! y z' respecto de .n, ¡l y z

( ' , t , , )

(.¡ )

CRAD¡ENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL

5i los origenes de ambos sistemas de coordenadas no coinciden, las ecuaciones de trans_

x'= I tx +

T'= lnr +

zt = lstr 1-

lpY + lsz

I22y + l,a z

lef + l¡¡z

*ai

,oL+4

I'nt1ñ

rul , u2

l /

yx'

esioi) las coordenadas del o¡igen O del sistema xyz r.sqcto del x,y,z,.

nes de .transformación (,1) definen.una rotación pura y las ecuaciones (2) una rotación3l):li-i"*. t¿s general de un sólido rtgido es una tiastaciOn ieluiaa Oe una rotación.mación (1) se denomina rambién trunErormación ortogonal. una transfórrnaciónltñ;iü

* tadsformación afín.

:l^11y::9i "::it1 de, punro, o campo escalar 4G,y,"), particularizada en un punto

A,i:1?^1191":l:-d",1":.g3lg.',"di' a¡r ¡nlqo. Así.po;;je;p6.i;;;;;;;;; ffi;;1.j":-"::lttotfrr, z) o,(x', t,'.. z') delmismo, di fo;," dy",i?i;,;;t;ñ;;;ffi;;

!T,f d" coordenad¿s (x; y, z) y.g,(x^,, y,, z,) la temperaru- ia lnlrnó iúnto á": - " , : " . \ : . f ¡¿l ! 9\x,y,z r la remperatura det mismo punto de coordena-.t . : l respecto de otro sistema de referencia, ó(x, y, z\ -_ ,f,(r' . l', z') nécesariamenle. Si ieú(t,.y,)-: g'(x',y',2'\estando retacionaáal'i, í,i'y r'';: '' *

ffit.iltTiltt:;::tación (1) o (2), la función óLx, y, z't es tn invarianti resrr.r:í., ¿^" ¡¡nr,o r¡qncfnm¡¡ix- D^.(l)^o (2.), la.función glx, y, z) es tn invarianti resf*io d; dicñtt;ansformación. por

!_+,rl,f z2 es invarianre respecto de la transformación dá rotación (1), ya q;; ;;+ t;+ ""- l t + z ' t ,

Sogamente, una función vectorial de punto, o campo vectorial A(x, y, z) es vrL inva anteh¡- ;)

-

A'(x' , y' , z'). Para ello es necesano que

A\(x,,y,z)i + A2@,y,2)i + AsQ,y,z')tr, = A:e',,t ', i) í + Alrfr',y',l l i '+ l ',1x,,¡,t¡tt '

cepltulos 7 y 8 veremos transformaciones más generales y ampliaremos los conccptos ¿nteriores.r puede.demoslrar (problema 4l) que et gradiente de un campo escalar invariante.. un *^od-il inva¡iante respecto de las transformacione s (./) o (2). Análopmente, la ¿iuergen"ia v e t r;añí"|rrmpo vcctorial invariante son invariantes respecto de dicbal transformacionÁ. .a

--

Proble¡nas resueltos

bdo d(x,r,z) : 3xzy - y'2,, hatlar V ó (o glad d) en el punto (1, -2, -l).

vO = t3- i r5a j + !k\G,ry-7", , ¡o, oy oz

= t*o" 'y-y", ' ' ) + i f to l r -13,") + r ,$o, ' r - t " , r l

= 6'r i + (s'2 - 3f z2\i - 2y3 zl

6(1)(-2) i + {¡( t )"-s(-z) ' ( - l ) 'h - 2(-2)3(- l ) r

-12i-9j- l6k

60 CRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL

2. D€mostr¿r que (o) v(F + d) : VF + Vc, (ó) V(FC) : .F VG + G VFsiendo .¡cy C funciones escalaresvablesdex,¡yz.

(o) V(r+G) = rP¡rP¡*3¡ l r ¡ rc lo, o.t oz

; )l ; ; ( r+c) + Jú(F+G)

rS * rS. ¡$O, Ot Ot

rP*¡$ruFox Oy oz

( l+ +l+ +k+)F +Oz Oy Oz

(¿)V(FG) = rPr *-d ¡ . pr , l rnclot oy az

= P,"" t , + SrFcl¡ + plrc¡hox oy oz

. r ¡1G -cPr¡ *= (F++cg)rQt Ot Oy Oy

= ¡rSi-F¡-Frr¡ + c1$¡+$¡o, oy oz ot ol

+ I ?:

(F+C)

*¡$**S*rFAj oz oz

)¡ ). ).+ i - + i - + k-

ot ay oz

r r3*¡P*¡3lc = v¡Oz Oy oz

+Vc

r ¡S * c Pr¡oz oz

*$rr = rVc+ cVF

3, Hallar Vg siendo (¿) ó = fn I r l,

(a) t=r l+yt + zk. Entonces l r l=

ig = li tnp2 +y2 +,2¡

(ó)é=ly'*+y2+"2 y ó=Ln

)

l r l = i rn(r ' ry '*" ' \ . !

u! {a' ,r' ' "'r"/' ¡

= á{rfr r^(x2 +r2 + 22, * l}n{, ' . ty 'rr") + t& n@'+y'+""\}

!J, 2' 2y 2z t xi,Jl:4= z\r ; ;+- . /4. .2 ' l r \7+2, , x rrr r - r t r" I

= Zry4/,

r¿l Ve = Vtlt = Vt r/_ ,¡ = P {1,2 +rt " ¿¡-tht,Vx_+y-+z

1 n-2¿r jemostrat que Yr = nr r .

tt 'i r- -

---- -; n

¡

= t&e. *yr r"")- t/z * 1fi¡"2 +"t ¡ r")- ,/' , x!@z+rz+"2\- 1/2

= | I - l ¡ "2 +yz +,") ' "h aj + 1\- !62+y2+zr)-" /"zyj + x{-}1,2+y2+"r l -" / '2"}

_ -z l -yJ-¿k _ _r- G2 +,/2 + 22\312

- to

frI

V G2 +y2 + z\n/2

* i ] {p" *y, *"r¡" / t } *

v.1,-(t! -\¡. l\

GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL

a:.+?-12+z\r /2-1uj + ! l lez +rz, * . ,n¡z - , 4 j + ¡{ \ ¡ f +y"r"")n/r- ,2,}

. ; - ,2.22\ ' t /2 ' ! kr + t ! + zk)

t : , '9-7, = nrn- ' , 4

lb qc si r : rr& sicndo r! un vecto¡ unitario en la dirección de r, entonces Vr¡ : ,r' -t ¡r.

qE V { es un vector perpendicular a la superficio l(xy,z) : c, siendo c una consnnrc,

¡: Á * yi + zk el vcctor de posición de un punto genérico P(¡,Jr,z) de la superñcie. Entonc€s dr*, - dzl ..At^ situado en el plano tangsnte a la superficie en P.

Ja. ch :0 de forma que V ó es perpendicular a dr y, por lo tanto, a la superficie.

Ector unitario norm¿l a Ia superficie x'y l2xz : 4 en el punto (2, -2,3).

bic = ** -#*

*#0" = o,ouientSr - f f r

*$ur.rr , t + dy! + ¿zk) = o

3t :- 2xz) : (Zxy J 2z)l f ¡'J * 2¡k : -1i + 4i * 4k en el punto (2, -2,3).

lrÉorunitarionormalalasuperñcie = -{l!$. = -1, *

"

*'r.r 'e2f *G' f -Gf 3 3 3

u¡itario normal el*t- ?.| - I f. a" fo misma di¡ección y de sentido contrario que el

h ecuación dol plano tangenle a la superficie 2xz. -3xy - 4x : 7 en el punto (1, -1, 2).

i (2xz' - 3xy - 4x\ : (/z' - 3v - 4) i - 3x I I 4xz k

a la superñcie e¡r el punto (l, -1, 2) es 7i - ¡j + Af.

I¡ ccuación de un plano que pasa por un punto cuyo vector de posición es ro y es pefpendicularI N es (¡ - ro) . N : 0. (C¿p. 2, Prob. 18.) Luego la ecuación pedida es

ala

(x l + r l + zk)-( t - j + 2k) l ' (7 i - 3 j * 8k) :6

7(x - r') -3r¿ + 1) + 8(z-2) :0.

a(x, y, z, y í(x * /x,y*Ay,z!/z) las temperaturas en dos puntos muy próximos P(x,y,z) yAx, y{ Ay, z* Azl de una cierta región del espacio.

Lbrpretar flsicamente la magnitud :y - é(x+ ¿x' y+ Áv' Z! lzJ - óG'v'z) siendo /sla distan-c¡ ent¡e los puntos P y C.

Ealfar lim 4:!! e interDretarlo fisicamente.¿r_,¡ as ats

- dó . . druemosüar quc -¿: ae'A ,

Como / ó es la variación de tomp€ratura entre los puntos P y B, y /s es la distancia entre dichos puntos,¿ó;:

repres€nta la variación de temperatura por unidad de distancia en la di¡ección y sentido de P a 0.

. . Aó . . aó4, aó& ?ó4,AToG = A%tE ' i iE 'á;&

9. Demostrar quc la máxi¡u va¡i¡ción do L dB d€cir, l¡ derivad¿ dfu¡ccion¡l náxin¡, c i¡rnl aly ti@o lugar co la dfurcciül do Gsto wtor.

¿t*Sogim el problcma 8(c),# : rl'fr cs h proi,eeión dÉ Vro L

máxima cua¡do V I v f; tcnea fe nisoe dtuccción. Luego cl mÁrimo vslot * * * prodlp mción do Vl y su módulo os I Vl l.

t

10, Hallar la derivad¿ diroccional da ó - xlz * 4xz' qt el punto (1, -2, -l) y €ú la dlrcoción y.¡,2l-t-2k.

j ó : 9(x'yz * 4xz) : (Zryz + 4z)l + x'zi * (¡? | 8¡:)t: 8l - t - 10L on ol punto O, -2, -l).

El vector u¡itcrio Go la dirccción dc 2l - t - t es

l=

La derimda podfula cc

¿ód, ¡cpros€nt¡ la v¡riación ds tmpcra¡¡ra con rcspccto a [¡ dicb¡cb rl punto ¡ co

sentfulo haci¿ O, S6 dmomin¿ taú¡bldfl dertvafu erccciotul dc í

GRADIENTE, DTVERGENCIA Y ROTACIONAL

(ó) S€g¡tn sc $tudis en dlculo diferencial,

Aó = +Ar + ir Ay + +A¿ + infinitésimos dc ordon suporior a &,$ y A"'Orúr 'Oa

Por lo tanto,

o bien,aóqf

aé<E

dó

ds

dy @dzd" t E; i ]

dx;+d3

vo.+.¿a

dt dtA os utr voctor u¡itario, VC' ¿ es la compoocnts do Vl oú¡ l¿ dircetón dc

Como c6te valor €s positivo, C aumcols en dicha dirección.

ll. (a) Halla¡ la di¡ección sog¡n la cua¡ os máxima la deriv¿da de la funclón C - rr y u¡ en ol punto(á) ¿Cu¿t es el módulo do oste valor máximo ?

vl : v(¡!z) - Lryz'l I x'z'| * SxUz'L: --4i -,{ + l2l Gn ol punto (2, l,-f).

Segúa cl problcma 9,

v{.r = (sr-J-rol) .ér-}r-rzr l = € -+-+ - +

,-, ¿ó _ aód, . dó¿f . d4.¿z .aó. aó 4 d, dt dz(")d" 6;d"*qi *Éd, = 6; t+6t+t ' r ) ' ( i r+- t t+ 'Er)

Como

unit¿rio

=fr 1t-ár-5r

+ . Bcts

L

-rirda

cs máxima cn

flo dc €stc má¡ir¡o


la dirección vC : -4t-4t * l2k,as lY-6 ¡ :1@lp¡llj2¡ :lne : n,zt.

tLlo

d {ogu.lo que fornan las superñcies x'*r'* z.:9 y z: x' +),r_3 en ot punto (2, _1,2).

E irüo que forman las superñcics Gn el punto es cl quc forman las normales a las superficies en dicho

l¡ uoal ¿ x' + y, + z. : 9 cn ol punto (¿ -1, 2) c.3

V{r: V(¡ ' ly ' t z ' ) : 2x i + 2y | + 22 k : 4 l - 2J +4t

l¡ oorm¿l a z: x. I yr-3, o bien, .x' I y.-z :3 cn€l punto e,_1,2\ es

VC¡ : V(xr + y,-z) : 2xl *2yl-L : 4¡-2r-k

(Y¿r) .(V CJ llV ó, I lV dr ! co¡i, siendo d cl ángulo ¡redido. Luego

({r - 2r + 4L) . (4i - 21-Lr : l4¡_2j + 4L I l4t_2!_L tcos0

16 +4_4 : /1a¡rT@irT1a¡ lr(4¡r-@rT¡]I cos¿

- t6 s\/A"

: lñ

: --63- : 0,5E19; cl ángulo agudo os 0 : a¡s cos 0,5819 : 54o35,.

l-h disrancia desdc un nqqto $o- l(a, á_, c) a otro cualquie¡a p(¡, /, z). Demostrar euc vf, ¿5 r¡¡r yccle¡E cfl la du€ccióh y scntÍdo dc AP : R.

lEt¿y rp son los v€ctorcs dc posicióa a|]- b!I ct y ¡l l f i +zkde A y p respectivamente

ffirT": t-., : (x-a)l +Cy-ó)j * (z-c) L,dsformaquex : y'[-l;J$= 6¡.1-[:J¡,

v¡r : v(y'G-¿FTT=D;+(¿=¡1 :

r Ector uritario en l¿ dirocción y sentido de R,

t u¡ punto genérico dc una clipsc cuyos focos son lo3 puntos A y B, coÍp so ropr€scnta cn la ñcura-Bl¡ar que las r€ctas ,lP y '8P forman ángulos igualcs con la t¿ngente a la otips€ cn ci punto p.

Scan Rr : AIt y & : BP los vcctores que uncn, rcsp€c-mtg los focos I y .B con cl punto P de la olipso y T ol

tang8nte unitario a la olipsc on dicho punto.

Como la clipso es cl lugar g3ométdco dc los puntos psuma dc distancias a los dos focos fijos zf y I es cons-,, l¡ ocuación dc dicha curva ca Rr + & : r.

Scaún ol problema 5, V(& + ¡J cs normsl a la clipso,r [V(Xr + n )1 .T : 0, cato cs, (V&). T : -(VXJ .T.

Como VrRr y V& son vectoros unit¿rios en las direc-dc Rr y Rh respectivamentc, (problem¿ l3), ol cosono

Ri

ü ángulo formado por V& y T os igual al coseno del ángulohsdo por VXr y -T y, po¡ lo tanto, dichos ángulos son

-lcs._ El probl€ña admitc una intcrpretación fftica, Podemos ir¡¡gin¡¡q3 quc so trat¡ dc rayos luminosos. & ondas sonor¿s quc pafcn dc I, por cjr:mplo, y quo al llcgar a la elipse se reflcjan pasan-do por B.

(¡-a) l f (y-á) l *(z-c)k(x--q>'+bt-b). + (z- cf

---

GRADIENTE. DIVERGENCIA Y ROTACIONAL

DIVERGENCIA

15. Siendo A = r2z l - 4t"'! + ry2zl, hallarV.A (div. A) en cl punto (l, -1, l).

v.e = r$r - $r

* $.1. lx2zr - zysz2 ! + xy2zr¡

= ?a+¡ * P<-u"*> , ?eyo,\O, Of ot

= ztz - 6y222 + *.y2 = 2q¡'¡11¡ - 6(-1)2(1)2 + (t)<-rf = -3 en(1.-1,1),

t6. sierido ó = L""y'"o , (c) H¿lhr V'Vd (div erld C).^, 12 .\2

(ó) Demostrar que V.9ó=9'ó, siendo V' = # - # - #

el operador Laplaciano'

(¿) Vó = | ? efy2"a\ + t ? eéfAt + | !@sf 4',dzü-dz

= &212¿o l + 4rty"t I + g"3y2"31

Zr * 3¡, ?t). (uny'"o t + 4xsrza ! ! gxs!2z'tt)Lu€go v'v9 = (;z ot oz

= ! 6"\",.1 + J 1l/7.n¡ * 9re/1,"1a" ' - ' 4 ' 7z '= L?,2r2¿1 + qr3z4 + 24rs12"2

) ) ) A.A ¡.^ a.A(ó) V.Vé = 1l I + -Y¡ + i r l . 1{Ll + i ! ¡ + { f . r ¡

o, oy oz oz oy o2

a aó ¿ aó a ¿ó a"ó ¿"ó ¿'ó?¡' E¡ ' 7y'7y ' 2z'72 ' 7r2 7y" 722

= 13* !=, !=, ,ó = V"Oü dt' dz'

1?. Demostrar que Vtf ll = o.

v"111 = ,4-4*É-, , - - -1, ' - \ ¿x2 U2 dz, ' \ /F+r2+ 2'

.3-, 1 ,,¿;/ , \ \?'

d, I '¿'2'!Q;/l/'

= !F'+f

+?)'t/" = -'(,2 +r2+ '2)-sh

= {Í-,

1"2 + y' + "t¡-shf

= 3st1f +,f +*f6/2 - 1tz +rz 1"27-s/22.t- ! ' ' f

(r2+ 12+ 22\6/2

Análoganente,


?", l . , = 4 ' - r t - i . , ? ' , I , - 222-¡2-12

q'y'r2+f2+22' @2 +,2 +22)6y'2 ' d22'y'r2+12+22'

@2 +!2 +.\*

^2 12 12

lhndo, r j- * ¿* * --9-- t r -==-!- I = o.

tJ{ q' óz' y'r2 +t2 +¿2

I¡ cq¡ación Y'ó = O eellañr, ecuación de Laptace.* dr9d¡uequo C : l/r cs un¿ solución dc cst¿

65

)(: (d) V.(A+B) = V.A + V.BY (ó) v. (óA) = (vél.e + é(V.a).

¡rA = ,{1t + A2t + asl, B = 811 + 82t + 83t.

E¡ronces V.(¡+¡l = t$i * $t

* $rl

. [r4*4¡r + (4+B)t + 1,r"+8")rJ

= 5;(4+81)

+-zU(4+B) * É14*41

¿a, aA" aa" aB. ¿8"=-=-*r-<.r-¡- f=-: f - - - r

O, Ot Oz Ox Oy

= t f t + üJ

+ ; ; r ) . ( , {1r

+r2l +4r)

3&?:

I-{o^) = V.(eAl + óAd + ó/ry3r¡)

^/= *,*n¡ +

&@A"\ * fr<ót"t/

aó . ¿A^ aó . dA^*Ar

* a ¿; 'TAr ' QÉ *

pn,*p-^.*pr" * or**ox, oy oz ot

,Pt . P, *p*¡ .1r , , +a2t+, . , r \ot oy o2

1V¿;.e + @1V.e1

* <$t * $r

* $tl.<r,t +B2t+4"r)

+ air¡.1t¡

+ e! + Asli)

= V.e + V.¡

aó ,¿A-

-: /s + 9-<r

?,t, * ?,{".,4 2z'

) )+ {1i t+i¡

or o1

Sean @ = r-o "

A : r €n ol rssult¿do del probl€ria 18(á).

Eatonces V.(¡-3r) = (Vr-").r + 1r-3¡V.r

= - 3¡ -6¡) i- + 3¡-3 = 0 , ta.¡úendo Gn cu€nt! cl probleo¿ ,t,

t-- ---

66 GRADIENTE, DWERGENCIA Y ROTACIONAL

20. Demostrar que Y-QYV -VVU\ = UfV - V V'U.

Del problema l8(ó), siendo ó: U y ¡: Yv,g.tuYvl = lVy¡.1Vr¡ + u(Y.Yv¡ = 1Yu¡.qYv¡ + ug2v

Cambiando IJ por V se obtiene V.ltzVul = tVyl.fVUi + Vi't).

Restando, Y.gugv¡ - V.trVul = V.eVv -vVU\= (Vul . rVr l * UY2V - lqYv¡ '1Yu¡ + v92ul= uV"v - v Y'u

2t. Soa y(¡, /, z) la velocidad de un punto cualquiera de un ñuido. Demostrar quo el volumen de fluidopor unidad de volumen y d6 tiempo a través de las superñcies de un paralelepípedo slement¿l dcen el punto P(¡, /, z) y aristas paralelas a los ejes coordenados, de dimensiones /x, Ay, /2, víene dado,ximadamentg por div v : V.v.

R€firiéndonos a la figu¡a, se tiene,

componente x de la velocidad y en P

I

II

componcnte ¡ de y cn el centro de ¡¿ cara AFED : v, - ! * Z-, ^oro*.zo'

1 2v-componente ¡ do y en el cenho de la car¿ C.ilfCB : u, + i fi

Ax a?tox.

Por lo tanto, (1) votumen de fluido que atravi€sa ,4FED por unidad de tiemp "

: <",- | ! Ul

(2) volumen dc fluido que atnviesa G¡ICB por unidad de tiemp" : (r,+ + fi or¡ O,

IncrerDsnto de volumen por unidad de tiompo en la dirección ¡ : (2) -(1) : # O,

Análogamente, incremcnto de volumen por unidad de tiempo on la direcrión y : ff U zy z,

incremento de volumen por unidad de tiempo en la dírección ": ff z, zt 2".

El ioc¡ernto total d€ volumen por unidad de volumen y de tiempo es

lx ly lz:d iYv:V.v


Eftado €s exacto únicamentg en el límite, es decir, cuando el paralelepípedo s€ considora cada vezt .ño tend¡endo hacia ol punto ¿ o lo que es igual, cuando A¡, ly y Áz tienden a cero. Si no hay

6?

o tend¡endo hacia ol punto ¿ o lo que es igual, cuando A¡, ly y Áz tienden a cero. Si no hayde fluido en punto alguno se verinca que V .v

- 0. Esta €cuación recibe el nombre de ecuaciónde un fluido incompresible. Como no se origina ni desaparece fluido en ningún punto, dircmos

aa¡t€n fu€ntes ni sumid€ros. Un vector v o un campo vectorial de divergencia nula * llaf a solerroidql-

la constante a de forma que el vector v : (¡ * 3y) i + (t-Zzli + (¡ + ¿z) k sea sol€noidal."u)

A I A \ . \ '

Un ve4tor V es sol€noidal si su divergencia es cero (problema 2l). --.-{*^"-J-( --) \r\', 'i ' Ó

V"V "

- l = ¡zs i - fu"y"! + zyzah,, bal larVxA(o rot A) en el punto (1, .1, l ) .

V'e = t$ i - f , r 'S*t

x(xzsr - 24rzl + 2yz4r\

l

¿dr

3

l+@"1 - !<-23y"¡ l t + l i1rz3¡Oy oz oz

(2za + ?j2!) i + 3,22 ! - 4tyzk = 3t

- +t2r"\ lr ,* , -*r"r- $t '*r l t

+ 4¡ st ( 1i-1, 1) .

ffudo A: x2y | - 2xzl + 2yzk, hzllat rotrotA.

rotrotA: Vx qVx e¡

= Vx = Yx lgvt+22y1 - ( t2+2zl t )

lido quc

rtal dc

t'dado,

ax)

Áx\ Ay

av,=:' Ax

AyZz

j

aly

-2"'y "

t

a&zyr"

IJI

¿a¿?¡ ¿y 7z

*y - 2.xz 2!,

*,,,oa'"r a,r",Qll'3t¡r

I

aE¡

T

aé"

-u" - 2"

J

a7y

0

Vx(A+B) = VxA +VxBVx(óA) = (Ve)

"A + é(VxA).

= (zr +2)t


(a) S€an A = A1I+A2t r l3k, B = BJ+82! +Bsk, Etr tonces:

vx (A+B) = r$r * f,i - a3nl

x [(,{r+81)r + (A2+B)t + (,{s+as)k]

j

a4

A r+Bt Az+8, As+Bo

ti(i{"+8") - : (A"+ B"\JIot - óz ' '

* [J1,r,na,¡ - Ptr"*at]¡oz - - or - "

+ L":,<,tr+sS - ü

(,41+Bl)l r

*t , . r*- l ! t*or ó, óy

= f 4! - dA'1,

' 194: -oy Az dz

* fE& _ atr l , * ra8l _ a83r, ,dB" ?8r] .'ar -

¿, ' ' ' ta, a, t ' ' L¡ ; - -a-Jk

= V*¡ + Vxn

1a¡ Vx1óe¡ = Y x qgArt + óA2, + ó4k)

óA, óa, óA.

tfi<o+t -$,oAt, + t]@e,t- Sró+r]i . tlo+, - $<tó+.!n"-oY-

of ó, dz

az óz dt

o tr* - *r, * 134^ 'oy óz d¿

* [rP¿" - Pr"r, *oy oz

tJ

¿ó aéEz ¿y

Ar A2

k

¿¿,

¡

aa,

J}

aaa/ ¿"

l

¿a"

= SlVxe¡ +

l

aó¿"

\L.-

= ó(Vx A) + (Vél ' e.

GRADIENTE, D¡VERGENCIA Y ROTACIONAL

V.lAx r¡ sabiendo que Vx A = 0.

h . l = l i t + A2t + Asl , | = t l + yt + zL.

baxr=

tJt

Ar A2 As

xlz

69

V.1l r r ¡ =

¡¡ V ' 1V6¡)

v

el V'(Vx r l = V .

= (zA2- !Ae\l +

fi(zAz - rAs\ +

¿A" ¿A"z --- - /--

Ot Ot

¿a" ¿A., ( - - =-) +

o! oz

[r l + ¡J + r I ] '

r . (Vx A) = r .

aa7r atAL A2

¿A" ¿A, a,{. ¿A-+ r -{- - .=- + t -<- - ¡=-et o1 oz oz

¿A, da" ¿A" a,t.t ( : { i - <=) + z(=i - - - - : )

oz ot ot o!

r ,¿h ¿A2. , .dh ¿As. . ,¿A2 ?¡,t(-- - =-) l + (=i -

--:)J + {=-= - =-

ot 02 oa o, óx ot

rot A. Si VxA=¡ "¡

r€sult¿do €s cero.

(xAs- zATll + (fAt - ¡.A'.\ l

f,ot"-"^,t + !|t,-'t,t

¡

a7z

as

x(+t+=,O, Oy

(rotera;\\=0),

\ ,,,

* p. l

v .Q\f \-)

(ó) V.(VxA) =0 (divrotA zó).

+(}tn _ é,t,a, d1

d ,¿a2

-r=- -oz oz

) rl

I

d

¿"

aé?¿

l ,

7r ¿,

aó aóir ¿r

.a aó. a ¿ó' . .a aó a aó, .e arÁ a A.ñ.= L+(-) - +(+) l r + L+(+) - + (=)J, + [ : (+) - : (=) l ro! oz oz o! oz ot ot oz ó, óy (, ót

12, ^2,

n2, \2, -2, ^2= (:g - j4rt * 1=!f- - 39r¡ * 1.j€ - 39r¡ = o

Oy Oz Oz Oy Oz Oa, Ox Oz dx (, Ol dt

Toni€ndo que C tiene segundas do¡ivadas parciales continuas, con lo cual-cl ord€n de la derivación cs indifc-

-r|G,

)rl

7t,4,

v. t r* - *rrOf Oa

AA,oz

a . at1qdz

¿a"-É)¡

?, iu.-E'¿ a/. ¿a.= -a ------= - ----a \ +?r 'E7 ?¡ '

/ - - -

70 GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL

12_ -2. -2 ^2 ^2oAa ó4" dA, óA- dA-

¿r ar, ?¡ ?z ¿y¿, }1 ?r ?z ?r

\2,o A.

?"8suponiendo que A tiene scgundas derivadas parciales continuas.

Obsérvese la semejanza entre el rosultado anterior y cl de (C x Cr) : (C X C) m : 0, siendoescalary C'(C ¡ A) : (C x C) 'A :0.

28. Hallar rot (r/(¡)) siendo/(r) derivable.

rot (; /(¡)) = V x (¡ /(¡))

Vx (x/(r) f + t IO) l + z l ( t ) l \

rl(t) t lO\ z f(,',

¡ f ^ Í

>f >t ) f >r= (z l - l+) l * ( '+-¿+)J + ( / : : - ' :1)Loy oz oz o7. ot oy

e,,o fl =,9.¡,$r = {}c.a;p, = +,4,",,,=

I-:.4n6¡o*n"n"X=+ tX.f 'v f 'z f 'z I 'x l ' , l ' '

Por fo tanto, l resul tado es, =(,+-t l l t + ("+ - "+\ t + ( f t - - - : - '+) l

29. Demostrar que V x 1V x ¡¡ =

tJr

aaa?¡472

'A) .*

Vx 1Vx¡¡ = ! ¡

= Vt

- v'n + v(v

jL

¿a7y 7"

A2 Ag

- T ' ) r *óz

I

a7z

| ,¿Asol *-1! , , . r*-1lrr r l

02 ot ot ot

;'

¿ ,AAo ?¡, , a . a,{1 E,{ . . . , .E7'E ¿y' ?, '?" Zx" '

. f3,?4-?&,, - ?, !4"- ! ,e ' ,1,-?r '?7 E¿ ?r 'D" dy" '

j

aly

I

a?¡

7A,¿z

dA, 7A"¿" 7z

I

a?z

éA" éA"ot oy

I tl f r

¡+¡ . \ iü

. r3,* - !4-" , - 3,* - * ,1.Ot Oz O, Oj Ol dz


, -"+ -"#,, . " ,* - fuu, "* -*, .. ,{*,fu"^r, t , ! , .#r,, - ,34.,., '*"r,

,-#-*-#,,.,- 'S * $,,,,$-*- ".4,,.,*.*,*,, .,$ .*-*,,,,*',*,*,,-2

a2 12

- r*. *+, +

#\(A;t + A2! + Asr)

, ' * ,# .* .* , - ,E3.* -"#,*, . ** ,* ,"#."#,

-v"e * v1$ - .* . * ,

ox ol oz

= -V'e + V(V.r)

quiero simplificar la escritura, se puede operar solaÍronte con la componente i y d€ducir luego las otrast¡ smcmalt.

El resultado también se exp¡Esa cono c¡r el problom¿ 47 (a) del Cap. 2, de la forma siguienG:

r¡ l ax (Bxc) = B(A'c) - (A'B)c

Li : ldo A=3=! y ¿=¡,

Vx ¡px¡¡ = VrV.r l - 1V.V¡r = VlV'r¡ - fr

tEveso que la fórmula (1) so tiene que escribir de forma que los op€radores A y B p¡ecedan al op€rando C

¡odo v =arx¡, d€mosüar qu6 ¿¡ = | rotv siendo (,, un vcctor constante.

rotr = Vx v\= V x (¿rxr) "' li' ); )'-- i t f1<,t2" -@sy\i + (.¿st -@tzr! + (oú -@2'\lf

r ¡ t

?d ó -:-

?¡ dy éz

@22 - QAI Q)gt - (D!z O)Lf - a¿2t

- 2(<D1l + (¿2t + .¿slf,'t = 20, .


Por lo tanto, o: ¡V x Y: l rotv.

rotacional o de tóúices.

El ¡otacional de un campo vectorial confierc ¿ éste propiedades dc una rotación' como vercnos

cup.?. 'ii

"iáñpá-r üiüñno.

"i aJ ,.to"idados d€ un nuido erl movimicnto, por ci€nplo, un¿ ru(

Daleras que se sirúe en ¿iwrsos puntás del mismó' tiende a girar en las reSioncs en las qu€ rot F .* 0' m¡'". ri tiii':'o no hay rotación v ii"".pJFé ¿.n orruú lrrotscional' Un campo no imotacional ¡6

Anii losam€nte, Vx (Vxn) = o. ' ,*, = $<vxo

= *.* ' " -#

4

pe¡eVx 1Vxü) . - fn *yÑ1at = - fn. Lucgofn = S. ' ,

I¡s €cuacioncs

^2 ^2 ^29r+9!+9!=¿t2 V 122

dadas son las ¿caqclotw de Mqxwell & Ie t@rlt elecúonsgnética. la

-29r se lama ecuaclón d¿ ondas.?c2

dx, q oz

,+2! +az tz-v1] 4E+cY+22

PROBLEMAS DIVERSOS.

32. (¿) Un vector V s€ llama irrotacional si rot V : 0 (probloma 3O)' Hallar las constantes 4' ó' ¿ de

v : (x + 2y + az, | + (bx - 3y - z) | 4 (4x + cv + 2z)lr.L- 0 t t Oi u Olsea irrotacional.

(¿) Demostr¿r qus v se puede expresar cotno el gndicntc de una función esc¿lar'

I ¡

a. = (c + l ) t + 1a-4)J

^t .Cv\á- ^ =

(ü:

,

(a) rot V = VxV !

El rotacional 6s ccro para ¿.4, ü = 2, c = -1, de donde

A 2 @ +2t +42\ l + (A -3f - . t t + (* t - l +22) l

ü :'¿4', ' ¡ s ' l

b-"

. r , -3f -2, (3) = = 4t- f +22.'dzEntonccs,

(ó) supongamos v = V@ . $t - $r -$.

( r ) : {= '+zf +az, (21

ót

da¿t-

Integrando (,t) parcialmcnte respeato de ¡, pcrmaneciendo / y z comtantos,

(4), ó = + + b! + 4rz + l(y,z)

sicndo /(/, z) una fu¡¡ción arbitraria d€ y y z. Análog;amente, e <4 y Q)'a.

una gosible detinición de grad B.

SuponiendoB:^Bri+&i+13k, la expresión de grad B vi€ne dad¿ por

v" = ,*r * $r

* $.r rr,, + B?, + Ber)

* P¡, o P,, * Pr.ot 0! ¿t

* $. , * $.r * $. .I-as. expresiones i i, i i, etc., se llaman diadas zzrlarr?rs. (Obsérvese qu€ ¡ i, por ej€mplo, no es Io mismoji). Una expresión de la forma

orJÍl + ar2lt + d$l¡ + a21tl + aelt + az'l l + odll + ¿salJ + o$l¡

*#y" siendo sus componentes los co€ficientes o¡, on¡... Disponiendo las nueve componentes

&rma una matriz cúadrada de tercer orden, 3 x.3. Er concepto de diada es una generalización del con-D de vector. Una -generalización

posterior nos lleva a las t)¡odo, qu";;¡*it*:LhjJ.;,if*."{;i$h[;rnm#.*nlis#}:-3*:'#:"r,fl:'J:


- fz + t@i)

+ 22 + h (r , t ) .

ceDarando (l), (J) y (ó) se deduce que hay un valor común de C si s€. to¡nan

r = o, -4ó=4zz-yz

'x2w2:,, t '=n-Frf*Lxr+4zz-rzI

¡1y,"¡ = -{ , " ' , s1z,z¡ = ( +¿2, t tn,r l =$-{

Et¡ese que tamb¡én se puede sumar a d una consla¡te. En general, si V x v :0, antonces s€ puodcts c de forma que v : vd. un campo vectoriat v que aerlva áe oiio escatar d, tal que y : vó. sca ca,rpo vectori.tl co,sertqdor, si€ndo d el potencial escalar, Recfprocamenó, ii ; :;;, "*Jil:

. r :0 (problema 274).

trar que si ,, (x, y, z) es una solución de la ecuación de Laplace, V C define un campo vectorial sole_e irrotacional.

¡or hipótesis, d satisfacs a la ecuación de L¿place V,d :0, es dcc¡r, v,.(vC) : O y, por lo tanto,rs rclenoidal (problemas 2l y 23).

Del problema 27a, V x (i ó): 0, con lo que V d es irrotacional.

V,l , o

= *t , * P, ,o, or

( ; z;)

35.

i GRADIENTE, DMRCENCIA y ROTACIONAL

Sea A un vector deñnido por A :,4, i + A"j + A.k y O una diada dada por

o : ¿rr i i + a- i j + at3ik * ¿¡¡ i i * aoj j + d- ik + a3,k¡ + a3!k¡ + ¿,skk

Obtener una posible definición d€ A.o.

Suponiendo que sa cumpl€ la propiedad distributiva,

A'o : ( , { , i +,4, i + A" k) .o : ,4, i .o + A, i .q + l3 k.o

consideremos, por ejempro, el producto i 'o. se forma efectuando los productos escalares de iuno de los términos de ,iD, surnando luego los resultados parciales obtenidoi. Algunos de estos térni .a, i i , i ,a," i i , i .ani t , i 'a*k j , e ic. Teniendo en iuenta oue

l .o11l l = al l ( ¡ . i ) t = o11t yaque l . l = I

I ,oetJ = a12C. t r i = arpl ya que l . | = il .c21j l = aa(t . r ) i = 0 yaque t .J =0

t.q2lJ = csr( t .k) j = 0 yaque t . I = 0

y damos una inúerpretación análoga a los términos de J.rD y I..D,se obtiene

A.O = ?41(a11t + ¿12 J + a13 k) + Ai@2:i+a,zt+ k) + ,4s(as1 t+as2J+063k)= (A1a!r+ A2d2r+ Asoar]t | + (A1ab+ A2dz + Ards2) t + (Aaqr+ A2a2.+ Aa

que €s un vector.

36. (a) Interprctar et sírnbolo A 'V. (ó) f)ar _ur posible significado de (A .v) B. (c) ¿Se puede escribir lasión antc¡ior de la forma A.V B sin ambigiiedad algiina ?

(a) s€a a = A1l + A2i + l¡1. Tend¡emos, formalmente.

A,9 = e1t + A2! + Asl l ' t . t r3 i - $r .$rr

+ A-: + A^ - : -oy oz

que 9s un operador. Por ejemplo,

t ¡ 'Vló = ¿¡.3* a a'" ' a, '" t

+ 's;,)

@

Obsérvese que €sto es lo mismo que A ,Vó.

(á) Sustituyendo en (a) / por B = Br | + B2J + Bsk,

(A.V)B = tt¡a * erJ * ¡"P)s = ,r1E ., lr$ * ,1"$oy oz o, oy oz

= (,{, *' . A"yL * , ¿8. aB" ¿B^ 78,. . .. aas arg' 'o ' 'dy r" a. l t ' (A' ¿:

+42 ¿;

*4"É)t * tA'5i * A2i" +A3

(c) Tenie¡do, en cue¡ra la interpretación do V B dada en el problema 34 y, de acuerdo con elestabtecldo en el problema 35,

¡-dx

+ Az¿ó¿r

aó

ALt.VB + la l .Vs + . {st .Vs(A1l + A2! 1 13¡) . VB =

, , ,p,r P, . P*, *ot o, d,

aó

l . A-Va =

n,,!, *f;, . fu, * ¡"r*r - *, - *


que _es_ el. mismo resultado que el del ¿partado (ó). se deduce que (A .v) B : A .v B sin lugar a ambi-güedad siempre qu€ el concepto de diadica se considere con las propiedades indicadas. -

!tuido A = 2.yzi - Éyi + r*k, B = x2i + yzj - xyk y ó = 2-"y"", hallar

. ) (A'V)ó, (ó) A.Vé, (c) (B.V)a, (d) (AxV)O, @) AxVé,.

r¡ 1n.V¡@ = lqzyz | - t2y! + . .z2r¡ .rPr * 3¡ * Srt lOot of oz

> a ,"2?, er)r . ) _, , -- l= (2r" ; -* t ; .

dz

u"{<N'y,"¡ - * 'y}e"2y""¡ t ' , ' j taT""\

(2yzl(4tyz3\ - ¡x2y¡12t2 23 \ + (x.z2 116¡fz2\

B"y"" t -2aoy"s+5"ty"o

n.9E = ¡zyzI - x.y! +, , ' r . l . rPr . p¡ * $*,ó, óy dz

= $2rz t - x2y¡ + zz2$.(4"231 + 2r2r31+ gr2yz2 h¡

= ú!2za - 2"ayz3 + 6x3y"4

Comparaodo con (a) se d€duce que (A.V)d = A.Vó.

. ) G.V)A = l1 '2 r + yz! - , rkr . t3r * P¡ * l r l lnOx Oy Oz

.c7 a a.- ,?¡ aA E¡= (r-<- +fz\ - r l^)^ = ¡-- + t¿- - ty_ot oy oz ox ol oz

= ,2(-L.y i + z2 ¡¡ + yz(zzl - x2 t \ - , l (zy i + 2jrk)

= (2122 - 2ry'\l - (2.rsy + íy{! + 1}22 - zz2yz¡l

Para la comprobación con B'VA, ver€l problema 36(c).

er ¡¡xV¡@ = l¡zyzr - *yt , "",r¡,qlL * $i

* SrrlO

4z -;r

aa

_11Li(-*y+ - """+)oz oy

- aó ^aó- (x'y i ' + x.¿'--) loz oy

- ( &tay2r2 + 2¡3zE)l +

a1¡1",2 i - zyz il

Or Oz

2.r. ).A1xz2 { - zyz{¡¡

oz oz

( 4x2yz5 - t2t2y2 zs ¡ 1

zy, {(z,ty'.)/Yz (4()¿'

u*v

r (2yz+ + fy* lQoy Ot

aó ^aó(2yz-- + fy =¡ '¡ko1 oz

f t'rrt + $r

k

a¿"¿r

)

l

2

?4dz

ITWARIANZA

38. Deducir las ecuaciones de transformación de las coo¡denadas de un punto cuando los ejes;r, y, z, delr€ctangular al que está referido giran, respecto del origen, hasta li posición x,,y',2,.

^ Sean r y,r' los vectores de posición de un punto cualquiera p en ambos sistemas (6gura de la página

Como r : r',

( i ) t ' t ' + y '1 '+ z 'ht = t t + y l + zy

Para todo vector A s€ verifrca (problema 20, Cap. 2),

a = (A.t ' ) t ' + (A, j ' ) i ' + (A.k,) k,Hac¡endo A : i. i, k, succsivamente

Sustituyendo las €cuaciones (2) en (,t) e igualando los coeficientes de i,, j,, k, se obtiene(3) x '= l : :x t ' lp! t l tsz, f '= lzú + lzy + LBz, 2t = l .1x + tg¿y + Leszque son las ccuaciones de transformación p€d¡das,

3!). flemostrar que i' = lrr i + lpi + 4gkJ'= l2\ l+122i+hsk

k'=Jsr i+ls2i+h3k

Para rodo vector A s€ verif ica A: (A,i)t + (A.J)J + (A.t)k.

Hacie¡do A : i', i', L, sucesiva¡Dente

(2\( | = t t . l l t ' + ( t .J ' )J ' + ( l .k ' )h ' = t11i , + t21i ' + h! k '

{ t = r t . t ' t i * rJ.¡ ' lJ ' + ( j .L ' )k ' = ter ' + ¡n 1 ' + ts2k'

( r = (¡ .1) f * (k.J ' ) j ' + (¡ . I , )k, = hsi , + taf , + qBk'

-t

+

+

I '

{I'

(€) AxvO - elz i -x2rt+,22h)"r f f r -$t -S* l

I

4z

¿O

( - , , aó ^aó-

- ¡z ' ' - .- ) Ioz o,

= - (6zaf z2 + zt3z6)t + (

Comparando con (y') rasult¡ quc

= ( l ' . i ) l + (1.J) j

= (i ' . i) t + (i ' , i) i= ( i ' . i ) i + ( I1 j ) j

('" '# - zy"!n * tzy"4", * *y4" tt

4z2yz6 - l2?y223¡¡ + ( 4x2yza + 423/2zl\h

(AxV)ó = AxVé.

(r1 ¡) t = lú l + l r - ! + ¿sh( j"r)r = h\ t + b2i + t '€,(k ' ¡ . l ) I = ¡s l t + ¿s2J + bol


J2- r t

aóéy

GRAD¡ENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL

* t tr,,, hr: lsim:z,y0si¿r * n,endon&my npueden tomar uno cualquiora dc los valo-

b c¡¡¡acionos (2) del proble¡n¿ 3E,

t . t = r = l t l l t '+¿r.¡ '+ !st ' ) . (&1t¡ + ¿21r ' + ¿s1l ' )

'2 ,2 ,22, ' ! ra2LlLAl

f., = 0 = (¿sl'+ ¡rn¡'+.tutr'¡ . (tpl ' + trr.! ' + ls2l')

= hrl,e + lá12 + hTla

l . l = 0 = (Ll l '+ 4oJ'+ hr ' ) . { r tgf + toJ '+ 6er ' )= !1Is + lalzs + lsLls

&rostrado 6n cl caso dc rn: l. Considcrandot'l,l ' l ' l 'k'k'l 'k'¡ y k'k se obtiono la demos-É$ m:2 Y m :3.

( l ¡ i ¡ r : t tEirndo ó- : |

--- '' cl tlcultado sc pu€dc Gccribir t lñIto:A'.'

I Osim*¡ t - l

E slmbolo ó,o¡ sc donomina deltq d2 Krcneck.r.

Por hipótcsis, 6@,y,2'): 4'@', v', z)' Ten€tnos quc dcmostrar quc

P,- Pr * P. = Sr 'P, l . Sr 'ot oy oz ot or oz

Dcdvando y t nimdo on c-r¡ents los ccr¡acio¡res do transfoÚación (3) del problcma 38, !c obtis¡e

Eó',a,', aó'&' ?ó'?.' ¿d'. aó'. ad.' =-;

--

+

-'t

<- + .-li- = <-¿f + iJ,21 + i r-hlÓt dz Oy' Ót Oz Oa ot oY oz

aó' ar' ú' d' ?ó' ?r' ad . aó' . ad.= *¿t '8t . ¿/6

= a" '4 '? t 4 '* ' ; j tu

aó'ar' aó'ay' ?ó'?.'- é"t 1, ?t' E¡ ?"' ?,

aó'. ú'. aó'.= i- he + i lze +

--

¿sgot or 02

l(¡, & z) u¡ csc¿la¡ invari¿ntc rcspccto ile una ror¡ción do e!:q demotrar quc Srsd C os u[ vcctorrtc Ést Ér-to dG cata transforünción.

aó?,

@AraéE¡

Xu¡t¡plic0ndo €sta! ccuacionca por t, L L Fapcctiv¿mte, sumsndo y tenicndo o crmta sl pfoblcm¡ 39, soótiono ol rcaultsdo pcdido.


Sol. (6 - 2t - 't' - 2r' -tt') r

Sol. ¡./s + constante

i , l

i

:t

I

, | l

:

Problemae propuestos

42. Siendo ó : 2xz. - x,y,hallar VCy lV{ lenelpunto(2, -2, -l).43. Siendo A : 2x, i - 3yz i + xz, k y 6:22-x.y, hallar A.V ó

.5o1 5,7i- i - t lk,14. Siendo F: x,z I

"ttx y G :22,y - xy', hallar: (a) V(F + c)

_ ,9¿l (a) --4¡ + 9i + k, (ó) -8j

45. H¿llar V lr I¡. Sol. 3rr

f'ír\r46. Demostrar que Vf(r) : Li-.

47. Harrar v p," -tl, + fi\.,.. 48. Siendo gU :2r'r, hallar U.

49. Hallar C(/) de forma eue Vd : ,.j v d(l) : O. Sol. ó(r)- + (t - +)

50. Hallar V,p siendo 9 : @, * t, ¡ 2t¡ ¿-l7i7l7 , Sol, (2 - r) e-, r

51. Siendo V C : 2xyz, i * x,z,l + 3¡tz'k, hallar C (¡, /,.r) sabiendo q\e {(1,--2,2):4. Sol.$:

52. Siendo V\ ' : (y2-2xyz') l+(3 +2xy-x,z ' ) l + (62'-3x.yz ' ) k, hal lar r¿.Sol. 9: aya - *,y2. +3y +(3/2)2. + const¿nto

53, Siendo U una función derivable de x, y, z, demostrar que V U ' d¡ : dU.

54. Siendo Funa función derivable de x,y,z,, y x,/,2, funciones deri'.,ables de r, dcmostr¿r quc

+ : + +aF'#55. Siendo A un vecto¡ constanto, demostr¿r que V(r'A) : A.

56. Siendo A(x, y, z\ : A\i + A,i +,{, k, domostrar que dA : (V4.'dr)i +(VA,'dr)t + (1A"'

s7. I)emostrar que o (€) : ooo;""o siendo c + o.

58. Hallar un vector unit¿rio p€rp€ndicular a la superficie del paraboloide de revolución z : ¡r tt t - r4 j_k

punto (1,2,5). Sol. #' + \/,59, Hallar el ve{tor unitario normal á la superñcie (x - l)t +y'+(z + 2)r : 9 on el punto (3, l, -4).

Sot. (2i I i -zk)13

60. Hallar la eruación del plano tangente a la superfici€ xz" * x'y : z- I en el punto (1, -3,2).Sol- 2x-y-3zl l :O

61. Hallar las ecuaciones del plano tangente y de la normal a la superñcie z : x2 t yr cn el punto

sot. 4x-2y-z: t , " ; ' : '+: "=t o x:4t i - 2, y:-zt-r , z:- t i - 5.

62. Hallar la derivada de 6 : 4¡2t - 3tzr'z en el punto (Z' -1,2) en la dirección ¡ - 3i + 6k.Sol . 31617 :53.7

". Xl:t"'jflP frl.: *--*

^ el punto (1, l, -l) en dir€cción hacia el punto (-3' 5' O'

So/. lOi - 4J - l6k, 21l 93

y A x VC en ol punto (1,

y (ó) v(¡C) en cl punto (1,


h di¡ección según la cual la derivada de la función ó = 2xz - y" en el punto (1, 3, 2) es máxima.=el rÁ",i iulo de este valor máximo? So/. En la dirección del vector 4i -6j +zki2\/A:'1.4g.

r los valores de las constantes a, b, c de forma que la derivada de la función 4 : axyt + byz ! cz,xlFnto( l '2 ' - l ) tengaunmáximodemódulo64enladirecciónparalelaalojez.t :6,b:24,c:_8.

el ángulo agudo formado por las sup€rfcies xyzz : 3x + z, y 3x1 - y, + 22 :3 \/Á.Ic cos

liln:2:: arc cos H

: 79"55'

I ¡ ¡ fasconstantesayódeforf I laquelasuperf ic ieaxr-gyz:(a!2)xse¿o¡togonalz la4xry*23:4d punto (1, . ._1,2). So/. a :512, b : I

feodo ri y y funciones derivables de x, y y z, demostrar que la condición necesaria y suficiente para quer y v estén relacionadas por una ecuación de la forma F(a, y) : 0 es que Va x Vy : 0.

