Schnittgrößen räumlicher Systeme, senkrecht zur...

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  • FH Potsdam Statik der Baukonstruktionen IV FB Bauingenieurwesen Prof. Dr.-Ing. Klaus Berner

    Stand Mrz 2005 (kb05)

    Schnittgren rumlicher Systeme, senkrecht zur Tragwerksebene belastet: TRGERROST

    1. Einfhrung, Begriffsdefinitionen 1 . 1.1 Einfhrung, Begriffsdefinitionen, Auftreten von Torsion 1 - 1 1.2 Positiv-Definitionen der Schnittgren, Lagersymbole 1 - 3 1.3 Ermittlung der Auflagerkrfte, Momentengleichgewicht an Trgerecken 1 - 5 1.4 Differenzialgleichung fr den torsionsbeanspruchten Stab, Tabellenflle 1 - 7 1.5 Hinweise zu den Spannungen aus Torsion 1 - 8 2. Schnittgren statisch bestimmter Trgerroste 2 . 2.1 Beispiele mit rechtwinkligen Trgerecken 2 - 1 Bsp. 1: einseitig gabelgelagerter, einseitig punktgest. Balken mit Auskragung Bsp. 2: eingespannter Kragtrger mit Auskragung Bsp. 3: 3-Punkt gesttzter Trgerrost Bsp. 4: Gabelgelagerter Trgerrost (Variation von Bsp. 3) 2.2 Beispiele mit nichtrechtwinkligen Trgerecken 2 - 6 2.3 Verformungsberechnung 2 - 7 Bsp.: einseitig gabelgelagerter, einseitig punktgest. Balken mit Auskragung 2.4 Beispiele fr Systeme mit Nebenbedingungen 2 - 8 Bsp.: Balken mit senkrecht angehngtem Trger 3. Symmetrie, Antimetrie; Schnittgren statisch unbestimmter Trgerroste 3 . 3.1 Symmetrie, Antimetrie 3 - 1 Bsp.: 1-fach unbestimmtes System, Ausnutzung von Symmetrieeigenschaften 3.2 Statisch unbestimmte Systeme 3 - 3 Bsp.: 2-fach unbestimmtes System mit einer antimetrischen Gruppenlast gesamt: 24 Seiten bersicht bungsblatter ROST ROST 1 Trgerrost mit rechtwinkligen Ecken, Verformungsberechnung ROST 2 nichtrechtwinklige Ecken, Tabellenflle, Symmetrie, Tragverhalten

  • Statik der Baukonstruktionen kb05 Trgerrost 1 - 1

    1.0 Schnittgren rumlicher Systeme, senkrecht zur Tragwerksebene belastet: TRGERROST

    1.1 Einfhrung, Begriffsdefinitionen, Auftreten von Torsion rumliches System 6 Freiheitsgrade gefesselt

    6 Gleichgewichtsbedingungen: 3 Krfte-, 3 Momentengleichgewichte

    Fx =0 Fy =0 Fz =0 Mx =0 My =0 Mz =0

    ebenes System in der x, z- Ebene System in der x, y- Ebene

    belastet in der x, z- Ebene nur senkrecht zur x, y- Ebene belastet

    Trgerrost Ansicht globales Koordinaten-System rumliche Darstellung globales Koordinaten-System

    lokale Koordinatensysteme

    Fz

    Fx

    q

    3 Freiheitsgrade gefesselt 3 Gleichgewichtsbedingungen Fx =0 Fz =0 My =0 Schnittgren: Zugfaser festlegen (dadurch ist die lokale x-Achse definiert)

    3 Gleichgewichtsbedingungen 3 Freiheitsgrade gefesselt Fz =0 Mx =0 My =0 lokales Koordinatensystem fr jedenStab festlegen fr die Positiv- Definition der Schnittgren:

  • Statik der Baukonstruktionen kb05 Trgerrost 1 - 2 In Trgerrostsystemen kann Torsion auftreten: Darunter versteht man die Verdrehung eines Stabes um seine eigene Achse. Ursprnglich gerade Lngsfasern Schraubenlinien ( fr kleine Verdrehungen Geraden) zugehrige Schnittgre: Torsionsmoment T ( frher: MT oder auch MX) zugehrige Verdrehung um die x-Achse:

    zugehrige Verzerrung: Verdrillung =T

    d Tdx GJ= ( analog Krmmung y

    y

    Mddx EJ

    = = )

    Torsion entsteht auch bei exzentrischer Belastung, d.h., wenn die Lastebene nicht durch den Schwerpunkt des Querschnitts (exakt durch den Schubmittelpunkt) geht. Beispiele fr auftretende Torsion: Verkehrstafel: rumliches System, Torsion und Biegung um unterschiedliche Achsen Torsionssteifigkeit: GJT (analog EJy Biegesteifigkeit

    EA Dehnsteigkeit GQA Schubsteifigkeit)

    G Schubmodul (kN/cm2) JT Torsionsflchenmoment (cm4) z. B. Entwurfs- und Berechnungstafeln S. 2.32

    GJT (kNm2)= G (kN/cm2)*JT (cm4) * 10-4

    a

    rechte Hand-Regel: Die Doppelpfeile wirken in Richtung des Daumens der rechten Hand, die anderen Finger geben die Drehrichtung an! der rechte Doppelpfeil dreht somit in die Blattebene hinein, der linke heraus.

  • Statik der Baukonstruktionen kb05 Trgerrost 1 - 3

    1.2 Positiv- Definition der Schnittgren, Lagersymbole allgemeines rumliches System (Bezeichnungen nach DIN 1080 alt) Trgerrost axionometrische Darstellung My als Drehpfeil: Draufsicht Darstellung von Krften

    in der Draufsicht: Elementdarstellung mit rechtem und linkem Schnittufer: Dringende Empfehlung: unbedingt im Grundriss arbeiten, es ist nur kurzzeitig schwieriger! Merkhilfe fr die Drehrichtung von My: + My erzeugt auf der Balkenunterseite Zug.

    alte Bez.

    neueBez.

    Qz Vz

    Qy Vy

    MT T

    My, Qz = Hauptbiegung Mz, Qy = Querbiegung Nx = Axialkraft Mx (=MT) =

    MyT

    Vz

    lokale x-Richtung gedreht, nderung nur bei Vz !!!

  • Statik der Baukonstruktionen kb05 Trgerrost 1 - 4 Symbole fr die Lagerung von Trgerrosten Volleingespannt Punktsttzung (gelenkiges Lager)

    Gabellagerung zur Aufnahme des Torsionsmomentes

    bedeutet: Vertikalverschiebung behindert Verdrehung um die x-Achse behindert (bei freier Verwlbungsmglichkeit)

    Torsionsmomentengelenk (T=0) Stabile (nicht kinematische) Lagerung des System erforderlich! Durch die Lagerung mssen eine (Starrkrper-) Vertikalverschiebung und (Starrkrper-) Verdrehungen um ZWEI Achsen verhindert werden. labil !

    rumliche Darstellung Grundrissdarstellung

    x

    In der realen Konstruktion muss die horizontale Unverschieblichkeit des Trgerrostes natrlich sichergestellt werden und ggf. entsprechend berechnet werden (ggf. als echte 3D-Rechnung). Wird (wie hier) nur der senkrecht zu seiner Ebene belastete Trgerrost berechnet, kann auf die Darstellung von Horizontallagern verzichtet werden.

    rumliche Darstellung Grundrissdarstellung

    rumliche Darstellung Grundrissdarstellung

    x

    (Wirkung wie eine Hlse)

    labil ! labil !

  • Statik der Baukonstruktionen kb05 Trgerrost 1 - 5

    1.3 Ermittlung der Auflagerkrfte, Momentengleichgewicht an Trgerecken Allgemeine Ermittlung der Auflagerkrfte Die in der Realitt notwendige horizontale Auflagerfessel wird hier nicht dargestellt, da bei Trgerrostaufgaben nur Lasten senkrecht zur Tragwerksebene betrachtet werden. Die Berechnung der eventuell vorhandenen Beanspruchung in der Trgerrostebene muss zustzlich erfolgen. Zur Ermittlung der Auflagerkrfte stehen drei Gleichgewichtsbedingungen zur Verfgung. Fz =0 Mx =0 Trgerrost: Summe der Momente um Achsen (die in der Tragwerksebene liegen) My =0 ebene 2D Systeme: Summe der Momente um Punkte bzw. Achsen, die aus der Ebene heraus zeigen Am gnstigsten erweist sich meist, die der Momente um beliebige, jedoch sinnvoll gewhlte Achsen zu bilden, so dass sich entkoppelte Gleichungen fr jede Auflagerkraft ergeben. Momentengleichgewicht an einer rechtwinkligen Trgerecke bei ebenen Systemen durften an einer Ecke max. 2 Krfte unbekannt sein; bei einem Trgerrost drfen max. 2 Momente unbekannt sein, die mit den beiden Momentenbedingungen berechnet werden knnen.

    (Sonderfall) rechtwinklige Ecke, Schnittgren 43 seien bekannt: rumliche Darstellung Draufsicht Momentengleichgewicht:

    x (4)

    My 43T 43

    Vz 43

    My 45T 45

    Vz 45

    (3)

    (5)

    aus (4) (5)M 0 = : T45 = My 43 aus (3) (4)M 0 = : My 45 = + T43

    maximal zwei unbekannte Momente

  • Statik der Baukonstruktionen kb05 Trgerrost 1 - 6 Allgemeiner Fall: nichtrechtwinklige Ecke, Schnittgren 43 seien bekannt: geg.: My 43 = - 30,0 kNm T 43 = 50,0 kNm = 50 ges.: My 45 = ??? T 45 = ??? Momentengleichgewicht graphisch: Krafteck Vorzeichen aus Vergleich mit der Positivdefinition rechnerisch: (NICHT zu empfehlen; Zerlegung von A nach E) Momentenzerlegung und anschlieend Gleichgewicht bilden (wird in 90% der Flle vergessen)

    (4) (5) 45 43 y 43

    senkrecht zu (4) (5) y 43 y 45 43

    M 0 : T T cos M sin 32,1 23,0 55,1kNm

    M 0 : M M cos T sin 19,3 38,3 19,0 kNm

    = = + = + =

    = = + = + =

    Die grafische Lsung ist in jedem Fall vorzuziehen, da insbesondere weniger anfllig fr Vorzeichenfehler!

    maximal zwei unbekannte Momente

    x My 4

    5

    T 45

    V z 45

    Draufsicht

  • Statik der Baukonstruktionen kb05 Trgerrost 1 - 7 1.4 Differenzialgleichung fr den torsionsbeanspruchten Stab, Tabellenflle Gleichgewicht am Element dx MX=0 -T + ( T + dT ) + mT(x) dx = 0

    dT + mT(x) dx = 0 TdT T '(x) m (x)dx

    = =

    d.h. mT = 0 konstanter T(x)-Verlauf mT = konstant linearer T(x)-Verlauf Angriff eines Einzeltorsionsmomentes: Sprung in T(x), analog zu V '(x) q(x); N'(x) n(x)= =

    Analogie zu Lngsbeanspruchung

    N-Verlauf, Normalkraft N als Zug positiv

    Torsionsbeanspruchung (Saint Venant-Torsion)

    Positives Torsionsmoment fr T-Verlauf

    Der T -Verlauf ist analog dem N-Verlauf: N T; Fx TL (eingeprgtes bzw. Lasttorsionsmoment); n mT (Streckentorsionsmomente)

    Die Pfeilrichtungen bleiben bei der Anwendung der Analogie erhalten; GJT = konstant.