Dererminar si u : arc tag x + vrc tzg y y v ffi "r,an

relacionadas funcionalmer¡le.

(á) Si (v : tag ¿).

Demostra¡ que la condición necesaria y suficiente pa¡a que ¡as funciones u(x, y, z), v(t, y, z) y w(x, y, z)6tén relacionadas por una ecuación de la forma F(u, v, w) : ¡ es que V¡l x Vv x V', : 0.Frpresar Va. Vy x Vw en for¡na de determinaote. Este deterhinant€ se llama Jacobiano de ¡]. r. re rcs-

. A@,v,w) . . . /a,v,w\pecto de x, /. z y se representa por ¿G, yÁ, o b¡en. ./

\; l, z , .

D€termina¡ si u: x 1y + z,v: xs +y" + t, y r.) - xy + yz + zx estáÍ rclacio¡adas funcionalmente.

?¿ ?¿ E¿7z éy lz

a? ?u ?u

- -- -Ox Oy Oz

!4, a, ?p¿" ¿y ?"

doA:3xyz' i+zxy' ! -x,yzkyó:3x'z-yz,hal lar : (a)V.A,(ó)A.vé,(c)v.(éA),(d)v.(vd),q el punto (1, -1, l). sol. (a) 4, (ó) -15, (c) l, (d) 6

Erllar div (2x'z i - xrzz t + 3yz' k). Sol. 4xz - zxyz + 6yz

I €n €l punto (1,-2,1).

t¿ (b) (c) Si (z!- v- 2tr, :0)

dr> L. krdo d :3x"2-y,z '+ 4x,y +2x-3y-5, hal la¡ VrC.

Ballar Vr (ln ¡). Sol. llr'z

I>mostrar que V2'' : n(n + l)rn-" siendo r u¡a constant€.

S¡€ndo F:(3¡r- z)i+(xz'+ y|) i -2rrz'!k, hallar V(V 'F) en el punto (2,-1,0).So¡. -ó¡ + 24j - 32k

Siendo o un vector constante y v : (' x f, demostrar que div v : 0.

Demostrar que i '(íV) : ÓA"V + 2A ó'VV + 1t'1"í '

Siendo U : 3 *y, V : xz' - 2y hallar grad (grad U)' (grad I/)1.

Hallar V '(r" r). So/. 6¡r

Sol. (6yz' - l2x) i I 6xz, | * l2xyz k

Hallar V'[rV(l/¡ ')]. So¡.

Hallar V'[v'(d¡')]. Sol. 2r '

Siendo A : r/r, hallar grad div A. Sol- -2r -' r

Sol. 6z I 24xy - 2z' - 6y'z

(d) Demostrar que a\a:# +| !*L. Ol Hallar f(r)de forma que v f(r) -o.

Sol. f(r): A + Blr siendo,4 y.8 constantes arbit¡a¡ias. s

GRADIENTE. DIVERCENCIA Y ROTACIONAL

84, Demostrar que el v€ctor A : 3y.2. i * 4xrz, i - 3x,y2 k es solenoidal.

85. Dcmostrar que A : (2¡r + 8xy'z) t + (3x'y - 3xy) j - (4y"2, * 2¡!z) k no es solenoidal y que B :cs solenoidal.

E6. Hallar la función derivable más gpneral /(¡) do forma que /(/) r s€a solenoidal.Sol. f(r) = C/¡3 s¡cndo C una constante arbitraria.

E7. Domosttar qu€ el campo v€ctorial V : --t

i-'j os un <c¿unpo de tipo sumidero>. Dibujarlo e{xr*v2

pretarlo flsicamenta,

Et. Siendo U y / campos esc¿lares derivables, demostrar qu€ VU x V Z es solenoidal.

89. Siendo A :2xz'i- yz i I 3xz. k y ó: x,yz, hallar:

91.

92.

93.

94.

(a) v xA, (ó) rot(CA), (c)v x (vxA) ' (d) v lA'rotA], (e) rot grad (óA) en el punto (1, l , l ) .Sol. (a) i +i, (ó) 5t-3¡-4k, (c) 5i + 3k, (d)-2i *i * 8k, (¿) 0

90. Siendo F: x'yz, G : xy-32\ hallar: (a) V(vF).(vc)l, (ó) V .(VF)X(VC)I, (c) V x [(VF) xSol. (a) (2y'z Í 3x2z - l2xyz) | 1(Axyz -6xtz) j 1(2xy'* x" - 6x) k

(á) 0(c) (x|z - 24xyz) | - (12x, z | 2xyz) j * (2xy" * l2y z, + x') k

Ha¡lar v x (r/¡3). s¿/. 0

¿Para qué valor de l¿ const¿nt€ a el rotacional del vector tr : (a¡y - zs) i + (a - 2) xzi +(l-a)es idénticamente nulo? Sol. a :4.

D€mostrar que rot (d grad C) : 0,

Representar los campos v€ctoriales A:¡i +/j y B:t, i-¡i. Hallar la divergencia y elde cada uno d€ ellos y explicar ol significado fisico dc los resultados obtenidos.

95, Siendo A: x 'z i I yz ' | -3xyk, R: y ' i -yzi * 2xk y ó:2r, * yz, hal lat(¿) A ' (v C), (ó) (A 'v) d, (c) (A 'v) B, (d) B (A 'v), (¿) (v ' A) B.Sol. (a) 4x.2 + yz. - 3xy2, (b) 4x'z + yz, - 3xy, (igual que (a)),

(c) ZY'z'i + (3xY'- Yz')l +2x'zk'

(d) el operador (.r? 2z i- x2yz" j + 2x,zU) * ! (y'zs í - y,z. i +Zxyz"k){

* (-3¡y'i ! 3xt'zi-6x'yk)

-(e) (2xy'zz ¡ ytz')i-(2xyz, * yz,)i I Ax,z l2xz')k

9ó. Siendo ¡ : y2' i -3xz' l I2xyzk, B:3¡ i + 4zi-xyk y 4: xyz, hal lar(4) A x(Vd), (á) (A xv) d, (c)(V xA)xB, (d)B.vx A.Sol. (a\ -5x.yz2 1 + xy,zt j + 4xyz. k

(b) -Sx,yz, i + xy,z, i + 4¡l?3 k (igual que (a))(c) 162'í + (8xzyz - IUz')l + 32xz! k (dr 24x,z + 4xyz'

9T.Hal larAx(VxB)y(AxV)xBenel.pu¡to(1,-1,2),s iendoA:xz¿i !2yi-3xzkyR:3xzi l2yzi-So, l . A x (VxB) = l8 i - l2 j + l6k, (AxV) x B:4j +76k

9E. Demost¡ar que (y 'V)y : J ' , -v x (V x v) .

99. D€mostrar que \¡ .1.1 x Rt - B.(V x A)-A.(V x B).

l0O. Demostrar que V x (A x B): (B'V)A-B(V.A)-(A.V)B + A (V .B).

l0! . Domostrar que v(A.B):(B.v)A +(A.v)B +B x (v x A) +A x(v x B).

102. DemostrarqueA: (ó.y/+¿3) i I(3x,-z)i * (3¡z' - y) k es i¡rotacional. Hallar CdeformaqueA =Sol. 6:3x2y i xzr-yz + consranre

GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL 8l

que E : rt! es irrotacional. Hallar, d de forma que E: -VC y q\e ó(a):0 siendo s > 0.t ' o : ln (alr)

A y B irrotacionales, demostrar quo A x B es solenoidal,

/(r) derivable, demostrar que/(¡) r es irrotacional.

-h alguna función derivable V de forma que: (a) rotv:r, (ó) ¡otv:2i+ j+3k? En caso

--.rivo, hallar V.

.f. la) No, (ó) V:3¡t *(2y- x\k *Vd, siendo / una función arbitraria d€¡ivable dos ve¡€s.hqrt-¿r que las solucio¡res de las ecuaciones de Maxwell

o'" .=** l o," =-+*. v.x=.0. v.E = 4rp

-r o una función de .r, y, z y c la velocidad de la luz, supuesta constante, vi€nendadas por

v,n=|*. o,"=-+*, v.n=0, y.a=mpr hde A y {, se llaman vectoria! poterciql y escalar rcspeati\¿amente, y satisfac€n las ecuaciones

1r¡v.n+1P=0. ' ' :2¿ a ' )2 'c dt e\Va--#=-n"0, at l t=\ f f i

Dada. la diadá-o: i i+ j i *kk, hal la¡ r - (o.r) y (r .o) . r . , (ó) ¿Existc alguna ambigüedad al<cribir r . O . r? (c) ¿Qué representa geométiicamente'r . ó ., É i íI (a) r ' (o ' r) : (r ' o) , r : x, t y, + 2,, (b) No, (c) Esfera de radio unidad con centro en el origen

frlt"lri,, jí,t; v"i t vz'k v R:2zzi-xvi *v!k, dar un posibte signiñcado a (A *v)B enúi ¿Se puede escribir el resultado en Ia forma A x (VB) aplic¿ndo el concepto de di¿da ?f¿ (¿) ---4i i - i ¡ + 3 ik- l r -4 i t + 3kk

(á) Si, p¡eparando ad€cuadamcnte las oporaciones,

&lrostrar que ó(x, y, z) : x" + y, + z! es un escalar invariante resp€cto de una rotación de ejes,

fudo A(x,y., z) un campo vectorial de¡ivable invarianG r€specto de una.¡otación de ejes, demostrar queo div A y (á) rot A son respectivamente, campos escalares y vectoriales lnyanantes respecto de la trans-fuuación.

&sfrjar x, y, z en las ecuaciones (3) del problema 3g en función de x', y' , z, .tcl- x : l¡x' * l,,y' * l",z', | : l* x' * lzs y' I L, z', z: l,"x':- hEt. * Iuz,

lfudo A y B invariantes resp€cto de una rotación, demostrar que A.B y A ^

B son invariantes.

hostrar que en una rotación

v = rP *¡ l - *rP =, '3*¡ ,3*r ,3 = v,ot oy a2 ó, dt. dz

Iblostrar que el operador Laplaciana es invariante rgspecto de una rotación.

tr- --

condiciones,,

= ["0 * ' ""o"

I,t

En general, toda integral a lo largo de una línea se llama integral curvilínea. Estas integfalesse definen como el límite de una suma, de forma análoga a como se hace en el cálculo integral o

En los problemas resueltos veremos algunos métodos de resolución de estas integrales.

Yeamos ahora un teorema muy importan{e.

82

fnot¿u = f$1st, r ) du = S(¡) + cJ J ou'

en donde c es un v¿cro¡ constante arbitrqrio independiente de u. La integral defnida entre los límites ¿ya:óes

Ca ítulo

Integroción vectoriql

INTEGRAL DE UN \aECTOR. Sea R(z) : R(a) i + Rda) j { Xr(r.r) k un vector función desola variable escalar u, en donde R,(a), R(a), R.(a) se suponen continuaj én un intervalo dado. En

!** ,0, = i f n,o¡du, i f a,ot¿, ,uf *"*ro,se llama integral indefnida de R(u). Si existe un vector S(z) de forma que Er¡: f tS{u)),"

loo *,','"

f ft

e.at = I

Ard"+Azdy+Asdz

En mecánica de fluidos, electricidad, etc, esta integral recibe el nombre de circulación de A a.lo lttgoen donde A es la velocidad del fluido, la intensidad de campo magnético, etc.

.^= s(¿) + c l - = s(ó) - s(")a

Est¿ integral también se puede definir como el límite de una suma, de forma análoqa a como seel concepto en el cálculo integral ordinario.

INTEGRAL CURVILIÑ-EA. Sea r(u) : x(u) i * y(u) ! * z(u) k el vector de posición de (¿de los puntos de una curva C que pasa por Pry P, corrcspondientes a u: Uty z:-a¿, respectivam

Supongamos que C se compone de un número finito de arcos en los que r(a) tiene derivad¿ conSea_A(x, y, z) : Ari + A2i + Ark una función vectorial de posición definida y continua a lo largoLa integral de la componente tangencial de A según C desde p¡ hasta pr,

curva ce¡rada simple, es decir, una curva tal que una recta cualquiera la corta a lo sumo en dosla integral a lo largo de C se representa por

aP^¡,

l ' *a, ln.d, = l , t ,dr+Azdy+A.d".,ces un ejemplo de integral cuivilínea o d,e línea. Si A representa la fuerza F aplicada a una partlculase desplaza a lo largo de C, dicha integral corresponde al trabajo realizado por Ia fuerza. Si C es

I

INTECRACION VECTORIAL

lo

función der dado. En

)) se

Ds límites ¡¡

I¡OlEMA. Si A :.vd_ en.todos los puntos de una región R del espacio definida por ar= x S az,É á¡ cr 5 z 5! cr, siendo {(x, ¡, z) uniforme y con derivada continua en R.

fP,f-

t A . /r es independiente de la trayectoria C en R que 'rne P1 y P2.21

Z. $ A.dr:0 a lo largo de cualquier curva cerrada Cen R.Jc

condiciones el campo definido por A se llama campo vectorial conservador y es su potencial escalarderiva.

I¿;ondición necesa¡ia y suficiente para que un campo vectorial A sea conservador es que V X Af r ':Én, que A : vd. En este caso, A. dr : tdx * Ardy * A"dx : dg es una difcrencial exada

l0-14).

RAL DE SUPERFICIE. Sea S una de las dos caras de una superficie cono la representaday consideremos a una dc ellas arbitrariamente positiva 1:i S es una superficic cerra¿a se toma

Un vector unitario rt normal en un punto cualquiera de la cara posltiva de S se l lama vectorrj,orma.l exterior.

hiemos a la diferencial de superficie d,5 unJS de módulo d,9 y cuya dirección y sentido

de n. Entonces, dS : n dS. La integral

II

ho se

i

II** = [^,0,I

III

r l, l

¡emplo de integral de superficie que se llamaA a través de S. Otras integrales de super-

fto

ff fff o ds, JJ ón as.53

[!n,0"lin de (x,

ivadar lo largo

palesFal

y' una función escalar. Todas estas integralescomo límite de una surna, de igual forma

del cálculo integral ordinario (problema l7).

¡ partículaI Si Ces hra calcular una integral de superficie conviene expresarla como integral doble extendida a la pro-!n 4pt de S sobre uno de los planos coordenados. Ello es posible si toda perpendicular al plano coofde-

clegido corta a la superñcie en un solo punto. Si no fuera asi, tampoco representaría demasiadoya que se podrá, en lo general, subdividir S en supcrñcies que cumplan la condición anterio¡.

rlo largo NTEGRAL DE VOLUMEN. Consideremos urra superficie cerrada que encierre un volumen Z del

L. integral a lo largo de una superficie cerrada S, se representa p* #.. o Ui.n. po, /

Las integrales

III^,, , [[r,,vv

de integrales de volumen. El cálcllo de estas inlegrales lo ve¡enos en los P¡oblemas resueltos.

INTEGRACTON VECTORIAL84

Problemas resueltos

ft . Siendo R(¿) = 1¿-u2¡ i + zus i - 3 l , hal lar la l I

Rr 'ut du y

,, f ^,,0,

en donde c es el vector const¿nte

R(¿) d¿ '

-a2,314t ( ; - i t ) l + tJ - 3( l )L

*,T= f tr-*, , . , ,= r fo- , \au*

= r<$-$ * " ,1¡=t f - f r r* i

23= t ! - f r t * I

' "J - et l¿u

f rtJz;a" +taJ-sdu

, tet * c2) + k(-3u + ca)

f t - , "* + c1 I + c2J + car

iJ - t ,u * "' " r t

* " r1

* " .x.

(á) De(¿), I r ' * r , rou = <{-{ l - i t- ,3 .3 o4= t( t - ?) t + t t

=-|r* f r -

Otro método.

l i*r,0" * 1! '2,"a" , " ! ' - r ru

- r r f r l ] + h(-r¿) l ; = -* t * f t - r r ,

- 3¿k +

- 3(2)k + c l

3k

"1,

= ' fi a-,'tr"

= ,(+-*)l ' ,

?. I-a aceleración de una pa lcula €o función del tieEpo f = 0 viene dada por

" :

# : 12 cos 2r i - 8 s€n 2r i +t6 'k

sabiendo que la volocidad f y el dssplazamiento r con nulos en f :0, hallar Y y r en función d€l

(l,ey dc velocidadcs Y do €spacios.,

lntesrando, v: i !ncoszrdt

+i I_ 8y' j Í2tdt +k I l&dt

: 6sen2r i 14sqs2f i + 8t 'k + c,

Haciendo v : 0 para I : 0, se obtiene 0 : 0 i + 4 j + 0 k + cr, de donde c' : --4 i'

Por lo tanto, r - 6scn2t i +(4cos2/-4) j + 8t¿k).

con loque fi : O t"n 2t i r- (4 cos Zt - 4)¡ -r 8r'k'

' ' r ' uú v i l@cos2t-4)dt r } - lS: l drIntegrando, ¡ = rJ osen -J r

: -3cos2r i +(2sen2'-4r)¡ + | r" l + " '

Haciendor:0para r :0, 0 : -3 i +O¡ + 0k + c, , ds donde c ' :3 i '

INTEGRACION

trnto, I = (3-3cos2r) t + (2s€n2r-4¿) '

f ,2-| ¡ rd.4¿r.

J d¿-

', = Ax"7F +

1<t,¿4t¿, =dt da

VECTORIAL

+ $r" r.

85

I ̂ "#" == ̂ r#

r 'c .

qAdt.

I

1.n"4,

dA dAi ' ¿,

^r4

; 3 ( l ) ¡

dcl movimiento d€ una partfcula P de masa rn viene dada por

¿Tn "¡ri; = [(r) tt

b r el v€ctor de posición de P medido desde un origen O, rr cl vector unitario en la dirección y scnüdof f(rl \Jna. función de la distancia dB P a O.

-d.frmostrAr que , , ¿;

: C Slenúo C un Vector constante.

hterpretar flsicament€ los casos en que f(r) < 0 y f(r) > O,loterpretar, g€ométricamente, el resultado de (a).

Relacionar los resultados obtenidos con el movimiento de los planetas en nuesro slst€ma solar.

Multiplicando fos dos miembros d . ^

dft : flr)r, por r x, se tiene

d'r^

x dl =,r(r)r x ¡r : o

ya que r y 11 son colineales y por l9 tanto, r x rt : 0. Por consigui€nte,

, , f f i :o, *F"#l : ,.dt

fntcgrando, I x Tr : c, siendo c un vector constante. (Comparar con el probloma 3).

¿+Si/(¡) < 0, la aceleración ]| es de s€ntido contrario a r,; la fuerza está dírigida hacia O y la partfcula

está, siqr\pre qtruídq haaia O.

Si /(r) > 0, la fuerza está dirigida desde O a la partfcula y ésta se €ncuentra sometida a una fuerzade repulsión.

Una fuerza que pasa siempre po¡ un punto ñjo O y cuyo módulo de¡rende únicamente de la dist¿n-cia r al punto O se llama luerza cenlral.

En el tiempo elemental /, la partfcula se desplazade M a N, como se ve en Ia figura adjunta. El áreabarrida por el vector de posición en ese tiempo e3,aproximadamento, la mitad del área del paralelo-graÍno de lados r y /r, o sea, I r x /r, Por consi-guiente, el área que ba¡re el radio vector en la unidad

Arde t¡empo cs ¡ r x 7i, con lo 9ue la vclocidad ins-

tantán€a de barrido es

l im j rxf , = *rx- = ¿¡xvAt-o ' Al - . t t

siendo y la velocidad instantánea de la pártfcula. La

" l!+- ,

8ó INTEGRACION VECTORIAL

magnitud H : t, " #: ¿r x v se l lamv yelocídad arcolar.

Velocidad areolar = n = l r ' {zdt

= - 6,M l1rr. df¡ r, -

aplicando la ecuación (J) y teniendo en cuenta que ".#

= o

De (a), se deduce que

: consBnte

Como I' H : O, el movimiento es plano; en el caso de la ñgura el plano en cuestión €s el plano xy,

(1) Un planeta (por ejemplo la Tierra) es atraido hacia el Sol de acue¡do con la ley de la gravitaciónde Newton qu€ establece que dos cuerpos de masas m y M sg atraen entre si con una fuerza de

GMnF: " , siendo ¡ la distancia entre dichos cuerpos y G la constant€ universal de l¿ gravitación.

m y M las masas del planeta y del Sol, resp€{tivamente, y tomemos un sistema de ejes coordenadosorigen sea el Sol, La ecuación del movimiento del planeta es, en estas condicioner,

/

d2¡ CUn ,. d2t CMat ' d¿'

despreciando la influencia de los otros planetas.

De acuerdo con el apartado (c), un planeta se mueve alrededor del Sol de forma que suposición barre áreas iguales en ti€mpos iguales. Esta propiedad y la que se considera en elson dos de las trgs famosas leyes de Kepler deducidas empi¡icament€ a partir de laspor el astrónomo Tycho Brahe. Estas leyes fueron la basg en la quo se apoyó Newton paraley de la gravitación universal. La te¡cera ley de Kepler la ve¡emos a propósito del problema 36.

5. Demost¡ar qug la trayectoria de un planeta alrededor del Sol es una elipse, uno de cuyos focos es dicho

De los problemas 4(c'l y 4(d),

dr CM-

= - ---- rldtr- '

txv = 2H - h

como ¡ =,q. ) =,-oi ' i r , con¡ocual .

(3) h - rxv = t \x (rd: t , f r r" l = ,2\*4!L

oe Ol , f xh = -4r" . ¡ = -GM4x qrr ' f f1

(1)

(2t

(h.r1)+l = cM+dt dl

(problema 9, Cap. 3).

lr

Como h es un vector constante * ^ ¡ = 4rv 'nr vt l l d l

l tv 'h l = 6l l :+

vth = CM\+ ptIntegrando,

de donde r . (vxh) = GMt.11 + ¡ 'P

= GMr + rr1.p = CMr + rpcosA

siendo p un vector constante arbitmrio de módulo p, y á el ángulo formado por p y r,.

Como r.¡vxh) = (¡xv).h = h.h = 12, se obt iene ñ2 = GMt + rp cos á,dedonde,2

- h2/cM _"

1 + (p/CM) cos e

_J.t-i.¡u

CM +p cosA

INTEGRACION VECTORIAL

lrometria analítica puede verse que la e¡uaciónde una sección cónica con un foco en el orieen

qcentricidad . es r : T¡fcos 0, siendo c una

ComDarando esta ecuación con la obtenidase deduce que la órbita es una sección

de exc€ntricidad ( : plGM. La órbita descritaplaneta es una elipse, parábola o hipérbola según

. sea menor, igual o mayor, respectivamente, queComo las órbitas de los Dlanetas son cerra-

forzosam€nte se trata de eliDses.

CURVILINEAS

-regral

scgun esta parte de trayébtona es

f n'0, = f [rr""*rr, - rqzr +2o,z2tf .@rr + e! + dzk)

= f Wn * rr¡ ,, - r4r¿ í! + 20,22 dz

si¡ : r , - / : r ! ,2:r ! , losfruntos(q0,0)y(r , l , r )correspondenar:0y/ : r , ¡espect ivamente.Eotonc€s

f r 'Jn *ar =

) l l r r+ar¡dt - l { (¿?)(¿3)t(¡2) + 20(r)(rs)2 d(¡s)- ¡:^

= | gf ú - 2gto ¿t + 6oce d,

ú=0fr1

= | 1s/ -z1t6*6ote¡ dt = 3¿3- 4¿" +6¿D | =Jo

87

do A:(3¡¿ *6y)i- l4yz i + 2bxzsk, trattar f A.ar desde (0,0,0) a (1, l, l) a lo largo de lasintes trayectorias C: J¿

, : l ,y : I¿,2: t ! ,

L¿s rectas que unen el punto (0,'0, 0) con (t, O; O), y el (1,'1; O), con el (1, í, l).I¿ recta que une los puntos (0,0,0) y (1, I, l).

l^

f1 ¡r

| (s"*e<ol)a, - r{ (0) (0ii0) + 2o¡(o)2 (o) = l-*, d, = ,sl ,xJ--o/r tJ=oo

A lo largo de la recta que une (1,0, 0) con (1, l, 0) €s ¡ : l , z : O, dx :0,0 ¿ l. La integral según esta parte de trayectoria

"t .f7

| {r<r¡"+ey)o - r4te)'dy + z0(r)(0f 0 = oJ

'=o r. -r.. . L t , l

¡ iv" ' tYlJn ; , ' ¡ l Jv/

, \ , ¡ \

t+( ! , \+t l , l\ 2/ I r

Yt 4

+ , ,

. , , \

, { i j ) r , la )s y. * dx- l^

'\= o 1,4. -- "'4', c ,1" cb¡go de C, A = gt2 I - 14t6 ! + 2Ot7 t y .=r l+f l+z, .=t l+.2t +¡sI ,dedonde ¿.-( l+Zt!+g.21)¿r.

df

Ií- \ ut',

,.1 \ u l - -

1' { ,Xl11"]lp:-d."_fl y!1 lle,ln: (0: g, o) con (r, o, o) es[O F : d, dy : o, dz: o!"" "]nn o""o'" t. *

oo4

+l-ov ¿" .f 1r)

r . l

dz==ocyvaríade

r - r Ju/ l )o \r . !

INTECRACION VECTORIAL

A lo largo de la ¡€cta que une (1, 1,0) con (1, l , l ) es x: I , y:de 0 a l. t¿ integral s€gún esta pa¡te de trayectoria cs

f1 ^rr| (3(r f16(1))0 - l4(1)z(o) - zo(r)z ' dz = | zor ' d"

JJz=o z=o

I, dx:O, dy:O y

=U!1'=zo3'o3

Sumando,

(c) La re.cta que une los puntos (0,0,0) y (l,l,t) viene dada en forma pa¡amétrica por x : ,, ./ :?-¡

eor lo tanto ' f - n.ar -- l - , t r "*u,rr , - t4(r)(¿) dt + 29 1¡¡ 1¿¡2 ¿,¿(1 J

= to '

or"*er-r t t2 +20t3¡ dt = [ot <u-rrrrrror3l ar = f

.f H¿llar el trabajo total realizado para desplazar una partícula en un campo de8 : 3xy i - 5z i + l0¡ k a lo largo de la curva ¡ : t' + l, y : 2t', z : t5 desde / : I

fuerzas

Obsérvese que si la curva se rrcorriera en s€ntido contrario, es decir, desde el punto (1, 2) hasta etel valor de la integral obtetrida seria Z6 en lugar de *?6.

A , :2.

Traba¡o totaf = f ..r, = f

Jc ' - - Jr^tut ' - 5zJ + 1¡ ' ¡ ' ' t " t +dvt+dzl \

= Jr"rrdx - Szdy I l l t dz

= f ' l ¡ , " t ¡12,") ¿(t2 +1) - 5( ts\ ¿(2t2) + to l r '+t¡d1r3¡

J'\t=,

= Jr'

or* + lota + r2ts + 3o¿2) d, = 303

8. Siendo r : 3xr i - r" i, t utlar jrt'dr a lo largo de la curva c del plano ¡y de ecuación r:

el punto (0,0) hasta el punto (1,2).

Como la int€gración es en el plano xy (z : O\, hemos de considerar r : ¡ i + ), i. En estas

l r. o, - | ,u, , - ,' ,r. ,n,, r o, ,',J¿ Jc

= I* tdx-y2dy

Primer m¿todo. Haciendo ¡ : t e¡ ! : 2¡', las ecuaciones paramétricas de C son ¡ : I, y : 2l'.tos (0, 0) y (1, 2) corr€sponden a / : 0 y, : l, resp€ctivamente; por ló t¡nto,

f r t f r

l -" .a, = f ' "u\<r, ' \ o, - 1zt2 f dqzt2 ¡ = f

' ter"-ror6) ot = -t

tlo Éo

Segundo método. Sustituyendo directamente / : 2¡! y haciendo variar x desde 0 hasta I resulta

J^r.a, =

) vo, ' ta ' - e '¿ \2 ¿(b2\ =

J (6 '3-16'6) ¿, = -1

, r=o x=o

- -r {\L!\q\-::3

r :o v z

203

bcrzas dado\ r :2.


r d trab¿jo realizado para dar una vuelta a una partfcula alredcdor de una circunfercncia del plano xy,aEtro es el origcn, sabiendo quo el campo de fucrzas corrcspondient€ os

F = (2.r -y + z) i + ( t +y-"2) i + (3r-2y +42)k

z=0, F = (b.-y) l+(x.+r) t+(3 ' . -zyr} ' y ¿r--dxl+d!! ,con lo cual e l t rabajo real i -

( '+7), + (3r-?t)k] . [¿"t + ¿rJ]

(t +t) ¿f

C-onsiderando como ccuaciones paramétric$ de la circunferonciaI cos t, y : 3 sen t en las que t varía dc 0 a zfl, como se v€ en la fi-

c integrando,

[2(3 cos r) - 3sen r] [ - ¡sen¡]¿¿ + [3cos¿ +3s€nr] [3co6r]dr

2n

[r.'* = f, t,u-r',' *

= f ,*-rrn" *.tC

(9 - gssri, cos¿) d,

tomado como s€ntido de r€corrido de la partfcula a lo largo de Cal de las agujas del reloj, que es cl que cstabl€ceremos come

Si C se hubiera r€corrido en s€ntido contrario (nogativo) el valors€rla -lE ¡.

lrtos cual$quiera (xu yu zt) ! (x¡,l¡ z¡). Por lo tanto,

t=t l+! t=3coa¿i+38en!,

= n, -Z**, l ' " = ,6n

fado F : V C y d uniforme con derivadas parciales contiDuas, d€mostrar que el trabajo ¡ealizado paraGplazar una partlcula desde un punto Pr = (xr, y,, z) del campo a otro ¿ = (r., ¡, z.) es independientc

-

b trayectoria soguida.

kip¡ocam€nte, si la integral curvilínea ft f. a, ",

independiente d€ la trayectoria C que une dosJC

t¡lor cualesquiera, demostrar que €xiste una función C de forma que F : VC.

rcarizado= I::r.- =

I'orr.*

= t ,#,r$,

. f f* , . (d ' t + ¿rt + ¿zr)

= ü#- ' {n ' *{"rP,

= l -¿O = ó(p) - óet) = óFz,yz,z) - +k1,r1,21\

F:F,itF,t+F¡k. Por nipotesis, f F.dr es independiente de ta tr¿yoctoria c que une dos'J^

Por lo tanto, Ia integral dependc rlnicamonte de los puntos inicial ¡r y final Pr, y no de la trayectorial¡ los une. Evidentemente, esto solo es ciefo si d(¡, /, z) es uniforme en todos los puntos Pr y ¿.

f (r , t ,z) f ( t , f ,z ' lQ@,y," | = | F.d¡ =

| Fldr+F2dy+Fsdz¿(ztyt,zt) J(tt ,yL, z1)

indepcndiente de la trayectoria que une (i,, y,, z,\ y (x, y, z). For consiguiente,ol puúto

90

S1x+Lt, y, z) - ó@1,2)

(ó) Si Vx F = 0 , se tiene que


F' dr

F'dr

F.dr

óe,y," ,

Fldz+F"dy+Fsdz

_ fr',!,2)r(t\ yL, z r)

_ rQ+^' ' / 'z ' lr ( t \ , t7,2L,

, I!',i,:]"'- Lo"'.''"'

- f ( '+

^x, ! ,2\

r (x,y,z\= l,l,'),'''"'

F.dr

F. dr

Como fa {¡ftima integral debe ser indep€ndiente del camino seguido para ír de (x, y, z) a, (x }podemos €lagir como trayectoria la re{ta que une dichos dos püntos, con lo que dy y dz son nulos,condiciones,

ó(x+4", y, z) - = * f,lo.o,'' '"' ""Tomando límites cn los dos miembros cuando A¡ - o,se obriene, #

= Fl .

Análogañcnle, se puede demostrar O* # = n, V {

= n.

porforanto. F = Fl i+ F2!+ Fst =#;-#r, #*

= Or.

l '2Si

Jr- n.dr es independiente de la trayectoria C que une P, los puntos P¡ y ¿ el campo

llama campo conservador. Si se verifica que F : V C, F es conservador, y reclprocament€.

Deñostración vectorial. Si la integral curvilínea es independi€nte de la tray€ctoria,

e4,y,z\ = l( ' ' t ' ' \ , .0, = l" ' , '" ".* n"

J1x7,11, t1\ J1x1,y1, z¡ ds

Derivando. dg = o.d, ,

dó a ¿| t¡ds ds

ero á

= v@'d:: 'conlocual ' (v@-F) ' ; ; = 0 '

Como esto s€ debe ve¡iñcar con independencia del valor de ff,

resulta F : V C.

ll. (a) Siendo F un carnpo conservador, demost¡ar que rot F : V x F : 0 (es decir, F es un campo(ó) Recíprocamente, si V x F:0(es decir, si Fes un campo irrotacional), demostrar que Fes

(a) Si F es un campo conservador, según el problema 10, -.r verifica que F : v{.Por lo tanto, rot F '= V x VC:0 (problema 27 (a), Cap.4).

k

¿¿"

t

aér

F1

fols

;;

J

¿dy

F2

7P"

= 0 y por lo tanto

D¡, ?f, 9& - ¿f'' Zx- 7y

T€nemos que demosÍa¡ que F : V d se deduce como consecu€ncia de esto.

El trabajo rcalizado para mover una partícula desde (x,, ¡, zr) a (x, y, z'¡ en el campo de

INTEGRACIoN vEcToRIAL 91

f

J^ rí@,y,2) d' + F2@,y,2\ dy + FoG,y,z\ ¿.

9., "13 l:n1rra¡3. :."a (.r.,, y.r, zr) con (x, /, z): Tor.nando como tray€ctor¡a ta qucbrada qu€ pasa porz), (x, y" z), (x, y, z,) y (x, y, z), y lamando d(¡, y, z) at trauijliáiir"ao'a to targo ¿e'e¡ra,.--

ó(z,r ,z l =

aqui se d€duc€,

* = Fo(¡ .v.z lo2

a(¡ +nulos. Fz",,r."i +

f",

F1.1'r,f ú zi +

= F\(z,r! ,zL) +

Ahora bien, Vx p = ooóa,6t

! * "t

z2 3xz2

F2a,! ,21) t f ""r*

oo," , n"

F2¡z,y'z) + F2ú.t,z')1"", = r"g,y,"t¡ + F2u,,r,.) - Fie,y,"tl = F2e,r,z)

I l ,&o', '"u', ' L,*o,,,rn"

[] fi o,r'"'ro, * f"",!or,"'ta"

olz

T (x .r ,z\ d¿aóof

aó

- F(t , ! ,z i = F1Q,y,z)

l,{lo tanto, F = Frt + F2t+ Fsk = i r t +

ót

lügo la condición necesaria y sunciente para que un campo F sea conservador es que rot F : v x F:0.

r que F_ : (2xy *.2¡) | * ¡¡ i + 3¡zr.k €s. un campo de fucrzas cd¡scrvador. (ó) Hall¿r elcscalar del que deriva. (c) Hallar el trabajo realizado p"r" a"rpi.á. un cuerpo en estc ci¡mpo

F¡(x,y1,z) + \( ' ,r , .) \ f , , t rr<,na1"",

Fa@,!',z') + Fr@,y,zi - F(x,yL,zL) + F1@,y,zl

#, '#* = vé.

( t , -2, l ) a (3, 1,4).

ún el problema ll, a ra condición nec€.aria y suficiente para que una fuerza sea conservadora es queF:V xF:01

campo

Por lo tanto, F es un campo de fuerzas conservador

= 0.

r

---

lr

92

(ó)

INTECRACION VECTQRIAL

Del problema lo, F=Vd o F, *Pt -P*

= qyc.¡ +23¡r + z2 1+ 3xz2¡.po, 1oo, o, oz

),^ ),A )-A

1t 1 i:: = vy + 23 (2) -:r

- , ' (3i Y - 3,t 'o, óy ó¿

lntegrando (.¿), (2) y (J) se obtienen, respectivamente,

Q = " ' /

+ xz3 + l1y,z\

ó = , 'y

Esto se ve¡i6ca si tomamos f(y, z) : O, g(x, z) : ¡tt, h(x, y) : ¡tr, con lo cual f : x"y t xz'una constante.

Segundo método.

Como F es conservador, I R, ar es independiente de la trayecto¡ia C que une (¡r, ¡,, zr) y (¡,¿c

Aplicando el método del problerna I l(ó),f t f . t fz

ae,r ,z) = | Qxyl - z3'¡ dx t l ' , ' ay * | ur" a"

Jr, ut, JzI

= qr2 yr+ ,""r) lir, ",

*, l!r, , """ li,

= '"!r ""?,

- r 'ry, - tr"t, ^ r2y - r 'rr + xz' - xzl

= t2y + ,,t - " 'rf, - "r"l = x2y + xz3 + constanúe

Tercermétodo. F.h =-Vq>.d, = $* - {0, - f fL,

= oO

Entonces, dQ = F. d¡ = (bty + z3) dx + x2 d! + 3zz2 dz

Q = t"y + ¡:3 + constante.

1¡¡ Trabajo realizado = rP2 F.dl.t P-

- l^" ,u, t z3 ) etx t J dy , t,,2 ,t"

. 1t \3 '7 '4)- r + xz- L' ( 1,-2,1)

+ 8$,2)

xzs + h(z,y\

. fP, . " " - " ,h- | d(x ' j +x¿-\ = r 'y + xz" | = x

Pr

i -

Otto ¡tl¿lodo,

l)cl apartado (ó),

Trabajo real izado

QG,t,z ' ) =, 'y r r"" + constante

= c(3,1,4) - Q(r , -z, t ) = zoz.

INTEGRACION VECTOR¡AL

b PÁP,B\ la curva cerrada que s€ repres€nta en la ñgura adjunta. Entonces,

I ,.* F. dr\AP28P1

It

Cue si I F. dr cs indopendicnlo d€ Ia trayectoria que une dos puntos cualesqu¡era p¡ y p. cn

fdada, se verifica I F'd¡ = O pars todas las curvas cerradas en dicha ¡cgión, y rccfpre¿mcntc.

J

= [r .* . Il1AP2 P2BP1

t f ¡ .t f=

)r ,ar _ JF.dr.=oPatP2 Pr8P2

!E la integral desde P, a N a lo largo de la rama ,l ec igual, porG¡, que a lo largo de la rama ,8.

Lcíprocamente, ,i f r.a, - 0, entonces

[ ,.n, =" I ".* , f ".n,:.-tírap, rrfu, p2lpa

n*'r,{r, ' '* = r, fr , ' '* '

hostrar que la condición necesaria y suñcient€ parr quc ¡idr I F¡ dy I f, y'2 sea una difc¡enci¿l.Era €s que V x F - 0 s iendo F:F, i +41+F,t .

ho6trar que (yt z¡ cos ¡ - 4x' z) dx + 2zty ff,in-i'dy + (3.v!zr s€n ¡ - r.) d¿ es una difcr€ncial exactaü tma función C y hallar 6. -

lgongamos qre Ftdx +ndy +F. ' " aÓ a6 -aó

c@ x, vv z son variabres ,ra"J'a;:,:

-Ñ dx + 7v dv * -* dz; sca una diferenci¿l exacta'

n:#' r , : { ' r , - f fcrocuar F : F,t + F,J + F,k : # i + ff t + $x : v t.

, Reclprocahente, si V x F: O s€gún el problsma 11, F: VC¡¡ &cn, Fr d¡ t F¡ dy * Frdz : dC, es una difcrc¡rcial exacta.

f : (y:z¡ cos.¡ - 4¡.z)| *2z.y*nx| +(3/rz.sen¡-r.)k y VrFrtado (4),

(!,2. cos x - 4x.z) dx + 2zty en r dy + (3y,2' sr,rr x _ xrl ¿z : d6

tdi<¡odo uno de los métodos del probleña, 12 se obticne / : .¡rrz¡ sen ¡ _ ¡.2 + constanie.

f u campo de fuerzas cons€Ívador de forma que F : -v c. supongamos que una partfcura dc masam se muévl. en este campo. Si I y I son dos puntos cualesqui€r¿ d¿l espacio, demostrar que

ó<A)*trnl t : ¡ (p¡ - ¡nt , . "v/ y y¡ los módulos de las velocid¿des de la partlcula en A y B ¡esp€ctivaÍrente.

f r .n,- f . . r . : oeriP, rrfu,

LuegoVxF:VxVl:0.

con lo que F.dr:1ó.th:c l l ,

x F debo s€r cero, y, scgri,n cl

- - -

94 INTEGRACION VECTORIAL

d2¡f / . Lueeo , . i = ̂ i . ¡F =; i ,G

d ,dt ,

Integrando. .f,t ..0, = E*fn = i^, ' , - i^q

si F- -v@, (u ..r" = - fu vo.n = - ft ¿e = ,p(A\ - e@\.'J1 J1 JA

Por lo tanto, ó(A\ - ó@J = ¿^ú - [^$ como queriamos demostrar.

¡a

l

El valor d(.{) es lz energía potencial ei A y lmvt^ la energía cin¿f¡ca en dicho punto. EIblece quo la energía total en I es igual a la energía total en I (conservación de la energfa).ha puesto un signo menos en F : -V é.

f! ' l Siendo ó : 2xyz", F . ' xy i - z i + x! k y C la curva .t : t ' , v "- 2t, z: r3, desde r -.0 a t:

las integrat€s curvil ineas tol I e dr, (b) | f x dr.

' . J¿ Jc

(a) Alofa¡gode C, Ó = Zxyz2 = 2 (t2 ) (2t, (t3 )2 = 4te,

r = r i+f !+zk = t2 l+2t !+tsk, y

dr = (2ti + ü + 3t2 k\ d¿. Po¡ Io tanto'

| *o ' =./c

t^

J nf t r t t + 2l + 3t 'k)dt

f ! r r 11i | 8rrcdr + ¡ | erear * I I r2t1 'dt = f f i r i i ' t r

Jo Ja Jo

.! ,(ó) A lo lárgo de C, F= zyl - z!+z2 l = 2toi - r3¡ +rak.

Luego Fx dr = (2t3 i - l " ¡ + loh) x (2t l + 2! + gt 'kt¿t

d€ dondc

I r k l2t3 -tt t" I a, = l<-ef -ao\i * 12ru-Gr"¡¡ * (4t" * 2ro\l

2t 2 3r"l

r fo' etr" - zrot a, * r Io ¡-4t6¡ dt + r,

fo' $r"rzro) a,

- f i i -3, . t*

INTEGRALES DE SUPERFICIE

f r17, Det'rnir | | n.n dS extendida a una superñcie S como límite de una suma.

JJJ

Subdividamos el área s en M elementos de ^rea

/S' corr p :1,2,3,. .., M, y tomemoscualquiera Pr, del elemento /S¡ de coordenadas (xe, ye, z)- Sean A(xo, yr, zr) : A, y n' €l Yectorno¡mal exterior a ¿SD cn P y formemos la suma

.--. \

' ' :

it ^h.r9Astl=t

Ar. n, la ,cothponente normala Pc,

El línite de esta suma cuando

- - dc forma quc le m¿yor difiren-

¿ cada uno dc los elcmcntos /S,a c€ro, si cxiste, se llam¿ inte-

& superñcie dc la componentc

Sogún el problefrE 17, la integral de superñcic cs el lfmito dc la suma

J A^. ¡^ A5^

-

I¡ proyección de y'.t, sobre el plano ry cs l(nor'Sr) . k I o | ¡¡ 'k I ./S, quo es igual

a

INTEGRAC¡ON VECTORIAL

dc A oxteodida a S y se rcpre-

[ ^ ."nt

Bndo quc .R ca Ia proyccción de la supcrñciq S sobrc el plano xy, como so obs€rva en la figura dcl pro-17'demostr¿rque

f f n.rr t = f ( n.n¿-!&.JJ JJ In 'k l, t 'P

t Axrtyt &

orc 4s;.## . Luego la suma (1) sc roduco a

r^tr i. ^,'n^P+

; , P P1¡n' \ l

Scgrli cl .lcoroma fundafncntal del cálculo intpgral, cl llmite dc 6ta sum¿ cuando M -+ oo de forma quc,rayor de Axo y lyo tienda a c€ro es

íl *"trfisc qucrla dcrnosÚa¡.

En r€alidad, /S, no €3 axactamÉrir,3 isilA " ffi,

pcro so pucdo dcmostr¿r qqc anbos diform €Nr

dc ordcn supcrior a ¿xD A.yr, @n lo s,rd bs Umttet &, (I\ y (A no varlan.

$ - "dS , siendo A : lEz i - t2J + 3y k y ,t la región <tet prano zx +

it + 6zf = 12 situsda

d prirnpr octantc.

En la figu¡s sdjunta se ¡€pr€sentatr la superficic S y ru proyccción sobre el plano ry.

. ==n


ll *",*#'P

Para obtoner n obsérvese que un vector p€rpendicular a la superñcie 2x | 3y * 6z: 12 vienei(U + 3y t 6z) :21+ 3, + ók (problema 5 del Cap. 4). Luego un vector noÍnal en unGSura) es

"=#+=f i - f l r - f - ry'2 '+3'+6'

Porconsiguiente, n.h = (+r- f l .$u.r = f t '#r=la,ay.

También, A.n = (18¿¡- t2J+3yk\.(+t* f i i r fu - 362-3-6+18/

teniendo en cuenta que z = !3=Z:y, de la ecuación de s. Luego

= l í*"##,= f f r f f f t "" = [ 'u-"" 'o 'RR'R

Para hallar esta integral doble extendida a ¡, mantenemos ñjo .x e integ[¿mos con resp€cto a1' ' _)

y:0(Pen la 6gura) ay : '"7u (Q en la figura); a continuación, integramos con respecto a

" fu (Gz-2"/ ' $-Lr) t t .dx = lo , r r -12,. \2¡a ' = 24lo yr=o /=o -)

Si hubié¡amos tomado como s€ntido positivo del voctor unitario normal |l Gl opuosto al de la figura,tado obtcnido s€,rl¿. -U.

f[ ^'" o',t

x : 0 z x : 6. De esta fofma so recorr€ .R por completo. Haciendo operaciones,

aaz). Haffar f f a.n aS, s iendo a = zl+zi-3y2zk y. i la superf ic ie del c i l indro ¡ '

JJJ

ló situada en sl primer octante ontre z : O y z :5.

Proyectemos s sobre el plano xz, y sea .R esta proyección como indica la ñ8ur¿. Obsérvese quecaso no se puede hacer uso de la proyección d€ ,S sobre el plano ¡/.l '

I'

¡¡ mrrnal a ¡, a /r : 16 es V(¡' * yr) : 2¡i *el vector unitario normal a S indicado en la

f |?

= I I ¡ .n l 'o. ' ,JJ ln.J IP

. -1

^ = -ZJ:ZL- - r i+yj

/ ¡u¡' t 1zy ¡' 4

¡: -r )r'z : 16 en S.


l00t + 100t

(VxF). n d,S siendo S ta superñcic de l¿ esfcra

97

JI ̂ '"0'5

+. = (z i +xl-}y2zlr \ ,

l t f i iendo que n= " t !n, t ,n. t=\

JI 1"o""'R

= yi +(x-2rz) i -xyk, hal lar JJ

f I z' : a' por cnaima del pl*o "y.

t

dS siendo ó =1"y" y.SIa superficie del proUtcníi ZO.

f f r?

)) o.o' = JJ r"frfi3,?

=90

como en el problema 20, esta última integral es

15 ?*a,az - ! I I 6" ,1*," /ñ ly¡d,d"

óJJ

hdremos,

9xp =

r ik

ooot¿a"| , -ztz -x!

xi+, t l(-..-+ ) =

i?z+ xy\

= , l+yl-22k

i

I I r "J

z=O x=0

f ,

- -1 I tQ!" t + 9!zt \dz =8 J 3 3 - ' ,

I¡¡ormal a x2 +y2 +22 = a2 gg

9p2+y2+22¡ = 'u l , z.y! *z"tI

*t = i t : r t . t 4+.I ' t

¡lral de superñcie ef -

¡ ldz = | G"ra\¿,

¡E


El vector unita¡io n de la figura viene dado po¡

¡ = 4j t : -Ui-1]4 - ' l+tJ+zky' 4r' + 4f2 + 4t2ya quc .x' * y, * zz : a2.

--, La proyección^de S sobre el plano xy es la región R limitada por la circunferencia x, I y" _ a",como se ve en la figura. Entonces,

f f ?r

JJ tV'rr .n as = JJ rv,r l . " 3 ld '

JP

f r=

JJ " t I y i -2zk\ . ( ' !u:4\ *-4)

R

= f' f* 'o"!+4,,0., t - "

,=_",u, , v a ' - x ' -1 '

¿l?i::'":UTY:::"",:/:-#l;,llJi"lál?ilT""T"J,iilt:T:f,i"!.i,?$ff :1.*

f ln2| | t-3,t, a2 - p2 , -!=L=t ¿, ¿a

,J J ,/-2 ^2D= 0 p=O

a2r

I la ' -7t"" - " . ,Tp, l " l¿aJ

t 'p=o1-Y

a2,I to"-o3l ¿ó = n

J-

\¡¡\,-

.f* f" !P2! oooo. f- f" 'f4:!)-!,opoE¿"=o olo

v a'- 9'

^!o !=o './ a2 - o2

Si F -- 4r¿i - y2i + yz." , , halar I l . . r , l t

siendo .s la superñcie del cubo limitado por x I o,r-1, y=0, y=1, z=0, z=1.

Cora DEFG: n : i, ¡ : l. por lo tanto, '/

aa

/ / r . "as = I I Gzi-12 i ,vzk). idydzrJ J^ J.,DE FG

f | / r1

= l l 42dydz = 2Jo Jn

INTEGRACION .VECTORIAL

r : -¡, ¡ - 0. Por lo tanto,

f-¡JS =

Por lo tanto, O

(4tz lJ. (-t) dz dz = 0

r : k, z : l. Por lo tanto,

99

r - r rs = [" [ 'nf

t+yzrt . ( - i ) rkr tz = o

L Po, to tzrto, /

! ' l ' , * , r - ¡+zl) . j a 'a" = I ' f ' -a,a"

r : - i ,y :0.

l r l f r. ¡ds =

| |vo lo

ff '.''n' =J

. t ¡ - -k,z:0.