    Die Differentialgleichungen der Lngs- und Torsionsbelastung sind vom gleichen Typ: N (x) = n(x), T (x) = mT(x), die Lsungen sind daher analog.

    / 2b c ncl

    +

    / 2a c ncl

    +

    +_x

    F al

    x F bl

    Lagerung fr T-Beansspr.

  • Statik der Baukonstruktionen kb05 Trgerrost 1 - 8

    1.5 Hinweise zu den Spannungen aus Torsion

    falls bei entsprechender Lagerung

    Trgerrost

    Ermittlung der Schnittgren

    T My QZ

    Spannungen aus Torsion abhngig von der Art des Querschnitts

    Nichtwlbfreie Querschnitte, Querschnitt verwlbt

    Wlbfreier Querschnitt, Querschnitt bleibt eben

    Wlbkrafttorsion

    Es treten auf: Schubspannungen primre (ST. Venantsche) P sekundre (Wlb-) W Wlbnormalspannungen W (Details siehe Stahlbau)

    Reine Torsion, St. Venantsche Torsion Es herrscht ein reiner Schubspannungszustand P weitere Voraussetzungen fr die Gltigkeit derSt. Venantschen ToRsion:

    - elastisches Material - Querschnittsform bleibt erhalten - kleine Formnderungen

    Verwlbung behindertVerwlbung frei mglich

    abhngig vom - System - Lagerung - Steifigkeiten (sofern statisch unbestimmt)

  • Statik der Baukonstruktionen kb05 Trgerrost 1 - 9 Spannungsformeln fr Saint Vernantsche Torsion: 1.) Dnnwandige Hohlquerschnitte (d.h. geschlossene Querschnitte) wlbarm bzw. wlbfrei fr spez. Abmessungen

    m

    T2A t

    = Erste Bredtsche Formel

    2

    ' mT

    iT

    ii

    4AT ; J sGJt

    = =

    Zweite Bredtsche Formel

    durch den umlaufenden Schubfluss: effektivste Querschnittsform um Torsion abzutragen 2.) Dnnwandige offene Querschnitte (durch kleinen Hebelarm wenig effektiv!) nicht wlbfrei, d.h. Wlbkraftanteil u.U. zustzlich Korrekturfaktor fr Walzprofile wegen Ausrundungen

    n

    3T i i

    T i

    T t 1; J t h ( )J 3

    = = 3.) Dickwandige Querschnitte wlbarm, quasi wlbfrei

    T

    TW

    = JT, WT in Tabellenwerken

    z.B. Entwurfs- und Berechnungstafeln S. 2.32 Rechteckquerschnitte: Verlauf im Querschnitt nicht linear Stahlbeton: RISSBILDUNG, NICHTLINEARER Werkstoff !

    Profil

    0,99 1,12 1,12 1,30

    T Torsionsmoment Am Flche, die von der Querschnittsmittellinie

    eingeschlossen ist t Dicke des Querschnitts an der Stelle Verdrillung G Schubmodul JT Torsionsflchenmoment GJT Torsionsteifigkeit

    Sonderfall Kreis: linearer Verlauf

    alte Bezeichnungen!

  • Statik der Baukonstruktionen kb05 Trgerrost 1 - 10 Versuchsmodelle nach Walther Mann: 1.) Vergleich verschiedener Querschnittsformen Verschiedene Querschnittsformen, nmlich Rechteck-, Winkel-, I- und Quadratrohr-Profile als abgewinkelte Stbe zwischen 2 Holzplatten torsionssteif eingespannt. Die Querschnitte verhalten sich sehr verschieden gegenber Torsion: das Hohlprofil verformt sich kaum, die anderen Profile weisen unter geringerer Belastung wesentlich grere Verdrehungen auf. 2.) Vergleich geschlossenes und offenes (geschlitztes Rohr) 2 geometrisch gleich Plastikrohre, eines davon lngs aufgeschlitzt torsionssteif eingespannt. Durch Bohrungen und Hebelstangen werden mittels Gewichten Torsionsmomente aufgebracht. Das geschlossene Rohr zeigt trotz groen Torsionsmomentes kaum Verdrehungen, ist also sehr torsionssteif, da sich ein geschlossener Schubfluss im Kreisquerschnitt einstellen kann. Beim geschlitzen Rohr wird der Schubfluss am Schlitz unterbrochen; die Schnittufer verschieben sich (infolge der Schubspannungen in Balkenlngsrichtung) in Balkenlngsrichtung gegeneinander. Offene Profile sind daher gegenber Torsionsbeanspruchung ungnstiger als geschlossene Rohre.

  • Statik der Baukonstruktionen kb05 Trgerrost 2 - 1

    2.0 Schnittgrenermittlung statisch bestimmter Trgerrosten 2.1 Beispiele mit rechtwinkligen Trgerecken Beispiel 1: einseitig gabelgelagerter, einseitig punktgesttzter Balken mit Auskragung: Axiometrische Darstellung Grundrissdarstellung 1.) Berechnung der Auflagerkrfte (Momentengleichgewicht um ACHSEN!)