F.",ts = I'l'

Por lo tanto,

Fv"l l . i -n¿"¿v = o

2 + o + (-1) + o + á + o = ! -2 '

de integral€s de superficie hcmos consid€rado cl caso de superfici€s de dos caras. Ponor un ejomplor[porficie de una sola cara.

una tir¿ de papcl, corno .IBCD e b frg1'J,fn,,y doblamos do forrna que los puntos

c¡igan sobre D y C, rsspactivamsnte, como se vef3ura inferior, Si n €s el vector unitario noÍnal

cn un punto P d€ la suporficie, al desplazarseerpl¡ficie invierte su sentido original cuando llsgaro a-P. Si inúentáscmos color€ar solamente una

rs darlanos cuenta d€ que sg h¿brl¿ pintado todaEsta sup€rficie, llafiwda bqnda de Moebiüs, es \Íde una superficie de una sola cara. Este tipo dc

tsmbiár se conoce con el nombre de superficie, micntras quc las dc dos caras se llaman

DE VOLUMEN

dcl cspacio lfunitada por los planos 4x +2y + z:8, ¡:Q, y:Q,2:Q'

límito de una suma.'. (ó) Hallü la integr¿l d€ (a).

l:15+'y,y Y larcgión

ifi

un**fifoor-.

i

100 INTECRAC¡ON VECTORIAL

(a) Subdividamos la región Z en M elementos devolumen cúbicos, ÁVp : A¡rlyo¿¿u

"onk : 1,2, .. . , M, como se indica en la 6guraadjunta, y sea (¡¡,, /r, z¡) un punto interior aeste cubo. Defrnamos ó(xk, yt¡, zk) - {t y con-sideremos la suma

S^¡¡r¿)

extendida a todos los cubos posibles de la re-gión. El limite de esta suma cuando ñ1

- óo de

forma que la mayor de las dime¡siones ,l r/¡r r f

t ienda a cero, s i existe, es | | | o, l l . s". ]JJ

7,puede demostrar que este limite es independient€d€l método de subdivisión siempre que sea con-tinua en ¡/.

¡2

J

Nota: El r€sultado s€en la cual la donsidad

2ó. Sea F:Uzi-x i+ y 'k.

x : o, y : o, y : 6, , : x2, z : 4.

Conviene proceder con orden al extende¡ la suma (,/) a todos los cubos de la región. Unaes su¡n¿r, en primer lugar, todos los términos de (1) correspondientes a elementos de volumenen una cofunua, como la representada PQ en la frgura. Ello equivale a mantener fijos rr. e /| yA continuación, se puede manlener 6jo xk y variat yk. Ello equivale a suma¡ todas las columnas PQtgnidas on la rebanada R.5 y, por ¡o tanto, a suma¡ todos los cubos contenidos en la misma.se varía ¡¡ y se habrá extendido la suma a todas las rebanadas posibles RS.

En el proceso anterio¡, se ha efectuado la sutna variando primero z¡(, después /* y, po¡Sin embargo, esta suma se puede efgctuar en un ordeq cualquisra.

(á) Todo lo dicho en (d) se aplica en €l cálcu¡o del valor de Ia integral, Ma¡tcliendo ¡ e ),integra desde z : 0 (base de la columna PO) h¿sta z :8 -4x *2y (altura de la columna PO). Atinuación, se mantiene constante ¡ y se integ¡a respecto de /, con lo cual, ie habrán sumado lascuy¿ bas€ está en el plano xy(z : O) desd€ rR (en donde y : ¡¡ hasta S (en donde 4¡ + 2y :8, oy :4-2x); l¿ integración, pues, se hace desde y : 0 hasta .¡r - 4 - 2¡. Finalmente, se sumanlas rebanadas paralelas al plano /.z, ofectuando la integ¡ación entre x == 0 y x .= 2. Por Io tanto,rnos escribir

^2 / .q-2r

^Í l45,2y dzdydx . 45 | | ,2y6-at-2y\d1d.x

x=0 y=o

- 45 I }* 'G-ut 'd.r = r2Bló

puede interpretar fisicamente considerándolo como la masa de lad va¡ía con a¡reglo a la ley E :45rzr.

dl en donde I/ es la región limitada por lasu^n", !!! rv

l,a región ,/ se recorre (a) manteniendo ¡ e y fijos e integ¡ando dssd€ z: x'hasta z :4(base y ¿respcctivamente, de la columna PO), (á) manteniendo fijo ¡ e integrando desdey:0 hasta ),:6(deenlafranja)y, f i ¡a lmente,(c) integrandodesde¡:0hastax:2(endondez:rrco¡ta¿z:4).Así

>-=-

la integral es

ArI

t

I

lt+It

tat:

¡*

I

l0 lINTECRACION VECTORIAL

y2 dz dy d,, r f" l'r:

f ' ,u" , - " , + y2 k) dz dy dx

'f l,:Í,', 2'';2 dzdldx 'Í,'1,'l:

128i - 24j + 384k

: ' l : r_ 1: : 1, :

nli iz nTo2-,2

B I | | a,ava, 't t t

,=0 y.0 z=o

n/o2-t2l l ' -o,

= 8 | ¿ r o2-x 'dydx

r=a t=o

II

IIvolumen de la región l imitada intersección de los cilindros x' + y' :41 y x2 + z2 : a'.

Volumei pedido 8 veces el volumen indicado en la figura.

por la

=81

I:,i-_l

77,

1o" - rt¡ at = $



28. siendo R(r) : (3r! - ,) i +(2_ 6t)i_'4tk,haltar (a¡ l'R(r)dr y (ó) fn*() rr.. J J2

Sol. (ot Q'- t"l2)i + (2t -3t.\ l-2r'k + c (ó) 50i-32i-24k

m . Y^tt^, fo"/2

tl "en u i + 2 cos u i\ du So/. 3i + 2J

f2

f0. Dados A(f) : f i - r ' j + 0- l )k y Bl t \ :2, , i * 6rk, hal lar (a) l -JO

sot. (at t2 (á) -24r-Tt + Tk

^.Rdt, @)Ío A X B d'.

/t 3,6.l . - - -¿

37. sie¡do A : (2y 'f 3) | * xz ! -l (yz - x)k, halh I A . dr a lo largo dc las siguientos t¡ayoctorias

(a) x:2t ' ,y: t ,z: t t desde , :O n r : t , t '

(ó) La quebrada que une los puntos (0,0,0), (0,0, l), (0, l, l) y (2, I, l), r ',(c) La rccta que une los püntos (0,0,0) y (2, l, l). 1...so/. (a) 288/35 (ó) l0 (c) 8

Siendo F:(5¡l- 6x,)l |(2y-4x)!, taftar I F,d¡ a lo largo de la curva C del gla o xy, ydesde €l pu¡to (1, l) al (2, S). Sol. 35 rC

.39r Siendo F = (2¡ + f) i * (3y - ¡) J, hallar I f . dr a Io largo de la quebrada C del plano ¡/ qr¡cJf

I --- ¿fO, Haflar el trabajo roalizado al desplazar una particula en el campo de fuerz¿s F : 3x'i + (2xz - y)t' a lo largo de,

(é la rocta que une los puntos (0,0,0) y (2, l, 3).(ó) la curva x : 2t2, y : t, z : 4t, - t desde r : 0 hasta ¡ : l.(c) la curva definida por x, :4y, 3x.: 8z dosde x :0 a x =,2.

,!oL (a) 16 (b) 14,2 (c) 16

t¡1 o*osA : ri - 3i+2r k, B : i - 2t +2k,c : ::+4 - k, tratta. {o{ 2a

. l x C ttt, 6¡f 2 ¡ xlsv

t7 á.¿ r{sot. (o)0 (ó)- t i - ; i+;k

La ace¡€ración de una partlcula en función del t iempo, = 0vienedada pors :e-ti*6{t + l)l + 3Sabiendoquelavelocidadyyeldesplazamientorsonnulosenel instanteinic ia l t :O,hal larvyrsndel tiempo (lcy de velocidades y de espacios o ley del movimiento).,9o/. v: (l -e-t)t-(3t'+6t) i + (3 - 3 cos ¡) k,,r : (f - ¡1s-,¡ i-(r¡*3rt) j + (3r- 3 s€n r) k

33. La aceleración a de un objeto en función del tiempo ¡ viene dada por ¡ : -j'j, sicndo g unaSabiendo que en el instante inicial ,:0, la velocidad es v : ro cos 0o i + yo sen do j y que el des!esr:0, hallar vy¡en función del t iempo, > 0, Estc caso corresponde almovimi€nto deun proy€cti lpor una pieza de artillería con uD ángulo de elevación 0o y una velocidad inicial de módulo vo.,So/. v: r recos0qi + (vosen0o-at) i , r : ( rocos0o)r i + [ ( ro s€n 8o) t - ]gt ' ] ,

/4. Hattar l 'n. !a, s i A(2):2i- j +2k y A(3):4i-2¡ + 3k. So¡. lo,Jtal

35. Hallar la velocidad ar€olar de una partlcula que s€ mueve a lo largo de la trayectoria r : acos úrti + ó s€trsiendo a, ó, ú.¡ constant€s y t el tiempo. Sol. labot k

36. Dcmost¡ar que los cuad¡ados de los periodos de los plan€tas e¡ su movimiento alrededor det Sol soncionales a los cubos de los semiejes mayo¡es d€ sus Íaye¡torias eliptic¿s (terc€r¿ ley de Kepler).

los puntos (0,0), (2,0) y (3,2). So/. 1l

INTEGRACION VPCTONTET

.t¡.n¡r I F.dr sicndo E:e-3/)¡ +('-2¡)l y C la curva cc¡rada del plano ¡/,¡:2cosf,JA

¡:3se¡i¡ dcsdc ,: O hasta ,:2r. Sot. 6n, si C se recor¡e cn el sentido positivo (contrario al d€b egujas del reloj).

lhodo T un v€ctor tangcot€ unitado a la curva C de ecuación r : r(¿), demostrar que cl trabajo rcalizadot¡

J Gplazar una partfcula cn un catnpo de fuorzas F a lo largo de C viene dado por I F.Tds siendo s' Jcb longitud de arco.

bdo F:(2¡ +/') l +(3/-4x)J, halhr f^ F'dr a lo largo dcl triángulo Cde Ia Fig. l, (a) en-. JC

-o i¡dicado, (ó) cn scntido contrario al anterior. Sol. (aJ -laf (b) l4!3

l¿-l-

-ro

l-,, '.lt" ,

A . dr a lo largo de la curva cerr¿da C det la FiE. 2,

9t. 213

fudo A:(y-2x)t + (3.r + 2/) j, hallar ta circulación de A al¡ededor de la circunfercncia Cdel plano.ryo oentro en el origsn y radio 2, sahiendo quc C s€ recorre en s€ntido positivo. So/. E¡

f

", |nd"p"nOiente ac Ia trayectoria C{d Si A:(4¡r-3x'z ' ) i+2x' t -zxtzk, denostrar que I A. 'ar

JC

lE pasa por dos puntos rtados. (ó) DcmosÍar que existe una función derivable C de forn,r que A : V{i t¿itar sú expresión. sol. (b) ó ¿ 2"zy - xt z2 + constante

f.) Demostrar queF:(/tcost*zr)lt(2lsen¡-4)t+(3x2r *2)kes un campo ' l€. fuer¿as con-serva¡rvo.

e) Hallar cl poencial esc¿lar dc F.

lc) Hallar €l.lrabajo r€alizado at desplaza¡ un cuerpo en €ste cempo desdc (0, l, -l) hast¿ (z/2, -1,2).

f,, l- (b) ó:r,¡s€n¡ +xzt-4y + 2? + constant€ (c) 15 +4fl ./

cl

sabiondo que tr : ( ¡ - ¡ ) l +(¡ +.r) t .

DlDostrar qu€ F : /tr es conservativo y hallar €l potencial escalar. sot. 4: f, + "onu*ruI)cdcrminar si el campo de fuerzas F:2xzl *(x'-ñ I +(22-x¡)k es conseryativ(. So/. No

Ittmostrar quc el trab4jo realizado sobre una particula para desplazarla desde ,,{ hasta -B es igual a la variaciólt

-

la enerbfa cinética €n dichos puntos, lanto si el campo de fuerzas es conservativo cor,o s, no lo es.

E¡Ur I , l .d¡ a lo largode la curva x '* y ' :1, z: I ,en el sent ido posi t ivo, d€sde (C, l ' l ) a (1,0, 1)

i ¡do A:( . /z *2x) l * xzi *Qy !22)k, So/. I

€) Dado E:rr, ¿existo una función d deformaqueE: -VC? En caso afirmativo hallar dicha funciónf

O) Cslcular Q E'dr siendo C una curva simple cerrada cualquiera."C a

U. (q) ó : - -¡- + constante (ó) 0

104 TNTEGRACION VECTORIAT

(ó) A :(¡ + y")l-2rcj +2yzk y S la sup€rficic del plano 2x * y + 2r:6 situada cn el prime¡

.to¡. (¿) 108 (ó) 8l

, f :0, z:0 e y: g, s iendo A: 6zi t (2x +.y) j - ¡k. ,5o/ . l8z

I 53, Demostrar que (2xcos/ l zseny\dx +(xzcosr-x'sen yldy + x*nydz es una diferencial exac' Como consccuencia, resolver la ecuación (2¡cos/ + z*I.y)dx +(xzcos/-¡ts€tr !\ dy I x*¡y,'t :

,to/. ¡' cos / + ¡z sen / : constante

/?l. Resolver (a') (e-v -l 3x'y') dx + (zt'y - xe-t) dy : O,

/ (b\ (z-e- '*ny)dx +( l +¿- 'cos/)d/ I (x-Bz)dz:0-

Sol. (a) xe-v ! xry': constante (b) xz + e-'str,ny + y-42': sonstante

.?SJ. si O : 2.ty'z + x'y, halhr I d </r siendo C :

(¿) Laiurva¡ : t, y : l ' , z : r! desdo, : 0 hasta, : l.(ó) La quebrada que une los puntos (0,0,0), (1,0,0), (1, 1,0), y(1, l, l).

tq t l 75 Isot. (a) asi + 15¡+7;k

(ó) ; i i 2k

56. Sie¡rdo B:2yi-z i* ¡k, hal la¡ f , , Ora lo la¡go de la curva ¡ :cost ' v:sarr t , z:2

desde r :ohasta t : n l2. Sot. (2- ; ) i+(z- l ) i

f57. Siendo A : (3x + /) i - t , + (-/ - 2) k y B : 2i - 3j + k, hallar I (A x B) x dr alrededor de la

Jccunferencia del plano ¡/, de c€ntro el o¡igen y radio 2, recorrida en el sentido positivo. Sol. 4tr(7i +

fr lr

58. Hallar I I I 'n ¿S "n

cada uno de los casos siguientee./ .,rJ'J ' l

(a) A: yi * 2xi- zky S la superficie del plano 2¡ * I : 6 situada en el primer octante y limitadlelplanoz:4.

t /

59, Siendo F :2y i- zi + ¡tk y Sla superñci€/':8¡ situada en el primer oct¿nte y l imiiada por losf f

y : 4 y z -- 6, hallar f l F'tr ds. sol. 132JJ

?¡I I

6(). Hallar JJ A'ndS extendida a la superfrcie S del volumen limitado por el cilindro x' I z" :9, x

rr61. Hallar JJ t'¡dS exiendída a: (a) la superficie S del cubo unidad limitado por los planos (

J

ylosplanosx: t, y: l, z:1; (ó) la superñcic de una esfera de radio 4 con c€ntro en (0, 0,0)'

sot. (o) 3 (D 4't'

f ft l

62. Hallar J J lt' n aS oxtendida a la superñcie del voluñeo situado por encinra del plano .ry y

spor €l cono z ' :x2 Iy ' y el p la¡o z :4, s iendo A:4xzi*xyzr i*32k. Sol . 32Oa

63. (a) Sea n la proyección de una supcrñcie S sob¡e el plano ¡/. Demostrar que cl área de la supcrficie S

' !

INTECRACION VECTORI, -¡- 105

Á__ -<-_--/ óF .2 .óF.2 .dF.2

voxóyóz

. area dcl p lano ¡ + 2y +22: 12l imitado por: (a) x :0, .y : O, r : l , .y '= l ; (ó) ¡ :0,r :0,' - :. ' : t6. Sol. (a\ 312 (b) 6n

f r:-.L es el área de la sup€rficic S dgecuación F(x, /, z) : 0? t,

JJR

, . f f rv,.>.nds y(á) Ií, "*

laFldrdy

siendo F:(¡ + '2y\ i -3zi l , ¡k, d - 4x ] -31,-22,

Por ¡ :0, x:1,Y:0o y:2.

: á¡ea de la superficie limitada por la hters€cción de los cilindros x" * t' : a. y xz + 22 : a2.

. tJ

-i ':;perficie de 2¡ + y + 22 :6limjtada

: i (b) 2 i * i *2k

I

f i

: : : e l problema anter ior , s iendo S la superñcie 2x +y + 2z:6l imitada por ¡ :0, ) ' :o, y z:0.

: 92 (b) '12i136i+72k

ll , ',2+tz d.xdy extondída ala región.R del plano xy limitada po¡ ¡' * y' : 36. Sol. l44n

- l JJ ,urrror, s iendo I /e l volumen l imi tado por el c i l indro z:4-x ' y los planos.r :0,

:2yz:0. So/. 30/3

: !x: -32) i -2xyi-4xk,nuttar <O f f I i .Fdv y \b\ l f f V,rdy.s iendo v el. ]JJ JJJ

v v - , . .8. .8i imi tado por los planos ¡ : 0, t :O, z:O y 2x+2y*z:4- SoL (a) i (¿);0-k)

' r)l'

2

- l

1.- --

en donde C se recorre en el sentido Dositivo. El sentido de circulación de C es ¿osirivo cuandovador que recorra la periferia de S en dicho sentido y con su cabeza apuntando hacia la normala S, deja la superficie en cuestión a su izquierda.

TEOREMA DE GREEN EN EL PLANO. Sea .R una región cerrada del plano x), limitadacuwa simple y cerrada C, y M y N dos funciones continuas de x e y con derivadas continuas en -R;

positivo (contrario al de las agujas del reloj). Mi€ntras no se

significa que la integral se efectúa en una trayectoria

t' f

del teorema de Green en el plano, sustituyendo la región pla¡a R y la curva cerrada C que la lirla región tz del espacio y la superficie cerrada que la limita Sirespectivarnente.. Por esta razón, elde la divergencia de Gauss se conoce también con el nombre de teorema de Green en el espacio

El teore¡na de Green en el plano se wiifica asimismo, en el caso de regiones lirnitadas porñnito de curvas simples cerradas que no se cortan (problemas l0 y I l).

Ca ítulo

Operociones ¡ntegrolesTeoremo de lq divergenciq, leoremo del rolqcionol

wERGENCIA DE GAUSS. Sean, Z el volumen lirnitadovectorial de posición con derivadas continuas; entonces

t t t t t f f

JJJv.^dv =

JJ^.r ,ds =

$)e.asr ,sJ

f o'o'-c

y olros leoremos inlegroles

TEOREMA DE LA DMRGENCIA DE GAUSS. Sean, por unacerrada 3 y A una función vectorial de posición con derivadas

siendo n la normal exterior a S (positiva).

TEOREMA DEL ROTACIONAL DE STOKES. Sean S una superficie abierta de dos carascurva cerrada si:nple situada sobre la superficie anterior y A una función vectorial con derivadas

ffo,n,.,rs - ffrv"n,.a"

f ro, t rn,'c fl,* - *,*,

cuando C se recorre en el sentidolo contrario, supondremos que yl'recorre en sentido oositivo.

El teo¡ema de Green en el olano es un caso Darticular del teorema del rotacional deblerna 4). También es interesante observar que el teorema de la divergencia de Gauss es una

106

TEOREMA DE LA DIVERCENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL

INTEGRALES.

107

té.f , * (vó\.Nq,\)dv = ff ,rrrr.o"

JErt es ef tcorcma o pr¡mer.i ident¡lfqd de Greer.

- at@V', ! - , t ,V '6dI ' = I l t tVp - ú,Vo).ds

r| producto vectolial (problcnra 23).

5

cs cl teolcnu s¡núlrico o saguulu idutt idul lc, G rt'rn (probleura 2l ).

ixrdv = ffo*otas = lfo"-o3S

Obeérvese que cl producto cscalar dcl teorc¡na de la divergencia dé Gauss se ha sustituido

r f r f= | l lnxYE¡dS = l ldsxYa

JJ JJ

g una función vectorial o escalar y representando por el símbolo o un producto escalar, unvectorial o un oroducto ordinario. se verifica:

III,"r,, = il""r" = ll,"",t* = ff ,,,v, " +os = ff ,0",r', " q

ma de la divergenéia de Gauss, el teorema del rotacional de Stokes y los números 3 y 4 an-son c¿sos particulares de este último (problemas 22,23 y 34).

tlA INTEGRAL DEL OPERADOR'V, De acuerdo con la terrninologla empleada en el Pro-cs interesante representar al operador V en la forma

vo t \ , h #n'AJ

ribolo o rep¡esenta un producto escalar, un producto vectoríal o un producto ordinario

rLI

v

{* ."c

I-a utilidad de esta forma de proceder la vcremos muy claramente al generalizar los con-rats, divergencia y rotacional a otros sistemas de coordenadas (problemas 19,24 y Ca.-

Problemae reeueltoe

TEONEMA DE GNEEN EN EL PI./WO

l. Itcnogtr¡r cl tcor€Nns dc G¡con €n ol plano, ¡icodo C umcr¡rva cc¡rad¡ quo tieno la propicded dc que toda r€ct¡p€¡¡bla a uno dc loc eis coordaoados la corta a lo ¡u¡¡om doE ptmtor,

Scan, y -

y'1¡¡ 3 "

: rl¡) l¡s cr¡acioncs do las cr¡r-vas AEB y AFB, rcrfr¡c'üva,mento, quo apa¡ccon en la figuraadjunt¡. Si ¡ c. l¡ t!8ión limitada por C,

For lo taúto,

Análogat .nto, tú x : X{ll y x : X.(1t) son las cq¡acionc¡ do l¡s c1¡rvas E¿F y EAF,

C@probas cl borm! dr Grür cn cl pl¡nof.

een ta intant f l{ry +y2l !* + 12 dy úñ? \_.

C la curva ccrrada quo ¡iüit¡ l¡ rtgióü dcGnld¡POrt : ¡et : t ' .

TEOREMA DE LA DTVERGENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL

f fav . .JJ t"',"v

= [ ' " 'o" ' -

o"""?,tilTü;ri ií ñ ilf*Iffi"'Tsonrido poeitivo cn qr¡c ao ¡scon¡ l¡ úca C.

.[.'1,={^:' *"],' = l"' roat;wl,', * =

- l 'ro.ru* - foro,r,rr ' = -frr*

( r ) f r r r" . -$Vr,r ,

I!*,.,, = J:1,"{: *'1"' - [' P,,'',- n*,,,]=

!r" n<*''rto, , fl nu.,na, = frnr,

Porrot¡nto, /.\

(2, I

r*"i- f!*r';,

sr¡n¡¡do(¡)y(2), {ro,no,

. $:*

- {ta'+.

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL

* n ' ¡g?: a lo largo-de y: ¡ , es , t r ¡ , . f r {C,r i . . { r . r - lat.?l

.l Gla\ + za) dx + (x2\ (2') d, = J- o'" * ó a" .= f;¿o ¿o

* c:cr-- al a lo largo de .r : x desde (1, l) a (0, 0) os

lo fo| (f"lr ' l I P) dx + 12 dx = | 3x2 ¿1. = -1

- Jl .tl

.,JrrE ¿ integral curvilinaa p€dida vale = i3-t

= -* ' - '{+ i,/

f f .¿¡t ¿M.. r r ^JJ,;;: - fitaxar = JJ rf;e't -fit,v'v'¡)a,avRR

ft f ' ? '= | I o-zt t¿,¿, = | | e-zt tdvdz

JJ J JP t= O f=t2

= [ ' t f ' ( , -2vrdr)d, = [ 'pv-vo¡ l '^*uO Jr2 uo t'

=

¿ @4-x3\¿x -ñ

109

tJÉ cl tcorema s€ cumDle.

: la demostración del t€or€ma de Green en el¿:¿ en el probleria l, a las curvas C quc sean cor-

lc aás de dos puntos por re,ctas paralelas ¿ los ejes

T::-a y que puede ser cortada €n más de dos puntosras paralelas a los ejes. T¡azando la recta 57, la

leda dividida en dos, Rr y ¡Rr, que son del tipoen el problema I y a las cuales se puede aplicar

de Green, es decir,

-"n.de¡emos una curva cerrada C como la inücada

t¡ t¡ t¡ ^

I t rat + Nay = , r (+-!)¿ '¿yJ JJ '¿x ¿"

SEando los primeros miembros de (J) y (2), sin escribir el it¡t€grando M dx ! N dy, se obtione,

sfu P1

f ,,, * r, = II ,* -{ta,arJrft R2

T- T = T-T-T,T= T-f = Tff¿J JM,' ,'? TIJS SVT fJ TIIS SVT TOSVT

encuentaquc I. - f,tf fs

iünando los segundos mi€mbros de (l) y (2), omiti€ndo asimismo el integrando,

l l0 TEoiEMA DE LA DIVERGENCIA. TEoREMA DEL RoTAcIoNAL

Siendo R la ¡eunión de las regiones Xr y R¡,l ' ¡ . n

^- .Por lo tanto, I Mdt+N¿y = l l t ! - lya,ay , como se quer ia demostrar.J JJ d¡ óv '

IUSV! R

Vx A

Una región R, como la considerada en el problema l, en la cual toda curva cerrada cualquieracn ella se puede reducir continuamente de dimensiones alrededor de un punto sin dejar deso llamz simplemenle corexa. Una región que no es simplemgnto conexa es múltiplemente conex¿-aplicado el Teorema de Green en el plano a regiones simplemente conexas limitadas por curvas planproblema l0 se gpneraliz¡ el teorema a regiones múltiplemente conexas.

En el c¿so de regiones simplemente conexas más complicadas, puede ser nec€sario tr¡r¿¿rcomo la Sl, paxa aplicar el teorema.

4. Expresar el teor€¡na de Gr€en en fonta v€ctorial.

Se t¡ene, ¡ t¿r+,rydt , = (Mi +Nj) . (dx l + dy l \ = A.dr, s iendo A= Mt+dJy r=r l+ytcual l r = dxl+dyt.

También, si A = Mt +NJ resulta

r jkaaa7z ¿y ZzMNO

de donde, 1V*e¡.r ; $¿M

_1.

oy

El tsorema de Gr€€n en el plano se puede escribh en la forma

I n"e A.dr = | | 1Vx el .h a, iuc

si¿nd6 d¡R = dz dy .

La generalización do este resultado a superficics S del espacio limitadas por una curva Cteorenu dcl rotqcional de Stoker que s€ demuestra on el problema 31.

Otrc m¿todo.

Como ante, Md¡+ N dy : ¡ ' ¿, : e,' fi * : l'ras.dtsiendo fi

: T : r¡ector utritario tangente a C (ñ8ura ad-junta). Si n es el vector unitario normal exterior a C, entoncrsT:kxn,y

M dx * N dy : A.T dr : A'( t x¡) dr : fAxk).n dr

como A : Mt+Nl,B: Axk: (Mt+tvj)xk: Nt-Ml,AN AM

resula -- ---: v.B. E¡ tcor"ma de Greon cn olox otplano sr expresa por

f f f -{n.na. = l lV.BdRJ. JJ'¿

slndo dR : dr dy.

i l - [ I I IRTRZR

9¡ . ,P -* ,*Az Ot Oy

-q\-

TEOREMA DE LA DryERGENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL

y,oxpodemos elegir una línea cualquiera como, por ejemplo, la quebrada que une los puntos

0) y (2, l), en este orden.

fargo del segnento que un€ los puntos (2, 0) y (2,1\, x :2, dx : O y la integral vale

[[f v ",,v6¡r¿¡-

zación de este c¿so, sustituyendo el elemento de lín€a, o diferencial do Ia longitud de arcocerrada- C por la difc¡enciál de área dS de una superñcie cerrada S y la región plána R corr€s-

-rada

pofC por el volumen Z encerrado por S conduce al teorema'dc Ia -üverienc¡a

de GriinL G¡een en el esoacio.

firi;amente el primer resultado del pro6lema 4.

r campó de fuerz¿s en el quo se encuentra una partfcula; entonces, f n . ar es et trabajo real!JN

d¡splazar dicha partícula a lo largo de una trayectoria cerrada C y su valor €s V x A. De aqui sc¡¡i V x A:0, ó bien, si A: Vd, la integral a lo largo de una trayectoria cerrada es cero..E¡to

que el trabajo realizado para desplazar una partfcula desde un punto a otro es indcpcndiente del plana que se siga para ir del uno al otro, o bien, que el campo de fuerzas es conservativo.

E demoskado ya en el caso de campos d9 fucrzas y curvas alabeadas en €l espacio (Capltulo 5).Ernente, si la integral anterior os ind€pendionte de la trayectoria qu€ une dos puntos de unaücü, si la int€gral ¿ lo largo do una línea cer¡ada es cero, rsulta V x I : ó. En el plano. latF x A : 0equival" t

# :$, siendo e : Mi + Ni.

, # ::r, :

#, * de.duce que la int€gJql es independicnte de.la Lra¡4:!!gria. En

üquienpcn€Darú4ex4ls DlaDt

i2, r)(lox' - 2tyt) dx - lx'yt dy a lo largo de la curva ¡r - 6xlr : 4Jli.

c¡q¡lo directo de la integral es diffcil. Sin emba¡go, teniendo en cuenta que M: l0xt -2xy.,

, t "

.y'/ ./

AM AN

A" :

E, (Ox. - 2xy.) dx - 3x'y, dy 6 una diferencial exacta (de 2x6 - ri¡), podremos

(10la -?tcys) ¿, - 3xj2 dy

que el área limit¿da por una cuwa simple ccrrada C viene dada por $ i| r dy - y dx .JC

^I¡ -J - 12r '¿! = -a.

y=0

, t2. ndQts -*t\ = 2tó - x2y3'(o,ol = OO

pcdida :64-4 :60.

( = [ ' " ' ""(0,0)

$<o - f,<t>) a"a, = z [[ o'a,

e=i f ,ar-ra, . Pi l,

f

€n €l teorema dc Green, M : -y, N : .r, s€ tiene

f,xdy - ydx

I el área pedida. Por lo tanto. ,{

b larso der sosmento que une los puntos (0, o) v Q,o), y : n -*

-

il'i tl,":*l

:"" 7 +t

,J"roradr = 6{. t - t ( 'á)

, o. , ; f

= 2A

r--II2 TEOREMA DE LA DIVERCENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL

t. Hallar el ár€a de la elips€ ¡ : o cos 0, y : ó s€n 0.

** = +$zdy -ydx = , I ' " rcosa\f t 'cosl)d0 - g* O)ea*\0)de

= ¿f'" ou 1.o',0 + xnz\¡ a0 = t f'"

* d0 = nob

r9. Hallar Q 0 - *n x) dx + cos x d/, siendo C el trián-

rc

gulo de la ñgura:(a) Dir€ctan¡€nte.(ó) Aplicando el te,orema de Green €n el plano.

(a) A lo largo de OA' y : O, dy : O' y la int€gral val€

r"h rhI

J" (0-s€n')dr + (cos¡)(o) =

J -s€nrd¡

'tt/2= cos r lo : _ l

La intelal a lo largo de C = -r + o + 1 - T -

(b) M = r -* i , , ,v = cos' , $ = -r .n, ,

# = , tO" OonO"

A lo largo de AB, x : i,

* : O, y la integral vale

¡L

J" (Y-t)o * odY = 6

A lo largo dc 8o, y :|, o, : I a*,v t^integral valc

f ' r ! -*ou* ,2"o' ,d, = (+ * .o", ,? nn'¡ l l *

R

(-s€n¡ - 1)

T2'4 ' r l

7r 2.4Tr

2TT

,cos¡+sen,) -* l ! = -+

I

2,-ñ\-

¡ ¡/z=,

t

$ " ' * r , = I I ,* -{to"o, = [[ 'n*" ' - ' \dvdr

=rulrx=o Ly= o

que coincide con el rosultado de (a).

Observese que aunque exista una rgcta paralela a un eje coordenado (el propio eje r €n estecorte a C en un núme¡o infinito de puntos, se siguo veri6cando el teorsma de Green en el plano. Enteorena es válido aún en el caso de que C osté constituida por un número finito de,/segmentos

10, Demostra¡ quo el teorema de G¡een en el plano tambiéo se verifica en el caso de una región Rconexa, como la representada en la figura.

Px /"(-y s€n r - 7) lo

=.[""n+nn,- ]>a" =

l,a región sombreada R de la figura es múltiplemente conexa) ya que no se cumple que todaso pueds ir roduciendo hasta un punto sin dejar de

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA,

¡. ¡ como se pueds observa¡ considerandori :...ada cualquie¡a que rodee a, DEFGD.

d€ R, que exteriorme¡te 6 AHJKLA eDEFC, se rocorre en s€ntido positivo,

G :orma que un obscrvadot que se desplacc

'ñ'ips de la región en dicho sentido deja a esta¡ = üquierda.

!b lÉdrostrar el tgo¡oma, tracomos la reata AD,rr'aro. oue una los contomos exterior e inte-laain limitada por I DEFGDALKIHA es sim-=cra y, en ella, se puede aplicar el teorgnaE¡ cstas condicion€s,

TEOREMA DEL ROTACIONAL

[ , T- T- TA LP]I IIA ABDXNCA

f Md,+Ndy = I I ,*_{, , "0,ADEÍCDALIJIIA R

Iü

= T-IDE1CD AL.IJfll

f ¡ ¡ ^

! , uo, , uay = I I ,* - ! - to,o, - \'

o ' ' - ' )

c1

i i , ; l . ¡1)#

i;

que el teoroma de Creen en el plano se verifica en la región,R de la ñgura, Iimitada por las cuwas:trradas C' (ABDEFGA'), C, (HKLPH), Ca (QSTUQ) y C, (vtrXYV).

l:¡.'emos las barrcras lF1, LQ y 'l:V. La región limitada por AHKLQSTVWXYVTUQLPHABDEFGAconexa y en ella se puede aplicar el teorema de Gre.en. t¿ integral a lo largo de este contomo es

l *t i

J-LQ

i f f f f

f ' l r I r l - ,JJJJJ

QSr Iy VyXyV vr r1Qf*

n t{L

Ii, .l

fas integrafes a lo largo de AH y HA, LO v QL, Ty y VT 9e anulan, resulta

I l4

I11KL

- T- T " T83r VvXfV ÍlQ

= ({ , ' , { , )

. ( ¡ , .

IABDEFGA

T-TYYXYY IBDSÍGA

i ) +IAQ'

IIIXYT ABDENGA

f f* l=l

t l

f f f=f+l+lv3 v1

de la región lR limitada por C, de forma que se pueda aplicar el teorema de Green. En estas

f uo, , ,o, = I I ,* - { ta,a,

=* * .R, entonces f

,o '*Ndy=¡.

Reciprocamente, supongamos que Q M dx -t N dy : ¡ puru toda curva C.Jc

AN AMpunto P. de la continuidad de las derivadas se deduce la desigualdad aV - aque rodea a P. Si f es el contomo de ..1, s9 tiene

$ uo, . ,a, f f , ' .1 - ! , ,0,0, ' oJr to" d'

gamente, en el caso de "*#

-# < 0 se llega también a una contradicción. tu"zoff--

cn todos ios puntos.

oM ¿VObséne.e Que la condición

"* ,- eouivale a v ' A :0, siendo A ' Mi 'r Ni

y ll, Cap. 5). En el probl€ma 3l veremos una generalización a curvas en el espacio.

si =ay

^. aN aM) l - - - ^

> 0 en alguna

que se contradic€ con la hipótesis de que la integral curvilínea es cero a lo la¡go de toda curva cerrac.

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL

ILPE

= I . [ +ítrLPIl 8ST A8

siendo c el llnite formado por C', c", C' y C.. Por lo tánto,

t ' ¡

$ ua,,nay = l l ,+ - ! ! ' ! t¿ '¿tJc trt dr Ót

como se quería demostta¡.

rDemostrar gue $ u dx + N dy :0 a Io largo de una curva cerrada C en una región simplemente

Jr.AM AN

si, y solo si, u, ¿x en todos los puntos de la región.

Supongamos que M y N son continuas y con derivadas parciales asimismo continuas en todos lc:

TEOREMA DE LA DÍVERCENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL II '

_r: - ' 'J , (a) Calcular VxF. (ó) Hal lar Q r ' dr a Io largo de una curva cerrada.J

:: -!:-_ :: aesultados.

,71 ;¡-7

k

a?"

0

f - t dt + xdtf . i r = 9-.

,J , - +f '

: -35 coordenadas pola¡es.

pser,l. dó

x: pcosÉ y: psen y ' , s iendo

dy = p cos ó dÉ + dp s.rre

: :-_ . .r que

:--. :ra curva cerrada ABCDA, Fig. (a), que rode€ al origen, ó:Oan Ay?4 - 2z después de

:: :.:1¡leta y l legar de nuevo a ,4. Eo este caso, la integral curvil inea valL' I O, = ,,..ó

Fic. (ó)

J

¿dy

= 0 €n toda región, excluyendo el punto (0,0).

Hasamos €l cambio de va¡iabl€s

Entonces+ dpcosq,

Fts. (a)

?¿ra una curva cernda PQRSP, Fig. (ó), que no iode€ al origen, ó : óo en P y d : do después de una

,: --: ;ompleta y volver de nuevo a P. En cstg caso, la integral curvilínea vale I

¿@ = o.

ComoF: Mi+ Ni , la condic ión V " F:$equivale "U{:

ryr ; y pa¡ece como si exist iera una

-:::dicción en lo dicho en el problema 12. Sin embargo, no €s asi pucsto que 11 :

-{.; Y t :

;, i¡:rene derivadas continuas en una región que rodee al punto (0.0), que es Ia hipótcsis del problema 12.

.\IA DE LA DIVERGENCIA DE GAUSS.

Enunciar el toorema de la divergencia de C;aus! y (r) expresarlo matemátic¿tnente en cootdenadas rec-üngula¡es.

La integral de superlicie de la componente norm¿l de un vecto¡ A a t¡avés de una superficie cerrada esigual a la integral de la divergencia rle A en todo el volumen €nccr¡¿do por dicha superficie.

IIó TEOREMA DE LA DIVERGENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL

(ó) sea A = At i+Az!+,431. LuesodivA = V.A = + -

+ ¿A"

o, o1 { f '

15. Demostrar, físicamente, el teorema de la divergencia de Gauss.

Sea A : velocidad v en un punto cualquiera de un fluido en movimiento. De la figura (a) se deduce:

Volumen de fluido quc atraviesa ¿/S en Jf segundos: volumen contenido en un cilindro de base dS y altura v/¡:1vlr l 'ndS:t ' ¡dS¿t

Entonces, volumen de fluido por segundo que atraviesa ¿1,S -- v . n dS

Fis. (o)

De la Fig. (ó) se deduce:

Ft3. (ó)

Volumen total de fluido po¡ segundo que emerge de la superñcie carrada S

El vccto¡ unitario normal exterior a S es n : ¿, i + ¿r i + ¡r, k. Por lo tanto, ,r : r . i : cosn : n ' ¡ : cos É y rrr : n ' k : cos /, siendo r'¡, ¡'l y T los ángulos que forma la normal n con lospositivos .r, /, z, o lo qu€ es igual, con los vectores ¡, i, k. Las magnitudes cos a, cos f y cos ? soncosenos directores de la normal n. En estas condiciones,

A.n = (Al- i + A2! +.{sk).(cosf l i+cosÉj+cos7k)

= lr cos d + Az cos !-1 + .43 cosy

con lo cual, el teorema de la divergencia se pusde expresa¡ en la forma

JJ ér"oto + Azcosg + , {"cos7)dsJ

. Del problema 21, Cap, 4, j . r.lV es el volumen de fluido por segundo que emerge de un elementovolumen y'/. Luego

Volumen total de fluido que cmerge por segundo de todos los elomontos de volumen de S

= III , ",,v

II "'"0't

II "',0' = IilSy

Por lo tanto, Y.v dV

t i

TEOREMA DE LA DIVERCENCIA, TEOREMA DEL

:host.ar el teo¡ema de la dive¡gencia de Gauss.

ROTACIONAL 1t7

{

¡

I

il

I

1¡

Sea S una superficie cer¡ada en la que toda recta paralela a los ejes coordenados la co¡ta a lo sumo en dos¡,Étos. Suponiendo que las ecuaciones de las supgrficies límites inferior ü y suDerior ,S" son ? : ,l(-r. y) v:: f"(x, z), respectivamentc, y llam¿ndo n a la proy€cción de la superficie soQri el plano *¡, se iiené

" -

lf iY;,, = il l{o"o,o. = il l .f '""'+ a,f o,a.v v '" uru

l,=í,u,, oz

Jf f . f - r r

- JJ e4,.",,t1' l_,,ara, = JJ to.o.r,,,\ _ A"{x.r.f,\) dydx

PP

En la cara superior Sr, dy dx : cos y, dS2: k . n¡ d,Sr, ya que la normal nr a S¿ forma un ángulo agudo-¡ con k.

En la cara inferior S,, dy d.x - - cos yr dS\: - k . nr /^Sr, ya que Ia normal n. a .!r forma un ángulo¡btuso /1 con k.

r f r fPor lo ranto. J J . t"t , ,1,rr1 aya, -.

J J e"r<.o, as"pS2

f f r rl l e"p,1,¡ , ¡aya, - l l . {st .n1ds1JJ JJ '.P s.

i f o"<''''t't o' o'R

- [ [ o"o' ' ' ¡ ' to 'o'

,?[ [

o"u.n"or"

,t2

f f o"*.,0,,'

[ [ o.* . . o,s

* f f e.x.n,as,31

I

"t

Análogamente, proyectando S sobre los otros planos coordenados,

l--116 TEOREMA DE LA DIVERGENCÍA, TEOREMA DEL ROTACIONAL

(á) sea ^

= At i+Acj+.43k. LuesodivA = v.A - P+-+-+.

-dr¿)¿z

¡¡¡ -= n ' j : cos /r y /¡r : n k : cos y, siendo c, l/y), los ángulos que forma la normal nconlospositivos ¡, /, z, o lo que es igual, con los vectoÍes i, j , k. Las magnitudes cos a, cos i9 y cos ),cosenos d¡rectores dc l¿r normal n. En estas condic¡ones,

A.n = (A\ i +,42! +,43k) ' (cos at i + cosÉ j + cos7 k)

= .4r CoS'Y + /z Cos. i | 4" COS )

con lo cual, el teorema de la divergencia se puede expresar en la forma

tt l ¿4, dA" ¿Att t (=- * -o: *

-b¡a.a7a, - f f r ¡ r"o.n, t t rcosfS - {3cos})ds

"í" o, d7 d¿ urt

15. Demostrar, físicamente, el teorema de Ia divergencia de Gauss.

Sea A : velocidad v en un punto cualquie¡a de un ffuido en movimiento. De la figura (a) se

Volumen de fluido que atraviesa r/S en .11 segundos: volumen contenido en un cilindro de base dS y altu¡a v,rf: (r¿r) . .t dS : t .n dS lt

Entonc€s, volumon de fluido por segundo que atraviesa r/S : v .n dS

Fis. (o)

lre la Fig. (ó) se deduce:

Fl3. (ó)

Volumen total de fluido por segundo que emerge de la superñcie cerrada S

Del problema 21, Cap. 4, j .r. lV cs el volumen de fluido por segundo que emerge de unvolumen y'/. Lueeo

Volumen total de fluido que emerge por segundo de todos los elomentos de volumen de S

El vecto. uni tar io normal exte¡ ior a. t es n: n, i+n" i +¡ ,k. Por lo tanto, ¿r: : t . i :

= III , ,,,v

= II "'"0'.s

TT"."O'= TTTs¡¿

Por lo tanto, Y.u dV

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA, TEOREMA DEL ROTAC¡ONAL

d teorema de la divergpncia de Gauss.

L,suna superñcie cerrada en la que toda recta paralela a los ejes coordenados la, corta a lo sumo gn dosE $poniendo que las ecuaciones de las superficies llmitcs inferior S. y supcrior S¡ son z : r(r, /) y

z), resp€ctivamente, y llamando X a la proyección de la superficie sob¡G cl plano .xy, sc ücnc

h la cara superior &, dy dx : cos y,dS,: k . q d$, ya quc la normal nt a Sr forÍra utr ángulo sgudot.

E la c¿ra inferior S,, dydx:-c$yLdg:-k.n¡d5,, ya que la normal nra,S, forma rm ángulo

III** = III.4'n"n,o" = ill ¡r'attae a")a,a,ú v ul

L"=|,o,, oz

J

= JI n",,,,,u1!=,.+r, = [! u"a,,,r; - a.e.y.rLtf dy¡',P-R

ror fo tanto, [f ^o,r.ornro, = f f n"r.,,or,

fJz

f / .

fl n""'''"'0" ff n"r'"'n"xJr

f f f f

JJ e"a,y,¡;aya" - JJ he,t.tL\drdxRP

= jf n"*.,,ts, , f f 4t.o,as,

= | | ¡ " t r 'n ¿s3

f f f : \ t f fta l( ¡ ) JJJ =¿7* = JJ t"voasrJ

Análogamente, proyectando S sobre los otros planos coord€nados,

o bien,

TEoREMA oE r-e ow¡RcÉNcIA, TEoREMA DEL RoTAcIoNAL

e\ f f f4* = f f 0. , . ,0,JJJ ¿x JJ

v3

f f f ¿a- f f(3) t l l+2dv = . t t A, i ' t 'ds

JJJ AY JJYJ

Sumando (1), (2) y (3),

f f f ,+,¿p,(¡on = f f ,ou+A2i+ABk).¡dsJJJ ó, óy óz JJ

rJ

IIIr'^', = [[ n'""I¡ .'

línrites satisiagan la condición anterio¡. El procedimiento es análogo al utilizado para el teorema de Cen el plano

!

r f17. Hat la¡ | | f .naS, s iendo F - 4xzi- y ' i +/?k y.S Ia superf ic ie del cubo l imi tado por x: O, ¡

JJ3

y:o, y:1,2:o, z: l .

Según el teorema de la divergencia, Ia integ¡al pedida vale

f r f_ rrr f ¿ ) ¡ IJJJ v.Fdv =

JJJ lüt* , ' + f i t - f ) -&tr" t lavvv

r f f l t r t f l= JJJGz-y\dv

= J J J,n"- , ,0,0,0,

Y t=o Y=o z=o

ft f t I f t f l= | | 222 -yz ,_^d1 dx = | | tz-ytdy¿, = *

JJJJ

El teorema se puede generalizar a superficies que ssan cortadas por rectas paralelas a los ejes coornados en más de dos puntos; pa¡a 9llo, se subdivide la región encerrada por S en subregiones cuyas

La integral de superficie se puede hallar también di¡ectamente como en,el problema 23, Capitulo i

18. Comproba¡ el teorema de la divergencia de Gauss para ¡:4xi-2yzi + z'kextendida a la regiónporx '* t ' :4,2:Oyz:3.

f ' r r r r ' - ; * P,-r" , , *P," l l ¿zInregrardevorumen =

JJJo.^av =

JJJl f , t t , t q. oz JVV

t f f f2 ftE=? fa= JJJG-4y-22)dv - J J J

G-av-22\d¿dyd,' t t=-z y=-,fi-P ¿=s

La supe¡ficie .9 del cilindro está formada por unas bases ̂5' (z : 0) y & (z : 3), y la porciónS. (¡ ' t / ' : 4). Por lo taoto,

TEOREMA-$E-LA DIVERGENCIA, TEOREMA DEL ROTACTONAL

dV = dr dy dz

l I9

hregrardesriperñcie= II^ñt = fi^.,nr,t IIn."or,* ff nnor"-,,, =-.--t- ,- ü ¿ &

n -o,r:r).fiJ:,r:0, de rorma que fi ^.,rr,=0.

A:4xi-2y, ! + 9k y A 'n lC, a" forma que| | .

JJ t.n as" = s J J as, = 362, p¡65 6¡ ¿r"a de s": 4n

3z sz

O

MI

La perpendicular xs + /¡ : 4 tienc ladir€cción y sentido del vector v(¡' * /? : .¡

lDo la figurá se deduce, ¡ :2cos 0, y:2sen0, dS.:2ñdz,cenlocual,

1Z sen 0'¡? I 2 ¿t ¿6f f f2Í ¡3.f fn.nas" = ¡ | [zqzcoe0¡" -

's"- /=ó "!o

La integral de superficie valc 0 * 362 * 48¡t : E4n, que 6s igual a la integral de volumen, quedando¿l teórema de la divergencia.

Obsérvese que la integral de sup€rficie sobre S" se podrla haber calculado proyectando ,5" sobre.los planos

div A es la diverg€ncia d€ un campo v€ctorial A en un punto ¿ d€mostrar qu€

xz o yz,

¡ = .!"" o, "o"" e - 48 *ff q.de =

I'" n, cos2 0 da = 4Bn' e=o er=o ¡

div A = ,r," {of ̂ 'ar-o LV

donde / f€s el volumeo limit¿do por la suporficie /S y el límite se obtiene cu¿ndo / t/ se reduce de dinpn-

2ri +

hasta el ¡.

' - -=;> ' - -

I2O TEOREMA DE LA DIVERCENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL

proxim¡dades dc un punto P signifrca que el flujo que sale de P €s positivo y dicho punto se llamaAnálog¿Írente, si div A es negativa en las proximidades de P, el ñujo que sale dc P cs negativo (€ntray €l punto * llarm sumidero, Si una región carcce de fuent€s y de sumideros, div A : 0 y, en eslas corncs, A Gs un car¡rpo veto¡ial solenoidol,

Según ef leorema de la divergcncia, J J J dtv A dv

AI

Según al teor€na del valo¡ mcdio de las integrales, el primer miembro es

¿r" r l l l¿r = ¿r ' ¡ ¡ r 't&u

siendo div A un valor compründido cotrr cl máximo y el mfnimo d€ div A cn ¿f. Por lo l^rtlo,f f

| | A.n ds

dtv A = r=¿-Lv

Hstlando cl llñitc cuando ¿y + O da forma que P sca sicmpre interiot a /l/,

-iv

A ti€nd€ a div Apunto .P; h¡cgo

![ ^'"rsdlvA = I lm S

Af-o Lv

Estc rpsultado se pucde tomar como definición de divergcncia de A y, de é1, dcducir todas lasincluso la demostración del leorcma de la divergcncia. En el Cap. 7 utilizaremos esta deñnición paraduci¡ €l concepto de divergencia de un vector en otros sistcmas de coordonad¿s, Ffsicarn€núc,

Jl *"as

LvrcpEsGnta el flujo del vator A a través de Ia superfrcie /S por unidad de volumen. Si div A es positiva en

= [[ ^'"

n'AJ

m. Hallar ilr."

tt, si€ndo S una sup€rficie ccÍsda.

t

Por cl t€orcm¿ d€ la diYerg€ncia,

= III,&',- III,*I

siendb t/ cl volumen lim¡tado por S.