    (1) (5) 3 3

    (3) (6) 1 1

    (1) (3) 1 1

    F 4,0M 0 A 6,0 F 4,0 0 A 4,0 kN6,0

    F 2,0M 0 A 6,0 F 2,0 0 A 2,0 kN6,0

    M 0 T F 1,5 0 T F 1,5 9,0 kNm

    = + = = =

    = = = =

    = + = = =

    Kontrolle: Fz = 0 (ok) 2.) Stabschnitte zur Berechnung der Schnittgren (Auswahl)

    My [kNm]

    T [kNm]Vz [kN]

    z z 23 3

    y y 23 3

    23

    aus F 0 V A 4,0 kNaus M 0 M A 2,0 8,0 kNm

    aus T 0 T 0,0 kNm

    = = =

    = = =

    = =

    x 1,50

    z z 231 3

    y y 21 3

    21

    aus F 0 V A F 2,0 kNaus M 0 M A 2,0 8,0 kNm

    aus T 0 T F 1,5 9,0 kNm

    = = + = +

    = = =

    = = =

    3.) Schnittgren

    weitere Schnitte insb. Knotenschnitt (2) siehe Bsp. 3

    14

    -9.00-9.00

    1

    223

    24

    12.009.00

    46.00

    8.00

    1

    2

    8.00

    23

    4.00

    -9.00

    24

    14

    2.002.00

    1

    2

    -4.00-4.00

    23

    6.006.00

    24

    1,50x

  • Statik der Baukonstruktionen kb05 Trgerrost 2 - 2 2.) Beispiel 2: eingespannter Kragtrger mit Auskragung Axiometrische Darstellung Grundrissdarstellung 1.) Berechnung der Auflagerkrfte hier nicht dargestellt, da vom freien Kragarmende gearbeitet wird 2.) ausgewhlte Schnitte zur Berechnung der Schnittgren hier nur Knotenschnitt (2) dargestellt: bekannt sind die Schnittgren 23

    My [kNm]

    T [kNm]

    x

    My 23T 23

    Vz 23

    My 21T 21Vz 21

    xx

    (2)

    axionometrische Darst.: Grundriss (bessere Darst.):

    y 21 23

    21 y 23

    M T 6,0 kNm

    T M 20,0 kNm

    = =

    = =

    3.) Schnittgren

    Vz [kN]

    13

    -68.50

    -6.001

    2

    -20.00

    2

    3

    13

    -20.00

    -20.00

    1

    2

    6.006.00

    2

    3

    13

    15.0010.00

    1

    2

    10.0010.00

    2

    3

    x 2,00

    F=10,0 kN

    (2)

    (3)

    (1)

    TL=6,0 kNm

    q=1,0 kN/m

    5,00x

  • Statik der Baukonstruktionen kb05 Trgerrost 2 - 3 Beispiel 3: 3-Punkt gesttzter Trgerrost Axiometrische Darstellung Grundrissdarstellung 1.) Berechnung der Auflagerkrfte (Momentengleichgewicht um ACHSEN!)

    (1) (3) 6 6

    6(3) (5) 6 1 1

    6(1) (7) 3 6 3

    10,0 3,0M 0 A 6,0 F 3,0 0 A 5,0 kN6,0

    A 2,5M 0 A 2,5 A 5,0 0 A 2,5 kN5,0

    A 2,5 F 5,0M 0 A 5,0 A 2,5 F 5,0 0 A 7,5 kN5,0

    = + = = =

    = + = = =

    + = + = = =

    Kontrolle: z 1 3 6F 0 A A A F 0 (ok) = + + = Alternativen: es kann um jede beliebige (gnstige) Achse gedreht werden, z.B. fr die Ermittlung von A3 auch um die Achse (1)-(6) mit der Lnge zur Drehachse!!!!. 2.) Stabschnitte zur Berechnung der Schnittgren

    z z 46 6

    y y 6 46 6

    46

    aus F 0 V A 5,0 kNaus M 0 M A 3,0 15,0 kNm

    aus T 0 T 0,0 kNm

    = = =

    = = =

    = =

    z z 42 6

    y y 42 6

    42

    aus F 0 : V F A 5,0 kNaus M 0 : M A 3,0 15,0 kNm

    aus T 0 : T F 2,50 25,0 kNm

    = = =

    = = =

    = = =

    2,50

    x2,5

    0

    x

    x

    2,50

  • Statik der Baukonstruktionen kb05 Trgerrost 2 - 4 usw. Knotenschnitt (4): bekannt sind die Schnittgren VZ 45= + 10,0 kN My 45= 25,0 kNm T 45= 0,0 kNm VZ 46= 5,0 kN My 46= + 15,0 kNm T 46= 0,0 kNm

    z z 42 z 46 z 45

    y y 42 45 y 46

    42 46 y 45

    aus F 0 : V V V 5,0 kNaus M 0 : M T M 15,0 kNm

    aus T 0 : T T M 25,0 kNm

    = = + =

    = = + = +

    = = + =

    aus einem Biegemoment wird bei einer rechtwinkligen Ecke ein Torsionsmoment!