[[,'"n' = ![[ v',',JT

$l '$tr ,@t+tt+zrt¿v

*,* , ' ,= ' [ f i , ,= ' ,

2r. Dcmostrar lllrrnr - ,pe'ótav = ff tov* - ,/vó).ds.

r3

Sca A : óV,y' en cl teorema de la divergencia de Gauss.

' \

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA. TEOREMA DEL ROTACIONAL

ff f f f r t

JJJ v.rov*rn, = JJ <ov,tt."as = JJ @v,!t.asrJ, t

V.tóVll'> = @1V.Vry'¡ + rVdl,tVry'l - óf,l'+ 1V@¡.1V,y'¡

f l f f f f

JJJ v'tov*tr, = JJJ tov* + 1jg¡'qee¡l av

(r) ![! we* + pg,¡.1it4]av - [! ov*t.asr t

lo NinEra ident¡M & G¡ccn. Cztnuzttdo / por 9 cn (I),

(2t [![ U'r"o + qeg¡.1ee¡]av - ![ oWor.t"rs

(2) dc (r), sc obticnc

(3) [![ ov"* - 9V6¡av = fi,0r9 - ,y'vó).ds'J

d tcorcms 3ímétrico o teganda idcntifud dc Grecn. F¡ la d€tnGtnción lrcmos supt¡csto ouc d y v sonB ccala¡ls dr posición con dcrivada¡ continu¡s hssl¡ las de scgundo o¡dcn poi lo nrcnos.

' - '

III"r,, = ffo"".r t

En cl tcor€ma dc la divcrgencia, h¿gsmos A :C C, sÉndo C un voctor con$tanb. Entonccs

ff f f r

JJJ v.toctdv - JJ oc."tsf t

Cono V.@c¡ - 1V{¡.c ' c.Vó y óc.n = c.(ói) ,

. [[[ ".va,, = [!..<0,t,," . tJJ

f3

Sacando C fuers dc las integralcs,f f f Í tc.JJJv+av = c.J)ó,asr t

tcorno C es un rrcctor constsnte arbitrario,' f f f f f

JJJvoav = JJ o" 's7J

o* fffr'"av = ff,,sas.TJ

tzl

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA, TEORBMA DEI. I,OT.ACIONAL

En €l tcoftma da la dincrgencia, hagaaros A : E x C, sicndo C un vlctor enstant!.

f ?1. l f

J)Jv.p*oav . JJ rn 'o.rasr t

Como V.6xC¡ = C.(VXB) y (BtC).n = B'(cxn) = (Cxn).B = c.(nxB),

f f r f f| | | c . tVxsl¿Y = | | c.( ixB)ds

.t ., ., ., .,f

Sacando C fucra dc las integmles,

f?-

s. | | | V,a;¡ ,. ,JJ

y como C es un r¡cctor comtanlc arbitrrr¡o,

JJJ v]¡B¿v -a

ta. Dcmosl¡ar qu€ €n un punto cu¿lquier¿ P,

JIo"" f f" , tay (á) vxa =

^tl,$

A-^"-(c) vó = ¡lT,

!t Ar

túm,do A y d votumcn lirnitado por l¿ suporñcb r'S' hallando cl llmitc cusndo r' I¿ sc ttdt¡cc dcalrcdedor del punto P.

(¿) Dcrprouú'22, IIIrr n, . !! o"rt. r",*' fi[vo,tt, . [[ 0,.,AT AS AT A.C

c. | | rx¡¿st

f f

l l ¡xrdss

probhnra 19, sc obtkirr

f Íó" . t¿sJJAS

Aplicando cl mismo principio qr¡o c¡r cl

VÓ.I

a( l )

Análogamentc so obüoncn,

(2)

á llnAh

9ó.t

vó,t '

Vó.r .(3)

llmAF.o

sicndo vC . I un valor co¡nprcndido enü! ol n¿xinl y cl ml¡imd do v{ , I at AY.cuando r' / * 0 dc forma quc P sea sicmprc inf,riot z AY,.jl .l ticn& h¡ci¿ el v¡lor

f f ó¡.r ¿sJJt - - -

Lu

JJ o¡'t as

Lv

| | ór'l ds

8:.Lv.

) . . , . : , t2

.'"tiit14¿'

Af.o

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA, TEOREMA DEL ROTAC¡ONAL

(1), (2), (3) por i, ¡, k, res¡rctivamente, sumando, y tcniendo en cuenta que,

9ó = <9ó.t¡ t + (Vd. j ) j + (Vó.t)¡ , n: (n. i ) l+(n.J)J+(n.k)k

lroblema 20, Capltulo 2) se obtiene el resultado pedido.

probfema 23, sustiruy€ndo B por A, ! [ ! V,

^ r,

AV

Como en (a), s€ pu€de demostrar que

sustituyendo ¡ por J y k. Multiplicando por i, jil y sumando, resutta la demostración p€did¿.

Los rcsultados ¿nteriores se pueden tomar como deñnicio¡res de gradiente y rotacional, Ilaremos usolas al introducir estos conceptos en okos sistemas de coo¡denadi.

la equivalencia d€l opcrador

v' = i t3 ' ##'" '¿s

donde el sfmbolo o ¡cpres€nta un producto escalar, un producto vectorial o un p¡oducto o¡dinario,

Pa¡a €stablecer la equivalencia, el resultado de la operación sobre un campo escalar o vectorial d€b,e scristente con los resultados ya cooocidos.

Si o indic¿ un producto escalar, par¿ un vector A,

f fV.¡ = t im :L f f ¿s.r

aH LV .t.t

r2t

= [ f , ,^o ' .AJ

dfv A

en el probloma 19.

si o indica un uoducto \rcctorial,

= ^lig -

fi*".^A,'

. f$ ¡t fi^.""A,

A,9

. rn J f fn-r¿s^t4

av k!

= #5 ¡r [lr'"AJ

rotA = v,<¡ = ^yg

¡u t[n"'^

6nido cn el problér¡ 24 (b).

Si o indica un p¡oducto ordinario, para un cccalar /,

v.é = un +l l t "o@ebicn, @. Ay-o AI/

A,&6nido cn el problcma 24(¿).

rt

. , ¡ . -

l i

' . '-. I

124 TEOREMA DE LA DIVERGENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL

26, Siendo S una superficie cerrada y r el vsctor de posición de un punto cualquiera (¡, /, z) medidoorigen, demostra¡ que

lf T:,'es igual a:(n) cero si O es exterior a S, (ó) 4r si O es interior a S, Esta es ¡a expresión matemática delde Gaxss.

(a) Por el teorema de la divcrgencia

Pero v'4:0 (Problema 19, Capitulo 4) en todo punto intcrior a Z siempre que / + "

decir s iempre que O sea exter io¡ aVy,por lotantoa.t . f " .e" [ [

l j aS = 9.

III, + *v

i l;J

ff f f f f f?

JJF, ' = JJ5'as. JJt+!as = JJv-frav = oS+s .t s

I I r^ = - l lv*Js

= + l ldss

f f ¡ . ¡ .

l l ! *¿s = - l l ¡ -+¿s. tJ r - JJ t -

r (á) Si O es interior a,S, consideremos una pequeña esfera s alrededor de O, de rcdio a.la región limitada por S y r, según el teorema de la divergencia, se verifica

ya que ¡ * 0 en ¡. Por lo tanto,

27. Interpretar geométricamente el teorema de Gauss (problema 26).

Ahora bien,ens,,-" , ¡= - I de donde !* = e4-a\ ' ' =- ! ; t= -5=-, t , ""0

i l *^s

Sea dJ un elemento de superficie y unamos todoslos puntos del conto¡no de ds con O con lo que resultael cono que muestra la ñgura adjunta. Tracemos unaesfera de radio ¡ con centro en O y sea dS el área de laporción de esfera interceptada por el cono; el ángulosólído con que se ve dS dosde O es, por deñnición

dodu , - y es igual al árca de la porción de esfera de

radio unidad intercopiada por el cono. Sean, n el vea-tor unitario normal gxtsrior a y'r y 0 el ángulo formado

- nrpor n y ¡; entonces, cos 0 - -. Por otra parte,

dO: + ¿5g.. r: * T ./.9, d. dond" ,"rrltu

D'¡du¡ i ;¡- dS, considerando el signo + o el - se-gún que el ángulo 0 formado por n y ¡ sea agudo uobluso.

S€a S una superñcie, como la representada en la Fig. (a), de forma que una re{ta cualquiera no

en más de dos puntos. Si el punto O es exterior a S, en una posición tal como I, +; dS : d@i en


# , : --Júr. La integral extendida a estas- dos regiones es igual a cero, ya que las contribucioncs

solido s6 anulan. La intcgr¿l sobre S es ü+ ^

= o ' ya que a toda contribución positiva le

una neSa¡rv¿.

bd caso en que O sea interior a S, en una posición tal como 3, T o" : da, y en la posición 4,

aS: d@ con lo que las contribuciones s€ suman en lugar de anularse. El ángulo sólido total, cn este

cr igual al área de la esfera unidad que vale 4z; por Io tanto, J [ + ot = n.

Ft¡,(o) Fts. (ó)

La rnasa de ñuido que sale de yon la unidad de ti€mpo es

r25

Para superñcies s que son cortadas por una fecta en más de dos puntos, s€ mantienen l¿s ñism¿s conclu-!s (Fig. aó)). Si O ea exterior a S, por ejemplo, un cono de vértice O corta a .t €n un número par de vecesco,ot.iU..,ciOtt a la integral de superficiccs nula, ya que los ángulos solidos subtendidos desde O se an lanco,ot.iU..,ciOtt a la integral de superficiccs nula, ya que los ángulos solidos subtendidos desde O se an lanpres. Sin embargo, si O es inGrio¡ a S, un cono de vértice O-corta- a S eo un ní¡mero impar de vec€s

lo la anulación ó produce solamento para un número É¿r de ellas, siempre hay una contribución de 4rrc la suoerñcic S,

tr¡ido dc densidad p(x, y, z, t\ se mueve con una velocidad {x, y, z, t). Demostrar que si no hay ni fuen-ri sumideros

V'l + S = o' siendo J = Pvot

Consideremos una superñcic arbitraria que limitc un volumsn Z de fluido, La m¡sa de fluido cn fz cs'¡ instante dado,

f f ft4 = l l l o¿v

"1"El incrsmento de esta masa cn la unidad de tiempo es

*, = *,lll ,*I

i lt*,,r

| | Pv'n dsJJJ

15) con lo quc cl incr€r¡ento dc masa en la unidad d€ li€Nnpo cs' asimismo'

á^" "" \

a{ orelrotrca t,Z rnr'n snus s. f,i r '

/-=-_'-

126 TEOREMA DE LA DIVERGENCIA,

- I I Pv.n dSJJt

TEOREMA DEL ROTACIONAL

- l l l Y. tpt t¿vJJJ

vsegún el teorema de la divergencia. Po¡ lo tanto,

I r f ^^l l l Y ¿vJJJ ¿I

vo bien,

- [ [ [ , . ,0" , ,v

[ [ [ ,v. , , , . ! ,0,v

III "O , ,,v

*il l"0,* = Ifi",**

La ccuación de continuidad se aplica también en electromagnetismo, siendo Q la densidadJ : Ov fa densidad de co iente.

29. Sea U(x, y, z, t) la temperatura, en el instante /, en un punto cualquiera (x, y, z) de un sólido yk, q y c la conductividad térmica, la densidad y el calo¡ específico del sólido, respectivamente, que

V.J + v = o. s icndoJ =.ov?t

Esta es la ecuac¡ón de con¡inuidad. Si p es constante, el fluido es incompresible y V . v : 0, es decir,de velocidad€s o el vector velocidad- v es solenoidal.

constantes. Demostrar que

!¿/ . -2..= kVLt , stenÓo k= K/pc

Sea l,'un volumen cualquiera interior al sólido y S su superñcie limite. El flujq total de calor queo energia caloríf ica que sale a través de.t en la unidad de tiempo, es

l l r -<Vul.n ¿s:"

La energia calorifica que entra €n S en la unidad de tiempo es.

( t )r f f f ff f 1<Vu¡.n as = f l f 9.u9u\ ¿v

JJ JJJsv

Como y es arbitrario, el integrando supuesto continuo, debg ser idénticamentg nulo,forma a con.ir se hizo en el problema 12. Por lo tanto,

según el tcoreña dd la divergencia. El calor contenido en un volumen l/ viene dado po¡

El incremgnto de calo¡ en la unidad de tiempo es

(2)

II

Igualando,los dos miembros de (1) y (2),

f f l' l l l f "p9!- 9.6yu¡)av = o

JJJ ' ' 7tf

y como fes arbitra¡io; el integra¡do, supuesto continuo, deb€ ser idénticamente nulo, con lo cual

tf;J \


"e * = V' 1¡1 VY¡

r, c, p son constantes,

P=+v.vu=*fuD¡ cP

k s€ d€nomina dfraiyidad. En régimen permanente (es de.ir, ff :o, o lo que es igual,

del tiempo) la ecuación anterior se reduca a la ecuación de l-aplace V'U : 0.

ROTACTONAL DE STOKES

t€orema d€l rotacional de Stokcs y (D) expresailo matemáticamente en coordenadas rec-

t27

DEL

el

¡al curvillnea de la componente tangencial de un vQctot A a lo largo de una curva simple c€rrada Ca la int€gral d€ superficie de la componente no¡mal del rotacional de A extendida a una superncie

que tenga por contorno la curva C.

tCmo en el Droblema l4(r),

hooces,

Vx e

(VxA).n

A = Aí l+A2! + gla, n = coBdt + cosBJ + cosTk

I r k l

+ + +1. = r94"-1&rr . (+-14", , . t44,-14' , .oa. oY ozl q dz oz ox or oY

A1 A2 Ael

= ,H:-p,"*o -(*-pt"o"F ' (*=fr"o"z

A,dr = (ALl + A2t + / '€k]'. (¿' I + 4 ! + ¿z lr) = Atdx + A2dl +'Asdz

y b cxprcsión dcl t€orema do Stokes cs

[ [ r,9^!n- 9&r"o"c - (14 - g,

JJL'Ai -E" ' """- '?. ¿" - ,* -#rcosTlds = f n,r"* n,rr, n"n") coE B

I,

I

I

Sca S una superficie cuyas proyecciones sobre los6 xy, yz y xz ion regiones limitadas por. curvas sim-

"¿nibis, iomo se ináica en Ia figura adjunta. sr¡po-

lo que S se puede ¡epr€sentar por las ecuacionesú qu€ J se puege rcprgsonlar pur r¿s Eeu¿lrvrrvJ

/(x, i), o bien,'¡ : gU, 2), o bien, v : ,{¡, z), siendol funciones uniformes. continuas y de¡ivables, hemos

€l teorema del rot¿cional de Stokes.

que

C el contó¡no o límite de s.

(vxA).nds = JJ [V'r , l ' i +/ ' l ] /3t) l 'n ds

,s

' = $^ '0,II

i

IIIi

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA. TEOREMA DEL ROTACIONAL

t l

consideremos. en primer rrg"t, JJ [V x 1"{r l¡l 'n ds '

Como Vx (l1i) =

tJk

¿a¿Oz. Of oz

Aa00

¿A, ¿A,= =--r i - ; ik ,

oz oy

( r ) [Vx1,{ . r ¡ ] .n ds = r}" . r - }n.* ,

r t

Siz: / (x,) , )es la ecuación de S, c l vectordeposic ióndcu¡puntocualquioradeSesr:¡ i*y iá¡ az Af d¡x i + y i +f @, y) k de forma oue ¡i

: i + 6 k : t + É

k. Pero fr

es un vector tangenteblema 25, Cap. 3) y por lo tanto perpendicular á n, con lo cual

" .$ = " . r*$ ' . r = o oSustituyendo €n (1) se obtiene

) .r . i = -ün.k

Az d!

A3 dz

r4 n,¡ - 94-1 n.r) ds = (-+ -?"

n,u - ? ' n.u,r ,Oz ol oz o! oj

o bien,

(2\ [Vx(.1r i ) ] .n ds - (+ * $]¡" .u r tót óz d!

SobreS, 11(2,1,2¡ = Al',y,1(',y\) = F(r,/): lu€go +

r+X =

[Vx 1,1,1¡] .n ds = - $ " .u , , = -{ **

Por consiguicnte,

l f f f >F

JJ fv"( , { r t ) l .nds JJ - f r* t 's.{

siendo .¿R la proyección de .t sob¡e el plano xy. Scgún el teorema de Gre¿n en el plano, la {¡ltima

igual a { Fd¡, sicndo f el contorno que limita a ,R. Como en cada punto (¡, /) de r el valor

mismoque el de ,{, en cada punto (¡, /, z) de C, y puesto que ¿r es igual para las dos curvas, se

o bien,t t

l l [V ' re1r lJ.n as = $ 4atJJ

Análogamente, proyectando sobre los otros planos coordenados,

f f

f f [V ' ( , {2J)] .n ds = ó.t^

3o

f t f

f f [V ' r , r"uJ .nas = tju

$, con lo queo! rcduce a

t


ordenadamente,f f f| | rV' n¡ 'n as = | e.ar

JJ

t29

I

ü

t -

:. ¡eoroma es también válido en el caso de que la superficie S no satisfaga las restricciones impuestas-!¡.mente. Para ello, supongamos que S se subdivide en regiones S,, S,, . . . S¡ de contornos limitesl. . ., C¡ que cumplan las condiciones dadas. Para c¿da una de estas superficies, pu€s se verifica el:¡a del rotacional de Stokos, Sumando las integrales de superficie se obtiene la integral de superficie

!-sumando las integrales curvilíneas co¡respo¡dientes, a lo largo de C,, G,..., C¡, resulta ia integrala lo largo de C.

,bar el teorema del rotacional de Stokes siendo A:(2x-y)i-yz"j-y'zk, S la superficie de lasuperior de la esfera ¡, + y, + z" : I y C su contorno límite.

El contorno límits C de S es la circunfe¡encia del plano x¡ de radio unidad y centro cn el origen. Sean=:es/ , .y: senl , z:0,0=,< 2rr , las ecuaciones paramétr ic¿s de C. En estas condic iones,

$ n.o, - { ,u-rro, - y*d¡ - y2z dz"c 'c

? 21r= | (2 cos r - sen r) (- senr) dr = 'tt

, lI t

Vx A

i jk

aaa¿"c1-72

2r -y -yz2 -y2z

, f f rv '^r 'nas = [ [* ." r ' = [ [ **J, 'R

¡ue n'k dS : dx dy y JR es la proyección de S sobre el plano x/. Esta última iritegral es

r | n/ t - rz ¡r ¡ /urr2 ? |

I I d1 dx - 4 l l ' -

ay a, = 4l / i lc ¿, = 7rJJJ^J^¿

/-----;Y=-vt- t '

!-omp¡ueba el teorema del rotacional de Stokes.

SuponiendoqueVxAescont inua,hab¡áunaregiónenlaqueVxA+0enalgúnpuntoPdesu

Snficiente. Supongamos que V x A :0. Por el teorema del rotacional de Stokes

f f f

. f n.a, = JJ rv 'n l .n as - o

.\, lecesaria. Supongamos que { n,dr:O a lo largo de toda curva cerrada C, y que V x A +0Jr

¡lgún punto P. '

; lt'

.)

. Sea S una superficie contenida en esta región cuya normal n en cada punto tenga la misma dirgcción

t¡ I3O TEOREMA DE LA DIVERGENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL

y sentido que V x A, es decir, Vx A: on, siendo a una constante positiva. Si Cesel conto¡no limitepor cl teorema del rotacional de Stokes,

f f r f r$ t .ar = f f lVxn¡ 'n as = , t l t n.nds ) oJ^ JsJ tt

que se contradice con la hipótcsis de qu" f, n. O, = O y, por lo tanto, Vx¡ = ¿.J.

Se deduce quc V x A : 0 también es la condición necesaria y suficiente para que una integral curvifPcI

A . dr sea independienre de la trayectoria que une los puntos -P; y ¿ (problemas l0 y I l, Cap. 5).

fP

JJ t,..v¡ Bl . n ds - JJ tc rv.nrJ." as

f f

. l I c ' [Vr¡ .nr ] ¿s - f f c. [n¡V.n¡] asts

r r f rc.JJ [email protected])-n(V.B) l /s = , .JJ ¡nxV¡x¡¿5r5

Ahora bien, como c es un vcctor constante arbitrario,{ ar, ¡ = l'f ,nrVr, u ,,"

trt

35. Sean, /S una superficie limitada por una curva simple cerrada C, p un punto cualquiera de .r'S qu€tene.c€ a C, y n el vector unitario normal exterio¡ a /.9 on p. Derqostrai que eo, diiho punto,

?I

J^ ^. dr

( ¡ot A). n = l imA,t-o AS

hallando sl límite de forma que /S tienda a confundirse con p.

Por el teorema det rotacional de srokes. ff f.o, nr." ,, - $ n.or."^í "c

Aplicando el teorema del valor medio del cálculo integral, como se hizo en los problemas t9 ypuedo escribir,

f

I ^ .d¡( -{ A)*

AS

d€ dondc resulta la demostración p€dida hallando el límite cuando .r'S - 0.

34.Domostrarque f * ,u =

f fo,vt , l -as.

Haciendo A : B x c en el t€orema d€l rotacional d€ stokes, siendo c un yector constante, resulta

f " ' t" '" '

f ".,r.,,",...5[ ,.' " =

= f l [Vxlnxc¡] .n asJ

= l l i rc.VlB - c(V.a) l .odsJJJ

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL l

Esta concrusión se puedc utirizar como pu¡to,de partida para inrroducrr el conc€pro de ¡ot A (p¡obrema 36)'6 & gran utiridad en el cálcuro der rot A en otro iistema de coo.a"naoas qu" no sea et rcctangurar. comJj -t'dr es ra circulación de A a ro rargo de c, la componente de rotacional sogún la normal se puede inter-F¡¡, fisicamente, como el límite de la circulación por unidad de área.

E¡¡odo en cuenra ra definición de ¡ot A dada en el problcma 35, halrar la componente de rot A s€gún er eje z,

Ar; ' 'z l s

, resula

Ahora bien, A. dt = (At

| ¡ . ¿,

IIE

- (At +

--¡11,1-lfct y" rectángulo paralelo al_plano ,/ cuyo punto medio es p(r, y, z), como se obse¡va en latur¿ adJunta, y A, y A" las componentes de A en p s€gún las direcciones p"iii*ár'á" iá,

"¡o ;;r;;";;:¡tamente.

Llamemos C al contorno del rectángulo; enlonc€s,

$ ̂ ' ' ,"cA. dr +

IEE

A. ¿r +

I n.ar = Gz+ *$a"rn,v.otFG

t¡lvo inñnitésimos de orden superior a /r /¡.

Sumando, se obtiene aproximadamente f e. aruc

Luego, como lS : lx /y,

ref

I0fl

A. d l

-TfG

- ! dAt

"Zt

IEÍ

IEF

A. dr

ü

^r) L, _! ?.r,

2¿y

! 7A"2¿,

d¡

Ar)&

&lar

¿A"'4" *!r n, ar.

oy

f o 'o 'componentc z de rot A : (rot A) . k = l i ln

AJ-0 AS

,é¿, dtr . ^ ^

' - - - i - )¿_i1 a7az ol----&ry-= lim

A¡-0¿y-o

¿,_ ?A,

\

I.,, _J

19 v

t32 TEOREMA DE LA DIVERGENCÍA, TEOREMA DEL ROTACIONAL


37. Comp¡obar el teorema de creen en el plano para 1t' \l*" - W,l at * @y - 6xy) dy, siendo C el

de la región def in ida por: (a\ y: t / i , y : x, ; (b) x:O, y - 0, ¡ *r : LSo/. (a) valor común :312 (b) valor común : 5/3

38. Hallar $ 12, + q¡ a, + Q: - 3y) dy, siendo C un¿ circunferencia de radio dos con cGntro en €l-c

del plano ry y que s€ recorre en s€ntido positivo. Sol. - 8n

39. Resolve¡ el problema anbrior para la integral $ 1x, + fl ax + 3xy, dy. Sot. tzn-¡

40. Hallar !

(x" - 2xt\ dx + (x'y + 3)dy a lo largo d€l contorno de la región definida por/':8¡ y ¡(¿) directamente, (ó) aplicando el teorema de Green. Sol. 12815

41. Haf tar .f ("'.')

\e ,l - t,¡ * I (3x, - 2xy) dy a lo largo de la cicloide ¡ : 0 - sen 0, .y : I - cos 0."(o,o)

Sol ,6tr2-4i .

42. Hallar ! (3x' + 2y) dx - (¡ * 3 cos y) dy a lo largo del paratologamo de vé¡tices (0, O), (2, O), (3, l) y

5o/. -6

43, Hallar el área limihda por un arco de la cicloide ¡ - ¿(0 - s€n 0), y : a(l -cos 0), a > O, y e¡ ejeSol.3naz

44, Halla¡ ol á¡ea limitada por la hipocicloide x,t, + yzt' : a'1., a > 0.Ind.: Las ecuaciones paramétricas son x : acos| e, -y : a sen" 0, Sol. 3r.arlg

,t5,

6.

47,

,|8.

Demost¡ar la igualdad x dy - y dt : I'dó, siendo (Q, {) las coordenadas polares. Interpretar laI I xdy-ydx.

Hallar el área de un lazo de la rosa de cuatro hojas p : 3 s6¡ 2¿.

Halfar el área de los dos lazos de la lemniscata Q, : a" cos2ó.

Hallar el área del lazo del folio de Desca¡tesx' * y' : 3axy, a > 0 (figura adjunta).Ind.: Hacer / t¡ y obtener las ecuacionesparamétricas de la curva. A continuación. teneren cuenta oue

Sol.9nl8

Sol. a2

erea=j$,ay-ya"

t f sa(tLf *a '

Sol. 3a'12

I

^h.49. Comprobar el teorema de Green en el plano para $ {2, - y"¡ a, - ,ydl, siendo C el contomo de Ia

limitada por üs circunferencias ¡! + ),¡ : t , ,it¡ ," : e. so/. valor común : 60zl

qo'áa)

TEOREMA DE LA DryERGENCIA, TEOREMA DEL ROTAC¡ONAL

f(- , ,o1 - í¿, +,¿"J(t,o) --P;7- a lo largo dc los c¿minos siguient€s:

ll Quebrada que une los puntos (1,0), (1, -¡), (-1, -l) y (-1, 0),

hostrar que, uunqut !! : 3I, ¡¿ integral c uwillrrx- depende do la trayectoria que une lolóy ox

Quebrada que une los puntos (1,0), (1, l), (-l' l) y (-1, 0).

^ = I I l t<f f i t la"a, ,

R

t(-1,0). Razonar la respuesta. Sol, (a) n (bl -n

el cambio de las Variables (¡, /) por (|¡, v) scgún las ccuacioncs d€ tramfonnación x : x(u, v\,t : ¡(tr, y), demostrar que el área ,{ de una región X limitada por una cuna ccrrada simplc C viene dada por

?r&?¡, ?¿7rfu?, ?o

d Jacobiano de ¡ e / raspecto de a y v. ¿Qué rostriccionos dobon hacsrso ? llustrar el rcgultado para elGüO en que ¡¡ y v s¡ean l¿s coordenadas polafee.

hd.: Aplicar,{ - | | xdy-y dx; transformar la cxprosión a coordonadas ü, vy tener en cuonta ol toorcnxa

-

Gre€n.

F.n/S, s iendo F:2xyl +/rr l +xzk y S:

(.) la superficie del paraleleplpcdo limit¡do po¡ ¡ :0, .v :0, z:O, x:2, y: I y z:3,(¡) la superñcie de la r€gión l ithitada por x : 0, .v : 0, y:3, z:0 f x' l2z:6.

sicndo I lffil =

\ r ' - 's¿.1. (a\ 3O {b\ 35U2út. lal JU tD' 5trlz

Gmptot . el t€or€ma de la divergsncia para A: Zxtyl- y'| + 4¡z¡ t cxtcndida a la rcgión drla rcgión del primeratante limitada pot y' + z' : 9 y x :2. Sor. 180

osfcra do ¡adio 2 con contro on (0, q 0), (ó) la supcrfici. dcl cubo linitadro

por r : -1, y: :Lz:-1,¡ : l ,y : l ,z : l ' (c) la supcrfc ic l imi tada por c l peraboloidoz : 4 -(x. + /") y el plano xy. Sol. (a) l2tt (b) 24 (c\ ?At¿

Siendo S una superñcie cerrada quc encierra un volunpn Vy L : ox | * ál I * czk' do¡¡ostrar quedS:(a*b*c ' )V.

t fSiendo H: rot A, demostrar que JJ H 'n dS:0 para toda supcrficic ccrrada S'

siendo n €l v€ctor unitario normal extcrior a una supcrfrcic ccrr¿da dc árc¿ S, demo.t ",

quo JJJ oi" o ar : s'f

Demostrarque Íff+ = ff+^' r r r ¡1 . . tÍst raf -Demostrar que JJ '5nds

= JJJst ' t¿v.

J

aaDemostrar que J J n aS = 0 para tods supcrficic cerrsü S.

3

Demostrar qu€ l¿ sogunal¡ identid¿d de G¡€€n sc puodc cxptcs¿l en la fomra

[ ! ! ov',t' -,t {ó¡¿v = I I,ot# - {'f¡as¡J

rxds = o para toda supc¡ñcic ocrr¿dr S.

JJ ^ 'n

IID€mostrar que

t l4 TEOREMA DE LA DIVERGENCIA. TEOREMA DEL ROTACIONAL

Comprobar el teorema del rotacional de Stokes para A:(y-z *2)i-l(yz *4)i-¡zk, siendo Ssuperficie del cubo x : 0, -y

.: 0, z : O, x : 2, f : 2, z : 2 por encima del plano ry.So1. valor común : --4

Coñprobar el teo¡ama del ¡otacional dc Stokcs porF : xzi-yi g xly k, siendo S la superficie de Ial imitada por x:O, y:0, z:0,2x * y l2z:8. .9ol . valor común:32/3.

65. Hal lar JJ ( i ^A).ndS, s iendo A:(x, + y-4) i +3xyi + (2xz +z')k y S la superf ic ie de (a)s

semiosf€ra r' + y'+z': 16 por encima del plano x¡, (á) el paraboloide z:4-(x, +/r) por encimaplano xy. Sol. (a) -16n, (b) -4n

66. Siendo A:2yzi-(xt3y_ 2)!- l (x, I z ' )k, f , "1f" , / / (vxl l .n ds oxtendid4 a la superf ic ie de

se¿ción de los cilindros x' + y, : o', x2 + z2: a, situada €n el primer octante. Sot. -{Qn +

67. Siendo B un vecior noÍnal a una superficie cerrada S, demostrar q J J J rotBdV :0, en dondc /c¡¡ggión que encierra ,f. r

6E. Siendo { e .a. = -lP ff".ru ySuna superñcie cualquiera timit¿da por la curua C, demostrarJ^ c ¿t JJ

I tllV ^ E:--- : :1 .

co,f .F

69. Demostrar que f,ó ar = JJ ds x V0.

70. Aplicar la cquivalencia del problema r€suelto 25 para obtener: (a'¡ v ó, (b) V .A, (c) V xA enre{tangularcs.

7r.D€mostrarque I I Ivo.^av = IJot .nas - [ [ [ov ' rav.rJf

72. Sea r el veato¡ de posición de un punto cualquiera r€specto d€ un origen O, y supongaños que la Itiene derivadas continuas d€ segundo orden, por lo menos. Repres€nt?ndo el valor do C en O pormando S a la superñcie cerrada que encierra el volum€n ,/, demostra¡ que

l l t+v*-ovr l r l 'as = [ [ !v iÓ ¿n ' o. ty

en donde o : 0, o bien, 4rÓo s€gún que O s€a exterior o interior a S, respectivamentc.

73. El potencial C{P) en un punto P(x, y, z) debido a un sistema de cargas €léctricas 4, q¡, . , . , 4, cuyosde posición son r¡, ¡!, . . . , r¡ respe€to de P vienc dado por

.A - r, 9*

Demostrar el teorema de Gquss

éo!

[ [ " . r" = 4,Q3

siendoE:-vdlaintensidaddelcampoeléctrico,SunasuperficiequeencierreatodaslascargasyQ=la carga total interior a S.

74. El potencial d(P) en un punto P viene dado por ó= I I I L{ siendo ¡/ una región, limitada por una

ficie S, en la quo la ca¡ga eléctrica está dist¡ibuida de fárma co¡tinua con una densidad p. Deducir,las hipótesis necesarias, las fó¡mulas siguientes:

?f( ' ) JJ E'ds = 4" JJJ p¿v, s iendo E:-vc.

JI(D A'é : -4:¡ g (ecuación de Poisson) en todos los puntos P en los que hay cargas, y VrC : 0

de Laplace) donde no las hay.

-,.,,,,/.

-]I

t la

de (¿)

muna

¿de

(32 +

I loy

Coordenodos curvilíneqs

TRANSFORMACION DE COORDENADAS. Consideremos las coordenadas rectansulareslrir -y, z) de un punto expresadas en función de las variables (ur, u", u") en la forma

j, ¡ : x(ur, u", u"\, y : y(ur, ur, u"),

r bien, despejando (\, th, u),

z : z(ub u2, q)

--) ur: ur(x, y, z), u2 : u2(x, y, z), u" : u"(x, y, z)

[.rs funciones que aparecen en (1) y (2) se suponen uniformes y con derivadas continuas de manera que¡ correspondencia entre las ternas (x, y, z) y (ur, ur, u") es biunivoca. En la prácüca, puede ocurrü queE¿ hipótesis no se curnpla en algunos puntos determinados, en cuyo caso deberán hacerse las consi-¡raciones pertinentes,

Dado un punto P de coordenadas rectangulares (x, y, z) se le puede asociar, según (2), un conjuntoiúo de números (u* th, ut) que llamarernos coordenadas curvilíneqs de P. Los sistemas de ecuacionesrff ó (2) definen las fórmulas de translormación de coordenadas.

COORDENADAS CTJRYILINEAS ORTOGONALES

Las superfrcies ut: cb t4: cz, us: cr, siendoc!, cr, cs constantes, se llaman superfcies coordenadas;L intersección de cada par de estas superficies definenfu líneas coordenadas correspondientes (Fig. l). Si las¡p€rficies coordenadas se cortan en ángulo recto, elslema curvillneo es ortogonal. Las lfneas coordenadas\, 14 y us de un sistema curvilíneo son análogas a losics coordenados x, y y z de un sistema rectangular.

YECTORES UNITARIOS EN UN SISTEMA DE COORDENADAS CURVILINEAS. Seat * xi * i + zk el vector de posición de un punto P, Segrln (1), podrernos expresarlo en la forma

r : | (u\, u2, ur), El vector tangent€ en P a la línea n, (para la cual r,lr y ¡rB, son constantes) ., fr,.

Entona"r,

d yector unitario tangente en la dirección y s€ntido del anterior es ": #,llrf, l,

A" 0""a" -fir:

n' "r,

indo/rr : l ; l .Análogamente,s ie¡ye"sonlosvecto¡esuni tar iostangentesenPalasl íneasr4yn,- | 0üa1.. A¡ At lAr l t2¡ |

lEp€ctivamente, se üene fr

: hre,V Aur:

á"e", siendo Or:lU*F r":Jr-] Las maenitudes ,¡,,¿,/r'

- llg(ma;n factores de escala. El sentido de los vectores unitarios er, er, e, es el de crecimiento de uL, u4, ut,

rspcctivamcnte.

Como v4, ¿5 un vector normal en P a la superficie ¿rr : cr, cl vector unitario en esta dirección y sen-

\\ r rr:

I

rúe I/ es

ñ¡nció¡

' . i lx

I

II

ti, .l

Fl8, I

l l6 COORDENADAS CURVILINEAS

tido viene dado por E, : Var/ jvl,l. Análogamente, los vectores unitarios E, : i ulrli urly E" : Í u"l rson normales en P a las superf ic ies uz- c2y u3: f ¡ ¡ f€S-pecnvamente.

Por Io tanto, en cada punto P de un sistema de coorde-nadas curvilíneas se püeden definir dos sisternas de vectoresunitarios e¡, ep, es. tangentes a las l ineas coordenadas, y Er,E2, E3 normales a las superficies coordenadas correspon-dientcs (Fig. 2). Ambas ternas solo coincidirán en el caso deque el sistema de coordenadas curvil ineas sea ortogonal(problema I9) y juegan cl mismo papel que los vectoresunitarios i, j , k del sistema de coordenadas rectangulares,con la única diferencia de que aquellos pueden cambiar dedirección y de sentido de un punto a otro. Se demuestra (pro-

blema f5) que los coniuntos ¿r

. ¿r-

, ¿r y vu, . fa", va.

¿ut du2 fus -son dos sistemas de vectores recíDrocos.

Un vecto¡ A se puede cxpresar en función de los vectores unitarios en la base er, er, e", o bien,Er, Er, en la forma :. ,, ! .

{ ¡ = Are, + Are2 + Ase3 = ¿1E. + orEp + o"Ei

siendo ,41, A", A" y or, n.. a, las respectivas componenfes ¿/e A en cada uno de los sistemas.

Todo vector A también se puede representar en función de los vectores

que, aunque tambiéneste caso

¡L , +, 3!. q v¿,,v,,,v,,,Óut out oug

se llaman vectores unitaios en Ia base, no tienen módulo unidad en general

, A = c,+ * c,PL + c"+ = ctat + c2c2 + Csq,sI óu1 óut OUs

y f A = c19u" + cr9u, + "" iu"

= ct | t + cr fu+ c"B"

siendo Cr, Cr, C" las componentes contravariantes ! cyc2 cslas componenles covaüantes del

(problemas 13 y 34). Obsérvese que tr, : f,r,9, - aur, p : 1,2,3.

ELEMENTOS P,E,TINEA Y DE VOLUMEN.

+ d¡. = 3! ¿r. * PL ¿u" * lL ¿u"' óut duc ' dus

A partir de la relación r : r (¿r, u¿, as) se

= h1dv1e, + ht du" e2 + hs ¿ua eg

La diferencial de la longitud de arco ds es el elemento delínea y viene dada por ds2 : dt. r1r. En los sistemas orto-gonales, er '€z : €z ' e¡ : e3. el : 0, con lo que

ds2 = h?, dui + hf, dui + ti aui

En sistemas de coordenadas curvilíneas más seneral. véaseel problema 17.

A lo largo de la l inea coordenada r,tr, son constantes tr2y ¡r¡, con lo que /r : hrdure, El elemento de línea ds,,según a, en el punto P es,ltr dri. Análogamente, los elemen-tos de línea en P según z, y a. soir ds, : h2dury ds, :hsdus,resPectiYamente.

Observando la Fig. 3, el elemento de volumen en un sis-tema de coordenadas curvilíneas ortogonal viene dado por

h**

ld'l(tuduf

I

COORDENADAS CURVILINEAS

e1). (h2du2e) x th"du"e"¡l = h1h2hs du.du2dus 1i /

; .r -- | ;r , ' ¡ ' / . " d"l l

tt7

: VÍg/l i lv \l lle1.e2xe3l

GRADIENTE, DMRGENCIA Y ROTACIONAL, Veamos su expresión en los sistemas de ooor-curvilíneas ortogonales. Sean Q una función escalar y A: ,{, e1 I A2ea* A"e" una funciónde las coordenadas curülíneas ortogonales ub u2, u.i en estas condiciones; se verifica:

Y.n =

I re =

h1 : hr: á" : I y q' er, e. por i' i' k, respectivamente, estas relaciones se redücen a lascorrespondientes en coordenadas retangulares, en donde (zr, r4, z") hacen el papel de (-r, ¡r, z),

En el Cap. 8 extenderemos los resultados anteriores aplicando una teoría más general de los sistemasoordenadas curvilíneas utilizando los métodos del análisis tensorial,

CASOS PARTICULARES DE SISTEMAS DE COORDENADAS ORTOGONALES.

; : ( \h243)

' i o/v

\'/ ..

1/ . i t

fé = Laplaci¿no de é = h [*,*.8,- ¿X,* ffi, . r¿<f *eer]/

l. Coorden¡d¡s clllnüic¡s (q, {, z). Se representan €n la Fig.4.

ar= ecos6, y: gsenó, z:z

siendo g?0, 0Só12n, - ,x <z<oo

he: l , h{ : 8, h, : I

2. Coorden¡d¡s esférices (r,8, fl. Se representan en la Fig. 5.

x: rsen0cos é, -y: rsen0sen { , 2:rcose

siendo r¿0, 0<ó<2a, 0<0<n

h,:1, ho: ¡ , á¿:rsen0

,. . ' , \\i

\ ( ' "\ , -

¡'ü d-c \;ldt'" l'

t38 i COORDENADAS CURVILINEAS

.:.

\)

F18. 6

Ft3. 5

- 3. Coordenrd¡s cill¡dric¡s prrrbólicos (a, r, z). Se representan, en sección, en la Fig.

¡ : | (at-É), y: ut t , z:z

siendo -oo < tt < oo, vZ 0, -oo < z < @

h":h": ! /ur+vr, h, : lAA

En coordenadas ci l lndr icas, u: !2p cos.: , v: V 29 sen i , z: z-z-2

k Fig. 6 muestra las proyecciones sobre el plano x¡ de las superñcies coordenadas.homofocales con un eje comrún.

¿- f - r1,

IL \

{\-


¡1, Coordensd¡s p¡r¡boloidales (¡¡, v, é).

. r : rvcosd, .y: ¡ lvsen ó, , : tQ'-ñ

siendo ¿20, v>0, 0Sú<2n

h,:h, :^/u"+v", ho:uv

f, en la Fig. ó se giran las parábolas alrededor del eje x, y lo llarnamos eje z. se obtienen dos sistemasl:rficies coordenadas. El tercer sistema de superficies es el formado por el haz de planos que?asan

eJe.

!l Ccorden¡dss cilindric¡s elípticas (u, u, z). Se representan, en sección, en la Fig. 7.

, x: ¿cosh¡¡cos v, / :4Senhrsenv, z:z

siendo ¿i0, 0< v 17n' -a <z<oo

h": h ' : aVsentr 'u +sentu, h, : l

Lr Fig. 7 muestra las proyecciones de las superficies coordenadas sobre el plano iry. Son elipses ehomofocales.

t19

.\i r

=2

¿. 3>/c p o,r l l6

t

,_-

¡+1'rilt

Ftc. ?

ó. Cmrdeul¡s esferoid¡l€s ¡lerg¡d¡s (6, ¡1, ó).

¡ : asenhf sen4cos { , t : ¿senh f senl sen { ' z:4cosh6cost,

s iendo ó:0, 0=4<t, 0 l f <?: t

h¿: f io: ¿/senh"6 +sent?, ár : a senh 6sen4

Si en la Fig. ? se giran las curvas alrededor del eje -x, y lo_llamamos eje 2,, se obtien€n dos sistem¡s¡oerficies cóordenadas. El tercef sistema de superficies es el formado por el haz de Planos que pasan

cste eje.

,

I.M COORDENADAS CURVTLINEAS

7. Coordca¡d¡s esferoid¡les sch¡tsdas (f, ?, d).. r - acosh dcos Tcos í , ! : a cosh 6cose¡sen ó, z: asenh fsen?

siendo f=0. _+=nsi , o<g<2nhe : hn : a /ientrr 5 J ,"nz , , ¡¡ó : a cosh ¡ cos ,,

,tlj:^11-a.rq, 7,se giran tas curvas atrededor delÍ:,,:ffI"",,:. .8",¿.""?",.'Eii.",l;fffi:.:::Ji,Hl,¿,; J,il l,T,*,;n,*:: seobtienen dospor este eje. 'ormado

por et haz de planos qu-e

t. Coorden¡das elipsoidales (1, p, u).

*-* . -*= r , t r . ""<b,<o"

l .=r^z

ir.{r i

Ht",|

HItl¡ri'f

f

t,f¡. l

I

II

t2 !2 ,2

"" : i ' f_ r , , l =u2e,2

;--+--+at- -v b '_u

"r_,/--:-------.--- --/ ( /¿-A) l r - l \

Y A-rxó-¡á-rl'

I , c2 ( l t 1b2 < o,

I , c2<b2<u<a2

, - - - ; : . - - : - ; i -h. = : I \ / -pt(^_ul

" zV @:n@:pr(q- ,

9' coorden¡d¡s .bipf-f"

(r, y, z). se representan en la Fig. g.x2 +(y-acotu)¿: a¡ csc¡ l r , ( ¡_acoth v) , f / r : as cschr v,

[ ¡" '

t -t -

r -

l /_--- ' - -

! | (^-v\( tL-v\z V <¿-i<t"-="i|_.

Problemas resueltos

L Dcsc¡ibir las superñcics y llnc¿s coordcn¿das d€ los sisemas de coordenadas: (a) cifndricas y (ó) esféricas.(¿) Las superñcies coordcnadas (o supcrficies de nivel) son:

0 : cr cilindros coaxiatcs con el cjc z(o eje, si c¡ :0),ó : cr planos qu€ pasan por el oje z.z : cr planos pcrpendiculercs al cjc z.

Las lfneas coordcnad¿s son:

tntcrsccción dc p : s, y C : c¡ (lfnca z), una racta.Int fscoción dc Q : ct ! z : c¡ (lfnca c), una circunfcrencia (o un puntoli'Intcrsccción de (:c¡y z: c¡ (lfnca e), una f€cta./

(ó) L¿s supcrficias coordcn¿das son:

¡ : cr csfcras con cGntro cl o¡igen (o el orig€n si cr : O).0 : c¡ conos con vértice cn cl origen (r€ctassi c, : g 6 i,

"¡ plano ¡/ si cr : r/2).

I : c¡ planos quc pasan por el cj€ z.

Las lfnc¿s coordcnadas son:

Inlersccción dc , : cr y 0 : cr (llnea ó), una ci¡cunfcrcncia (o un punto).Intcrsccción dc | : cL y í: c¡ (llnea 0), una semicircunferencia (cr * O).Inters€cción dc 0 : c¡ I ó : c¡ (llnea r), una ¡rcta.

2. Exprcsar las coordenadas cillndricas cn función de tas rectangulares. _

Las ecuacionos que deñnen la transformación de las coordenadas ¡€ctangulares a cilíndricas son:( / ) ¡ : pcos é, (2) .y: esen ó, e)z:z

Elevando al cuadrado (1) y (2) y sumando, p¡(cos, C * s€n, {) : ¡r +/r, o bien,e: \ / x1 +y' , ya que cos'd +sen¡ ó: I y I es posi t ivo,

Dividiendo (2) oot 0t. !- P sen ó"" ¡

:p¡ ; i ; : tasó' o bien' ¿: ar" rag ! '

LueSo la transformación pediü es (4) e:\/x, +y', (J) d: arctag{ , (6) z:2.

Observese que d es indeterm¡nada en los puntos del eje z (x :0, , :0), Estos puntos se llamaopuntos s¡ngulares de la transforñ¿ción_ '

I

. )

a

COORDENADAS CURVIL¡NEASl4 l

o

-!,

¿ scnh y

coshy-costa

sicndo 0Su<22,

¿ sen r¿y: -- cosh y -cos t¿ '

_oo < y < oo,

a

cosh l, -cos u '

-@ < z < o0

r': Fig' g muestra ras proyecciones de ras superficies coordenadas sobre el prano xy. Girando las--s

ahededor del eje y, y lo llamamos "¡.

,, ." irUtl*" un ;;;;;, o" coordenadas toroidales.

,új r

/1' "d\i.)

COORDENADAS CURVIL¡NEAS

3. Dcmostrar quc el sistema d€ coordcnadas cilíndricas es ortogonal.

El v€ctor de lneición de un punlo en coordcnadas cillndricas ss

r : ¡ l * ¡C+zk: e cos C ¡ + e són C j + r k

Los vocto¡€s tangentes a l¿s lfn€as 0, C y z ücnen dados, r€sp€ctivamon b, p* +,

-?, , +.At\ ZA : cos 0r + s€n 0l' ?T : -:e ¡en {¡ + scos ói, E

: *

Los vcctor€s unitarios en esas dircccioncs y sentidos son

- ar lap cos dl+scn dJ' r :

q ' :6¡á¿1: / f f i :

cosdi+s€nl l

- a a{ -pson ll * p cos Ctc' : c ' : iafn:75ff i* : : -s€nól+cosct

tul0zc¡:et : I at ta i r : l

Por lo tanto,r er.er): (cos ót + rÉn ól).(-scn Cl *cos CD : 0

€r-e. : (cos Cl + scn ón,(k) : Oq.e, : ( - scn { i + c¡s CJ).(k) : 0

con lo quc, rr q y e' son Dutua.mcntc pcrpendic.ularcs y por ello €l sigtotlra dG coordcnad¿s €s orúogonsl.

¡1. Reprcscntar ol vactor A: t-Z{ ** c¡r coordenad¿s cilfndric¿s y dctcfmin¡r i¡,;;¡,:

D€l problcrn¡ 3, \.1

¿

: , _({) eo,= c. is ql+s6n f 11 1, [email protected]= -s¿n dl+cosC, ( t ) ¿, :kt" \ i . - t ,a i - -1/-Qi+t¡ ,Q¿ l - i i .¿:; ) Rcsolücndo el sistor4a formado ¡ror (I) y'(4,

, i : cos ri-s.n ó Ga, j : scn rc? + coc l.,

l i , / {

i ' ¡ i L luogo A: z l -2xl + y\

\ Vl ),',. , : dcos I c" - sen ú cr) - 2e cos I (scn I e¡ + cos t c.) + e $n I c'I yt l t j '

= (z cas {-zee,s {scn f)g-(zscn ó * 2pcos'{{} c son lg i

y An: Fw ó-zQcos órct í , . ' l t : -zsan ó-Zpcos, { , A, : Q*ni ,

¿.d:5. D€moskar quc

á A : J c¿, á.n: -{q, cn donde cl punto sobr€ Ia función f€prrscnta la

rGpocto dol ticmpo

Dcl probl¿rm 3,

Gí : - scn lt +cos rt

: (- scn ót * cos ll) { : Cc¡

: - (cos Ci+són Cl)d * - {S

Lucgo,d

7íqd

det

e: cosl¡+rcnlJ,

: - (scn ó)1lt + (cos C)¿l

: - (cos C)dl-(scn ó)Cl

-COORDENADALCURVILINEAS

l4l

la velocidad v y la ac€leración s del moyimiento de una partícul¿ en coordcnad¡rs cilíndricas

bff"tf"rfr de posición en coordenadas r€ctangulares es r : ¡i * yl * zk y los vecto¡es velocidad y ace_

, = #

= +i !+ 'zh . = #

= ' i r+ i r+. j r

En coordenadas cilíndricas, según el problenra 4,

t ,

ió.6* i i " , * p$¡$.0) + póeó+ i$e6+.;e".t

+- ( i ; - pf>.0 * <pó + zp$¡e, +.á e"

l

, t , , . ' -t = , t+yt+zt = (p cosfy lcoa$ co _senóe6)

+ (p sen p)(s€n+ c, + cos ó eé,, + z ¿z

pep+ zez

_ ,t_ ¿p de^Lueso, v = ' r = i "o*

pí t f r "" = i .p+ p$"f + ie,

;úD €l problema 5. Derivando nueva¡nenre,

a = dJ = * , t iV + p$e6+ ier)

= ;d3. : . ideé . : . .- P ¿;

t Peo + PQ7;+ PQeó+ pQe6+2e"

. l

Eúr el problema 5.

hlla¡ el cuadrado del elem€nto de lfnoa €n coordenadas cillndricas y determinar los factores de escala co¡res-Fd¡entes,

[..Ego, drl

, . . .

'do. .:- x

r : pcos4, y: ewr|ú, z:z-Q sen idó + cos óde, d/* pcos ódó+ f f . )aóae, dz:dz

dx2 + dy' +dz¡:(-psen ód4 *cos dtdp)! *(ecos idé +*nódpY f @i,(dú'+ e'@ó)' + (dz), : hi@d" + hi@ü" + hi@z),

c donde ¿1 : he : l, ho : h : p, h" : h": l, son los factores de €scala.

hundo método. El veator de posición es r : g cos / i + p s€n C J + zk. Ento¡ces,

, ar , fu , , ardf :

Ap de - a6 aó + -U;4,

: (eos / i +s€n C j )de +(-psen di + ecos 4!)dó f kdz: (cos ddp- psengds)t f (sen Cdp + ecos4dó) j+kdz

Lrgo, ds! : dr.dr : (cos {d4- pscn CdC)'+(s€n dde + e cos ó dó), + (dz),: (dd" + e,@ór, + (d,),

F.

i. : ¡ ¡ )

I

I COORDENADAS CURVILINEAS

3. Demostrar qu€ el sistema de coordenadas cilíndricas es ortogonal.

El vector de posición de un punto en coo¡dcnadas cilíndricas es

r : ¡ i +-v l +zk : ecosCi* es€nCtlzkLos ve{tores tangentes a las llneas o, d y z vienen dados, r€spectivamen*, no, fr, + , +0r a.

f :cosdi+scnd¡, +: a 'uy -esen9l+ ScosC¡' E: l

Los vectorcs unitarios en esas direcciones y s€ntidos son

ArlAo cosdi+sendl€t : qo : --;-;-: ---_ - : : cos ói +sen ói' I orléQ i y'cos'C * sen¡ d

Arla6 -psen ói + ecos CJrer ladt : /n '*n,aañ

E:cos{ l+scnCJ,

: - (s€n d) iÁi + (cos C) l j

: - (cos ¿l d'i - Gcn d) jj

-s€nCl+cosdi

c, : - scn l i +cos dl

: ( -scnCt+cosóJ)d:de¡

: - (cos C l + s€n I J) C : - {S

ArlAze¡ : e, : :-=--: k

I ofloz I

Por lo tanto, er 'err : (cos Ci +s€n C¡).(_scn Cl+cos Cj) : O

er ic! : (cos di+s€n dJ).(k) :0

er.e! : (_ s€n di+cos CJ).G) :0

con lo que, e' e" y e" son mutua¡rente perp€ndiculares y po¡ ello el sistema de coordenadas es ortogona,l.

4' Reprcsentar el v€ctor A : zi - 2x! + l.,k cn coordenadas cilíndric¿s y determinar An A1 y A,.

Dcl prob¡ema 3,

l j) o :-T; r,t,Iy."..t! (2) et: -sen r¡ +cos c, (r) ¿,:k

Resolvicndo el sistema formado por (1) y (2),

I : cos Cqp-sen C€c, l : scn de! +cos óet

Lucgo A : z l -2xl iyk

/ : 4cos óge-s€n Cec)-2ecos d(s€n ú€" + cos r el) + pscn Cc,: (z cos ó-Z|cos dsen {)q-(zsen C + 2pcosr C).90 + o sen C,ar,/

I Ao : z.cas ó-2ecos Cs€n ó, , t : -zscn C-2ecosr { , l , : e*n l .

d:dlJ. u€moslrar que

Z* E: óec, i"l: -iC, cn dondc el punto sobre la función ¡Epr€scnta

¡esp€cto dol ticmpo

Del problema 3.

_dtuego, ¿ 4

dt trft'

---\}

I

COORDENADAS CURVILINEAS l4l

la velocidad v y l¿ ac€leración ¡ del movimiento de una paricula en coordenad.as cilíndric¿s

El v€ctor de posición en coordenadas r€ctangulares es ¡ : ¡i * ¡i + zk y los vectores velocidad y acc-Eión son

,=#= +! t+ih y ¡ = 4-=\*7trz. .

En coordenadas cilíndricas, según el probl€nra 4,

. = , l+r !+zl = (p cosd¡1coe@ eO - scné e4)

+ 1p sen @¡ lscn @ c, + coa ó ai), + z ez

= Pep+ z ez

,- dp de^Lueso,

" = ' ; =

l .o* ol . " i "" = i "p* p$.n+ ie"

rgún el problcma 5. Derivando nuevam€nte,

" = + = !G"o+ pge6+ i e", t

= ;9 : - ^ i¿ 'ó . ^ \- ¿r! * i .p * pói+ pé.r+ |$e6+2e.

_a

¿.

= ió"0* í% r póe,íe¡ + póe4+ i$er+ze"= t i i - pé?t.p , p$ * z i$¡" , * ' i . "

tgún ol problcma 5.

Ilallar el cuadrado del elemento de línea en coo¡denadas cilfndricas y determina¡ los factores d€ escala coffes-¡ondientes.

Primer método.

x: pcosó, y - esefró, z:z

il

Ii . )

¿l¡ : -qs€n ódó +cos íde, dy - ecosódi +.É,nóde, dz -dz

Lucgo, d.rr : dx '+ dy, +dz¡:(*esen 4d4 I cos dde)s *(ecos Cdd + sen ídd'*@z).: (d p), + p,(d$' j (dz\' : hi@d, + hi@ó,' + hi(dz)'

& dond€ ,h : ho : I, h": h¡ : e, h": h": l, son los factores de escala.

9gundo método. El vector de posición es r: ecos Ci + ps€n Éj + zk. Entonces,

, At A¡ ,. Ardr:

-do +

-dó +

-dzo8 ' óQ oz

: (cos di +send¡)de +(-es€n Ci+ pcos ó dó + kdz

: (cos dde- psen /dd) i + (s€n Cdq + Q cos 4dí)J + kdz

ds' : dr .d. : ( ¡os /d¿- p*nódé), + (s€n dde * p cos ódó), I (dz),

: (d P)' + e'@4)' + (dz)'

II

f

l,t4 COONDENADAS CURVILINEAS

t. R€solvcr cl problem¿ 7 cn coordonadas (a) esféricas y (ó) cilíndricas paraÚlic¡s.

¡ : r s€n ocos c, t : rsenosen í , z:1c¡A0

Entonces d¡: - r ssn 0 scn C dd * ¡ cos 0 cos 6d0 + *¡ 'cfÉ

ódr

d, : ¡ sen 0 cos ó dó + r cos 0 scn ó d + s€n d s€n { dr

dz : - ¡*n0 & *cos0dr

con lo quc (dr)' : (d¡)r *(dy)'l (dz)' : (dr)'+ r\do)' + r'sf,'¡'o(dü'

tos factor€s do €scala son h,: h,: I, h: he: r, h¡: ht: r*t9.

(ó) ¡ : ü( . ¡ ¡ -Yt) ' Y: uv, 2:z

Entonc€s d¡: u4-vdv, dt :udv *vda, dz:dz

con lo qu€ (dsr' ':'(dx)' +(dy\'+(dz\': (¡¡r +v¡)(¿/)t + (u' + t:)(¿tv)' + (y'zt'

Los factores d€ escala son á, : h, : \/ u+ v' . h": h, : \/A +nt , h': h, : l.l t t4u- v- ' . t

' " tJ ' ' j " /

ry LJ. t . t _ t , . . , . /va, o . , , , ) ,J, , ; ¿

9. Represontar y hallar las dinreísiones del elemento de volu¡nel en coordenadas (a) cilínd¡ic¿s y-(á)

(a) L¿s dimensiones del olemento de volumen en coo¡denadas cillndricas (Fig. (¿)) son e dó, dp y dz, ytvienen dadas por

ds,: h, t l\ : ( l) (det : de, dt: hdu¡: p d4, ds. : (r) (dz\ : dz

utilizando los factores de escala obtenidos en el Droblerra 7.

Fig. (¿) Eleocrto de voluEe¡ en coorderad¡s cilíndrlc¡s Fig. (ó) Elem€nto de volumen en clo¡der¡d¡s

(ó) Las dimension€s del elemento de volumen en coo¡den¿das esféricas (Fig. (ó)) son d¡, r d0 y r *¡ya que vienen dadas por

ds, : h,du,: ( l ) (d! l : dt , ds¡: hzd*: r&, ds, : h"du, : r*¡0dó

utiliz¡ndo los factores d€ escala obtenidos en el problema 8 (¿).

(a)

i¡

. - l

l

i

-\

En coordcnad¿s csféricas,lr¡to,


cl oleüEnto dc volumcn d/ c¡r coordGnadas (o) ciltndric¿s, (ó) €sf¿ricas y (c) cillndricas parabólicas.

E clctncnto dc volur¡rcn en coord€nadas cuwilfncas onogonsles ¡r, ..t, r¿r Gs

dV: h, h¡ h¡ dar dq dut

En coordcnsd¿s cillndricas, a, : e, ut : 6, ut : z, ht: l, ,t : p, ¿t : I (problerm ?). por lo tanto,

dV: ( t r l€)o)dQdódz : Qdedódz

También se pucdc obtener di!€ctanenta obs€rvando la Fig. (a) dol problema 9:

ar:L t , :0, u¡ : i , h, :1, ht : r , h¡ : fs€no (problema 8 (a)) . Por lo

dV : (l\ (rr(r st 0\ dr & d{ : rrff iíúdOd{

También so puedc obte,ner dircct¡urnte a padir d€ l¿ Fig. (ó) dcl problema 9.

F¡ coordenad:s cilfnd¡icas parabólic¿s, ur: ü, ur: v, .!, : z, h:1,/irTl, h. : \/7i-+ ". , h. - |(problema 8 (ó)). Por lo tanto,

dV - (\/ u, + ü (.\/ri. + v\ (t\ du dv dz : (u, * vrl du dv dz

(¿) los factorcs de esc¡la y (ó) cl el€Nnento de volumcn dll en coordenadas esferoidales achatadas.

: acosh ¡Cos ?cos ó, . / :4cosh Écos?sen 6, z: ¿senh 6son A: - 4 cosh 6cos?sen CdC-acosh I scn 4cos ódq * a *rrh 6cos Zcos Cd6: acosh fcos4cos ód6-acash 6senqsen 4h + a frr,nh fcos ¡sen Cd6: ascnh fcos ?d? + acosh ¡ s€n ?df

Entonccs (dr)t : (dx)' + (dy), + (dz), : a! (senh' ¡ + s€¡! 4) (d¡)'

+ a'(s€nhr 6 + sen! ?) (d?)¡

+ a¡ coshr 6 cos' ? (dC)r

f h : he: 41,/ scnht f + s€nt ? , h":h,t:a/s6fr[i-F?s€n,4, h, : ht : a cosh 6 cos ?

dv : (a t/ *nW ¿ + *n,,ü G /Gh--T + s€n' 4) @ cosh € cos ri dt dn d 6: ar (s€nh¡ f + scn' ?) cosh I co} rt dE dI d{

las expr€siones de los slementos de su¡erficie en coordenadas curvilíneas ortogonales.

Obsorvando Ia Fig. 3, pág. 136,Ios e¡ementos de super6cie vienen dados por

dA : l(h¡ dqe,\ x (r¡ ¿¡r e,) | : lr¡ /r¡ le¡ x eo I du1du" : hh" du, du,

l€¡xer l : le,¡ : t . Análoganente,

dA, : | (h, du,e,) x (lr, ¿r, et) |

dA, : l(hdqe) x (h, dqe) |

¡

dx

dy

dz

II : .r¡.

h h' dh du.

h' h, du, dul1

I

l4ó COORDENADAS CURV¡LINEAS

Sie¡do ¿r, ¿¡, ,r¡ las coord€r¡adas curvillneas ortogonales, dcmostrar quc al Jacobiano de ¡, /, zl¡r, ¡r, .¿¡ es

Según el problcma 38 dcl C¡pftulo 2, el determinante

?¡ ?v ) ,

üat¡ [3x 7y 7zóUq ót te due

7r. 7y Zz?u" ?r" ?r"

dado es igual a

= hth. .ü

- &.?¡"?¡?u, ?u2 ó""

?" a, 7z ?¡ ?v E. ?¡ Ev 2z( - l +

-4J

+ <-h). ( ' { - - l + 1lJ +

- I )x(- l+<-J+<-k)

oul our óut óuz ott2 ott2 oug oua oug

= Ár€r' h2e2 x hseg

= htbho e1' e2 x es = hthzhg

si cl Jacobiano es idénticamcnte nul ar ar a'

Lo, los v€ctores á, -6r,, dr", son coplanarios y las

(x, y, z) están ligadas por una relación del tipo F(x, y, z) : 0. Por consiguient€, p¿ra aplicar unación d€ coord€nadas es necesario que el Jacobiano corr€spondiente sea distinto d€ cero.

f r f14. Hallzu

J J J (¡'+l'+ zr)dxdydz siendo / una esfqa d€ c€ntro el origen y radio ¿.

Fk. (o) Fr¡. (ó)

La intogral pedida es ocho vecos la integral sobr€ la parte de esfera contenida en el primer(rig. (a)).

En coordenadas ¡ectangula¡es,

¡o ¡ /-a2-x2 r /7=V=7s J J J @2+.f +z2r¿2¿rd'

u.o y.o z¿o

p€ro su cálculo, aunque posible, es complicado. Resulta más fácil utilizar coordenadas esféric¿s. I€ste tipo dc coord€nadas, €l integrando.:, + y, + 2., s€ transforma cn ¡', y cl elomonto de volumen,

COORDENADAS CURVILINEAS t47

rúfÉrte en r,vrrgdrd0dó (problema l0(ó). Para ¡ecoüer Ia región del prim€r octante, sc tian 0 y C,Jrf y s€ integra desde r :0 hasta ¡: a; a continuación, manteniendo d constante, se integn desde

=ltA:z/2y,ñnalmente,seintegrarespectodeédesded:0hastad:z/2,Hemosplanteadolaión en el orden 4 0, f, Wfo s€ podia hab€r s€guido otro orden cualquiora.

r' sen0 &dedó

1r/2

*n0 a0 d$

41r oa

, ["" ["" J' <*rrr*n o ¿,¿o¿ \ = " I"n f^ fr=0 6=0 ¡=0 ó=0 8=O ¡-=O

' ' r["* ,[""" l *neli-oaeaq = + J,'" J,

= + J"" - ,o"o("o¿ó = # J"""'r =rJI

Fnq¡r¡ente, la integral representa el momonto de inercia de la esfera respecto del origcn, es decir, el momentorr de inercia, siendo la densidad de la esfera igual a la unidad.

E¡ general, cuando se pasa de coordenadas rectangulares a coordenadas curvilfnoas ortogonales, el

cnto de volumen, dx dy dz, s€ t¡ansforma e¡ h,h"h" dudu"du", o su equivalentc, t l+"a")

du,du,du,

E¡lo ./ el Jacobiano de la transformaciól de x, y, z a ¡.¡', ar, ¿' (problema l3).

jrÉlo a1, ¡/', a¡ las líneas coordenadas de un sistoma curvilínoo, demostrar tue fr, +,-h,Y vr¡r, V¡¡,

i¡¡ son dos sistemas de vectores reclprocos.

at \ ls ip:qTcnemos que demostrar que j; 'vu.: I ^ -; ' . " endondepy4pueden tomar los valo¡es 1,2,3.

oüt - (vstP+q

fr ticne,

dr = 3r ¿u. *dr,

a¡7n"

au" + ll ru"

Multiplicando por Vl, .,

V,1 'dr - du1 = tVur '*r l¿, , + (Vur ' { r rn

, tVur '* l¿,"

Vur 'a¡?,,.

= 1, vrr . A, = o, Vr, ' a?u"

\nálogamente, multiplicando por V|rr' y v¡¿s's€ demuestran las demás relacionos.

rxmostrarque {* #, .*}{eu,. iv" ,v,"}

= r .

ar a' arSegún el problema

", á, -AC, -ft V V u,, V¿¿', V¡rs son sistcfias recíprocos dc Yectorss Por lo tanto

!¡ demostración s€ deduce del problema 53 (c), Cap. 2.

F

o bien,

- r )

lrE

, ( ¡t. r2t l¡t )

t ' f , .

l l t oola

g@t

¿u, *

Por lo tanto, dtz .

( ¡ )

(2'

COORDENADAS CURVIIJNEAS

Es¡o rlsultado'oqüivalc a un tcortú[a dal ,¡cob¡¡so,

iq.9u2r.O*,

a"!dt

ba¡3s&

3rr¿r?¡2dt

kot

3c1Oz

4",?:llgEr

e dcrte t(#th\ ^ry#l -

¡, trúrodo co crnrrs ot probt@¡ 13¡

t?. Democtr¡r quc cl oradndo dcl Gl@tto do lfnc¿ cn coordin¡das cunillnca¡ ra puodo oxpncar porg3

ds2 = X X,'L q'r +q '\hc

Tcndrcmos,

¿t-

GRÁDTENTE, DTVERGEF{CIA y ROTAOONAL ^ TPy- ^-*

ORTOGONALES

lt. Dcdr¡ci¡ ls cxpr€ción V(D cn coordc¡radas cu¡vilfn€at¡ ortog6nato,

Se¿ ViD = f¡cr+ foeo +.fs 03 con t1,¿,/3 c¡aúsicnté a dctcrnimr.

como & = + ao1 t $aoo* $ao"ü1 'duz ' tsq

. hlc/.tttr + h2 e2 du2 + f,s c"dng

Irsulta

de . VO. th -

¡.|.hdt4 + hfztbz + fu/edq

+-dk r gd4 + &2 du2ote

¿r.dr = Cr'c- du? + Aa.q ¿ttLdt2 + gr.q d¿1iu3

+ Q.Al du2til,a + q.As duf, + Q.g d4 dus

+ ds.q d¡s de1 + Q.Q dasdu2 + q,drd":3g

F E t*dgd,n , sioado \q = cr'c,q) . ! q.L "

Por otr¡ púrt!, ae . ffia,r *#or*.ffia,,"


Igualando (/) y (2),

k lo tanto,

r=1?E r= r3e ,- ra iD'1 h,aur' 'z ¡, éu2' ," - [ a,t

.

vé = pgg.p3É.e"g9ht dut hz du2 ' fu ?rg

E¡ €s-idp.t.-

E¡¡ rclación indica la equivalencia operacional

v = 33. g3 -

eo3bt out h2 du2 ls du"

¡o3 s€ teduce al operador Ven su for¡u norrnal en coordenadas rect¿ngulars.

bn u,, uo, u", coordenadas curvillneas ortogonales. (a) Demostrar que lVuDl:h;r,p:1,2,3.(ó) Demostrar que e, : E .

¡ ¡ ¡ SeaQ: ul en el problema 18. Entonc€s r" : +

y lVar l : le, l lh, :á,-r , ya que ler l : t . Aná-

logam€nte, haciendo é - u, y u,, lAu;1 : ¡rt y lVu,l : h;1.

&, Pord€finiciónEr:#fr.**r"r,sepuedeescribirEr:hoAuo:eoqteesloquosequcrf¿demostrar.

Iaostrar que er : ¿¿ á! v¿¡ x v¡/' y que e¡ y e" vienen dados por ecuaciones análogas, siendo r¡r, ¡r, ¿¡,oordenadas curvilíneas ortogonales.

sesúnclproblema t9, %, = fr, V""=8, %" =;.

Por lo tanto. V,, t Vu" = 9¿l 3" €t - -n, 4 =

ll-t h" I et = hztB vu2t Yus

Arálogamente, e, = AeilVu3xVul y ca= h]2Vu'xVur,

lmostrar que en coordenadas curvilíneas ortogonales

(d) v (dr el) = th" {1e,n,ts

1á¡ Vx 1l ,e) = ja ¿(,{ ,¿,) - .e+ ¡nI) n7 aus hthz *;t l r t" t l

. ¡oálogamente para los vectores,4¡e¡ y,4s€r. (

r Del problema 20,

V' (l1el) = 9, qArh2hrix2xgu".¡

= VéIh2hr. Vr2'Vr" + A]2fug, qyu"xVx"¡

= gulhzhs). f f ' f r . o = i6,n; ' ¡ t . f r¿= [f r},^u't n"t ' f; ];e,t"r'") * fr f,*,tn", ]1a=

hrr,rr," zí)éthzhdt

I, lf t i, r lI I

I

I, l

€r

hzt¡

. , l/ l

= ftftr,,,u - frf;,,,,,¡

Zl. Expresar div A : V 'A on coordsn¿dss curvilfnc¡s ortogonal€s.

V'I ' V' (Aa4 + azaz + ,{o Gs) . V'¡,trcr¡ + i,1,1"4¡ + V. (.{r e")

- I f3,rr44, * ]1,r,r"rr¡ * 3tarroJt"194 l?ur " ' -' 7a' " ^' Eu" ' - "'l

aplicando cl probhms 21(o).

Zl. Expf€ssr rot A: V x A en coord€nad¿s cuwilfncas ortogonales.

Vxl . Vx(ltcL + Aza2 + 4 s"¡ . Vxl,t1cJ + Vx (la!a) + Vx 1,tuc"¡

= ftfto,ar - ftftu'ut* ft¿gr,r,hr - ffifru"ut

- &*'o.,^) - fr*",t'"^o= *^[fit'"'"r -*,^,r,] - fr[ftr',a,-

ft1f;u",",- f;,,,'u]soghn cl problema 2l(ó), Esto sc pucdc €sctibir c¡r l¿ form¡ más compact¡

l l t , COO 'E

ADAS CURVILINEAS

4hrVxVu.'.

(ó) Vx (,tl"J

0

* ftft<tl,t - frf;,r,^.,]-;

= Vx ¡,t1Á1Vr1¡

. V(1Ár¡.x Vr, +

= Vq,rrl.¡rfr += [; ftu,^,,

ft,r"^"r]

Vt,r = - j . ;,a\/¡a¿á

21. &(pr€sar vlP €o coordcnadas curviüncas ortogoDal€s.

DelproblemalE, V,/ = +$-=$' h1 du1 h" da"

h*t hzec }6c,al

a a alüq alA1h1 A2h2 Ashsl

¿'lta"a

.eoig

COORDENADAS CURVILINEAS i51

s ,r=9ú, Entonces l. = 1 #r,

"= i

V * .= V2!.tv.¡f ¿ .h2h. a/ . a ,h.h, á! . a . i',¡, a¡, .l

, r ¡" Lau,t , " á; ' ' ¡¿t ^,

a", ' ' üt , " á i l

I f A 'n dS

drvA = v.A = jH. r\,

4,, r ?,y'* , ,{s = . * y, según €l Í oblema 22,Ott2 hS óuC

@obleÍia 19, Cap. 6), eipresar y 'A cn coordenadasa¡rvilftreas ortogonales.

Consideremos e¡ elemento de volumen lV c\ryasáñcnsiones, como se observan €n Ia figura adjunta,n htAu,, h/q, h,Au¡

S€an, A : lr e! + Are, + A, ety n el vector uni-¡¡io normal extcrior a la superñcie /S del elemento* volu¡nen Á V cit2do. Ei la cara JKLP la norm¿l csr : -er. Por Io tanto, y aproximadamente, tendr€mos

Pf

| | ,r. n ¿s = (A . n en el punto P) (Arca dc .¡K¿P)

JltP = l(1e1+ A2e2 + Ase3). (-er)l (¡2rk a82a¡¡s)

- A1h2ha Au2&6

E¡la,(,¡ra EreE,b integral de superñcie es

4 hzhs Lr'2N1- , {^<1,

nrn" AarA""¡ &,

-sprcciando infinitésifios de orden superioru Ou, O^/.r¡. La contribución neta de estas dos caras a la

fugral dc sup€rñcic, es

<L (¡"¡r¡" ^¡zAh)

A¿1 = + (/i A2&) A¿1 A¿2 A¿3ona oul

l¡ contribución de las seis c¿ras dc / zes

f ¡ á A 'l

l f i t ,e'r,ro + f;tAzhths\

+ ü(/s^1¡,)l

a"1a"za"g

Xlvidicndo por cl volumcn h:¿J'[ Áu, /u, Au' y hallando el llrnitc cuando Áu,, Áu', A4 ticnden a cero'tilne

dr"a = V.r = , , t , [3rrrr"^"1 *9(¡r¡r¡")*9tr"^r , , r l l4h2h LduT ot4 ot¡s J

obBérvcsequellegarlamosalmismoresultadosihubiésemosconsidcfadounelementode.volumen/./U qu" ¡, iuera ,i, c"rrtio. ¡n este caso, ei cáiiulo se efcctuaría de forma análoga al rcalizado en el problema 2l

.H Cap. 4,

tt2

ú, A psrtL ds la dcñnición

(rot A). t r = (VxA). n = UñA3-o

(problcma 35, Cap. ó), cxpr€sa¡ V x A cn coorde-nad¡s curvilfncos ortoSonal€s.

En prirncr lu8ar, c¡lculcmos (rot A) ' ct. Paracllo consider€nos la supcrñcic S¡ normal a c1 Gn P'como indica y aclara la ñgura adjunta. Scan' A :

,{¡ c¡ * A¡9 * A¿e1 y Cr Gl contomo d€ S'' En€stas condicioncs t€ndrcmos,

/ '^9 ^.¿.

= l ¡ .¿¡ ' l^ . r ,-c, .t .t'P8ü

Admiticndo lrs aprorinacion€3

f( I ) J t .a, = (aenP). l t r&tcr¡

, f ̂ .r,It

, f ̂ .r,tc

o bicn,

(2)

AnálogampntG,

I^'" =xL

l^'" =LT

I n.nPx

t ̂ .n¡tP

o bion

(3)

I

(4) f ^, ,, = ,4s ¿e a¡,s +

fi r,l" r" a,"l &"

Sumando (.1), (2'), (3), (4) s€ obtiene

/"))0 r .¿r = +(rsAs&3)&, - i r (A2 h2\udt NsUC, Ou2 ouo

l- : > ' l=

[- t rr , t " t"¡ - ü6"hd )

N"Lus

despreaiando inñnitésimos de orden superior a A¡¡, Az¡.

COORDENADÁS CURV¡LD{EAS

I!!AS

: (,1r"1 + A2e2+ Ascal . (¡24u2.2) = A2h2ü4.

A2h2lrue + i Á2h2&t2¡ N.oüi

- A2 h2 No - + (¡z ^2

A¡2) A¡¡go¿3


Dividindo por ol órca dc Sr quc v¿b á¿r'ílr. y h¡ll.ndo cl llmiic c-r¡rndo /r, y .¿rr ticodca ¡ @ro.

(rora) ..r = * [*."or-

3*,r,^,,]

Anólogamcnto lom¡ndo lr3 árcas S. y S. perpcndiculatcs a q y c¡ cn p rsp.ctivsmcntc, se obticm(rot A) . C y (rot A) . c.. For lo t¡nto el ncult¡do pcdido cs

(rot A = - lt.,,n"t - ft ,r"t"l]

. fr[*t--n,tu-ft.r"^",]. ¡i fftt'"ta - ftt"a'] " #

Al misnro tcullado s€ habrla llog¡do si hubiéscctoc considcr¡do sl punto P.como ccnt¡o dcl ó¡ro &;cl cálcüto !c rlalizarla dc fonna análoga a conn sc hizo cn cl problana 36 dcl Cap. 6.

. Exprcsar on coordcnadas cillnd¡icss: (¿) V!D, (á) V'¿\ (c) V x A, (d) VS.

En coo¡dco¡d¡¡ cillnüi<¡¡ (p,ó,¡),

uf P,az.Ó.h.2; q 'cp, %=.ó, csaGz;

Y L=he= r, hz= tó= P, hs= ,'z. t

f,rGr }¿¡z hq I^ló o dl

?n, 49 a* I

hr/iL i2A2 bAsl

(d) ve = iH" r ¿H" - i f f i "

sicndo A =

(c) Vx¡ = Ihthrh"

i#"- i#"¿* i33" '$t . iS" '$o

= #"[fi,r"^"ro t ln<nnt,,tot " fto,r,rn]

#"" [+(orur) - $ (,',,u,r) - $ (r'ro,,)]

iG1*, - #,5*^",fApea+ Aóa2 + A"es, l .e, AL-Ap,4=Aó, AB=Az.

ep Peó "zoód

ú&r;Ap PA6 A2

=!P

h¡e1 h2e2 hseg

ooo

¡ , '6¿;[h1A1 h2A2 hsAs

154

(/) v'Q =

COORDENADAS CURV¡LINEAS

; [(# ]*^,,), . Q* -,*) , . (¡**,-%*)

# ['"'' (*r) . + (*#) . *(*n)]#", [# (ry r) . * (T #) .,*(w s¡1¡*Q#) ' ¡# .#

| ¡r", ¡r"o ¡.""

(¿) VxA = t I a a a'

h1Áol'" | ?r, 3r" ?,"I

,l haar h2a2 h.As

2t. Expi,csa¡ en coordcnadas esféricas: (a) V x A y (á) V.y.

En ostc caso, n1= r , uz=0, W-ói aL'e, e2=ca, cc=$ i ha-- hr . l , h2ehg=¡, lo-h6=r*¡0_

- (1,(')A*.8

¿f ,a0 | scnác6 |aa a I

E6e E IA7 rA, r *^t'^rl

- F#[{$r '* 'o+t - $c^¿l*_

{# _ $r,*oe l ' t \ ,", . {*or,,

_ *1,*oe"6]

(ó, v'ú = dE[+(+#) .*(**) .*(*#)]= *#*.a[*(*r'#) .#(=**)

-,+(##)l= ,h[-"'* ('#) . # (*" *Y) . * #]= t ?/"4 ' ' \ - |

- ' \n ., 1' rÍ) . t* # (*", uu) . Fh29. Escribi¡ la ccuación dc taplace cn coordcnadas cillnd¡icas perabólicas.

Dcl problema t (á),

t-*_¿óo

¡ r=¡, 42:¡ , , ¿o=r; hr= Gi-ro, ho. /71-oo, h. t

'rllt


Por,otanto, vzry' = #,[*(*)

. *(#) - *

= .--rr(* '#) '#b ecuación de Lapl"o

"t É,/ : 0, o bi"n,

fu.{+,q," , , , ¡ t ! = odu2 ¿u" dz.

E¡presaf en coordenadas cilíndricas elipticas la ecuación ff : xV'U de la transmisión del calor por con-

ducción.

u!=u, t'e= 1), us= z i l,r=r,r= ",,(ffi 'f,l lñiu¡, h=1. Por lo tanto,

r t \ / \ / ^ \ ' I

i "u l¿fry l - 3 lg) - 3 la{senh'z**. ' " ,$} l¿'(senh'?¡/ +sen'v) L¿, \¿, / a, \au/ a ' \ d ' I )

l fu ' t !1 ' {4c{senhta r sen'r,) | ?u2 a"2 J 7"'

y la ecuación p€dida es

y = *{ ' i * .* l -*}a, I a(senh'a * sen'v) L au2 ?r" J 7," I

(OORDENADAS CURVILINEAS EN UNA SUPERACIE

¡. Demostrar que el cuadrado del el€m€nto de línea sobre la superñcie r : r (¡, v) viene dado por

ds2 = Edu2 + 2F dudv + Gdu2

Tendrcmos d. = $a, * $a'du du

Por lo tanto, ds2 = d¡. tl¡

= +.+.h,2 + zS.*r , r , _ * .*r , ,dtt du Ótt Ót) ot) ot)

= Edu2 t 2F dud¿ + Cdo2

!¿. Demost¡ar que el elemento de área sobre la superficie r : r (,J, v) viene dado por

ds = ffi-fi ¿u ¿,El clemento de área es

ds = l ,$n", ' ,$n, ,1 = l+"*10", , = nf l$¡8, , . , f f i , , , ,ld¿ C¿ | ld¡ dul f

El radicando es (problema 48, Capftulo 2)

,* ' Pr,* 'P, - ,* 'P, ,* ' * , = Ec - t r¿ queesloquesequeríademostrar.du du du du óu du dv du

l ) )

("."'#)]

I

;turi * -

f r

ll

l

PROBLEMAS DTVEN,SOS SOBRE COORDENADAS CURWLTNEAS

33, S€a A un vector dado resp€cto de dos sistemas de coordenadas curvilíneas (¿¡' lrr, ¡¡) y (¿', ¿', ú').relación entre las componéntes contravariantes dc dicho vcctor €n ambo8 sistemas.

Las €cuaciones de transformación de las coordenad¿s en un sistem¡ r€ctanSular (r, y, z) a las(4, u., u.) y (úr, at út¡) vienen dadas por

I z = 1rlt'ltu2tus,, f = r"4,¿2tt4l, 2 = 21(ut.t4.t4\( ¡ )

I x = xlí¡í2,tsl'¡, | = fz(út í2,ís\, ¿ = ¿z(ít -U,ía)

COORDENADAS CURV¡L¡N EAS

En estas condiciones, habrá unas fórmulas Oe transformación ¿irccta d€l primer sistema (n,, n', ,¡¡) al(rr, ¿', ¿.),

(21 ¿1 = ¡1(4, ü2, üo) , u2 = ulí¡i,2,ísl , ¿e = k(4' Q, üs)

y r€cfproc¿mente. De (1),

tt¡ = tsr,,ouL

¿¡ = +_ d¡1o¡l¡

Por {o taDto,

(3). d1du1 |

* *"n* ' #uo*

= d.1 dq +

:! díh + * d-u" = úadi1 +Ou2 o¡&.

d2 du2 + Q tlq

d2 ¿:u2 + d3 dl\

Dc (4, dxl =

l '2du2 + Qd4 = dtdú + l2d12 + d¡a'u"

#' ,*S'a. f t ' ' "

(11

a1

d2" ,* , -

t* ,

" ' * ' , *"

.c"H

. d"*

(5)

siendo(4) en

?u' - ?¡. - ?¡,.

- -_-

+ q=--+ Ca=

a",=f taa,*f ta"r* t

r t rs=f f r ' , *Hr*-*r*Sustituyendo en (r) o igualando los coeficientes de dü1, d¡2, dEe de los dos miembros, se obtien€

o,#. oH. "#

ús

Ahora bicn, A so pucde expresar en los dos sistemas de coordenadas por

A = Ctt ta + c2c2 + csl€ y a = erdr+Qd"+d3d'"

Cr,C2,Ca y dt,dz, Qhs componentes contravadantes de A en lo3 dos sistem¿s.

c1d,L + c2 b + c3 c3 = Qd,' + d' d. + c-nd'

?¡" - ?¿. - ?¡.=-- + C2 =-- + q i=-) qlL. =-. - dlir ?¡" frlc' * <Z'fr :-- + C" i--

dE2 - ó83

- ?¡" -E* -?-* , t taor*aü*t"d

cr

c2

c.

¿,*: . r ,* , , r"*

c^

P = l '2'3

P = L'2,3

Los resultados anterior€s nos llevan a adoptar la siguiente definicíón. Si tros magnitudes, C¡ G, C¡ enr sistema dc coordenadas (ub ut us\ están r€lacionadas con otras tres Cu Cu C

" en otro sistema de coorde-

{'( (¿r, q, ¿¡) por las ecuaciones de t¡ansfornración (6), (7), (8) ó (9), dichas magnitud€s s€ llaman comy'o-a¿t de un vecto¡ conlrarariamte o le tor contravafianle dc primer orden.

lEolver el problema 33 para las component$ contravarianles de A.

lcpresentando las componcntcE covariantos Ae A cn loo sirtemas (¡1u2,ue) y (4,t¡4) por c1, c2,ca yZ_.;2, ¿ , resp€ctivamcnte,

A = c1iu1 + c29u2 + ca Vq ;r 9Í, + arVa, + á. E¡

Ahora bien, ü¿ =

P = 1,2'3

- a- .

ttt7

b tantor

aÉ ¡br€viadamGntc,

t daYlr nás compacto,

I

También,

ir) c19u1+ c29u2 + ca Vr6 =

COORDENADAS

= ¿r*:

CURVILINEAS

- ¿"9 ' e"g- dí , -d%

31

^ | = oubul =

¡i. "c l.y- - "-q

; En"- dlt

- ?u^C1--! + .

ó¡tI

- ?so- 'ót , 'c"3óEs

- ?u^ - ?¿^, , t * ," t P = r ,2,3

ffloganonte, p€rmut¿ndo las coo¡dqiadss sc d€duce31-

ñ er - I . r t?"rO

ñ

a%

ot

abol

4,"

-

b?u3

úf

?q

út4"3

7a

áq

of

?12

ot

?¡,?n2

ot,

6;oul

¿"

1,2,3,

au1-+lz

a¡1-+¿r?n,,-+?:

rro) con p =7.llt!,u2,

| ¿,p

tüI :,,\ t

d,

?,,oul

tdt?u,

<",$* ",$* *$¡,

iI

. . ; . ) .

+ rc1$+ r$- *$y * (" ,* * " ,$ * ""$r.

l ) ¡ '

(4\

1a,$ * a,p * ;"$¡oz 02 02

- ous

ca =-

e" 13oy

-^ EE"oz

= otku2-

ot

ir+o2

?un-dz

(s)

ottl

ov2

_ oueca

--Qua

_ Ottt

ova

- ou1

ou2

_ Ottacl i-

ou!

(6)

ou^; --J

3

r

t

?¿, ?¡"c1 =-- + C2 Xi

of of

?¿. 7u.c1=-_ + c2: i -

oz o2

que se puedcn €scribir en la forma

(71 "f

o bien,

-9

Análoga¡DÉnta, sc deduce quc

(e) el

tn # p= L,2.3

P - 1,2'3

p ú 1 '2,3

tcg

E¿.oz

e.F *- dui

tr+ot

E,Y-dz

,-&ou!

-""+ou2

- ou2

c2 <-ola

7^ !2 a

?,n3&t

Los r€sultados ¿nteriorcs nos llcvan a adoptar la siguientc dsfnición. Si t¡es magnitudes, c,, cr, c.sistema d€ coordenadas (zr, ar, ¿¡) están relacionadas con otra!¡ tres 6r, ¿'r, é, cn otro sistema de(ú\ ú,, ú,) por las ecuaciones de transformación (6), (7), (8) ó (9), dichas magnitudes s€ llamande un vector covarlanle o tensor covafiante de primer orden.

La generalización de los conceptos de este p¡obl€ma y del problem¿ 33 a un espacioasí como la d€l concepto de vector, la veremos en el ard lisls tensoriql, Cap.8, En el proceslasi como la d€l concepto de vector, la veremos en el ardlisls tensofiql, Cap. 8, En el proceso de tconviene emplear una notación concisa que exp¡€se las ideas fundamentales de forma abreviada,

' sin embargo, que aunque la notación €s distinta, los conceptos básicos que se expon€n en el Cap, tIntimamente relacionados con los de este capltulo.


- rr- - !r- .- ?Et - at,

- ¿t3. .c lvu!+ c2fu2+ cavus = (c1'-+¿2t+cA5;)¡

* <ar**a"p*;"p¡¡of ol ol

Igualando los coeficientes d€ l, r, k en (3) y (4),

* " ,p * ""$ = ar$. ; ,pox ot o, ou

?u"¿r

Sustituyendo las ecuaciones (2) con p : I,2,3 en una de las €cu¡lciones (t c igualando ¡os co€ficientes de

9.91". gtt. 9. 9"". fu, k, + deambosmiembros, ssobtiene¿, ' ¿" ' 4 ' 4 ' 4 ' ¿, dz dz


l.) Detnostrar que en coordenadas generales (¿h, ¿2,4e),

trr tp gB

fes

931 8s2 g*

siendo 6rn los coeñcient$ de dn, dn, en ds. (Oroblema l?).

e) Demostrar que el elem€nto de volumen en coo¡denadas curvillneas es {i ¿o, au, au,.

(.) Del problema 17,

1_.=t- = 3a3a- ¿3L.(J) s. . = 4¡. d^ = : :'Ps Y q éup }un éup }uo }up éu,

Teniendo en ct¡€nta la fórmula dc ta multiplic¡cióo de determin¿ntes,

l " r^r+ a2a2+ osAs otBr+ a282+ ca83 o1 c1 + r ,2c2+ osca

= l \41+ b2A2+ úAs btBl+ b2B2+ bs&s \C\+ b2C2+ bsCa

lcLAr+ c2A2+ c"As clBat czBzl . cgBs cLcT+ c2C2+ cacs

.?r ?¡ .. ?r ¿(=-. . -_^=_,otaa ou2 oug

7z 7zP,q = r '2 '3

at a2 03

ba b2 b3

cL C2 cg

A¡, Bt

Az Be

As Bs

c2

c.

} 7,?r1 Eu1

4é,é"2 7u2

47,Er6 ?rr3

E¡

--oul

?¡i-ouz

a"oue

?¡U?zou7 our ou1

?" Er ?¿7u, ?'u2 7u2

?¡ ?r ?¿?q E6 ?le

?z ?r ?rOul Ou2 dus

} U¿t?u1 Eu2 ?rr3

7z 7z 3z?a1 ?u2 ?ug

ttt ttz ttg

tzt tz ta

tat Ep tsg

(ó) El clcmento de volumen viene dado oor

ar = lrfra,,r . <f;r,ot 'r&¿*¿*r=

l# #,.* l , !u1du2dus

= {6 du1tlu.2 tlas segr¡n (¿).

Obsérvese que 1/t es el valor absoluto del Jacobiano d! x,/, z r€specto de a¡, n¡, z¡ (problema l3),

COORDENADAS CURViLINEASlóo

36.

(a) csfcra .rr + y' + zr : 9(á) cono ,r : 3(¡¡ * y)

Problemas propueetot

(c) paraboloidc z : x'* y'(d)planoz=0

37.

3t.

l,as solucioncs dc cstos Problcmas propucstos ñguran al ñn¡l dcl capltulo.

Enunciar y trazar las supcrficics y llncas coordonad$ dc los sistcmas: (a) cillndricas elípticas, (ó)y (c) cillndracas parabólicas,

T¡¿nsforrn¡r las coo¡dcn¿das (a) *férbas on rcctanSularcs, (á) csfé¡icas cn cillndricas.

Exprcaar on coordcnadas csféric$ los lug¿r€s gmnúricos siguicntcs:

(e)planoy:¡ .

39. Sicndo e, l, r, las coordeo¡das cilfnd¡icas, cnunciar los luga¡cs gpo¡rétrlns quc sc indic¿n y hall¿r susión cn coordcnad¿s rcctsngular€s: (¿) o :4 ¿ :0; (ó) e :4; (c) l : tl2; (dl {: t43, z :1.

Sicndo z, v, z las coordcnada! clípticas y a :4, cnunciar los luga¡€s gponréhicos,quc se indican yexprcs¡ón rn coordcnadas rcctangulsrrs:

(o\ v: n l4 i @) u:O, z:0; (c) uoln2, z:2; (d)v:0, z:0.

41. Sicndo s, v, z, las coordcnad¡s píoUOli""", rEprcs€nt¿r las curvas o rcgiones siguicntes: (a) u:2, z(ó) y: I , z =2: (c) l3u 52,2 Sv =3, z:Oi @) | < u<2,2< v<3, z:O.

a2. (a) Hallar 106 v€cto¡€s uniarios c,, c¡ y c¡ dcl sistcma dc coordenadas csféricas cn función de t' t' l¡.(á) Exprcsa¡ i, L k cn función do G,, cc y ea.

43, Rcprescntar on coordcnadas csféric¿s al vector A : xyl-,úl * 3.r k v hallar las componcnles,l', ,,1,

¡14, Dcmost¡ar quc cl sistem¿ ds coordcnadas csféricas cs ortogonal.

a5. Dcmostra¡ quc los sistcm¿s dc coordcnadas siguicntos son ortogonal€s: (¿) cilfnd¡icas parabólicas, (ó)dricas cllpticas, y (c) Gsfcroidslcs achat¿das.

. :4ó. Dcmctra¡ quc i , = 9crr*n0ó"ó, ée = -0%+ ce9Qc", i¿. -son/óer- coa|

47, Exprcsar la volocidad r y la acelcración ¡ dcl movim¡cnto dc una partfcula cn coordcnad¿s

at, Halla¡ cl cuadrado del €lcnento dc llnca y los factorG dc Gcc¿la corrÉspondicntd cn cl siste¡na dc(a) pataboloidalcs, (á) cillndricas cllpticas y (c) csfcroidalcs achatadas.

Hallar cl c¡aÍrcnto de volumcn dy cn coordenadas (a) paraboloidal€s, (ó) cillnd¡ic¿s ellpticas y (c)

En el sistcña d€ coordenadas esfc¡oidales alargadas, hallar: (a) los factores dc oscal¡, (á) cl elementornen dY.

Hall¡¡ los factores dc cscala cn cl sistoma dc coordcnadas: (¿) clipsoidalcs, (ó) bipolarc,s.

Hallar cl clcmcnto de árca dc un volu¡lcn elcnrntal on cl sist€ma dc coordcnadss: (¿) cillndricas, (ó)y (c) paraboloidales.

53. Dcmostrar que la condición ncccsaria y suñciente par¿ quc un sistema d€ coordonadas curvillneogonal os quc g¡{ : O pa|a p + q.

o.

50.

51.

52.

a\- l

COORDENADAS CURVIL¡NEAS

!L Haffa¡ el J¿cobian t t (i!r r) ^ "l c¡so del sistcma de coordenadas: (a) cillndricas, (ó) csféricas, (c) cilln-

dricss parabólicas, (d) cillndric.s ellpticas, (e) csfcroidales alargadas'

f f f . -s- llaltar J

! J { xt * yr dx dy dz, siendo / la región limitada por z : x' 4 f' y z : 8 - (xr f rr).

IÍd. : Emplcar coordcnad¿s cillndricas,

lA Hallsr el volurnen dc la mcnor dc las rrgionGlimitadas por la csfcra ¡' + yr + z' : 16 y el cono zr : ¡¡ +.r,¡.

t. Emplcándo coo¡dcnadas 6féric¡s, h¿llar cl volunrcn do la nr¿nor dc las dos r€gionG limitadss por una csfcra

xt-y. :2¡&c¡sa¡ Xl :htanu¡ z: u.

ot%(ó) Dcmostrar que dicho si6t€m¿ es onogon¡|. (c) Hallar el Jacouiano "r {-Il4) d"t fnirfno. (d) Demo6-

I u¡,4, u¿ |trar quc l¿r y r¿r cstán r€lacionadas con las coordcnad¡s cillndricas g y á y detamina¡ las ccuecionB detr¿nsformsción,

Hallar €l momento de imrcia do la rcgión l imitada por x'-y':2, x'-y':4' xy: I, xy:2, z: Iy z : 3 rüpccto dcl eje z considerando la densidad const¿nte o igual a (. Ind.: Haccr ¡r - /' : fui, xy : v.

Ar Ar A.Halfar -fr, -ú,-6G, vubau.,vu. cn coordcnadas: (¿) cilfndricas, (ó) csféric¿s y (c) cillndricas parabó-

licas, Dcmostrar quc, en dichos sistcmss, er : Er, ei : E , .¡ : q,

S€a le transformación dc coordcn¡das q : xy, U : x' + y',.u.: z. (a) Dcmostrar qu€ cl sistsñ¡ conls-

pondientc no es ortogonat. (ó) Haltar el w"ai*o t (ff,fr). (c) catcuur ar'.

Halla¡ viD, div A, y rot A en coordenadas cillndricas parabólicas.

Expr€sar (a) Vv y (á) V 'A en coordenadas esféricas.

Hallar v¡u en coordenadas csferoidales achatad¿s.

a¡ó aóFscribir la ecuación

-

-

-

: é en coordcnad¿s cillndrica ellpticas.oy'

Exp¡€sar Ia ccuación do Maxwell dc clcctromagnetismo, v x E:-1S "n "*rarn"das

esfe¡oid¿les

alargadas.

* Y <, - v(x, y, )\,p: o cn coor-

tó l

de radio a y un plano quc la corts a una distancia ¡ dG su c€ntro.

]l (¿) Enunciar las superficics y ¡as lfnes coordcnadas del sistcma

. Exprcsar la ecuación de Schriiedinger de Ia ri€cánica cuántica, vrydenadas cilfndricas parabólicas, sicndo zr, lr y E const¡ntes.

Escribir la €cuación de Laplac€ cn coordenadas paraboloidales.

t

2r¡Erprcsar la ccuación á

: xa'U en coordenadas esféricas sabiendo quc U €s indcpcndiente de (¿) d,

(ó) óy0, (c) ry t , (d) í ,0y t .

ll¿ll¿r cl elcmento de lfnce en una esfera de radio a.