    Hinweise: Der T-Verlauf ist immer konstant (Ausnahme: Belastung durch Streckentorsionsmomente), Analogie zum N-Verlauf bei ebenen Stabtragwerken Was ndern sich, wenn die lokale x-Richtung in die andere Richtung luft? Das Vorzeichen der Querkrfte Vz!

    x

    3

    18.75

    2

    36

    -25.00

    4

    6

    15.00

    24

    -6.25

    1

    2

    15.00

    45

    3

    2

    36

    4

    6

    -25.00-25.00

    241

    24

    5

    3-7.50

    -7.50

    2

    36

    10.00

    10.00

    4

    6

    5.005.00

    24-2.50

    -2.50

    1

    2-5.00

    -5.004

    5

    My [kNm]

    T [kNm]

    Vz [kN]

    axionometrische Darstellung

  • Statik der Baukonstruktionen kb05 Trgerrost 2 - 5 Beispiel 4: Gabelgelagerter Trgerrost (Variation von Bsp. 3, S. 2-3; bung fr Auflagerkrfte) Axiometrische Darstellung Grundrissdarstellung 1.) Berechnung der Auflagerkrfte (Momentengleichgewicht um ACHSEN!) Beim Drehen um Achse (1)-(3) ist das Auflager-(Gabel-)torsionsmoment zu bercksichtigen!!

    (1) (7) 6 6

    (2) (6) 1 1

    (1) (3) 1 6 1 6

    F 5,0M 0 A 2,5 F 5,0 0 A 20,0 kN2,5F 2,5M 0 A 2,5 F 2,5 0 A 10,0 kN

    2,5M 0 T A 6,0 F 3,0 0 T A 6,0 F 3,0 90,0 kNm

    = = = =

    = + = = =

    = + = = + =

    Kontrolle Vz=0 (ok) Das Auflagertorsionsmoment ist immer dann zu bercksichtigen, wenn um eine Achse parallel zu seiner Richtung gedreht wird; bei Drehung um eine Achse senkrecht zur Richtung des Momentes fllt es vollkommen weg (z.B. bei M(2)-(6)). Analyse: Torsionsmomente knnen im Stab (2)-(4) und im Stab (1)-(2) auftreten. Ergebnis:

    My [kNm]

    T [kNm]

    Vz [kN]

    3

    2

    36

    -25.004

    6

    90.00 60.00

    24

    -25.00

    1

    2

    10.00

    90.00 60.00

    45

    20.

    3

    2

    36

    4

    6-25.00-25.002

    4-90.00

    -90.00

    1

    24

    5

    3

    2

    36

    10.00

    10.004

    6-10.00-10.002

    4-10.00

    -10.00

    1

    2-20.00

    -20.004

    5

    2,50

    x2,5

    0

    x

  • Statik der Baukonstruktionen kb05 Trgerrost 2 - 6 2.2 Beispiele mit nichtrechtwinkligen Trgerecken Beispiel 1: 1.) Berechnung der Auflagerkrfte Das angreifende Torsionsmoment ist sinnvollerweise zunchst zu zerlegen!

    zu (1) (2) durch(1) 2

    zu (1) (2) durch(2) 1 z

    (1) (2) 1

    12 6,0 6,928M 0 : A 19,73 kN4,0

    12 2,0 6,928M 0 : A 7,73 kN Kontrolle F 0 (ok)4,0

    M 0 : T 4,0 12,0 3,464 90,0 kNm

    + = = =

    + = = = =

    = = + =

    2.) Schnitte a) Stabschnitt (2)-(3) b) Stabschnitt (1)-(2) c) Knotenschnitt (2) zur Kontrolle (oder b) und c) vertauschen)

    F=12,0 kN

    (2)(1)4,00

    3,46

    4

    x

    x

    2,00

    (3)

    T1A1

    A2

    TL=8,0 kNm

    Knotenschnitt (2)

    Positivdefinition Schnittgren

    My [kNm]

    T [kNm]

    Vz [kN]

    1

    -30.93

    1

    2

    3-48.00

    2

    3

    1

    -37.57

    -37.571

    2

    3

    8.00

    2

    3

    1

    -7.73

    -7.73

    1

    2

    3

    12.00

    12.0012.00

    2

    3

  • Statik der Baukonstruktionen kb05 Trgerrost 2 - 7 2.3 Verformungsberechnung Die Berechnung von Verformungen erfolgt nach den Regeln des P.d.v.K. (Statik III). Neben den Anteilen aus Biegung (EJy) sind nun noch die Anteile aus Torsion (GJT) zu bercksichtigen. Beispiel (siehe Beispiel 1 S. 2-1) ges: Durchbiegung Knoten (4)

    ges: Verdrehung (um die Stabachse) Knoten (2)

    o(2)

    T T

    1 36,0 4,0 ( 9,0) 1,00 0,0198 (rad) 1,13GJ GJ

    = = = =

    Aus welchen Anteilen setzt sich die Kragarmdurchbiegung zusammen: 1) Durchbiegung Stab (1)-(2)-(3) (Tabellenfall Balken auf 2 Sttzen) 2) Durchbiegung Stab (2)-(4) (Tabellenfall Kragarm) 3) Starrkrperverschiebung Stab (2)-(4) infolge Verdrehung Stab (1)-(2)-(3): w(4)=(2)1,5

    Profil: quadrat. kaltverformtes Rohrprofil QRO 140x10 (mm) Jy=1268,0 cm4; JT=2245,0 cm4 mit E= 2,1104 kN/cm2; G= 0,81104 kN/cm2 folgt EJy = 2662,8 kNm2; GJT = 1818,45 kNm2

    Myv [kNm]

    46.00

    40.24

    2

    40.24

    2

    4

    8.01

    2

    3

    1,50x

    Verformungsfigur

    Tv [kNm]