Dcmostrar quc en todo sistcña dc coordcnad¡s cu¡vilfncas ortogonal, div rot A : 0 y rot gr¿d Q : 0.

III

. l. i ,

162 COORDENADAS CURVILINEAS

A - 1p(?,: ! x #)/r 'Ec-F2

74. Enunciar la transformación x : x (u, v), y : y (u, ,¿).(¿) ¿En qué condicion€s las líneas coordenad¿s ü, v son ortogonales?

73. Sean (¡, y) las coordenadas r€ctangulares de un punto P cn el pla¡o xy y (u, y) las de un punto O en el(a, v). Si x : ¡(s, r) e -y

: y(u,v), existe una coÜespondencia entre los puntos P y O y, entonces, unes la imagen del otro-(a)Enelcasodeque.r :2u+vey:u-2v,domostr¿rquelasrectasdelplanor¡secorresponden

las del olano ly,(ó) Hallar la imagen €n el plano ¡¡v dcl cuadrado limitado por ¡ :0, x : 5, I :.0 e.v : 5 en el plano

72. Domostrar qu€ el área de una r€gión R de la sup€rficie r : r(4, v)€s J,J /Ec-|" dudo. Como

deducir el área de la superficie esférica.

73. Demostrar que el vector de nódulo ¡ normal a la superñcie r : r(¿, v) viene dado por

(c) Calcular el Jacobiano .l IIJ I y demostrar que es igual a la relación de áreas enre el cuadrado y su" \u,v l -en el Dlano ¿v.

| | e- s(r+y\ F@rG(r)d,¿r. ( f t )

)

t . - " ' I I F@tc(.-u\¿u¡ dt-o \vo ,

76. Si ¡ : L@ - v'), y : uv, hallar la imagen (o imrigenes) en al plano ¿v de un cuadrado lirnitado por x :x: l , y :0, .1 : I en el p lano xy.

Tl. }J'all¡t las condicioncs que d€ben cumplir F y G para que

(ó) Hallar dsz y g en cste sistema..(c) ¿Qué relac¡ón existe entre este problema y el anterior?

80. s iendo¡:ul+2,y:ut+uz,z:¡ j - ¡ ,hal lar(¿)sy(ó)olJacobiano./ :##h Comprobar

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS

Ind.: Aplicar la transformación x+y:t, ¡: udel plano ¡/ al plano v/. El resultado es important€t€orla de la transformada de LaDlace.

7t . (¿) Si x:3ut.*uz-ut , f : q*2u¿!2u", z -2ur-u,-ug, hal lar los volúmenes del cuboporx:0,x:15,y:0,¡ :10,2:oyz:5ydel cubo imagen en el s ist€ma de coordenadaslargs ¡r¡, 4$ t¡r.(á) Relacionar el cociente de estos volúmenes con el Jacobiano do la transfoí¡ración.

79, Sean (x, y, z) y (ur uz, u"'l las coordcnadas rectangulares y curyilíneas, respectivamente, de un mismo(a) Six : 34 + u2- u", y : u, + 2u2 + zubz:24- u' -- uz, detetminar si el sistema ¡lr l/r ¡r¡ es

36. (a) u : ct y v : cz son cilindros, elíptico e hiperbólico respectivamente, cuyo eje es el eie z. z:planos. (Fig. 7, páe. 139.1

(b) u : c, y v : c¿ son cilindros rectos cuyas intersqcciones con el plano ¡/ son circunforoncias deen los ejes y y x, respectivamonte. y que se cortan ortogonalmente. 'Los cilindros ¡r : cr p¿sanlos puntos (-a,0,0) y (a,0,0). z : c¡ son planos (Fig. 8, pág. 140.)

(c) u : c, y v : c' son citiodros parabólicos cuyas intersecciones con el plano xy son parábolasperpendiculares entre sí con sus vértices en el eje. z, aunque a distinto lado dcl origen. z : c, son(Fis. ó, pás. 138.)

Las lineas coordenadas son las intersecciones de cada dos superficics coofdenadas,


t/ r, +y, yv : arcn,g-- ;-, I : arctag-

ló3

. : \ / r r+7+z' ,

, : t / -p"TV, O: arc.tas I-2

¡ :3, (b) 0: n l6, (c) ¡s€n'0:cosd, (d)0:¡ lZ,cf pfano /:¡ está fo¡mado por los dos semiplanos ó:nl4y l:5¡14.

Circunferencia en el plano xy, x' t !' : 16, z :0. (á) Cilindro xz * y, : Ió cuyo cje coinciile conúe z. (c\ El plaro yz siendo y = O. (d) La **ta y : 1/j ¡, z : I siendo ¡ E 0, t ] 0.

Cifindro hiperbólico x.'- y. : 8. (ó) La recta que une los puntos (--4, 0,0) y (a, 0,0), es decir, ¡ : ,,

: 0, z : 0, siendo --4 < f = 4. (c) eripse fi + 'U : ,, , :2. (d) La porción del ejo x dcñnida por

>-4, y:Q,2:g-

t(d e,, ,ñ-{ ut

ec

(ó) ij

¡

Fr las parábolas y":--2(x-l l2), y": -8(x -2), y' :8(x ]-2\Parábolay! : *8(¡-2), z:0. (á) Parábola / ¡ :2x * I , z:2. (c) Región del plano x/,limitada

e l¡: lE(¡ +912) incluyendo el.ontorno. (d) Como en (c) pero excluyendo el contorrio.

n5 -<-7v u-: se-n 0cos ó'l + s€n0scn Cl +cos0k ,il.rV: cos0cos di +cos0sen d!-sen0k-: -senCi +cosói- l l?: s€n 0 cos C s, * cos-0 cos d €o - s€n é ec: s€n0ssn l€, + cos0s€n {eo + sos CeC: cos0e.-s€n0eo_

A,ei * Aees + ,'lc e¿ siendo2isént d sen-d cos C -rscn0cas0s€n d + 3rs€nrcos0cos ó2rsen0cos0s€n {cos d-rcos'0sen d - 3r sen' 0 cos {- 2r sen 0 s6nr ó - rcos 0cos ¿

I

bba¡I

t ,

v.et + voeo f v6e4 siendo \: i, eo: ¡0, vo: rsert9 ó

a.e. + aoeo * a¡e¡ siendo a, : i - it' - r *n' 0 ót,

ldao:; f i Q' o) - r s€n 0 cos 0 d' ,

f s€tl t all

(s) ds. : (u' + v)(du' + dt") + u'v' dú', h' : h, : I u" * v2 , ht, : uv

(ó) ¿' : a'(senh'z * sent v) (da' + dv'\ L.¿"2, h4: h': ay'Eññüll iÑi, ¡, : t

(c\ ds' : a'(senhr f + sen'?)(d6'+ d?) + ¿'!coshr Ecos'qdót,

he :h, , : "y 'senh'e

+ sen"? '

áó:¿cosh4cos?

(a) uv(u'1vz)dudvdó, (ó) ¿'(senh'¿ Isenrv)dudvdz, @ G#!#E

9,(a)he: lo:ay'senn e +sen5, / ¡c: asénh €sen4(ó) qt(senhr 6 + sen¡ ?) senh € senq dE drt dó

,d€ cerI todos

F coax|on,pla

16.I COORDENADAS CURVIL¡NEAS

t2. (o, p ¿p ¿ó, p dó dz, dp dz1E¡ rsend d¡¿ó, /sene ¿e¿ó, ¡d¡d0(c, (C +*\ ¿urtú, uo uGE tudg, uuy'EF drae

$' (¿\ p, (b, P*n7, e\ u2+n2, (d) o2 (senh¡a + scnty), (.) ¿r(senhr é: + sonr?¡ senh f sen4

0". 'f i '

"6. e*nQ- /i,

rz. leas-b2h + hsr I15 -¡- B Js. (c) l; kl\ q = rp2, u2 = 2ó

tg. 2K

60. (,) gopD¡aó?¡E,

= scná cos{ t + senásen@J + cosá t

= ¡cog? cos@l + r coal sanej - r send t

= -rson, son@ t + ¡sen á cosé,

t l+f t+ ¿ason á coa{ t +

cos@ t + ss¡ l! ¡,

-ps€nó t + p cosój , ,

t . V" = ¡

vo=# = coe{t+scn{¡

Vé = -sendl+ c6é,p

a¡?ra.od

?¡aé

9¡

(ü)

vó

G)+orr

9,

sr. (b, ;L-.,

" '@ = sona qosÓ | + s0 seló, + coEp t

ve = ##E##! - coad cosét+cc-dsenó, - senb t

= - t ,*g = -senó | + coEó,t '+ l - ¡s0

=¿l+er, #.-o,r , r , *=.

" "++:j, v., = -o=r,+-"1, v, = r! '+ úz u2+u2'

*: vo = #""$o - #*#"o'#""dtv Á =

*.1] (d-* ^"¡' ! (/7*-,' t') ] - *

rotA = #t{* - }1,e;,"a)l /F-*,".u

- {f 1,4;; ^,) _ *l a;a.", l*,@o,,) - * (rdr¡^,)l ""f

,.) Vú .

' t ) V.a =

COORDENADAS CURVILINEAS l6t

¿lr raú ! aúT"'* i¿eV**Aa6"t

4!v'+l * -l.= ^!-^ lscná 1o',, -)-= !r ' dr t*trd dtt - rs€n' @

o"' = .r""* E<*"1*g-*"", St"*rte Slt? a¡r.

¡ - - t , t' ?t'lta2 cosh2( cos27 ?$2

# - # = ¿{sonh',¡+s€nrv) <D

# [{3".^*,- $,'"",}'",r {$r"er - $<nr6r}'n - {'$r'""r - $1'".r} ."r]

siendo R = senhf sen? y S = t/senñ{ + se.n'q .

* l#t#] ' # '+( ' - r ' " " 'q) ' t ' = o,s iendo v(u,v,z)=v( ' , r ,Z) '

. "* , ,#, * , , ,a?r '$r + <u",o\ f i = o

" , * = " [Étu,#, , vh$<*"a$r]

o2 coa z¡(senh'f + sen'z¡¡ ?4+ (co6, ¡--o1 o11

, ' , * = " [ i *" '* , ] t "r , .ne$<s"na$r +

ilsz = a2 la02 + *n, e ¿4,2f

, dH, , ?fl_ . all,.= - ;TZ-;É.,- iT i" t

&.¡

^2 ,,

.Y-.!1 = nw 6'¡ ! 6¿!¡ "

r r ¡ r*P. PP = ooI Ou dtt dn

¡, (o) 750, ?5; (ó) J¡.obiano: l0

ll (o) No. (b) ¿C = l4¿tÍ + 6¿u2 + 8 dn"2 + Bdurtluo - 6du7¿ts+ g¿ae¿üs, ,=l0O

tl (a) g=!6u2 ú2 , (ü) , l = 4¡¿1¿g

Ca ítulo

Anólisis tensoriql

LEYES FISICAS. Las leyes físicas han de ser independientes del sistema de coordenadasse utilice en su formulación matemática. En el estudio de las consecuencias cü. i,c derivan de estadición juega un papel importante el andlisis tensorial de enorme empleo en la teoría de lageometría diferencial, mecánica teórica, elasticidad, hidrodinámica, teoría del electromagnetismo yotros campos muy diversos de las ciencias y técnicas modernas.

ESPACIOS DE N DIMENSIONES, En un espacio de tres dimensiones un punto sepor un conjunto de tres números, llamados coordenadas, que lo determinan completamente enpor un conjunto de tres números, llamados coordenadas, que lo determinan completamente en un sistde referencia dado. Por ejemplo, (x, y, t),(p,ó,r), (r,0,{) son las coordenadas de un punto ensistemas tridinensionales rectangulares, cilíndricas y esféricas, respectivamente. Por analogía, unen un espacio de N dimensiones se caracteriza por un conjunto de N números, que nombraremos(¡\ ¡f, . . . , xx), en donde l, 2, . . . , N son saperíndices y no exponentes de potencias, locualhadese muy en cuenta en todo momento.

El hecho de que no se puedan representar geométrica o gráficamente los puntos en un espaciodirnensión mayor gue tres, no quiere decir que no existan.

TRANSFORMACION DE COORDENADAS, Sean (.rr, :rt, . . . , xN) y (ú\, i2,. . . , ¿N) lasnadas de un mismo punto en dos sistemas de referencia distintos. Supongamos que existen ,lVindependientes entre las coordenadas anteriores de la forma

( l )

o más brevemente

(2)

'T

- l

iL(r\ , x2 , . . . , r l l )

-2(r1,

,2, . , . , xx )

-ltt-. -2 -,y\

zl = i \ r t ,* , . . . , rx¡ h = r ,2, . . . ,N

,h = r \21,¡2, . . . , ¡x) k = 1,2, . . . ,N

Todas las funciones se suponen uniformes, continuas y oon derivadas asimismo continuas. En estasdiciones, a cada conj unto de coordenadas (ir, ú2, . . . , úN ) le corresponde un único conjunto (¡r, x', . . .de manera que

(3)

Las relaciones (2) ó (3) deñnen las fórmulas de trunsíormación de coordenadas de un sistema decia a otro.

ró6

ANALISIS TENSORIAL

coNvENIo DE suMAcIoN DE Los INDICES REPETIDOS. Al esc¡ibir una expuresión de

brma ar.x1 I a2x2 *--.lqNxN podemos emplear la notación más breve y cómoda 2.o.xJ-

r crnbargo, todavía es posible mayor brevedad y escribir la suma anterior en la forma a,x,. adoDtandoonvenio de que cuando aparezca un indice repetido ha de entenderse una suma respecto del mismo

el valor I hasta ¡y', a menos que se advierta lo contrario expresamente. Este es el conienio de sumaciónbs índices repetidos debido a Einstein..Es evidente qre en lugar del índice j puede considerarse cualquiero, por ejemplo pr como en la expresión arxp. -lodo indice que se repita en un término implica-una

respecto de él y se llama. a veces, seudoíndice o índice umbral.

Un indice que solo aparece una vez en un término dado se llama índice libre y puede tomar cual-rvalordeentrelosnúmerosl ,2, . . . ,N,comoporejemploel índicekde(2)ó(3),acadaunode

cuales corresoonde una ecuación.

dtr t \

--?

¿ot P = 1,2, . . . 'N

bien, teniendo en cuenta el convenio de los lndices repetidos,

j t ¿r t ,cA = ¿rc ^

r flaman componentes de un vector contravarianle o tensor conlravarianle de primer orden (ptoblemas 33¡ 34 del Cap. 7).

Si.rYmagnitudes Ar,/",:..,1¡¡enun sistema de coordenadas (xr,x2,..., xN) están ¡elacionadasaotrasNmognitudes.4, .4¡ , . . . ,Ayenotrosister ia( i t , t2, , . , , iN)mediantelasfórmulasdetr¿ns-lmación

¡ i

A' = r' ' L¿

: llaman componentes de U'rL veclor covañanle o tensor covariante de primer orden,

Obsérvese bien que los superlndices indican componentes contravariantes, mientras que los subín-Ices se refieren a las covariantes excepto en la notación de las coordenadas.

En lugar de hablar de un tensor de componentes A' o AD nos referiremos, en general, al tensor l'a 1,, respectivamente, por no haber lugar a confusión alguna.

TENSORES CONTRAVARIANTES, COVARIANTES Y MIXTOS, Si N¿ magnitudes .4o" enm sistema de coordenadas (xi, x', . .. , xx) están relacionadas con otras N2 magnitudes ,4'r en otro sis-t,nw (ñ1,ú2,...,:rx) mediante las fórmulas de transformación

x7 = | 9.t: a' - t L¿ )=r "q

-¡ dx'l ,Ab =

l i ¡ ño' ox '

p = r '2 ' . . . 'N

x ]t ^_¿=rle4L/ l¿ A-Y

gJj-- t'-dt-

:LTA p,r = 1,2, . . . ,N

Tl

ANALISIS TENSORIAL

resp€cto de los indices m y p. Si un tensor es hemisimétrico respecto de cualquier parcontravariantes y de cualquier par de covariantes se denomina hemisimétüco. (N. del T. Algunos

a la hemisimelría Ia llarnan antisimetría.)

ONES FUNDAMENTALES CON TENSORES.

.|ñción, La ¡¿¡z¿ de dos o más tensores del rnisrno orden y tipo (es decir, igual número de índic¿sürtravariantes y covariantes) es otro tensor del idéntico orden y tipo.

Expresado matemáticamente, si Ai' y BiD son dos tensores, Cit : ¿7t + tf, es otro tensor.L¡ adición de tenso¡es goza de las propiedades conmutativa y asociativa.

Sst¡acción. La diferencia de dos tensores del mis¡no orden y tipo es otro tensor de idéntico orden¡ tipo. Expresado rnatemáticamente, si Ait y BID son dos tensores, DtrD : Ait - Bñ' es otro tensor.

Irltiplicación extern¡. El producto de dos tensores es otro tensor cuyo orden es la suma de losrdenes de los tensores dados. Este producto que consiste en una rnultiplicación ordinaria de las;Dmponentes del tensor se llarnz producto externo. Por ejemplo, A{ B!: C{{ es el productoatemo de los tensores Atr y Bf, Sin embargo, conviene observar que un tensor, en general, no¡ede escribirse, o descomponerse, corno producto de dos tensofes de orden inferior. Por esta razón,h división de tensores no siempre es posible. El producto de tensores goza de las propiedades asocia-rra y distributiva respecto de la suma; sin embargo, salvo casos particulares, el producto de tensoresro es conmutativo.

f¡tracción. Si en un tensor se igualan un índice contravariante a otro covariant€, segrln el con-

-nio de los índices repetidos, debe sumarse respecto de dicho índice. Esta sum¡ es otro tensor de

,¡den inferior en dos unidades al del tensor origen. El proceso se llama contrácción tensoüql. Portirnplo, si en el tensor l?jú'de orden 5 hacemos r: J, se obtiene A!! : B^o que es otro tensor¡ro de orden 3. Continuando la operación, si €n este rlltimo hacemos p:4, resulta el tensorry : C^, que es de orden l, esto es, un vector.

hltiplicación interna. Por el proceso de multiplicación externa de dos tensores seguida de una:ontracción, igualando un índice del primer factor a otro del segundo, se obtiene un nuevo tensorpe se llama prcducto inlerno de los dos dados. Por ejemplo, sean los tensores AtrD y BL cryo¡roducto externo es Atre BIr Haciendo 4 : r se obtiene el producto interno Ait B!,. lgtsalandot: f y p: J resulta otro producto í¡lefno, A:D Bit.

Ly de cociente. Supongamos que no sabemos si una magnitud X es un tensor o no. Si el pro-¡cto interno de X por un tensor cualquiera conduce a otro tensor, entonces se puede afirmar que X6, asimismo, un tensor. Esta propiedad se conoce con el nombre de ley del cociente.

üATRICES. Una matriz de orden rn por z es una disposición ordenada de magnitudes aro, llamadosen nr filas y n colurnnas. La notación que ernplearemos para escribir una matriz es

4*t a¡2

ata atz

@zt 42 :il,)

.¡77 at2 ...

dz! aP . , .

a¡ t o¡e . . .

en forma más abreviada (apq) o laeql , p:1, . . . ,m; q:1, . . . ,2. En el caso de q\ te m: n,se llama cuadrada de orden m por m o, simplemente, de orden m. Si m: l, se denomina

fla o vector fila; si n : l, se llama matriz columna o vector columna.

Ie diagonal de un¿ matriz cuadrada que contiene a los elementosliagonal de un¿ matriz cuadrada que contiene a los elementos dtt, an, . . . t ann¡ sE conoce con elde diagonal principal. Se llama matriz unidad (o unitaria) I, aquella cuyos elernentos de su diagonalI son todos iguales a la unidad y el resto son ceros. Si todos los elementos de una matriz son I

I.1.

se denomina matriz nula O.

I .

I7O ANALISIS TENSoRIAL

ALGEBRA MATRICIAL. Sea A : (an) y B : (b,a'¡ dos matrices del mismo orden, rz rEn estas condiciones:

A : B si, y solo si, aoc: bn (necesario y suficiente).

La yna S y diferencia D de dichas matric€s se definen por

S = A+B = 1a¡o+b¡q\ , D = A- B = (opq-btq)

El producto P : l.B solo existe cuando el nrlrnero de columnas de I es igual al de filas de B y.tal caso, viene dado por

P = AB = (arq\(bi{j = @p¡brq)

en donde apr.brq = | "frbno según el convenio de los índices repetidos. Si el producto

matrices está definido, estas se llaman conformes respecto de la multiplicación que se efectúa,pre, en el orden filas por columnas.

El producto de matrices, en general, no es conmutativo, es decir, AB + BA. Sin embargo,de las propiedades asociativas, A(BC): (lA)C y distributiva respecto de la surna,,{(8 *AB + AC, (A + B)c: AC * BC.

4. El determinante (polinomio) de una matriz cuadrada A:(aoo) se designa por lAl, det A, la-bien, det (¿^).

Si p: AB, se verifica: lpl : l l l l8l.

lA ínversa de úrrrs rrwlriz cuadreda ,{ es otra matriz A-r, tal que ll-1 : I siendo lla rnatriz urLa condición necesaria y suñciente par¿ que una matriz I posea inversa l-1 es que det I *decir, solo tiene inversas las matrices cuadradas regulares. Una riatriz cuadrada I cuyonante es nulo, det I : 0, se llama matriz sizgular.

El producto de un escalar I por una n triz A: (a,), que escribiremos 11, es otra matrizen la que cada elemento de I es multiplicado por 1.

La truspuesta de una matriz I es otra matriz Ar que resulta de I permutando sus filas y

Por lo tanto, si I : (¿r.), la traspuesta es Ar: (a¿). Algunos autores ernplean la notación,lexpresar la matriz traspuesta.

3.

5.

EL ELEMENTO DE LINEA Y ELrectangulares (x, y, z) el elemento de llneaSi pasamos esta expresión a coordenadas

33

TENSOR METRICO. En un sistema deo diferencial de longitud de arco es ds2 : dxz I dy¿curvilíneas (problema 17, Cap. 7) s€ transforma en

L L eoodupdun. Estzs expresiones son válidas en el espacio tridimensional tle Euclides o

euclídeo.

Sin embargo, es inmediata la generalización a un espacio de,V dimensiones de(xt, ¡', . . ., ¡x). El elemento de llnea en un espacio de este tipo viene dado por una formaque se llarna.,fonna métúca o, simplernente, nétrica.

tts2 = $ { "

d,f d'n#, E, "Pn

o bieo según el convenio de los lndices ropotidos,

I;a

ds2 = ".

d,tl d.r1-Pq

ANALISIS TENSORIAL t71

T

J

I

En el caso particular de que exista una transformación de coordenadas de xt a ik tal que la formase convierta en (dñr)z * (dE2)2 + . . + (diN)z, o bien, dikdrk, el espacio en cuestión se llama N

de Euclides. En general, no obstante, se llama espacio N dinensionql de Riemann.

L¿s magnitudes grq son las componentes de un tensor covariante de segundo orden denominadométtico o tensor fundamenlal. Este tensor métrico es simétrico (problema 29).

TENSOR RECIPROCO. Sea g - ]ge4l el determinante formado con los ele¡nentos gr¿ y supon-que g + 0. Definimos g'o por la expresión

-,a _ adjunto de gr?

cstas condiciones, gx es un tensor contrayariante simétrico de segundo orden que se llama ,enso¡de gro (problema 34). Se demuestra (problema 33) que

,fe trQ = sl,

TENSORES ASOCIADOS. Dado un tensor subiendo o bajando índices se obtienen otros ten-Por ejemplo, si en el tensor ,4ro subimos el índice p, resulta el tensor l:4, indicando por el punto,ción original del índice desplazado. Subiendo ahora el índice q se obtiene el tensor l::. Cuando

Gr.ista confusión posible al subir un índice omitiremos los puntos, es decir, en lugar de l?!, escribi-le. Estos tensores se pueden obtener formando los productos internos de un tensor dado con elmétrico g,r o su recíproco g?'. Por ejemplo,

Als = s'f Anq, Afe = gnl E"a Ar", A1.." = trq Af,Q, "

tQñ' th th rñ,q,st8 gsñ g

^.r . . b

¡ recordarlo, interpretaremos la multiplicación por g" de esta manera: Se hace r : p (o bien, p : r)todo lo que sigue y se suáe este índice. De forma análoga se interpreta la multiplicación por 9.4: Se

¡: g (o bien, e: r) e¡ todo lo que sigue y se baja este i'J.die.

I

Vll

DI

Todos los tensores que se obtienen de uno dado formando los productos internos con el tensorico o su recloroco se llaman tensores asociados con el dado. Por ejemplo, A^ y A^ sor: tensores aso'

el prirneio es de componentes contravariantes y el segundo lo es de covariantes. La relaciónellos es

A, = cro Aq o bien ¡l = /n An

coordenadas rectangulares grc: I siP: 4Y ntc:0sip lq, de manera que Ao: ADi esto explica'qué no hemos hecho distinción entre las cornponentes contravariantes y covariantes de un vector encaDitulos anteriores-

MODIJLO DE UN VECTOR Y ANGULO ENTRE DOS VECTORES. El producto intemo, de AD y .8c es un escalar análogo al producto escalar que vlno¡ 9n coordenadas rectangulares

nódulo L de un vector At o At es, por deñnición, la raiz cuadrada de la expresión

L" = At op = ,ho ArAo = ,ro aP Aq

172 ANALISIS TENSORIAL

El ángulo 0 entre dos vecto¡Es ,1, y 8¡ viene dado por

COB á

Au- GiA' = #s_, Av = ,*r ' = #, ,

A,= {6;A" = a

guientes:

Ar* = g"{e =

Anólogamente, las conrponcntes ffsicas de un tensor Atl o Ar. vienen dadas por las fórrnulas

ar6tt

. _ .12 Ap , t__ ,B ArB, AyU= {6rr t -A , Aut = v6o6sa

v6st* - t6t ts

SIMBOLOS DE CHRISITOFFEL. Lasexpresiones

[pq,,J

{"1t Pc,

, 7gr, atq, Tclqzl- + - - - . t2' drc dr, . ?/rr '

s"' lpq ' rl

se.llam¡n slmbolot de Chriitoffel de tres signos de primera y segtnda c/ar¿ respectivamente.

¿utores en lugar dc la ".m0" {l"f}

emplean {p4, s} o f;.. Esta rlltima forma sugiere, sinun caráctef tensorid a los sftnbolos, lo cual no es ciefo en gÉncral.

LEYES DE TMNSFORMACION DE LOS SIMBOLOS DE CH STOFFEL. Designandouna bara encim¡ a los símbolos exprcsados en el sistems de coordenadas it, se verifica:

Í ¡* , . ) r ̂ ^ ; ?rt éxQ ?xr * , ?rf é" ,9

""" ¿zJ ¿zh ¿-,tt' éoQ

¿E ¿71¿v*

{ ; } = { ; } Y.##,.###que constitu¡ren las leyes de tr¿nsformación de los simbolos de Christoffel. Se puede observar quetransfoÍnan como los tensores y que, por lo tanto, no tienen ese carácter, a rnenos que los segtérminos de los segundos miembros sean nulos.

LINEAS GEODESICAS. La distancia entre dos puntos tr y ,¡ sobre una ourva x,: x,(t)espacio de Riem¡nn viene dada por

fL / ,b,o

" = J''- /c'oft "t d':

,[FAr,7l)

COMPOI\¡ENT¡S FISICAS DE UN VECTOR. Dado el vector AD o 1,, llam€mos A", A, y ,'sus proyecciones sobre las tangcntes a las llneas coordenadas. Si el siste¡na curvillneo de referenci¿ortogonal, est¡s proyeccion€s son

------.-,_,,'-

ANALISIS TENSORIAL

bien, aquella curva en el espacio que pasando por dos puntos haga mlnima la distancia entre elloslínea geodésica de dicho espacio. En el cólculo de variaciones se demuestra (problernas 50 y 5l)

ecuación diferencial de las líneas geodésicas es

rde s indica el parámetro de la longitud de llnea. Las geodésicas en el plano, por ejemplo, sony las correspondientes en una esfera son arcos de círculo náxino-

DERMDA COVARIANTE DE UN TENSOR. La derivada convariante de un tensor ,1, res-de ¡", que llamarcmos ..1r. ¡, se define por

,1" r' l ' | ¿rt drq* ' \pq¡¿"8

7An4 = --: -..?,q

7r9

on tensor covadante de segundo orden'

i :1h'

{ ; } , "

l¡ derivada covariante de un tensor,{t r€specto de.;ro, que llamaremos ,{',q, se define por

t r

un tensor mixto de segundo orden.

If " 'f :

. . .P¡ ¡ ¡Pr "' Pr-" f t " ' f '

ot '

I s l /P1 , . .P' i- \ r ,q l ^" ' , " ' ' i

. 10,)eri:..,,,

1",){..'"-c

10, |,f_ li-.

l)nI ni::;""''"

1;; )eirl.it '" + . . . +

#. {;"},"En coordenadas rectangulares los símbolos de Christoffel son nulos y, por tanto, las derivadas

tes no son otra cosa que las derivadas parciales ordinarias.

Los result¡dos anteriores se pueden generalizar a las de¡ivadas covariantes de tensores de mayorPor ejemplo,

h derivada covariante del tensor ,1f...ij t"tn"",o a" "".

Las reglas de derivación covariante de la suma y producto de tensores son las mismas que las de¡ación ordina¡ia. En lo que se refiere a la derivación, los tensores gpo' go0 ! ó2 son constantes, ya quederivadas covariantes respectivas son nulas (problema 54). Como las derivadas covariantes expresandice o cuantía de la variación de las rnagnitudes físicas independientemente del sistema de referen-que se utilice, son de gran importancia en la fo¡mulación matemática de las leyes físicas.

sIMBoLos Y TENSORES ALTERNANTES' Definamos el sírnbolo €p{' por las relaciones: ezsr: e.t2: * l, e¿rs -- €taz:?s¿t: -1, eoc,:0 si dos o más índices son iguales, y.análoga-

.iii-Uóió e*'. eiroJsí¡nbóios, pués, son iguales a, la unidad positiva si la permutación de índices

4

ANALISIS TENSORTAL

es de clase par, la unidad negativa si dich¿ p€rmutación es impar, cero si dos lndices el menos 8onLos sfmbolos e¡¡, y ¿4' se llaman slmáolos alternantes e¡ el espacio de tres dimensiones.

Más adelante definircrnos

,pqn = ft%r,

,fQ' t y'¿ "ftr

Se demuestra que €ra' y €r4'son tensores covariante y contravariante, respectivamcnte, y se denortensores alternantes en el espacio de trcs dimensiones. Por l¡ltimo di¡cmos que es posible gcneralizarconceptos a un espacio de ruis dimensiones,

FORMA TENSORIAL DEL GRN)IENIE, DIVERGENCH, ROTACIONAL Y

1, Gr¡dlente. Sea (D un escalar o ilvarisnte; el gradiente de é sc define por

VO=gradé=C,r=#

en donde é, , es la derivada covariante de (D respecto de .xr.

2. Divergcncir. La divergencia de z{, es la contracción de su derivada covarientc respectoesto es, la contracción de A0, q, En estas condiciones

dtv At = At,¡ = t *rr¿

ou,

3. Rotrdon¡|. El rotacion¿l de I oes 4,s - +, = #

- $,

un tcnsor de segundo

También se puede definir el rotacional por - eñ Ap, a.

1. I^rph¡ittr¡ Como la laplaciana del escal¡r é es la divergencia del gradiente deQ,

v"Q=arv@,p =t*<Gduf i i

En aquellos casos en que g < 0, y'! se ha de sustituir por y'-g. Se pueden tener en cuenta tantocomo g < 0 escribiendo y'lgi en lugar dc y'-g.

DERIYA.DA ABS¡OLUTA O INTRINSECA. Dado ,tl, su derivada absoluta sc$in la ourva ¡'

que escribireoos f;, es el producto intemo de la derivada oov¿riante de I "p, +,

t^, #.

tanto, la derivada absoluta o int¡lnseca viene dada por

Análogsmentc,

¿A'¿t '

Los vectores I' o At se traslailan t Lo largo de la curva si sus derivad&s absolutas por cllar€spectivamente.

No hay dificultad en generalizar la dcrivasión absolut¿ o intrlnsecs s tensor€s de mayor

l,,I *#

li.lr#

6A^ ¿A^

Et dt

lAp =E¿

|}xlu ,et"'qa ¿74, ¿¡9¡ 7{t ?{"I a; I ^\...h ;Á '' ;4 ar", " ."",

l r - IJ : lff I

el Jacobiano de la transformación. Si w: 0 el tensor se llama aósolaro y es el tipo dedel que hernos venido hablando ahora, si lr: I el tensor relativo se conoce con el no¡nbre de

üd tensorial. Las operaciones de adición, multiplicación, etc., de los tensores relativos son análosasdefinidas pera tensores absolutos (problema 64).

Problemas regueltos

DE SUMACION DE LOS INDICFS REPETIDOS

F¡c¡ibir cada una de las expresiones siguientes teniendo en cuenta el conyenio de sumación de los fndicesrlp€tidos.

. , ¿ó.. aó.^cl@ = : dx. + rdz. +

ot

s=h )¿k t-t Ack t-e"-:- = L=- + ::_'-:_dt ¿x1 ¿t ¿r2 ¿t

¡x1f + 62f + ¡rs¡2 + ... +

. , i .2 , , o.2ds- = tí(ar-) r gDlax-)

33Añ(¿) > > tA^ dr' dr'

?=1 q=I

io¡ o-rh.

O\ ANf

r"r 4" = 'o$fi, n='.

Escribir todos los términos de cada una de las siguient€s sumas indicada.

t

--"R

tANALISB TENSORIAL

TENSORES RELATM Y ABSOLI-rTO. rJn tensor trP-t"'!'7" ' n

oomponentes se transforman de acuerdo con la ley.

L/)

se llama tenso¡ relativo de peso w si

. , ?ó,¡' }rJ

díb _ &h ¿rñ¿. ¿r¡ ¿.

,h ,h

d.s2 = thb¿rh¿rk , N=3

trodz'di l , N=l

t '"1" ' '¿

ío)

(ó)

(c)

(d)

?ó,r. , . +

- ¿t t_

ot'

. Aíh ¿r1Í

¿rr da

(rx)' .

+ gotdxs\2 .

?=, "iu'u = orr'1 + ot." +

xon2 AódA' = A¡1A' + Ab2A' +

t

d{dt '

I son

t "... JJI

I ordeL

I r+ Ap¡ A'

t76 ANALIS$ TENSORIAL

-'.s7rh

a;s

3 3 ^ i, ot¿

¡1' n1t 1a{;,

ór'4r*

Dxs 7*h'ñ ¿f

. ?¡1 ?¡3 7x2 ézB ?ro ?"3' st" p X" ' toñ a¡"

. go art ar"

s¡ones, do parómotros z y r.

VECTORFÁ Y IENSORES CONTRAVARIANTES Y COVARHNTES.

4. Esc¡ibir la ley do t¡ansfornación dG los tensorcs 1"¡ lio, 1t¡ Afi, rc\ Ct .

Par¿ rccord¿r la tr¿nsformación, obscrvemos quo Ia posición rclativa dc los lndices 7, q, r, en dniemb¡o os el mismo quc on ol scgundo. Como estos índicrs están asociados a las coordenadas t y I

(o) rio, ' "úo## ̂i,

3 ^ i - . - i - - - t - -ox" or' of o{ + - 94.9X_¡- ,!r'Ei, ar- ¿t" . gl,

¿r. ¿:"" ' gJ"

e. &"'

D11 air- ars

+,:=-' o121-''ot

?¡r ?¡3 ?¡1a."" ' %. arr a*"6zt{r

&s &'

3. Scan ¡*, k :1,2,,..,1\¡ las coordenadas r€ctangul¿r€s. Para 1V:2' 3 y N= 4, hallar el lugarque repr€sent¿n las siguicntes expresiones. S€ suponen que las funsiones son uniformes, conti¡uas o indep€ndi€Nrt€s, cuando ¡c¿ necosario.

(a\ a** : l, siendo a¡ constantes,

Para iV : 2, a,xr t (er, : l, una r€cta on 2 dimo .nsiooes (cn el plano).

P¿r¿ /V : 3, qxr + a,Jr' + a$t : l, un plano en 3 dinrensiones (en el espacio)'Para iV l 4 aúr + a¿c'*... * ayxM: I es vr hiperplano Q(ano sn el€spacio dc N

(b) ** :1.

P¿¡t N :2, (¡)t * (¡)l : l, una ci¡cunferencia de radio unidad en el plano.Para 1V : 3, (¡)¡ * (x')' * (¡)' : I, un¿ esf€ra de radio unidad,Para N ¡ 4, (¡r)¡ * (¡')¡ +, . . * (¡n)' : l, u\a hipetesferu dE radio unidad,

(c) * : *(u).

Para N = 2, ¡r : ¡1(¡), .rr : ¡¡ (rr), una curva en cl plano, dc parámetro ¿.P¡ra 1V : 3, rr : .rr (r), ¡' : ¡r (r¡), ¡' : ¡' (¿), una cuna en el ospacio do 3 dimonsiones.Para 1V ¡ 4, una curva on cl €apscio de ,lV ditrrensio¡Fs,

(d) x*: * (u, v\.

Paru N :), xr : xL (u, v), x' : xr (u, t)P¿ra /V: 3, -r1 : xr(a, v), x.: x.(u,v),

Par¿ ,¡V ¿ 4, wn hlperwperfcie.

es una trsnsformación d€ coordensdas de (r, v) a (¡r,

xr : x' (u, v\ es una superficie en el espacio dg 3

ccc t',1, *, lo cstán, respcctivament€, a los r, C, r, la transfomación p€dida sc cscribc sin diñcultad.

ANALISIS TENSORIAL

(ü) 8n-"¿ =

@\ óP =

Una magnitud A(j, k, l, n), que €s función de las coordenadas xr, s€ transforma al pasar a otro sist€ma dqcoordenadas i¡ de acuerdo con la hy

? - o¿4 0+ 4 At¡. t .¿,^)A(p,q, t ,s) = ; í ñ; l ¿,r ^\ t ,8,

(a) ¿Es un tensor dicha maenitud? (á) En caso añrmativo, escribir €l tensor con la notación ad€cuada, y (c)decir sus grados de contravarianz¿ o covarianza asl como su ordgn.

(a) Sf. (á) Af'^. (") Tr€s veces contravariant€ y una vez covariantc con Io que su orden €s 3 + I : 4.

Determinar cuál de las magnitudes siguientes es un tensor. Para aquellas que lo sean establ€cer sus grados

. ) , { / - ' !

de contravari¿nza y covarianza asf como su orden: (a) axh, 16'¡ 99J1;t:Z) 'árR

(a) Consideremos la transformación de coo¡denadas ¿/ : d(xr, , .. , ¡9. En estas condiciones. d¡' : ft atr

con lo que dl es un tensor contravariante de primer orden, es deci¡, un vector contravariante. Obsé¡vesequc la posición d€l Indice k es la ad€cuada.

(ó) En la transformación xe : ¡¡(6\ . . . ,6"), 6 es una función de ¡* y, por tanto, de ¿, de forma que

ó(xr,. , , , xN\: -C("',.

. . ,;rv); dicho de otra rnanera, es un escal¿r o inv¿riante (tensor de orden cero).24 A0 ¿ó a* Axk A{

Por la regla de la derivación parcial de una función de función, á

: -a¡ : ag art

: Ait

-Ar¿

aó e* a)y

fr se transforma en Á | : fi' l*. Yor lo tanto, fr

es un tensor covariante de priner orden, es

decir, un vector covsriaDte.aó

Obsérvese que en + el índice €stá en el d€o@rin¿dor y quc, por ello, actúa cono subfndice distin--or

tivo de su carácter covariante. El tensor j4, o el tensor cutms comDonentcs son jj. , o el grudiente deoJ(.

ó y se escribe en la forma grad d o V C.

Las componentes de un tensor covariait€ en coordenadas r€ctangular€s son xy,2y-z', ¡2. Hallar suscomponenles covariant€s cn coordenadas esféricas.

Sean ,{¡ las componentes covariantes €n coordenadas rectangulafes xr : x, x' : y, xt : z. Enton@s,

A, = zy = a7a2, A, = 2y-22 = 2"2 - (f¡ ' , As = xLé(8-49)

cn donde no deben confundirse los superlndiccs con exponentes.

Sean d¡ las componeotes covarianles en coordonadas €sféricas ¿r :.r, Er :0, ¿' : ó. Entonces,

t77

¿tl ¿iq ¿xt éi l,h o^n¿," a"" {-¡ ¿¡" Ñ "¿¡a

7¡? ,t¿, ' "

I

f) a (x'Dde3;I

¿;h "JA¡

Por hipótosis, ,, = # S . De¡ivando respecto de ¿k,

¿4¿h

átt

F'^2á

gzr¡ ao

^2 I

1-D 1-¡ "2

é" ,f+ + t .

r- l-- i "Por o4

ANAIISIS TENSORIAL

Las fórmul¿s de aansforu¿ción entre ambos sbtcmas do coordenadas son

¡¡: ¿¡ 8€n t¡ COS tt, 'r

: 5r l8n tr S€n t¡, x¡ : ir 666 5r

En estas condiciones, las ecuaciones (1) dan las componentes pedidas

, dxt 1xr 1xrA, : -AAr A,n -ñn,+ an, A,

: (sen tr cos r) (¡rrr) + (s€n ¿r son r)(2¡._(¡)) + (cos ¿r) (¡t¡): (8€n , cos C) (¡r s6n¡ s€n C cos l)

+ (seD 0 8€n C)(2rsen 0 sen ó-rrcosrO){ (coc 0) (r¡ sen 0 coc 0 cos ó)

, 0x, Ax' 0x.^,

: -ñ ^,-t-

-56 4 * -56 At

: (rcos0cos d) (rr s€n¡ 0 s€n úcos C)+ (rcos 0 s€n C)(2¡son 0 sen /-rrcos¡0)

+ (-¡ son d) (r. sen 0 cos 0 cos fl

, 0x, , Ax. Ox.Ar: -aF A+-aF A,+ az, A,

: (-r son d sen {) (rr san. d sen {cos {)+ (¡ son 0 cos ó) l2rsengsen ó-r'cos.0)

+ (0) (¡¡ sen d cos 0 cos C)

e. Oanostrar que ff no es r¡n t€nso¡ a p€sar de que ,{, es un tensor covariante de prim€r orden.

=:-- ;dar

TzJ óxq

d{ d,1

¿,Q ZAp &q¿¡,h

dA¿

¿:| ézh ¿ns

Ahora bieo, como en ol sogundo mi€mbro aparecen dos términ *, ffi * s6 transforma como

tonsor' ve¡emos más adelaoto (problema 52) cómo añadi€ndo a ff una -'gn¡tud

adecuad¿ elque es un toinsor,

t, D€mostrar que la velocidad da un fluido €n un punto cualqui€ra es un tensor contravariantc de primer orden,

Las componcntcs dG la velocidad de un fluido en un punto son $ en el sisteuta dc coo¡dpnadas ¡¡. En

el sistem¿ t, de referencia la velocid aa "s ff.

Abo¡a bien, según la r€gla de derivación de una función

de función.

= ?:J ¿,h¿rh ¿t

de dondc so sigue quc la velocidad citada es un lensor contravariant€ de primer orden o r€cto¡ @ntravarisnte

7;

I'ELIA DE XRONECXDR.

. t 4f bq10. Cafcular (a) ti- A) , (ü) ü 5_' g s " q r '

A

Como Ei : I sip : 4y0 sip + 4, sotien€

ot alot{ = e!,.

tl. Denosüaf que #

=

si e=r, Sot

" iúc,#B*oooo &l =

AA= t como ¡ '= ¡ t ,

o como ¡2 Y rq son indopendir:ntos.

ot $ol . al

ANALIS¡S TENSORIAL t79

r !

t2.comprobarque ##

= *

L¿s coordenadas ¡, son función dc las coordenadas t¡ qu€, a su vcz, depcnden de las coordenadas.d.Por lo t¿nto, según la regla dc dorivación parcial de un¿ función de función y teniendo en cuenta el problcllraI I podremos escribir,

¿,1 _ ¿,1 ¿za _ At}xr Aiq ¿{ -r

r¡. siZ/ = fl

aq "o orovn,qts Aq =

¿{¿8 ñ'multipliqu€mos la ocuación r. =

-lhAi

-8J:

d d¡h d,, ,tcñññ"

H &h Arr ^N= ñ{,r l r+

úih,e!i¡ = 44drr dra

bs ba(+ ++,

tq 0q(Ar - B;)

_ih _ih(a; -B; t =

Se d€duco, pucs, que ,lE * ,ry V Af - 4 son tonsor€s dpl mi$no orden y tipo qus los dadoc.

f6. Conprobar qw Q : Al 4 cs un tansor suponiendo que ,{1" y 4 lo son.

.180 ANALISIS TENSORIAL

Entoncca, como hcr¡os visto en et probtem¡ ,r,V^ ^/

= YY Aq = tí lq = ¡tquc os lo¿a? 7z? 7"e

se queda demostrar sin más que hacer r : 4. Estc hecho mu€stra que en las fórmulas de transfortnaciónlas componentes dc un tqlsor las m¿gniü¡des con bara encima y sin bsra son pemut¿blcg r€sultado Ipuode d€mostrarsa on general.

14. Comprobar que 6, es un tensor mixto dc segundo orden,

Si d? os un tonsor de ase tipo dcbo tra¡sform¿¡sc do acuordo con la loy

:j &i ¿'c !o¡ = ; j tJ%

Ahora bien, sc8útr cl problsm¡ 12, el s€gundo miombro es 44 = 6j , .o.o Q:aL: I- ¿J ?'t,J : k, y O sí I + &, s€ daduce que ó, cs un tonsor mixto d€ sÉgundo orden, lo quo justifica, por otranoiac¡ón empleads.

Obsérvesc que, a vcces, usa¡cmos la función ó¡e : I si, : q,y 0 si p + q coño uúa delta deSin ombargo, €Nr est¡ forma no ¡epres€nt¿ un tonsor oovsrisnte de soguado orden como con la aotaciónvirios sl €st¡,bleccr su dofnición,

OPERACIONES FT'NDAMENIAI,ES CON IENS'ORES.

15. Comprobar 4r ls suma y dif.rcoci¿ dc lo0 tcNrsorls 4s y ry cs ot¡o tcoior.

Por hipótes4 Af y 4" son tonsorcs, lwgo

Suusndo,

R€stando,

Oz'

ñ

lsrai,

&J &hOrr ót1

I ANAlrsn TENSoRTAL l8l

- " | -."T.1p;Ti:ff::ff":.li f#::""H#,componentes

son ros productos dc ras conponentqs de rog

T--r'--r ,i, = ###^1,I E: =##*

I Murtip,ic¿ndo, ,{q = #y_###^1,,;r

t : , I que demuestra el carácter tensorial de ,{lqrÍ de quinto orden, contravariant€ en los lndices p,4, J, y cova-

:; I

riante en r, f, Io qu€ da lusar a la noración Clfs. EstE es et prcducto extemo Ctr' : ,{lvdf de los tensores dados.

r;ffi;f o. *a AD,!, un tcnsor. (a) Haciendo t :, d€mostra¡ que A!,ao, conel convenio de los fndices r€petados, es un

r ,i"*;r}a"tir"s"en es? (ó) Haciendo r:py r:q demost¡ar, análogamente, q.e Al¿,os un iensor.

I (a) Como l3l es un tensor.

I (1) rik = ####"-**^l:,I Hemos de demostrar que Allt 6 un tensor. Igualando los lndicas j y ¿ y suma¡do rcsp€cto do é1,I

te¡dremos:

I

t ¡{lt = ###"##^l'",

I T-r;i;"I ====";"'I tlr#:s¡:l,ti:;itrtit:t :f,.J#ii"tffiü.*r*1,xH"1i.ffiifl,!t*T ti:j:tr.l:itr,3 fi"tr¿l:I tmcción. El orden del tensor contrafdo €s dos unidades inferior al d€ partid¿.¡¡' I

- |

(r, *#Lt"lTTgS'ñÍ,f,*".*_""*"*:"_u'"'_"** (a) n :¡v¡z:*vsumando

:---El

' ¡

ANAIISIS TENSORIAL

= tJ'i #^l'",=

*u,^1.t,

lo quc indica quc ,4á €s un tcnsor dc pri¡nÉr orden que podcmos llamar C'. Obcérv€sc quo por una dobbcontracción, so f€ducc el orden €n cuatro unidadcs.

It. Domostr¿r quc la contracción do[ trDso¡ l¿ es un essalar o invatiant€

r l = ##^i| - ##^i = ' inl =

Dc la igualdad A-t : AZ & sigrJf- quo ,l! os un invariantc. Como ,{¿ es un tensor de s€gundo orden y hcontr¿cción rcspocto de un soló fridice dbminuye el ordcn d€ dos unidades, hcmos d€ñnido un invaria¡:o eScalar como un tcnsor de ofd€n cero.

¿ii ¿rh ¿r ¿,s d,t ,lSa,l aJ a;¿ 6g ^rst

¿rt ¿;j ¿rs ¿rk ¿rr ,lqEi ;? ¿-;h aq tr "',st

=ihA:- - =

tel

So ticne

HacicNtdo / - ft y sumando,bAr

I1

II

a¡a

19, Dom$t¡ar quc la contracción dcl p¡oducto cxtcmo dc los tensor€s ,1, y .8. ee un escalar o invariante.

Por lo tanto,c-rlñ A, y 8{ son tcruor€s, ,t=#}, \.#",

-1 -A- B.^tdEJ

^á-Ot #^"0

Por contracción (haciendo * :j y sumando) rosult¿

,tE, = ##¡r = tf,^r'o - ^',0

lo quc indica quc ,{r& €s un invariante. El proceso dc multiplicación exrema de dos teqsor$ scguida decontracción s€ llaria malt,pllcaclón lñterns y su rcsultado¿rodrclo inra¡no de ambos. Como ,ltrr es u¡rsc dcnomina producto escalat d€ los vectorcs ,{, y ¡r.