    141.00

    -1.50

    -1.501

    22

    4

    23

    141.00

    1.33

    1

    2

    -1.50

    2

    4

    1.33

    23

    v vy y

    y T

    y T

    y T y T

    1 1w M M dx T T dxEJ GJ

    1 1 1 11,5 ( 9,0) ( 1,50) 6,0 8,0 1,33 4,0 ( 9,0) ( 1,50)EJ 3 3 GJ

    1 1 28,03 54,0 (6,75 21,28) 54,0 0,0105 0,0297 0,0402 (m)EJ GJ EJ GJ

    = + =

    + + =

    + + = + = + =

  • Statik der Baukonstruktionen kb05 Trgerrost 2 - 8 2.4 Beispiele fr Systeme mit Nebenbedingungen Beispiel: Die zustzliche 4. Auflagerkraft muss durch die (fr ein statisch bestimmtes System notwendige) Nebenbedingung ermittelt werden. 1.) Auflagerkrfte LF 1:

    y (2) (4) 4

    Stabschnitt Stab(2) (4) :q l 5,0 1,5aus M 0 : A 3,75 kN2 2

    = = = =

    somit wirkt auf den Stab (1)-(2)-(3) in (2) lediglich eine Vertikalkraft von 5,0 1,5 - 3,75=3,75 kN

    in verkrzter Berechnung: T1=0, 3 13,75 4,0 3,75 2,0A 2,5 kN; A 1,25 kN

    6,0 6,0= = = =

    2.) Auflagerkrfte LF 2:

    y(2) (4) 4Stabschnitt Stab(2) (4) : aus M 0 : A 0 = =

    x

    x

    LF 1: q=5,0 kN/m

    4,00

    1,50

    (2)

    (4)

    (1)2,00

    (3)

    LF 2: TL=10,0 kNm

    My 24 = 0

    1,50x

    Lzu (1) (2) durch(1) 3

    Lzu (1) (2) durch(3) 1 1

    T 10,0M 0 : A 1,67 kN6,0 6,0

    T 10,0M 0 : A 1,67 kN; T 0,0 kNm6,0 6,0

    = = = =

    = = = = =

    11.25

    1

    24

    3.7524

    2

    3

    2.50

    T [kNm]

    My [kNm]

    LF 2: TL LF 1: q

    11.67 1

    24

    10.0010.00

    24

    2

    3

    1.67

    1

    5.00

    1

    24

    1.412

    4

    5.00

    2

    3

    1 -6.671

    24

    24

    3.33

    2

    3

  • Statik der Baukonstruktionen kb05 Trgerrost 3 - 1 3.0 Symmetrie, Antimetrie; Schnittgrenermittlung statisch unbestimmter Trgerroste 3.1 Symmetrie, Antimetrie axiometrische Darstellung

    symmetrisches System / symmetrische Belastung

    Schnittgrenverlauf im System in der Symmetrieachse gilt Stab zur Symmetrieachse: (2)-(4)

    My symmetrisch Qz = 0 Qz antimetrisch T = 0 T antimetrisch

    Stab als Symmetrieachse: (3)-(6) T = 0 symmetrisches System / antimetrische Belastung

    Schnittgrenverlauf im System in der Symmetrieachse gilt Stab zur Symmetrieachse: (2)-(4)

    My antimetrisch My = 0 Qz symmetrisch T symmetrisch Stab als Symmetrieachse: (3)-(6)

    My = 0 Qz = 0 Mit diesen Erkenntnissen sind bei der Berechnung der Schnittgren Vereinfachungen mglich: 1) Reduzierung der statisch Unbestimmten 2) X1 als Gruppenlasten bei statisch unbestimmten Systemen einfhren 3) Rechnung am halben- System mit entsprechenden Randbedingungen 4) u.U. Aufspalten der Belastung in symmetrischen und antimetrischen Teil

    x

    x

    symmetrische Belastung

    symmetrisches System: die lokalen x-Achsen mssen antimetrisch angeordnet sein!!!

    x

    x

    antimetrische Belastung

  • Statik der Baukonstruktionen kb05 Trgerrost 3 - 2

    -6,00

    Beispiel 1: 1-fach statisch unbestimmtes System, Ausnutzung von Symmetrieeigenschaften

    Auflagerkrfte:

    (2) (6) 8

    (7) (5) 2 6 z

    2 10,0 1,5M 0 A 6,0 kN5,0

    10,0 3,6 ( 6,0) 1,8M 0 A 13,0 kN A ; Kontrolle : F 0 (ok)3,6

    = = =

    = = = = =

    Schnittgren: (Schnitte nicht dargestellt)

    x

    x

    x

    x

    (2)

    (1)

    (3)(4)

    (6)

    (7)

    (5)

    (8)

    F=10,0 kN F=10,0 kN

    1,801,80

    2,00

    3,00

    1,50

    1,50

    3,00

    x

    x

    2,00

    x

    Das System ist eigentlich 1-fach statisch unbestimmt; da aber Stab (4)-(8) die Symmetrieachse des Systems ist, mssen dort die Verdrehung =0 und das Torsionsmoment T=0 sein. Es ist somit keine statisch unbestimmte Rechnung erforderlich.

    83

    4

    83

    4

    2

    34

    55

    6

    23.43

    1

    2

    6

    7

    My [kNm] T [kNm]

    Vz [kN]

    83

    -12.00

    4

    8

    5.40

    34-15.00

    -6.00

    2

    3

    5.40

    45

    -6.00

    -15.00

    5

    6

    -15.00

    1

    2-15.00

    6

    7

    86.003

    4

    8-6.00

    34

    2

    3

    6.00

    45

    13.00

    5

    61

    2

    13.00

    6

    7

    83

    6.00

    4

    8

    3.003.00

    34

    3.00

    3.00

    2

    3 -3.004

    5-3.00

    -3.00

    5

    6

    -10.00

    -10.00

    1

    2

    10.00

    6

    7

    Verformungsfigur

  • Statik der Baukonstruktionen kb05 Trgerrost 3 - 3 3.2 Statisch unbestimmte Systeme Die Berechnung erfolgt mit dem Kraftgrenverfahren analog zu ebenen Systemen. Bei der

    Berechnung der ik und i0 - Glieder sind die Torsionsanteile v

    T

    T T dxGJ zustzlich zu den

    Krmmungsanteilenv

    y

    M M dxEJ zu bercksichtigen.

    Sind anschlieend Verformungen zu berechnen, kann wie bei ebenen Systemen auf den Reduktionssatz (Statik III) zurckgegriffen werden. bung: Ermittlung eines statisch bestimmten Grundsystems (fr bel. Belastung) Wie bei ebenen Systemen knnen die Systeme uerlich und innerlich statisch unbestimmt sein. In den Formelwerken sind der einseitig und der beidseitig gabelgelagerte Einfeldtrger unter Torsionsbelastung vertafelt. Hufig ist daher eine statisch unbestimmte Rechnung nicht erforderlich, hnlich gilt fr symmetrische System mit symmetrischer oder antimetrischer Belastung. Beispiel: geg. System Reduktion auf Tabellenflle fr Biegung und Torsion: Beispiel: symm. Belastung: muss das System statisch unbestimmt gerechnet werden? Nein, aus Symmetriegrnden bekommt jedes Lager F/4; es tritt keine Torsion auf.

    Lsung: max My=8,0 kNm T12=-3,0 kNm, T32=+6,0 kNm

    l/2

    l/2

    x

    ndern sich jetzt die Schnittgren?Nein, aus Symmetriegrnden ist T=0!

    l/2

    l/2

    x

  • Statik der Baukonstruktionen kb05 Trgerrost 3 - 4 bung: Warum treten im Stab (2)-(3) keine Schnittgren auf, verformt sich der Stab (2)-(3)? Wie ndern sich die Schnittgren, wenn Lager (3) zu einer Gabellagerung wird? Profil: QRO 140x10 (mm) Beispiel: symmetrisches System, 2-fach statisch unbestimmt durch Symmetrie - Antimetrie - Betrachtungen ist eine Reduktion auf eine 1-fach unbestimmte Rechnung mglich.

    Die beiden Torsionseinspannmomente werden antimetrisch als eine statisch unbestimmte Gruppe eingefhrt. 0-Zustand: X1=1-Zustand:

    3

    1 5

    5,0 6,0 4,0A 30,0 kN4,0

    A A 0

    = =

    = =

    xx4,0

    0

    x

    4,00

    x

    xx

    11

    2

    5

    23

    4

    5

    34

    xx

    Profil: quadrat. kaltverformtes Rohrprofil QRO 140x10 (mm) EJy = 2662,8 kNm2; GJT = 1818,45 kNm2

    My [kNm]

    T [kNm]

    My [kNm]

    T [kNm]

    11

    2

    5

    1.00

    23

    4

    5

    1.00

    34

    11

    2

    5-22.50

    23

    4

    5-22.50

    34

    1

    1.00

    1

    2

    5

    23

    -1.00

    4

    5

    34

    x 4,00 x 4,0

    0

  • Statik der Baukonstruktionen kb05 Trgerrost 3 - 5

    11y T y T

    10y y

    1 1 6,0 8,0 6,0 1,0 1,0 2 4,0 1,0 1,0EJ GJ EJ GJ

    1 1 45,0 2 3,0 1,0 ( 22,5)EJ 3 EJ

    = + = +

    = =

    mit yT

    EJ 2662,8 1,4643GJ 1818,45

    = = = folgt y 11

    y 10

    EJ 6,0 8,0 17,7144

    EJ 45,0

    = + =

    = und somit

    y 101

    y 11

    EJ 45,0X 2,54EJ 17,7144

    = = =

    My [kNm]

    Vz [kN]

    11

    2

    5

    2.54

    -19.96

    23

    4

    5-19.96

    2.54

    34

    1

    2.54

    1

    2

    5

    23

    -2.54

    4

    5

    34

    1

    14.72

    1

    2

    5

    23

    4

    5

    34

    11

    2

    5-15.002

    34

    5

    15.00

    34

    T [kNm]

    Verformungsfigur

  • Statik der Baukonstruktionen: bungsbltter Trgerrost kb05 ROST 1

    Text fr alle Aufgaben: Berechnen Sie den My, T und VZ - Verlauf

    A.1) 3-Punkt gesttzter Trgerrost

    A.2) Trgerrost mit Gabellagerung und Punktsttzung

    A. 3) Eingespannter Trgerrost A. 4) Berechnen Sie fr A. 2) die Vertikalverschiebung der Punkte (4). Werkstoff: Stahl S 235 (St37) Profil: warm gefertigtes quadrat. Rohrprofil QRO 400x20: JT=112.400 cm4; Jy= 69.400 cm4

    112

    4

    2

    5

    4

    5

    2,00 kN/m2

    35

    6

    4,00

    5,004,5

    0

    4,50

    x

    2,00

    3,00

    xx

    2,00

    3,00

    4,00

    (2)

    (4)

    (1)

    (3)

    (5) (6)

    q=1,0 kN/m

    TL=2,0 kNm

    3,00

    x

    x

    x

    Trgerrost mit rechtwinkligen Ecken, Verformungsberechnung

  • Statik der Baukonstruktionen: bungsbltter Trgerrost kb05 ROST 2

    A.1) Nichtrechtwinkliger Trgerrost Berechnen Sie den My, T und VZ - Verlauf sowie die Durchbiegung des Punktes (2). Werkstoff und Profil: siehe A. 3 Kontrollieren Sie das Momentengleichgewicht am Knoten (2).