20. Dcm$trar que todo producto intemo de los tcnsores ¿l! y 4" cs un tGnsor do tcrcar orden.

Producto externo de A! y ff : Ai Dl'.

l8 l

resultar como

?;k

=Ln ar¿ ¿t ¿rt -qs- - - - ) - -E+

"tA;Ít >-t t

^rñ b qs

: ! r ' P

nbqs.A R¡ r- f<;

at, aJ

- rbÑ

)-c ;

; arh

¿ab '.a- t

; -o

J

-tb

¿."f

rlí'i =

lo que indica que AIBX'es un tensor de torcer orden. Por contracción respecto de los índices 4 y r, o bien,,r y r, del producto ,498Í' se demuestra, análogamenrc, que todo producto interno es un tensor de te¡cer orden.

Otunétodo. El producto externo de dos tensores 9s otro tensor cuyo orden es la suma de los corres-pondientes de los factores. Por lo tanto, A!fi' es tn tensor de orden 3 + 2 : 5. Como po¡ una con¡racciónsc disminuye €l orden en dos unidad€s, el orden del lansor A!4' es 5 - 2 : 3.

21. Suponiendo que X(p, q, r) es una magnitud tal qre X(p, q, r)Bf' : 0 cualquie¡a que sea el tensor ffo, dcmos-trar que X(p, q, r) : 0 idénticamente.

Dado quBfn es un tensor cualquiera, podemos elegir uno particular, por ejemplo el de q :2, ¡ : 3,

con una componente distinta de cero y las demás nulas. En estas condiciones, X(p,2,3)s?:0, y como

a¡' t 0 se sigue que X(p,2, 3) : 0. Este razonamiento se puede hacer de igual forma con todas las posibles

combinaciones de q y de r, de donde se deduce que X(p, q, r) : 0 como qucriamos demostrar,

¿. En el sistenra de coordenadas x¡ una ¡nagnitud A(p, q, t) es tal qte A(p, q, r)4' : Cj, siendo ,4' un tensor

arbitrario y C; un tensor. Demostrar que A(p, q, r) es un tensor'

En fas coordenadas transformadas lii' l(i'k,Dl:^

- >:i )=1t A-r qsEntoncls, A( j ,k, l \ ? =;

U1.Ot- Ot ' Ox

W# ^*.o,ut ' ;

l .

; i

J

-ó ^

¿vJ P

- 4 uo,o,u)¿in fATh ¿'r

a"" L¿"c;7q5

8; =o

IIIIIJ

ANALTSIS TENSORIAL

Contraemos respecto de los índices p y ¡, es decir, hacemos f : p y sumamos. Debeproducto interno, A! B!', un tensor de tercer o¡den.

Por hipótesis, Al y Bl'sol tensores y, por lo tanto,

. ,

Multiplicando, haciendo ¡ :j y sumando s€ obtiene

A(i ,h, t )

tE4 ANALISTS TENSORIAL

El producto interno ro, ff {es 4."1., multiplicar por $ I cont.ae. l.,eeo haciendo m : ,) es

, l [$ $ rri,r,o

[# # t,'-','Ahora bien, como Bfo es un tensor cualquiera, según el problema 2l t€nd.emos.

!!k a'" -

A"ao __, .4(1,É,1) - j , t tp,q, ,1 : 0cx af . cr ,

\q \ - '

El producto interno por 9]_ 9-" proporcionaot ' ox

h. n - A-P A-q A¡.nó1, bL A( i ,k, t \ _

áJ ar, f , ¡ e@,n,, \ = o

^ó ra r- .

- Ax Ax ox- , .

A( i ,n,nJ = -_?

=

- .

A\p,q, t lotJ oa - ox'

o bien,

# ̂ *'''uf ":4 n* 'n, , r )#

=0

: 0,

o bien,

lo que indica gue A(p, q, r\ es un tensor y queda justificada la notacióf] A'Dq.

En este problema hemos establecido un caso pa icular de Ia /¿y del cocienle que expresa que si el productointe¡[o de una magnitud X por un tensor cualquiera B os otro tensor C, la magnitud en cuestión, X, es u¡tcnsor.

TENSORES SIMETRICO Y HEMISIMETRICO.

23. Si un tensor ,iÍ¡'€s simétrico (o hemisimétrico) ¡espeato de los índices p y 4 en un sistema de coordenadardado, demostrar que no se altera su ca¡ácter de simetfía (o hemisimet¡ía) respecto de los mismos índic!¡p y q al pasar a otro sistema de coordenadas.

Como solo intervienen los indices p y 4, demost¡aremos que e¡ issultado de Ia transformación es 8--Si Bra es un tensor simétrico, ,r4 -- B4r. Entonces,

I

a

¿iJ ¿tk -b,l

- . ó : ;

D

con lo que B,a es simétrico en el sistema t,.Por otra parte, si Br¿ es un tensor hemisimétrico. Bra : -Bor. Entonces!

Biu._ ü!ü3uta = _¿i ' :É1 ,0, = _Ehj- djró A,o

- ó.q ?,t

con Ia que B¡a es hemisimétrico en el sistema ¡'.l-os rcsultados antcriores son válidos, asimismo. en el caso de otros tensores simétricos (o

:

I

ANALISIS TENSORIAL 18'

Demostrar que cualquier tensor se puede descomponer €n la suma de dos t€nsor€s, uno de ellos simétticoy otro hemisimétrico en una pareja de fndices covariantes o contrava¡iantes.

Consideremos, por ejernplo, el tensor 8r.. Tenüemos,

Bls = ¡1alq * aú¡ * ¿@fq- eql¡

Ahora bien, ¡19 =;@fqraq'') = i9l es simétrico, y s'q - ¡Gfu - 69y') = -s9y' es h"-i"imét i*.

Por análogo razonamiento se llega a la conclusión de que la propiedad es válida para cualquier tens.

Siendo Q : an AtAk, demost¡ar que siempre es posible escribi¡ é : b¡¡A,Ak en donde ó.,& es simétrico.

é = "31

tj ,th = on]Ah ,tJ = onj,cj th

Entonces, 2+ = oja. l i lh * oo, lJ lh = (d.h+ or¡ e i lh

y O = ! to¡¿+ oh.\ Ai Ah = bjn ai th

con Io qu€ b¡n = I@ ¡u+ o¡¡) = ó¡- es simétrico.

Hallaf la suma S : A + B, difcrencia D: A-8, y p¡oductos P : ABy Q:81, de las matrices

;

I

I productoI .Y, es un

^ = ( : - ;

-3) , B =\ -z | - r l

s' {+B= ( ;tí ?ii -íl;) = Lt i i)D=a-B ( j : r ?; i - i r) G ; - t)

I (3)(2) + (1X-4) + (-2Xl)p= AB = ( t lxzt*(-2x-4)+ (3x1)

\ ( - 2X2) + ( lX-4) +(-1Xl)

I o 3 - t \= (rs -s -a)

\ -9 2 4l

I I I -3\o= BA = l - r2 -4 e l'

\ - t "

-s l

(3X0) + (lX1) + (-2X-1) (3X-1) + (1X2) + (-2X0)(4X0) + (-2X1) f (3X-1) (4X-1) + (-2X2) + (3X0)

(-2X0) + (1X1) + (-1X-1) (-zx-r) + (1X2) +(-rX0)

t í i i )

lión es I'4.

I

I

I

I

t

i

bimétricos).Se observa c6mo AB + Bl, es deci¡, la multiplicación de matrices no goza, en g€neral, de la propiedad

conmutauYa.

ANALISTS TENSORIAL

' : )

* A2-82.

)(: -r) (-:; )

2?. siendor = (-l ;) r, u = (-; -!).u.*,-.0""(r+B)(r-B)

^- ' ' ( l i ) , , - '= ( : : ) . Porrotanto,, ' .urr ,n- ' r = ( l 1

,'= (-? l) (-: l) =E :) n=fl -;)ft ;)=(-;Entonces.{2-82 = (-i r;)

En rcsuú€n, (,{+a)( A-n¡ ¡ Í -Bt , Sin embargo,(,{ + a ) (A-R7 = l2 -1pr31- tz .

2t. Escribir en notación matricial las fórmulas de transformación d€ un: (a) vector covariante, (ó) toBsorvariante de segundo orden, suponiendo .lv: 3,

la foma

,, a* a"\¡ a/ a/ l;r &2 &3 17 6," ñtzt ?/22 ars Ixs }rs }rs

I

sup€rior, sin emb¡

(¿) Las ecu¿ciones de transformación *n nr= $

ooque s€ pueden escribir e¡ la forma

(il ffiril()eD función de vectof€s columna, o bien, en función de v€ctores ñla

/a; . a" a; \

@, t2 F¿ = (ar a2r",f # # # l\s s *:/

(ó) Las ecuaciones de transformación ," = #

""E

,0"." pueden escribir en la forma

l¡" ¡' ¡'\ /g -¡u^ E\ /," ," ,'"\ l+ v,

l'^ ''" ""1 f # # #lf ;- ;- ;'"lf ü u\¡- ,.* ,.*/ \# # #/\," n"" n-l\H *

Es posible generalizar cstos resultados para N > 3. En el caso de tensor€s de orden sup€rior'notación matricial no s€ pucde hacer.

ANALISIS TENSORIAL

ELEMENTO DE LINEA Y EL TENSOR METRICO.

Si ds, : g¡kdxtdxk es un invar¡ante, demostrar que gft es un tensor covariante simétrico de segundo ordcn.

Según el problema 25, é: /st, at : y'¡i y Ak : dxki por lo tanto, g/& puedc considerarse simétrico.Por otra Darte. como dJ'es un invariante,

187

E drb dzq = z, d, id, ,h , , -4 dreyd = , -Vü"pq-- -- "jh -- -- ójh

¿rt -- Zzc -- "rt¿rt ¿rc

r-i ¡-lEntoncesárg = t¡, # ffiV

r,r "t

un tensor cov¿riante simétrico de seSundo o¡den que se denomina

tensor métrico o tensor fundamenlal.

,4

Expresar el tensor métrico en coorden¿das: (a) ciltndricas y (á) csféricas.

(¿) Como en el problema '1, Cap' 1, d{ : de' + e'd{' + dz'

Si¡ , : p, x¡ : ó,x ' : z resul taS¡r : l ,3|¡ : pr , A¡! : I ' Cr. : gn :0 ' g. , : s¡¡ :0, g$ : ar ' : 0 '

/rr, ,,, ,,"\ /r o o\El tensor métrico en forma matricial cs

It,,- to r,o | =

[o É ol

\a", a", ao/

\o o 1/

(á) Como en el problem¿ 8(a), Capítulo 7, d{ : dr' I f d0' + rt sa '0 dó''

\l r o o \

Si 11.r,t2= e,f =Q el tensor métrico es I O t" 0 |

\o O '2xn'á/

En coordenadas curvilineas ortogonales en general s : O para i + k

Ear 8!2 g8l

t21 g22 g.'-lPor los elementos de la segunda ¡ila con sus cores-

931 932 gss I

oondientes ajuntos. (ó) Demostrar q\te gtkc(i, k) : g, siendo G(.r, t) el adjunto del elemento g/* de &y en donde la suma se efectúa sobre el índice k únicamente

(¿) El adjunto de g/¡ es el valor dcl determinant€ que- res-"lta de g, ('),suprimiendo la fila y la columna a los' ' que pertenece ii elemento gir. y (2) anteponiéndole et signo (-l¡i*t' *ot consiguicnte,

^. , t -Adjunto des-. = (-1)" ' ¡ " ra t rs l , Adjunto de tn = 1-r¡2+2 l t : t : "1 '' '-" ' - D2t

lg", S""1 " I tsr 6sol

(a) Desarrollar el determinante 6 =

Adjunto de6€ = (-1)2+" trt tt"lt"t gnl

Llamemos G(2, |), G(2' 2) y G(2,3) z tos adjuntos anteriotgs, respectivamente. En estas condiciones, ol

desarrollo ¿ei ieiirminanti por los elementos de una llnea, segunda fila en nu€stro caso, es

s^GQ, D + sn G<2'2\ + g* G(2' 3) : e

I88 ANA .IS TENSORIAL

(á) Aplicando el resultado de (¿) a cualquier I r o columna tendremos gi¡ G(, k) : g, en donde la sumaci@se efectúa en el índice k solamente, Estos .jsultados son válidos aunque I : iglr sea un determina¡:de orden N.

32. (a) D€mostrar que g¡, G(3, l) + enc(3,2\ + slr C(3, 3) : 0.(á) Demost¡ar que sk G(p, k) : 0 s\ j + p.

(¿) Consideremos el determinante

por los elementos de su última fila es nulo,

e,, G(3, l ) -L s*G(3,2, I s¿, G(3,3) = o

(ó) Igualando los elcmentos de cualquier pa¡eja de líneas (ñlas o columnas) se demuestra, como en eltado (a), que gik G(p, k) : 0 si j * p. El resultado es el mismo aunque el determinante que sesea de orden N.

33. Dennimos ,* : G(ia k) siendo c(j, k) el adjunto de g/r en el determinante g : lg¡k | + O.

Demostrar que gr¡ grk : óf.

Por el probl€ma 31, tn 999: I, o bien. gr* gi¡ : l, en donde la sumación se efe.túa en el

C( ñ I¿\Por el probfema 32, g¡¡ JlJ!-- : 0, o bien, g¡¿grt : 0 si p E l.

Entonces, g/r g,¡( : I síp: ¡ , y 0 sí p +j) :61.

Hemos empleado la notación git sin habe¡ dernostrado su validez, es decir, que g/& es un tensorvariante de segundo orden. Se establece, no obstante, en el problema 34, Obsérvese que el adjunto se haen fa forma GU, Í) en lugar de Gik, ya que no es un tensor en el s€ntido usual (absoluto). Se demuestr-¡es un lensor relativo contravariante do peso dos y, en consecu€ncia, con esta generalización deltensor qued¿ justificada la notación 6r* (problema propuesto 152).

34. Demostrar que ¡'ift es un tensor contravariante simétrico de segundo orden.

Como g,* es simétrico, C(./', ¿) también lo es, y lo mismo l€ ocurre a e¡r : G(j, k)lg.

Si 8, es un vgctor contravariante crbitrado, Ba - Eoq Bo es un vector covariante, Multiplicandoresutta!

g¡q Bq : giq goq B' : ó1" Bp : Bt , o bien gte Be : P

gpzl-1r -12 -13 |t., t.- t-l que es cero por tener dos filas iguales. Su." l

t,

-

AIEI

ser 8q un vector cualquiera, g,4 es un tensor contravariante de segundo orden, según Ia ley deltensor grft s€ llama tenso nétrico conjugado.

ANALISIS TENSORIAL

Expresar el tenso¡ métrico conjugado en coordenadas: (a) cilíndricas y (ó) esféricas.

189

(¿) S€gún cl probloma 30(¿), t =1000 p2o001

adjunto de g,, Iñ2

_ adjunto dc g,¡ 1tn2

adjunto de g¡3 I-=c

adjunto de g¡r

sen! d

gk :0 pa:ra j+ k, y en forma matricial

I

^2

P,O01

t001

10op2

000l

=0

Análogamcnte, gi& : 0 sil + k. La, matdz del tensor métrico conjugado es

I t o o\Io vp2 ol\0 o r l

(á) Según €l problema 3O(ó), I =

Como en (a) se deducese pu€de escribir

l="el

1r,f*n '9 '

,,L)100 \/P00

t

0

6

(

00

Po0 É s€ne

=I ' *=

Hallar (a) g, y(á)gr¿ correspondiente a ds2 = 1kfuL\z + g(dr2f + 4Gi3)2 -6drldr2 +4dr2¡lé.

(o) gu=5' tp=3' %s=4,8e=82!--g ' t =8e'2, grs=631=0. Por Io tanto,g :

(á) Los adjuntos G(/,&) de 9Á son

G(1,1¡=6, C(2,2) = 20, C(3,3)=6, G(\ ,2\ = G(2,1\ = 12, C(2,3)=c(3,2)=_10, C(1,3)=c(s,1)=_6

Entonc€s,911=2, t2=5, f =3/2, gp=tz=3, t^=*-_S/2, CB=fr=_S/Z

Obsérves€ que el producto de mat.ices (ai¡) por (gr&) es la matriz unidad I. es decir.

5-3 0-3 32

0 24

(' i 1(:," :,,.{',) (, , )

r90

TENSORES ASOCIADOS.

ANALIS$ TENSORIAL

gh Al - gL g,k Ar : 61At : lr , cs dccir, A.:gk4 o bicn Ak:gk At

Los icnsor€s de priner orden, ,{¡ y ,l* s€ llsman osoc¡adot. Rcpr€sentan las componcnt€sY contrava¡iantes de un r,€ctor.

3E. (¿) De¡nostra¡ qúe L. : gr.AD A. 6 un inva¡ianlc. (ó) Dcmod¡ar que ¿z : gm AeAa.

b) Seá;n 4 y ,{¡ las component$ covariantc y contravariante dc un v€ctor. Entonc€s,

4 - 4^,, rq - ¿iq Ah?,i

, ; f = ##+¡ = a! , t , th . t , r i

con lo quc l, /, €3 un invariantc que llamsmos ¿t. En cstas conücio¡¡es podrcn¡os cscribir,

L, = aini = thtbt l

= 6rotr, tq

(ó) Dc (o), ¡'= t, ,l - , chl A¿. dÉ tl \= ,ft trtn.

t,a m¿gnitud 6calar, o invariantc, ¿ : l rl" ,lt *llañ^módulo dol vector de componontestes,{, y contr¿vadantes /.

39. (c) Si lr y 8r son do6 vccto¡€s, demostrar quc 8,r{ ,,lr r. cs un escala¡ o invariantc.

37. Si At : gre,{r, demostrar que A. : gtr Ar

Multiplicando At: g*Ak por g/c resulta,

Defnimos

(a) Po¡ el Droblema 38. l? n. = f -0 b -o, tlqo = glqA E es un ¡nvanantc.

(ó) Como ADA, y BaBe son invariantes, '@ +r{t U tsmb¡én lo es, con lo que

cs un escalar.

,f nq

'1t? trlrnq

coe I

cono el coscno del áagulo entre los vectores Ao y 8. Sa gÑ ADBa : ADB, : 0. dichos vector€s iaortogonales,

ANALISIS TENSORIAL

Expresar las ¡elaciones entre los tenso¡es asociados siguientes:

(a) Atkt y ADqb (b) A;1 y Aek , (c, A!;i:; y,At;:it

@) A¡kt : tto gkc gh Aoc,, o bien ADe, : gtD gka gb Attl

Q) A;Í: skgt, Aeh,, o bien Aok¡: sta.Sb A;,

(c) Alitr':t : sot s,k cd A;;i't, o bier, A;;i't : sot g* ett AIliI.

"Tffit5fi*Tjlt ánsulos 0'., 0", v 0¡, entre dos lín€as coordcnadas de un sistema curviÍnco kidimensional

cos op = ,:,=

cos d," =

*

l9 l

cos d", =I

ffi,Según la línea coordenada ¡r, ¡r : constante, y ¡r : constante.

Entonces, de la forma métrica, ds' : gtL@xt),, o bien, !4 : _!.cts t/e,

Por lo tanto' cl v€ctor unitario según r& t¿ngente a la tnea ¡r e,s q: -l: ¿i- Anároga'cnte, lo¡ vcc-! 8tt

tores unitarios ransenres a l¿s rneas coordenadas x¡ y x¡ """

AI= fsoti , ei=

ftt!,

EI coseno del ángulo 0,, enlÜre Ai y Ai a

coao,, o zrnelel = t*h,*r*ala1 =

Dc mancra análoga se deducen los otros ¡ssultados p€didos.

I

ffisn

Demostraf que en un sistema de coo¡denadas o¡togonales, an : ar, : a$ : O.

Se dcduce.fácilmente del problema 4l hacicndo 0..0*:0!1 : 90". De la ca¡acterística de simetrla,gpc : Ecp, también se d€sprend€ qué gr, : g", : C1r : 0.

Demostrar que en un sistem¿ d€ coordenadas ortogonales Ic", - F '

Del problema 33, eD, gn : ¿2.

Si ,p:4:1, g, 'g, \ : t , o bieng,rgu +a"c, , +c¡ 's! , : l .

Por lo tanto, toniendo en cuenta el problema 42, s.:f.

Análogam€nte, s ip: q:2,s*: * ,y

síp: q:

"r" : ;1.

r _- _L".3 f.

18,,=

- '

SIMBOLOS DE CHRISTOFFEL,

44. Dcmostrar @\ fpc,¿ = lqp,,\, ",{;}

= {;}

G\ lpq,r7 = t,', {;}

(o) rpc, , r = ^k,*

-* , = ** -"# -¿Jbt = r ,e,4.

" , { ; } = s" ' [pc, , ] = ' - r* , . r =

{oi}

n, rr"{;} = ,r,r"' tpcu) . EI lpq,rf = lpq,kJ

obien, [pq, l . ] " , . " { ; } ,*o* i r , [pc, , ] = t^{ ; }

ANALISIS TENSORIAL

Obsérvese que multiplicar Ípq, rl por 8't tiene el efecto de sustituir r por J, elcvar este lndice y

los corchetes por llaves obteniéndos€ {'}

. ma"*."nte, mu¡tip¡ic¡r {;}

*t g,,, o bien por

ticno cl efecto de sustituir s por r, baja¡ est€ fndic€ y cambiar las llaves por colchetes obteniéndos€ [pq,

7tu"45. Demostnr (")

;f, =

, t r#=

(ol lpor, cl + [q.,1]

[pn,q] + fqn,pl

-/" l:"1 - '* \kl= r, : '*_,3?-l 'o l ,- 7r4 ¿'? arq

, rr"tn '1u - 34,- ?'r ¿'q d¿

" ,{ ; , } = # "a

= ?:ua*

>tL)^¡(b) #(6"'til

= i,"(D¿)

= 0. Enúoncos,

es dccir,

o bien

{Y-#rr , =o,obi€n, , r ,*= - t -Y

Mufüpticandopor 6¿t, ,*rrrS . -rt'r¿'p

t;# = -si ' lh t[¡-,!] + [ i ' ' . i ])

zt._,nl , I ) _/ ' { ; }

de donde se llega al rcsultado pedido sustituyendo, respectivamente, 4 k, i,i por p, q, n, n.

(c) Del probl€ma 31, g = g¡a G(j, k) sumando en el índice k sblamente.

ANALISIS TENSORIAL 193

Ahora bien, como G(7', t) no As

de j y r, I contrene explictlamente gk'

ah : GG ¡)' Entonces, sumando respecto

?g = ?r '!!r

= ",

, u"tt,?rt a-. ar"

- "t¡" ¡ Elt t^

:- oE¿- ¿2= es" ' # = t sJ ' ( l jn, t l + [ rn, / ] )

= ' ( { ; }

. { ; } )

= , ' { , , , " }

Por consiguiente,

I ag = f i l l ¡ l a

"r¿* ' L i" l ' l , i " i = # '" ' ide donde ss deduce el ¡osultado pedido sustituyendo j por p y nt por q.

Deducir las leyes d€ transformación de los simbolos de Christoffel de: (a) primera clase, (ó) s€gunda clase,

- , -o1z¡como tu = ##tro,

4p ¿,1 ¿,0 dqo z,r á"f ?2,Qari ¿ri ¿Eb ¿", ¿"" ¿¿i ¿ir. ¿a -Pq

Por pe¡mutación clclica de los lndices 7', k, m y p, q, r,

?30* á"Q Z,r 7go, ¿"1 ¿xc ?'rr ¿',s d",___::: = ::-:L ___t_ :L

¿rf - # ¿-,, d,, ñ' # ¿rl¿r,

t, ' dü¿-J ¿,,8s,

TEni ¿r, ¿"1 Ttrb 1re ?rr ¿2 n, 22 rr ?"1

?zh ari ?ij ?,c arl aE. ¿h¿l "rf ¿b ¿t ¿-"1 "rf

Restando (1) de la suma (2) + (J) y multiplicando por ¡ se deduce la definición establecida d€ los símbolosde Christoffel de primera clase.

O{ Oxl+_¡

¿ír Ari ¿ih -Pc

¿rl ¿rQ ¿r'

¿l ¿u ¿n(41

Multiplicando (4) por

gn" ¡¡ t ,^1 =

p, = W ts: r$ s€ obtieneOt'Oz-

¿f ¿"Q 7rr ¿in ¿rt -, . , i" ,b ¿rQ ¿rt! ¿ir ^.

il ¿r¿ ar" a," al s-' LPc't J + ñ ¿th 7," ¿,s ¿,t t" t)q

(b)

ANALISIS TENSORIAL

2,rf ¿rQ ¿u, ., ., , . é' tl &¿ .9 .rf¡j ¿l ¿,s

et 6 t r'1" r arj arl a,s -t " "tC

¿,2 ¿,c ¿¡n f s ) tJ ¿2"f,J a", a," lrol ' ;l# ¿,t

yoquo 6;r"¿ lpc, , f . r" ' f re, ' f = {r"r}

y t l f tero = e"qr¡ , . E;

. ?2 r¡ t r t ar" ¿r l ¿rq l^ |47' Dcmostrar arr'- *:.

= ti¡ ¿*

- ;F

"r, I;t¡'

Dcrprob,c,¡r¡4ó(ó) f;) . ### {;} . #*y_

uurtioricandoDor*$n, ftly" - *#t3{;} - #*t= ##{;} .##

Dcepciando $$

* tn* "

resultado pedido.

(c)s ip=e=¡, [pc, . ] . [pp,p] = +(*"*-%)

''t = !(dt¡'

"t"

- 1¿¿\si p.qfr , fp" . . l - lpp, . 2\a,p ?, t ?,r I

sip.¡¡r , [pc, , ] . [pc,p] = +(!A,]*-%J =z \ E," ?rf ?rt I

Si los índie ,, 4, ¡ son d¡stintos, fpq, rl : O.

¡lt. Calcu¡ar los slmbolos d€ Christofiet de: (¿) pri¡nera clase, (ó) segunda clasc qr un cspocio en quc g-si p *q.

t Tttl

1;F'

, Dtfi- i

¿{ '

L¿tit .2 ¿rq

Aquf no hernos ompleado €l convenio dc sumación d€ los índicts repetidos.

(á) Por el problcma 43, gt : 1,, lsin sumar¡. Entonces,

[ "1:"] f.in .u'o"r¡ ,i r :

",{ ; }

Por (a):

= c" ' lpc,r f = o s i . ls , y = sssIpg,s] '

--I\\

ANALISIS TENSORIAL

Si o=o=s. 1" i=fp\= !g: l l =. t dcü =-L ) rn\wf

- \ecf - *

=E;¿,r=z¿r '" too'

195

'Si p = 91s,

Si p, 4, ¡ son distintos,

{ ; }

{ ; }

_ [pp," ] =ts"

_ lpq,p) _tll

= 0.

- t¿$p28ss ?rs '{ ; }

h)= ü+H=i*, .+,{ ; }

{ ; }

{ ; }

te. Expresar los símbolos de Christoffel de segunda clase en coordenadas: (a) rectangulares, (ó) cilindricas y(c) esféricas.

Pod€mos utilizar los resultados del problema 48, puesto que en coordcnadas ortogonales grr : O si p + q

f " )(a) En coordenadas rectangulares, grD: l, con lo que f -_ )

= 0.tPY

'

(ó) En coordenadas cilíndricas, ¡r : p,42: í,x": zy, según el problema 30(a),¡ ',, : l ,A,r: 0i,¡ ' !J: l.Los únicos slmbolos de Christoffel de segunda clase no nulos ocurren para p : 2. Estos son

1-2"

-11

JzIl rz f

?¡ r)

;f = -i a<rt = -c'

I 7go =

7xL

la"L2e' ¿e

(e-' = V

(c) En coordenadas esféricas, ¡1 : r, x' : 0, x' : ó y, según el problema 30(ó), g" : l, grz: r,, g$ : r's€n¡ 0. Los únicos símbolos de Ch¡istoffel de segunda clase no nulos ocurrcn pafa p :2 ó 3. Estos son

I,¿*

I22

{ ; }

{ ; }

{ ; }

f z ll r r l

{ ; }

{ ; }

, 78r" t 2. , ._ _I f - t = _f

4r, 7'1 2 é¡ '

={ ' }=,7=t? =+3¡r¡=1t r2t 422 7x, z?d

= -- l - :b = - ! ! ¡ "*n,e¡ = -rseúo2gr, 7r' 2 7¡'

= - 1 b, = - J-^!¡p*n,o¡ = -*nlcos|

42, 7r2 u' ¿A '

=1r\= | óEo = r 9 é y.n,ott13, 4o 7" ü*n,07, '

?s

=1r\= I d " = 1 ! ¡2 *n,o¡ = coto

123 t 4- ¿,2 zP *n'0 70'

?c""-r?

'I

196

LINEAS GEODESICAS.

ANAL¡SIS TENSOR¡AL

Dcmoshar que la condición necesaria para que / =

ma)esque--+(=)=0.Ot tlt dr

Ie = .[rt"

Fqr, x+eq, i+ei1¡ at

| ' FP, x, i1 at sea uoa extr€mal (¡ttáxima o

s€a ¡ : x(t), \ = t = t, la curva que hac¡ extremal la intogral /. Entonces ¡ : x(t) + (? (r), si(ind€pcndi€nte de l, €s una curva muy próxima que pasa por I' y rr de manera 9ue ?(1,) : ?(4) : 0. E¡de 1 para esta curva muy próxima os

Esta es una extr€mal para € : o. La condición nccesaria para que allo s€ veriñque es que f Ibicn, derivando cl integrando, suponiendo válido el proceso, " l¡.o

+l = fb,Pn+**út¿¿ = odé lr=o J¡ 'dx ' d; " --

que pu€d€ escribi¡se en la forma

1,,'*r,, , #rli', - f'" ,fr,{',* = [,o ,(# -como ? es arbitrario, E - 4rPfl = o.

a" dt '? i

El r€sultado es fácil de gcneralizar a la intcgral fh r1t,r',i',r',i2,...,tt,ix) ¿t.rlL

!4_ar!4r = o7'E dc éiE

de la qu€ se obüGne

qre * llafirzn ecuaciones de Euler o de Lagranee (.Drobleñl0 13).

.2r51. Demostrar que las líncas geodésicas en un espacio de Ricm¿nn vienen dadas por{{

Hemos de haflar la cxtrcmal a" fh fT dt mcdiant€ las ecuacioncs de Euler (problemaJ. -tq

/--'---------=con F = y'goo i/ iv. Tendremos,

= irr*;t;trun!fu !;o

= irtoo;l ieYt/z z6roil

ii = 6;TF , las ecuaciones de Euler adquieren la forme

a¡:-;dt*

AFdih

Ahora bien, teniendo €n cuenta que

f,#,) ,!¿ = o

*l , l¿J ¿,q =lpq I ds ds

AI{AUSIS THTSORI,AL

¿ j*{ . , üoo .o .odr(-T-) - ü lTt

r ' = o

i€n, , . - ' ! ,7s t ¿l¿t - !¿%o !ro" = #:-?B ?r9 2 ¿rh ;

*3o,o*oo %. I ;o = ltlt ,?ql, ;o ¿o , sc co¡rvicrr. cnd'e z 'a 'c ú '

,0. ., tÚ * ¡Pq,r1 * i !

"

t ¡ ' , i

Empleando la lqngitu{ dc ¡rcrJoodo parámct¡o, != t, != t y la ccuación ec cscribirá

uurtipricanad¡iprlt *ooúr,.%* ff '

¡*'a S { = 0

=0

?¡r ?¡r(r)

Dcl probloma 47,

Sustiú¡),staló €o (.f ),

na;¿

tr'&i&h

d2rr , t', \ *f ¿'qds2 l rrJ a" ar

¿i¡ _ érr áar ?nt

?rl ¿zJ ¿*t'ul

- l--t ar' ¿i ¿rt ( r '- litit ñ - eJ aro 1,, r

dAi' ' '¿"b

t^n - ##{;}-'" - ##{;},"#(#- {;,}n)

ANÁúIS¡S TENSORIAL

aon lo qu" 1! - I " L os un tcnsor covariantc d€ s€gurdo orden qu| * |lanr &rtvada7,Q tpcf

-s

Ae respecto de xe y * err,ritc An.".

(á) Como I =4^' ,ot

(2) d - ¿rJ{ü, í r t a ' !^ .?z' 7rr éxr ar¿ drr ¿"t ¿íE

Del probl€mr 47, pcnnutando las coorderadas x y i,

Sustituy€rido cn (2),

¿ri = a;i a,t ?4 -

,. \ a/?¡l ?r, ?zt ?,t lul ¿""

= ¿-, i¿, t Qd _ f" l !d?*r a;¡ a,t lrtl ¿,n

= ¿zJ ¿,q ú -

1o¡u¡¿,t A* ¿,c I'ct ¿,,

o bion,

¿Ai ñ -i

¿zJ d'sáF ' 1*,1" *#

^tcon lo que dA + I P t ¡s os un tensor mixto dc segundo ordcn quc s llarln de¡lvadaár i tCs,

At res¡ncto de x4 y * escribc l:..

53. Escribü la derivada cova¡iantc resp€cto d€ ¡. de cada uno ds los tcnsor€s sigui€nt€s:

(a\ A¡p, (b) ¿rt, ol el¿, <¿¡ 4r, o t*! .

l? - {;}o'#. { i"¡" '# - {¿},;*

- {¿}¿

i* = {;} # ## ['J

(#.{;"},)

¿,t , t &i ¿r l ¿zt l i l ?

#A - #* ' ¡71í ' l '4^' - #' i( : ,1¡?d¡" - f4¡ ta?¿ ( 'r ,

- {*} 'o

' { ; " } ,u

, {i"} ,;

- {¿}' j . - {;"} ' i ,

(o) AJp,q

ih(o\ a- ,c

. , ,A!E,q

t¿¡ lJht,s

ANALISE TENSORIAL

54. Demostrar que las derivadas covariant€s del. (a) g¡p,

r99

ihl(c) A¡n,q = - {,",},f '{i"},;:' - {i"},¿",i . {i"},Jl'

¿nt! l " l ,J¡ tE9

- l , "qf ^s '1

3-{;} '",-{ü},,"(a't sp,o

l¡c,tl - Ítc,¡l = 0 por el problema 45(a).,,tL _dz'

?¡fi=;.dr.1

,dd¡

-ctt a

, 0- :0

55. Hallar la derivada covariante de Atr BII respecto de .xq.

,^iuli,,o = + - {¿} d,; - {;},i,i' {;"},;,1 - {;"},i,r . {;},í,1"

(#- {¿}d . {;"} ,;) "i'. ̂ l(#- {;}':'. {j"}';"

= nlr,rtl' , ^!u

tl,,

S€ Ducde observar cómo la derivada covariante de un ptoducto de tenso¡es obedece a las mismas reglas

de la dérivada de un producto del cálculo dife¡encial ordina¡io.

-¡r - t i56. Demostrar que Gjn An ),q = 6¡¿ An

,9 .

-¡ i ,hr , l t ,hnGroAi )n = t iu,o { str^n 'o

= etoa",e

(b\ gtk, (c) óL son nulas.

= 0 por el problema 45(ó).

{i} ' {;}

{ ; , }* . {1"} 'o

{;} ' j . {;"} ' ;

ih

I

¿'Q

' { ; } ' f )

ya que gr¡,a : 0 según el problema 54 (a). En Ia derivación covarlafj.].3, g¡t, gtk y 6l se consideran

= #.{j-}"hy'-e \ Ah

st.Demost¡arquc n* = t$ú*,ffi.

El gradiente de é es ¡¡¡tf + . V<D = 3P, u¡r tonsor covarisnte da brim€r orden (p¡oblem¿ 6 (ó))

nido como la derivada cova¡iante dc é y que sc escribe Q,,. El tcnsor contravarian¡c de primer orden

ciado con é,, u, ll = ,t $.

Soron el problema 5?,

200

FORMA TENSORIAL DEL

5?: Demosrrar quc dtv Al = * ^Lr<l¿ n'r.

{g ót-

La div€rgpncia dG ,{t €s la contracción tensorial de la derivada covari¿nte de ,{', es dccir, lade Ar,e o At,r. S€gún el problema 45 (c), pues,

ANALISIS TENSORIAL

CRADIENTE, DIVERGENC¡A, ROTACIONAL Y LAPI,1\CIANA.

dlt Al . l9,l

a¡l. -+¿r i, *\'nt'

?rt *¿r

o' arl

aoOt'

?Ap 7Ao50, Demostrar quc Ar,q - Aq,p - ?rj dr?

Ar,q - ac,r (* -ur") -EstG tsnso¡ de segundo orden es el rotacional de ,,1r.

6(). Expresar la divergencia del vector,{, en función de sus component€s flsicas en coordenadas: (a)(á) esféricas.

(a) En coord€nadas cilfndricas, ¡t=p, *=$, é.2,

100

o Éo001

= p2, de dond€ Y!-: p (problema 30(a))

Las componontes f¡sicas, ,.1q, ,{c, ,,lr son

I ¿. , -_7 =i(v t tvB ot-

la- I" \ , - \ . n, - ' '^o-

\al tcpf -"/ ¡rc a¡

4^olo = y ' l ' t t - tL, A6- = pAo, t"= {Qtr . t8

Entonces dtt Af

(ó) En coordenadas esfüicas, rr=¡,*=0,*=Ó,

10 0

0¡2 o

O o P *¡20

Entonces,

üv AP

ANALISÉ TENSOR¡AL

.)* !;<{s talg dx '

It?<pht * + (,ró) + + (pAz',)POpqQz

: r. sén¡0, de donde y']'- ¡t s¡¡rO (problema 30(ó))

Las componentes ffsicas, ,4.,,{a, z{o son

Ar =,8 A1 = AL: t , - , / l - f =, Í , Aó= y ' -e*a' = ¡scnÉ,te

t*,"¡ ̂ rpfi, f fir* s6no rr) + $r, *.t 6 ,

S,<,,t t1

f le+t . * ; $rseno,rr t ' ¿, #

al. Expresar la Laplaciana ¿e é, t'Ó, en coordenadas (c) cillndricas, (á) esféricas.

(a) En coordcnadas cillndricas, grr : I, g" : ll8', g" : I (problern¡ 35 (¿))- Según cl problenra 58'

vlD = **<q'**rIt Or' ot

' l r9,rP,,$,139'r op óp q'P 4'

r? aO raob= =:-Q=-l + a- +P ép" áp' P' 4"

a aé,+ l- (Pi-:) Io2 02

dfD:-;

(ó) En coorden¿das esféricas, g¡r : l, 922 : llrt, g'r : l/t¡ son' 0 (problema 35 (ó)). Entonces,

vb = rt $,c',,#*,' i}¡ t$r,, ,'nu #, - # {*'o #)

- á.,3*#,, . F*;u $,**$

a I aé.' E{t seno @"

. ra lo' P *n"0 42

ANALIS$ TENSORIAL

DERIVADA ABSOLUTA O INTRINSECA.

ó2. Hallar las derivadas absolutas o intrlnsecas de cada uno de los siguientes tensores, suponiendo que lasciones de f son derivables: (a) un escalar o invariante o, (b) AI, (c) AL, @\ At*ú.

sA!G)#'

TENSOR RELATIVO.

A. fur Aly BI" dos tcnsorcs relativos de pesos rrr y n, respectivanente. Deñostrar que sus productosy externo son tensoros rclativos de peso r,, + u:.

Po¡ hipótesis,

_iA:

B

El producto ext€mo,

es un tensor relativo de peso lyr + n¡. Como un producto interno es una conhacción de un productotambién es un tensor relativo dg peso lrl + rr!.

e,# . ##

= c9, derivadaordinaria

^io# .(#.{¿} ' ) # = ## . l t " l r#' 4. l t \^"4

dl (9r, t t t

^!,.,# (# - {¿},{ . {i"}4)#_ d4 í"1 , i¿f . { ¡ } r :4' ¿t -

l rq| ' i 'o , lqs, I dt

^!:,,,# (# - {;}¿T" - {;},*.- {.?4i . {j"},* . {j"},íi,

= '+ - \;,1^'"-,# - \il^g,# --{/"}4i,#,1:"1^{L+

t.l €oa

"r#

)*

l:,|^!i" #

ó3. D€mostrar quc las derivadas absolutas de gr&, art y 4 son nulss.

6tr¡ ¿,rs Ef =Ju r ,o-n a¡ l - r ,off ' <q,ntf l= o,

Et . , i ¿t -. t, fn,sft = 0 porel problemas{.

. , .##^!, El, = f ' ,###r,;¡to¡l ' = ,^'*#### *4"4':

Por el problema 65-

CIONES DIVERSAS.

ANALISIS TENSORIAL 2,JI

Demostrar que rfes un tensor relativo de peso unidad, es decir, una densidad tensorial.

-ó ^oLos elementos gra del determinante g se transforman de acuerdo c< ' o' ot

'n la reY 6¡fr =

ñ # t¡q

Haciendo los determinantes ds ambos miembros, F.

que demuestra que r/g es un tensor relativo de peso unidad.

árldEJ

dz1

;it = t -E ó {E= t4,

Demostrar que dV : {g axt ¿¡'. , . dxt es un escala¡ o invariante.

¿v = G ¿rr d* ... ¿zx = G t ¿rL d* .,, ¿/

= " l*lar't*

... ¿J = \G d'L dxt ... dzr = d'v

De aquí se deduce que si é es un invariante se verifica

f f _ _ f f _l . . . l6r¡ = t . . . t<bdv

JJJJfv

cualquiera que sea el sistema de coordcnadas y donde la int€gración se extiende a todo el volumen del espacrode N dimensiones. Análoga cuestión se puede ver también para integ.ales do superficie.

Exp.esar en forma tensorial: (a) la velocidad y (á) la acelcración de ¡¡na pa¡tlcula €n movimiento.

(a) Si una partícula se desplaz¿ por una trayectoria curvillnea con una ley de movimie,rto ¡k : ¡t(¡), en

donde , €xprosa el parámetro tiempo, su velocidad es u" : ff, oue es un tenso¡ contra.. -riante de primer

orden (problema 9).

. dvk d'xk(á) La magnitud ¿,

: .;- no es un tensor, en general, pues depende dei .;itema d coo¡denadas que se

tome como referencia. Sin embargo, se puede definir la aceleración ae como la derivaü¿ absoluta o int¡ín-

seca de la velocidad, es decir, ar :-# ou" es un tensor contravariante de primer orden.

Expresar Ia ley de Newton de la mecánica en forma tensorial.

Supongamos que la masa M de una partícula es un invariante independiente del tiempo t. Entonc€s,Mak : Fk es un tensor conravariante de primer orden que se llama fuerza aplicada sobre la particula. Laley d€ Newton, pues, admite Ia ¡epresentación tensorial

u :a_' -&Fh = lrloh =

?0. Hallar las componentes físicas dc (a) la velocidad y (á) la aceleración de una partícúla en coordenadasdricas.

(¿) Según el problema 67 (¿), las componentos contravariantes de la velocidad son

*' ¿P d* ¿Ó ¿,' dz¿7=i ' ü

= ¿. 'Y E'E

Por Io tanto, las componentes flsicas de la velocidad son

- dxt do - dz2 dóvsr, -¡; = fr ' 'e* l; ' PT' Y

tenie¡do en cuenta que grr -- l, g¡r :- at, 4"! : l.

(ó) De los problemas 69 y 49(b),las component€s cont¡avariantes de la acele¡ación son

" '=#, | : , ] t '# ' f =#-P(#ff'odF

t,s¿e

ANALISIS TENSORIAL

6e. Demostrar qüe "u = Y = #, l:rl # t#

# . \i"\,##.u,|#' i

Como vk es un tensor contravariante, según el probl€ma 62 (ó)'

= # . {1,\r#Eot&

-df dz

'os ¿t dr

. l:,\# # , l:,\#'# = (# , 2¿Pdó

VAfA'_2_

yos=P

=E

Entonc€s, las componentes físicas de la ac€leración vienen dadas por

{t, ot = 'i - pó,, {É- o2 - pó * zitÓ' v Vt6d-, z

en donde los puntos indican deriv¿ción resp€cio d€l tiempo'

?1. La energía cinética I de una particula d€ masa constante M que se desplaza con velocidad de

T : tMv, : lMgDL n, ic. Demostrar que

! ,?L¡-9L = I ¡ to,¿i ¿ir' ?'D E

siendo a¡ las componentes covariantes de la aceleración.

Como I .= tMg N "¡ "a, tendremos

= *n!i4 i tq.á,8

d .aT -Por lo tanto' - ( t¡)

q = ió- pó' ,

Por lo tanto, Ias componentes flsicas son

Nt- i9-Pq

+=ftéot, %=t

ANALISIS TENSORIAL 205

)-d ,3!, = Mtz. .f +

""h! i! $.'¡

¿t' dih - Eq }xl¿h

?T.-...:?"¡

?r- :--T - ,(rr, ,n ,* t' tc - r'!4 t't')

. , (* , r ' - i ,**Y-*,u*)n¡oo'iq + fpq,rf;t tq¡

-o(* ' { ; } , *) = n*ar = *oh

teniendo en cucnta el problema 69. Este resultado puede emplearse para expresar La aceleración en distintossistemas dc coordonadas.

72. Utilizando el ¡€sultado del problena 71, hatlar las componentes físicas de la acele¡ación de uoa paniculamóvil en coordenadas cilíndricas.

Como ds2= d,f + p2dg2+d22, ,f = tfif = p2+p2$?+? y T-r v2 = !n1p2+ p2$2 + 22¡.

Del problema 7l con.xr : g, x¡ z s€ deduce

+.2.2 o E-oé?.L! teót . ;{grr' y' g-' y'gn P ¿t - ' ' '

ya quo grt : I, g*: p1 g"" : t. Compárese este rcsultado con el del problerra 70.

73. Sea F¿ :-# la fusrza covari¿nte aplicada a una partícula en done Z: V(xr,...,xN) es la energtra

Dotencial. Demosu", oua 4, t t : t

' ¿r '#t- | -=o siendor=r- l '

- ) raaDe L = T -v , #, =

# ya que t/ es independiento de .tt. Entonces, según el problema ?1,

I,#, - {, = u"n = ra = -# vLa función I, se llama Lagrungiana. Estas eeuaciones en que interviene I se llaman ¿c¡aciones ue Lagrange

y son de gran importanc¡a en el estudio de la mecánica toórica. Del problema 50 se sigue que ¿l resultado

hallado equivale a decir que una partícula se desplaza de manera que la integral J,' t at es una extremal.rL

Se llarna princípio de Hamilton.

206 ANALIS$ TENSORIAL

74. Expresar el teorema de la divergencia de Gauss en forma tensorial.

Sean, ,4k un campo tensorial de primer orden y 'h la normal un¡taria cxterior en un punto de uoa super-ficie ce¡rada,S que encierra un volumen Z. Entonces, el teorema de la divergencia de Gauss establece que

f[,tr u. ¿sJJ E

En un espacio de N dimensiones, la integral triple s€ sustituye por una integral de orden ¡f, y la integral dobLpor una de orden N- l..El invariante .4k,¡. es la divergencia de,{k(problema 57). El invariante Ak vLes dproducto escalar de Ak y "¿, análogo a A . n en la notación vectorial del Cap. 2.

Hemos expresado el teorema, pues, en forma tensorial, por lo que dicho teor€ma es válido on cualquiersistema de coordenadas aunque la hayamos visto, en principio, en el caso de coordenadas rectangulares(Cap.6yproblerna66).

75. Expresar las ecuaciones de Maxwell del elect¡omagnetismo

(a)dtvB=0, (6)dlyD=47p, (c)VxB = - +*,(d)Vxu = !4 en forma tensor ia l .

Definamos los tensores t&, Dk, E*, H*,Ik y supongamos qu€ I y c son invariantes. Entonces, las €cl¡¡

ciones adquieren la forma

{o) 8¡O = 6

1b¡ Dh,, = anP

k\ - ejhq E.P,q

ut - eihq xo.o '

[f I th., av

Í

?Bi .oui"n.eJEe g = !?¿ h'q- f

i$rI"

c , o bien, eilg flr.o = -

Estas ecuaciones son la base de toda la teoría del electomagnetismo.

76. (a) Demost¡ar q w Al,w - At,rq = Rlq, An siendo .4, un tensor cualquiera de primer orden. (ó)

mostrar que Rt,es u¡ tensor. (c) Demostrar cue R¿grs = 6n" Rlq, es un t€nsor'

?# - \,,,1^,.,ü,)

#ü,)', - {J,}

éB';;

I41Tf-;-

17-- lI

(

d(o) At c,

= 6r,l .n =

= "

("nr-?"r \ ?re

= le--ot o-

- \-l^^'(*-{;},,) - t}{JJ,) (* - l;l')

I.

t -

t.

I .

# - gl"# .ltl\i,l*T

cl

I{

E

E

II

Permutando g y r y restando s€ obtiene,

- {t,l*. {;Xi,}',

ANALISIS TENSORIAL

1-' '9,q7 Ar,,q = {;}{,1}',

- l!,1\t,l^,1

= R: A.?qr J

*ll,l ̂ ' - {;}{j},' . ."t{j,}',

*lt,l^,- {i,}{;}* . *{;,},,Errd

Fb

^1,. = {;}{¿} - á} {;'} -

rep€tidos.(d¡ arxlxB + arxQ xg + ... + orxXr3

qbl A21 B, + An B" + An B" + ,,, + A'x Br

¡c¡ lal + e! a' * t!n" , ... t eJrax(d) *'t¡ + c2t t", + ft E", + fat.,

{;}{l,} ' * {j,}Sustituycndo j por z se deduce el r€sultado pedido.

(ó) Como Ap,,o - Ao,,o es un tensor, RXa, Ao es ot¡o tensor; además, como ,4¡ es un tensor cualquier, porfa fey del cociente se deduce que ,Rr¿, es un tet'li;rr. Este se llama tensor de Riemann-Chrisfolfel que, aveces, se escribe en la forma R.i*, R;;:,:, o simttcmente, R;a..

(c) Roo,, : g", Rfu,, es un tensor asociado a Rle, y, por consiguiente, es un tensor. Se lta¡na ¿e¿.ro¡ co|aria ede curyaturq y jugga un pape¡ muy importante en la teoría general de la relatividad de Einstein.

, Problemas propuestos

Al final del capítulo se dan las solr¡ciones de estos p¡oblemas propuestos.

77, Escribir cada una de las siguientes expresiones tgnrendo en cugnta el convenio de sumación de los índices

te¡ B\\1 + aeo2 + aftr + aff78. Escribir término a término cada una de las siguientes sumas indicadas.

) - b . ik-b - . . . a; j ¿, !ta) !-,(r 'c A-\, N =s (b\ AJ" Bi C) , N= 2 (c) 3 j-

¿,P - R J E,¿ Et{

?g. Haffar el luga. geométrico representado por akxkxk : l en donde rt, con k '= 1,2, . , N' son las coorde-nadas rcctangulares, ¿e son constantes positivas y N -'2,3 ó 4

80. Escribir el sis:ema de ecuaciones oooxq : bo para N - 2.

81. Escribi¡ Ia ley de transformación de los tensorcs (a) ,4'f , (b) BI. k) C-", (d) A^.

208 ANALISIS TENSORIAL

82. Determinar si las magnitudes B(.¿ k, m) y C(j, k, m, n) q1re, en el paso de un sistema de coo¡denadas ¡i a otro i',sg t¡ansforman según las leyes

¿ri ¿rk ¿7r ̂ .. ,(a, 6\P,q ' t ) =

¿_"b ñ; ,q D\t 'E 'm)

83.

E4.

son tenso¡iales. En c¿so afirmativo, escribir los tenso¡es con la notación adecuada dando el o¡den y su carac-terística de covarianza o contravarianza.

¿Cuántas componentes tiene un tensor de quinto o¡don en un espacio de 4 dimensio¡es ?

Demostrar qug si las componentes de un tensor son oulas en un sistema de coordenadas dado, t4mbién lo sonen cualquier oha rcfcrencia.

Demostra¡ que si las componentes de dos tensores son iguales en un sistema de coo¡denadas dado, tambiénlo son en cualquier otra refercncia.

)-k dvkDemostrar que la velocidad

? : y* de un fluido es un tensor, pero que I1 no lo es.

Hallar las componentos covariantes y cont¡avariantes de un tensor en goordenadas:(¿) cilínd¡icas p, d,z;(ó) esféricas r,d, {, sabiendo que sus componentes covariantes en coordenadas rectangulares son Zr-zx"y, yz.

98. Si un tensor es simétrico (o hemisimétrico), sus contracciones sucesivas, ¿son simétric¿s (o

99. Demostrar quo si ,.{r¿ es un tensof simétrico, .4rsrr)r4:0.

85,

87.

88. Las componentes contravariantes de un tensor en coord€nadas r€ctangulares son: /2, 3, 2x + /. Hallar suscomponentes covariantes en coordenadas cilíndricas parabólicas.

ó - . b . qs "P , .q . r . f .Q .¡ "s8e. calcular G) 6;81 , (¿) E; E; l '", p¡ an { l", (d) tq ¡r Ds 6i.

9{). Si,4fs es un tsnsor demostra¡ qf¡e,41'es un tgnsor contravariiante d€ primgr orden.

91. Demostrar oue E:, = ltsi ¡ * *- Jñ tu r, ¡ = i

no es un tensor covariante con la notación expuesta'

:- ;-9 A¿, -92. Si

^f = .fu,{O demostrar cue Aq = z'-

+ .

%.si l: =##,4! demostrar w. e! = ffi{* e!.

fi. Sabiendo que é es un escalar o invariante, determinar si ge= es un tensor.Or'Ot1

. Sí A! y B, son dos tensores, demostrar que,4¿ B¡ y AX Bt son, asimismo, tensores y halla¡ su orden,

96, Demost¡a¡ que si ,4lra es un tensor, .41,o + ,4!,f es un tenso¡ simétrico y,4ta -,4Íl es hemisimétrico.

yl, Si ApQ y B¡r son tonsores hemisimétricos, demostrar que Ct! : A'q8,, es vn tensor simétrico.

ANALIS¡S TENSORIAL

Hallar el máximo número de componentes de un tensor si¡nétrico de segundo orden en un espacio de:(a) N :4, (ó) N: 6. ¿Cuál es este número para cualquie¡ N?

¿Cuántas componentes no nulas y distintas, prescindiendo del signo, tiene un tensor covarianto hemisimé-t¡ico de tercar orden?

Si ,4Í,¿ es un tonsor, demostrar que por una doble contracción resulta un €scala¡ o invariante.

Demostrar que la condición necesa¡ia y suñcientg para que un tensor do orden R se convierta en un escalaro invariantg por contracciones sucesivas es que R s€a p¿r y que el númgro de indi@s covariantes y cootra-variantes s€a igual a R/2.

Si ,4r¿ y B" son dos tensores, demostrar que su producto extemo es un tensor de cuarto orden y que se puedenforma¡ dos productos internos de órdenes dos y ce.o, rcsp€ctivamente

Si A(l¡, q) B" - Ct, en donde 8s €s un tensor covariante de primer orden cualquiera y C' un teosor contra-variante do primer orden, demostrar que A(p, q) es w tensor mixto de segundo orden

Sean ,4, y -84 dos tonsores arbitrarios. Demostrar qu€ si Ae Ba CQr, q) es un invariants, C(p, 4) cs un tensor

que puede escribi¡se en la forma Cj.

Haflar la suma S : A + B, diferencia D : A-8, y productos P : ABy Q: B,{, siendo,{ y B las matri-c,es siguientes:

l^ . \ / \@\A=(: -11, B=(o-: l

\2 4l \ -2 - t l

lz o r \ l , - t , \(ó) , {=Í-r-2 r1. I=|3 2-4 1

\-r s -Ll \ - t - , 2 l

Hallar (3A - 28\ (2,4 - a), s[ndo A y B las matrices del p¡oblema anterior.

(a) Cornprobar qu€ dot (,{8) : {det ,{} {der A} para las marices del problema 107.(ó) Comprobar si se verifca que dct (áA) : det (BA).

t . \ / - rz-r \sean ras mar ces, = ( : - : : ) . r = { i ; - ; l .\ { 2 3, \ 2 r z l

Demostrar que (.¡) /,8 está definida y hallar su valor, (ó) B,{ y ,{ + ,8 no están deñnidas.

Despejar los valores de las incógnitas, x, y, z, del sistema de ecuaciones, cscrito en forna matricial.

(? i i)( ') f i)\ - ¡ 3-

La inversa ,{ -r dc una matriz cuadrad¿ / s€ de6ne por la relación AA | : I, siendo r la matriz unidadcuyos elementos de Ia diagonal principal son unos y los restantes coros.

Haflar ra inversa ,4 -r de la matriz / ¡ -z\ | t -t(") / = (_; -;) . ",r = ti _l

En ambos casos, ¿s€ verif ica que A-tA: I?

; )

2lo

ll3. Demostrar que la matriz ,l

ANALISIS TENSORIAL

r -2\-Z g I carccr de inversa.

-3 4lfrll4. Demotra¡ que (,{r)-r : BrA-t, siendo,4 y -B dos matrices cuadradas ¡egulares.

ll5. Exprcsar cn ibrma malricial las ecuaciones de uansformación de un (¿) v€ctor contravarianto, (ó)covarianle de segundo orden, (c) t€nsor mixto de segundo orden

116. Determinar los valores de la const¿nte ltalo]ueAX: lX. siendo ,l =

quiera. Estos valores se llg;man valores propiot o autovaloret de la matriz ,{.

ll?. La €cuación F(¡) :0 que rcsulta en el problema anterior para hallar los valores propios de unagollama ecuación caruclerítticq de A, DeÍ\ostrar que F(/) : 0, siendo F(,{) la matdz obtonida sustituyenÓpo¡ ,{ en la ecuación caracteristica, el término constante c por la riatriz c¿ y O es la matriz nula (todoselcmcntos son c€ros). El r€sultado es un caso particular &l ¡eo¡ema de I{amiltorr-Coyley, q|ue dic€ quematriz es solt¡ción de su propia ecuación c¿racterlstica.

llt. Demostrar qtrc (AB>r : BrAr.

ll9. Dotcrminar el tcnsor rnétrico o fundamcntal y su conjugado en coordenadas: (a) c¡llndricasy (ó) cilínddcas ellpticas.

120. Demostrar que en toda transformación afin ¡' : 4 xD + Ir', siendo d, y ú,'constantes tales que 4 4 =las compon€ntes covariantes y contravariantes de un tensor coinciden- En el caso panicular de que la tsformación s€a de un sistema de coordenadas r€ctangular a otro rectangular, los tonsor€s se llamancarlesiar@s.

l2l, Hallar g y gr cor$pondientes al elem€nto de linea ds2 = 3@x!¡2 + 2(¿r2f + 4@f)2 - I ¿zr

ln. Si A, : gi¡,{r, dcmost¡a¡ qtre 4 : gkAL, y r€cíprocamente.

123. Expresar las relaciones €ntr€ los tensores asociados

@) An y Aja, (b) A!¿' y tt¡a¡, @) A'oi y At!,t.

1rA. Demostrar qtre (a', A;q B?rs = tbe lfi", (ü a!,qrB;l . erq..at = nio' tlr. De aquí deducir

sultado general de que un s€udofndice, o lndice umbral, en un término puede bajarse de su posicióny elevarse de su posición jnferior sin que cambie cl valor del término.

125. Demostrar que si ,{?o. : Bfo C,, entonces A¡a, : Bea C, f A'ft : 3;z 6r. De aquí deducir el -relqu€ un lndice libre en una ecuación tensorial s€ puede elevar o descender sin que se altere drcha

12ó. D€mostrar que los tcnso¡cs g'r., gD. ! ó! son asociados.

r27. D€n'ostrar ot Ert# = ,rs#, $\{# = /t#

j - i ) vxunarnatr iz

raI{

r{t

r(

128. Si Ae es un campo vectorial, hallar el vector unitario correspondientc.

rl

ANALISIS TENSORIAL 2l l

129. Demostrar que los cosenos de los ángulos que un vector unita o Ul€n un espacio tridimensional fornra con

tas líneas coordenadas son ut

. ue

, u"

rt- rt- {t* (8-2t7)

130. Exprcsar los símbolos de christoffe¡ de primera clase en coordenadas (a) ¡ectangulares, (ó) cilíndricas y(c) esféricas.

l3l. Expresar los símbolos de Christoff€l de primera y segunda ctase en coordenadas (a) cilíndricas parabólicas,(á) elípticas.

132.

133.

134.

135.

Deducir las ecuaciones diferenciales de las lineas geodésicas en coordenadas (a) cilíndricas, (ó) esféricas.

Demostrar qu€ las lfneas geodésicas en el plano son rectas.

Demostra¡ que las lineas geodésicas en la esfera son arcos de círculo máximo.

Escribir los símbolos de Christoffel de segunda clase para la forma métnca.

ds': (dxt), + t(x,), - (x)!l(dr1,

y las ecuaciones corrgspondientes de las líneas geodésicas.

136. Escribir la de¡ivada cova¡iante respecto de ¡¿ de cada uno de los siguientes tensores.. th . ih i ik t ih(d\ Aí , (b) Aí . a\ A;h, G\, t ; " , @ Aí;n.

137. Haflar la derivada covariante d, r i i

. (o\ t -hA-, (b)A'Bh, (c)D;,{ j resp€cto de ¡a.

Mediante fa ¡elación A¡ : gtk Ak dedücir la derivada covariante de ,4i a parti¡ de la derivada covariante de ,4e.

Demostra¡ Cue fD,*- ó,09, siendo é un escala¡ o invariante, es decir, el o¡den de la derivación cova_riante de un escalar no influye en el resultado.

Demostrar q\e iü y (r¿t son tensores covariante y contravariante respectlva¡nente.

Expresar la divcrg€ncia de un vector l' en función de sus componentes físicas en coo¡de¡adas (a) cilíndricasparabólicas, (ó) paraboloidates.

Hallar las componentes fisicas de grad é en coordenadas (a) cilíndricas parabólicas, (ó) cilíndricas elípticas.

Expresar Vl(D en coorde¡adas cilíndricas Darabólicas.

Mediante la notación tensorial, demostrar que (a) div ¡ot.{' - 0, (á) rot gradé = 0.

Hallar las derivadas absolutas o intrinse{as de los siguientes campos tensoriales, en el caso de que las funcio-nes de , sean derivables:

;h \1o) Ap, (b\ ,LJ', 1"¡ ,1, sh, t¿l ó AJh siendo d un escalal o invariante.

138.

t39.

l4tt.

r4l,

142,

r43.

r+4.

r45.

146. Hallar la derivada absoluta d. qo) t¡nA , $, 6lh Aj , n, ,rrt!, 4 .

t47. Demostrar que ft Cto n, nol = , rfo n,

* .

2t2 ANALISIS TENSORIAL

1¡|8. Detnostrar que si no actúa fuerza ext€rlor alguna sobre una partícula de masa constante que dc desplazapor una línea geodésica s€ verifica g,f, ' ,

149. Demostrar que la suma y diferencia de dos tensores rclativos del mismo peso y tipo es otro tensor relativode las mismas ca¡acterlstic¿s.

1f), Si lfv es un tensor relativo d€ peso 'er,

demostrar que g-uh llE es un tensor absoluto.

r51. Si ,l(p,q) f = Cj', en donde ̂{, es un t€nsor relativo cualquiera de poso uly C; un tensor r€lativo de peso

r"r, demostrar que A (p, q) 6 u tensor relativo de peso ¡'¡ - ur. Est€ €s un ejemplo de la ley del cocientede los tensores relativos.

152. Demostrar que la magnitud Go,l) del problema resuelto 3l es un tensor relativo de p€so dos,

153. Hallar las componentes físicas en coordenad¿s esféricas de la (a) velocidad y (ó) aceleración de una par-tícula móvil.

154. Scan ,4' y B' dos vector€s en u¡r €spacio tridLtrensional. Demostrar que si t y p son const¿ntcs ,Cr = |" Ar + pBros otto vcctor del plano que Íorman At y Y. ¿Cuál es Ia int€rpr€tación en un espacio de M dimensiones?

155. Demostra¡ eue ,tl . ,ll $. ",

un vector noínal a la superñcie C(¡r, x3, x) : constante. Hallar el

vactor unitario correspondiento.

156. Iá €cuación de continuidad de un fluido es !. ¡s.r¡ * P = O "n

donde oesla d€nsidad y v la vclocidad-dt

Expresar dicha €cuación en forma tensorial.

157. Expresa¡ la ecuación de continuidad en coordenadas (a) cilfndricas, y (ó) esféricas.

lst. Expresar el teorsm¿ del rotacional ds Stokes en forma tensorial.

159. Dcmostrar que el tensor covariante de cu¡vatura -Roo,, es hernisimétrico en los lndicec (a) p y .1, (b') r y s,(c)qYs.

lflr. Dcmostrar que nrqr.s . &srC,

161. Demostrar quc @) R¡qrs * Rr"q, * R¡sq = 0,(b'', Rlqrc + f,rgrs + XT59g + R¿57g . 0.

162. Demostrar que la dcrivación covariante en un espacio de Euclid€s es con¡¡rutativa. Como consecuencia.probar qu¿ el tcnsor do Rirm¿nn-Christoffel y el tensor de curvatura en un espacio de Euclides son nulos-

^ ,O

163. Sea fz. !f cl vcctor tangentc a la curva C de ecuación ¡' : ¡r(s), an donde r es la longitud d€ arco.

(a) Demostrar +te srOT, f4-r (ó) Prob¿r qrre grqT' #' o

" en consccuencia, iÉ " * #* -

\€ctor unitario nornral a C para una /r dada. (c) Proba¡ quc * es ortogonal a 1V..dJ

164. Con la notación del problema anterior, dcmostrar que:

-9q ótg á r¡rq o@t%qr Iv '=0, (ü) t ¡of T=-< o qo(t9f f+xr ' )=0.Por consiguientc, probar quo 8t " * ,1"{ + xf¡es un vector unitario para un ¡ dado ortogonal a fr

ANALISIS TENSORIAL

Deducir las fórmulas de F¡enet- Serret

r,r. i o Á¡tl b -b 68l +)

||- = .¡u', K = rar-xr" 3? = -rN'

. (o l aurhzs <t l Í in, <" ' t 4sh O¡g29 sor,N.=4 ( . , Bl : r ,N=2

at $tG,e'> ' S<G e't * SrG e"t

Ot Ab4q + É1 a!c" + tgaf,c, + tnaf,c.

siendo Ip, N, y 8, los vectores unitarios tangente, normal y binormat a C, ¡espectivamente, y ,t y r la curva-:ura y torsión de C.

Demostrar que ¿s2 = &@z4f - ¿rb ¿rh 0Y=3) es un €scalar o invariante en la transfo¡mación lineal (afín)

7t =ypL-ozJ, *=12, f =*, 7a = yqxa - l zL\

siendo:,,É,cy y constantes, l:r lcy t:(-f l?)'/ ' . Esta es la transfor¡nación de Lorentz de la rela-tividad especial. Físicamente, un observador situado en el origen del sistema xt veria un suceso que ocu-lfe en la posición ¡r, xr,.r¡ en el instante ¡{, mientras que un obs€rvador en el origen del sistema tl veríaef mismo suc¡so en la posición ,r, Í2, tz en el instante t'. Se supooe que (/) los dos sistemas de referenciatienen los ejes xr y tr coincidentes, (2) los semiejes positivos x¡ y x¡ paralelos, respectivamente, a los 5, y .¿',(t) el sistema t¡ se desplaza con velocidad v respecto del sistema xt, y (4) la velocidad de la luzc os constante,

Demostra¡ que para un observador fijo en el sistsrna ¡¡ (tr), una barra fija en el sistema t¡ (x¡) paralela al ejett (.rl) y de longitud ¿ en esta referencia, aparece reducida la loDgitud ¿ v'¡ - pl Este hecho se denominacontracción de Lorent z-F¡tzgeruld.

DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS

.. a¡J a,t . a/vt"*6r¿z

df d"tLññ

éx2

a' i 'dArx

. Elipse para N: 2, elipsoide para ¡f: 3, hiperelipsoide para N: 4.

t a¡1x1 + opr2 1 b1

I orrrt + ap# = b2

@tlq = *{,##^1i

(a) B(j, k, n) es un tensor de tercer orden, dos veces covariante y una vez contravarianle. Puede escribirseen la forma Eii. (b) C(j, k, n, n) no €s un tensor.

1é . LO2A

(a) 2e cosz ó - z cos { + d sen, ó cos¡ d,

- 2€, sen ó cos d + ez sen d + p. sen ó coss d,

pz sen $.

crn

t¡rdq'= *,# _y,#4', #^-

214 ANALISTS TENSoRIAL

(b) 2t s€nr0 coa2 ó - r s€n0 co8á cGó + Ésenad sen2 { cos2t' + É senO cos2d sen@,

2{wn0 e¡,e 0 coa2 $ - f coaz 0 cod$ + y'sen3á cos? sen2 ó coc2ó- ¡3 sen,0 cosÉ sen{,

- 2lsen'0 scnd cogd + f ggn? coadsen@ + y'se¡a9 sen{ cos3@

88. t?vz + g,,¡ gs - vf z, n2 + ut¡ - tP 89. (o) sls, g) AF, (c\ Aj, tal r

,o?. (o) s= ( ; : ) ,= (- : - : ) , "= (T T), .= ( : : _:)

",'= (-l I il ' (-l r -s) '= (-i'i -*) '= (-i-li ri),0, ,., (;li l:) ", (_j j:: 1; ) '. ( :i ; -; )

94. No es un tensor.

100. (d) 10, (ü) 2r, (c) N(N+r)/z

95. Orden 3 y ord€n I rcspectivamente. 98. Sí.

r0r. /V(/V- 1) (/V- 2)/6

,,,. ", ( ,1",),1 ", t{i {: i) si

fiil()€rilt, ::)€rilÉrilü ':^)€*t

,*.,(":-",,:"i) ff'+:)

t=- l t t=3, z=2

(i) (#"(', :ilGi^il

u6. ¡. = 4, -1

ANALISIS TENSORIAL 2t5

" , (

dlsenhr4 + sen,r )

0

0

0

o1senh,4 + sen'y )

0 ) ("'T*-0

I

¿zl Senhra + Senlr)

0 ; )

r, = ('(,"@', a?q = ¿i a'e t l n'n'= li r,,

^jor, n, +;'= ,¡¡ro,{,

^!.r,lb

-L o -!__y'A? A^ /2. tl ¡q. -Pq

Todos ellos son cero.lzz, t ) -=-p, _ l tz,z)=lzt ,z)=p. Todos tos demás son nutos.122,1J =-¡ , [ ¡ ¡ , tJ =-r sen'o, [gf ,Z] . - ¡2 sen0coa9[zt ,z) = [n,z] = ' , [ ¡ r , ¡ ]=[13,s]=rsen'a132,3J = ¡23,3.1 = 12 s€no cos d, Todos los demás son nulos.

[ tr , t ] = , , lzz,zl = , , [rr ,z] = -, , Lzz,t) = -u,lrz,rJ = [zr. l ] = , , [zt,z) . [ tz,z] - u.

{,1}= *m {,1} ={;} =##rk,{í }

= {¿}' #i#g; rodosrosdemássonnuros.

{,i)

(o)

(ó)(c)

a, #- o,4rÍ = o.

", * -.¡f¡2 - rsen'o ,ff = o

fó, . 2 db dóde p ¿s ¿s. -0. '#=o

!9ds

¿óds

,2dt8e

tb¿t2

- seno 6osB1qÉ¡ . 6

,2.*o(9 = oats dt

ANAf,ISIS TENSORIAL

{ ; }=, ' , {¿} =

{ ; } =

#a \ : , \ =

"o*rodos,osdemássonrS. *'fr = o, '# . n*r"f f , *f *r,#r = ooa.:o

dt!"L'I

-i-?-

- lRLT---n.-

^ lP,L

-:;-

. - ihdA:

L$f-¡--

rln. @) -J-lfiora;a o) * *<tA-c e,t) - !

*, ,*ialg*,,ldtd4l * j oiuFu2+,? ^,rl - I*

t tz 'o,#f* . #X",* f" ,c)-+- - ,S", , ,$",r * f+

tiendo en, eo y ez los vectores unitarios en ios sentidos de auttrcnto de a, y, y z,

2t6

135.

rz7. tal s., tlo, ol nio ,o * ,ti Bn,q, n, s! o¡,,

ih136. (o) /:

L,q

íh(b't A.

ú4,q

I(c) A: -4 Ln,q

thL<¿¡ 4n

ih(e) A:Lrr\q

- {¿},,i ' - {1"},;' - {;"},i- {; }d: - l:,1^'i". {1:},;: . {i}, i;- {;,1 1"- {,;},í,," - {;} 4^. u"l f*^- {;}'i-' . {i}'Y' ' {;"} o!-" . {i"l ol"

- {;} ̂ k- l;l^iL- {;},1j.. {J"}qj". {;"}

¡"ó143. :--:. +

?,u2a?O7v2

+ (¿2+ ür-Q = O

rS. f",

^ih<¡l "? =

ót

l r(c) +(Ai B")

ot"

*. U"lu'# . 1:"1t"#= #ru r +*= (# l:,1*#)r . ̂ ' (#.{j"}u#)

ANALISIS TENSORIAL

t{:

dzQdt

@) i, r0, r sen| Sqr'¡i -rf -, &n'o ó2, | fre6 - ¡ senocosd ,i,, ;h fi<,onn"e ó>

dor ;l

= O siendot,' las componentes contravariantes de la velocidad.dt

<o$<a,t t* f io*t r$ra,"r -*- # =.

or $o,1 *

$oh *

$r',"1 + o1t a o2cú,0¡ +

siendó r', I'y y3 las componentss contravariantes de la velocidad.

f -h f r

l+# * = - lJ ,'q'aq,nz, ds siendo

f et vector unitario ta¡senr,e a la curva cenada c

b"y y' €l vector unita¡io normal extorior a la superficie S que tiene cofi¡o contomo C.

- {;,1^t #) .

)

= '* - { ; }*

#. \;"1^;#)

7t

dt

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6lpcl

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s' liqt

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t;.{h145

{ :l tq.

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^( nn,

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iF,1d,t

t,L*¿t

t_.I

1-1,

,(#

(#(+,* (

tjp

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st(¿) : ( A: \

ótE

146. to) s.- +- =-JP 0r

;ü;(D) o. =-

BóT

)^/t"\ t¡¿ ór t'

b

rm. ¿lofr ,o'q 4óx, ?¿ dr'

áo

óa

A derechas, sistgf¡ra, 3Absoluta, dorivada, 174Absoluto, movimiento, 53

tensor, 175Aceleración, a lo largo dc una

curva en el espacio, 35, 39, 40,50, 5ó

c€ntrípeta, 43, 50, 5lde coriolis, 53de una partícula, 38, 42, 43, 50,

52, 84,2n3, m5€n coord€nadas cilfndricas, 143,

204en coordenad¿s curvilíneas, 204,

205en coordenadas esféricas, 160,

212en coordenadas polares, 56r€lativa a observadores fijo y

móvi l ,52,53Achatadas, coo¡denadas esféricas,

140, 145, 160, 16lAdición, de matric€s, 170

de tensores, 169Adjunto, l7l, 187, 188Afin, transformación, 59, 2lO, 2t3Alah€ada, cúbica, 55Alarg. das, coordenadas esféricas,

| -r9, l@, 16lAlgebra, de matrices, 170

de vectorcs, l, 2Alternante, símbolo y tensor, 173,

r74,2tlAngular, velocid¿4 26, 43, 52Angulo, de dos superficies, 63

entre dos vectores, 19, 172, 190sólido, 124, 125

Area, de la elipse, I 12d€ un triángulo, 24, 25de una superficie, 104, 105, 162del paralelogramo, 17, 24forma vcptorial, 25, E3limitada por una curva cerrada,

l l lAreolar, velocidad, 85, 86A¡ociados, tensores, l7l, l9O, l9l,

210Asociativa, propiedad, 2, 5, 17Autovalores,2l0

Base, v€ctorgs en la, 7, 8, 136unitarios, 136

Binormal, 38, 45,47,48

Indice

Bipolar, coordenadas, l¿to, 160 'Brahe, Tycho, 86

Cálculo de variacion$, 173Calo\ 126, 127

*!acíórr, 126, 127, t6len coordonadas cillndricas

elipticas, 155en coordenadas esféricas, 16l

especlfico, 126flujo, régimen pormanente, 127

Campo, 3, 12, 13, 168cons€rvador, 73, 83, $, 91, 93de tipo fuente, 13de tipo sumidrro, 13ir¡otacional, 72, 73. 90rotacional, 72solenoidal, 67, '1, l2O, 126tensorial, 168

Caracterlstica, ecu ción, 210Carga, densidad, 126Cartesianos, tensores, 210C.€ntral, fuerza, 56, 85Centripota, aceleración, 43, 50, 53C€ntro d€ masas, 15Cero v6ctor, 2Cicloide, 132Cilindricas, coordenad¿s, 137, 138,

t4l, t42, lñ, 16ldivergencia, 153, 200, 201ecuaciún de continuidad, 212elemento de línea, 143elemento de volumen, 1,14,

t45gradiente, 153, 154Jacobiano, l6llaplaciana, 153, 154, 201lineas g€odésicas, 2l Irotacional, 153, 154slmbolos de Chris.cff€1, 195,

2tltensor métrico, 187tenso¡ métrico conjugado, 189velocidad y ace¡eración, 143,

2tu4,205Cillndricas elípticas, coordenadas,

139, ls5, 160, l6 l ,2 l lCincmática,38Cinética, energía, 94, 204Cinétaco, momento, 50, 51, 56Circulación, 82, l3lCircuncentro,33Cociente, ley, 169, 184

Colineales, véctores, 8, 9no-,7,8

Columna, matriz o vector, 169Componenles, contravariantes,

13ó, 15ó, 157, 167, 168covariantcs, 136de un tensor, 157, 167, 168de una diada, 73

Componentes vectoriales, 3, 7, &rectangularcs, 3

Conductividad térmica, 126Conformes, matrices, l7OCónica s€cción, 87Conjugado, tonsor métrico, l7l.

188, 189Conjugados, tensores, l7lConmutativa, p¡opiedad, 2, 5, 16

l7Consorvacióo de la encrgía, 94Conservador, campo, 73, 83, 90-

91, 93condición necesaria y suF

cíente para, 90, 9lmovimiento de una partícul¡

en,93,94Continuidad, 36, 37

ecuación de, 6'l, 126, 212Contr¿cción, 169, l8l, 182Contravariante, tensor, d9 prün r

orden, 157, 167de segundo, y superior, o¡der¡.

t68Contravariants, vector, 136, 156.

r5'1, t67Contra a¡iantes, componente!

136, 156, 157, 167, 168de un tensor, 157, 167, 168de un vector, 136, 156, lt-

Coo¡denadas curvilíneas, 135-165Coordenadas, líneas, 135Coordenadas, superfi cies, I 35Coordenadas, transformación, 5&

59, 76, 135, 166Coplanarios, vectores, 3

condiclón necesaria y suFciente para, 27

no-, 7, 8Coriolis, aceleración de, 53Corrient€, densidad de, 126Coseno, teorema del, 20, 33Cosenos, dircctores, I l, 58Covariante, derivada, 173, | 9l-'199,2l l

218

I

L

Covariatte, tensor de curvatu¡a,207

Cova¡iante, tensor de prific¡ or-den, 158

Covariante, vector, 136, 157, l5E,t67

Covariantes, componentes, 136,157, 158, 167

de un tensor, 167, 168de un vector, 136, 157, 158,

t67Cuad¡ática, forma fundarnental,

t48Cuántica, mecánica, l6lCúbica, alabeada, 55Curyatu¡a, 38, 45, 47, ll3

radio de, 38, 45,46, 50Riemann-Christoffel, 206tenso. de, 207

Curvas en el espacio, 35acele¡ación, 35, 39, 40, 50, 56bino¡mal, 38, 45, 47, 48culvatu¡a, 38,45, 47, I 13elemento de l inea, 37. 56, l3ó,

148normal principal, 38, +5, 46,

50radio de torsió¡, 38, 45tangente, 37, 38, 40, 41,48, 50

Curvilineas, coordenadas, I 35-l 65acef eración, 143, 2O4, 2O5, 212definición, 135elemento de linea, 56, I36, 148elemonto de volumen, 136,

137, 159generales, r4S, I 56-l 59ortogonales, 49, 135superficiales, 48, 49, 56, 155

Christoffel, simbolos, 172, 192-195,211

leyes de transformación, l'12,193, t94

Delta, de Kronecker, t68, t?9,r80

Densidad, I26de carga, 126de co¡rierite, 126tenso¡ial, 175, 203

I)ependencia l ineal, 10, l5Derivabi l idad,36,37Derivable, campo escalar, 57

Campo vectorial, 57Derivación de vecrores, 35-56

ordinaria, 35, 36, 39-43parcial, 36,3'1, 44, 45

Derivada, absoluta o intr¡ 'nsica,174,202,2t l

covariante, 113, 197-199, 2Ilsegún una dire.cción, 57, 6l-63

Derivada de un v€ctor, 35-56fórmulas,36,3?,40,41orden de la, 37, 69ordinar ia,35,36parcial, 36, 37

INDTCE

Desca¡tes, folio de, 132Determinante, adjunto en un, I?1,

t87, 188de una matriz, I70, 209derivada de un, 4lJacobiano, 79, t33, 146, t4'7,

t48, 159, l6t , 162, 175,202,203

producto v€ctorial en forma de,t7. 23

rotacional expresadolpor un, 5?,58

triple producto escala¡ en formad€, 15?

Dextrosum, sistema, 3Diada, 73Diádica,73-75,81Diagonal de una matriz cuadrada,

169Diferencia, de matrices, 170

de rensores, 169de vectores, 2

Diferencial, 37exacta, 83, 93, I I Icondición necesaria y sufici€nte,

93Diferencial, geometrla, 37, 38, 45-

50, 54-56, 166, 2t2-2t3Dif€renciales, ecuacion€s, 54, 104Difusividad, 127Dinámica, 38

ecuaciones de Lagrange, 196,205

ley de Newton, 38, 50, 53Direccional, derivada, 57, 6l-63Directores, cos€nos, I l, 58Distancia ent¡e dos puntos, I IDistributiva, propiedad, 2

de las formas diádicas, 74d€ matrices, 170producto escala¡, 16, 18p¡oducto vectorial, 16, 22, 23

Divergencia, 57, 64.6?del gradiente, 58, 64del rotacional, 58, 69, 70, 2l Ien coordenadas cilindricas, 153,

2ffi,201en coo¡denadas cilindricas para-

bólicas, l6len coordenadas cu¡vil ineas, 137,

150en coordenadas esféricas, l6l,

200,201forma tensorial, l'1 4, 20O, 201invarianza, 8lsignificado físico, 66, 6?, l l9,

120teorema de 6auss, 106, I10, I l l ,

t l5-127demostración, I17, l l8enunciado, l l5forma rectangular, I l6forma tensorial, 206srgnrncaoo nsrco, I to, ¡ l /teorema de Creen como caso

pa¡t icular, 106, I I0, l l l

219

Einstein, teoria de la relatividad,148,201,2t3

Electromagnética, teotía, 54, j2,206

Elemento, de línea, l?0, 187-189de volumen, 136, l l7, 159

Elemento de líoea, 37, 56,|]6, 148en coordenadas curvilíneas, 56,

148en coordenadas curvilíneas orto-

gonales, 136sobre u¡ra superficie, 56

Elementos de una matriz, 169Elipse, 63, 139

^rea, 112

ó¡bita de los planetas, 8ó, 87Elipsoidal, coordenadas, 140, 16OEnergia,94

cinética,94,204conservación de, 94potencial,94

Equil ibranre,6Escala, facto¡es, 135Escalar, l, 4, 168

campo, 2, 12, 168función de posición, 3función de punto, 3potencial, ?3, 81. 83, 91, 92p.oducto, 16, l8-21, 182t¡iples productos, 17, 26-31variable,35

Escalar, producto, I6. l8-21propiedad conmutativa, 16, l8propiedad distriburiva. 16. l8

Esfé.icas, coordenadas, 137, 138,14r, r47, 160, ló l

co¡rtponentes covariantes, I 77,178

divergencia, 16l, 2O0, 201ecuación de continuidad, 212ecuación de transmisión de

calor, I6lelemgnto de volumen, 144,

145gradiente, ¡61Jacobiano, I6llaplaciana, 154, 201lineas geodésicas, 2l I¡otacional, 154símbolos de Chrisroffel, 195,

2t ltensor métrico, 187tensor métrico conjugado, 189velócidad y aceleración, 160,

212Esferoidales, coordenadas, achata-

das, I40, 145, ló0, 161alargadas, 139, 160, 16l

Espacio. de Euclides, I70de N dimensiones, 166d€ Riemann, l7l

Especial, teoria de Ia relatividad,213

Euclideo, espacio, 170de N dimensiones, l7l

iule¡, ecuaciones, 196

220

Ercentric¡d¡d, t7Erterior, norm¡1, 49, 83E¡dcma, multiplicáción, 169Extrctml. ¡96Extrento dc un vccior, | , 2, 5, ll

Füo y nóvil, cistcm¿s de referen-ci¿.5!-53

Filq m¿triz o v€ctor, 169Ffsicas, comDoncnt€s, 172. Xn,

mL m5, ztlFluido, moümi€nto, 6, €r, 72,

116, ll7, 125, 126incompresiblc, 69, 126

Fluidos, mecánica, 82Flujo, 83, l2OForma cua'tlrática fundanental.

l,l8F¡enet-S€rr€t, fómulas, 38, 45,

213Frotrlera, 113Fuente, 13, 67, 120

campo de tipo, 13Fuerza, central, 56, 85

de Coriolis, 53de l¿ gravitación univcrsal, 86de repulsión, 85r¡om€nto dc una, 25,26, SOsobre una partlcula, 203, Z)5

Fucrzas. 53rcsultante, I I

Fundan¡pnt¡I, tcNrso¡, ¡71

Gauss, ley do, 134Gauss, tcorcma do la divergencia,

106, 110, 111, 115-12?demostración, I17, llEonunciado. l15forma f€ct¿ngular, l 16forma tonsorial, 206sigBifcado fisico, 116, ll7teorerns de Gr€en como caso

p¿rticular, 106, tlo, lllGoodésicas, llneas, 172, 173, 196,

lgt,2llCeomet¡la difer€ncial, 31, 38, 45-

so, 5+56, t6Í, 2t2-2t3Gndiente, 57, 58, 5943, 177

de un vactor, 73en coordcnadas cilfndricas, t53,

154en coorden¿das cillndricas para-

ból icas, 161,2l len coordenadas curvilfneas orto-

gonales, 137, 148, 149En coorde¡adas ssféricas. 16liofma integral, 122, 123iorma tensorial, 174, 20Oilrvarianza, ?7

Cráfica. suma de v€ctores. 4repr€s€ntación de un vector, 4

Gravitación, ley universal de New-ton.86

INDICE

Grccn, prinera idenüdad o Gorr-

''na,,lO7,l2l$li¡nda idootidad o tcorcÍ¡s si-nrétrico, 107. 121

tcorema, en el espacio, 106, I10,lll, tl5-t27

tco¡cma en el plano, ¡06, 108-l t5

como caso particular d€l t. deGauss, 106, ll0 lll

como caso particular dcl t. deStokes, 106, I l0

para regiones m{¡lüplcmonteconexas. I l2-l14

para ¡€giones simplflrontoconexas, 108-l l0

Hamilton, principio, 205H¿milton4¿yl€y, teorcm4 210Hélice ci¡Eular, 45Hipérboh, 87HipcDlano, l?6Hipenupcrficie, 176Hipocicloide, I 32

Igualdad, de. m¿tric€s, 170dc voctorcs, I

Impctu, 38Indcpcndcncia, dct camino dc inte-

gración, E3" 89, 90, lll, ll4t29,130

dcl origen, 9Independencia line¿l, 10, l5Indic¡, libre, 167

umbral, 167Inc¡cial, sist€ma, 53Intogración, de llnoa, &!, 87-9,

ldc supcrñcie, 83, 9+99do vcctor€s, 82-105dG volu¡rren, 83, 99101doñnida- 82indeñnida. 82ordinaria, 82teo¡€rnas, 107, l2O, l2l, 124,

125, 130Integal, fomi¿ del opcrador nabla,

to?, 123lnterna, multiplicación, 169, lE2Interno, producto, 169, 182Intrlns€ca, &rivada, 174, fr2,2llInvariarte, 59, 168, 190Invarianá, 58, 59, 76, 77, 8lInversa de una matriz. 170lrrotacional, campo, 72, 73, 90

Jacobiano, 79, 133, 146, 147, 148,159, t6r, 162, t7 5, 202, m3

Kepler, leyes, 86,87, l0zKronecker, delta de, l6E, l?9, 180

símbolo, 77, 208

Lagra¡rgc, ocuacione, 196, Z)5LaSrangiana, 205L¿placc, ccuación, 65, 127, l3¡l

G¡¡ coordanadas cilíndricas I¡sbólicas, 154, 155

tr¿nsformada, de, 162Laplaciana, oper¿dor (V), 58,

81, 2@on coordenad¿s

t53, 154, 201Gn coord€nadas cilínd¡icas

rabólicas, 154, t55, 2llon coordonads

137, !50, lston coordenadas €sféricas,

201fornra tcnso¡ial, 174 200invarianzs, 8 ¡

I-emnisca. 132I¡yes dcl álgpbra v€cto¡ial, ¿Libre, lndicc, 167Lli€a, eldrcnto dc, 170, 187-L¡nea, inÉgra¡, 82, 87-%, lll

dlculo, 87-E9, lllcirculac¡ón, 82, l3lindopcndicnte del c¿mino, I

89, 90, lll, tr4, r29, tntcoronra do Gr€e! y

do, I 12rabqio, E2, 88

Lineal, fuente, 13sumidcro, 13

Linealmenté dep€ndientcs,res, 10, 15

Lorentz, transformación, 213Lorcntz . Fitzgorald,

2t3Luz, velocidad, 81

Matricos, 169, l?0, 185, t86confomres, 170igualdad, 170operaciones, I 70suma, l?0

IÑlatriz,73, 169álgebra, 170columna, 169cu¿drada, 1ó9det€rminante de una, 170,diagonal principal, 169cle¡n€ntos, ló9fila, 169inv€rsa, 170, 209, 210nula. 169singular, 170traspuesta, 170, 210

Maxwell, ecuaciones, ?2, 8len fornu tensorial. 206

Mecánica, 38, 56de ñuidos, 82

Métrico, tcnsor, 170, 17¡,Métdcos, co€ñcaentes, 148Mixto, tcnsor, 167, 168Módulo de un vector, IMoebius, banda, 99

t

I>

a(

L

D

I

ta

a

,

r'b

cinético, 50, 51, 56Momento do una fuerza,25,26,50

triedro, 38y fijo, sistema, 5l-53

Movimiento, de plan€tas, 85-87d€ un fluido, 66, 67, 72,116,ll7,

125, t26Múltipleftrnte conexa, región, I 10,

2-tt4Multiplicación, de determinantes,

159de natrices, t7Ode tensores, 169de un v€ctor por ün esc¿lar, 2escalar, 16, 18-21, 182extema, 169, l8linterna, 169, 182Yectorial, 16, 17, 22-28

Nab¡a (v), 57, 58fó¡mulas en que aparece, 58invarianza de, 107, 123opcrador en forma integral, 107,

t23Newton, tey de, 38, 50, 53

de la gravitación universal, 86en forma tensorial. 203

Normal, a una superfrci€, 49, 50,56.6r

exterior o positiva, 49, 83plano, 38, 48principal, 38, 45, 47, 48, 50

Nula, nratriz, ló9Nulo, vector, 2

Ondas, ecuación, 72Operaciones con tensores, 1ó9.

179-t 84Operador, dorivado respecto del

ti€mpo en sisternas ñjo y mó-vi l ,51,52

laplaciana, 58, 64, 81, 2mnabla, 57

Orden, de un tensor. 167d€ una matriz, 169

Oriontablc, superñci€, 99Origen, de un vector, I

indcpendencia de una ecuaciónveatorial, respecto del, 9

Ortocentro,33Ortogonal, transformación, 59Ortogonales, coordenadas, bipola-

res, 140, 160cilíndricas, 137, l3Ecilíndric¿s elípticas, 139, 155,

t60, t6 l .2 l lcilíndric¿s parabólicas, I 38curvilíneas, 49, 135, 137-141,

l9 lelipsoidales, l4O, 160€sféricas, 137, 138esferoidales achatadas, l,l{),

145, l@, 16lesferoidales alargadas, 139,

t@, l6t,2ll

INDICE

O¡togonales, coordGnadas,paraboloidales, 139, 160, 161,

toroidales, l4lOsculador, plano, 38, 48

Pa¡, 50, 5lPar'ábola- 87. t38Parabólicas. coordenadas. cilindri

css, 138, 1¡14, 154, 155, 160,l6r . 2 l I

div€rgencia, 16lelemento dc lfn€a, l,f4elem€nto d€ volurn¿n. 145gradiente, l6l,211Jacobiano. l6llaplaciana, 154, 155, 2llrotacional, 16lSchróedinger, ecuación, 16lslmbolo d€ Christoffel, 2l I

Paraboloidales, coordenadas, 139,l@, l6t , 2 l l

Paralelogramo, área, 17, 24ley, suma de vector€s, 2, 4

Paramétricas. ecuaciones. de unacurva, 39, 40

d€ una recta, 12de una sup€rñcie, 48, 49

Periodo de un planeta, 102Permanentc, campo escalar, 3Peso de un tenso'r. 175Pitágoras, teoreria, l0Planetas, rnovimiento, 85-87Plano, distancia al orig€n, 2l

€cuación, 15, 21, 28normal, 38, 46osculador, 38, 48rcctiñcante, 28, 48tangente, 49, 50, 6lvector perp€ndicular a un, 28vectorcs cn cl, 3

Poisson. ccuación. 134Polar. coordenadas. 98Posición, vector, 3Positiva, normal, E3Positivo, dir€c{ión y s€ntido, 89,

106, I l3Potencial, energla, 94

escalar, 73, 81, 83, 91, 92v€ctor. 8l

hincipal, diagonal, 169Principal, normal, 38, 45, 47, 48,

50Producto, de det€rminanlcs, 159

de ¡natricls, 170de tensores. 169de un vector por un cscalar, 2escalar, 16, 18-21, 182€xterno, 169, l8linterno, 169, 182triple escalar, l7ve.toríal, 16, 17, 22-28

P¡opio, vcctor, 2Propios, valores, 210Proyección, de superficics, 95, 96

de un vector, 18, 20

221

Proyoctil, 102Punto, función escala¡ y vectorial, 3

Radio, de curvatura, 38, 45, 46, 50de torsión, 38, 45

R€fprocos, conjuntos o sistcmasdevectores, 17, 30, 31, 34, 136,t1'l

tensores, l7lRecta, ecuación, 9, 12

form¡ paranétrica, 12forma simétrica, 9

Rectangularcs, sistema de coorde-nadas, 2

Yecto¡es componenles, 3Rectiñc¿nte, plano, 38, ,ERégimen permanente, flujo calorl

ñco, 127cañpo sscalaf, 3campo vectorial, 3

Región, múltiplen€nte conexa,I t0, I l2-l t4

simplement€ conexa, 110, I13,l14

Relativa, ac€leración, 53velocidad, 52

Relatiüdad, tr.oria, 148, 2O7, 213Refativo, tenso¡, 175, 2O2, 2O-1

2t2Resultante de v€ctores, 2, 4, 5, L.

l0Riemann, espacio de, l7l, 172

llneas geodésicas, 172, 196,197

Rienrann-Christoff€I, te.nsor, 207,2t2

Rlgido, sólido, movimiento, 59velocidad, 26, 33

Rotación, de ejes, 58, 76, 77invarianza, 58t 59,16, 77, 8lpura, 59sistcm¿ de coordenadas, en, 51,

52Rotacional, 57, 58, 61 -72

deñnición en forma integral, I 23,t52,153

del gradiente, 58, 69,211e¡ coordenad¿s cilfndricas, 153,

154en coordenadas cillndricas Para-

bólicas, 16len coordenadas curvillneas orto-

gonales, 137, 150en coordenadas esféricas, 154form¿ tensorial, 174, 200i¡varianza, 8 Isignificado ffsico, 72, l3l

Schrihdingcr, ecuación, I 6lS€nos, teorema, triángulos planos,

25triáogulos esféricos, 29, 30

Seudfndice, 167

717

Simét¡ica, forma de la ecuación deuna recta, 9

Simple, curva cerrada, 82, 106á.ea liñitada por una, I l l

Simplemente conexa, región, ll0,113, I t4

Singular, matriz, 170punto, 141

Sistema de refe¡eDcia, 58, 166So¡enoidal, campo, 6'1, 7 3, l2O, 126Sólido, ánguio, I24, 125Stokes, teorema del rotacional,

106, I t0, 126-13ldemostr¿ción, 127-129fo¡ma tensorial,212rcorema d€ Greef¡ como caso

paÍicula¡, I l0Suma, de matrices, 170

de tensores, 169Suma de vectores, 2, 4, 5

ley del triángu¡o, 4Iey del paralelogramo, 2, 4propiedad asociatiya, 2, 5propiedad conmutativa, 2, 5

Sumación, convenio de los índicesrep€tidos, 167, 175, 176,201

Surnidero, 13,67, 120campo d€ tipo, 13

Superíndices, 166Superficie, árca de una, 104, 105,

t62coordenadas cuNilíneas sobre

una supe¡ficie, 48, 49, 56,

elemento de línea, 56, 148integral de, 83, 94-99

Superñcics, 37ángulo,63.coordenadas, 135de dos caras, 83de una cara, 99elemento de lfnea, 56normal exterior, 83orientables,99

Sustracción, de tensores, 169de vgctorgs, 2

Tangente a uDa curva en el, espa-cio, 37, 38, 40. 45, 47, 48, 50

plano, 49, 50, 6lTensor, absoluto, 175

asociado, l?1, 190, l9l,2l0campo, 168cartcsiano,2l0

INDICE

Tenso¡,conjugado, l7lcontravariante, 157, 167, 168cova ante, 158, 167, 168curvatura,207densidad, 175, 203fundamental, l7lhemisimétrico, 168, 169métrico, 170mixto, 167, 168orden de un, 167reciproco, l7lrclativo, 175,,202, 203, 212simétrico, 168

Tensorial, análisis, 73, 137, 158,t66-7.t7

campo, 168densidad, 173, 203

Tenso¡es, operaciones fundamen-tales, 169, 179-184

Térmica, conductividad, I 26Toroidales, coordenadas, 141Torsión, 38, 45,47,213

radio de, 38, 45T¡abajo, 21, 82, 86-91

como integral de llr¡ea, 88-91T¡ansformación, ¿fín, 59, 210,

de coordenadas, 58, 59, 76, 135,166

ortogonal, S9Traslación,59Traspuesta de una matriz, 170, 210Triada, 38Triádicas, 73Triángulo, áLrea, 24, 25

l€y de la suma de vectores, 4Triedro móvil, 38Triple producto, 17, 26-31

Umbral, índice, 167Unitaria, diada, 73

matriz, ló9Unitarios, rectangulares, 2, 3

Yectores, 2, I I

Variable, 35, 36Vector, área, 25, 83

campo, 3, 12, 13, 168columna, 169derivada respecto del empo,

51 5?

ecuación, 2, 9fila, 169

Vector,función de posicién, 3funcíón de punto, 3módulo, I, l0nulo,2operador nabla, 57, 5tpotencial,8lp¡oducto, 16, 17, 22-26posición,3radio, 3triple producto, 17, 2Gll

Vectores, l, 4álgebra, 1,2ángulo, 19, 1?2, 190colineales,8componentes, 3, 7, 8componenres

136, 156, 157, 167componentes covariantrs,

157, I58, I67coplanarios,3derivación, 35-36en la base, 7, 8, 136extÍgmo, Iigualdad, Iorigen, Ir€cfprocos, 17reprosentación analitica Irepresentación gráfic4 l, Iresultante, 2, 4, 5,6, lOsuma, 2, 4unirarios, 2, 136

Vectorial, producto, 16, 17.forma d€ dete¡mioantapropiedad distributiva" lf.

23Velocidad, 4

angular, 26, 43, 52Velocidad, a lo la¡go de rE

en el espacio, 35, 39, ¡¡angular, 26, 43, 52aerolar, 85, 86de la luz, 8lde un fluido, 179de una particula, 42, 5¿lineal, 26relativa ¿ observadons

móvi l ,52,53Volumen, del paralelepíptL

76

elemento de, 136, ,137, Iten coordenadas

t37, ts9integ¡ales de, 83, 99-l0f

Vértices, campo de, 72

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[Schaum - Murray.R.spiegel] Analisis Vectorial

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