    A.2) Statisch unbestimmter Trgerrost mit Nebenbedingungen; Tabellenfall 2 gabelgelagerte Trger sind durch eine Art querbelasteter Pendelstab verbunden. Ermitteln Sie den My, T und VZ - Verlauf mit Hilfe von Tabellenfllen (d.h. ohne statisch unbestimmte Rechnung).

    A.3) Statisch unbestimmter Trgerrost mit symmetrischer Belastung Berechnen Sie den My, T und VZ - Verlauf unter Ausnutzung der Symmetrieeigenschaften. Erlutern Sie das Tragverhalten und berechnen Sie (mglichst unter Verwendung von Tabel- lenfllen) die Vertikalverschiebung des Punktes (2) und der Feldmitte des Stabes (1)-(2). Werkstoff: Stahl S 235 (St37) Profil: warm gefertigtes quadratisches Rohrprofil QRO 200x16: JT=10.250 cm4; Jy= 6.080 cm4

    (1)(2)

    (3)

    3,00 3,00

    3,00

    x

    x

    q = 1,0 kN/m

    3,00

    1,50

    1,501,50

    1,50x

    1,50

    1,50

    x1,

    501,

    50

    Trgerrost: nichtrechtwinklige Ecken, Tabellenflle, Symmetrie, Tragverhalten

  • Statik der Baukonstruktionen: bungsbltter Lsung Trgerrost kb05 L ROST 1

    A. 1)

    Hilfszustand

    A. 2)

    Hilfszustand

    A. 3)

    19.00

    36.00

    12

    -45.00

    2

    342

    5

    9.00-16.004

    5

    65.00

    5

    6

    18.00

    19.00

    122

    34

    81.00

    81.00

    2

    5

    9.004

    55

    6

    18.00

    19.00

    9.009.00

    12

    9.00

    9.00

    2

    342

    5

    9.00-8.00

    4

    5-8.00

    -18.005

    6

    18.00

    19.00

    122

    342

    5

    9.00

    44.44

    4

    55

    6

    18.00

    1

    15.004

    22.50

    1

    3-10.00 20.00

    3

    4

    50.002

    3

    25.00

    1

    15.004

    -60.00

    -60.001

    33

    4

    2

    3

    25.001 4

    15.00-15.00

    1

    3

    10.00

    10.003

    4

    25.00

    25.002

    3

    1 41

    3

    20.233

    4

    2

    3

    516

    5

    4.50

    4.50

    5

    2

    -5.50-5.50

    1

    22

    4

    2.00

    2.00

    4

    3

    51

    3.00

    -4.50

    65-7.50 5

    2

    -16.50

    -4.501

    2-2.00

    -2.00

    2

    44

    3

    51

    -3.00

    65

    -3.00-3.00

    5

    2

    3.00

    3.00

    1

    22

    44

    3

    51

    2.70

    655

    2

    1

    22

    44

    3

    1

    1.00

    4.00

    12

    -5.00

    2

    341.00 2

    5

    1.00-4.004

    5

    5.00

    5

    6

    1.00

    1

    1.001

    22

    341.00

    9.00

    9.00

    2

    5

    1.004

    55

    6

    1.00

    1 41.0

    1

    3

    -3.00

    3

    4

    2.002

    3

    1 41.0

    -5.00

    -5.001

    33

    4

    2

    3

    My [kNm]

    Vz [kN] w [mm]

    Myv [kNm] Tv [kNm]

    T [kNm]

    w [mm]

    Myv [kNm] Tv [kNm]

    T [kNm]My [kNm]

    Vz [kN]

    My [kNm]

    Vz [kN] w [mm]

    T [kNm]

  • Statik der Baukonstruktionen: bungsbltter Lsung Trgerrost kb05 L ROST 2

    A.1)

    Hilfszustand A. 2)

    A. 3)

    1

    3.31

    5.43

    1

    2

    7.687.73

    2

    3

    3.931

    3.31

    3.310.31

    1

    2

    0.31-3.93

    2

    3

    3.93

    1

    6.05

    1

    22

    3

    1

    7.50 4

    8.259.38

    1

    3

    9.00

    3

    4

    9.002

    3

    8.25

    1

    7.50 4

    8.25

    1

    33

    4

    2

    3

    8.251

    4

    7.50

    -7.501

    3-3.75

    -8.25

    3

    4

    8.25

    3.752

    3

    1

    4

    2.21

    1

    33

    4

    2

    3

    4

    10.0010.00

    45

    10.00

    -20.00-20.005

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    4

    6.676.67

    45

    -3.33-3.335

    6

    10.00

    -10.00

    2

    51

    5.005.00

    12

    -5.00-5.00

    23

    4

    6.67

    16.67

    45

    16.67

    5

    6

    15.0015.00

    2

    51

    5.00

    12.50

    12

    3.3

    12.50

    23

    5.00

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    5.92

    5

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    1

    0.50

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    1

    2

    1.00

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    2

    3

    0.50

    1

    -1.50-1.50

    1

    2

    1.00

    2

    3

    My [kNm] T [kNm]

    Vz [kN] w [mm]

    Myv [kNm] Tv [kNm]

    My [kNm] T [kNm]

    Vz [kN] w [mm]

    1

    3.31

    -5.43-5.43

    1

    22

    3

    3.93

    My [kNm] T [kNm]

    Vz [kN] w [mm]

    7,68

    1,50

    0,58